ContenidoUnidad I - Estadstica Descriptiva31.1 Conceptos de estadstica y su clasificacin31.2 Aplicaciones en la ingeniera71.3 Poblacin y muestra aleatoria81.4 Obtencin de datos estadsticos81.5 Medidas de tendencia central91.6 Medidas de Dispersin131.7 Distribuciones de frecuencias (Tablas), relativas y porcentuales151.8 Cuantiles (cuartiles de datos simples y acumulados)281.9 Grafica de barras, diagrama de segmentos, diagrama de rbol, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas, diagrama de dispersin, grfico de puntos, histograma, polgono de frecuencias, ojiva y tabulacin cruzada32Ojiva y tabulacin cruzada401.10 Medidas de variabilidad: rango, rango intercuartil, varianza y coeficientes de variacin461.11 Medidas de localizacin y deteccin de valores atpicos y valores z, teorema de Chebyshev, la regla emprica, datos atpicos461.12 Diagrama de Pareto47Unidad II - Probabilidad492.1 Probabilidad de eventos492.2 Espacio muestral492.3 Ocurrencia de eventos512.4 Permutaciones y combinaciones532.5 Diagramas de rbol542.6 Axiomas de probabilidad572.7 Independencia y probabilidad condicional652.8 Teorema de Bayes70Proyecto75Unidad III - Funciones de distribucin de probabilidades783.1 Variables aleatorias y su clasificacin783.2 Distribuciones de probabilidad discretas793.3 Distribucin Hipergeomtrica.803.4 Distribucin de Poisson813.5 Distribuciones de probabilidad continuas823.6 Distribucin t833.7 Distribucin Chi-cuadrada85Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada853.8 Distribucin F883.9 Esperanza matemtica.89Unidad IV1034.1 Inferencia estadstica1034.2 Muestreo estadstico1034.3 Estimadores1064.4 Estimacin puntual1064.5 Estimacin por intervalo1074.6 Errores tipo I y II1174.7 Contraste de hiptesis unilateral y bilateral117Unidad V124Regresin y correlacin1245.1 Control de calidad1245.2 Diagrama de dispersin1255.3 Regresin lineal simple1265.4 Correlacin1275.5 Determinacin y anlisis de los coeficientes de correlacin y de determinacin.1285.6 Distribucin normal bidimensional1295.7 Intervalos de confianza y pruebas para el coeficiente de correlacin.1305.8 Errores de medicin.131

Unidad I - Estadstica Descriptiva

1.1 Conceptos de estadstica y su clasificacin

El estudio de la estadstica se divide clsicamente en dos, la estadstica descriptiva y la estadstica inferencial. La estadstica inferencial permite realizar conclusiones o inferencias, basndose en los datos simplificados y analizados de una muestra hacia la poblacin o universo. Por ejemplo, a partir de una muestra representativa tomada a los habitantes de una ciudad, se podr inferir la votacin de todos los ciudadanos que cumplan los requisitos con un error de aproximacinEstadstica Descriptiva o Deductiva: maneja los datos obtenidos les da orden y los presenta, haciendo resaltar ciertas caractersticas de manera que sean ms objetivas y tiles, investiga los mtodos y procedimientos, establece reglas para que el manejo de los datos sea eficiente, que la informacin presentada resulte confiable, exprese en lenguaje sencillo los contenidos para que el mayor nmero de personas lo comprenda y puedan establecer comparaciones y obtener conclusiones. La Investigacin estadstica es la operacin que se refiere a la recopilacin de informacin sobre una poblacin o colectivo de individuos, medias u objetos que tienen una caracterstica comn, e incluye:a) Sealamiento del elemento de la poblacin que origina la informacin (unidad de investigacin), puede ser: una industria, un hogar, la persona, etctera; pero en todo caso la unidad debe ser en su definicin medible y fcilmente identificable.b) Citar: qu se investiga; cmo se debe realizar, cundo se llevara a cabo, y en lugar de la investigacin que es el dnde.c) La recoleccin de la informacin incluye: ordenarla, filtrarla eliminando posibles errores y analizarla, aplicando los mtodos y normas estadsticos.d) La publicacin de la informacin, ya sea para uso propio o ajeno.

Presentacin de la InformacinUna vez obtenida la informacin resultante de una investigacin estadstica, que puede haberse efectuado, por ejemplo, en medicina, para estudiar el comportamiento de enfermos sujetos a un tratamiento especfico; en educacin, los ensayos orientados a estudiar los campos de actitud y aprendizaje de alumnos sometidos a ciertos procesos educativos; en la agricultura, dirigidos a medir el efecto de un insecticida bajo ciertas condiciones que varan bajo el control del investigador, etctera.A continuacin es necesario escoger la forma de organizarla para su anlisis o para su publicacin que puede ser en: Cuadros numricosCuadros Numricos de InformacinA. Representacin tabularLas lneas horizontales y las columnas verticales deben disponerse de manera que resalten los aspectos que se desean mostrar y las comparaciones que se quieren hacer notar.Incluir:a) Ttulo. Donde se indica el objeto del cuadro.b) Columna principal. Lugar donde se anotan las categoras.c) Encabezado de las columnas, donde se explica el objeto de cada una de ellas.d) Cuerpo. Lugar donde se supone la informacin.e) Notas de pie. Ah se aclaran algunas operaciones y se indica la fuente de la informacin.Problema El contador de una compaa industrial informa que durante el mes de marzo pasado el total de ventas fue de $11 745 420 y la nomina de pago del mes por departamento fue as: personal administrativo $425 760, personal de ventas y promocin $528 750 y de produccin $2 765 450. Elabora el cuadro que se seale:a) Porcentaje de cada departamento con relacin al total de la nomina.b) Porcentaje de cada departamento con relacin al total de ventas.Nmina de pago por departamentoMes de MarzoTotal de ventas en le mes $11 745 420

DepartamentoGastos mes% nmina% ventas

AdministracinVentasProduccin425 760528 7502 765 45011.4414.2174.353.624.5023.54

Totales$3 719 960100.0031.66

Operaciones que hicimos para llenar el cuadro: Calculamos por interpolacin polar.(Razones y Porciones):Nomina:3 719 960: 1003 719 960 ::x=x=

x=425 760 : x425 760 (100)42 576 000 3 719 96011.44%

3 719 960: 1003 719 960 ::x=x=

x=528 750 : x528 750 (100)51 875 000 3 719 96015.21%

3 719 960: 1003 719 960 ::x=x=

x=2 765 450 : x2 765 450 (100)276 545 000 3 719 96074.34%

Ventas:11 745 420: 1003 719 960 ::x=x=

x=425 760 : x425 760 (100)42 576 00011 745 420 3.62%

11 745 420: 1003 719 960 ::x=x=

x=528 750 : x528 750 (100)51 875 00011 745 420 4.50%

11 745 420: 1003 719 960 ::x=x=

x=2 765 450 : x2 765 450 (100)276 545 000 11 745 42023.54%

Problema Un representante de la Secretara de Gobernacin ante un sorteo organizado por una casa que vende material deportivo, para entregar tres premios consistentes, cada uno, en un viaje para 2 personas a Rotterdam, Holanda, a la semifinal de la Eurocopa informa:En al primera extraccin de un boleto el premio fue con el nmero de folio 007950 y corresponde a Manuel Lpez Galicia; en la segunda extraccin el premio corresponde a el nmero de folio 015162 para Mara Roy Martnez; en la tercera extraccin el premio fue para el nmero de folio 008032 para Yolanda Uribe May. Elabora el cuadro correspondiente a esta informacin.Cuadro de ganadores promocin Deportes PartiPermiso de Gobernacin con nmeros S 0322 2000Sorteo realizado el da 20 de junio del 2000

Nmero de extraccinNmero de folioNmero del ganadorPremio

123007950015162008032Manuel Lpez GaliciaMara Roy MartnezYolanda Uribe MayFinal EurocopaFinal EurocopaFinal Eurocopa

B. Cuadros cronolgicosSe usan para expresar las variaciones cronolgicas de poblacin, produccin, salarios, etctera; el periodo que se cita en estos cuadros depende de lo que se desea comprar o mostrar.Problema Elabora un cuadro cronolgico de ganancias de una fbrica de piezas de motor en el quinquenio 1994-1998 que exprese:a) Las variaciones de cada ao en tanto por ciento con base (con relacin) al ao anteriorb) Del ao 1998 con base (con relacin) al ao 1994.Si las ganancias en miles de pesos fueron de 1994 = 575; 1995 = 644; 1996 = 730.94; 1997 = 672.47 1998 = 749.80.

Ganancias de la compaa en miles de pesos durante el quinquenio 1994 - 1998

AoGanancia% variacin

Base ao anteriorBase ao 1994

19941995199619971998575644730.94672.47749.801213.5-811.4930.4

OperacionesCon la interpolacin polar575 : 100574::x=x=

x=644 :: x644 (100)64 400512112%

El 112% significa que la ganancia de 1995 fue de 12% ms de la obtenida en 1994 (que es el 100%)Para las dems, razonamos en forma semejante.644 : 100644

113.4 - 100::x=x=

x==730.94 :: x730.94 (100)73 094644113.5%13.5%

730.94 : 100730.94

92 - 100::x=x=

x==672.47 :: x672.47 (100)67 247730.9492%-8%

672.47 : 100672.47

111.49 - 100::x=x=

x==749.80 :: x749.80 (100)74 980672.47111.49%11.49%

575 : 100575

130.4 - 100::x=x=

x==749.80 :: x749.80 (100)74 980575130.4%30.4%

1.2 Aplicaciones en la ingeniera

La estadstica es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas: sociologa, sicologa, geografa humana, economa, etc.Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones.Tambin es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situacin.La estadstica est relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es ms o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones.El resultado de estudio de dichos procesos, denominados procesos aleatorios, puede ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa y, en este ltimo caso, discreta o contina.Son muchas las predicciones de tipo socilogo, o econmico, que pueden hacerse a partir de la aplicacin exclusiva de razonamientos probabilsticos a conjuntos de datos objetivos como son, por ejemplo, los de naturaleza demogrfica.Las predicciones estadsticas, difcilmente hacen referencia a sucesos concretos, pero describen con considerable precisin en el comportamiento global de grandes conjuntos de sucesos particulares. Son predicciones que, en general, no acostumbran resultar tiles.Para saber quin, de entre los miembros de una poblacin importante, va a encontrar trabajo o a quedarse sin l; o en cuales miembros va a verse aumentada o disminuida una familia concreto en los prximos meses. Pero que, en cambio puede proporcionar estimaciones fiables del prximo aumento o disminucin de la tasa de desempleo referido al conjunto de la poblacin; o de la posible variacin de os ndices de natalidad o mortalidad.

