Unidad N Œ Resolución de sistemas mediante determinantes ! 11...

Unidad Nº 3 � Resolución de sistemas mediante determinantes !!! 111

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. ANAYA

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2

! Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

aaa)))

=−=⇒=⇔= →=−=+

→→

=−=+

75x3y4x44x1115y3x929y3x2

5yx329y3x2 sumando

E3

E

2

1

0119213

32≠−=−−=

−

bbb))) 3

85y,x.,I.C.S,0016y6x10

16y6x1016y6x10

8y3x5 sumandoE

E2

2

1 −λ=λ== →

−=+−=−

→ →

−=+−=−

0303061035

=−=−

−

ccc))) 3x417y;5x15x319y2x5

34y2x819y2x517yx4 sumando

E

E2

2

1

−=−==⇔−=− →

=+−=−−

→ →

=+=+ −

.

0155205514

≠=−=

ddd))) .I.S47033y12x18

14y12x1811y4x67y6x9 sumando

E3

E2

2

1

⇒= →

=+−=−

→ →

=+−=−

036364669

=−=−

−

eee))) 341x,ySi.I.C.S,00

30y120x9030y120x90

5y20x156y24x18 sumando

E6

E5

2

1 λ−=λ== →

=+−=−−

→ →

=+=+ −

036036020152418

=−=

fff))) 11

886y,1091402x1402x109

506y77x88896y77x21

46y7x8128y11x3 sumando

E11

E7

2

1

=

=⇔= →=−=+

→ →

=−=+

0109882178

113≠−=−−=

−

Resolución de sistemas 2 x 2 mediante determinantes

! Resuelve, aplicando x = AAx e y =

AAy

, los siguientes sistemas de ecuaciones:



aaa)))

−=−=+−=

−=

==+

+=−

−

=

⇒

=+=−

1126286

2062926

2453

24733

y

626

15620610146

245322573

x

2y2x473y5x3

.

bbb)))

=−−=

−−−=

−

=

=−

−=−−−−=

−

−=

⇒

=−=+

83166

83166

285523165

11745

137335

y

83415

83415

285552363

117451113433

x

13y11x733y4x5

.

ccc)))

−=−=+

+−=

−

−−=

==+

+=

−

−=

⇒

−=+−=+

564320

105440360

952660586

y

364

1921054

12072

952696028

x

60y9x58y2x6

.

ddd)))

−=−

=−−−=

−

=

=−−=

−−−−=

−

−=

⇒

=−=+

510

5064656

2612

28612

y

31030

64282

2612

22811

x

28y2x61yx2

EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página "" ) 111 Calcula el valor de estos determinantes :

2007

)d00

141373)c

333111

)b7413

)a−



"""##$##"""

aaa))) 174217413

=−= . bbb))) 3333333111

−= = 0.

ccc))) =00

1413730 � 0 = 0. ddd))) =

− 2007

-14.

"""##$##""" 222 Calcula :

bcacba

)d00ba

)cbaba)b

dcba

)a 33

22

"""##$##"""

aaa))) cbaddcba

−= . bbb))) ( )abbababababa 222332

33

22−=−= .

ccc))) =−= 0000ba

0. ddd))) =−= abcabcbcacba

0.

"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página "# ) 111 Calcula los siguientes determinantes :

120011309

)b869630415

)a −

"""##$##"""

aaa))) 144180108541208·1·06·6·59·3·49·6·14·0·68·3·5869630415

−=−−+=−−−++= .

bbb))) 3691)·1·(09·2·03·1·00·0·03)·1·(21·1·9120011309

=−=−−−−+−+=− .

