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Estadıstica I

Walter Dıaz

Facultad de Ciencias Economicas

Universidad de Antioquia

28 de mayo de 2013

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Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadDistribuciones discretas de probabilidadDistribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad conjunta

Introduccion

Ya sabemos acerca de los experimentos, los espacios muestrales y

eventos. En esta seccion, estamos interesados en un numero queesta asociado con el experimento. Llevamos a cabo un experimentoaleatorio E y despues de conocer el resultado ω en Ω se calcula unnumero X . Es decir, para cada resultado ω en el espacio muestralse asocia un numero X (ω) = x.

Walter Dıaz Estadıstica I

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Variable aleatoria

Definicion

Una variable aleatoria X es una funci´ on X : Ω → R que asocia acada resultado ω

∈Ω Exactamente un n´ umero X (ω) = x.

Por lo general, se denotan las variables aleatorias con letrasmayusculas como X , Y , y Z , y denotamos los valores observadospor las letras minusculas x, y, y z. Al igual que Ω es el conjunto de

todos los resultados posibles de E , llamamos al conjunto de todoslos valores posibles de X , el soporte de X y lo denotamos por ΩX .


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EjemploSea E el experimento de lanzar una moneda dos veces. Hemos visto que el espacio muestral sera Ω = H H , H T , T H , T T , donde H es cara y T es cruz. Ahora definimos la variable aleatoria X =el n´ umero de caras. Es decir, por ejemplo X (HH ) = 2, mientras que

X (HT ) = 1. Podemos hacer una tabla de las posibilidades:

ω ∈ Ω HH HT T H T T

X (ω) = x 2 1 1 0

Echando un vistazo a la segunda fila de la tabla, vemos que elsoporte de X - el conjunto de todos los numeros que X asume -serıa ΩX = 0, 1, 2.


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Ejemplo

Sea E el experimento de lanzar una moneda repetidamente hastaobtener una cara.

El espacio muestral sera Ω = H , T H , T T H , T T T H , . . .. Ahoradefinimos la variable aleatoria Y = el n´ umero de lanzamientos antes de obtener la primera cara.

Entonces, el soporte de Y serıa ΩY =

0, 1, 2, . . .

.


D b d d b b l d d

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EjemploSea E el experimento de lanzar una moneda al aire, y definir lavariable aleatoria Z = el tiempo (en segundos) hasta que lamoneda caiga al suelo.

En este caso, el espacio muestral es inconveniente para describir.Sin embargo, el soporte de Z serıa (0, +∞). Por supuesto, esrazonable suponer que la moneda va a volver a la Tierra en uncorto perıodo de tiempo, en la practica, el conjunto (0, +∞) es

ciertamente demasiado grande. Sin embargo, nos encontramos conque en muchas circunstancias es matematicamente convenienteestudiar el conjunto extendido en lugar de uno restringido.


Di ib i di d b bilid d

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Existen diferencias importantes entre los soportes de X , Y , y Z . Elsoporte de X es un conjunto finito de elementos que pueden serinspeccionados al mismo tiempo. Mientras que el soporte de Y nopuede ser exhaustiva escrito, sus elementos, sin embargo se puedenincluir en una secuencia en su orden natural. A las variablesaleatorias con soportes similares a los de X e Y se llaman variables aleatorias discretas .

En contraste, el soporte de Z es un intervalo continuo, quecontiene todos los numeros reales positivos racionales e

irracionales. Por esta razon, las variables aleatorias con soportescomo los de Z se llaman variables aleatorias continuas .


Dist ib i es dis et s de b bilid d

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Variables aleatoria discretas

Las variables aleatorias discretas se caracterizan por sus soporteslos cuales toman la forma

ΩX = u1, u2, . . . , uk o ΩX = u1, u2, u3, . . .Cada v.a. discreta X tiene asociado una funcion de probabilidad

(f.p.) f X : ΩX → [0, 1] definida por

f X (t) = P(X = t), t ∈ ΩX .


