UNIDAD VI: FUNCIONES

Clase n° 1: “Concepto de relación y función”

Para describir como una cantidad depende o es determinada por otra se usa el concepto de función.

RELACIÓN

En la vida diaria existen diferentes tipos de correspondencia

(o dependencias)

o relaciones.

Juan tiene dos números telefónicos, el fijo y el celular.

• En una tienda, a cada artículo le corresponde un precio.

• A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.

• A cada número le corresponde una segunda potencia. (su cuadrado)

• A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

Ejemplos de Correspondencias (dependencias) o RELACIONES

Variables

Independiente

• Articulo (Polera).

• Nombre del directorio telefónico.

• (un número)

• Camila

Dependiente

• Precio

• Número (s) telefónico(s).

• (el cuadrado del número)

• 6,2 (su promedio)

Definición de Relación

• Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango o recorrido, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓNUna Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

FunciónUna función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia de la variable x.

Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento “x” a uno y solo un elemento “y” de B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x).

Por tanto para ser función debe cumplir 2 condiciones:a. Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. b. Esta imagen debe ser única.

El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

La misma función:

ff(1) = b

f(2) = c

f(3) = d

f(4) = b

f(x) = y

En un diagrama sagital (visual)

En forma algebraica

“FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN. “

Verbal: como su mismo nombre lo dice es con palabras.Ejemplo:Un número (x) lo multiplicamos por dos y luego le sumamos uno (se obtiene Y)

Algebraica: A través de una formula.Ejemplo:Y = 2x + 1

Visual: Es decir a través de diagramas y graficas.

Numérica: Una herramienta para llevar a cabo esta es una tabla de valores.Ejemplo:

x 0 1 2 4 5 …

y 1 3 5 9 11…

Clase 2

Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función

Esta afirmación la podemos ilustrar mediante la siguiente animación

¿Por qué se produjo el error?

La máquina anterior solo acepta funciones

0

𝑥2+𝑦2=16

X Y

0 4

0 -4

4-4

Por eso marca error

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.

¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano

CLASE 3Determinar si es FUNCIÓN

EJERCICIOS ¿ Cuál es Función ?

A B A B

BA A BSI SI

NONO

¿ Cuál es Función ?SI

SI

NO

NO

¿ Cuál es Función ?Observa las distintas tablas en las cuales se consideran como conjunto de partida A y de llegada B, tal que

A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

x y1 22 43 6

x y1 42 43 4

x y1 12 23 3

x y1 42 43 23 1

x y1 11 2

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5

¿Cuál de las siguientes tablas representan funciones? Justifica tu respuesta:

¿Cuáles no son funciones? Justifica tu respuesta:

T1, T2, T3

Todos los elementos de A se relacionan con uno solo de B

T4 y T5En T4, 3 tiene dos imágenesEn T5, 2 y 3 no tienen imagen, el 1 dos imágenes

¿ Cuál es Función ?Si A = { 1, 2, 3, 4} y B = {a, e, i, o, u} . Identifica cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados determinan una función de A en B. (Justifica tu respuesta cuando NO lo sea)

a) P = { (1, a) ; (2, e) ; (3, i) ; (4 , o) ; (1 , u)}

b) Q={ (1, u) ; (2, o) ; (4, u) ; (3, e)}

c) C = {(4, a) ; (3, a) ; (2, a) ; (1, a)}

d) D= {(1, a) ; (1, e) ; (1, i) ; (1, o) ; (1, u)}

NO

NO

SI

SI

El 1 tiene dos imágenes

El 2, 3, 4 no tienen imagen.El 1 tiene más de una.

¿ Cuál es Función ?Indica cuál (ó cuáles) de los siguientes gráficos representa(n) una función real, justifica tu respuesta.

x

y

E

B C

D

A

F

NO NO

NOSI SI

SI

Función VerbalDada la regla , completa escribiendo en forma simbólica o en palabras , según corresponda:

a) El doble de, un número aumentado en cuatro. f(x) =

b) El cuadrado de un número x , disminuido en tres . f(x) =

c) ……………………………………………. f(x) =

d) …………………………………………….. g(x) = 3x – 1

52

x

Máquinas funcionales

1x2

=

Calcular:

F(-2) =

F(0) =

Otro ejercicio con máquina.

2x3x

=

Calcular:

F(6) =

F(2) =

CLASE 4Ejercitando con funciones

GráficosDada la función definida en el conjunto de los números reales, f: IR IR, tal que f(x) = x - 2 .

a) Completa la tabla según los valores dados a “x”: x y 0   1  -1   2  -2   3   5   6  

b) grafica en el sistema cartesiano:

ejerciciosSe definen dos funciones reales: f(x) = y g(x) = 3x – 5

3

12 x

Calcular

a)f(-2) = b) 2 g(-3) =

c)f(2) + g(-1) = d) f( 2a ) =

e) g( m-2) = f) g() + f(5) =

CLASE 5Interpretando gráficos

E JE X

E JE Y

SISTEMA DE EJES COORDENADOS

(1,-3)

(-1,-1)

(0,0)

(-2,3)

(2,2)

Eje de ordenadas= Eje Y

Eje de abscisas=Eje X

PRIMER CUADRANTE(+,+)

SEGUNDO CUADRANTE(-,+)

TERCER CUADRANTE(-,-)

CUARTO CUADRANTE(+,-)

ORIGEN DE COORDENADAS=(0,0)

EjercicioDado el gráfico de la función f(x), identifica las imágenes de cada valor de “x” :

CLASE 6 Si conocemos la imagen y la función ¿Cómo descubrimos la preimagen?

Dadas las funciones realesDeterminar

Completa la tablaCompleta cada tabla con la función dada:

a) f(x) = 2x + 1x 1   5   10 12    

f(x)   7   13     33 37

b) g(x) = x

4

x 0,5   -2     8 9

g(x)   1   2   3    

3

1

CLASE 7Dominio y recorrido de una función en forma gráfica

Dominio de una FUNCIÓN gráficamenteCuando una función se presenta en forma gráfica su dominio corresponde al intervalo del eje x donde la función comienza (se lee de izquierda a derecha) hasta donde termina.Ejemplo:

En este caso el dominio de la función sería el intervalo comprendiendo entre -3 y 5 lo que se escribe así, Dom f=

Los corchetes van hacia adentro, ya que esto indica que los valores -3 y 5 son parte del dominio.

Recorrido de una función gráficamente

El recorrido sería el intervalo comprendido entre-1 y 3, esto lo escribimos: Rec f=

Ejemplo:

Cuando una función se presenta en forma gráfica su RECORRIDO corresponde al intervalo del eje Y.

Dominio y recorrido en un grafico

Recorrido

Dominio

Ejercicios

Determinar

a) el dominio

b) El recorrido

Ejercicios

CLASE 8Ejercitación de determinar el dominio y recorrido en las distintas representaciones de función. (menos algebraica)

EJERCICIOS ¿ Cuál es el dominio ?

BA A B1

4

3

2 2

6

4

a

b

c

d

p

q

r

¿ Cuál es el recorrido ?

¿ Cuál es el dominio y recorrido ?Si A = { 1, 2, 3, 4} y B = {a, e, i, o, u} . Determina el dominio y recorrido de la función f y g de A en B

a) f={ (1, u) ; (2, o) ; (4, u) ; (3, e)}

b) g = {(4, a) ; (3, a) ; (2, a) ; (1, a)}

¿ Cuál es el dominio y recorrido?Observa las distintas tablas en las cuales se consideran como conjunto de partida A y de llegada B, tal que

A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

x y1 22 43 6

x y1 42 43 4

x y1 12 23 3

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

CLASE 9 Funciones continuas y discretas

• Función Continua:

Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

• Función Discontinua:

Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

x

yf

x

yf(x) = 3x-1

-5

yf

x

-1f

y=-16

x= 0