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Unidad Temática VI. Electrostática

Arturo González Thomas - Física - ISI - FRRe - UTN. Pág. 1 de 27

Unidad Temática VIElectrostática

CONTENIDOS

Fenómenos de electrización. Cuantización de la carga. Estructura electrónica y cargaeléctrica. Conservación de la carga eléctrica. Conductores y aisladores. Ley de Coulomb.Campo Eléctrico. Principio de superposición. Campos creados por distintas configuracionesde cargas. Líneas de campo eléctrico. Flujo. Teorema de Gauss. Circulación del campoeléctrico. Potencial. Gradiente de potencial. Distribución de cargas en los conductores.Carga por inducción y por contacto.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Que el alumno logre:

• Distinguir entre magnitudes discretas y continuas.• Diferenciar el comportamiento de materiales conductores y aislantes.• Analizar situaciones problemáticas concretas aplicando las leyes de la electrostática a

configuraciones discretas y continuas de carga.• Interpretar las relaciones existentes entre fuerza y campo eléctrico y potencial eléctrico.• Diferenciar campos escalares y vectoriales.• Representar campos eléctricos mediante líneas de fuerza.• Analizar el efecto de las fuerzas eléctricas sobre las cargas eléctricas.• Relacionar el trabajo realizado por una fuerza sobre una carga y el potencial eléctrico.• Relacionar y diferenciar los conceptos de diferencia de potencial y diferencia de energía

potencial eléctrica.• Aplicar el concepto de Flujo y el teorema de Gauss para el cálculo de campos eléctricos.

Bibliografía básica.

FISICA CLASICA Y MODERNA. W. Gettys, F. Keller y Skove M.McGraw Hill

FUNDAMENTOS DE FISICA. Tomos II. Halliday y Resnick - Ed.C.E.C.S.A .

CURSO DE FISICA COU. Peña Sainz y Garzo Pérez. Ed. Mc. GrawHill



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Introducción.

La carga eléctrica al igual que la masa es una propiedad fundamental de lamateria. Se manifiesta a través de la fuerza electrostática, que es la responsablede los fenómenos eléctricos. Su influencia en el espacio puede describirse

mediante el concepto de campo de fuerzas. El concepto de potencial permite unadescripción alternativa de dicha influencia en términos de energías.

El término eléctrico, y todos sus derivados, tiene su origen en lasexperiencias realizadas por Tales de Mileto, un filósofo griego que vivió en el siglosexto antes de Cristo. Tales estudió el comportamiento de una resina fósil, elámbar (en griego elektrón), observando que cuando era frotada con un paño delana adquiría la propiedad de atraer hacia sí pequeños cuerpos ligeros; losfenómenos análogos a los producidos por Tales con el ámbar o elektron sedenominaron fenómenos eléctricos y más recientemente fenómenoselectrostáticos.

La electrostática es la parte de la física que estudia este tipo decomportamiento de la materia, se ocupa de la medida de la carga eléctrica ocantidad de electricidad presente en los cuerpos y, en general, de los fenómenosasociados a las cargas eléctricas en reposo. El desarrollo de la teoría atómicapermitió aclarar el origen y la naturaleza de los fenómenos eléctricos; la nociónde fluido eléctrico, introducida por Benjamín Franklin (1706-1790) para explicarla electricidad, fue precisada a principios del siglo pasado al descubrirse que lamateria está compuesta a nivel microscópico de átomos y éstos a su vez porpartículas que tienen propiedades eléctricas.

Como sucede con otros capítulos de la física, el interés de la electrostáticareside no sólo en que describe las características de unas fuerzas fundamentales

de la naturaleza, sino también en que facilita la comprensión de fenómenos enlas que actúa: como la caída de un rayo, la existencia de los imanes, que losnúcleos y electrones se mantengan unidos formando átomos, que estos se unanformando moléculas, y que estas se unan formando cuerpos sólidos por ejemplo,y sus aplicaciones tecnológicas: desde el pararrayos hasta la televisión unaamplia variedad de dispositivos científicos y técnicos están relacionados con losfenómenos electrostáticos.

A este tipo de interacción se la denomina interacción electromagnética, Estose debe a que tanto los fenómenos eléctricos como los magnéticos tienen un origencomún: la carga eléctrica de la materia. Aunque los fenómenos eléctricos ymagnéticos están relacionados, si limitamos nuestra atención a cargas en equilibrioestable (electrostática), pueden estudiarse en principio por separado, yposteriormente integrarlos en lo denominamos electromagnetismo.

Carga eléctrica y materia

Electrización

Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades eléctricas se dice que hasido electrizado. La electrización por frotamiento permitió, a través de unascuantas experiencias fundamentales y de una interpretación de las mismas cadavez más completa a lo largo del tiempo, sentar las bases de lo que se entiendepor electrostática.



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Si una barra de ámbar (de caucho o de plástico) se frota con un paño delana, se electriza. Lo mismo sucede si una varilla de vidrio se frota con un pañode seda. Aun cuando ambas varillas pueden atraer objetos ligeros, como hilos otrocitos de papel, la propiedad eléctrica adquirida por frotamiento no esequivalente en ambos casos. Así, puede observarse que dos barras de ámbarelectrizadas se repelen entre sí, y lo mismo sucede en el caso de que ambas sean

de vidrio. Sin embargo, la barra de ámbar es capaz de atraer a la de vidrio yviceversa.

Este tipo de experiencias llevaron a W. Gilbert (1544-1603) a distinguir,por primera vez, entre la electricidad que adquiere el vidrio (vítrea) y la queadquiere el ámbar (resinosa). Posteriormente Franklin al tratar de explicar losfenómenos eléctricos consideró la electricidad como un fluido sutil, llamó a laelectricidad «vítrea» de Gilbert electricidad positiva (+) y a la «resinosa»electricidad negativa (-). Las experiencias de electrización pusieron de manifiestoque:

Cargas eléctricas de distinto signo se atraen y cargas eléctricas de igual

signo se repelen.

