Unidad VII: Transferencia de Calor por Conducción

Unidad VII: Transferencia de Calor por Conducción

Prof. Pedro José Tineo Figueroa Prof. Pedro José Tineo Figueroa

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los Mecanismos de Transferencia de

Calor y Calcular la Transferencia de Calor en Sólidos con Geometría

Sencilla

Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar los Mecanismos de Transferencia de

Calor y Calcular la Transferencia de Calor en Sólidos con Geometría

Sencilla

Interpretar los mecanismos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación.Interpretar los mecanismos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación.

Interpretar el principio de transferencia de calor por conducción.Interpretar el principio de transferencia de calor por conducción.Desarrollar las ecuaciones de calor por conducción y coeficiente de conducción térmicaDesarrollar las ecuaciones de calor por conducción y coeficiente de conducción térmica

Demostrar la Ley de FourierDemostrar la Ley de Fourier

Aplicar esta Ley en la determinación del flujo de calor a través de placas, cascarones cilíndricos y esféricos.Aplicar esta Ley en la determinación del flujo de calor a través de placas, cascarones cilíndricos y esféricos.

Desarrollar las ecuaciones para estudiar las aletas de enfriamiento de sección transversal constanteDesarrollar las ecuaciones para estudiar las aletas de enfriamiento de sección transversal constante

1. Introducción a la Transferencia de Calor. Mecanismos de transferencia de calor.

1. Introducción a la Transferencia de Calor. Mecanismos de transferencia de calor.

2. Conducción de Calor en una Dirección2.1 Definición 2.2 Características2.3 Conductividad Térmica

2. Conducción de Calor en una Dirección2.1 Definición 2.2 Características2.3 Conductividad Térmica

3. Ley de Fourier.3. Ley de Fourier.

5. Aletas de sección transversal constante5. Aletas de sección transversal constante

4. Aplicaciones de la conducción en placas, cilindros y esferas.4. Aplicaciones de la conducción en placas, cilindros y esferas.

6. Aplicaciones6. Aplicaciones

Bibliografía:• Incropera, Dewitt. FUNDAMENTALS OF HEAT AND MASS

TRANSFER. Wiley. 5th Edition. 2002 • Mills, A. F. TRANSFERENCIA DE CALOR. Mc Graw Hill 2000.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Bibliografía:• Incropera, Dewitt. FUNDAMENTALS OF HEAT AND MASS

TRANSFER. Wiley. 5th Edition. 2002 • Mills, A. F. TRANSFERENCIA DE CALOR. Mc Graw Hill 2000.• Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE

TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Transferencia de EnergíaTransferencia de Energía

Para la evaluación de un proceso que involucre la rapidez con que se transfiere la energía, es fundamental considerar los siguientes aspectos:

Para la evaluación de un proceso que involucre la rapidez con que se transfiere la energía, es fundamental considerar los siguientes aspectos:La rapidez con la que se efectúa la transferencia de energía.La rapidez con la que se efectúa la transferencia de energía.

El intercambio de calor con los alrededores.El intercambio de calor con los alrededores.

El tamaño y materiales del equipo de transferencia de calor.El tamaño y materiales del equipo de transferencia de calor.

Costo de adquisición y economía de estos equipos.Costo de adquisición y economía de estos equipos.

Estas consideraciones requieren un amplio conocimiento de los mecanismos básicos de transferencia de energía y los métodos para evaluar cuantitativamente tales relaciones además de las cantidades importantes asociadas a ellas.

Estas consideraciones requieren un amplio conocimiento de los mecanismos básicos de transferencia de energía y los métodos para evaluar cuantitativamente tales relaciones además de las cantidades importantes asociadas a ellas.

Transferencia de Calor: Es energía en tránsito debido a un gradiente de temperatura. Esta se puede expresar de distintas formas:

Transferencia de Calor: Es energía en tránsito debido a un gradiente de temperatura. Esta se puede expresar de distintas formas:

Conducción: Se realiza fundamentalmente en dos formas: Conducción: Se realiza fundamentalmente en dos formas:

Q [J]: Se refiere al calor neto transferidoq [W]: Transferencia de Calor por unidad de tiempo, flujo de calor.q’ [W/m]: Flujo de Calor por unidad de longitud.q’’ [W/m2]: Flujo de Calor por unidad de área.q [W/m3]: Generación volumétrica de Calor.

