Unidad V_diseño a Flexo Compresion-columnas

UNIDAD V: DISEÑO A FLEXO COMPRESION-COLUMNAS

1

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

5.1 INTRODUCCIÓN

En esta unidad se presenta un análisis introductorio sobre columnas de concreto reforzado

con especial énfasis en las columnas cortas, sometidas a momentos flectores pequeños.

Suele decirse que tales columnas están “cargadas axialmente”. También se estudiarán las

columnas cortas con momentos flectores grandes, mientras que las columnas largas o

esbeltas se tratarán en el segundo curso.

Las columnas de concreto pueden clasificarse en las tres siguientes categorías:

Pedestales o bloques cortos a compresión. Si la altura de un miembro vertical a compresión

es menor que tres veces el ancho de la sección transversal, puede considerarse como un

pedestal. El ACI (2.2 y 10.14) establece que un pedestal puede diseñarse con concreto

simple o sin refuerzo, con un esfuerzo máximo de diseño a compresión igual a 0.85𝜙 f´c ,

donde 𝜙 es 0.65. Si la carga total aplicada al miembro es mayor que 0.85 𝜙 f´c Ag será

necesario ya sea incrementar el área de la sección transversal del pedestal o bien diseñarlo

como una columna de concreto reforzado.

2 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD IV - Ing. E. De La Rosa Ríos

Columnas cortas de concreto reforzado. Si una columna de concreto reforzado falla debido a

la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga que puede soportar está

regida por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los materiales de

que está construida. Consideramos que una columna corta es un miembro más bien robusto

con poca flexibilidad.


Columnas largas o esbeltas de concreto reforzado. A medida que las columnas se hacen más

esbeltas, las deformaciones por flexión también aumentarán, así como los momentos

secundarios resultantes. Si estos momentos son de tal magnitud que reducen

significativamente la capacidad de carga axial de la columna, ésta se denomina larga o

esbelta.

Cuando una columna está sometida a momentos primarios (aquellos momentos causados por

las cargas aplicadas, rotaciones de los nudos, etc.), el eje del miembro se deflexiona

lateralmente, dando por resultado momentos adicionales iguales a la carga de la columna

multiplicada por la deflexión lateral. Estos momentos se llaman momentos secundarios o

momentos P∆ y se ilustran en la figura 5.1.

Una columna que tiene momentos secundarios grandes se llama columna esbelta y es

necesario dimensionar su sección transversal para la suma de los momentos primarios y

secundarios. El propósito del ACI es permitir diseñar las columnas como columnas cortas si el

efecto secundario o efecto P∆ no reduce su resistencia en más de 5%.

Es decir, según la importancia de deformaciones en el análisis y diseño, las columnas pueden

ser cortas o largas. Las cortas son aquéllas que presentan deflexiones laterales que no afectan

su resistencia. Por el contrario, las columnas largas ven reducida su resistencia por ellas.



Las relaciones de esbeltez efectivas se

describen y evalúan y se usan para clasificar

las columnas como cortas o como esbeltas.

Cuando las relaciones son mayores que

ciertos valores (según que las columnas

estén o no arriostradas lateralmente), se

clasifican como columnas esbeltas.

Figura 5.1 Momento secundario o momento P ∆.

Los efectos de esbeltez pueden despreciarse

en aproximadamente 40% de todas las

columnas no arriostradas y en

aproximadamente 90% de aquellas

arriostradas contra el desplazamiento

lateral. Sin embargo, estos porcentajes

probablemente disminuyen año tras año,

debido al uso creciente de columnas más

esbeltas diseñadas con el método de

resistencia, usando materiales más

resistentes y con una mejor noción del

comportamiento por pandeo de las

columnas.



Las columnas pueden ser de concreto

armado exclusivamente o pueden

incluir perfiles de acero estructural.

En este caso se denominan columnas

compuestas. En la figura 5.2 se

muestran columnas con estribos, con

refuerzo en espiral y algunos tipos de

columnas compuestas.

Figura 5.2. Tipos de columnas



5.2 ANÁLISIS Y DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS DE CONCRETO ARMADO

5.2.1 Análisis de columnas cortas sometidas a compresión pura

La resistencia de columnas cortas de concreto armado sometidas a compresión pura está

dada por la expresión:

𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

sin embargo, el código del ACI reconoce que no existe columna real sometida a carga con

excentricidad nula, tomando en cuenta este hecho, plantea reducir la resistencia definida

por la ecuación anterior, transformándola en:

Si el refuerzo transversal está constituido por estribos: 𝜙 = 0.65

𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦 (Ec. 10-1, ACI) (5.1)

Si el refuerzo transversal está constituido por espirales: 𝜙 = 0.75

𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.85𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦 (Ec. 10-1, ACI) (5.2)

donde:

𝐴𝑠𝑡: Área total de la sección transversal del refuerzo longitudinal, incluyendo varillas y

perfiles de acero.

𝐴𝑔: Área de la sección bruta de concreto.



Los factores 0.85 y 0.80 son equivalentes a excentricidades de aproximadamente, 5% y 10% del lado para columnas con espiral y con estribos, respectivamente.

Los valores de 𝑃𝑢 no podrán ser mayores que 𝜙𝑃𝑛 tanto para columnas sometidas a

compresión pura como para columnas a flexo-compresión.

Ejemplo 5.1 Determinar la capacidad máxima a compresión de la columna de concreto armado de

la figura, si el concreto es de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y el acero de 𝑓𝑦 = 4200𝑘𝑔

𝑐𝑚2 .

8#6

𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝐴𝑔 = 30 30 = 900 𝑐𝑚2

𝐴𝑠𝑡 = 8 2.84 = 22.72 𝑐𝑚2

𝜙 = 0.65, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠.

𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80 0.65 0.85 210 900 − 22.72 + 22.72 4200 = 131050 𝑘𝑔 = 131.1 𝑡



Ejemplo 5.2 Determinar la armadura longitudinal requerida para que la columna de concreto armado de la figura pueda resistir una carga axial de rotura de 120 t , si el concreto es

de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y el acero de 𝑓𝑦 = 4200𝑘𝑔

𝑐𝑚2 .

𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑃𝑢0.80𝜙

= 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

Solución:

𝐴𝑠𝑡 =

𝑃𝑢0.85𝜙

− 0.85𝑓´𝑐𝐴𝑔

𝑓𝑦 − 0.85𝑓´𝑐=

120 0000.85 0.65

− 0.85 210 625

4200 − 0.85 210= 26.27 𝑐𝑚2

𝐴𝑔 = 25 25 = 625 𝑐𝑚2

Usar: 4∅1" + 4∅5"

8= 28.36 𝑐𝑚2, se pude usar ∅1“ en esquinas y ∅

5"

8 en la mitad de caras.

Verificando cuantía: 0.01< 𝜌 =𝐴𝑠𝑡

𝐴𝑔=

28.36

625= 0.04538 < 0.06 ← 𝐴𝐶𝐼 − 10.9.1

La cuantía está dentro del rango permitido, sin embargo resulta antieconómica, podría rediseñarse la columna con una sección mayor que permita reducir la cuantía.



EJEMPLO 5.3 Diseñar una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta axial D de 580

kN y una carga viva axial L de 800 kN. Suponga inicialmente 2% de acero longitudinal,

𝑓´𝑐 = 280𝑘𝑔

𝑐𝑚2 , 𝑓𝑦 = 4200 𝑘𝑔/ 𝑐𝑚2 .

SOLUCIÓN : 𝑷𝒖= (1.4)(580) + (1.7)(800) = 2 172 kN

Dimensiones de la columna: 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

2 172 10−3 = 0.80 0.65 0.85 28 𝐴𝑔 − 0.02𝐴𝑔 + 0.02𝐴𝑔 420

𝐴𝑔 = 0.10580 𝑚2 = 105804 𝑚𝑚2 = 1058.04 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 35x35 𝐴𝑔 = 1225 𝑐𝑚2

Selección de las varillas longitudinales:

2.172 = 0.80 0.65 0.85 28 0.1225 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 420

𝐴𝑠𝑡 = 0.00161𝑚2 = 1609.2 𝑚𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝟒∅𝟑"

𝟒+ 𝟒∅

𝟏"

𝟐= 1652 𝑚𝑚2

se pude usar 4∅3"

4 en esquinas y 4∅

1"

2 en la mitad de caras.

35 cm

35 cm

Diseño de los estribos (suponiendo varillas del #3): (ACI-7.10.5.1)

16𝑑𝑏 = 16 19.1 𝑚𝑚 = 305.6 𝑚𝑚 48𝑑𝑏(𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜) = 48 9.5𝑚𝑚 = 456.0 𝑚𝑚

no< 𝑏 = 350 𝑚𝑚 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅3"

8@35 𝑐𝑚.



0.01 < 𝜌 =16.52

1225= 0.01349 < 0.06 ← 𝑂𝐾.

EJEMPLO 5.4

Diseñar una columna redonda zunchada para soportar una carga muerta axial D de 1070

kN y una carga viva axial L de 1335 kN. Inicialmente suponga aproximadamente 2% de

acero longitudinal, 𝑓´𝑐= 280 kg/𝑐𝑚2 y 𝑓𝑦 = 4200𝑘𝑔

𝑐𝑚2 .

SOLUCIÓN : 𝑷𝒖= (1.4)(1070) + (1.7)(1330) = 3 759 kN

Selección de dimensiones de columna y del refuerzo:

3.759 = 0.80 0.75 0.85 28 𝐴𝑔 − 0.02𝐴𝑔 + 0.02𝐴𝑔 420

𝐴𝑔 = 0.1678545 𝑚2 = 1685.5 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 48 𝑐𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 1809.6 𝑐𝑚2.

𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

3.759 = 0.80 0.75 0.85 28 0.18096 − 𝐴𝑠𝑡 + 𝐴𝑠𝑡 420 𝐴𝑠𝑡 = 0.002896𝑚2 = 28.96 𝑐𝑚2 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟: 𝟔∅𝟏" =30.6 𝑐𝑚2

Diseño de la espiral:

𝐴𝑐 =𝜋(𝐷𝑐)2

4=𝜋 40 2

4= 1256.64 𝑐𝑚2

𝑨𝑪𝑰 − 𝟏𝟎. 𝟗. 𝟑 : Ec. (10.5) → 𝜌𝑠,𝑚í𝑛 = 0.45𝐴𝑔

𝐴𝑐− 1

𝑓´𝑐

𝑓𝑦= 0.45

1809.6

1256.64− 1

280

4200=0.01320



Para la espiral de ∅3"

8∶ 𝑑𝑏 = 0.95 𝑐𝑚; 𝑎𝑠 = 0.71 𝑐𝑚2

𝜌𝑠 =4𝑎𝑠 𝐷𝑐 − 𝑑𝑏

𝑠(𝐷𝑐)2→ 0.0132 =

4 0.71 40 − 0.95

𝑠 40 2→ 𝑠 = 5.25 𝑐𝑚 ≈ 5 𝑐𝑚

𝜌𝑠 =4𝑎𝑠 𝐷𝑐 − 𝑑𝑏

𝑠(𝐷𝑐)2=4 0.71 40 − 0.95

5 40 2 = 0.01386 < 𝜌𝑠,𝑚í𝑛 = 0.0132

Sección transversal de la columna:

•

•

•

• •

•

ℎ = 48 𝑐𝑚

𝐷𝑐 = 40 cm 4 cm 4 cm

6 ∅1"

Espiral : ∅3"

8@𝑠 = 5 cm



5.2.2 Análisis de columnas cortas sometidas a flexo-compresión

Una columna sometida a flexo-compresión puede considerarse como el resultado de la

acción de una carga axial excéntrica o como el resultado de la acción de una carga axial

y un momento flector. Ambas condiciones de carga son equivalentes y serán empleadas

indistintamente para el análisis de columnas cortas sometidas a flexo-compresión.

Para el análisis, la excentricidad de la carga axial se tomará respecto al centro plástico.

Este punto se caracteriza porque tiene la propiedad de que una carga aplicada sobre él

produce deformaciones uniformes en toda la sección. En secciones simétricas el centro

plástico coincide con el centroide de la sección bruta y en secciones asimétricas coincide

con el centroide de la sección transformada. Conforme la carga axial se aleja del centro

plástico, la distribución de deformaciones se modifica, como se muestra en la figura 5.3.



