Unidad_2

1 Matemticas Financieras Licenciatura en Informtica a Distancia FCA-UNAM

UNIDAD

2 INTERS COMPUESTO

Introduccin a la unidad

Al invertir un dinero o capital a una tasa de inters durante un cierto tiempo, nos

devuelven ese capital ms los beneficios o intereses, que ahora se llaman monto,

cuando ha pasado el tiempo. Cuando la inversin es a inters compuesto, los

intereses no se retiran y se acumulan al capital inicial para volver a generar

intereses.

El inters compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada

periodo que sirve como base para su determinacin, los intereses

correspondientes. As, provoca que los mismos intereses se conviertan en un

capital adicional que a su vez producir intereses (es decir, los intereses se

capitalizan para producir ms intereses).

Cuando el tiempo de la operacin es superior al periodo al que se refiere la tasa,

los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de inters

compuesto y no de inters simple. En la prctica, en las operaciones a corto plazo,

aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la

operacin y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo

total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversin se hace a inters simple.

La gran mayora de las operaciones financieras se realizan a inters compuesto

con el objeto de tener en cuenta que los intereses no son entregados, entran a

formar parte del capital y para los prximos periodos generarn, a su vez,

intereses. Este fenmeno se conoce con el nombre de capitalizacin de

intereses.

Unidad II. Inters compuesto

2 Matemticas Financieras Licenciatura en Informtica a Distancia

FCA-UNAM

El inters compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada

periodo que sirve como base para su determinacin, los intereses

correspondientes. As, provoca que los mismos intereses se conviertan en un

capital adicional que a su vez producir intereses (es decir, los intereses se

capitalizan para producir ms intereses).

Cuando el tiempo de la operacin es superior al periodo al que se refiere la tasa,

los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de inters

compuesto y no de inters simple. En la prctica, en las operaciones a corto plazo,

aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la

operacin y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo

total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversin se hace a inters simple.

Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses

para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia,

establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto).

NOTA: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las

capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarn de acuerdo con los periodos a

los que se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su vencimiento,

se entender que es anual y las capitalizaciones, anuales.



Objetivo particular de la unidad

Al trmino de la unidad, el alumno podr:

Diferenciar entre operaciones financieras realizadas a inters simple y

compuesto.

Calcular el monto de capital, valor presente, inters, tasa de inters, y plazo a

inters compuesto.

Utilizar las herramientas necesarias para la reestructuracin de una o varias

deudas efectuando clculos necesarios para determinar las nuevas

obligaciones en tiempo y cantidad.

Lo que s:

Responde los siguientes ejercicios. Escribe en el espacio en blanco tu respuesta.

Calcula a 1 decimal.

Si la tasa es de 24%:

a) Cunto pagar por $20,000.00 recibidos, hoy hace 3 meses?

R= Se pagarn $___________.

b) Cunto corresponde a los intereses?

R= Los intereses por el crdito son de $___________.

En cunto tiempo debe cubrir un crdito por $21,200.00 si la tasa de inters fue

del 2% mensual.

R= ___________ meses.



FCA-UNAM

Cul es el valor efectivo de un documento con valor nominal de $25,000.00 que

vence dentro de 3 meses a una tasa de descuento de 9% anual?

R= El valor efectivo es $ ___________.

Cunto tiene que pedir una persona que necesita en este momento $32,000.00

para cubrirlo en 6 meses si la tasa de descuento de la institucin crediticia es de

36%?

R= $ ___________.

Si quiero reunir dentro de 18 meses la cantidad de $120,000.00 a una tasa de

0.2% mensual, cunto tengo que depositar el da de hoy?

R= $ ___________.

Si quiero reunir $25,000.00 dentro de 8 meses y depsito el da de hoy

$23,000.00 Qu tasa de inters debo buscar en una institucin de inversin?

Ser posible que logre reunir la cantidad mencionada con esa tasa de inters y

de acuerdo a las tasas de inversin actuales? Da la tasa de inters anual.

Nota: da tu respuesta en porcentaje con dos dcimas.

R= ___________ % mensual.

R= ___________ % anual.

Temas de la unidad II

1. Concepto

2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo

3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

4. Ecuacin de valor



Resumen de la unidad

La gran mayora de las operaciones financieras se realizan a inters compuesto,

con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados entran

a formar parte del capital y, para prximos periodos, generarn a su vez intereses.

Este fenmeno se conoce con el nombre de capitalizacin de intereses.

Al invertir un dinero o capital a una tasa de inters durante un cierto tiempo, nos

devuelven ese capital ms los beneficios intereses, que ahora se llama monto,

cuando ha pasado el tiempo. Cuando la inversin es a inters compuesto, los

intereses no se retiran y se acumulan al capital inicial para volver a generar

intereses.

El inters compuesto se da cuando, al vencimiento de una inversin a plazo fijo,

no se retiran los intereses, se presenta un incremento sobre el incremento ya

obtenido, se tiene inters sobre inters. En los crditos, generalmente se utiliza el

inters compuesto; aunque las instituciones digan que manejan inters simple, son

contados los casos en que se utiliza el inters simple. El periodo de capitalizacin

es el tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en las que los intereses son

agregados al capital. La frecuencia de capitalizacin es el nmero de veces por

ao en las que los intereses se capitalizan.

En esta unidad, comprenderemos la diferencia que existe entre el inters simple y

el inters compuesto, que la gran mayora de las operaciones financieras se

realizan con inters compuesto con el fin de tener en cuenta que los intereses

liquidados no entregados entran a formar parte del capital y, para prximos

periodos, generarn a su vez intereses. Este fenmeno se conoce con el nombre

de capitalizacin de intereses y forma el inters compuesto.



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Tema 1. Concepto / Tema 2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo

Objetivo del tema

Definir los conceptos de inters compuesto, monto compuesto, capital, periodo de

capitalizacin y capitalizaciones.

Desarrollo

1. Concepto

Si, al terminar un periodo de tiempo en una inversin a plazo fijo, no se retira el

capital ni los intereses, entonces, a partir del segundo periodo, los intereses

ganados se integran al capital inicial, formndose un nuevo capital para el

siguiente periodo, el cual generar nuevos intereses y as sucesivamente. Se dice,

por lo tanto, que los intereses se capitalizan, por lo que el capital inicial no

permanece constante a travs del tiempo, ya que aumentar al final de cada

periodo por la adicin de los intereses ganados, de acuerdo con una tasa

convenida. Cuando esto sucede, decimos que las operaciones financieras son a

inters compuesto.

