UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CARRERA … · presentacion p´ ublica y evaluaci´ on...

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE

FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

Límite de una sucesión mediante fractales: una propuesta didáctica para la

enseñanza de límites

Trabajo de Titulación modalidad Proyecto de Investigación previo a la

obtención del tıtulo de Licenciado en Ciencias de la Educación, mención

Matemática y Física

AUTOR: Duque Arauz Jorge Aníbal

TUTOR: MSc. Hernán Mauricio Áules Centeno

Quito, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo, DUQUE ARAUZ JORGE ANIBAL en calidad de autor y titular de los derechos morales

y patrimoniales del trabajo de titulacion Lımite de una sucesion mediante fractales: Una

propuesta didactica para la ensenanza de lımites, modalidad proyecto de investigacion, de

conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGANICO DE LA ECONOMIA SOCIAL DE

LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACION, concedo a favor de la Uni-

versidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso

no comercial de la obra, con fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los

derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.

Ası mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalizacion

y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual, de conformidad a lo dis-

puesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorizacion es original en su forma de

expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por

cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad

de toda responsabilidad.

Firma:

DUQUE ARAUZ JORGE ANIBAL

CC.1725756132

Direccion electronica: duque georgehotmail.com

ii

APROBACION DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado por DUQUE ARAUZ JORGE

ANIBAL, para optar por el Grado de Licenciatura en Ciencias de la Educacion, mencion

Matematica y Fısica; cuyo tıtulo es: LIMITE DE UNA SUCESION MEDIANTE FRAC-

TALES: UNA PROPUESTA DIDACTICA PARA LA ENSENANZA DE LIMITES,

considero que dicho trabajo reune los requisitos y meritos suficientes para ser sometido a la

presentacion publica y evaluacion por parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 29 dıas de Abril de 2019

MSc. Aules Centeno Hernan Mauricio

DOCENTE-TUTOR

C.C. 1708462914

iii

DEDICATORIA

Esta tesis esta dedicada a mis padres, Nelly y Jorge

quienes me supieron brindar su apoyo incondicional,

su paciencia y su amor ilimitado,

obsequiandome las mejores lecciones de vida.

iv

AGRADECIMIENTO

Agradezco a la Facultad de Filosofıa Letras, y Ciencias de la Educacion ,

por la formacion que me han brindado.

A docentes que supieron trasmitirme su pasion por la ensenanza, Msc. Rodrigo Romero,

Msc. Anita Arias, Mat. Vicente Parra y Msc. Hernan Aules.

Agradezco a mis padres Jorge y Nelly por el apoyo y amor incondicional que me han

brindado.

A mi companera de vida Andrea, que me ha brindado el deseo de lucha.

A Veronica y Johana, amigas irreemplazables

v

INDICE DE CONTENIDOS

DERECHOS DE AUTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

APROBACION DEL TUTOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

AGRADECIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

INDICE DE CONTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

INDICE DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

INDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

CAPITULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Presentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CAPITULO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

MARCO TEORICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Ubicacion del Lımite en el Currıculo Actual . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Desarrollo de Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Destrezas con criterio de desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Criterio de Evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Concepcion de Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Resena Historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2 Formas de Representacion de Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Representacion de una Sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Sucesiones Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Sucesiones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

vi

2.3.4 Sucesiones Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.5 Sucesion Convergente y Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.6 Lımite de una Sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.7 Propiedades del Lımite de una Sucesion . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.8 Formas Indeterminadas del Lımite de una Sucesion . . . . . . . . 20

2.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Convergencia y Divergencia de una Serie . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.2 Serie Geometrica de Razon r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.3 Sumatoria de Termino n-esimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Descripcıon de Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.2 Propiedades de un Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 La Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5.4 La Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Producto Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CAPITULO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Diseno de la Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Enfoque de la Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2 Modalidad de trabajo de grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3 Nivel y Profundidad de la Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.4 Tipos de Investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Poblacion y Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Tecnicas e Instrumentos de Recoleccion de Datos . . . . . . . . . . . . . . 32

CAPITULO 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

DISENO DE LA PROPUESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Definiciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Iteracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2 Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.3 Lımite de una Sucesion y Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.4 Formas de Representacion de Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

vii

4.3.1 Alfombra de Sierpinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.2 Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.1 Ejemplo 1, Area de la Alfombra de Sierpinsky . . . . . . . . . . . 37

4.4.2 Ejemplo 2 (Propuesto), Perımetro de la Alfombra de Sierpinsky . . 43

4.4.3 Ejemplo 3 (Resuelto), Volumen de la Esponja de Menger . . . . . . 51

4.4.4 Ejemplo 4 (resuelto), Area de la Esponja de Menger . . . . . . . . 59

4.5 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5.1 Ejemplo 2 (Resuelto), Perımetro de la Alfombra de Sierpinsky . . . 66

CAPITULO 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.1 Certificado de revision de redaccion y ortografıa . . . . . . . . . . . . . . . 80

viii

INDICE DE TABLAS

2.1 Terminos de una sucesion creciente {an} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Terminos de una sucesion decreciente {an} . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Terminos de una sucesion constante {an} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Proceso iterativo de (S1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Proceso iterativo de (S2)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Area de la Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.7 Area de la Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8 Perımetro de la Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


4.10 Volumen de la Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.11 Area de la Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



ix

INDICE DE FIGURAS

2.1 Sucesion an en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Sucesion an en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Sucesion an en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Sucesion an ={1

n/n ∈ N}

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Intervalo de centro a y radio r en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Estructura ocular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Autosimilaridad en fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9 Dimension de Hausdorff (Dh) y Dimension topologica (Dt) . . . . . . . . . 26

2.10 Construccion de la Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.11 Construccion de la Esponja de Menger, M0 y M1 . . . . . . . . . . . . . . 28

2.12 Construccion de la Esponja de Menger, M2 y M3 . . . . . . . . . . . . . . 28

4.13 Naturaleza y fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.14 Primera iteracion (AA)1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.15 Segunda iteracion (AA)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.16 Tercera iteracion (AA)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.17 Sucesion (AA)n ={(8

9

)n/n ∈ N

}∞

n=1en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.18 Primera iteracion (PA)1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.19 Segunda iteracion (PA)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.20 Tercera iteracion (PA)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.21 Construccion de la Esponja de Menger (VM)1 . . . . . . . . . . . . . . . . 52



4.24 Sucesion (VM)n ={( 1

27

)n20n/n ∈ N

}∞

n=1en R . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.25 Construccion de la Esponja de Menger (AM)1 . . . . . . . . . . . . . . . . 60



4.28 Sucesion (AM)n ={(20

9

)n/n ∈ N

}∞

n=1en R . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.29 Primera iteracion (PA)1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.30 Segunda iteracion (PA)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.31 Tercera iteracion (PA)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.32 Sucesion (PA)n ={

45 ·(

4+(8

3

)n)/n ∈ N

}∞

n=1. . . . . . . . . . . . . . . . 75

x

xi

RESUMEN

TÍTULO: Límite de una sucesión mediante fractales: una propuesta didáctica para la enseñanza de límites.

Autor: Jorge Aníbal Duque Arauz

Tutor: Aules Centeno Hernán Mauricio

RESUMEN

La enseñanza de límites en la educación media es uno de los temas de la matemática que

resulta didácticamente conflictivo, entre otras cosas porque el currículo actual trata al límite

solamente como un operador algebraico y el modelo tradicional de enseñanza no permite la

construcción de nociones previas. En este trabajo se presenta la adaptación de la geómetra

fractal específicamente en los objetos: Alfombra de Sierpinsky y la Esponja de Menger,

como una propuesta didáctica fundamentada en los principios del constructivismo para

la enseñanza de lımites de una sucesión. Se pretende fomentar el uso de recursos didácticos,

Tics y conocimientos interesantes que serán adaptados al nivel de educación requerido para

el desarrollo con el fin de promover la inteligencia matemática.

PALABRAS CLAVE: EDUCACION MEDIA / LÍMITES / GEOMETRÍA FRACTAL

/ ALFOMBRA DE SIERPINSKY/ ESPONJA DE MENGER

xii

ABSTRACT

TITLE: Succession limit by means of fractals: a didactic proposal for the teaching of

limits.

Author: Jorge Aníbal Duque Arauz

Tutor: Aules Centeno Hernán Mauricio

ABSTRACT

The limits teaching in secondary education is one of the mathematics themes that is

didactically conflicting; among other things because the current curriculum deals only

to the limit as an algebraic operator and the traditional teaching model does not allow

the construction of previous notions. On this work we present the adaptation of fractal

geometry specifically in objects: Sierpinsky’s Carpet and the Merger’s Sponge, as a

didactic proposal based on the principles of constructivism for the teaching on limits of

a succession. It is intended to promote the use of didactic resources, Tics and interesting

knowledge that will be adapted to the level of education required for development in

order to promote mathematical intelligence.

KEYWORDS: AVERAGE EDUCATION / LIMITS / FRACTAL GEOMETRY /

SIERPINSKY CARPET / MENGER SPONGE

CAPITULO 1

INTRODUCCION

1.1. Presentacion

Durante siglos el analisis de: suceciones, pendientes de una curva y los calculos de areas

y volumenes, convergen a una nocion de lımite cuando los procesos tienden al infinito, sin

embargo en el siglo XV III se desarrolla una etapa llamada segun Blazquez “Aritmetizacion

del analisis” en la cual se fundamenta matematicamente la idea de lımite, tomando como

referentes a los matematicos Cauchy y Weierstrass, los cuales generan respectivamente la

concepcion dinamica y la concepcion metrica para el lımite, esta ultima utlizada actual-

mente en la ensenanza del lımite. Ademas uno de estos matematicos define una funcion que

es continua pero no es derivable en ningun punto, la denominada Funcion de Weierstrass que

posteriormente se la caracteriza por tener un comportamiento fractal.

En el sigo XIX , estructuras matematicas mas complejas retoman el interes de la comunidad

cientıfica, los ası llamados “monstruos matematicos” como por ejemplo: los copos de nieve,

las nubes, la forma en que el sistema sanguıneo se distribuye, las grietas en la corteza de los

arboles, las formas que generan los relampagos en el cielo, entre otros, pero ¿ Como entender

estas figuras de la naturaleza?. En la decada de los 70 el matematico frances Mandelbrot de

la Universidad de Yale acuno la palabra fractal, dando a conocer la geometrıa fractal de la

naturaleza con la que se nos permite entender y describir matematicamente la distribucion

particular de estas figuras.

Al comienzo de nuestra instruccion escolar nos vemos rodeados de operaciones matematicas

cuando empezamos a dar los primeros pasos hacia descubrir esta area, los problemas a

plantear o resolver son relativamente sencillos por ası decirlo, en los cuales el proceso para

construir, descubrir e inferir es mas generosos que los conocimientos de la educacion me-

dia. En el 2011 entra en vigor el currıculo para el BGU (Bachillerato General Unificado)

en el Ecuador incluyendo entre algunos contenidos al lımite de una funcion (sucesion), sin

1

embargo se lo presenta estrıctamente como un operador algebraico, siendo una herramienta

para el analisis del calculo.

Por lo que, tomando en cuenta lo llamativo que son los objetos fractales y su relacion con

las sucesiones y procesos iterativos infinitos, se procede a buscar la forma de adaptar estos

contenidos al proceso de ensenanza y aprendizaje del lımite de sucesiones, generando ası la

presente propuesta.

1.2. Objetivo

1.2.1. Objetivo General

La presente propuesta se basa en los siguientes objetivos:

• Analizar la estructura que debe tener una propuesta didactica para la ensenanza de

lımite de una sucesion mediante fractales.

• Desarrollar una propuesta didactica para la ensenanza de lımite de una sucesion medi-

ante fractales.

1.2.2. Objetivos Especıficos

• Identificar el tratamiento curricular que se da al lımite de una sucesion en el currıculo

ecuatoriano.

• Describir las concepciones de lımites de una sucesion de acuerdo a investigaciones

previas.

• Establecer los fractales mas adecuados para la ensenanza de lımites de una sucesion.

• Establecer la estructura didactica adecuada para la ensenanza de lımites de una sucesion

mediante fractales.

• Desarrollar y ejemplificar la construccion de fractales utilizados en la ensenanza de

lımites de una sucesion.

1.3. Planteamiento del Problema

El desarrollo del pensamiento matematico como parte de un ambiente cientıfico en el que los

conceptos y las tecnicas matematicas surgen y se desarrollan (3) poco a poco quedan rele-

gados por la sistematizacion de procesos, ası como tambien nuestra capacidad de construir,

2

descubrir e inferir conocimientos, convirtiendo estas en una de las dificultades al momento

de desarrollar el pensamiento matematico. En comparativa el analisis del currıculo vigente

para el BGU segun el acuerdo Ministerial Nro. 242-11 y los libros de textos realizados por el

MinEduc la manera de abordar las concepciones del lımite en los anos de primero, segundo

y tercero de BGU son estrictamente axiomaticos, dirigidos basicamente para la operacionali-

dad y sistematicacion de procesos, en el caso particular del lımite de una funcion o sucesion,

existe un desapego en la construccion de las nociones fundamentales Segun Duval (1998, pp.

