UNIDAD_I

UNIDAD I. ESTATICA APLICADA

OBJETIVO TERMINAL: Al finalizar la Unidad el estudiante estará en la capacidad de Analizar la estabilidad y la determinación estática y cinemática de una forma resistente plana cualesquiera.

UNIDAD I. ESTATICA APLICADA

I.1. Generalidades.

I.2. Estabilidad.

I.2.3. Determinación e Indeterminación.I.2.3.1. Estática (Externa, Interna y Total)I.2.3.2. Cinemática.

I.2.4. Diagramas de Williot

I.1. Generalidades

Estructura : Es una forma resistente conformada por un elemento o por un conjunto de elementos relacionados entre sí y dispuestos en una forma tal que permiten soportar de una manera adecuada las cargas o solicitaciones a las cuales se encuentra sometidas sin colapsar.

En la práctica de la Ingeniería Civil podemos clasificar las estructuras de la siguiente forma:

Según su geometría. Según el tipo de conexiones. Según el tipo de Sistema Constructivo.

I.2. Generalidades. Estructuras

Estructuras empleadas en Obras Civiles

a) Viga simplemente apoyadab) Armadura o cercha

c) Pórtico estructural

I.1. Generalidades

Modelo Matemático de la Estructura

Estructura Real

N

P1

A

P2

F H

I G

D

E

B

C

J

K

L

M

Ñ

O

P1P2P2P2 P2

I.2. Estabilidad. Definición

Una estructura ESTABLE es aquella capaz de soportar las cargas actuantes de manera inmediata y en el rango del comportamiento elástico sin colapsar, en donde sus posibilidades de movimiento o Grados de Libertad (G.D.L.) como cuerpo rígido deben estar restringidos.

En este contexto, la estabilidad de una estructura depende de sus características geométricas y de la cantidad y disposición de las restricciones (o vínculos) que posea.

I.2. Estabilidad. Vínculos

Se entiende por vínculo en términos estructurales, a todo elemento físico que produzca restricción de uno o más G.D.L. de una estructura. Estos pueden clasificarse en forma general como vínculos internos y vínculos externos

Los vínculos internos están representados por las conexiones entre los elementos que conforman la estructura y suelen llamarse “nodos o juntas”, mientras que los vínculos externos representan la interacción de la estructura con el suelo y suelen ser llamados “apoyos”

I.2. Estabilidad. Vínculos

bielas

bielas

biela

bielas

bielas

Vínculos típicos empleados en estructuras

Vínculos Externos Vínculos Internos

RODILLO(vinculo 1ER orden)

BIELA (vinculo 1ER orden)

RODILLO(vinculo 1ER orden)

BIELA (vinculo 1ER orden)

ARTICULACIÓN(Vinc. 2DO orden)

ARTICULACIÓN FICTICIA(Vinc. 2DO orden)

ARTICULACIÓN(Vinc. 2DO orden)

ARTICULACIÓN FICTICIA(Vinc. 2DO orden)

EMPOTRAMIENTO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO FICTICIO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO (vínculo de 3ER orden)

EMPOTRAMIENTO FICTICIO (vínculo de 3ER orden)

I.2. Estabilidad. Teoría de Chapas

En la “Teoría de Chapas” se establece que todos los puntos que conforman un cuerpo rígido o forma resistente cualesquiera se encuentran contenidos en plano, en el caso bidimensional, al cual denominaremos “chapa”, siendo sus G.D.L. equivalentes a los del cuerpo rígido.

Luego entenderemos que una chapa contendrá el o los elementos que están conectados de tal forma que se comportan como un solo cuerpo rígido.

I.2. Estabilidad. Teoría de Chapas

Estructuras consideradas como Chapas

a) Viga simplemente apoyada

b) Armadura o cercha

CHAPA

c) Pórtico estructural

I.2. Estabilidad. Teoría de ChapasSi consideramos la chapa mas simple que puede existir en el plano, definida por el triangulo ABC de la Figura observaremos que presenta los siguientes G.D.L. como cuerpo rígido

a) Traslación en x

(xA, yA)

(xC, yC)

(xB, yB)(x’A, yA) (x’B, yB)

(x’C, yC)

A

C

B A’ B’

C’

y

x

b) Traslación en y

(xC, yC)(xA, y’A) (xB, y’B)

(xC, y’C)

(xA, yA) (xB, yB)A

C

B

A’ B’

C’

y

x

c) Rotación respecto al punto

A (xA, yA)

(xC, yC)

(xB, yB)

(x’B, y’B)

(x’C, y’C)

A

C

B

B’

C’y

x

G.D.L. 1 Chapa = 3

I.2. Estabilidad. Criterios una Chapa

Criterio de Estabilidad Nº 1: La chapa deberá poseer una combinación de vínculos externos que genere al menos tres restricciones. (Condición necesaria pero no suficiente).