"""##$##""" 222 Halla el valor de estos determinantes :

100091100594710

)b103121140

)a−

"""##$##"""



aaa))) )1·(2·33·1·4)1·(0·11·2·0103121140

−−+−+=−

- 0·0·1- 1·1·4 = 12 + 6 � 4 = 14.

bbb))) 100091100594710

= 10·10·10 + 0·0·59 + 47·91·0 � 0·10·59 � 0·91·10 � 0·47·10 = 1000

"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #$ ) 333 Justifica sin desarrollar, estas igualdades :

04111000713

) =−

a

1428192714

)−−−

b 0719427792147

) =c 0015114

101145) =d

"""##$##""" aaa))) Una de las filas es nula, luego el determinante es nulo (propiedad 2).

bbb))) F3 = - 2F1, dos filas proporcionales, determinante nulo ( P6). ccc))) F3 = 10F2 + F1, dos filas proporcionales, luego determinante nulo (P6). ddd))) F1 = 10F2 + F3, dos filas proporcionales, luego determinante nulo (P6).

"""##$##""" 444 Teniendo en cuenta el resultado del determinante que se da, calcula sin desarrollar :

1111305 =zyx

"""##$##"""

aaa))) .31·3111305zyx

3111305z3y3x3

===

bbb))) .11·1111305zyx

5·51

1115301

z5y5x5

3

2

1

F

F5

F51

==→ → →

ccc)))

=+++++

=+++

++++

=+++++

111305zyx

zyx305zyx

1z1y1xzyxzyx

·21z1y1x

305zyx

1z1y1xz2y2x2zyx

1z1y1x3z2y25x2

zyx0 + 0 + 1

= 1. """##$##"""



EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #% ) 111 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz :

−

−

=

43005114621572645132

M

"""##$##"""

Menores de orden 2: 00014

171077251

=−=−−=−

.

Menores de orden 3:

=−−−−++−=−

=−−−−−−−++=−

−

.21)1·(5·34·2·10·6·10·5·26·3·14·1·1430511621

.107)1·(6·67·3·25·2)·1()1)·(1·(75·2·66·2·3621726513

"""##$##""" 222 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12 , a33 y a43 .

−

=

7564321153126420

A

"""##$##"""

( ) 2)3·1·75·3·25·2·44·3·35·5·17·2·2(754321532

·1A,754321532

1221

1212 =−−−++−=−=α−==α + .

( ) 108)0·5·67·2·26)·1·(44·5·26·6·27)·1·(0(764512620

·1A,764512620

3333

3333 =−−−−++−=−=α−=−=α +

( ) 16)0·5·13·2·26)·1·(11·5·26·1·23)·1·(0(311512620

·1A,311512620

4334

4343 −=−−−−++−−=−−=α−=−=α +

"""##$##"""



EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #& ) 111 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas y comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos:

489625173

−−

"""##$##""" ' Mediante la regla de Sarrus:

456140144184037824)5(4·78·6·39·2)·1()1)·(5·(89·6·74·2·3489625173

=+−+++=−−−−−−−++=−−

' Desarrollo por la 1ª fila:

45658518120)1840()5420(7)488(38925

14965

74862

3489625173

=++−=−−−−−−−=−

−−

−=−−


45623442180)6324(6)912(2)828(58973

64913

24817

5489625173

=++=−−+++=−−

+−

=−−


456164104396)356(4)518(8)242(92573

46513

86217

9489625173

=+−=++−−+=−

+−

−−

−=−

−

' Desarrollo por la 1ª columna:

456396180120)242(9)828(5)488(36217

94817

54862

3489625173

=++−=++++−=−

+−

+=−−


45610442518)518(8)912(2)5420(76513

84913

24965

7489625173

=−+=−−++−−−=−

−−

−+

−−=−

−


45616423458)356(4)6324(6)1840(12573

48973

68925

1489625173

=++=++−−−−−=−

+−−

−=−−

"""##$##"""



222 Calcula los siguientes determinantes : """##$##"""

.2030)4)·3·(97·7·14·4·11)·3·(74·1·49·4·7(7911744437

7

9101967374044307

)a −=−−−−−++−=−

−=

−

Desarrollando por la 2ª columna.

( ) +−−−−−−++−−=−−

+−−

−=−−

)1·(4·51·4·2)1·(3·3)1·(4·34·2·35)·1·(12230141113

2523414311

2

2002523041413113

)b

2(3·4·2+ 3·1·(-1)+0·1·(-1)-0·4·(-1)-1·1·2-3·3·(-1))= -2·28+2·28 = 0. C4 = C1+ C2 + C3. Desarrollando por la última fila.

