UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Teoría de juegos:Juegos dinámicos con información

incompleta

Rafael Salas mayo de 2004

Juegos dinámicos con información incompleta

Hemos visto juegos estáticos con información completa.

Vamos a continuar analizando juegos dinámicos con información incompleta. Aparece una complejidad añadida. Tenemos que incorporar la racionalidad secuencial (o la exclusión de amenazas no creíbles en los juegos bayesianos).

Selten (1975) propone una solución de tales juegos mediante el equilibrio bayesiano perfecto EBP: para ello tenemos que hacer unos supuestos bajo los cuales los jugadores establezcan creencias sobre por qué nodo va a pasar el juego y que luego esas creencias, y las mejores respuestas de acuerdo a ellas, sean consistentes. Este concepto de equilibrio lo utilizaremos para resolver juegos de señalización.

Juegos dinámicos con información incompleta

EL EBP refina el concepto de ENB con esa idea de racionalidad secuencial. No obstante, no refina el concepto de ENPS. Para conseguirlo Fundenberg y Tirole (1991) proponen un refinamiento aún mayor, el equilibrio bayesiano perfecto en subjuegos EBPS, que refina todos los conceptos anteriores:

ENPSEBPS EN EBP ENB

Juegos dinámicos con información incompleta

En el EBPS los jugadores establecen creencias y restricciones sobre todos los C.I. por los que puede pasar el juego. El EBN sólo impone restricciones sobre los C.I. (y sus nodos) en la trayectoria de equilibrio.

El EBPS es algo más restrictivo que el EBP, pues impone restricciones sobre todas las posibles trayectorias y no sólo sobre los nodos sobre los que pasa la trayectoria de equilibrio.

Juegos dinámicos con información incompleta

Esquema:

A. EBP Selten (1975)B. EBPS Fundenberg y Tirole (1991)

C. Juego de señalización

Existen otros refinamientos adicionales como el equilibrio secuencial ES (Kreps y Wilson 1982) que no veremos...

Equilibrio bayesiano perfecto:

Un conjunto de estrategias que:

(1) Son mejores respuestas dadas unas creencias o conjeturas en cada nodo dentro de cada conjunto de información. Para ello se supone que los individuos establecen creencias sobre todos los nodos de cada C.I.

(2) Además las creencias tienen que ser consistentes con las estrategias óptimas, ex post, de acuerdo con la regla de Bayes.

Ejemplo:

1

2

3 3

(2,0,0)

L A

I D

I’ I’D’ D’

(1,2,1) (3,3,3) (0,1,2) (0,1,1)

Ejemplo: Existen 4 equilibrios de Nash

1

2

3 3

(2,0,0)

L A

I D

I’ I’D’ D’

(1,2,1) (3,3,3) (0,1,2) (0,1,1)

L A

2

00

1

21

2

00

2

00

3

33

0

12

2

00

0

11

I I’

I D’

D I’

D D’

Comprueba que sólo existe un ENPS

¿y EBP?

1

2

3 3

(2,0,0)

L A

I D

I’ I’D’ D’

(1,2,1) (3,3,3) (0,1,2) (0,1,1)

Establecemos creencias ((x), (y)) sobre los dos nodos (x, y) del único C.I. con más de un nodo del juego:

yx

(y)(x)

Equilibrio bayesiano perfecto:

Un conjunto de estrategias condicionadas a cada C.I. y un sistema de creencias sobre cada nodo de todo C.I. tales que:

(1) Las estrategias son óptimas (mejores respuestas) en cada C.I. dada el sistema de creencias:

xH Ui(si*, s-i

*) (x) xH Ui(si, s-i*) (x)

para todo i , siSi xH y H (C.I.)