Figura 5.3. Variación de la distribución de deformaciones en la sección de acuerdo a

la ubicación de la carga axial



Las hipótesis asumidas en unidad II para el análisis de concreto sometido a flexión, son

válidas también para el análisis de elementos sometidos a flexo-compresión.

Una columna con una distribución determinada de refuerzo y dimensiones definidas

tiene infinitas combinaciones de carga axial y momento flector que ocasionan su falla o

lo que es equivalente, las cargas axiales que ocasionan el colapso varían dependiendo de

la excentricidad con que son aplicadas. Al igual que las secciones sometidas a flexión

pura, las columnas pueden presentar falla por compresión, por tensión, o falla

balanceada. Sin embargo, a diferencia de ellas, una columna puede presentar cualquiera

de los tres tipos de falla dependiendo de la excentricidad de la carga axial que actúa

sobre ella. Si ésta es pequeña, la falla será por compresión; si la excentricidad es mayor,

la falla será por tensión. Además, cada sección tiene una excentricidad única,

denominada excentricidad balanceada que ocasiona la falla balanceada de la sección.

Puesto que cada columna puede presentar tres tipos de falla distintos, cada una cuenta

con tres juegos de ecuaciones que definen su resistencia, ya sea en términos de carga

axial y momento resistente, o en términos de carga axial resistente para una determinada

excentricidad. El procedimiento para determinar estas ecuaciones es sencillo. En esta

sección se le presentará aplicado a un caso en particular: una columna de sección

rectangular con refuerzo dispuesto simétricamente. En la figura 5.4, se muestra la

notación utilizada en la formulación presentada.



Figura 5.4. Sección rectangular analizada en la sección 5.2.2. y su análisis



Para determinar la ecuación que corresponde a la condición de falla por compresión, se

asume un diagrama de deformaciones como el mostrado en la figura 5.5.a, el cual genera

los esfuerzos internos mostrados. La capacidad resistente del elemento estará dada por la

resultante de las fuerzas desarrolladas en el acero y el concreto. Por lo tanto:

𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎ℎ

2−𝑎

2+ 𝐴´𝑠𝑓´𝑠

ℎ

2− 𝑑´ + 𝐴𝑠𝑓𝑠 𝑑 −

ℎ

2 (5.4)

𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 + 𝐴´𝑠𝑓´𝑠 − 𝐴𝑠𝑓𝑠 (5.3)

Los esfuerzos en el acero en compresión y en tensión se determinan por semejanza de

triángulos:

𝑓´𝑠 =𝑐−𝑑´

𝑐0.003𝐸𝑠 (5.5)

𝑓´𝑠 = 6117𝑐−𝑑´

𝑐 (𝐸𝑛 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) (5.5-a)

𝑓´𝑠 = 611.7𝑐−𝑑´

𝑐 (𝐸𝑛 𝑀𝑃𝑎) (5.5-b)

𝑓𝑠 =𝑑−𝑐

𝑐0.003𝐸𝑠 (5.6)

𝑓𝑠 = 6117𝑑−𝑐

𝑐 (𝐸𝑛 𝐾𝑔/𝑐𝑚2) (5.6-a)

𝑓𝑠 = 611.7𝑑−𝑐

𝑐 (𝐸𝑛 𝑀𝑃𝑎) (5.6-b)



Whitney propuso la siguiente expresión aproximada para determinar la resistencia a la

compresión de una columna que falla en compresión:

𝑃𝑛 =𝐴´𝑠𝑓𝑦𝑒

𝑑 − 𝑑´+ 0.5

+𝑏ℎ𝑓´𝑐

3ℎ𝑒𝑑2

+ 1.18

Esta expresión es válida para secciones con refuerzo simétrico dispuesto en una capa

paralela al eje alrededor del cual se produce la flexión.

Cuando la falla es balanceada, el refuerzo en tensión alcanza el esfuerzo de fluencia y

simultáneamente, el concreto llega a una deformación unitaria de 0.003. La deformación

en la sección es como se muestra en la figura 5.5.b. En este caso, la resistencia de la

columna será:

𝑃𝑛𝑏 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎𝑏 + 𝐴´𝑠𝑓𝑦 − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (5.7)

𝑀𝑛𝑏 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎𝑏ℎ

2−𝑎𝑏2

+ 𝐴´𝑠𝑓´𝑠ℎ

2− 𝑑´ + 𝐴𝑠𝑓𝑦 𝑑 −

ℎ

2 (5.8)

Donde:

𝑎𝑏 = 𝛽16117

6117+𝑓𝑦𝑑 (𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟á𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠,

𝑘𝑔

𝑐𝑚2) (5.9)

𝑎𝑏 = 𝛽1611.7

611.7+𝑓𝑦𝑑 (𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑆𝐼) (5.9 − 𝑎)



Figura 5.5. Tipos de fallas de columnas sometidas a flexo-compresión

La excentricidad balanceada de la sección estará dada por:

𝑒𝑏 =𝑀𝑛𝑏

𝑃𝑛𝑏



Whitney propuso las siguientes expresiones simplificadas para la determinación de la

excentricidad balanceada de una sección:

− 𝑆𝑒𝑐𝑐. 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑒𝑏 = ℎ 0.20 + 0.77𝜌𝑡𝑚 − 𝑆𝑒𝑐𝑐. 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑒𝑏 = ℎ 0.24 + 0.39𝜌𝑡𝑚

Donde: 𝜌𝑡 =𝐴𝑠𝑡

𝑏𝑑 ; 𝑚 =

𝑓𝑦

0.85𝑓´𝑐

Si la columna falla por tracción, el acero en tensión alcanzará el esfuerzo de fluencia, la

carga última será menor que 𝑃𝑛𝑏 y la excentricidad de la carga será mayor que la

excentricidad balanceada. La deformación en la sección será la mostrada en la figura

5.5.c. y su resistencia estará dada por:

𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 + 𝐴´𝑠𝑓𝑦 − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (5.10)

𝑀𝑛 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎ℎ

2−𝑎

2+ 𝐴´𝑠𝑓´𝑠

ℎ

2− 𝑑´ + 𝐴𝑠𝑓𝑦 𝑑 −

ℎ

2 (5.11)

La resistencia nominal de una columna que falla por tensión se puede determinar

aproximadamente a través de la siguiente expresión, propuesta por el código del ACI de

1963:



𝑃𝑛 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑑 −𝜌 + 1 −𝑒´

𝑑+ 1 −

𝑒´

𝑑

2

+ 2𝜌𝑚´ 1 −𝑑´

𝑑+ 2𝜌

𝑒´

𝑑

Donde: 𝑚´ = 𝑚 − 1 ; 𝑒´ = 𝑒 + 𝑑 −ℎ

2 .

