2 .5 Cuerpos en cada libre 53

2.5 Cuerpos en cada libreEl ejemplo ms conocido de movimiento con aceleracin (casi) constante es la cadade un cuerpo bajo la inuencia de la atraccin gravitacional de la Tierra. Dicho movi-miento ha interesado a lsofos y cientcos desde la Antigedad. En el siglo IV a.C.,Aristteles pensaba (errneamente) que los objetos pesados caan con mayor rapidezque los ligeros, en proporcin a su peso. Diecinueve siglos despus, Galileo (vase laseccin 1.1) arm que los cuerpos caan con una aceleracin constante e indepen-diente de su peso.

Los experimentos muestran que si puede omitirse el efecto del aire, Galileo est enlo cierto: todos los cuerpos en un lugar especco caen con la misma aceleracin ha-cia abajo, sea cual fuere su tamao o peso. Si adems la distancia de cada es pequeaen comparacin con el radio terrestre, y si ignoramos los pequeos efectos debidos ala rotacin de la Tierra, la aceleracin es constante. El modelo idealizado que surgede tales supuestos se denomina cada libre, aunque tambin incluye el movimientoascendente. (En el captulo 3 extenderemos el estudio de la cada libre para incluir elmovimiento de proyectiles, que se mueven tanto horizontal como verticalmente.)

La figura 2.22 es una fotografa de una pelota que cae tomada con una lmparaestroboscpica que produce una serie de destellos intensos a intervalos iguales. Encada destello, la pelcula registra la posicin de la pelota. Como los intervalos entre

incisos a) y c), y la ecuacin (2.8) (que relaciona velocidad y tiempo)en el inciso b).EJECUTAR: a) Buscamos el valor del tiempo t cuando el conductor yel polica estn en la misma posicin. Aplicando la ecuacin (2.12),

axt2, a cada vehculo, tenemos:

Puesto que xM 5 xP en el tiempo t, igualamos las dos expresiones ydespejamos t:

Hay dos instantes en que los vehculos tienen la misma coordenada x.El primero, t 5 0, es cuando el conductor pasa por el cruce donde estestacionada la motocicleta. El segundo, t 5 10 s, es cuando el policaalcanza al conductor.

t 5 0 o t 52vM0x

aPx5

2 1 15 m/s 23.0 m/s2 5 10 s

vM0x t 512

aPx t2

xP 5 0 1 1 0 2 t 1 12 aPx t2 5 12 aPx t2 xM 5 0 1 vM0x t 1

12

1 0 2 t2 5 vM0x tx 5 x0 1 v0x t 1

12

b) Queremos la magnitud de la velocidad del polica vPx en el ins-tante t obtenido en a). Su velocidad en cualquier momento est dadapor la ecuacin (2.8):

Usando t 5 10 s, hallamos vPx 5 30 m>s. Cuando el polica alcanza alconductor, va al doble de su rapidez.

c) En 10 s, la distancia recorrida por el conductor es

y la distancia que el polica recorre es

Esto comprueba que cuando el polica alcanza al conductor, ambos hanrecorrido la misma distancia.

EVALUAR: La gura 2.21b muestra las grcas de x contra t para am-bos vehculos. Aqu vemos tambin que hay dos instantes en que la posicin es la misma (donde se cruzan las grcas). En ninguno deellos los dos vehculos tienen la misma velocidad (es decir, las grcasse cruzan con distinta pendiente). En t 5 0, el polica est en reposo; en t 5 10 s, la rapidez del polica es del doble que la del conductor.

xP 512

aPx t2 5

12

1 3.0 m/s2 2 1 10 s 2 2 5 150 mxM 5 vM0x t 5 1 15 m/s 2 1 10 s 2 5 150 m

vPx 5 vP0x 1 aPx t 5 0 1 1 3.0 m/s2 2 t

Evale su comprensin de la seccin 2.4 Se muestran cuatro posibles grcas vx-t para los dos vehculos del ejemplo 2.5. Cul es la grca correcta?

a) b) c) d)

vx

O 10t (s)

Conductor

Polica

vx

O 10t (s)

Conductor

Polica

vx

O 10t (s)

Conductor

Polica

vx

O 10t (s)

ConductorPolica

2.22 Fotografa con mltiples destellos de una pelota en cada libre.

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54 C APTU LO 2 Movimiento en lnea recta

destellos son iguales, la velocidad media de la pelota entre dos destellos es propor-cional a la distancia entre las imgenes correspondientes en la fotografa. El aumen-to en las distancias muestra que la velocidad cambia continuamente: la pelotaacelera hacia abajo. Al medir cuidadosamente constatamos que el cambio de veloci-dad es el mismo en cada intervalo, as que la aceleracin de la pelota en cada librees constante.