Una experiencia sencilla sirvió de apoyo a Franklin para avanzar en ladescripción de la carga eléctrica como propiedad de la materia. Haremos laexperiencia (similar) en el pizarrón. Para ello suponemos que contamos con elsiguiente material: dos varillas de vidrio, dos varillas de plástico (Franklin usóámbar ), hilo, un trozo de seda y un trozo de tejido de lana.

Si frotamos un extremo de la varilla de vidrio con la seda y la colgamos porsu centro como puede observarse en la Figura (a) de la pagina anterior, en la queel extremo frotado se ha marcado con signos (+ + +). Luego frotamos un extremode la otra varilla de vidrio y lo acercamos al extremo frotado de la primera.Observaremos que la varilla colgada girará alejándose de la segunda varilla, lo queindica la existencia de una fuerza repulsiva entre ambas. Decimos que las varillas

están cargadas eléctricamente o que poseen carga eléctrica. La fuerza deinteracción se denomina fuerza eléctrica.



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Si repetimos la experiencia usando las varillas de plástico y el trozo de lanaen vez de la seda produce el mismo resultado, lo que implica en este caso tambiénla existencia de una fuerza eléctrica repulsiva. Figura (b). Hemos marcado elextremo frotado con signos (- - -).

Si acercamos ala varilla de vidrio colgada, frotada con seda, la varilla de

plástico frotada con lana, observamos que ahora la varilla colgada se acerca, lo queindica la existencia de una fuerza atractiva, y lo mismo sucede si acercamos lavarilla de vidrio a la de plástico que esta colgada.

Podemos ampliar el experimento y acercar a las varillas los trozos de telacon que las hemos frotado. Cuando acercamos la seda a la varilla de vidrio seatraen, lo mismo para la lana y la varilla de plástico, pero si acercamos la lana a lavarilla de vidrio o la seda a la de plástico, las fuerzas son repulsivas. Siexperimentamos con varillas de materiales diversos y los frotamos con tejidos dediferentes tipos, llegamos a las siguientes conclusiones:

⇒ Si las varillas A y B se atraen, todas las demás varillas pertenecen a unode los siguientes grupos:

• Las que repelen a la varilla A y atraen a la B

• Las que atraen a la varilla A y repelen a la B

Cualquier varilla del primer grupo repele a otra que pertenece al mismogrupo mientras que atrae a cualquier otra que pertenezca al segundo grupo. Deigual manera cualquier varilla del segundo grupo repele a cualquier otra de sugrupo y atrae a las del otro grupo. Podemos concluir que existen dos tipos decarga. Las varillas del primer grupo tienen un tipo de carga y las del segundo otrotipo de carga distinto.

⇒ Cuando una varilla es cargada al ser frotada con un tejido, la carga queadquiere la varilla es opuesto al tipo de carga que adquiere la tela.Mediciones cuantitativas indican que la cantidad de carga de tipoopuesto que adquieren es la misma. Cuando un objeto es cargado, otroadquiere la misma cantidad de carga, pero de tipo opuesto.

En base a estas conclusiones podemos formular el siguiente modelo queexplica las propiedades observadas.

Modelo:

I. En la materia existen dos tipos de carga eléctrica, que denominamos positiva y negativa. Los objetos no cargados, en realidad poseen la mismacantidad de carga de cada tipo, de manera que la carga neta es cero.Cuando son cargados por frotamiento, ceden una parte de la carga de unode los tipos al otro cuerpo, quedando uno con exceso de carga positiva y elotro con exceso de carga negativa (la misma cantidad).

II. Objetos con carga del mismo signo se repelen.

III. Objeto con carga de signo diferente se atraen.

Como resultado adicional, obtenemos la:



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Ley de Conservación de la carga: La carga eléctrica no puede ser creada nidestruida, únicamente puede ser transferida.

Si mediante algún proceso son creadas partículas cargadas, ellas siempreson creadas de a pares, que tienen igual cantidad de carga eléctrica pero de signo

opuesto, de modo que la carga neta creada es cero.

La estructura atómica.

Nuestra visión actual de la estructura atómica contiene este modelo, ademásde verificar otras propiedades de la materia. Los átomos están formadosfundamentalmente por tres tipos de partículas: protones, neutrones y electrones.Los protones y los electrones poseen carga eléctrica, mientras que el neutrón no.La magnitud de la carga del protón es la misma que la del electrón, pero de signoopuesto. Los electrones tienen carga negativa y los protones positiva. En un átomoexisten igual número de protones y electrones, por lo que en su estado natural sonneutros. La asignación del signo negativo a los electrones y positivo a los protones(sin conocer su existencia) la hizo Benjamin Franklin (1706 – 1790), y se conservaen la actualidad.

Los protones y neutrones constituyen el núcleo del átomo, rodeado por unanube de electrones. Protones y neutrones se hallan unidos entre sí por efecto deunas fuerzas mucho más intensas que las de la repulsión electrostática ( las fuerzasnucleares ) formando un todo compacto. So solo existieran las fuerzas eléctricas elnúcleo sería inestable. Su carga total es positiva debido a la presencia de losprotones.

El numero de nucleones varia, dependiendo del elemento químico de que setrate. El numero de protones y neutrones es aproximadamente el mismo.(P/ej. El Al

contiene en su núcleo 13 protones y 14neutrones). El protón y el neutrón tienenaproximadamente la misma masa, que es unas 2000 veces mayor que la delelectrón.

me = 9,1093897 10 -31 kg

mp = 1,672623 10 -27 kg

mn = 1,6749286 10 -27 kg

La masa del núcleo de un átomo es del orden de 4000 veces la masa delconjunto de sus electrones. El tamaño del núcleo es mucho menor que el de la

nube electrónica. El tamaño típico del núcleo es del orden de 5 10-15

m y el de lanube electrónica de 2 10-10 m. Una característica de la carga eléctrica en el modeloatómico es la cuantización de la carga. En 1909 Robert Millikan (1868-1953)descubrió que las cargas eléctricas se presentan siempre en múltiplos enteros deuna cantidad fundamental de carga. Que una magnitud este cuantizada en físicasignifica que existe una cantidad mínima, que es la más pequeña cantidad posiblede esa magnitud. Cualquier cantidad superior de esa magnitud contendrá unnúmero entero de veces esa cantidad mínima. Para la carga eléctrica, la cargamínima o elemental es la carga del electrón (protón), y la designaremos con la letrae, y es indivisible (Por lo menos hasta ahora no se han encontrado en la naturalezacargas menores). En el electrón la carga eléctrica es –e y en el protón +e. Masadelante veremos cual su valor.