1.3 Poblacin y muestra aleatoria

PoblacinPoblacin; la investigacin estadstica es la operacin que se refiere a la recopilacin de informacin sobre una poblacin o colectivo de individuos u objetos que tienen una caracterstica comn.

Muestra aleatoriaEs una muestra sacada de una poblacin de unidades, de manera que todo elemento de la poblacin tenga la misma probabilidad de seleccin y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente.1.4 Obtencin de datos estadsticos

Datos; sealamientos del elemento de la poblacin que origina la informacin, puede ser: una industria, hogar, una persona, etc. pero en todo caso, la unidad debe ser en su definicin medible y fcilmente identificable.

Organizacin de datosCualitativos: Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un nmero (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos). Nominales: Si sus valores no se pueden ordenarSexo, Grupo Sanguneo, Religin, Nacionalidad, Fumar (S/No) Ordinales: Si sus valores se pueden ordenarMejora a un tratamiento, Grado de satisfaccin, Intensidad del dolor Arrojan respuesta categrica. Miden cualidadesCuantitativos: Si sus valores son numricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos) Discretas: Si toma valores enterosNmero de hijos, Nmero de cigarrillos, Nmero de cumpleaos Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios. Altura, Presin intraocular, Dosis de medicamento administrado, edad Producen respuestas numricas. Miden cantidadesTipos de datos cuantitativosDiscretos: Si el nmero de posibles valores que puede tomar es contable (nmero naturales). Generalmente resultan de un proceso de conteo Continuos: Si sus posibles valores estn en el continuo (nmeros reales). Generalmente resultan de un proceso de medicin Manejo de los datosa) Citar qu se investiga, como se debe realizar, cuando se llevara a cabo y el lugar de la investigacin que es el donde.

b) La recoleccin de la informacin incluye, ordenarla, eliminar posibles errores y analizarla, aplicando los mtodos y normas estadsticas.

c) La publicacin de la informacin ya sea para uso propio o ajeno.

Presentacin de la informacin.

Una vez obtenida la informacin resultante de una investigacin estadstica, que puede haberse efectuado, por ejemplo, en medicina, para estudiar el comportamiento de enfermos, sujetos a un tratamiento especfico: Se escoge la forma de organizarla para su anlisis o publicacin puede ser en: Histogramas Ojivas Polgonos de frecuencias Pictogramas Grficas de barras o circulares

1.5 Medidas de tendencia central

En los captulos anteriores, nos referimos a la clasificacin, ordenacin y presentacin de datos estadsticos, limitando el anlisis de la informacin a la interpretacin porcentual de las distribuciones de frecuencia.El anlisis estadstico propiamente dicho, parte de la bsqueda de parmetros sobre los cuales pueda recaer la representacin de toda la informacin.Las medidas de tendencia central, llamadas as porque tienden a localizarse en el centro de la informacin, son de gran importancia en el manejo de las tcnicas estadsticas, sin embargo, su interpretacin no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersin, ya que la representatividad de ellas est asociada con el grado de concentracin de la informacin.Las principales medidas de tendencia central son: Media aritmtica. Mediana Moda.

Media AritmticaCotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmtica. Cuando por ejemplo, decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un paquete sino que es el resultado de la observacin, es decir, dicho sujeto puede consumir 18, un da; 19 otro; 20, 21, 22; pero segn nuestro criterio, el nmero de unidades estar alrededor de 20.Matemticamente, la media o promedio (tambin llamada media aritmtica) formaliza el concepto intuitivo de punto de equilibrio de las observaciones. Es decir, es el punto medio del recorrido de la variable segn la cantidad de valores obtenidos. Se expresa

La media aritmtica se define como la suma de los valores observados dividida entre el nmero de observaciones.Por lo que se vio la mayor densidad de frecuencia est en la parte central de las grficas, de ah el nombre de medidas de tendencia central que se da a la media aritmtica, la mediana y a la moda.Las medidas de posicin son aquellos valores numricos que nos permiten o bien dar alguna medida de tendencia central, dividiendo el recorrido de la variable en dos, o bien fragmentar la cantidad de datos en partes iguales.La mediaDonden: es el nmero de observacionesx: el valor de cada observacin

: es la media aritmtica, media o x barraLa media es la nica de las medidas de tendencia central que puede intervenir en operaciones algebraicas.Ese valor tiene varias propiedades importantes:1)

Si x es una de las variables, su desviacin respecto a es la diferencia . La suma de estas diferencias es cero. En toda distribucin, la suma de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable respecto a la media es cero.2) Si se toman una cantidad cualquiera de conjuntos de valores, cada uno con su respectiva media, la media del conjunto general es igual a la suma de cada una de las medias de los diferentes conjuntos.

3) Es posible hallar la media de un conjunto de valores de una variable a partir de tomar la distancia de las observaciones a un valor cualquiera (pertenezca o no al recorrido de la variable)

4) Si a un conjunto de observaciones de una variable se le realiza una operacin matemtica usando un valor constante, entonces la media del nuevo grupo de valores as obtenidos es igual a la aplicacin de la misma operacin matemtica usando ese valor constante sobre la media original.Media para datos sin agrupar

Dado un conjunto de observaciones la media se representa mediante y se obtiene dividiendo la suma de todos los datos por el nmero de ellos, es decir:

Problema

Hallar la media aritmtica de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

ProblemaCantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana.Lunes: 18 Martes: 21 Mircoles: 22 Jueves: 21 Viernes: 20 Sbado: 19 Domingo: 19Entonces la media aritmtica es.

El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios.Ejercicios1. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluacin fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluacin. (Resp. 5,5666...)

2. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. (Resp. 13)

Mediana y ModaLa mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus propiedades destacan los valores individuales de un colectivo.A. MedianaLa mediana se define como el valor que divide un conjunto de datos previamente ordenados de menos a mayor y es el punto intermedio entre ellos dos.Si el nmero N de datos es impar, entonces hay un nmero intermedio; por ejemplo, si se tienen los datos 3, 5, 7, 9, 11 el nmero 7 es el nmero intermedio. Si el nmero N de datos es par, entonces hay dos datos intermedios; por ejemplo, la media de los valores 8, 10, 16, 19, 23, 25, hay dos valores centrales que son 16 y 19, el valor equidistante entre ellos es la mediana:

es la medianaB. Moda

En un conjunto de datos de una distribucin de frecuencias, la moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia; por ejemplo, en los valores 1, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, la moda es 6.Media PonderadaPor lo general, en Estadstica, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribucin de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso especfico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada.Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva, dividida por el nmero de elementos de la serie.

Si son las cantidades las respectivas ponderaciones, entonces la media ponderada es:

donde es la frecuencia o nmero de veces que se repite un valor. Tambin puede ser la ponderacin de cada valor xi.Para calcular la media aritmtica de una distribucin de frecuencias agrupadas consideramos que a todos los valores que hay dentro de un intervalo de clase se les considera de un mismo valor igual al de la marca de clase y las frecuencias son las ponderadas de los valores en correspondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es el total de veces que se tiene registro.

Problema1. Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

Salario en pesosFrecuencia en das

200.0005

220.00015

300.0004

Hallar el salario medio durante ese mes.

Problema

El nmero de das necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales caractersticas han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 das. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviacin tpica.

La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el nmero total de datos de los que se dispone:

La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.Como quiera que en este ejemplo el nmero de observaciones sea par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el clculo de la media de estos dos valores nos dar a su vez 60, que es el valor de la mediana.La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 601.6 Medidas de DispersinLa media aritmtica, mediana y la moda describen el comportamiento de los datos en una distribucin de frecuencias.Estas medidas no proporcionan informacin sobre la forma en que estn distribuidos o dispersos los valores con relacin a la tendencia central, y poco informan sobre un dato especfico con relacin a los otros en la distribucin de frecuencias.Estudiaremos la desviacin media, la varianza y la desviacin estndar, que miden la dispersin.RangoEn toda distribucin hay valores extremos, uno menor y otro mayor, la diferencia entre estos valores se llama rango y en el estn distribuidos todos los dems valores. Es una medida de dispersin y es la ms fcil de obtener.Desviacin mediaLa desviacin media y la varianza son medidas de dispersin que tienen relacin con la media aritmtica, ya que las tres tienen propiedades algebraicas que les permiten su uso en relaciones matemticas que son la base estructural de los anlisis estadsticos; por sus propiedades algebraicos son las medidas de dispersin de ms frecuente aplicacin y de mayor importancia. La media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmtica, es la desviacin media.Para datos no agrupados, se tiene

Y para datos agrupados

Problema

Calcular la desviacin media de la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

VarianzaLa varianza es la media aritmtica de los cuadrados de desviaciones respecto a la media aritmtica.La varianza para datos no agrupados se obtiene con:

Para datos agrupados La varianza mide la mayor o menor dispersin de los valores de la variable con respecto a la media aritmtica. Cuando mayor sea la varianza mayor dispersin existir y por lo tanto menor representatividad tendr la media aritmtica. La varianza siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito.