"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #( ) 111 Calcula el rango de las siguientes matrices :

−

−

=

812307601314211013410321

A

=

1623610128123565623235124

B

−

−

=

00011100000121111001

C

−−−−−

=

2201832773151012

D

"""##$##"""

aaa))) F3 = F1 + F2 y F4 = F2 + F3 y 076113

21≠−=−−=

−luego Ran(A) = 2.

bbb))) El menor 084123224

≠=−= , luego hay dos filas linealmente independientes. Si

añadimos la 3ª 0356232124

= , ya que F3 = F1 + F2, 08481209072501441256632524

≠=−−−++= ,

luego las tres primeras filas son linealmente independientes. Ahora comprobamos si la 4ª fila es linealmente independiente con las demás:



0

23610121235662325124

= ya que F4 = F1 + F2 + F3, 0

231610121285665325324

= , ya que F4 = F1 + F2 + F3 luego

Ran(B) = 3.

ccc)))

−

−

00011100000121111001

010111

≠=−

, 02100012110

≠−=−

, 2

0001100001211100

−=−

−

, luego hay

4 filas linealmente independientes y Ran(C) = 4.

ddd))) F3 = F1 + F2, luego podemos prescindir de ella. 031512

≠−= , 09201315

012≠−=−

luego Ran(D) = 3. """##$##"""

EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #( ) 111 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles :

=−−=+

=−

3223

523)

yxyxyx

a

=+=−=+

411702754

)yxyxyx

b

=+−−=+−=++

644314372

)tzyx

tyxzyx

c

"""##$##"""

aaa))) M* =

−−

−

3|122|31

5|23

M es de 3x2 y 0113123

≠=−

, luego Ran(M) = 2.

066308527312231

523=+−−+−=

−−

−luego Ran(M*) = 2.

Como Ran(M*) = Ran(M) = nº de incógnitas = 2, el sistema es compatible y determinado.

bbb))) M* =

−

4|1170|127|54

M es de 3x2 y 01410412

54≠−=−−=

−, luego Ran(M) = 2.



01474049154164117012754

≠+=−++−=− luego Ran(M*) = 3.

Como Ran(M*) = 3 ≠ Ran(M) = 2 el sistema es incompatible. ccc)))

−−−=⇒

=+−−=+−

=++

6|44311|40137|0211

*M6t4z4y3x

1t4yx37z2yx

0121244431413011

,0122184431

013211

,03113

11=−++−=

−−=++−=

−−−≠−−=

−, luego Ran

(M) = 2, ahora vemos el rango de la matriz ampliada:

07618371636631113711

≠−=−+++−−=−− luego Ran (M*) = 3.

Como Ran(M) = 2 y Ran(M*) = 3, el sistema es incompatible. """##$##"""

222 Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:

=−=+=−+

022213

)zyzxzyx

a

=−=+=−+

522213

)zyzxzyx

b

−=+−−=+−=++

1344314372

)tzyx

tyxzyx

c

"""##$##"""

aaa)))

−

−=⇒

=−=+

=−+

0|1202|1021|131

*M0zy22zx2

1zy3x

2)M(Ran0624120

102131

,060231

=⇒=+−−=−

−≠−= , en la matriz ampliada C4 = C1, luego

Ran (M*) = 2, y como el nº de incógnitas =2, el sistema es compatible e indeterminado.

bbb)))

−

−=⇒

=−=+

=−+

5|1202|1021|131

*M5zy22zx2

1zy3x

0624120

102131

,060231

=+−−=−

−≠−= luego Ran(M) = 2. Estudiamos ahora el rango de la

matriz ampliada: 0303044520202131

≠−=−−= , luego Ran(M*) = 3.



