Unidad1y2

Estadıstica I

Walter Dıaz

Facultad de Ciencias EconomicasUniversidad de Antioquia

22 de abril de 2013

Estadıstica DescriptivaTeorıa de la probabilidad

IntroduccionTipo de datosMedidas del CentroMedidas de dispersion

Introduccion

Para mucha gente, la estadıstica significa descripciones numericas.Sin embargo, en terminos mas precisos, la estadıstica la podemosdefinir como el conjunto de tecnicas que se emplean para larecoleccion, organizacion, analisis e interpretacion de informacioncon el objetivo de tomar decisiones en presencia de incertidumbresobre la poblacion objeto de estudio con base en datos observados.

Walter Dıaz Estadıstica I



Introduccion

Antes de entrar al tema de resumir la informacion que contiene losdatos numericos, es necesario distinguir entre dos conjuntos dedatos llamados poblacion y muestra. En un estudio sobre las rentasfamiliares en un pueblo pequeno de 150 hogares, serıa posibleconocer la verdadera renta promedio. En este caso, los datosconstituyen un conjunto completo o poblacion de las rentasfamiliares de ese pueblo. Sin embargo, en otros casos resultaexcesivamente costoso tener el conjunto completo de los datos deuna poblacion; en estos casos, lo mas frecuente es estudiar unaparte de la poblacion a la que llamaremos muestra de los valoresde la poblacion y el objetivo sera sacar conclusiones a cerca detoda la poblacion con base en la informacion muestral (inferenciaestadıstica).




Introduccion

Los principales conceptos que se introducen en este tema son:

Poblacion: es el colectivo cuya descripcion es el objetivo finaldel analisis estadıstico.

Muestra: es un subconjunto representativo de la poblacionsobre el que se obtiene la informacion empırica que constituyela masa de datos.




Introduccion

Estadıstica Descriptiva e Inferencia Estadıstica. El analisisdescriptivo puede realizarse con datos muestrales o con censospoblacionales, mientras que la inferencia trabaja con lainformacion que proporcionan los datos muestrales, para llegar aconclusiones acerca de la poblacion.

Tipos de datos: si la caracterıstica observada es cuantificable segenera una variable, cuando la caracterıstica es cualitativa segenera un atributo; si los datos estan referidos al mismo instantede tiempo se denominan de corte transversal, pero si se observael comportamiento de la caracterıstica en el tiempo se denominanseries temporales. Si se analiza una sola variable o atributo losdatos son unidimensionales, si son dos o mas conjuntamente losdatos son bidimensionales o multidimensionales.




Introduccion

Distribucion de frecuencias: es la tecnica para resumir otabular los datos.

Representacion grafica de los datos, en particular elhistograma y el polıgono de frecuencias, por el interes quepresentan como base empırica para la especificacion de unmodelo teorico. Se hace referencia, asimismo, a otros tipos degraficos como el diagrama Stem and Leaf, Box-Plot, diagramade sectores y los pictogramas, estos permiten explorar ladistribucion de frecuencias de los datos e identificar lasmedidas de sıntesis mas adecuadas para su descripcion.




Tipo de datos

En terminos generales, un dato es cualquier pieza de la informacionrecogida, y un conjunto de datos es una coleccion de datosrelacionados entre sı de alguna manera. Vamos a clasificar losdatos en cuatro tipos y describir cada uno de ellos:

Cuantitativos: son datos asociados con una medicion dealguna cantidad en una unidad de observacion,

Cualitativos: son datos asociados a alguna cualidad opropiedad de la unidad de observacion

Logicos: son datos para representar una verdad o unafalsedad,

Perdido: datos que deberıan estar allı, pero no lo estan.




Datos Cuantitativos

Los datos cuantitativos son los datos que miden o se asocian con unamedicion de la cantidad de algo. Invariablemente tomar valores numericos.Los datos cuantitativos se pueden subdividir en dos categorıas.

Datos discretos toman valores en un conjunto finito o infinitonumerable de numeros, es decir, todos los valores posibles podrıa (almenos en principio) se escribira en una lista ordenada. Los ejemplosincluyen: cuenta, el numero de llegadas, o el numero de exitos. Amenudo estan representados por numeros enteros, por ejemplo, 0, 1,2, etc.

Datos continuos toman valores en un intervalo de numeros. Estosson conocidos tambien como datos de escala, los datos de intervalos,o datos de medicion. Algunos ejemplos son: altura, peso, longitud,tiempo, datos, etc. continuas se caracterizan a menudo por fraccioneso decimales: 3.82, 7.0001, 45

8 , etc.




Ejemplos

Precipitacion anual en las ciudades de EEUU. La cantidadmedia de precipitacion (en pulgadas) para cada una de las 70ciudades de Estados Unidos y Puerto Rico. los datos:

Mobile Juneau Phoenix Little Rock . . .67.0 54.7 7.0 48.5 . . .

La tabla muestra que cada valor tiene un nombre asociado con el.Estos son datos cuantitativos continuos.




Ejemplos

Las longitudes de los principales Rios de Norte America. En elServicio Geologico de EE.UU. se registraron las longitudes (enmillas) de varios rıos en Norte America. Los datos:

735 320 325 392 524 ...

Estos datos son definitivamente cuantitativa y parece que lasmediciones se han redondeado a la milla. Por lo tanto, en sentidoestricto, se trata de datos discretos. Pero sera mas convenientedespues de tomar datos como estos a ser continuo para algunos denuestros procedimientos estadısticos.




Ejemplos

Numeros anuales de importantes descubrimientos. El vectorcontiene un numero “Grandes” de invenciones y descubrimientosen cada ano desde 1860 hasta 1959, segun ha informado elAlmanaque Mundial de 1975.

De 1860 a 1959: 5 3 0 2 0 3 2 3 6 1 ...

Los datos son una serie temporal de longitud 100. Las entradas sonnumeros enteros, que representan un recuento, esto es un buenejemplo de datos cuantitativos discretos.