ProblemaCalcula la desviacin media DM y la varianza de la serie de nmeros 9,10,2,7,12,6,5,8,12,10

Desviacin estndar o tpicaLa desviacin estndar o desviacin tpica, es la raz cuadrada de la varianza.Desviacin estndar La desviacin estndar es la ms importante de todas las medidas de dispersin ya que incluye ms o menos el 68% de los trminos de una distribucin normal; adems, por sus propiedades algebraicas se utiliza con facilidad en el anlisis estadstico.1.7 Distribuciones de frecuencias (Tablas), relativas y porcentualesUna distribucin de frecuencias es un resumen tabular de datos que muestran la frecuencia (o la cantidad) de datos en cada una de las varias clases que no se traslapan.Una vez reunidos los datos de un colectivo para obtener a partir de ellos conclusiones, es necesario organizarlos en una tabla de distribuciones de frecuencia.La cual nos representa una funcin, se clasifican en tres tipos, segn el nmero de observaciones y al nmero de valores distintos que toma la variable.Distribucin de tipo uno.Son aquellas que constan de un reducido nmero de observaciones y en consecuencia de un reducido nmero de valores distintos que toma la variable.Distribuciones de tipo dos.Son las que el nmero de observaciones es grande, pero el nmero de valores distintos que toma la variable son pequeo; en este tipo, se distribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una para los valores distintos que toma la variable y otra para la frecuencia de cada uno de ellos.Problema.Para determinar el grado de nutricin de 20 alumnos de secundaria se toma la altura en cm de cada uno de ellos y son:128146136136152

140124134142138

136120130136132

136134142132144

Para facilitar su interpretacin se ordenan de forma ascendente o descendente, a este proceso se le llama orden de rango.120132136142

124134136142

128134136144

130136138146

132136140152

Para proceder a organizar los datos se usa la tabla de frecuencia que expresa el nmero de casos de cada categora.Distribucin de tipo tres

Si el nmero de observaciones y el nmero de valores que toma la variable son grandes para su manejo se agrupan las observaciones en intervalos , eligiendo entre ellos una amplitud fija o variable, mismos que se anotarn en una primera columna; en la segunda, se tabularn os valores para facilitar su conteo; y en la tercera, se pondr el nmero de frecuencia f correspondiente a cada intervalo.

Los grupos o categoras que incluye se llaman intervalos de clase; los valores son los lmites inferiores y los lmites superiores de estos intervalos.

Clases

TabulacionesFrecuencias (f)

La frecuencia absoluta o simplemente frecuencia, es el nmero de veces que se repite la variable ; as , es el nmero de veces que se repite la observacin , el nmero de veces que se repite la observacin , etc.ProblemaEn un examen departamental de fsica se examinaron 50 alumnos con los siguientes resultados;8766736848

3776857465

9377668368

4957386978

8996789774

7668637081

6483676190

7788747580

7173615772

8077858089

Expresamos la tabla de frecuencia, con los datos en forma ascendente.

3765727785

3866737785

4866737887

4967747888

5768748089

5768748089

6168758090

6169768193

6370768396

6471778397

Tabla de frecuenciasClases

TabulacionesFrecuencias (f)

35-39II2

40-440

45-49II2

50-540

55-59II2

60-64IIII4

65-69IIIII II8

70-74IIIII III8

75-79IIIII III8

80-84IIIII I6

85-89IIIII II6

90-94II2

95-100II2

Marca de clase.Una vez hecho todo lo anterior y antes de aplicar a la informacin los mtodos estadsticos, es necesario sustituir cada intervalo por un nmero, a este nmero se le llama marca de clase y es el valor central de cada intervalo, es decir la media aritmtica de los lmites inferior y superior, se obtiene as:

Marca de clase =Tabla de frecuenciasClases

TabulacionesMarca de clase

Mc Frecuencias (f)

Los datos obtenidos los anotamos en la tabla de frecuenciasClases

TabulacionesMarca de clase mc Frecuencias (f)

35-39II372

40-440420

45-49II472

50-540520

55-59II572

60-64IIII624

65-69IIIII II677

70-74IIIII III728

75-79IIIII III778

80-84IIIII I826

85-89IIIII II877

90-94II922

95-97II972

Frecuencia acumulada: OjivasEl cuadro siguiente expresa la distribucin de frecuencias agrupadas no acumulativas que se elaboroClaseFrecuencias

123.5-128.5128.5-133.5133.5-138.5138.5-143.5143.5-148.5148.5-153.5153.5-158.5158.5-163.5163.5-168.54482162521101

Total100

La frecuencia acumulada, se obtiene acumulando la frecuencia absoluta.ProblemaCon base en el cuadro anterior de distribucin de frecuencias agrupadas, obtener dos cuadros; el de frecuencias acumuladas hacia abajo y otro de frecuencias acumuladas hacia arriba, y trazar las ojivas correspondientes.Cuadro AFrecuencia acumulada de estaturas que expresa el nmero de alumnos que miden menos de la estatura indicada.EstaturaNm. De alumnos

123.5128.5133.5138.5143.5148.5153.5158.5163.5168.5048163743688999100

Cuadro BFrecuencia acumulada de estaturas que expresa el nmero de alumnos que miden ms de la estatura indicada.EstaturaNm. De alumnos

123.5128.5133.5138.5143.5148.5153.5158.5163.5168.51009692846357321110

Distribucin de frecuencias relativasLa frecuencia relativa de una clase es la proporcin de la cantidad del total de datos que pertenecen a esa clase.Poder organizar la informacin en una tabla de frecuencias, presentarla en cuadros, marcar los intervalos de clase y hacer las grficas de frecuencias absolutas, permiten relacionar y comprender los valores de un mismo colectivo.Frecuencia relativa; es el resultado de dividir c/u de las frecuencias absolutas por el tamao de la muestra.La frecuencia relativa de una clase se obtiene en tanto por ciento, que es la nueva base, si dividimos la frecuencia de la clase entre el nmero total de frecuencias y el resultado lo multiplicamos por 100.

Para facilitar el clculo de las frecuencias relativas de cada clase, se usa un factor de correccin que resulta de dividir 100 por el nmero total de frecuencias.

ProblemaLas autoridades de la secretaria de educacin pblica deciden que en otra escuela tambin se tomen las estaturas en cm. De todos los alumnos, pero ahora, de los menores de 17 aos, para fines nutricionales.Elabora un cuadro de frecuencias agrupadas que incluya las frecuencias absolutas y las relativas, estas ltimas en tanto por ciento.ClaseFrecuenciasRelativas en %

123.5-128.5128.5-133.5133.5-138.5138.5-143.5143.5-148.5148.5-153.5153.5-158.5158.5-163.5163.5-168.5168.5-173.5238209830231541.6382.4576.55216.3807.3716.55224.57018.83712.2853.276

Total122100.00

Factor de correccin

Distribuciones porcentuales acumuladas (Porcentuales)Los cuadros de frecuencia acumulada porcentuales se obtienen convirtiendo las frecuencias acumuladas en frecuencias relativas o proporcionales de base 100.Frecuencia relativa acumulada; se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada entre el tamao de la muestra.ProblemaEn el cuadro siguiente la distribucin acumulativa de estaturas de un grupo de alumnos, que expresa el nmero de ellos que midieron, menos de la estatura indicada, agrega la columna correspondiente a las frecuencias relativas y traza la ojiva porcentual.EstaturaFrecuencia acumulada

Nm. De AlumnosRelativas en %

128.5133.5138.5143.5148.5153.5158.5163.5168.5173.502514384565891031060.0001.8864.71513.20235.83442.43561.29583.92797.129100.000

Factor de conversin Se obtienen las frecuencias relativas:

Media para datos agrupadosProblema Calcular la media aritmtica de la distribucin de frecuencias agrupadas de la tabla de frecuencias.Clases

TabulacionesMarca de clase mc

Frecuencias (f)

35-39II372

40-440420

45-49II472

50-540520

55-59II572

60-64IIII624

65-69IIIII II677

70-74IIIII III728

75-79IIIII III778

80-84IIIII I826

85-89IIIII II877

90-94II922

95-100II97.52

Se procede de la siguiente manera

IntervalosMarca xFrecuencias ()

35-3937274

40-444200

45-4947294

50-545200

55-59572114

60-64624248

65-69677469

70-74728576

75-79778616

80-84826492

85-89877609

90-94922184

95-10097.52194

..\..\..\..\semestre enero 2012\1 media.xlsx

Calcular la desviacin media de la distribucin de frecuencias agrupadas de la tabla de frecuencias.

Calcular la desviacin media de la distribucin de frecuencias agrupadas de la tabla de frecuencias.

1.8 Cuantiles (cuartiles de datos simples y acumulados)Los cuantiles son medidas de posicin que se determinan mediante un mtodo que determina la ubicacin de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.Los cuantiles son los valores de la distribucin que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo nmero de valores. Cuando la distribucin contiene un nmero alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribucin en cuatro, en diez o en cien partes.Los ms usados son los cuartiles, cuando dividen la distribucin en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribucin en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribucin en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensin de la mediana.Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):uQ(u)

0.5Mediana

0.25, 0,75Cuartiles

0.1,,0.99Deciles

0.01,,0.99Centiles

CuartilesA fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los trminos de una distribucin, se divide la distribucin de frecuencia en 4 partes iguales, cada una contiene igual nmero de observaciones (el 25% del total).Los puntos de separacin de los valores de X se llaman cuartiles.El primer cuartil corresponde al 25% y se designa con .El segundo cuartil es que representa el valor de 50% y coincide con la mediana.El tercer cuartil es representa el 75% de las observaciones que estn por debajo de l.Clculo de cuartiles1. Ordenamos los datos de menor a mayor.2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresin

Problema Dada la siguiente distribucin en el nmero de hijos (Xi) de cien familias, calcular sus cuartiles. xi

01414

11024

21539

32665

42085

515100

Primer cuartil

Primera Segundo cuartil

Primera Tercer cuartil

Primera Clculo de los cuartiles para datos agrupadosEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

El lmite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil, es .La suma de las frecuencias absolutas, es N.La frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil, es La amplitud de la clase, es .ProblemaCalcular los cuartiles en el cuadro de frecuencias agrupadas, en donde se han registrado las alturas de un grupo de alumnos.Clase

50-6060-7070-8080-9090-100100-110110-120810161410528183448586365

65

Clculo del primer cuartil

Clculo del segundo cuartil

Clculo del tercer cuartil

ClaseFrecuencias

121.5-126.5126.5-131.5131.5-136.5136.5-141.5141.5-146.5146.5-151.5151.5-156.5156.5-161.5161.5-166.52382327201632

Total

Dividimos el total N de las frecuencias acumuladas entre 4 y obtenemos el nmero de observaciones que hay en el primer cuartil.

