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Universidad Central de Venezuela [email protected] Escuela de Economía Prof. Frank Gómez Política Económica II

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INGRESO, DESIGUALDAD, POBREZA Y BIENESTAR SOCIAL En el marco referencial de las políticas públicas de instrumentos, metas y objetivos; iniciamos el análi-sis de largo plazo por el final. La idea es aclarar a donde se deben apuntar las políticas públicas, poste-riormente debemos considerar la visión cuantitativa de los dichos objetivos y en la parte final del curso trataremos el tema de los instrumentos utilizados con el propósito de alcanzar dichos objetivos. Los Objetivos de política económica en el largo plazo son muy fáciles de definir, se trata de simplemen-te maximizar el bienestar de los ciudadanos. Si este bienestar se manifiesta en la forma de una función de bienestar que puede incluir: consumo, orgullo nacional, cultura, distribución del ingreso, o cualquier otro marco referencial; es irrelevante en términos de maximizar dicha función de utilidad En líneas generales el problema del bienestar de los individuos es multidimensional, pero en el desa-rrollo nos enfocaremos en la idea fundamental de que el bienestar del individuo es principalmente función de su consumo personal (los otros elementos también son importantes, pero momentánea-mente los obviamos, y nos concentramos en el consumo), entonces la utilidad se puede reducir de forma simplificada a ( ). Los índices de bienestar y desigualdad en general se construyen sobre la base del consumo, pero en muchos países (Venezuela incluida) la data del consumo es inexistente o de muy baja calidad, y por tanto los índices se realizan sobre la base del ingreso. Abstrayendo el efecto riqueza y otras consideraciones como la equivalencia ricardiana y el altruismo, el

consumo se puede reducir a una función del ingreso, es decir ( ), y por tanto ( ( )). Es

decir la utilidad de los individuos se puede asociar directamente al ingreso. El resto del contenido del texto hará referencia en términos restringidos al ingreso de temas como el ingreso y su distribución, la pobreza, la redistribución y el bienestar social.


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I. MEDICIONES DEL INGRESO EN VENEZUELA En Venezuela existen básicamente tres formas de medir el ingreso laboral de las familias, dos basadas en información muestral directa y otra mediante aproximación del sistema de cuentas nacionales. El sistema de cuentas nacionales es el corazón cuantitativo de la economía, la medición del PIB se reali-za por una mezcla de encuestas, expansión muestral, información cuasi censal, y elasticidades y pro-porciones que permiten estimar de forma aproximada el valor agregado producido. En la práctica, tanto la remuneración al trabajo como al capital son mediciones indirectas que presen-tan características no presentes en los métodos de encuestas a saber: los ingresos del sector informal como el empleo no característico corresponde a mediciones indirectas de ponderación fija, mientras que al utilizar REO sobre empleo no se mide la rotación del empleo ni el subempleo ni se mide el valor de transferencias ni otros beneficios sociales, ni tampoco el factor renta. A favor, el PIB por trabajador o REO por trabajador es una medida internacionalmente comparable por cuanto el PIB de cada país corresponde a la metodología desarrollada por NNUU, y aunque con errores es capaz de indicar la renta al capital. El método de encuesta se basa en preguntar al individuo ¿cuánto gana?, o preguntar a la empresa ¿Cuánto paga? En el primer caso se trata de las Encuestas de Hogares, en Venezuela esta encuesta se realiza desde 1967, si bien solo desde 1975 el tema del ingreso es indagado directamente. Esta encuesta cumple con los estándares internacionales de calidad y es objeto de seguimiento por organismos internacionales. En esta encuesta se mide primordialmente el Ingreso del Hogar, pero al realizar las preguntas estas se-paran a los individuos, por lo cual es posible determinar el ingreso medio por individuo sin mayor difi-cultad. Para medir el ingreso del hogar, se contabilizan los ingresos de todos los perceptores. Se consideran los ingresos provenientes del trabajo principal, los provenientes de trabajos secundarios y los provenien-tes de otras fuentes. En la encuesta de hogares, los ingresos provenientes de otras fuentes, se refieren a:

- Pensión de superviviente, orfandad y otros tipos - Ayuda familiar o de otra persona - Subsidio familiar (Beca alimentaría) - Beca o Ayuda Escolar - Pensión o Jubilación por Seguro Social - Jubilación por trabajo - Rentas de propiedades


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- Intereses o dividendos - Otros ingresos sin especificar

La medición del ingreso del hogar contempla un proceso de imputación, como elemento de corrección para los ingresos “no declarados” provenientes del trabajo principal. El segundo método por via de encuestas lo realiza en Venezuela el BCV para determinar el Índice de Remuneraciones Trimestral. Este índice solicita a las empresas el total de pagos realizados a sus em-pleados y desagregados entre público y privado y categoría de empleo. Este índice mide el costo laboral del empleo formal, y por tanto no es representativo del empleo in-formal, mayoritario en Venezuela y además, utiliza ponderaciones fijas para el empleo privado (71%) y público (29%), correspondiente a la situación de 1997.


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II. EL PROBLEMA DE LA DESIGUALDAD DEL INGRESO

II.1. Orígenes de las mediciones de desigualdad La medición de la desigualdad en la distribución del ingreso se origina en la denominada Curva de Lo-rentz (Lorenz, M.; 1905. "Methods of measuring the concentration of wealth"), la cual mide la diferen-cia geométrica entre una distribución totalmente paritaria del ingreso de la población y la distribución acumulada del ingreso observado de la po-blación. Mientras mayor es la desigualdad en la distri-bución del ingreso mayor será el área o zona de desigualdad entre ambas curvas. La idea de definir la desigualdad en relación a una distribución igualitaria es claramente inadecuada pero al menos permite realizar comparaciones perfectamente equivalentes, si consideramos que la diferencia en la distri-bución del ingreso entre los trabajadores es producto de la dotación inicial de factores, entonces la curva de distribución observada debería ser comparada contra dicha dotación, la cual en el mejor de los casos no observable de forma directa. La medición de desigualdad de Lorenz tiene las siguientes propiedades:

- Anónima - Independencia Escalar - Independencia del tamaño de la población - Cumple el principio de transferencia de Pigou-Dalton

Visualmente es fácil observar que la pendiente del ingreso igualitario es igual a 1, mientras que la pen-diente de la curva de Lorenz debe ir incrementándose de menor a 1 hacia valores mayores a 1. El pun-to en el cual se igualan ambas pendientes se caracteriza porque el ingreso del grupo es igual al ingreso medio y por tanto su razón es igual a 1. Esta situación responde al hecho de que los individuos más pobres son incorporados al ingreso y luego se incorporan los ingresos aún mayores. El Índice de Gini, fue desarrollado por Corrado Gini (Gini, Corrado, 1912; Variability and Mutability) y es

Distribución Igualitaria

Distribución Observada

Zona de Desigualdad

100%

Porcentaje de la Población

Po

rcen

taje

del

Ingr

eso

40% 80%

15%

30%

100%


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utilizado en diversos campos del conocimiento distintos a la economía. Este índice se calcula como la razón entre el área de la zona de desigualdad y el área de la distribución observada. Donde un índice de Gini igual a 1 representa la máxima desigualdad posible (teóricamente en este caso todo el ingreso lo concentraría un solo individuo) y un índice igual a 0 representa una distribución totalmente paritaria (utópico). El problema fundamental con el índice Gini es que solo es una medida estadística y puede ocurrir que dos mediciones Gini en distintos periodos arrojen el mismo valor pero la distribución del ingreso sea más o menos igualitaria. Una de las mayores dificultades es la comparación entre las diversas mediciones de Gini las cuales han sido desarrolladas de forma continua o discreta, paramétrica o no paramétrica, por quantiles, utilizan-do métodos indirectos, regresión lineal y no lineal, etc.

II.2. Derivación de la Curva de Lorenz Sea el ingreso de las personas medido por la variable “y”, tal que este ingreso se encuentra entre a y b, para este ingreso se considera que posee una distribución que viene dada por la forma funcional f(y), de forma tal que el ingreso acumulado corresponde a:

( ) ∫ ( )

Donde f(y=c) indica la proporción de personas que obtiene un ingreso de y=c, mientras que el término F(y=c) indica la proporción de personas que tiene un ingreso entre a y c bolívares. Es decir cuando el nivel de ingreso es a=0, se asume que una proporción de cero personas ganan cero ingreso por su trabajo F(a)=0, mientras que toda persona es remunerada con un cantidad finita por su trabajo, es decir F(b)=1. Los límites de integración en general se asume que corresponden a a=0 y b<∞, por lo cual se establece que la distribución acumulada del ingreso “y” se corresponde a: El ingreso medio viene dado por:

∫ ( )

Como la Curva de Lorenz mide la proporción relativa del ingreso “L” que es obtenido por una determi-nada proporción de población “p”, definimos esta curva como: L=L(p).


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Fundamentación de la Curva de Lorenz. La variable p

Asumiendo que dicha proporción de personas es función del nivel absoluto de ingreso, entonces iden-tificamos que p=F(y), por tanto podemos expresar la curva de Lorenz como:

( ) ( ( ))

∫ ( )

( ) ( ( ))

Como el término en la integral es igual a

, si a=0 y , entonces en su valor máximo ( )=1,

mientras que si , entonces ( ) . Es decir al incorporar progresivamente a individuos con ingresos cada vez mayores, la integral corresponde a la media del ingreso de una submuestra que excluye a los individuos de menor ingreso.

Intuitivamente la pendiente de la Curva de Lorenz tiene la pendiente igual a y/ , se observa en el gráfi-co que al inicio la curva tiene pendiente menor a la recta de 45° y hacia el límite superior de 1, está pendiente es sensiblemente mayor que la recta mencionada. Más formalmente:

( ) ( )

Dividiendo arriba y abajo por dy:

( ) ( )

Como p=F(y), entonces dp=f(y)dy reemplazando dicha expresión

( ) ( )

( )

Como ( )

∫ ( )

, la pendiente ( ) ⁄ la pendiente de dicha función respecto a y, im-

y = Ln(ingreso)

p =

F(y

) =

%P

ob

laci

ón


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plica que la pendiente corresponde al argumento de la derivada.

( ) ( )

( )

→ ( )


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III. El Índice de Gini

III.1. Análisis Gráfico del Índice de Gini. Geométricamente el índice de Gini calcula el área entre la recta de ingreso igualitario definida por la recta de 45° y la Curva de Lorenz. Esta área se denomina como A. mientras que el área bajo la Curva de Lorenz se denomina como B. Debido a que el dominio y el rango de la Curva de Lorenz se encuentra en el intervalo [0,1], el área to-tal de A+B es igual a ½ , equivalente al área de un triángulo de base y altura iguales a 1. De Esta forma el índice Gini queda representado como:

Como A+B=1/2, entonces A=1/2-B, por tanto el índice de Gini en términos geométricos se expresa co-mo: Donde B es el área bajo la Curva de Lorenz, es decir el índice de Gini se puede representar en su forma más básica como:

∫ ( )

Siguiendo el desarrollo de Lambert (1989) señalado por Xu (2004), procedemos a integrar por partes la expresión anterior utilizando la definición de p=F(y) ya mencionada.

∫ ( ( )) ( )

Definiendo u=L(F(y))=L(p) y dv=f(x)dy. Procedemos a resolver la integral, señalando que v=F(y)=p.

∫ ( ( )) ( )

( ) |

∫ ( ) ( ) ( )

El primer término de la solución es igual a 1 por cuanto L(p)p evaluado en p=1 es igual a la unidad y evaluado en p=0 es nulo, mientras que en el segundo término F(y)=p y utilizando dp=f(y)dy, obtenemos como resultado

∫ ( ( )) ( )

∫ ( )

Por tanto el índice de Gini expresado en términos de la Curva de Lorenz viene dado por:

, ∫ ( )

-


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∫ ( )

La integral en la definición del índice se reduce entonces al área medido por la base p y la altura repre-sentada por ( ).

III.2. Estimación del Índice de Gini por covarianza Reexpresando esta forma funcional en términos de la función de distribución del ingreso absoluto:

∫ ( )

( )

Recordando la definición de covarianza entre dos variables cualquiera A y B se corresponde a: ( ) ( ) ( ) ( )

Definimos como variables a y y F(y), recordando que es exógeno y sacando factor común 2, reescri-bimos el índice como:

{

∫* ( )⏞ ( )

+

⏟ ( )

( ) ⏞ ( ) ∫ ( )

⏟ ( ( ))

⏟

( ( ))

⏞

( )

}

El primer término dentro de la integral representa la esperanza matemática del producto de yF(y),

mientras que en el segundo término debemos señalar que E(F(y))=1/2 y la E(y)= , por tanto podemos reescribir el índice de Gini en función de la covarianza entre y y F(y) como:

( ( ))

III.3. El Índice de Gini calculado mediante datos muestrales a. Índice de Gini Geométrico Conocido que el Gini se puede calcular como , todo el problema radica en conocer B. Si no


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se conoce la función de distribución del ingreso, entonces se procede a calcular el área mediante el simple procedimiento de jerarquizar los individuos por nivel de ingreso y agruparlos en n intervalos iguales de personas (n=5 quintil, n=10 decil, etc.). Al primer intervalo corresponde el quintil o decil más pobre, y procedemos a sumar los ingresos de to-dos los miembros y dividirlos entre el ingreso total. Una vez realizados los cálculos pertinentes, se obtiene una aproximación discreta del problema plan-

teado. A cada intervalo corresponde un área de base , donde

es decir para el primer

quintil

, la base para el segundo quintil será

y así sucesivamente.

La altura de cada caso será igual a la altura media de la curva ( ) en el intervalo ( ) y ( ), es

decir ( ) ( )

.

La altura total de cada quintil será: ( ) ( ) ( )

, de donde el área de B se aproxima como:

∑( ) ( ) ( )

Por tanto el índice de Gini geométrico en el caso de no conocer la función de distribución del ingreso se corresponde a:

∑( ) ( ) ( )

b. Índice de Gini de Rao En 1969 Rao, presentó un algoritmo de cálculo del índice basado en la expansión y posterior simplifica-ción del índice de Gini Geométrico:

∑ ( ) ( )

⏟

∑ ( ) ( )

Como la primera sumatoria es igual a 1, debido a que cada elemento dentro de esa sumatoria repre-senta la altura ponderada de los escalones que llevan hasta el 100% del ingreso, entonces se cancelan los primeros dos términos se cancelan mutuamente y el índice de Gini de Rao se reduce a:


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∑ ( ) ( )

c. Índice de Gini de Sen Amartya Sen propuso en 1997, reescribir el algoritmo del índice de la siguiente manera:

∑ ( ) ( )

∑ ( ) ( )

Sen le agregó a la expresión anterior el término ( ) ( ) , que no modifica la expre-sión anterior y reordenando y sacando factor común, obtiene:

∑ ( ( ) ( )) ( )

( )

Utilizando el hecho de que es la proporción de personas por quintil, decid, etc. Entonces ⁄ y

por tanto ⁄ . Por otra parte definimos ( )

∑ es decir la proporción entre el

ingreso acumulado hasta el de la población total, como proporción del ingreso total en la economía, es decir .

La diferencia ( ) ( )

corresponde al ingreso acumulado del grupo i como proporción del

ingreso total de la economía. Reemplazando, obtenemos:

∑

*

∑

+

(∑

∑∑

)

Conociendo que el último término de la sumatoria es ∑ , esta sumatoria representa la sumatoria

acotada sobre una muestra del ingreso del grupo y debe cumplir:

∑

( )

En este caso mostramos que si i=1 entonces el único elemento de la sumatoria es , es decir el ingre-so del primer grupo más pobre exclusivamente, mientras que si j=n entonces la expresión es equivalen-te a la sumatoria de todos los ingresos.


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(∑

∑( )

+

Si agregamos el término ∑ ( )

∑ ( )

, no se afecta la expresión.

(∑

∑( )

∑( )

∑( )

+

Reordenando y agrupando términos,

(∑( )

∑( )

+

∑

∑( )

Donde ∑

, y la definición del índice de Gini de Amartya Sen se reduce a:

∑( )

d. Corrección estadística del Índice de Gini muestral Un problema que enfrenta el índice de Gini basado en dtos muestrales ocurre debido a que este pro-cedimiento limita los valores máximos de dicho índice. Como se conoce el índice de Gini puede tomar un valor máximo de 1, consideremos entonces la aproximación muestral donde existe n grupos. El índice de Gini se expresa como el área , donde B se corresponde a la sumatoria del área de cada uno de participación de los ingresos de cada uno de los grupos. En el caso de distribución del ingreso más atroz, todo el ingreso lo posee un solo grupo (por ranking de Lorenz, obviamente es el último grupo), el valor de B se corresponde a la sumatoria siguiente cuando n=5:

∑

⏟

⏟

⏟

De esta forma el peor resultado posible del índice de Gini cuando la data es agrupada en quintiles debe corresponder a:


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(

*

Si el valor numérico máximo del índice de Gini se corresponde al término

, resulta claro que este se

transforma en un factor de ajuste de los índices de Gini obtenidos mediante procedimientos muestra-les.


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IV. COEFICIENTE TEÓRICO DE GINI Y DISTRIBUCIONES ACOTADAS

El índice de Gini es una herramienta muy útil para medir la desigualdad en la distribución del ingreso, la riqueza y otras variables. El procedimiento de estimación requiere el procesamiento de grandes canti-dades de información mediante algoritmos usualmente ya pre-programados en el software estadístico que se esté usando. A nivel de modelación es importante señalar que estos indicadores pueden ser reemplazados por una distribución teórica que permite simular los efectos de medidas de política económica y adicionalmen-te estimar la dinámica de dicha distribución ante temas como el crecimiento, la inflación, el desem-pleo, etc. El fundamento teórico que permite hacer esta transición corresponde al concepto de distribución aco-tada, la cual se expone en una primera parte, mientras que en la segunda y la tercera parte, se expone la demostración no formal del índice de Gini con relación a la distribución de Pareto y Lognormal.

1. Aspectos teóricos de las distribuciones acotadas a. Esperanza matemática de variables no acotadas Suponemos que x representa el ingreso, nivel de riqueza, capital humano o cualquier otra variable re-levante que se pueda expresar como ( ), enton-ces su esperanza en el dominio de la función desde “a” hasta “b”, viene dada por ( ) ∫ ( ) . No establecemos restricciones a priori en cuanto a y b, y en tal sentido el dominio se puede extender al intervalo a=-∞ y b ∞ sin incurrir en pérdida de generalidad. Dado que x es una variable aleatoria conocida, su distribución corresponde a una familia de distribu-ción genérica que denominaremos f(x) corresponde a la función de probabilidad marginal o función de

densidad de probabilidad donde se cumple que ∫ ( )

, es decir la probabilidad de que un va-

lor cualquiera de x se encuentre dentro de los límites de la distribución es igual a uno, mientras que el

valor esperado de una variable aleatoria viene dado por ( ) ∫ ( )

.

b. Esperanza matemática de variables acotadas Si acotamos el dominio de una función f(x) hasta el valor x, estaremos trabajando sobre la base de una distribución truncada donde * + da paso a una submuestra que se reduce a exclusivamente a los valo-res contenidos en el intervalo del límite inferior de la distribución y un valor arbitrario definido como x. Para determinar el la esperanza matemática de esta distribución truncada o acotada, partimos de defi-nir H(x) y J(x).


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La esperanza matemática H(x) corresponderá a la expresión de la esperanza matemática, pero limitada al dominio desde “a” hasta “x”, es decir el lado izquierdo de la distribución dividida por el valor arbitra-rio x.

( ) ∫ ( )

Mientras que el lado izquierdo de la distribución corresponde al intervalo desde x hasta b, es decir J(x) se expresa como:

( ) ∫ ( )

En general,

∫ ( )

⏟ ( )

∫ ( )

⏟ ( )

∫ ( )

⏟ ( )

Como en la expresión anterior el lado izquierdo representado por ∫ ( )

corresponde a la espe-

ranza de la variable x en el intervalo completo, mientras que el lado derecho representa este mismo valor, pero como la media ponderada de dos submuestras, es decir H(x) es la media de la variable aco-tada correspondiente al lado izquierdo de la distribución, multiplicada por su factor de ponderación y J(x) corresponde al lado derecho de dicha distribución ponderado por el peso específico de dicha dis-tribución acotada. Para determinar el valor de la esperanza matemática de la variable en un intervalo acotado, procede-mos a definir la función de densidad de probabilidad acumulada de una variable acotada, es decir la esperanza condicional como:

( | , -) . /

. / .

/

Es decir la probabilidad de una variable acotada x es equivalente probabilidad condicional de que x pertenezca a un intervalo cualquiera entre a y b, sobre la diferencia entre la acumulada entre el límite superior y el límite superior (en el caso no acotado el límite superior es 1 y el inferior es cero). La probabilidad marginal se obtiene como la derivada de la función primitiva, es decir:


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( | , -) ( | , -)

.

/

. / .

/

Retomando la expresión de la esperanza matemática ( ) ∫ ( )

, procedemos a expre-

sar la media condicional como:

( | , -) ∫ ( | , -)

Reescribimos entonces la expresión sumando el término neutro μ-μ, de donde una vez reordenada la expresión obtenemos la media condicional como la media no condicional más un término representa-do por la desviación de la variable x respecto a la esperanza no condicional en el intervalo de acota-miento.

( | , -) ∫ ( | , -)

∫( ) ( | , -)

⏟

∫( ) ( | , -)

Entonces la esperanza en el periodo indicado reemplazando ( | , -) se representa como:

( | , -) ∫( )

(

.

/

. / .

/

)

Resolviendo la integral,

( | , -) . / .

/

. / .

/

Donde la expresión refleja que la esperanza condicional de x será iguala su esperanza no condicional μ,

más σ multiplicado por el factor 0 .

/ .

/1 0 .

/ .

/1⁄ que puede tomar valores

positivos o negativos.


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2. Índice de Gini asumiendo que el ingreso corresponde a una distribución de Pareto

a. Distribución de Pareto La función de distribución de probabilidad o distribución marginal de una variable x que se distribuye

de acuerdo a una distribución de Pareto se corresponde a ( )

y la función de distribución

acumulada se corresponde a ( ) ( *

, donde es estrictamente mayor que 1.

La esperanza y varianza de una distribución de Pareto corresponden a:

( )

( )

(

)

Gráfico 1

Distribución de Pareto cuando xmin=1 para distintos valores de

b. Distribución de Pareto Truncada Conociendo que la distribución acotada desde un intervalo arbitrario denotado “a” hasta un valor arbi-trario x, permite calcular la esperanza ponderada del lado izquierdo del acotamiento como ( )

∫ ( )

, procedemos a determinar dicho valor utilizando la función de distribución de Pareto,

donde .

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

f(x=1,5)

f(x=2)

f(x=4)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

F(x=1,5)

F(x=2)

F(x=4)


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( ) ∫ [

]

⏞

∫

Una vez extraídos los términos constantes de la integral, resolvemos la integral definida en el intervalo del dominio acotado.

( )

0 |

1

,

-

,

-

El primer término del lado izquierdo de la igualdad equivale a la esperanza matemática de la variable no acotada, por lo cual reemplazamos directamente dicho valor y obtenemos:

( )

⏟

( )

( ( )

+ → ( ) ( ) ( (

)

+

c. Índice de Gini bajo Distribución de Pareto Recordando que ( ) ( ) ( ), definimos el lado izquierdo de la distribución como:

( ) ( ) ( ) ( ( )

+

Sacando factor común y despejando obtenemos:

( )

( ) (

)

Lo cual representa la proporción entre las medias acotada y no acotada. Recordando que la definición

del Gini corresponde a ∫ ( )

, denotemos ∫ ( )

. De esta forma como por

definición conocemos que ( ) ∫ ( )

y que ( ) ⁄ , reemplazando estos elementos

obtenemos que:

∫ ( )⏟

∫

( )⏟

→

( )

( ) ∫ ( )

( ) (

)


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Conocido que ( ) ( )⁄ se aproxima asintóticamente a ( ), solo resta efectuar el cambio de va-riable y de dominio de integración, en el cual por simplicidad procederemos a realizar un cambio de va-

riable, definiendo ( *

, por tanto ( ) ( )⁄

.

Integrando ambos lados de la expresión, y evaluando dicho resultado en los límites de la integración,

∫ ( )

∫ ( )

( )

∫

|

Conocido el valor de la integral, procedemos a evaluar su resultado en la definición del índice Gini,

∫ ( )

0

1

Cuando la distribución del ingreso corresponde o se puede aproximar a una distribución de Pareto, di-cho índice a nivel teórico se corresponde al inverso de , por tanto en forma inversa el coeficien-

te se puede determinar a partir de un valor conocido de Gini como

.

/, lo cual es consisten-

te con un >1 dado que el Gini está definido entre 0 y 1.

La relación entre el Gini y la distribución de Pareto implica que

( ) , mientras que la

segunda derivada implica que

( ) , es decir el coeficiente de Gini se reducirá en la

medida que crece el valor de , y lo hará a ritmo decreciente.

En términos absolutos, la relación de forma inversa del Gini con el valor de , implica que mientras

menor sea el coeficiente mayor será el Gini y el ingreso estará mejor distribuido, mientras mayor sea

el coeficiente la distribución del ingreso será peor, y el Gini mostrará un coeficiente menor.

Gráfico 2

Índice de Gini asumiendo una distribución de Pareto cuando xmin=1 y como variable.


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4. Índice de Gini asumiendo que el ingreso corresponde a una distribución Log-Normal a. Distribución Lognormal Una distribución lognormal puede representarse mediante la función de densidad de probabilidad y su acumulada (la cual no admite forma explícita) es representada mediante la integral de la función mar-ginal evaluada en el dominio de la variable aleatoria x>0, es decir.

( )

√ ( ( )

*

( ) ∫

√ ( ( )

*

( ( )

)

Donde μ es la media del logaritmo de x y σ es la varianza del logaritmo de x. La media y varianza de la distribución lognormal se corresponden a:

( ( ))

( )

( ( )

) ( )

( )

b. Distribución Lognormal Truncada


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La esperanza de la variable aleatoria {x} ponderada al intervalo de acotamiento de 0 a un valor x arbi-trario, se expresa como H(x), es decir el lado izquierdo de la distribución evaluada en el punto arbitra-rio x.

( ) ∫ ( ) ∫

√ ( ( )

*

√ ∫

( ( )

*

Con el propósito de simplificar la expresión anterior, procedemos al cambio de variable utilizando la

estandarización estandariza para distribuciones log normal donde ( )

, despejando para x ob-

tenemos la expresión , la cual diferenciamos totalmente obteniendo . Re-emplazando dentro de la integral obtenemos:

( )

√ ∫

Simplificando, nos queda:

( )

√ ∫

Donde el argumento de la integral puede fácilmente ser reducido a

( ) 1, lo cual nos

permite extraer el primer elemento de la integral.

( )

√ ∫

( )

Volviendo a expresar en términos de la variable x y reingresando la constante √ dentro de la inte-gral,

( ) ⏟

( )

∫ ( ( )

*

√

⏟

( ( )

*

→ ( ) ( ) ( )

1 Secuencia de pasos:

.

/

( )

( )


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El primer término de la solución, corresponde a la media no acotada de la distribución de {x}, mientras que el segundo término corresponde a la integral de la función de probabilidad marginal, es decir la distribución acumulada en N(z-σ). Como N(z-σ) puede tomar valores entre 0 y 1, ( ) ( ), es decir el promedio de considerar los valores acotados de * + desde 0 hasta el valor arbitrario x, es estricta-mente menor que considerar el promedio de todos los valores muestrales de x porque estamos elimi-nando los valores más grandes de x. Recordando que ( ) ( ) ( ), procedemos a reemplazar ( ), por la expresión ya obtenida

( ) ( ) ( ( )

) ( )

Expresando en término de proporción de las medias, ( )

( ) (

( )

)

Como la distribución normal estándar es simétrica, podemos reescribir el lado derecho como, ( )

( ) (

( )

) ( )

Lo cual es equivalente a la proporción entre la media ponderada y media de la muestra completa ob-tenida previamente a nivel teórico y a nivel práctico en el caso de la distribución de Pareto. c. Determinación del Gini Reconocemos a que ( ) ( )⁄ como el argumento Δ de la integral que define al índice de Gini,

∫ ( )⏟

Por tanto debemos proceder a integrar dicha variable, mediante un proceso previo de sustituciones y simplificaciones con el propósito de obtener una forma funcional que pueda ser resuelta de forma ex-plícita. Paso 1

En primer lugar identificamos la variable sin acotar ( )

, que corresponde al dominio completo

de la función lognormal, es decir x>0. De esta forma establecemos que ( | ), por tanto la


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variable u simplemente define la distribución acumulada de z, donde z al estar estandarizada puede escribirse como:

( ) → ( )

√

Paso 2 Reemplazamos esta definición en la integral de la función del índice Gini.

∫ ( )⏟

⏞

∫ ( )⏞ ( )

( )⏞

⏟

∫

√

⏞ ( )

* ∫

( )

√

+

⏟ ( )

Antes de poder integrar esta expresión debemos simplificar el argumento de la integral que hemos de-notado como Δ. El método aplicado es el de Euler, donde la función puede ser expresada como la inte-

gral de su propia derivada en un intervalo dado, es decir (( )| ( )) ∫ (( )| ( ))

,

procedemos a derivar esta expresión de la forma descrita y en el paso 3 recompondremos dicho ter-mino Δ:

∫ ( ) ( )

→

∫ ( ) ( )

( )

En la expresión anterior el primer elemento de la integral ( ) no depende de σ, mientras que el se-gundo término ( ) si contiene a σ y su derivad corresponde a ( )debido a que la derivada de su argumento es igual a 1. Toda l operación se realiza dentro de la integral respecto a z, es decir to-da la integral respecto a z conforma un elemento ajeno a σ. Al considerar la forma explícita de la función, su derivada se expresa como:

{

∫

√

⏞ ( )

[∫

( )

√

]

⏟ ( )

}

∫

√

( )

√


24

En esta solución nótese que ha desaparecido la integral interna, debido a que esa integral define una distribución acumulada y ha sido reemplazada por su propia distribución marginal obtenida de su deri-vada.

Ambos términos √ son una constante y sale de la integral

∫

( ( ) )

Reordenamos el exponente2

∫ .

/

Como el segundo exponencial no incluye z, este puede salir de la integral

∫ . /

La integral expresada en ∫ .

/

es una integral muy utilizada en estadística y en matemáticas,

su solución es exacta y corresponde a ∫ .

/

√ . Esta integral es conocida como “Integral

de Gauss o Gaussiana”, y también se le conoce como “Integral de Euler-Poisson” o a veces simplemen-

te como “Integral de Poisson” y refiere a cualquier forma funcional del tipo ∫ , ( )-

√ .

Finalmente, la expresión anterior se reduce a:

√

La cual es fácilmente solucionable.

2

( ( ) )

( )

( )

( ( ) )

(( )

) .

/

.

/


25

Paso 3 Como requerimos de la función original o su equivalente para solucionar nuestro problema, revertimos el proceso de derivación mediante la integración respecto a la variable diferenciada.

∫

∫

√

√ ∫

Multiplicamos por √ √ ⁄ y reagrupamos términos y expresamos:

∫

√

√

√

√ ∫

√ (

√ *

⏟

√

La integral no necesitamos solucionarla explícitamente, debido corresponde la función de distribución

normal estándar evaluada en

√ .

Finalmente procedemos a efectuar un último cambio de variable con el propósito de simplificar aún

más la expresión. Si definimos

√ , entonces

√ , y reemplazando en la ecuación anterior obte-

nemos:

√ ∫

√ ( )

√

⏟

∫

√ ( )

⏟

(

√ *

Paso 4 Conocida la solución de la integral que define al índice de Gini, la cual hemos denotado como I, proce-demos a reemplazar está en la función del Gini.

∫ ( )⏟

⏞

[ (

√ * ]

Todavía nos queda como incógnita la constante de integración C, la cual se puede solucionar a partir del conocimiento teórico del índice de Gini.


26

El índice de Gini es un área de desigualdad en la distribución del ingreso, si no existe desigualdad el ín-dice debe ser igual a cero, y la no existencia de desigualdad implica que todos poseen el mismo nivel de la variable analizada, es decir si todos poseen el mismo ingreso, nivel de riqueza o cualquier otra re-ferencia analizada, la varianza de dicha distribución debe ser igual a cero. Por tanto, dado que el índice solo depende de σ y otras constantes

[ (

√ * ]

, ( ) - → (

*

→

Finalmente, una vez conocido que C=0, el índice de Gini cuando la distribución del ingreso corresponde a una Lognormal se puede representar como:

(

√ *

Si el índice de Gini es conocido, es decir solo se dispone del dato de un índice calculado por algún orga-nismo, se puede calcular la varianza logarítmica del ingreso, simplemente recurriendo al procedimiento de determinar la distribución inversa del ingreso logarítmico, es decir

(

√ *

→ √ (

*


27

ANEXO: DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Esta sección es solo complementaria, para aquellos que deseen entender los procesos estadísticos que llevan a las mediciones de desigualdad. Función generatriz de momentos Sea una distribución de probabilidad de x definida como f(x), la función de momentos se corresponde a:

( ) ∫ ( )

Con la propiedad de que el orden de las derivadas de dicha función se corresponde a los momentos de cada variable, es decir: ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Distribución Normal El proceso que define una distribución gaussiana o normal viene dado por la siguiente función.

( )

√

( )

∞ ∞

Entonces la función generatriz de momentos viene dada por:

( ) ∫ ( ) ∫

√

( )

Sin alterar la expresión procedemos a multiplicarla por una expresión constante equivalente a 1, y agrupamos términos.


28

( ) ⏟

∫

√

∫

√

( ) ∫

√

( ) ( )

∫

√

[( ) ]

Por tanto,

( )

∫

√

[ ( )]

⏟

La expresión en la integral corresponda a la función de distribución acumulada normal y es por defini-ción igual a la unidad. El término que desvía el valor de la verdadera esperanza de la distribución es una constante y no afecta el valor de la integral. De esta forma la función generatriz de momentos de la distribución normal se reduce a:

( )

Procediendo a calcular los momentos de esta expresión obtenemos: ( )

|

( )

|

( )

( )

|

, ( ) -

|

( )

Calculando la varianza: ( ) ( ) , ( )- Distribución Log Normal La distribución lognormal considera el caso de variables cuyo logaritmo posee una distribución normal, es decir si x se distribuye de forma lognormal, su logaritmo log(x) se distribuirá de manera lognormal.

( )

√

( ( ) )


29

( ) ∫

√

( ( ) )

Si definimos z como:

( )

Obtenemos la función de densidad la distribución normal estándar.

( ) ∫

√

La función generatriz de momentos se corresponde a:

( ) ∫ ( ) ∫

√

∫

√ ( )

Separando términos,

( )

∫

√ ( )

Donde la función generatriz de momentos se reduce a:

( )

Evaluando cada momento, observamos que este corresponde a los momentos de la función normal es-tándar. ( )

|

|

( )

( )

|

( )

|

( )


30

Donde la varianza se corresponde a: ( ) ( ) , ( )- Como z corresponde a la tipificación de lognormal:

( )

Entonces, despejando la esperanza de x, obtenemos:

( ) ( ) Entonces la función generatriz de momentos, al igual que en el desarrollo de la normal se corresponde a:

( )

En el caso de la distribución lognormal, los momentos de la variable transformada equivalen a la fun-ción de momentos de la variable no transformada, evaluada en el K momento, es decir:

( ) ( )

( ) ( )

De donde obtenemos la varianza de x:

( ) ( ) , ( )- [

]

(

)

Redefiniendo la esperanza y la varianza de z como ( ) y ( )

, y expresando la media y varianza de x sin índice, podemos reescribir las expresiones anteriores como3:

( )

3 Para clarificar: μ y σ corresponden a la media y la varianza de la variable (ingreso, consumo, rendimiento, etc.), mientras

que μz y σz corresponden a la media y la varianza del logaritmo de la variable (logaritmo del ingreso, logaritmo del consumo,

etc.).


31

Es decir la media del logaritmo de la variable x equivale al logaritmo de la media de x menos la mitad de la varianza de logaritmo de dicha variable. Utilizando la definición de E(x) en la varianza de x, obte-nemos la varianza del logaritmo de la variable x como el logaritmo de la proporción entre la media y varianza de la variable sin transformar y la media de la misma variable, es decir se asegura que la va-rianza del logaritmo de la variable aleatoria x sea no negativa.

→

→

Finalmente

(

)


32

V. DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO PRE-IMPOSITIVA Y POST-IMPOSITIVA

Asumimos que la distribución del ingreso en ausencia de impuestos y subsidios se corresponde a una distribución lognormal del ingreso (x) del tipo ( ( ) ), la cual es equivalente en términos de loga-ritmo del ingreso a una distribución normal con parámetros μ y σ, es decir ( ). Ambas distribuciones se encuentran vinculadas y los parámetros se vinculan mediante las siguientes relaciones:

( ( ))

( ( )

( ) )

Si asumimos que lo anterior corresponde a una distribución sin impuestos, en presencia de impuestos redistributivos4 el ingreso post impuesto (y) se corresponderá a ( ) . Esto implica que a todos los individuos les corresponde deducir de su ingreso bruto x, una tasa de impuesto t y perciben un beneficio redistributivo por un valor igualitario de M, de esta forma solo pagaran impuesto aquellos individuos donde se cumpla . Los nuevos parámetros de la distribución se corresponden entonces a: ( ) ( ) ( ) Si ( ) , entonces el gobierno redistribuye todo lo recaudado en impuestos y por tanto la media del ingreso post-impuesto es igual a la media pre-impuesto: ( ) ( ) Mientras que el segundo momento se corresponde a: ( )

Como ( ) entonces ( ) , y en consecuencia se puede afirmar que

, es decir

la redistribución no cambia la media del ingreso, pero reduce la varianza.

4 Por simplicidad asumimos una tasa de impuesto t constante, pero si M>0 se trata de un impuesto progresivo del tipo ISLR.


33

En términos de la distribución logarítmica, observamos que la varianza del logaritmo de la nueva distri-bución se reduce (recordar que ( ) ( )), es decir:

(

( )

( ) )

( ( )

( ) )

En relación a la media del logaritmo del ingreso, como el ingreso medio no cambia, el cambio ocurre en la distri-bución logarítmica mediante el cambio en la varianza:

( ( ))

( ( ))

Es decir en términos de la distribución del logaritmo del ingreso, la mejora en la distribución (reducción de la varianza del ingreso y del logaritmo del ingreso) implica un desplazamiento hacia la derecha en la moda, mediana y media de la distribución del ingreso. Este efecto es debido a la no inclusión de respuesta por parte de los agentes, cada incremento de la ta-sa de impuesto es respondido por los agentes mediante un reajuste en las cantidades de trabajo reali-zado.

Post Impuesto

Pre Impuesto

Ingreso

%P

ob

laci

ón


34

Las funciones de bienestar social son una consecuencia lógica de la desigualdad relativa del ingreso y las posibilidades de consumo. Estas tienen su origen la idea utilitarista de que el nivel de utilidad de los individuos es medible y comparable.

Post Impuesto

Pre Impuesto

Ln(ingreso)

%P

ob

laci

ón


35

VII. POBREZA Se suele discutir si el peso de la política económica se debe enfocar en estrategias para favorecer el crecimiento, reducción de la pobreza o reducción de las desigualdades o inequidades en la distribución de los ingresos. La realidad es que pese a que existen diversas y numerosas definiciones o mediciones del término Po-breza su reducción es un paso necesario y significativo en la estrategia de desarrollo de un país, mien-tras que el crecimiento y la distribución están estrechamente vinculados y las políticas deben elaborar-se en atención a ambos aspectos.

1. Mediciones de la Pobreza Para la Línea de pobreza se considera como referente el valor de la canasta alimentaria per cápita. La canasta alimentaria se obtiene como promedio nacional de los valores de cada uno de los productos que integran la canasta. Para calcular la canasta per cápita se utiliza el valor máximo de la canasta ob-servado en el semestre. En general, existen dos mediciones la pobreza: Pobreza Absoluta y Pobreza Relativa. La pobreza abso-luta está referida a una línea de pobreza establecida de forma exógena a un cierto nivel de ingreso por debajo del cual se definen a las personas cuyo ingreso sea menor a este como pobres, mientras que la definición de pobreza relativa se refiere a definir como pobres a aquellos cuyo ingreso es menor una fracción determinada de la media o mediana del ingreso de todos los ciudadanos. Típicamente se suele considerar como medida de pobreza relativa la proporción de personas que de-tentan el quintil más bajo del ingreso nacional en términos absolutos definiéndolo como clase social, mientras que otras medidas refieren a la proporción de poblaciones entre el quintil de mayor ingreso y el quintil de menor ingreso. Algunos países utilizan como medida de ingreso líneas de pobreza propor-cional definiendo como pobres a la proporción de personas con ingresos menores a 50% del ingreso medio. Se consideran adicionalmente otras formas de medición de pobreza tal como el método de Necesida-des Básicas Insatisfechas

a. Línea de Pobreza Los indicadores de pobreza se calculan a partir del procesamiento de los datos provenientes de la En-cuestas de Hogares por Muestreo y de la Encuesta de Precios y Consumo, ambas del INE. La metodología utilizada estima la pobreza a través de la comparación del ingreso del hogar con la Lí-nea de Pobreza. La Línea de Pobreza relaciona el monto del ingreso, con el precio de un conjunto de


36

alimentos y el costo de servicios prioritarios para salud y educación, elementos integrantes de la Ca-nasta Básica. Características de la medición:

1. Se refiere a hogares que residen en viviendas familiares 2. Se basa en la comparación del ingreso per cápita del hogar con la Línea de pobreza 3. Para la construcción de la Línea de pobreza, se considera la estimación de una Canasta integrada por un conjunto de alimentos suficientes para cubrir las necesidades nutricionales de la población, estimadas por el Instituto Nacional de Nutrición en 2200 Calorías diarias por per-sonas. 4. Se distinguen dos valores de la canasta: el valor de la canasta de alimentos (Canasta Ali-mentaría) y un múltiplo de esta canasta, que se denomina Canasta Básica. 5. Se asume que la Canasta Básica incorpora además del costo de los nutrientes, el costo de productos y servicios que cubren un conjunto de necesidades básicas no alimentarias. El cos-to de la Canasta Básica se determina según: Canasta Básica = 𝝶 × Canasta Alimentaria; donde 𝝶, es un coeficiente que mide la relación entre el gasto no alimentario y el gasto alimentario en los hogares. Para Venezuela, en la actualidad, se utiliza el valor 2, estimado a partir de la encuesta de Presupuestos Familiares de 1998 6. Los hogares cuyo ingreso per cápita es menor a la Canasta Básica per cápita, se denomi-nan Pobres 7. Los hogares cuyo ingreso per cápita es menor a la Canasta Alimentaria per cápita, se de-nominan Pobres Extremos.

b. Necesidades Basicas insatisfechas El método NBI, es un método recomendado por Cepal, a comienzos de los años setenta, como una op-ción para aprovechar la información de los censos demográficos y de vivienda, en la caracterización y medición directa de la pobreza. Su base conceptual, descansa en definir un conjunto de necesidades que se consideran básicas para el bienestar de los hogares y considerar la pobreza como “la situación de aquellos hogares que no logran reunir, en forma relativamente estable los recursos necesarios para satisfacer las necesidades básicas de sus miembros”. El método NBI, tipifica la pobreza mediante un conjunto, generalmente pequeño, de necesidades específicas, definidas a conveniencia. La insatisfacción de necesidades, se evalúa con base en la presencia o ausencia de características de la vivienda, tales como materiales del piso o techo o el acceso a servicios tales como el agua potable o el servicio de cloacas, se consideran también rasgos demográficos del hogar como número de miembros, educación del jefe o asistencia de los niños a la escuela. La medición de pobreza por NBI, se aplica a hogares residentes en viviendas familiares, excluye a la po-blación indígena selvática y la que habita en colectividades (hoteles, hospitales, cuarteles y cárceles) Para efectos de medición, se definieron las siguientes variables:


37

VARIABLE INDICADOR DEFINICIÓN

V1: Inasistencia escolar Hogares con niños de edad escolar (7 a 12

años) que no asisten a la escuela Hogares con niños (7 a 12 años) y donde al menos un niño no asistía a la escuela al momento del censo

V2: Hacinamien-to Hogares que presentan más de tres personas

por cuarto para dormir Se consideran hogares donde el cociente H1 entre el número de personas pertene-cientes al hogar P1 y el número de cuar-tos para dormir C1

V3: Vivienda inadecuada Hogares que habitan en ranchos, casas de ve-

cindad, trailer o remolque, embarcaciones, car-pas, cueva... etc.

Se consideran los hogares que declara-ron como tipo de vivienda: rancho, casa de vecindad u otra clase

V4: Carencia de servicios bási-cos

Hogares que presentan inaccesibilidad al agua potable o a los servicios de eliminación de ex-creta

Se considera los hogares: que presenta-ran, una cualquiera de estas dos condi-ciones: a ) El abastecimiento de agua era por camión cistema, pila pública o estanque, pozo u otros medios como aljibe o ja-güey, quebradas o agua de lluvia. b) La eliminación de excreta era: sin co-nexión a cloaca.

V5: Alta depen-dencia económi-ca

Hogares con jefes cuya escolaridad es menor a tres años o tres grados de educación formal y donde, el número de personas por cada ocupa-do es mayor a tres. Se consideraron los ocupa-dos de 15 años y más.

Se consideran hogares cuyos jefes de-clararon como máxima escolaridad se-gundo grado de educaión primaria y don-de el número de personas por ocupado resultó mayor a tres

Tomado de los informes técnicos del INE.

Hogares pobres, son todos aquellos hogares que presentan carencias en cuanto a las necesidades defi-nidas como básicas, es decir un hogar se considera pobre, si presenta al menos uno de los cinco indica-dores asociados a carencias, y pobre extremo si presenta dos o más. Una carencia en el hogar, repre-senta una necesidad básica insatisfecha, por lo tanto, los hogares pobres son aquellos que reportan una o más de una necesidad básica insatisfecha y los pobres extremos dos o más necesidades básicas insatisfechas.

2. Aritmética de la Pobreza Expresamos la pobreza en términos absolutos como la densidad acumulada bajo la curva de ingreso hasta el valor definido como línea de pobreza. Es decir se define un monto de ingreso por debajo del cual la persona/familia se considera pobre, por tanto resulta irrelevante la distancia entre dicho ingre-so y el límite superior del mismo y su distribución. La pobreza relativa se define estrictamente en función de la distribución del ingreso, esta puede ser re-ferida en función de la media de la distribución o la proporción de peso entre las colas de la distribu-ción de la misma. A título de ejemplo los países europeos suelen definir la pobreza como aquellos que poseen un ingreso 50% inferior al ingreso medio, otras medidas acostumbradas de la pobreza son la proporción entre el primer y último cuantil, y la simple medición de los cuantiles inferiores del ingreso.


38

Definiendo la línea de pobreza en términos absolutos como igual a Z, el número H de pobres se define en términos de la distribución de probabilidad acumulada como ( ), es decir el número de pobres depende de dicha línea de pobreza y la media y desviación estándar de la distribución del ingreso. Si el nivel absoluto de la línea de pobreza no varía, es decir z es constante. Entonces, la variación en la pobreza entre ambos periodos se corresponde a la diferencia en las funciones de distribución del in-greso entre ambos periodos t0 y t1 si. ( ) ( ) Cada función de del ingreso se corresponde a parámetros propios de cada periodo, por tanto si asu-mimos que la distribución del ingreso es lognormal, y expresamos la línea de pobreza en función a la media del ingreso, entonces la variación en la pobreza se corresponde a:

(

* (

*

El índice anterior puede ser descompuesto separando la variación en la pobreza en dos efectos: un efecto producto del crecimiento o variación en el ingreso al pasar de yt0 a yt1 manteniendo constante


39

los parámetros de la distribución, y un efecto redistributivo al cambiar los parámetros de la distribu-ción (en el caso lognormal la varianza) mientras se mantiene constante el ingreso en el nivel yt1.

(

* (

* { (

* (

*}

[ (

* (

*]

⏟

[ (

* (

*]

⏟

El primer término del lado derecho representa la variación en la pobreza ante variaciones en el nivel medio de ingreso ceteris paribus los demás factores, mientras el segundo término representa la varia-ción en la pobreza ante variaciones en la distribución del ingreso (varianza) ceteris paibus los demás factores. En Perry, López y otros (2009)5, se realiza una aproximación muy interesante al problema de la des-composición en la reducción de la pobreza. La expresión anterior refleja la no linealidad producto de la distribución de probabilidad acumulada lognormal no explicita, por tanto López separa ambos efectos en función de los cambios en la media (ingreso) y varianza (redistribución) observados entre dos perio-dos. La proporcionalidad entre los cambios observados son definidos como elasticidades al ingreso (ηV) y la distribución (ηG). En el caso de la distribución planteada, López aprovecha la definición analítica del ín-dice de Gini realizada por Aitchinson y Brown (1957) y plantea directamente el efecto distributivo en términos de la variación del índice Gini aprovechando que este puede ser definido en función de la dis-tribución normal estándar acumulada:

(

√ *

→ (

*√

→ ( )

Por tanto la aproximación de López lleva a la siguiente descomposición: Donde la variación en la proporción de población en condiciones de pobreza es función de la tasa de crecimiento del ingreso/producto (diferencia del logaritmo), el cambio en el índice de Gini y las respec-tivas elasticidades y . Esta expresión es representada también bajo la familiar forma:

5 El trabajo es un desarrollo de un aporte preliminar realizado por López y Servén (2005)


40

Donde el lado izquierdo de la ecuación corresponde a la proporción en la reducción de la pobreza ante cambios en el crecimiento del ingreso/producto y el segundo término del lado derecho corresponde a la proporción de los cambios en la desigualdad (Gini) en relación al crecimiento del producto. Esta úl-tima relación corresponde a la relación definida por la curva de Kuznets. Los coeficientes de las elasticidades se corresponden de forma explícita a la definición de la función de distribución del ingreso. Asumiendo la forma funcional lognormal para el ingreso, la fracción del ingre-so que corresponde a la línea de pobreza se corresponde a la variable normalizada v:

(

* (

. /

)

Donde N es la función de densidad acumulada estándar. Aproximando la variación del tiempo a cero, es decir tiempo continúo. Procedemos a diferenciar en el tiempo esta expresión y observamos que:

.

/

(

)

( .

/

)

La variación de la cantidad de pobres H ante cambios en el ingreso producto, ceteris paribus la distri-bución del ingreso se corresponde con signo negativo al inverso del producto de la desviación estándar y el ingreso/producto. Dividendo en ambos lados por la distribución acumulada del ingreso, la expresión se puede reescribir como que la tasa de crecimiento de la pobreza es función negativa del producto de la tasa de riesgo (hazard rate) sobre la desviación estándar del ingreso y la tasa de crecimiento del producto.

( .

/

)

( .

/

)

( )

( .

/

)

⏟

( )

Ante variaciones en la distribución del ingreso, es decir σ(G):


41

.

/

*

.

/

+ (

. /

)

La cual se reduce a:

( ) [

(

*

] (

( *

,

⏟

( )

Un incremento en la desigualdad (Gini, desviación estándar, etc.) lleva a un incremento en la pobreza pero a tasas decrecientes. Finalmente aplicando el diferencial total a la expresión podemos determinar la relación de Isopobreza entre crecimiento y desigualdad, recordando que la desviación estándar puede ser obtenida en forma inversa a partir del valor del índice Gini:

( )

*

.

/

+ ( )

Haciendo dHt=0, la relación de isopobreza corresponde a:

⁄

* .

/

+

La cual siempre será positiva si la media del logaritmo del ingreso es mayor que el logaritmo de la línea de pobreza.

3. Efectos del crecimiento y desigualdad en la pobreza. Asumimos que existe una distribución observada en el periodo t y una distribución observada en el pe-riodo t+1. Entre ambos periodos asumimos que en términos reales se ha incrementado la media de los ingresos, y asumimos que también ha variado la desviación estándar de dicha distribución del ingreso. En un primer caso asumimos que se reduce y en un segundo caso asumimos que se incrementa dicha desviación, ente ambos periodos la línea pobreza permanece constante.

Caso: Se tiene la distribución del ingreso en dos periodos: t y t+1, en t+1 el logaritmo del ingreso medio es


42

mayor y se ha reducido la desviación estándar, es decir se registra una reducción en el valor del índice Gini. Como la línea de pobreza permanece constante, se ha producido una reducción en la pobreza (propor-ción de población con ingreso inferior a la línea de pobreza). Es reducción de la pobreza puede ser des-compuesta entre efecto ingreso y efecto redistribución mediante la utilización de una distribución del ingreso de transición entre los periodos t y t+1, permitiendo analizar por separado ambos cambios en la media y la varianza. Conociendo que existen tres elementos: media del logaritmo de la media del ingreso, desviación es-tándar del logaritmo del ingreso y el logaritmo del ingreso referencial de la línea de pobreza (el cual permanece constante). El ingreso de transición entre ambos periodos pretende evaluar el nivel de in-greso del periodo t+1 con la desviación estándar y el nivel de línea de pobreza del periodo t. En este caso, la distribución de transición se asemejara a la distribución observada en t desplazada ha-cia la derecha. Al comparar esta distribución con la correspondiente observada de t+1 entonces se ob-serva que ambas poseen la misma media, pero al reducirse la desviación estándar la distribución ob-servada en t+1 se concentra más en torno a la media y por tanto el área bajo la curva de distribución hasta la línea de pobreza es menor que en la distribución en t y la distribución de transición.

La reducción total en la pobreza se obtiene al comparar las áreas bajo las curvas de distribución t y t+1. Es decir es medido como la diferencia entre el área de la curva azul menos el área de la curva verde.

La reducción por efecto del crecimiento se obtiene como la diferencia en el área de la distribu-ción t y la distribución de transición (donde solo ha cambiado el ingreso). En este caso la reduc-ción de la pobreza es obvia y perfectamente lineal en su razonamiento, a mayor ingreso menos pobreza ceteris paribus los demás factores.

La reducción por efecto redistributivo se obtiene como la diferencia en el área de la distribución de transición y la distribución en t+1. En este caso se asume que el incremento en el ingreso se asocia con una reducción en la desviación estándar y la desigualdad, por lo cual se trata de un crecimiento progresivo en cuanto a la distribución del ingreso.


43

Caso de En el caso anterior se planteaba un crecimiento en términos de la media del ingreso de tipo de progre-sivo en cuanto a la distribución del ingreso, es decir la media y la desviación estándar varían en direc-ción inversa. Sin embargo la evidencia empírica a nivel internacional no es concluyente en cuanto a esta direcciona-lidad. En el caso contrario al anterior asumimos que variaciones positivas del ingreso son acompañados por variaciones positivas de la desviación estándar. Al descomponer la variación en la pobreza procedemos de forma similar al caso anterior, sin embargo en este caso asumimos que en t+1 la desviación estándar es mayor y se amplía el ancho de la distribu-ción.


44

La reducción total en la pobreza se obtiene al comparar las áreas bajo las curvas de distribución t (azul) y t+1 (verde). Es decir es medido como la diferencia entre el área de la curva azul menos el área de la curva verde, el cual en el presente ejemplo es de un valor cercano a cero debido a que a lo largo de la distribución se ha reducido en términos proporcionales la población en ni-veles de ingreso medio y se ha incrementado la población en niveles de ingreso alto y se ha in-crementado la proporción de población de ingresos más bajo, aunque este último incremento es menor que el de la cola del lado derecho de la distribución.

La reducción por efecto del crecimiento se obtiene como la diferencia en el área de la distribu-ción t y la distribución de transición (donde solo ha cambiado el ingreso). En este caso la reduc-ción de la pobreza es obvia y perfectamente lineal en su razonamiento, a mayor ingreso menos pobreza ceteris paribus los demás factores.

La variación por efecto redistributivo en este caso es positiva (se incrementa la pobreza), es de-cir se obtiene como la diferencia en el área de la distribución de transición y la distribución en t+1. En este caso las personas que detentan mayores ingresos ahora obtienen una proporción aún mayor del ingreso mientras que los de menores ingresos perciben una proporción menor de la que poseen originalmente.

La relación entre crecimiento del ingreso y distribución es sujeto de análisis mediante la llamada curva de Kuznets que relaciona el comportamiento conjunto de ambas variables.

La desigualdad en la renta o ingreso está asociada a la distribución del ingreso y no a al valor de su me-dida central, sin embargo la relación entre la media y la varianza del ingreso no puede ser asumida co-mo inexistente.


45

De forma general asumimos que las posibles reacciones de la desigualdad medida por la varianza ante cambios en la media pueden descomponerse en los siguientes resultados:

{

Esta relación no ha sido formulada de forma teórica de forma consistente, pero ha sido ampliamente estudiada de forma empírica. A mediados de la década de los años 50, S. Kuznets presentó un estudio donde formulo la hipótesis que se conocería como la Curva de Kuznets, en la cual se mostraba una re-lación entre el ingreso per cápita y la desigualdad medida en términos de la varianza del ingreso.

4. Curva de Kuznets. A mediados de los años cincuenta se incorporó al análisis económico la curva de Kuznets que postula una relación de U invertida entre la desigualdad y el nivel de ingreso. Kuznets (1955) estableció la hipó-tesis que la desigualdad sería creciente en los estados incipientes de crecimiento es decir con bajo PIB per cápita, para luego estabilizarse en torno a un punto máximo de desigualdad y después esta comen-zaría a descender conforme el crecimiento aumentaba el PIB per capita. Esta hipótesis es importante puesto que indica que la desigualdad creciente es un fenómeno transito-rio y que el crecimiento llevaría a su progresiva reducción posterior. Esta hipótesis, por su importancia como fuente de políticas sociales, ha sido objeto de numerosas verificaciones. Debido a la falta de información intertemporal para países individuales, en muchos casos se ha preferi-do un análisis estadístico del tipo Cross Section entre países con diferentes niveles de desarrollo eco-nómico. En su trabajo inicial la disponibilidad de los datos llevo a Kuznets a incorporar primordialmente a los países latinoamericanos de ingreso medio y alta desigualdad con países europeos y Norteamérica en los cuales existía un mayor nivel de ingreso y una menor desigualdad. Es decir, el estudio original no incorporó a su análisis las características históricas particulares de cada grupo de países y falló adicionalmente al observar que existía una relación positiva entre la volatilidad del ingreso y la desigualdad. Kuznets baso sus ideas en los planteamientos del modelo de desarrollo de Lewis, el cual consideraba la existencia de 2 sectores en la economía. El primer sector denominado de forma genérica como “anti-guo” denotaba una economía eminentemente agrícola y con baja o nula intensidad de capital en su función de producción, mientras que resto de la economía se correspondía al denominado sector “mo-derno” el idiosincráticamente describía a una economía manufacturera donde aplica un uso intensivo del capital.


46

Lewis consideraba que las economías evolucionaban desde un estado donde la concentración de la producción era basada en formas antiguas de producción hacia un estado moderno donde la economía podría considerarse como madura. En Lewis este concepto de madurez era asimilable al concepto de desarrollo y bienestar de los trabaja-dores, por cuanto definía el salario del sector moderno como función de cierto nivel mínimo de subsis-tencia y donde el salario moderno se asumía en la etapa de desarrollo como estrictamente mayor a di-cho nivel y a partir del nivel crítico de madurez como dependiente de la productividad marginal del trabajo. Por tanto, Kuznets planteo que el salario medio de la economía podía representarse como el promedio ponderado de los salarios medios de cada sector: ( ) ( b) ( ) b ( ) Cuando la economía es exclusivamente “antigua” el salario medio será igual al salario “antiguo”, es de-cir b=0. En la medida que la economía evoluciona hacia su estado moderno b crece hasta que la eco-nomía alcanza la madurez en sentido de Lewis, es decir cuando b=1. Asumiendo que ambos procesos aleatorios wA y wM son conocidos, la variancia del salario medio pue-de ser escrita como: ( )

( ) ( )

Como la covarianza entre el salario antiguo y moderno es estrictamente no negativa,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Asumiendo constantes las distribuciones de wA y wM, obtenemos la conocida curva de Kuznets del In-greso o Hipótesis de la U-Invertida de Kuznets.


47


48

VIII. FUNCIONES DE BIENESTAR SOCIAL E ÍNDICES DE BIENESTAR BASADOS EN LA

DESIGUALDAD DEL INGRESO

1. Justicia y Distribución del Ingreso La justicia es un juicio de valor. Cada individuo tiene una serie de criterios que le permiten definir si-tuaciones reales e hipotéticas en términos de bien y mal o justo e injusto. Imagine un resultado en un juego de algún deporte, un veredicto judicial, la distribución del ingreso o simplemente su propia nota al final del curso. Claramente usted posee un idea preconcebida acerca de su propio accionar durante el curso y en consecuencia al comparar el resultado obtenido con lo que esperaba obtener considerará una injusticia dicha desviación en sentido negativo. Si asumimos que usted posee ciertos principios éticos acerca de cómo debe ser la distribución del in-greso, entonces al comparar la distribución del ingreso observada y comprarla con sus expectativas éti-cas surgirá una inconformidad moral respecto a dicha distribución. Considerando que cada individuo tiene su propio conjunto de valoraciones, definiremos una función de bienestar social que es un conjunto de juicios de valor acerca de las preferencias los criterios por Igual-dad de los agentes. Desde un punto de vista ético, todas las doctrinas políticas modernas aceptan la idea de la redistribu-ción como un objetivo del Estado. Las ideologías liberal y libertaria de finales del siglo XIX rechazaban abiertamente las políticas redistributivas por cuanto consideran que esta intervención genera una dis-torsión en el sistema de precios relativos. Desde los años ochenta del pasado siglo, las ideas liberales aceptaron el principio de la redistribución e iniciaron la argumentación intelectual que sostiene en la actualidad todo el diseño de los mecanismos de redistribución social. Nos concentraremos en las visiones de Harsanyi y Rawls, mientras que las ideas de Nozik que susten-tan el ideario libertario actual no se expondrá debido a consideraciones de espacio. a. Consideraciones utilitaristas a la redistribución del ingreso Harsanyi (1982) plantea que siempre que se realice una transferencia redistributiva entre los indivi-duos, la perdida de utilidad del individuo al cual se le extrae el monto a transferir sea menor que el in-cremento en la utilidad del individuo que recibe dicha transferencia.


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En este sentido Harsanyi, postula una teoría ética del utilitarismo relativa a la redistribución del ingreso que se caracteriza: a) espectador imparcial, el cual corresponde al individuo medio. b) principio de universalidad, tratar a los demás como a ti mismo. c) maximiza la utilidad de todos los individuos. La idea del espectador imparcial refiere a que todos los individuos deben ser considerados iguales en términos de bienestar social, es decir se debe valorar por igual a ricos y pobres. La redistribución mejo-ra la utilidad social, reduciendo la utilidad del rico y mejorando la utilidad del pobre, si una redistribu-ción no mejora el bienestar social y es realizada es porque otros factores están influenciando la deci-sión, típicamente se trata del tema de preferencia por los pobres. El sistema redistributivo utilitarista se reduce de esta forma a un modelo equiprobabilistico de juzga-miento de valores, y la única forma de que este funcione es que estos juicios de valor sean realizados por un individuo neutral. Finalmente, existe un tema que limita fuertemente el análisis utilitarista de Harsanyi. Este sistema no considera las “libertades” de los individuos y considera la igualdad, exclusivamente en términos de ga-nancias y pérdidas de utilidad b. Consideraciones Rawlsianas a la Redistribución del Ingreso En términos generales el Utilitarismo identifica lo que es bueno con la utilidad, es decir con el bienestar de los individuos. Se habla entonces de utilidad social, utilidad colectiva o de bienestar social en un sentido restringido a una serie de indicadores agregados de satisfacción elaborados imparcialmente. Esta visión fue criticada en 1981 por John Rawls, quien publicó su obra “A Theory of Justice” en el cual expuso una visión muy particular desde el punto de vista liberal acerca de la redistribución como un tema de Justicia desde un punto de vista de Equidad. Rawls hace uso de la idea del contrato social, pero en lugar de considerar al ser humano como un ser egoísta o totalmente virtuoso, lo define como racional y razonable. Rawls utiliza la figura del velo de ignorancia en la formación institucional del contrato social, asumien-do que al momento de elaborar el acuerdo ninguno de los individuos tiene información completa acer-ca de su posición futura en la sociedad, es decir no conoce si su posición va a ser rico o pobre, noble o plebeyo, etc. Rawls denomina a esta situación como Contingencia Social y la considera como arbitraria en términos morales. Por tanto, dado que existe la posibilidad de que cada individuo quede en la posición más desventajosa, todos estarán de acuerdo es un diseño que beneficie a todos los individuos desde la perspectiva de la posición más desventajosa, es decir la sociedad se constituye en una asociación de personas que


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cooperan para lograr ventaja mutua, esta ventaja genera lo que Rawls denomina como Beneficios de la Cooperación Social. En la formación de dicho contrato original los individuos son guiados por un principio de justicia que les sirve de guía, de esta forma las partes escogen principios de justicia que les son mutuamente acepta-bles según sus diferencias individuales. La justicia es la facultad para hacer valer los derechos de un individuo (derechos naturales y extendi-dos) frente a otros individuos, por tanto los principios de justicia corresponden a aquellos que favore-cen los intereses de todos bajo la situación original de igualdad. El principio de “Equidad” es una teoría de lo “Justo”, y dado que el individuo ha aceptado voluntaria-mente los acuerdos institucionales actué conforme a estos acuerdos. Rawls planteaba la equidad en términos de distribución de bienes primarios. Estos bienes primarios se refieren a Libertades, dere-chos, oportunidades, etc. En sentido laxo puede referir al ingreso. Para Rawls, un Sistema Justo es aquel que distribuye o redistribuye los beneficios de la cooperación so-cial y las instituciones sociales son aquellas que reparten los beneficios de dicha cooperación social. Los beneficios de dicha cooperación constituyen de esta forma un activo común de la sociedad, los cuales deben ser redistribuidos con el propósito de lograr la igualdad. Rawls no limita la redistribución ni indica cuanto considera que puede representar una desigualdad to-lerable que limite la redistribución. Así mismo el concepto de Igualdad o equidad que desarrolla Rawls no único ni inmutable y de hecho menciona tres clases de Igualdad:

Igualdad Natural: Igualdad de oportunidades, a largo plazo reproduce los resultados de la dota-ción de natural y por tanto es moralmente arbitraria. Igualdad Liberal: Igualdad de oportunidades educativas, las políticas redistributivas procuran igualar los puntos de partida de los ciudadanos. Igualdad Democrática: Solo se admiten las diferencias en la distribución si están beneficia a la sociedad. La distribución de factores es considerada un activo común.

2. Bienestar Social en sentido de Atkinson La utilidad o bienestar de cada individuo denominado i, se corresponde básicamente a su consumo de bienes, fundamentalmente de bienes privados por cuanto el consumo de bienes públicos es idéntico para todos los individuos y otros elementos como la calidad institucional, el tiempo disponible para ocio, familia, su entorno económico, social y ambiental, etc. Todos los cuales son recogidos por un vector de información que denotaremos como El consumo de bienes privados asumimos sin mayores complejidades que es proporcional al ingreso disponible del individuo, mientras que el consumo de bienes públicos depende de los impuestos que


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ha pagado y los elementos agrupados en los consideramos constantes. De esta forma en líneas gene-rales podemos asumir que la utilidad del individuo i es proporcional a6 su nivel de ingreso. ( ( ) ) Si asumimos que las funciones de utilidad individuales pueden ser agregadas libremente para obtener una función de utilidad de toda la sociedad, a esta función la denominamos W.