15-21), para comprender un concepto es necesaria la coordinacion de los diferentes registros

de representacion, pues con uno solo (mono-registro) no se obtiene la comprension integral

del concepto (1)

1.4. Problema

¿Que estructura debe tener un recurso didactico que permite el proceso de ensenanza-aprendizaje

de lımite de una sucesion ?

1.5. Motivacion

Lımite de una sucesion y fractales: Una propuesta didactica para la ensenanza de lımites, la

oracion proporciona tres ideas que resultan interesantes, una de ella esta implıcita: fractales,

sucesion e infinito. Estas connotaciones tienes un basto campo de aplicabilidad en relacion

a la ensenanza de la matematica. Los fractales y su afinidad con la naturaleza, las sucesiones

y el infinito como secuencias graficas y comportamientos cıclicos, etc. Sin embargo la idea

de esta propuesta es concebida gracias a la divulgacion cientıfica, la cual permite rodearnos

de curiosidades que generan el deseo de cambiar la forma de transmitir el conocimiento,

mas especıficamente al profesor de Lenguajes y Sistemas Informaticos de la Universidad

de La Rioja-Espana, Eduardo Saenz de Cabezon, autor del libro inteligencia matematica y

coautor de Gardner para aficionados, juegos de matematica recreativa. Finalmente el deseo

de asimilar la siguiente idea:

“Siempre he creıdo que el mejor camino para hacer las matematicas interesantes

a alumnos y profanos es acercarse a ellas en son de juego. En niveles superi-

ores, especialmente cuando se aplican a problemas practicos, las matematicas

pueden y deben ser mortalmente serias. Pero en niveles inferiores no es posible

motivar a ningun alumno a aprender la teorıa superior de grupos, por ejemplo,

diciendole que la encontrara hermosa, estimulante o incluso util si algun dıa

3

llega a ser un fısico especializado en partıculas. El mejor metodo para mantener

despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matematico intrig-

ante, un pasatiempo, un truco magico, una chanza, una paradoja, un modelo, un

trabalenguas o cualquiera de esas mil cosas que los profesores aburridos suelen

rehuir porque piensan que son frivolidades. (7)

1.6. Contribuciones

La principal contribucion de esta propuesta esta enfocada al desarrollo del pensamiento

matematico en la construccion del conocimiento para una introduccion al calculo de lımite.

El desarrollo de esta propuesta parte de saberes revisados en la educacion general basica

(EGB), como es el calculo de perımetros, areas y volumenes de figuras geometricas euclid-

ianas hasta llegar a la nocion de lımite. Pero en el trascurso de este recorrido la esencia

esta en el descubrimiento y la rigurosidad matematica que la propuesta genera. Ası como

tambien permite el uso de la tecnologıa en las diferentes etapas que pueden ser desde las

representaciones en R de las sucesiones hasta la visualizacion de las iteracion en R3 de la

Esponja de Menger.

1.7. Estructura de la Tesis

Este trabajo esta dividido en cinco capıtulos. Al principio se encuentra una descripcion del

por que se opto por realizar esta propuesta ası como tambien los objetivos que se plantea.

El siguiente capıtulo describe los contenidos cientıficos que se abordan en la propuesta que

van desde los pre requisitos hasta la concepcion del lımite de una sucesion que constan en

el currıculo vigente, se incorpora ademas la idea de fractal y sus caracterısticas. Se con-

tinua con el capıtulo tres referente a metodologıa de la investigacion donde se describe el

diseno de la investigacion que consta del enfoque, modalidad, nivel y profundidad, etc. cor-

respondiente a la propuesta. El penultimo se desarrolla la propuesta que describe a detalle

la construccion, analisis y la concepcion de lımite de una sucesion y finalmente las conclu-

siones y recomendaciones donde se detalla los observaciones de la propuesta, como tambien

las sugerencias en la utilizacion de otros objetos fractales en la construccion de iguales o

diferentes contenidos del calculo.

4

CAPITULO 2

MARCO TEORICO

Este capıtulo presenta la base cientıfica en la que esta sustentada la propuesta didactica.

2.1. Ubicacion del Lımite en el Currıculo Actual

Se analiza el currıculo vigente utilizado para la ensenanza de lımites y sucesiones, tomando

en cuenta:

• El desarrollo de contenidos: la secuencialidad de los conocimientos como tambien la

forma en que se aborda el paso al infinito y desarrollo del lımite.

• Las destrezas con criterio de desempeno que se abordan en cada unidad tematica .

• El criterio de evaluacion y su indicador para la evaluacion.

2.1.1. Desarrollo de Contenidos

“En el 2011 entra en vigor el currıculo para el Bachillerato General Unificado, mediante

acuerdo Ministerial Nro. 242-11” (MinEduc,2016,(11)), donde se presenta un cambio en

la organizacion de los contenidos desarrollados en el area de matematica, en primero, se-

gundo y tercero de BGU. Ademas el 30 de Mayo de 2016 el Ministerio de Educacion del

Ecuador otorga una certificacion curricular para los libros distribuidos de Matematica, donde

especificamente la concepcion de lımite se aborda de la siguiente manera :

• Texto del Estudiante, Primero BGU (MinEduc,(12))

La unidad tematica 3 (Lımite y derivadas de funciones) expone los contenidos a desar-

rollar, entre algunos de ellos se tiene:

– Nocion intuitiva de lımite

– Lımites laterales

– Lımites en el infinito

5

– Calculo de lımites

– Indeterminaciones

– Continuidad de funciones

El primer contenido presentado en esta unidad es la nocion intuitiva de lımite el cual

se lo explica mediante la definicion etimologico de la palabra, posteriormente expresa

la percepcion matematica de un lımite como “una magnitud fija a la que se aproximan

cada vez mas los terminos de una secuencia infinita de magnitudes” (12), por ultimo

la construccion de una tabla de valores en base a una funcion denotada en forma de

lımite limx→n f (x). Este modo de desarrollar la concepcion de lımite alude a una

organizacion relativa al algebra de lımites (5), ya que solamente se enfoca al calculo

axiomatico del lımite utilizando un operador algebraico. La secuencia de contenidos

prescinden el uso de la metrica como de la utilizacion de δ ε excluyendo la definicion

formal de lımite de una funcion.

• Texto del Estudiante, Segundo BGU (MinEduc,(13))

En el texto referente al segundo ano del BGU se examina:

– La unidad tematica 1 (Funciones) que plantea entre algunos contenidos los sigu-

ientes mas relevantes:

∗ Progresiones aritmeticas

∗ Progresiones geometricas

∗ Termino general de una progresion geometrica

∗ Suma de los n terminos de una progresion geometrica

∗ Producto de los n terminos de una progresion geometrica

Esta unidad tematica en particular excluye la nociones de infinito y lımite pero

aporta los contenidos necesarios para la construccion de sucesiones y series. De-

scribe brevemente la idea de sucesion, de manera similar estos contenidos estan

desarrollados en funcion de ser utilizados como operadores algebraicos.

– La unidad tematica 3 (Derivadas de funciones reales) seleccionando solamente

un subcontenido pertinente.

∗ Lımite y derivadas

∗ La idea intuitiva del lımite, estimacion numerica

6

En contraste con el texto de primero de BGU, existe la presencia de δ y ε procurando

abordar la definicion formal de lımite mediante la metrica que representa a una or-

ganizacion matematica relativa a la definicion del objeto lımite de funcion (5). Sin

embargo esta notacion formal de lımite prescinde de explicacion.

• Texto del Estudiante, Tercero BGU (MinEduc,(14))

La unidad tematica 1 (Funciones y lımites) expone los contenidos a desarrollar, entre

ellos se tiene:

– Limites de Funciones

∗ Lımite finito de una funcion en un punto

∗ Lımites laterales finitos

∗ Relacion entre el lımite y los lımites laterales

∗ Lımite infinito de una funcion en un punto

∗ Lımites de una funcion en el infinito

– Propiedades de los lımites

∗ Propiedades

∗ Indeterminaciones

– Calculo de lımites

– Levantar indeterminaciones para calcular lımites

– Aplicacion de lımites

El primer contenido presentado en esta unidad es “limites de funciones”, donde se

desarrollan algunos subcontenidos ejemplificados mediante el mismo proceso de ab-

straccion que es: evaluar una funcion, construir una tabla de valores y la representacion

grafica de su funcion, ademas utilizando terminos como: aproximacion, tendencia y

cercanıa para el breve analisis de la tabla de valores o graficas.

A manera de conclucion, mediante el analisis de los contenidos referente al lımite de una

funcion (sucesion) presentados en los tres anos del BGU tenemos que: existen contenidos

que se desarrollan sin la presencia de las nociones basicas para su ensenanza, la presencia de

similitudes de contenidos entre los diferentes anos del BGU y el desarrollo de ejercicios no

correspondientes con al ano presentado, evidencian la falta de secuencialidad y pertinencia

en el proceso de ensenanza y aprendizaje del lımite.

7

2.1.2. Destrezas con criterio de desempeno

Las unidades tematicas desarrolladas anteriormente cuentan con sus respectivos criterios de

desempeno, presentados en la introduccion de cada libro de Matematica para el BGU, a

continuacion los criterios alucientes a lımites de una funcion (sucesion), sin tomar en cuenta

criterios que se refieren a la interpretacion geometrica y fısica de la derivada:

• Texto del Estudiante, Primero BGU (MinEduc,(13))

– Unidad tematica 3 (Lımite y derivadas de funciones)

∗ Calcular la manera intuitiva el lımite cuando h→ 0 de una funcion cuadratica

con el uso de la calculadora como una distancia entre dos numeros reales.

• Texto del Estudiante, Segundo BGU (MinEduc,(13))

– Unidad tematica 1 (Funciones)

∗ Identificar sucesiones convergentes y calcular el lımite de la sucesion.

– Unidad tematica 3 (Derivadas de funciones reales)

∗ Calcular de manera intuitiva el lımite cuando h→ 0 de una funcion cuadratica

con el uso de calculadora como una distancia entre dos numero reales.

• Texto del Estudiante, Tercero BGU (MinEduc,(14))

– Unidad tematica 1 (Funciones y lımites)

∗ No existe destrezas con criterio de desempeno referente a lımite de una

funcion

Observacion: en la unidad tematica 3 (Algebra), Texto del Estudiante, Tercero BGU,

esta presente el siguiente criterio de desempeno: Conocer y aplicar el algebra de

lımites de sucesiones convergentes en la resolucion de aplicaciones o problemas con

sucesiones reales en matematica financiera (interes compuesto) e interpretar y juzgar

la validez de las soluciones obtenidas.

El analisis de todos los criterios a desarrollar en cada unidad tematica (ver Anexos) nos

permite deducir lo siguiente:

• La gran mayoria de destrezas con criterio de desempeno se focalizan en el calculo de

las derivadas mediante el desarrollo del lımite.

• Existe dos destrezas con criterio de desempeno que puntualizan al lımite de una sucesion.

8

2.1.3. Criterio de Evaluacion

Se presenta los Criterios de Evaluacion referentes a lımite de una sucesion con su respectivo

indicador para la evaluacion del criterio, tomas del currıculo vigente (MinEduc,2016,(11))

• CE.M.5.4. Reconoce patrones presentes en sucesiones numericas reales, monotonas y

definidas por recurrencia; identifica las progresiones aritmeticas y geometricas; y, me-

diante sus propiedades y formulas, resuelve problemas reales de matematica financiera

e hipotetica.

M.5.4.1. Identifica las sucesiones segun sus caracterısticas y halla los parametros

desconocidos; aplica progresiones en aplicaciones cotidianas y analiza el sistema fi-

nanciero local, apreciando la importancia de estos conocimientos para la toma de de-

cisiones asertivas. (J.2.)

• CE.M.5.5. Aplica el algebra de lımites como base para el calculo diferencial e integral,

interpreta las derivadas de forma geometrica y fısica, y resuelve ejercicios de areas y

problemas de optimizacion.

I.M.5.5.1. Emplea el concepto de lımites en sucesiones convergentes y sucesiones

reales; opera con funciones escalonadas; halla de manera intuitiva derivadas de fun-

ciones polinomiales; diferencia funciones mediante las respectivas reglas para resolver

problemas de optimizacion; concibe la integracion como proceso inverso, y realiza

conexiones geometricas y fısicas. (I.2.)

El criterio de evaluacion CE.M.5.4. se focaliza en el analisis de patrones en forma de suce-

siones y series, dejando de manera implicita la nocion de lımite de una sucesion. Mientas el

criterio de evaluacion CE.M.5.5. puntualiza el uso del lımite como herramienta algebraica

del calculo.

Observando en conjunto las unidades tematicas, las destrezas con criterio de desempeno y

los criterios de evaluacion se concluye que la forma que se presenta al lımite de una funcion

(sucesion) es de caracter estrıctamente algebraico, siendo una herramienta para el analisis de

conocimiento posteriores.

2.2. Concepcion de Lımite

En la presente seccion se presentan algunas concepciones sobre la definicion de lımite de

forma cronologica ademas se centra en abordar los temas de sucesiones, series y sus lımites,

9

ya que sobre estas se basa la propuesta.

2.2.1. Resena Historica

En un breve recorrido historico sobre la conceptualizacion de lımite siguiendo a Boyer (1999)

y tomando en cuenta la clasificacion que realiza Blazquez (2006) (2) mediante las tres eta-

pas que diferencian la idea del lımite, desglosada en la tesis doctoral “Lımite finito de una

funcion en un punto: fenomenos que organiza” Sanchez (2012)(18).