Q [J]: Se refiere al calor neto transferidoq [W]: Transferencia de Calor por unidad de tiempo, flujo de calor.q’ [W/m]: Flujo de Calor por unidad de longitud.q’’ [W/m2]: Flujo de Calor por unidad de área.q [W/m3]: Generación volumétrica de Calor.q

Mecanismos de Transferencia de Calor: Existen tres formas de transferencia de calor: Conducción, Convección y Radiación.Mecanismos de Transferencia de Calor: Existen tres formas de transferencia de calor: Conducción, Convección y Radiación.

a) Por interacción molecular donde el mayor movimiento de una molécula a un nivel de energía superior (temperatura) imparte energía a las moléculas adyacentes de niveles de energía inferiores.

a) Por interacción molecular donde el mayor movimiento de una molécula a un nivel de energía superior (temperatura) imparte energía a las moléculas adyacentes de niveles de energía inferiores.

Convección: La transferencia de calor por convección implica el cambio de energía entre una superficie y un fluido adyacente. Debe destacarse que existen dos tipos de convección: Forzada y Natural ó Libre. La ecuación que cuantifica este mecanismo se conoce como la Ley de Enfriamiento de Newton.

Convección: La transferencia de calor por convección implica el cambio de energía entre una superficie y un fluido adyacente. Debe destacarse que existen dos tipos de convección: Forzada y Natural ó Libre. La ecuación que cuantifica este mecanismo se conoce como la Ley de Enfriamiento de Newton.

b) El segundo mecanismo es por electrones “libres”. Este mecanismo es significativo principalmente en los sólidos metálicos puros: la concentración de electrones libres varía de manera considerable en las aleaciones y disminuye mucho para sólidos no metálicos.

b) El segundo mecanismo es por electrones “libres”. Este mecanismo es significativo principalmente en los sólidos metálicos puros: la concentración de electrones libres varía de manera considerable en las aleaciones y disminuye mucho para sólidos no metálicos.

q’’=h(Ts-T)

Ts

Th

h: Coeficiente Convectivo de Transf. de Calor [W/m2K)

Ts:Temperatura de la Superficie [K]T: Temperatura de bulto del fluido

[K]

Radiación: La transferencia de calor por radiación difiere de los mecanismos anteriores en que no se requiere ningún medio para la propagación del calor. Se debe a que todos los cuerpos emiten energía en forma de ondas electromagnéticas, las cuales pueden viajar en el vacío.

Radiación: La transferencia de calor por radiación difiere de los mecanismos anteriores en que no se requiere ningún medio para la propagación del calor. Se debe a que todos los cuerpos emiten energía en forma de ondas electromagnéticas, las cuales pueden viajar en el vacío.

La ley de Stefan-Boltzmann es la que rige este mecanismo de transferencia de calor:

La ley de Stefan-Boltzmann es la que rige este mecanismo de transferencia de calor:

4

4

Para cuerpos negros :

q'' T

Para cuerpos grices :

q'' T

Donde:: Emisividad [adim]: Constante de Stefan-Boltzmann ( = 5,67x10-

8W/m2K4)T: Temperatura absoluta [K]

Donde:: Emisividad [adim]: Constante de Stefan-Boltzmann ( = 5,67x10-

8W/m2K4)T: Temperatura absoluta [K]

Ley de Fourier: Esta ley física describe matemáticamente el mecanismo de transferencia de calor por conducción. Esta es una ley fenomenológica, esto es, que fue desarrollada por la observación del fenómeno, en vez de ser derivada principios anteriores. Para ilustrar esto consideremos el siguiente sistema:

Ley de Fourier: Esta ley física describe matemáticamente el mecanismo de transferencia de calor por conducción. Esta es una ley fenomenológica, esto es, que fue desarrollada por la observación del fenómeno, en vez de ser derivada principios anteriores. Para ilustrar esto consideremos el siguiente sistema:A,T1 T2

T=T1-T2

x

qx

Cilindro macizo, de material conocido, aislado por las paredes laterales en estado estacionario

Cilindro macizo, de material conocido, aislado por las paredes laterales en estado estacionario

Se pueden hacer las siguientes observaciones:a) Manteniendo x y T constantes y variando A se

observa que qx es proporcional a A.b) Manteniendo T y A constantes al variar x se observa que qx

es inversamente proporcional a x.c) Manteniendo A y x constantes y variando T se

observa que qx es directamente proporcional a T.