Aunque los electrones se encuentran ligados al núcleo por fuerzas denaturaleza eléctrica, en algunos tipos de átomos les resulta sencillo liberarse de



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ellas. Cuando un electrón logra escapar de dicha influencia, el átomocorrespondiente pierde la neutralidad eléctrica y se convierte en un ion positivo, alposeer un número de protones superior al de electrones. Lo contrario sucedecuando un electrón adicional es incorporado a un átomo neutro. Entonces el ionformado es negativo.

La electrización por frotamiento se explica del siguiente modo. Por efecto dela fricción, los electrones externos de los átomos del paño de lana son liberados ycedidos a la barra de plástico, con lo cual ésta queda cargada negativamente yaquél positivamente. En términos análogos puede explicarse la electrización delvidrio por la seda. En cualquiera de estos fenómenos se pierden o se gananelectrones, pero el número de electrones cedidos por uno de los cuerpos encontacto es igual al número de electrones aceptado por el otro, de ahí que enconjunto no hay producción ni destrucción de carga eléctrica. Esta es la explicación,desde la teoría atómica, del principio de conservación de la carga eléctricaformulado por Franklin con anterioridad a dicha teoría sobre la base deobservaciones sencillas.

Materiales aislantes, conductores y semiconductores

La mayoría de los materiales pueden ser clasificados dentro de uno de estostipos: conductor o aislante (dieléctrico).

Un material conductor es aquel que permite fácilmente el flujo de corrienteeléctrica a través de el, mientras que un material aislante es aquel que no permiteque la carga fluya fácilmente. Los metales son en general buenos conductores de laelectricidad, y por tanto malos aislantes, y los no metales, en general son buenosaislantes y malos conductores. Conductores típicos: Cobre y Aluminio; Aislantes:mica, aire seco, madera, baquelita.

Esta diferencia de comportamiento de las sustancias respecto deldesplazamiento de las cargas en su interior depende de su naturaleza íntima. Así,los átomos de las sustancias conductoras poseen electrones externos muydébilmente ligados al núcleo en un estado de semilibertad que les otorga una granmovilidad, tal es el caso de los metales. En las sustancias aislantes, sin embargo,los núcleos atómicos retienen con fuerza todos sus electrones, lo que hace que sumovilidad sea escasa.

Generalmente, cuando una carga se mueve a través de un material, son loselectrones los que se desplazan, por lo que se denominan portadores de carga.

En un fluido conductor no hay electrones “libres”, pero otros elementostoman el papel de portadores de carga. En el agua salada por ejemplo, la sal sedisuelve en forma de iones positivos y negativos, los que son capaces de moverse através del fluido.

Entre los buenos conductores y los aisladores existe una gran variedad desituaciones intermedias. Es de destacar entre ellas la de los materialessemiconductores por su importancia en la fabricación de dispositivos electrónicosque son la base de la actual revolución tecnológica. En condiciones ordinarias secomportan como malos conductores, pero desde un punto de vista físico su interésradica en que se pueden alterar sus propiedades conductoras con cierta facilidad,ya sea mediante pequeños cambios en su composición, ya sea sometiéndolos acondiciones especiales, como elevada temperatura o intensa iluminación.



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Ley de Coulomb

Aun cuando los fenómenos electrostáticos fundamentales eran ya conocidosen la época de Charles Coulomb (1736-1806), no se conocía aún la proporción en laque esas fuerzas de atracción y repulsión variaban. Fue este físico francés quien,

tras poner a punto un método experimental de medida de fuerzas, sensible apequeñas magnitudes, lo aplicó al estudio de las interacciones entre pequeñasesferas dotadas de carga eléctrica. El resultado final de esta investigaciónexperimental fue la formulación en el año 1784 de la ley que lleva su nombre y quedescribe las características de las fuerzas de interacción entre cuerpos cargados.

En reconocimiento a sus contribuciones, la unidad de carga eléctrica en elSistema Internacional se denomina culombio (C).

Consideremos dos partículas a y b, con cargas aq y bq respectivamente. a

esta ubicada en el origen del sistema de coordenadas que utilizaremos paradescribir la interacción, y b en un punto arbitrario a una distancia r . El vector

unitario r ̂ apunta desde a hacia b, y baF →

es la

fuerza eléctrica ejercida por a sobre b. (Verfigura)

Experimentalmente se encuentra que lafuerza de interacción esta dada por la expresión

2 ˆa b

a b

q q F k r

r

→

= (1)

donde ( 01 / 4k π ε = ) es una constante de proporcionalidad, denominadaconstante de Coulomb. Esta ecuación es la expresión matemática de la ley deCoulomb, que dice:

La fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de las mismas, e inversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa. Su recta de acción es la de la recta que une lascargas, y su sentido depende de los signos de las cargas. Cargas de igual signo serepelen y de signo contrario se atraen.

El hecho de que las cargas aparezcan con su signo propio en la ecuaciónanterior da lugar a la existencia de dos posibles signos para la fuerza , lo cual puedeser interpretado como el reflejo de los dos tipos de fuerzas, atractivas y repulsivas,características de la interacción electrostática. Así, cargas con signos iguales daránlugar a fuerzas (repulsivas) de signo positivo, en tanto que cargas con signosdiferentes experimentarán fuerzas (atractivas) de signo negativo.

Si dos o más fuerzas eléctricas están actuando simultáneamente sobre lapartícula, la fuerza neta actuante se obtiene haciendo la suma vectorial.