Distribuciones discretas de probabilidad

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Definicion (Distribucion de probabilidad)

El conjunto de pares ordenados (t, f X (t)) se le llama funcion de

probabilidad, funcion de masa de probabilidad o distribucion

de probabilidad de la v.a. discreta X si, para cada resultado tposible,1 f X (t) ≥ 0 para todo t ∈ Ω,2

t∈Ω f X (t) = 1,

3 P(X ∈ A) = t∈A f X (t), para alg´ un evento A ⊂ Ω.



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Ejemplo

Se lanza una moneda tres veces. El espacio muestral sera

Ω =

H H H , H T H , T H H , T T H , H H T , H T T , T H T , T T T

Sea X el n´ umero de caras observadas. Entonces X tiene soporte ΩX = 0, 1, 2, 3. Asumiendo que la moneda esta balanceada,Represente la f.p. con una tabla.



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EjemploUn embarque de 20 computadores portatiles similares para unatienda minorista contiene 3 que estan defectuosos. Si una escuelacompra al azar 2 de estas computadoras, calcule la f.p. para el n´ umero de computadoras defectuosas.

Ejemplo

Si una agencia automotriz vende 50 % de su inventario de cierto vehıculo extranjero equipado con bolsas de aire laterales, calcule

una f´ ormula para hallar la f.p. del n´ umero de autom´ oviles con bolsade aire lateral entre los siguientes 4 vehıculos que vende la agencia.



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Existen muchos problemas en los que se desearıa calcular laprobabilidad de que el valor observado de una v.a. X sea menor oigual que algun numero real x. Al escribir F X (t) = P(X ≤ t) paracualquier numero real t, definimos F X (t) como la funcion de la

distribucion acumulativa (f.d.a) o funcion de distribucion de la

v.a. X .Definicion (Funcion de la distribucion acumulativa)

La funcion de la distribucion acumulativa F X de una v.a.discreta X con f.p. f X es

F X (t) = P(X ≤ t) =x≤t

f (x), −∞ < t < ∞.



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Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadp

Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad conjunta

Las f.d.a. satisfacen las siguientes propiedades

1 0 ≤ F X (t) ≤ 1 para todo t ∈ 2 lımt→−∞ F X (t) = 0 y lımt→∞ F X (t) = 1

3 F X es no decreciente:

t1 < t2 ⇒ F X (t1) ≤ F X (t2), para todo t1, t2 ∈

4 F X es continua a la derecha:

lımt→a+ F X (t) = F X (a), para todo a ∈ donde t → a+ significa que t > a tiende a a.

5 P(a < X ≤ b) = F X (b) − F X (a)



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Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Distribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad conjunta

Ejemplo

Encuentre la funci´ on de distribuci´ on del n´ umero total de caras obtenidas en cuatro lanzamientos y dibuje su grafica.

EjemploLa distribuci´ on de probabilidad de V , el n´ umero semanal de accidentes en una cierta intersecci´ on, esta dada por g(0) = 0,40,g(1) = 0,30, g(2) = 0,20 y g(3) = 0,10. Construya la funci´ on de

distribuci´ on de V y dibuje su grafica.



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Variables aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas tienen soportes que parecen

ΩX = [a, b] o (a, b),

o uniones de intervalos de la forma anterior. Ejemplos de variables

aleatorias que se toman a menudo para ser continua son:

la altura o el peso de un individuo,

otras medidas fısicas tales como la longitud o el tamano de unobjeto, y

perıodos de tiempo (por lo general).

Cada v.a. continua X tiene asociada una funcion de densidad de

probabilidad (f.d.p) denotada por f X .


V i bl l i di ib i d b bilid dDistribuciones discretas de probabilidadDi ib i i d b bilid d

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Definicion (Funcion de densidad de probabilidad)

La funci´ on f X es una funcion de densidad de probabilidad

(f.d.p.) para la v.a. continua X , definida en el conjunto de

n´ umeros reales, si 1 f X (t) ≥ 0 para todo t ∈ Ω,2

t∈Ω f X (t)dt = 1,

3 P(X ∈ A) = t∈A

f X (t)dt, para alg´ un evento A ⊂ ΩX .


V i bl l t i di t ib i d b bilid dDistribuciones discretas de probabilidadDi t ib i ti d b bilid d

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Observacion: Se puede decir lo siguiente acerca de las v.a.continuas

El conjunto A puede tomar la forma de un intervalo, porejemplo, A = [c, d], en cuyo caso

P(X ∈ A) =

dc

f X (t)dt.

De lo anterior se deduce que la probabilidad de que X cae en

un intervalo dado es simplemente el area bajo la curva de f X

en el intervalo.


Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadDistribuciones discretas de probabilidadDistribuciones continuas de probabilidad

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Dado que el area de una lınea x = c en el plano es igual a

cero, P(X = c) = 0 para cualquier valor de c. En otraspalabras, la probabilidad de que X es igual a un valorparticular, c es cero, y esto es cierto para cualquier numero c.Por otra parte, cuando a < b todas las siguientes

probabilidades son la misma:

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b).

La f.d.p. f X a veces puede ser mayor que 1. Esto esta en

contraste con el caso discreto; cada valor distinto de cero deuna f.d.p. es una probabilidad que se limita a estar en elintervalo [0, 1].



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Definicion

La f.d.a. F X de una v.a. continua X con f.d.p. f X , es

F X (t) = P (X ≤ t) =

t

−∞

f X (x)dx, −∞ < t < ∞.



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Observacion: Para alguna f.d.a F X de una v.a. continua losiguiente es cierto.

1 0 ≤ F X (x) ≤ 1 para todo x ∈ 2

lımx→−∞ F X (x) = 0 y lımx→∞ F X (x) = 13 F X es continua.

4 F X es no decreciente:

t1 < t2 ⇒ F X (t1) ≤ F X (t2), para todo t1, t2 ∈



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Existe una relacion practica entre la f.d.a y f.d.p. en el casocontinuo. Considere la derivada de F X :

F X (x) = d

dx F X (x) = d

dx x−∞

f X (t)dt = f X (x),

la ultima igualdad es verdadera por el teorema fundamental delcalculo. En pocas palabras, (F X )

= f X en el caso continuo.



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y p pDistribuciones de probabilidad conjunta

Ejemplo

Considere la funci´ on de densidad

f (x) =

k√

x, 0 < x < 1,0, en otro caso .

b) Eval´ ue k.a) Calcule F X y utilice el resultado para evaluar

P(0,3 < X < 0,6)



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y p pDistribuciones de probabilidad conjunta

Ejemplo

Se esta revisando que proporciones de su presupuesto asigna cierta

empresa industrial a controles ambientales y de contaminaci´ on. Unproyecto de recopilaci´ on de datos determina que la distribuci´ on de tales proporciones esta dada por

f (x) = 5(1− y)4, 0 ≤ y ≤ 1,0, en otro caso .

a) Verifique que la funci´ on de densidad anterior sea valida.b) ¿Cual es la probabilidad de que una empresa elegida al azar gaste

menos de 10 % de su presupuesto en controles ambientales y de

contaminaci´ on? c) ¿Cual es la probabilidad de que una empresa elegida al azar gaste

mas del 50 % de su presupuesto en controles ambientales y de contaminaci´ on?



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Distribuciones de probabilidad conjunta

Ejemplo

El tiempo que pasa, en horas, para que un radar detecte entre conductores sucesivos a los que exceden los lımites de velocidad es una v.a. continua con f.d.a.

F (x) = 0, x < 0,

1 − e−8x, x ≥ 0.

Calcule la probabilidad de que el tiempo que pase para que el radar detecte entre conductores sucesivos a los que exceden los limites de velocidad sea menor de 12 minutos.

a) usando la f.d.a. de X ;b) utilizando la f.d.p. de X .


Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadDistribuciones discretas de probabilidadDistribuciones continuas de probabilidadDi ib i d b bilid d j

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Consideremos dos v.a. discretas X e Y con distribuciones de probabilidad f X y gY

con soporte en los espacios muestrales ΩX y ΩY , respectivamente. Sea ΩX,Y elconjunto de todos los posibles pares observados (x, y), llamado el conjunto soportede X y Y . Entonces la funcion de probabilidad conjunta de X y Y es la funcionhX,Y definida por

hX,Y (x, y) = P(X = x, Y = y), para todo (x, y)

∈ΩX,Y

Cada f.p. conjunta satisface

hX,Y (x, y) ≥ 0, para todo (x, y) ∈ ΩX,Y ,

y

(x,y)∈ΩX,Y

hX,Y (x, y) = 1.

Es habitual para extender la funcion hX,Y a todos los 2 considerar hX,Y (x, y) = 0para todo (x, y) /∈ ΩX,Y .