El primer cuartil cae en la clase , las tres primeras clases contienen 13 alumnos (sumamos 2+3+8=13) para las 13 que faltan los calculamos por interpolacin lineal, as;

1.9 Grafica de barras, diagrama de segmentos, diagrama de rbol, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas, diagrama de dispersin, grfico de puntos, histograma, polgono de frecuencias, ojiva y tabulacin cruzadaDiagrama de frecuencia de puntosDiagrama de barras El diagrama de barras es la representacin grfica que se usa cuando se dispone de muchas observaciones pero pocos valores de la variable (distribucin de tipo dos).Se elabora sealando en el eje de las x (abscisas) de un sistema de ejes coordenados, los valores de la variable, poniendo sobre ellas unas columnas a escala de las alturas igual a la frecuencia de cada uno de los valores, medidos en el sentido del eje de las y (ordenadas).

Diagrama de rbol El diagrama de rbol es una representacin grfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.Ayudado de un diagrama de rbol, determinamos el espacio muestral del experimento aleatorio de lanzar tres monedas al aire.

Diagramas de caja Los diagramas de Caja-Bigotes son una presentacin visual que describe varias caractersticas importantes, al mismo tiempo, tales como la dispersin y simetra.Para su realizacin se representan los tres cuartiles y los valores mnimo y mximo de los datos, sobre un rectngulo, alineado horizontal o verticalmente.Es un grfico que suministra informacin sobre los valores mnimo y mximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atpicos y la simetra de la distribucin.

Una grfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados ms largos muestran el recorrido intercuartlico. Este rectngulo est dividido por un segmento vertical que indica donde se posiciona la mediana y por lo tanto su relacin con los cuartiles primero y tercero (recordemos que el segundo cuartil coincide con la mediana). Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valores mnimo y mximo de la variable. Las lneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes. Estos bigotes tienen un lmite de prolongacin, de modo que cualquier dato o caso que no se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente.ProblemaDistribucin de edadesUtilizamos la ya usada distribucin de frecuencias (en tallos y hojas), que representan la edad de un colectivo de 20 personas. 36253724392036453131

39242923414033243440

Ordenar los datosPara calcular los parmetros estadstico, lo primero es ordenar la distribucin20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45Calculo de CuartilesQ1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribucin. Como N = 20 resulta que ; el primer cuartil es la media aritmtica de dicho valor y el siguiente: Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribucin, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como ; la mediana es la media aritmtica de dicho valor y el siguiente: Q3, el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribucin. En nuestro caso, como , resulta Dibujar la Caja y los Bigotes

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades La primera parte de la caja a (Q1, Q2), La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)

El bigote de la derecha viene dado por Informacin del diagramaPodemos obtener abundante informacin de una distribucin a partir de estas representaciones. Veamos alguna: La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la poblacin est ms dispersa que entre el 50% y el 75%. El bigote de la izquierda es ms corto que el de la derecha; por ello el 25% de los ms jvenes estn ms concentrados que el 25% de los mayores. El rango ; es decir, el 50% de la poblacin est comprendido en 14,5 aos.

Diagrama de tallo y hojasEl diagrama "tallo y hojas" permite obtener simultneamente una distribucin de frecuencias de la variable y su representacin grfica. Para construirlo basta separar en cada dato el ltimo dgito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formar el tallo). Esta representacin de los datos es semejante a la de un histograma pero adems de ser fciles de elaborar, presentan ms informacin que estos. ProblemaEdad de 20 personasSupongamos la siguiente distribucin de frecuencias 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31

39 24 29 23 41 40 33 24 34 40

que representan la edad de un colectivo de N = 20 personas y que vamos a representar mediante un diagrama de Tallos y Hojas.

Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4.

A continuacin efectuamos un recuento y vamos aadiendo cada hoja a su tallo

Por ltimo reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama

Diagrama de dispersin

Un diagrama de dispersin es una representacin grfica de la relacin entre dos variables cuantitativas Una variable se muestra sobre el eje horizontal y la otra variable sobre el eje vertical La manera en que aparecen los puntos en la grfica sugiere la relacin general entre las dos variables

Una relacin positiva Una relacin negativa

Sin relacin aparente

ProblemaLas notas de 12 alumnos de una clase en Matemticas y Fsica son las siguientes:Matemticas23445667781010

Fsica1324446467910

El diagrama de frecuencia El diagrama de frecuencia de puntos es una informacin grfica de cmo estn distribuidos los datos sobre el rango (contradominio en el clculo).

ProblemaUn grupo de 15 alumnos presenta examen extraordinario de qumica; un funcionario de la escuela necesita saber cuntos alumnos obtuvieron calificacin inferior a 6 y cuntos entre 6 y 8.Para resolver este tipo de problemas, ordenamos las calificaciones en una tabla de frecuencias y contestamos preguntas como inferior o igual que y superior a. As:xy

0 puntos0

1 puntos2

2 puntos1

3 puntos3

4 puntos0

5 puntos2

6 puntos3

7 puntos1

8 puntos2

9 puntos1

10 puntos0

De donde 8 alumnos obtuvieron una calificacin menor a 6, y 6 su calificacin est entre 6 y 8.Concepto de densidadLa densidad fsica es un concepto relativo que relaciona el volumen de un cuerpo con su masa. En estadstica, por la densidad de frecuencia, se obtiene la frecuencia absoluta o nmero de casos que hay dentro del intervalo de claseEn los histogramas, el eje vertical mide la densidad de frecuencias y el eje horizontal mide los intervalos de clase. As:

Histograma. Datos agrupados El histograma es la grfica ms usual y se utiliza cuando el nmero de observaciones y el nmero de valores que toma la variable son grandes (distribuciones de tipo tres). Los histogramas son una forma de representacin de la frecuencias de clase por medio de reas rectangulares (barras), pero son diferentes a los diagramas de barras cuyas alturas miden el tamao de la variable y generalmente se dibujan separadas, dejando espacios entre ellas; en cambio, en los histogramas las frecuencias quedan representadas por el rea de los rectngulos, no por sus alturas, y las barras necesariamente se dibujan sin dejar espacios entre ellas.Longitud de los ejes para expresar un histogramaEl eje vertical debe ser tres cuartos de la longitud del eje horizontal, el cual se escoge de acuerdo con la necesidad del problema.

ProblemaTraza el histograma de la distribucin de frecuencia agrupadas siguientes:Clases

TabulacionesFrecuencias (f)

35-39II2

40-440

45-49II2

50-540

55-59II2

60-64IIII4

65-69IIIII II7

70-74IIIII III8

75-79IIIII III8

80-84IIIII I6

85-89IIIII II7

90-94II2

95-100II2

Para trazar el histograma procedemos as:Sobre el eje de las abscisas ponemos a escala los valores de la variable x (los puntajes), por intervalos.Se trazan perpendiculares sobre el eje horizontal de la longitud que sea necesaria

Polgonos de frecuenciaEl polgono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de los intervalos de clase del histograma

Ojiva y tabulacin cruzadaLa ojiva es una grfica asociada a la distribucin de frecuencias, es decir, que en ella se permite ver cuntas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los nmeros asignados a cada intervalo.Una ojiva es una grfica construida con segmentos de lneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar el eje horizontal a los lmites superiores de clase y en el vertical a las frecuencias acumuladas absolutas o relativas; con el fin de que la ojiva comience desde el eje X, se har necesario comenzar con el lmite inferior de la primera clase o intervalo.Tabulaciones cruzadasTabulaciones cruzadas es un mtodo tabular para resumir los datos para dos variables simultneamente.Pueden ser usadas cuando: Una variable es cualitativa y la otra cuantitativa Ambas variables son cuantitativas Ambas variables son cualitativas Las etiquetas izquierda y superior definen las clases para las dos variablesProblemaCasas tipo infonavitTabulaciones cruzadas, en el nmero de casas vendidas por cada estilo y precio en los ltimos dos aos se muestran abajo.Rango de precio

Estilo de casaColonial Ranchera Santa Fe GuanajuatoTotal

18 6 19 12

12 14 16 3 55

45

Total 30 20 35 15100

Profundidad ganada por la tabulacin cruzada. El nmero mayor de casas en la muestra (19) se encuentra en el estilo Santa Fe y precio menor o igual a $99,000.00 Solo tres casas en la muestra estn en el estilo Guanajuato y tienen un precio mayor a $99,000.00Tabulacin cruzada: porcentajes por filas y columnas.Convertir las entradas en una tabla de porcentajes por filas o por columnas puede proveer informacin adicional acerca de la relacin entre dos variables.Porcentaje por filasRango de precio

Estilo de casaColonial Ranchera Santa Fe GuanajuatoTotal

32.73 10.91 34.55 21.82

26.67 31.11 35.56 6.67 100

100

La probabilidad de que sea modelo Guanajuato dado que su precio es menor o igual a $99,000.00 es igual a 0.2182.Porcentaje por columnas.Rango de precio