La aceleracin constante de un cuerpo en cada libre se llama aceleracin debidaa la gravedad, y denotamos su magnitud con la letra g. Por lo regular, usaremos elvalor aproximado de g cerca de la supercie terrestre:

(valor aproximado cerca de la supercie terrestre)El valor exacto vara segn el lugar, as que normalmente slo lo daremos con dos ci-fras signicativas. Dado que g es la magnitud de una cantidad vectorial, siempre espositiva. En la supercie de la Luna, la aceleracin debida a la gravedad se debe a lafuerza de atraccin de la Luna, no de la Tierra, y g 5 1.6 m>s2. Cerca de la superciedel Sol, g5 270 m>s2.

En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones para aceleracin constante quededujimos en la seccin 2.4. Sugerimos al lector que repase las estrategias de resolu-cin de problemas de esa seccin antes de estudiar estos ejemplos.

5 32 ft/s2 g 5 9.8 m/s2 5 980 cm/s2

Ejemplo 2.6 Moneda en cada libre

Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa;parte del reposo y cae libremente. Calcule su posicin y su velocidaddespus de 1.0, 2.0 y 3.0 s.

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Cae libremente signica tiene una aceleracinconstante debida a la gravedad, as que podemos usar las ecuacionespara aceleracin constante en la determinacin de nuestras incgnitas.

PLANTEAR: El lado derecho de la gura 2.23 muestra nuestro diagra-ma de movimiento para la moneda. El movimiento es vertical, de ma-nera que usamos un eje de coordenadas vertical y llamaremos a lacoordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuacionespara aceleracin constante por y. Tomaremos el origen O como elpunto de partida y la direccin hacia arriba como positiva. La coorde-nada inicial y0 y la velocidad inicial v0y son ambas cero. La acelera-cin es hacia abajo, en la direccin y negativa, as que ay 5 2g 529.8 m>s2. (Recuerde que por denicin g siempre es positiva.) Porlo tanto, nuestras incgnitas son los valores de y y vy en los tres ins-tantes especicados. Para obtenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y(2.8), sustituyendo x por y.EJECUTAR: En un instante t despus de que se suelta la moneda, suposicin y su velocidad son

Cuando t 5 1.0 s, y 5 (24.9 m>s2) (1.0 s)2 5 24.9 m y vy 5 (29.8m>s2) (1.0 s) 5 29.8 m>s; despus de 1 s, la moneda est 4.9 m de-bajo del origen (y es negativa) y tiene una velocidad hacia abajo (vy es negativa) con magnitud de 9.8 m>s.

La posicin y la velocidad a los 2.0 s y 3.0 s se obtienen de lamisma forma. Puede usted demostrar que y 5 219.6 m y vy 5219.6 m>s en t 5 2.0 s, y que y 5 244.1 m y vy 5 229.4 m>s en t 5 3.0 s?

EVALUAR: Todos los valores que obtuvimos para vy son negativosporque decidimos que el eje 1y apuntara hacia arriba; pero bienpodramos haber decidido que apuntara hacia abajo. En tal caso, laaceleracin habra sido ay 5 1g y habramos obtenido valores posi-tivos para vy. No importa qu eje elija; slo asegrese de decirlo claramente en su solucin y confirme que la aceleracin tenga elsigno correcto.

vy 5 v0y 1 ay t 5 0 1 1 2g 2 t 5 1 29.8 m/s2 2 t y 5 y0 1 v0y t 1

12

ay t2 5 0 1 0 1

12

1 2g 2 t2 5 1 24.9 m/s2 2 t2La Torre Inclinada Nuestra grfica del problema

2.23 Una moneda en cada libre desde reposo.

1.7 Se deja caer limonada desde un globoaerosttico

1.10 Cada de un saltador con garrocha

O N L I N E

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2 .5 Cuerpos en cada libre 55

Ejemplo 2.7 Movimiento ascendente y descendente en cada libre

Imagine que usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desdela azotea de un edicio. La pelota sale de la mano, en un punto a la al-tura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15.0 m>s,quedando luego en cada libre. Al bajar, la pelota libra apenas el barandal. En este lugar, g5 9.8 m>s2. Obtenga a) la posicin y veloci-dad de la pelota 1.00 s y 4.00 s despus de soltarla; b) la velocidadcuando la pelota est 5.00 m sobre el barandal; c) la altura mxima alcanzada y el instante en que se alcanza; y d) la aceleracin de la pelota en su altura mxima.

