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UNIVERSIDAD DE CAMAGÜEY - CUBA UNIVERSIDAD APEC - REP. DOMINICANA DIRECCIÓN POST - GRADO Y MAESTRÍA METODOLÓGIA ALTERNATIVA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNAPEC TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MASTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Autor: Prof. Francesco Semerari Tutor: Dra. Maria Lourdes Rodríguez González Junio del 2005 Santo Domingo, República Dominicana
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UNIVERSIDAD DE CAMAGÜEY - CUBA UNIVERSIDAD APEC - REP. DOMINICANA DIRECCIÓN POST - GRADO Y MAESTRÍA
METODOLÓGIA ALTERNATIVA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNAPEC
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO
DE MASTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Autor: Prof. Francesco Semerari
Tutor: Dra. Maria Lourdes Rodríguez González
Junio del 2005
Santo Domingo, República Dominicana
UNIVERSIDAD DE CAMAGÜEY - CUBA UNIVERSIDAD APEC - REP. DOMINICANA DIRECCIÓN POST - GRADO Y MAESTRÍA
METODOLÓGIA ALTERNATIVA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNAPEC
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO
DE MÁSTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Autor: Prof. Francesco Semerari
Tutor: Dra. Maria Lourdes Rodríguez González
Junio del 2005
Santo, Domingo, República Dominicana
“Cuando las leyes de la Matemática
Se refieren a la realidad no son ciertas
Y, cuando son ciertas, no se refieren a la realidad”
Albert Einstein
A mis hijos Diego y David,
Que busquen y persigan
Una lógica afirmativa
De la especie humana.
A mi querida esposa Kirsy,
Por todo el tiempo
Que no pude dedicarle,
Durante el trabajo de esta investigación.
RESUMEN
La presente tesis presenta una Metodología Alternativa en el proceso
de modelación matemática, para permitir resolver en UNAPEC la
contradicción entre el Calculo Diferencial de funciones reales de una
variable y su aplicación práctica. Es decir una metodología para la
enseñanza aprendizaje del Cálculo Diferencial que soluciona la
contradicción entre la complejidad de las temáticas del Cálculo
Diferencial y la necesidad de que los estudiantes las utilicen como
eficaz herramienta de trabajo en sus carreras y ayuda a preparar para
el mejor desempeño profesional, facilitando que los estudiantes sean
sujetos activos del proceso docente educativo.
Los resultados científicos de la tesis se encuentran en una
Metodología Alternativa del proceso de Modelación Matemática
centrada en la unidad teoría – práctica.
La metodología propuesta pretende lograr un acercamiento entre el
objeto de estudio del Cálculo diferencial y el objeto de trabajo del
profesional que se pretende formar, estimula la motivación constante
de los alumnos y favorece la formulación de problemas docentes
contextualizados.
ÍNDICE
Pág.
INTRODUCIÓN 1
CAPÍTULO I. EL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. 9
1.1. Caracterización pedagógico - contextual del proceso de enseñanza – aprendizaje del Cálculo diferencial de funciones reales de una variable. 10
1.1.1. Paradigmas pedagógicos. 10 1.1.2. Marco contextual. 15
1.2. El proceso de modelación matemática 17 1.3. La metodología de enseñanza aprendizaje del Cálculo Diderencial en Unapec 22 1.4. Deficiencia en el proceso de modelación adecuado a la resolución de problemas reales de los estudiantes de Cálculo Diferencial en Unapec. Diagñóstico. 26 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 31
CAPÍTULO II. PLANTEAMIENTO DE UNA METODOLÓGICA ALTERNATIVA 32 2.1. Modelación. 33
2.1.1. Modelación matemática 33
2.1.2. Modelación matemática como Método de enseñanza 40
2.2. Una Metodológica Alternativa. 44
CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 61
CAPÍTULO III. APLICACIÓN Y COMPROBACIÓN DE LA METODOLÓGIA ALTERNATIVA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 62 3.1. Aplicación experimental a los estudiantes 63 3.2. Corroboración y evaluación de la propuesta. 66 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 70
CONCLUSIONES GENERALES. 71
RECOMENDACIONES 72
BIBLIOGRAFÍAS Y REFERENCIAS 73
ANEXOS 83
1
INTRODUCIÓN.
La complejidad del proceso educativo, con sus numerosos
interrogantes, es una preocupación de la comunidad educativa del
ámbito internacional. En los estudiantes hay que establecer una
relación de confianza gratificante, comprensiva y exigente; sin perder
el trato correcto a los alumnos, con ecuanimidad y sin mostrar
preferencia por ninguno de ellos. Es importante que la labor del
maestro sea de aportar los elementos necesarios para que el alumno
conozca y reconozca críticamente su propia identidad, respetando a la
de los demás.
Para desarrollar el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática
y que tenga éxito, se debe lograr la confianza del estudiante, pues la
Matemática es una ciencia en la que el método predomina sobre los
contenidos, aunque muchos profesores actúan concentrando la
atención sobre más y más contenidos, que en la forma más vulgar y
reducida se traduce en más y más fórmulas y habilidades en sus
aplicaciones.
En un mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante “vale
mucho más una acumulación de procesos de pensamientos útiles que
de contenidos que rápidamente se convierten “ideas inertes”, que no
son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones
dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente”.
(Whitehead, 1970). La naturaleza del problema determina el objetivo
del pensamiento, o sea, lo orienta y lo regula. Es, pues, un momento
decisivo de lo que hoy se denomina “meta cognición, proceso cognitivo
que tiene grandes afinidades con el tipo de pensamiento que Dewey
destacaba, el pensamiento reflexivo” (Brown, 1987; Flavell, 1987;
Valente, 1987).
2
En esta dirección se trata de hacer el esfuerzo de transmitir
estrategias adecuadas para la resolución de problemas en general, por
estimular la resolución autónoma, independiente, de verdaderos
problemas, más bien que la mera transmisión de recetas matemáticas
adecuadas en cada situación. Se ha constatado que la enseñanza a
través de la resolución de problemas es el método para poner en
práctica el principio general de aprendizaje activo, es decir un
aprendizaje que active continuamente, y sistemáticamente las
relaciones entre lo conocido y los nuevos conocimientos.