Se pueden hacer las siguientes observaciones:a) Manteniendo x y T constantes y variando A se

observa que qx es proporcional a A.b) Manteniendo T y A constantes al variar x se observa que qx

es inversamente proporcional a x.c) Manteniendo A y x constantes y variando T se

observa que qx es directamente proporcional a T.

Estas observaciones en conjunto nos indican:Estas observaciones en conjunto nos indican:

Esta proporcionalidad se mantiene inclusive si se cambia el material, sin embargo cambian los valores del flujo de calor, por lo que la constante de proporcionalidad es una propiedad intrínseca del material:

Esta proporcionalidad se mantiene inclusive si se cambia el material, sin embargo cambian los valores del flujo de calor, por lo que la constante de proporcionalidad es una propiedad intrínseca del material:

x

Tq A

x

x

Tq kA

x

Donde k es la conductividad térmica del material, además si se hace tender x a cero se obtiene el flujo de calor:Donde k es la conductividad térmica del material, además si se hace tender x a cero se obtiene el flujo de calor:

x

dTq kA

dx

El signo – es necesario para garantizar que el flujo sea positivo, ya que siempre se transfiere de mayor a menor temperatura, lo que implica que el gradiente de temperatura siempre será negativo en esa dirección.

El signo – es necesario para garantizar que el flujo sea positivo, ya que siempre se transfiere de mayor a menor temperatura, lo que implica que el gradiente de temperatura siempre será negativo en esa dirección.

Dado que el flujo de calor puede ocurrir en cualquier dirección, en términos vectoriales una forma más general de la Ley de Fourier en coordenadas rectangulares sería:

Dado que el flujo de calor puede ocurrir en cualquier dirección, en términos vectoriales una forma más general de la Ley de Fourier en coordenadas rectangulares sería:

T T Tq'' k T k

x y z

i j k

En esta expresión esta implícito que el sistema es isotrópico, es decir, que sus propiedades no dependen de la posición, en este sentido se puede definir la conductividad térmica a partir de la ley de Fourier como:

En esta expresión esta implícito que el sistema es isotrópico, es decir, que sus propiedades no dependen de la posición, en este sentido se puede definir la conductividad térmica a partir de la ley de Fourier como:

"xq

k W mKdT dx

En general:En general: sólidos líquidos gasesk k k

La Difusividad Térmica es otra propiedad muy usada en los problemas de conducción, indica la capacidad de un material para conducir energía en relación con su capacidad para almacenarla.

La Difusividad Térmica es otra propiedad muy usada en los problemas de conducción, indica la capacidad de un material para conducir energía en relación con su capacidad para almacenarla.

2

p

km s

C

Uno de los principales objetivos del análisis de conducción es la determinación de la distribución de temperatura y el flujo de calor. La Ecuación de Calor es una generalización de este proceso:

Uno de los principales objetivos del análisis de conducción es la determinación de la distribución de temperatura y el flujo de calor. La Ecuación de Calor es una generalización de este proceso:

Volumen de control diferencial, dxdydz, para el análisis conductivo en coordenadas cartesianasVolumen de control diferencial, dxdydz, para el análisis conductivo en coordenadas cartesianas

Aplicando un balance de energía (I Ley de la Termodinámica):Aplicando un balance de energía (I Ley de la Termodinámica):

Los términos de Es se pueden estimar mediante una expansión en serie de Taylor de primer orden, despreciando los términos de orden superior:

Los términos de Es se pueden estimar mediante una expansión en serie de Taylor de primer orden, despreciando los términos de orden superior:

e s g aE E E E

e x y z

s x x y y z z

g

a p

Donde :

