OPERACIONES QUE SE DAN ENTRE LOS

CONJUNTOS

ESTRUCTURAS DISCRETAS

Gregory Cordero C.I. 14.879.114

LOS CONJUNTOSLa teoría de los conjuntos se compone de tres elementos básicos que son:1. Elementos2. Conjuntos3. Relación de pertenecía (Є)

Es un conjunto La reunión en un todo de objetos bien

definidos y diferenciables entre si, que se llaman

elementos del conjunto.

Conjunto Universal: El conjunto que contienetodos los elementos a considerar.

LOS CONJUNTOS

Diagrama de Venn:Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente

en representar los conjuntos matemáticos con unas

“circunferencias”. Con estas circunferencias serepresentan una serie de operaciones comola  unión, la intersección, etc. Ejemplos: Subconjunto:

La unión:

LOS CONJUNTOSEjemplos de conjuntos:

N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q: el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos.

Normalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Los conjuntos se pueden definir por:

Extensión: enumerando todos y cada uno de sus elementos.A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}Comprensión: diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5)

LOS CONJUNTOS

Pertenencia: La relación clave en un conjunto es la pertenencia: cuándo es un elemento miembro de un conjunto. Si a es un miembro de B, se denota por a ∈ By si no lo es, se denota por a ∉ B. Ejemplo: 4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero 7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B

Subconjuntos: Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos)Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: A Ì B Û ( " x Î U) ( x Î A Þ x Î B )

Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es: 1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B. 3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C.

LOS CONJUNTOSConjunto Potencia: El conjunto potencia de A es el conjunto Ã(A) cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Esto es: Ã(A)={X/ X Ì A}

Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

Características del Conjunto Potencia:1. La principal característica de este conjunto es que

es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.

2. Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de à (A), ya que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n elementos.

El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión. Teorema. A Ì B Û Ã(A) Ì Ã(B)

LOS CONJUNTOSIgualdad de Conjuntos: Entenderemos la igualdad de conjuntos en sentido de identidad, es decir, los conjuntos A y B son iguales, y escribiéremos A=B, si ambos tienen exactamente los mismos elementos.

El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.

Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B Û A Ì B Ù B Ì A

Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia: (x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A )

LOS CONJUNTOSUnión e Intersección de conjuntos: Sean A y B dos conjuntos la unión de A y B es el conjunto: A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}

Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B. Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces, A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

Propiedades de la Unión de Conjuntos Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades: 1.   A U A = A 2. A U U = U 3.  A U f = A 4. AUB = BUA Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto: A I B = { xÎ U / xÎ A Ù xÎ B} Es decir, los elementos que están en A y también están en B.

LOS CONJUNTOSDiferencia : Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto.A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B.Ejemplo:Sea A= { a, b, c, d } yB= { a, b, c, g, h, i }A - B= { d }Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

LOS CONJUNTOSComplemento: El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como: A'={ x Î U/x y x Ï A }Ejemplo:Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì UEl complemento de A estará dado por:A'= { 2, 4, 6, 8 }Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:1. A - B = AI C(B)2. C(C(A)) = A 3. AUC(A) = U 4. AI C(A) = f 5. C(U) = f 6. C(f ) = U 7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)Teorema: (Leyes de De Morgan para conjuntos)8. C(AUB) = C(A) I C(B)9. C(AIB) = C(A) U C(B)

LOS CONJUNTOSLeyes del algebra de conjuntos:• Leyes de Idempotencia a) A U A = A I A = A b) A

• Leyes Asociativas a) A U (BUC) = (AUB) U C b) A I (BIC) = (AIB) I C • Leyes Conmutativas a) A U B = B U A b) A I B = B I A

• Leyes Distributivas a) A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C) b) A

• Leyes de Identidad a) A U f = A I f = f b) A

LOS CONJUNTOSLeyes del algebra de conjuntos:• Leyes de Dominación a) A U U = U U: conjunto universal b) A I U = A

• Leyes de Complementacióna) A U C(A) = U b) A I C(A) = f f f) = U c) C (C(A)) = A d) C (U) = e) C (

• Leyes de De Morgan a) C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B) b) C(A

LOS CONJUNTOSProductos Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}

Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}Nótese que Ax B ¹ Bx A

Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:1. Ax B = F Û A = F Ú B = F2. Ax (BUC) = (Ax B) U (Ax C)3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

LOS CONJUNTOSOperaciones GeneralizadasConsideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.EjemploSea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y  determinar por extensión cada miembro de la familia.

SoluciónLa familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita. Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales Algunos de los miembros de la familia son:DefiniciónSea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:1. La unión de esta familia como el conjunto2. La intersección de esta familia como el conjuntoObservación: dado un conjunto de índice I={n, n+1, & , n+k}, entonces se denota también las uniones e intersecciones como

LOS CONJUNTOS

Partición:

Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.EjemploSi X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

LOS CONJUNTOSCardinalidad:Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.

Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que:1.  El cardinal de A es 0 si A =f.2.  El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n

elementos.

Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego:3. B - A) = #B - #(AI B)4.  #(AUB) = #A + #B - #(AI B)Teorema: Si A;ByC son tres conjuntos finitos entonces:#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos

LOS CONJUNTOSEn conclusión se pude decir que las operaciones básicas entre

conjuntosson:

La Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene

cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

La Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es elconjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que

contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que

contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no

pertenecen a A.

Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el

A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no

a ambos a la vez.

Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el

conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer

(segundo) elemento pertenece a A (a B).