Como Ran(M) = 2 y Ran(M*) = 3, el sistema es incompatible.

ccc)))

−−−−=⇒

−=+−−=+−=++

13|44311|40137|0211

*M13t4z4y3x

1t4yx37z2yx

0121244431413011

,0122184431

013211

,043113

11=−++−=

−−=++−=

−−−≠−=−−=

−, luego

hay dos filas linealmente independientes y Ran (M) = 2. Veamos ahora el rango de la matriz

ampliada: 2*)M(Ran03937163131331113711

=⇒=++++−=−−

− , como los rangos son

iguales el sistema es compatible y como el nº de incógnitas es 4, es indeterminado ( biparamétrico).

"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #) ) 111 Resuelve mediante la regla de Cramer :

=+−=+−

−=+−

9842

2453)

yxzyxzyx

a

=+=+−=−+

103282

)yxzyxzyx

b

"""##$##""" aaa)))

51

5

0114125319118122431

AA

z,212

0114125310914825241

A

Ay,7

17

011412531

0194185324

AA

x zyx −=−

=

−−

−−−−

===−−=

−−

−−

===−−=

−−

−−−−

==

bbb)))

36

18

032111111

1032811211

AA

z,06

0

032111111

0102181121

AA

y,56

30

0321111110310118112

AA

x zyx =−−=

−−

−

===−

=

−−

−

===−−=

−−

−−

==

"""##$##"""



222 Resuelve aplicando la regla de Cramer :

=++=+−=+−

1175324352

)zyxzyxzyx

a

−=++=+=−−

17526443

)zyx

zyzyx

b

"""##$##""" aaa)))

21326

7151213521115321452

AA

z,0130

7151213527115131342

A

Ay,5

1365

7151213527111123354

AA

x zyx −=−=

−−

−−

====

−−

====

−−

−−

==

bbb))) 0752110143

=−−

y 031043

≠=−

luego Ran(M) = 2 pero 0751116144

≠−

−−luego

Ran(M*) = 3 y el sistema es incompatible. """##$##"""

EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página #" ) 333 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones :

=+−=+−=+−

07232313

)zyzyxzyx

a

=+−=+−=+−

107232313

)zyzyxzyx

b

"""##$##"""

aaa)))M* =

−−−

0|7203|2131|311

|M| = 0214187720213311

=++−−=−−−

. 02311311

≠=+−=−−

, Ran(M)

= 2 .

Como también 0020313111

=−−−

pues C1 = C3, Ran(M*) = 2, el sistema es compatible e

indeterminado, para resolverlo tomamos las ecuaciones que hacen que el rango sea 2, es decir la dos primeras ecuaciones pero tomando z como parámetro pasándola al otro miembro:

22

22z

2z23z31

1311

1z231z31

MM

xz23yx3

z31yx x +λ=+=−++−=

−−

−−−−

==⇒−=−

−=−haciendo z = λ



27

2z7

2z93z23

1311

z233z311

MM

y y λ==+−−=

−−−−

== luego la solución es:

λ=λ=+λ= z,

27y,

22x

bbb))) M* =

−−−

10|7203|2131|311

la matriz de los coeficientes M es la misma luego Ran(M) = 2, pero

0103066101020313111

≠=++−−=−−−

luego Ran(M*) = 3 que es distinto de Ran(M) = 2 lo que

hace el sistema sea incompatible. """##$##"""

444 Resuelve estos sistemas :

=+−=+=+=+

65453

)

zyxzxzyyx

a

=+−=+=+

1322362443

)yxyxyx

b

"""##$##"""

aaa))) M* =

− 6|1154|1015|1103|011

Como las dimensiones de M son 4x3, el rango máximo de M puede ser 3, lo comprobamos:

211101110011

=+= , luego Ran(M) = 3.

