UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACINII.1.Trabajo de una Fuerza Real.II.2. Energa de Deformacin Interna (U).II.3. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) para Determinar de componentes de deflexin empleando el P.T.V. y consideracin de Efectos Adicionales.II.4. Ejemplos de Aplicacin.II.5. Primer Teorema de Castigliano para Determinar de componentes de deflexin.II.6. Ejemplos de Aplicacin

Trabajo de una Fuerza: El concepto de energa aplicado a estructuras elsticas estables esta asociado al trabajo W realizado por una un sistema de fuerzas que acta sobre la misma que producen un desplazamiento. UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN

Si el cuerpo es rgido el trabajo W viene dado por la suma de los trabajos que realizan nicamente el sistema de fuerzas externas aplicadas, el cual debe ser igual a cero si el cuerpo se encuentra en equilibrioSi es deformable se producen esfuerzos internos asociados a un estado de deformacin que permite la disipacin de la energa, entonces el trabajo realizado por las fuerzas internas es distinto de cero y representa la Energa de Deformacin Interna de la estructura (U). Ahora el equilibrio se expresa como UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN

Para determinar U estudiaremos la estructura elstica mostrada en la Figura, la cual se encuentra sometida a una fuerza externa P que produce una deflexin en su punto de aplicacin B y en su misma direccin, si la fuerza P se aplica aumentando gradualmente desde cero hasta su mximo valor (P), entoncesEstructura deformada por la fuerza PDBBPGrafica de Fuerza vs. Desplazamientorea = WEXTPDUNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA

La Ec. (1) permite obtener el trabajo real de la fuerza P calculando al rea bajo la curva (P vs. ) dada por la siguiente expresinEn donde el trabajo externo real en el desplazamiento es realizado por la fuerza promedio (P/2). Anlogamente, el trabajo interno real (Wint) puede determinarse en funcin de las deformaciones internas () producidas por los esfuerzos promedios (/2)para cada efecto considerado como UNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA

Considerando un elemento diferencial (dx) en una seccin de un elemento estructural que se encuentra sometido solo a efectos axiales, entonces podemos determinar el WINT que representa la Energa de Deformacin Axial UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN

De forma anloga, podemos determinar la Energa de Deformacin debido a Efectos de flexin, de Corte y de Torsin a partir de las siguientes expresiones:UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION

El Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) aplicado a cuerpos deformables establece que si una estructura que se encuentra en equilibrio bajo la accin de un sistema virtual de fuerzas, esta sujeta a un desplazamiento como resultado de alguna accin adicional, el trabajo virtual externo al ocurrir el desplazamiento real ser igual al trabajo virtual interno producido por las fuerzas internas debido a la deformacin real, entonces se tiene que UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

La Ec. (10) puede ser empleada para determinar componentes de deflexin de un punto cualesquiera de una estructura elstica estable y sugiere que sus desplazamientos debido a la accin de un sistema de cargas externas real pueden obtenerse superponiendo las estructuras que se muestran a continuacin=a) Deformacin por cargas reales+b) Sistema Virtualc) Sistema RealUNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Tomando una FVIRTUAL = 1 (Fuerza Unitaria), el lado izquierdo de la Ec. (10) se convierte en 1 x DREAL, mientras que la parte derecha de la ecuacin depende de los efectos internos que se consideren actuando sobre los elementos de la estructura, en donde la deformacin real (REAL) se obtiene en del Sistema Real y el esfuerzo virtual (VIRTUAL) se obtiene en el Sistema Virtual debido a FVIRTUAL.(11)UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Efectos Adicionales considerados en el P.T.V. Cambios de temperatura: Cuando existen cambios en la temperatura de los elementos estructurales se producen esfuerzos axiales y de flexin los cuales afectan el trabajo interno (WINT) lo cual puede expresarse como

(12)UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Desplazamiento de los apoyos: Los desplazamientos debido a traslaciones y/o rotaciones de los apoyos producen cambios en el trabajo externo (WEXT) y viene expresado por la siguiente expresin(13)UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Errores de fabricacin: Cuando se realiza la construccin de un sistema estructural perteneciente a una obra civil, pueden existir errores en el proceso constructivo que en general son difciles de estimar y pueden ser producidos por elementos mas largos o mas cortos que los proyectados originalmente, lo cual genera una deformacin axial unitaria (e). Estos errores producen cambios en el trabajo interno (WINT) que vienen dados por (14)UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Mtodo del Trabajo Virtual: La metodologa general de anlisis para determinar componentes de deflexin (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elstica estable y determinada basado en el P.T.V. requiere la aplicacin de los pasos siguientes:UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se establecen los Sistema real y el Sistema Virtual aplicando una fuerza ficticia unitaria en direccin de la componente de deflexin que se desea determinar, la cual ser una fuerza puntual si se requiere determinar traslaciones o un par de momento si se desean determinar rotaciones .

2.- Se realiza el anlisis esttico para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actan sobre los elementos estructurales para ambos sistemas.

UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL3.- En caso de existir efectos adicionales se determinan los mismos para cada elemento estructural. 4.- Se determina la WEXT y WINT por superposicin, aplicando las Ec. 11 para cada elemento estructural. Un signo negativo para DREAL significa que la deflexin tiene un sentido opuesto al supuesto inicialmente, es decir, es contraria a la direccin de la fuerza virtual aplicada.

Determinar el desplazamiento vertical del punto C de la viga de entrepiso que se modela como la estructura estable mostrada en la Figura, empleando el Mtodo del T.V. considerando que el punto A sufre un desplazamiento vertical de 0.005 m () y que el elemento AB experimenta un gradiente de temperatura en la fibra superior de 30 C y en la inferior de 10 C. Tomar en cuenta efectos de flexin, corte y axial. Usar E = 2.39x105 Ton/m2 y t = 1 x 10-5 (C)-1.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

TramoXinicXfinalMmVvNnA-BA = 0B = 4B-CC = 0B = 1.50

Calcular el desplazamiento horizontal en el nodo F de la armadura de la Figura. Usar E = 29000 Ksi.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

BarraL (in)A (in2)N (Klb)n (Klb)N.n.L/AAB19246012880CD1923000EF1923-2000AC1444601.53340CE1444000BD1444-15-0.75405DF1444-15-0.75405BC2403-75-1.257500CF2403251.25250016930

Determinar el desplazamiento horizontal del nodo F de la estructura indicada utilizando el Mtodo de Trabajo Virtual. Considerar que el apoyo F sufre un asentamiento de 0.05 m () y la barra BC sufre una variacin de temperatura como se indica. Usar EI = 1200 Ton.m2 y t = 10-5 (C)-1.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

4 TonUNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.

TramoXinic.XfinalMmA - BA = 0B = 5B - CB = 0C = 4C - EC = 0E = 4E - FE = 0 F = 3

1ER Teorema de Castigliano: La componente de deflexin de un punto de la estructura es igual a la primera derivada parcial de la Energa de Deformacin Interna Total (UTOTAL) respecto a una fuerza que acta en dicho punto y en la misma direccin de la deflexin que se requiere determinar.Estructura deformada por las fuerzas PDiiiPUNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANOP1P2P3+ dP

Si consideramos solo efectos axiales entonces debemos derivar las Ecuaciones anterior respecto a P; observndose que las fuerzas axiales internas sern una funcin de x y de P, entonces por la Regla de la Cadena se obtiene lo siguiente UNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANO

De forma anloga, puede demostrarse que para los efectos de flexin, corte y torsin la componente de deflexin requerida (Di) a partir de las siguientes expresiones:UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION

Mtodo de Castigliano: La metodologa general de anlisis para determinar componentes de deflexin (traslaciones y/o rotaciones) de una estructura elstica estable y determinada basado en el Teorema de Castigliano requiere la aplicacin de los pasos siguientes:UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructura dada, se determina si existen cargas reales aplicadas en direccin de la componente de deflexin que se desea determinar, P si se requiere determinar traslaciones o M si se desean determinar rotaciones.

2.- En caso de que no exista dicha carga se coloca una carga ficticia (P o M) que actu en direccin de la componente de deflexin a determinar.

UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO3.- Se realiza el anlisis esttico para determinar los efectos (o esfuerzos internos) que actan sobre los elementos estructurales los cuales sern una funcin de P o M.4.- Se aplican las Ecuaciones anteriores para cada elemento estructural, determinndose la componente de deflexin deseada (Di) igualando P o M al valor de la accin aplicada en el punto considerado (ser igual a cero en el caso de que se aplique la carga ficticia).

Determinar la componente de deflexin en direccin de la Fuerza de 1 KN que acta en el extremo D de la viga mostrada en la Figura empleando el Mtodo de Castigliano. Tomar en cuenta solo efectos de flexin. Usar EI = 9800 KN.m2UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANOD.C.L. de la estructura con la fuerza P actuando en direccin de Dv. D.C.L. para calcular las reacciones en apoyos.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANOD.C.L. de los cortes de la estructura.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANOD.C.L. de los cortes de la estructura.

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANOSe construye la Tabla con los efectos internos

TramoXiXfMM/PM(P = 1)A BA = 0B = 1.5B CB = 1.5C = 3C - DD = 0C = 1.5

Calcular la rotacin de la barra DF respecto a F en la estructura mostrada en la Figura empleando el Mtodo de Castigliano. Considerar en AB y DF solo efectos de flexin y en los dems miembros solo efectos axiales. Usar EI = 1500 Ton.m2 y EA = 500 Ton.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO

Una vez verificada la estabilidad de la estructura se procede a aplicar la Fuerza P o el Par M, segn sea el caso en direccin de la componente de deflexin deseada.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO

Se realiza el anlisis esttico para determinar los efectos internos.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO

Se determina Di por superposicin de todos los efectos que se consideren para cada elemento estructural.UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO