PENSAMOS NUEVOS PROBLEMAS

1- El conserje del edificio suele tomar el ascensor en el piso 4, donde está su casa, y sube 2 pisos para limpiar la terraza y luego baja 7 para acomodar la basura. ¿En qué piso se encuentra la basura?

2- En el diario aparece la siguiente tabla de posiciones, después de terminar la tercera fecha:

Equipo Puntos Goles a favor Goles en contra Diferencia de golRosario 9 9 2 A favor 8Capital 6 7 4 A favor 2

Mar del Plata 3 4 7 En contra 2Necochea 0 2 9 En contra 8

a) ¿Qué te llama la atención de la tabla?b) Si en la cuarta fecha los resultados son los siguientes: Rosario 2 – Capital 0 y

Mar del Plata 2 – Necochea 4. ¿Cómo quedaría la tabla?

3- En Alemania la temperatura suele ser muy baja, generalmente al mediodía de los inviernos la temperatura es de 6°C y luego baja 8°C para llegar a la temperatura mínima a las ocho de la noche, ¿a qué temperatura llega?

4-

a) El helicóptero se encuentra a ____ m sobre el nivel del mar.b) La grúa que sostiene al submarino se encuentra a 10 m _____ el nivel del mar.c) La canasta del globo aerostático se encuentra a 30 m ______ el nivel del mar.d) La carnada del pescado del globo se encuentra a _____ m por _______ del nivel

del mar.e) La antena del bar se encuentra a _______ m por _____ del nivel del mar.f) El submarino se encuentra a _____ m por ______ del nivel del mar.g) La distancia entre el bar hundido y el helicóptero es de ______ m.h) La distancia entre el buzo y el submarino es de ______ m.

Cada vez que se señala una distancia se debe indicar desde donde será medida. En el gráfico anterior, para indicar a qué distancia se encuentra el submarino en el mar o cuál es la elevación del helicóptero, se estableció como referencia _____________________.

-2. -5.

-11.

-267. -30000

NUESTRO NUEVO CONJUNTO

Hasta el momento nosotros conocemos el conjunto de los números naturales, el cual podemos graficar de la siguiente manera.

Ν

Como este conjunto no nos permite resolver todas las situaciones que se nos presentan, por ejemplo las trabajadas anteriormente, por lo tanto AMPLIAMOS el mismo agregando a los números naturales (números enteros positivos) un nuevo conjunto que son los número entero negativos. De esta manera queda determinado el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS.

Ζ

Ν

1- Mirando la teoría determina si los siguientes números pertenecen (∈ ) o no pertenecen (∉ ) al conjunto indicado.

a) 15 ____________ Ν b) 267 ____________ Ν

c) -123 ____________ Ν d) -975 _______ Ζe) – 15 ____________ Ζ f) 15 ____________ Ζ

1. 12. 1500.

3.5.

6. 100.

234.200000.

25.7.

1. 12. 1500.

3.5.

6. 100.

234. 200000.

2- Completá con el número entero que corresponda.

a) Un ascensor estaba en el cuarto piso y bajó 6 pisos; llegó al ____.

b) Del piso – 4 subió 9 pisos; ahora está en el ____.

c) La temperatura era de -5ºC y subió 8ºC; ahora es de ____.

d) La temperatura era de 6ºC y bajó 13ºC; ahora es de ____.

e) El buzo que estaba a – 15 m bajó 8 m más; ahora está a ____.

f) El buzo está a – 21 m y subió 18 m; ahora está a ____.

Como ya habíamos visto antes, lo número pueden representarse en un recta. Desde este momento, nosotros vamos a poder terminar de determinar esta recta.

RECTA NUMÉRICA

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

1) Identifica los valores de la tabla y colócalos en la recta numérica.

Ciudad Temperatura mínima en el año

Barcelona3

Madrid4

Sevilla-6

Cádiz-3

San Sebastián0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ν

1) La familia de Susana está formada por 6 integrantes, que son los padres y cuatro hijos. Susana consideró su edad como 0 y ordenó las edades de todos sus familiares en una recta numérica.

-6 -3 0 7 24 26

a) ¿Cuántos hermanos mayores tiene Susana?

b) ¿Cuántos menores?

c) ¿Cuántos años le lleva el padre a la madre?

d) Si Susana tiene 17 años, ¿cuál es la edad de cada uno de los miembros de su familia?

3) Completá los espacios en blanco a partir de la información que acompaña al diagrama.