0000620051103011

21700620051103011

9160111051103011

6115410151103011

*M

34

3

2

1

24

23

2

1

14

13

2

1

F7F2

F

F

F

F6F

FF

F

F

F5F

FF

F

F

→→→→

→ →

→→

−−−

→ →

→→

−

=

−+

+

−

− = 0,

luego Ran(M*) = 3. Como Ran(M*) = Ran(M) = nº incógnitas = 3, el sistema es compatible y determinado, para resolverlo tomamos las tres ecuaciones que sabemos que son linealmente independientes, las tres primeras:



326

101110011401510311

AA

z,224

101110011141150031

AA

y,122

101110011104115013

AA

x4zx5zy3yx

zyx ============⇒

=+=+=+

La solución es ( x = 1, y = 2, z = 3).

bbb))) M* =

− 1|3223|624|43

M es de 3x2, luego el rango máximo es 2, lo comprobamos 0108186243

≠=−= ,

Ran(M) = 2. Ahora probamos si el rango de M* puede ser tres:

03092078481842418132

2362443

≠−=−−+−+=−

, luego Ran(M*) = 3 y el sistema es

incompatible. """##$##"""

EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página ## ) 111 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones :

=+=+−=+−

002053

)yxzyxzyx

a

=+−=−+=++−=−+

05162020420411

)

zyxzyxzyxzyx

b

"""##$##"""

aaa))) 53251011121153

−=−+−=−−

≠ 0, luego Ran(M) = Ran(M*) = n = 3 y la única solución

que tiene el sistema es la trivial x = 0, y = 0, z = 0.

bbb))) M =

−−

−−

5162211

1424111

018441161188211

1424111

≠−=−−+++−=−

−−

,Ran(M) =

Ran(M*) = n = 3 luego la solución es la trivial x = 0, y = 0, z = 0. """##$##"""



222 Resuelve estos sistemas :

aaa))) 09151359951

311111

M951

311111

M0z9y5x0z3yx

0zyx=−++−+−=

−−

−−=⇒

−−

−−=⇒

=−−=++

=−− el

rango es menor de 3, 2111111

=+=−

luego Ran(M) = Ran(M*) = 2 < n = 3 y el sistema es

compatible e indeterminado, para resolverlo tomamos las ecuaciones que sabemos que son linealmente independientes, las dos primeras y pasamos z al segundo miembro que tomamos como parámetro:

z22

zz3

1111z31

z1

AA

y,z2

z3z

11111z31z

AA

xz3yx

zyx yx −=−−=−

−==−=−=

−−

−

==⇒

−=+=−

Si hacemos z = λ, la solución es ( x = - λ, y = -2λ, z = λ).

bbb)))

−−−−=⇒

=−+−=−−=++

0|11110|20130|0511

*M0tzyx0t2yx30z5yx

01435151111013511

≠−=−+−−=−− luego Ran(M) = Ran(M*) = 3 < n = 4, luego el sistema es

compatible e indeterminado, tomamos t como parámetro pasándolo al segundo miembro y resolvemos el sistema:

t21

14t7

1110135111t10t23501

AA

y,t21

14t7

11101351111t01t2510

AA

xtzyxt2yx30z5yx

yx −=−

=

−−

===−−=

−−

−−

==⇒

=+−=−

=++

0140

111013511t11t213

011

AA

z z =−

=

−−

−−

== , si hacemos t = λ, la solución es (x = λ/2, y = -λ/2, z = 0, t = λ).

"""##$##"""



EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página *$ )

111 Discute y resuelve:

aaa)))

=++−=−=++

0z6y4x1yax0azyx

bbb)))

=+=−=+

16y3x513ykxkyx

"""##$##"""

aaa))) M* =

−−0|6411|01a

0|a11 hallamos 6a5a4a6aa46

64101aa11

M 22 −−=−++−=−=

luego el rango de M depende de a.

Resolvemos 4a2 � 5a - 6 = 0,

−=−

==±=±=+±=

43

86

28

16

8115

81215

896255a

DDDiiissscccuuusssiiióóónnn

" Si a = 2 M* =

−−0|6411|012

0|211

# Como 0My032112

11=≠−=−−=

−Ran(M) = 2.

# Comprobamos el determinante que queda con los términos independientes:

0341041112

011≠=+−=−− luego Ran(M*) = 3

Como los rangos son distintos el sistema el incompatible.

" Si a = -3/4 M* =

−−−

−

0|6411|014/3

0|4/311

# Como 0My041

431

14/311

=≠−=+−=−−

Ran(M) = 2.

# Comprobamos el determinante que queda con los términos independientes:

0341

041

1143

011≠=+−=−−− luego Ran(M*) = 3

Como los rangos son distintos el sistema el incompatible.



