Unidad1 sistema de medidas de angulo gonzalo revelo pabon

Luis Gonzalo Revelo Pabón

Dpto. de Matemáticas - Goretti

1

ANGULO en geometría se define ángulo, al conjunto de puntos que se encuentran en una región comprendida entre el corte de dos rayos o semirrectas. SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS Los ángulos se pueden medir en tres sistemas de medición a saber: A) El Sistema Sexagesimal, B) El Sistema Centesimal y C) El Sistema Radial o Circular. A) Sistema Sexagesimal: La circunferencia se divide a en 360 partes iguales y cada una de estas partes se la denomina un grado sexagesimal. El grado se divide en 60 partes iguales y a cada una de ellas, se le llama un minuto El minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes, se la llama un segundo. Por lo tanto: 1 grado (1°) = 60 minutos (60’) y 1 minuto (1´) = 60 segundos (60”).

Dados = 74° 16´ 54”, = 28° 45´ 13” y = 124° 34´ 54” calcular: a) + , b) + , c) + , d) - , e) - , f) - , g) 3 , h) 4 , i) /2, j) + Solución a) + = (74° 16´ 54”) + (28° 45´ 13”) =102° 61´ 67” = 102° + 61´ +1´ + 7” = 102° 62´ 7” = 103° 2´ 7” b) + = (74° 16´ 54”) + (124° 34´ 54”) = 198° 50´ 108” = 198°+50´+60´´+ 48”=198°51´ 48” c) + = (28° 45´ 13”) + (124° 34´ 54”) = 152° 79´ 67” = 152° 80´ 7” =153° 20´ 7” d) - = (124° 34´ 15”) – (74° 56´ 54”)= (124° 33´ 75”)- (74° 56´ 54”)

hhhhh= (123° 93´ 75”)- (74° 56´ 54”) = 49° 37´ 21” e) - = (74° 16´ 54”) - (28° 45´ 13”) = (73° 76´ 54”)- (28° 45´ 13”) = 45° 31´ 41” f) - = (124° 34´ 54”) – (28° 45´ 13”) = (123° 94´ 54”)-(28° 45´ 13”)=95° 49´ 41” g) 3 = 3(74° 16´ 54”) =222° 48´ 162” = 222° + 48´ + 120” + 42” =222° 50´ 42” h) 4 = 4(124° 34´ 54”) = 496° 136´ 216”= 496º 136´ 3´ 36´´ =496º 139´ 36”= 498º 19´ 36” i) /2 = (74° 16´ 54”)/2 = 37° 8´ 27” j) + = (28° 45´ 13”) + (124° 34´ 54”)= 152° 79´ 67”= 152°+60´+19´+60”+7”= 152° 80´ 7” = 153° 20´ 7”

TALLER

Dados los siguientes ángulos: = 34° 46´ 24”, = 108° 25´ 03” y = 42° 23´ 55” calcular: a) + , + , + , - , - , - , - , 3 , 4 , /2.



2

B) Sistema Centesimal: En este sistema la circunferencia se divide a en 400 partes iguales y cada una de estas partes se la denomina un grado Centesimal. En este sistema de medición angular la circunferencia, la circunferencia queda dividida en cuatro cuadrantes iguales de 100

G cada uno llamado Gradian.

Por lo tanto: 1 grado (G) = 100 minutos (M) 1 minuto (M) =100 segundos (S). C) Sistema Circular o Radial En este sistema la circunferencia se divide en cuatro cuadrantes, donde cada uno de ellos es igual a /2 radianes. La unidad de medida es el radian (rad). ANGULO EN POSICION NORMAL: Un ángulo se encuentra en posición normal, cuando el vértice del ángulo coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial del ángulo coincide con el semieje positivo del eje de las X.

ANGULO COTERMINALES: Dos ángulos son coterminales sí tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, pero los valores numéricos de los dos ángulos son diferentes. Para calcular el valor de un ángulo coterminal, se aplica la siguiente ecuación. Angulo Coterminal = + 360° : Angulo dado. . Ejemplo. Dado un ángulo de 30°, encontrar el valor del ángulo coterminal. Dato = 30°

Angulo Coterminal = + 360° Remplazamos: Angulo Coterminal = 30°+360° = 390°



3

Ejemplo. Dado un ángulo de 120°, encontrar el valor del ángulo coterminal. Dato = 120° Angulo Coterminal = + 360° Remplazamos: Angulo Coterminal = 120°+360° = 480°

TALLER Dados los siguientes ángulos sexagesimales, encontrar el valor del ángulo coterminal de cada uno de ellos y graficarlos en el plano cartesiano.

a. 30º b. 125º c. 75º d. 45º e. 234º

ANGULO POSITIVO: Un ángulo es positivo, cuando el lado final de un ángulo en posición normal gira en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. ANGULO NEGATIVO: Un ángulo es negativo, cuando el lado final de un ángulo en posición nor-mal gira en el mismo sentido al movimiento de las manecillas del reloj. A los ángulos se los designa con las letras del alfabeto Griego así: alfa, beta, fi, gamma,

theta, etc.