La Educación Superior debe lograr en el estudiante la capacidad de
"aprender", es decir, la tarea de la Universidad no consiste solamente
en dar una gran cantidad de conocimientos sino en enseñar al alumno
a pensar, a orientarse independientemente, para lo cual es necesario
organizar una enseñanza que impulse el desarrollo de esta capacidad:
que el estudiante de sujeto pasivo se convierta en el centro del
proceso de aprendizaje. Si se asimilan solo fórmulas, habilidades y
técnicas de Cálculo, sin comprender los conceptos básicos y el campo
de sus aplicaciones práctica, difícilmente el estudiante será capaz de
resolver, de manera autónoma e independiente, las situaciones y
problemáticas, que se le presente ligeramente diferente de los
ejemplos detallados (recetas) estudiados, corriendo el riesgo de
fracasar, totalmente o parcialmente, al momento de examinarse.
Se ha observado a escala internacional que hay varias “dificultades
en el aprendizaje del cálculo, sea en relación con los aspectos básicos
en la adquisición de los conceptos fundamentales y en relación con el
desarrollo del cálculo, como actividad práctica independiente. En
particular se han observado dificultades de aprendizaje en la
resolución de problemas” (Campo, 2002).
Aunque cuando las dificultades sean menos evidentes, de todas
formas, se ha podido constatar que existen problemas con el
3
rendimiento de los estudiantes en el aprendizaje de la Matemática en
general y del Cálculo Diferencial en particular, denotándose el poco
éxito en lograr una verdadera comprensión por parte de los
estudiantes de los principios fundamentales del cálculo. La
investigadora francesa Michelle Artigue escribe: “Es evidente que la
enseñanza de los principios fundamentales del cálculo es problemática.
Numerosas investigaciones realizadas muestran, con convergencias
sorprendentes, que si bien se puede enseñar a los estudiantes de
forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y
primitivas y a resolver algunos problemas estándar, se encuentran en
grandes dificultades para hacerlos entrar en verdad en el campo del
cálculo y para hacerlos alcanzar una comprensión satisfactoria de los
conceptos y métodos de pensamiento que son el centro de este campo
de la Matemática. Estos estudios muestran también de manera clara
que, frente a las dificultades encontradas, la enseñanza tradicional y
en particular la enseñanza universitaria, aun si tiene otras ambiciones,
tiende a centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo
y a evaluar en esencia las competencias adquiridas en este dominio.
Este fenómeno se convierte en un círculo vicioso: para obtener niveles
aceptables de éxito, se evalúa aquello que los estudiantes pueden
hacer mejor, y esto es, a su vez, considerado por los estudiantes como
lo esencial ya que es lo que se evalúa." (Artigue, 1995).
En la Universidad UNAPEC la asignatura del Cálculo Diferencial es una
reformulación de la matemática elemental fundamentada,
básicamente, en el proceso de límite. Comprende el estudio del límite,
introducción a la derivada y sus aplicaciones, nociones de integral
indefinida y definida. Cada uno de estos conceptos están vinculados a
los problemas de variación lineal en administración y mercadeo, ritmo
de crecimiento económico, maximización de beneficios y minimización
de coste de producción. Así como en la determinación de exceso de
4
consumo y exceso de producción en las curva de ofertas y demandas,
entre otras aplicaciones. Por esto la Asignatura de Cálculo Diferencial
en UNAPEC tiene una particular importancia.
El Cálculo diferencial, además, desde el punto de vista formativo,
prioriza en los estudiantes, el reforzamiento de los procesos
intelectuales, tales como: análisis, razonamiento, etc. herramientas
indispensables para un desenvolvimiento eficiente en el ejercicio de su
futura profesión. Dada la importancia que tiene la asignatura como
base para sus aplicaciones en las carreras de Administración,
Mercadeo e Ingeniería, y considerando su complejidad se considera la
necesidad de buscar variantes, estrategias didácticas o metodologías,
que puedan favorecer la participación activa del estudiante como
sujeto dentro de un proceso de enseñanza aprendizaje más eficaz,
con más aceptación de la asignatura.
En el trabajo de docente de la Asignatura del Cálculo Diferencial en la
Universidad UNAPEC de Santo Domingo, República Dominicana, se ha
observado sobre todo que es deficiente el proceso de modelación
matemática adecuado a la resolución de problemas reales, que tienen
la mayoría de los estudiantes.
Lo que resulta más preocupante, resultado del diagnóstico, y que
indica la situacíón problémica, es que: en la Asignatura de Cálculo
Diferencial en la Universidad APEC, la capacidad para identificar,
formular y resolver problemas se desarrolla poco, o nada, con poca o
ninguna capacidad para generar nuevas ideas (creatividad), con poco
desarrollo del pensamiento crítico, y poca o ninguna habilidad para
trabajar en forma autónoma.
Se trata de resolver el problema científico que está a la base de esta
situación problémica: "La contradicción entre contenidos teóricos y sus
aplicaciones prácticas en el proceso de modelación matemática en la
5
enseñanza aprendizaje del Cálculo Diferencial de funciones reales de
una variable real".
Da allí el objeto de la presente investigación en el proceso de
Enseñanza – Aprendizaje en la Asignatura de Cálculo Diferencial en
Unapec.
Con esta investigación el autor se propone perseguir en la enseñanza
aprendizaje de Cálculo Diferencial, en las condiciones de la Universidad
APEC, el objetivo de establecer una Metodología Alternativa, centrada
en el proceso de modelación matemático, que favorezca la
participación activa y la autonomía de los estudiantes.
Se precisa que “Metodología es la ciencia del Método”, el cual “es el
modo de decir o hacer con orden una cosa”, “el modo de obrar o
proceder… que cada uno tiene u observa”. (Diccionario de la Lengua
Española de la Real Academia Española, Madrid, 1992) Por otro lado,
Alternativo/a. Adj.: que ofrece una opción diferente. Así se refiere el
diccionario de la Real Academia al término "alternativo".
Se delimitará el campo de acción de la presente investigación en el
proceso de modelación, en la Asignatura de Cálculo Diferencial
UNAPEC.
Resolver este problema representa para el autor no solo la justificación
de la presente investigación, si no un reto de superación en este
complejo e interesante compromiso que tiene con los estudiantes y
con la institución de UNAPEC.