La expresión anterior es válida para secciones simétricas.

La representación gráfica de las combinaciones carga axial-momento flector que generan

la falla de una sección se denomina diagrama de interacción. En la figura 5.6 se muestra

un diagrama típico de una sección rectangular con refuerzo simétrico.

El punto A corresponde a la carga axial de rotura teórica cuando la sección no está

sometida a flexión. En la sección 5.2.1 se indicó que el código del ACI recomienda tomar

un porcentaje de esta carga como resistencia de la sección. La recta BC responde a esta

limitación. El punto D de la curva representa la combinación de carga y momento que

define la condición balanceada.

Las combinaciones carga axial-momento contenidas en el tramo CD generan fallas por

compresión, mientras que en el tramo DE, las fallas son por tensión. El punto E del

diagrama de interacción representa un estado de flexión pura en el elemento. El

comportamiento en este caso es similar al de una viga.



Figura 5.6. Diagrama de interacción de una sección rectangular con refuerzo simétrico.



En el diagrama presentado en la figura 5.6, se puede observar que:

1. La máxima carga axial que puede soportar una columna corresponde a la combinación

carga axial-momento flector en la cual el momento es nulo.

2. El máximo momento flector que puede soportar una columna no corresponde al

estado de flexión pura.

3. Cada carga axial se combina sólo con un momento flector para producir la falla

mientras que cada momento flector puede combinarse con dos cargas axiales para

lograr el mismo efecto.

4. Todos los puntos dentro del diagrama de interacción, como el punto F, representan

combinaciones carga axial-momento flector que pueden ser resistidas por la sección.

Los puntos fuera del diagrama, como el punto G, son combinaciones que ocasionan

la falla.

5. Una recta que une el origen con un punto sobre el diagrama de interacción puede

interpretarse como la historia de carga de una sección con carga excéntrica fija que es

incrementada hasta la rotura.

El diagrama de interacción representa todas las combinaciones de falla y por ende

constituye una descripción completa de la capacidad resistente de una sección.



5.2.3 Diseño de columnas cartas de concreto armado

Para estimar, en principio, las dimensiones de la sección, se suele emplear expresiones como las

siguientes:

Para columnas con estribos:

𝐴𝑔 ≥𝑃𝑢

0.45 𝑓´𝑐+𝑓𝑦𝜌𝑡 (5.12)

Para columnas con refuerzo en espiral:


0.55 𝑓´𝑐+𝑓𝑦𝜌𝑡 (5.13)

Donde: 𝜌𝑡 =𝐴𝑠𝑡

𝐴𝑔

A partir del área estimada, se definen las dimensiones de la sección del elemento, las

cuales suelen ser múltiplos de 5 cm. Si la columna está sometida a momentos flectores

elevados, el área estimada a través de las expresiones (5-12) y (5-13) puede resultar

insuficiente.

Si la columna estuviera sometida a compresión pura, el área de acero se determinaría

directamente a través de la expresión (5-1) ó (5-2). Se escogen las varillas y se distribuye

el refuerzo.



Si la columna está sometida a flexo-compresión, se emplean los diagramas de interacción

presentados en el apéndice C. Es necesario definir una distribución de refuerzo para

escoger el diagrama de interacción a utilizar. Se evalúan las cargas Pu y Mu, y se calcula 𝑃𝑢

𝑓´𝑐𝐴𝑔 y

𝑒

ℎ. Con el primer valor se ingresa al diagrama de interacción por el eje vertical y

se ubica sobre la recta e/h correspondiente, el punto que corresponde a la condición de

carga analizada. De acuerdo a la distribución de los diagramas para diferentes cuantías de

refuerzo, se estima una cuantía para dicho punto. Para optimizar el diseño, se puede repetir

el proceso con otras distribuciones de refuerzo, evaluando las cuantías en cada caso.

Finalmente se elige la sección más eficiente, es decir, la que requiera menos refuerzo. De

ser preciso, se reconsidera las dimensiones de la sección transversal.

Limitaciones del refuerzo en miembros a compresión

El código del ACI recomienda una cuantía mínima y una cuantía máxima de refuerzo que

se debe utilizar en columnas, de acuerdo a algunos criterios que se presentan a

continuación (ACI-10.9).

En la figura 5.7 se muestran algunas distribuciones de acero longitudinal.



Figura 5.7. Distribuciones típicas de acero longitudinal.



5.2.3 DESARROLLO DE LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

Si se aplica una carga axial de compresión a un miembro corto de concreto, éste quedará

sometido a una deformación unitaria uniforme o acortamiento, como se muestra en la

figura 5.8(a).

Si un momento sin ninguna carga axial se aplica al mismo miembro, el resultado será una

flexión respecto al eje neutro del miembro, tal que la deformación unitaria será

proporcional a la distancia del eje neutro. Esta variación lineal de la deformación se

muestra en la figura 5.8(b).

Si se aplican al mismo tiempo una carga axial y un momento, el diagrama resultante de

deformación unitaria será una combinación de dos diagramas lineales que también será

lineal, como se ilustra en la figura 5.8(c).

Como resultado de esta

linealidad, podemos suponer

ciertos valores numéricos para

la deformación unitaria en una

parte de la columna y

determinar las deformaciones

unitarias en otras partes por

medio de la interpolación lineal.

Figura 5.8 Deformaciones unitarias en la columna.



Al cambiar la carga axial aplicada a una columna, el momento que la columna puede

resistir también cambiará. En esta sección se muestra cómo puede desarrollarse una curva

de interacción para los valores nominales de la carga axial nominal y del momento para una

columna particular.