La interacción eléctrica obedece a la tercera ley de Newton (Acción y

Reacción), de modo que si abF →

es la fuerza eléctrica ejercida por b sobre a, tendrá

el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario, es decir baab F F

→→

−= . En laFigura se ha supuesto que las cargas son de igual signo.



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En la constante de proporcionalidad, 0ε es la permitividad del vacío , y su

valor (experimental) es

2

212

0 10854.8mN

C −=ε

La constante de proporcionalidad tiene un valor muy grande

2 29 9

0 2 21 / 4 8.9875 10 9 10

N m N m k

C C π ε = = ≅

Esto se debe a que el coulomb, que es la unidad de carga en el SI, es unaunidad muy grande comparada con las cargas que se presentan en la naturaleza.De ahí que se empleen sus submúltiplos para describir las situaciones que seplantean en el estudio de los fenómenos electrostáticos. Los submúltiplos delcoulomb más empleados son:

milicoulomb: (1 mC = 10 -3 C).

microcoulomb: (1 C = 10 -6 C).

nanocoulomb: (1 nC = 10 -9 C).

Si utilizamos la ley de Coulomb para determinar la fuerza entre dospartículas separadas 1 metro, con cargas de 1 culombio cada una, encontramosque F = 9 109 N, equivalente al peso de 15.000.000 de hombres. Una varillacargada por rozamiento adquiere una carga del orden de 10–8 culombios. Expresadaen culombios la cantidad fundamental de carga tiene el valor

191.60207 10e C −= ⋅

La carga del protón es (+e) y la del electrón es (-e). Cualquier otra carga

debe contener un número entero de veces e. Si p N y e N son respectivamente el

número de protones y de electrones de un objeto, la carga neta q está dada por:

e N N q e p −=

⇒> e p N N objeto con carga positiva

⇒< e p N N objeto con carga negativa

⇒= e p N N objeto neutro

El Campo Eléctrico

El concepto físico de campo

Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su

influencia sobre otras, de ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzasde acción a distancia. Cuando en la naturaleza se da una situación de este tipo, se



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recurre a la idea de campo para facilitar la descripción en términos físicos de lainfluencia que uno o más cuerpos ejercen sobre el espacio que les rodea.

La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado depropiedades medibles. Por ejemplo, la temperatura del aire en una habitación ( elsalón de clase por Ej.) posee un valor determinado en cada punto de la misma. Si

T representa la temperatura, existe una función T(x, y, z) que da la temperatura encada punto (x, y, z) de la habitación. Si la temperatura cambia con el tiempo,debemos incluirlo como variable T(x, y, z, t). Como la temperatura es unamagnitud escalar, T(x, y, z, t) es un ejemplo de campo escalar . Además decampos escalares existen campos vectoriales, es decir magnitudes vectoriales queestán definidas en cada punto del espacio. El viento en la atmósfera terrestre es unejemplo. En cada punto de la atmósfera el aire tendrá una velocidad v

Sin haberlo explicitado, ya hemos definido previamente un campo vectorial:

el campo gravitatorioF

g m

→→

= , donde F →

es la fuerza gravitatoria que actúa sobre

un cuerpo de masa m. La Tierra produce en los puntos cercanos a su superficie uncampo gravitatorio de magnitud 9,8 N / kg, que apunta hacia su centro. Lainfluencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuandoen cualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y semide su peso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influenciagravitatoria se conoce como campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo lafísica introduce la noción de campo eléctrico o electrostático, y también la de campomagnético.

Campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico fue desarrollado por Michael Faraday. Todo

campo físico queda caracterizado por sus propiedades. En el caso del campoeléctrico, una forma de describir las propiedades del campo sería indicar la fuerzaque se ejercería sobre una misma carga si fuera situada en diferentes puntos delespacio. El referirse a la misma carga de prueba permite comparar los distintospuntos del campo en términos de intensidad. La carga de referencia más simple aefectos de operaciones es la carga unidad positiva. La fuerza eléctrica por unidadde carga que se ejerce en un punto cualquiera del espacio recibe el nombre de

intensidad del campo eléctrico y se representa por E →

. Por tratarse de una fuerza(vector) por unidad de carga (escalar), la intensidad del campo eléctrico es unamagnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.

La definición de campo eléctrico es similar a la de campo gravitatorio.Supongamos que una partícula quedenominaremos partícula de prueba tiene

una carga pequeña 0q positiva, se

encuentra en las cercanías de un grupo departículas cargadas (Ver Figura).

Se define al campo eléctrico→

E enel punto P del espacio que ocupa la carga

0q , debido a un grupo de partículas

cargadas, como el cociente entre la fuerza

total →F ejercida por el grupo sobre la



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partícula de prueba y la carga 0q de la misma. Matemáticamente:

0q

F E

→→

= (2)

La fuerza→

F es la suma vectorial de las fuerzas de interacción individualesde cada carga de la distribución con la carga de prueba. Cada fuerza individual es

proporcional a 0q , por lo que→

F también lo será. Por tanto el cociente 0/ qF →

es

independiente de 0q . Esto significa que el campo eléctrico que medimos utilizando

la carga de prueba es independiente de esta.

La expresión del módulo E de la intensidad de campo puede obtenersefácilmente para el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual q

sin más que combinar la ley de Coulomb con la definición de

→

E . El módulo de lafuerza que q ejercería sobre una carga de prueba 0q , en un punto genérico P

distante r de la carga central q viene dada, de acuerdo con la ley de Coulomb, por:

20

04

1

r

qqF

ε π =

Dividiendo por la carga de prueba 0q obtenemos para el módulo de E la

expresión

204

1r qE

ε π = (3)

El campo eléctrico depende en forma directa de la carga que lo provoca, einversamente del cuadrado de la distancia de la carga al punto en donde se evalúael campo.

Puesto que se trata de una fuerza electrostática por unidad de carga, estaráaplicada en P , dirigida a lo largo de la recta que une la carga central q y el puntogenérico P , en donde se sitúa la carga de prueba, y su sentido será atractivo orepulsivo según q sea negativa o positiva respectivamente.