Número de Restricciones por Vínculos Externos Existentes Nº Rest. VEE

Nº Rest. VEE ≥ Nº Rest. VEmin = 3

Número de Restricciones por Vínculos Externos Mínimo Nº Rest. VEmin

Nº Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + Nº Rod.


Caso de Estudio

Nº Rest. VEE = 3 ≥ Nº Rest. VEmin = 3 (Cumple)

Aplicando Teoría de Chapas

Nº Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + Nº Rod.

A B

CHAPA

A B

Nº Rest. VEE = 3 x 0 + 2 x 1 + 1 = 3

Estructura Presumiblemente Estable

I.2. Estabilidad. Criterios una ChapaCriterio de Estabilidad Nº 2: La chapa deberá poseer un mínimo de tres CIR (No alineados ni concurrentes) lo que equivale a decir que la chapa posea un mínimo de tres direcciones de CIR no concurrentes ni paralelos entre si.

Ubicación del CIR por los vectores de corrimiento

i

j

CHAPA

CIR

DIR CIR (vi)

DIR CIR (vj) iv

jv

DIR CIR 1DIR CIR 2

DIR CIR 3CIR O1

CIR O2CIR O3

CHAPA


Cumple el Criterio Nº 2 La Estructura es Estable

DIR CIR 1 DIR CIR 3

DIR CIR 2

CHAPA

CIR O1 CIR O2

CIR O3

A B

1Bv

3Bv

Caso de EstudioA B

Análisis del Problema

I.2. Estabilidad. Criterios varias ChapasCriterio de Estabilidad Nº 1: La estructura deberá poseer una combinación de vínculos externos que genere al menos un número de restricciones igual al Nº de Rest. VEmin. (Condición necesaria pero no suficiente).

Nº Rest. VEE ≥ Nº Rest. VEmin

N = Número de Chapas que conforman la estructura

Nº Rest. VEE + Nº Rest. VIE ≥ G.D.L (3 x N)

Nº Rest. VEmin = 3 x N - Nº Rest. VIE

CHAPA 1

CHAPA 2 CHAPA 3 CHAPA 4

CHAPA 5

I.2. Estabilidad. Criterios varias Chapas

n = Número de Chapas que se unen en el nodo

N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8

Nº Rest. VI = [2 x (n – 1)] x c/Art. + [1] x c/Rod.

CHAPA 1


CHAPA 5

CHAPA 1


CHAPA 5

N° de Rest. VEE = 3 x 2 + 2 x 1 + 0 = 8 ≥ Nº Rest. VEmin

Solución Propuesta

Estructura Presumiblemente Estable

I.2. Estabilidad. Criterios una ChapaCriterio de Estabilidad Nº 2: Cada una de las chapas que conforman la estructura deberá poseer un mínimo de tres CIR (No alineados ni concurrentes) lo que equivale a decir que cada chapa posea un mínimo de tres direcciones de CIR no concurrentes ni paralelos entre si.


DIR O1

O3

O1’ = O2

v4

v3

DIR O2 = DIR O3

O4 = O5’

CHAPA 1

CHAPA 2CHAPA 3

CHAPA 4

CHAPA 5

DIR O5

O’3 = O4’

Estable

Estable

EstableEstable

Estable

biela

Determinar si la estructura de la Figura es estable. Explique y

Justifique su respuesta.

I.2. Estabilidad. Ejercicios Resueltos

Identificación de las chapas que conforman la estructura.

biela

1

2

34

5


Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 1 para la estructura.

Nº de Rest. VEE = 3 x Nº Emp. + 2 x Nº Art. + 1 x Nº Rod.