Representacion grafica de datos cuantitativos

Una de las primeras cosas que se puede hacer cuando se enfrentana los datos cuantitativos (o cualquier dato, para el caso) es haceralgun tipo de presentacion visual para hacerse una idea de laestructura de los datos. Hay casi tantos tipos de representacionpara elegir como conjuntos de datos para graficar. Se describenalgunas de las alternativas mas populares.




Grafico de PuntosFigura: Grafico de puntos de los datos de precipitaciones, rıos, y descubrimientos

10 20 30 40 50 60

rainfall

0 500 1500 2500 3500

length

0 2 4 6 8 10 12

number




HistogramaHistograma de frecuencia (Relativa) de las precipitaciones

precip

Fre

quen

cy

0 10 20 30 40 50 60 70

05

1015

2025

precip

Den

sity

0 10 20 30 40 50 60 70

0.00

00.

010

0.02

00.

030




Histograma

El Histograma, es el grafico estadıstico por excelencia. Elhistograma de un conjunto de datos es un grafico de barras querepresentan las frecuencias con que aparecen las medicionesagrupadas en ciertos rangos o intervalos.

Para uno construir un histograma se debe dividir la recta real enintervalos o clases (algunos recomiendan que sean de iguallongitud) y luego contar cuantas observaciones caen en cadaintervalo.




Histograma

La idea de agrupar datos en forma de histogramas se conoce desde1662 con el trabajo de Graunt. Sin embargo, es hasta 1926 cuandoaparecen las primeras reglas sobre su construccion con la formulade Sturges para determinar el numero de barras.

Regla de Sturges: k = 1 + log2 (n),

donde k es el numero de barras y n el tamano muestral.

Scott (1992), basado en la distribucion normal recomienda elsiguiente numero de barras para el histograma

Regla de Scott: k = (2n)1/3.




Histograma

Los pasos para construir el histograma son:

1 Defina los intervalos o clases de igual longitud.

2 Cuente el numero de observaciones que caen en cada clase ointervalo. Esto es llamado la frecuencia (fi).

3 Calcule la frecuencia relativa

fi/n =Nro. de obs. en el intervalo

Numero de datos,n.

4 Grafica los rectangulos cuyas alturas son proporcionales a lasfrecuencias relativas.




Ejemplo de histograma

Tabla : Rendimientos anuales de las acciones de una empresa a lo largode treinta anos expresados en tanto por ciento y corregidos por el nivel deinflacion

-3.2 17.4 -13.4 -9.9 20.4 15.12.7 -1.6 41.0 20.8 6.1 -21.8

20.9 53.4 10.3 15.1 -13.8 -34.824.6 31.1 -1.0 10.3 -1.5 28.317.2 3.6 26.0 -13.0 10.6 18.2




Histograma

Realizar histogramas de esta manera tiene las siguientes ventajas.

1 Es util para apreciar la forma de la distribucion de los datos, sise escoge adecuadamente el numero de clases y su amplitud.

2 Se puede presentar como un grafico definitivo en un reporte.

3 Se puede utilizar para comparar dos o mas muestras opoblaciones.

4 Se puede refinar para crear graficos mas especializados, porejemplo la piramide poblacional.




Histograma

Desventajas

1 Las observaciones individuales se pierden.

2 La seleccion del numero de clases y su amplitud que adecuadamenterepresenten la distribucion puede ser complicado. Un histograma con muypocas clases agrupa demasiadas observaciones y uno con muchas deja muypocas en cada clase. Ninguno de los dos extremos es adecuado. Debido aque nuestros ojos responden al area de las barras, es importante mantenerla anchura de las barras iguales. Si estamos enfrentados a un problemadonde los intervalos tienen diferente amplitud, por ejemplo cuandoobtenemos datos agrupados desde la fuente, se usa la siguiente formula

Altura del rectangulo =fi/n

Amplitud del Intervalo.




Diagrama de tallos y hojas

Este grafico fue propuesto por Tukey (1977) y son faciles de realizar a mano yse usan como una forma rapida y no pulida de mirar los datos. ¿Que nosmuestra?

1 El centro de la distribucion.

2 La forma general de la distribucion

Simetrica Si las porciones a cada lado del centro son imagenes espejos delas otras.

Sesgada a la izquierda Si la cola izquierda (los valores menores) esmucho mas larga que los de la derecha (los valores mayores).

Sesgada a la derecha Opuesto a la sesgada a la izquierda.

3 Desviaciones marcadas de la forma global de la distribucion.

Outliers Observaciones individuales que caen muy por fuera del patrongeneral de los datos.

gaps Huecos en la distribucion




Ejemplo stem.leaf

Ejemplo

El total mensual de conductores de automoviles muertos o heridosde gravedad en Gran Bretana desde enero 1969 hasta diciembre1984. El uso obligatorio del cinturon de seguridad se introdujo el31 de enero de 1983.




Ejemplo stem.leaf1 — 2: represents 120

leaf unit: 10

n: 192

10 — 57

11 — 136678

12 — 123889

13 — 0255666888899

14 — 00001222344444555556667788889

15 — 0000111112222223444455555566677779

16 — 01222333444445555555678888889

17 — 11233344566667799

18 — 00011235568

19 — 01234455667799

20 — 0000113557788899

21 — 145599

22 — 013467

23 — 9

24 — 7

HI: 2654




Grafico de ındice

Estos son buenos para graficar los datos que estan ordenados, porejemplo, cuando los datos se miden a traves del tiempo. Es decir,la primera observacion se midio en el momento 1, el segundo en eltiempo 2, etc. es un grafico de dos dimensiones, en el que el ındice(o tiempo) es la variable x y el valor medido es la variable y.




Ejemplo Grafico de ındiceFigura : Grafico de ındice para los datos del total conductores de automoviles muertos o heridos de gravedad en Gran Bretana

Tiempo

UK

Driv

erD

eath

s

1970 1975 1980 1985

1000

1500

2000

2500




Datos Cualitativos, Datos Categoricos y Factores

Los datos cualitativos son simplemente cualquier tipo de datos queno son numericos, o no representan cantidades numericas.Ejemplos de variables cualitativas incluir el nombre de un sujeto,genero, raza, partido polıtico, el nivel socioeconomico, el rango declase, numero de licencia de conducir y numero de seguro social(SSN).