Conocido el campo eléctrico→

E es posible determinar la fuerza eléctrica queactuará sobre una carga arbitraria q en cualquier punto del espacio mediante laecuación

→→= E qF (4)

Expresión que indica que la fuerza aplicada a q es igual a q veces el valorde la intensidad de campo E en el punto P.

Esta forma de describir las fuerzas del campo y su variación con la posición

hace más sencillos los cálculos, particularmente cuando se ha de trabajar concampos debidos a muchas cargas.



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a unidad de intensidad de campo E es el cociente entre la unidad de fuerza yla unidad de carga; en el SI equivale, por tanto, al newton /coulomb (N/C), y notiene asignado un nombre particular.

[ ] [ ]

[ ] Coulomb

Newton

q

F E ==

Cálculo del Campo Eléctrico

Partícula puntual

La fuerza→

F ejercida sobre una partícula de prueba con carga 0q por otra

partícula con carga q situada en el origen de coordenadas está dada por la ley de

Coulomb

r r

qqF ˆ

4

120

0ε π =

→

Dividiendo por 0q obtenemos el valor del campo en la posición de 0q

r r

qE ˆ

4

12

0ε π =

→

(5)

La ecuación (5) nos da el campo eléctrico creado por una partícula puntualde carga q .

Las principales características de este campo son:

1) E es proporcional a q

2) E es proporcional a (1/ r2 )

3) →

E apunta hacia fuera para una carga positiva, y hacia la cargasi esta es negativa.

Sistema de N cargas puntuales

Supongamos que tenemos ahora un sistema de N partícula puntualescargadas. La fuerza que actuará sobre una carga de prueba situada en un punto Pdel espacio estará dada por la suma vectorial de las fuerzas de interacción entre lacarga de prueba y cada una de las cargas de las partículas que componen elsistema:



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∑=

→

=

++=

+++=

N

i

i

i

i

N

N

N

N

N

N

r r

qq

r r

qr

r

qr

r

qq

r r

qqr

r

qqr

r

qq F

1

20

0

222

2

212

1

1

0

0

2

0

022

2

02

012

1

01

0

ˆ4

ˆ...ˆˆ4

ˆ4

1...ˆ

4

1ˆ

4

1

ε π

ε π

ε π ε π ε π

donde i q es la carga de la partícula i , i r es la distancia desde la partícula i

al punto P y i r ̂ es el versor que apunta desde la partícula i al punto P.

Dividiendo la fuerza por 0q se obtiene el campo en el punto P

∑=

→=

N

i

i

i

i r r

q E

1

20

ˆ4

1

ε π

El campo eléctrico es la suma vectorial de las contribuciones de las cargasindividuales.

Distribución continua de carga

En los objetos macroscópicos, la carga es debida a una diferencia ente elnúmero de protones y electrones. Como los valores de carga que normalmenteencontramos en los objetos macroscópicos son muchísimo mayores que las cargasdel protón y el electrón, tales cargas están producidas por un gran número decargas elementales e. Por tanto podemos tratar estas cargas como una distribución

continua de elementos de carga dq infinitesimales. Si aplicamos la ecuación

obtenida para el campo de una carga puntual a uno de estos elementos obtenemosel campo infinitesimal

r r

dqdE ˆ

4

12

0ε π =

→

(6)

donde r es la distancia desde el elemento de carga dq al punto P donde

evaluamos el campo, yi

r ̂ es el versor que apunta desde dq al punto P. El campo

eléctrico total debido a las contribuciones de todos los elementos de carga seobtiene integrando (suma sobre una variable continua)

∫∫ == →→

r r

dqdE E ˆ

4

12

0ε π (7)

Los límites de integración se extienden a todo el espacio que ocupa ladistribución de carga.

En (7) podemos expresar el elemento infinitesimal de carga dq en función dela densidad de carga. Si la distribución de carga es uniforme, la densidad de carga

es el cociente entre la carga total y el volumen que ocupa la misma



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V

Q= ρ (8)

Si el cuerpo cargado es unidimensional tenemos una densidad lineal de

carga

Q

L λ =

, y su unidad en el S.I. es (Coulomb / metro) (C / m). Si el cuerpocargado es bidimensional (plano) tenemos una densidad superficial de carga

Q

A σ = , cuya unidad en el S.I es (Coulomb / metro2) (C / m2). Si el cuerpo

cargado es tridimensional tenemos una densidad volumétrica de cargaQ

V ρ = ,

cuya unidad en el S.I es (Coulomb / metro3) (C / m3).

Si la carga esta distribuida no uniformemente sobre una línea, superficie ovolumen, la densidad de carga se expresa respectivamente como:

dV

dq

dA

dq

dL

dq=== ρ σ λ ,, (9)

Despejando dq y remplazando en (7) obtenemos la expresión para el campoen función de la densidad de carga

∫

∫

∫

=

=

=

→

→

→

r r

dV E

r

r

dA E

r r

dL E

ˆ4

1

ˆ4

1

ˆ4

1

20

2

0

20

ρ

ε π

σ

ε π

λ

ε π

(10)

Las integrales se extienden a la zona del espacio ocupada por la distribuciónde cargas.

Representación del Campo Eléctrico. Líneas de campo

Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas

empleando las llamadas líneas de fuerza. Son líneas imaginarias que describen, silos hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. Enel caso del campo eléctrico, las líneas de fuerza indican las trayectorias queseguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia delas fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea defuerza en cualquier punto considerado.

Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerzaradiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea queune a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móvilespositivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campodebido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo,pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el casode los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de las



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cargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son«manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.

Un campo eléctrico uniforme estará representado por líneas de campoigualmente espaciadas, rectas y paralelas

El concepto de líneas de campo fue concebido por el físico inglés MichaelFaraday (1791 – 1867). En los dibujos de ejemplo las representamos en 2D, peropodemos imaginarlas en 3D.

En cada dibujo la densidad de líneas de fuerza es proporcional a la

intensidad del campo. En las cercanías de las cargas la intensidad del campo esmayor (~ 1/r), por lo que en todos los caso hay mayor número de líneas de fuerza.