El inters simple produce un crecimiento lineal del capital; por el contrario, un

capital a inters compuesto crece de manera exponencial.

2. Monto, capital, tasa de inters y tiempo

El monto futuro de una operacin a inters compuesto es la cantidad que se

acumula al final del proceso o lapso de tiempo considerado, a partir de un capital

inicial sujeto a determinados periodos de capitalizacin de intereses.

El valor presente o actual de una operacin a inters compuesto es el capital

inicial calculado a partir de un monto futuro, considerando cierto nmero de

periodos de capitalizacin de intereses.



El periodo convenido para convertir el inters en capital se llama periodo de

capitalizacin o periodo de conversin. As, si una operacin se capitaliza

semestralmente, quiere decir que cada seis meses los intereses generados se

agregan al capital para generar nuevos intereses en los siguientes periodos. De

igual forma, al decir que un periodo de capitalizacin es mensual, se est

indicando que al final de cada mes se capitaliza el inters generado en el

transcurso del mes.

El inters puede capitalizarse en periodos anuales, semestrales, cuatrimestrales,

trimestrales, bimestrales, mensuales, semanales, quincenales etc. y el nmero de

veces que el inters se capitaliza en un ao se llama frecuencia de conversin o

frecuencia de capitalizacin.

Un gran nmero de operaciones en el medio financiero se trabajan a inters

compuesto cuando son a plazos medianos o largos.

Nomenclatura

C Representa el capital inicial, llamado tambin principal. Suele

representarse tambin por las letras A o P (valor presente).

M Representa el capital final, llamado tambin monto o dinero

incrementado. Es el valor futuro de C.

J Es la tasa nominal de inters calculada para un periodo de un ao. Se

expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

i Es la tasa de inters por periodo de tiempo y representa el costo o

rendimiento periodo de capitalizacin de un capital, ya sea producto de

un prstamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir

la tasa nominal entre la frecuencia de conversin m.



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m Es la frecuencia de conversin o de capitalizacin y representa el

nmero de veces que se capitaliza un capital en un ao.

na Es el nmero de aos que permanece prestado o invertido un capital.

n Es el nmero de periodos de que consta una operacin financiera a

inters compuesto.

Para calcular el monto de un capital a inters compuesto, se determina el inters

simple sobre un capital sucesivamente mayor, como resultado de que en cada

periodo los intereses se van sumando al capital inicial.

Por ejemplo, el caso de un prstamo de $10,000.00 a 18% anual en 6 aos: para

confrontar el funcionamiento respecto del inters simple, se compara ambos tipos

de inters en la siguiente tabla:

Inters compuesto Inters simple

Capital inicial $ 10,000.00 $ 10,000.00

Intereses en el 1 ao $ 1,800.00 $ 1,800.00

Monto al fin del 1 ao $ 11,800.00 $ 11,800.00













Como se puede ver, el monto a inters compuesto es mayor por la capitalizacin

de los intereses en cada uno de los plazos establecidos de antemano. Si se sigue

este procedimiento, podemos encontrar el monto a inters compuesto; sin

embargo, cuando el tiempo de operacin es demasiado largo, esta misma solucin

puede tener errores.

Frmulas para calcular el monto futuro de una inversin a inters compuesto

Se conoce el capital, la tasa nominal, la frecuencia de conversin y el plazo de

tiempo:

NOTA: para estudiar el inters compuesto, se utilizan las mismas literales del

inters simple, pero cabe hacer algunas observaciones importantes:

En este caso, el tiempo se mide por periodos de capitalizacin (nmero de veces

que los intereses se convierten o suman al capital en todo el plazo que dura la

operacin).

Se debe tomar en cuenta, nuevamente, que tanto la variable tiempo que de

aqu en adelante se le puede llamar periodo de capitalizacin (n) como la de

tasa de inters (i) se manejen en la misma unidad de tiempo.



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En la tasa de inters pueden aparecer las palabras convertible, compuesto,

nominal o capitalizable, que se toman como sinnimos e indican el nmero de

veces que se capitalizarn los intereses en un ao (frecuencia de conversin).

Ejemplo. El 18% convertible mensualmente indica que el 18% que est en forma

anual debe ser convertido a forma mensual. Esto se realiza dividiendo el

porcentaje entre 12 (nmero de meses del ao): 0.18/12.;

Si es capitalizable trimestralmente, el resultado es 0.18/4, etctera:

Frmulas para calcular el valor presente de una inversin a inters

compuesto

Se conoce el monto futuro de capital, la tasa nominal, la frecuencia de conversin

y el plazo de tiempo o nmero de periodos de capitalizacin:



Clculo del capital en funcin del inters

Comprobemos la frmula anterior en los ejercicios siguientes.

Ejercicio 1. Qu capital producir un inters compuesto de $139,940.56 a los 4

aos y a la tasa del 2% bimestral?

Desarrollo

Ejercicio 2. Cul es el capital de un valor acumulado de $924,138.14 invertido

durante 12 aos al 22% anual?



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Desarrollo

Ejercicio 3. Qu capital produce un monto de $380,000.00 a los 6 aos, si la

tasa es del 3.5% trimestral?

Desarrollo



Ejercicio 4. Calcular el valor actual de un capital futuro de $7,500.00 con

vencimiento en 4 aos si la tasa de inters es del 14.0%:

a) Con capitalizacin mensual.

b) Con capitalizacin bimestral

c) Con capitalizacin trimestral

d) Comparar resultados

Desarrollo



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Frmulas para calcular el monto de intereses de una inversin a inters

compuesto:

Ejercicio 5. Apliquemos la frmula anterior: cul es el monto de intereses de un

capital de $85,000.00, impuesto a un inters compuesto a la tasa del 22% durante

12 aos?



Desarrollo

Frmulas para calcular la tasa de inters de una inversin a inters

compuesto

Se conoce el capital inicial, el monto futuro de capital, la frecuencia de conversin

y el plazo de tiempo o nmero de periodos de capitalizacin:



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Ejercicio 6. Un capital de $18,000.00 ha estado invertido durante 3 aos, luego de

los cuales dio un monto de $26,000.00, a qu tasa se celebr la operacin?