Los factores pueden ser de dos tipos: nominal y ordinal. Factoresnominales tienen niveles que corresponden a los nombres de lascategorıas, sin orden implıcito.

Ejemplos de factores nominales serıa el color del pelo, el sexo, laraza o partido polıtico. No hay orden natural de “democrata” y“republicano”, las categorıas son solo nombres asociados condiferentes grupos de personas?.





Por el contrario, los factores ordinales tienen algun tipo deestructura ordenada de los niveles de los factores subyacentes.

Por ejemplo, el nivel socioeconomico serıa una variable categoricaordinal debido a que los niveles corresponden a las filas asociadascon el ingreso, la educacion y la ocupacion. Otro ejemplo de losdatos categoricos ordinales serıa el rango de clase.




Tabla

Una de las mejores formas de resumir los datos cualitativos es conuna tabla de los valores de datos. Podemos contar frecuencias ouna lista de proporciones cuya entrada es una tabla de frecuencias.Por ejemplo.

Tabla : Numero de personas que visitaron EEUU en 1992

Pais de Origen Numero (en millones)

Japon 3.7Reino Unido 2.8Alemania 1.7




Grafico de barras

Un grafico de barras es el analogo de un histograma para los datoscategoricos. Una barra se muestra para cada nivel de un factor,con las alturas de las barras proporcionales a las frecuenciasobservadas que caen en las categorıas respectivas. Una desventajade los graficos de barras es que los niveles se ordenanalfabeticamente (por defecto), que a veces puede oscurecer lospatrones en la representacion.




Grafico de barrasFigura : Grafico de barras para el numero de personas que visitaron EEUU en 1992

Japón Reino Unido Alemania

Vis

itant

es (

en m

illon

es)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5




Graficos circulares

El uso de graficos circulares o pasteles es bastante comun entrepersonas no profesionales en estadıstica y lamentablemente se hatrivializado tanto que si en muchas de las situaciones donde seusan se suprimieran se ahorrarıan muchas hojas de papel. A vecesse presenta un grafico de pastel para mostrar que en una muestrael 50 % son hombres y el 50 % mujeres.

Este grafico es una gran herramienta para datos porcentualestomadas sobre individuos o elementos, por ejemplo, se ha estimadoque el total de delitos informaticos en EEUU, el 44 % tienen lafinalidad el robo de dinero, el 16 % el robo de informacion, el 16 %persigue la destruccion de software, el 12 % tiene por objeto laalteracion de datos, el 10 % esta relacionado con robos de serviciosy el 2 % restante tiene otros fines.




Graficos circulares

Robo de dinero

Robo de informaciónDestrucción de software

Alteración de datos

Robo de servicios

Otros

Figura : Grafico circular de los delitos informaticos en EEUU




Medidas del Centro

Una manera de resumir los datos numericos es buscar el centro delos datos. Las medidas que buscan este objetivo son las medidas decentralizacion o tendencia central Las principales medidas decentralizacion son: la media, la mediana y la moda.




La media

Definicion

La media de un conjunto de observaciones es su promedioaritmetico. es denotado por x para la muestra y por µ para lapoblacion

x =x1 + x2 + · · ·+ xn

n=

1

n

n∑i=1

xi

y

µ =X1 +X2 + · · ·+XN

N=

1

N

N∑i=1

Xi




La mediana

Definicion

La mediana de un conjunto de observaciones es la observacion queocupa el lugar central cuando estas estan ordenadas en sentidocreciente o decreciente. Si el numero de observaciones es par,entonces la mediana es promedio de las observaciones que ocupanlas posiciones N/2 y N

2 + 1, en la poblacion y es el promedio de lasobservaciones n/2 y n

2 + 1, en la muestra, en el conjunto de datosordenado. Si el numero de observaciones es impar, entonces lamediana es el dato que ocupa la posicion (N + 1)/2 en lapoblacion y en la muestra es el dato que ocupa la posicion(n+ 1)/2 para los datos ordenados. Denotamos la medianapoblacional como µ y muestral x. Notese que hasta la medianaesta el 50 % de los datos y despues de ella esta el otro 50 %.




La moda

Definicion

La moda de un conjunto de observaciones es el valor que aparececon mayor frecuencia; es decir, es el dato que mas se repite.

Un conjunto de datos puede tener dos o mas modas




Medidas de dispersion

Una medida de centralizacion, casi nunca es suficiente por sı sola,para resumir adecuadamente las caracterısticas de un conjunto dedatos, Por lo general, necesitaremos, ademas, una medida dedispersion. Las principales medidas de dispersion que analizaremosaquı son la varianza, la desviacion tıpica, el rango o recorrido y elrango intercuartil.




la Varianza

Definicion

La varianza muestral es denotada como s2 y calculada con laformula

s2 =

∑ni=1(xi − x)2

n− 1

y la varianza poblacional es denotada por σ2 y calculada con

σ2 =

∑Ni=1(Xi − µ)2

N

la varianza es aproximadamente la distancia media al cuadrado delas observaciones respecto de la media.




La desviacion estandar

Definicion

La desviacion estandar es la raız cuadrada positiva de la varianzaPara la muestra es

s =√s2

Y poblacional esσ =√σ2

La desviacion estandar se utiliza para escalar la estimacion devuelta a las unidades de medida de los datos originales.




Rango o recorrido

Definicion

El rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor desus valores. Esta medida se conoce como el rango o recorrido.

El rango o recorrido es la medida de dispersion mas simple y masobvia, sin embargo, el rango es una medida de dispersion muysensible a valores extremos. Para corregir este problemacalcularemos el rango intercuartil.




El rango intercuartil

Una forma para corregir el efecto que tiene los valores extremos enel rango consiste en dividir los datos en cuatro grupos del mismotamano. Los valores que sirven como puntos de division entre losgrupos se llaman cuartiles. Ahora, entre el mınimo y el primercuartil esta el 25 % de los datos; entre el primer y segundo cuartilesta el segundo 25 % de los datos; entre el segundo y tercer cuartilesta el tercer 25 % de los datos; y entre el tercer cuartil y elmaximo esta el cuarto 25 % de los datos.