Estilo de casaColonial Ranchera Santa Fe Guanajuato

60.00 30.00 54.29 80.00

40.00 70.00 45.71 20.00

Total 100 100 100 100

Probabilidad que cueste menos o igual a $99,000.00 dado que es modelo Guanajuato es igual a =0.80Grficos y pictogramas La forma de presentar esta informacin por medio de ideogrficos depender del nivel cultural del auditorio a que va dirigido, del lugar de exposicin: peridicos, revistas, televisin, escuelas, etctera, que se deben analizar para escoger el mejor diseo; los mtodos ms usuales son: Grficos de lneas, pictogramas o pictogrficos, grficos de barras y grficos circulares.A. Grficos de lneasSe usan para representar las distribuciones de frecuencias que estudiaremos posteriormente en apartados en la parte correspondiente; y en series cronolgicas.Los grficos son una representacin estadstica de utilidad para dar a conocer una idea global sobre un programa en que se aplican procedimientos estadsticos, los datos que proporcionan son aproximados y por ello se debe ser cuidadoso en su elaboracin. Si en los grficos se dibujan simultneamente varios diagramas, la vista del usuario tiene dificultad para identificarlos, aunque stos se hayan diferenciado con colores o por diferente tipo de trazado.Adems, la cantidad de informacin que proporciona un grfico no es tan completa y extensa como la de un cuadro que tiene varias columnas que se leen por separado.

Al trazar un grfico de lneas (diagramas lineales) se tomarn en consideracin los conceptos siguientes:

La curva debe trazarse mas gruesa que las coordenadas para que resalte. La unidad de medida que se utilice debe destacarse claramente (no necesariamente de un centmetro). La longitud se seleccionar de modo que la grfica resulte balanceada. En notas al pie se citarn conceptos aclaratorios de la curva. El cero de la escala vertical siempre debe colocarse. De ser posible se cita la fuente de informacin. Se localizan por las coordenadas correspondientes los puntos de inters, y se unen por segmentos de rectas, formndose as una poligonal que es el diagrama de la serie cronolgica. Es necesario tener cuidado con la escala de los ejes, pues es posible manejarlos en forma engaosa, como se puede apreciar en el siguiente problema.Problema Una compaa industrial trata de vender acciones y su departamento de contabilidad presenta dos grficas sobre su produccin en el periodo de 1994 1998. Decide cul de las dos grficas presenta los datos con ms veracidad.GRFICASEs la ms verazLas dos grficas presentan hechos reales, pero se crearon en los diagramas dos imgenes diferentes para un mismo suceso estadstico alterando los valores del eje vertical y la unidad de la medida en la horizontal.Problema Consulta de un peridico de circulacin nacional y observa el ndice UV del da que t decidas. El ndice UV se refiere al dao que los rayos ultravioleta pueden hacer a un humano.Cuando el ndice UV est por encima de 9, los rayos UV-B son extremadamente fuertes y la piel sufrir quemaduras en menos de 15 minutos. Los periodos de quemadura de la piel por exposicin al Sol estn calculados con base en una piel clara no bronceada; el lapso de tiempo sera un poco ms prolongado para aquellos con la piel ms oscura.TiempoExposicin al SolCalificacin

mas de 9 minDe 7 9De 4 7De 0 4menos de 15 min20 min20 minms de una horaExtremo 50AltoModeradoBajo

GRFICAProblema Se cita a continuacin una grfica que seala la tendencia alcista de las tasas de inters internacionales. Qu concluyes?GRFICAAh permanecer, excepto que en fecha prxima sea necesario encarecer el dinero para bajar el consumo, y as evitar presiones inflacionarias.B. PictogramasUn pictograma es la representacin de datos estadsticos con smbolos que por su forma sugieren la naturaleza del dato, se utiliza para expresar comparaciones que atraigan la atencin general, cualquiera que sea el nivel cultural del lector, su representacin no sirve para anlisis estadsticos y nicamente permite obtener conclusiones vlidas muy generales.Al hacer la representacin con un pictograma o pictgrafo se debe utilizar figuras del mismo tamao, las aproximaciones se hacen con fraccin de la figura, mitad y hasta cuartos, y la cantidad que representa cada figura se indica con claridad en el encabezado.Problema Con motivo del reciente Censo Nacional de Poblacin la informacin oficial preliminar del INEGI, seala: habitamos la republica Mexicana una poblacin de 97.4 millones de habitantes de los cuales 47.4 millones son hombres y 50 millones son mujeres; de todos stos, 24.64 millones es poblacin rural, 72.76 millones urbana y dentro de la urbana el 17.79 millones corresponde a la zona urbana del Valle de Mxico.Agrega que la tasa de crecimiento anual fue: en los aos 1980 1990 el 2.4%; en el quinquenio 1990 1995 el 2.1% y de 1995 2000 disminuy a 1.6%; por la tasa de crecimiento ocupamos el sexto lugar en el mundo.Que en el ao de 1980 ramos 88.8 millones, en 1990 subimos a 81.2 y en 2000 alcanzamos la de 97.4, ocupando as el onceavo lugar en el mundo.El crecimiento absoluto por estados es en millones de habitantes: Estado de Mxico 3.27; Jalisco 1.02; Puebla 0.94; Baja California 0.83; Nuevo Len 0.73; los otros con 9.31.Los ms poblados en millones de habitantes son: Estado de Mxico con 13.08; Distrito Federal 8.59; Veracruz 6.90; Jalisco 6.32 y Puebla con 5.07.Representa grficamente esta informacin.a) Poblacin en la republica Mexicana: 97.4 millones de habitantes

b) Distribuido as:Aument la poblacin de 1990 al 2000, en:

198019902000ramos66.881.397.4

Del aumento de 97.4 81.3 = 16.1 se repartieron as:

Estado de MxicoJaliscoPueblaBaja CaliforniaNuevo LenOtros Estados3.271.020.940.830.739.31

Estados ms poblados (millones de habitantes)

Estado de MxicoDistrito FederalVeracruzJaliscoPuebla13.088.596.906.325.07

Crecimiento: Disminuy

1980 1990 2.4%1990 1995 2.1%1995 2000 1.6%

Podemos Concluir:Con base en los nacimientos entre 1980 1990 de 2.4%, en la actualidad la demanda de estos jvenes es alta en las escuelas de enseanza media superior y superior; en cambio, por los nacidos entre 1995 2000, apenas grupos de 20 a 25 alumnos.

Grficos de barrasLos grficos de barras proporcionan ms informacin y permiten una apreciacin estadstica mejor que los pictogramas con sus figuras ms llamativas. Se utilizan para datos nominales, variables cardinales y variables ordinales, Para su elaboracin se tomar en cuenta lo siguiente:En el grfico se evitar que las barras resulten muy anchas o excesivamente altas; se dejar un espacio entre las barras que no sea inferior a la mitad del ancho de ellas; si el grfico incluye muchas barras, es mejor sustituirlo con un diagrama lineal

Problema

Una fuente de trabajo y entrada de divisas extranjeras al pas, es la venta de la bebida tequila en los mercados de Japn, Alemania, Estados Unidos y otros. La demanda aumenta y la materia prima del agave, escasea cada vez ms, por ello los industriales del ramo han decidido plantar los prximos 6 aos 263 millones de hijuelos de agave para evitar la escasez. As en el presente ao y el prximo de 35 mil en cada uno; en el 2002, 37 mil y en cada uno de los restantes 39 mil.

Expresa esta solucin con un grfico de barras.

GRAFICA

Estas barras tambin se pueden disponer en forma horizontal.

Problema

El siguiente grfico de barras expresa las ventas en las tiendas de autoservicio y departamentales en el mes de diciembre de 1990 y los de enero a abril del 2000, inclusive. Qu se puede concluir?

GRFICA

Conclusin:Hay mucho dinero circulante que no corresponde a nuestra capacidad de produccin

Cuando el consumo aumenta y las personas empezamos a gastar en cosas innecesarias, superfluas y no ahorramos, las autoridades econmicas, a fin de evitar presiones inflacionarias, reducen el circulante con un corto.

6. Grficos circulares

Se usan para presentaciones grficas de distribuciones porcentuales, y si se quiere utilizarlas en secuencias cronolgicas es necesario dibujar crculos iguales, uno por cada ao, sealando en cada uno la correspondiente distribucin porcentual.

El crculo de 360 tiene un rea de 100%; un sector representa un tanto por ciento equivalente a la razn entre el ngulo que forman los radios que limitan el sector y los 360 que son el total de grados de la circunferencia; en la forma siguiente:

GRAFICA

Problema

El gas natural es uno de los principales insumos para la generacin de electricidad a travs de las termoelctricas; de uso en la industria y en los hogares como combustible. La Secretara de Energa en el ao de 1999 fue de 35 675.1 megawatts, generados as:

TermoelctricaHidroelctricaCarboelctricaNucleoelctricaGeotermoelctrica y eoleoelctrica21 351.1, el 59.8%9662.8, el 27.1%2600, el 7.3%1309, el 3.7%

752.1, el 2.1%

De esas fuentes, la Carboelctrica resulta contaminante por el uso del carbn como combustible.

Representar sta informacin en un grfico circular.

GRFICA

La industria elctrica demanda mucho gas natural.

GRFICA

A mayor industrializacin, que as se espera con los nuevos tratados econmicos, mayor nmero de empleos, mayor demanda de energa elctrica y encarecimiento del gas natural, industrial y domstico.

