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UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE YUCATÁN
Facultad de Matemáticas
Un estudio sobre el discurso en los libros de texto de Matemáticas. Su relación con la práctica escolar
TESIS GRUPAL
Presentada por:
Mildred Rocío Maldonado López María Teresa de Jesús Rodríguez Ricalde
Jorge Carlos Tuyub Moreno
Directora de Tesis: M. en C. María Guadalupe Ordaz Arjona
En opción al título de: Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas
Mérida Yucatán, México Julio de 2007
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN I
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES 1
1.1 El problema de la investigación 2
1.1.1 El currículum matemático y el aprendizaje de las matemáticas 2
1.1.2 Las reformas educativas en el nivel medio superior 4
1.1.3 Problemática 5
1.1.4 La investigación 5
1.1.5 Objetivos del trabajo de investigación 7
1.2 Revisión de la Literatura 8
1.2.1 Sobre el análisis y uso de libros de texto 8
1.2.2 Sobre el discurso matemático en los libros de texto 10
1.2.3 Sobre los libros de texto desde el punto de vista 11
de la socioepistemología
1.2.4 El fenómeno de reproducibilidad 13
I
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
CAPÍTULO 2. ELEMENTOS TEÓRICOS 16
2.1. La socioepistemología 17
2.1.1. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio 18
de las razones de los usos de los libros de texto
2.1.2. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio 20
del DME
2.2. Estudio de la existencia de la reproducibilidad 22
CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA 26
3.1 Etapas de la investigación 27
3.2 Acciones realizadas por etapas 28
3.2.1 Elaboración y aplicación de la encuesta 28
3.2.2 Estudio socioepistemológico sobre las razones de los usos 29
de los libros de texto
3.2.3 Análisis de DME presente en los libros de texto 31
3.2.4 Análisis del fenómeno de reproducibilidad en los libros de texto 33
CAPÍTULO 4. RESULTADOS 35
4.1 Estudio de los usos de los libros de texto y las razones asociadas 36
a los mismos 36
4.1.1 Identificación de los libros de texto 36
4.1.2 Análisis de los usos dados a los libros de texto 37
II
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
4.1.3 Análisis de las razones que justifican los usos dados a los 38
libros de texto
4.1.3.1 Análisis por libro de texto 39
4.1.3.2 Análisis por profesor 42
4.1.4 Aspectos complementarios 49
4.2 Análisis del discurso matemático en los Libros de Texto 50
4.2.1 El estudio de los libros de texto 51
4.3 Análisis del Fenómeno de Reproducibilidad 88
4.3.1 Reproducibilidad cognitiva 88
4.3.2 Reproducibilidad didáctica 91
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS 93
5.1 Conclusiones generales 95
5.1.1 Conclusiones sobre las razones de los usos de los libros 95
de texto de matemáticas
5.1.2 Conclusiones sobre el DME 96
5.1.3 Conclusiones sobre el Fenómeno de Reproducibilidad 99
5.2 Reflexiones finales y sugerencias 100
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103
ANEXOS
III
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El presente trabajo muestra nuestro interés por estudiar el discurso matemático
escolar (DME) presente en los Libros de Texto, particularmente desarrollar un
estudio sobre las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas,
analizar la noción de DME y hacer un estudio sobre la existencia de la
reproducibilidad en los Libros de Texto.
El interés especial por dicho análisis, radica en la importancia que tienen los Libros
de Texto como principales recursos o medios de difusión de los saberes
matemáticos, y principalmente como medios que de alguna manera norman el tipo
de práctica docente y circunscriben el tipo de tratamiento y enfoque que se ha de
seguir en los cursos.
Gimeno (1995) citado en Ortiz (2002), afirma que los materiales y Libros de Texto
tienen varias funciones que cumplen, bien por separado, o bien simultáneamente.
Por un lado, son depósito de informaciones varias para profesores y estudiantes, ya
que guían o estructuran el proceso de enseñanza aprendizaje al sugerir actividades,
resaltando informaciones y guiando el proceso de desarrollo de una unidad. También
pueden sugerir el tipo de actividad a través de la que se evalúa el proceso seguido
por el alumno. Los Libros son el mecanismo de proposición-imposición de una
determinada cultura, deben ser objetos de atención porque a través de ellos se eleva
a la categoría de normal y universal un tipo de conocimiento y unos determinados
valores.
II
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El Libro de Texto constituye para el profesor una fuente de recursos tanto para las
explicaciones de clase como para el conjunto de ejercicios a resolver en el salón,
para llevar tarea o para usarse en la evaluación.
Rico (1990) citado en Ortiz (2002), considera que uno de los factores que pueden
hacer fracasar los intentos de cambio de un currículo de matemáticas, son los Libros
de Texto, ya que "la carencia de materiales y Libros de Texto adecuados a los
nuevos currículos son en ocasiones obstáculos insalvables".
Por ello la investigación de los Textos puede contribuir a la adquisición de
conocimiento y maestría en los métodos matemáticos en los diferentes niveles de
educación matemática.
Por otra parte se han realizado estudios que reportan que el currículo es uno de los
principales factores que intervienen en el proceso de aprendizaje, en donde se
encuentran propuestas didácticas que buscan mejorar el proceso de enseñanza y
aprendizaje, abordándose desde diferentes puntos, como son: el profesor, los
contenidos, materiales y/o la institución educativa.
Es necesario hacer notar que el estudio del currículum matemático presente en los
sistemas educativos se torna importante, en cuanto a que se considera es quien
dirige el proceso de enseñanza y aprendizaje, de él depende cual debe ser la
actuación del profesor (refiriéndose a la didáctica, su metodología, el discurso que
emplea, entre otros) en el salón de clases, y la manera en como debe aprender el
estudiante y por ende, está involucrado en las problemáticas asociadas con el
aprendizaje de las matemáticas.
Este trabajo surge como parte de un proyecto de investigación para el “Análisis del
Currículum” realizado por Departamento de Matemática Educativa, de la Facultad de
Matemáticas UADY1, el cual tiene como interés el estudio del DME que se desarrolla
en el subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán (COBAY),
recabando información sobre el tipo de DME presente en este subsistema a fin de
1 Universidad Autónoma de Yucatán (UADY)
III
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
generar entendimiento sobre cómo “vive” y se desarrolla la socialización e
institucionalización de los saberes matemáticos. Una de las acciones a seguir, para
el “Análisis del Currículo”, es el desarrollo de un estudio sobre los Libros de Texto de
matemáticas, enfocados en las nociones de DME que presentan.
El Programa Nacional de Educación 2001-2006 y el Programa de Desarrollo de la
Educación Tecnológica 2001-2006 formularon un diagnóstico de la situación de este
nivel educativo y concluyeron en la necesidad de llevar a cabo una reforma
curricular, la cual se basa en un modelo educativo usualmente conocido como
constructivista. Pese a ello, los problemas en el aprendizaje de las matemáticas
continúan, por lo que nuestro trabajo se realizó con los profesores y Libros que
utilizan en el subsistema COBAY, en específico con el concepto Función de la
materia Matemáticas IV (Precálculo).
Para nuestra investigación nos apoyamos en las explicaciones de la aproximación
teórica Socioepistemológica, la cual aborda desde una perspectiva sociocultural el
problema de estudio de las matemáticas y permite explicar la naturaleza de un
discurso y mostrar evidencias de cómo se construye el conocimiento (en este caso;
el matemático escolar ó de difusión) a partir de una intencionalidad didáctica
(Castañeda, 2002; Castañeda, 2000), así como aquellos aspectos de socialización
de las ideas, como parte de un proceso por el que se dé la ampliación del cuerpo
teórico de la matemática (Castañeda, 2005).
Nuestra investigación fue de tipo cualitativa, estructurada en las siguientes tres
etapas:
I. Estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas.
II. Análisis del DME presente en dichos Libros de Texto.
III. Estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de
Texto.
IV
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Para los fines de nuestra investigación, se obtuvo la información necesaria por medio
de una encuesta estructurada y con el análisis de los tres Libros más usados por lo
profesores encuestados.
Para el estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto, se justificaron las
razones de los profesores respecto a cada uno de los aspectos que se consideraron
como didácticos, cognitivos, sociales y epistemológicos. Se hizo un análisis de los
usos de los tres Libros más usados, así como de cada uno de los profesores
encuestados.
Se realizó el análisis del discurso matemático escolar presente en los tres Libros de
Texto más usados de Precálculo, particularmente el concepto “Función” describiendo
los tratamientos que según los autores son útiles para su comprensión, a través de
los factores presentes dentro de cada Libro.
Después del análisis de los tratamientos, procedimos al estudio del Fenómeno de
Reproducibilidad en cuanto a los aspectos cognitivos y didácticos que se encuentran
presentes en el DME de los Libros de Texto analizados.
Para terminar, se generaron conclusiones de las tres etapas del trabajo, con el
objetivo de identificar y analizar aquello que se establece como discurso en los Libros
de Texto de matemáticas, así como generar entendimiento sobre los mecanismos de
adaptación que sigue el conocimiento matemático y su relación con las prácticas
escolares.
Para terminar, daremos un breve panorama de lo incluido en cada uno de los
capítulos de este trabajo:
En el Capítulo 1 hablamos de la importancia del currículo en el sistema educativo, así
como de las últimas reformas del subsistema COBAY, esto con el fin de
contextualizar, para así plasmar la problemática identificada y nuestros objetivos de
la investigación. También podrán encontrar una revisión de la literatura, de acuerdo a
las investigaciones realizadas en cuanto al uso de los Libros de Texto y el discurso
matemático escolar.
V
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
En el capítulo 2 hacemos referencia a los elementos teóricos, que respaldan nuestra
investigación, en específico a la Aproximación Teórica la Socioepistemología;
describiendo cómo ésta nos permitió realizar cada uno de los estudios mencionados
anteriormente.
En el Capítulo 3, se aborda la metodología empleada para cada uno de los estudios
realizados como parte de nuestra investigación, así como la descripción de cada una
de las componentes socioepistemológicas que se consideraron para cada análisis.
En el Capítulo 4, se hace un reporte de los resultados de cada uno de los análisis
que realizaron a lo largo de este estudio.
Como un apartado final, incluimos un reporte de los resultados obtenidos respecto a
logros y consecuciones de nuestros objetivos de investigación para el estudio del
DME en los Libros Texto, de igual forma, se anexa las sugerencias y consideraciones
para futuras investigaciones, así como cuestiones de discusión y reflexión.
Por último incluimos la bibliografía utilizada en este trabajo así como un anexo de
tablas en las que se encuentran resultados obtenidos en las encuestas.
VI
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.1 El problema de la investigación
1.1.1 El currículo matemático y el aprendizaje de las matemáticas
La matemática educativa en tanto disciplina científica, dirige sus esfuerzos a atender
las problemáticas asociadas con el aprendizaje de las matemáticas, buscando
determinar condiciones para un funcionamiento óptimo que en conjunto orienten
nuestra práctica docente.
Estudios realizados reportan que el currículo resulta ser uno de los principales
factores, cuya intervención, influyen de diferentes maneras en el proceso de
aprendizaje. Asimismo, se generan propuestas didácticas con el fin de mejorar el
proceso de enseñanza y aprendizaje, abordándose desde diferentes puntos, como
son: el profesor, los contenidos, materiales y/o la institución educativa. Dichas
propuestas deben buscar fundamentarse en investigaciones que permitan mostrar
las dificultades que se presentan en cualquiera factor de la triada didáctica, así como
los diferentes dispositivos didácticos que permiten su interacción.
Igualmente se ha reportado que el sistema didáctico presente en las aulas se
encuentra fuertemente influenciado por el subsistema educativo que lo origina, pues
es el currículo quien determina como se van a dar las interacciones dentro de un
sistema didáctico, y las relaciones entre profesor, alumno y saber, además el
currículo dirige los procesos de enseñanza y aprendizaje, pues dentro de este se
2
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
plantea cuál debe ser la actuación del profesor (refiriéndose a la didáctica, su
metodología, el discurso que emplea, entre otros) en el salón de clases, y la manera
como aprende el estudiante y por ende, está involucrado en las problemáticas
asociadas con el aprendizaje de las matemáticas. Es en este sentido que el estudio
del currículo matemático presente en los sistemas educativos se torna importante.
Es por tanto, importante realizar propuestas que provoquen un cambio en los
sistemas educativos con el fin de mejorar el aprendizaje de los alumnos, esto se
puede dar por medio de la búsqueda de la mejora del sistema didáctico, señalando
propuestas que favorecen la interacción entre saber-alumno-profesor, y que vayan
acorde al currículo bajo el cual se rija el sistema educativo donde se encuentre
establecido.
Resulta importante, realizar estudios que permita observar los factores que
intervienen dentro de un sistema didáctico, pudiendo atender algún punto en
particular, como son, los recursos didácticos; que se presenten las dificultades que
surgen a partir de su intervención en el proceso de aprendizaje, o bien, estudios que
presenten, de manera descriptiva, el desarrollo de dispositivos didácticos dentro de
algún sistema educativo en particular.
Por ello, este estudio está centrado sobre un recurso que parece fundamental para el
proceso de aprendizaje y enseñanza, el Libro de Texto, donde se encuentra
plasmado el saber y el contenido a aprender por el alumno.
Al tomar conciencia de la importancia que tiene un Libro de Texto en el desarrollo de
currículo matemático, surge un interés de estudiar el DME presente en los Libros de
Texto utilizados en los Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán (COBAY), para
interrogarnos sobre las necesidades presentes en el proceso de enseñanza-
aprendizaje y contribuir así, a entender la forma en que “vive” y desarrolla el DME en
este subsistema.
3
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.1.2 Las reformas educativas en el nivel medio superior
La evidencia de que el currículo matemático ha sido evaluado y rediseñado en
diferentes sistemas educativos es clara, sin embargo, también lo es el hecho de que
estos cambios se han centrado en su mayoría, en los contenidos en cuanto a
cantidad, orden y las formas correctas de enseñar. Un ejemplo de ello es el
subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán, en el cual, el
Programa Nacional de Educación 2001-2006 y el Programa de Desarrollo de la
Educación Tecnológica 2001-2006 formularon un diagnóstico de la situación de este
nivel educativo que concluyó en la necesidad de llevar a cabo una reforma curricular,
la cual se basa en un modelo educativo usualmente conocido como constructivista.
Pese a ello, los problemas en el aprendizaje de las matemáticas continúan. Y
efectivamente, estamos de acuerdo en que en pro de la búsqueda de la mejora del
sistema didáctico, se deben provocar cambios en los sistemas educativos, señalando
propuestas para su reestructuración, pero también para el reestablecimiento de cada
uno de los factores que intervienen en el sistema didáctico, así como la de los
factores que favorecen la interacción entre saber-alumno-profesor.
Es así, que no se puede pasar por alto el hecho de que parte fundamental del
análisis del currículum es el estudio del Discurso Matemático Escolar (DME) presente
en el mismo, entendiendo el DME como la forma en que es comunicado o
presentado de manera verbal o no verbal, explicita o implícitamente un mensaje
matemático en situación escolar (Cordero, 2005).
4
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.1.3 Problemática
Dentro del subsistema COBAY, se puede observar la carencia que existe de un Libro
de Texto, que es pieza fundamental para el aprendizaje de sus alumnos, un Libro
que vaya de acuerdo al currículo y a la filosofía educativa de éste subsistema, es
decir, que se encuentre conformado de manera congruente con los objetivos
curriculares, contenidos educativos planteados en los programas y/o planes de
estudio, que contengan una metodología didáctica que logré satisfacer las
insuficiencias que sufre el proceso de aprendizaje y enseñanza que se produce
dentro de este subsistema.
Al no tener Libros de Texto diseñados en base a su currículo vigente, en la
bibliografía del programa se sugiere el uso de varios libros para cada materia, de
esta manera resulta quedar a criterio del profesor la elección y el uso que se le dan a
estos libros, así como la decisión de utilizar algún otro libro que no se encuentre en la
bibliografía, por lo que no se conocen los usos que le dan los profesores a éstos
textos, las razones de esos usos y el DME plasmado en cada libro.
1.1.4 La investigación
Nuestro interés se centra en el estudio del discurso matemático escolar presente en
el Subsistema de Colegios de Bachilleres del Estado de Yucatán. Particularmente,
nos interesa desarrollar un estudio sobre las razones de los usos de los Libros de
Texto de matemáticas, analizar la noción de DME presente en los libros que son
mayormente usados por los profesores de los Colegios de Bachilleres del Estado y a
los cuales hemos llamado sus Libros de Texto.
El interés especial por dicho análisis, no sólo radica en la problemática antes
planteada respecto a la Reforma Educativa del COBAY, sino en la importancia que
5
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
tienen los Libro de Texto como principales recursos o medios de difusión de los
saberes matemáticos, y principalmente como medios que de alguna manera norman
el tipo de práctica docente y circunscriben el tipo de tratamiento y enfoque que se ha
de seguir en los cursos.
Estudiamos las razones por las que usan los Libros de Texto, ya que si conocemos
dichas razones podremos tener una visión de las concepciones de los profesores
acerca de cómo se construye el conocimiento, cuáles son los medios que utilizan
para ello, si es considerada la cognición de los estudiantes, así como su realidad
sociocultural, con todo esto tener un panorama de la realidad que se vive en el
subsistema COBAY.
Con respecto al DME, coincidimos con Castañeda (2005) en que es posible a través
del análisis del DME, identificar el tratamiento que ofrecen los autores a las ideas, a
fin de establecer su naturaleza epistemológica e identificar los procedimientos de
comunicación de las ideas matemáticas.
Ya que este ejercicio de análisis del discurso (Van Dijk, 1998 citado en Castañeda,
2005) permite el reconocimiento de varios niveles; los procedimientos de difusión, los
procedimientos de comunicación, las características del receptor, la intencionalidad
del emisor, incluso algunos que son implícitos como la ideología que se desea
transmitir.
Consideramos además, que al seno del salón de clases, el discurso matemático se
compone esencialmente de las notas basadas en los Libros de Texto que apoyan las
actividades que ahí se desarrollan. Por lo cual, para fines de nuestro estudio,
consideraremos como Libros de Texto aquellos que son mayormente usados por los
profesores del COBAY y que creemos enmarcan su práctica docente.
Pretendemos dar cuenta del tratamiento que los autores le dan a los contenidos así
como la intencionalidad de los mismos, pretendemos determinar aquellos invariantes
presentes en los tratamientos dados a los Libros de Texto, enmarcándolo en el
fenómeno didáctico de la reproducibilidad. Otro aspecto importante de nuestro
6
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
trabajo es el estudio de los usos que los profesores dan a estos Libros de Texto y las
razones de ello, desde una perspectiva múltiple (cognitiva, didáctica, epistemológica
y social), para lo cual nos valdremos de una aproximación teórica, la
socioepistemología.
Las preguntas que trataremos de responder en esta investigación son:
¿Cuáles son los usos que el profesor da a los Libros de Texto y qué lo justifica?
¿Cuál es el discurso matemático presente en los Libros de Texto del COBAY?
¿Existe el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto?
1.1.5 Objetivos del trabajo de investigación
Objetivo general
Identificar y analizar aquello que se establece como discurso en los Libros de Texto
de matemáticas, así como generar entendimiento sobre los mecanismos de
adaptación que sigue el conocimiento matemático y su relación con las prácticas
escolares.
Objetivos específicos
• Determinar cuáles son los usos que el profesor da a los Libros de Texto y las
razones que los justifican.
• Identificar cuál es el discurso matemático presente en los Libros de Texto del
COBAY.
• Realizar un estudio que nos permita determinar si existe el fenómeno de
reproducibilidad en los Libros de Texto.
7
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.2 Revisión de la Literatura
En este apartado haremos mención de algunas investigaciones en torno al Libro de
Texto y los diversos usos que tiene, así mismo en relación con la aproximación
teórica de la socioepistemología y el fenómeno de reproducibilidad
1.2.1 Sobre el análisis y uso de Libros de Texto
Ávila (1996), en un estudio sobre los usos que los profesores declaran dar a los
Textos gratuitos de matemáticas, reporta que “la formación y la experiencia de los
profesores son factores que intervienen en el uso que se da a los textos”, el cual es
importante aunque heterogéneo. Adicionalmente reporta que algo que llama la
atención el “uso frecuente de textos adicionales y fotocopias que se utilizan para
complementar o, en ocasiones, sustituir el uso del texto gratuito”. Estos materiales,
que también tienen usos heterogéneos, en general, obedecen a un formato propio de
la tradición educativa en matemáticas que contradice los principios de la reforma
curricular puesta en marcha.
Por su parte, McGinty y Cols (1986, citado en Ortiz (2002)) realizan una investigación
en la que pretendían observar la relación entre un Libro de Texto y el currículum,
preguntándose sí los Libros de Texto de matemáticas reflejaban lo que se proponía
en el currículo de su país. Esto es, en cuanto a que dicho currículum da como
recomendación primera, que la resolución de problemas fuese el foco de las
matemáticas escolares, así como, que los programas de matemáticas diesen
oportunidades a los estudiantes para aplicar las matemáticas. Sin embargo, los
resultados obtenidos por McGinty y Cols muestran que los Libros de Texto sugieren
8
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
todo lo contrario, esto es, los libros muestra un aumento de la ejercitación, creándose
un desfase respecto al interés que en el currículo americano se daba a que los
alumnos enfaticen la resolución de problemas y la aplicación de las matemáticas.
Guëmes (2001), hace una aproximación de las investigaciones sobre el uso del Libro
de Texto en el aula; ella reporta que dichas investigaciones exponen dependiendo de
cada autor, los usos de estos Libros de Texto y algunos factores que intervienen en
el desarrollo de este y que en general, se puede encontrar dos vertientes diferentes
respecto al uso de los Libros de Texto:
La primera se refiere a las prácticas que se tienen del uso de los Libros de Texto:
- Utilizar el Libro de Texto como currículo (Autoridad máxima que informa que y
cómo se desarrolla el currículo).
- Combinación de Libro de Texto con otros materiales. (el profesor determina el
tiempo que se debe emplear y la función que debe realizar el Libro de Texto).
- Sustitución del Texto Escolar por otros medios o materiales (El profesor
elabora su propia planificación de la enseñanza).
La segunda hace referencia al estilo de enseñanza que el profesor tiene a partir de
los Libros de Texto, así los tipos de uso de los Libros de Texto son:
- Un tipo metódico, donde se cubre todo el tiempo de la clase con el Libro de
Texto.
- Otro tipo basado en las actividades
- Un tipo centrado en la discusión y/o reflexión.
Cabe mencionar que en los dos primeros tipos se puede referir a un modelo de
Dependencia Profesional de Libro de Texto y el último a un modelo de Autonomía
Profesional respecto a este.
9
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.2.2 Sobre el discurso matemático en los Libros de Texto
Alberto y Cadoche (2002) realizaron un estudio llamado “Descripción de situaciones
didácticas desde los Libros de Texto”, éste trabajo tiene dos componentes
principales: el Libro de Texto y el tratamiento didáctico dado al número real. En la
primera parte del trabajo se describen las características principales que posee un
Libro de Texto dentro de un sistema educativo y posteriormente, utilizando una
selección de Libros de Textos se identifican algunas propuestas didácticas con las
que se presenta el número real.