Definicion

El rango intercuartil es la diferencia entre el primer y el tercercuartil.




Cuartiles y rango intercuartil

Suponga que se tienen N observaciones ordenadas de menor amayor. Entonces, el primer cuartil es la observacion que ocupa laposicion [(N − 1)/4 + 1] y el tercer cuartil es el valor que ocupa laposicion [3(N − 1)/4 + 1]. El segundo cuartil es la mediana.

La diferencia entre el tercer y primer cuartil nos da una medida dela dispersion que se conoce como el rango intercuartil.




Notese, cuando (N − 1) no es divisible por 4, entonces los cuartilesse calculan por interpolacion. Por ejemplo, si N = 15, de formaque N − 1 = 14. Entonces, [(N − 1)/4 + 1] = 4,5; por lo tanto, elprimer cuartil es el numero que esta en medio del camino de lacuarta y quinta observacion. Ası mismo, como[3(N − 1)/4 + 1] = 11,5, entonces el tercer cuartil es el numeroque esta en medio del camino entre las observaciones once y doce.




Ejemplo

Los siguientes datos representan las predicciones que realizan 10economistas sobre el crecimiento del IPC para el proximo ano: 3.6,3.1, 3.9, 3.7, 3.5, 3.7, 3.4, 3.0, 3.6 y 3.4. Encontrar la media,varianza, la desviacion estandar, median, moda, rango, cuartiles yrango intercuartil de las predicciones.




Regla empırica:

Para la mayorıa de las poblaciones grandes se verifica que:

Aproximadamente el 68 % de los valores de la poblacion seencuentran a una desviacion estandar de la media.

Aproximadamente el 95 % de los valores de la poblacion seencuentran a dos desviaciones estandar de la media.

Aproximadamente el 99 % de los valores de la poblacion seencuentran a tres desviaciones estandar de la media.




Ejemplo

Tabla : Tiempos para llevar a cabo una transaccion bancaria.

0.2 1.2 2.3 3.3 5.5 0.4 1.2 2.4 3.4 5.60.4 1.3 2.4 3.6 5.8 0.4 1.3 2.5 3.7 6.20.5 1.4 2.7 3.8 6.8 0.5 1.4 2.8 4.2 7.20.7 1.5 2.8 4.4 7.6 0.8 1.6 2.9 4.6 7.80.9 1.8 3.1 4.7 9.5 1.1 1.9 3.3 5.2 9.7

Los datos en la tabla son los tiempos en minutos, necesarios paraque 50 clientes de un banco comercial, lleven a cabo unatransaccion bancaria. Los tiempos estan ordenados en formacreciente. Encontrar las medidas de tendencia central y dedispersion para estos datos. Verifique el cumplimiento de la reglaempırica.




Definicion

La asimetrıa muestral denotada por g1, se define por la formula

g1 =1

n

∑ni=1(xi − x)3

s3

La asimetrıa de la muestra puede ser cualquier valor −∞ < g1 <∞.El signo de g1 indica la direccion de la asimetrıa de la distribucion.Las muestras que tienen g1 > 0 indican distribuciones sesgadas a laderecha (o sesgo positivo), y las muestras con g1 < 0 indicandistribuciones sesgadas a las izquierdo (o negativamente sesgada). Losvalores de g1 cerca de cero indican una distribucion simetrica. Estasno son reglas duras y rapidas, sin embargo. El valor de g1 esta sujetoa la variabilidad de la muestra y por lo tanto solo proporciona unasugerencia de la asimetrıa de la distribucion subyacente.




Todavıa tenemos que saber que tan grande es “grande”, es decir,¿como podemos juzgar si un valor observado de g1 esta losuficientemente lejos de cero para considerar que un conjunto dedatos es sesgado a la derecha o la izquierda?

Una buena regla en general es que los conjuntos de datos conasimetrıa mayor que

2√

6/n,

en magnitud son sustancialmente sesgadas, en la direccion quesenal g1.




Definicion

Exceso de Curtosis muestral denotada por g2, viene dada por laformula

g2 =1

n

∑ni=1(xi − x)4

s4− 3

El exceso de curtosis muestral toma valores −2 < g2 <∞. La restade 3 puede parecer misterioso, pero esta hecha para que las muestrascon forma de montıculo tengan un valor de g2 cercano a cero.

Muestras con g2 > 0 son llamadas leptocurticas,

muestras con g2 < 0 son llamadas platicurticas,

muestras con g2 ≈ 0 son llamadas mesocurticas.




Como regla general si

|g2| > 4√

6/n,

entonces el exceso de curtosis de la muestra es sustancialmentediferente de cero en la direccion que senal g2.

Notese que tanto la asimetrıa de la muestra y la kurtosis muestralson invariantes con respecto a la ubicacion y la escala, es decir, losvalores de g1 y g2 no dependen de las unidades de medida de losdatos.




La media y varianza para datos agrupados

Supongamos que en un conjunto de datos aparecen los valoresm1,m2, . . . ,mk, los valores mi pueden ser las marcas de clase, confrecuencias f1, f2, . . . , fk, respectivamente.

Para una poblacion de N observaciones, tal que N =∑k

i=1 fi setiene que

La media es

µ =

∑ki=1 fimi

N

La varianza es

σ =

∑ki=1 fi(mi − µ)2

N=

∑ki=1 fim

2i

N− µ2




La media y varianza para datos agrupados

Para una muestra de n observaciones, tal que n =∑k

i=1 fi se tieneque

La media es

X =

∑ki=1 fimi

n

La varianza es

S2 =

∑ki=1 fi(mi −X)2

n− 1=

∑ki=1 fim

2i − nX

2

n− 1




La mediana

La formula para obtener la mediana esta dada por

X = L+ wj

fm

Donde L es el lımite inferior de la clase que contiene a la mediana(la clase en la que esta hasta el 50 % de los datos), fm es lafrecuencia de la clase de la mediana, w es la amplitud de la clasede la mediana y j es el numero de observaciones de la clasenecesarias para llegar a la observacion n/2.