Suponiendo que el concreto en el borde de compresión de la columna falla a una

deformación unitaria de 0.003, se puede suponer una deformación unitaria en el borde

alejado de la columna y calcular por estática los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛. Luego, manteniendo la

deformación unitaria de compresión a 0.003 en el borde extremo, podemos suponer una

serie de diferentes deformaciones unitarias en el otro borde y calcular 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛 para cada

valor diferente. Finalmente se obtendrá un número de valores suficiente para representar

gráficamente una curva de interacción como la que se muestra en la figura 5.8.

Para elaborar curvas de interacción nominal de la sección de una columna, se procede de

la siguiente manera:

1. Se definen diferentes posiciones del eje neutro.

2. Para cada posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias en cada fibra de

la pieza, tomando como base la deformación máxima del concreto 𝜖𝑐 = 0.003 (𝐴𝐶𝐼 − 10.3.3).

3. En función de las deformaciones en el acero y en el concreto se determinan se determinan

los diagramas de esfuerzos en el concreto y la magnitud de los esfuerzos en el acero.

4. Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internas, que por

equilibrio deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externas solicitantes. (ACI-10.3.1).



EJEMPLO 5.5

Dibujar la curva de interacción de cargas nominales y momentos flectores nominales

respecto al eje centroidal x de la columna de la figura, tomando ejes neutros paralelos a

dicho eje. Si el 𝑓´𝑐 = 210𝑘𝑔

𝑐𝑚2 𝑦 𝑒𝑙 𝑓𝑦 = 4 200𝑘𝑔

𝑐𝑚2 .

8∅#6

𝐴𝑠1 = 8.52 𝑐𝑚2 𝐴𝑠2 = 5.68 𝑐𝑚2 𝐴𝑠3 = 8.52 𝑐𝑚2

La deformación unitaria que ocasiona la fluencia en el acero es:

𝜖𝑦 =𝑓𝑦

𝐸𝑠=

4200

2039000= 0.00206

Para 𝜖𝑠 < 𝜖𝑦: 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑠 = 𝐸𝑠𝜖𝑠 (𝐴𝐶𝐼 − 10.2.4)

Para 𝜖𝑠 > 𝜖𝑦: 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 (𝐴𝐶𝐼 − 10.2.4)

28 CONCRETO ARMADO I – UNIDAD V - Ing. E. De La Rosa Ríos


Punto 1 del diagrama de interacción: se supone que todas las fibras tienen deformación unitaria igual a la máxima deformación permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003, lo que es equivalente a la ubicación del E.N. en el infinito.

Cálculo de deformaciones unitarias:

𝜀1 = 0.003 > 0.00206 𝜀2 = 0.003 > 0.00206 𝜀3 = 0.003 > 0.00206

Cálculo de esfuerzos en el acero:

𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 Cálculo de fuerza de compresión en el concreto:

𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 = 0.85 210 40 40 = 285600 𝑘𝑔

Cálculo de fuerza de compresión en el acero:

𝑃1 = 𝐴𝑠1𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2𝑓𝑠2 = 5.68 4 200 = 23856 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal:

𝑃𝑛1 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 285 600 + 35 784 + 23 856 + 35 784 = 381 024 𝑘𝑔 = 381.0 𝑡 𝑷𝒏𝟏 = 𝟑𝟖𝟏. 𝟎 𝒕



Cálculo del momento flector nominal con respecto al eje centroidal x:

𝑀𝑛1 = 285600 0 + 35 784 14 + 23856 0 − 35 784 14 = 0.0 𝑴𝒏𝟏 = 𝟎. 𝟎

Punto 2 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y coincide con el borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003.


𝜀1 = 0.00334

40= 0.00255 > 0.00206

𝜀2 = 0.00320

40= 0.0015 < 0.00206

𝜀3 = 0.0036

40= 0.00045 < 0.00206

Cálculo de esfuerzos en el acero: 𝑓𝑠1 = 𝑓𝑦 = 4 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠𝜀2 = 2039000 0.0015 = 3 058.5 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝐸𝑠𝜀3 = 2039000 0.00045 = 917.6 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

Cálculo de fuerza de compresión en el concreto:

𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 = 0.85 210 40 34.0 = 242 760 𝑘𝑔




𝑃1 = 𝐴𝑠1𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2𝑓𝑠2 = 5.68 3 058.5 = 17 372.3 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3𝑓𝑠3 = 8.52 917.6 = 7 818.0 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛2 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 242 760 + 35 784 + 17 372.3 + 7 818.0 = 303734.3 𝑘𝑔 = 303.7 𝑡 𝑷𝒏𝟐 = 𝟑𝟎𝟑. 𝟕 𝒕


𝑀𝑛2 = 242 760 20 −34.0

2+ 35 784 14 + 17 372.3 0 − 7 818 14 = 1 119 804 kg. cm

𝑴𝒏𝟐 = 𝟏 𝟏𝟏𝟗. 𝟖 𝒕.cm

Punto 3 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 10 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003.


𝜀1 = 0.00324.0

30.0= 0.00240 > 0.00206

𝜀2 = 0.00310.0

30.0= 0.00100 < 0.00206

𝜀3 = 0.0034.0

30.0= 0.00040 < 0.00206




𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠𝜀2 = 2039000 0.0010 = 2 039 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝐸𝑠𝜀3 = 2039000 0.00040 = 815.6 𝑘𝑔/𝑐𝑚2


𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 = 0.85 210 40 25.5 = 182 070 𝑘𝑔


𝑃1 = 𝐴𝑠1𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2𝑓𝑠2 = 5.68 2 039 = 11 581 .52 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3𝑓𝑠3 = 8.52 815.6 = 6 948.91 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛3 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3 = 18 2 070 + 35 784 + 11 581.52 − 6 948.91 = 222 486.61 𝑘𝑔 = 222.5 𝑡 𝑷𝒏𝟑 = 𝟐𝟐𝟐. 𝟓 𝒕


𝑀𝑛3 = 182 070 20 −25.5

2+ 35 784 14 + 11 581.52 0 − 6 948.91 14 = 1 723 698.76 kg. cm

𝑴𝒏𝟑 = 𝟏 𝟕𝟐𝟑. 𝟕𝒕. 𝒄𝒎



Punto 4 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 20 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna. La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003.