Partícula cargada en un campo E uniforme

Consideremos una partícula de masa m y carga q , que está en una zona

del espacio con campo uniforme→

E . Aplicando la ecuación (4) y la segunda ley deNewton

m

E qaE qam

amF

E qF →

→→→

→→

→→

=⇒=⇒

=

=

Como el campo eléctrico es uniforme (dirección y módulo constante) laaceleración es constante, y la partícula se moverá con MRUA.

Consideraremos dos casos particulares:

1) La dirección del campo coincide con la positiva del eje x, y la partícula

está inicialmente ( t = 0 ) en reposo en el origen de coordenadas. Las ecuacionesque describen el movimiento son:



C O P Y



=

=

=

)(21

)(

)(

2 c t mE q x

bt m

E qv

am

E qa

x

x

eliminando t de (b) y (c) obtenemos x m

E qv x

22=

2) La dirección del campo uniforme coincide con la dirección y positiva, y la

partícula está inicialmente ( t = 0 ) en el origen, con velocidad 0v en la dirección x

positiva. Las ecuaciones que describen el movimiento son:

===

===

===

02

1

0

00

2

0

0

z t m

E qy t v x

v t m

E qv v v

am

E qaa

z y x

z y x

Eliminando t entre las ecuaciones para x e y obtenemos la ecuación de latrayectoria:

2

2

02 x v m

E qy =

Si la carga es positiva la trayectoria se curva en la dirección del campo, si esnegativa en sentido contrario. En la figura se dibujaron ambas trayectorias.

El Tubo de Rayos Catódicos.

En ejemplo de aplicación tecnológica de estos conceptos es el tubo de rayos

catódicos (TRC), que se utiliza para visualizar información en osciloscopios,sistemas de radar, receptores de televisión y monitores de computadora. El TRC es



C O P Y



un tubo de vacío en el cual un haz de electrones es acelerado y reflectado bajo lainfluencia de campos eléctricos o magnéticos. El haz de electrones es producido porun dispositivo denominado cañón de electrones, ubicado en la parte posterior deltubo (cuello). Estos electrones son enfocados de manera que viajan en línea rectahacia el frente del CRT, donde está la pantalla, la cual esta cubierta de un materialsensible que emite luz visible ante el impacto de los electrones. Antes de llegar a la

pantalla los electrones son reflectados (desviados) de manera que al impactar en lapantalla e iluminarse esta, presente la información deseada.

Ley de Gauss

Introducción

El campo eléctrico producido por cuerpos cargados puede obtenerse pormedio de dos procedimientos: la ley de Coulomb o mediante la ley de Gauss. Yahemos visto el método de la ley de Coulomb, veremos ahora la ley de Gauss. Paraello definiremos previamente el concepto de Flujo.

Flujo

El flujo de un campo vectorialinvolucra: el campo vectorial y una

superficie en la cual el flujo es evaluado.Consideremos una superficie rectangularparalela al plano determinado por losejes x e y, de dimensiones a x b y el

campo gravitatorio→g .

Para obtener el flujorepresentamos a la superficie mediante

el vector superficie→

∆S cuyo módulo



C O P Y



[ ] [ ][ ]

==

Coulomb

metroNewtonm

C

N SE E

22φ

Si la superficie es curva o el campo eléctrico varía punto a punto sobre la

superficie, el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos i S→

∆ ,

tan pequeños que puedan considerarse planos, y que el campo eléctrico no varíe en

su superficie. El flujo total será la suma de todas las contribuciones de los i S→

∆

∑ →→

∆⋅=

i

i E SE φ

En el límite cuando 0→→∆→→dSS i la suma se convierte en una integral y

tenemos

∫∑ →→→→

→∆⋅=∆⋅= Sd E SE Lim

i

i S

E i 0

φ

∫∫ =⋅=→→

dSE Sd E E )cos( θ φ

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie es igual a la integral

de superficie de

→

E extendida a toda la superficie. Si la superficie es cerradatenemos:

∫ →→⋅= Sd E E φ (11)

En los cálculos de E φ en general se consideran superficies imaginarias, de

forma tal que se simplifique la resolución del problema. Se las denominan “superficies gaussianas”.

Ley de Gauss: El flujo de campo eléctrico a través de una superficiecerrada arbitraria es igual a la carga eléctrica neta

encerrada por la superficie dividida por 0ε

0ε φ

∑=

q

E o0ε

∑∫ =⋅

→→ qSd E (12)

Ejemplo: Cálculo del campo eléctrico de una carga puntual usando la ley deGauss.



C O P Y



Consideremos una carga puntual y una superficiegaussiana esférica centrada en la carga:

∫ →→⋅== Sd E

qE

0ε φ

Sobre la superficie de la esfera el campo esconstante y pude salir fuera de la integral. Recordando que

la superficie de una esfera de radio r es24 r π , y que r es

perpendicular a S, tenemos

E r dSE q

E 2

0

4π ε

φ === ∫ ⇒ 2

04

1

r

qE

ε π =

Si no existen cargas en el interior de la superficie gaussiana, o existen, perola carga neta es cero (igual cantidad de carga positiva y negativa), el flujo es nulo.

Ejemplo: Cálculo del campo eléctrico para una distribución lineal de carga.

Consideremos una superficie gaussiana cilíndrica de longitud L coaxial con el

cable cargado, y que la densidad lineal es Lq /=λ . El campo eléctrico es radial

(ver Fig)

∫∫∫ →→→→→→

⋅+⋅=⋅tapaSuplateral Sup

Sd E Sd E Sd E ..

2

En las tapas 0=⇒⊥→→

E Sd E φ

En la sup. lateral→E es constante en

módulo sobre la misma y 1)cos(0 =⇒= θ θ

Lr E dS E S d E S d E lateral Suplateral Sup

π 2..

⋅==⋅=⋅ ∫∫∫ →→→→

⇒===⋅ ∑∫

→→Lr E L

qSd E π

ε λ

ε 2

00

r E

λ

ε π 02

1=

Este resultado ya fue obtenido utilizando la ley de Coulomb para calcular elcampo eléctrico E.