Nº de Rest. VEE = (3 x 1) + (2 x 0) + (1 x 5) = 8

N° de Rest. VEmin = 3 x 5 – 2 x (2 – 1) x 3 – 1 = 8

Nº de Rest. VEE = 8 ≥ N° de Rest. VEmin = 8 (Cumple)

La Estructura es presumiblemente ESTABLE


Verificar el Criterio de Estabilidad Nº 2 para todas las chapas que conforman la estructura.

biela

1

2

34

5

DIR CIR O1

DIR CIR O’2

O’1=O’’2

DIR CIR O’5

DIR CIR O’’5

O5

DIR CIR O’4

DIR CIR O’’4

DIR CIR O'2 = DIR CIR O3

O’’’5=O4

O’’4=O3


O4

v4

v5





biela

biela

biela

biela

Identificación de las chapas que conforman la estructura

1

2

3


biela

biela

biela

biela



Nº de Rest. VEE = (3 x 0) + (2 x 2) + (1 x 3) = 7

N° de Rest. VEmin = 3 x 3 – 2 x (2 – 1) – 1 = 6





O3

O’3

biela

biela

biela

biela

1

2

3

DIR CIR O’2DIR CIR O’1

DIR CIR O’’1

O1 = O'2


DIR CIR O’’2 = DIR CIR O3O2

No Cumple el Criterio Nº 2 La Estructura es Inestable

Determinar si la estructura de la Figura es estable. Explique y Justifique su respuesta.

biela

biela


Identificación de las chapas que conforman la estructura.

2 4

biela

biela

1

3 5

6




Nº de Rest. VEE = (3 x 0) + (2 x 4) + (1 x 3) = 11

N° de Rest. VEmin = 3 x 6 – 2 x (2 – 1) x 3 – 2 x (3 – 1) = 8





biela

biela

1

3

5

DIR CIR O’1

DIR CIR O1

O’1

O5

O6O'6

4

6

2

O’5=O’’6=O4

O3

O’3=O’2

O1=O’’2

DIR CIR O4

O2= O’’4


v3v2


I.3. Determinación e Indeterminación

Un sistema será DETERMINADO cuando el número de incógnitas existentes, es igual al número de ecuaciones disponibles

Número de Incógnitas = Número de Ecuaciones

Determinación o Indeterminación

Si el Nº Incog. > Nº Ec. Sistema Indeterminado

Si el Nº Incog. < Nº Ec. Sistema Inconsistente

Interna (N,V,M,T)

Estática (Fuerzas)

Externa (Reacciones)

Cinemática (Desplazamientos)



I.2. Estabilidad. Ejercicio Propuesto

biela

biela

biela

biela

biela

I.3. Determinación e IndeterminaciónGrado de Indeterminación Estática (GIE): Es el numero fuerzas (internas y externas) que no pueden determinarse por las ecuaciones de la Estática de cuerpos rígidos.

Si el GIE = 0 Estructura Determinada

GIE = Nº Incog. - Nº Ec. Estatica C.R.

Si el GIE < 0 Estructura Inestable

Si el GIE > 0 Estructura Indeterminada

Interna (GIEI)GIE

Externa (GIEE)

Total (GIEE + GIEI)

I.3.1. Indeterminación EstáticaEcuaciones de Condición del nodo (Sn): Son ecuaciones de estática adicionales que se generan en las uniones articuladas (vínculos de 2DO orden) y en los rodillos (vínculos de 1ER orden) debido a la posibilidad de separar los elementos alli conectados.

Sn = N – 1 en donde N es el Nº de elementos conectados en el nodo considerado

Interna (Si)Sn

Externa (Se)

Total (Se + Si) a) Estructura para analisis

A

B

C

b) Despiece de la estructura en B

RCx C

A

B B

RAx

RCy RCy

RBx RBx

RBy RBy

I.3.1. Indeterminación Estática Se = Ne – 1 en donde Ne es el Nº de “chapas” o cuerpos rigidos conectados a tierra que pueden separarse en el nodo a estudiar considerando que el resto de las uniones permanecen conectadas.

A

C

B

D E

F

Se = 1 Ne

Ne

Se = 1

Ne

Ne

Se = 1

Caso de Estudio

A

C

B

D E

F

A

C

B

D E

F

I.3.1. Indeterminación Estática

Si = Ni – 1 en donde Ni es el Nº de elementos que pertenecen a un cuerpo rigido que forman áreas cerradas en el nodo a estudiar.

