UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID COMPORTAMIENTO...

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

COMPORTAMIENTO MICROMECÁNICO

Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

CONCEPTOS Y TIPOS DE TENSION Y DEFORMACIÓN

0L l

l∆=ε

htg δ

=γ≈γ

AF=σ

ΩF=τ

EFECTO POISSON

RRltransversandeformaci

llallongitudinndeformaci

T

l

∆=

∆=

= ó

= ó0

ε

ε

LT νε−=ε

εEσ =Leyes de comportamiento (material elástico-lineal e isótropo):

Ley de Hooke

γτ G=

( )ν+=

12EG

INTRODUCCIÓN

Fibras largas unidireccionales

Fibras largas con orientación aleatoria

Fibras cortas alineadas Fibras cortas con orientación aleatoria

Partículas

x

y

z

E2 ; Y E1 ; X E1 >> E2

X >> Y

ANISOTROPIA

X,1

Y,2

Z,3

1

23

Direcciones materiales en una lámina

ANISOTROPIA

ANISOTROPIA

ANISOTROPIA

Micromecánica

Macromecánica

Lamina

Laminado

Matriz

Fibras

Estructura

ANISOTROPIA

X,1

Y,2

Z,3

12

3

ANISOTROPIA

322331132112

231312

321

ννννννGGG

EEE

ν ji = −ε jε i

i = dirección de carga

j = dirección perpendicular a la de carga

νjiEi

=νijEj

i, j =1,2,3

ANISOTROPIA

Material heterogéneo Material homogéneo

anisótropo equivalente

Micromecánica

Contenido volumétrico de refuerzo

1=+ mf VV

de fibrasVolumen totalf

VolumenV =

de matrizVolumen totalm

VolumenV =

CONCEPTOS BÁSICOS

Contenido másico de refuerzo

1f mM M+ =

Masa de fibrasMasa totalfM =

de matrizMasa totalm

MasaM =

CONCEPTOS BÁSICOS

Relación Vf y Mf

f

ff

f m

f m

M

V M Mρ

ρ ρ

=+

f ff

f f m m

VM

V Vρ

ρ ρ⋅

=⋅ + ⋅

CONCEPTOS BÁSICOS

MICROMECANICA DE LA LAMINA

Fibras:

Vf , Mf

ρf, Ef, νf, Gf

Matriz:

Vm, Mm

ρm, Em, νm, Gm

E1, E2, G12, ν21, ν12

Propiedades de los constituyentes

Propiedades de la lámina

FIBRAS

Vidrio E Kevlar Carbono H.R. Carbono H.M.

Efl (MPa) 74000 130000 230000 390000

Eft (MPa) 74.000 5.400 15.000 6.000

Gf (MPa) 30.000 12.000 50.000 20.000

νftl 0,25 0,40 0,30 0,35


1=+ mf VV


Regla de las mezclas:

mf VmatrizProp.VfibraProp.láminaProp. ×+×=

Densidad de la lámina:

mmff VV ⋅+⋅= ρρρ

PROCESO DE FABRICACIÓN Vf (%)

Por contacto 30

Por presión 40

Por enrollamiento continuo (filament winding) 60-85

Por bolsa de vacío 50-80


mmff VV ⋅+⋅= ρρρ

MV

ρ = ff

f

MV

ρ = mm

m

MV

ρ =

f mM MV

ρ+

=

Regla de las mezclas

CONCEPTOS BÁSICOS

Densidad del material compuesto

CONCEPTOS BÁSICOS

Nivel de porosidad

teo f f m mV Vρ ρ ρ= ⋅ + ⋅

exp% 100teoporos

teo

V xρ ρ

ρ−

=

Afecta a las propiedades mecánicas

Rigidez y resistencia a cortadura

Resistencias a compresión

Resistencia a tracción transversal

Resistencia a la fatiga

Resistencia a la humedad

2-10% ↓

1% ↑ Vporos

)(hexagonal32

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=RrV f

π (cuadrado)4

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=RrV f

π

CONCEPTOS BÁSICOS

Relación Vf - geometría

Vf máximo: 91% aprox. Vf máximo: 78% aprox.

Hipótesis

MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES

Celdilla unidad


Celdilla unidad

L

w

w

d

r

2mw 2

mwfw

2

2frVw

π ⋅=

2

fdVw

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

f m

ff

w w w

wV

w

= +

=

1

2

3

w


Hipótesis de Isodeformación:

FF

Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometidaa tracción:

Alzado Sección

Si las áreas de la sección transversal de cada uno de los materiales son:Aa Aby

el área total será:A = +

a

b

Aa Ab


FF

La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:

σσ

σ =FA

L

FF

L L∆

Los dos materiales sufren la misma deformación: ε = LL

∆


σa = LL

∆

Por lo que las tensiones que deben soportar los dos materiales

serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo

de elasticidad diferente:

Ea y

Las tensiones que soportan cada uno de los materiales serán:

= LL

∆

Eb

Ea

Ebσb


Por lo que las tensiones en cada material quedarán como:

σa σa

σaσa

σb σb

Debiendo cumplirse que:

σa σbAa Ab+ =L

L∆

EbAaL

L∆

Ea Ab+

=

=

σA = A EapL

L∆

Eap= +Aa

A AAbEa Eb

Eap = Módulo de elasticidad aparente del material compuesto

Eap= +Aa

A AAbEa Eb


La ecuación anterior puede escribirse como:

LL

LL

donde:Aa L = Va (Volumen del material a)

Ab L = Vb (Volumen del material b)

A L = V (Volumen total del material)

por lo que:

Eap= +Ea EbVa Vb

LL

1∆

=ε 1ffff EE ε⋅=ε⋅=σ

1mmmm EE ε⋅=ε⋅=σ mmff1

mf

AAAFFF

⋅σ+⋅σ=⋅σ+=

AAE

AAEE

AEAEAE

mm

ff1

m1mf1f11

⋅+⋅=

⋅ε⋅+⋅ε⋅=⋅ε⋅ ( )fmff1 V1EVEE −⋅+⋅=

MICROMECANICA DE LA LAMINAObtención de E1 (Hipótesis de isodeformación)


Hipótesis de Isotensión:

F

F

Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometidaa tracción:

a

b


F

F

La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:

σ

σ

σ =F

ΩW

σ

σ

Wb


σ

σ

σ

σ

Wa/2

Wa/2

σ =F

Ω

Los dos materiales sufren la

misma tensión:


εa =

Por lo que las deformaciones que sufren los dos materiales

serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo

de elasticidad diferente:

Ea y

Las deformaciones que sufren cada uno de los materiales serán:

Eb

σ / Ea

εb = σ / Eb


La variación de espesor que experimentará el material será:

∆Wa = σ / Ea Wa

∆Wb = σ / Eb Wb

La variación de espesor que experimentará el conjunto vendrá dada por:

∆W ∆Wa ∆Wb= + = / EaWaσ + / EbWb

Si definimos como módulo de elasticidad aparente, en la dirección de

carga a:Eap =

σε

=σ

∆WW

=σ

/ EaWaσ + / EbWb

W


Eap =/ EaWa + / EbWb

1

W1/

por lo que:

Como: ΩWa = Va (Volumen del material a)

= Vb (Volumen del material b)

= V (Volumen total del material)

ΩWb

ΩW

Wa

W=

Wa

W=

Ω

ΩVa

Vy

Wb

W=

Wb

W=

Ω

ΩVb

V

Eap =/ EaVa + / EbVb

1

f

2f E

σ=ε

m

2m E

σ=ε

2

22 E

σ=ε

mmff2 WWW ⋅ε+⋅ε=⋅ε

mmff2

mm

ff2

VVW

WWW

⋅ε+⋅ε=ε

⋅ε+⋅ε=ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ+⋅

σ⋅=ε⋅=σ m

m

2f

f

22222 V

EV

EEE

( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

fm

f

mVEV

EE

f

2

E1

1

Obtención de E2 (Hipótesis de isotensión)



Obtención de E2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E 2 (GP

a)

Vf

Datos experimentales

Modelo micromecánico

Material boro/epoxi

Ef = 414 GPa

νf = 0,2

Em= 4,14 GPa

νm = 0,35

Z. Hashin, 1970

NASA Technical Report NAS1-8818

Efecto de la concentración de Poisson

Ecuación de Halpin-Tsai

( )'

2 '

'2

1

1

m f

f f f m

mm

m

E EE

E V V E

EEν

⋅=

⋅ − + ⋅

=−

1 12

1

11

11

fm

f

f m

f m

VE E

V

E EE E

ξ ηη

ηξ

+ ⋅ ⋅= ⋅

− ⋅

−=

+ ⋅

ξ1 = Eficiencia del refuerzo

11 2ξ< <


Obtención de E2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E 2 (GP

a)

Vf

Datos experimentales

Modelo micromecánico

Ecuación de Halpin-Tsai

Obtención de E2

Material boro/epoxi

Ef = 414 GPa

νf = 0,2

Em= 4,14 GPa

νm = 0,35

Z. Hashin, 1970

NASA Technical Report NAS1-8818


1

221 ε

ε−=ν

1212 WWW ε⋅ν⋅=ε⋅−=∆

mf WWW ∆+∆=∆

1mmm VWW ε⋅ν⋅⋅=∆

1fff VWW ε⋅ν⋅⋅=∆( )fmff VV −⋅+⋅= 121 ννν

Obtención de ν21


1

21

2

12

EEνν

=

Teorema de reciprocidad

Obtención de ν12


SISTEMA I SISTEMA II


Obtención de G12 o G21

τ

τ

τ

τ

τ

τ

mm G

τ=γ

ff G

τ=γ

12Gτ

=γ W⋅γ=∆

WVmmm ⋅⋅γ=∆

WVfff ⋅⋅γ=∆

fm ∆+∆=∆

ffmm VV ⋅γ+⋅γ=γ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅=

f

mfm

m12

GGVV

1GG

Obtención de G12 o G21


τ

τ

τ

τ

ff

mm W

FyWF

=−= σσ

0=+ ffmm WW σσ

TE

TE m

m

mf

f

f ∆ασ

∆ασ

ε +=+=1

( )

ff

m

m

mfm

EVV

E

T11

+

−=

∆αασ

T∆αε 11 =

mmff

mmmfff

VEVEVEVE

+

+=

ααα1


Obtención de α1

( ) ( )mf

m

f

f

m

fmmfffmm

VE

VE

EEVV αα

ννααα −×

+

−++=2

Obtención de α2



Módulo de elasticidad (dirección 1):

mmff VEVEE ⋅+⋅=1

Módulo de elasticidad (dirección 2):

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

ff

mm

mV

EE

VEE 1

2

En resumen:


Módulo de corte (direcciones 1-2):

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+==

ff

mm

mV

GG

VGGG 1

2112

Coeficiente de Poisson (ν21):

mmff VV ⋅+⋅= ννν 21

Coeficiente de Poisson (ν12):

1

21

2

12

EEνν

=


Módulo de elasticidad en una dirección cualquiera:

Ex =1

cos4 θE1

+ sen4θE2

+ 2 cos2 θ sen2θ 12G12

− ν21

E1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

E1

E2

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