UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS (ICYTAL) / ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas

UNIDAD 2: TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION (ESTADO ESTACIONARIO)

GUIA DE PROBLEMAS 1. Una plancha de acero de espesor L con una conductividad térmica K es

sometida a un flujo de calor uniforme y constante q0 (W/m²) en la

superficie límite a X=0. En la otra superficie límite X=L, el calor es

disipado por convección hacia un fluido con temperatura T∞ y con un

coeficiente de transferencia de calor h. Calcular las temperaturas

superficiales T1 y T2 para:

cmL 2= ; CmWK º20= ; 2

50 10 m

Wq = ; CT º50=∞ ; CmWh º500 2=

T1 T2

q

∞T

Desde T2 a T se transmite calor por convección, por lo tanto se utiliza la

fórmula:

∞

( )∞−= TThAq

2 ( )∞−TTq 2 ⋅= Ah

Reemplazando:

( )CTCm

WmW º50

º50010 222

5 −=

200ºC = T2 – 50ºC

T2 = 250ºC

Desde T2 a T1 la transferencia de calor es por conducción, por lo tanto

utilizamos la fórmula:

( )e

TTKAq 12 −−=

( )e

TTKAq 21 −=

( )e

TTKAq 21 −=

( )e

TTKAq 21 −=

( )m

TCm

WmW

02,0250

º2010 1

25 −

=

100 ºC = T1 – 250

T1 = 350ºC

2. Un cilindro hueco con radio interior r = a y radio exterior r = b es

calentado en la superficie interior a una velocidad q0 (W/m²) y disipa calor

por convección desde la superficie exterior hacia un fluido a una

temperatura T∞ con un coeficiente de transferencia de calor h. La

conductividad térmica es constante.

Calcular las temperaturas T1 y T2 correspondientes a las superficies interior

y exterior, respectivamente, para a = 3cm; b = 5cm; h = 400 W/m²-°C;

T = 100 °C; K = 15 W/m-°C ; q∞ 0 = 105 W/m².

POR CONVECCIÓN (T2 T∞ ) )( TAhq ∆××= Y como el área del cilindro es HrA ⋅⋅⋅= π2 despejamos q en función de la longitud:

hr

TTHq

exterior ×××

∞−=

π21

)( 2

Solución Como q está en función del área del cilindro se despeja de modo que quede

en función de la longitud del cilindro.

2510

mW

Aq=

Área del cilindro = Hr erno ××× int2 π

HrmWq ××××= π210 2

5

HmmWq ××××= 03.0210 2

5 π

mW

Hq 18849=

Calculo de T2 : por convección entre la superficie del cilindro y el medio

hr

TTHq

exterior ×××

∞−=

π21

)( 2

CmWm

CTmW

º40005.02

1)º100(18849

2

2

×××

−=

π

T2 = 250ºC

POR CONDUCCIÓN (T1 T2) : drdTAkq ××−=

Calculo de T1 : por conducción entre la superficie interna y externa del cilindro De la misma manera dejamos q en función de la longitud del cilindro:

)(

)(2

int

21

erno

externo

rrLn

TTkHq −×××=

π

)03.005.0(

)º250(º

15218849

1

mmLn

CTCm

W

mW −×××

=π

T1 =352ºC

3. Se usa un serpentín de enfriamiento de acero inoxidable 304 de 1,0 pie

de longitud, con diámetro interno de 0,25 pulg. y diámetro externo de 0,40

pulg., para extraer calor de un baño . La temperatura en la superficie interior

del tubo es de 40 °F y 80 °F en el exterior. La conductividad térmica del

acero inoxidable 304 depende de la temperatura: K = 7,75 + 7,78 X 10 -3 T,

donde K está en BTU/hr-pie-°F y T en °F.