En definitiva se considera valida la Hipótesis que una Metodología
Alternativa, que esté sustentada en la unidad de la teoría y la práctica
en el proceso de modelación, logra un acercamiento entre el objeto de
estudio del Cálculo diferencial y el objeto de trabajo del profesional
que se pretende formar, y permite resolver la contradicción esencial
entre el Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable y su
aplicación práctica.
6
Es decir una metodología para la enseñanza aprendizaje del Cálculo
Diferencial que soluciona la contradicción entre la complejidad de las
temáticas del Cálculo diferencial y la necesidad de que los estudiantes
las utilicen como eficaz herramienta de trabajo en sus carreras y
desempeños profesionales, puede favorecer la participación activa de
dichos estudiantes, como sujetos activos del proceso docente
educativo.
Se utilizarán los aportes pedagógicos y didácticos que vienen del
paradigma histórico-cultural, fundamentalmente teniendo presente
que: Aprender, en la concepción vigotskiana, es hacerse autónomo
e independiente, es necesitar, cada vez menos, del apoyo y ayuda de
los adultos o de los pares con mayor experiencia. La evaluación de
logros en el aprendizaje se valora a partir de la mayor o menor
necesidad que tenga el aprendiz de los otros para aprender.
(Vigotsky, 1989).
Métodos de investigación utilizados
Además que los razonamientos inductivos – deductivos y los de
análisis – síntesis, se utilizó:
La modelación para configurar una Metodología Alternativa
para el proceso enseñanza aprendizaje del Cálculo Diferencial y
dar solución al problema planteado en esta investigación.
El método científico, sobre la base de la investigación empírica
moderna (Dewey, 1910): observación directa de los hechos,
buscando racionalmente las evidencias que sustentan la
hipótesis. Se utilizó la encuesta, la observación personal, el
análisis documental y el experimento pedagógico.
7
el método histórico-lógico, para de un lado analizar la
evolución del objeto de estudio, y por el otro para diagnosticar
las regularidades del proceso enseñanza aprendizaje del Cálculo
diferencial de funciones reales de una variable.
Para el procesamiento estadístico se utilizó el Microsoft Excel.
Las tareas de esta investigación:
1. Caracterización del objeto de estudio y del campo de acción a
partir de los objetos que estudia el Cálculo Diferencial.
2. Elaboración de unas etapas para el desarrollo del proceso de
Modelación matemática.
3. Elaboración de una Metodología Alternativa para el proceso
enseñanza aprendizaje del Cálculo Diferencial y su aplicación en
los métodos de enseñanza.
Los resultados científicos de esta tesis se encuentran en una
Metodología Alternativa del proceso de Modelación Matemático y su
significación basada en la unidad teoría – práctica.
Significación práctica:
La metodología para aplicarla a la modelación matemática en la
resolución de problemas en el proceso enseñanza aprendizaje del
Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable.
Un grupo de problemas contextualizados que responden a la
metodología propuesta.
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La tesis está estructurada en tres capítulos:
En el primer capítulo se examina la caracterización pedagógica -
contextual del proceso de enseñanza – aprendizaje del Cálculo
Diferencial de funciones reales de una variable, el proceso de
Modelación matemático y se diagnostica la deficiencia en el proceso de
formulación de modelos matemáticos adecuados a la resolución de
problemas reales de los estudiantes de la Asignatura de Cálculo
Diferencial en UNAPEC.
En el segundo capítulo, se plantea una Metodología alternativa,
centrada en la unidad entre teoría y práctica en el proceso de
modelación matemática, basándose en el modelo pedagógico histórico
– cultural.
En el tercer capítulo, se pone en marcha la aplicación y la
comprobación de La Metodología Propuesta, aplicándola
experimentalmente a los estudiantes, para su evaluación y validación.
9
CAPÍTULO I
EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE
DEL CÁLCULO DIFERENCIAL DE
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
10
CAPÍTULO I. EL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE
DEL CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA
VARIABLE.
En este primer capítulo se examinará el proceso de Modelación
Matemática, según su evolución histórica, su caracterización
pedagógica y contextual. En conclusión se analizarán los resultados del
diagnóstico que determinan la situación problémica, es decir la
deficiencia en la definición de modelos matemáticos adecuados a la
resolución de problemas reales, que tienen la mayoría de los
estúdiates de la Asignatura de Cálculo en Unapec.
1.1. Caracterización pedagógica y contextual del proceso de
Enseñanza – Aprendizaje del Cálculo Diferencial de
funciones reales de una variable.
1.1.1. Paradigmas pedagógicos
Los paradigmas pedagógicos se han venido desarrollando a través de
toda la historia con el fin de darle solución a los problemas de cada
época y sobre todo para que el aprendizaje de las ciencias sea el más
apropiado.
En la concepción de Tomas Kunh, el paradigma es un esquema básico
de interpretación de la realidad, y comprende: supuestos teóricos
generales, leyes y técnicas que son adoptadas por una comunidad de
científicos. Todos los paradigmas psicopedagógicos son el resultado de
reflexiones y generalizaciones de comunidades científicas. (Kunh,
1962).
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Existen distintos paradigmas psicopedagógicos surgidos a través del
tiempo a partir de dar respuestas a las necesidades sociales. Todos los
paradigmas psicopedagógicos han contribuido en su momento a
comprender mejor el hecho educativo y a actuar en consecuencia
sobre la base de sus planteamientos. Cada paradigma psicopedagógico
refleja un momento histórico y una situación social determinada.
Imposible comprender el conductismo fuera de Estados Unidos de
Norteamérica, o el paradigma psicogenético fuera de Europa Central, o
bien el sociocultural sino no es ubicado en Europa Oriental en
particular en Rusia.
En definitiva los paradigmas psicopedagógicos reflejan posiciones
filosóficas y las tendencias de desarrollo de la ciencia.
El autor considera que en el contexto de la República Dominicana, hoy,
en la situación histórica determinada y condicionada por la
globalización, sea más apropiado y eficaz utilizar el Enfoque histórico
cultural.
Este enfoque ha evolucionado sobre la base de la obra de L. S.
Vigotsky y su teoría del desarrollo histórico cultural de las funciones
psicológicas. Resulta interesante la atención que se le brinda a la
comunicación social en la educación, fundamentalmente en los marcos
de la Psicología de orientación marxista, aunque en la actualidad está
siendo abordado desde otras posiciones teóricas.
El aprendizaje es la resultante compleja de la confluencia de factores
sociales, como la interacción comunicativa, compartida en un
momento histórico y con determinantes culturales particulares. La
construcción resultado de una experiencia de aprendizaje no se
transmite de una persona a otra, de manera mecánica como si fuera
un objeto sino mediante operaciones mentales que se suceden durante
la interacción del sujeto con el mundo material y social. En esta
interacción el conocimiento se construye primero por fuera, es decir,
12
en la relación ínter psicológica, cuando se recibe la influencia de la
cultura, reflejada en toda la producción material (las herramientas, los
desarrollo científicos y tecnológicos) o simbólica (el lenguaje, con los
signos y símbolos), y en segundo lugar de manera intra psicológica,
cuando se transforman las funciones psicológicas superiores, es decir,
se produce la denominada internalización.
A diferencia de la posición piagetiana, que considera la relación entre
aprendizaje y desarrollo de manera que el desarrollo es una condición
previa para que se puedan establecer los aprendizajes, en la teoría de
Vigotsky, la relación es dialéctica y con privilegio de los aprendizajes
porque estos "empujan" el desarrollo. Desde el punto de vista
didáctico el maestro no necesita esperar que las estructuras cognitivas
estén preparadas en su desarrollo para ofrecer las nuevas experiencias
de aprendizaje. Lo nuevo debe ser cualitativa y cuantitativamente
superior a lo previo, para que "obligue" al aprendiz a la superación
cognitiva. El reto no debe ser muy grande, porque puede desmotivar y
darse por vencido antes de iniciar la tarea; tampoco muy fácil, porque
distrae y hace perder el entusiasmo por aprender.
La interpretación que da Vigotsky a la relación entre desarrollo y
aprendizaje permite evidenciar la raíz social que le atribuye al
conocimiento humano y el gran aporte que ha recibido la educación
con su teoría sobre la "Zona de Desarrollo Próximo" o ZDP, la cual se
concibe como "... la distancia entre el nivel de desarrollo, determinado
por la capacidad de resolver independientemente un problema y el
nivel de desarrollo potencial, determinado a través de la resolución de
un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con un par
más capacitado". (Vigotsky, 1989).
"El dirigir la enseñanza al ejercicio de tareas cuya realización está ya a
un nivel madurado es algo inútil, al igual que lo es plantear actividades
cuyo contenido se sale de la ZDP” (Shuare, 1989). Y en tal sentido
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Vigotsky asegura: "... Lo que se encuentra en la zona de desarrollo
próximo en un estadio se hace realidad y pasa al nivel de desarrollo
actual en el siguiente estadio, o sea, que lo que el niño puede hacer
hoy en colaboración con la ayuda de otras personas, mañana podrá
hacerlo en forma autónoma...". (Vigotsky, 1995).
El sistema educativo debe proveer elementos para que el individuo
desarrolle sus potencialidades, propiciándole capacidad para pensar
crítica e independientemente.
Se trata entonces de tener bien claros los conceptos de Socialización
e Individualización, siendo la socialización la acción o efecto del
promover las condiciones sociales que favorezcan en los seres
humanos el desarrollo de la persona, y La identidad personal
dependiendo de la interacción social y la socialización. El individuo
humano empieza pensando en términos enteramente sociales y la
misma individualización sólo puede conseguirse por socialización
(Habermas, 1992) Weber insiste en que los individuos, cuando están
dentro de una comunidad, se sienten subjetivamente como individuos
con características comunes; a partir de aquí se puede derivar una
acción comunitaria positiva o negativa con relación a otras
comunidades (a otras identidades) que se ven y se viven como
diferentes. (Weber, 1979).
El autor concuerda con A. Meier en que la finalidad de la socialización
está en “lograr la plena inserción del hombre en el contexto social
concreto mediante la realización de su personalidad”. (Meier, 1984).
Según la visión marxista, el ser humano se desarrolla en una
determinada sociedad. En esta, las fuerzas productivas (máquinas,
materias primas, mano de obra humana) funcionan organizadas por
ciertas relaciones de producción. Estas conforman la base material
sobre la cual se levanta una multifacética superestructura ideológica.
En este marco se realiza la reproducción social del hombre, el cual a
14
través de su actividad, va desarrollando su conciencia, sus hábitos, sus
valores, su producción, etc. es decir, su proceso de vida. (Marx –
Engels, 1974).
La concepción marxista del hombre implica la unidad dialéctica entre
el reconocimiento del carácter determinante de las relaciones sociales
de producción y el carácter determinado de la actividad subjetiva que
el individuo realiza en su marco socio-cultural. El ser humano se
individualiza a la vez que se socializa. Se destaca en este proceso
el papel de la formación de la conciencia, considerando los conceptos
de actividad, conciencia y personalidad como niveles de complejidad
progresiva de la conducta humana. Como señala Marx en sus famosas
“Tesis sobre Feuerbach”, si bien es cierto que los hombres son
producto de las circunstancias y de la educación, no puede olvidarse
“que son los hombres, precisamente, los que hacen que cambien las
circunstancias y que el propio educador necesita ser educado” (Marx,
1974).
La matemática no sólo contribuye sobremanera para el ejercicio
intelectual, sino que también es el lenguaje de la ciencia. Adler
destaca la importancia de esta disciplina, defendiendo que se debe
“buscar maneras de desarrollar precozmente, en los alumnos, la
capacidad para leer e interpretar el campo de la Matemática”. Este
autor pone de relieve que los símbolos no deben ser seccionados de
sus raíces, ya que se trata de “herramientas de pensamiento”. Y que el
“divorcio entre el pensamiento y la experiencia directa, priva al
primero de cualquier contenido real y lo transforma en una concha
vacía de símbolos sin significados”. (Adler, 1968).
Para D’Ambrosio, el aprendizaje es una relación que envuelve reflexión
y acción, cuyo resultado es un permanente cambio de realidad. Según
él, el individuo crea modelos que le permitirán elaborar estrategias de
acción. “Esa recreación de modelos por el sujeto, que puede utilizar
15
otros modelos que ya han sido incorporados a su realidad y que es la
esencia del proceso creativo, debería constituir el punto focal de los
sistemas educativos” (D’Ambrosio, 1986).