Variables aleatorias y distribuciones de probabilidadDistribuciones discretas de probabilidadDistribuciones continuas de probabilidadDi t ib i d b bilid d j t

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funcion de probabilidad conjunta

Definicion

La funci´ on hX,Y es una funcion de probabilidad conjunta,funcion de masa de probabilidad conjunta o distribucion de

probabilidad conjunta de las v.a. discretas X e Y , si 1 hX,Y (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ ΩX,Y ,2

(x,y)∈ΩX,Y

hX,Y (x, y) = 1,3 P[(X, Y ) ∈ A)] =

(x,y)∈A hX,Y (x, y), para alg´ un evento

A ⊂ Ω.



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Ejemplo

Se selecciona al azar 2 repuestos para bolıgrafo de una caja que contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el n´ umero

de repuestos azules y Y es el n´ umero de repuestos rojos seleccionados, calcule

a) la funci´ on de probabilidad conjunta hX,Y

b) P[(X, Y ) ∈ A], donde A es la regi´ on (x, y)|x + y ≤ 1.



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Ejemplo

Tirar un dado dos veces. Sea X el n´ umero obtenido en el primer lanzamiento y sea Y el n´ umero obtenido en el segundo

lanzamiento. Obtener a) la funci´ on de probabilidad conjunta hX,Y

b) P[(X, Y ) ∈ A], donde A es la regi´ on (x, y)|x + y > 7.



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Distribuciones marginales

Definicion

A las f.m.p. f X y gy se les llama las distribuciones marginales de X e Y ,respectivamente. Si se conoce hX,Y (x, y) entonces podemos obtener cada uno de las distribuciones marginales mediante el teorema de la probabilidad total: observe

f X (x) = P(X = x)

= y∈ΩY

P(X = x, Y = y),

=y∈ΩY

hX,Y (x, y).

Al intercambiar las funciones de X e Y es evidente que

gY (y) =x∈ΩX

hX,Y (x, y)

Observacion: Dado hX,Y (x, y) podamos recuperar las distribuciones marginales,pero lo contrario no es cierto. Incluso si tenemos ambas distribuciones marginales no

es suficiente para determinar el hX,Y (x, y).Walter Dıaz Estadıstica I


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Ejemplo

Muestre que los totales de las columnas y las filas de la siguiente tabla dan las distribuciones marginales de s´ olo X y s´ olo Y .

x

h(x, y) 0 1 2 Total 0 3/28 9/28 3/28 15/28

y 1 3/14 3/14 0 3/72 1/28 0 0 1/28

Total 5/14 15/28 3/28 1



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u p ju

EjemploDada la distribuci´ on de probabilidad conjunta de X e Y

h(x, y) = x + y

30 , para x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1, 2.

Calcule a) f (x) y g(y)b) P(X > 2, Y ≤ 1)c) P(X > Y )

d) P(X + Y = 4)



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p j

Asociado con la distribucion de probabilidad conjunta hX,Y es lafuncion de distribucion acumulada H X,Y que se define en

H X,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y), para (x, y) ∈ 2.

La distribucion H X,Y no es tan manejable como las F X y GY ,pero en principio se podrıa calcular mediante la suma de lascantidades hX,Y . La distribucion H X,Y no se suele utilizar en lapractica debido a los inconvenientes de su forma, pero se puede

obtener por lo general con hX,Y .



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Distribucion de densidad conjunta

Definicion

La funci´ on hX,Y es una funcion de densidad conjunta de las v.a.

continuas X e Y , si 1 hX,Y (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ ΩX,Y ,2

∞−∞

∞−∞

hX,Y (x, y)dxdy = 1,3 P[(X, Y ) ∈ A)] =

(x,y)∈A hX,Y (x, y)dxdy, para alg´ un

evento A

⊂Ω.



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Ejemplo

Se supone que cada rueda trasera de un avi´ on experimental se llena a una presi´ on de 40 libras por pulgada cuadrada (psi). Sea X la presi´ on real del aire para la rueda derecha y Y la presi´ on real para la rueda izquierda. Suponga que X e Y son v.a. con lasiguiente funci´ on de densidad conjunta:

h(x, y) =

k(x2 + y2), 30 ≤ x ≤ 50, 30 ≤ y ≤ 50,0, en otro caso .

a) Calcule k.

b) Calcule P(30 ≤ X ≤ 40 y 40 ≤ Y ≤ 50).c) Calcule la probabilidad de que ambas ruedas no contengan la

suficiente cantidad de aire.