E q q q (Energía que entra)

E q q q (Energía que sale)

E qdxdydz (Energía generada)

TE C dxdydz (Energía acumulada)

t

xx x x

yy y y

zz z z

qq q dx

xq

q q dyy

qq q dz

z

Sustituyendo en el Balance y simplificando se tiene:Sustituyendo en el Balance y simplificando se tiene:

Las componentes del flujo de calor se pueden evaluar de la Ley de Fourier, multiplicando cada una por el área diferencial respectiva:

Las componentes del flujo de calor se pueden evaluar de la Ley de Fourier, multiplicando cada una por el área diferencial respectiva:

yx zp

qq q Tdx dy dz qdxdydz C dxdydz

x y z t

x

y

z

Tq kdydz

xT

q kdxdzy

Tq kdxdy

z

Sustituyendo se obtiene la forma más general de la Ecuación de Calor:Sustituyendo se obtiene la forma más general de la Ecuación de Calor:

p

T T T Tk k k q C

x x y y z z t

Una forma simplificada de esta ecuación se obtiene asumiendo que la conductividad es constante:Una forma simplificada de esta ecuación se obtiene asumiendo que la conductividad es constante:

La Ecuación de Calor también puede ser expresada en coordenadas cilíndricas y esféricas.La Ecuación de Calor también puede ser expresada en coordenadas cilíndricas y esféricas.

2 2 2

2 2 2

T T T q 1 T

x y z k t

Volumen de control diferencial, dr·rd·dz, para el análisis conductivo en coordenadas cilíndricas (r, , z)Volumen de control diferencial, dr·rd·dz, para el análisis conductivo en coordenadas cilíndricas (r, , z)

Coordenadas Cilíndricas:Coordenadas Cilíndricas:

El operador de la Ley de Fourier expresado en coordenadas cilíndricas resulta:El operador de la Ley de Fourier expresado en coordenadas cilíndricas resulta:

'' '' ''r z

T 1 T Tq'' k T k

r r z

Donde :

T k T Tq k q q k

r r z

i j k

Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas cilíndricas, se obtiene:Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas cilíndricas, se obtiene:

p2

1 T 1 T T Tkr k k q C

r r r r z z t

Volumen de control diferencial, dr·rsend·rd, para el análisis conductivo en coordenadas esféricas (r, , )

Volumen de control diferencial, dr·rsend·rd, para el análisis conductivo en coordenadas esféricas (r, , )

Coordenadas Esféricas:Coordenadas Esféricas:

El operador de la Ley de Fourier expresado en coordenadas esféricas resulta:El operador de la Ley de Fourier expresado en coordenadas esféricas resulta:

'' '' ''r

T 1 T 1 Tq'' k T k

r r rsen

Donde :

T k T k Tq k q q

r r rsen

i j k

Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas esféricas, se obtiene:Aplicando el balance de energía al elemento de volumen diferencial en coordenadas esféricas, se obtiene:

2p2 2 2 2

1 T 1 T 1 T Tkr k ksen q C

r r r r sen r sen t

Condiciones de borde típicas en una superficie:Condiciones de borde típicas en una superficie:

s

"s

x 0

x 0

1.Temperatura Cons tante en la Superficie :

Condición de Dirichlet

T(0,t) T

2.Flujo de Calor Cons tante en la Superficie :

Condición de Newman

a)FlujodeCalorFinito

Tk q

x

b)Superficie Adiabática

T0

x

3.Condición Conv

x 0

ectiva en la Superficie :

Condición de Robin

Tk h T T 0,t

x

Conducción Unidimensional Estacionaria:Conducción Unidimensional Estacionaria:

Placa Plana: Considere un placa plana de área transversal A, cuyo espesor (L) es muy pequeño, en estado estacionario y sin generación de calor:

Placa Plana: Considere un placa plana de área transversal A, cuyo espesor (L) es muy pequeño, en estado estacionario y sin generación de calor:

Ts,1

Ts,2

x x=L

qx

Bajo estas condiciones el flujo es unidimensional en la dirección x, y la Ec. de Calor se reduce a:

Bajo estas condiciones el flujo es unidimensional en la dirección x, y la Ec. de Calor se reduce a:T T

k kx x y y

0

Tk

z z

0

q 0

p

TC

t

0

Tk 0

x x

Asumiendo que la conductividad es constante, esta ecuación se puede integrar dos veces para obtener la solución general:Asumiendo que la conductividad es constante, esta ecuación se puede integrar dos veces para obtener la solución general:

1 2T x C x C

Para determinar C1 y C2 se aplican las condiciones de borde: Para determinar C1 y C2 se aplican las condiciones de borde:

s,1 1 2 2 s,1

s,2 s,1s,2 1 2 1 s,1 1

T x 0 T C o C C T

T TT x L T C L C C L T C

L

Al sustituir en la solución general se obtiene:Al sustituir en la solución general se obtiene:

Es evidente que bajo estas condiciones, en una placa plana la temperatura varía linealmente con x. Ahora aplicando la Ley de Fourier para determinar el flujo de calor, se tiene:

Es evidente que bajo estas condiciones, en una placa plana la temperatura varía linealmente con x. Ahora aplicando la Ley de Fourier para determinar el flujo de calor, se tiene:

x s,1 s,2

dT kAq kA T T Independiente de x

dx L

Analogía Térmica de la Transferencia de Calor: Una práctica muy utilizada en la resolución de problemas de transferencia de calor, es la aplicación de la analogía eléctrica de este proceso, en la cual se establecen las siguientes analogías:

Analogía Térmica de la Transferencia de Calor: Una práctica muy utilizada en la resolución de problemas de transferencia de calor, es la aplicación de la analogía eléctrica de este proceso, en la cual se establecen las siguientes analogías:

elect term

Electricidad Transferencia de calor

Intensidad, i Flujo de Calor, q

Voltage, V Temperatura, T

V TLey de Ohm, i q

R R

s,2 s,1 s,1

xT x T T T

L

Las resistencias asociadas a cada mecanismo son las siguientes:Las resistencias asociadas a cada mecanismo son las siguientes:

placa

conv

rad

s,1 s,2t t

s,1 s,2

st t

s

s alrt t4 4 2 2

s alr s alr s alr

r

T TT LConducción(Placa plana) : R R

kAq kAT TL

T TT 1Convección : R R

q hA T T hA

T TT 1Radiación : R R

q A T T A T T T T

Se estila definir una var iable h conoc

rad

2 2 2r s alr s alr

tr

ida como coeficiente

radiativo de transferencia de calor :

h T T T T [W m K]

1Con lo cual : R

h A

La esencia de la analogía esta en la identificación de las resistencias térmicas.La esencia de la analogía esta en la identificación de las resistencias térmicas.

1 d dTr 0

r dr dr

Pared Cilíndrica: Considere el siguiente cascarón cilíndrico muy largoPared Cilíndrica: Considere el siguiente cascarón cilíndrico muy largo

La ecuación diferencial es:La ecuación diferencial es:

Con las condiciones de borde:Con las condiciones de borde:

s,1 1

s,2 2

T T para r r

T T para r r

L >> r1,r2

Ts,1

r1 r2

Ts,2

s,1 s,22 s,2

1 2

T TT r ln r r T

ln r r

Integrando la ecuación diferencial se tiene:Integrando la ecuación diferencial se tiene:

Evaluando las constantes:Evaluando las constantes:

y el flujo de calor se evalúa mediante:y el flujo de calor se evalúa mediante:

r

dT dTq kA k 2 rL

dr dr

1 2T C ln r C

Sustituyendo la derivada se obtiene:Sustituyendo la derivada se obtiene:

s,1 s,2

r2 1

T Tq 2 Lk

ln r r

Extendiendo la analogía eléctrica para este caso se tiene que:Extendiendo la analogía eléctrica para este caso se tiene que: 2 1

cil

ln r rR

2 Lk

Integrando2 122

C1 d dTr 0 T r C

r dr dr r

Cascarón Esférico:Cascarón Esférico:

La solución es análoga al caso anterior, utilizando la ecuación diferencial en coordenadas esféricas La solución es análoga al caso anterior, utilizando la ecuación diferencial en coordenadas esféricas

Con condiciones de borde similares se obtiene:Con condiciones de borde similares se obtiene:

s,1 s,22

1 2 2

s,1 s,2 1 2r esf

1 2

T T 1 1T r T

1 r 1 r r r

T T 1 r 1 rq 4 k R

1 r 1 r 4 k

Ts,1

r1 r2

Ts,2

En Resumen:En Resumen:

Ejemplo: Una tubería de 0,20 m de diámetro de paredes delgadas y construida de acero es usada para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar en un cuarto en el que la temperatura ambiente es de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa es de 20 W/m2K.

a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud de tubería desnuda? ¿Cual es la pérdida de calor por unidad de longitud si una capa de 50 mm de aislante (k = 0,058 W/mK) es agregada a la tubería? El acero y el aislante tienen una emisividad de 0,8.

b) Los costos asociados con la generación del vapor y la instalación del aislante son de 4$/109J y 100$/m de longitud de tubería. Si la línea de vapor es operada 7500 h/año ¿Cuántos años serán necesarios para recuperar la inversión inicial en aislante?.

Ejemplo: Una tubería de 0,20 m de diámetro de paredes delgadas y construida de acero es usada para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar en un cuarto en el que la temperatura ambiente es de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa es de 20 W/m2K.

a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud de tubería desnuda? ¿Cual es la pérdida de calor por unidad de longitud si una capa de 50 mm de aislante (k = 0,058 W/mK) es agregada a la tubería? El acero y el aislante tienen una emisividad de 0,8.

b) Los costos asociados con la generación del vapor y la instalación del aislante son de 4$/109J y 100$/m de longitud de tubería. Si la línea de vapor es operada 7500 h/año ¿Cuántos años serán necesarios para recuperar la inversión inicial en aislante?.

Geometría Resistencia Térmica [K/W]Placa Plana L/kAPared Cilíndrica ln(r2/r1)/(2kL)Cascarón Esférico [(1/r1-1/r2)/4k]

Figura del ejemplo:Figura del ejemplo:

El circuito térmico para el caso con aislante es:El circuito térmico para el caso con aislante es:

L

Ti

R1 R2

Ts

T Datos:T= 298,15 KT1= 453,37 K (Tablas Termodinámicas)R1= 0,10 mh= 20 W/m2Kka= 0,058 W/mK

Datos:T= 298,15 KT1= 453,37 K (Tablas Termodinámicas)R1= 0,10 mh= 20 W/m2Kka= 0,058 W/mK

El circuito térmico para el caso sin aislante es:El circuito térmico para el caso sin aislante es:

'conv

1

'rad 8 4 4

1

'equiv ' '

conv rad

i

equiv

1 1R 0,0796mK W

h·2 R 20·2 ·0,10

453,37 298,15R 0,1585mK W

0,8·5,67·10 ·2 ·0,10 453,37 298,15

1 1R 0,0529mK W

R R

T T 453,37 298,15q' 2929,44 W m

R 0,0529

El circuito térmico para el caso con aislante es necesario un procedimiento de ensayo y error, suponiendo un valor de Ts, calcular q’ para luego recalcular Ts:

El circuito térmico para el caso con aislante es necesario un procedimiento de ensayo y error, suponiendo un valor de Ts, calcular q’ para luego recalcular Ts:

'conv

2

'rad 8 4 4

2 1'cond

a

1

' 'equiv cond ' '

conv rad

i

equi

1 1R 0,0530mK W

h·2 R 20·2 ·0,15

480 298,15R 0,0941mK W

0,8·5,67·10 ·2 ·0,15 480 298,15

ln R R ln 0,15 0,10R 1,1126mK W

2 k 2 ·0,058

1 1R R 1,1465mK W

R R

T Tq'

R

v

's i cond

453,37 298,15135,38 W m

1,1465

T T R q' 453,37 1,1126·135,38 302,74K

Con un valor inicial Ts=480 K se tiene:Con un valor inicial Ts=480 K se tiene:

Se repiten los cálculos con ese valor hasta que no varíe:Se repiten los cálculos con ese valor hasta que no varíe:

Tabla de resultados:Tabla de resultados:

Por tanto:Por tanto:

Iteración

Ts[K] R’rad[mK/W] R’equiv[mK/W]

q’[W/m] Ts[K]

1 480 0,0941 1,1465 135,38 302,742 302,74 0,2156 1,1551 134,37 303,863 303,86 0,2144 1,1551 134,37 303,86

q' 134,37 W m

9

Ahorro J 4$ h s $b) 2929,44 134,37 7500 3600 301,86

Año·m s·m 10 J año h año·m

100$ mPeríodo de Recuperación 0,33años 4 meses

301,86$ año·m

Conducción Estacionaria 1-D con generación de calor: En este caso se mostrará el procedimiento para una placa plana de espesor 2L:Conducción Estacionaria 1-D con generación de calor: En este caso se mostrará el procedimiento para una placa plana de espesor 2L:

Integrando y hallando las constantes se tiene:Integrando y hallando las constantes se tiene:

22

s

qL xT x T 1

2k L

Ts Ts

2L

q

x

2

2

s

d T q0

dx kC.B :

x L T L T

dTx 0 0

dx

El calor viene dado por:El calor viene dado por:

x

dTq kA Aqx Una función lineal

dx

Aletas de Enfriamiento: Son extensiones de superficie que se instalan para incrementar el área de transferencia de calor y en consecuencia el flujo de calor:

Aletas de Enfriamiento: Son extensiones de superficie que se instalan para incrementar el área de transferencia de calor y en consecuencia el flujo de calor:

conv sq hA T T

Ejemplos de aletas.Ejemplos de aletas.

Para el análisis matemático considere la aleta de la figura, en estado estacionario y con una distribución de temperaturas en función solo de x:

Para el análisis matemático considere la aleta de la figura, en estado estacionario y con una distribución de temperaturas en función solo de x:

entra sale

x x x conv

x x x

x

q q 0

q q q 0

dqq q x Expansión en Serie de Taylor

dxSustituyendo :

dqx hP x T T 0

dx

El balance de calor establece:El balance de calor establece:

Eliminando x y sustituyendo la expresión de qx según la Ley de Fourier:Eliminando x y sustituyendo la expresión de qx según la Ley de Fourier:

La solución a esta ecuación puede presentarse como:La solución a esta ecuación puede presentarse como:

d dTkA hP T T 0

dx dx

Suponiendo que la aleta es de aguja (sección transversal ctte) y que h y k se mantienen constantes la ecuación se reduce a:Suponiendo que la aleta es de aguja (sección transversal ctte) y que h y k se mantienen constantes la ecuación se reduce a:

2

2

d T hPT T 0

dx kA

mx mx1 2C e C e ó A cosh mx Bsenh mx

Donde:Donde:

2

T T

m hP kA

Para determinar las constantes se pueden utilizar dependiendo del caso las siguientes condiciones de borde:Para determinar las constantes se pueden utilizar dependiendo del caso las siguientes condiciones de borde:

En la Base:En la Base:

b b bx 0 T 0 T T T

En el extremo:En el extremo:

raL L

x L x L

x Lx L

x Lx L

x L a)T L T 0 Aleta inf inita

b)T L T Extremo aT fija

dT dc) 0 0 Extremo Adiabático

dx dx

dTd) k h T T

dx

dk h Extremo Convectivo

dx

En cada caso las soluciones son las siguientes:En cada caso las soluciones son las siguientes:

a) Aleta infinita:a) Aleta infinita:

b) Extremo a temperatura constante:b) Extremo a temperatura constante:

mx mxmL mxL

mL mLb b b

T T e ee e

T T e e

mx

b b

T Te

T T

c) Extremo adiabático:c) Extremo adiabático:

mx mx

2mL 2mLb b

cosh m L xT T e e

T T 1 e 1 e cosh mL

c) Extremo convectivo:c) Extremo convectivo:

b b

cosh m L x h mk senh m L xT T

T T cosh mL h mk senh mL

Estas expresiones son particularmente útiles para evaluar el flujo de calor total sobre una superficie extendida, se puede determinar de dos maneras:

Estas expresiones son particularmente útiles para evaluar el flujo de calor total sobre una superficie extendida, se puede determinar de dos maneras:Integrando la expresión de transferencia de calor convectiva:Integrando la expresión de transferencia de calor convectiva:

S S

q h T x T dS h dS

Ó evaluando la conducción en la base:Ó evaluando la conducción en la base:

x 0

dTq kA

dx

Las expresiones para el flujo de calor en cada caso son las siguientes:Las expresiones para el flujo de calor en cada caso son las siguientes:

mLL b

b b mL mL

b b

ea) q kAm b) q kAm 1 2

e e

senh mL h mk cosh mLc) q kAm tanh mL d) q kAm

cosh mL h mk senh mL

La eficiencia de las aletas se define como:La eficiencia de las aletas se define como:

max

q

q

Donde:q: Calor transferido por la aleta.qmax: Calor máximo transferible (se supone que T=Tb)

Donde:q: Calor transferido por la aleta.qmax: Calor máximo transferible (se supone que T=Tb)

max bq hPL T T

En el caso de una aleta aislada en el extremo se obtiene:En el caso de una aleta aislada en el extremo se obtiene:

tanh mL

mL

En la práctica las aletas las aletas pierden calor por el extremo, se puede usar esta expresión con longitud corregida (Lc) de acuerdo a la aproximación de Jakob:

En la práctica las aletas las aletas pierden calor por el extremo, se puede usar esta expresión con longitud corregida (Lc) de acuerdo a la aproximación de Jakob:

c

AL L

P

Demostración de la aproximación de Jakob:Demostración de la aproximación de Jakob:

* *E Eq hPL T T hA T T

Entonces la eficiencia de una aleta con convección en el extremo se puede cuantificar con la expresión:Entonces la eficiencia de una aleta con convección en el extremo se puede cuantificar con la expresión:

Simplificando se obtiene:Simplificando se obtiene:* A

LP

Atanh m L

P

Am L

P

Ejemplo: Determine la transferencia de calor desde la aleta rectangular mostrada en la figura. El extremo de la aleta pierde calor por convección. La aleta tiene un conductividad térmica de 150 W/mk. La temperatura de la base es de 100ºC y el fluido que circunda la aleta esta a 20ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección, h, es de 30 W/m2K.

Ejemplo: Determine la transferencia de calor desde la aleta rectangular mostrada en la figura. El extremo de la aleta pierde calor por convección. La aleta tiene un conductividad térmica de 150 W/mk. La temperatura de la base es de 100ºC y el fluido que circunda la aleta esta a 20ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección, h, es de 30 W/m2K.

max c b

max

q hPL T T 30·0,84·0,2095·80 422,35W

q q 0,775·422,35 327 W

Tb=100 ºC

T, h

0,20 m

0,40 m

0,02 m

Solución:Solución:

c

c

c

c

A 0,40·0,02L L 0,20 0,2095

P 2· 0,02 0,40

hPm 4,5826

kAmL 0,96

tanh mL0,775

mL

Para otros tipos de aletas las siguiente gráficas son de mucha utilidad:Para otros tipos de aletas las siguiente gráficas son de mucha utilidad:

El calor total (qt) disipado por una superficie aleteada como la mostrada en la figura se puede definir como:El calor total (qt) disipado por una superficie aleteada como la mostrada en la figura se puede definir como:

t b f b b f f b

t f f f b t f f b

ft f b t o b

t

q q Nq A h T T N A h T T

h A NA N A T T h A NA 1 T T

NAhA 1 1 T T hA T T

A

Ab: Área de la base expuesta al fluido.Af: Área superficial de una sola aleta.At: Área total (Ab+NAf)N: Número total de aletas.o: Eficiencia global de un grupo de aletas.

Ab: Área de la base expuesta al fluido.Af: Área superficial de una sola aleta.At: Área total (Ab+NAf)N: Número total de aletas.o: Eficiencia global de un grupo de aletas.

Se define la eficiencia global de un grupo de aletas como:Se define la eficiencia global de un grupo de aletas como:

fo f

t

NA1 1

A

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas

cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.”

AnónimoAnónimo