Desarrollo

Ejercicio 7. Con un capital de $9,500.00 se form un monto de $13,290.00 a los 2

aos, a qu tasa se hizo la inversin?

Desarrollo



Ejercicio 8. Si de una inversin de $50,000.00 se llegan a obtener $80,000.00 al

cabo de 5 aos a una tasa de inters capitalizable trimestralmente:

a) Cul es la tasa de inters nominal?

b) Con capitalizacin semestral

c) Interpretacin

Desarrollo



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Frmulas para calcular el tiempo o plazo en una inversin a inters

compuesto

Se conoce el capital inicial, el monto futuro de capital, la tasa nominal o la tasa

efectiva por periodo y la frecuencia de conversin:

Se pueden utilizar en estos planteamientos tanto los logaritmos naturales como los

logaritmos decimales.



Ejercicio 9. Dentro de cunto tiempo un capital de $25,600.00 a la tasa del 2.5%

trimestral valdr $31,970.89?

Desarrollo

Ejercicio 10. Dentro de cunto tiempo una persona que invirti $115,000.00

obtendr $139,179.87, como monto a la tasa del 1.75% bimestral?



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Desarrollo

Ejercicio 11. Si de una inversin de $50,000.00 se llega a obtener $58,235.00 a

una tasa del 8.5% con capitalizacin mensual:

a) Obtener el plazo de esta operacin en aos, meses, y das.

b) Obtener el plazo si la capitalizacin se modifica a bimestral.

c) Interpretar resultados.



Desarrollo



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ACTIVIDAD 1

Los periodos de capitalizacin se dan en el tiempo que es. Si es anual, hay un

periodo de capitalizacin. Si la tasa de inters es mensual, en el ao hay 12

periodos de capitalizacin.

Da los diferentes periodos de capitalizacin en un ao de mayor a menor.



ACTIVIDAD 2

Descarga los siguientes ejercicios y resulvelos en un procesador de texto, una

vez concluida tu actividad, presiona el botn Examinar, localiza el archivo,

seleccinalo y haz clic en Subir este archivo para guardarlo en la plataforma.

Si se invierte un capital al 18% anual con capitalizacin mensual en dos aos

cuntos periodos de capitalizacin hay?

R= ___________ periodos de capitalizacin quincenal.

Si se invierte una cantidad al 28% con capitalizacin quincenal cul es la tasa

quincenal?

R= La tasa de inters quincenal es del ___________%.

Si la tasa de inters es 36% con capitalizacin cuatrimestral a cunto equivale

la tasa de inters cuatrimestral? En un ao hay 3 cuatrimestres.

R= Un ao tiene 3 cuatrimestres por lo tanto la tasa de inters corresponde al

___________ % cuatrimestral.

Si la tasa es de 2% mensual con capitalizacin trimestral a cunto corresponde

la tasa trimestral?

R= Corresponde al ___________ % trimestral

Si la tasa de inters es del 9% trimestral a cunto corresponde si la

capitalizacin es mensual?

R= Corresponde al ___________ % mensual



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ACTIVIDAD 3




Obtener el monto de que se acumula en 3 aos de un capital de $65,000.00

a) Si se invierte al 15% compuesto por semestres.

R = $____________.

b) Si la tasa disminuye 3 ppc.

R = $____________.

c) Compara tus resultados.

Qu capital produce un monto de $380,000.00 a los 6 aos, si la tasa es del

3.5% trimestral?

R = $____________.

Calcular el valor actual de un capital futuro de $7,500.00 con vencimiento en 4

aos si la tasa de inters es del 14.0%.

a) Con capitalizacin mensual.

R = $____________.

b) Con capitalizacin bimestral.

R = $____________.

c) Con capitalizacin trimestral R = $____________.

d) Comparar resultados.



Con un capital de $9,500.00 se form un monto de $13,290.00 a los 2 aos, a

qu tasa se hizo la inversin?

R= ____________ %

Si de una inversin de $50,000.00 se llegan a obtener $80,000.00 al cabo de 5

aos a una tasa de inters capitalizable trimestralmente:

a) Cul es la tasa de inters nominal?

R= ____________ %

b) Con capitalizacin semestral.

R= ____________ %

c) Interpretacin.

Los periodos de capitalizacin __________ generan tasa de inters __________.

(Completa la frase separando con un guin [-] tu resultado)

Si de una inversin de $50,000.00 se llega a obtener $58,235.00 a una tasa del

8.5% con capitalizacin mensual:

a) Obtener el plazo de esta operacin en aos, meses, y das.

R = _____ ao, _____ meses, _____ das.

b) Obtener el plazo si la capitalizacin se modifica a bimestral.

R = _____ ao, _____ meses, _____ das.

c) Interpretar resultados.



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Cunto tiempo necesita el Sr. Rosas invertir $40,000.00 para que el futuro

rena $50,000.00 si la tasa de inversin es de 27% y la capitalizacin cada cuatro

meses? Da tu respuesta en meses

R= ___________ meses.

Juan Jos tiene que pagar un crdito que recibi el da de hoy por $114,166.00.

El dinero que Juan Jos recibi fue de $50,000.00 y la tasa de inters es de 42% y

la capitalizacin mensual. Cunto tiempo hace que le dieron el crdito a Juan

Jos? Da tu respuesta en aos

R= ___________ aos.

Alma Surez se dedica a la venta de plata trabajada. En un tiempo determinado,

invirti $1,500,000.00 y en 4 aos ha reunido $ 2,360,279.00 pesos. Calcula la

tasa de inters compuesto anual que se le aplico al dinero que invirti Alma.

R= _______________%

Bibliografa bsica

Autor Captulo Pginas

1. Daz 3 90-98



Autoevaluacin 1

Responde las siguientes preguntas en el espacio correspondiente.

1. Si la tasa de inters es del 18% semestral con capitalizacin anual, a cunto

corresponde la tasa de inters anual?

R= _______________%

2. Si la tasa de inters es de 24% capitalizable anualmente, a cunto

corresponde la tasa de inters anual?