" Si a ≠ 2 y a 4/3−≠ Ran(M) = Ran(M*) = nº de incógnitas = 3, el sistema es compatible y determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:

)3a4)(2a(6a

64101aa1160101aa01

MM

y,)3a4)(2a(

6a4

64101aa11640011a10

MM

x yx

+−−=

−

−

==+−

+−=

−

−−

==

)3a4)(2a(3

64101aa1104111a

011

MM

z z

+−=

−

−−

==

bbb))) M* =

−

16|3513|1kk|11

hallamos el determinante de M*:

10k11k339k16k565k3161635131kk11

22 +−=−−+++−=− .

Resolvemos la ecuación :

3k2 � 11k + 10 = 0

=±=−±=⇒352

6111

612012111k

" Si k = 2, M* =

−

16|3513|122|11

Como 03112

11≠−−=

− Ran(M) = Ran(M*) = nº de

incógnitas = 2, luego el sistema es compatible y determinado. Para resolverlo nos sobra una ecuación (la tercera pues sabemos que las dos primeras son linealmente independientes):

=−=+

13yx22yx

33

9

1211

13221

MM

y,53

15

1211

11312

MM

x yx −=−

=

−

===−−=

−

−==



" Si k = 5/3, M* =

−

16|3513|13/5

3/5|11 Como 0

38

13/511

≠−=−

Ran(M) = Ran(M*) = nº

de incógnitas = 2, luego el sistema es compatible y determinado. Para resolverlo nos sobra una ecuación (la tercera pues sabemos que las dos primeras son linealmente independientes):

=−

=+

13yx35

35yx

6

233/89/92

13/511

133/5351

MM

y,211

3/83/44

13/511113

135

MM

x yx −=−

=

−

===−

−=

−

−==

" Si k ≠ 2 y k ≠ 5/3 Ran(M*) = 3 > Ran(M) = 2 y el sistema es incompatible. """##$##"""

222 Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:

=++−=+−

0y)1a(x)1a(0yx)1a(

"""##$##"""

M*=

+−

−0|1a1a0|11a

Hallamos )1a(aaa1a1a1a1a

11aM 22 −=−=+−−=

+−−

= .

Si igualamos a cero y resolvemos la ecuación a(a -1) = 0, a = 0, a = 1.

" Si a = 0 M * =

−−

0|110|11

Ran(M) = Ran(M*) = 1 ya que 1111

−−

= 0, pues las dos

filas son iguales 0 nº de incógnitas n = 2, luego el sistema es compatible e indeterminado. Si utilizamos una de las dos ecuaciones que quedan � x + y = 0, y = x, y llamando x = λ, y = λ.

" Si a = 1 M* =

0|200|10

Ran(M) = Ran(M*) = 1 ya que sólo hay una columna no

nula, como hay dos incógnitas el sistema es compatible y determinado:

==

0y20y

si hacemos x =

λ, tenemos la solución ( x = λ, y = 0). " Si a ≠ 0 y a ≠ 1, Ran(M) = Ran(M*) = 2 = nº de incógnita y la única solución que tiene el sistema es la trivial x = 0, y = 0.

"""##$##""" EJERCICIOS PROPUESTOS ( Página *+ )

111 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:



! A =

−−−

−−

352301111

" Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:

0131565352

301111

≠−=+−+=−−

−−−

luego admite inversa

" Matriz de los adjuntos

AAdj =

−−−−−−−−−

=

−−

−−

−−−

−−

−−−−

−−−

−

−−

−−−

−−

1233585915

0111

3111

3011

5211

3211

3511

5201

3231

3530

" Traspuesta de los adjuntos

( )

−−−−−−−−−

=1352593815

A tAdj

" Inversa

A-1 = ( )

=

−

−−−−−−−−−

=1352593815

11352593815

AA tAdj

!

−−

=2112

B


03142112

≠−=+−=−−

luego admite inversa.