A

C

B

D E

F

Caso de Estudio

Si = 1 Ni

Ni A1

Si = 1 Ni Ni

A1 A2Ni

A

C

B

D E

F

A

C

B

D E

F

Si = 2


Para el GIEE el numero total de componentes de reacción (R) generados por los vínculos externos existentes en la estructura representa las incógnitas estáticas, mientras que el número de ecuaciones disponibles viene dado por las tres Ecuaciones del Equilibrio Estático global mas las Se de todos los nodos articulados existentes en la estructura, según la expresión

GIEE = R – (3 + Se)


Para el GIEI las incógnitas estáticas son función de las áreas cerradas, observándose que por cada una se generan 6 incógnitas internas menos 3 ecuaciones de la estática de cuerpos rígidos igual a 3 por Area (3 x A) menos las Si de todos los nodos articulados existentes en la estructura, según la expresión

GIEI = 3 x A – Si

GIEI = b - 2 x n – 3

Para Armaduras se tiene la expresión particular

en donde b es el Nº de barras y n el Nº de nodos

Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de la estructura estable indicada en la Figura.

biela


Identificar los nodos articulados que representan unión entre chapas para determinar los Se.

biela1

2

34

5

Se=1

Se=1

Se=1

Se=1


Se=1

Identificar los nodos articulados que representan unión entre elementos de una misma chapa que forman áreas cerradas para determinar los Si.

Si=1

Si=1

Si=1Si=1

Si=3

Si=1

Si=2Si=2

Si=2Si=2 Si=3 Si=3

Si=3Si=4

Si=2

Si=2

Si=2

Si=2

Si=4

Si=4

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

(11)

(10)

(9)

(8)

(7)

(6)(12)

(15)(14)

(13)

biela


Calculamos la Indeterminación Estática Interna, Externa y Total.

000

045)153(3

05383

GIEEGIEIGIET

SAGIEI

SRGIEE

i

e

Estructura Estáticamente Determinada


Determinar el grado de indeterminación estática interna, externa y total de la estructura indicada en la Figura.


biela

biela

biela

biela


1

2

3

Se=1

Se=1


Se=1

biela

biela

biela

biela


(7)(6)(5)(4)

(3)

(2)

(1)

(9)(8)

(10)

Si=3 Si=2 Si=3

Si=3Si=2

Si=2

Si=2Si=2

Si=1

Si=3

Si=1Si=1

Si=1Si=2 Si=5


(11)

biela

biela

biela

biela


110

033)113()3(

13373

GIEEGIEIGIET

SAGIEI

SRGIEE

i

e

Estructura Estáticamente Indeterminada de 1ER grado



biela

biela


2 4

biela

biela

1

3 5

6


Se=1

Se=2Se=1

Se=1



biela

biela

(8) (9)

(6)

(7)

(5)

(4)

(3)

(1)

(2)

Si=1

Si=2

Si=3Si=3

Si=2Si=3

Si=1

Si=1

Si=1Si=1

Si=3



936

621)93()3(

353113

GIEEGIEIGIET

SAGIEI

SRGIEE

i

e

Estructura Estáticamente Indeterminada de 9NO grado


I.2. Estabilidad. Ejercicio Propuesto

biela

biela

biela

biela

biela


I.3.2. Indeterminación Cinemática

Grado de Indeterminación Cinemática (GIC): Si el número de componentes de desplazamiento o Grados de Libertad Cinematicos (G.D.L.C.) debido a la deformación elástica que posea la estructura es diferente de cero entonces la estructura será INDETERMINADA CINEMATICAMENTE.

Rotaciones Traslaciones Si el GIC = Nº Rotaciones + Nº Traslaciones

GIC = Nº + Nº


Análisis Cinemático Directo: Consiste en definir sobre la estructura sus Grados de Libertad Cinemáticos (G.D.L.C.) en función de su geometría y formas de vinculación de sus elementos.