Ortiz (2002), realiza un estudio descriptivo enfocado al significado de los conceptos
probabilísticos en textos de secundaria, teniendo esta investigación como ejes
principales los Libros de Texto, por considerar que éstos, constituyen un recurso
didáctico fundamental, no sólo para los alumnos que lo usan, sino para el profesor
que basa en ellos una gran parte de su actuación docente, y por otra parte el
contenido matemático, que en este caso es en el campo de la probabilidad, por
considerar no sólo su importancia sino que es un área que ha recibido una atención
comparativamente menor que otros temas del currículo.
El análisis realizado en esta investigación permite identificar puntos críticos que
deberán tenerse en cuenta en la elaboración de los nuevos materiales curriculares
para la enseñanza en este caso particular, de la probabilidad en estos niveles.
Por otra parte, Carranza et al (2002) realizan una investigación haciendo un
comparativo de tres Libros de Textos, respecto al concepto de función en con texto
institucional. Su estudio se describe así mismo como la identificación de los
elementos más característicos del significado atribuido al objeto matemático “el
concepto de función” en el contexto institucional: los Libros de Texto.
10
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1.2.3 Sobre los Libros de Texto desde el punto de vista de la socioepistemología
Castañeda et al. (2001) realizan un estudio que presenta la recopilación de algunos
de los elementos teóricos y metodológicos para el análisis de textos matemáticos
antiguos, mostrando no sólo la experiencia acumulada por diversos investigadores
agrupados en la perspectiva socioepistemológica sino los resultados que pueden
obtenerse a través de la lectura de textos matemáticos antiguos. El ejemplo que
consideraron de manera amplia gira en torno a algunos hallazgos que se han
realizado al concepto “Función”.
Su contribución es el presentar un primer acercamiento sistemático respecto al seno
de la perspectiva socioepistemológica. En este sentido su escrito puede ser una guía
para aquellos que estén interesados en realizar estudios de obras matemáticas de
antaño con el objetivo de profundizar en las dimensiones de la construcción del
conocimiento. Los estudios que realizaron con esta perspectiva les permitieron, por
ejemplo, rescatar una base sustantiva de caracterizaciones para algunos de los
conceptos del Cálculo que no están presentes en el discurso matemático escolar. Sin
duda esto contribuye una pieza de conocimiento, de alto valor y de utilidad en el
desarrollo y puesta en funcionamiento de situaciones de aprendizaje utilizando
argumentos de la didáctica de antaño.
Castañeda (2002), en su investigación socioepistemológica relativa a la
caracterización de la evolución didáctica del punto de inflexión, dio cuenta de los
mecanismos institucionales para la difusión del conocimiento y de las prácticas
asociadas al estudio del punto de inflexión dentro del ámbito de las diferencias
infinitesimales.
La difusión del cálculo (como fenómeno de divulgación del saber) con fines
didácticos se originó a partir de la necesidad de compartir los nuevos saberes que
Leibniz, y por otra parte Newton, formularon. Pero el desarrollo de este proceso tuvo
11
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
intérpretes que aportaron una versión, si bien fiel a las ideas, ordenada y con una
secuencia que atendía a la lógica evolutiva de las ideas, entre estos matemáticos
identificamos la obra del Marqués de L’Hospital y de María de Agnesi.
Los tratados de L’Hospital (1696) y Agnesi (1748) constituyen los primeros trabajos
concebidos, específicamente para la difusión del cálculo, por lo cual su tratamiento
del saber trata de ser didáctico y claro, incluyendo además ejemplos, problemas y
amplias explicaciones, de tal forma que un lector no necesariamente experto en la
materia podría acercarse sin problema a ellos.
A fin de investigar la influencia que ejercieron estos trabajos en las nuevas
generaciones de matemáticos, por medio de la socioepistemología, analizaron las
caracterizaciones y el tratamiento que hicieron Agnesi y L’Hospital de las ideas
infinitesimales, para trazar una ruta en la evolución de los conceptos: cómo el saber
erudito devino en uno destinado a la difusión, y a la manera en que éste permitió una
evolución conceptual hacia teorías analíticas del cálculo propias de un ámbito
erudito.
Las obras de estos personajes se publicaron cuando aún el cálculo estaba en un
proceso de construcción. El papel de las obras se reconoce en dos sentidos; al
aportar una aproximación del nuevo cálculo intentando clarificar las ideas y como
medio difusor de un nuevo saber a través de un discurso especialmente escrito para
fines didácticos o de difusión. Este último rasgo los define como los primeros Libros
de Texto de cálculo de la historia y se reconoce en ellos un primer esfuerzo por
estructurar un curso escolar del cálculo. En este ejercicio de organización y de
formulación de un nuevo discurso se ha identificado el papel argumentativo de la
geometría así como un acercamiento al cálculo basado en explicaciones geométricas
también con carácter infinitesimal, es decir, que rompían con la axiomática de la
geometría euclidiana.
Por otro lado, esa investigación mostró la existencia de ciertas prácticas que
caracterizan saberes, como el punto de inflexión, a través de situaciones en donde
se hace necesario ese saber.
12
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Estas prácticas se identificaron integradas al discurso que proponen los libros antes
citados, en ellas se observa que el acercamiento a la ideas matemáticas se da a
través de modelos geométricos en los que se representa la variación (como el caso
de la variación máxima de la subtangente), así las aproximaciones sucesivas sobre
una curva representa una actividad específica que permite caracterizar la inflexión en
una curva.
Concluyeron que el desarrollo del cálculo no se dio de forma lineal dentro de una
élite erudita. Para constituir una base de significados del cálculo, se requirió del
cuidado en la organización, caracterización y argumentación desde distintos planos,
incluyendo las ideas que aportaron los autores de obras de difusión, a quienes se
debe un grado de originalidad.
1.2.4 El fenómeno de reproducibilidad
Una primera concepción del fenómeno de reproducibilidad, puede entenderse como
aquel fenómeno que nos permite ver los efectos didácticos que surgen al repetir
alguna situación didáctica en escenarios de aplicación diferentes, así mismo, permite
encontrar aquellos elementos que pueden ayudar a la estabilización de dichos
efectos.
Brousseau (1986) introduce en su investigación el fenómeno de envejecimiento de
las situaciones; dicho fenómeno pone en duda los esfuerzos del profesor para
producir una misma lección en contraste con los resultados de aprendizaje obtenidos
por sus alumnos, puesto que estos resultados no son los mismos en cada repetición,
en diferentes escenarios, y a veces tienden a ser muy decadentes; entonces ¿Qué
es lo que realmente se está produciendo o reproduciendo?; enmarcando que “Saber
lo que se ha reproducido en una situación de enseñanza es justamente el objeto de
la didáctica, que no es resultado de observación sino de un análisis que se apoya en
el conocimiento de los fenómenos que definen lo que dejan invariante”. Esta
13
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
concepción viene a definir de manera más completa al fenómeno de la
reproducibilidad, al incluirlo como punto de estudio de la Matemática Educativa, y
fenómeno fundamental que puede ayudar al desarrollo de situaciones de enseñanza;
puesto que la búsqueda de la mejora en la enseñanza de matemáticas, no solo debe
mostrar reglas sobre los métodos de enseñanza, sino contribuir en el desarrollo de
instrumentos que contribuyan a esa mejora.
Es por ello que se mira a la reproducibilidad como fenómeno didáctico que permite
mirar la posible repetición de efectos didácticos, que se encuentran determinados por
múltiples factores (internos y externos) que afectan el logro didáctico, es decir, el
cumplimiento de los propósitos didácticos establecidos. En palabras de Lezama
(2005) el fenómeno de reproducibilidad emerge en el contexto de una intervención al
sistema didáctico, por lo cual es indispensable abordarlo desde una perspectiva
sistémica (Socioepistemología)
Este fenómeno es explicado a través de la reproducibilidad Interna2 y
reproducibilidad externa3. En este sentido la reproducibilidad no solo debe mirarse
como algo externo sino como la covariación de lo interno y lo externo, pues, buscar
los mecanismos de reproducibilidad interna haciendo uso de todos los factores que
constituyen la reproducibilidad externa (Lezama, 2005), puesto que la influencia
interna tomara materialización a través de la reproducibilidad externa, y podrá ser
explicada uno con respecto a la otra, ya que una podría ser tomada como la razón de
la otra.
En necesario recalcar que las investigaciones aquí presentadas nos marcan algunos
limites para el estudio del fenómeno de reproducibilidad en situaciones didácticas,
esto implica que la reproducibilidad busca un cambio en el proceso didáctico
convencional, a través de la introducción de ingenierías que sean utilices en el
proceso de aprendizaje escolar, así como la mejora en la actuación didáctica del
profesor.
2 La reproducibilidad interna es entendido como aquella construcción de conocimiento sobre algún contenido matemático. 3 Comportamientos individuales y colectivos de los estudiantes.
14
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El estudio de la reproducibilidad se ha enfoca en estudiar la intervención del sistema
didáctico, donde el polo del saber es el que permanece estable (Lezama, 2004). Es
por ello que se centra en mirar las repeticiones encontradas en las permutaciones de
los escenarios, profesores y alumnos; siendo estos dos últimos los más difíciles de
controlar.
Aunque no existen estudios donde se extrapole el fenómeno de reproducibilidad, de
una situación didáctica a estudiar Libros de Texto de matemáticas, no es algo ilógico
pensar en la reproducibilidad de los Libros de Textos, puesto que el estudio de la
reproducibilidad está en búsqueda de una práctica ideal, logrando así quizás no una
concepción utópica de la enseñanza sino la mejora de la practica escolar
convencional.
Así, podemos decir que el estudio de la reproducibilidad puede extenderse a estudiar
la reproducibilidad de los Libros de Textos a través del DME presentes en las
propuestas didácticas de los autores de los Libros de Texto, como dijese Lezama
(2005), ¿Cómo garantizar (…) la estabilidad de los efectos didácticos en una
actividad de clase, o el uso de un texto, de una ingeniería didáctica o de una
propuesta curricular(…)?, siendo esta cuestión la justificación más relevante de a la
inquietud de estudiar la reproducibilidad en los textos, aun cuando la reproducibilidad
tienda a ser modificada en el sistema didáctico y su forma de estudio, pues ¿cómo
será entendida la interacción del sistema didáctico?
15
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Para dar cuenta del discurso matemático escolar (DME) presente en los Libros de
Texto, llevamos a cabo un estudio del tratamiento del concepto Función y sus
gráficas en dicho DME, valiéndonos de un análisis epistemológico del concepto de
función; adicionalmente, pretendiendo dar respuesta a nuestras preguntas de
investigación, nos valdremos de la aproximación teórica la socioepistemología que
nos permite estudiar por una parte, las razones de los usos que los profesores de los
COBAY’s dan a los Libros considerados “de Texto” desde una perspectiva múltiple
(cognitiva, epistemológica, didáctica y social), y por otra parte, para determinar si
existe el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto desde la perspectiva
cognitiva y la didáctica.
2.1. La socioepistemología
La socioepistemología es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que
permite tratar los fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una
perspectiva múltiple, al incorporar el estudio de las interacciones entre la
epistemológica del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos
asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza.
Tradicionalmente, las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento
es resultado de la adaptación de las explicaciones teóricas con las evidencias
empíricas, ignorando, sobremanera, el papel que los escenarios históricos, culturales
e institucionales desempeñan en la actividad humana. La socioepistemología, por su
17
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
parte, plantea el examen del conocimiento social, histórica y culturalmente situado,
problematizándolo a la luz de las circunstancias de su construcción y difusión
(Lezama, 2005).
La socioepistemología, en tanto aproximación teórica que aborda desde una
perspectiva sociocultural el problema de estudio de las matemáticas así como los
fenómenos didácticos asociados a la misma, permite explicar la naturaleza de un
discurso y mostrar evidencias de cómo se construye el conocimiento.
2.1.1. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto
Castañeda (2005) afirma que en una obra se puede identificar una intencionalidad
del autor de difundir sus ideas, es en esta circunstancia que un análisis
socioepistemológico no sólo debe atender el contenido matemático que se dice y se
transpone, sino también analizar las formas y procedimientos por los que éste
conocimiento se comparte; las formas en las que se explican las ideas, los ejemplos
que propone, la organización de la información, en suma, caracterizar la
estructuración del saber que se expone.
Como al estudiar las razones de los usos que los profesores del COBAY dan a los
Libros de Texto, estamos estudiando fenómenos didácticos como resultado de una
interacción con el Libro de Texto, esta investigación nace en el seno de una
aproximación teórica, la Socioepistemológica, que busca explicar cómo se aprende,
cómo se enseña y qué se enseña, para lograr desarrollar el pensamiento matemático
de los estudiantes, vía el rediseño del Discurso Matemático Escolar, contemplando
elementos cognitivos, epistemológicos, didácticos y aportando elementos de carácter
social para explicar las razones de estos usos.
18
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
A continuación se definirá la manera en la que veremos cada una de las
componentes socioepistemológicas y será notorio que estudiamos las razones de los
usos por medio de los criterios de su elección ya que están íntimamente
relacionados, es decir, si un profesor me afirma que eligió un libro porque considera
que sus ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes, es lógico que éste
profesor tome del libro, sus ejemplos y ejercicios en su labor docente y además
sabemos que esta razón obedece a la didáctica, por tanto tengo información del uso
que le da, y de la razón por la que se da ese uso.
Estudiamos si las razones de los usos se deben a razones epistemológicas en
cuanto a la forma en la que los profesores creen que se construye el conocimiento
matemático, es decir, la forma en la que ellos creen que se da el aprendizaje en sus
alumnos, En cuanto a las razones asociadas a la epistemología nos interesa
conocer, cuál es la forma en la que el profesor cree que se da el aprendizaje de las
matemáticas y para él, qué papel juega el Libro de Texto en dicho proceso. Para
esto.
Con respecto a la didáctica, Castañeda (2005) distingue un análisis didáctico a las
obras de texto, fijándose en el tratamiento de la matemática para un fin específico
que es el aprendizaje, en este caso podemos observar en las obras de texto,
estrategias de comunicación, ejemplos para introducir el tema, dibujos o metáforas
para el tratamiento didáctico de la matemática.
De manera similar, consideraremos la didáctica cómo la forma en la que se difunde,
transmite e informan los contenidos matemáticos en los libros.
Entenderemos las formas de informar, difundir y transmitir los conceptos
matemáticos en el Libro de Texto de la siguiente manera:
Formas de informar: son las formas en las que los conceptos matemáticos pueden
ser plasmados con el fin de mostrar el conocimiento, sin pensar en la cantidad ni el
tipo de gente a la que debe de llegar.
19
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Formas de difundir: divulgar y propagar son sinónimos que nos pueden ayudar a
entender el objetivo de difundir el conocimiento, para lograr difundir es necesario
pensar a quienes esta dirigido el conocimiento y que se requiere para llegar a la
mayor cantidad de lectores.
Formas de transmitir: estas tienen como objetivo el transferir el conocimiento, lograr
que por medio de sus formas se construya el conocimiento matemático y de esta
manera que éste sea apropiado por los lectores.
La cognición estudia procesos mentales, por tanto, para analizar si las razones de los
usos de los Libros de Texto de matemáticas depende de factores cognitivos, nos
preguntaremos si los profesores consideran la cognición de los estudiantes al elegir
los textos que utilizan, así como el diseño del propio libro, ya que éste tiene como
respuesta procesos cognitivos en los estudiantes.
Por último, pero no menos importante se encuentra el factor sociocultural, el cual
también influye fuertemente en las acciones de los individuos, ya que
inconcientemente actuamos regidos por las costumbres o decisiones sociales en las
que estamos inmersos. Consideraremos como razones socioculturales a los usos
que obedezcan al consenso, a las costumbres o a normatividades.
2.1.2. Socioepistemología como aproximación teórica para el estudio del DME
Otra caracterización del Discurso Matemático Escolar (DME) es la hecha por Montiel
(2006) como conjunto de restricciones, explícitas o implícitas, que norman la
actividad áulica y al discurso escolar mismo. Sostiene, que se ha organizado durante
años (siglos), para responder a cuestionamientos de orden teórico e ideológico que
muestren la coherencia interna del discurso argumentativo o de las eventuales
implicaciones que tendría el conducir al razonamiento bajo hipótesis inusuales.
20
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Puesto que el Libro de Texto, surge de la necesitad social de mantener y comunicar
los saberes, con el fin de que cualquier individuo pueda acceder a ellos para adquirir
conocimiento matemático, la aproximación teórica, Socioepistemología, permite el
estudio de las formas en que es comunicado y difundido el saber, y siendo el Libro
de Texto una de esas formas, entonces, esta teoría conciente el estudio del DME,
que se presenta. La realización del estudio es de carácter Socioepistemológico (Ver
figura 1), puesto que, una forma de hacer investigación en Matemática Educativa, es
problematizando el saber matemático escolar bajo la unidad de análisis sistémica, las
cuales consideramos caracterizar de la siguiente manera.
Al referirnos de la componente sociocultural, en el DME, hablamos que el Libro de
Texto, es producto de un desarrollo histórico, pues el DME que contiene, ha ido
evolucionando de acuerdo a los avances en las tendencias educativas y las nuevas
necesidades sociales que se presentan a lo largo del tiempo. Esto requiere un
estudio mucho más profundo y amplio que el presente, donde su realización no es,
para el carácter de este estudio, una prioridad. La componente sociocultural, aquello
que provee de sentido, significado y “funcionalidad” a los conceptos matemáticos, en
términos socioculturales, prácticas sociales, prácticas de referencia, etc.
En Castañeda (2005), al estudiar el libro “calculo diferencial”, argumenta que: a
través de un estudio al discurso matemático escolar, se puede identificar el
tratamiento que ofrece el autor del Libro de Texto a las ideas. Con ello sostenemos
que la componente epistemológica obedece a establecer de manera explícita la
forma en que un concepto matemático se presenta en el Libro de Texto, es decir,
cómo el autor concibe un concepto matemático y cuáles son los argumentos que
sostienen dicha concepción.
La componente cognitiva, como se encuentra relacionada con los procesos
mentales, para el estudio será entendida como aquellas demandas cognitivas que el
tratamiento, presentes en el DME, exigen de los estudiantes.
Por ultimo, la componente didáctica, en cuanto a los tratamientos que ofrece el Libro
de Texto, para la comprensión de un concepto matemático, de acuerdo a las
21
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
consideraciones que ellos tienen sobre las matemáticas y la forma en que pueden
ser aprendidas.
Fig. 1. Esquema de estudio del fenómeno de reproducibilidad a través de la socioepistemología
2.2. Estudio de la existencia de la reproducibilidad
Sin bien, un Libro de Texto influye en la enseñanza, pues en el ámbito escolar
cumple, entre otras funciones, la de fuente de consulta del saber que se estudia, así
como la de organizador en la creación de programas de estudio, estructuración de
cursos y seminarios o de situaciones específicas en la preparación de clases,
elaboración de problemarios, guías de estudio o exámenes. Con una mirada más
profunda, se puede advertir una doble naturaleza en las obras de texto: como una
obra de texto, referida a los elementos estructura y organización, y aquellos tocantes
a su contenido, es decir, al discurso que contiene (Castañeda, 2006). Entonces
algunos de los elementos que define al discurso matemático escolar, son los Libros
22
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
de Texto en los que se apoya la enseñanza del aula y el tipo de explicaciones que
usa el docente en clase para comunicar un saber a enseñar y que algunas veces se
basa en las experiencias cercanas con las que cuentan los individuos. Por ello, parte
del estudio del discurso matemático escolar que se presenta en el aula, se puede
realizar a través del discurso matemático escolar contenido en los Libros de Texto
que son usados por los profesores.
Para este estudio se toma a la Socioepistemología, aproximación teórica, como
metodología que permita estudiar los efectos didácticos que surgen como
consecuencia de la introducción de un Libro de Texto en el aula. Con está
concepción se trata de estudiar aquellos factores que se repiten de un Libro de Texto
a otro, de acuerdo al DME, y que de una u otra manera pueden producir un efecto
didáctico, es por ello que uno de las cuestiones que se pretenden estudiar en el DME
de los Libros de Textos es si el fenómeno de reproducibilidad esta presente en los
Libros de Texto
Una primera noción del fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto, mira al
Libro de Texto como un objeto didáctico, que afecta el cumplimiento de los
propósitos didácticos, y que facilita la observación de las posibles repeticiones de los
múltiples factores que causan la reproducción del discurso matemático escolar
contenida en los Libros de Texto al ser introducido en el sistema didáctico.
Si al hablar del fenómeno de reproducibilidad nos referimos a múltiples factores, que
pueden ser de carácter Interno o Externo, y que a través de ellos se puede explicar
al fenómeno de reproducibilidad, ¿cómo entonces se explicaría la reproducibilidad en
este nuevo contexto?
La reproducibilidad interna se encuentra relacionada con la construcción de
significado y aprendizaje de un contenido matemático, es decir, son las
construcciones mentales que los individuos desarrollan como estrategias para
enfrentarse a una situación que involucra un concepto matemático, en un Libro de
Texto no podemos mirar al autor al enfrentarse en una situación descrita en su Libro,
pero si podemos encontrar “algo implícito” presente en su propuesta y que este
23
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
relacionado con la construcción de significados y aprendizaje. Se denomina
Reproducibilidad Implícita (Tacita) aquella que esta relacionada con la construcción
de un conocimiento matemático escolar en el Libro de Texto y cuya construcción del
conocimiento se encuentra en el tratamiento que el Libro ofrece sobre un concepto y
que considera ideal.
La reproducibilidad externa esta constituida por las publicaciones de los estudiantes,
es decir, los comportamientos colectivos o individuales que se presentan a lo largo
de la puesta en escena de una situación didáctica, los factores que aquí se
presentan son fáciles de observar. En un Libro de Texto se puede observar la
propuesta que los autores presentan, es decir, son las consideraciones que el autor
hizo para proponer los tratamientos que se presentan en su Libro y que pueden o no
contribuir a la construcción de aprendizaje significativo, esta es a la que se denomina
Reproducibilidad Explícita.
Es por lo expuesto anteriormente, que la Socioepistemología (Ver figura 2) nos
permitirá determinar si existe el fenómeno didáctico de reproducibilidad en el
tratamiento del contenido matemático propuesto por el autor, en términos didácticos
y cognitivos, esto es, diremos que un tratamiento se reproduce cognitivamente si las
demandas cognitivas para el estudiante son las mismas en ambos Libros de Texto,
independientemente de los tratamientos que los libros están ofreciendo para un tema
especifico.
24
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Fenómeno de Reproducibilidad Reproducibilidad
Tacita
Soci
oepi
stem
olog
ía
Reproducibilidad Explicita
Fig. 2. Esquema de reproducibilidad sobre los Libros de Texto
Diremos que un tratamiento se reproduce didácticamente si en la forma en que el
autor comunica los contenidos matemáticos, es decir, si en el tratamiento que le da a
los contenidos está normado por un mismo ideal, si la intencionalidad en ambos es la
misma, si en ambos tratamientos se espera que los efectos producidos sean los
mismos.
Ya determinado el tratamiento presente en los Libros de Texto, se estudiará aquellos
aspectos que se reproducen didáctica y cognitivamente de un tratamiento a otro,
para ello utilizaremos tablas comparativas, las cuales contengan la información
recabada del estudio del tratamiento matemático presente en cada Libro de Texto,
así como las intencionalidades de dicho tratamiento. De esta manera, se podrá
estudiar la existencia el fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto.