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Las palabras cada libre en el enunciado del proble-ma implican que la aceleracin es constante y debida a la gravedad.Las incgnitas son la posicin [en los incisos a) y c)], la velocidad [enlos incisos a) y b)] y la aceleracin [en el inciso d)].PLANTEAR: En la gura 2.24 (que tambin es un diagrama de movi-miento para la pelota), la trayectoria descendente se muestra desplaza-da un poco a la derecha de su posicin real por claridad. Sea el origenel barandal, donde la pelota sale de la mano, y sea la direccin positivahacia arriba. La posicin inicial y0 es cero, la velocidad inicial v0y es115.0 m>s y la aceleracin es aY 5 2g 5 29.80 m>s2. Usaremos otravez las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posicin y la veloci-dad, respectivamente, en funcin del tiempo. En el inciso b), nos pidenhallar la velocidad en cierta posicin, no en cierto tiempo, as que nosconvendr usar la ecuacin (2.13) en esa parte.EJECUTAR: a) La posicin y y la velocidad vy, en cualquier instante tuna vez que se suelta la pelota estn dadas por las ecuaciones (2.12) y(2.8), cambiando las x por y:

5 15.0 m/s 1 1 29.80 m/s2 2 t vy 5 v0y 1 ay t 5 v0y 1 1 2g 2 t

5 1 0 2 1 1 15.0 m/s 2 t 1 12 1 29.80 m/s2 2 t2 y 5 y0 5 v0y t 1

12

ay t2 5 y0 1 v0y t 1

12

1 2g 2 t2

Cuando t 5 1.00 s, estas ecuaciones dan

La pelota est 10.1 m sobre el origen (y es positiva) y se mueve haciaarriba (vy es positiva) con rapidez de 5.2 m>s, menor que la rapidez ini-cial porque la pelota frena mientras asciende.

Cuando t5 4.00 s, las ecuaciones para y y vy en funcin del tiempot dan

La pelota pas su punto ms alto y est 18.4 m debajo del origen (y esnegativa); tiene velocidad hacia abajo (vy es negativa) de magnitud24.2 m>s. Conforme sube, la pelota pierde rapidez, luego la gana aldescender; se mueve a la rapidez inicial de 15.0 m>s cuando pasa haciaabajo por su punto de lanzamiento (el origen) y contina ganando rapi-dez conforme desciende por debajo de este punto.

b) La velocidad vy en cualquier posicin y est dada por la ecua-cin (2.13) cambiando las x por y:

Con la pelota a 5.00 m sobre el origen, y 5 15.00 m, as que

Obtenemos dos valores de vy, pues la pelota pasa dos veces por elpunto y 5 15.00 m (vase la gura 2.24), una subiendo con vy posi-tiva y otra bajando con vy negativa.

c) En el instante en que la pelota llega al punto ms alto, est mo-mentneamente en reposo y vy 5 0. La altura mxima y1 puede obte-nerse de dos formas. La primera es usar la ecuacin (2.13) y sustituirvy 5 0, y0 5 0 y ay 5 2g:

La segunda consiste en calcular el instante en que vy 5 0 usando laecuacin (2.8), vy 5 v0y 1 ayt, y sustituir este valor de t en la ecuacin(2.12), para obtener la posicin en ese instante. Por la ecuacin (2.8),el instante tl en que la pelota llega al punto ms alto es

Sustituyendo este valor de t en la ecuacin (2.12) obtenemos

Observe que la primera forma de hallar la altura mxima es ms senci-lla, ya que no es necesario calcular primero el tiempo.

112

1 29.8 m/s2 2 1 1.53 s 2 2 5 111.5 my 5 y0 1 v0y t 1

12

ay t2 5 1 0 2 1 1 15 m/s 2 1 1.53 s 2

t1 5v0y

g5

15.0 m/s9.80 m/s2 5 1.53 s

vy 5 0 5 v0y 1 1 2g 2 t1

y1 5v0y

2

2g5

1 15.0 m/s 2 22 1 9.80 m/s2 2 5 111.5 m

0 5 v0y 2 1 2 1 2g 2 1 y1 2 0 2

vy 5 611.3 m/s vy

2 5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 29.80 m/s2 2 1 5.00 m 2 5 127 m2/s2 5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 29.80 m/s2 2 y

vy 2 5 v0y

2 1 2ay 1 y 2 y0 2 5 v0y 2 1 2 1 2g 2 1 y 2 0 2

y 5 218.4 m vy 5 224.2 m/s

y 5 110.1 m vy 5 15.2 m/s

La pelota realmente se mueve hacia arribay despus hacia abajo; por claridad,presentamos una trayectoria conforma de U.

t 5 0, v0y 5 15.0 m/s

t 5 1.00 s, vy 5 ?y 5 ?y 5 ?

y 5 ?

y 5 5.00 m

y 5 0

y

t 5 4.00 svy 5 ?

vy 5 ?t 5 ?

t 5 ?vy 5 0

ay 5 2g

t 5 ?, vy 5 ?