𝜀1 = 0.00314.0

20.0= 0.00210 > 0.00206

𝜀2 = 0.0

𝜀3 = 0.00314.0

20.0= 0.00210 < 0.00206


𝑓𝑠2 = 𝐸𝑠𝜀2 = 2039000 0.0 = 0.0 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2


𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 = 0.85 210 40 17 = 121 380 𝑘𝑔


𝑃1 = 𝐴𝑠1𝑓𝑠1 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2𝑓𝑠2 = 5.68 0.0 = 0.0 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛4 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 + 𝑃2 − 𝑃3 = 121 380 + 35 784 + 0.0 − 35 784 = 121 380 𝑘𝑔 = 121.38 𝑡 𝑷𝒏𝟒 = 𝟏𝟐𝟏. 𝟑𝟖 𝒕




𝑀𝑛4 = 121 380 20 −17

2+ 35 784 14 + 0 0 + 35 784 14 = 2 397 822 kg.cm

𝑴𝒏𝟒 = 𝟐 𝟑𝟗𝟕. 𝟖 𝒕.m

Punto 5 del diagrama de interacción: El E.N. es paralelo al eje x, y está a 32.66 cm por encima del borde inferior de la sección transversal de la columna (la posición fue obtenida por tanteo hasta alcanzar flexión pura). La deformación unitaria en el borde superior es la máxima permitida por el concreto 𝜖𝑐 = 0.003.


𝜀1 = 0.0031.34

7.34= 0.000548 < 0.00206

𝜀2 = 0.00312.66

7.34= 0.005174 > 0.00206

𝜀3 = 0.00326.66

7.34= 0.010896 > 0.00206

Cálculo de esfuerzos en el acero: 𝑓𝑠1 = 𝐸𝑠𝜀1 = 2039000 0.000548 = 1 117.4 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑓𝑠2 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝑓𝑠3 = 𝑓𝑦 = 4 2000 𝑘𝑔/𝑐𝑚2


𝐶𝑐 = 0.85𝑓´𝑐𝑏𝑎 = 0.85 210 40 6.24 = 44 553.6 𝑘𝑔



Cálculo de fuerza de compresión en el acero: 𝑃1 = 𝐴𝑠1𝑓𝑠1 = 8.52 1 117.4 = 9 520. 2𝑘𝑔 𝑃2 = 𝐴𝑠2𝑓𝑠2 = 5.68 4 200 = 23 856 𝑘𝑔 𝑃3 = 𝐴𝑠3𝑓𝑠3 = 8.52 4 200 = 35 784 𝑘𝑔

Cálculo de carga axial nominal: 𝑃𝑛5 = 𝐶𝑐 + 𝑃1 − 𝑃2 − 𝑃3 = 44 553.6 + 9 520 − 23 856 − 35 784 = −5562.4 𝑘𝑔 = −5.6 𝑡 𝑷𝒏𝟓 = −𝟓. 𝟔 𝒕 = 𝟎. 𝟎 𝒕


𝑀𝑛5 = 44 553.6 20 −6.24

2+ 9 520 14 + 23 856 0 + 35 784 14 = 1386320.8 kg.cm

𝑴𝒏𝟓 = 𝟏 𝟑𝟖𝟔. 𝟑𝒕.cm

Punto Mn Pn

1 0.0 381.0

2 1119.8 303.7

3 1723.7 222.5

4 2397.8 121.4

5 1386.3 0.0

0.0, 381.0

1119.8, 303.7

1723.7, 222.5

2397.8, 121.4

1386.3, 0.0 0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

450.0

0.0 500.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 3000.0

Pn

(t)

Mn (t-cm)

CURVA DE INTERACCIÓN NOMINAL

Figura 5.9



5.2.3 MODIFICACIONES DE CÓDIGO A LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

DE COLUMNA Si se preparan curvas de interacción para los valores de 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛, serían del tipo

mostrado en las figuras 5.9. Para usar tales curvas para obtener valores de diseño,

tendrían que pasar por tres modificaciones como se especifica en el código. Estas

modificaciones son como sigue:

a) El artículo 9.3.2 del código especifica factores de reducción de resistencia o factores

𝜙(0.65 para columnas con estribos y 0.75 para columnas zunchadas) que deben

multiplicarse por los valores de 𝑃𝑛. Si una curva 𝑃𝑛 para una columna específica se

multiplicara por 𝜙 el resultado sería una curva como las mostradas en la figura 5.10.

Figura 5.10: Curvas para 𝑃𝑛y 𝜙𝑃𝑛 para una columna individual.



b) La segunda modificación también se refiere a los factores 𝜙. El código especifica

valores de 0.65 y 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente. Si una

columna tiene un momento muy grande y una carga axial muy pequeña, de modo que se

ubica en la parte inferior de la curva entre los puntos D y E (véase la figura 5.6), el uso de

estos valores pequeños de 𝜙 es poco razonable. Por ejemplo, para un miembro en flexión

pura (punto E en la misma curva) la 𝜙 especificada es de 0.90, pero si el mismo miembro

tiene una carga axial añadida muy pequeña, 𝜙 se reduce inmediatamente a 0.65 o 0.75.

Por consiguiente, el código (9.3.2.2) establece que cuando los miembros sometidos a

carga axial y flexión tienen deformaciones unitarias netas de tensión (𝜖𝑡) entre los límites

para secciones controladas a compresión y secciones controladas a tensión, se sitúan en la

zona de transición para 𝜙. En esta zona es permisible aumentar 𝜙 linealmente de 0.65 o

0.75 a 0.90 a medida que 𝜖𝑡 aumenta del límite controlado a compresión a 0.005. A este

respecto, se remite al lector nuevamente a la figura 2.10 de la unidad II donde la zona de

transición y la variación de los valores de 𝜙 se muestran claramente.

c) Como se describe en el capítulo 9, las cargas permisibles máximas de las columnas se

especificaron sin importar cuán pequeños fueran sus valores e. Como consecuencia, la

parte superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una línea

horizontal que representa el valor apropiado para columna con estribos y zunchadas de:

𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.85𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦 (Ec. 10-1, ACI) (5.2)

𝑃𝑢 = 𝜙𝑃𝑛(𝑚á𝑥) = 0.80𝜙 0.85𝑓´𝑐 𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡 +𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦 (Ec. 10-1, ACI) (5.1)



Figura 2.10 Variación de φ con

deformación unitaria neta en

tensión 𝜺𝒕 y c/dt para refuerzo

de Grado 60 y para acero de

presfuerzo. (De Unidad II).