Procura que en tu casa, de ser posible, se instale un aparato que capte la energa solar; en pases como Japn, Israel y Estados Unidos lo usan con xito y disponen de pocos meses en que hay Sol; hay estados como el de Morelos, Zacatecas y otros muchos en los que el 90% de das en el ao son con Sol

1.10 Medidas de variabilidad: rango, rango intercuartil, varianza y coeficientes de variacinRango.Las medidas de variabilidad tienen por objeto medir la magnitud de los desvos de los valores de la variable con respecto al valor central de la distribucin, o sea, las medidas de variabilidad definen cuan semejante o cuan distintos son cada uno de los valores, de la variable con respecto al valor central. Son tambin medidas del grado de representatividad de las medidas de tendencia central.RangoEl rango mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor ms elevado y el valor ms bajo.Rango intercuartilEl rango intercuartil es una medida de variabilidad adecuada cuando la medida de posicin central empleada ha sido la mediana y l se define como la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil , es decir:

El rango intercuartil se usa para construir Diagramas de caja que sirven para visualizar la variabilidad de una variable y comparar distribuciones de la misma variable, adems de ubicar valores extremos.

VarianzaDefinimos varianza a la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.

Coeficiente de VariacinEl coeficiente de variacin permite comparar la dispersin entre dos poblaciones distintas e incluso, comparar la variacin producto de dos variables diferentes (que pueden provenir de una misma poblacin).Estas variables podran tener unidades diferentes, por ejemplo, podremos determinar si los datos tomados al medir el volumen de llenado de un envase de cierto lquido varan ms que los datos tomados al medir la temperatura del lquido contenido en el envase al salir al consumidor. El volumen los mediremos en y la temperatura en grados centgrados.El coeficiente de variacin elimina la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporcin existente entre una medida de tendencia y la desviacin tpica o estndar.

1.11 Medidas de localizacin y deteccin de valores atpicos y valores z, teorema de Chebyshev, la regla emprica, datos atpicos

Medidas de localizacinSe presentan medidas numricas de localizacin, dispersin, forma y asociacin. Si estas medidas las calcula con los datos de una muestra, se llaman estadsticas muestrales. Si estas medidas las calcula con los datos de una poblacin se llaman parmetros poblacionales. En inferencia estadstica, al estadstico muestral se le conoce como el estimador puntual del correspondiente parmetro poblacional.MediaLa mediad de localizacin ms importante es la media o valor promedio, de una variable. La media proporciona una medida de localizacin central de los datos. Si los datos son de una muestra, la media se denota por , si los datos son de una poblacin, la media se denota por la letra griega . La frmula para la media muestral cuando se tiene una muestra de observaciones es la siguiente.

El numerador es la suma de los valores de las observaciones. Es decir,

Dados los datos 46, 54, 42, 46, 32 que representan el tamao de cinco grupos de una universidad.

Calculamos la media muestral,

Teorema de ChebyshevPara cualquier distribucin estadstica de datos de una variable (muestra o poblacin), la proporcin mnima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estndares desde la media es al menos , donde k es una constante mayor que 1.

Regla emprica o regla normalPara distribuciones simtricas o en forma de campana (normales), se cumple que:

Datos atpicosSi una distribucin es aproximadamente normal entonces segn la regla emprica aproximadamente el 99.7% de los datos estn comprendidos en el intervalo por lo tanto en la escala estandarizada (Z) ese intervalo se convierte en . Luego todo valor de x cuyo valor estandarizado este fuera del anterior intervalo se pude considerar atpico.

1.12 Diagrama de Pareto

El nombre de Pareto fue dado por el Dr. Joseph Juran en honor del economista italiano Wilfredo Pareto.Wilfredo Pareto (Paris 1848 Turn 1923) economista italiano, realiz un estudio sobre la riqueza y la pobreza. Descubri que el 20% de las personas controlaba el 80% de la riqueza en Italia. Pareto observ muchas otras distribuciones similares en su estudio.A principios de los aos 50, el Dr. Joseph Juran descubri la evidencia para la regla de "80-20" en una gran variedad de situaciones. En particular, el fenmeno pareca existir sin excepcin en problemas relacionados con la calidad. Una expresin comn de la regla 80/20 es que "el 80% de nuestro negocio proviene del 20% de nuestros clientes."Por lo tanto, el Anlisis de Pareto es una tcnica que separa los "pocos vitales" de los "muchos triviales". Una Grfica Pareto es utilizada para separar grficamente los aspectos significativos de un problema desde los triviales de manera que un equipo sepa dnde dirigir sus esfuerzos para mejorar.DefinicinEl Diagrama de Pareto consiste en un grfico de barras similar al histograma que se conjuga con una ojiva o curva de tipo creciente y que representa en forma decreciente el grado de importancia o peso que tienen los diferentes factores que afectan a un proceso, operacin o resultado.

..\..\..\..\semestre enero 2012\diagrama de pareto.xlsx

Al identificar y analizar un producto o servicio para mejorar la calidad.Cuando existe la necesidad de llamar la atencin a los problemas o causas de una forma sistemtica.Al analizar las diferentes agrupaciones de datos (ejemplo: por producto, por segmento del mercado, rea geogrfica, etc.)Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las solucionesAl evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y despus).Cuando los datos puedan agruparse en categoras.En casos tpicos, los pocos vitales (pasos, servicios, tems, problemas, causas) son responsables por la mayor parte en el impacto negativo sobre la calidad.Un equipo puede utilizar la Grfica de Pareto para varios propsitos durante un proyecto para lograr mejoras. Para identificar oportunidades para mejorar Para identificar un producto o servicio para el anlisis de mejora de la calidad Cuando existe la necesidad de llamar la atencin a los problemas o causas de una forma sistemtica Para analizar las diferentes agrupaciones de datos Al buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones Para evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso comparando sucesivos diagramas obtenidos en momentos diferentes, (antes y despus) Cuando los datos puedan clasificarse en categoras Cuando el rango de cada categora es importante Los propsitos generales del diagrama de Pareto

Analizar las causas Estudiar los resultados Planear una mejora continua Como fotos de "antes y despus" para demostrar que progreso se ha logrado

Unidad II - Probabilidad

2.1 Probabilidad de eventos

Experimento AleatorioDefinicin Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera2.2 Espacio muestral

DefinicinEl conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. El espacio muestral se denomina con la letra S.Espacio Muestral discretoDefinicinUn espacio muestral es discreto si est formado por un conjunto finito (o infinito contable) de resultados.SucesoDefinicinUn suceso es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Por ejemplo en el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un nmero primo

A = {1,2, 3, 5}

2. Obtener un nmero primo y par

B = {2}

3. Obtener un nmero mayor o igual a 5

4. C = {5, 6}

ProblemaDescriba el espacio muestral que sea apropiado para un experimento en el que tiramos un par de dados, uno rojo y uno verde.

El espacio muestral que proporciona la mayor informacin consiste en los 36 puntos dados por, Dondex representa el nmero en que cay el dado rojoy representa el nmero en que cay el dado verde

ProblemaCon respecto al ejercicio anterior describa el suceso A en que el nmero de puntos obtenidos sea divisible entre 3.

Entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, slo 3 y 6 son divisibles entre 3

ProblemaDescriba un suceso B en que el nmero de puntos obtenidos con el par de dados sea 7.

Entre los posibles resultados, slo dan un total de 7.Por lo que el conjunto solucin es

2.3 Ocurrencia de eventos

En funcin de la relacin de probabilidad que se pueda establecer entre los sucesos, estos se clasifican en:Mutuamente excluyentes o disjuntos.

Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio no es posible que ocurran simultneamente. La interseccin de los conjuntos que los representan es el conjunto vaco. No mutuamente excluyentes entre s.

Son aquellos sucesos en los que en un mismo experimento aleatorio, en los que la posibilidad de que ocurra uno de ellos no importa que el otro suceso ocurra; es decir pueden ocurrir conjuntamente. La interseccin de los conjuntos que los representan, es el conjunto diferente del vaco. Problema Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

ProblemaExperimento aleatorio: se analiza en un momento dado el estado de salud de los habitantes de una comunidad.Consideremos los sucesos siguientes:A: La persona es diabticaB: La persona est sanaC: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crnicaD: La persona tiene gripaE: La persona es hipertensaDiga que sucede para los sucesos anteriores si se pide;

ProblemaExperimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 aos de edad de una comunidad.Consideremos los siguientes sucesos.A. Una persona tiene menos de 40 aosB. La persona es ingenieroC. La persona es analfabetaD. La persona tiene 40 aos o msQue pasa con los sucesos si se pide;

2.4 Permutaciones y combinaciones

Permutacin y combinacin Qu diferencia hay?Normalmente usamos la palabra "combinacin" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:"Mi ensalada de frutas es una combinacin de manzanas, uvas y bananas": no importa en qu orden pusimos las frutas, podra ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada."La combinacin de la cerradura es 472": ahora s importa el orden. "724" no funcionara, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. As que en matemticas usamos un lenguaje ms preciso: Si el orden no importa, es una combinacin Si el orden s importa es una permutacinPermutacionesUn arreglo de cosas en un orden dado; constituye una permutacin. En una permutacin el orden es importante.Problema Se tienen 6 mquinas de escribir y 6 personas para operar las mquinas, de cuntas maneras se pueden asignar las personas a las mquinas?

6 P6 = 6 ! = 6 5 4 3 2 1 = 720

Problema De cuntas maneras se pueden ordenar las letras A, B, C tomndolas todas a la vez?

Solucin: 3 P3 = 3 2 1 = 6 [ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB]

Problema

Cinco ciudades se comunican entre s, segn el diagrama

De cuntas formas es posible:a) Viajar desde A hasta Eb) Hacer el viaje redondo desde A hasta Ec) Hacer el viaje redondo desde A hasta E sin usar el mismo camino

2.5 Diagramas de rbolUn diagrama de rbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el clculo de la probabilidad se requiere conocer el nmero de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construccin del diagrama de rbol.El diagrama de rbol es una representacin grfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generacin.En el final de cada rama de primera generacin se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generacin, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).Hay que tener en cuenta que la construccin de un rbol no depende de tener el mismo nmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generacin y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.Existe un principio sencillo de los diagramas de rbol que hace que stos sean mucho ms tiles para los clculos rpidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto.