• Etapa 1. Hasta los metodos infinitesimales

Esta etapa esta formada por la necesidad de resolver problemas como, problemas

cinematicos y de tangentes, determinacion de extremos y calculo de cuadraturas en

los siguientes metodos en los que se establece particular atencion al usarlos y se divi-

den de la siguiente forma:

– Metodo de exhaucion.- Utilizada para el calculo de longitudes, areas y volumenes,

“Eudoxo enuncio el lema que afirma que si tenemos dos magnitudes que tengan

una razon, entonces se puede encontrar un multiplo de cualquiera de ellas que

exceda a la otra” Sanchez (2012) (18)

– Metodo de los infinitesimos de Kepler.- Utilizada igualmente para el calculo de

areas y volumenes “Consiste en considerar que todos los cuerpos se descompo-

nen en infinitas partes, infinitamente pequenas, de areas o volumenes conocidos.”(18)

– Metodo de los indivisibles de Cavalieri.- Utilizada igualmente para calculo de

areas y volumenes de cuerpos. “Consiste en una superposicion de elementos

cuya dimension era una unidad menor” Sanchez (2012)(18)

Utilizada como una aproximacion al calculo de la tangente de una curva, estos metodos

solo estaran citados a continuacion.

– Metodo de Fermat para buscar extremos de curvas

– Metodo de las Tangentes

– Metodo de Barrow

10

• Etapa 2. La supremacıa del calculo

Segun Blazquez (2006) esta etapa “consiguen separar este calculo de la geometrıa,

aunque no aciertan a separar los metodos analıticos de los algebraicos”(2), con sus

principales exponentes Newton, Leibnitz, Euler y D’Alembert

– Newton (1648-1727) propone el metodo de las fluxiones, un metodo de natu-

raleza geometrico-mecanica para tratar de forma general los problemas del analisis

infinitesimal, ademas el metodo de “razones primeras y ultimas” y en su obra

“Principia Mathematica” hace referencia a convergencia y aproximaciones.

– Leibnitz (1646-1716) aporta la teorıa sobre los diferenciales, ademas de razon-

amientos sobre la pendiente de la tangente a una curva que depende de la razon

entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas cuando se hacen infinita-

mente pequenas estas diferencias.

– Euler (1707-1743) se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la

funcion continua como sumas, productos y composiciones de funciones elemen-

tales.

– D’Alembert (1717-1783) crea la teorıa de los lımites y escribe la siguiente definicion

“ Llama a una cantidad el lımite de una segunda cantidad variable si la segunda

puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier can-

tidad dada” (4). Esta definicion utiliza solamente el lenguaje para conceptualizar

al lımite.

• Etapa 3. Aritmetizacion del analisis

Esta etapa pretende fundamentar las concepciones del lımite.

– Cauchy (1789-1857) La concepcion dinamica de lımite que propone Cauchy en

su obra Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique en 1821 es una definicion sub-

jetiva y se la utiliza en el desarrollo de esta propuesta.

“Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan in-

definidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de

el en tan poco como queramos, este ultimo valor se llama el lımite de

todos los demas.” (2)

Aunque no este en la linea temporal de Cauchy es menester hacer referencia a

la definicion de lımite secuencial o definicion como aproximacion optima que

11

proponen Blazquez y Ortega, “L es el lımite de una sucesion si para cualquier

aproximacion K de L,K ·L , existe un termino de la sucesion tal que todos los que

siguen estan mas proximos a L que a K.”(2)(p.195) por que se habla de aproxi-

maciones de valores en una sucesion.

– Weierstrass (1815-1897) propone una formulacion metrica puramente estatica

diferente de la concepcion de Cauchy que elimina el subjetivismo

“Si, dado cualquier ε , existe un n0, tal que para 0< n< n0 , la diferencia

f (x0±n)−L es menor en valor absoluto que ε , entonces se dice que L

es el lımite de f (x) para x = x0” Blazquez (2006) (2)

– Acualmente, la definicion de lımite se expresa de la sigueinte forma: “La funcion

tiende hacia el lımite l en a significa: para todo ε > 0 existe algun δ > 0 tal que,

para todo x, si 0 < |x−a| < δ entonces | f (x)− l| < ε ” definicion tomada de

Michael Spivak (1981, p. 110) citado por Blazquez (2)

Ademas para el estudio topologico la concepcion de lımite ligada con conjuntos:

“El numero L es el lımite de f (x) para x tendiendo a a si para todo entorno

de L existe un entorno reducido de a de forma tal que cada x perteneciente

al entorno reducido de a y al dominio de la funcion tiene una imagen f (x)

en el entorno de L.” (6)

Representado por la expresion:

∀U(L)∃U∗/∀x ∈ [U∗(a)∧D( f )] , f (x) ∈U(L)

2.2.2. Formas de Representacion de Lımite

Segun Blasquez y Ortega, “Para trabajar el concepto de lımite en Secundaria se consid-

eran los sistemas de representacion verbal, numerico, grafico y algebraico,” (1)(p.226) en

este sentido los autores hacen alucion a el sistema verbal como una aproximacion optima a

valores, el sistema numerico como el proceso de tendencia basado en tablas de valores, el

sistema grafico como una representacion en el plano o en un eje de coordenadas, y final-

mente el sistema algebraico como la definicion metrica del lımite.(1)(p.226), en contraste la

propuesta aborda con el sistema verbal la aproximacion hacia el infinito y 0 de las medidas

de los fractales, el sistema numerico mediante la construccion de tablas de valores y sistema

grafico mediante la representacion en R de los puntos de la sucesion, dando la introduccion

al sistema algebraico mediante la notacion de lımite.

12

2.3. Sucesiones

Una sucesion se puede expresar como un listado de numeros escritos en orden, es decir es

un conjunto ordenado de numeros:

A = {a1 , a2 , a3 , a4, ... , an, ...}

Entonces a1 es el primer termino, a2 es el segundo termino, ası de forma general an es el

n-esimo termino de la sucesion, donde n ∈ N, entonces para cada n existe un an correspon-

diente, ası una sucesion se define como una funcion cuyo dominio es el conjunto N tomado

de Stewart (19) y se denota como:

A , (an) , (an/n ∈ N) (1)

Sin embargo usualmente una sucesion se denota con el rango de la funcion escrita como un

conjunto:

{an}n = {an/n ∈ N} o {an}∞

n=1 (2)

Las sucesiones se pueden definir mediante una formula de su termino n-esimo, pero existen

sucesiones que no se pueda definir en forma simple mediante una formula y se expresan

como un conjunto por extension:

• La sucesion de los numeros pares {2,4,6, ...}

{2an/n ∈ N} o {2an/n ∈ N}∞

n=1

• Sea an el n-esimo dıgito en la expansion decimal del numero e, entonces {an} es una

sucesion bien definida cuyos primeros terminos son:

{7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5, ...}

2.3.1. Representacion de una Sucesion

Una sucesion se la puede representar de las siguientes formas, por ejemplo para {an} ={ nn+1/n ∈ N

}tenemos:

• Representando en una recta real los terminos de la sucesion.

Figura 2.1: Sucesion an en la recta real

13

Acercando la figura 2.1 tenemos

Figura 2.2: Sucesion an en la recta real

• Representando en plano real los terminos de la sucesion como puntos P(x,y)

Figura 2.3: Sucesion an en R2

Tomando en cuenta que la sucesion es una funcion con su dominio en N

2.3.2. Sucesiones Crecientes

Una sucesion {an} es creciente si:

a1 < a2 < a3 < ... < an−1 < an < an+1 < ...

Ası por ejemplo en la sucesion:

{an = 2n/n ∈ N} (3)

Tiene los siguientes terminos:

Valores de n 1 2 3 ... 100 ... 1000 ...

an 2 4 6 ... 200 ... 2000 ...

Tabla 2.1: Terminos de una sucesion creciente {an}

Entonces:

a1 < a2 < a3 < ... < an−1 < an < an+1 < ...

14

2 < 4 < 6 < ... < 200 < ... < 2000 < ...

Por lo tanto {an} es una sucesion creciente.

2.3.3. Sucesiones Decrecientes

Una sucesion {an} es decreciente si:

{a1 > a2 > a3 > ... > an−1 > an > an+1 > ...}

Ası por ejemplo en la sucesion: {an =

1n/n ∈ N

}(4)

Tiene los siguientes terminos:

Valores de n 1 2 3 ... 100 ... 1000 ...

an 1 12

13 ... 1

100 ... 11000 ...

Tabla 2.2: Terminos de una sucesion decreciente {an}

Entonces:

a1 > a2 > a3 > ... > an−1 > an > an+1 > ...

1 >12>

13> ... >

1100

> ... >1

1000> ...

Por lo tanto {an} es una sucesion decreciente.

2.3.4. Sucesiones Constantes

Una sucesion {an} es constante si:

a1 = a2 = a3 = ...= an−1 = an = an+1 = ...

Ası por ejemplo en la sucesion:

{an = 1n/n ∈ N} (5)

tiene los siguientes terminos:

15

Valores de n 1 2 3 ... 100 ... 1000 ...

an 1 1 1 ... 1 ... 1 ...

Tabla 2.3: Terminos de una sucesion constante {an}

Entonces:

a1 = a2 = a3 = ...= an−1 = an = an+1 = ...

1 = 1 = 1 = ...= 1 = ...

Por lo tanto {an} es una sucesion constante.

2.3.5. Sucesion Convergente y Divergente

La idea de convergencia de una sucesion tiene que ver directamente con su lımite, se toma

como ejemplo la sucesion 4 donde los valores de los terminos de la sucesion van dismin-

uyendo hasta aproximarse a 0, a su vez se observa en la tabla 2.2 que la distancia entre

terminos seguidos de la sucesion van disminuyendo, de la siguiente forma:

a1 = 1

a2 =12

d(a1a2) =

∣∣∣∣1− 12

∣∣∣∣d(a1a2) =

∣∣∣∣12∣∣∣∣

La distancia entre el primer termino y el segundo termino de la sucesion es 12

a2 =12

a3 =13

d(a2a3) =

∣∣∣∣12 − 13

∣∣∣∣16

d(a2a3) =

∣∣∣∣16∣∣∣∣

La distancia entre el segundo termino y el tercer termino de la sucesion es 16

a3 =13

a4 =14

d(a3a4) =

∣∣∣∣13 − 14

∣∣∣∣d(a3a4) =

∣∣∣∣ 112

∣∣∣∣La distancia entre el segundo termino y el tercer termino de la sucesion es 1

12 , si al tomar

terminos de la sucesion con n mucho mas grande, como por ejemplo:

a100 =1

100

a101 =1

101

d(a100a101) =

∣∣∣∣ 1100− 1

101

∣∣∣∣d(a100a101) =

∣∣∣∣ 110100

∣∣∣∣= 0,000990099

Mediante la Fig. 2.4 se advierte que, si la distancia entre dos terminos sucesivos se van

haciendo mas pequenas

Figura 2.4: Sucesion an ={ 1

n/n ∈ N}

Entonces tenemos

d1 > d2 > d3 > d4 > d5 > ... > dn−1 > dn > ...

17

Es decir existe un valor al cual esta sucesion se va aproximando o a la que convergera,

aunque no se conozca ese valor. Con las dos observaciones anteriores se analiza el lımite de

una sucesion y una sucesion de Cauchy.

Con las premisas anteriores se define la convergencia de una sucesion de la siguiente

manera:

Sea {an}n una sucesion de R. Se dice {an}n es convergente si existe a ∈ R con la siguiente

propiedad: Para cada an existe n0 ∈ N tal que:

|an−a|< ε si n > n0 (6)

Esto equivale a decir que, para cada ε > 0 o radio del entorno existe un n0 ∈ N, tal que

{an}n ∈ (a−ε,a+ε) cuando n > n0. Se dice que {an}n converge o tiende a a. El natural n0

de esta definicion depende en general del valor que tome ε y sera mas grande mientras mas

pequeno sea ε .

En este ejemplo se examina la convergencia de una sucesion y el conjunto E en un plano;

sucesion 4 denotada por el conjunto:

an =

{1n/n ∈ N

}Se observa que converge o tiende a 0 en su tabla 2.2 pero esta vez se mide la cercanıa de los

terminos de la sucesion a 0, entonces para calcular esta distancia se tiene:∣∣∣∣1n −0∣∣∣∣

A la medida de esta distancia sumamente pequena se denota por ε , la cual es arbitraria.

En el conjunto se la denota por r o radio, ademas se advierte que a representa el valor de

convergencia de la sucesion, en este caso sera 0 para cada ε > 0 existe un n0 ∈ N tal que

|an−a|< ε si n > n0, siguiendo con la explicacion de 6 se obtiene:∣∣∣∣1n −0∣∣∣∣< ε, si n > n0

Ahora tomando un ε = 10−3 se tiene: ∣∣∣∣1n∣∣∣∣< ε

−ε <1n< ε

18

−10−3 <1n< 10−3

1n∈(− 1

103 ;1

103

)Para todo n si 1

n < 10−3 o n> 103 basta elegir n0 = 103 para que la condicion de convergencia

de la sucesion se cumpla.

(a) intervalo E

(b) zoom invervalo E

Figura 2.5: Intervalo de centro a y radio r en R2

Ademas en una sucesion {an}n la unica condicion necesaria y suficiente para que {an}n

sea convergente, es que dado cualquier numero ε > 0, exista un entero M tal que

∣∣an−a j∣∣< ε ∀n, j > M (7)

Este teorema se conoce con el nombre de criterio de Cauchy para la convergencia de una

sucesion y toda sucesion que cumpla esta condicion se llama sucesion de Cauchy.

19

2.3.6. Lımite de una Sucesion

A continuacion se presenta la definicion de lımite de una sucesion tomando en cuenta con-

cepcion dinamica y metrica descritas por Stewart (19)(p.692):

• Una sucesion {an} tiene el lımite L y lo expresamos como

{an}n→ L cuando n→ ∞ o limn→∞{an}= L (8)

Si podemos hacer que los terminos an se aproximen a L tanto como se quiera tomando

n lo suficientemente grande. Si limn→∞

an existe, se dice que la sucesion converge (o que

es convergente). De lo contrario, se dice que la sucesion diverge (o es divergente).



Si para todo ε > 0 hay un correspondiente entero N tal que

si n > N entonces |an−L|< ε (10)

2.3.7. Propiedades del Lımite de una Sucesion

Dado que una sucesion es una aplicacion de N → R es decir una funcion, entonces las

propiedades del lımite de una funcion son los mismos que del lımite de una sucesion.

1. Unicidad. el lımite de una sucesion cuando existe, es unico.

limn→+∞

{an}= A y limn→+∞

{an}= B entonces A = B (11)

2. Lımite de una constante.

limn→+∞

{K}= K si K ∈ R (12)

3. Lımite de la suma. Si los limn→+∞


{bn}= B, existen

limn→+∞

{an±bn}= limn→+∞

{an}± limn→+∞

{bn}= A±B (13)

4. Lımite de un producto. Si los limn→+∞

{an}= A y limn→+∞{bn}= B, existen

limn→+∞

{an.bn}= limn→+∞

{an} . limn→+∞

{bn}= A.B (14)

5. Lımite de un producto. Si los limn→+∞


{bn}= B, existen y B 6= 0

limn→+∞

{an

bn

}=

limn→+∞ {an}limn→+∞ {bn}

=AB

(15)

20

2.3.8. Formas Indeterminadas del Lımite de una Sucesion

En algunas sucesiones al aplicar las propiedades para evaluar el lımite de una sucesion se

obtiene este tipo de expresiones, llamadas indeterminaciones.

• ±∞

∓∞

• (+∞)− (+∞)

• 00

• 0∗ (+∞)

• 1+∞

• +∞0

Por lo que se utiliza propiedades algebraicas hasta lograr que el lımite de una sucesion per-

mita obtener una forma determinada, ademas se presentan las siguientes operaciones con

numeros reales y el ∞. que se utilizan en la propuesta.

• ∞±K = ∞

• ∞ ·K = ∞

• ∞ ·∞ = ∞

• k∞= 0

• ∞

∞= indeterminado

• k∞ = 0 si 0 < K < 1

• k∞ =+∞ si K > 1

• 1∞ = indeterminado

2.4. Series

A continuacion se presentan las definiciones de serie y lımite de una serie, notadas por Stew-

art (19)(p.699):

21

Sea {an}n una sucesion la serie asociada a {an}n se define como la siguiente suma “infinita”

a1 +a2 + ...+an + ...

Que se denomina serie infinita (o solo serie) y se denota con el sımbolo

∞

∑n=1

an o ∑an (16)

Entonces dada la serie 16 tenemos las siguientes sumas parciales que denotamos de la sigu-

iente manera:

s1 = a1

s2 = a1 +a2

s3 = a1 +a2 +a3

Ası sucesivamente hasta el termino n-esimo o termino general de la serie que es represando

de la siguiente manera:

sn = a1 +a2 +a3 + ...+an =n

∑i=1

ai

2.4.1. Convergencia y Divergencia de una Serie

Se define una sucesion {sn}n de las sumas parciales de la serie de la siguente forma:

{sn}n = {s1,s2,s3, ...sn, ...} (17)

La cual recibe el nombre de sucesion de sumas parciales de la serie.

Una serie infinita dada ∑∞n=1 an es una serie convergente si y solo si su sucesion asociada

de sumas parciales {sn}n converge, en caso contrario se dice que la serie diverge, entonces

si

{sn}n→ sn cuando n→ ∞ o limn→∞{sn}= sn

Si la serie ∑n an converge, entonces el lımite de la sucesion {sn}n se llama la suma de

∑ni=1 ai.

limn→∞{sn}= b = lim

n→∞

n

∑i=1

ai

22

∞

∑n=1

an = b = limn→∞

n

∑i=1

ai

Una condicion necesaria y suficiente para que una serie ∑∞n=1 an sea convergente es que dado

cualquier numero ε > 0 exista un entero M tal que∣∣an+1 +an+2 + ...+an+p∣∣< ε ∀ m > n > M (18)

Frecuentemente se hace m = n+ p de modo que p = m−n y se escribe la condicion∣∣an+1 +an+2 + ...+an+p∣∣< ε ∀ ,n > N y p > 1

2.4.2. Serie Geometrica de Razon r

Una serie geometrica de razon r tiene la forma ∑∞n=0 a · rn, donde a es un valor constante y r

la razon con las siguientes consideraciones:

• |r|< 1

• |r|> 1

Donde para el primer caso, |r| < 1 la serie converge, mientras que para el segundo caso

|r| > 1 la serie diverge. Ademas es necesario conocer el valor de la suma del termino n-

esimo mediante el cual se procede al analisis de la construccion de una serie desarrollada

posteriormente.

2.4.3. Sumatoria de Termino n-esimo

Cuando una serie geometrica converge, cumple con la expresion de la suma de todos sus

terminos:

Sn =a1

1− r(19)

A su vez, cuando una serie diverge, no se puede encontrar la suma de todos sus terminos, por

lo que se encuentra la suma de los terminos n-esimos que cumple con la expresion:

Sn = a1 ·rn−1r−1

(20)

2.5. Fractales

“Ni las nubes son esfericas, ni las montanas conicas, ni las costas circulares, ni la corteza

es suave, ni tampoco el rayo es rectilıneo.”(10), esta es la introduccion que Mandelbrot a

23

tomado para adentrarnos en el mundo de la geometrıa fractal que da ha pensar que esta ge-

ometrıa va mas alla de la geometrıa Euclidiana con un simple vistazo de nuestro alrededor

se observa que las figuras de la geometrıa Euclidiana estan presentes en todos los objetos

construidos por el ser humano pero no se presta demasiada atencion a estructuras tan mar-

avillosas que solo la naturaleza ha podido crear, como podemos observar a continuacion.

(a) Ojo humano (b) Vena vorticosa

Figura 2.6: Estructura ocular

(a) Romanesco (b) Hoja de arbol

(c) Desierto (d) rayo

Figura 2.7: Naturaleza

2.5.1. Descripcion de Fractal

La definicion matematica formal de un fractal aun esta abierta, solo existe una nocion tenta-

tiva , la Real Academia Espanola (RAE) nos otorga el siguiente resultado: “Del lat. fractus

’quebrado’. Mat. Estructura iterativa que tiene la propiedad de que su aspecto y distribucion

estadıstica no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe.”(15) y da una ligera

24

aproximacion de lo que es un fractal y a su vez Mandelbrot proporciona una aproximacion a

la definicion:

¿Hace falta definir de manera rigurosa lo que es una figura fractal para luego de-

cir que un objeto real es fractal si lo es la figura que conforma su modelo?. Pen-

sando que tal formalismo serıa prematuro se adopta un metodo distinto basado

en una caracterizacion abierta, intuitiva, y procediendo por toques sucesivos. (9)

Aporta dos propiedades principales que presenta un fractal: la autosimilaridad y la dimension

extrana.

2.5.2. Propiedades de un Fractal

Un fractal presenta dos propiedades: la autosimilaridad y la dimension extrana.

• Autosimilaridad

La autosimilaridad es la propiedad de un fractal que al tomar cualquier “partecita” de

una fractal y compararlo con una parte mas grande o mas pequena y no diferencia el

cambio de escala, esta condicion se cumple en algunos fractales de forma exacta como

la alfombra de Sierpinsk, pero no en todos, como en el conjuto de Mandelbrot. Fig. 2.8

Por consiguiente, se puede decir que la autosimilaridad hace referencia a que: “El todo

esta formado por varias copias de sı mismo, solo que reducidas y puestas en diferente

posicion; o, dicho de otra manera: el todo es igual a sus partes, salvo un factor de

escala.”(? )p. 21)Sabogal.

(a) Alfombra de Sierpinsk,(? )p- 11)Sabogal (b) Conjunto de Mandelbrot,(? )p. 94)Correa

Figura 2.8: Autosimilaridad en fractales

25

• La Dimension Extrana

La dimension extrana de un fractal tiene que ver con la dimension de Hausdorff (Dh)

y dimension topologica (Dt) mientras se nota que la dimension fractal es “el numero

que sirve para cuantificar el grado de irregularidad y fragmentacion de un conjunto

geometrico o de un objeto natural. La dimension fractal no es necesariamente en-

tera”(? )p. 168)Mandelbrot1988objetos, por ejemplo el triangulo de Sierpinski tiene

una dimension de D f =log3log2 ≈ 1,58, es decir su dimension es mayor a la de una linea

(dimension topologica 1) pero menor a la de una superficie(dimension topologica 2).

Entonces, un fractal tiene la propiedad de que su dimension de Hausdorff es estricta-

mente mayor que su dimension topologica, a continuacion se presenta algunos ejemp-

los.

(a) Dh > Dt ;log(3)log(2) > 1 (b) Dh > Dt ;

log(8)log(3) > 1 (c) dimencion de un cuadradoDh >

Dt ;2 = 2

Figura 2.9: Dimension de Hausdorff (Dh) y Dimension topologica (Dt)

2.5.3. La Alfombra de Sierpinski

La alfombra o carpeta de Sierpinski es un fractal descrito por el matematico polaco Waclaw

Sierpinski en 1916 en el artıculo “Sur une courbe cantorienne qui contient une image biuni-

voque et continue de toute courbe donnee” (16)., en el cual describe la construccion de una

curva universal; se empieza con un cuadrado A0 , luego se divide este cuadrado en 9 partes

iguales y se retira el cuadrado central A1, con cada uno de los cuadrados restantes se procede

de igual manera que con el incial y ası sucesivamente.

Se obtiene por lo tanto A0,A1,A2, ...,Ak, ...Fig.2.10 , que se define como:

A =∞⋃

j=0

A j

26

(a) A0 (b) A1 (c) A2 (d) A3

Figura 2.10: Construccion de la Alfombra de Sierpinski

• Perımetro de la Alfombra de Sierpinski

El perımetro de la Alfombra de Sierpinski cumple con la siguiente expresion:

(PA)n =45

(4+

8n

3n

)(21)

• Area de la Alfombra de Sierpinsky

El area de la Alfombra de Sierpinski cumple con la siguiente expresion:

(AA)n =

(89

)n

(22)

2.5.4. La Esponja de Menger

La esponja de Menger creado por el matematico austriaco Karl Menger (16) en 1926 muestra

que en este fractal la secuencia de una de las caras es como la del fractal de la alfombra de

Sierpinski, es decir se piensa que es su version en R3 , la construccion de este fractal empieza

con un cubo M0 en el cual se divide en 27 “ cubitos” iguales, es decir cada arista es dividida

en un tercio y se retira 7 “ cubitos” de forma que, a cara del cubo se extrae el “ cubito”

central, ademas se retira el “ cubito” del centro del cubo, quedando 20 “ cubitos” M1, en cada

“cubito” se repite este proceso sucesivamente. Se obtiene por lo tanto M0,M1,M2, ...,Mk, ...

y se define como:

M =∞⋃

j=0

M j (23)

27

(a) M0 (b) M1

Figura 2.11: Construccion de la Esponja de Menger, M0 y M1

(a) M2 (b) M3

Figura 2.12: Construccion de la Esponja de Menger, M2 y M3

• Area de la Esponja de Menger

De igual manera que con la alfombra de Sierpinski, nuestra area cumple con una ex-

presion matematica.

(AM)n = 6(

19

)n

20n (24)

• Volumen de la Esponja de Menger

Para nuestro volumen se cumple con una expresion matematica.

(VM)n =

(1

27

)n

20n (25)

2.6. Producto Wallis

En el ano de 1656 John Wallis publico su Arithmetica infinitorum, en la cual presenta un

analisis de series infinitas, se toma a continuacion la formula de Wallis para encontrar el

valor de π que consiste en la multiplicacion de fracciones de la forma:

Wk =21· 2

3· 4

3· 4

5· 4

7· ... · 2k

2k−1· 2k

2k+1· ... (26)

28

Entonces:

limk→∞

Wk = limk→∞

(21· 2

3· 4

3· 4

5· 4

7· ... · 2k

2k−1· 2k

2k+1· ...)=

π

2

En la serie 26 se realiza la siguiente descomposicion

(S1)n =21· 4

3· 6

5· .... · 2n−2

2n−1· ... (27)

(S2)n =12· 3

4· 5

6· ... · 2n−1

2n−2· ... (28)

Se observa que la serie 27 con la condicion de (S1)1 = 1 y para n ≥ 2 llegando al lımite de

esta serie tiende al infinito (diverge)

limn→∞

(S1)n = limn→∞

(21· 4

3· 6

5· ... · 2n−2

2n−1· ...)= ∞ (29)

A continuacion el proceso iterativo de (S1)n

Valores de n Serie Producto

(S1)1 (S1)1 (S1)1 = 1

(S1)2 (S1)2 =12 ·

34 (S1)2 =

83

(S1)3 (S1)3 =12 ·

34 ·

56 (S1)3 =

4815

. . .

. . .

. . .

n limn→∞

(S1)n = limn→∞

(21 ·

43 ·

65 · ... ·

2n−22n−1 · ...

)(S1)n = ∞

Tabla 2.4: Proceso iterativo de (S1)n

Mientras que la serie 28 con la condicion de (S2)1 = 1 y para n ≥ 2 llegando al lımite

converge al valor 0

limn→∞

(S2)n = limn→∞

(12· 3

4· 5

6· ... · 2n−1

2n−2· ...)= 0 (30)

A continuacion el proceso iterativo de (S2)n

29

Valores de n Serie Producto

(S2)1 (S2)1 (S2)1 = 1

(S2)2 (S2)2 =12 ·

34 (S2)2 =

38

(S2)3 (S2)3 =12 ·

34 ·

56 (S2)3 =

1548

. . .

. . .

. . .

n limn→∞

(S2)n = limn→∞

(12 ·

34 ·

56 · ... ·

2n−12n−2 · ...

)(S2)n = 0

Tabla 2.5: Proceso iterativo de (S2)n

30

CAPITULO 3

METODOLOGIA

3.1. Diseno de la Investigacion

El presente capıtulo cosiste en explicar con presicion los siguientes aspectos de trabajo:

• El enfoque o paradigma dominante en la investigacion.

• La modalidad del trabajo de grado elegido para el proyecto.

• El tipo de investigacion que se utilizo en el desarrollo del proyecto.

• El nivel y profundidad de la investigacion.

3.1.1. Enfoque de la Investigacion

Segun Sampieri “desde la segunda mitad del siglo XX tales corrientes se han polarizado

en dos enfoques principales o aproximaciones al conocimiento: el enfoque cuantitativo y

el enfoque cualitativo de la investigacion.”(17)(p.4), ademas el autor expresa un enfoque

mixto o cuanti-cualitativo. La presente investigacion tiene un enfoque cualitativo por que su

proposito segun Sampieri es “reconstruir la realidad tal y como la observan los actores de un

sistema social previamente definido.”(17)(p.27)

3.1.2. Modalidad de trabajo de grado

La modalidad del presente trabajo de investigacion citando a la UPEL es un proyecto factible,

por que:

“Consiste en la investigacion, elaboracion y desarrollo de un modelo operativo

viable para solucionar problemas, requerimientos necesidades de organizaciones

o grupos sociales que pueden referirse a la formulacion de polıticas, programas,

tecnologıas, metodos, o procesos. El proyecto debe tener el apoyo de una in-

vestigacion de tipo documental, y de campo, o un diseno que incluya ambas

modalidades.” (8) (p. 16).

31

3.1.3. Nivel y Profundidad de la Investigacion

La presente investigacion se aborda como un estudio exploratorio, citando a Sampieri:

“Los estudios exploratorios sirven para familiarizarnos con fenomenos relativa-

mente desconocidos, obtener informacion sobre la posibilidad de llevar a cabo

una investigacion mas completa respecto de un contexto particular, investigar

nuevos problemas, identificar conceptos o variables promisorias, establecer pri-

oridades para investigaciones futuras, o sugerir aflrmaciones y postulados.”(17)(p.101)

3.1.4. Tipos de Investigacion

Las tecnicas de investigacion o de investigacion bibliografica se relacionan con los proced-

imientos que se usan para obtener datos e informacion a traves de los libros, y en general

artıculos que se refieren a determinadas materias y temas.

3.2. Tecnicas e Instrumentos de Recoleccion de Datos

Las tecnicas de investigacion o de investigacion bibliografica se relacionan con los proced-

imientos que se usan para obtener datos e informacion a traves de los libros, y en general

artıculos que se refieren a determinadas materias y temas.

La recopilacion documental y bibliografica se utiliza preliminarmente en el proceso de

elaboracion del marco teorico y conceptual de la investigacion, ya que por medio de ella

se logran reunir los mas importantes estudios, investigaciones, datos e informacion sobre el

problema formulado. Y aun antes de elaborar el marco teorico, la presencia de la recopi-

lacion documental es importante, ya que ella sirve de punto de partida en la preseleccion,

seleccion y definicion del tema de la investigacion.

32

CAPITULO 4

DISENO DE LA PROPUESTA

4.1. Introduccion

El desarrollo de la presente propuesta se aborda con las defınciones basicas utilizadas a man-

era de glosario como: Iteracion, sucesiones y series, lımite de una sucesion y serie, formas

de representacion de lımite y fractales, ademas ejercicios resueltos y propuestos con su solu-

cionarlo, sigueindo la secuencia establecida que consta de: construccion del fractal, medi-

ciones, analisis de aproximaciones, generalizacion y analisis de aproximaciones de manera

que el desarollo de los ejemplos faciliten el proceso de ensenanza y aprendizaje del limite de

una sucesion en el bachillerato.

4.2. Definiciones Basicas

Esta seccion realiza una sıntesis de los conocimientos que se desarrollan en la propuesta.

4.2.1. Iteracion

4.2.2. Sucesiones y Series

• Una sucesion se define como una funcion cuyo dominio es el conjunto N y se denota

como:

{an}n = {an/n ∈ N} o {an}∞

n=1

• Sea {an}n una sucesion la serie asociada a {an}n se define como la siguiente suma

“infinita”

a1 +a2 + ...+an + ...=∞

∑n=1

an

4.2.3. Lımite de una Sucesion y Serie

Se presenta la conceptualizacion de lımite de una sucesion y serie incluyendo la definicion

de aproximacion optima de Blazquez

33



Si podemos hacer que los terminos an se aproximen a L tanto como se quiera tomando

n lo suficientemente grande. Si limn→∞

an existe, se dice que la sucesion converge (o que

es convergente). De lo contrario, se dice que la sucesion diverge (o es divergente).

• Aproximacion optima que proponen Blazquez y Ortega, “L es el lımite de una sucesion

si para cualquier aproximacion K de L,K ·L , existe un termino de la sucesion tal que

todos los que siguen estan mas proximos a L que a K.”(2)(p.195).

• Una serie infinita dada ∑∞n=1 an es una serie convergente si y solo si su sucesion asoci-

ada de sumas parciales {sn}n converge, en caso contrario se dice que la serie diverge,

entonces si

{sn}n→ sn cuando n→ ∞ o limn→∞{sn}= sn

4.2.4. Formas de Representacion de Lımite

Segun Blasquez y Ortega, “ los sistemas de representacion verbal, numerico, grafico y al-

gebraico,” (1)(p.226) en contraste la propuesta aborda con el sistema verbal la aproxima-

cion hacia el infinito y 0 de las medidas de los fractales, el sistema numerico mediante la

construccion de tablas de valores y sistema grafico mediante la representacion en R de los

puntos de la sucesion, dando la introduccion al sistema algebraico mediante la notacion de

lımite.

4.3. Fractales

No existe una definicion matematica para un fractal, sin embargo las propiedades principales

que presenta un fractal nos permite identificarlos:

• La autosimilaridad

Una de las propiedas de los fractales segun Mandelbrot“El todo esta formado por

varias copias de sı mismo, solo que reducidas y puestas en diferente posicion; o, dicho

de otra manera: el todo es igual a sus partes, salvo un factor de escala.”(9) (p.21).

• La dimension extrana

parafraseando a Mandelbrot un fractal tuene la dimension de Hausdorff estrictamente

mayor que su dimension topologica (? )p. 168)Mandelbrot1988objetos

34

Se presenta algunos ejemplos de fractales.

(a) DLA-like colony patterns of B. subtilis incu-

bated at 35 C for a month after inoculation,(? )p.

2)Mitsugu

(b) DLA clusters with the particle

number N=lO,OOO obtained by

computer simulations on a square

lattice,(? )p. 2)Mitsugu

(c) Helecho (d) Helecho fractal obtenido me-

diante Matlab

Figura 4.13: Naturaleza y fractales

4.3.1. Alfombra de Sierpinsky

La construccion de la Alfombra de Sierpinsky comienza con un cuadrado llamado iteracion

cero A0, luego se divide este cuadrado en 9 partes iguales y se retira el cuadrado central

obteniendo la primera iteracion A1, con cada uno de los cuadrados restantes se procede de

igual manera que con el incial dividiendo en 9 partes iguales y retirando el cuadrado central

y ası sucesivamente.

• Perımetro de la Alfombra de Sierpinski

(PA)n =45

(4+

8n

3n

)• Area de la Alfombra de Sierpinsky

35

(AA)n =

(89

)n

4.3.2. Esponja de Menger

La construccion de la Esponja de Menger se empienza con un cubo M0 en el cual se divide

en 27 “ cubitos” iguales, es decir cada arista es dividida en un tercio y se retira 7 “ cubitos”

de forma que, a cara del cubo se extrae el “ cubito” central, ademas se retira el “ cubito”

del centro del cubo, quedando 20 “ cubitos” M1, en cada “cubito” se repite este proceso

sucesivamente.

• Area de la Esponja de Menger

(AM)n = 6(

19

)n

20n

• Volumen de la Esponja de Menger

(VM)n =

(127

)n

20n

4.4. Ejemplos

A continuacion se presenta dos ejercicios resueltos: Area de la Alfombra de Sierpinsky,

Volumen de la Esponja de Menger y dos ejercicios propuestos: Perımetro de la Alfombra

de Sierpinsky, Area de la Esponja de Menger. Cada ejercicios se organiza y desarrolla de

siguiente manera:

• Construccion del Fractal: Se presenta las instrucciones para el desarrollo del fractal.

• Medicion o Calculo: Se realiza graficas/materiales para su medicion/calculo y su tabla

de valores.

• Analisis de Aproximacion: Se desarrolla preguntas de reflexion sobre aproximaciones

• Generalizacion del Patron: Se desarrolla: preguntas de reflexion sobre patrones, la

exprecion para el calculo del termino n-esima, tabla de valores incluyendo la iteracion

al infinito.

• Analisis de Aproximacion: Se desarrolla preguntas de reflexion sobre aproximaciones

en la tabla de valores con iteracion al infinito y la grafica de la sucesion.

36

4.4.1. Ejemplo 1, Area de la Alfombra de Sierpinsky

• Construccion del Fractal

Para la construccion de la Alfombra de Sierpinsky se presenta las siguientes indica-

ciones:

– Medir la longitud de nuestro cuadrado, calcular su area y anotar en la tabla.

– Dividir el cuadrado en 9 partes iguales y retirar el cuadrado central.

– Medir la longitud del cuadrado que se retirar, calcular el area total y anotar en la

tabla.

– Dividir los cuadrados restantes en 9 partes iguales y retirar su cuadrado central.

– Medir la longitud del cuadrado mas pequeno que se retira, calcular el area total y

anotar en la tabla.


– Medir la longitud del cuadrado mas pequeno que se retira, calcular el area total y

anotar en la tabla.

Observacion: mientras mas grande sea el cuadrado inicial se podra desarrollar mas

iteraciones, es recomendable que la longitud del lado del cuadrado sea una potencia

de 10 para facilitar su generalizacion, la presente toma como ejemplo un cudrado de

medida de lado igual a la unidad, sin embargo si se utiliza otra medida de longitu d del

lado basta con multiplicar el valor del area del cuadrado a cada iteracion para obtener

su convercion.

• Mediciones

La mediciones que se realizan son tabuladas de manera que no se repita el calculo de

figuras anteriores de la siguiente forma: Para la iteracion n = 0 medimos la longitud

del lado del cuadrado: l0 = 1, calculamos el area de este cuadrado (AA)0 = l02 = 12 = 1

y tabulamos este valor en la tabla.

Para la iteracion n = 1, medimos el valor del lado del cuadrado que se retiro o del

cuadrado mas pequeno formado: l1 = 13 , calculamos el area de este cuadrado A1 =

l12 =(1

3

)2= 1

9 entonces el area total es (AA)1 = (AA)0− 19 = 0,88... y tabulamos en

la tabla

37

Figura 4.14: Primera iteracion (AA)1



l22 =(1

9

)2= 1

81 entonces el area total es (AA)2 = (AA)1−8 · 19 = 0,7901 y tabulamos

en la tabla.

Figura 4.15: Segunda iteracion (AA)2



l32 =( 1

27

)2= 1

729 entonces el area total es (AA)3 = (AA)2 − 8 · 8 · 1729 = 0,7023 y

tabulamos en la tabla.

38

Figura 4.16: Tercera iteracion (AA)3

Iteracion Medicion Area

0 (AA)0 = 1 1

1 (AA)1 = (AA)0−(1

3

)20,88...

2 (AA)2 = (AA)1−8 ·(1

9

)20,7901

3 (AA)3 = (AA)2−8 ·8 ·( 1

27

)20,7023

Tabla 4.6: Area de la Alfombra de Sierpinski

• Analisis de la Aproximacion

Para el analisis de la tendencia se formulan las preguntas:

– ¿Que ocurre con el valor de las areas en cada iteracion?