R= _______________%

3. Si la tasa de inters es del 2% mensual con capitalizacin semestral, a cunto

corresponde la tasa de inters semestral?

R= _______________%

4. Si la tasa de inters es del 2% mensual con capitalizacin semestral, a cunto

corresponde la tasa de inters semestral?

R= _______________%

5. La tasa de inters es de 5% cuatrimestral con capitalizacin anual, a cunto es

igual la tasa anual?

R= _______________%



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Autoevaluacin 2

Responde las siguientes preguntas en el espacio correspondiente (coloca slo dos

decimales para las que as lo requieran). Una vez que concluyas, obtendrs tu

calificacin de manera automtica.

1. Adrin tiene necesidad de vender su automvil, un Ferrari, por lo que pone un

anuncio y recibe dos ofertas:

a) Juan Prez le ofrece $21,000 dlares de contado.

b) Erni Orta le ofrece un anticipo de 10,000 dlares y el saldo en dos

pagars de 8,500 dlares cada uno, pagando uno dentro de 6 meses y el

otro a los 10 meses.

Adrin puede invertir el dinero al 42% con capitalizacin mensual.

Qu oferta le conviene aceptar a Adrin?

R= La de ______________

2. A la Sra. Jurez le prometen que en 20 aos tendr 25,000.00 dlares para su

jubilacin.

Cunto debern invertir ahora si la tasa de inters es de 8% compuesto

cada seis meses para que le cumplan a la Sra. Jurez?

R=$_______________dlares

3. Si invierto $1,000.00 el da de hoy con una tasa de inters del 18% convertible

mensualmente a un plazo de 5 aos.

a) Cunto me entregarn al final del 5 ao?



R=$__________________

b) Si los intereses no se capitalizarn, cunto dinero recibira al final de 5

aos?

R=$__________________

4. Ped un prstamo para comprar ropa por $14,400 y en 8 meses pagu de

intereses $2,092.80. Qu tasa de inters se me aplico? Da tu respuesta en forma

anual.

R=__________________%

5. Se quiere saber el tiempo que estuvieron invertidos $800,000 que generaron

intereses por $783,945 y la tasa de inters fue de 10% y se pagaban

semestralmente. Da tu respuesta en aos.

R=__________________aos

6. El Sr. Aranjuez compr un TV de pantalla plana a crdito. Le piden un enganche

de $5 300 y le queda un saldo de $21,200 que cubrir con 12 pagos de $2,200

cada uno.

Cul es la tasa de inters que le aplicarn al Sr. Aranjuez?

R=__________________%

7. Cuando mi hija naci, su abuelo materno le obsequi $10,000 en una inversin

que pagaba 24% compuesto quincenalmente para que fueron usados en su

educacin universitaria. Si la tasa de inters permanece constante, cunto

acumul mi hija cuando cumpli 18 aos?

R=$__________________



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8. El Sr. Jordn, el 10 de marzo, le prest al Sr. Garca $16,000.00 con una tasa

de inters de 48.44% con capitalizacin diaria. Le firm un pagar con vencimiento

al 10 de septiembre del mismo ao. El 18 de julio, el Sr Jordn descont el

documento en una institucin a una tasa de inters de 45.18% capitalizable

diariamente.

Cunto recibi el Sr. Jordn por el pagar?

R=$__________________

Recuper su inversin?

R=__________________ppc



Tema 3. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Objetivo del tema

Explicar la diferencia que existe entre tasas de inters compuesto y la equivalencia

entre ellas.

Desarrollo

Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Tasa de inters anual

La tasa de inters anual que se capitaliza m veces en un ao se denomina

tasa de inters nominal.

Tasa nominal

La tasa nominal es la tasa de inters convenida en una operacin financiera

y se encuentra estipulada en los contratos, por lo que tambin se conoce

como tasa contractual.

Tasa efectiva

Una tasa equivalente muy utilizada en mltiples operaciones financieras es

la llamada tasa de inters anual efectiva o simplemente tasa efectiva. Se

define como la tasa de inters capitalizable una vez al ao que equivale a

una tasa nominal capitalizable m veces al ao. La tasa efectiva es la tasa

de rendimiento que se obtiene al cabo de un ao, debido a la capitalizacin

de intereses; por lo tanto, la tasa efectiva refleja el efecto de la reinversin.

Se le conoce tambin como rendimiento anual efectivo.



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Tasa de inters simple

Por lo tanto, si un capital se invierte a una tasa de inters capitalizable cada

ao, el monto compuesto al final del primer ao es igual al monto obtenido a

inters simple y a un ao de plazo, por lo cual, la tasa efectiva anual se

puede definir como la tasa de inters simple que produce el mismo inters

en un ao que la tasa nominal capitalizada m veces al ao.

Tasas efectivas de inters por periodo de capitalizacin

En una operacin financiera a inters compuesto, ser fundamental calcular la

tasa de inters efectiva por cada periodo de capitalizacin. sta se refiere al costo

o rendimiento que representa para un capital que se invierte, considerando cada

periodo de tiempo independientemente del plazo de la operacin.

Relacin de equivalencia entre tasas nominales y efectivas de inters

Las tasas efectivas son indicadores que ayudan a inversionistas y asesores

financieros a tomar mejores decisiones para la inversin de capitales.

En el inters simple, la tasa del 12% anual es proporcional al 6% semestral, al 3%

trimestral y al 1% mensual. Adems de la proporcionalidad de las tasas anteriores

(ya que en ellas existe la misma relacin entre sus valores y los periodos a que se

refieren) son a su vez equivalentes, a pesar de referirse a distintos periodos en

igual tiempo, producen un mismo monto. As, vemos que $100,000.00 al 12% en

un ao generan un monto de $112,000.00. Si invertimos el mismo capital al 6%

semestral en 2 semestres, formar exactamente el mismo monto:



Por tanto, $100,000.00 al 1% mensual en 12 meses llegar a convertirse en el

mismo monto anterior.

Lo anterior se puede corroborar mediante los clculos siguientes:

Prstamo de $100,000.00 a las tasas capitalizables que se mencionan.