5 29.80 m/s2

2.24 Posicin y velocidad de una pelota que se lanza vertical-mente hacia arriba.

contina

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56 C APTU LO 2 Movimiento en lnea recta

d) CUIDADO Un error acerca de la cada libre Es un errorcomn pensar que en el punto ms alto del movimiento en cada librela velocidad es cero y la aceleracin es cero. Si fuera as, la pelotaquedara suspendida en el punto ms alto en el aire para siempre! Re-cuerde que la aceleracin es la tasa de cambio de la velocidad. Si laaceleracin fuera cero en el punto ms alto, la velocidad de la pelota yano cambiara y, al estar instantneamente en reposo, permanecera enreposo eternamente.

De hecho, en el punto ms alto la aceleracin sigue siendo ay52g529.80 m>s2, la misma que cuando est subiendo y cuando est bajan-do. Por ello, la velocidad de la pelota est cambiando continuamente,de valores positivos a valores negativos, pasando por cero.

EVALUAR: Una forma til de vericar cualquier problema de movi-miento consiste en dibujar las grcas de posicin y de velocidad enfuncin del tiempo. La gura 2.25 muestra estas grcas para esteproblema. Como la aceleracin es constante y negativa, la grca y-tes una parbola con curvatura hacia abajo, y la grca vy-t es una recta con pendiente negativa.

Antes de t 5 1.53 sla velocidades positiva.

Antes de t 5 1.53 s la pelotase mueve hacia arriba.

Despus det 5 1.53 s lapelota se muevehacia abajo.

a) Grfica y-t (la curvatura eshacia abajo porque ay 5 2g es negativa)

510

15

220

215210

25

225

0

b) Grfica vy-t (recta con pendientenegativa porque ay 5 2g es constante y negativa)

431t (s)

2

vy (m/s)

431t (s)

2

5

10

15y (m)

220

215

210

25

0Despus det 5 1.53 sla velocidades negativa.

2.25 a) Posicin y b) velocidad en funcin del tiempo para unapelota lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m>s.

Ejemplo 2.8 Dos soluciones o una?

Determine el instante en que la pelota del ejemplo 2.7 est 5.00 m pordebajo del barandal.

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Se trata de nuevo de un problema de aceleracin cons-tante. La incgnita es el tiempo en que la pelota est en cierta posicin.

PLANTEAR: Otra vez elegimos el eje y como en la gura 2.24, as quey0, v0y y ay 5 2 g tienen los mismos valores que en el ejemplo 2.7. Denuevo, la posicin y en funcin del tiempo t est dada por la ecuacin(2.12):

Queremos despejar t con y 5 2 5.00 m. Puesto que la ecuacin inclu-ye t 2, es una ecuacin cuadrtica en t.

EJECUTAR: Primero replanteamos la ecuacin en la forma cuadrticaestndar para una x desconocida, Ax2 1 Bx 1 C 5 0:

entonces, A 5 g>2, B 5 2v0y y C 5 y 2 y0. Usando la frmula cua-drtica (vase el Apndice B), vemos que esta ecuacin tiene dos soluciones:

Sustituyendo los valores y0 5 0, v0y 5 115.0 m>s, g 5 9.80 m>s2 y y 5 25.00 m, obtenemos

t 5 13.36 s o t 5 20.30 s

t 51 15.0 m/s 2 6" 1 15.0 m/s 2 2 2 2 1 9.80 m/s2 2 125.00 m 2 0 2

9.80 m/s2

5v0y 6 "v0y 2 2 2g 1 y 2 y0 2

g

52 1 2v0y 2 6 " 1 2v0y 2 2 2 4 1 g/2 2 1 y 2 y0 2

2 1 g/2 2 t 5

2B6"B2 2 4AC2A

1 12 g 2 t2 1 1 2v0y 2 t 1 1 y 2 y0 2 5 At2 1 Bt 1 C 5 0y 5 y0 1 v0y t 1

12

ay t2 5 y0 1 v0y t 1

12

1 2g 2 t2

Para decidir cul de stas es la respuesta correcta, la pregunta clave es:son lgicas estas respuestas? La segunda, t 5 20.30 s, simplemen-te es absurda; se reere a un instante 0.30 s antes de soltar la pelota!Lo correcto es t 5 13.36 s. La pelota est 5.00 m debajo del barandal3.36 s despus de que sale de la mano.