A continuacin ejemplificaremos cada uno de estos conceptos.

Experimento aleatorio

Lanzar dos monedas al aire. Para conocer el dominio utiliza un diagrama de rbol.

Entonces el dominio es: {(AA), (AS), (SA), (SS)}.

Este conjunto se llama espacio muestral y se designa con S, que es, adems, el dominio de la funcin aleatoria; a cada uno de sus resultados se les llama eventos.Ahora determinaremos el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Lanzar tres monedas al aire.2. Lanzar un dado y dos monedas.3. Las respuestas de un examen, si las preguntas son las siguientes:( ) Descubrimiento de Amrica. 1. 1810( ) Conquista de Mxico. 2. 1492( ) Declaracin de Independencia. 3. 15214. Los hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos.5. Los lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado.

Ayudados por un diagrama de rbol, los resultados de las preguntas anteriores seran:1. Lanzar tres monedas al aire son:

2. Dos monedas y un dado con seis nmeros

3. Resultados de un examen.

4. Hijos varones y mujeres de una familia de tres hijos: varones H, mujeres M.

5. Lugares que ocupan tres personas en una fila de supermercado. Llamaremos P1 = primera persona, P2 = segunda persona y P3 = tercera persona.

2.6 Axiomas de probabilidad

Probabilidades: Definiciones y ConceptosLas Probabilidades pertenecen a la rama de la matemtica que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cul ser en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extraccin de una carta de un mazo de naipes. Ms adelante se ver que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemticas o clsicas de las probabilidades experimentales o estadsticas.

Postulado 1 La probabilidad de un suceso es un nmero real no negativo; esto es para cualquier subconjunto A de S. Las probabilidades son los valores de una funcin de conjunto, tambin conocida como medida de probabilidad, esta funcin asigna nmeros reales a los diferentes subconjuntos de un espacio muestral SPostulado 2

Postulado 3

Si es una secuencia finita o infinita de sucesos mutuamente excluyentes de S, entonces Los postulados de probabilidad se aplican slo cuando el espacio muestral S es discretoProblemaUn experimento tiene cuatro resultados posibles A, B, C, D que son ME. Explique por qu las siguientes asignaciones de probabilidad no estn permitidas.

TeoremaSi A es un suceso en un espacio muestral discreto S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados posibles que abarcan A.ProblemaSi lanzamos dos veces una moneda balanceada, Cul es la probabilidad de sacar al menos una cara?C- CaraH-Cruz

El espacio muestral es

Como la moneda esta balanceada, estos resultados son igualmente posibles y asignamos a cada muestra la probabilidad de . Denotemos con A al evento que sacamos al menos una cara, obtenemos

Problema

Un dado est arreglado de manera que cada nmero impar tiene el doble de probabilidad de ocurrir que un nmero par. Encuentre P (G), donde G es el suceso que un nmero mayor que 3 ocurra en un slo tiro del dado.

Espacio muestral

Si asignamos la probabilidad W a cada nmero par y la probabilidad 2W a cada impar, se tiene

Teorema (Regla de Laplace)

Si un experimento puede resultar en cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables y si h de estos resultados juntos constituye el evento A, entonces la probabilidad del evento A es .

ProblemaCul es la probabilidad de que una persona de 25 aos de edad llegue a sobrevivir hasta que tenga 40 aos, si de acuerdo a una tabla de mortalidad de cada 93 745 persona de 25 aos de edad, 87 426 llegan a los 40 aos.

ProblemaEn una caja hay 25 tornillos en buen estado y 80 defectuosos. Cul es la probabilidad de sacar de la caja al azar un tornillo en buen estado?

Algunas reglas de probabilidad.Teorema

Si son eventos complementarios en un espacio muestral S, entonces

Teorema

Para cualquier espacio muestral S.Teorema

Si A y B son eventos en un espacio muestral S y Teorema

Para cualquier evento A.

Ley aditiva de la probabilidadTeoremaSi A y B son dos eventos en el espacio muestral S, entonces, la probabilidad de que un suceso u otro ocurran se calcula con las relaciones siguientes.

a) Cuando dos sucesos son ME, se tiene que se utiliza la primera relacinb) Cuando dos sucesos no son ME, se tiene que se utiliza la segunda relacinc) Se resta para rectificar el doble conteo

Demostracin. Si asignamos las probabilidades a, b, c a los eventos ME de acuerdo al diagrama de Venn.

ProblemaEn una zona de la ciudad, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia tenga aparato de televisin a color, un aparato de televisin en blanco y negro, o ambas clases de aparatos respectivamente. Cul es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de las dos o ambas clases de aparatos?A. Familia con televisin a colorB. Familia con televisin blanco y negro

ProblemaPara participar en la rifa de un reloj, los alumnos de primer ao compraron 18 boletos; los de segundo grado 12 boletos. Si son 50 boletos en total, Cul es la probabilidad de que un alumno de primero o segundo gane la rifa?A. Gana un alumno de primer gradoB. Gana un alumno de segundo grado

El suceso que nos interesa es , los sucesos A Y B son ME, es decir

Ley multiplicativa de la probabilidadLa probabilidad de que ocurran simultneamente dos sucesos A y B, se obtiene con el producto de sus probabilidades.

Para aplicar la ley multiplicativa es necesario revisar si los sucesos involucrados son independientes o dependientes.a) Sucesos independientesSon aquellos en los que la ocurrencia de uno, no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.b) Sucesos dependientesSon aquellos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro.

ProblemaExperimento aleatorio: se lanza un dado y se saca una canica de una bolsa; en la bolsa hay tres canicas, una roja, una azul y una verde. Cul es la probabilidad de que salga un nmero primo y una canica azul?Como cualquier resultado que aparezca en el dado no afecta la probabilidad del color de la canica, ni viceversa, se dice que los sucesos son independientes.

A: B: Sale canica azul

ProblemaDe un grupo escolar se van a elegir por sorteo a 3 alumnos que se hagan cargo de una ceremonia escolar: en el grupo hay 24 hombres y 12 mujeres, Cul es la probabilidad de que el grupo de representantes est conformado de las maneras siguientes?A. Sean tres hombresB. Sean dos hombres y una mujerC. Sean dos mujeres y un hombreD. Sean tres mujeresa) Sean tres hombres

Se tienen que dar los siguientes sucesos

: El primer alumno seleccionado sea hombre

: El segundo alumno seleccionado sea hombre

Los sucesos son dependientes

: El tercer alumno seleccionado sea hombre

b) Sean dos hombres y una mujer

: Sale el primer hombre

: Sale el segundo hombre

: Sale la mujer

ProblemaCerca de cierta salida de una carretera, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camin parado en un retn tendr frenos defectuosos, neumticos muy gastados respectivamente. Tambin, la probabilidad es 0.38 de que un camin parado en el retn tendr frenos defectuosos o neumticos muy gastados. Cul es la probabilidad de que un camin parado en este retn tendr los frenos defectuosos as como los neumticos muy gastados?B: Suceso que un camin parado tendr frenos defectuososT: Suceso que tendr neumticos muy gastados

ProblemaUna organizacin de los consumidores ha estudiado los servicios con garanta proporcionados por las 50 agencias de automviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos.Buen servicio de garantaMal servicio de garanta

En operacin por10 aos o ms16420

En operacinMenos de 10 aos102030

Total262450

a) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automviles nuevos, Cul es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garanta? b) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 aos o ms, Cul es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garanta? G: Denota la seleccin de la agencia que proporciona buen servicio de garanta.S: Denota el nmero de elementos en el espacio muestral completo.a)

b) Para la segunda pregunta, buscamos el espacio muestral reducido que consta de la primera lnea de la tabla, esto es, 16+4 =20 agencias. De estas, 16 proporcionan buen servicio de garanta y se tiene

2.7 Independencia y probabilidad condicional

Probabilidad condicionalLa probabilidad condicional se aplica en el clculo de un evento cuando se sabe que ha ocurrido otro con el cual se relacionan; es decir, los sucesos son dependientes.

Sean A y B dos sucesos dependientes tales que

Para expresar la probabilidad de B dado que A ha ocurrido, se expresa

De la misma manera si

Para sealar la probabilidad de A dado que B ha ocurrido, se expresa

Vamos a considerar

La probabilidad de se realiza en un mismo espacio muestral, que es un subconjunto del espacio muestral original S. Es decir, el espacio muestral original S se ve modificado por que ya ocurri el suceso A.

La probabilidad condicional satisface las propiedades de la frecuencia relativa en la forma siguiente:Para los sucesos

Si y slo si ocurre en las n repeticiones Si y slo si nunca ocurre en las repeticionesDefinicin

Si A y B son dos sucesos cualquiera en un espacio muestral S y , la probabilidad condicional de B dado A es

Problema En una escuela de enseanza media superior, el 20% de los alumnos reprobaron matemticas, el 25% fsica y el 5% ambas materias. Si se selecciona un alumno al azar:a) Si reprob fsica. Cul es la probabilidad de que haya reprobado matemticas?b) Si reprob matemticas. Cul es la probabilidad de que haya reprobado fsica?c) Cul es la probabilidad de que haya reprobado fsica o matemticas?