12 % anual 6% semestral 3% trimestral 1% mensual

Capital 100,000 100,000 100,000 100,000

Inters del periodo

12,000 6,000 3,000 1,000

Monto 112,000 106,000 103,000 101,000

Inters del periodo

6,360 3,090 1,010

Monto 112,360 106,090 102,010

Inters del periodo

3,182.70 1,020.10

Monto 109,272.70 103,030.10



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Inters del periodo

3,278.18 1,030.30

Monto 112,550.88 104,060.40

Inters del periodo

1,040.60

Suma 105,101.00

Inters 6 periodo

1,051.01

Suma 106,152.01

Inters 7 periodo

1,061.52

Suma 107,213.53

Inters 8 periodo

1,072.14

Suma 108,285.67

Inters 9 periodo

1,082.85

Suma 109,368.52

Inters 10 periodo

1,093.69

Suma 110,462.21

Inters 11 periodo

1,104.62

Suma 111,566.83

Inters 12 periodo

1,115.67

Monto 112,682.50

TOTAL 112,000 112,360 112,550.88 112,682.50

Si a cada uno de los totales le restamos lo invertido al inicio (el capital), tenemos:



M-C 12,000 12,360 12,550.88 12,682.50

Si este inters lo dividimos entre lo que se invirti (C = $100,000.00), nos da:

I / C 0.12 = 12% 0.1236 = 12.36%

0.1255088 = 12.55088%

0.126825 = 12.6825%

Lo anterior demuestra que la tasa efectiva equivalente a una tasa del 12% anual

capitalizable semestralmente es de 12.36%. Asimismo, la tasa efectiva equivalente

al 12% anual capitalizable por trimestre es 12.55088%. De la misma manera, la

tasa del 12% anual capitalizable por mes es equivalente al 12.6825% efectivo.

En conclusin:

La tasa efectiva se puede obtener dividiendo el inters generado

entre el capital inicial.

Frmula para determinar la tasa efectiva anual (e) a partir de la tasa nominal

Frmula para determinar la tasa nominal (J) a partir de la tasa efectiva anual

(J)



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Ejemplo 1. Cul es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al

18.81% efectivo?

Desarrollo

Ejemplo 2. Obtener la tasa nominal si la tasa efectiva anual es del 15.4%:

a) Con capitalizacin semestral

b) Con capitalizacin mensual

c) Interpretar resultados



Desarrollo

Ejemplo 3. Cul es la tasa efectiva equivalente al 18% convertible

semestralmente?



FCA-UNAM

Desarrollo

A continuacin, comprobemos que las tres tasas son equivalentes. Para ello,

utilizaremos el mismo ejercicio para las tres tasas:

Ejemplo 4. Cul es el monto de $10,000.00 depositados durante un ao si se

tienen tres opciones?

a) A una tasa del 18% convertible semestralmente

b) A una tasa del 17.3599% convertible mensualmente

c) A una tasa del 18.81% efectivo



Desarrollo



FCA-UNAM

Capitalizacin contina

Si la tasa de inters es constante, pero la capitalizacin es ms frecuente, el

monto compuesto crece. Qu pasa cuando los periodos de capitalizacin tienden

a infinito? El monto tender a infinito? En la tabla se muestra que el monto no

tiende a infinito cuando los periodos de capitalizacin aumentan, el monto se

acerca muy lento a un valor determinado.



Monto para un capital de $100 de inters anual por ao

Frecuencia de capitalizacin Periodos por ao Monto compuesto en un ao $

Anual 1 130.00

Semestral 2 132.25

Trimestral 4 133.54

Mensual 12 134.48

Quincenal 24 134.73

Semanal 52 124.86

Diaria 365 134.96

Por hora 8760 134.9851

Por minuto 525,600 134.9858

La frmula para calcular el monto cuando la capitalizacin es contina es la

siguiente:

Ejemplo 5. Una persona invierte $15,000 a una tasa de inters del 35%. Calcula

el monto compuesto despus de 3 aos si el inters se capitaliza:



FCA-UNAM

a. Trimestralmente

b. Mensualmente

c. Semanalmente

d. Continuamente

Desarrollo



ACTIVIDAD 1

Resuelve los siguientes ejercicios en papel, una vez que tengas todos, ingresa

tus resultados en el espacio en blanco.

Cul es la tasa efectiva de inters que se recibe de un depsito bancario de

HSBC de $10,000.00 pactado al 48% de inters anual convertible

mensualmente?

R=__________%

b) Cunto se recibe en un ao?

R= $__________.

Cul es la tasa efectiva que se paga por un prstamo que hizo Banamex a una

persona de $50,000.00 que se pact al 55% de inters anual convertible

trimestralmente?

R=__________%

b) Si el plazo se pacto en 8 trimestres, cunto se paga al final del crdito?

R= $__________

c) Cunto se pag de intereses?

R= $___________

Determinar la tasa nominal inconvertible trimestralmente, que produce un

rendimiento anual del 40%.

R=____________ %



FCA-UNAM

Pedro Lpez hace varias llamadas a diferentes instituciones de inversin para

ver quien le garantiza que su capital de $30,000.00 se convierta en $100,000.00

en cinco aos.

A qu tasa nominal convertible trimestralmente producir ese Monto?

R=___________%

Marcos Galn quiere saber que banco le dar la mejor opcin. Tiene $10,000.00

que depositar durante un ao: Tiene tres opciones:

HSBC a una tasa del 18% convertible semestralmente.

BX una tasa del 17.3599% convertible mensualmente.

BBV una tasa del 18.81% efectivo.

R=___________



Autoevaluacin


1. Calcula la tasa de inters efectiva correspondiente al 18% capitalizable a cada

instante.

R= _______________%

2. Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente que produce un

rendimiento anual del 40%.

R= _______________%

3. Cul es la tasa efectiva equivalente al 18% convertible semestralmente?

R= _______________%

4. En qu banco invertiras tu dinero? En HSBC, que ofrece un 26% con

capitalizacin diaria, o BX, que ofrece un 27% capitalizable cada mes?

R= _______________%

5. Calcula la tasa efectiva que se paga por un prstamo bancario de $250,000.00

que se pacta a 18% de inters anual y se convierte:

a) Mensual

R= _______________%

b) Trimestral

R= _______________%

c) Semestral

R= _______________%



FCA-UNAM

Bibliografa bsica


1. Daz 3 100-103



Tema 4. Ecuaciones de valor

Objetivo del tema

Aplicar los conceptos de inters compuestos en la reestructuracin de deudas.