AAdj =

−−=

−−

−−2112

2112




( )

−−

=2112

A tAdj

" Inversa

A-1 = ( )

−

−=

−−

−=−

−−

=

32

31

31

32

2112

31

32112

AA tAdj

"""##$##""" 222 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

!

=

7241

A


01877241

≠−=−= luego admite inversa.


AAdj =

−

−=

−

−1427

1427


( )

−

−=

1247

A tAdj

" Inversa

A-1 = ( )

−

−=

−

−

−

=12

471

1247

AA tAdj

! B =

−

351120014


0320124351120014

≠=−−=−

luego admite inversa




AAdj =

−−−−

=

−−

−

−−

−−

−

84121123211

2014

1004

1201

5114

3104

3501

5120

3110

3512


( )

−−−−

=82124121131

A tAdj

" Inversa

A-1 = ( )

−−

−

−

=

−−−−

=

−−−−

=

387

32

344

31

311

31

82124121131

31

382124121131

AA tAdj

"""##$##"""

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

111 Sabiendo que 7dcba

= , justifica las siguientes igualdades, citando en cada caso las propiedades que has

aplicado: """##$##"""

aaa))) dcba

ddbb

dcba

ddcbba

=−−

+=−−

ya que el segundo es nulo por tener dos columnas iguales.

bbb))) 427·6dcba

·6dcba

2·3d2c3b2a3

==== Si multiplicamos C1 por 3 y C2 por 2.

ccc))) 7dcba

cdab

−=−= ya que si permutamos alguna línea del determinante, el determinante cambia

de signo.

ddd))) 147·2dcba

2d2c2

bababa

d2bc2aba

−=−=−=−−

+=−−

ya que el primer determinante es

nulo al ser F1 = F2 y que para multiplicar un determinante por un número se multiplica una de sus líneas ( la F2 en este caso).

"""##$##"""



222 Si 5qpnm

−= , ¿cuál es el valor de cada uno de estos determinantes?

"""##$##"""

aaa))) 5qnnm

qnqn

3qnnm

qnq3n3

qnnm

qnq3pn3m )3)2)1

−==+=+=++

1) Suma de determinantes. 2) Producto de un número por una matriz. 3) El segundo determinante es nulo ya que F1 = F2.

bbb))) 5)5(qpnm

nmqp

nqmp )2)1

=−−=−==

1) El determinante de una matriz coincide con el su traspuesta. 2) Al permutar alguna línea el determinante cambia de signo.

ccc))) 15)5·(3qpnm

3pqmn

·3pq3mn3 )2)1

−=−==−=−−

1) Producto de un número por un determinante. 2) Al permutar dos columnas, el determinante cambia de signo.

ddd))) 10)5(2qpnm

2nmqp

2nqmp

2n2qm2p )3)2)1

=−−=−===

1) Producto de un número por una matriz. 2) Al trasponer una matriz, sus determinante no varía. 3) Al permutar dos filas, el determinante cambia de signo.

"""##$##""" 333 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades:

aaa))) 32

7133

7235

73−

+−

=−

bbb))) 02410

0216

0234 −

+−

=−

"""##$##""" 444 Resuelve estas ecuaciones:

aaa))) 12x1x1x1x1

=+−−+

bbb))) 0xx

x212x2 =

−−

aaa))) 34

12x12x4xx21xx21)x1()x1(x1x1x1x1 2222 ==⇔==−+−++=−−+=

+−−+

bbb)))

−===

⇔=−=+−−=−−−=−−

1x1x0x

0)1x(x)x21x2x(x)x21(x)2x(xxx

x212x 2222

"""##$##"""



555 Calcula el valor de los determinantes:

aaa))) 08767161

071181

=+−+−=−

( C3 = C2 � 7C1).

bbb))) 040930203615535

112643

=+−−+−=−

−−

(F3 = F1 + F2).

ccc))) .252449101370087

−=+−=−

ddd))) .10188043202130

=+−=−

"""##$##""" 666 ¿Qué valor de a anula estos determinantes?

aaa))) 1a07a7a43545a3a11111543

=⇔=+−=−+−++−=−−

−

bbb)))