(2) Además las creencias tienen que ser consistentes con las estrategias de equilibrio: (x)= (xs*) / (Hs*)

“La probabilidad condicionada de alcanzar x si se alcanza H”.Impone sólo restricciones en los C.I en las trayectorias de equilibrio, donde (Hs*)>0

EBP:

La trayectoria de equilibrio pasa por x o por y:Si pasa por x, la consistencia impone (x)=1 en cuyo caso tenemos un EBP: (A,I, D’; (x)=1, (y)=0)

1

2

3 3

(2,0,0)

L A

I D

I’ I’D’ D’

(1,2,1) (3,3,3) (0,1,2) (0,1,1)

yx

(y)=0(x)=1

EBP:

Como el EBP no impone restricciones sobre los C.I. fuera de la trayectoria de equilibrio, existe otro EBP en este caso:Si (y)=1, tenemos otro EBP: (L,I, I’; (x)=0, (y)=1)

1

2

3 3

(2,0,0)

L A

I D

I’ I’D’ D’

(1,2,1) (3,3,3) (0,1,2) (0,1,1)

yx

(y)=1(x)=0

Refinamientos

1. Comprueba cómo EBP EN2. Comprueba cómo EBN no implica ENPS

3. El EBPS, que si impone restricciones sobre las creencias fuera de las trayectorias de equilibrio, refina el concepto de ENPS (y obviamente el de EBP).

El EBPS es un EBP en todo los subjuegos, con lo cual las creencias tienen que ser consistentes con la regla de Bayes en todos los subjuegos (fuera o en la trayectoria de equilibrio).

Práctica

Calcula los EN, EBP y ENPS de:

.

1

2 2

(0,3,1)

C e

E

L LA A

(-1,-1,0) (2,1,2) (-1,-1,0) (1,1,0)

yx

3

F

Juegos de señalización

Siguiente juego dinámico con información incompleta:

2 jugadores: uno con información privada y el otro, no.2 etapas: Primero mueve el jugador 1 “informado”, que envía una señal y después recibe la respuesta del otro. La acción del jugador 1 es una señal para el jugador 2, que puede creérsela o no. Se trata de encontrar el EBP.

Existen dos tipos de soluciones:

Equilibrio separador: si la señal revela el tipo de jugador 1Equilibrio agrupador: si la señal no lo revela

Formalización:

El jugador 1 es de dos tipos (generalizable a N): T1={t1,t2} con unas probabilidades (t1) y (t2)

El jugador 1 posee un conjunto de acciones (o señales). Suponemos que son 2:A={a1,a2}

El jugador 2 posee un conjunto de acciones (o respuestas). Suponemos que son 2:B={b1,b2}

Aunque se pueden genaralizar a más acciones.

Formalización:

Estrategias puras: Como en cualquier juego es un plan de acciones completo (una acción para cada conjunto de información).

Para verlas representamos el juego en forma extensiva...

Forma extensiva:

(2,1)

N

(t1)=1/2

(t2)=1/2

1

t2

t1

1

2

2

2

2

a1

a1

a2

a2

b2

b2

b1

b1

b2

b2

b1

b1

(0,0)

(1,3)

(4,0)

(2,1)

(1,3)

(2,4)

(0,1)

Estrategias puras:

Jugador 1: posee 2 C.I. uninodales, tantos como tipos de jugador que es (información completa) y 4 estartegias puras:

a1(t1), a1(t2)

a1(t1), a2(t2)

a2(t1), a1(t2)

a2(t1), a2(t2)

Jugador 2: posee 2 C.I., tantos como señales del 1, con dos nodos cada uno que definan 4 estartegias puras:

b1(a1), b1(a2)

b1(a1), b2(a2)

b2(a1), a1(a2)

b2(a1), b2(a2)

Creencias:

El jugador 2 establece las siguientes creencias:

p = (t1a2); 1- p = (t2a2); q = (t1a1); 1- q = (t2a1)

(2,1)

N

(t1)=1/2

(t2)=1/2

1

t2

t1

1

2

2

2

2

a1

a1

a2

a2

b2

b2

b1

b1

b2

b2

b1

b1

(0,0)

(1,3)

(4,0)

(2,1)

(1,2)

(2,4)

(0,1)

p

1-p

q

1-q

Juegos de señalización

Hay que encontrar el EBP del juego:

a*(tj), b*(ai), (tjai) t1,t2T y a1,a2A tales que:

El jugador 1 maximiza su utilidad:U1(a*(tj), b*(ai), tj) U1(a(tj), b*(ai), tj), t1,t2T

El jugador 2 maximiza su utilidad esperada, después de observar la señal de 1 y dadas sus creencias:

U2(a*(t1), b*(ai), t1) (t1ai) + U2(a*(t1), b*(ai), t2) (t2ai)+

U2(a*(t1), b(ai), t1) (t1ai) + U2(a*(t1), b(ai), t2) (t2ai)

a1,a2A

Juegos de señalización

Veámoslo con el ejemplo. Antes veamos que hay dos equilibrios posibles:

Equilibrios separador: cuando el jugador 1 envía distintos mensajes para cada tipo, con lo cual se revela su tipo. Son:

a1(t1), a2(t2) y a2(t1), a1(t2)

Equilibrios agrupador: cuando el jugador 1 no envía el mismo mensaje para cada tipo, con lo cual no se revela su tipo. Son:

a1(t1), a1(t2) y a2(t1), a2(t2)

Juegos de señalización

Equilibrios agrupadores (pooling eq.) posibles:

a1(t1), a1(t2) q=1/2; p(0,) puede ser cualquiera pues está fuera de la trayectoria de equilibrio

M.R. Jug 2: b2(a1) si q=1/2

b1(a2), p

M.R. Jug 1 a ello: a2(t1), a2(t2) No es EBP (no hay compatibilidad)

Juegos de señalización

Equilibrio agrupador:

a2(t1), a2(t2) p=1/2; q(0,) puede ser cualquiera pues está fuera de la trayectoria de equilibrio

M.R. Jug 2: b1(a1) si q 2/3; b2(a1) si q 2/3

b1(a2), p

M.R. Jug 1 a ello: a1(t1), a2(t2) si q 2/3; a2(t1), a2(t2) si q 2/3

Encontramos el siguiente EBP si q 2/3:

{a2(t1), a2(t2); b2(a1), b1(a2); p=1/2; q 2/3}

Juegos de señalización

Equilibrios separadores (separating eq.) posibles:

a1(t1), a2(t2) q=1; p=0

M.R. Jug 2: b1(a1) si q=1

b1(a2), si p=0

M.R. Jug 1 a ello: a1(t1), a2(t2) EBP

Formalmente:

{a1(t1), a2(t2); b1(a1), b1(a2); p=0; q =1}

Juegos de señalización

Equilibrio separador:

a2(t1), a1(t2) q=0; p=1

M.R. Jug 2: b2(a1) si q=0

b1(a2), si p=1

M.R. Jug 1 a ello: a2(t1), a2(t2) No es EBP(no hay compatibilidad)

Hay dos EBP en total uno separador y otro agrupador.

Práctica

(1) Un empresario pide un crédito a un banco, para financiar un proyecto de inversión. Existen empresarios con proyectos con rendimientos altos A y bajos B con p(A)=1/4 y p(B)=3/4. Los proyectos con rendimientos B se aceptan por parte del banco, con bajos costes administrativos. Los otros pueden rechazarse con mayores costes administrativos:

.

(-1,-1)

N

(A)=1/4

(B)=3/4

1

B

A

1

2

2

2

2

aA

aA

aB

aB

a

a

r

r

a

a

(0,0)(1,1)

(2,2)

(0,0)(1,1)

Práctica (2) :

El jugador 1 es de dos tipos{t1 = blando, t2 = duro} con unas probabilidades (blando) = (duro) = 1/2

(1,-1)

N

(t1)=1/2

(t2)=1/2

1

t2

t1

1

2

2

2

2

whisky

whisky

leche

leche

ND

ND

D

D

ND

ND

D

D

(2,0)

(1,1)

(3,0)

(0,1)

(3,0)

(0,-1)

(2,0)

p

1-p

q

1-q

Práctica

(3) Modelo de Spence (1973):

Una empresa demanda trabajo de dos tipos con diferente productividad (A , B). El tipo de trabajador es información exclusiva de los trabajadores. La probabilidad de que un trabajador sea de un tipo u otro es de conocimiento común. También es de dominio público que que el trabajador con A tiene ventajas comparativas en adquirir un nivel de educación e (0,). Los costes de adquirir educación son ci(e)=cie, i=A,B, cA< cB

Los trabajadores ofrecen un contrato (w,e), que la empresa acepta o rechaza, según sean sus beneficios positivos o negativos. La función de producción de la empresa es Yi= i i=A,B, A > B

.

Esquema:

(w-cBe, B-w)

N

(A)= q

(B)=1-q

1

B

A

1

2

2

(w,e)

(w,e)

r

r

a

a

(0,0)

(w-cAe, A-w)

(0,0)

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Rafael Salas mayo de 2004