Desarrollo

Ecuacin de valor

En transacciones comerciales o financieras es frecuente el intercambio de un

paquete de obligaciones por otro con distintas condiciones en cuanto a tasas,

pagos y vencimientos.

Una ecuacin de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores

de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de otro conjunto de

deudas para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de

vencimiento se han trasladado a una fecha comn llamada fecha focal o fecha de

valuacin. sta, tratndose de operaciones a inters compuesto, se puede elegir

arbitrariamente, ya que los resultados sern idnticos en cualquier fecha focal que

se elija.

Las ecuaciones de valor son una de las tcnicas ms tiles de las matemticas

financieras, ya que permiten enfrentar y solucionar diversos tipos de problemas

financieros.

Para resolver estos problemas, se utilizan grficas (de tiempo valor) en las que se

representan las fechas de vencimiento de las obligaciones originales y de pagos,

respectivamente. Se recomienda efectuar el procedimiento siguiente, el cual es el

mismo que el visto para operaciones de inters simple:



FCA-UNAM

ETAPA 1

Calcular el monto a pagar de cada una de las obligaciones originales a su

vencimiento.

ETAPA 2

Hacer la grfica de tiempo-valor que considere las fechas de vencimiento. Sobre

ella, se colocan los montos en el momento de su vencimiento.

ETAPA 3

Debajo de la grfica de tiempo, se colocan los pagos parciales, al igual que las

deudas, con sus fechas respectivas.

ETAPA 4

Se determina en la grfica la fecha focal (de preferencia en donde coincida con

algn pago; es recomendable que sea una incgnita, con el fin de realizar el

menor nmero de operaciones).

ETAPA 5

Se realiza la solucin. Para ello, se trasladan todas las cantidades a la fecha focal

(se debe tomar en cuenta que la suma de todos los pagos debe cubrir la suma de

las deudas).

ETAPA 6

Se resuelven las operaciones

Estos pasos o etapas se desarrollarn en el siguiente ejercicio:



Ejemplo 1. El da de hoy, una persona tiene las obligaciones siguientes:

a. Un prstamo de $30,000.00, otorgado hace 6 meses, con vencimiento el da de

hoy, e impuesto con una tasa del 30% convertible mensualmente.

b. Una segunda deuda por $5,000.00 contrada hace tres meses, con vencimiento

dentro de 9 meses y un tipo de inters del 36% capitalizable mensualmente.

c. Un tercer compromiso por $50,000.00, contratado hace cuatro meses, con una

tasa del 24% nominal con capitalizacin mensual y con un vencimiento dentro

de 6 meses.

d. Una cuarta deuda por $10,000.00 contratada hace un mes, con vencimiento

dentro de 7 meses y una tasa del 42% compuesto mensualmente.

Hoy mismo, decide renegociar sus obligaciones con un rendimiento, en las nuevas

operaciones, del 30% anual convertible mensualmente mediante 3 pagos:

1. $40,000.00 el da de hoy

2. $35,000.00 dentro de 6 meses

3. El saldo dentro de 12 meses

Calcula el importe del saldo utilizando como fecha focal el mes 12.



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ETAPA 1

Frmula: 1n

M C i

ETAPA 2

ETAPA 3



ETAPA 4

ETAPA 5



FCA-UNAM

ETAPA 6

i = 30% = 0.025 mensual

DEUDAS = PAGOS

140048.18 = 94384.82 + X

140048.18 94384.82 = X

45663.36 = X

Entonces, el saldo se liquidara con una cantidad igual a $ 45,663.36.



NOTA: en el inters compuesto, no importa la fecha focal que se elija para obtener

el resultado, ser siempre el mismo, pero en el inters simple, hay una variacin.

Ejemplo 2. Una persona debe $10,000.00, pagaderos en 3 aos con una tasa de

inters del 18% convertible trimestralmente. Tambin debe $5,000.00 a pagar en 5

aos al 16% con capitalizacin semestral. Sin embargo, el deudor propone

efectuar un pago nico a realizarse dentro de 6 aos. El acreedor acepta, pero con

una tasa del 20% con capitalizacin mensual a partir del vencimiento de estas

obligaciones. Calcular el valor del pago nico que equivalga a la obligacin

original, planteando las ecuaciones equivalentes a una fecha focal en el ao 6.

Desarrollo



FCA-UNAM



Las aplicaciones del inters compuesto adems de utilizarse en muchas cuentas

bancarias trascienden a las reas de negocios y en los planes de gobierno

sirviendo como indicador de la salud de la economa nacional y como parmetro

de relacin con otros pases.

Las tasas de cambio son de gran importancia para el anlisis de la economa y

sus predicciones de comportamiento futuro.



FCA-UNAM

La ley del inters compuesto se denomina frecuentemente como la ley de

crecimiento orgnico, debido a que se puede aplicar a cualquier fenmeno cuyo

comportamiento en el tiempo se modifique a una tasa constante. Existe un gran

nmero de situaciones de la naturaleza, en la ciencia y en los negocios en los que

resulta de suma utilidad el conocimiento de la ley del inters compuesto al

aplicarse con propiedad.

Si ciertos fenmenos han experimentado variaciones constantes durante algunos

aos, las tasas de variacin pueden resultar de gran utilidad para efectuar

predicciones a corto y mediano plazo.



ACTIVIDAD 1




El da de hoy Jorge Gonzlez, administrador de GECESA, tiene las obligaciones

siguientes:

1. Un prstamo de $30,000.00, otorgado hace 6 meses, con vencimiento el da de

hoy, e impuesto con una tasa del 30% convertible mensualmente.

2. Una segunda deuda por $15,000.00 contrada hace tres meses, con

vencimiento dentro de 9 meses y un tipo de inters del 36% capitalizable

mensualmente.

3. Un tercer compromiso por $50,000.00 contratado hace cuatro meses, con una

tasa del 24% nominal mensual y con un vencimiento dentro de 6 meses

4. Una cuarta deuda por $10,000.00 contratada hace un mes, con vencimiento

dentro de 7 meses y una tasa del 42% compuesto mensual.