Ζ

a) 15 ∈ Ν b) -2 ∉ Ν

c) -769 ∉ Ν d) 23 ∈ Ζ

e) – 15 ∈ Ζ f) -23 ∈ Ζ

g) – 65 ∈ Ζ h) 103 ∈ Ζ

El módulo o valor absoluto de un número es su distancia al cero en la recta numérica. El módulo de un número es una distancia y es siempre positivo. Al módulo de un número “n” se lo simboliza |n|.

|-8|=8 |10|=10

| | | | | -8 -4 0 2 10

|-4|=4 |2|=2

4) Volvemos a mirar la recta numérica para sacar algunas conclusiones.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

a) ¿Qué distancia hay entre el 3 y el 0?

b) ¿Qué distancia hay entre el 0 y el -3?

c) ¿Cómo son las distancia entre si?

Debido a esto podemos decir que el VALOR ABSOLUTO de 3 y -3 es el mismo porque la distancia en la recta numérica de ambos números es igual a 3 unidades.

5) Colocá V o F según corresponda en cada caso.

a) |3| = 3 c) |-6| < 6 e) |-4| = 4

b) |-5| = 5 d) |-8| < |7| f) |-9 |> |5|

6) Completá la tabla determinando los valores absolutos y los números enteros según corresponda.

Valor Absoluto Número entero negativo Número entero positivo

5

-100

34

256

-3

7) Ubicá en las rectas numéricas los números enteros que respondan a los valores absolutos solicitados en cada caso.

a) VALOR ABSOLUTO = 4

0

b) VALOR ABSOLUTO = 10

0

c) VALOR ABSOLUTO = 6

0

d) VALOR ABSOLUTO = 2

0

NÚMERO QUE CAMBIAN

1) Colocá “más arriba” o “más abajo” según corresponda.

a) Planta baja ___________ 1° piso.b) 2° subsuelo ___________ 2° piso.c) 3° piso ___________ 1° piso.d) 2° subsuelo ___________ 1° subsuelo.e) 3° subsuelo ___________ Planta baja.

2) Colocá V o F según corresponde

a) Siempre un número negativo es menor que un número positivo. ____

b) Los valores positivos siempre están a la izquierda de los valores negativos en la recta numérica. ____

c) El valor absoluto de un número positivo siempre es mayor que el módulo de un número negativo. ____

3) En la siguiente imagen hay varios números enteros perdidos en las caras de los dados. Encuéntralos y ordénalos de < a >. No repitas los números iguales.

4) Completá los espacios en blanco con los números anteriores y posteriores.

a) 3

b) 0

c) -2

d) -6

5) Indicá con el signo correspondiente (<, >) qué relación hay entre cada par de números enteros.

a) -3 3

b) 2 0

c) -5 -2

d) 3 -6

e) -1 -4

6) Observá la recta numérica y determina que valores representa cada una de las letras.

f a c 0 d b e

a) b) c) d) e) f)

A TRABAJAR

1) Resuelve las operaciones en la recta numérica.

a) -3 + 5 =

b) 2 +1 =

c) -2 + (-2) =

d) 4 + (-3) =

e) -4 + 0 =

(-5) + (+3) = (-2) (+5) + (-3) = (+2)(-5) + (-3) = (-8)

Con el mismo signo los sumandos.

Se suman los valores absolutos y se mantiene

el signo

Con signos diferentes los sumandos.

Se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número con

valor absoluto superior

(+5) + (+3) = (+8)

Adición de números enteros

2) Un hospital que está en actividad, tiene siete pisos y tres subsuelos. Si los empleados se movilizan siempre saliendo de planta baja, en que piso se encuentra cada uno. Demuestra gráficamente y con la operación.

Cardiólogo: Primero baja 2 pisos y después sube 6 pisos.Enfermera: Primero sube 6 pisos y después baja 8 pisos.Director: Primero baja 3 pisos y después sube 4 pisos.Kinesiólogo: Primero sube 7 pisos y después baja 5 pisos.Camillero: Primero baja 1 piso y después sube 6 pisos.Agente de seguridad: Primero sube 4 pisos y después baja 7 pisos.

3) Completá el siguiente cuadrado mágico con los números: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5 y 7 de manera tal que la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea -3.

4) Completá estas tablas de suma.

+ -4 -2 3 + 5 -2 + -7 -8 34 3 -5 -97 1 9-5 -8 0

5) Hallá la constante y completá el siguiente cuadrado mágico.

a) Constante ____

b)

-8 12

-4 6

4 0 10

-6 -12

AHORA RESTAMOS1) Pensá y respondé si estas igualdades son correctas. Utilizá la recta numérica para verificar.

a) 5 + 5 = (+5) + (+5)b) -5 – 5 = (-5) + (-5) c) 5 – 2 = (+5) + (-2)d) 5 – 2 = (+5) – (+2)e) -3 + 5 = (-3) + (+5)

¿Qué conclusión puedes sacar mirando las igualdades “c” y “d”?

2) Representá las siguientes operaciones en una recta numérica.

a) 8 – 12 = 8 + (-12) =b) 25 – 35 =c) 90 – 80 =d) 20 – 24 =

(-5) - (+3) = (-8) (+5) - (-3) = (+8)(-5) - (-3) = (-2)

Con el mismo signo.

Es la diferencia entre el minuendo y el sustraendo.

Manteniendo el signo de los elementos.

Con signos diferentes.

Es la suma de los valores absolutos con el signo de

minuendo.

(+5) - (+3) = (+2)

Sustracción de números enteros

3) Escribí y resolvé la resta necesaria para calcular cuántos años vivió cada matemático.

Matemático

Nació en Murió en Resta para saber cuánto vivió

Aristóteles -384 -322 (-322) – (-384) =_______________=______Arquímedes -287 -212 ______________=_______________=______

Thales -640 -546 ______________=_______________=______Pitágoras -569 -500 ______________=_______________=______

Eratóstenes -257 -194 ______________=_______________=______

4) Tachá la carta para que el valor subrayado sea el correcto en cada reglón.

-5 12 -7 -4 19 2211 0 -5 5 23 34-2 -1 14 -17 6 211 0 -5 5 23 29-6 8 -8 6 0 8-6 8 -8 6 0 -85 -1 4 7 11 1910 2 0 -2 -5 3

5) Completá los espacios para que se verifiquen las igualdades.

a) + ___ - 3 = - 1b) – 5 + ___ = +2c) - ____ + 6 = +4d) – 3 - ____ = - 10e) + ___ - 10 = -8

6) Completá el siguiente cuadro

x y z x + y + z x – y + z x – y – z x + y – z (- x) + y - z-5 +3 +8+6 -1 -2

+2 -5 -15-10 +6 -11-8 -3 -12+5 -9 -8

7) Resuelve las siguientes operaciones.

a) – 9 + 7 – 8 + 5 – 2 =b) 8 - 3 +5 +6 – 9 =c) 10 +15 -34 + 49 -115 =

¿Qué dificultad se te planteó cuando los valores fueron superiores?

SUMA DE MANERA DISTINTA

Las sumas algebraicas permiten solucionar mediante una sucesión de sumas y restas. Para resolverlas se suman todos los números positivos y se le resta la suma de todos los negativos.

-3 + 4 – 5 +6 -7 = (4 + 6) – (3 + 5 +7) = 10 – 15 = - 5

1) Resuelve ahora estas sumas algebraicas.

a) 124 + 567 - 432 - 34 + 145 =b) - 4356 + 546 + 675 – 12 + 987 =c) – 324 -187 – 324 + 65 – 75 =d) 943 – 1024 + 516 +178 – 16 - 421 =

2) El saldo actual de la cuenta de Marcelo es de $450, si mañana tiene que pagar las facturas del agua ($324), del gas ($65) y del teléfono ($238). ¿cuál será el saldo de su cuenta mañana? Si deposita $300, ¿le alcanzará la plata?

3) Uní las operaciones con el mismo resultado.

+ (-8) – (-8) - (+8) – (-2) + (-3) + (-1)

- (-10) + (-4) + (-2) – (-2)

+ (-7) – (+2) - (-3) + (+3) + (-6) – (-1)

- (+5) + (-4) + (+1) – (+6)

- (+5) + (+9) - (+1) + (-5) - (-10) – (+6)

Para suprimir un paréntesis, se debe tener en cuenta el signo que lo antecede:

Si es un +, los signos que están dentro del paréntesis no cambian.a) + (+7) = + 7 b) + (-6) = -6 c) + (-7+5) = -7+5 d) + (+3-8) = +3-8

Si es un -, los signos que están dentro del paréntesis cambian. a) - (+7) = - 7 b) - (-6) = +6 c) - (-7+5) = +7-5 d) - (+3-8) = -3+8

4) El peso de cada una de las 8 bolsas que hay en un depósito se registró en una tabla.

a) Calculá el peso promedio de las bolsas.

b) Asigná el número entero que corresponda a cada bolsa respecto del promedio.