Libro de
Texto
Noosfera
Efecto de la transposición
Libro de
Texto
Saber
Propuesta Tratamiento Propuesta Tratamiento
Efecto de la transposición
25
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
En este capítulo se expresa en forma detallada los aspectos metodológicos
considerados para la realización de nuestra investigación.
3.1 Etapas de la investigación
Nuestra investigación fue de tipo cualitativa, debido a los objetivos de nuestro
trabajo, el cual podemos verlo estructurado en tres etapas:
I. Estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas.
II. Análisis del DME presente en dichos Libros de Texto.
III. Estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de
Texto.
El desarrollo de cada etapa se realizó en este mismo orden, ya que para hacer el
estudio de las razones de los usos de los Libros de Texto de matemáticas es
necesario interpretar la información que proporcionó cada profesor, por lo que
consideramos pertinente, realizar primero este estudio para evitar que el conocer el
DME presente en dichos Libros de Texto, éste influya en nuestras interpretaciones y
conclusiones con respecto al estudio de las razones de los usos. Y para poder hacer
27
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
el estudio de la existencia del fenómeno de la reproducibilidad en los Libros de Texto,
fue necesario realizar primero el Análisis del DME presente en dichos Libros de
Texto, ya que la información de éste, se utilizó en el estudio de la existencia de la
reproducibilidad.
Se trabajó con el concepto “Función”, en la materia Matemáticas IV, la selección de
del concepto para nuestro estudio, se debió a que es uno de los conceptos
obligatorios en la educación del nivel bachillerato y de los más difíciles tanto para
enseñar como para aprender (Dubinsky y Harel, 1992, citado en Farfán, et. al. 2003),
además este concepto se aborda en la materia Matemáticas IV (Precálculo), que
desde el punto de vista del sistema de la enseñanza, el curso de precálculo es un
repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra y
de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio de función
(Farfán, et. al. 2003).
3.2 Acciones realizadas por etapas
3.2.1 Elaboración y aplicación de la encuesta
Con la intención de recabar la información necesaria para llevar a cabo nuestro
trabajo, se elaboró una encuesta4 estructurada. Las tablas y preguntas se diseñaron
y estructuraron para conocer lo siguiente:
• Información acerca de los libros que utilizan los profesores.
• Usos que los profesores dan a dichos libros.
4 La encuesta se encuentra en el apartado de anexos
28
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• Razones asociadas a estos usos.
• Información general sobre la necesidad de contar con un libro de texto y las
características que en su caso debiera tener dicho libro.
Una vez concluida la encuesta, se aplicó a todos los profesores que imparten la
asignatura Matemáticas IV en los COBAY’s de los planteles Xoclán, Santa Rosa y
Chenkú de la ciudad de Mérida, Yucatán, estos planteles fueron considerados como
los más significativos debido a que son los tres planteles con mayor número de
alumnado en el estado, de acuerdo a la información proporcionada por el
Departamento de Servicios Académicos del COBAY y que por lo tanto se
consideraron los más significativos; en total fueron 7 los profesores los que
accedieron a responder dicha encuesta.
3.2.2 Estudio socioepistemológico sobre las razones de los usos de los Libros de Texto
Se les proporcionó un listado de los posibles usos5 que le pudieran dar a los Libros,
usos que se dedujeron en base a nuestra experiencia y se dio un espacio para que
especifiquen algún otro uso que le estuvieran dando a los Libros y que no hayamos
considerado. También se definieron cada uno de los aspectos que se considerarían
como didácticos, cognitivos, sociales y epistemológicos respecto a dichos usos y de
acuerdo a eso se proporcionaron características por las cuales seleccionaron los
Libros de Texto que usan6. La encuesta se diseñó de tal manera que podamos tener
la información necesaria para la ejecución de este estudio.
Nuestras unidades de análisis para este estudio son las siguientes:
5 Ver anexo 6 Revisar marco teórico
29
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• Para la epistemología, nos fijamos si los profesores seleccionan un libro por la
secuencialidad en su estructura, o en el orden de las actividades (por ejemplo, si
se presentan conceptos, ejemplos y ejercicios, o actividades, conceptos y
ejercicios, etc.).
• Miraremos una razón didáctica asociada a los usos dados a los Libros de Texto,
si los profesores escogen algún libro fijándose en las formas descritas a
continuación:
Formas de informar: algunas formas pueden ser de manera escrita, gráfica,
lúdica, axiomática, o alguna otra.
Formas de difundir: si los textos cuenten con accesibilidad del vocabulario, con
precisión de los contenidos para el fin que se tenga o que los ejemplos que utiliza
sean familiares para los estudiantes.
Formas de transmitir: Estos medios serán el tipo de actividades, las definiciones
empleadas, el enfoque o enfoques que utiliza.
• Con respecto a lo cognitivo, lo verificamos mirando si éste piensa en el grado de
dificultad del libro, en lo que refiere a los ejemplos, ejercicios, al enfoque; ya que
todo esto exige procesos mentales por parte de los estudiantes. También nos
fijamos en el diseño del propio libro, si éste es atractivo para los estudiantes, con
respecto a los colores, tipos y tamaños de letra, imágenes, etc.
• Para lo sociocultural, miramos si el grupo de profesores ha decidido cuál de los
libros utilizar y cómo utilizarlos, que el profesor lo utilice desde que él era
estudiante e imite la manera en la que se le dio uso al libro o que la institución lo
sugiera y simplemente se obedezca para poder ofrecer lo que la institución
ofrece.
30
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Por lo que, para cada Libro que utilizan los profesores, por medio de tablas
especificaron los usos que le dan y las razones del por qué le dan esos usos y una
vez realizadas las encuestas se procedió al análisis de las mismas.
El análisis de los usos se realizó en dos partes:
• En la primera, se analizaron las razones de los usos de manera global para los
tres libros más usados por los profesores, es decir, reuniendo todas sus
respuestas y haciendo el análisis del consenso para libros que más usan, la
manera en que lo usan y sus razones.
• En la segunda parte, se analizaron las razones de los usos de cada uno de los
profesores, considerando todos los libros que utilizan.
De las conclusiones hechas en cada una de las partes se hizo un encontraste y una
conclusión final.
A pesar de que fueron 7 profesores los encuestados, 2 de ellos no respondieron
correctamente la encuesta, al parecer no entendieron las instrucciones, por lo que no
pudimos considerar parte de sus respuestas, en específico las tablas de los usos y
de las razones. Se notará esta situación en el siguiente capítulo al hacer el análisis
de las respuestas, en donde se verá el estudio de 5 profesores.
3.2.3 Análisis de DME presente en los Libros de Texto
Por medio del cual pudimos determinar el tratamiento que se le da a los contenidos
en cada uno de los Libros y establecer aquellos aspectos del tratamiento que están
presentes en más de un Libro de Texto.
31
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Nuestros instrumentos fueron los mismos tres Libros de Texto más usados y algunas
tablas, que nos permitieron la determinación de aspectos que se repiten en cada
Libro de Texto. Las unidades de análisis en la cual basamos el estudio del DME, son
las siguientes:
1. Revisión de notas previas, pues en ella los autores declara de manera
explicita las percepciones sobre las matemáticas, los tratamientos ofrecidos,
el alumno y sobre el Libro mismo, (prólogo, comentarios del autor, esquemas,
entre otros)
2. Ubicación del Tema de análisis, la ubicación permite mirar el énfasis que se
le hace al tema, a través de su distribución, su énfasis en el tema, los
conocimientos previos y las aportaciones de la unidad para los capítulos
posteriores.
3. La manera en que es introducido el concepto, suponemos que aquí es
donde le autor debe motivar al estudiante, presentar la importancia del
estudio y marcar el énfasis sobre el cual se desarrollara el concepto,
4. La argumentación es la de un recurso "lingüístico" u otro tipo, que es
considerado en el objeto o concepto mismo que dan sentido (argumento
tomado como algo que da validez). La argumentación nos deja mirar la
evolución del concepto desde la idea intuitiva presentada por el autor y la
definición forma, y como esta va adquiriendo sentido y significado en la
cognición del estudiante, así mismo las relaciones de las que el autor
prescinde para darle sentido en la práctica cotidiana.
5. Los ejercicios propuestos, nos brinda un panorama de los requerimientos
cognitivos que el estudiantes tuvo que desarrollar para la resolución de los
mismos, así como el nivel cognitivo que se exige y la diversidad de ejercicios
que los autores presentan deben permitir de alguna manera, la consecución
de los contenidos posteriores.
32
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
3.2.4 Análisis del fenómeno de reproducibilidad en los Libros de Texto
Posterior al análisis del DME, el cual nos brinda información sobre el tratamiento, se
realizó un estudio que nos permitiría dar los primeros indicios del fenómeno de
reproducibilidad en los Libros de Texto, y con ello dar la primera aproximación sobre
este fenómeno didáctico, para fines de nuestro trabajo, sólo consideramos estudiar la
reproducibilidad a través de los aspectos cognitivos y didácticos, puesto que el
análisis del tratamiento permitió dar evidencias claras de estos.
Dentro de las unidades de análisis para el aspecto cognitivo, seleccionamos las
siguientes, en ellas se trato de establecer las demandas cognitivas que se exigía.
1. Los conocimientos previos. Para el desarrollo del tema propone ciertos
conocimientos que los estudiantes deben dominar y los cuales les servirán de
referencia. En esta parte, nos centramos más que en mirar el desarrollo de la
unidad propuesta por el Libro de Texto, las actividades que proponían como
evaluación formativa o Diagnóstica, pero no dejando de hacer consideraciones
sobre el DME presente en el desarrollo del capítulo o Unidad propuesto antes
de estudiar el concepto “Función”.
2. Grado de apropiación del concepto. Como el autor del Libro de Texto, a través
de los tratamientos que ofrece logra concebir el concepto “Función” y su
representación “gráfica”
3. El nivel de interpretación de los argumentos. Cuales son las exigencias
cognitivas, que el Libro de Texto requiere para que los argumentos que dan
sentido al concepto “Función”, puedan ser comprendidos; es decir, si existe
una representación semiótica el libro propone que el estudiante haga una
conversión o una trasformación
4. Grado de dificultad en los ejercicios y problemas propuestos. Son de tipo
algorítmico, analítico, etc.
33
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El estudio del aspecto didáctico fue sustentado a través del análisis del DME,
presentado en la etapa II, pues a través de dicho análisis nos enfocamos en mirar:
1. Formas de Informar. refiriéndose al tipo de argumentos que se promueven
para la apreciación de los conceptos, es decir, la forma en que son
comunicados y son dados a entender los conceptos.
2. Formas de Difundir. Ejemplos, ejercicios y problemas que se encuentren
apegados a los contextos culturales adecuados, así como el nivel del
vocabulario que se usaba durante el discurso, iba de acorde al nivel del
estudiante, podía ser entendible para él.
3. Formas de transmitir. Nos referimos al enfoque que mantiene el Libro y el tipo
de actividades que se emplean para reforzar los conceptos.
Considerando estas unidades, para los aspectos cognitivos y didácticos, se utilizó
una tabla comparativa donde que permitía comparar las demandas cognitivas de los
diferentes Libros de Texto, lo cual consideramos un efecto de cosas que se repiten.
Así mismo a través de las conclusiones y la descripción del DME, su usos y las
razones de esos usos, tratando de concluir de manera general sobre la parte
didáctica presente en los Libros de Texto, enmarcando estas unidades de análisis.
34
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
4.1 Estudio de los usos de los Libros de Texto y las razones asociadas a los mismos
4.1.1 Identificación de los Libros de Texto.
Los resultados de la encuesta muestran que los tres Libros más usados y que por
ende, serán los que consideraremos como los Libros de Texto, son los que se
describen en la siguiente tabla:
Tabla 1: Libros más utilizados de Matemáticas IV
Libro7 Datos del Libro
Libro 1 Stewart, James, et. al. Precálculo. International Thomson Editores
Libro 2 Barnett, Raymod. Precálculo: Funciones y Gráficas. Mc Graw Hill
Libro 3 Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, EDT. Nueva Imagen
Cabe señalar que los libros 1 y 2 son los que propone el subsistema COBAY en la
bibliografía del curso Matemáticas IV, mientras que el libro 3 no se encuentra en la
bibliografía, pero es un libro que los profesores utilizan por iniciativa propia, teniendo
como frecuencia de profesores que lo utilizan la misma que los otros dos libros, 4 de
7 Estos serán los tres Libros analizados y el número señalado es el que se le dará de ahora en adelante en ésta investigación.
36
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
78, es decir, los tres libros son usados en la misma frecuencia. Además, en la tabla a
cada libro se les asigna una clave, con la cual se les llamará durante este estudio, las
cuales son: Libro 1, Libro 2 y Libro 3.
4.1.2 Análisis de los usos dados a los Libros de Texto.
Una vez identificados los Libros de Texto más utilizados, procedimos a determinar
cuáles son los usos que los profesores le dan a dichos libros; los resultados de la
encuesta se describen en la siguiente tabla, donde se indica el número de profesores
que usan un determinado libro, en las formas indicadas en la columna izquierda:
Tabla 2: Usos de cada uno de los tres libros más utilizados
Formas en que usa los Libros L 1 L 2 L 3 Fuente de información para preparar las clases 3 2 2 Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. 1 2 2
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. 2 2 2
Durante la impartición de la clase. 1 ----- 3 Para elaborar los exámenes. 1 ----- 2 Otra(s). Indique cuál(es)
Esta tabla, muestra el número de profesores que utilizan un determinado libro en la
misma forma, por ejemplo: el Libro 1 es utilizado por tres profesores como fuente de
información para preparar sus clases, dos profesores usan el Libro 2 para
seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clases, etc.
Respecto al Libro 1 podemos observar que a pesar de reportarse que es usado en
todas las formas expuestas en la tabla, mayormente es utilizado como fuente de
información para preparar sus clases y para seleccionar ejercicios y/o tareas para
que el alumno resuelva fuera de la clase.
8 De acuerdo a las respuestas de los 7 profesores encuestados.
37
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Con respecto a los usos dados al Libro 2, existe un equilibrio entre “fuente de
información para preparar las clases” y “para seleccionar ejercicios y/o tareas para
que el alumno resuelva en clase y fuera de ella”. Es importante notar que no lo usan
“Durante la impartición de la clase”, ni “Para elaborar los exámenes”, lo cual puede
deberse a que utilicen notas de curso preparadas con el apoyo de éste u otros
Libros.
Como mencionamos anteriormente, el Libro 3 no se encuentra en la lista de Libros
de la bibliografía, de hecho no se encuentra en su biblioteca, sin embargo, es usado
por la misma cantidad de profesores que usa el Libro 1y 2, por lo que llamó nuestra
atención y decidimos que era importante analizarlo.
Este Libro 3, cubre todos los usos de una manera muy equilibrada, aunque es
mayormente usado durante la impartición de la clase y de hecho es el único al cual
todos sus usuarios reportan utilizarlo durante su clase.
4.1.3 Análisis de las razones que justifican los usos dados a los Libros de Texto.
Una vez identificados los usos que los docentes dan a los Libros de Texto,
procedimos a realizar un análisis socioepistemológico respecto a las razones
asociadas a estos usos, esto, nos permitió determinar si dichos usos obedecen a
razones epistemológicas, didácticas, cognitivas y/o sociales.
A continuación se muestran las razones de los usos para cada uno de los Libros de
Texto, así como, el número de docentes que atribuyeron a cada una de las razones,
y que se asocian al uso que señalan dar a cada Libro de Texto.
La información presentada en la siguiente tabla nos permitió determinar la existencia
de razones didácticas, epistemológicas, cognitivas y/o didácticas que justifican los
usos que los profesores dan a los Libros de Texto.
38
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Tabla 3: Razones de los usos para cada uno de los tres Libros de Texto
Componentes Socioepistemológicas Razones de los usos antes reportados L 1 L 2 L 3
1. Vocabulario accesible 2 ----- 1
2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) 1 ----- 3 Didáctica
3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes 1 ----- 1
4. El enfoque del Libro es el adecuado 1 ----- 3
5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada 1 1 1
6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) ----- ----- 2
Epistemológica
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 1 1 2
8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios 1 2 2
Cognitiva 9. El diseño del Libro resulta atractivo para los estudiantes ----- 2 2
10. La institución sugiere que se use este Libro 2 1 -----
11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado 1 ----- 1
12. He utilizado este Libro desde que era estudiante y lo conozco bien 1 1 -----
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez 2 2
14. Otra(s). Indique cuál(es)
4.1.3.1 Análisis por Libro de Texto
Como en la encuesta se reflejó el gran número de libros que son usados por los
profesores consideramos interesante y pertinente hacer el mismo análisis de las
razones de los usos, pero para cada uno de los profesores encuestados, con la
intención de hacer un análisis más específico de las razones de los usos presentes
en los profesores.
Respecto al Libro 1, podemos decir que las razones que justifican sus usos son tanto
epistemológicas como didácticas, cognitivas y sociales, con particular énfasis en las
39
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
siguientes razones: “Vocabulario accesible”, “La institución sugiere que se use este
Libro”, “Me lo recomendaron alguna vez”. Es decir, podemos afirmar que los usos
dados al Libro 1, son mayormente de carácter sociocultural y didáctico.
También podemos señalar que entre las razones de los usos del Libro 1, no se
encuentran las siguientes: “Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico,
analítico, etc.)”, “El diseño del Libro resulta atractivo para los estudiantes”.
Con lo anterior se puede ver que en los profesores son más comunes las razones
socioculturales y didácticas, que las epistemológicas y cognitivas, pero la diferencia
no es muy marcada y de hecho es por eso que es un libro al que le aplican diversos
usos. Es de entender, que si según los profesores no están muy de acuerdo con el
enfoque del libro, ni con su estructura y secuencialidad, ni con el grado de dificultad
de los ejercicios y/o ejemplos, ni con el diseño, ni con la precisión de sus contenidos
y ejemplos, (ya sea porque estas razones ni un profesor las seleccione o porque
solamente uno lo considere) éste libro sea usado mas frecuentemente como fuente
de información y para seleccionar ejercicios que los estudiantes resolverán, parecen
ser razones absurdas para los usos, pero también podemos ver, que las razones
más comunes son de tipo sociocultural, en específico porque la institución lo sugiere
o por alguna otra recomendación y de esta manera lo que podemos concluir, es que
las razones de los usos de este libro son más socioculturales, es decir, la institución
o alguna recomendación influyen fuertemente en los usos que le dan. También
podemos interpretar que al utilizarlo más por razones didácticas, éstas influyen en el
hecho de que éste libro es el más usado como fuente de información para preparar
las clases y para que los alumnos resuelvan ejercicios, es decir, podemos interpretar
que para éstos usos los profesores tienen más razones didácticas.
Las razones asociadas a los usos dados al Libro 2 son principalmente cognitivas y
socioculturales, y en menor número, las epistemológicas. No existen razones
didácticas asociadas a los usos dados a este libro.
Las razones más seleccionadas son por “El grado de dificultad de los ejemplos y/o
ejercicios”, “El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”, y “Me lo
40
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
recomendaron alguna vez”, pero es importante notar que son las razones más
seleccionadas entre comillas, ya que de cuatro profesores dos lo seleccionaron y eso
no es algo muy significativo., ni de las epistemológicas las concernientes al enfoque
que usa el libro y de las socioculturales “Mis compañeros profesores y yo decidimos
que es adecuado”.
Además, llama la atención que a pesar de que es el libro que tiene mayor cantidad
de usuarios, en el factor sociocultural la única razón que no seleccionaron es: “mis
compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado”, pero esto no implica que
no exista un consenso porque los profesores no quieran o no estén de acuerdo, sino
que podría incluso deberse a que no saben que existen compañeros que utilizan el
mismo libro, o alguna otra razón.
De nuevo vemos como a pesar de que los profesores no están muy de acuerdo con
las características del Libro, la mayoría de los profesores lo usan y sigue influenciado
fuertemente las razones socioculturales.
Con respecto al Libro 3, los profesores reportan que es el libro más completo y el que
más se adapta al programa ya que las razones que justifican los usos dados por los
profesores, son principalmente de carácter didácticos, cognitivos y epistemológicos;
la única razón sociocultural indicada por un solo profesor es que: “el grupo de
profesores decidieron que es el más adecuado”.
De manera más específica, podemos señalar que las razones en su mayoría son
didácticas, es decir, que es buscado por sus medios de difusión, comunicación y
transferencia del conocimiento. Particularmente una de las razones epistemológicas
atribuida a los usos de este libro, es que “su enfoque resulta ser el más adecuado”.
A manera de conclusión, podemos decir que los resultados del análisis de los usos
de los Libros de Texto y las razones que los justifican, invitan a pensar que los
profesores están concientes de las necesidades y carencias de cada uno de los
libros que utilizan y pareciera ser que es por ello que consultan varios libros con la
intención de subsanar dichas carencias que tienen con uno u otro libro. Esto lo
41
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
podemos ver más claramente en que la parte cognitiva que le falta al libro 1 (Stewart,
James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores), es subsanada por el libro
2 (Barnett, Raymod. Precálculo: Funciones y Gráficas. Mc Graw Hill) y la parte
didáctica que le falta al libro 2 es subsanada por el libro 1, pero también es claro que
los profesores no están totalmente convencidos de lo que ofrecen estos dos libros,
les falta la parte epistemológica en cuanto a un enfoque más adecuado al programa,
por lo que buscan el libro 3 (Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit.
Nueva Imagen), que además, refuerza todas las características que están débiles en
los otros dos libros y de esta manera los profesores cubren todas las componentes
socioepistemológicas.
4.1.3.2 Análisis por profesor
Por otra parte, en la encuesta se reflejó el gran número de Libros que son usados por
los profesores y aunque nuestro plan era analizar las razones de los usos de los tres
Libros más usados, después de realizar las encuestas consideramos importante y
pertinente hacer el mismo análisis de las razones de los usos, considerando a cada
uno de los profesores encuestados, con la intención de hacer un análisis más
específico de las razones de los usos presente en los profesores.
A continuación se presentan, para cada uno de los 5 profesores, los resultados y las
conclusiones de sus respuestas en la encuesta9.
Profesor 1
Libro 1: Stewart, James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores
Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, EDT. Nueva Imagen
Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (¿?).
9 Ver anexo 2
42
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Este profesor utiliza el Libro 1 por una sola razón, la cual es didáctica y el Libro 3 por
razones didácticas, una epistemológica y otra cognitiva, por otra parte las razones
del Libro 8 obedecen más a la didáctica y un poco a lo epistemológico y sociocultural.
El Libro 1 tiene casi todos los usos, el único que falta es “Durante la impartición de la
clase” y la única razón por la que es usado este libro, es por tener un vocabulario
accesible, la cual es de tipo didáctico y esto es extraño, ya esta única razón parece
ser suficiente para que el profesor lo utilice como fuente de información, para
seleccionar ejercicios o tareas y para elaborar exámenes.