Caso de Estudio

AB

GIC = Nº + Nº = 1 + 2 = 3

AB

vB

B’ B

G.D.L.C

B

Bv

B’

A

BBh

B’A

AB

B


Caso de Estudio

GIC = Nº + Nº = 2 + 1 = 3

G.D.L.C

C

A D

B C’

A D

Ch

B’

B

C

BC

Bh

A

B C

D

B

A

BC

D

C

C’

A D

Ch

B’B

C

Bh


Caso de Estudio

GIC = 2 + 4 = 6

C

A D

BvB

hC

hBB

C

vC

A D

BB’

C

C’

A D

B C

Caso de Estudio

CC’

A D

ChB’’B

BCB

A

GIC = 4 + 1 = 5

I.3.2. Indeterminación CinemáticaImagen Cinemática (IC): Es un sistema equivalente que consiste en reemplazar todos los apoyos empotrados y los nodos internos rígidos de la estructura en estudio por articulaciones, permitiéndole a la estructura libertad de movimiento, haciéndola “Inestable”.

Caso de Estudio

Imagen Cinemática

A

D

B

C

E

F

A

D

E

B

C

F


Entonces el Nº de o desplazabilidad de la estructura es igual al numero mínimo de rodillos ficticio que se requiere para restringir todos los posibles G.D.L. de traslación de la Imagen Cinemática de la estructura, haciéndola “Estable”.

Desplazabilidad del pórtico

CIR

E’

B’ D’

F’

A

D

E

B

C

F

CIR

= 2

CIR

F’

A

D

E

B

C

F

E’

CIR

Posible ubicación del 1ER rodillo ficticio

CIR

A

D

E

B

C

F

CIR

CIR

Posible ubicación del 2DO rodillo ficticio

Determinar el GIC por análisis directo de la estructura indicada.

A

C

D

G

H

F

E

B


Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura

A

C

D

G

H

F

E

B

= 12


A

C

D

G

H

F

E

B

= 2


Determinamos las traslaciones a partir de la imagen cinemática de la estructura

H I

G

E F

CD

J

B

A



H I

G

E F

CD

J

B

A

Determinamos las rotaciones en los nodos de la estructura


= 19

I

G

E F

C

J

B

A



= 3

D

H


Diagramas de Williot: Es un método grafico que permite conocer la deformación elástica producida para cada desplazamiento de traslación de la estructura.

Desplazabilidad Caso de Estudio

A

DB

C

= 1

A

DB

C



FC

D E

B

A


Al liberar el rodillo ficticio empleado para restringir la desplazabilidad existente se obtiene la configuración deformada elásticamente, en donde las letras con apostrofe (’) corresponden a los puntos desplazados.

Diagrama de Williot para la traslación

Estructura Deformada

B’

C’

B

A

DB

C

C

C = sen sen 2

= B A’ = D’ B’

C

C’

POLO

BC DC

A

C

D

G

H

F

E

B

= 2



B’=C’=G’=H’

I’

D’

E = F = D

seni

i

DF =

BI

FG =

G

A

C

D

H

F

E

B

I E’

D’F’

I’

A’


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo en F

= F’ = E’

FG

ED

EI

sen

E

cos

G

senI

tan/

A’=B’=C’=D’=H’E’

F’G’

I’

F G

I

EF

GH

DE

BI

FG

EI


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo en G

A

C

D

G

H

F

E

B

I

I’

G’

E’



I

G

E F

C

J

B

A

= 3

D

H

BC

A’=G’=J’=H’=J’ F’=

B’

senB


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo en F

C’

EF=

EG=

E’= D’=

FD=

DE

CE

CD=

AB

BC

H I

G

E F

C D

J

B

A

B’C’ D’

F’E’

H

A’=B’=C’=D’=E’=G’=J’H’

I’

I

H

sen

HI


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo horizontal en H

HI

G

E F

C D

J

B

A

H’I’

HI

IJ

BC

A’=G’=J’=H’=J’ F’=

B’

senB


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo vertical en H

C’

EF=

EG=

E’= D’=

FD=

DE

CE

CD=

AB

BC

H I

G

E F

C D

J

B

A

C’

D’

F’

E’

H

H’



= 3

FC

DE

B

A


Trazamos el Diagrama de Williot Liberando el Rodillo en B

cosD

BEDC

A’= F’

C’ = D’=E’AB=DE

B’=C’

CB

C

DE

B

A

B’

C’

D’

F

E’

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