Peso 158 kg 165 kg 147 kg 138 kg 162 kg 149 kg 173 kg 156 kgNúmer

o Entero

5) El cuadro que ven a continuación muestra los resultados del grupo 2 de la última Copa Libertadores 2014, que integró el Club Atlético San Lorenzo de Almagro.

EquipoPts

PJ

PG

PE

PP

GF

GC

DG

 Unión Española 9 6 2 3 10 9 1

 San Lorenzo 6 2 2 6 2

 Independiente del Valle 8 6 2 2 10 -3

 Botafogo 6 2 1 5 -2

a) Realizá los cálculos necesarios y completá los casilleros de la tabla que están en blanco.

b) Explicá por qué la suma de los números que aparecen en la columna correspondiente a diferencia de goles es siempre el mismo valor. ¿Cuál es ese valor?

6) Colocá V o F según corresponda.

a) El opuesto de 5 es mayor que -6. ___

b) Todos los números menores que 0 son negativos. ___

c) El siguiente de -1 es 0. ___

d) Todos los números cuyo módulo es mayor que 7 son positivos. ___

e) El anterior a -23 es -22. ___

f) Dos números opuesto tienen el mismo módulo. ___

g) El siguiente de -10 tiene módulo 9. ___

7) En un juego de mesa se utiliza el siguiente tablero y una ruleta con números desde el – 5 al 5.

FU

ER

A D

E

JUE

GO

A B C D E F G H I

PA

RT

IDA

J K L M N O P Q R S T

LL

EG

AD

A

Se colocan las fichas de cada jugador en el casillero de PARTIDA y por turno cada uno realiza un tiro de ruleta. Si sale un número positivo, avanza y si sale un número negativo, retrocede la cantidad de casilleros que indica el número. Gana el primero que llega el casillero de LLEGADA o lo pasa y pierde el que llega al casillero de FUERA DE JUEGO o lo pasa.

Respondé:

a) ¿Qué número no avanza ni retrocede?b) Si desde la partida se llega a la casilla F, ¿qué número salió?c) ¿Qué número hay que sacar para pasar de la casilla J a la H?d) Si un jugador está en la casilla B, ¿qué números lo hacen perder?e) Si está en la casilla M, ¿con cuál llega a la J?f) ¿Cuáles pueden ser cuatro tiros distintos que avancen una casilla?g) ¿Y cuáles serían tres distintos en los que se retroceden tres?h) Si en dos tiros avanzó solo dos casillas y uno fue -1, ¿cuál fue el otro?i) Y si retrocedió dos casillas y uno fue 2, ¿cuál fue el otro?j) Si en tres tiros perdió, ¿cuáles pudieron ser?k) Si está en la D y saca un -3, ¿a cuál llega?l) Si está en la partida y saca -5, ¿a cuál llega’

NOS PONEMOS A TRABAJAR CON LOS NÚMERO ENTEROS

1) Completá los cuadrados mágicos.

-8 -3 -1

-2 +5 -11

+4 +2

Número mágico -6 Número mágico -9

2) Completá los cuadros con los valores correspondientes.

a)A B A + B B – A-4 +2

-4 +16-8 -6

-15 -5-6 -6

b)A B -A A + B A – B3 -1

-5 -84 0

2 -106 8

-4 7

3) Resolvé los problemas.

a) Si un pueblo tuvo su esplendor entre el año 756 a.C. y el 952 d.C., ¿cuántos años duró son mejor momento?

b) La sonda Huygens descubrió que Titán, un satélite de Saturno, tiene una temperatura superficial de – 178º C.Las noches del planeta Marte también son muy fría: - 80º C.¿Cuántos grados menor es la temperatura de Titán con respecto a las noches marcianas?

c) María escuchó en la radio que la temperatura bajaría 10 grados en la noche. Si en ese momento la temperatura es de 3º C, ¿cuál será la temperatura a la noche?

d) Mariela estaba haciendo trámites en el tercer piso de un edificio y le dijeron que tenía que ir a una oficina cuatro pisos más abajo.

¿Qué número tiene el botón que debe presionar en el ascensor para llegar a la oficina deseada?