4

Ejemplo Graficar en el plano cartesiano un ángulo de: a) +30°, b) – 30° c) +150°, d) -150° e) +210°, f) -210°



5

TALLER Graficar en el plano cartesiano un ángulo de: a) +45°, b) – 45° c) +160°, d) -160° e) +240°, f) -240º g) + 280º h) - 280º ANGULOS CUADRANTALES: Se llaman ángulos cuadrantales, cuando el lado final de un ángulo

en posición normal coincide con la amplitud de un ángulo de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°.

ANGULO RECTO: Es aquel que mide 90°.

ANGULO LLANO: Es el que mide 180°. ANGULO AGUDO: Es aquel que mide menos de 90° ANGULO OBTUSO: Es aquel que mide más de 90° y monos de 180°. ANGULO CENTRAL: Es un ángulo cuyo vértice coincide con el centro del circulo y el lado inicial y el lado final del ángulo coincide con los radios del círculo.



6

ANGULOS COMPLEMENTARIOS: Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de ellos es

igual a noventa grados (90°). Es decir + = 90° ANGULOS SUPLEMENTARIOS: Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de ellos es

igual a ciento ochenta grados (180°). Es decir + = 180°.



7

NOTA: 1 minuto = 60 segundos o también 1´=60” 1 grado = 60 minutos o también 1°=60´ 1 grado = 60 minutos =60(60segundos) = 3600 segundos o también 1°= 3600” 90° = 89° 60´ 90° = 89° 59´ 60” 180° = 179° 60´ 180° = 179° 59´ 60”

Ejemplo: Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo complementario . a) 30° b) 60° c) 42° 30´ d) 55° 30´ 12” e) 64° 21´ 8”

Solución

a) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 30°

Entonces remplazamos: 30°+ = 90°

= 90°- 30° = 60°

b) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 60° Entonces remplazamos: 60°+ = 90°

= 90°- 60°

= 30°

c) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 42° 30´

Entonces remplazamos: 42° 30´+ = 90°

= 90°- 42° 30´ pero: 90° = 89° 60´ = 89° 60´- 42° 30´

= 47° 30´

d) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 55° 30´ 12” Entonces remplazamos: 55° 30´ 12”+ = 90°

= 90°- 55° 30´ 12” pero: 90° = 89° 60´ 90° = 89° 59´ 60”

= 89° 59´ 60”- 55° 30´ 12” = 34° 29´ 48”

e) Dos ángulos son complementario sí: + = 90° como = 64° 21´ 8”

Entonces remplazamos: 64° 21´ 8”+ = 90° = 90°- 64° 21´ 8” pero: 90° = 89° 60´ 90° = 89° 59´ 60”

= 89° 59´ 60”- 64° 21´ 8” = 25° 38´ 52” Ejemplo: Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo suplementario .

a) 10° b) 20° 15´ c) 150° 25´ 35” d) 95° 2´ 15”



8

e) 120° 33´ 45” Solución

a) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 10°

Entonces remplazamos: 10°+ = 180°

= 180°- 10° = 170°

b) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 20° 15´

Entonces remplazamos: 20° 15´+ = 180° = 180°- 20° 15´ pero 180° = 179° 60´

= 179° 60´- 20°15´

= 159°45´

c) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 150° 25´ 35”

Entonces remplazamos: 150° 25´ 35” + = 180°

= 180°- 150° 25´ 35´ pero 180° = 179° 59´ 60” = 179° 59´ 60´- 150° 25´ 35”

= 29° 34´ 25”

d) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 95° 2´ 15”

Entonces remplazamos: 95° 2´ 15” + = 180°

= 180°- 95° 2´ 15´ pero 180° = 179° 59´ 60”

= 179° 59´ 60´- 95° 2´ 15” = 84° 57´ 45”

e) Dos ángulos son suplementarios sí: + = 180° como = 120° 33´ 45” Entonces remplazamos: 120° 33´ 45” + = 180°

= 180°- 120° 33´ 45´ pero 180° = 179° 59´ 60”

= 179° 59´ 60´- 120° 33´ 45”

= 59° 26´ 15” TALLER

1.- Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo complementario . a) 35° b) 75° c) 53° 22´ d) 75° 10´ 52” e) 84° 11´ 8”

2.- Dado el siguiente ángulo encontrar el valor del ángulo suplementario . a) 40° b) 35° 24´ c) 124° 35´ 15” d) 35° 12´ 25” e) 162° 43´ 15”



9

CONVERSIONES En el aprendizaje de las conversiones estudiaremos los siguientes casos: 1.- Convertir Grados Decimales, a Grados, Minutos y Segundos. Para ello se tiene las siguientes igualdades: 1 grado = 60 minutos o también 1°=60´ 1 minuto = 60 segundos o también 1´=60” 1 grado = 60 minutos = 60(60segundos) = 3600 segundos o también 1°= 3600” 2.- Convertir un ángulo escrito en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales. Para ello se tiene las siguientes equivalencias