03a2a6a66aa6a3a3)1a(6)6a)(1a()1a(3021a36a0111a

22 =−+=+−−−++−=−−+−+−=−

+−−

−

=±−=+±−=⇔=−+3

12

422

1242a03a2a2

ccc))) 3a012a41244a4a32220112

22

2±=⇔=−=−−+=

ddd)))

=+−−=

⇔=+−−=−−−++=+−−−+++=+

06aa0a

0)6aa(aaa4a24a4)1a(a22aa)1a(42a1a21111a

22232

−

=−±=

−+±=⇔=+−−

23

251

22411a06aa2

"""##$##"""



777 Calcula el valor de los siguientes determinante aaa)))

321441202420192108981544643

981054406430

2101

351312422232

2101

13

13

12

1

F3F

F2F

F2F

F

−=+++−−−=−−−

=

−−−

−

→ → →

→

−

−−

−

−

−

bbb))) .18361812·318712312211

3712413211

0712341313120211

−=−=−=−

−−

=

−

ccc))) 024148301082110743

1082011007430

4321

2143542112124321

13

13

12

1

F3F

FF

F2F

F

=−−+=−−−

−−−=

−−−

−−−

→ → →

→

−

−

−

ddd))) 938)225368130260115360(92313

4105154

9231304105015401231

29874105031221231

13

3

12

1

F7F

F

F2F

F

=−−−+−−−=−

−−=

−−

−−

→→

→→

−−−−

−−

+

+

"""##$##""" 888 Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el resultado:

aaa)))

=

1134

A

Primero hallamos el determinante de la matriz para saber si es regular:

01341134

≠=−= , luego admite inversa.

Matriz de los adjuntos

AAdj =

−

−=

−

−4311

4311

Traspuesta de los adjuntos

( )

−

−=

4131

A tAdj

Inversa

A-1 = ( )

−

−=

−

−

=4131

14131

AA tAdj



bbb)))

−=

4321

B


010644321

B ≠=+=−

= , luego admite inversa.


BAdj =

−=

−−

−1234

1234


( )

−

=1324

B tAdj

Inversa

B-1 = ( )

−

=

−

=1324

101

101324

BB tAdj

ccc))) C =

101030102


0336101030102

≠=−= luego admite inversa


CAdj =

−

−=

−

−−

−

603010303

3002

0012

0310

0102

1112

1010

0130

1100

1003


( )

−

−=

603010303

C tAdj

Inversa



C-1 = ( )

−

−=

−

−

=20103/10101

3603010303

CC tAdj

ddd))) D =

−−020102

201


01028020102

201≠−=−−=

−− luego admite inversa


DAdj =

−

−−=

−−

−

−−

−−

−−

−−

−

050204402

0201

1221

1020

2001

0021

0220

2002

0012

0210


( )

−

−−=

024500042

D tAdj

Inversa

D-1 = ( )

−

−−

=

−

−−

=

051

52

2100

052

51

10024500042

DD tAdj

"""##$##"""

999 Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales

aaa)))

=

0330

X1221



Sea X = ⇒

=

++

++⇔

=

⇒

0330

db2ca2d2bc2a

0330

dcba

·1221

dcba

=−=⇔=− →=−−

=+ →

→

=+=+

=−=⇔=− →

=+=−−

→ →

=+=+

−

−

2d;1b3b30d2b4

3d2b0db23d2b

2a;1c3c33ca2

0c4a23ca20c2a

SumandoE2

E

SumandoE

E2

2

1

2

1

luego la matriz buscada

es : X =

−

−2112

.

bbb))) X · ( )214151

=

−−

Sea X = ( )ba ya que el resultado es de 1 x2 y el factor conocido es de 2x2.

( ) ( ) ( )

→=+=−−

→ →

=+=−−

⇒=+−−=

−− Sumando

E

E4

2b4a54b4a4

2b4a51ba

21b4a5ba4151

·ba2

1

a = 6; y b = -1- a = - 1 � 6 = -7, luego X = ( 6 - 7).

"""##$##"""

Unidad N Œ Resolución de sistemas mediante determinantes ! 11...

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