Desde este punto de vista, Bassanezi afirma que la enseñanza debe
estar enfocada en los intereses y necesidades prácticas de la
comunidad. “Aunque su interés no se agote allí, no es intención hacer
una apología de para qué sirve” (Bassanezi, 1990), y Adler completa,
“ni tampoco querer que el alumno, en pocos años de experiencia,
descubra lo que la humanidad, incluso a través de sus mejores
inteligencias, descubrió a lo largo de millares de años” (Adler, 1968).
Mientras que para Piaget “comprender es inventar o reconstruir a
través de la reinvención, y que será necesario inclinarse ante tales
necesidades si lo que se pretende para el futuro es tener individuos
capaces de producir o de crear y no sólo, apenas de repetir” (Piaget,
1983).
Las afirmaciones de los autores anteriormente citados constituyen,
según el modo de ver del autor, una fuerte defensa del proceso del
modelación matemática en la enseñanza, dado que la escuela es un
ambiente indicado para la creación y evolución de modelos. De esta
forma, les será dada a los alumnos la oportunidad de estudiar
situaciones-problema, a través de investigaciones, desarrollando su
interés y agudizando su sentido crítico.
1.1.2 Marco contextual
Considerando el marco contextual en donde el autor trabaja, hay que
tener en cuenta los aspectos siguientes:
Condiciones sociales: La República Dominicana es un país
subdesarrollado “en vía de desarrollo”. Los estudiantes de la
16
Universidad APEC cursan carreras sobre todo en el área de los
negocios y de la ingeniería.
El desafío de la Universidad APEC es formar un egresado no solo
capacitado, sino con una visión de futuro, que sea flexible y capaz de
formar su propio negocio. Los modelos matemáticos contribuyen en la
obtención de expresiones matemáticas, que son utilizadas en la
optimización de los ingresos de una compañía. Esta situación ha hecho
reflexionar al autor del presente trabajo e investigar sobre la
preparación de los estudiantes en los modelos matemáticos.
En la Universidad UNAPEC la asignatura del Cálculo Diferencial es una
reformulación de las matemáticas elementales fundamentada,
básicamente, en los procesos de límites. Comprende el estudio de los
límites, introducción a las derivadas e sus aplicaciones, nociones de
integrales indefinidas y definidas, en relación a funciones reales de una
variable real. Cada uno de estos conceptos está vinculado a los
problemas de variación lineal en administración y mercadeo, ritmo de
crecimiento económico, maximización de beneficios y minimización de
coste de producción. Así como en la determinación de exceso de
consumo y exceso de producción en las curvas de ofertas y demandas,
entre otras aplicaciones.
El Cálculo diferencial de funciones reales de una variable, además,
desde el punto de vista formativo, prioriza en los estudiantes, el
reforzamiento de los procesos intelectuales, tales como: análisis,
razonamiento, etc. herramientas indispensables para un
desenvolvimiento eficiente en el ejercicio de su futura profesión.
Para conseguir todo esto el autor considera que sea oportuno que la
enseñanza del Cálculo Diferencial, particularmente en el caso de
funciones reales de una variable, sea conducida por problemas. Del
examen de una situación problemática los estudiantes serán llevados
en primer lugar a formular una hipótesis de solución, para entonces
17
buscar el procedimiento resolutivo, utilizando los conocimientos ya
adquiridos, y terminar insertando el resultado obtenido en un orgánico
cuadro global.
1.2. El proceso de modelación matemática
Independientemente de la región, de las condiciones socio-económicas
y culturales en que dan clase, la mayoría de los profesores demuestran
sus preocupaciones con relación a la poca motivación de sus alumnos
en lo que se refiere al aprendizaje de la Matemática, asumiendo, de
forma explícita o implícita, sus dificultades en responder a los porques
de enseñar este o aquel contenido.
La dificultad más grande consiste en las deficiencias en la definición de
modelos matemáticos adecuados a la resolución de problemas reales,
que tienen la mayoría de los estúdiates.
Muchas situaciones del mundo real pueden presentar problemas que
requieran soluciones y decisiones. Algunos de estos problemas tienen
un aspecto matemático relativamente simple, e involucran una
matemática elemental, como por ejemplo:
El tiempo necesario para recorrer una distancia de 40 kilómetros,
manteniendo la velocidad promedio del vehículo a 80 kilómetros por
hora;
El interés que cobra una institución financiera por un determinado
préstamo;
El área de un terreno de forma rectangular con las respectivas
medidas: 12mx25m.
Otros, camuflados en una determinada área del conocimiento,
necesitan un análisis más preciso de las variables involucradas, tales
como la mejor manera para reducir el retrabajo en una fábrica.
18
Sea cual sea el caso, la solución de un problema requiere una
formulación matemática detallada.
Existen varias definiciones de "modelo". Entre otras se podría asumir
la siguiente "sistema representado en la mente o en la realidad, el cual
se encuentra en determinadas relaciones con otro sistema (el
original)" (Morales Pita, 1984). Los modelos matemáticos son aquellos
constituidos por ecuaciones, inecuaciones, sus sistemas, gráficas, etc.
En su relación con el objeto original el modelo tiene las condiciones de
reflejo o analogía, de representación y de extrapolación, es decir tiene
explícitamente expresada una relación de parecido con el original, lo
sustituye en los procesos del conocimiento y permite obtener
información del mismo.
El procedimiento de construcción de un modelo matemático efectivo
requiere de habilidad, creatividad y evaluación objetiva por lo que con
su introducción en las clases se potenciarían todas estas cualidades en
los alumnos. Para que se comprenda mejor el proceso es conveniente
una exposición de modelos existentes que muestren los aspectos de la
modelación, con la utilización de estos, el profesor puede ir
introduciendo las diferentes etapas del proceso preparándolo para el
trabajo independiente donde construirá otros.