EVALUAR: De dnde sali la solucin errnea t 5 20.30 s? Re-cuerde que la ecuacin se basa en el su-puesto de que la aceleracin es constante para todos los valores de t,positivos, negativos o cero. Tal cual, esta ecuacin nos dira que la pelota se ha estado moviendo hacia arriba en cada libre desde losalbores del tiempo, y pas por la mano en y 5 0 en el instante especialque decidimos llamar t 5 0, y despus continu su cada libre. Sin embargo, todo lo que esta ecuacin describa como sucedido antes de t5 0 es ccin pura, ya que la pelota entr en cada libre slo despusde salir de la mano en t 5 0; la solucin t 5 20.30 s es parte de tal ccin.

Repita estos clculos para determinar cundo la pelota est 5.00 msobre el origen (y 5 15.00 m). Las dos respuestas son t 5 10.38 s y t 5 12.68 s; ambos son valores positivos de t y se reeren al movi-miento real de la pelota una vez soltada. El primer instante es cuandola pelota pasa por y 5 15.00 m de subida, y el segundo, cuando pasapor ah de bajada. (Compare esto con el inciso b) del ejemplo 2.7.)

Determine tambin los instantes en que y 5 115.0 m. En este caso, ambas soluciones requieren obtener la raz cuadrada de un n-mero negativo, as que no hay soluciones reales. Esto es lgico; en elinciso c) del ejemplo 2.7 vimos que la altura mxima de la pelota es y 5 111.5 m, as que nunca llega a y 5 115.0 m. Aunque una ecua-cin cuadrtica como la (2.12) siempre tiene dos soluciones, a vecesuna o ambas soluciones no tienen sentido fsico.

y 5 y0 1 v0y t 112 1 2g 2 t2

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2 .6 *Velocidad y posicin por integracin 57

Aceleracin: conocidaVelocidad: por determinarPosicin: por determinar

A Londres

DeMiami

N

EOS

2.27 La posicin y la velocidad de unavin que cruza el Atlntico se encuentranintegrando su aceleracin con respecto altiempo.

2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerador de un automvil, la aceleracinresultante no es constante: cuanto mayorsea la rapidez del auto, ms lentamente adquirir rapidez adicional. Un auto ordinario tarda el doble en acelerar de 50 km>h a 100 km>h que en acelerar de 0 a 50 km>h.

2.28 Una grca ax-t para un cuerpo cuyaaceleracin no es constante.

Evale su comprensin de la seccin 2.5 Si usted lanza una pelota hacia arriba con cierta rapidez inicial, sta cae libremente y alcanza una altura mxima hun instante t despus de que sale de su mano. a) Si usted arroja la pelota hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, qu nueva altura mxima alcanzar la pelota? b) Si usted lanza la pelota hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, cunto tiempo le tomar alcanzar su nueva altura mxima? i) ii) iii) t; iv) v) 2t.

t "2 ;t/"2 ;t/2;

h "2 ;

2.6 *Velocidad y posicin por integracinEsta seccin opcional es para estudiantes que ya aprendieron algo de clculo integral.En la seccin 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilneo con aceleracinconstante. Si ax no es constante, como es comn, no podremos aplicar las ecuacionesque deducimos en esa seccin (gura 2.26). Pero aun si ax vara con el tiempo, pode-mos usar la relacin vx5 dx>dt para obtener la velocidad vx en funcin del tiempo si laposicin x es una funcin conocida de t, y podemos usar ax 5 dvx>dt para obtener la aceleracin ax en funcin del tiempo si vx es una funcin conocida de t.

En muchas situaciones, sin embargo, no se conocen la posicin ni la velocidad enfuncin del tiempo, pero s la aceleracin. Cmo obtenemos la posicin y la veloci-dad a partir de la funcin de aceleracin ax(t)? Este problema surge al volar un avinde Norteamrica a Europa (gura 2.27). La tripulacin del avin debe conocer su po-sicin precisa en todo momento. Sin embargo, un avin sobre el ocano suele estarfuera del alcance de los radiofaros terrestres y del radar de los controladores de tr-co areo. Para determinar su posicin, los aviones cuentan con un sistema de navega-cin inercial (INS) que mide la aceleracin del avin. Esto se hace de forma anlogaa como sentimos cambios en la velocidad de un automvil en el que viajamos, auncon los ojos cerrados. (En el captulo 4 veremos cmo el cuerpo detecta la acelera-cin.) Dada esta informacin y la posicin inicial del avin (digamos, cierto embarca-dero en el Aeropuerto Internacional de Miami) y su velocidad inicial (cero cuandoest estacionado en ese embarcadero), el INS calcula y muestra la velocidad y posi-cin actuales del avin en todo momento durante el vuelo. (Los aviones tambin uti-lizan el sistema de posicin global, o GPS, para la navegacin; no obstante, estesistema complementa el INS, en vez de remplazarlo.) Nuestro objetivo en el resto de esta seccin es mostrar cmo se efectan estos clculos en el caso ms sencillo demovimiento rectilneo, con aceleracin variable en el tiempo.