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Densidades marginales

Definicion

Si X e Y tiene densidad conjunta hX,Y , entonces las densidades marginales de X se puede obtener con

f X (x) = ∞

−∞

hX,Y (x, y)dy, x ∈ ΩX ,

y la densidad marginal de Y se puede hallar con

gY (y) = ∞−∞

hX,Y (x, y)dx, y ∈ ΩY .



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Ejemplo

Considere las v.a. X e Y con la siguiente densidad conjunta

h(x, y) = x + y, 0

≤x, y

≤1;

0, en otro caso .

a) Calcule las densidades marginales de X e Y .b) Calcule P(X ≥ 0,5, Y > 0,5).



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Distribucion de densidad conjunta

En el caso continuo no existe una interpretacion simple para ladensidad conjunta hX,Y ; Sin embargo, tenemos una para el

distribucion de densidad conjunta H X,Y , esto es

H X,Y (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =

x−∞

y−∞

hX,Y (u, v)dudv.

para todo (x, y)∈

2.



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Definicion

Sean X e Y v.a. discretas o continuas ambas. La distribuci´ oncondicional de la v.a. Y , dado X = x, es

g(y

|x) =

h(x, y)

f (x)

, siempre que f (x) > 0.

De manera similar, la distribuci´ on condicional de la v.a. X , dado Y = y, es

f (x|y) =

h(x, y)

g(y) , siempre que g(y) > 0.



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Ejemplo

Dada la tablax

h(x, y) 0 1 2 Total

0 1/6 1/3 1/12 7/12y 1 2/9 1/6 0 7/18

2 1/36 0 0 1/36

Total 5/12 1/2 1/12 1Encuentre la distribuci´ on condicional de X dado Y = 1.



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Ejemplo

Dada la funci´ on de densidad conjunta

h(x, y) = 2

3(x + 2y), 0 < x < 1, 0 < y < 1;

0, en otro caso .

Encuentre la densidad condicional de X dado Y = y y ´ usela paraevaluar P(X ≤ 1/2|Y = 1/2).



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independencia estadıstica

Si f (x|y) no depende de y, entonces

f (x|y) = f (x)

A partir de este resultado se deduce la siguiente definicion

DefinicionSean X y Y dos v.a., discretas o continuas con distribuci´ on de probabilidad conjunta h(x, y) y marginales f (x) y g(y),respectivamente. Se dice que las v.a. X y Y sonestadısticamente independientes si y s´ olo si

h(x, y) = f (x)g(y)

para todo (x, y) ∈ Ω


Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad Distribuciones discretas de probabilidadDistribuciones continuas de probabilidadDistribuciones de probabilidad conjunta

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Ejemplo

Supongamos que X y Y tienen la siguiente distribuci´ on de probabilidad conjunta

x

h(x, y) 2 4 1 0.10 0.15

y 3 0.20 0.30 5 0.10 0.15

Determine si las dos v.a. X y Y son dependientes o independientes



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Ejemplo

La funci´ on de densidad conjunta de las v.a. X y Y es

h(x, y) = 6x, 0 < x < 1, 0 < y < 1

−x;

0, en otro caso.

Determine si las dos v.a. X y Y son dependientes o independientes



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DefinicionSean X 1, X 2, . . . , X n v.a. discretas o continuas, con distribuci´ onde probabilidad conjunta h(x1, x2, . . . , xn) y marginales f 1(x1), f 2(x2), . . . , f n(xn), respectivamente. Se dice que las v.a.X

1, X

2, . . . , X n son recıprocas y estadısticamente independientes

si y solo si

h(x1, x2, . . . , xn) = f 1(x1)f 2(x2) · · · f n(xn)

para todo (x1, x2, . . . , xn)∈

Ω



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EjemploSuponga que el tiempo de vida en anaquel de cierto producto comestible perecedero empacado en cajas de cart´ on, en a˜ nos, es una v.a. cuya funci´ on de densidad de probabilidad esta dada por

f (x) =

e−x

, x > 0;0, en otro caso.

Represente los tiempos de vida en anaquel para tres de estas cajas seleccionadas de forma independiente con X 1, X 2, X 3 y calcule

P(X 1 < 2, 1 < X 2 < 3, X 3 > 2).


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