El Libro 3 tiene todos los usos y las razones por el que es usado son dos de tipo
didáctico, (“Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) y “Los
ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes”), una epistemológica (“El
enfoque del libro es el adecuado”) y otra cognitiva (“El diseño del libro resulta
atractivo para los estudiantes”), lo podemos interpretar como que tiene de todo un
poco y tal vez lo esencial, sólo llama la atención que no tenga alguna razón
sociocultural, por lo que no sabemos cómo llegó el libro a manos del profesor, lo que
significa que la componente sociocultural no influye en las razones de sus usos.
El Libro 8 únicamente no es usado como información para preparar las clases y sus
razones son de tipo didáctico (“Vocabulario accesible” y “Los ejemplos y ejercicios
son familiares para los estudiantes”), epistemológico (“El enfoque del libro es el
adecuado”) y en lo sociocultural es fruto del consenso entre profesores, no tiene
razones cognitivas. Con estas razones se nota el por qué de que este libro sea
usado para seleccionar ejercicios y/o ejemplos y durante la impartición de la clase, el
profesor muestra que el libro tiene características adecuadas al uso de los
estudiantes.
En general, podemos ver que este profesor tiende a dar los mismos usos a los tres
libros, puesto que las razones más fuertes son más de tipo didáctico y
epistemológico, considerando que el único libro que no tiene razones cognitivas y/o
culturales es el Libro 8 (aunque en ciertos Libros también tiene alguna razón
43
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
cognitiva y sociocultural), y dichos libros sirven son el único recurso didáctico que el
profesor emplea para la planeación de sus clases.
Profesor 2
Libro 1: Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson Editores.
Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill.
Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural.
Libro 6: Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Edit. Oxford.
Libro 10: Trejo Penan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.
Mc Graw Hill.
El profesor 2 utiliza cinco libros diferentes, más sin embargo, las razones por las que
usa el Libro 1 cubren casi todas las características, es decir son de las cuatro
componentes socioepistemológicas y lo usa como “Fuente de información para
preparar las clases”, “Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno
resuelva fuera de la clase” y “Durante la impartición de la clase”.
Algo que podemos observar es que éste profesor indica que usa los Libros 2, 5 y 6,
sin embargo, no sólo no eligió ninguno de los usos que se le proporcionó en la tabla,
sino que no describe algún otro uso diferente; otro aspecto a resaltar es que para el
Libro 5 no explica las razones de algún sobre sus usos; para el Libro 2 sólo hay una
razón de tipo sociocultural (“Me lo recomendaron alguna vez”) y otra cognitiva (“El
diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”), mientras que para el Libro 6
hay razones de todo tipo (es ilógico que si considera que es un libro con tantas
características no le de ni un uso); con esto no estamos seguros si realmente utiliza
los cinco libros o si hubo alguna otra causa por la que el profesor no haya
proporcionado toda la información que se requería e incluso diera información
inexistente.
44
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Y por último el Libro 10 es usado como “Fuente de información para preparar las
clases”, “Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase”
y “Durante la impartición de la clase” y las razones por las que es usado este libro
son de tipo didáctico y epistemológico.
Si se observan las razones y los usos (ver anexo) se puede dar cuenta de que el
profesor trata de cubrir todas las razones entre todos los libros y casi todo los usos,
por tanto este profesor en su labor consulta varios libros cubriendo así todos las
componentes socioepistemológico y de hecho busca libros que no están en la
bibliografía pero que considera necesario para cubrir sus necesidades en su labor
docente con respecto a los Libros de Texto.
Este profesor señala que, como complemento, utiliza notas personales para la
planeación de sus clases y aclara que son notas que tiene desde hace muchos años.
Profesor 3
Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores.
Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill.
Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen
Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural.
Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES.
Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.
Mc Graw Hill.
Este profesor utiliza seis Libros diferentes, mas sin embargo, de acuerdo a sus
razones se pueden identificar dos grupos diferentes de Libros, los cuales son:
Los Libros 1 y 2, son libros que se sugieren en la bibliografía y de hecho las razones
por las que son utilizados son de tipo sociocultural, donde se ve claramente que los
motivos son debido a que la institución lo sugiere, a que lo utiliza desde que era
45
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
estudiante o por alguna otra recomendación, no hay razones didácticas,
epistemológicas, ni cognitivas, con excepción del Libro 2 que tiene una razón
cognitiva: “El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios” y con respecto a sus
usos, únicamente lo utiliza como “Fuente de información para preparar las clases” .
Éstos son libros que no cubre sus necesidades ni expectativas, pero que aún así
utiliza por la fuerte influencia social.
De los Libros 3, 4, 9, y 10, únicamente el Libro 4 se encuentra en la bibliografía, los
demás son recomendados por los mismos compañeros profesores (razón
sociocultural) y con respecto a las otras componentes socioepistemológicas, éstas se
cubren con casi todas las razones, por lo que parecen libros bastante completos y
también se refleja esta percepción en los usos que le dan a estos libros, ya que son
prácticamente todos, el único libro que no es usado como fuente de información es el
Libro 3, pero las diferencias en las razones con respecto a los otros tres libros es que
no tiene ejemplos y ejercicios familiares para los estudiantes, la cual no se pareciera
que pudiera influir en decidir ese tipo de uso.
Nuevamente se observa como el profesor utiliza una gran variedad de libros y las
razones que lo justifican abarcan todas las componentes socioepistemológicas.
Por otra parte, este profesor utiliza una antología y una recopilación de ejercicios
para apoyarse en la planeación de sus clases.
Profesor 4
Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.
Este profesor únicamente utiliza el Libro 2, el cual es uno de los libros que se
encuentra en la bibliografía y que de hecho es el más usado por los profesores
entrevistados.
Las razones de sus usos son: “La estructura y secuencialidad de los contenidos es
adecuada” y “El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes”, que son de
46
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
tipo epistemológico y otra de tipo cognitivo respectivamente; por lo que el profesor no
considera razones didácticas, ni socioculturales para los usos que le da al libro.
En cuanto a los usos del libro, el profesor especifica que es una fuente de
información para preparar la clase y para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el
alumno resuelva fuera y dentro de la clase; por esto es que se puede pensar en que
este profesor utiliza el libro como guía para su clase, debido a que utiliza solamente
un libro y está de acuerdo en la estructura y secuencialidad de los contenidos del
libro. Y es que realmente las dos razones que seleccionó son prácticamente las
elementales para los usos que le da al libro, o sea de tipo epistemológico y cognitivo.
Por ultimo, el profesor menciona que además del Libro 2, se apoya en notas
personales para la planeación de sus clases.
Profesor 5
Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.
Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen
Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Publicaciones cultural.
El profesor 5, utiliza 3 libros para planear sus clases, de los cuales dos son de la
bibliografía y el Libro 3 no.
Los usos que le da al Libro 2, no son muchos, lo usa para “Para seleccionar
ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva dentro y fuera de la clase”. Las
razones seleccionadas son: “Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura” y” El grado
de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios”, las cuales son razones de tipo
epistemológico y cognitivo, respectivamente; no selecciona ni una razón de tipo
didáctico, ni sociocultural y de hecho son muy pocas las razones por las que usa este
libro. Además se puede ver que las razones si están relacionadas con los usos, pero,
auque hay otras razones que podrían estar relacionadas con los usos que se le
47
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
profesor le asigna al libro, al no ser seleccionados podemos interpretar que el libro no
las ofrece.
Al Libro 4 le da todos los usos y obedece a más razones por las que se usa, pues
son de tipo: didácticas, epistemológicas y cognitivas, seleccionando casi todas las
razones, la única que no es seleccionada es: “El diseño del libro resulta atractivo
para los estudiantes”. Con sus respuestas se nota, para el profesor, el Libro de Texto
en muy completo en su contenido, y podemos decir que las razones de los usos de
este libro son de tipo didáctico, epistemológico y cognitivo.
El Libro 3 también parece ser un libro bastante completo para el profesor,
manteniendo las mismas razones de los usos que considero en el Libro 4, es decir
de tipo didáctico, epistemológico y cognitivo, sólo que con dos razones menos que el
Libro 4, las cuales son “Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes”
y “La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada”. En cuanto a los
usos solamente es como “Fuente de información para preparar las clases” y “Durante
la impartición de la clase”.
Pareciera ser que el Libro 4, es del que más se apoya en sus clases, y los otros
sirven como de apoyo, para reforzar lo que le ofrece el Libro 4.
Nos llama la atención que no haya seleccionado ni una razón sociocultural, lo que
significa que es algo que no considera este profesor como importante a considerar
para determinar el uso que le de a los libros, en general con todos lo libros que utiliza
abarca una amplia variedad de usos y las razones por las que se dan esos usos son
de tipo, didáctico, cognitivo y epistemológico.
Este profesor no respondió al preguntarle si utiliza algún otro material para
desarrollar su curso, nos dejó el espacio de respuesta en blanco, por lo que
interpretaremos que no utiliza ni otro material más que los libros que mencionamos
con anterioridad.
Después de haber hecho un análisis de los usos para cada profesor, podemos
concluir que independientemente de la formación de los profesores, del sexo, de las
48
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
edades e incluso del plantel en el que se encuentran laborando, todos ellos, de
alguna manera tienen razones concernientes a las componentes
socioepistemológicas, buscando la mayor diversidad posible, aún sin conocer éstas
componentes y buscan en los libros de manera natural dichas características, porque
están concientes de la importancia de éstas, de que para el logro de los objetivos, es
necesario considerarlas en su labor docente, en específico en el uso que le dan a los
textos de matemáticas.
4.1.4 Aspectos complementarios
En la encuesta también se incluyeron las siguientes preguntas, a las que también
mostraremos sus respuestas.
1. ¿Considera importante contar con un Libro de Texto para el curso? Sí ( )
¿Por qué? No ( ) ¿Por qué?
Cuatro de los cinco encuestados respondieron que si es necesario un Libro de Texto
para el curso, solamente un profesor contestó que no y su respuesta al por qué fue,
“no es necesario”.
Las respuestas que dieron los profesores al por qué si es necesario tener un Libro de
Texto para el curso fueron: “porque es un guía para el alumno y puede leer más
ejemplos en casa”, “por los ejercicios a realizar en clase y en casa”, porque el
alumno debe tener su Libro de Texto para consulta y resolución de ejercicios
propuestos por el maestro”, y “para no consultar tantos Libros”.
Con sus respuestas, los profesores muestran la preocupación que tiene porque los
estudiantes tengan un libro que les sirva de apoyo para estudiar, lo cual es una de
las funciones del Libro de Texto, ser instrumento para la construcción del
conocimiento.
49
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
2. Si respondió afirmativamente a la pregunta anterior, escriba cuáles considera
serían las características que debería tener dicho Libro de Texto.
Las respuestas fueron: “que sea un Libro con enfoque constructivista y que
promueva el pensamiento geométrico”, “atractivo a la vista, correlación de temas,
exploración de teoría explícita, ejemplos de diferente grado, autoevaluación”, “los
temas apegados al programa, ejercicios resueltos y para realizar, problemas de la
vida cotidiana para resolver y evaluaciones por unidad” y “completo en cuanto a
ejercicios y lenguaje sencillo”.
Con estas respuestas los profesores confirman que las características que buscan en
los Libros de Texto son a su vez las razones por las que usan de cierta manera los
libros, y éstas razones son de acuerdo a los cuatro aspectos que se consideraron,
por lo que piden se encuentren en un Libro de Texto, ya que no cuentan con uno que
sea completo de acuerdo a sus necesidades.
4.2 Análisis del discurso matemático en los Libros de Texto
De acuerdo que uno de lo principales objetivos es analizar el discurso matemático
presente en los Libros de Texto de Precálculo, particularmente el concepto de
“Función” es necesario describir los tratamientos que según los autores son útiles
para su comprensión, a través de los factores presentes dentro de el Libro.
Estos factores pueden ser explícitos e implícitos (tácito). Los factores explícitos se
encuentran plasmados al comienzo del Libro dentro del prólogo, introducción,
prefacio, las notas previas del autor, etc., y los factores implícitos, aquellos presentes
en el dentro del tratamiento que se le da al contenido matemático en cierta unidad o
capítulo del Libro de Texto.
50
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
En el análisis explicito se debe observar todo lo que el autor considera importante
para el desarrollo del tema, el enfoque que propone, así como de las herramientas
necesarias para alcanzar sus objetivos propuestos.
Para considerar el análisis implícito del concepto “Función”, se tiene que observar
como vive este concepto a través análisis de su tratamiento, es por ello que interesa
conocer: ubicación del tema, introducción del concepto de función, perspectiva de la
función y argumentos que dan sentido a la función10.
Para el análisis fueron considerados los tres Libros más utilizados por los profesores
del subsistema COBAY, independientemente de si se encuentran o no la bibliografía
recomendada por las instituciones.
Libro 1: Precálculo. James Stewart, Lotear Redlin, Saleem Watson. Editorial:
International Thompson.
Libro 2: Precálculo: Funciones y Gráficas. Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler,
Karl E. Byleen. Editorial: Mc Graw Hill
Libro 3: Matemáticas IV. Pedro Salazar Vázquez, Luciano Calleja, Héctor
Domínguez. Editorial: Nueva Imagen
4.2.1 El estudio de los Libros de Texto
LIBRO 1: Stewart, James, Et.Al. Precálculo
Análisis Explícito
10 Esta manera de presentar el análisis del DME posibilito ver de manera más clara los aspectos didácticos, cognitivos, socioculturales y epistemológicos, que facilitaría el posterior estudio de la existencia del fenómeno de reproducibilidad.
51
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Al revisar el prólogo de este Libro de Texto, se puede observar que la propuesta de
los autores del libro de precálculo recae en lo que el estudiante debe tener para
enfrentarse a problemas que le permitan comprender los conceptos de precálculo
para ello buscan solucionar dos cuestiones importantes:
¿Qué se necesita saber antes de estudiar cálculo?
¿Con qué herramientas deben contar los maestros para ayudar a sus alumnos a
prepararse para el cálculo?
Una de las cosas que se perciben es el hecho de que se presenta al libro de
precálculo como lo que permita al lector (alumno, profesor) tener bases sólidas y los
conocimientos previos que se le serán útiles para un curso posterior de Cálculo.
Además, según lo que señalan los autores este libro ha sido creado con la propuesta
de ser utilizado en el salón de clases, ya que al buscar una exposición clara tiene
ciertas características, mencionadas más adelante.
“(…) con el objetivo de mejorar aún más la utilidad del libro en el salón de
clases”
(Precálculo, Pág. x, párrafo I)
Si bien, los autores opinan que “(…) para comprender el cálculo, no necesita
habilidades técnicas, sino de una clara compresión de los conceptos, una
correcta percepción de lo que claramente significa matemáticas (...) la meta
principal de los instructores es lograr que se entiendan los aspectos teóricos y
sus aplicaciones. Este libro ha sido escrito para proporcionar (…) las
herramientas necesarias para lograrlo.”
(Precálculo, Pág. ix, párrafo II)
Así se pretende proveer al estudiante y al maestro de las herramientas necesarias
para la comprensión de los conceptos, abarcando sus aspectos teóricos y
aplicaciones. Estas herramientas (descritas dentro del prólogo) tienen como eje
52
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
central reforzar las habilidades de los estudiantes en la composición de los
conceptos, a través de la aplicación de ciertos métodos o estrategias que son:
El uso de la tecnología para fomentar la participación activa de los
estudiantes, denominado aprendices activos.
La “Regla de Cuatro” que consiste en presentar el objeto matemático en
diferentes registros de representación: geométrica, numérica, algebraica y
verbal.
La enseñanza en grupos o la escritura de ejercicios, donde los propios
estudiantes evalúan su desempeño en cuanto a la comprensión de un
concepto matemático
Considerando cada uno de estos puntos, la tecnología11, en primero lugar, es vista
como una herramienta auxiliar en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
que permite al estudiante comprender de manera más clara el concepto, pues
permite observar sus algunas de sus representaciones y sus cambios. Un ejemplo
que menciona el autor es la representación gráfica de la función que con ayuda de
una calculadora graficadora le permitirá al estudiante observar los cambios de esta al
variar sus parámetros.
Según los autores “La tecnología (…) proporciona formas enteramente nuevas
de visualizar las matemáticas y afectan no sólo la manera en que se enseña un
tema, sino también el énfasis que se hace.”
(Precálculo, Pág. x, párrafo vi)
Sin embargo no es un requerimiento obligatorio, pues aunque es parte de la
propuesta, lo autores la consideran como un apoyo a la comprensión, una extensión
del papel y lápiz; dándole un carácter opcional y permitiendo omitirlo sin ninguna
pérdida de continuidad.
11 Ver Anexo: Uso de la Tecnología
53
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Ahora, considerando la segunda herramienta propuesta por el autor La “Regla de
Cuatro” se hace referencia a que un objeto se puede comprender a través de sus
diferentes representaciones, menciona geométrica, numérica, algebraica y verbal,
este apartado se puede relacionar con Teoría de Representaciones Semióticas de
Raymond Duval12, teoría que explica que todo conocimiento se presenta ante el
sujeto a través de distintas representaciones, es decir, los objetos matemáticos
pueden ser considerados a través de sus diferentes formas, en el caso del concepto
de función, se puede mencionar a la definición como una correspondencia entre dos
conjuntos, gráficas, tablas.
Dentro de este mismo punto, el autor señala que el uso de los diferentes registro de
representación tiene “por objetivo el hacer énfasis en sus aplicaciones para
inducir al razonamiento conceptual”
(Precálculo, Pág. ix, párrafo iii)
El cual permite observar que los autores buscan presentar los objetos matemáticos
necesarios para cálculo a través de sus distintos argumentos siendo el objetivo
principal la comprensión de estos conceptos. Así mismo abordan “El modelado
Matemático”, como aquello que da sentido a los conceptos, pues permite que los
estudiantes vinculen los contenidos con la realidad y puedan observar sus diferentes
aplicaciones en la vida cotidiana, tomando en cuenta que las matemáticas son una
ciencia que por su naturaleza tiene implicaciones prácticas.
Por último, con respecto a la herramienta de la enseñanza en grupos o la escritura
de ejercicios, hace referencia a que un estudiante es capaz de evaluar su
conocimiento y para ello el libro proporciona diversos apartados para resolución de
estos ejercicios.
Además, dentro de la sección “Al estudiante”, se describe como un Libro de Texto
que lo puede guiar para dominar las matemáticas de Precálculo. Algo notario, es que
12 Ver Anexo: Teoría de Representaciones Semióticas
54
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
se comenta al estudiante que para comprender un concepto matemático, primero
debe considerar la teoría y luego los problemas, junto con sus aplicaciones.
Así, para aprender sobre las matemáticas de Precálculo deberá dedicarse no sólo a
entender las explicaciones sino a resolver problemas, hace enfatizar que:
“No cometa el error de memorizar (…). Las Matemáticas no son sólo de
memorizar. Para dominar el tema, deberá resolver problemas –muchos-”
(Precálculo, Pág. xix, párrafo III)
Por lo tanto, la que norma por una parte el diseño y elaboración del libro, y por otra,
tanto los contenidos presentes y como el tratamiento que se le dan a los mismos, es
la que sostienen los autores con respecto a las matemáticas:
“Las matemáticas son un arte de resolución de problemas, no simplemente una
recolección de hechos”
(Precálculo, Pág. xix, párrafo III)
De acuerdo a esto último se puede percibir que el libro considera que para aprender
es importante la resolución de problemas, en especial los que tienen aplicaciones
cotidianas.
Los autores señalan: “Los problemas propuestos siguen el enfoque de David
Hilbert: Un problema matemático debe ser difícil para que nos rete y, aun así,
no debe ser inaccesible, para que no se mofe de nuestro esfuerzo”
(Precálculo, Pág. x, párrafo v)
Este pensamiento lleva a un diseño de ejercicios innovadores y con niveles de
dificultad, que lleven a los estudiantes a desarrollar diferentes habilidades. Los
ejercicios tienen como objetivo mostrar la parte aplicativa de las matemáticas y la
influencia que esta puede tener en la realidad, exponiendo ejemplos donde interviene
55
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
las matemáticas en la vida cotidiana. Estos tipos de problemas pretenden que los
individuos inventen sus propias estrategias, que lleven al éxito del triunfo del
descubrimiento.
Según los autores, para lograr su meta didáctica: “La reforma en la enseñanza del
cálculo tiene implicaciones obvias en la enseñanza del precálculo. Las metas
de este movimiento se pueden lograr con mejores estrategias en la enseñanza
del precálculo (la meta principal es la composición de los conceptos).”
(Precálculo, Pág. ix, párrafo iii)
Considerando que para el logro de su meta didáctica toma como eje principal
reforzar las habilidades fundamentales y que pueden ser logradas a través de la
resolución de problemas, los autores de este libro toman en cuenta las pautas y
principios explicados en una adaptación del Libro How To Solve It de George Polya.
Desde este punto de vista, se considera que para llevar acabo el aprendizaje de las
matemáticas, resulta ser importante la resolución de problemas, esto ideas permite
observar que los autores consideran el hecho de no aprender una matemática
mecánica/técnica, como en la enseñanza tradicional donde se centra la educación en
un aprendizaje de algoritmos memorizados, sino que los conceptos que se presentan
deben de entenderse y deben tener un significado claro para los estudiantes
(lectores), pero cuyo objetivo puede ser logrado por el método propuesto por G.
Polya13, es decir, a través de la resolución de problemas14.
Unas de las cosas que permanecen dentro del prólogo son el hecho de que las
matemáticas son difíciles y que solo pueden aprenderse a través de ejercicios, que
lleven al estudiante a enfrentarse a problemas para buscar estrategias que le
permitan dar soluciones.
13 Indicamos el trabajo de G. Polya (1887-1985), puesto que el Texto de precálculo hace referencia a sus investigaciones sobre la resolución de problemas, así mismo se basa de los principios propuestos por el mismo para resolver un problema de matemáticas. Se debe de estar conciente de que los trabajos de Polya (1945) no son los primeros tratados sobre este tema. 14 Ver anexo: Resolución de Problemas
56
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Cabe mencionar que en este Libro de Texto para aumentar la claridad en la
exposición, se describen sus características principales:
- Las matemáticas de Precálculo tienen aplicaciones prácticas por derecho propio,
sin entrar en cálculo, por lo que se presenta un apartado denominado enfoque en
modelado, la cual presenta situaciones reales del tema, se utilizan para modelar
fenómenos importantes de las ciencias y vida cotidiana.
- Presenta a las matemáticas de Precálculo como una tarea de resolución de
problemas, que se aplica en el mundo real, dentro del apartado enfoque en la
resolución de problemas.
- En el apartado de la tecnología, se emplea el uso de la calculadora graficadoras en
ciertos ejemplos y ejercicios opcionales
- Se dan “viñetas matemáticas” las cuales describen una aplicación del “mundo real”
de las matemáticas de precálculo, así como algunas biografías para mostrar que
las matemáticas son una actividad importante.
- Además se presentan problemas de aplicación como ejemplo y ejercicios, que
muestran cómo se utilizan las matemáticas para modelar situaciones de la vida
real.
- Se presentan gráficas y figuras para mejorar la comprensión del significado
geométrico correspondiente a un cálculo a través de la visualización y así discernir
respecto a fórmulas y teoremas.