Primero consideraremos un enfoque grco. La gura 2.28 es una grca de ace-leracin contra tiempo para un cuerpo cuya aceleracin no es constante. Podemos di-vidir el intervalo entre los tiempos tl y t2 en muchos intervalos ms pequeos,llamando Dt a uno representativo. Sea amed-x la aceleracin media durante Dt. Por laecuacin (2.4), el cambio de velocidad Dvx durante Dt es

Grcamente, Dvx es igual al rea de la tira sombreada con altura amed-x y anchura Dt,es decir, el rea bajo la curva entre los lados derecho e izquierdo de Dt. El cambio to-tal de velocidad en cualquier intervalo (digamos, t1 a t2) es la suma de los cambiosDvx en los subintervalos pequeos. De esta manera el cambio de velocidad total se representa grcamente con el rea total bajo la curva ax-t entre las lneas verticales t1 y t2. (En la seccin 2.4 demostramos que esto se cumpla para el caso especial enque la aceleracin es constante.)

En el lmite donde los Dt se hacen muy pequeos y muy numerosos, el valor deamed-x para el intervalo de cualquier t a t1 Dt se acerca a la aceleracin instantnea axen el instante t. En este lmite, el rea bajo la curva ax-t es la integral de ax (que en general es una funcin de t) de t1 a t2. Si v1x es la velocidad del cuerpo en t1 y v2x es la velocidad en t2, entonces,

(2.15)

El cambio en vx es la integral de la aceleracin ax con respecto al tiempo.

v2x 2 v1x 5 3v2x

v1x

dvx 5 3t2

t1

ax dt

Dvx 5 amed-x Dt

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58 C APTU LO 2 Movimiento en lnea recta

Ejemplo 2.9 Movimiento con aceleracin cambiante

Sally conduce su Mustang 1965 por una autopista recta. En el instantet5 0, cuando Sara avanza a 10 m>s en la direccin 1x, pasa un letreroque est en x5 50 m. Su aceleracin es una funcin del tiempo:

a) Deduzca expresiones para su velocidad y posicin en funcin deltiempo. b) En qu momento es mxima su velocidad? c) Cul es esavelocidad mxima? d) Dnde est el automvil cuando alcanza la ve-locidad mxima?

SOLUCIN

IDENTIFICAR: La aceleracin es funcin del tiempo, as que no pode-mos usar las frmulas para aceleracin constante de la seccin 2.4.

PLANTEAR: Utilizamos las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener la velocidad y la posicin en funcin del tiempo. Una vez que ten-gamos esas funciones, podremos contestar diversas preguntas acercadel movimiento.

EJECUTAR: a) En t5 0, la posicin de Sally es x0 5 50 m y su veloci-dad es v0x 5 10 m>s. Puesto que se nos da la aceleracin ax en funcindel tiempo, primero usamos la ecuacin (2.17) para obtener la veloci-dad vx en funcin del tiempo t. La integral de tn es con n 21, as que

5 10 m/s 1 1 2.0 m/s2 2 t 2 12 1 0.10 m/s3 2 t2 vx 5 10 m/s 1 3

t

032.0 m/s2 2 1 0.10 m/s3 2 t 4 dt

tn dt 5 1n 1 1 tn11

ax 5 2.0 m/s2 2 1 0.10 m/s3 2 tLuego usamos la ecuacin (2.18) para obtener x en funcin de t:

La gura 2.29 muestra las grcas de ax, vx y x en funcin del tiempo.Observe que, para cualquier t, la pendiente de la grca vx-t es igual alvalor de ax y la pendiente de la grca x-t es igual al valor de vx.

b) El valor mximo de vx se da cuando vx deja de aumentar y co-mienza a disminuir. En este instante, dvx>dt 5 ax5 0. Igualando a cerola expresin de la aceleracin,

c) Obtenemos la velocidad mxima sustituyendo t 5 20 s (cuandov es mxima) en la ecuacin para vx del inciso a):