Calcúlese la extracción de calor en BTU/s y Watts.

q

T ∞

T2

r2

T1

r1

1 pie = H

Datos : H= 1 pie

r1= piepu

piepupu 0104,0lg1

0833,0lg125,02

lg25,0=⋅= T1=40ºF

r2= piepu

pupu 01666,0lg1

0833,0lg2,02

lg4,0=⋅= T2=80ºF

q= -K A drdT HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2

Reemplazando:

drdTHrKq ⋅⋅⋅⋅⋅−= π2

Integrando: dTAKqdr ⋅⋅−=

∫∫ ⋅=2

1

2

1

T

T

r

r

dTKAdrq

∫∫ ⋅⋅⋅⋅=2

1

2

1

2T

T

r

r

dTKHrdrq π

Reemplazando:

( )∫∫ −⋅+⋅⋅=80

40

32

1

1078,775,72 dTTHrdrq

r

r

π

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅⋅+−⋅⋅⋅−= −− )

2401078,7()

2801078,7(408075,72

0104,00167,0ln

23

23Hq π

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅⋅−=

hrBTUHq 224,6896,243102

0104,00167,0ln π

shr

hrBTUq

3600141,4360 ⋅−=

sBTUq 21,1−=

sJ

wattBTU

Js

BTUq1

1105521,1 ⋅⋅−=

wattq 9,1277=

4. Se desea construir un almacén refrigerado con una capa interna de 20

mm de madera de pino, una capa intermedia de corcho prensado y una

capa externa de 52 mm de concreto. La temperatura de la pared interior es -

18°C y la de la superficie exterior, 30°C en el concreto. Las conductividades

promedio son, para el pino, 0,151; para el corcho 0,0433; y para el concreto

0,762 W/m-K. El área superficial total interna que se debe usar en los

cálculos es aproximadamente 50 m² (omitiendo las esquinas y los efectos

de los extremos). ¿Que espesor de corcho prensado se necesita para

mantener la pérdida de calor en 550 W?

a : madera de pino (20mm)

b: corcho (??)

c: concreto(52mm)

El calor se trasmite en serie por lo tanto el flujo de calor es el mismo en cualquier punto del circuito eléctrico.

Solución:

Ecuación general:

total

ie

RTT

Aq )( −=

Donde:

Te =Temperatura externa del almacén refrigerado

Ti = Temperatura interna del almacén refrigerado

R total =Resistencia total del circuito

R total = Ra + Rb + Rc Como las resistencias se encuentran en serie entonces la Ecuación para calcular la resistencia es:

AkeR×

=

Donde: e : espesor de las capas

k : conductividad térmica del material

A: área total de la cámara

WKm

Kmwm

keR

a

aa

2

13.0º151.0

02.0===

Kmwx

keR

b

bb º0433.0

==

WKm

Kmwm

keR

c

cc

2

068.0º762.0

052.0===

Reemplazando en la ecuación general se despeja x que es el espesor de la capa de corcho:

total

ie

RTT

Aq )( −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−−=

WKmx

WKm

WKm

CCmW

2222

0433.0068.013.0

)º18(º3050550

x = 0.18m Por lo tanto el espesor del corcho debe ser 180mm Nota: la relación entre de temperatura que existe entre los ºK y los ºC es de uno a uno por lo tanto, las unidades

de estas no influyen en el cálculo.

5. ¿Que cantidad de aislante de fibra de vidrio (K=0,02 BTU/hr-pie-°F) es

necesaria para garantizar que la temperatura exterior de un horno de cocina

no excederá de 120 °F? La temperatura máxima del horno que será

mantenida por el control termostático de tipo convencional es de 550 °F, la

temperatura del ambiente de la cocina puede variar de 60 a 90 °F y el

coeficiente promedio de transferencia de calor entre la superficie del horno y

la cocina es de 2,5 BTU/hr-pie²-°F.

q

T2

T∞=60 - 90 ºF

T1

Nota: Se escoge la mayor temperatura para el medio, ya que esto nos

asegurará que sea cual sea la temperatura de este, el espesor de aislante

calculado garantizará una temperatura exterior no mayor a 120ºC

Datos: T1= 550 ºF

T2= 120 ºF

T = 90ºF ∞

FpiehrBTUh º5,2 2 ⋅⋅

=

Transferencia de calor por convección entre T2 y T∞ :