El autor de la presente investigación considera denominar Modelo
Matemático al conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que
traducen, de alguna manera, en un proceso de abstracción, un
fenómeno en cuestión o un problema real. Un modelo es una
reducción y una simplificación del mundo, extrayendo de éste sus
ruidos, roces, detalles o concreciones menos pertinentes con el
fenómeno u objeto estudiado. La principal función de los modelos es
simplificar el mundo para hacerlo comprensible. Se asume que el
modelo no es la realidad sino que es un instrumento para abordar
19
ésta, para eliminar algunos de sus ruidos y, en definitiva, poder
manejarla.
En la ciencia, la noción de modelo es fundamental para la constitución
y expresión del conocimiento. En especial, la matemática, con su
arquitectura, permite la elaboración de modelos matemáticos, lo que
posibilita una mejor compresión, simulación y previsión del fenómeno
estudiado. Un modelo puede ser formulado en términos familiares,
tales como: expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o
representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas,
programas computacionales, etc.
Por otro lado, cuando se propone un modelo, éste proviene de
aproximaciones realizadas para poder entender mejor un fenómeno.
Sin embargo, no siempre tales aproximaciones están de acuerdo con
la realidad. Sea como sea, un modelo matemático refleja, aunque
con una visión simplificada, aspectos de la situación
investigada.
Modelación Matemática es el proceso involucrado en la
obtención de un modelo. Este proceso, desde cierto punto de vista,
puede ser considerado artístico, ya que para elaborar un modelo,
además del conocimiento matemático, el modelador debe tener una
dosis significativa de intuición-creatividad para interpretar el contexto,
discernir qué contenido matemático se adapta mejor y tener sentido
lúdico para jugar con las variables involucradas. El modelador debe ser
un artista al formular, resolver y elaborar expresiones que sirvan no
sólo para una solución particular, sino también, posteriormente, como
soporte para otras aplicaciones y teorías.
A grosso modo, podríamos decir que modelo matemático y realidad
son dos conjuntos disjuntos y el proceso de modelación es un medio
de conjugarlos. La matemática sirve para solucionar problemas reales,
pero no es la misma realidad. Por esto es siempre preciso comprobar y
20
criticar las soluciones del modelo. El siguiente esquema representa
esta propuesta:
GRÁFICA # 1 - SITUACIÓN REAL Y MODELO MATEMÁTICO
Actualmente, este proceso se utiliza en toda ciencia, de modo que
contribuye en forma especial en la evolución del conocimiento
humano. Se sabe que la matemática se está usando en los fenómenos
microscópicos, en tecnobiología, y también en los macroscópicos
cuando se pretende conquistar el Universo. La modelación
matemática, ciertamente, no es una idea nueva. Su esencia siempre
estuvo presente en la creación de las teorías científicas y, en especial,
en la creación de las teorías matemáticas. A inicios del siglo XX fue
muy utilizada en la solución de problemas de biología y economía.
Durante la Segunda Guerra Mundial, intentos de resolver cuestiones
de defensa y ataque, propiciaron el desarrollo de otra rama de la
matemática: la investigación operativa, que posee, hoy en día,
extensa aplicación en la industria.
Por la literatura, se pueden destacar dos posturas: los que consideran
que a través de la modelación no se puede enseñar nuevos conceptos
21
matemáticos y los que defienden dicho método como proceso ideal
para enseñar matemática.
Algunos autores, tales como: Greenman, Hall, Burkhart, Oke, Clement,
defienden la primera postura. Por ejemplo, Greenman definió que la
condición para poder modelar una situación es que el alumno debe
tener conocimiento de la matemática que será utilizada. O sea, se
debe enseñar, primero, los conceptos matemáticos indispensables y
después proseguir con el proceso de modelación. Hall y Burkhart están
de acuerdo con Greenman. Burghes y Huntley afirman que “la
modelación no debe ser el camino utilizado para aumentar el
conocimiento matemático, si no sólo para mejorar la habilidad de
aplicar la matemática a situaciones prácticas”. (Burghes, 1982).
Sin embargo, existen muchos autores que defienden la segunda
postura, tales como Kaiser, Messmer, Lange, Treffers, Vern, Treiliks,
Barreto, Bassanezi. Mención especial merece Bassanezi por ser uno de
los grandes diseminadores y defensores brasileños de la propuesta de
modelación matemática en la enseñanza-aprendizaje. Según él,
“trabajar con modelación matemática en la enseñanza no es sólo
una cuestión de ampliar el conocimiento matemático, sino sobretodo,
de estructurar la manera de pensar y actuar” (Bassanezi, 1990).
Las experiencias muestran que, en determinadas circunstancias, se
puede aprender matemática paralelamente a la modelación
matemática; y en otras no. El autor es partidario de una idea de
unidad entre teoría y práctica y, por lo tanto, La referencia a
situaciones y problemáticas reales no solo hace más comprensible lo
que se explica, si no que también motiva más al estudiante.
22
1.3. La metodología de de enseñanza - aprendizaje del Cálculo
Diferencial en UNAPEC.
Si se da una panorámica de las metodologías de la enseñanza del
Calculo Diferencial en el mundo, se encuestan varias vertientes. Por un
lado sigue imperando una Metodología tradicional, con el profesor al
centro del proceso enseñanza aprendizaje. Por otros lados se
encuentran ejemplos innovadores, como es el caso de la Universidad
Complutense de Madrid, donde la Metodología del Calculo Diferencial
tiene “Como punto esencial, buscar la participación responsable del
estudiante mediante el seguimiento estricto de una bibliografía básica
que permita dedicar el mayor tiempo posible a la discusión abierta y a
la resolución de problemas”. (Internet).
También se encuentra una metodología novedosa en el Departamento
de Estadística y Matemática de la facultad de Ciencias Económicas de
la Universidad de Antioquia, en Colombia, donde se aplica
“básicamente el principio de la metodología activa: el estudiante debe
ser el principal responsable de su aprendizaje, el profesor será un guía
que le ayude al estudiante a alcanzar los objetivos propuestos.”
(Internet).
En otros casos se sigue una Metodología conductista, como es el caso
de la universidad de Cádiz, donde “Se pretende que los alumnos
trabajen de forma continuada. … Se fomentará la consecución de
objetivos. Para ello, estos quedarán lo suficientemente definidos y se
propondrán pruebas o controles de manera que se vayan logrando
estos objetivos parcialmente. De esta manera se pretende
principalmente motivar al alumno a través de la consecución de
objetivos. … Se buscará la motivación del alumno en todo momento
del aprendizaje. Esta motivación se fundamentará a través de los
contenidos en sí mismos”. (Internet).
23
Según el programa oficial de la Asignatura de Cálculo Diferencial en
UNAPEC, se desarrolla una Metodología en la que interactúe profesor-
estudiante, mediante discusiones socializadas en la forma teórico-
práctica. Se realizan trabajos individuales y grupales, fuera o dentro
del aula, los que serán llevados al seno de la clase para su discusión
correcta.
El autor se permite además observar que no hay una manera
uniformada de programar las clases. Todavía en muchos casos, se
puede observar que la comunicación es solamente en un sentido, del
profesor al alumno, sin ninguna forma adecuada de interactividad.
La metodología que emplea el profesor, generalmente, está guiada por
el mecanicismo, es decir que prevalece la idea errónea de que el
aprendizaje es fruto del esfuerzo y sacrificio del estudiante quien debe
aprender una serie de procedimientos, reforzando su aplicación con
una cantidad considerable de ejercicios; por ejemplo si se considera el
tema "derivadas" el profesor da una serie de procedimientos para
derivar funciones junto con una serie de fórmulas, y a modo de
ejemplo resuelve una derivada sencilla aplicando los procedimientos y
las fórmulas. El próximo paso es dar una cantidad de ejercicios de
aplicación; aparentemente la tarea del profesor termina ahí, para dar
lugar a la ejercitación por parte del estudiante. No se sabe de donde
salieron los procedimientos ni las fórmulas; lo que es peor, puede que
los estudiantes no sepan que es la derivada, ni para que sirva, lo único
que les preocupa es que tipo de ejercicios se incluirán en el examen,
por eso se dice que se estudia para aprobar la materia y la única
forma de hacerlo es resolver los ejercicios del examen, que por cierto
son mucho mas complejos que los ejercicios que el profesor resuelve
en la pizarra.
24
El estímulo a la motivación en el estudiante por parte del profesor es
casi inexistente, de manera que la matemática es percibida como un
obstáculo para llegar a ser un profesional en lugar de considerarla
como herramienta para construir las bases del sistema de
conocimientos para desempeñarse en la profesión, generalmente el
profesor no habla de las bondades de aprender técnicas de
razonamiento lógico para resolver problemas de la profesión, no se
interioriza al estudiante en las posibles relaciones con otras
profesiones y con otras áreas de conocimiento. Por ejemplo las
derivadas tienen una infinidad de aplicaciones en diferentes
profesiones y el estudiante no percibe esa considerable fuente de
motivación. Con justa razón los estudiantes se ven en la tentación de
rechazar la Matemática porque el entorno mismo la considera como
una carga, pero una carga que hay que aprobar para seguir en la
carrera.
Por otra parte el no aplicar los conocimientos adquiridos por el
estudiante a situaciones de la realidad del contexto no hace que el
conocimiento sea significativo para el mismo. La problemática del
aprendizaje de Matemática por su complejidad y por la ausencia de
propuestas metodológicas creativas determina significativamente el
futuro del estudiante que se propone a emprender una carrera; es
importante que la universidad cree las condiciones para implementar
programas de investigación sobre las metodologías para el aprendizaje
de la Matemática.
En definitiva se observa que la estructura pedagógica que más se
expresa sigue siendo la de la enseñanza como transmisión del
conocimiento, a veces, más que del conocimiento, de un cierto
formulario, o unas ciertas recetas matemática para resolver algún tipo
de problema. Pero la resolución independiente por parte de los
25
estudiantes de problemas reales, aplicando los conocimientos
adquiridos, es la pesadilla que queda sin resolver para todos los
profesores.
Hay que apreciar de todas formas el esfuerzo de algunos profesores de
ponerse a la altura de los nuevos pensamientos pedagógicos,
intentando interactuar con los alumnos de manera constructiva.
La utilidad didáctica de la resolución de problemas no solo se
reduce al planteamiento de los mismos por parte del profesor, los
estudiantes también deben desarrollar la habilidad para buscar
situaciones problémicas. A lo máximo, la resolución de problemas se
pone para reforzar la asimilación de las reglas y procedimientos que se
han memorizado, y, con ésta finalidad, los problemas planteados por
el profesor son rutinarios y tienen la particularidad de ser
descontextualizados de la realidad circundante y carecen de utilidad
práctica para el estudiante. Al final se convierten en un factor
desmotivante, porque el aprendizaje no es significativo para el
estudiante, mas, por el contrario, significa una carga que cumple el
objetivo de desincentivar al estudiante.
Al contrario el autor se propone utilizar los problemas con la finalidad
de desarrollar la habilidad en el estudiante en la búsqueda de vías de
solución, es decir que los problemas deben tener el carácter
instrumental para desarrollar la creatividad y la inteligencia. La
principal característica de los problemas planteados por el profesor
debe ser la originalidad, para dar ejemplos a los alumnos que se
pueden utilizar los conocimientos precedentes para ser creativos, y no
es necesario recurrir a los libros para copiar los problemas.
Otra peculiaridad que se debe buscar es que los problemas deben
estar contextualizados en la realidad del estudiante buscando siempre
26
que sean significativos para el mismo. Otro objetivo que se debe
perseguir es el desarrollo de la habilidad para la modelación
matemática, es decir el estudiante debe familiarizarse con los
problemas en primera instancia y luego con los modelos matemáticos,
de esta forma entenderá la equivalencia de un problema enunciado
como texto y su transformación en lenguaje matemático. El hecho de
incentivar al estudiante en la tarea de plantear problemas desarrolla
en éste su capacidad investigativa, además desarrolla su pensamiento
crítico y divergente. Al considerar a los problemas como instrumentos
se está disminuyendo la preponderancia de los contenidos y se está
favoreciendo al desarrollo de habilidades para que el estudiante se
independice y desarrolle su capacidad de buscar información y
aprender solo.
1.4. Deficiencias en el proceso de modelación matemática
adecuado a la resolución de problemas reales de los
estudiantes de Cálculo Diferencial en UNAPEC. Diagnóstico.