- Comentarios respecto a las soluciones de los ejemplos así como “recuadros guía”
para tener una mejor comprensión de ellos. También están los “recuadros de
resumen” que organizan y aclaran temas y resaltan ideas clave
- Al finalizar algunos ejercicios se presentan un apartado descubrimiento-análisis,
para alentar a los estudiantes a experimentar, analizar y escribir sobre los
conceptos desarrollados en la sección.
57
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
- Se ofrecen bloques como son compruebe sus respuestas, sección de repaso y
examen de capítulo, el cual permite al estudiante verificar sus respuestas y medir
su avance, o el aprendizaje obtenido para cada sección.
- El último bloque se presenta es el de revisión de conceptos el cual fue realizado
con el propósitos de que loes estudiantes analicen y expliquen con sus propias
palabras las ideas presentadas en el capítulo.
A manera de conclusión, de acuerdo a estas características plasmadas en cada uno
de los bloques que tiene libro, se puede abordar un tema de precálculo, en particular
el tema de funciones, se desarrollará de la siguiente forma:
- Se enfocará en la tarea de resolución de problemas, relacionado con situaciones
reales, siendo ejemplos y/o ejercicios para mostrar la utilidad de este concepto,
además de que puede ser utilizado para modelar estos fenómenos presentes en la
vida cotidiana.
- Para el empleo de la tecnología se podrá hacer uso de calculadoras graficadoras,
como tipo de ejercicios adicionales, para presentar los cambios que sufre la
función en determinado representación (gráfica o numérica).
- A lo largo del tema se presentarán gráficas y/o para permitir comprender la
representación geométrica del concepto.
- Enmarcará definiciones, teoremas o las ideas principales del tema, para que el
alumno enfatice ciertos puntos clave
- Si en el tema de funciones se presenta el bloque de descubrimiento-análisis,
entonces los estudiantes podrán realizar ejercicios para experimentar y analizar los
conceptos ya estudiados.
- El tema permitirá al alumno hacerse partícipe de su aprendizaje, ya que por la
manera en que son organizados, podrá explicar y relacionar sus ideas, realizar un
análisis de lo que esta estudiando.
58
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Análisis Implícito
Ubicación del tema
Antes de abordar el tema de funciones se permite al estudiante hacer un recordatorio
de algunos conceptos, que de alguna forma, fueron abordados en cursos anteriores,
para facilitar la introducción y aprendizaje del estudiante de los conceptos en
precálculo. Así mismo permite una primera impresión del enfoque que los autores le
darán al estudio de los conceptos, pues, existe un apartado de resolución de
problemas algebraicos y el uso de la calculadoras graficadora. Posterior al tema de
“Funciones” se pretende inducir al estudiante al estudio de funciones polinomiales y
racionales.
Capítulo 1: Conceptos fundamentales Capítulo 2: Funciones
1.1 ¿Qué es una función? 1.2 Gráficas de funciones 1.3 Funciones de uso práctico 1.4 Transformaciones de funciones 1.5 Valores extremos de funciones 1.6 Combinación de funciones 1.7 Funciones uno a uno y sus inversas Capítulo 2 Repaso Capítulo 2 Examen
Capítulo 3: Polinomios y funciones Racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5: Funciones trigonométricas de números reales Capítulo 6: Funciones trigonométricas de ángulos Capítulo 7: Trigonometría analítica Capítulo 8: Sistema de ecuaciones y desigualdades Capítulo 9: Temas de geometría analítica Capítulo 10: sucesiones y series Capítulo 11: Concepto y probabilidad
Enfoque de modelado Respuesta a los ejercicios impares y los exámenes de capítulo Índice
59
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Introducción del Concepto Función
“Uno de los conceptos más fundamentales e importantes de toda la
matemática es el de función”
(Stewart, J. 2001, pág. 131)
La dedicación de un capítulo completo al concepto de función, así como su desglose
en los posteriores capítulos, es debido a la importancia que los autores le dan al
concepto de función como base fundamental en matemáticas.
Para introducir el concepto de función los autores señalan que “En prácticamente
todos los fenómenos físicos; observamos que una cantidad depende de otra”
(Stewart, J. 2001, pág. 131), y a partir de ello los autores muestran la necesidad de
establecer un tipo de relación que se presente entre dos cantidades, donde la
función, como una primera noción, es la que permite “explicar” esos fenómenos
físicos, estableciéndola como aquella que “describe” que cosa esta en función de
otra, es decir, ¿quien depende de quien?. Así mismo la función tiene su importancia
en la ciencia pues es aquella quien dice cual es la “regla de relación (dependencia)”
en un fenómeno.
Perspectiva de la Función
Para el Libro de Texto, la función se concibe como una relación dependiente entre
variables, y que permiten la modelación de un fenómeno físico. Dicha relación es
llamada “regla”. Antes de presentar la definición formal se afirma que:
“Una función es una regla que describe la forma en que una cantidad depende
de otra”
(Stewart, J. 2000, pág. 130)
60
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Puesto que la función es una regla, entonces es conveniente establecerle una
notación que facilite su identificación, así, “Si la letra representará una función,
entonces significa “Aplicar la regla al número
f
( )xf f x ” (Stewart, J. 2000, pág.
132). Esta notación es establecida por el autor como un comentario, y posteriormente
se presenta la definición formal de función:
“Una función es una regla que asigna a cada elemento f x de un conjunto A
exactamente un elemento, llamado ( )xf , de un conjunto B”
(Stewart, J. 2000, pág. 132)
Para el Libro de Texto, una función es una regla de correspondencia entre dos
conjuntos, que se explica en un solo sentido, donde a cada elemento de un primer
conjunto sólo puede asignársele un único elemento del otro conjunto. Dejando en
claro que esta regla de correspondencia solo explica el tipo de dependencia que
existe entre ambos conjuntos.
Argumentos que dan sentido al concepto de Función
Tabla 4. Descripción de los argumentos del Libro 1 Argumento Definición Descripción
Analítico
Por lo común consideramos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, y A se conoce como domino de la función (…). El rango de la es el conjunto de todos los
valores posibles de
f( )xf conforme
x varía en todo el dominio, esto es . El símbolo que
representa un número arbitrario de una función se conoce como variable independiente, y el correspondiente a un número en el rango de como variable dependiente. (Stewart, J. 2000,pág. 132)
{ Axxf ∈|)( }
f
f
Esta definición, proporciona dos caracterizaciones sobre el concepto, según el Texto:
1. Las funciones están definidas en los números reales.
2. Los elementos presentes en el dominio son denominados variables independientes y los del rango variables dependientes.
Enmarcando las diferencias que existen entre ambos conjuntos involucrados en la regla de dependencia.
Icónico
Maquina. Podemos considerar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el de todas las posibles salidas. (Stewart, J. pág. 133)
Estas representaciones pretenden clarificar los conceptos de dominio y rango. No obstante se pueden conjeturar que:
1. La Función va en un sentido 2. Es necesario de un elemento
61
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Diagrama de flechas. Cada flecha relaciona un elemento de A con uno de B, e indica que esta asociada con )(xf x ,
con y así sucesivamente. (Stewart, J. pág. 133)
)(af a
en el dominio para un elemento en el rango
3. Para cada elemento en dominio, existe un elemento en rango, y que no esta relacionado con otro elemento del dominio.
Analítico-algebraico
“En el caso en que una función está dada por una fórmula y el dominio no está explícitamente enunciado, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los elementos reales para los cuales la fórmula tiene sentido y define un número real” (Stewart, J. pág. 135)
Según la definición, un elemento pertenece al dominio de la función si puede establecerse una regla de correspondencia, es decir que el dominio de una función permite identificar su rango y a través del dominio comprender el tipo de relación que se tiene entre los conjuntos.
Gráfico-analítico
Si es una función con dominio A. entonces la gráfica de es el conjunto
de pares ordenados
ff
( ){ }Axxfx ∈|)(, En otras palabras, la gráfica de es el conjunto de todos los puntos tales que ; es decir, la gráfica de es la que corresponde a la ecuación
. (Stewart, J. pág. 139)
f),( yx
)(xfy = f
)(xfy =
La gráfica es aquella que se define a través de pares ordenados de los elementos que se encuentran en el dominio y en el rango. Dotando a la gráfica de información útil sobre los comportamientos de la función, que posibilita hacer inferencias sobre las tendencias de la misma.
Gráfico-visual
Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y solo sí ninguna recta vertical interseca a la curva más de una vez. (Stewart, J. pág. 141)
Considera una última caracterización de las funciones, puesto que asevera como una relación entre variables, pero cualquier relación es una función.
62
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Tipos de Ejercicios propuestos
Para esta sección se pueden percibir lo siguiente:
• Los problemas están orientados a la practica de métodos algorítmicos, con el
objetivo de repasar/practicar los métodos mostrados en los ejemplos, en
algunos caso se sugiere la elaboración de gráficas y diagramas.
• Existe un pequeño apartado denominado descubrimiento-análisis, donde se
busca la reflexión y la extrapolación de los conceptos.
A manera de conclusión podríamos decir que este Libro de Texto presenta a la
función como una relación de dependencia entre dos variables, que puede explicar
algunos fenómenos físicos.
Los autores buscan presentar los conceptos sobre sus diferentes registros de
representación, pero de manera textualizada15 lo cual no permite al estudiante que el
haga las conversiones necesarias entre los registros. Si se considera la postura de
Duval (1999), dichas conversiones deben de darse en ambos sentidos y la mayoría
de los ejemplos del Libro analizado solo posibilitan, siendo optimistas, una sola
conversión.
Si bien, en el discurso del libro, se propone de introducir, antes de cada concepto, un
ejemplo de manera verbal, que se aplique a la vida cotidiana con el fin de presentarlo
como aquella relación que modela fenómenos físicos. Así mismo cada concepto,
tiene adjunto un número variado de ejemplos con la finalidad que el alumno los
realice a la par del libro, ya que la mayoría de ellos no se presentan muy explícitos
en su resolución, con ello se permitirá al estudiante observar otros conceptos
relacionados con las funciones desde diferentes perspectivas y así mismo considerar
las diversas técnicas que existen para su solución. Sin embargo la mayoría de estos
ejemplos resultan ser de tipo algorítmico, esto podría, en un dado caso, generar en
los estudiantes (lector) algún grado de mecanización, lo mismo sucede con la
15 Se entiende por textualizada la manera en que el autor argumenta el concepto matemático dentro de un texto, el cual, considera que es la forma más adecuada y no permite la argumentación de otras formas
63
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
64
mayoría de los ejercicios. Aunado es esto, los ejemplos y/o ejercicios a pesar de
estar contextualizados dentro de situaciones cotidianas no permiten un modelado
sobre situaciones en verdad reales.
Otro aspecto importante es que los apartados de descubrimiento-análisis, no
permiten en su totalidad una extrapolación de los conocimientos a la vida cotidiana,
sino más bien a una reflexión que termina en lo algorítmico.
Por ultimo el uso de la calculadora puede resultar ser indispensable en algunos
ejercicios, pero solo como un instrumento que ayudará al estudiante en la
observación para responder a cuestiones que manualmente el ya había realizado,
por lo que pueden ser omitidos. Se puede decir que los ejercicios donde se
proponen el uso de la calculadora no son innovadores, y aunque permiten observar
familias de funciones, se puede considerar que no necesariamente puede causar un
impacto en el aprendizaje de los estudiantes.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
65
Tabla comparativa y conclusiones Tabla 5. Tabla comparativa del Libro 1
Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones
Perspectiva del concepto de función
Presenta a las matemáticas de Precálculo como una tarea de resolución de problemas, que se aplica en el mundo real
Presenta a la función como una relación de dependencia entre dos variables, que puede explicar algunos fenómenos físicos.
Se presenta como herramienta útil para explicar la relación entre dos variables presentes en algún fenómeno. Señalando así la importancia de su estudio, aclarando desde sus notas previas que los conceptos abordados tienen una aplicación en las situaciones cotidianas.
Representaciones del concepto
Se debe presentar el objeto matemático en diferentes registros de representación: geométrica, numérica, algebraica y verbal. En el caso de la representación geométrica se presentarán gráficas que permitan comprender del concepto.
Las representaciones se están presentando de manera textualizada lo cual no permite al estudiante que el haga las conversiones necesarias entre los registros
El estudiante debe conocer las diversas representaciones de un concepto para comprenderlo. Sin embargo, al estudiar el tratamiento se observa que sólo es posible conocer las representaciones más no darse una conversión en ambos sentidos sobre estas, lo cual no permite comprender el concepto en su totalidad.
Enfoque del libro: Resolución de
problemas
Esta tarea debe estar relacionada con situaciones reales, que muestren la utilidad del concepto, por ejemplo, el modelado de fenómenos presentes en la vida cotidiana
Sí presenta los ejemplos y/o ejercicios contextualizados, sin embargo aun no se permite un modelado real sobre situaciones. El alumno solo se dedica a seguir algún procedimiento algorítmico con los datos que le proporcionen.
Se observa la diferencia entre lo que propone el autor y lo desarrollado en el libro de texto, ya que a pesar de que los ejercicios deben modelar situaciones cotidianas, en realidad se reduce a realizar algún procedimiento algorítmico sobre un problema ya contextualizado.
Tipo de ejemplos y/o ejercicios.
Se utiliza la enseñanza en grupos o la escritura de ejercicios, donde un estudiante es capaz de evaluar su conocimiento. Otros ejercicios se presentan un apartado descubrimiento-análisis, para alentarlos a experimentar, analizar y escribir sobre los conceptos desarrollados.
El apartado descubrimiento-análisis, no permiten en su totalidad una extrapolación de los conocimientos a la vida cotidiana, sino más bien a una reflexión que termina en lo algorítmico.
El alumno debe desarrollar habilidades de comprensión, razonamiento y análisis, sin embargo ocurre que durante el desarrollo del tema, no se logra tal objetivo, pues las actividades no se están bien diseñadas para que el estudiante pueda extrapolar lo aprendido a un problema real, lo único que se alcanza es que comprende el porque se presentan de tal manera los conceptos.
Uso de la tecnología
Herramienta que permite al estudiante comprender de manera más clara al concepto. El empleo de ésta se podrá hacer con el uso de calculadoras graficadoras, como tipo de ejercicios adicionales, para presentar los cambios que sufre la función en determinado representación
La calculadora, instrumento que ayuda al estudiante en la observación para responder a cuestiones que manualmente el ya había realizado, por lo que pueden ser omitidos. Estos ejercicios no son innovadores.
Concuerda las actividades propuestas por el autor con lo que él considera para el uso de la tecnología, siendo sólo una herramienta más para comprender el contenido matemático. Sin embargo, las actividades no resultan ser tan esenciales y no brindan algo novedoso, pues se puede realizar lo mismo con actividades manuales.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
LIBRO 2: Barnett, Raymond, Et.Al. Precálculo: Funciones y Gráficas
Análisis Explícito
Al analizar el prólogo de este Libro de Texto se hace evidente que ha sido creado
con la intencionalidad de ser utilizado en un salón de clases, pues el autor describe
que lo cambios realizados en él es:
“(…) para el mejoramiento y efectividad del libro, su uso en el salón de clase
(…)”
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
Es importante considerar que una de las utilidades principales de este libro, según el
autor, es que lo aprendido en esta asignatura apoyará al estudiante para la
comprensión y estudio posteriores de temas de Cálculo.
A los autores les interesa presentar un libro que sea accesible para al estudiante sin
dejar de tener en cuenta que el contenido matemático no pierda su formalidad y sea
el apropiado:
“(…) su contenido fuera matemáticamente correcto y accesible a los
estudiantes”
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
Además, para ayudar al estudiante a comprender estos conceptos matemáticos y
adquirirlos dentro de su aprendizaje, el libro propone analizar primero ejemplos
particulares y de ahí llevar al estudiante a realizar generalizaciones, consideran las
habilidades computacionales, ideas y en la resolución de problemas siendo que en
este último recae el mayor énfasis.
“A menudo los conceptos generales y resultados se presentan hasta después
de haber analizado los casos particulares”
66
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
De esta manera, se puede observar que el estudiante además de revisar las
definiciones o teoremas, de acuerdo el autor este libro proporciona las herramientas
para el análisis del concepto matemático. Es por ello que los ejemplos tienen dos
funciones principales, la introducción de los conceptos y la demostración de diversas
técnicas en la solución de los problemas.
Uno de los propósitos principales de este libro es que el estudiante se haga partícipe
de su aprendizaje,
“(…) involucra de manera activa al estudiante en el proceso de aprendizaje”
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
De acuerdo a los autores para alcanzar este propósito, los ejercicios y problemas
deben permitir al estudiante entrar en una etapa de análisis y de explicación “con el
fin de animar a los estudiantes a pensar a cerca de la relación o proceso antes
de que se de el resultado o para investigar otras consecuencias de un
desarrollo en el texto, así como el de motivarlos a verbalizar los concepto es
matemáticos, resultados y procesos”.
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
Los autores señalan: “Uno de los principales objetivos de este libro es
proporcionar a los estudiantes una experiencia importante en el modelamiento
y resolución de problemas en el mundo real”
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
Por lo tanto, para que se cumpla el objetivo de que estudiante se apropie de su
aprendizaje, lleva a considerar que el enfoque que tendrá el diseño y elaboración del
Texto es el de análisis y exploración sobre lo que es el concepto matemático y
además, con un tratamiento que se refiere principalmente a la resolución de
problemas, donde su parte primordial recae en las aplicaciones cotidianas, a través
67
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
de la interpretación y/o su modelamiento. Resulta notorio dar cuenta que las fases16
que proponen los autores del Libro son las que considera Schoenfeld, (1989), (citado
por Santos Trigo (1997)).
Por otra parte, dentro del Libro de Texto se propone hacer empleo de la tecnología
como herramienta auxiliar para el proceso de aprendizaje y enseñanza que le
permitirá al estudiante comprender de manera más clara al concepto, para ello se
proponen actividades como parte o no de ejemplos y ejercicios en las que se puede
usar algún dispositivo de graficación, donde algunos implican un análisis sobre las
gráficas por parte del estudiante.
De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que este libro sigue un enfoque de
análisis y exploración sobre los conceptos matemáticos de acuerdo a su definición,
teoremas, ejemplos y ejercicios, etc., teniendo como parte fundamental la resolución
de problemas.
Continuando con este análisis se observa que se proporciona al lector (el estudiante)
un proceso para comprender el tema de estudio:
Estudie el Texto siguiendo el proceso de cinco pasos: Lea un desarrollo matemático
1. Trabaje mediante los ejemplos ilustrativos 2. Trabaje el problema seleccionado 3. Revise las ideas principales de la sección 4. Realice los ejercicios asignados al final de cada sección 5. Realice los ejercicios asignados al final de cada sección
Repita el ciclo 1-2-3 hasta que haya terminado la sección
(Precálculo: Funciones y Gráficas, Prefacio)
En este proceso se muestra como el aprendizaje de cierto tema debe desarrollarse
de tal manera que primero se comprenda el concepto con la definición y las
demostraciones, si acaso las tiene, para luego continuar con el análisis de los
ejemplos y la resolución de problemas. Al final el estudiante debe señalar las ideas
16 Ver anexo: Resolución de Problemas
68
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
principales y considerar para el siguiente tema. Uno se puede dar cuenta que el
proceso a seguir va de acuerdo con el enfoque que tiene, anteriormente mencionado.
A manera de conclusión, de acuerdo a este análisis, se puede decir un tema de
precálculo, en particular el tema de funciones, se desarrolla de esta manera:
1) Al alumno se le da a conocer algunos ejemplos, es decir, casos particulares
del concepto matemático.
2) Se presentarán actividades donde se pretender la generalización del tema, es
decir presentar las definiciones o teoremas principales.
3) Revisión de ejemplo y resolución de problemas
4) Análisis sobre las ideas principales y los ejercicios ya resueltos para que el
estudiante pueda concluir sobre el tema.
Análisis Implícito
Ubicación del tema
La introducción del concepto se encuentra situado en el capítulo 2:
Capítulo 1: Ecuaciones y desigualdades Capítulo 2: Gráficas y Funciones -Herramientas básicas; círculos -Líneas rectas -Funciones -Gráfica de Funciones -Combinación de funciones -Funciones inversas Actividades en grupo del Capítulo 2: Modelado matemático en los negocios Repaso del Capítulo 2 Capítulo 3: Polinomios y funciones Racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Capítulo 5: Funciones trigonométricas Capítulo 6: Identidades trigonométricas y ecuaciones condicionales Capítulo 7: Temas adicionales en la trigonometría Capítulo 8: Sistema de ecuaciones y desigualdades Capítulo 9: Matrices y determinantes Capítulo 10: Sucesiones y series Capítulo 11: Temas adicionales en geometría analítica
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Introducción del Concepto
Se encuentra como el tercer punto del capítulo 2, una vez ya abordados algunas
gráficas particulares como son el de línea recta.
Perspectiva de Función
Los autores afirman “Una idea de correspondencia desempeña un papel central
en la formulación del concepto función” (Barnett, R., Pág. 132), expresando que
en nuestra vida cotidiana y en cualquier otra ciencia es posible establecerse
correspondencias entre las variables que intervienen en los fenómenos, permitiendo
así hacer inferencias ya sea como parte de nuestra experiencia personal o a través
de formulas para predecir las variaciones.
Estas correspondencias son llamadas funciones, pues para los autores “Una
Función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de
elementos, tales que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y
sólo un elemento del segundo conjunto.
El primer conjunto se llama dominio, y el conjunto de todos los elementos que
corresponden al segundo conjunto se conoce como rango.
(Barnett, R., Pág. 131)
Argumentos que dan sentido al concepto
Tabla 6. Tabla de argumentos del Libro 2 Argumento Definición Descripción
Analítico
Una función es un conjunto de pares ordenados con la propiedad de que no hay dos pares ordenados cuya primera componente sea igual y sus segundas componentes diferentes. El conjunto de todas las primeras componentes en una función se llama dominio de la función, y el conjunto de todas las segundas componentes se llama rango. (Barnett, Pág. 133)
Se establece a la función como una correspondencia entre dos conjuntos, que se denotan a través de pares ordenados, proporcionando una definición alternativa que viene a clarificar la primera definición de “Función”, y las componentes de las mismas. Ambas definiciones no hacen explicito el tipo de elementos que
70
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
se usan en el dominio o el rango, pero por el tipo de ejemplos y desarrollo del tema es notorio que los pares ordenados pertenecen
al conjunto 2ℜ
Algebraico
En una ecuación con dos variables, si a cada valor de la variable independiente le corresponde exactamente un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación define una función. Si a cualquier valor de la variable independiente le corresponde más de un valor de la variable dependiente, entonces la ecuación no define a una función. (Barnett, pág 134)
Una función se encuentra definida por una ecuación, para ello es necesario hacer explicito los elementos del dominio, de aquí la importancia de estudiar y clarificar los conceptos de dominio y rango de una función. Antes de esta función el autor hace referencia a que la variable independiente, corresponde a elementos del dominio y las variables dependientes se denominan rangos.
geométrico-visual
Una ecuación define a una función si cada recta vertical en el sistema coordenado rectangular pasa a lo más por un punto de la gráfica de la ecuación. Si una recta vertical pasa por dos o más puntos de la gráfica de una ecuación, entonces la ecuación no define a una función. (Barnett, Pág. 136)
Sustenta la idea anterior, delimitando que no solo basta con definir el dominio sino que es caracterizado. Ahora la razón por la cual es necesario hacer esta aseveración no indica, y no es entendida en el desarrollo del tema.