Estas fórmulas se desarrollaron para dar resultados aproximadamente equivalentes a los

de las cargas aplicadas con excentricidades de 0.10h para columnas con estribos y 0.05h

para columnas zunchadas.

Cada una de las tres modificaciones descritas aquí está indicada en la curva de diseño de

la figura 5.6. En la figura 5.6, la línea curva continua representa a 𝑃𝑢 y 𝑀𝑢, mientras que

la línea curvada punteada es 𝑃𝑛 y 𝑀𝑛. La diferencia entre las dos curvas es el factor 𝜙.

Las dos curvas tendrían la misma forma si el factor 𝜙 no variara. Por encima de la línea

radial rotulada como “caso balanceado”, 𝜙 = 0.65 (0.75 para espirales). Debajo de la

otra línea radial etiquetada como “deformación unitaria de 0.005”, 𝜙 = 0.9. Varía entre

los dos valores en promedio y la curva 𝑃𝑢 contra 𝑀𝑢 adopta una forma diferente.

5.2.4 DISEÑO Y ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAMENTE

USANDO LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN

Si los diagramas de interacción individuales para columna se prepararan como se describió en las

secciones anteriores, sería necesario tener un diagrama para cada sección transversal diferente de

columna, para cada conjunto diferente de grados de concreto, de acero y para cada colocación

diferente de las varillas. El resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin embargo, el

número puede reducirse considerablemente si los diagramas se representan gráficamente con

ordenadas de 𝐾𝑛 = 𝑃𝑛/𝑓´𝑐𝐴𝑔 (en lugar de 𝑃𝑛) y con abscisas de 𝑅𝑛 = 𝑃𝑛𝑒/𝑓´𝑐𝐴𝑔ℎ (en lugar de 𝑀𝑛).

Los diagramas resultantes normalizados de interacción pueden usarse para secciones transversales con

dimensiones ampliamente variables. El ACI ha preparado curvas normalizadas de interacción de esta

manera para las diferentes situaciones de la sección transversal y de disposición de las varillas que se

muestran en la figura 5.11 y para grados diferentes de acero y concreto.



Figura 5.11



Los diagramas de interacción de columna del ACI se usan en los ejemplos 10.3 a 10.7 para

diseñar o analizar columnas para situaciones diferentes. Con objeto de usar correctamente

estos diagramas, es necesario calcular el valor de 𝛾 (gamma), el cual es igual a la distancia

del centro de las varillas en un lado de la columna al centro de las varillas en el otro lado

de la misma, dividida entre h, que es la altura de la sección de la columna (ambos valores

se toman en la dirección de la flexión). Usualmente el valor de 𝛾obtenido se sitúa entre un

par de curvas y se tiene que efectuar una interpolación de las lecturas de las curvas entre

ambas.

Advertencia Asegúrese de que la ilustración de la columna en el lado derecho superior de la curva de

interacción usada concuerda con la columna que se está considerando. En otras palabras,

¿se tienen varillas en dos caras de la columna o sobre las cuatro caras? Si se seleccionan

las curvas equivocadas, las respuestas pueden ser incorrectas.



Ejemplo 5.6

Diseñar las columnas de sección rectangular capaces de resistir las siguientes

combinaciones de cargas:

(a) 𝑃𝑛 =180 t. (b) 𝑃𝑛 =320 t.

𝑀𝑛 =30 t-m. 𝑀𝑛 = 7 t-m

Usar 𝑓´𝑐=280 kg/cm2 y 𝑓𝑦= 4200 kg/cm2.

Solución:

(a) 𝑃𝑛 = 180 t., 𝑀𝑛 =30 t-m.

Para el predimensionamiento para columna con estribos se asumirá cuantía de 2%.

Haciendo uso de la expresión (5.12):


0.45 𝑓´𝑐+𝑓𝑦𝜌𝑡=

0.65 180 000

0.45 280+4200∗0.02= 321 𝑐𝑚2

Puede elegirse: 25x25 𝑐𝑚2, ó 25x30 𝑐𝑚2 , escogemos la de mayor peralte, por ser más resiste a mayores momentos.

Para ingresar a los diagramas de interacción se requieren los siguientes valores:

𝐾𝑛 =𝑃𝑛

𝑓´𝑐𝐴𝑔=

180 000

280 25 ∗ 30= 0.86

𝑅𝑛 =𝑃𝑛𝑒

𝑓´𝑐𝐴𝑔ℎ=

30000 100

280 25 ∗ 30 30= 0.48;

Verificar que diagrama se utiliza:



La flexión se presenta en una sola dirección por lo que el refuerzo se distribuirá en las

caras más esforzadas de la columna. La distancia entre el refuerzo en ambas caras es

aproximadamente: 𝛾ℎ = 30 − 12 = 18 𝑐𝑚.

𝛾 =18

30= 0.60

Por lo tanto, elegimos la Gráfica 3 : Entrando a las curvas con los valores de 𝑅𝑛 y 𝐾𝑛, observamos que el punto cae fuera del diagrama, lo que indica que la sección elegida no responde. Rediseñamos la sección: probamos con 25x45 𝑐𝑚2: 𝐾𝑛 =

𝑃𝑛𝑓´𝑐𝐴𝑔

=180 000

280 25 ∗ 45= 0.57



30000 100

280 25 ∗ 45 45= 0.21;

𝛾ℎ = 45 − 12 = 33 𝑐𝑚.

𝛾 =33

45= 0.73

𝛾 0.70 0.73 0.80

𝜌𝑔 0.029 0.0278 0.025

Interpolando en los diagramas de interacción los valores de 𝛾 = 0.70 𝑦 0.80:



𝐴𝑠 = 𝜌𝑔𝑏ℎ = 0.0278 25 45 = 31.28𝑐𝑚2, Usar 6∅1“ = 30.6 𝑐𝑚2

Diseño de los estribos (suponiendo varillas del #3): (ACI-7.10.5.1)

16𝑑𝑏 = 16 19.1 𝑚𝑚 = 305.6 𝑚𝑚 48𝑑𝑏(𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜) = 48 9.5𝑚𝑚 = 456.0 𝑚𝑚

no< 𝑏 = 250 𝑚𝑚 ← 𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅3"

8@25 𝑐𝑚.