5 30 m/s vmx-x 5 10 m/s 1 1 2.0 m/s2 2 1 20 s 2 2 12 1 0.10 m/s3 2 1 20 s 2 2

t 52.0 m/s2

0.10 m/s3 5 20 s 0 5 2.0 m/s2 2 1 0.10 m/s3 2 t

5 50 m 1 1 10 m/s 2 t 1 12 1 2.0 m/s2 2 t2 2 16 1 0.10 m/s3 2 t3 x 5 50 m 1 3

t

0 S10 m/s 1 1 2.0 m/s2 2 t 2 12 1 0.10 m/s3 2 t2 T dt

Podemos seguir exactamente el mismo procedimiento con la curva de velocidadcontra tiempo. Si x1 es la posicin de un cuerpo en t1 y x2 es su posicin en t2, por laecuacin (2.2) el desplazamiento Dx en un intervalo Dt pequeo es vmed-x Dt, dondevmed-x es la velocidad media durante Dt. El desplazamiento total x2 2 x1 durante t2 2 t1est dado por

(2.16)

El cambio en la posicin x (es decir, el desplazamiento) es la integral en el tiempo dela velocidad vx. Grcamente, el desplazamiento entre t1 y t2 es el rea bajo la curvavx-t entre esos dos instantes. [ste es el resultado que obtuvimos en la seccin 2.4 para el caso especial en que vx est dada por la ecuacin (2.8).]

Si tl 5 0 y t2 es cualquier instante posterior t, y si x0 y v0x son la posicin y la velo-cidad en t 5 0, respectivamente, entonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16)como:

(2.17)

(2.18)

Aqu, x y vx son la posicin y la velocidad en el instante t. Si conocemos la acelera-cin ax en funcin del tiempo y la velocidad inicial v0x, podremos usar la ecuacin(2.17) para obtener la velocidad vx en cualquier instante; es decir, podemos obtener vxen funcin del tiempo. Una vez conocida esta funcin, y dada la posicin inicial x0,podemos usar la ecuacin (2.18) para calcular la posicin x en cualquier instante.

x 5 x0 1 3t

0 vx dt

vx 5 v0x 1 3t

0 ax dt

x2 2 x1 5 3x2

x1

dx 5 3t2

t1

vx dt

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2 .6 *Velocidad y posicin por integracin 59

25

La grfica x-t se curvahacia abajo despusde t 5 20 s.

La grfica x-t se curvahacia arriba antesde t 5 20 s.

La velocidadaumenta antesde t 5 20 s.

La velocidaddisminuye despusde t 5 20 s.

La aceleracin es positivaantes de t 5 20 s.

La aceleracin esnegativa despus de t 5 20 s.

vx (m/s)

O

10

20

30

5 10 15 20 25 30t (s)

x (m)

t (s)O

200

400

600

800

5 10 15 20 25 30

ax (m/s2)

O

1.0

2.0

5 10 15 20 301.0

t (s)

2.29 Posicin, velocidad y aceleracin del automvil delejemplo 2.9 como funciones del tiempo. Puede usted demostrar que si contina este movimiento, el auto parar en t 5 44.5 s?

d) El valor mximo de vx se da en t5 20 s. Para obtener la posicindel auto en ese instante, sustituimos t5 20 s en la expresin para x delinciso a):

EVALUAR: La gura 2.29 nos ayuda a interpretar los resultados. Lagrca superior de esta gura muestra que ax es positiva entre t 5 0 y t 5 20 s, y negativa despus. Es cero en t 5 20 s, cuando vx es mxi-ma (punto alto en la curva de en medio). El auto acelera hasta t 520 s (porque vx y ax tienen el mismo signo) y frena despus de t5 20 s(porque vx y ax tienen signos opuestos).

Como vx es mxima en t 5 20 s, la grca x-t (la de arriba en la -gura 2.29) tiene su pendiente positiva mxima en ese instante. Observeque la curva x-t es cncava hacia arriba entre t 5 0 y t 5 20 s, cuan-do ax es positiva, y es cncava hacia abajo despus de t5 20 s, cuandoax es negativa.

5 517 m

216

1 0.10 m/s3 2 1 20 s 2 3 x 5 50 m 1 1 10 m/s 2 1 20 s 2 1 12 1 2.0 m/s2 2 1 20 s 2 2

Ejemplo 2.10 Frmulas de aceleracin constante por integracin

Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obtener vx y x en funcin deltiempo para el caso de aceleracin constante.

SOLUCIN

IDENTIFICAR: Estos ejemplos servirn para vericar las ecuacionesque dedujimos en esta seccin. Si estn correctas, deberamos terminarcon las mismas ecuaciones de aceleracin constante que dedujimos enla seccin 2.4 sin usar la integracin.

PLANTEAR: Seguimos los mismos pasos que en el ejemplo 2.9. Lanica diferencia es que ax es una constante.