El cuartil inferior para datos agrupados, es el valor hasta el cualesta el 25 % de las observaciones y es la mediana del primer 50 %de las observaciones.

El cuartil superior para datos agrupados, es el valor hasta el cualesta el 75 % de las observaciones.




Ejemplo

Una tabla de frecuencia para los tiempos para llevar a cabo unatransaccion bancaria. es de la forma

Inf Sup MC fi fri Fi Fri

0 2 1 20 0.40 20 0.402 4 3 15 0.30 35 0.704 6 5 8 0.16 43 0.866 8 7 5 0.10 48 0.968 10 9 2 0.04 50 1.00




Con los resultados de la tabla anterior, se tiene que el lımiteinferior de la clase que contiene a la mediana es L = 2, la amplitudw = 2, la frecuencia de la clase de la mediana fm = 15 y elnumero de observaciones necesarias para llegar a n/2 = 25 en laclase de la mediana es j = 5, entonces

X = 2 + 25

15= 2,66667

La media es

X =

∑5i=1 nimi

50=

1× 20 + 3× 15 + · · ·+ 9× 2

50= 3,16

La varianza es

S2 =

∑5i=1 nim

2i − 50(3,16)2

49= 5,36163




Diagrama de Caja o Boxplot

Este grafico contiene un rectangulo, usualmente orientado con elsistema de coordenadas tal que el eje vertical tiene la misma escaladel conjunto de datos. La parte superior y la inferior del rectangulocoinciden con el tercer cuartil y el primer cuartil de los datos. Estacaja se divide con una lınea horizontal a nivel de la mediana. Sedefine un “paso” como 1.5 veces el rango intercuartil, y una lıneavertical (un bigote) se extiende desde la mitad de la parte superiorde la caja hasta la mayor observacion de los datos si se encuentrandentro de un paso. Igual se hace en la parte inferior de la caja Lasobservaciones que caigan mas alla de estas lıneas son dibujadasindividualmente.




Diagrama de Caja o Boxplot

0 2 4 6 8 10

Figura : Boxplot para los datos de tiempos de espera en un banco



Metodos CombinatoriosEspacio muestral, eventoFuncion de ProbabilidadProbabilidad CondicionalEventos independientesRegla de Bayes

Introduccion

El concepto de probabilidad es basico en inferencia estadıstica, elconcepto de probabilidad esta asociado a la medida de que algoincierto ocurra. Por ejemplo, las decisiones de inversion estanbasadas en las valoraciones que el inversor hace sobre larentabilidad futura probable.




Metodos Combinatorios

Teorema

Si una operacion consta de dos pasos, de los cuales el primero sepuede realizar de n1 maneras y para cada una de estas el segundopaso se puede realizar de n2 formas, entonces la operacioncompuesta por el paso uno seguida por el paso dos se puederealizar en n1 × n2 formas.




Para ilustrar el teorema anterior, sea el par ordenado (x, y) como elresultado que surge cuando el primer paso resulta en la posibilidadxi, i = 1, 2, . . . , n1 y el segundo paso resulta en la posibilidadyj , j = 1, 2, . . . , n2. Por lo tanto, el conjunto de todos losresultados posibles esta formado por los siguientes n1 × n2 pares

(x1, y1), (x1, y2), . . . , (x1, yn2)

(x2, y1), (x2, y2), . . . , (x2, yn2)

...

(xn1 , y1), (xn1 , y2), . . . , (xn1 , yn2)

Lo anterior se puede representar en forma esquematica medianteun diagrama de arbol.




Ejemplo

Hay cuatro rutas, A, B, C y D, entre la casa de una persona y sulugar de trabajo, pero la ruta B es en un solo sentido, de modo queno puede tomarla cuando va a su trabajo, y la ruta C es en un solosentido, de modo que no puede tomarla cuando va rumbo a casa.

a) Determine de cuantas formas es posible ir al trabajo y regresara casa. Construya un diagrama de arbol que muestre lasdiversas maneras en que una persona puede ir y regresar de sutrabajo;

b) Determine de cuantas formas puede una persona ir a sutrabajo y regresar a casa, sin tomar la misma ruta en ambossentidos. Trace un diagrama de arbol para ilustrar la situacionanterior.




Ejemplo

Una operacion consta de dos pasos, de los cuales el primero sepuede realizar de n1 formas. Si el primer paso se hace de la i-esimamanera, el segundo se puede hacer de n2i maneras.

a) Use un diagrama de arbol y encuentre una formula paradeterminar el numero total de maneras en que se puedeefectuar la operacion completa;

b) Un estudiante puede prepararse durante 0, 1, 2 o 3 horas aldıa para un examen de historia un dıa dado. Use la formulaobtenida en la parte anterior para verificar que hay 13maneras en las que un estudiante puede preparase cuatrohoras como mucho para la prueba en dos dıas consecutivos




Teorema

Si una operacion consta de k pasos, de los cuales el primero sepuede realizar de n1 maneras, para cada una de estas el segundopaso se puede realizar de n2 maneras, para cada uno de los dosprimeros el tercer paso se puede realizar en n3 maneras, yası sucesivamente, entonces la operacion completa se puederealizar en n1 × n2 × · · · × nk formas.




Ejemplo

Una prueba de eleccion multiple consta de 15 preguntas, cada unapermite una eleccion entre tres alternativas posibles. ¿De cuantasmaneras diferentes puede un estudiante marcar su respuesta aestas preguntas?




Teorema

El numero de permutaciones de n objetos diferentes es

n! = n× (n− 1)× · · · × 2× 1

Ejemplo

¿De cuantas maneras puede un director de television programar losseis diferentes anuncios de un patrocinador, durante los seisespacios de tiempo asignados para anuncios, durante un especialde una hora?




Ejemplo

El numero de permutaciones de las letras A, B, C, D y E es5! = 120, pero ¿cual es el numero si se toman 3 de las 5 letras a lavez?




Teorema

El numero de permutaciones de n objetos diferentes tomados r ala vez es

nPr =n!