C O P Y



Propiedades electrostáticas de un conductor

En electrostática es 0=→E dentro del conductor . Si no fuese así, las cargas

se moverían en su interior, y la situación exige que estén en reposo. ¿Dónde se

ubican las cargas?. En la superficie, y distribuidas de manera que en el interior delconductor el campo eléctrico se anule. En general la densidad superficial de cargaσ de un conductor variará con la posición en su superficie. Un conductor neutro,

puede tener carga superficial positiva en una zona de su superficie y negativa enotro, de manera que la carga total neta sea cero..

En la zona exterior inmediata a la superficie el campo eléctrico debe serperpendicular a ella, dado que si tuviera una componente tangencial, la mismaprovocaría que las cargas superficiales se moviesen en respuesta a la fuerzatangencial resultante. Por tanto, en un conductor en equilibrio en su superficie elcampo es perpendicular. La dirección del campo será hacia fuera si las cargassuperficiales son positivas, caso contrario, hacia adentro.

Podemos calcular el valor del campo eléctrico utilizando la ley de Gausstomando como superficie gaussiana una pequeña pastilla cilíndrica de carasparalelas a la superficie. En la cara paralela interior al conductor el campo es nulo,en la superficie lateral el campo es tangente a la misma, y solo habrá flujo en lacara paralela externa. Podemos escribir:

tapanext tapaSup

next tapaSuptapaSuplateral Sup

SE dSE Sd E Sd E Sd E Sd E =⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ ∫∫∫∫∫ →→→→→→→→

..int..

tapantapa SE S

qSd E ===⋅ ∑∫

→→

00 ε σ

ε ⇒

0ε σ =nE

En los puntos de la superficie donde σ sea positivo el campo irá hacia fuera,

y en los que sea negativo hacia dentro.

Energía Potencial Eléctrica

Designaremos a la energía potencial eléctrica por la le letra U. Para obteneruna expresión de la misma, debemos recordar previamente el concepto de fuerza

conservativa, y su relación con la energía potencial.

Ya hemos visto que la fuerza gravitatoria y la fuerza recuperadora elásticason fuerzas conservativas. Recordemos la definición de fuerza conservativa:

Fuerza conservativa: Son aquellas que cuando actúan sobre un cuerpo querealiza una trayectoria cerrada, su trabajo es nulo.

A partir de esta definición se puede demostrar que el trabajo realizado poruna fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde una posición a hasta otra b,solo depende de dichas posiciones y no del camino seguido para llegar desde a hasta b, por lo que podemos dar la definición alternativa:

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza entre dos puntosarbitrarios es independiente de la trayectoria que se emplea para unirlos



C O P Y



También obtuvimos una relación entre el trabajo realizado por una fuerzaconservativa y la variación de la energía potencia como consecuencia de dichotrabajo: Si las fuerzas actuantes son conservativas, la variación de la energía

potencial del cuerpo como consecuencia de dicho trabajo es igual al trabajorealizado por las mismas cambiado de signo.

Sea F →

una fuerza conservativa, el trabajo que realiza la misma entre lospuntos i y f esta dado por:

∫ →→

⋅= f

i

dl F W (13)

Definimos el cambio de energía potencial pi pf E E − debido a una fuerza

conservativa como el valor negativo del trabajo realizado por la fuerza

∫ →→⋅−=−=∆ f

i pi pf p dl F E E E (14)

Demostraremos que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, lo quenos permitirá definir la variación de energía potencial eléctrica en términos deltrabajo que realiza la misma.

Si→ F es la fuerza eléctrica debida a una carga q positiva sobre una carga de

prueba 0q , el trabajo para llevar dicha carga desde el punto a con posición ar

hasta el punto b con posición br realizado por dicha fuerza esta dado por

∫∫∫ =⋅=⋅=→→→→ b

a

b

a

b

aab dl E qdl E qdl F W )cos(00 θ (15)

Consideremos un camino radial

centrado en q (Fig. 1). Es 0=θ y→→

= dr dl

El trabajo realizado es igual a

∫∫ ==b

a

r

r

b

aab

r

dr qqdl E qW

20

00

4 ε π

−=

baab

r r

qqW

11

4 0

0

ε π

Consideremos ahora (Fig. 2) que el camino es unarco circular centrado en q . En cada punto de esta

trayectoria es



C O P Y



0900 =⋅⇒=⇒⊥→→→→dl E E dl θ

00 =⋅=∫

→→b

aab dl E qW

Si consideremos una combinación de ambos casos (Fig. 3)

⋅+⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫

→→→→→→→→ b

j

j

i

i

a

b

aab dl E dl E dl E qdl F W 0

La integral entre i y j se anula, quedando solo el aportede las trayectorias radiales

−++

−=

b jiaab

r r

qq

r r

qqW

11

40

11

4 0

0

0

0

ε π ε π

y teniendo en cuenta que ji r r = queda finalmente

−=⋅= ∫

→→

ba

b

aab

r r

qqdl F W

11

4 0

0

ε π (17)

Cualquier camino curvilíneo arbitrario puede descomponerse en unasuperposición sucesiva de pequeños tramos radiales más tramos de arcoscirculares centrados en la carga q . Si bien esto aproxima el camino real, para un

numero ∞→ N de tramos es exacto. Esto nos dice que el trabajo realizado por la

fuerza eléctrica para llevar una carga desde a hasta b solo depende de los

extremos de la trayectoria. Por tanto la fuerza eléctrica es conservativa, y la

variación de la energía potencial eléctrica entre los puntos a y b es igual al trabajo

realizado por la fuerza, cambiado de signo, y podemos escribir:

−=⋅−=−=∆ ∫

→→

ab

b

aab

r r

qqdl F U U U

11

4 0

0

ε π (18)

Obsérvese que hemos alterado el orden de los términos de la resta,eliminando el signo negativo.

Aunque solo tienen significado físico las diferencias de energía potencial, es

conveniente definir una posición para la cual 0=U , que tomaremos para ∞=r .