∑ ( )

Si asumimos la utilidad social que genera que el ingreso de un individuo (el ingreso individual es pro-porcional a su utilidad individual), se puede representar mediante una función de elasticidad de susti-tución constante, donde el parámetro ε representa la aversión a la desigualdad en el ingreso, podemos expresar la contribución a la utilidad social del individuo de forma explícita como:

( )

Asumimos que , por cuanto suponemos que si los individuos son indiferentes a la desigualdad , mientras que del dominio de la función queda excluido el valor 1, es decir , y en ese punto

específico la función se transforma en ( ) ( )7. Esta función U de contribución del individuo al bienestar social, cumple con el principio de rendimien-tos marginales decrecientes,

( ) ( )

Y además, permite identificar la variable ε como: ( )

( )

→

( )

( )

Atkinson (1970), considero la situación en la cual solo existen 2 individuos que entre los dos producen un ingreso total de Y, al individuo 1 le corresponde un ingreso Y1 y al segundo le corresponde un ingre-so Y2, el cual es equivalente a la diferencia entre el ingreso total y lo ganado por el individuo 1, es decir Y - Y1. En este caso la función de utilidad se corresponde a:

6 El termino significa “es proporcional a”. No indica igualdad, simplemente que la forma funcional es parecida.

7 Simplemente considere la derivada de la función de contribución del individuo al bienestar social respecto a , evalúela en

y luego integre respecto a .


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∑ ( )

→

(

)

Dicha función de utilidad social se encuentra asociada a la restricción presupuestaria Y = Y1 + Y2, por tanto, si asumimos que la que existe ya una distribución conocida (Y1, Y2) [Ese es un dato no, es la dis-tribución del ingreso que ya existe no se modifica]. La expresión gráfica de esta situación se puede expresar como la recta de restricción presupuestaria (color rojo) donde el punto A describe la distribución del ingreso observada (Y1, Y2). Debe notarse que a cada nivel de distribución posible representado por la restricción presupuestaria el ingreso medio de los trabajadores será siempre el mismo. La recta segmentada de 45° que parte del origen, determina todos los puntos donde el ingreso es igua-litario para los individuos 1 y 2. La recta azul es la función de utilidad que pasa por el punto A, es decir la distribución existente.

Gráfico 1 Atkinson: Situación Existente

El punto A refleja la distribución existente del ingreso la cual es obviamente desigual, los puntos B y C, representan situaciones teóricas en las cuales B representa al nivel del ingreso existente, una distribu-ción equitativa, es decir, es decir Y1=Y2=Y/2. En este punto B se evidencia que el nivel de utilidad social sería superior al existente. El punto C, se ubica sobre la misma curva de utilidad social conjunta para los dos individuos, y en este punto se evidencia que Y1=Y2<Y/2, es decir si el ingreso total fuese menor pero distribuido de forma equitativa, el bienestar conjunto sería mayor.

Y2

B

C A

X

0 Y1

Ingreso de i=1 Ingreso de i=2

X


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Si el valor de ε se incrementa sin modificarse la distribución del ingreso, la nueva curva de utilidad so-cial (color verde) deberá pasar igualmente por el punto A, y mientras que mayor sea ε más acentuada será la curva de Bienestar Social, tal como se evidencia en el gráfico 2.

Gráfico 2 Atkinson: Incremento en el valor de 𝛆

La idea de Atkinson para medir la perdida de bienestar causada por la desigualdad del ingreso descan-sa en comparar la situación observada con una situación equivalente. Dicha situación equivalente co-rresponde a comparar la distribución existente aprovechando el hecho de que el ingreso promedio existente en A es idénticamente igual al que ocurriría en el punto B. Mientras que la situación del punto C señala un ingreso igualitario que es estrictamente menor al pro-medio observado mostrado en A y B, el cual es denominado por Atkinson como Ingreso EDE (Equally Distributed Equivalent, Income) o “Ingreso equivalente distribuido equitativamente”, el cual llamare-mos . Atkinson equipara dicha perdida de bienestar a la distancia relativa entre los puntos B y C, es decir si B corresponde al vector 0C y C corresponde al vector 0B, entonces la distancia relativa entre ambos co-rresponde a:

( )

√

√

→ ( )

De esta forma el Índice de Bienestar de Atkinson se puede representar como una función del paráme-tro ε y el ingreso promedio de la sociedad.

Y2

B

C A W(A,e2)

XW(A,e1)

0 Y1

X


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Finalmente, solo queda por determinar el valor de para n personas, lo cual se puede determinar en base a una generalización del gráfico de Atkinson. En dicho grafico se observa que el nivel de bienestar

social de los puntos A y C es el mismo, es decir si

∑

mide la distribución observada del

ingreso, si evaluamos dicho nivel de bienestar a un nivel único de ingreso definido por en lugar de * +

el nivel de bienestar social debería ser el mismo. Entonces:

∑

Por tanto el ingreso equivalente distribuido equitativamente que permite mantener el nivel de bienes-tar social constante corresponde a:

(

∑

+

Reemplazando en la solución del índice de Atkinson, obtenemos:

( )

(

∑

+

Una representación muy útil del índice de Atkinson es la expresión del ingreso equivalente distribuido equitativamente , en función del índice ( )

⏟

. ∑

/

( ( ))

En este caso queda claramente identificado como un función de la perdida de bienestar causada por la desigualdad. Finalmente se deben estudiar tres casos particulares de valores de ε, específicamente los casos de ε=0, ε=1 y ε=∞. El caso de ε=0, refleja el caso de una sociedad sin aversión a la desigualdad. La función de bienestar so-

cial representada por

∑

, al ser evaluada en ε=0 se reduce a un promedio simple, es de-

cir

∑

.


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En este caso la función de utilidad social es utilitaria simple y por tanto, ninguna política redistributiva será capaz de mejorar el bienestar de la sociedad, entonces y por tanto el índice de Atkinson es ( ) .

Gráfico 3 Atkinson: Sociedad sin aversión a la desigualdad (𝛆=0)

El caso ε=1, y fue señalado anteriormente, y en particular conocemos que la función de contribución individual a la utilidad social es ( ) ( ), mientras que la solución para el ingreso equivalente

corresponde a ∏

, por tanto la proporción

corresponde a la proporción entre una media

geométrica y un promedio simple, la cual cuando n tiende a infinito, dicha proporción tiende a 1. El caso extremo de ε=∞ eje p f ca e caso de Ra s en e cua a función de utilidad se acentúa de forma extrema, como se observa en el gráfico 4, y por tanto la distancia se hace máxima.

Gráfico 3 Atkinson: Caso Ralwsiano (𝛆 ∞)

Y2

B

C

XA

0 Y1

X


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3. Función de Bienestar Social de Amartya Sen Amartya Sen (1976)8 sugiere un criterio de bienestar denominado “máximo por pares” (pairwise ma-ximun): “suponga que el nivel de bienestar de un par cualquiera de individuos es igual al nivel de bie-nestar menor de cualquiera de ellas dos. Entonces si el nivel de bienestar total del grupo de N indivi-duos es identificable con la suma del bienestar de todas las parejas posibles”. Utilizando el índice de Gini, Sen propone entonces un índice de bienestar basado en este índice. Gráfi-camente, el coeficiente de Gini que corresponde al área A sobre el área conjunta A+B puede represen-

tarse en términos de medias como

⁄ , donde el coeficiente representa la diferencia media

entre la recta de 45° y la curva de Lorenz. El coeficiente

representa la altura media conjunta de las

áreas A y B.

Establecemos la variable denominada que representa la diferencia absoluta esperada entre las reali-zaciones yi y yj del proceso estocástico definido en {y}.

(| |)

Recordando que la diferencia en valor absoluto puede ser expresada como:

8 Sen, Amartya K, 1976. "Poverty: An Ordinal Approach to Measurement," Econometrica, Econometric Society, vol. 44(2),

pages 219-31.

Y2

B

A

X

C

0=C Y1

X


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| | ( )

Por tanto la esperanza del valor absoluto se corresponde a:

(| |) . ( )/

Reemplazando este valor Δ en la definición previa del Gini:

. ( )/

. ( )/

Despejando para el valor esperado del mínimo ingreso entre un par cualquiera de individuos, obtene-mos:

. ( )/ ( )

Donde este valor esperado se puede asimilar al ingreso equivalente distribuido equitativamente plan-teado por Atkinson (1970):

∑∑ ( )

⏟

( )

Para una población N de individuos, el bienestar es generado por el par {i,j}, de los cuales existe una cantidad de pares posibles de N2. La contribución al bienestar de cada uno de esos pares es el mínimo ingreso de dicho par, y por tanto el bienestar general o bienestar social es el valor promedio de todos los mínimos. Por tanto, el promedio de esos mínimos será estrictamente menor a

, es decir el es equivalente al

ingreso ajustado por desigualdad. La ventaja del método de Sen radica en que no requiere la elección arbitraria de un valor de aversión a la desigualdad.


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BIBLIOGRAFÍA

- _Instituto Nacional de Estadísticas (INE) – Notas técnicas - Campano, Fred and D. Salvatore - Income Distribution (Oxford UP, 2006) - Forbes, Catherine and M. Evans, N. Hastings, B. Peacock - Statistical Distributiones, Wiley (2011) - Lambert, Peter J. – The distribution and redistribution of income (Manchester UP, 2001, 3rd Edi-

tion). - Perry, Guillermo (compilador) - Poverty Reduction and Growth, World Bank (Informe Anual

2006) - Xu, Kwang - How Has the Literature on Gini’s Index evolved in the past 80 years (2004)

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