( )∞−= TThAq

2

( ) FFpiehr

BTUAq º90120

º5,2 2 −

⋅⋅=

275piehr

BTUAq

⋅=

Entre T1 y T2 se transmite calor por conducción:

( )e

TTKAq 21 −=

( )e

FFpiehr

BTUpiehr

BTU º120550º

02,075 2

−⋅

=⋅

e = 0,115 pie

6. Un gas a 450 °K fluye en el interior de una tubería de acero, número de

lista 40 (K = 45 W/m-K), de 2,5 pulg. de diámetro. La tubería está aislada

con 60 mm de un revestimiento que tiene un valor medio de K = 0,0623

W/m-K. El coeficiente convectivo de transferencia de calor del gas en el

interior de la tubería es 40 W/m²-K y el coeficiente convectivo en el interior

del revestimiento es 10. La temperatura del aire es 320 °K.

D nominal = 2 pulg.

D externo = 2,375 pulg.

D interno = 2,067 pulg.

Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en m de tubería.

320ºk

q

450ºk

mpu

mpur 0263,02

1085,0lg1

0254,0lg067,2int ==⋅=

mpu

mpurext 0301,02

0603,0lg1

0254,0lg375,2 ==⋅=

mrrev 09,006,003,0 =+=

total

total

RT

q∆

=

HrAcilindro ⋅⋅⋅= π2

WKm

HmKmWAh

Rgasº151,0

20263,0º4011

20

=⋅⋅⋅⋅

⋅

=⋅

=π

Convección

WKm

HKmWHK

rr

Raceroº100,5

2º45026,003,0ln

2

ln41

2

−×=⋅⋅⋅

⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=ππ

Conducción

WKm

HKmWHK

rr

Raislanteº8,2

2º0623,003,009,0ln

2

ln1

2

=⋅⋅⋅

⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅⋅⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=ππ

Conducción

WKm

HmKmWAh

Raireº176,0

209,0º1011

20

=⋅⋅⋅

⋅

=⋅

=π

Convección

( )( )

WKm

KHq

º176,08,20,5151,0

º3204504 +++

−=

−

q = 41,53 W/m

7. En el interior de una tubería de acero (K = 45 W/m-K) de 2,0 pulg. de

diámetro, fluye agua a temperatura promedio de 70°F, mientras en el

exterior se condensa vapor de agua a 220 °F. El coeficiente convectivo del

agua en el interior de la tubería es h = 500 BTU/hr-pie²-°F y el coeficiente

del condensado de vapor en el exterior es h = 1600 W/m²-K.

Calcúlese la pérdida de calor por unidad de longitud en pies.

Datos: Diámetro interno: 2.0pulg radio interno: 0.083pie

Diámetro externo: 2.4pulg radio externo.0.0996pie

h interno = 500 BTU/hr-pie²-°F

h externo = 1600 W/m²-K. =282BTU/hr-pie2-ºF

K = 45 W/m-K =26 BTU/hr-pie-ºF

Solución:

)2

1()2ln

()2

1(

)( 12

ee

ei

ii hrkrr

hr

TTHq

×××+

××+

×××

−=

πππ

convección conducción convección

Donde:

re : radio externo del cilindro

ri : radio interno del cilindro

T2: temperatura del vapor de agua condensado

T1: temperatura del agua

Resistencia del agua por convección:

BtuFpie

FpieBtupie

º1083.3)

º500083.02

1( 3

2

−×=×××π

Resistencia del acero por conducción:

BtuFpie

FpiehrBtupiepieLn

º1012,1)

º262

)083.0

0996.0(( 3−×=

−××π

Resistencia del condensado de vapor (conducción):

BtuFpie

FpieBtupie

º1067.5

º2820996.02

1 3

2

−×=×××π

Al reemplazar todas las resistencias en la ecuación se obtiene la perdida de calor por unidad de longitud:

BtuFpie

BtuFpie

BtuFpie

FHq

º1067.5º1012,1º1083.3

)º70220(333 −−− ×+×+×

−=

piehrBTU

Hq

×= 3.14124

8. Calcular el flujo de calor a través de la pared mostrada en la fig.

Suponiendo que este es unidimensional.