Problema El espacio muestral S de la poblacin de adultos en un pequeo pueblo que han satisfecho los requisitos para graduarse en la escuela. Se deben clasificar de acuerdo con el sexo y si trabajan o no actualmente.EmpleadoDesempleadoTotal

Hombre46040500

Mujer140260400

Total600300900

Basados en el espacio muestral anterior definir:

a. La probabilidad de que sea empleadob. La probabilidad de que sea desempleadoc. La probabilidad de que sea hombre y al mismo tiempo sea desempleadod. Encuentre la probabilidad de que se escoge un hombre dado que el elegido tiene empleo

Esto es . Ahora considrese otro en el cual se sacan dos cartas en sucesin, con remplazo, de un paquete normal, los eventos se definen como:A: la primera carta es un as,B: la segunda carta es de espadas.Puesto que se remplaza la primera carta, el espacio muestral para ambas cartas consisten de 52, en el que hay 4 ases y 13 espadas. Por lo tanto

Y

Esto es, cuando esto es cierto, se dice que los eventos A y B son independientes.La nocin de probabilidad condicional permite revaluar la idea de probabilidad de un evento de mayor informacin; es decir cuando se sabe que otro evento ha ocurrido. La probabilidad es una actualizacin de la con la base en la certeza de que se ha presentado el evento B. en el problema del avin fue importante conocer la probabilidad de que el vuelo llegara a tiempo. Supngase que sabe que se vuelo no parti a tiempo, con estos datos adicionales, lo ms pertinente es calcular esto es, la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que no llego a tiempo. En munchas situaciones las conclusiones que se sacan de las observaciones de la probabilidad condicional ms importantes cambian totalmente la situacin. En este ejemplo, el clculo de Plo daP

2.8 Teorema de Bayes

Proyecto

1. Cuntas palabras con cdigo de 3 letras se pueden formar usando las 8 primeras letras del alfabeto (26 letras).a) Si ninguna letra puede repetirseb) Si se pueden repetir las letras

2. Las 5 finalistas del concurso Seorita Universo son los representantes de Argentina, Blgica, Estados Unidos, Japn y Noruega. De cuantas maneras pueden elegir los jueces;

a) La ganadora y la primera suplenteb) La ganadora, la primera y la segunda suplente?

3. Cuntas permutaciones diferentes hay de la palabra statistics?

4. La seorita Jones tiene cuatro faldas, siete blusas y tres suteres. En cuntas formas puede escoger dos de las faldas, tres de las blusas y uno de los suteres para llevar en un viaje?

5. Cuntos grupos de 5 o ms personas pueden formarse con 10 personas?

6. Una placa consiste en dos letras seguidas por cuatro dgitos, cuntas placas pueden elaborar s;

a) Se pueden repetir las letras y los dgitosb) Si no se pueden repetir?

Calcula la permutacin o combinacin correspondiente a cada una de las situaciones que se dan a continuacin.

7. Se elige un comit de 5 personas en el que debe haber 2 arquitectos de 7 que hay en la compaa y 3 ingenieros de los 10 que trabajan ah. De cuntas formas diferentes han de escoger el comit?

8. De cuantas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios?

9. Experimento aleatorio: se observa la escolaridad de las personas de 20 a 60 aos de edad de una comunidad.Consideremos los siguientes sucesos.E. Una persona tiene menos de 40 aosF. La persona es ingenieroG. La persona es analfabetaH. La persona tiene 40 aos o msQue sucede con los sucesos si se pide;

10. En un grupo de 200 estudiantes (80 mujeres y 60 hombres), 140 en total son alumnos de tiempo completo y otro de 60, (40 son mujeres y 20 hombres) son de tiempo parcial.Experimento: un estudiante es seleccionado al azar, para esto se definen tres sucesos.

A. Estudiante seleccionado de tiempo completoB. Estudiante seleccionado de tiempo parcialC. Estudiante seleccionado sea hombre

a) Defina si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no.b) Defina si los sucesos A y C son mutuamente excluyentes o no.

11. Se analiza en un momento dedo el estado de salud de los habitantes de la ciudad.Consideremos los casos siguientes: A: La persona es diabticaB: La persona est sanaC: La persona tiene un problema de salud permanente, tiene una enfermedad crnica.D: La persona tiene gripaE: La persona es hipertensaa) Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes o no?b) Si son mutuamente excluyentes o no?c) Qu sucede con los sucesos B y C?d) Cmo son los sucesos C y D?

12. Una organizacin de los consumidores ha estudiado los servicios con garanta proporcionados por las 50 agencias de automviles nuevos en una cierta ciudad en la tabla siguiente se resumen sus hallazgos.Buen servicio de garantaMal servicio de garanta

En operacin por 10 aos o ms16420

En operacinMenos de 10 aos102030

Total262450

c) Si una persona selecciona aleatoriamente una de estas agencias de automviles nuevos, Cul es la probabilidad de que seleccione una que proporciona buen servicio de garanta? d) Si una persona selecciona una de las agencias que han operado 10 aos o ms, Cul es la probabilidad de que seleccione una agencia que proporcione buen servicio de garanta? G: Denota la seleccin de la agencia que proporciona buen servicio de garanta.S: Denota el nmero de elementos en el espacio muestral completo.13. Una urna contiene 75 bolas blancas marcadas, 25 bolas sin marcar, 175 bolas negras marcadas y 125 bolas negras sin marcar.

a) Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad que sea blanca.b) Se extrae una bola y est marcada. Calcular la probabilidad que sea blanca.

14. En un grupo de 200 estudiantes universitarios 138 estn inscritos en un curso de Ingls 115 en uno de mecnica y 91 en ambos, Cuntos de estos estudiantes no estn inscritos en uno u otro curso?

Trace un diagrama de Venn apropiado y anote los nmeros asociados con las diversas regiones.

15. Un taller sabe que por trmino medio acuden, por la maana 3 automviles con problemas elctricos, 8 con problemas mecnicos y 3 con problemas de chapas y por la tarde 2 con problemas elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa.ElctricosMecnicosChapaTotal

Maana38314

Tarde2316

Total511420

Calcular, P(A), P(B), P(C) , as como la probabilidad de que acuda por la maana dado que tiene problemas elctricosAplique el concepto de probabilidad para resolver el siguiente problema. 16. En una caja hay 100 canicas azules y 300 rojas. Cul es la probabilidad de sacar al azar una canica azul? Exprese el resultado en tanto por ciento.

17. En la oficina del subdirector de la escuela hay 12 calculadoras, algunas son manuales (M), otras elctricas (E); adems algunas de ellas son nuevas (N) y otras usadas (U), como se expresa en el cuadro siguiente: ME

N235

U257

4812

a) Una persona entra a la oficina y escoge aleatoriamente una calculadora y observa que es manual. Cul es la probabilidad de que sea nueva?b) Si la persona escoge una al azar una elctrica, Cul es la probabilidad de que sea usada?

18. Empleando diagramas de Venn y con la definicin de conjuntos encontrar el conjunto solucin para cada uno de los casos que se dan a continuacin.

. 19. Una orquesta de 30 msicos deciden formar dos grupos musicales, uno de clsica y otro de msica de saln, el primero con 12 personas y el segundo con 16; si tres de los msicos pertenecen a los dos grupos Cuntos miembros de la orquesta original decidieron no pertenecer a ningn grupo?

20. De un lote de 15 camisas, 4 son defectuosas, si se toman al azar 3 artculos del lote, uno tras otro; calcular la probabilidad de que los tres se encuentren en buen estado.

21. En una escuela de enseanza media superior, el 20% de los alumnos reprobaron matemticas, el 25% fsica y el 5% ambas materias. Si se selecciona un alumno al azar:a) Si reprob fsica. Cul es la probabilidad que haya reprobado matemticas?b) Si reprob matemticas. Cules la probabilidad de que haya reprobado fsica?c) Cul es la probabilidad de que haya reprobado fsica o matemticas?d) Cul es la probabilidad de que haya reprobado fsica o matemticas?22. En una escuela de enseanza media superior de la poblacin de alumnos el 40% mide ms de 1.50 m, el 25% pesa ms de 52 kilos y el 15% mide ms de 1.50 m y ms de 52 kilos. Si se escoge al azar un alumno:a) Si mide ms de 1.50 m, calcular la probabilidad de que tambin pese ms de 52 kg.

Proyecto1. De cuntas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 15 socios?

2. Cinco ciudades se comunican entre s, segn el diagrama

De cuntas formas es posible:d) Viajar desde A hasta Ee) Hacer el viaje redondo desde A hasta E

3. Use el principio multiplicativo para solucionar el problema siguiente.

De una ciudad A hasta B hay 4 caminos; a su vez, la ciudad B a la C hay 6 caminos, si todos los caminos son diferentes, de cuantas formas es posible:

De cuntas formas es posible:

f) Viajar de A hasta C pasando por Bg) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por Bh) Hacer el viaje redondo desde A hasta C pasando por B pero si utilizar el mismo camino ms de una vez

4. Cuntos nmeros de 3 dgitos se pueden formar con 1, 2, 3 ,4,5 si;

a) No se permiten repeticiones b) Se permiten repeticiones

5. Con los dgitos del 0 al 9 se quieren formar nmeros de cuatro cifras, sin repetir cifras en ninguno de los nmeros formados.

a) Cuntos se pueden formar?b) Cuntos nmeros son impares?c) Cuntos nmeros son divisibles entre 2?d) Cuntos nmeros son mayores o iguales que 3000?

6. Calcular cuntos nmeros enteros de tres cifras se pueden obtener con los dgitos 2, 3, 5, 7 en los casos siguientes.

a) No se permite la repeticin de las cifras en ninguno de los nmerosb) Se permite la repeticin de las cifras en los nmeros

7. Cuntas diferentes quintas de baloncesto pueden formarse con 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posicin?

8. Un alumno de preparatoria tiene 7 libros de fsica y 5 de matemticas. Calcular de cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 libros de fsica y 2 de matemticas en un librero. 9. De cuntas maneras diferentes se puede formar un comit con un presidente, un secretario y un tesorero, en un club que consta de 20 socios? 10. Cuntas representaciones diferentes sern posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequea empresa.

11. Obtenga todas las seales posibles que se pueden disear con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado. 12. De cuntas maneras es posible plantar en una lnea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro