108 Prof. Jesús Calixto Suárez

UNIDAD VII.- ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Ecuaciones Lineales Ecuación: Es una expresión algebraica en la que debe aparecer el símbolo de igualdad =, y la cual resolverla, consiste en encontrar los valores que hacen verdadera dicha igualdad. Ecuaciones Lineales Una ecuación es lineal si el exponente de la variable que aparece en dicha ecuación es uno. Ejemplos:

Ahora resolvamos una ecuación lineal.

Ejemplo 1. Resolver y comprobar:

a)

Para resolver una ecuación lineal, basta “despejar” a la variable que aparece en la ecuación.

“pasemos” las “x” del lado derecho ya que si lo hacemos hacia el izquierdo queda “x” negativa

Reducimos o simplificamos

El “2” multiplica con x

el valor de x es 10, ahora verifiquemos

152 x 74

2

yy

2535 xx

2535 xx

x220

x520

x10

OJO: Despejar una variable consiste en dejarla de un solo lado de la igualdad (izquierdo o derecho), pero donde esté o donede quede

POSITIVA.

exponente 1

exponente 1

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Matemáticas IV.- Álgebra 109

Estos signos si se pueden eliminar

La misma ecuación quitamos signos de agrupación reduciendo términos semejantes “pasando” las “x” a la derecha

Ejemplo 2. Resolver y verificar:

b) Ahora en este ejemplo primero hay que eliminar los signos de agrupación, los cuales recuerda hay que quitarlos de adentro hacia fuera o lo mismo que decir que un signo de agrupación podrá ser eliminado a menos que dentro de él NO exista otro signo de agrupación.

Ahora fíjate, para que finalmente quede despejada “x” hay que -11 que está multiplicando con ella, por tanto “pasará” dividiendo del lado izquierdo con todo y su signo (NO SE CAMBIA).

Ejemplo 3. Resolver y comprobar: c)

Ya se pueden quitar

)3()2(61015 xxxx3261015 xxxx

141015 xx

15 4 1 1011 11

11 1111

x xx

x

x

15 10 6 ( 2) ( 3)15 10 6 2 315 10 4 1

10 1 4 1511 11

x x x xx x x xx x

x xx

1111

1

x

x

958]35[3 xxxxx

OJO: Recuerda que la SUGERENCIA al “pasar” las “x”, es que queden del lado donde sean positivas, sin embargo puedes pasarlas de cualquier lado.

15 10 6 ( 2) ( 3)x x x x

Reduciendo poco ahora nos conviene “pasar” las “x” del lado izquierdo, ya que positivo por que de “pasarlas” del lado derecho queda negativo

observa como el símbolo de la igualdad se conserva al mismo nivel, esto es una buena sugerencia para que todo te salga mejor y no cometer errores.

3 [ 5 ( 3)] 8 ( 5 9)x x x x x

Primero quitamos estos signos de agrupación, pues dentro de ellos NO existen otros signos de agrupación. www.ca

lixto.

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x

110 Prof. Jesús Calixto Suárez

Se reduce un poco

Pasamos las “x” a la derecha

Ejemplo 4. Resolver y comprobar

d)

Recuerda cuando existen sumas y restas de fracciones, conviene tener un mismo denominador, en éste caso convertimos a veintavos.

Ya son veintavos

Si multiplicamos toda la ecuación por 20 tenemos

958353 xxxxx

9333 xx

xx 3339

x66 x66 1x

203

)5(4)5(5

)20(1)20(2

)4(5)4(1

)5(4)5(3 xxx

203

2025

2040

204

2015 xxx

3x

xxx 32540415

4

55 3 25 458 29

295812

x xx

x

x

Comprobación:

3 5 31 24 5 4 20x xx

Comprobación:

Convertimos a cuarentavos

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Matemáticas IV.- Álgebra 111

Ejercicios Resolver y comprobar:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

147348 xxxx

17231535130158 xxxxxx

)3()2(61015 xxxx

)38()65()45()6(30 xxxxx

)]3()23([30)]96(3[16 xxxxxx

36535 xxxx

051

32

53

xx

053

4

x

25

122 xxx

54

43

32

xxx

)3(24

3810

xxx

110

57)15(

xxx

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Ecuación cuadrática o de segundo grado Una ecuación cuadrática en general tiene la forma

a los términos se les denomina

Para resolver una ecuación de 2º grado utilizaremos alguno de los tres métodos siguientes: Factorización Completando un T.C.P. Utilizando la fórmula de 2º grado

Recuerda que resolver una ecuación consiste en encontrar el o los valores de la variable, en este caso por ser de segundo grado serán dos o uno pero repetido (más adelante se explica esto).

Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización.

Resolver

Como se puede observar del lado izquierdo de la ecuación ( ) se puede factorizar:

Para que una multiplicación (lado izquierdo) dé como resultado cero (lado derecho), uno de los dos factores debe de ser cero, es decir:

y si resolvemos las ecuaciones lineales anteriores tenemos:

Las soluciones de la ecuación son: y , comprobemos las soluciones:

b) Nuevamente factorizando el lado izquierdo

O sea

2 0a x b x c

IndependienteCuadrático o constanteLineal

2 0ax bx c

2 4 0x

2 4x

Caso IVDiferencia de cuadrados

2 4 0x

Multiplicación

2 2 0x x

2 2 0 2 0 ó 2 0x x x x

2 0 2 0

2 2

x x

x x

2x 2x

? ?2 2

? ?2 4 0 (2) 4 0

4 4 0 4 4 00 0 0 0

2 7 12 0x x

2

Caso V7 12 0 4 3 0x x x x

4 0 ó 3 0

4 3

x x

x x

a, b, c ∈ ℝ y a≠0

OJO:

Esto quiere decir que al multiplicar 2 números el resultado debe ser cero

Comprobación:

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Matemáticas IV.- Álgebra 113

c)

Factorizando

O sea

Ejercicios: Resolver y Comprobar las siguientes ecuaciones de 2º grado (cuadráticas) por factorización

a) b)

c) d)

e) f)

g) h) 216 4 0x x

i) j)

k)

Solución de ecuaciones de 2º grado completando un T.C.P.

Cuando en una ec. De 2º grado no se puede factorizar, se procede a completar un T.C.P., por ejemplo veamos el siguiente caso:

si intentas factorizar nos queda

Como podras darte cuenta no encontraste dos números que al multiplicarse dieran 3 y sumados dieran –8, por lo tanto completaremos un T.C.P.

Primero quitamos el término independiente del lado izquierdo

El espacio es para completar un T.C.P.

Sumamos 16 de ambos lados

Se puede ver que del lado izquierdo ya hay un T.C.P., es decir, factorizandolo Esta situación del cuadrado de un binomio es igual a 13, siempre la vamos a tener cuando

completemos un T.C.P. de donde despejaremos a la variable para obtener las soluciones de la ecuación de 2º grado.

22 5 3 0x x

2

Caso VI2 5 3 0 2 1 3 0x x x x

12

2 1 0 3 02 1 ó

3

x xx

xx

22 5 3 0x x 2 81 0x

22 4 0x 26 3 0x x

23 17 10 0x x 2 5 14 0x x

2 72 0x x

2 225 2 7 81x x

2 22 3 5 23x x

29 1 3 5 3 2x x x x

2 8 3 0x x

? ? 0x x

2 8 3 0x x

2 8 __ 3x x

2 8 16 3 16x x

24 13x

–6 +1 –5

Comprobación:

Mitad de –8 al cuadrado

Observación: Para poder completar un T.C.P. siempre el coeficiente del término cuadrático debe ser uno.

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24 13x obteniendo raíz cuadrada de ambos lados

24 13x

4 13x

4 13x ó 4 13x

Ahora, resolviendo las dos ecuaciones lineales antes obtenidas se tiene:

Para la comprobación sólo sustituimos por separado cada solución, recuerda que al elevar al cuadrado un binomio tienes que , o sea, ;

1 2

4 13 4 13

4 13 4 13

x x

x x

2 2 2( ) 2a b a ab b 2 224 13 4 2 4 13 13

2

4 13 16 8 13 13 29 8 13

Para la solución

Para la solución

recuerda

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