Visual
Cuando se grafican las funciones, los valores del dominio usualmente están asociados con el eje horizontal y el rango de valores con el eje vertical. Así, la gráfica de una función es igual que la
gráfica de la ecuación )(xfy = donde x es la variable independiente y la abscisa
de una punto en la gráfica de . Las
variables y son variables dependientes, y también es la ordenada
de un punto en la gráfica de .
fy )(xf
f
Los autores no definen a la gráfica, sino que la caracterizan, sus usos no quedan especificados en el Libro, ni la información que puede obtenerse a través de ella. Antes de llegar a esta caracterización el Libro presenta diferentes gráficas que son usadas simplemente para clarificar definiciones.
71
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
72
Tipos de ejercicios
Este Libro de Texto propone un apartado de Exploración y Análisis tratando de
producir aprendizaje por descubrimiento, propone problemas con situaciones
cotidianas las cuales de deben modelar matemáticamente. Además presenta
actividades algorítmicas y de resolución de problemas, estos se presentan al finalizar
cada tema.
Concluyendo, el Libro de Texto trata al concepto “Función” como una
correspondencia entre dos conjuntos, y aunque introduce conceptos posteriores a la
asignatura de Precálculo, como la derivada la cual se presenta desde la vida real con
sus aplicaciones, no hace énfasis en las utilidades que la función tiene en diferentes
contextos, o las aportaciones y usos que se hacen de ella.
Se puede percibir que el autor presenta la mayoría de los contenidos de manera
analítica y verbal, reforzándolo con la resolución de diferentes problemas
algorítmicos, aunque trata de que los estudiantes reflexionen en torno a los
conceptos no se exigen mayor profundización que una interpretación para distinguir
que procesos algorítmicos son necesarios realizar.
Los argumentos gráficos, analítico, geométrico, etc. son utilizados para facilitar la
compresión de los conceptos, pero no se promueve la conversión entre los diferentes
registros que se proponen.
Por último el Libro de Texto presenta un discurso simplemente analítico, y aunque se
proponen problemas para reforzar la técnica y los conceptos, el enfoque sigue siendo
tradicionalista en ese sentido.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
73
Tabla comparativa y conclusiones
Tabla 7. Tabla comparativa para el Libro 2 Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones
Perspectiva del concepto de función
Se le permite conocer al concepto matemático a través de ejemplos, situaciones cotidianas donde sea posible encontrarlo.
Trata al concepto de “Función” como una correspondencia entre dos conjuntos, aunque no hace énfasis en las utilidades que la función tiene en diferentes contextos, o lasaportaciones y usos que se hacen de ella.
De acuerdo a los factores explícitos, el autor pretende situar al concepto de función sobre situaciones cotidianas, por ello, en la definición se estable como una correspondencia entre dos conjuntos, sin embargo al mirar el desarrollo del tema, este concepto no es del todo presentado en diferentes contextos.
Representaciones del concepto
Se presentarán gráficas que permitan comprender los conceptosmatemáticos.
Los argumentos gráficos, analítico, geométrico, etc. son utilizados para facilitar la compresión de los conceptos, pero no se promueve la conversión entre los diferentes registros que se proponen.
Se presentan diversas representaciones de este concepto, como el analítico, geométrico, entre otros. Sin embargo esto solamente son expuestos para permitir al alumno la comprensión del concepto, pero en realidad el estudiante no trabaje sobre estos registros, no existe alguna actividad o secuencia que le permita transitar, realizar las conversiones necesarias entre estos para comprender de manera mas clara el concepto.
Enfoque: Resolución de
problemas, dentro de un marco de análisis
y exploración.
Análisis y exploración sobre lo que es el concepto matemático y además, con un tratamiento que se refiere principalmente a la resolución de problemas, donde su parte primordial recae en las aplicaciones cotidianas, a través de la interpretación y/o su modelamiento.
Un discurso meramente analítico, y aunque se base en proponen problemas para reforzar la técnica y los conceptos, el enfoque sigue siendo tradicionalista en ese sentido
El libro va de acuerdo con un enfoque de resolución de problemas, en los cuales se pretende que el estudiante desarrolle habilidades de análisis y exploración sobre el concepto matemático, sin embargo, observando el desarrollo de este se puede observar que los problemas tienden a ser algorítmicos, no exigen un razonamiento sobre estos, aunque estos sean presentados dentro de un contexto real.
Tipo de ejemplos y/o Los ejemplos tienen dos funciones El autor presenta la mayoría de los Este punto va de acuerdo al enfoque
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
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ejercicios. principales, la introducción de los conceptos y la demostración de diversas técnicas en la solución de los problemas. Los ejercicios y problemas recaen deben permitir al estudiante entrar en una etapa de análisis y de explicación
contenidos de manera analítica y verbal, reforzándolo con la resolución de diferentes problemas algorítmicos, aunque trata de que los estudiantes reflexionen en torno a los conceptos no se exigen mayor profundización sino una interpretación para distinguir que procesos algorítmicos son necesarios realizar.
mencionado, los ejercicios buscan explicar las diversas técnicas con las que se puede resolver cierto problema, pero recae en un proceso mas algorítmico que de razonamiento.
Uso de la tecnología
La tecnología como herramienta auxiliar para el proceso de aprendizaje y enseñanza que le permitirá al estudiante comprender de manera más clara al concepto. Algunos ejercicios implican un análisis sobre las gráficas por parte del estudiante
Presenta argumentos gráficos con uso de la calculadora graficadora
Se hace uso de la tecnología simplemente como una herramienta que da las gráficas para permitir comprender de manera mas clara el concepto.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
LIBRO 3: Salazar, Pedro, Et.Al. Matemáticas IV.
Análisis Explícito
De acuerdo al análisis del prólogo de este libro, se puede observa la preocupación
que se tiene por la participación del estudiante en el aprendizaje de las matemáticas,
desde el principio señala la siguiente:
“Los tiempos modernos exigen una nueva enseñanza de la matemáticas donde
la participación del estudiante es fundamental en el proceso de aprendizaje”
(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo I)
Para lograr este propósito los autores de este libro pretenden introducir actividades
que involucren al alumno a comprender el concepto matemático y a conocer las
situaciones que lo contextualizan.
“La presente obra aborda el proceso de enseñaza aprendizaje a través de
situaciones problema que permiten al alumno reconocer hechos cotidianos
donde el conocimiento matemático es fundamental para la interpretación y su
posterior resolución, y al mismo tiempo, se presentan actividades cuta
realización conjunta enriquece y facilita el aprendizaje.”
(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo II)
Como señalan los autores: “Los elementos pedagógicos utilizados (…) siguen el
desarrollo de la matemática actual, basado principalmente en un enfoque
centrado en el aprendizaje”
(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo III)
Siendo así que interesa que el alumno se haga partícipe de su propio aprendizaje
para la construcción del conocimiento matemático, las actividades propuestas
pretenden situar al individuo dentro de una problemática y a partir de los resultados
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
obtenidos conjeturar, para luego presentarle al estudiante las definiciones, teoremas
o procedimientos sobre cierto concepto, y así comprobar o no sus resultados.
Esto se puede observar en las diversas secciones que proponen los autores en el
Libro de Texto:
Situación problema. Donde se le permite conocer al estudiante reconocer
hechos donde se aplica el conocimiento matemático.
Reforzando conocimientos. Que sirve para fortalecer y consolidar la
comprensión de los contenidos y su aplicación, así como el aprendizaje de
métodos y procesos relacionados con los temas.
Actividades. Donde se muestran algunas características que ayudan a la
construcción de su conocimiento.
El libro proporciona actividades para evaluar el aprendizaje de los alumnos. Como
son la evaluación diagnóstica y la formativa. La primera esta puede observar al iniciar
una nueva unidad para identificar el conocimiento previo de los alumnos,
proporcionado de esta manera los antecedentes necesarios para iniciar el proceso
de aprendizaje y enseñanza, además que permite reconocer los problemas y
dificultades que tienen los estudiantes antes de iniciar un nuevo tema. La formativa
esta presente en cada una de las secciones, ya que es reconocer como avanza el
alumno en su aprendizaje es pieza fundamental para el siguiente tema o actividad.
Otros bloques que se agregan son los que se refieren a los instrumentos de
evaluación como son los de guía de observación y las listas de cotejo que evalúan el
desempeño y el producto de aprendizaje de los alumnos respectivamente.
De acuerdo con las ideas que se proponen dentro de este Libro para el desarrollo del
aprendizaje de los estudiantes, se puede observar que va de acuerdo a un enfoque
constructivista17, ya que se plantea que el estudiante enfrentarse ante una situación
problemas y con guía las actividades propuestas, pueda conjeturar sobre cierto
17 Ver anexo: Constructivismo
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
concepto matemática, donde al final se presentarían las definiciones o
procedimientos formales.
Además, los autores mencionan: “el libro fue laborado con el fin de apoyar el
aprendizaje de los primeros conceptos de cálculo, desarrollando,
particularmente, el de función y la aplicación de éste en situaciones concretas,
donde se observe con claridad la relación entre dos o más variables
provenientes de diversos contextos sea de una fórmula física o la problemática
de una situación cotidiana”
(Matemáticas IV, Pág. 7, párrafo III)
Con este párrafo se observa que el objetivo principal del libro es presentar la
asignatura de Precálculo como una herramienta que permitirá comprender conceptos
posteriores de Cálculo y que además en si mismo, los temas tienen una aplicabilidad,
pues permiten modelar fenómenos, situaciones cotidianas
Los autores consideran al libro como un Libro de Texto el cual puede ser llevado al
salón de clases (incluso se apega al programa de la Dirección General del
Bachillerato, DGB) para ser una herramienta de estudio que motive a la comprensión
de los temas de esta asignatura para luego complementarse con la materia de
cálculo y/o sirva los conocimientos aprendidos en un futuro, tal y como se indica:
“Esperamos que este texto sea útil para el aprendizaje de las matemáticas, y
que los medios pedagógicos faciliten recorrer ya sí despierten el interés y
deseos en el alumno de adentrarse en su estudio, el cual le servirá de base
para continuar el siguiente curso y para ingresar a una institución de
educación superior)”
(Matemáticas IV, Pág. 8, párrafo V)
En este caso, interesa analizar el tema de funciones, lo que propone este libro para
este tema es lo siguiente:
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
- Analizar el concepto de función - Analizar las representaciones que tiene - Analizar su nacimiento a través de la generalización del concepto de
ecuación, las diferencias y semejanzas entre esos dos conceptos. - Estudiar las clasificaciones del concepto de función y la justificación de
esta. - Analizar y clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas - Considerar las características de una representación gráfica - Observar situaciones que dan contexto al concepto
Estos puntos se abarcan dentro de este tema, pero la forma en que va han ser
abordados, debe ir de acuerdo con las secciones de. Situación problema, reforzando
conocimiento y actividades. El tratamiento que se le puede dar al concepto de
función debe hacer referencia a situaciones cotidianas, donde el estudiante debe
enfrentarse como un problema a resolver y con las actividades se guía al alumno a
encontrar una solución pero de acuerdo a las acciones realizadas por el mismo
estudiante, luego procede a formalizar aquellos conceptos ya comprendidos,
describiendo una definición formal, así como sus propiedades generales, por último
se pueden resolver más ejercicios del tema que le sirvan de repaso y ayuden a
retener lo aprendido.
Análisis Implícito
Ubicación del tema
El concepto de función se desarrolla desde la primera unidad del Libro. En palabras
de los autores el objetivo de la unidad: “Al termino de la unidad el alumno:
Manejará adecuadamente el concepto de función, así como el vocabulario
relacionado con éste. Comprenderá las diferentes representaciones concretas,
visualizando el dominio de éstas en sus dos vertientes: el dominio matemático
de definición y dominio dado por las situaciones específicas del problema”
(Salazar, P., pág. 9)
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Introducción Unidad 1: Relaciones y funciones Evaluación diagnostica
1.1 Relaciones y funciones 1.1.1 El concepto básico de función 1.1.2 Representaciones de una función 1.1.3 Notaciones 1.1.4 Intervalo y dominio
1.2 Clasificación de funciones 1.2.1 Clasificación según su forma
Clasificación de acuerdo con la forma de la gráfica 1.3 Operaciones con funciones
1.3.1 Operaciones: suma, resta, multiplicación y división de funciones 1.3.2 Composición de funciones
1.4 Funciones inversas y funciones biyectivas 1.4.1 Gráfico de función inversa
1.5 Funciones especiales 1.5.1 Función constante 1.5.2 Función valor absoluto 1.5.3 La función escalón
1.6 Traslaciones de los gráficos, reflexiones y simetrías 1.6.1 Simetría respecto al eje y 1.6.2 Simetría respecto al eje x
Instrumentos de evaluación Unidad 2: Funciones polinomiales Unidad 3: Funciones racionales Unidad 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Apéndice Solución de ejercicios impares Bibliografía
Es de observar que todo el Libro de Texto solamente trata el tema de funciones, así
como sus clasificaciones de este.
Introducción del concepto
Al inicio de esta primera unidad se presenta un diagrama que describe claramente
las relaciones que existen entre los temas que se abordan y los contenidos en
unidades subsecuentes.
Luego, se presenta una “Situación problema”, en la que se pide a los estudiantes
establezcan relaciones en base a la información que se les proporciona, lo notorio de
esta actividad es que permite a los estudiantes identificar la importancia y la
aplicación real de los conceptos que se abordan en esta unidad, promoviendo la
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
transferencia de los conocimientos. Cabe aclarar que este primer ejercicio,
aparentemente, se resolverá conforme se desarrolla la unidad.
Otro punto es que se consideran los conocimientos previos de los estudiantes al
establecer una “Evaluación Diagnostica”, así como las nociones que los estudiantes
tienen sobre los conceptos que se abordarán en el tema y que son basados en su
experiencia.
Se da un apartado introductorio al tema que enuncia diversas situaciones cotidianas
cercanas a los individuos, así como algunos fenómenos físicos sencillos de
reconocer, el cual puede resultar ser atractivo para el estudiante pues frecuenta
estos fenómenos y aprende a que puede modelarlos a través de la herramienta del
cálculo. Es así como de este apartado, surge la necesidad de estudiar esta
asignatura por la importancia que tiene en situaciones cotidianas. Es de mencionar
que al exponer esas situaciones se presentan algunos conceptos matemáticos
propios del cálculo, que pueden ser resultado de un factor motivador para el alumno
sobre estos cursos posteriores. Por eso, los autores señalan del cálculo que “es una
herramienta más” que permite comprender aquellos fenómenos de variabilidad,
distinguiéndola como aquella ciencia que surge de la necesidad de estudiar los
cuerpos en movimiento.
Al introducir el concepto de función se hace por medio de ejemplos en los que se
pretenden relacionar un hecho con otro, dando la primera impresión de que la
función expresa dependencia entre estas variables.
Perspectiva de Función
Los autores proponen a la función como un tipo especial de relaciones, pues según
ellos los conceptos de función y relación, son dos conceptos similares en el lenguaje
ordinario, pero hablando matemáticamente expresan connotaciones distintas.
En términos de los autores: “Una relación se establece entre los elementos de un
primer conjunto con los elementos de un segundo conjunto, si los elementos
del primer conjunto están asociados de alguna forma con los elementos del
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
segundo conjunto” (Salazar, P. pág. 14) y una función es entendida como “(…)
una relación en donde la asociación entre dos conjuntos se da de manera que a
cada elemento del primero le corresponda un único elemento del segundo
conjunto” (Salazar, P., pág. 16). Sin embargo de acuerdo al discurso presentado se
da a entender que existen diferencias y semejanzas entre función y relación,
principalmente debido a que una función sí es una relación, pero no toda relación es
una función, para ello hay que tener en cuentas las definiciones de cada una de
ellas.
Estas relaciones pueden ser representadas analíticamente por medio de las
ecuaciones, que son formas ideales, según los autores.
Por último el mismo autor aclara que a partir de esta unidad sólo se tratará el
concepto de función, pues el de relación resultaría innecesario.
Argumentos que dan sentido al concepto
Tabla 8. Tabla de argumentos del Libro 3 Argumento Definición Descripción
Numérica Ejemplo: deportista que participa en una caminata, avanzando cuatro metros cada segundo en alguna etapa de su recorrido (Salazar, P., pág. 14)
A través de una tabla se puede asociar elementos entre dos conjuntos.
Icónico
“Presenta un vocabulario o glosario que consiste en dar una etiqueta a cada uno de los elementos que interviene en el tema” (Salazar, P., pág. 17)
Este icono muestra las relaciones entre los conjuntos, nombrando cada componente que interviene en esta relación. Se puede observar que es una relación en un solo sentido, donde cada elemento de un primer conjunto le corresponde un elemento de un segundo conjunto, y en este último puede suceder que sobren elementos.
Visual
Ejemplo 1.1 propuesto por el auto. (Salazar, P., pág. 18)
Cada imagen representa de manera algebraica, en este caso, el peso que hay de acuerdo al número de sacos.
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Analítica
Una ecuación es una representación analítica de la función (Salazar, P., pág. 19)
Da la idea en que es representada una función de acuerdo a una expresión algebraica
Tipos de ejercicios
Los ejercicios que propone el libro tiene como funciones principales: la práctica de
algoritmos relacionados con el concepto y además presentar secuencias de
actividades18, en donde los estudiantes deben de reflexionar sobre las preguntas y
tomar decisiones en base a sus respuestas, cuya finalidad es originar el aprendizaje
de un concepto a partir de las ideas de los estudiantes.
A manera de conclusión, el discurso ofrecido por el Libro de Texto conduce a
considerar a la “Función” como una particular relación de correspondencia.
El tratamiento presentado, permite una comprensión clara de los conceptos así como
una transferencia clara de los mismos. Se logra percibir una perspectiva que
mantiene un enfoque constructivista, esto es posible percibirlo considerando que:
• Se hace notorio la planificación de los ejercicios, esto en la secuencia de
actividades, en las que es fundamental las ideas de los estudiantes.
• Se toman en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes
• Hace consideraciones en los conceptos que son necesarios presentarle a los
estudiantes de manera explicita, y en los que él puede descubrir por si mismo,
18 En el apartado revisado para este estudio, se presenta una actividad (Salazar, P., pág. 25-27) que busca la comprensión acerca de las clasificaciones que se hacen sobre la gráfica de acuerdo a la orientación de la gráfica.
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
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proponiéndole un secuencia adecuada, es decir, se promueve una aprendizaje
por descubrimiento.
• Presenta los contenidos de una manera entendible, vinculando algunos de los
procesos algorítmicos con la realidad y buscando dar un significado a las
conclusiones
• La actividad introductoria permite que el estudiante refuerce los conocimientos
que va adquiriendo en el transcurso del desarrollo de la unidad.
• Presenta esquemas útiles para los estudiantes, por ejemplo, Clasificación de
las Función expresadas de manera algebraica (Salazar, P., pág 24)
Para finalizar, los argumentos que utiliza el Libro de Texto no son usados al
momento de presentar un concepto sino para dar significancia a los conceptos en los
ejemplos.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
84
Tabla comparativa y conclusiones
Tabla 9. Tabla comparativa para el Libro 3 Descripción Factores Explícitos Factores Implícitos Conclusiones
Perspectiva del concepto de función
Se hacer referencia a situaciones cotidianas, donde el estudiante debe enfrentarse como un problema a resolver.
Los autores proponen a la función como un tipo especial de relaciones, el discurso ofrecido por el Libro de Texto conduce a considerar a la “Función” como una particular relación de correspondencia
El término función se describe como una particular relación de correspondencia entre elementos de diferentes conjuntos. Pero lo importante es que en este libro se contextualiza el concepto, presentándolo dentro de una situación problema y a partir de ello se generan todas las actividades.
Representaciones del concepto
Aunque no se describe de manera clara que representaciones se van a utilizar, puede hacerse notar, que se considera importante que el estudiante comprenda larepresentación gráfica.
Los argumentos que utiliza el Libro de Texto no son usados al momento de presentar un concepto sino para dar significancia a los conceptos en los ejemplos.
Se le pide al estudiante conocer algunas de las representaciones del concepto, pero dan dentro de actividades, para su mejor comprensión. Los argumentos se presentan para dar significancia al concepto dentro de una situación.
Enfoque: Constructivista
De acuerdo con las ideas que se proponen dentro de este libro para el desarrollo del aprendizaje de los estudiantes, se puede observar que va de acuerdo a un enfoque constructivista, ya que se plantea que el estudiante enfrentarse ante una situación problemas y con guía las actividades propuestas, pueda conjeturar sobre cierto concepto matemática, donde al final se presentarían las definiciones o procedimientos formales.
Se mantiene un enfoqueconstructivista, de acuerdo a que el libro presenta: planificación de los ejercicios, toma en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes, se promueve un aprendizaje por descubrimiento, incluyendo actividad introductoria, entre otros.
El libro mantiene un enfoque constructivista, pues es posible observar que dentro de las actividades propuestas el alumno debe desarrollar las habilidades de razonamiento, comprensión y de acuerdo al desarrollo cognitivo que se tenga sobre el tema, podrá conjeturar, es decir, él mismo hará la construcción del conocimiento apoyándose de las actividades guiadas, una vez alcanzado este se procede a formalizar el concepto matemático.
Tipo de ejemplos y/o ejercicios.
Los autores pretenden introducir actividades que involucren al alumno para comprender el concepto matemático y a conocer las situaciones que lo contextualizan.
Los ejercicios son para realizar una práctica de algoritmos relacionados con el concepto, además de secuencias de actividades, donde es importante las ideas de los
Se puede observar que describe el autor va de acuerdo a lo presentado en los ejercicios. Resultan ser actividades en las cuales son diseñadas de tal manera que guían al
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
85
Los temas tienen una aplicabilidad, pues permiten modelar fenómenos, situaciones cotidianas
estudiantes para llegar al concepto. estudiante a la formulación y comprensión del concepto, así como sirven de repaso sobre los procedimientos aprendidos.
Conocimientos Previos del alumno
Ofrece una evaluación diagnostica al iniciar una nueva unidad para identificar el conocimiento previo de los alumnos, además de que permite reconocer los problemas y dificultades que se tienen antes de iniciar un nuevo tema.
Considera los conocimientos previos de los estudiantes al establecer una “Evaluación Diagnostica”, así como las nociones que los estudiantes tienen sobre los conceptos que se abordarán en el tema y que son basados en su experiencia.
Claramente se percibe que a los autores esta interesado por los conocimientos previos de los estudiantes, por ello se preocupan en diseñar actividades que le permitan evaluar el grado de aprendizaje de estos, para corregir a tiempo problemas futuros.
Participación del alumno
Interesa que el alumno se haga partícipe de su propio aprendizaje para la construcción del conocimiento matemático, las actividadespropuestas pretenden situar al individuo dentro de una problemática y a partir de los resultados obtenidos conjeturar
Aprendizaje por descubrimiento. Es importante las ideas propuestas por los estudiantes en las actividades
La participación de los estudiantes es fundamental, pues a partir de las ideas de ellos sobre las actividades diseñadas, permiten guiar al estudiante para que el mismo logre comprender el concepto. Toma ideas para que el estudiante alcance un aprendizaje por descubrimiento.