(n− r)!, r = 0, 1, 2, . . . , n

Teorema

El numero de permutaciones de n objetos diferentes arreglados enforma circular es (n− 1)!.




Teorema

El numero de permutaciones n objetos de los cuales n1 son de unaclase, n2 son de una segunda clase,. . . , nk, son de la k-esima clasey n1 + n2 + · · ·+ nk = n es

n!

n1!× n2!× · · · × nk!




Ejemplo

¿De cuantas puede el director de television del ejemplo anteriorasignar los seis espacios de tiempo para anuncios si el patrocinadortiene tres anuncios diferentes, cada uno de los cuales debe sermostrado dos veces?




Teorema

El numero de combinaciones de n objetos diferentes tomados r ala vez sin importar el orden al interior de la seleccion es(

n

r

)=

n!

r!(n− r)!, r = 0, 1, 2, . . . , n




Ejemplo

Entre los siete candidatos para dos vacantes en el consejo de unaciudad hay tres hombre y cuatro mujeres.

a) ¿De cuantas maneras se pueden cubrir estas vacantes con doscandidatos cualquiera de los siete?;

b) ¿De cuantas maneras se pueden cubrir estas vacantes con dosde las cuatro mujeres?;

c) ¿De cuantas maneras se pueden cubrir estas vacantes con unode los hombres y una de las mujeres?.




Ejemplo

¿En cuantas formas diferentes pueden seis lanzamientos de unamoneda producir dos caras y cuatro cruces?




Teorema

El numero de maneras en que un conjunto de n objetos diferentesse pueden dividir o partir en k subconjuntos de n1 objetos en elprimer subconjunto, n2 objetos en el segundo subconjunto,..., y nkobjetos en el k-esimo subconjunto es(

n

n1, n2, . . . , nk

)=

n!

n1!× n2!× · · · × nk!




Ejemplo

¿De cuantas maneras puede asignarse a siete hombres de negocio,que asisten a una convencion, una habitacion triple de hotel y dosdobles?




Probabilidad

Distinguimos entre dos tipos de experimentos: deterministas yaleatorios. Un experimento determinista es uno cuyo resultadopuede predecirse con certeza de antemano, tales como lacombinacion de hidrogeno y oxıgeno, o la adicion de dos numerostales como 2 + 3. Un experimento aleatorio es aquel cuyoresultado es determinado por el azar. Postulamos que el resultadode un experimento aleatorio no se puede predecir con certeza deantemano, ni siquiera en principio. Ejemplos de experimentosaleatorios incluyen lanzar una moneda, lanzar un dado, y lanzandoun dardo sobre una tabla, ¿cuantas luces rojas que encuentres en elcamino a casa, ¿como atravesar muchas hormigas cierto remiendode la acera en un perıodo corto, etc.




Espacio muestral

Suponga que se observan los siguientes procesos:

El lanzamiento de un dado.

Se lanza una moneda normal hasta que se obtenga cara.

Se observa el valor diario de la TRM.

Se observa el nivel educativo de una persona cualquiera.

Los procesos anteriores tienen en comun que pueden concretarseen al menos dos resultados posibles, con incertidumbre en cuanto acual de ellos tendra. En otros terminos, de esos experimentosconocemos todos los posibles resultados pero no podemos predecirun resultado particular con certeza. Los experimentos que tienenestas caracterısticas se llaman experimentos aleatorios.




Definicion

Los resultados posibles de un experimento aleatorio E sedenominan resultados basicos, y el conjunto de todos losresultados posibles o basicos se llama espacio muestral al quedenotaremos mediante la letra Ω.




Ejemplo

Se lanza un dado y se anota el numero de la cara superior. Losresultados basicos de este experimento aleatorio son los numeros1, 2, 3, 4, 5, 6. Entonces, el espacio muestral para el experimento es:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Este espacio muestral es finito.




Ejemplo

Se lanza una moneda normal al hasta que se obtenga cara. Seac = resultado de cara y s = resultado de cruz o sello, entonces losresultados basicos de este experimento aleatorio sonc, sc, ssc, sssc, . . .; por lo tanto, el espacio muestral para esteexperimento es:

Ω = c, sc, ssc, sssc, . . .

Este espacio muestral es infinito pero numerable.




Ejemplo

Se observa el valor en pesos de la TRM. Los resultados basicosasociados a este experimento son numeros. Por lo tanto, el espaciomuestral para este experimento es:

Ω = (0,+∞)

Este espacio muestral es un conjunto continuo y por lo tanto, esinfinito y no numerable. La variable asociada a este experimento esuna variable continua.




Evento

Un evento A es simplemente un conjunto de resultados, o en otraspalabras, un subconjunto del espacio muestral Ω. Despues derealizar un experimento aleatorio E decimos que el evento Aocurrio si los resultados del experimento pertenece a A. Decimosque un grupo de eventos A1, A2, A3, . . . son mutuamenteexcluyentes o disjuntos si Ai ∩Aj = ∅, i 6= j. Por ejemplo, elexperimento de lanzar una moneda al aire, el evento A = cara yB = cruz serıa mutuamente excluyentes.




Ejemplo

Se lanza un dado y se anota el numero de la cara superior. Elevento de que el numero sea par es A = 2, 4, 6. Ahora, si elresultado del experimento es 2, entonces el evento A ocurrio;mientras, que si el resultado del experimento es 3, entonces se diceque el evento A no ocurrio.




Definicion

Algunos eventos especiales. Sean A,B eventos de ΩEvento nulo o vacıo: es el evento que no contiene a ningunresultado basico.Sean A y B dos eventos. El evento formado por los posiblesresultados en A o B o en ambos, recibe el nombre de union de Ay B y se denota por A ∪B.Sean A y B dos eventos. El evento formado por los posiblesresultados comunes tanto a A como a B, recibe el nombre deinterseccion de A y B y se denota por A ∩B.Se dice que dos eventos A y B son disjuntos o mutuamenteexcluyentes cuando A ∩B = ∅.Si cualquier resultado del evento A tambien es un resultado delevento B, entonces se dice que A es subconjunto de B, y sedenota por A ⊂ BEl complemento de un evento A es el evento formado por todoslos resultados basicos de Ω que no se encuentran en A, y sedenota por A′. Esto es, A′ = x ∈ Ω/x /∈ A.




Funcion de probabilidad

Una funcion de probabilidad es una regla que asocia a cada evento Adel espacio muestral Ω un numero unico P(A) = p, llama laprobabilidad de A. Cualquier funcion de probabilidad P(A) satisface lossiguientes tres axiomas de Kolmogorov:

Axioma

i) P(A) ≥ 0, para algun evento A ⊂ Ω.ii) P(Ω) = 1.

iii) Si los eventos A1, A2, A3, . . . son disjuntos entonces

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai), para algun n,

y, ademas

P

( ∞⋃i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P(Ai).




La intuicion detras de los axiomas: primero, la probabilidad de unevento nunca debe ser negativa. Y puesto que el espacio muestralcontiene todos los posibles resultados, su probabilidad debe seruno, o 100 %. El axioma iii puede parecer intimidante, perosimplemente significa que para una secuencia de eventos disjuntos(es decir, juegos que no se superponen), su probabilidad total(medida) debe ser igual a la suma de sus partes. Por ejemplo, laprobabilidad de sacar un 1 o un 2 con un dado es la probabilidadde sacar un 1 mas la posibilidad de sacar un 2.




Teorema (Probabilidad del complemento)

Para algun evento A y B

P(A′) = 1− P(A)




Teorema (Probabilidad del vacio)

P(∅) = 0,

para cualquier espacio muestral Ω.




Teorema (Probabilidad del subevento)

Si A ⊂ B, entoncesP(A) ≤ P(B)




Teorema

0 ≤ P(A) ≤ 1,

para cualquier evento A ⊂ Ω




Teorema (Regla general de adiccion)

La regla de adicion General.

P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B)




Teorema (La probabilidad total)

Sean B1, B2, . . . , Bn mutuamente excluyente y exhaustivos.Entonces para un evento A, se tiene

P(A) = P(A ∩B1) + P(A ∩B2) + · · ·+ P(A ∩Bn)




Ejemplo

Se lanza un dado normal y una moneda balanceada. ¿Cual es laprobabilidad de obtener cara y al menos 4?




Ejemplo

Una companıa recibe una maquinaria nueva que debe ser instalada yrevisada antes de ser operativa. En la tabla adjunta se muestra lavaloracion de probabilidad del numero de dıas necesarios para que lamaquinarıa sea operativa.

Numero de dias 3 4 5 6 7

Probabilidad 0.08 0.24 0.41 0.20 0.07

Sea A el evento “la maquinarıa tardara mas de cuatro dıas en estaroperativa” y sea B el evento “la maquinarıa tardara mas seis dıas enestar operativa”.(a) Calcular las probabilidades de los sucesos A y B;(b) Describir el complemento de A y obtener su probabilidad;(c) Describir A ∩B y obtener su probabilidad;(d) Describir A ∪B y obtener su probabilidad;(e) ¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes?;(f) ¿Son los eventos A y B colectivamente exhaustivos?.




Ejemplo

Suponga que en un grupo de ultimo ano de facultad de 500estudiantes se encuentra que 210 fuman, 258, consumen bebidasalcoholicas, 216 comen entre comidas, 122 fuman y consumenbebidas alcoholicas, 83 comen entre comidas y consumen bebidasalcoholicas, 97 fuman y comen entre comidas y 52 tienen estos treshabitos nocivos para la salud. Si se selecciona al azar un miembrode este grupo, encuentre la probabilidad de que el estudiante(a) Fume pero no consuma bebidas alcoholicas;(b) Coma entre comidas y consuma bebidas alcoholicas pero no

fume;(c) Ni fume ni coma entre comidas.




Ejemplo

De experiencias pasadas un agente de bolsa cree que con lascondiciones economicas actuales un cliente invertira en bonos libresde impuestos con una probabilidad de 0.6, invertira en fondosmutualistas con una probabilidad de 0.3 e invertira en ambos conuna probabilidad de 0.15. Encuentre la probabilidad de que uncliente invierta(a) En bonos libres de impuestos o en fondos mutualistas;(b) En ninguno de los dos instrumentos.




En algunos casos las probabilidades se citan sin especificar elespacio muestral Ω y esto puede traer algunas dificultades. Paracorregir este inconveniente usaremos el sımbolo P(A|Ω) paraindicar la probabilidad condicional del evento A relativa al espaciomuestral Ω. La probabilidad anterior tambien la llamaremos “laprobabilidad de A dado Ω”. El sımbolo P(A|Ω) hace explıcito quenos estamos refiriendo a un espacio muestral particular Ω.




Para ilustrar las ideas relacionadas con las probabilidadescondicionales consideremos un experimento aleatorio que consisteen elegir aleatoriamente una persona adulta que viva en una ciudadcon n personas adultas, y se anotan sus caracterısticas conrespecto a sus habitos de fumador y su sexo.

SexoHabito de fumar B1 B2 Total

A1 n11 n12 R1

A2 n21 n22 R2

Total C1 C2 n

Tabla : Habitos de fumar distribuidos por sexo




Definicion

Probabilidad conjunta La probabilidad de ocurrencia simultanea delos atributos Ai y Bj se llama la probabilidad conjunta y esta dadapor

P(Ai ∩Bj) =nijn.

Supongamos ahora que el interes es determinar la probabilidad deAi, sin considerar cualquier otro atributo Bj del espacio muestralΩ. Esta probabilidad se conoce como una probabilidad marginal.Supongamos por ejemplo que queremos determinar la probabilidadde que un adulto fume. Se observa en la tabla, que de los nadultos R1 fuman. Por lo tanto, la probabilidad de que un adultofume es P(A1) = R1/n.




Definicion

Probabilidad marginal La probabilidad de Ai, sin considerar cualquierotro atributo Bj del espacio muestral Ω, se llama la probabilidadmarginal de Ai y viene dada por

P(Ai) =Ri

n,

donde Ri es el total de la fila i en la tabla de doble entrada.

Suponga ahora que se elige un adulto al azar y observamos que esmujer y queremos conocer la probabilidad de que no fume. Estaprobabilidad es la probabilidad condicional de A2 dado B2 y laindicamos como P(A2|B2). Se observa en la tabla que de las C2

mujeres hay n22 que no fuman. Por lo tanto, la probabilidadcondicional de A2 dado B2 es P(A2|B2) = n22/C2.




Generalizamos lo anterior, en la definicion de probabilidadcondicional.

Definicion

La probabilidad condicional de B dado A, denotada por P(B|A),es definida por

P(B|A) =P(A ∩B)

P(A), si P(A) > 0.

No vamos a discutir la probabilidad condicional de B dado Acuando P(A) = 0, a pesar de que esta teorıa existe, y esta biendesarrollada, y forma la base para el estudio de los procesosestocasticos.




Teorema

Para un evento fijo A con P(A) > 0,1 P(B|A) ≥ 0 para todos los eventos B ⊂ Ω,2 P(Ω|A) = 1, y3 Si B1, B2, B3, . . . son eventos disjuntos, entonces

P

( ∞⋃k=1

Bk|A

)=

∞∑k=1

P(Bk|A).

En otras palabras P(·|A) es una funcion de probabilidad legıtima.Con esto en mente, las siguientes propiedades son inmediatos:




Ejemplo

A los habitantes de una ciudad se les hizo una encuesta con elproposito de determinar las preferencia de los lectores por el TIMEy el NEWSWEEK. Los resultados mostraron que 20 % prefiere elTIME, el 16 % lee el NEWSWEEK y un 1 % leen ambossemanarios. Si se selecciona al azar un lector que lee el TIME,¿cual es la probabilidad de que tambien lea el NEWSWEEK?.




Ejemplo

Los empleados de una empresa se encuentran separados por tres divisiones:administracion (A), operacion de planta (O) y ventas (V ); tambien seclasifican por sexo: hombre (H) y mujer (M), como se observa en la siguientetabla:

SexoDivision M H Total

A 20 30 50

O 60 140 200

V 100 50 150

Total 180 220 400

Tabla : Numero de empleados clasificados por division y sexo

Se elige aleatoriamente un empleado al azar de esta companıa. Encuentre,(a) P(M)(b) P(V )(c) La probabilidad que trabaje en operacion de planta si es mujer.(d) La probabilidad de que sea mujer si trabaja en la division de operacion de

planta.(e) Encuentre P(A ∪M);P(O ∩M);P(A ∪M ′);P(M |A)




Ejemplo

Hay noventa aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estacionde television. Algunos de los aspirantes son graduados de la universidad y algunos no,algunos de ellos tiene al menos tres anos de experiencia y algunos no los tienen. Lainformacion exacta esta la tabla, en donde G representa el evento “el entrevistado esgraduado de la universidad” y T representa el evento de “tener menos de tres anos deexperiencia”.

G G′ Total

T 18 9 27

T ′ 36 27 63

Total 54 36 90

Tabla : Numero de aspirantes clasificados por anos de experiencia y si es graduado o no de launiversidad

Si el orden en que el gerente de la estacion entrevista a los aspirantes es aleatorio,determine las siguientes probabilidades directamente de la tabla y de los totales por filasy columnas.

(a) P(G) (b) P(T ′) (c) P(G ∩ T )(d) P(G′ ∩ T ′) (e) P(G|T ) (f) P(G′|T ′)




Ejemplo

Consideremos una urna con 10 bolas en el interior, de las cuales 7son de color rojo y 3 son de color verde. Seleccione sucesivamente3 bolas de la urna. ¿Cual es la probabilidad de que todas las bolassean rojas?.




Definicion

Los eventos A y B se dice que son independientes si

P(A ∩B) = P(A)P(B)

De lo contrario, los eventos se dice que es dependiente.

De la definicion anterior se desprende que si los eventos A y B sonindependientes, entonces se cumple que

P(A|B) =P(A)

P(B|A) =P(B)

La interpretacion en el caso de la independencia es que lainformacion que el evento que condiciona no influye en laprobabilidad del evento condicionado.




Proposicion

Si los eventos A y B son independientes, entoncesA y B′ son independentes,A′ y B son independentes,A′ y B′ son independentes.




Ejemplo

Una caja contiene 100 pelotas, de las cuales 25 son rojas, 40 sonblancas y 35 son negras.(a) Si se seleccionan dos pelotas de la caja, ¿cual es la

probabilidad de que una sea roja y una sea blanca si laprimera pelota se reemplaza antes de sacar la segunda?

(b) Si se seleccionan dos pelotas de la caja, ¿cual es laprobabilidad de que una sea roja y una sea blanca si lasegunda pelota se saca sin reemplazar la primera?

(c) Si se sacan tres pelotas de la caja sin reemplazo, ¿cual es laprobabilidad de que la primera sea negra, la segunda blanca yla tercera sea roja?




En esta seccion introducimos una regla que nos permite actualizarnuestros probabilidades cuando se obtiene nueva informacion.

Teorema (Regla de Bayes)

Sean B1, B2, . . . , Bn eventos mutuamente excluyentes ycolectivamente exhaustivos y sea A cualquier otro evento conP(A) > 0. entonces

P(Bk|A) =P(Bk)P(A|Bk)∑ni=1 P(Bi)P(A|Bi)

, k = 1, 2, . . . , n.




Ejemplo

Un inversionista esta pensando en comprar un numero muy grande deacciones de una companıa. La cotizacion de las acciones en la bolsa esde gran interes para el inversionista. Con base en esta informacion, seobserva que la cotizacion de las acciones se relaciona con PNB de laeconomıa. Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las accionesaumenten su valor es 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de quelas acciones aumenten su valor es 0.2. Si el PNB disminuye, laprobabilidad de que las acciones aumenten su valor es solo de 0.1. Si paralos seis meses siguientes se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a loseventos el PNB aumenta, se queda igual y disminuye, respectivamente,determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en losproximos seis meses. Ahora, si las acciones aumentaron su valor, ¿cual esla probabilidad de que se haya producido una reduccion en el PNB?


Unidad1y2

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