Datos: T1 = 50ºC

T2 = 20ºC

Ka =200 W/mºC

Kb =50 W/mºC

Kc =40 W/mºC

Kd =90 W/mºC

Area transversal = 1m2

Area B = 0.5m2

Area C = 0.5m2

Solución:

Calculo del flujo de calor a través de la pared

Formula general: eqRT

Aq ∆= Req = Ra + Rbc + Rd

Calculo de Resistencias en series (Ra y Rd):

WC

mCmWm

AKe

Raa

aa

º100.51º200

01.0 52

−×=×

=⋅

=

WC

mCmWm

AKe

Rdd

dd

º1022.21º90

02.0 42

−×=×

=⋅

=

Calculo de Resistencias en paralelo (Rb y Rc):

cbBC RRR111

+=

c

cc

b

bb

bc eAk

eAk

R×

+×

=1

mmCmW

mmCmW

Rbc 03.05.0)º(40

03.05.0)º(501 22 ×

+×

=

CWRbc º9.149911

=

WCRbc

º1067.6 4−×=

WCxxxReq

º1039.91067.61022.2100.5 4445 −−−− ×=++=

Reemplazo en la formula para el cálculo del flujo de calor:

q = wCº1039.9

C)º2050(4−×

−

q = 31948.9 w

9. Una pared de un horno es construida de ladrillos que tienen dimensiones

comunes 9 x 4 1/2 x 3 pulgadas. Se dispone de dos clases de material: uno

que tiene una temperatura útil límite de 1900 °F y una conductividad térmica

de 1 BTU/hr-pie-°F, y el otro tiene una temperatura límite máxima de 1600°F

y una conductividad térmica de 0,5. Los ladrillos tienen el mismo costo y

pueden colocarse de cualquier forma, pero se desea construir la pared más

económica para un horno con una temperatura del lado caliente de 1900°F

y del lado frío de 400 °F. Si la cantidad máxima permisible de transferencia

de calor es 300 BTU/hr-pie² de área, determinar el arreglo más económico

para los ladrillos disponibles.

0,25pie

q 0,75pie

400ºF 0,35pie

1900ºF

1.- Tº útil límite = 1900ºF; K= 1 BTU/ hr pie ºF

2.- Tº útil límite = 1600ºF; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

Respuesta: si se tienen dos tipos de ladrillos de distinta conductividad

térmica, para economizar en ladrillos, lo ideal es utilizar aquellos que tengan

la menor conductividad térmica, pero en este caso, no es posible utilizar los

ladrillos de conductividad térmica 0,5 BTU/ hr pie ºF, en el interior del horno,

ya que solo resisten una temperatura de 1600ºF y la temperatura al interior

del horno es de 1900ºF, por esta razón utilizaremos en el interior del horno

los ladrillos de conductividad térmica=1 BTU/ hr pie ºF, y posteriormente

utilizaremos los otros.

q= 300 BTU/ hr pie2

eTTKA

q 21 −⋅=

( )pie

FTFpiehr

BTUpiehr

BTU75,0

º1900º1300 2

2

−⋅⋅⋅=

⋅

T2=1675 ºF

( )pie

FTFpiehr

BTUpiehr

BTU25,0

º1675º1300 2

2

−⋅⋅⋅=

⋅

T2 =1600 ºF

( )

eF

FpiehrBTU

piehrBTU º4001600

º5,0300 2

−⋅⋅⋅=

⋅

e = 2 pie

Se necesitarán 2 corridas de ladrillos de K = 1 BTU/ hr pie ºF, y 4 corridas

de ladrillos de; K= 0,5 BTU/ hr pie ºF

10. Para la pared compuesta representada en la figura adjunta, asumiendo

una transferencia de calor unidireccional y sabiendo que:

Area A = 1 pie²

Area B = Area E

Area C = AreaD=2

AreaE

KA = 100 BTU/hr - pie - °F;

KB = 20 BTU/hr - pie - °F;

KC = 60 BTU/hr - pie - °F;

KD = 40 BTU/hr - pie - °F;

KE = 80 BTU/hr - pie - °F;

KF = 100 BTU/hr - pie - °F;

a) Encontrar el flujo de calor.