1 minuto =

o también 1´ = (

°

1 segundo =

o también 1” = (

)°

Ejemplo Convertir los siguientes Grados Decimales a Grados, Minutos y Segundos

a) 38,5543° b) 13,8345° c) 78,9372°

SOLUCION

a) 38,5543° = 38° +0,5543° pero 1°=60´ = 38° + 0,5543(60´) = 38° + 33,258´ = 38° + 33´ + 0,258´ pero 1´=60” = 38° + 33´ + 0,258(60”) = 38° + 33´ + 15,48” = 38° 33´ 15,48”

b) 13,8345° = 13° + 0,8345° pero 1°=60´ = 13° + 0,8345(60´) = 13° + 50,07´ = 13° + 50´ + 0,07´ pero 1´=60” = 13° + 50´ +0,07(60”) = 13° + 50´ + 4,2” = 13° 50´ 4,2”

c) 78,9372° = 78° + 0,9372° pero 1°=60´ = 78° + 0,9372(60´) = 78° + 56,232´ = 78° + 56´ + 0,232´ pero 1´=60” = 78° + 56´ + 0,232(60”) =78° + 56´ + 13,92” =78° 56´ 13,92”

Ejemplo Convertir los siguientes Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales

a) 38° 33´ 55,48” b) 123° 45´ 43,21” c) 53° 23´ 58”



10

Solución

a) 38° 33´ 55,48” = 38° + 33´ + 55,48” pero 1´ = (

° y 1” = (

)°

= 38° + 33(

)° + 55,48(

)°

= 38° + 0,55° + 0,015° =38,565°

b) 123° 45´ 43,21” = 123° + 45´ + 43,21” pero 1´ = (

° y 1” = (

)°

= 123° + 45(

)° + 43,21(

)°

= 123° + 0,75° + 0,012° = 123,762°

d) 53° 23´ 58” = 53° + 23´ + 58” pero 1´ = (

° y 1” = (

)

= 53° + 23(

)° + 58(

)°

= 53° + 0,8833° + 0,016° = 53,8993° TALLER 1.- Convertir los siguientes Grados Decimales a Grados, Minutos y Segundos

a) 78,5543° b) 143,8142° c) 36,1322°

2.- Convertir los siguientes Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales

a) 48° 53´ 45,18” b) 156° 10´ 32,21” c) 51º 34` 34”

DEFINICION DE RADIAN: Un radian es la medida de un ángulo central de un circulo, cuya longi-tud del arco comprendido entre el lado inicial y el lado final del ángulo central es igual al radio del círculo. Es decir

( (

(

a) Si s= r entonces (

=

= 1 radian.= 57,29°



11

b) Si s= 2r entonces (

=

= 2 radian= 114,58°

c) Si s= 3r entonces (

=

= 3 radian= 171,87°

d) Si s= 4r entonces (

=

= 4 radian= 229,16°

e) Si s= 5r entonces (

=

= 5 radian = 286,45°

f) Si s= 6r entonces (

=

= 6 radian = 343,74°.

RELACION ENTRE GRADOS Y RADIANES

a) 180° = radianes = 3,1416 radianes

b) 1 radian = (180°/ ) = 57,29°

CONVERSION DE GRADOS A RADIANES Y DE RADIANES A GRADOS Para convertir grados sexagesimales a radianes o de radianes a grados sexagesimales, simple-mente se efectúa una regla de tres simple, teniendo en cuenta que: 180° = rad = 3,1416 rad. Ejemplo: Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes.

a) 38° b) 238° 15´ 16” c) 125° 34´ 34”

Solución:

a) 38° planteamos una regla de tres simple así: 180° rad entonces x= 38° rad/180° =19 rad/90 38° x X=19(3,1416rad)/90= 0,6632rad



12

b) Para convertir 238° 15´ 16” lo primero que se debemos hacer es convertir esta magnitud angular dada en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales, ya que al quererlo re-solver directamente no se lo puede realizar.

238° 15´ 16” = 238° + 15´ + 16”

= 238° + 15(

)° + 16(

)°

= 238° + 0,25° + 0,0044° = 238,294° Ahora 238,294° que son grados decimales los convertimos a radianes 180° 3,1416 rad entonces x = 238,294°(3,1416 rad)/180° 238,294° x .x =4,1590 rad

c) Para convertir 125° 34´ 34” lo primero que se debemos hacer es convertir esta magnitud angular escrita en Grados, Minutos y Segundos a Grados Decimales, ya que al quererlo resolver directamente no se lo puede realizar.

125° 34´ 34” = 125° + 34´ + 34”

= 125° + 34(

)° + 34(

)°

= 125° + ° + 0,5666° + 0,009° = 125,5756° Ahora 125,5756° que son grados decimales los convertimos a radianes 180° 3,1416 rad entonces x = 125,5756°(3,1416 rad)/180° 125,5756° x .x =2,19 rad



13

TALLER 1.- Convertir los siguientes grados sexagesimales a radianes.

a) 34° b) 123° 25´ 46” c) 205° 22´ 43”

2.- Convertir los siguientes radianes a grados sexagesimales a) 2,14 rad b) 5,345 rad c) 1,5 rad

Unidad1 sistema de medidas de angulo gonzalo revelo pabon

Documents

Transcript of Unidad1 sistema de medidas de angulo gonzalo revelo pabon