EJECUTAR: Por la ecuacin (2.17), la velocidad est dada por

vx 5 v0x 1 3t

0ax dt 5 v0x 1 ax 3

t

0 dt 5 v0x 1 axt

Pudimos obtener ax de la integral porque es constante. Si sustituimosesta expresin para vx en la ecuacin (2.18), obtendremos

Puesto que v0x y ax son constantes, podemos sacarlas de la integral:

EVALUAR: Estos resultados son iguales a las ecuaciones (2.8) y (2.12)para la seccin 2.4, como debera ser! No obstante, nuestras expre-siones para las ecuaciones (2.17) y (2.18), en los casos en que la aceleracin depende del tiempo, tambin pueden servirnos cuando la aceleracin sea constante.

x 5 x0 1 v0x 3t

0 dt 1 ax3

t

0t dt 5 x0 1 v0x t 1

12

axt2

x 5 x0 1 3t

0vx dt 5 x0 1 3

t

01v0x 1 ax t 2 dt

Evale su comprensin de la seccin 2.6 Si la aceleracin ax se incrementacon el tiempo, la grca vx-t ser i) una lnea recta, ii) una curva cncava hacia arriba (con curvatura hacia arriba) o iii) una curva cncava hacia abajo (con curvatura hacia abajo)?

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60

(2.4)

(2.5)ax 5 lmDtS0

Dvx

Dt5

dvxdt

amed-x 5v2x 2 v1x

t2 2 t15

Dvx

Dt

x

p1

p2

Ot

x

5 x 2

2

x 1

t 5 t2 2 t1t2t1

x1

x2

Pend

iente

5

v med

-x

Pendiente

5 v x

Aceleracin media e instantnea: La aceleracin media amed-x durante un intervalo Dt es igual al cambio de velocidad Dvx 5 v2x2 vlx durante ese lapso divididoentre Dt. La aceleracin instantnea ax es el lmite de amed-x cuando Dt tiende a cero, o la derivada de vx conrespecto a t. (Vanse los ejemplos 2.2 y 2.3.)

vx

v2x

v1x

t2t1t

O

p1

p2

Dt 5 t2 2 t1

Dv

x 5

v

2x 2

v

1x

Pendie

nte 5

a med-

x

Pendiente 5

ax

Movimiento rectilneo con aceleracin constante:Cuando la aceleracin es constante, cuatro ecuaciones relacionan la posicin x y la velocidad vx en cualquier instante t con la posicin inicial x0, la velocidad inicial v0x(ambas medidas en t 5 0) y la aceleracin ax.(Vanse los ejemplos 2.4 y 2.5.)

Slo aceleracin constante:(2.8)

(2.12)

(2.13)

(2.14)x 2 x0 5 1v0x 1 vx2 2 tvx 2 5 v0x

2 1 2ax 1 x 2 x0 2x 5 x0 1 v0x t 1

12

ax t2

vx 5 v0x 1 ax t

0

0

0

0

0

t 5 2Dt

t 5 3Dt

t 5 Dt

t 5 4Dt

t 5 0v

a

va

va

va

va

x

x

x

x

x

Cuerpos en cada libre: La cada libre es un caso del movimiento con aceleracin constante. La magnitud de la aceleracin debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleracin de un cuerpo en cada libre siempre es hacia abajo. (Vanse los ejemplos 2.6 a 2.8.)

Movimiento rectilneo con aceleracin variable: Cuandola aceleracin no es constante, sino una funcin conocidadel tiempo, podemos obtener la velocidad y la posicin enfuncin del tiempo integrando la funcin de la aceleracin.(Vanse los ejemplos 2.9 y 2.10.)

ay 5 2g 5 29.80 m/s2

O

amed-x

ax

t1 t2t

Dt

(2.17)

(2.18)x 5 x0 1 3t

0 vx dt

vx 5 v0x 1 3t

0 ax dt

CAPTULO 2 RESUMEN

Movimiento rectilneo, velocidad media e instantnea:Cuando una partcula se mueve en lnea recta, describimossu posicin con respecto al origen O mediante unacoordenada como x. La velocidad media de la partcula,vmed-x, durante un intervalo Dt5 t2 2 tl es igual a su desplazamiento Dx5 x2 2 x1 dividido entre Dt. La velocidad instantnea vx en cualquier instante t es igual a la velocidad media en el intervalo de tiempo de t a t 1 Dten el lmite cuando Dt tiende a cero. De forma equivalente,vx es la derivada de la funcin de posicin con respecto al tiempo. (Vase el ejemplo 2.1.)

(2.2)

(2.3)vx 5 lmDtS0

Dx

Dt5

dxdt

vmed-x 5x2 2 x1

t2 2 t15

Dx

Dt

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