Solución

Calculo de áreas:

Espesor de A = piepupiepu 332.0

lg083.0lg4 =×

Espesor de F y C = piepupiepu 1666.0

lg083.0lg2 =×

Espesor de D = piepupiepu 664.0

lg083.0lg8 =×

Espesor de B y E = piepupiepu 833.0

lg0833.0lg0.1 =×

Según la figura: Area A = AreaB + AreaC+ AreaE

1pie2 = Area E+2

AreaE +Area E

Area E = 0.4 pie2

Por lo tanto:

Area C = 2

AreaE

Area C= 2

4.0 2pie

Area C= 0.2pie2

Area B =Area E

Area D= Area C

Cálculo de Resistencias en series:

dd

d

cc

cdc Ak

eAk

eRR×

+×

=+

22 2.0º

40

6664.0

2.0º

60

1666.0

pieFhrpie

Btupie

pieFhrpie

BtupieRR dc

×+

×=+

FhrBtu

FhrBtuRR dc º

0833.0º

0138.0 +=+

FhrBtuRR dc º

0971.0=+

Cálculo de Resistencias en paralelo:

EEEbbbEDCb Ake

FhrBtuAkeRRRR ×

++×

=++

+1

º0971.0

11111

pieFhrpie

BtupieFhr

BtupieFhrpie

BtupieRRRR EDCb 4.0º

80833.0

1

º0971.0

1

4.0º

20833.0

1111

×++

×=+

++

BtuFhr

mCmWm

AkeR

aa

aa

º10332.31º100

332.0 32

−×=×

=×

=

BtuFhr

mCmWm

AkeR

FF

FF

º10666.11º100

1666.0 32

−×=×

=×

=

BtuFhr

pieFhrpie

BtuAhR

i

º045.02.2

º10

112

2

=×

=×

=∞

BtuFhr

pieFhrpie

BtuAhR º033.0

2.2º

15

112

22

2 =×

=×

=∞

La sumatoria de todas las resistencias es:

FhrBTURtotal º

1.0=

El flujo de calor de la pared compuesta se calcula a partir de la ecuación:

FhrBtu

FR

Tqtotal

º1.0

)º50110( −=

∆=

hrBTUq 600=

b) Encontrar la temperatura en la interfase de las paredes C y D. Nota:

En la figura se observa que las paredes C y D que se encuentran en serie

están en paralelo con las paredes B y D, por lo tanto para poder calcular la

temperatura entre ambas paredes es necesario primero calcular las

temperaturas en las superficies de la figura. Siguiendo los siguientes pasos:

Cálculo de Ts1: (en la superficie por el lado A)

)( 11 STTAhq −××= ∞

Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

)º110(2.2º

10600 12

2 STFpieFhrpie

BtuhrBtu

−××=

Despejando TS1

FTS º73.821 =

Calculo de TS2 (en la superficie por el lado F)

)( 22 ∞−××= TTAhq S

Reemplazando Datos obtenidos en la letra anterior:

)º50(2.2º

10600 22

2 FTpieFhrpie

BtuhrBtu

S −××=

Despejando TS2

FTS º18.682 =

Con las temperaturas de las superficies se calcula ∆T

21 SS TTT −=∆

FFT º55.14)º18.6873.82( =−=∆

El calor que pasa sobre las paredes es:

ECDB qqqq ++=

EEECDBBB AkeT

RT

AkeTq

×∆

+∆

+×

∆=

hrBtu

FhrBtuF

RTqCD

CD 85.149

º0971.0

º55.14==

∆=

Con el cálculo de qCD se puede obtener la temperatura en la interfase de las paredes C y D.

D

S

E

SCD R

TTR

TTq )()( 21 −=

−=

FhrBtu

TFhrBtu

º0138.0

º73.8285.149 −=

FT º66.80=