Hoy mismo, se da cuenta que no podr cumplir con esos compromisos, por lo que

decide renegociar sus obligaciones con su acreedor. Fijan un rendimiento, en las

nuevas operaciones, del 30% anual convertible mensualmente mediante 3 pagos,

como sigue:

1. $40,000.00, el da de hoy.

2. $35,000.00, dentro de 6 meses.



FCA-UNAM

3. El saldo, dentro de 12 meses.

Cunto tiene que pagar al final de los 12 meses de la reestructuracin?

R= $__________

Consegu un prstamo para liquidaros con dos pagos de $50,000.00 cada uno, el

plazo es de 30 y 120 das. Antes de hacer el primer pago (hoy), reestructuro la

deuda, proponiendo tres pagos iguales y que har de la siguiente forma: el

primero hoy mismo, otro dentro de 30 das y el ltimo dentro de 60 das.

R= $____________

Juan Rosales pidi hoy $1,000.00 que liquidara en dos pagos de $500.00 cada

uno ms intereses del 27% con capitalizacin mensual, uno vence dentro de 30

das y el segundo en 120 das. Hoy mismo reestructura su deuda con la misma

tasa de inters de la siguiente forma: hacer tres pagos iguales, el primero

dentro de 30, 60 y 90 das contados a partir de hoy. De cunto sern dichos

pagos?

R= $___________

Si tienes una deuda de $12,000.00 para pagar en 7 meses y otra de $18,000.00

para cubrirlos en 15 meses, decides reestructurar ambas deudas con una tasa

del 9% con capitalizacin trimestral, pagando dentro de 5 meses $6,000.00,

$10,000.00 dentro de 12 meses Cunto tendrs que cubrir en el mes 15?

R=$____________

Compr un equipo de su cine en casa por valor de contado de $35,000.00.

Acuerdo pagarlo con un enganche y tres pagos iguales al enganche a uno, dos

y tres meses, la tasa de inters es de 48% con capitalizacin mensual.



Pero hoy me doy cuenta que en un mes no podr pagar y reestructuro con la

misma tasa de inters. Har dos pagos uno dentro de 2 meses por una cantidad y

el otro dentro de 5 meses que ser el doble de la primera cantidad, la fechas son

contadas a partir del da de hoy. De cunto es cada uno de los pagos en la

reestructuracin?

Enganche = $___________.

1er PAGO = $___________.

2do PAGO = $___________.



FCA-UNAM

Autoevaluacin


1. Compr un equipo de video con valor de $35,000.00 y acuerdo en pagarlo con

un enganche y tres pagos iguales al enganche a uno, dos y tres meses. La tasa

de inters es de 48% con capitalizacin mensual. Das despus, reestructuro la

deuda de la siguiente forma: dos pagos: el primero en 60 das y el segundo

dentro de 5 meses y ser el doble de primero. De cunto ser cada pago si la

tasa de inters se incrementa un 3%?

R= $_______________

2. Laura Ramos tiene una deuda de $20,000 que vence en 2 aos, y otra por

$3,5000 que vence en 4 aos. Se pagar con un abono en este momento de

$10,000 ms dos pagos iguales de que se harn uno dentro de un ao y el otro

dentro de tres aos, a partir de este momento. Si la tasa de inters es del 43%

con conversin trimestral, de cunto ser cada uno de los pagos?

R= $_______________

3. Hoy adquir una deuda con BVV de $10,000 ms intereses de 20%

capitalizables cada mes y vencimiento dentro de 5 meses. Adems, ped otro

prstamo de $30,000 con intereses del 18% capitalizable cada bimestre y

vencimiento en 8 meses. Recibo un aviso de que, dentro de 10 meses, tendr

dinero extra, por lo que decido reestructurar mis deudas con una tasa del 22% y

pagarlas en esa fecha (dentro de 10 meses). Cunto tendr que pagar dentro

de 10 meses?

R= $_______________



4. Juan tiene dos deudas, una de $2,110.5 que vence en 4 meses y la otra de

$3,735.00, con vencimiento en 7 meses. Piensa hacer un pago dentro de 2

meses de $1,500 y otro por $4,260.00. Al reestructurar ambas deudas a tasa es

del 19.3% con capitalizacin mensual, cundo deber pagar los $4,260.00?

R= $_______________

5. Enrique mesa tiene una deuda de $5,570.00 con intereses ya incluidos, que

deber cubrir dentro de 4 meses y una ms de $5,600 ms intereses al 4%

mensual capitalizables cada trimestre y el vencimiento dentro de 9 meses

contados a partir de hoy. De cunto tendr que hacer un pago dentro de 6

meses para saldar sus dos deudas?

R= $_______________



FCA-UNAM

Cuestionario de autoevaluacin

Responde las siguientes preguntas.

Realiza esta actividad en un procesador de textos, gurdala en tu computadora y,

una vez concluida, presiona el botn Examinar, localiza el archivo, seleccinalo y

haz clic en Subir este archivo para guardarlo en la plataforma.

1. Explica brevemente los conceptos de inters compuesto, periodo de

capitalizacin y frecuencia de conversin de intereses.

2. Qu es ms productivo, invertir con inters simple o inters compuesto? Por

qu?

3. Por qu es ms redituable el 30% anual compuesto por meses que el 30%

capitalizable por trimestres?

4. Qu ser ms productivo, 36% compuesto por semestre o 33% compuesto por

semanas Por qu?

5. Explica los conceptos de tasas equivalentes, tasa efectiva y tasa nominal.

6. Cul es la tasa nominal mensual equivalente al 35% compuesto por

trimestres?

7. Qu es ms productivo, una inversin al 27% de inters capitalizable por

quincenas o el 29% compuesto por cuatrimestres?

8. Cul es la tasa de inters efectiva que corresponde a un 39% nominal

semanal?

9. Explique brevemente los conceptos de ecuacin de valor equivalente, fecha

focal y diagrama de tiempo.

10. Qu usos tiene un diagrama de tiempo y que datos se representan en l?



Examen de autoevaluacin

Elige la respuesta correcta a las siguientes preguntas. Una vez que concluyas,

obtendrs de manera automtica tu calificacin.