Se observa que el valor del area va disminuyendo por que en cada iteracion se va

retirando partes pequenas de area.

– ¿Que pasarıa con la alfombra si se continua retirando pequenas areas?

La alfombra tendrıa una area cada vez mas pequena hasta llegar a cero, por que

vamos quitando area de manera indefinida.

• Generalizacion

La generalizacion consite en construir una expresion que nos permita encontrar el area

39

de la Alfombra de Sierpinsky para cualquier numero de iteraciones. realizamos las

siguientes preguntas:

– ¿Se observa algun patron en la columna de medicion?

Si, se observa que el denominador de la fraccion y el valor 8 se repiten y van

creciendo de manera potencial.

– ¿Como se puede encontrar el valor del area de la Alfombra en la iteracion 9 ?

Se puede encontrar ese valor generalizando una formula para calcular el area de la

Alfombra porque al realizarlo de forma manual existen muchos inconvenientes.

– En la columna medicion de la tabla se expresa el area de la Alfombra como un

resta de areas, ¿Existe otra manera se puede expresar el area de la alfombra?

Si, se puede expresar el area de la Alfombra en forma de productos.

– ¿Se puede encontrar una expresion que permita encontrar el valor del area para

cualquier iteracion?

Si, Se puede encontrar una expresion permita encontrar el valor del area para

cualquier iteracion.

Para la generalizacion se construye la expresion del area desarrollando la siguiente

idea: en cada iteracion se cuenta el numeros de secciones mınimas (cuadrados mas

pequenos) y ese valor se lo mulplica al area de la seccion mınima. Tomando en cuenta

esta premisa se procede de la siguiente manera:

– Para la iteracion n = 0 el area (AA)0 es igual a 1 ya que la longitud del lado es la

unidad

(AA)0 = 1

– Para la primera iteracion el area (AA)1 como se observa en la Fig.4.14 cada

mıinima seccion tiene un area igual a (13)

2 ademas el numero de secciones mınimas

es 8, por lo tanto el area de la primera iteracion es:

(AA)1 = 8 ·(

13

)2

(AA)1 =89

40

– Para la segunda iteracion el area (AA)2 como se muestra en la Fig.4.15 se tiene

que cada mıinima seccion tiene un area igual a(1

9

)2, el contedo de las secciones

mınimas es 8 ·8, por lo tanto el area de la primera iteracion es:

(AA)2 = 8 ·

(8 ·(

19

)2)

En donde podemos escribir la expresion de la siguiente manera:

(AA)2 = 82 ·(

19

)2

(AA)2 =

(89

)2

– Para la tercera iteracion el area (AA)3 como se indica en la Fig.4.16, la seccion

mınima tiene una area de( 1

27

)2y existen 8 ·8 ·8 secciones mınimas, entonces:

(AA)3 = 8 ·

(8 ·

(8 ·(

127

)2))

En donde se escribe la expresion de la siguiente manera:

(AA)3 = 83 ·(

133

)2

(AA)3 = 83 ·(

132

)3

(AA)3 = 83 ·(

19

)3

(AA)3 =

(89

)3

Como se observa existe entre cada iteracion un patron, de manera que en la tercera

iteracion la fraccion 89 esta elevada al cubo, en la segunda iteracion la fraccion 8

9 esta

elevada al cuadrado y en la primera iteracion la fraccion 89 esta elevada a la potencia

1, entonces la iteracion n = 0 se la puede expresar como(8

9

)0. Entonces la expresion

que se utiliza para encotrar el cualquier valor del area de la Alfombra es:

(AA)n =

(89

)n

41

Se construye una tabla 4.7 con la expresion anterior utlizando iteraciones con valores

de n pequenos para comprobar los primeros valores de las iteraciones y valores cada

vez mas grandes para analizar el comportamiento del area:

(AA)1 =

(89

)1

(AA)1 =

(89

)≈ 0,889

(AA)2 =

(89

)2

(AA)2 =

(6481

)≈ 0,7901234

Ası sucesivamente, obteniendo los siguientes resultados:

42

Iteracion (n) Operaciones Area

0 (AA)0 =(8

9

)01

1 (AA)1 =(8

9

)10,88...

2 (AA)2 =(8

9

)20,7901

3 (AA)3 =(8

9

)30,7023

4 (AA)4 =(8

9

)40,6242

. . .

. . .

. . .

339 (AA)339 =(8

9

)3394,56.10−18

340 (AA)340 =(8

9

)3404,05.10−18

341 (AA)341 =(8

9

)3413,60.10−18

. . .

. . .

. . .

999 (AA)999 =(8

9

)9997,91.10−52

1000 (AA)1000 =(8

9

)10007,03.10−52

1001 (AA)1001 =(8

9

)10016,25.10−52

. . .

. . .

. . .

∞ (AA)∞=(8

9

)∞0

Tabla 4.7: Area de la Alfombra de Sierpinski

• Analisis de aproximaciones

Para el analisis de la aproximacion se formulan las preguntas:

– ¿A que valor se aproxima n ?

Se observa que el valor de n se aproxima al infinito.

– ¿A que valor se aproxima (AA)n?

El valor de (AA)n se aproxima a 0.

43

– ¿Como se relaciona n con el valor de (AA)n ?

La relacion entre n y (AA)n es: Si n crece entonces (AA)n decrece, por tanto si n

se aproxima al infinito (AA)n se aproxima a 0

– ¿Matematicamente como se escribe de forma correcta la iteracion n cuando n se

aproxima al infinito ?

La forma correcta de escribir matematicamente la iteracion n cuando n se aprox-

ima al infinito es mediante la utilizacion del algebraico lımite de una sucesion:

(AA)n = limn→∞

(89

)n

= 0

– ¿Como representarıa graficamente los valores de la sucesion?, desarrolle un re-

spuesta.

Una sucesıon se la puede representar graficamente en R o R2, senalando los

valores de cada iteracion que se obtienen en la tabla de valores. Para (AA)n su

representacion grafica en R se tiene:

Figura 4.17: Sucesion (AA)n ={( 8

9

)n/n ∈ N

}∞

n=1en R

4.4.2. Ejemplo 2 (Propuesto), Perımetro de la Alfombra de Sierpinsky



ciones:

– Medir la longitud de nuestro cuadrado, calcular su perımetro y anotar en la tabla.


– Medir la longitud del cuadrado que se retirar, calcular el perımetro total y anotar

en la tabla.


– Medir la longitud del cuadrado mas pequeno que se retira, calcular el perımetro

total y anotar en la tabla.


44



• Mediciones


figuras anteriores de la siguiente forma: Para la iteracion n= 0 medimos la longitud del

lado del cuadrado: l0 = 1, calculamos el perımetro de este cuadrado (PA)0 = 4 ·1 = 4



cuadrado mas pequeno formado: l1 = 13 , calculamos el perımetro de este cuadrado

P1 = 4 · 13 = 4

3 entonces el area total es (PA)1 = (PA)0 +43 = 5,33... y tabulamos en la

tabla

Figura 4.18: Primera iteracion (PA)1



P2 = 4 · 19 = 4

9 entonces el area total es (PA)2 = (PA)1 +8 · 43 = 8,88... y tabulamos en

la tabla

45

Figura 4.19: Segunda iteracion (PA)2



P3 = 4 · 127 = 4

27 entonces el area total es (PA)3 = (PA)2 +8 ·8 · 427 = 18,370... y tabu-

lamos en la tabla

Figura 4.20: Tercera iteracion (PA)3

46

Iteracion Mediciones Perımetro

0 (PA)0 = 4 ·1 4

1 (PA)1 = (PA)0 +43 5,33...

2 (PA)2 = (PA)1 +8 · 49 8,88...

3 (PA)3 = (PA)2 +8 ·8 · 427 18,370...

Tabla 4.8: Perımetro de la Alfombra de Sierpinski

• Analisis de la Aproximancion

Para el analisis de la aproximancion se formulan las preguntas:

– ¿Que ocurre con el valor de la perımetro en cada iteracion?

– ¿Que pasarıa con la alfombra si se continua aumentando pequenos perımetros?

• Generalizacion del patron

La generalizacion consite en construir una expresion que nos permita encontrar el

perımetro de la Alfombra de Sierpinsky para cualquier numero de iteraciones. Real-

izamos las siguientes preguntas:


47

– ¿Como se puede encontrar el valor del perımetro de la Alfombra en la iteracion

11 ?

– ¿Se puede encontrar una expresion que permita encontrar el valor del perımetro

para cualquier iteracion?

Para la generalizacion se construye la expresion del perımetro desarrollando los sigu-

iente pasos:

– Para la iteracion n = 0 el perımetro (PA)0 es igual a 4 ya que la longitud del lado

es la unidad

(PA)0 = 4

– Para la primera iteracion el perımetro (PA)1 como se observa en la Fig. 4.29 cada

mınima seccion tiene un lado igual a l1 = 13 , entonces al perımetro anterior (PA)0

se suma el perımetro del cuadrado del centro que es igual a 4 ·(1

3

), se obtiene:

(PA)1 = (AA)0 +4 ·(

13

)

(PA)1 = 4+4 ·(

13

)– Para la segunda iteracion (PA)2 como se muestra en la Fig. 4.30 cada mınima

seccion tiene un lado igual a l1 =... , entonces al perımetro anterior (PA)1 se

suma ...

·

·

·

48

– Para la tercera iteracion (PA)3 como se muestra en la Fig. 4.31 cada mınima

seccion tiene un lado igual a l1 = ... , ....

... , se obtiene:

·

·

·

(PA)3 = 4+4 ·

(80 ·(

13

)1

+81 ·(

13

)2

+82 ·(

13

)3)

Se advierte en las tres primeras iteraciones que siempre se tiene un valor inicial de

cuatro mas cuatro veces nuestra parte variable, por tanto el perımetro se expresa de la

siguiente manera:

(PA)n = 4+4 ·∞

∑n=1

8n−1(

13

)n

(PA)n =

(PA)n = 4+48·

∞

∑n=1

8n(

13

)n

(PA)n =

(PA)n = 4+12·

n

∑i=1

(83

)n

Para la resolucion de esta sumatoria, se recuerda los temas de serie geometrica y suma-

toria del termino n-esimo, por lo que se procede de la siguiente manera:

∞

∑n=1

(83

)n

n

∑i=0

(83

)n+1

49

Esta sumatoria es una serie geometrica, por tener la forma ∑∞n=0 a · rn por lo que:∣∣∣∣83

∣∣∣∣> 1

Se obtiene la suma del termino n-esimo

Sn = a1 ·rn−1r−1

Siendo a1 = 1, r = 83 entonces:

Sn =

Sn =

Sn =

Sn =85·[(

83

)n

−1]

Reemplazando este resultado en la expresion anterior se obtiene:

(PA)n = 4+12· 8

5·[(

83

)n

−1]

(PA)n =

(PA)n = 4+45·(

83

)n

− 45

(PA)n =

(PA)n =

(PA)n =

Entonces la expresion que se utiliza para encotrar el cualquier valor del area de la

Alfombra es:

(PA)n =45·[

4+(

83

)n]

50

A partir de esta expresion se construye una tabla 4.7 utlizando iteraciones con valores


vez mas grandes para analizar el comportamiento del perımetro:

(PA)0 =45

(4+

80

30

)= 4

De igual forma se obtiene (PA)1 y (PA)2

(PA)1 =45

(4+

81

31

)=

(PA)2 =

(PA)3 =


51

Iteracion Operaciones Perımetro

0 (PA)0 = 4

1 5,33...

2 8,88...

3 18,370...

4 43,654

. . .

. . .

. . .

100 3,162.1042

. . .

. . .

. . .

339 2,03.10144

340 5,40.10144

341 1,44.10145

. . .

. . .

. . .

∞ (PA)∞= 4

5

(4+ 8∞

3∞

)Tabla 4.9: Perımetro de la Alfombra de Sierpinski

• Analisis de aproximaciones o tendencia



– ¿A que valor se aproxima (PA)n?

– ¿Como se relaciona n con el valor de (PA)n ?

52





(PA)n = limn→∞

45

(4+

8n

3n

)= ∞


spuesta.

4.4.3. Ejemplo 3 (Resuelto), Volumen de la Esponja de Menger

El proceso iterativo para la construccion de la Esponja consiste en dividir y extraer volumenes

de un cubo, por tanto el desarrollo de este ejemplo amerita el siguiente analisis:

• Utilizar la medicion: el ejemplo se puede desarrollar como proyecto grupal, ya que

requerie gran cantidad de recursos, asi cuando se desea tener una iteracion n = 3 de la

Esponja se requiere la cantidad de 20n cubos.

• Utilizar el calculo: el ejemplo se puede desarrollar mediante graficas a escala de los

cubos, rotulando de manera correcta los valores de los lados.

Ademas las instrucciones entre cada una de las construcciones varıan. Este ejemplo lo de-

sarrollamos mediante la utilizacion del calculo.


Para la construccion de la Esponja de Menger se utiliza presenta las siguientes indica-

ciones:

– Calcular el volumen del cubo de lado igual a 1 y anotar en la tabla.

Se divide el cubo en 27 partes iguales, se retira el “ cubito” del medio en cada

cara del cubo y el central del cubo:

53

Figura 4.21: Construccion de la Esponja de Menger (VM)1

– Calcular el volumen del cubo presentado y anotar en la tabla.

Se divide los cubos mas pequenos en 27 partes iguales, se retira el “ cubito” del

medio en cada cara del cubo y el central del cubo:

54


– Calcular el volumen del cubo presentado y anotar en la tabla.



55


• Calculos

Los calculos que se realizan son tabulados de la siguiente manera: Para la iteracion

n = 0 sabemos que la longitud de la arista del cubo es : l0 = 1, calculamos el volumen

del cubo (VA)0 es igual a 1:

(VM)0 = 1 ·1 ·1 = 1

Para la primera iteracion (VM)1 se dividie el volumen anterior para 27 y se calcula el

valor del volumen del cubo mas pequeno V1 = (VM)027 = 1

27 , como de los 27 cubos se

retiran 7, nos quedan 20 por lo tanto:

(VM)1 =127·20

(VM)1 = 0,740740

56

Para la segunda iteracion (VM)2 se dividie el volumen anterior del cubo mas pequeno

para 27 y se calcula el valor del volumen del actual cubo mas pequeno V2 = V127 =

127·27 ,como a cada cubo se lo divide en 27 y se retiran 7, nos quedan 20 ·20 cubos, por

lo tanto:

(VM)2 =

(1

27 ·27

)·20 ·20

(VM)2 =

(1

272

)·202

(VM)2 =

(1

729

)·400

(VM)2 = 0,5487

Para la tercera iteracion (VM)3 se procede de la misma forma, se dividie el volumen

anterior del cubo mas pequeno para 27 y se calcula el valor del volumen del actual

cubo mas pequeno V3 =V227 = 1

27·27·27 ,como a cada cubo se lo divide en 27 y se retiran

7, nos quedan 20 ·20 ·20 cubos, por lo tanto:

(VM)3 =

(1

27 ·27 ·27

)·20 ·20

(VM)3 =

(1

273

)·203

(VM)3 =

(1

19683

)·8000

(VM)3 = 0,4064

Iteracion Operaciones Volumen

0 (VM)0 = 1 1

1 (VM)1 =( 1

27

)1201 0,740740...

2 (VM)2 =( 1

27

)2202 0,5487

3 (VM)3 =( 1

27

)3203 0,4064

57

• Analisis de la Aproximancion


– ¿Que ocurre con el valor del volumen en cada iteracion?

Se observa que el valor del volumen va disminuyendo por que en cada iteracion

se va retirando partes pequenas de volumen.

– ¿Que pasarıa con la Esponja si se continua retirando pequenas areas?

La alfombra tendrıa una volumen cada vez mas pequena hasta llegar a cero, por

que vamos quitando volumen de manera indefinida.



volumen de la Esponja de Menger para cualquier numero de iteraciones. realizamos

las siguientes preguntas:

– ¿Se observa algun patron en la columna de operaciones?

Si, se observa que el denominador de la fraccion y el valor 20 se repiten y van

creciendo de manera potencial.

– ¿Como se puede encontrar el valor del volumen de la Esponja en la iteracion 8 ?

Se puede encontrar ese valor multiplicando la fraccion por 20 y elevandola a la

potencia 8, siguiendo el patron observado.

– ¿Se puede encontrar una expresion que permita encontrar el valor del volumen

para cualquier iteracion?

Si, Se puede encontrar una expresion permita encontrar el valor del volumen para

cualquier iteracion.

Para la generalizacion se construye la expresion del volumen y una tabla con itera-

ciones cada vez mas grandes. El patron que sigue el volumen en cada iteracion es la

potencia de la fraccion 2027 entonces:o

– Para la iteracion n = 0 el volumen (VM)0 es igual a 3 ya que la longitud de la

arista es la unidad entonces lo expresamos en forma del patron encontrado:

(VM)0 =

(2027

)0

58

(VM)0 = 1

– Para la primera iteracion (VM)1 se dividie el volumen anterior para 27 y se calcula

el valor del volumen del cubo mas pequeno V1 = (VM)027 = 1

27 , como de los 27

cubos se retiran 7, nos quedan 20 por lo tanto:

(VM)1 =127·20

(VM)1 =

(2027

)1

– Para la segunda iteracion (VM)2 se dividie el volumen anterior del cubo mas

pequeno para 27 y se calcula el valor del volumen del actual cubo mas pequeno

V2 =V127 = 1

27·27 ,como a cada cubo se lo divide en 27 y se retiran 7, nos quedan

20 ·20 cubos, por lo tanto:

(VM)2 =

(1

27 ·27

)·20 ·20

(VM)2 =

(1

272

)·202

(VM)2 =

(2027

)2

– Para la tercera iteracin (VM)3 se procede de la misma forma, se dividie el volumen

anterior del cubo mas pequeno para 27 y se calcula el valor del volumen del actual

cubo mas pequeno V3 =V227 = 1

27·27·27 , como a cada cubo se lo divide en 27 y se

retiran 7, nos quedan 20 ·20 ·20 cubos, por lo tanto:

(VM)3 =

(1

27 ·27 ·27

)·20 ·20 ·20

(VM)3 =

(1

273

)·203

(VM)3 =

(2027

)3

Se observa que existe entre cada iteracion un patron, de manera que en la tercera

iteracion 127 y 20 esta elevado al cubo,en la segunda iteracion 1

27 y 20 esta elevado al

59

cuadrado y en la primera iteracion 127 y 20 estan elevados a la potencia 1, de manera

que:

(VM)n =

(2027

)n

De igual manera se encuentra (VM)1, (VM)2 y (VM)3, con lo cual se construye una tabla

4.10 de la siguiente manera:

(VM)1 =

(127

)1

201

(VM)1 = 0,740740...

(VM)2 =

(127

)2

202

(VM)2 ≈ 0,5487

(VM)3 =

(127

)3

203

(VM)3 ≈ 0,4064


60

Iteracion Operaciones Volumen

0 (VM)0 =(20

27

)01

1 (VM)1 =(20

27

)10,740740...

2 (VM)2 =(20

27

)20,5487

3 (VM)3 =(20

27

)30,4064

4 (VM)4 =(20

27

)40,3011

. . .

. . .

. . .

99 (VM)99 =(20

27

)991,25.10−13

100 (VM)100 =(20

27

)1009,26.10−14

101 (VM)101 =(20

27

)1016,85.10−14

. . .

. . .

. . .

199 (VM)199 =(20

27

)1991,15.10−26

200 (VM)200 =(20

27

)2008,57.10−27

201 (VM)201 =(20

27

)2016,35.10−27

. . .

. . .

. . .

∞ (VM)∞ =(20

27

)∞0

Tabla 4.10: Volumen de la Esponja de Menger

• Analisis de Aproximaciones




– ¿A que valor se aproxima (VM)n?

El valor de (VM)n se aproxima a 0.

61

– ¿Como se relaciona n con el valor de (VM)n ?

La relacion entre n y (VM)n es: Si n se aproxima al infinito, (VM)n se aproxima a

0





(VM)n = limn→∞

(127

)n

20n = 0


spuesta.


valores de cada iteracion que se obtienen en la tabla de valores. Para (VM)n su


Figura 4.24: Sucesion (VM)n ={( 1

27

)n 20n/n ∈ N}∞

n=1en R

4.4.4. Ejemplo 4 (resuelto), Area de la Esponja de Menger

El proceso iterativo para la construccion de la Esponja consiste en dividir y extraer volumenes

de un cubo, por tanto el desarrollo de este ejemplo amerita el siguiente analisis:

• Utilizar la medicion: el ejemplo se puede desarrollar como proyecto grupal, ya que

requerie gran cantidad de recursos, asi cuando se desea tener una iteracion n = 3 de la

Esponja se requiere la cantidad de 20n cubos.

• Utilizar el calculo: el ejemplo se puede desarrollar mediante graficas a escala de los

cubos, rotulando de manera correcta los valores de los lados.

Ademas las instrucciones entre cada una de las construcciones varıan. Este ejemplo lo de-

sarrollamos mediante la utilizacion del calculo.


Para la construccion de la Esponja de Menger se presenta las siguientes indicaciones:

62

– Calcular el area del cubo de lado igual a 1 y anotar en la tabla.

Se divide el cubo en 27 partes iguales, se retira el “ cubito” del medio en cada

cara del cubo y el central del cubo:

Figura 4.25: Construccion de la Esponja de Menger (AM)1

– Calcular el area del cubo presentado y anotar en la tabla.




63

– Calcular el area del cubo presentado y anotar en la tabla.




• Mediciones

Los calculos que se realizan son tabulados de la siguiente manera:

Para la iteracion n = 0 sabemos que la longitud de la arista del cubo es : l0 = 1,

calculamos el area del cubo (AA)0 es igual a 6:

(AM)0 = 1 ·1 ·6 = 6

Para la primera iteracion (AM)1 se dividie la arista l0 = 1 anterior para 3 y se calcula el

valor del area del cubo mas pequeno A1 = 6 ·(

l03

)2= 6 ·

(13

)2, como de los 27 cubos

se retiran 7, nos quedan 20 por lo tanto se encuentra el area de todas las caras de los

20 “ cubitos”:

(AM)1 = 6 ·(

13

)2

·20

(AM)1 = 13,33...

Para la segunda iteracion (AM)2 se dividie la arista del cubo menor l1 = 13 anterior para

3 y se calcula el valor del area del cubo mas pequeno A2 = 6 ·(

l13

)2= 6 ·

(19

)2, como

64

de los 27 cubos se retiran 7, nos quedan 20 · 20 por lo tanto se encuentra el area de

todas las caras de los 400 “ cubitos”:

(AM)2 = 20 ·20 ·6 ·(

19

)2

(AM)2 = 202 ·6 ·(

19

)2

(AM)2 = 29,629629...

Para la tercera iteracion (AM)2 se dividie la arista del cubo menor l2 = 19 anterior para

3 y se calcula el valor del area del cubo mas pequeno A3 = 6 ·(

l23

)2= 6 ·

( 127

)2, como

de los 27 cubos se retiran 7, nos quedan 20 ·20 ·20 por lo tanto se encuentra el area de

todas las caras de los 8000 “ cubitos”:

(AM)3 = 20 ·20 ·20 ·6 ·(

127

)2

(AM)3 = 203 ·6 ·(

127

)2

(AM)3 = 65,8437

Iteracion Operaciones Area

0 (AM)0 = 6 ·1· 6

1 (AM)1 = 6 ·(1

3

)2 ·20 13,33...

2 (AM)2 = 202 ·6 ·(1

9

)229,629629...

3 (AM)3 = 203 ·6 ·( 1

27

)265,8437

• Analisis de la Tendencia


– ¿Que ocurre con el valor de las areas en cada iteracion?

Se observa que el valor del area va aumentando por que en cada iteracion se va

agragando nuevas partes pequenas de area.

65

– ¿Que pasarıa con la Esponja si se continua agregando pequenas areas?

La Esponja tendrıa una area cada vez mas grande hasta llegar a un valor infinito,

por que vamos agragando nuevas partes pequenas de area de manera indefinida.


La generalizacion consite en construir una expresion que nos permita encontrara el

area de la Esponja de Menger para cualquier numero de iteraciones. realizamos las

siguientes preguntas:


Si, se observa que el denominador de la fraccion y el valor 20 van creciendo de

manera potencias.

– ¿Como se puede encontrar el valor del area de la Esponja en la iteracion 10 ?

Se puede encontrar ese valor generalizando una formula para calcular el area

de la Esponja porque al realizar los calculos de forma manual existen muchos

inconvenientes.

– En la columna medicion de la tabla se expresa el area de la Alfombra como un

resta de areas, ¿Existe otra manrea se puede expresar el area de la alfombra?

Si, se puede expresar el area de la Alfombra en forma de potencia de una fraccion.

Para la generalizacion se construye la expresion del area y una tabla con iteraciones

cada vez mas grandes, de la siguiente manera:

– Para la iteracion n = 0 el area (AM)0 es igual a 6 ya que la longitud de la arista es

la unidad entonces lo expresamos en forma del patron encontrado:

(AM)0 = (1 ·1 ·1) ·6 = 6

– Para la primera iteracion (AM)1 se encontro la expresion:

(AM)1 = 6 ·(

13

)2

·20

(AM)1 = 6 ·(

209

)1

66

– Para la segunda iteracion (AM)2 se encontro la expresion:

(AM)2 = 20 ·20 ·6 ·

((19

)2)

(AM)2 = 202 ·6 ·(

19

)2

(AM)2 = 6 ·(

209

)2

– Para la tercera iteracion (AM)3 se encontro la expresion:

(AM)3 = 20 ·20 ·20 ·6 ·

((1

27

)2)

(AM)2 = 203 ·6 ·(

19

)3

(AM)2 = 6 ·(

209

)3

Se observa que existe entre cada iteracion un patron, de manera que en la tercera

iteracion 19 y 20 esta elevado al cubo,en la segunda iteracion 1

9 y 20 esta elevado al

cuadrado y en la primera iteracion 19 y 20 esta elevado a la potencia 1, de manera que:

(AM)n = 6(

209

)n

Se construye una tabla con la expresion anterior utlizando iteraciones con valores de

n pequenos para comprobar los primeros valores de las iteraciones y valores cada vez

mas grandes para analizar el comportamiento del area:

(AM)0 = 6(

209

)0

(AM)0 = 6

De igual manera se halla (AM)1, (AM)2 y (AM)3, con lo cual se construye una tabla

4.11 de la siguiente manera:

(AM)1 = 6(

209

)1

67

(AM)1 = 13,33...

(AM)2 = 6(

209

)2

(AM)2 = 29,629629...

(AM)3 = 6(

209

)3

(AM)3 ≈ 65,8437

68

Iteracion Operaciones Area

0 (AM)0 = 6(1

9

)0200 6

1 (AM)1 = 6(1

9

)1201 13,33...

2 (AM)2 = 6(1

9

)2202 29,629629...

3 (AM)3 = 6(1

9

)3203 65,8437

4 (AM)4 = 6(1

9

)4204 146,3191

. . .

. . .

. . .

99 (AM)99 = 6(1

9

)992099 1,28.1035

100 (AM)100 = 6(1

9

)10020100 2,86.1035

101 (AM)101 = 6(1

9

)10120101 6,36.1035

. . .

. . .

. . .

219 (AM)219 = 6(1

9

)21920219 5,30.1076

220 (AM)220 = 6(1

9

)22020220 1,17.1077

221 (AM)221 = 6(1

9

)22120221 2,61.1077

. . .

. . .

. . .

n (AM)n = limn→∞

6(1

9

)n20n ∞

Tabla 4.11: Area de la Esponja de Menger





– ¿A que valor se aproxima (AM)n?

El valor de (AA)n se aproxima al infinito.

69

– ¿Como se relaciona n con el valor de (AM)n ?

La relacion entre n y (AM)n es: Si n se aproxima al infinito, (AM)n se aproxima

al infinito





(AM)n = limn→∞

6(

209

)n

= ∞ (32)


spuesta.

Una sucesıon se la puede representar graficamente en R o R2, senalando los val-

ores de cada iteracion que se obtienen en la tabla de valores. Para (AM)n su


Figura 4.28: Sucesion (AM)n ={( 20

9

)n/n ∈ N

}∞

n=1en R

4.5. Solucionario

4.5.1. Ejemplo 2 (Resuelto), Perımetro de la Alfombra de Sierpinsky



ciones:

– Medir la longitud de nuestro cuadrado, calcular su perımetro y anotar en la tabla.


– Medir la longitud del cuadrado que se retirar, calcular el perımetro total y anotar

en la tabla.




70




Observacion: mientras mas grande sea el cuadrado inicial se podra desarrollar mas

iteraciones, es recomendable que la longitud del lado del cuadrado sea una potencia

de 10 para facilitar su generalizacion, la presente toma como ejemplo un cudrado de

medida de lado igual a la unidad, sin embargo si se utiliza otra medida de longitud del

lado basta con multiplicar el valor del lado del cuadrado inicial a cada iteracion para

obtener su convercion.

• Mediciones


figuras anteriores de la siguiente forma: Para la iteracion n= 0 medimos la longitud del

lado del cuadrado: l0 = 1, calculamos el perımetro de este cuadrado (PA)0 = 4 ·1 = 4




P1 = 4 · 13 = 4

3 entonces el area total es (PA)1 = (PA)0 +43 = 5,33... y tabulamos en la

tabla

71

Figura 4.29: Primera iteracion (PA)1



P2 = 4 · 19 = 4

9 entonces el area total es (PA)2 = (PA)1 +8 · 43 = 8,88... y tabulamos en

la tabla

Figura 4.30: Segunda iteracion (PA)2



72

P3 = 4 · 127 = 4

27 entonces el area total es (PA)3 = (PA)2 +8 ·8 · 427 = 18,370... y tabu-

lamos en la tabla

Figura 4.31: Tercera iteracion (PA)3

Iteracion Mediciones Perımetro

0 (PA)0 = 4 ·1 4

1 (PA)1 = (PA)0 +43 5,33...

2 (PA)2 = (PA)1 +8 · 49 8,88...

3 (PA)3 = (PA)2 +8 ·8 · 427 18,370...


• Analisis de la Tendencia


– ¿Que ocurre con el valor de la perımetro en cada iteracion?

Se observa que el valor del perımetro va aumentando por que en cada iteracion

se va sumando perımetro.

– ¿Que pasarıa con la alfombra si se continua aumentando pequenos perımetros?

La alfombra tendrıa una area cada vez mas grande hasta llegar al infinito, por que

vamos sumando perımetros de manera indefinida.

73



perımetro de la Alfombra de Sierpinsky para cualquier numero de iteraciones. Real-

izamos las siguientes preguntas:


Si, se observa que el denominador de la fraccion y el valor 8 van creciendo como

potencias de ellos.

– ¿Como se puede encontrar el valor del perımetro de la Alfombra en la iteracion

11 ?

Se puede encontrar ese valor generalizando una formula para calcular el perımetro

de la Alfombra, porque al realizarlo de forma manual existen muchos inconve-

nientes, como que el tamano de la Alfombra deberıa ser sumamentegrande.

– ¿Se puede encontrar una expresion permita encontrar el valor del perımetro para

cualquier iteracion?

Si, Se puede encontrar una expresion permita encontrar el valor del perımetro

para cualquier iteracion.

Para la generalizacion se construye la expresion del perımetro desarrollando los sigu-

iente pasos:

– Para la iteracion n = 0 el perımetro (PA)0 es igual a 4 ya que la longitud del lado

es la unidad

(PA)0 = 4

– Para la primera iteracion el perımetro (PA)1 como se observa en la Fig. 4.29 cada

mınima seccion tiene un lado igual a l1 = 13 , entonces al perımetro anterior (PA)0

se suma el perımetro del cuadrado del centro que es igual a 4 ·(1

3

), se obtiene:

(PA)1 = (AA)0 +4 ·(

13

)

(PA)1 = 4+4 ·(

13

)

74

– Para la segunda iteracion (PA)2 como se muestra en la Fig. 4.30 cada mınima

seccion tiene un lado igual a l2 = 19 , entonces al perımetro anterior (PA)1 se suma

el perımetro de las 8 secciones mınimas, se obtiene:

(PA)2 = (PA)1 +8 ·(

4 ·(

19

))

(PA)2 = 4+(

4 ·(

13

))+8 ·

(4 ·(

19

))

(PA)2 = 4+(

4 ·(

13

))+8 ·

(4 ·(

13

)2)

(PA)2 = 4+4 ·

(80 ·(

13

)1

+81 ·(

13

)2)

– Para la tercera iteracion (PA)3 como se muestra en la Fig. 4.31 cada mınima

seccion tiene un lado igual a l3 = 127 , entonces al perımetro anterior (PA)2 se

suma el nuevo perımetro de las secciones mınimas, se obtiene:

(PA)3 = (PA)2 +8 ·(

8 ·(

4 · 127

))

(PA)3 = 4+(

4 ·(

13

))+8 ·

(4 ·(

13

)2)+8 ·

(8 ·(

4 · 127

))

(PA)3 = 4+(

4 ·(

13

))+8 ·

(4 ·(

13

)2)+

(82 ·

(4 ·(

13

)3))

(PA)3 = 4+4 ·

(80 ·(

13

)1

+81 ·(

13

)2

+82 ·(

13

)3)

Se advierte en las tres primeras iteraciones que siempre se tiene un valor inicial de

cuatro mas cuatro veces nuestra parte variable, por tanto el perımetro se expresa de la

siguiente manera:

(PA)n = 4+4 ·∞

∑n=1

8n−1(

13

)n

(PA)n = 4+4 ·∞

∑n=1

8n

8

(13

)n

(PA)n = 4+48·

∞

∑n=1

8n(

13

)n

75

(PA)n = 4+12·

∞

∑n=1

(83

)n

(PA)n = 4+12·

n

∑i=1

(83

)n

Para la resolucion de esta sumatoria, se recuerda los temas de serie geometrica y suma-

toria del termino n-esimo, por lo que se procede de la siguiente manera:

∞

∑n=1

(83

)n

n

∑i=0

(83

)n+1

Esta sumatoria es una serie geometrica, por tener la forma ∑∞n=0 a · rn por lo que:∣∣∣∣83

∣∣∣∣> 1

Se obtiene la suma del termino n-esimo

Sn = a1 ·rn−1r−1

Siendo a1 = 1, r = 83 entonces:

Sn =83·(8

3

)n−183 −1

Sn =83·(8

3

)n−18−3

3

Sn =83· 3

5

[(83

)n

−1]

Sn =85·[(

83

)n

−1]

Reemplazando este resultado en la expresion anterior se obtiene:

(PA)n = 4+12· 8

5·[(

83

)n

−1]

(PA)n = 4+45·[(

83

)n

−1]

(PA)n = 4+45·(

83

)n

− 45

76

(PA)n =20−4

5+

4 ·(8

3

)n

5

(PA)n =165+

4 ·(8

3

)n

5

(PA)n =45·[

4+(

83

)n]Entonces la expresion que se utiliza para encotrar el cualquier valor del area de la

Alfombra es:

(PA)n =45·[

4+(

83

)n]A partir de esta expresion se construye una tabla 4.7 utlizando iteraciones con valores


vez mas grandes para analizar el comportamiento del perımetro:

(PA)0 =45

(4+

80

30

)

(PA)0 = 4

De igual forma se obtiene (PA)1 y (PA)2

(PA)1 =45

(4+

81

31

)

(PA)1 =45

(203

)

(PA)1 =163≈ 5,33

(PA)2 =45

(4+

82

32

)

(PA)2 =45

(100

9

)

(PA)2 =809≈ 8,89


77

Iteracion Operaciones Perımetro

0 (PA)0 =45

(4+ 80

30

)4

1 (PA)1 =45

(4+ 81

31

)5,33...

2 (PA)2 =45

(4+ 82

32

)8,88...

3 (PA)3 =45

(4+ 83

33

)18,370...

4 (PA)4 =45

(4+ 84

34

)43,654

. . .

. . .

. . .

100 (PA)100 =45

(4+ 8100

3100

)3,162.1042

. . .

. . .

. . .

339 (PA)339 =45

(4+ 8339

3339

)2,03.10144

340 (PA)340 =45

(4+ 8340

3340

)5,40.10144

341 (PA)341 =45

(4+ 8341

3341

)1,44.10145

. . .

. . .

. . .

∞ (PA)∞= 4

5

(4+ 8∞

3∞

)∞






– ¿A que valor se aproxima (PA)n?

El valor de (PA)n se aproxima al infinito.

– ¿Como se relaciona n con el valor de (PA)n ?

78

La relacion entre n y (PA)n es: Si n crece (PA)n tambien crece entonces ambos se

aproximan al infinito.





(PA)n = limn→∞

45

(4+

8n

3n

)= ∞


spuesta.


valores de cada iteracion que se obtienen en la tabla de valores. Para (PA)n su


Figura 4.32: Sucesion (PA)n ={

45 ·(

4+( 8

3

)n)/n ∈ N

}∞

n=1

79

CAPITULO 5

5. Conclusiones

Se analizo el tratamiento curricular que se da al lımite de una funcion (sucesion), mediante la

observacion del desarrollo de contenidos que se presentan en los anos de primero, segundo

y tercero del BGU, donde se dilucido que existen contenidos que se desarrollan sin la pres-

encia de las nociones basicas para su ensenanza, la presencia de similitudes de contenidos

entre los diferentes anos del BGU y el desarrollo de ejercicios no correspondientes con al ano

presentado, evidencio la falta de secuencialidad y pertinencia en el proceso de ensenanza y

aprendizaje del lımite. Ademas se examino las destrezas con criterio de desempeno presen-

tadas en el los libros del MinEduc tomando en cuenta las tematicas previamente analizadas

y se observo que existe dos destrezas con criterio de desempeno que puntualizan al lımite de

una sucesion y una de ellas se encuentra en una unidad tematica no correspondiente. Igual-

mente se indago en los criterios de evaluacion con sus respectivos indicadores y se concluye

que el tratamiendo del lımite tiene un caracter estrictamente algebraico.

Se desarrollo de manera breve una cronologıa sobre la concepcion del lımite, ubicando la

propuesta en principios del siglo XV II para la definion propuesta por Cauchy como la co-

cepcion dinamica de lımite el cual permitio el analisis sobre aproximaciones ademas se in-

trodujo la definicion secuencial propuesta por Blazquez y Ortega a manera de complemento.

El diseno de la propuesta abordo las cuatro formas de representacion del lımite: verbal,

numerico, grafico y algebraico, partiendo desde la construccion de un fractal introduciendo

la idea de procesos iterativos al infinito hasta el analisis de su aproximacion en una tabla

de mediciones y operaciones y su grafica, de manera que existe un proceso logico para la

construccion del conocimiento.

Se ejecuto 4 ejemplos ordenandos por su nivel de complejidad en la construccion del ob-

jeto fractal, se tomo en cuenta ademas la debida secuencialidad que desarrolla cada ejemplo

en el proceso de ensenanza aprendizaje de lımite de una sucesion.

80

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[19] Stewart, J. (2012). Calculo de una variable Trascendentes tempranas. Brooks/Cole.

82

A. Anexos

A.1. Certificado de revision de redaccion y ortografıa

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