¿Podés escribir una cuenta que resuelva esta situación?

e) Mario tiene $2 cargados en su SUBE. Si paga su pasaje y el de un amigo a $3,50 cada uno, ¿qué número resultará como saldo de su tarjeta?

f) Alejandra pagó por el servicio de telefonía celular del mes de marzo. No recordaba el importe exacto, así que hizo un pago aproximado de $250. En febrero, recibió un saldo de -$21. ¿Había pagado más o menos en enero? Calculá valor exacto de la factura que extravió Alejandra.

g) Un banco cobra $11 mensuales por el mantenimiento de cada caja de ahorro. Brenda tenía $19 en su cuenta y no la usó durante do meses. Ella dice que no puede averiguar su saldo porque no puede hacer $19 - $22.

¿Es posible conocer su saldo? ¿Por qué?

Si tampoco la usa en los tres meses posteriores, ¿qué saldo tendrá?

h) Un día de julio, en el noticiero se compararon algunas temperaturas del país.

Salta -6º/10º Jujuy -5/6 Catamarca -5º/7ºLa Pampa 0º/10º Santiago del Estero -4º/9º La Plata -2º/9º

¿En qué provincia hizo más frío?

¿Dónde hubo más amplitud térmica?

4) En un lugar de Sudamérica se registraron las siguientes temperaturas media anual.

Mes E F M A M J J A S O N DTº 30º 28º 20º 17º 5º -5º -8º 1º 9º 14º 20º 25º

a) Volcá los datos en un diagrama de barras.

E F M A M J J A S O N D

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

b) ¿Cuál es la temperatura promedio del año?

c) ¿Qué diferencia hay entre la temperatura mínima y la máxima?

d) ¿Qué valor absoluto le corresponde a la temperatura del mes de Julio?

e) ¿Cuál es el opuesto de la temperatura del mes de Diciembre?

5) Escribí un cálculo que permita resolver cada uno de estos problemas y luego responde a la pregunta planteada.

a) Una cuenta corriente que tiene un saldo inicial deudor (negativo) de $4 500 recibe tres depósitos de $1 800 cada uno y otro dos depósitos de $1 200 cada uno. Luego se extraen tres veces $2 300 y una vez $900. ¿Cuál es el saldo actual de la cuenta?

b) De una cuenta bancaria que tiene un saldo inicial de $7 000, se hacen tres retiros de $280 cada uno. Luego se deposita una suma igual al doble de uno de los retiros realizados, y finalmente se extrae la mitad del dinero que quedó depositado. ¿Cuál es el saldo actual de la cuenta?

UN PEQUEÑO TRABAJITO1) Representá estos números enteros en una recta numérica.

a) 2, -3, 0, -4, 7, 4b) -5 0, 1, -10, -1

2) Completá con < , > o = según corresponda.

a) 35 ___ -36b) 22 ___ 25c) -4 ___ -9d) -1 000 ___ 555

3)Compará los números enteros. Luego, ordenalos de mayor a menor.

a) -9, -17, 0, 12, -34, 1, -1b) 1 000, -999, -1 001, -28, 500, 35, -900

a)

b)

4) Reconocé y marcá cuál de los números de cada conjunto se encuentra a menor distancia del cero.

a) {-17, 8, 19, -12, 32, 9}b) {-25, 48,52,-70, 47,36}

5) Calculá el valor absoluto de cada número.

a) |-12| =b) |-8| =c) |0| =d) |15| =

6) Resolvé las siguientes sumas de números.

a) 123 + 155 =b) -98 + 145 =c) 43 + (-19) =d) – 28 + (-87) =

7) Completá con el número que falta para que se cumplan los resultados.

a) 12 + __ = 9b) – 15 + __ = 12c) __ + 19 = -12d) __ + (-11) = 18

8) Resolvé las siguientes restas con números enteros.

a) 12 – 12 =b) -30 – (-9) =c) 18 – (-19) =d) -45 – 30 =e) -40 – 0 =f) 0 – (-17) =

9) Hallá el valor de las incógnitas para que se cumpla cada igualdad.

a) – 9 – x = -19b) y – (-15) = -40c) |-4| - t = -25d) 12 – r = -15e) 18 – m = -36f) -25 – z = 22

10) Resolvé los problemas.

a) Un buzo se encuentra a 20 m bajo el nivel del mar. Luego de un tiempo baja 10 m y por último sube 17 m. Representá la situación como una suma de enteros. ¿Qué número entero indica la posición final del buzo?

b) Si las temperaturas máximas y mínimas en una ciudad fueron de 15º C y -3º C, respectivamente, ¿cuál es la amplitud térmica?

c) Con el propósito de ahorrar energía se aconseja ajustar el termostato de la heladera en 7º C de temperatura y el del frezeer en -2º C. ¿Cuál es la diferencia entre las dos temperaturas?