Si 0=⇒∞= aa U r y tomamos para simplificar la notación U U b = y

r r b = , quedando

(19) Energía potencial de la carga 0q r

qqr U

1

4)(0

0

ε π =



C O P Y



debida al campo de q

En general

∫∞

→→⋅−=

r

dl F r U )( (20)

Si tenemos un sistema de N cargas iq la fuerza neta que actúa sobre la

carga 0q es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las N cargas :

∑∑ →→→

==

i

i

i

i E q F F 0

y la energía potencial es

∑∫∫ ∑ ∞

→→

∞

→→⋅−=⋅

−=

i

r

i

r

i

i dl E qdl E qU 00

Si introducimos2

04

1

i

ii

r

q E

ε π = obtenemos

∑=

=

N

i i

i

r

qqU

10

0

4 ε π

(21)

Potencial Eléctrico

Definiremos un nuevo campo que es muy útil, dado que como veremos esescalar, lo que simplifica la matemática asociada a la hora de resolver problemas.

Vimos que la fuerza que actúa sobre una partícula de prueba q0, esproporcional a dicha carga. Para independizarnos de la carga de prueba definimos

el campo eléctrico→

E como la fuerza por unidad de carga0q

F E

→→

= . Este campo es

vectorial. Podemos hacer lo mismo con la energía potencial U que también

depende de 0q , y a esta nueva magnitud la denominaremos Potencial Eléctrico V .

0q

U V = (22)

V es un campo, pues esta definido en cada punto del espacio, y es un

escalar puesto que U lo es.

Unidades en el SI: [ V ] = [ U ] / [ q ] = J / C = V ( Voltio = Joule /Coulomb )



C O P Y



Potencial producido por un sistema de partículas cargadas

Si consideramos un sistema de N partículas cargadas, dado que V es un

escalar, sumamos los potenciales de cada carga individual para obtener elpotencial total

∑=

=

N

i i

i

r

qV

104

1

ε π (23)

Donde ir es la distancia desde la i-ésima carga iq al punto donde se calcula

V .

Para una carga puntual es

r qV

041

ε π = (24)

Potencial producido por una distribución continua de carga

Si dividimos la distribución continúa en un numero N muy grande de cargas

iq∆ , a las que aplicamos la ecuación para un sistema de cargas puntuales, en el

limite cuando ∞→ N es dqqi →∆ y la suma se transforma en una integral

extendida sobre la región del espacio que ocupa la distribución de carga.

∫∑ =∆

=

=→∆∞→ r

dq

r

q LimV

N

i i

i

q N

i0

100 4

1

4

1

ε π ε π (25)

r es la distancia desde la carga infinitesimal dq al punto P donde se evalúa el

potencial.

Diferencia de potencial

Definimos la diferencia de potencial a partir de la diferencia de energía

potencial

0q

U U V V ab

ab

−=− (26)

Pero vimos que podemos expresar la diferencia de energía potencial como

∫ →→

⋅−=−b

aab dl E qU U 0

por lo que



C O P Y



∫ →→

⋅−=−b

aab dl E V V (27)

Como la fuerza eléctrica es conservativa, se puede usar cualquier caminopara calcular la integral.

Relación entre→ E y V .

Si elegimos 0==⇒∞= ∞V V a a y V P V V P b b ==⇒≡ )( , podemos

escribir

∫∞

→→⋅−=

P

dl E V (28)

Si conocemos la expresión del campo → E , podemos calcular (en principio)

V utilizando esta expresión.

Analicemos ahora si podemos realizar el proceso inverso, es decir, conocido

V , determinar→ E . Como V es la integral de línea de

→ E , es de esperar que

→ E sea

alguna forma de derivada de V (operación inversa de la integración) con signo

cambiado.

La diferencia de potencial entre dos puntos próximos ),,( z y x P a y

),,( z y x x P b

∆+ esta dada por:

( , , ) ( , , ) x x

x V x x y z V x y z E d l

→ →+∆

+ ∆ − = − ⋅∫

Si expresamos el producto escalar E d l → →

⋅ en función de sus componentes



C O P Y



( ) ( 0 0 )x y z x E dl E i E j E k dx i j k E dx → →

⋅ = + + ⋅ + + =

reemplazando en la integral

( , , ) ( , , )

x x

x x V x x y z V x y z E dx

+∆

+ ∆ − = − ∫

Si x∆ es pequeño, x E es ≅ Cte dentro del intervalo de integración

(rigurosamente cierto en el límite 0→∆ x

( , , ) ( , , ) x V x x y z V x y z E x + ∆ − ≅ − ∆

0

( , , ) ( , , )x

x

V x x y z V x y z Lim E

x ∆ →

+ ∆ − = − ∆

x

V E

x ∂− =∂

La componente x del campo es igual a la derivada parcial del potencial V con respecto a x cambiada de signo,

De manera similar obtenemos para los ejes y y z las relaciones

V E

z

V E

yV E

x

V E

z

y

x

→→

∇−=⇒

∂

∂−=

∂∂−=

∂

∂−=

(29)

El operador→

∇ es el Gradiente. Si hay simetría esférica, V solo depende de

r, y E tendrá solamente componente radial r E dada por

dr

dV E r −= (30)

Ejemplo: Carga puntual. Calculo del campo eléctrico a partir del potencial

2 20 0 0

1 1 1( )

4 4 4

d d q q q Er V r

dr dr r r r π ε π ε π ε

− − = − = − = =

La unidad de campo eléctrico es

V Volt V E

L metro m

= = =

alternativo aF Newton N

E q Coulomb C

= = =



C O P Y


Superficies equipotenciales.

Una superficie equipotencial es aquella en la que el potencial tiene el mismovalor en todos sus puntos. Por esto cuando una partícula se mueve sobre unasuperficie equipotencial la fuerza eléctrica no realiza trabajo.

0 0

1 b b a

b a a

U U V V F d l

q q

→ →−− = = − ⋅∫

Si 0 0b

b a ab a V V W F d l

→ →

− = ⇒ = ⋅ =∫

Ejemplos de superficies equipotenciales

Campo uniforme Esfera cargada

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