Revisión de los requisitos del código:

Limitaciones del código ACI para columnas:

(7.6.1) Separacion libre entre varillas longitudinales = 3.74 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK

(10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛= 0.01 < 𝜌 =30.6

25 45= 0.0272 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾

(10.9.2) Numero de varillas = 6 > núm. mín. de 4 ←OK

(7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para varillas #8← 𝑂𝐾

3∅1" →

3∅1" →

45 𝑐𝑚

25 𝑐𝑚

33 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚

𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 ∅3"

8@25 𝑐𝑚.→

(7.10.5.2) Separación entre estribos:@25 cm ← 𝑂𝐾

(7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 32.46 > 15𝑐𝑚 ← 𝑵𝑶 𝑪𝑼𝑴𝑷𝑳𝑬 ∴R𝑒𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑎𝑟 la columna.



𝛾 0.70 0.73 0.80

𝜌𝑔 0.04 0.0379 0.033

Probamos con la misma sección de concreto y variando la distribución de varillas de cero con las gráficas 7 y 8 :

𝐴𝑠 = 𝜌𝑔𝑏ℎ = 0.0379 25 45 = 42.64𝑐𝑚2, Usar 8∅𝟏" + 𝟐∅𝟏"

𝟐= 𝟒𝟑. 𝟑𝟖 𝒄𝒎𝟐

Probamos cambiando sección de concreto y la distribución de varillas con la gráfica 7 :

𝐾𝑛 =𝑃𝑛

𝑓´𝑐𝐴𝑔=

180 000

280 30∗40= 0.54; 𝑅𝑛 =

𝑃𝑛𝑒


30000 100

280 30∗40 40= 0.22

𝛾ℎ = 40 − 12 = 28 𝑐𝑚.→ 𝛾 =28

40= 0.70

𝜌𝑔 = 0.042 → 𝐴𝑠 = 𝜌𝑔𝑏ℎ = 0.042 30 40 = 50.4𝑐𝑚2, Usar 10∅𝟏" = 𝟓𝟏. 𝟎𝟎𝒄𝒎𝟐

(7.6.1) Separación libre ∅ long. = 1.14 cm < 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ← 𝐍𝐎 𝐂𝐔𝐌𝐏𝐋𝐄

• • • •

• • • •

• •

25 cm

33 cm

6 cm

6 cm

Con: 4∅𝟏𝟑"

𝟖+ 𝟐∅

𝟏"

𝟐= 𝟒𝟐. 𝟖𝟐 𝒄𝒎𝟐 • •

• •

25 cm

33 cm

6 cm

6 cm • •




Limitaciones del código ACI para columnas: (7.6.1) Separación libre entre varillas longitudinales = 3.31 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK

(10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛= 0.01 < 𝜌 =51

30 40= 0.0425 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾




(7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 11.46 < 15𝑐𝑚 ← 𝑂𝐾

• • • •

25 cm

33 cm

6 cm

6 cm • •

45 cm

2∅13"

8→

2∅13"

8→

2∅1"

2→


8@30 𝑐𝑚.

• • • •

• • • • • •

30 cm

6 cm

6 cm

28 cm


8@30 𝑐𝑚.→

4∅1" →

4∅1" →

2∅1" → 40 cm



(b) 𝑃𝑛 = 320 t., 𝑀𝑛 =7 t-m.

Para el predimensionamiento de columna con estribos se asumirá cuantía de 2%.

Haciendo uso de la expresión (5.12):


0.45 𝑓´𝑐+𝑓𝑦𝜌𝑡=

0.65 320 000

0.45 280+4200∗0.02= 1270 𝑐𝑚2

Puede elegirse: 35x35 𝑐𝑚2, por encontrarse el elemento está prácticamente sometido

a compresión pura.

Para ingresar a los diagramas de interacción se requieren los siguientes valores:

𝐾𝑛 =𝑃𝑛

𝑓´𝑐𝐴𝑔=

320 000

280 35 ∗ 35= 0.93



7 000 100

280 35 ∗ 35 35= 0.06;

El refuerzo se distribuirá en las caras más esforzadas de la columna. La distancia entre el

refuerzo en ambas caras es aproximadamente: 𝛾ℎ = 35 − 12 = 23 𝑐𝑚.

𝛾 =23

35= 0.66



Utilizando los diagramas de interacción correspondiente a las Gráficas 6 y 7,

para 𝛾 = 0.6 y 0.7, respectivamente, se obtiene la cuantía: 𝜌𝑔 = 0.0185

𝐴𝑠 = 𝜌𝑔𝑏ℎ = 0.0185 35 35 = 22.66𝑐𝑚2, Usar 8∅𝟑"

𝟒= 𝟐𝟐. 𝟕𝟐 𝒄𝒎𝟐

𝛾 0.60 0.66 0.70

𝜌𝑔 0.019 0.0185 0.018


Limitaciones del código ACI para columnas: (7.6.1) Separación libre entre varillas longitudinales entre capas = 12.1125 cm > 𝑑𝑏 = 1" = 2.5 𝑐𝑚 ←OK

(10.9.1) Porcentaje de acero: 𝜌𝑚í𝑛= 0.01 < 𝜌 =22.72

35 35= 0.01855 < 𝜌𝑚á𝑥 = 0.06 ← 𝑂𝐾




(7.10.5.3) Disposición de estribos: SEPARACION DE BAR𝑅𝐴𝑆 𝐿𝑂𝑁𝐺 = 12.1125 < 15𝑐𝑚 ← 𝑂𝐾

• •

2∅3"

4→

• • •

• • •

35 cm

6 cm

6 cm

23 cm


8@35 𝑐𝑚. ↓

3∅3"

4→

3∅3"

4→

35 cm



𝟑𝟖 "

𝟏𝟐 "

𝟓𝟖 "

𝟑𝟒 "

𝟏"

𝟏𝟑

𝟖

"

Unidad V_diseño a Flexo Compresion-columnas

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