Evaluación formativa
Presente en cada una de las secciones, ya que es reconocer como avanza el alumno en su aprendizaje es pieza fundamental para el siguiente tema o actividad.
Se encuentra presente las actividades y ejercicios.
Interesa que el estudiante vaya desarrollando las actividades y secuencias, y dentro de este se puede evaluar el aprendizaje de los alumnos.
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
En base a las tablas anteriores, podemos concluir que es posible observar el
tratamiento que se le da al concepto de función en cada uno de los Libros de Texto.
Entre los tratamientos descritos es posible percibir aquellos elementos que están en
cada uno de estos y que se presentan de manera similar, es decir elementos que no
varían de un libro a otro (invariantes).
Estos elementos se pueden señalar de la siguiente forma:
- La perspectiva del concepto de función, cada uno de los libros, sitúa al
concepto dentro de una situación cotidiana, ya sea como que lo presente,
como una relación y/o correspondencia entre dos conjuntos de esta. Los
libros buscan contextualizar al concepto, mostrarle al estudiante que se
encuentra presente al modelar fenómenos reales.
- Las representaciones del concepto, cada uno de los autores considera
importante que el estudiante conozca estas representaciones y aunque no se
logre hacer una conversión entre dichos argumentos, si puede concluirse que
el discurso que se presenta buscar hacer que el estudiante comprenda que
aquello plasmado es la función.
- Los tres libros se enfocan en la resolución de problemas, que tengan que ver
con la vida real, auque unos hagan más énfasis que otros.
Ahora bien, lo que cambia dentro de cada uno de estos libros es el enfoque que el
autor le da al los textos, y a partir de ahí se pueden observar las variaciones entre
ellos. En el caso de los dos primeros Libros (Stewart, y el Barnett) tiene un enfoque
de resolución de problemas, y el de Matemáticas IV de Pedro Salazar, se percibe un
enfoque constructivista.
86
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El enfoque de resolución de problemas, aunque los libros en su parte explicita se
presenta como situar al estudiante dentro de una problemática y a partir de ahí que el
vaya generando el conocimiento, mas bien se refiere (observando el tratamiento, lo
implícito) a expresar al concepto de función dentro de un contexto y generar
ejercicios tipo problema, aparte de los algorítmicos, también situados dentro de una
situación real donde el estudiante tiene analizar sobre de este y escoger algún
procedimiento para su solución, anteriormente descrito en el libro.
Para el Libro 3, el enfoque constructivista, aunque también presenta ejercicios tipo
problema, presentados en situaciones cotidianas, este más bien se centra en la
acción del estudiante, en lo que él pueda deducir a partir de las actividades
propuestas. Primero se abordan las actividades y de las conclusiones obtenidas se
puede comprender la definición formal del concepto de función así como sus
propiedades.
Es decir, el tratamiento va de acuerdo al enfoque que sigue el Libro de Texto, pues a
partir de este, es como se diseñan las actividades y secuencia de los contenidos, la
manera en que el libro “interactúa” con el estudiante, permitiéndole presentar de
alguna manera esa información.
Por eso, por el enfoque que utiliza en Libro 3: Matemáticas 4, Pedro Salazar,
propone actividades de evaluación y otras más donde siempre el alumno es el tiene
que responder.
87
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
4.3 Análisis del Fenómeno de Reproducibilidad
Después del análisis de los tratamientos, procedimos al estudio del fenómeno de
reproducibilidad en cuanto a los aspectos cognitivos y didácticos que se encuentran
presentes en el DME de los Libros de Texto analizados.
4.3.1 Reproducibilidad cognitiva
Para el análisis del fenómeno de reproducibilidad en el aspecto cognitivo,
consideramos las demandas cognitivas que los tratamientos de los Libros de Texto
exigen en el lector (estudiante/profesor).
Según Montoya (¿?), La cognición se relaciona (…), prácticamente con todos
aquellos que involucren percepción, memoria, aprendizaje; esto implica que todas las
actividades derivadas del pensamiento tienen componentes cognitivas.
El estudio del tratamiento en los Libros de Texto brindo información sobre algunas de
las demandas que cada autor requiere, para el desarrollo de su propuesta. A
continuación de define cada una de las demandas que se lograron percibir según los
Libros de Texto:
• Analizar: El análisis se refiere a la descomposición de un todo en sus distintos
elementos constituyentes, con el fin de estudiar éstos de manera separada,
para luego, en un proceso de síntesis, llegar a un cabal conocimiento integral.
• Caracterizar: es aquella habilidad que permite enumerar elementos
cualitativos que se aprecian las componentes más importantes del objeto en
cuestión.
88
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• Comparar: La observación permite apreciar las características externas (o
internas) de los objetos. La comparación permite apreciar las características
semejantes y diferentes que se observan en diversos objetos, hechos
fenómenos o procesos. Para aprender a comparar es preciso que se destaque
que la comparación exige que se precisen primero el o los criterios que van a
servir de base para la comparación.
• Comprender: Concierne el aspecto más simple del entendimiento que
consiste en captar el sentido directo de una comunicación o de un fenómeno,
como la comprensión de una orden escrita u oral, o la percepción de lo que
ocurrió en cualquier hecho particular.
• Explicar: Es la expresión no reproductiva de lo conocido, puede responder a
diferentes preguntas ¿por qué?, ¿cuándo?, ¿para qué?, entre ellos se destaca
la posibilidad de establecer las relaciones de causa y efecto: ¿por qué?
• Identificar relaciones y patrones: Establecer aquellas conexiones entre los
diferentes conceptos que se encuentras relacionados o los diferentes registros
de representación semiótica, de igual forma inferir sobre las tendencias que
se van presentando en los conceptos o problemas propuestos.
• Interpretar: Es la atribución de un significado personal a los datos contenidos
en la información que se recibe.
• Modelar: Es una técnica cognitiva que consiste en la generación de una
representación o modelo científico ideal de un objeto real o de un fenómeno,
mediante un conjunto de simplificaciones y abstracciones cuya validez se
pretende constatar. La validación del modelo se lleva a cabo comparando las
implicaciones predichas por el mismo con observaciones.
• Observar: Cualidad de la percepción con la cual seleccionamos los estímulos
más relevantes para percibirlos "mejor" algún objeto.
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• Razonar: un conjunto de proposiciones enlazadas entre sí que dan apoyo o
justifican una idea. El razonamiento se corresponde con la actividad verbal de
argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión verbal de un
razonamiento.
• Representar: Exponer de manera gráfica (por medio de un icono, una
gráfica…) una idea o concepto sobre un objeto matemático.
• Resolver problemas algorítmicos: Se refiere a la realización de ejercicios
donde se realizan procedimientos descritos en algún concepto, como seguir
una secuencia de paso.
• Visualización: En cuanto a que permiten relacionar e interpretar de dos
registros de representación presenten en la exposición de un objeto.
De acuerdo a las demandas cognitivas que consideramos, a partir del análisis
epistemológico se establece una tabla en la cual damos a notar las diferentes y las
convergencias que pudieron ser percibidas durante el análisis.
Tabla 10. Tabla comparativa de las demandas cognitivas
Unidad de análisis Demandas Cognitivas LIBRO 1 Stewart
LIBRO 2 Barnett
LIBRO 3 Pedro
Salazar
Caracterizar x
Interpretar x
Explicar x x x
Antes de Abordar el Concepto -Conocimientos previos del
estudiantes visualizar(gráficas) x x x
Comparar x x
Representar x x x
Caracterizar x x x
Identificar relaciones y
patrones x
Comprender x x x
Explicar x
Durante el desarrollo del concepto
-Grado de apropiación del
concepto
-Grado de interpretación de los
argumentos establecidos
Analizar x x x
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Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Analizar x
Resolver Problemas
Algorítmicos x x x
Razonar x x x
Observar x x x
Posterior al concepto -Grados de dificultad en los
ejercicios propuestos
Modelar x x x
Con respecto a la información contenida en la tabla, se dice que, en la forma como
se aborda la introducción de los conceptos previos, se reproduce cognitivamente, en
cuanto a que, los Libros de Texto exigen de Explicar y Visualizar. Así mismo, es
posible notar que se reproduce cognitivamente, las demandas de: representar,
caracterizar, comprender y analizar, esto en cuando a la forma como se aborda el
concepto de “Función”. Por ultimo, se reproduce cognitivamente en los ejercicios
propuestos por los diferentes Libros de Texto, en cuanto que exigen de: Resolución
de problemas algorítmicos, Razonar, Observar y Modelar.
Podemos afirmar con ello que a través del estudio presentado, se pudo notar que el
fenómeno de reproducibilidad se encuentra presente en los libros de texto en cuanto
a que los Libros de Texto presentan en su tratamiento las mismas demandas
cognitivas, independientemente del enfoque o la estructura de su tratamiento,
posibilitando, quizás, que la forma en que el concepto es apropiado por el estudiante
sea la misma, creando en el las mimas noción del concepto “función”.
4.3.2 Reproducibilidad didáctica
Para el análisis del fenómeno de reproducibilidad en el aspecto didáctico,
consideramos las formas en que el concepto se informa, difunde y transmite, los
usos y razones de usos que los profesores plantearon, en cuanto al aspecto
didáctico.
91
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Al considerar las formas de informar el “concepto de función” de los tres libros se
logra percibir que los autores, se encuentran interesados en presentar al concepto en
diversos tipos de representaciones (gráficas, analíticas, icónicas, verbal, numérica,
etc.), pero las formas en que son usados, como el tipo de representación y el número
de los mismos, no son iguales, pues varían según el Libro de Texto, de igual forma,
no se promueven las transformación de un representación a otro.
Ahora bien si se observan las formas de difundir el “concepto de función”, de acuerdo
con los definiciones, teoremas, ejemplos, problemas y ejercicios, se observan
variaciones entre los Libros de Texto, ya que para el Libro de James Stewart y el de
Pedro Salazar, resultan estar más adecuado al nivel del estudiante de acuerdo al
vocabulario y el Raymond Barnett presenta un vocabulario matemático más formal y
se puede visualizar como un libro para el profesor de acuerdo al DME que presenta.
Además cabe señalar, que si bien, los libros del Stewart y Salazar presentan los
problemas de forma contextualizada, es el Salazar, quien trata de contextualizar los
problemas en un ambiente conocido por los estudiantes.
Las formas de transmitir el concepto de función, refiriéndose al enfoque que
mantienen los Libros de Texto, en las conclusiones del tratamiento se observo que el
tanto Stewart como el Barnett, proponen un enfoque con respecto a la resolución de
problemas; mientras que el Salazar mantiene enfoque constructivita.
En base a lo anterior, pareciera ser que el fenómeno de reproducibilidad no se
encuentra presente en la componente didáctica, o al menos con la metodología
empleada para el estudio de este fenómeno no fue posible constatar su presencia.
92
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
Es adecuado decir, que el Libro de Texto, juega un papel de gran importancia en el
DME presente en las aulas de educación media superior, en este caso el Subsistema
COBAY, pues, el Libro de Texto se caracteriza, así mismo, como una fuente que no
solo mantiene y comunica los saberes, sino que norma y delimita, las prácticas
docentes y condiciona el tipo de enseñanza que se presenta en las aulas.
En base a esta afirmación, se realizo este estudio con la finalidad de caracterizar el
tipo de DME presente en los Libros de Texto, y los usos y razones, que se le da a los
Libros de Texto por parte de los profesores, siendo posible el observar la relación
que tiene en libro con las practicas escolares presentes en el subsistema COBAY.
El presente estudio, fue conducido sobre una perspectiva de la aproximación teórica,
Socioepistemología, que permitió los diferentes análisis presentados, así como, el
estudio de la existencia del fenómeno didáctico de reproducibilidad en los Libros de
Texto.
En nuestra opinión el trabajo realizado, promueve el uso de la Socioepistemología
como metodología de análisis del DME, sus usos y razones asignado por los
profesores, así mismo se contribuye a un análisis de carácter cualitativo que describe
y caracteriza, al Libro de Texto como un objeto didáctico.
Las conclusiones que se presentan tratan de dar repuesta, describiendo usos y las
razones de los usos del Libro de Texto, como estos se encuentran relacionados con
el DME presentes en los Libro de Texto y la posible existencia del Fenómeno
Didáctico de Reproducibilidad.
94
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
5.1 Conclusiones generales
5.1.1 Conclusiones sobre las razones de los usos de los libros de texto de matemáticas
El primer estudio, se procedió a realizar dos tipos de análisis, uno haciendo
referencia a los libros más usados, describiendo los usos y razones principales de
estos; y el otro tipo es considerando a cada profesor y describiendo las necesidades
que tiene de acuerdo a las razones que daba para los usos de los libros que
señalaron.
Los usos que le dan los profesores a los libros son los siguientes:
Formas en que usa los libros
Fuente de información para preparar las clases
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase.
Durante la impartición de la clase.
Para elaborar los exámenes.
Con los datos de la encuesta pudimos ver que los profesores le dan diversos usos a
los libros de texto y aunque no siempre pueden darle todos los usos a cada libro,
precisamente por las características de cada uno, sí pueden cubrir todos los usos
con todos los libros que utilizan.
95
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
De la misma manera los profesores mostraron las razones por las cuales utilizan los
libros y al hacer el contraste de sus respuestas en los usos con las razones de los
usos se llegó a la conclusión de que los profesores están concientes de las
necesidades y carencias presentes en cada uno de los Libros de Texto que proponen
las instituciones, tratando de cubrir lo más que se pueda los aspectos cognitivos,
epistemológicos, didácticos y socioculturales, al consultar otros Libros, que no
menciona la bibliografía, pero que según ellos subsanan las carencias que ellos
presentan.
Esta conclusión se respalda al hacer un análisis de cada profesor, pues la mayoría
de ellos busca en un Libro de Texto características que sean útiles para su
enseñanza, auque no se encuentran concientes de los aspectos cognitivos,
epistemológicos, didácticos y socioculturales; es decir, buscan en un Libro de Texto
un DME adecuado en esos aspectos que cubren sus necesidades y las de sus
estudiantes, porque están concientes de la importancia de éstas características, de
que para el logro de los objetivos, es necesario considerarlas en su labor docente, en
específico en el uso que le dan a los textos de matemáticas. Dejando en claro que
las características que ellos requieren de un Libro de Texto, permita a los estudiantes
ser partícipes responsables de su propio aprendizaje por medio de un libro adecuado
a su currículo que sirva de instrumento para el aprendizaje de los estudiantes y para
la labor de enseñanza de los profesores.
5.1.2 Conclusiones sobre el DME
Al analizar el DME de los Libros de Texto, se observó, existe un libro que es utilizado
por la mayoría de los profesores y que no esta presente en la bibliografía propuesta
por las instituciones del COBAY, “Matemáticas IV” de Pedro Salazar, pues el DME
96
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
que presenta cubre la mayoría de las necesidades de los profesores, se caracteriza
por ser el mas adaptado al programa de estudio, señalado por los profesores, y que
cubre con la mayoría de las componentes socioepistemológicas pues resulta tener
un enfoque adecuado, de hecho es Constructivista y es el enfoque que tiene el
currículo de matemáticas del subsistema COBAY, y cabe aclarar, su uso se debe a
que fueron los mismos profesores quienes observaron que este Libro de Texto, se
apega a sus necesidades y lo eligen por consenso.
Así mismo, la Institución propone como Libros de Texto,
1) Precálculo. James Stewart, Lotear Redlin, Saleem Watson. Editorial:
International Thompson.
2) Precálculo: Funciones y Gráficas. Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler,
Karl E. Byleen. Editorial: Mc Graw Hill
Los cuales presentan un DME, con enfoque en la resolución de problemas, sus usos
son más de consulta por parte de los profesores, ya sea para las definiciones,
ejercicios en clase o exámenes.
Con el estudio del DME presente en estos tres libros, analizando por un lado, la
propuesta didáctica, que los autores hacen explicito, para el tratamiento de un
concepto matemático, y por otro aquello que se encuentra implícito sobre la
propuesta didáctica de los Libros de Texto y que está presente en el tratamiento de
un concepto, en este caso el Concepto de Función, se pudo corroborar cómo estos
libros cumplen con ciertas características y cuál de ellos tres, es el más apegado a
las necesidades curriculares del Subsistema COBAY.
El libro de “Matemáticas IV”, es uno que por ende, es el más apegado a la
necesidades presentes en la enseñanza de Precalculo, pues su enfoque es
constructivista cubriendo así las carencias que los otros libros como, “El Precalculo” y
“Precálculo: Gráficas y Funciones”, no son capaces de cubrir pues el enfoque que
mantiene es inadecuado para estas Instituciones. Concluyendo que:
97
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• “El Precalculo” y “Precalculo: Gráficas y funciones”, son libros que resultan
adecuados para el profesor por el tipo tratamiento que se le da al concepto de
función, permitiendo serle útil en la planeación de su clase. Estos, tienen un
enfoque de resolución problemas, además de que se presenta el contenido
matemático formalmente, sirviendo así de apoyo al profesor.
• El Libro de Pedro Salazar, “Matemáticas IV”, tiene un enfoque constructivista,
de acuerdo al tratamiento observado, y esto también es percibido por los
profesores, pues ha sido considerado ideal por su enfoque y estar apegado al
programa, este libro es aquel que tiene actividades diseñadas para que el
estudiante posibilita, al menos en nuestro parecer, la construir su
conocimiento.
En fin los profesores de los diferentes planteles del COBAY requieren un Libro de
Texto:
• Con enfoque constructivita, pues es la tendencia curricular de este
Subsistema
• Que promueva el pensamiento geométrico
• Que resulte atractivo a la vista de los usuarios
• Con un contenido temático apegado al programa del COBAY
• Que promueva la transferencia, pues los ejemplos que se presenten resulten
en un contexto adecuado a la vida cotidiana de los estudiantes
Es por tanto, que parte del trabajo que deben realizar las diferentes instituciones, es
mantener una vigilancia y revisión de los libros que proponen en sus bibliografías
como Libros de Texto para alguna asignatura de sus cursos, en este caso para la
materia Matemáticas IV, puesto que su elección debe ser sustentada en base a las
demandas curriculares y las necesidades que la cultura en la cual se encuentra
inmerso.
98
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
El sistema COBAY, requiere de un Libro de Texto que cumpla con las demandas de
la Institución, por ello es conveniente consideras quizás la elaboración de un Libro
que cumpla con las características de un Libro de Texto y cuyo DME sea el más
pertinente para los Profesores y los Estudiantes del COBAY.
5.1.3 Conclusiones sobre el Fenómeno de Reproducibilidad
El tratar de extrapolar el Fenómeno de Reproducibilidad, a un ambiente que no es
una situación didáctica y llevarlo al Libro de Texto, resulta interesante que de manera
intuitiva , suena lógico pensar que si existe el Fenómeno de Reproducibilidad.
Nuestro estudio permitió mirar que si bien el Fenómeno de Reproducibilidad se
presenta como frágil en una situación didáctica, su estudio en los Libros de Texto no
se mira de manera fácil requiere de una nueva metodología que pueda soportar y
enmarcar las nuevas características que este debe presentar en este nuevo
contexto.
Es por ello que a partir de un estudio del DME, con un carácter Socioepistemológico,
pudimos identificar el fenómeno didáctico de reproducibilidad asociado al Libro de
Texto en cuanto a lo cognitivo, afirmando, que independientemente del enfoque y los
tratamientos ofrecidos por los Libros de Texto, se producen los mismos efectos de
acuerdo a los tratamientos que ofrecen los Libros de Texto. Por otro lado, en el
aspecto didáctico estuvo ausente el fenómeno de reproducibilidad, debido a que los
tratamientos variaban según el enfoque que cada libro de texto presentaba.
En general, lo que se percibió fue una primera aproximación al fenómeno de
reproducibilidad en los Libros de Texto, dejando en claro, que se habría que hacer
algunas mejoras a la metodología empleada para el análisis del discurso, y haciendo
99
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
más amplias las unidades de análisis que permitan de manera segura afirmar sobre
la existencia del fenómeno de reproducibilidad en los libros de texto.
Por ultimo el estudio de el fenómeno de reproducibilidad, y su existencia en los libros
de texto en cuanto a las demandas cognitivas, es que los usos que los profesores le
dan a los Libros de Texto, así como las razones de los mismos, no influyen de
manera cognitiva, pues las demandas de los Libro de Texto al menos se mantienen
similares en algunos aspectos, pero los resultados de usar uno u otro Libro de Texto
si se ve fuertemente influenciado por los aspectos, socioculturales, didácticos y
epistemológicos, los cuales son de igual importancia para los profesores en su
práctica docente.
5.2 Reflexiones finales y sugerencias
• Con el estudio de las razones de los usos de los libros de texto, desde una
perspectiva Socioepistemologíca, se pudo observar como los profesores
consideran los aspectos socioculturales, didácticos, epistemológicos y
cognitivos en el DME presentado por los Libros de Texto, lo cual confirma la
importancia de nuestro sustento teórico y cómo sin importar la diferentes
características de cada profesor (formación profesional, sexo, edad, plantel en
el que labora, etc.) éstos se encuentran preocupados por el proceso de
enseñanza aprendizaje y están en búsqueda de materiales de texto
adecuados para subsanar las necesidades presentes en dichos procesos
• De acuerdo a todo el estudio, se hace notorio la necesidad de un Libro de
Texto adecuado al currículo del Subsistema COBAY, con características
adecuadas a sus objetivos curriculares, el programa de estudio, la realidad
sociocultural, entre otros, así como características concernientes a las
100
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
componentes socioepistemológicas (componentes epistemológicas,
didácticas, cognitivas y socioculturales), que de hecho buscan los profesores
en su labor docente.
• Al hacer el estudio de la reproducibilidad, se pudo concluir que los efectos
que producen los diferentes Libros de Texto, en el aspecto cognitivo y
didáctico, no son del todo los mismos, y que van de acuerdo al tipo de
enfoque que maneja cada autor, es así, que no es posible afirmar que lo
propósitos establecidos para el currículo de matemáticas en el Subsistema
COBAY sean logrados en su totalidad, por ello es recomendable la obtención
de libros que vayan de acuerdo a los objetivos curriculares de matemáticas.
• El fenómeno de reproducibilidad requiere de una nueva caracterización al
momento de estudiarlo a través de los Libros de Texto, así mismo
consideramos que un estudio más profundo requeriría de la parte
experimental, pues a nuestro juicio la reproducibilidad en el aspecto cognitivo
se pudo hacer presente, pero faltaría sustentar la información al ver si las
demandas cognitivas que consideramos, son las mismas que se presentan en
los estudiantes y profesores, los cuales usan esos libros.
Las contribuciones que brinda esta extrapolación es ver que los fenómenos
didácticos no solo se encuentran presentes en el aula, sino en aquellos
dispositivos que son utilizados para la comunicación y difusión de los saberes,
el estudio de la reproducibilidad en los Libros de Texto permitiría considerar la
creación de Libros de Texto que vayan acorde a las necesidades de cada
sistema educativo, así como una práctica más homogénea en los diferentes
planteles educativos de los diferentes subsistemas. Sin embargo seria
interesante cuestionarse sobre las ganancias que se tendrían al poder
extender el fenómeno de la reproducibilidad a los libros de texto y cómo esto
contribuiría a estudios más especializados en Matemática Educativa.