1. Qu monto recibir una persona dentro de 4 meses si invierte $45 000.00

durante 4 meses y le otorgan una tasa de inters compuesto mensual del 2%?

a. $ 41 400.00 d. $ 48 709.45

b. $ 41 573.25 e. $ 52 488.15

c. $ 48 600.00

2. Cul es el valor presente de $50,000.00 que vencen dentro de 8 meses si la

tasa de inters compuesto es del 1% capitalizable mensualmente?

a. $ 46 000.00 d. $ 54 142.83

b. $ 46 174.16 e. $ 54 000.00

c. $ 50 512.25

3. Cuntos meses tardarn $25,000.00 en convertirse en $38,949.19 a una tasa

de inters mensual compuesto del 3%?

a. 5 meses d. 16 meses

b. 12 meses e. 18 meses

c. 15 meses

4. Qu tasa de inters mensual efectiva permite a un capital de $12,500.00

convertirse en $14,292.37 al cabo de 9 meses?

a. 1.0% d. 1.8%

b. 1.2% e. 2.0%

c. 1.5%



FCA-UNAM

5. Qu monto acumulado tendr dentro de 4 meses si invierto $25,000 a una

tasa mensual constante del 0.6%?

a. $ 24 408.89 d. $ 26 142.89

b. $ 25 600.00 e. $ 31 561.92

c. $ 25 605.42

6. Calcula qu capital se requiere en este momento para disponer de $300,000.00

dentro de 3 aos, si se otorga una tasa de inters compuesto del 15% anual

capitalizable mensualmente. Debe invertirse:

a. $176,542.45 d. $186,656.05

b. $191,822.75 e. $206,896.55

c. $197,254.87

7. Cuntas semanas tardar un capital de $1,000.00 en triplicarse, si se considera

una tasa de inters nominal del 14% anual convertible semanalmente.

a. 324 d. 380

b. 356 e. 408

c. 364

8. Un inversionista deposit $125,800 en una institucin de crdito que otorga un

inters compuesto anual del 12% capitalizable mensualmente, con la intencin

de mantenerlo durante 5 aos. Sin embargo, al cabo de 3 aos, retir $60,000.

Qu monto tendr al finalizar el periodo programado de 5 aos?

a. $ 137 749.12 d. $ 169 990.12

b. $ 148 729.23 e. $ 201 280.00

c. $ 152 356.36



9. Se recibe mercanca por $25,000 en este momento y $50,000 dentro de 6

meses. Si se pagan $10,000 dentro de un mes, cul ser su saldo a pagar en

el tercer mes si consideramos una tasa de inters compuesto del 18% anual

capitalizable mensualmente? Considere como fecha focal el tercer mes.

a. $ 57 367.53 d. $ 64 523.67

b. $ 63 655.56 e. $ 65 000.00

c. $ 63 671.89

10. Una tasa nominal anual del 18% capitalizable trimestralmente equivale a una

tasa efectiva anual de:

a. 18.25% d. 21.00%

b. 19.25% e. 21.21%

c. 20.45%

Bibliografa bsica


1. Daz 3 120-134



FCA-UNAM

Lo que aprend

En esta unidad, aprend a calcular montos, capital, valor efectivo o actual, tiempo,

tasa de inters y a reestructurar deudas que no se pagan en las fechas que se

acordaron por diferentes motivos, con capitalizacin de intereses, es decir, con el

inters compuesto.

Resuelve el siguiente ejercicio:

El gerente de PLANETA, SA, para mejorar las instalaciones, tiene las siguientes

obligaciones:

Pagar el da de hoy $20,000.00

Dentro de tres meses, pagar $43,000.00

En 6 meses, pagar $37,000.00. Todas las deudas ya tienen incluidos los

intereses.

El da de hoy se da cuenta de que no podr cumplir con sus obligaciones como

estn estipuladas, por lo que decide reestructurar su deuda de la siguiente forma:

hacer tres pagos iguales:

1. El primero dentro de un mes

2. El segundo dentro de 3 meses contados a partir de hoy

3. El ltimo pago dentro de 8 meses contados a partir de hoy

Si la tasa de reestructuracin es del 42% con capitalizacin mensual, pon la fecha

focal en los tres meses. De cunto ser cada uno de los pagos?



Realiza esta actividad en un procesador de textos, gurdala en tu computadora y,

una vez concluida, presiona el botn Examinar, localiza el archivo, seleccinalo y

haz clic en Subir este archivo para guardarlo en la plataforma



FCA-UNAM

GLOSARIO

Capital

Capital inicial, llamado tambin principal. Suele representarse tambin por las

letras A o P (valor presente).

Capitalizacin

Periodo convenido para convertir el inters en capital.

Frecuencia de conversin o frecuencia de capitalizacin

Nmero de veces que la tasa de inters se capitaliza en un ao.

Inters compuesto

Cuando los intereses se capitalizan para producir ms intereses.

Monto

Cantidad que se acumula al final del proceso o lapso de tiempo considerado, a

partir de un capital inicial sujeto a determinados periodos de capitalizacin de

intereses.



MESOGRAFA

Referencias Bibliogrficas

1. DIAZ MATA, Alfredo, Aguilera Gmez, Vctor M. Inters simple en

Matemticas Financieras, 4ta. Edicin, Mc Graw Hill, Mxico, 2007.

2. HERNNDEZ HERNNDEZ, Abraham, Inters Simple, en Matemticas

Financieras, 3ra. Edicin, ECAFSA, Mxico, 1996

3. VIDAURRI AGUIRRE, Hctor Manuel, Inters simple en Matemticas

Financieras, 1ra. Edicin, Mxico, 1997.

4. VILLALOBOS, Jos Luis, Inters simple en Matemticas Financieras, Grupo

Editorial Iberoamrica, Mxico, 1993.

Sitios electrnicos

Sitio Descripcin

http://ingenieriaeconomicaapuntes.blogspot.c

om/2009/05/ecuaciones-de-valor-en-el-

interes.html

Ecuaciones de valor en el inters compuesto

http

//www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeV

alorInteresSimple

Ecuacin de valor inters simple

http://www.abanfin.com/modules.php?tit=des

cuento-simple-y-descuento-

comercial&name=Manuales&fid=eg0bcad

Descuento simple y descuento comercial

http://www.cme-

malaga.es/index2.php?option=com_content&

do_pdf=1&id=30

Descuento bancario

Unidad_2

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