101
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
• Durante el análisis se pudo notar que el DME presente en los Libros de Texto,
presenta una invariante en la conceptualización de “Función”, pues es
presentada como una relación de correspondencia, caracterizada a través de
su dominio, su el rango y la forma gráfica en que es representada
• Los Libros de Texto, presentan diversas maneras de representar a la Función,
su dominio y su rango (icónica, analítica, gráfica, etc.) con lo cual buscan que
el concepto sea comprendido, pero la mayoría de ellos no permite concebir
esas representaciones como representaciones semióticas, de acuerdo a la
teoría planteada por Duval (1999), pues debido a la forma en que son
plasmadas las representaciones, a lo que denominamos textualizados, no
permiten generar conversiones apropiadas de un registro a otro.
• Los tres Libros de Texto analizados, citan el teorema de la recta vertical para
decidir cuando una gráfica representa una función, pero nadie hace evidente o
explica la razón del porqué de esta afirmación.
102
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
1) Ávila, A (1996). Los usos reconocidos de los textos matemáticos. Revista
latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Vol. 1 (2), pp.314-342
2) Artigue, M. (1986). Ètude de la dynamique d’ une situation de classe: une
approche de la reproductibilité. Recherches en Didáctique des Mathématique
7(1), 5-62.
3) Barnett, R. (2000). Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill Interamericana,
México,
4) Cadoche, L. (2002), Malva, A. Descripción de situaciones didácticas desde los
libros de textos (en los últimos veinticinco años). Universidad Tecnológica
Nacional. Universidad Nacional del Litoral, Argentina. Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa, Vol. 15, pp. 1222-1227
5) Castañeda, A., Ferrari, M., Martínez, G. (2001). Elementos para el análisis de
textos matemáticos antiguos, desde la perspectiva sociepistemológica. En
Cordero, F. (Ed), Antología de Red de los CIMATES (Número I, pp. 125-147).
México: Programa Editorial de la Red de Cimates.
6) Castañeda, A. (2002). Estudio didáctico del punto de inflexión: una aproximación
socioepistemológica. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa.
Thomson: México. Vol 5, Núm. 1, 27-44.
7) Castañeda, A. (2004) Desarrollo de situaciones de aprendizaje en un escenario a
distancia incorporando objetos virtuales de aprendizaje. En L. Díaz (Ed.), Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, (Volumen 17, pp. 660-667). México.
CLAME.
104
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
8) Castañeda, A. (2005). Mecanismos para la Difusión del Discurso Matemático
Escolar. En J. Lezama, M. Sánchez, J.G. Molina (Eds.), Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa (Volumen 18, pp. 469-475). México: CLAME.
9) Cordero, F. (2005). La Socioepistemología en la Graficación del Discurso
Matemático Escolar. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18. pp 477 -
482. Clame, México.
10) Díaz, J., Batanero, C. Font, V. (2003) Fundamentos de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de la
Matemática, Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Granada.
11) Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano.
12) Farfán, R. Lezama, J. (2001). Un estudio de reproducibilidad de situaciones
didácticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 14, pp. 554 -559
13) Farfán, R.; Ferrari, M.; Martínez, G. (2003). Lenguaje algebraico y pensamiento
funcional. 1a ed., México, Editorial trillas.
14) Gatica, N.; Carranza, M.; May, G. Coseí, A. (2002). El concepto de función en los
libros de texto universitarios. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol.
15, pp. 132-137. Clame, México.
15) Güemes, R. (2001). Algunas investigaciones en torno al uso de los libros de texto
en las aulas. Revista Comunicación y pedagogía: Nuevas tecnologías y recursos
didácticos pp. 76-83. Perú.
16) Lezama, J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la
reproducibilidad. Relime Vol. 8, Núm. 3. pp. 339-362. Clame, México.
17) Lezama, J. (2004) Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Un
enfoque sistémico. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa – Vol. 17, pp.
32 -38
105
Un estudio sobre el discurso en los Libros de Texto de matemáticas
18) Lezama, J. (2005). Una mirada socioepistemológica al fenómeno de la
reproducibilidad. Relime Vol. 8 Num.3, 2005, pp. 339 -362.
19) Montoya, L. (SF). Propuesta de un proceso educativo de habilidades de
pensamiento como estrategias de aprendizaje en las organizaciones. UNAM. pp.
51-80
20) Marta Macolini y Javier Perales. La noción de predicción: Análisis y propuesta
didáctica para la educación universitaria. RELIME, VoL. 8. Num. 1, 2005, pp., 65-
68
21) Gatica, N.; Carranza, M.; May, G., Coseí, A. (2002) El concepto de función en los
libros de texto universitarios. Universidad Nacional de San Luis Argentina. Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 15, pp. 132-137
22) Ordaz, M. (2006). Las secuencias didácticas con un enfoque constructivista: El
caso de la función valor absoluto. Tesis de maestría no publicada, Universidad
Autónoma del Estado de Morenos, (23 pp.).
23) Ortiz, J. (2002) La probabilidad en los libros de texto. Departamento de
Matemática Educativa. Universidad Granada.
24) Rosado, P. (2005). La reforma curricular del bachillerato tecnológico y la
elaboración de secuencias didácticas para cursos de Matemáticas. Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa 19, pp. 379-385. Clame México
25) Salazar, P.; Callejas, L. Domínguez, H. (SF) Matemáticas IV. Editorial
Nuevaimagen.
26) Santos, L. (1997). Principio y métodos de resolución de problemas en el
aprendizaje de las matemáticas. 2a ed., México, Editorial Iberoamerica.
27) Stewart, J. (2000), y otros. Precálculo. 3ª ed., México, International Thomson
Editores.
106
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA El objetivo de esta encuesta es reunir información de apoyo a los profesores que tienen a su cargo el proyecto de investigación denominado “Estudio sobre el discurso matemático escolar”, éste, se realiza al interior del sistema educativos del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán. Nos dirigimos a usted, profesor de matemáticas, para conocer información que nos será muy valiosa para este proyecto y que pretendemos rescatar por medio de esta encuesta. Le proporcionamos dos encuestas una correspondiente a Matemáticas II y otra de Matemáticas IV, usted deberá responder las dos o sólo una de ellas según si imparte ambas asignaturas o sólo una de ellas. Toda la información que usted nos proporcione es de carácter confidencial y el tiempo estimado para responder la encuesta es de 10 a 15 minutos. Agradeceremos nos haga llegar sus respuestas por medio del(la) coordinador(a) académico(a) de este plantel, a más tardar el día 30 del presente mes, para analizar los datos obtenidos y poder continuar con el desarrollo de nuestro trabajo.
Gracias por su colaboración
1. De la bibliografía señalada en el programa de la asignatura Matemáticas IV, indique a lo más 3 libros que son los que más utiliza para impartirla.
2. Si utiliza algún otro libro que no esté en la bibliografía, indique el título, autor y editorial.
Libros incluidos en la Bibliografía Lo utilizo No. Datos del libro 1 Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson
Editores.
2 Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.
3 Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. 4 Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones.
Publicaciones cultural.
Libros que no están en la bibliografía No. Datos del libro 6 7 8
3. En la tabla siguiente se le presentan posibles formas en las que usted puede estar utilizando los libros, de ser el caso le pedimos indique en la columna de la derecha el número de el(los) libro(s). Nota: Considere además que un libro puede estar en más de una opción
Formas en que usa los libros No. de el(los) libro(s)
Fuente de información para preparar las clases Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase.
Durante la impartición de la clase. Para elaborar los exámenes. Otra(s). Indique cuál(es)
4. En la siguiente tabla le ofrecemos una serie de posibles razones por las que usted
pudiera estar utilizando tales libros, de ser el caso le pedimos indique en la columna de la derecha el número de el(los) libro(s). Nota: Considere además que un libro puede estar en más de una opción
Razones por las que usa tales libros No. de el(los) libro(s)
Vocabulario accesible Los contenidos y ejemplos son precisos (de acuerdo al programa) Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes El enfoque del libro es el adecuado La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes La institución sugiere que se use este libro Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien Me lo recomendaron alguna vez Otra(s). Indique cuál(es)
5. Además de libros, ¿utiliza algún otro material (notas personales, antología, etc) para desarrollar su curso? En caso afirmativo, indique cuál(es).
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6. ¿Considera importante contar con un libro de texto para el curso? Sí ( ) ¿Por qué?
No ( ) ¿Por qué? ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
7. Si respondió afirmativamente a la pregunta anterior, escriba cuáles considera serían las características que debería tener dicho libro de texto.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Nombre: ______________________________________ Plantel: _______________________________________
Libros usados por los profesores en la encuesta
Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores.
Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill.
Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen
Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural.
Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural.
Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES.
Libro 6: Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Edit. Oxford.
Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (¿?).
Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES.
Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo.
Mc Graw Hill.
Tablas correspondientes al análisis de las razones de los usos y razones de uso, de cada uno de los profesores encuestados
Profesor 1 Libro 1: Stewart, James, Et. Al. Precálculo. International Thomson Editores Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 8: Matemáticas. Cuarto curso. Enfoque constructivista (no se indican más detalles).
Tabla 1: Usos del Profesor 1
Formas en que usa los libros L 1 L 3 L 8 Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x x x
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x x x
Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. x x x Otra(s). Indique cuál(es)
Tabla de Razones de los usos del Profesor 1
Razones en base a la
Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 1 L 3 L 8
1. Vocabulario accesible x x 2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de
acuerdo al programa) x Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para
los estudiantes x x
4. El enfoque del libro es el adecuado x x 5. La estructura y secuencialidad de los
contenidos es adecuada
6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)
Epistemológico
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o
ejercicios Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los
estudiantes x
10. La institución sugiere que se use este libro 11. Mis compañeros profesores y yo decidimos
que es adecuado x
12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez 14. Otra(s). Indique cuál(es)
Profesor 2 Libro 1: Stewart, James, y otros. Precálculo. International Thomson Editores. Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill. Libro 5: Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. Libro 6: Leithold. Precálculo. Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo. Mc Graw Hill.
Tabla 3: Usos del Profesor 2
Formas en que usa los libros L 1 L 2 L 5 L 6 L 10 Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x
Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. Otra(s). Indique cuál(es)
Tabla 4: Razones de los usos del Profesor 2
Razones en base a la Socioepistemología
Razones por las que usa tales libros L 1 L 2 L 5 L 6 L 10
1. Vocabulario accesible x x x 2. Los contenidos y ejemplos
son precisos (de acuerdo al programa)
x x x Didáctico
3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes
x
4. El enfoque del libro es el adecuado x x x
5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada
x x x
6. Se da énfasis a un solo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)
x x
Epistemológico
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x
8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x
Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes
x x
10. La institución sugiere que se use este libro x
11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado
x
12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien
x
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez x x
14. Otra(s). Indique cuál(es)
Profesor 3 Libro 1: Stewart, James, Y Otros. Precálculo. International Thomson Editores. Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: Funciones Y Gráficas. Mc Graw Hill. Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. Publicaciones Cultural. Libro 9: Zamarrón De Campos, Lucia. Matemáticas IV. GES. Libro 10: Trejo Peñan, Juan A., Quijano Ancona Mario. Matemáticas IV Precálculo. Mc Graw Hill.
Tabla 5: Usos del Profesor 3
Formas en que usa los libros L 1 L 2 L 3 L 4 L 9 L 10 Fuente de información para preparar las clases X X X X X
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase.
X X X X
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase.
X X X X
Durante la impartición de la clase. X X X X Para elaborar los exámenes. X X X X Otra(s). Indique cuál(es)
Tabla 6: Razones de los usos del Profesor 3
Razones en base a la Socioepistemología
Razones por las que usa tales libros L 1 L 2 L 3 L 4 L 9 L 10
1. Vocabulario accesible 2. Los contenidos y ejemplos
son precisos (de acuerdo al programa)
x x x x Didáctico
3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para los estudiantes
x x x
4. El enfoque del libro es el adecuado x x x x
5. La estructura y secuencialidad de los contenidos es adecuada
x x x x
6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)
x x x
Epistemológico
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x x x
8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x x x x
Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los estudiantes
x x
10. La institución sugiere que se use este libro
x x x
11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado
x x x
12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien
x x
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez x x x
14. Otra(s). Indique cuál(es)
Profesor 4 Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill.
Tabla 7: Usos del Profesor 4 Formas en que usa los libros L 2
Fuente de información para preparar las clases x
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x
Durante la impartición de la clase. Para elaborar los exámenes.
Otra(s). Indique cuál(es):
Tabla 8: Razones de los usos del Profesor 4
Razones en base a la
Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 2
1. Vocabulario accesible 2. Los contenidos y ejemplos son precisos (de
acuerdo al programa) Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares para
los estudiantes
4. El enfoque del libro es el adecuado 5. La estructura y secuencialidad de los
contenidos es adecuada x
6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.)
Epistemológico
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura 8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o
ejercicios Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para los
estudiantes x
10. La institución sugiere que se use este libro 11. Mis compañeros profesores y yo decidimos
que es adecuado
12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez
14. Otra(s). Indique cuál(es)
Profesor 5 Libro 2: Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill. Libro 3: Salazar Vázquez, Pedro, Et. Al. Matemáticas IV, Edit. Nueva Imagen Libro 4: Ruiz, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Publicaciones cultural.
Tabla 9: Usos del Profesor 5 Formas en que usa los libros L 2 L 3 L 4
Fuente de información para preparar las clases x x Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva en clase. x x
Para seleccionar ejercicios y/o tareas para que el alumno resuelva fuera de la clase. x x
Durante la impartición de la clase. x x Para elaborar los exámenes. x Otra(s). Indique cuál(es):
Tabla 10: Razones de los usos del Profesor 5
Razones en base a la Socioepistemología Razones por las que usa tales libros L 2 L 3 L 4
1. Vocabulario accesible x x 2. Los contenidos y ejemplos son precisos
(de acuerdo al programa) x x Didáctico 3. Los ejemplos y ejercicios son familiares
para los estudiantes x
4. El enfoque del libro es el adecuado x x 5. La estructura y secuencialidad de los
contenidos es adecuada x
6. Se da énfasis a un sólo enfoque (Conceptual, práctico, analítico, etc.) x x
Epistemológico
7. Pienso en lo fácil o difícil de la asignatura x x x
8. El grado de dificultad de los ejemplos y/o ejercicios x x x
Cognitivo 9. El diseño del libro resulta atractivo para
los estudiantes x
10. La institución sugiere que se use este libro
11. Mis compañeros profesores y yo decidimos que es adecuado
12. He utilizado este libro desde que era estudiante y lo conozco bien
Sociocultural
13. Me lo recomendaron alguna vez 14. Otra(s). Indique cuál(es)
Tabla de profesores por plantel y libros usados
Profesor Plantel Libro 1 Libro 2 Libro 3
Profesor 1 Sta. Rosa x x
Profesor 2 Chenkú x
Profesor 3 Chenkú x x
Profesor 4 Xoclán x x
Profesor 5 Sta. Rosa x x x
Profesor 6 Sta. Rosa Otros libros
Profesor 7 Xoclán x Otros libros
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
Teoría de las Representaciones Semióticas
Según Duval, la Teoría de las Representaciones Semióticas11 se encuentra
enmarcada en los trabajos sobre la adquisición de los conocimientos matemáticos.
Estas son entendidas como un conjunto de signos que son el medio de expresión de
las representaciones mentales para hacerlas visibles a otros individuos, es así como
las representaciones mentales nunca pueden ser independientes de las
representaciones semióticas. La especificidad de las representaciones semióticas
consiste en que son relativas a un sistema particular de signos, y en que pueden
ser convertidos en representaciones “equivalentes” en otro sistema semiótico, pero
pudiendo tomar significaciones diferentes para el sujeto que la utiliza. La noción de
representaciones semióticas presupone la consideración de sistemas semióticos
diferentes y una operación cognitiva de conversión de las representaciones de un
sistema semiótico a otro. La elección de un determinado registro de representación
puede ser la clave para facilitar la comprensión de un determinado objeto
matemático. Duval afirma que no puede haber comprensión en Matemática, si no se
distingue un objeto de su representación, pues, un mismo objeto matemático puede
presentarse mediante representaciones muy diversas.
11 DUVAL, R. (1999a). Semiosis y Pensamiento Humano. Universidad del Valle. Instituto de Educación y Pedagógica. Grupo de Educación Matemática.
Resolución de Problemas
Según Agree (1982, Citado en Remasal, 1999) desde el ámbito de la filosofía de la
educación, cuatro son las condiciones que una situación debe cumplir para poder ser
llamada problema:
a) debe de haber un sujeto que reconozca la situación problemática
concientemente
b) debe de ser una situación que generé cierta incomodidad, debe ser, por tanto,
indeseable, o dicho en términos positivos, el sujeto debe sentir el deseo de
liberarse de la situación
c) debe de ser una situación con cierto nivel de dificultad, pero sin dejar por ello
de ser…
d) resoluble.
En conjunto con los trabajos de Agre sobre el tema, Polya12 hace una clasificación de
los tipos de problemas que se presentan en matemáticas: de resolver, de demostrar,
de rutina, prácticos y los puramente matemáticos, pero en todo su obra no hace
explicito el concepto de “problema”. Otro punto a resaltar sobre su obra es “(…) los
problemas de rutina pueden ser útiles en la enseñanza de las matemáticas pero
sería imperdonable proponer a los alumnos exclusivamente problemas de este tipo
(…) limitar la enseñanza de las matemáticas a la ejecución mecánica de operaciones
rutinarias es rebajarlas por debajo del nivel de un “libro de cocina” ya que las recetas
culinarias reservan una parte a la imaginación y al juicio del cocinero, mientras que
las recetas matemáticas no permiten tal cosa” (Polya (1945/1965), Pág. 163, Citado
en Remesal, (1999)):
12 Consultar los trabajos de Ana Remesal Ortiz (1999). Tesis Doctoral: Los problemas en la evaluación del aprendizaje de las matemáticas en la educación obligatoria. Perspectivas de profesores y alumnos
Así mismo el papel que debe desarrollar el profesor (instructor) queda definido a
partir del modelo de resolución de problemas. De acuerdo con Lester (1985, citado
en Pifarré y Sanuy (2001)) básicamente, el profesor ha de desempeñar tres
funciones en la enseñanza de estrategias de resolución de problemas, en un primer
momento:
a) ha de facilitar el aprendizaje de estrategias, bien con su instrucción directa o
bien con el diseño de los materiales didácticos adecuados;
b) ha de ser un modelo de pensamiento para sus alumnos; y
c) ha de ser un monitor externo del proceso de aprendizaje de los alumnos,
portando las ayudas necesarias que faciliten la ejecución por parte del alumno
de determinadas actuaciones cognitivas que sin esta ayuda externa no podría
realizar
Y en un segundo momento, irá retirando gradualmente a medida que el alumno sea
capaz de utilizarlas de manera autónoma
Polya (1945, citado por Santos Trigo (1997)), quien resalta la identificación de varias
etapas o categorías en el proceso de resolver problemas. Inicialmente habla de la
fase del entendimiento del problema. Es aquí donde es importante entender la
información del enunciado del problema y las posibles relaciones. Luego ubica la
etapa relacionada con la concepción de un plan y el proceso de llevarlo a cabo. Es
decir, después de haber entendido el problema el siguiente paso es presentar un
plan para resolver un problema, Finalmente, Polya identifica la fase de evaluación de
solución o soluciones y el llevar a cabo una visión retrospectiva del potencial del
problema. Es decir, aquí no solamente se incluye la actividad de revisar los cálculos
y operaciones, sino también evaluar el sentido de la solución y el análisis de las
posibles extensiones o conexiones del problema.
Otro autor que apoya el método de resolución de problemas es Schoenfeld, señalado
también por Santos Trigo: de acuerdo con Schoenfeld (1989, citado por Santos Trigo
(1997)), es importante que en el proceso de aprender matemáticas el estudiante se
desenvuelva en un medio similar al de los matemáticos cuando trabajan con las
ideas matemáticas; además señala que la presentación de unas matemáticas
acabadas, pulidas y formalizadas oculta las diversas estrategias y ajustes que
ocurren en su desarrollo.
Schoenfeld (1989), (citado por Santos Trigo (1997)), da una lista de técnicas
heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases:
ANÁLISIS.
1. Trazar un diagrama.
2. Examinar casos particulares.
3. Probar a simplificar el problema.
EXPLORACIÓN.
1. Considerar problemas esencialmente equivalentes.
2. Considerar problemas modificados ligeramente.
3. Examinar problemas ampliamente modificados.
VERIFICAR LA SOLUCIÓN
1. ¿Verifica la solución las siguientes pruebas?:
a) ¿Usa los datos pertinentes?
b) ¿Concuerda con las predicciones o estimaciones originales?
c) ¿Resiste pruebas de simetría, dimensión, o escalas?
d) ¿Puede obtenerse de otro modo diferente?
e) ¿Puede ser reforzada con otros casos especiales?
f) ¿Puede reducirse a resultados conocidos?
g) ¿Puede ser generada a partir de algo que tú sabes?
La idea general es que el estudiante, en su aprendizaje de las matemáticas
construya un marco de referencia que le ayude a entender y a resolver problemas
matemáticos. Los puntos anteriores pueden servir de guía en el proceso de
resolución; sin embargo, en ningún momento se espera que el estudiante mecanice
o las utilice rígidamente. Por el contrario, deben ajustarse y discutirse en función al
tipo de problemas que se estudien (Schoenfeld, 1985)
Uso de la Tecnología
En base a lo anterior se puede mencionar reportes de El National Council of
Teachers of Mathematics13 NCTM (2000) que identifica el uso de la tecnología como
un principio que le debe dar soporte a las propuestas curriculares: Las calculadoras y
computadoras son herramientas esenciales para la enseñanza, aprendizaje y
desarrollo de las matemáticas. Generan imágenes visuales de las ideas
matemáticas, facilitan la organización y el análisis de datos, y realizan cálculos de
manera eficiente y precisa (…). Cuando las herramientas tecnológicas están
disponibles, los estudiantes pueden enfocar su atención en procesos de toma de
decisiones, reflexión, razonamiento y resolución dee problemas (p.24).
13 National Council of Teachers of Mathematics – NCTM, (2003). The Use of Technology in the Learning and Teaching of Mathematics. Recuperado en enero 10, 2006 de http://nctm.org/about/position_statements/position_statement_13.htm
Siendo así que el uso de la Tecnología ofrece claras ventajas a los estudiantes para
identificar y explorar diversas relaciones matemáticas, ampliando así sus
capacidades cognitivas. Lo importante es que la tecnología funcione como una
herramienta útil para realizar exploraciones, reconocer conjeturas y eventualmente
proponer argumentos que las soporten.
El Constructivismo
Ordaz (2006) presenta un resumen de acuerdo a lo que varios autores mencionan
con respecto al constructivismo:
Es un modelo según el cual el aprendizaje se realiza mediante un proceso
activo de construcción en el que la habilidad para razonar y utilizar
conocimientos basado en el estudio y desarrollo de los procesos mentales de
los estudiantes.
Es una filosofía que indica que la realidad no es objetiva, sino que el sujeto
construye el conocimiento aprender.
En la aplicación de las teorías de desarrollo cognitivo a la educación, es el
intento de integración de una serie de enfoques que tienen en común resaltar
la actividad constructivista del alumnado en el proceso de aprendizaje.