Para fundamentar el problema se aplicaron, para el diagnóstico, como
instrumentos de Investigación:
1.- Una encuesta, por medio de un cuestionario.
2.- Un tratamiento estadístico de datos, sobre los estudiantes que
cursaron los Cursos de Cálculo Diferencial en UNAPEC, durante el
primer y segundo cuatrimestre del año 2004.
3.- La observación personal.
Se pudieron hacer las observaciones siguientes:
Respecto a los estudiantes que se inscribieron a los cursos de Cálculo
Diferencial, impartidos por el autor en UNAPEC, durante los primeros
dos cuadrimestres del año 2004, lograron terminar el curso y
27
aprobarlo el 26.08%, mientras que se retiraron o no aprobaron el
73.92%.
GRÁFICA #2
RESULTADOS ACADÉMICO DEL PERIODO ENERO – AGOSTO 2004
Con respecto a los estudiantes que aprobaron, según la investigación
estadística, obtuvieron una calificación excelente solo el 5.6% de los
estudiantes, el 22.18% apenas aprobó, el 38.89 aprobó con
calificación B y el 33.33% con calificación C.
GRÁFICA #3 - CALIFICACIONES DEL PERIODO ENERO – AGOSTO 2004
28
Se proporcionó a los docentes de Cálculo Diferencial en UNAPEC un
Cuestionario, con el propósito de investigar por un lado la importancia
que, según los entrevistados, tienen competencias y habilidades en el
estudio del Cálculo Diferencial, en vista del desempeño profesional de
los jóvenes egresados, y por otro lado para detectar el nivel en que
dichas habilidades o competencias se desarrollan durante el estudio
del Cálculo Diferencial en UNAPEC.
Con relación a la importancia, resultó que los profesores, en su
mayoría, les dan mucha o bastante importancia generalmente a todas
las habilidades y competencias consideradas.
Con relación al desarrollo, lo que resultó más preocupante es que:
La capacidad para identificar, formular y resolver problema se
desarrolla poco (70% de las respuestas), o nada (10%), y bastante
solo por el 20% de los casos, con poca (80%) o ninguna (20%)
capacidad para generar nuevas ideas (creatividad), con poco (70%)
desarrollo del pensamiento crítico, y poca (50%) o ninguna (30%)
habilidad para trabajar en forma autónoma.
Los detalles del Cuestionario con sus respuestas se encuentran en el
Anexo I.
En la observación de los exámenes del los primeros dos cuatrimestres
del 2004, se midieron los siguientes datos: Un 50% de los estudiantes
tenía un buen conocimiento de las fórmulas a aplicarse, aunque en
muchos casos (81%) se denotaron faltas de conocimientos básicos.
Cuando se trató de resolver problemas, el 62% de los alumnos logró
identificar correctamente los datos (variables independientes) del
problema, pero solo el 27% de ellos identificó correctamente los
objetivos (variables dependientes) de los problemas, por lo cual
29
generalmente utilizaron estrategias confusas o incorrectas para
resolverlo.
Se ha observado directamente más bien que, en los exámenes la
mayoría de los estudiantes o no resuelve, o resuelve de manera
incorrecta las preguntas que se refieren a aplicación de los
conocimientos. Esto se reflexiona directamente en los resultados in
cuanto a calidad se refieren.
En particular se han detectado deficiencias en contestar sobre:
1) Aplicación de los teoremas del Valor Medio y de Rolle
2) Resolución de problemas de ritmo de cambios, y ritmos de
cambios relacionados
3) Resolución de problemas reales de maximización y minimización
(Optimización)
4) Problemas de geometría analítica en general.
A partir de la "Transformación Curricular" llevada a cabo en el marco
del Plan Decenal de Educación en el sistema educativo de la República
Dominicana se puede observar un especial énfasis en la resolución de
problemas como método integral en la enseñanza de la Matemática. La
idea de la enseñanza de la Matemática que surge de esta concepción
es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con
sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas. Estas
situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita
conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar
ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la
argumentación.
Pero por lo que se observó, la situación contrasta con esta visión. Se
pudo deducir la siguiente situación problémica: en la Asignatura de
Cálculo Diferencial en la Universidad APEC, la capacidad para
identificar, formular y resolver problema se desarrolla poco, o nada,
con poca o ninguna capacidad para generar nuevas ideas
30
(creatividad), con poco desarrollo del pensamiento crítico, y poca o
ninguna habilidad para trabajar en forma autónoma.
En el trabajo de docente de la Asignatura del Cálculo Diferencial en la
Universidad UNAPEC de Santo Domingo, República Dominicana, se ha
observado sobre todo que es deficiente el proceso de aplicación de
modelación matemática adecuado a la resolución de problemas reales
que tiene la mayoría de los estúdiantes.
Esto revela la contradicción entre la complejidad de las temáticas del
Cálculo Diferencial y la necesidad de que los estudiantes las utilicen
como eficaz herramienta de trabajo en sus carreras y desempeños
profesionales, determinando así el problema científico en "La
contradicción entre la materia y su aplicación práctica en el proceso de
modelación matemática en la Enseñanza Aprendizaje del Cálculo
Diferencial de funciones reales de una variable”.
Según el autor la, la Enseñanza del Cálculo Diferencial de funciones
reales de una variable debería ser encarada como una comprensión
conceptual más que como un mero desarrollo mecánico de habilidades,
que desarrolle en los estudiantes la habilidad de aplicar los contenidos
con flexibilidad y criterio. Debería también proveer a los alumnos de la
oportunidad de explicar un amplio rango de problemas y situaciones
problemáticas, que vayan desde los ejercicios hasta los problemas
abiertos y situaciones de exploración, ayudando a desarrollar “un
punto de vista matemático” (Schoenfeld, 1992), caracterizado por la
habilidad de analizar y comprender, de percibir estructuras y
relaciones, de expresarse oralmente y por escrito con argumentos
claros y coherentes. En suma, debería preparar a los estudiantes para
convertirse, lo más posible, en aprendices independientes, intérpretes
y usuarios de la matemática.
31
Conclusiones del capítulo
En este primer capítulo se ha desarrollado la etapa factoperceptible de
la investigación. En particular se ha caracterizado el objeto y campo de
acción y su marco histórico y contextual, para terminar con las
deducciones que presenta el diagnóstico, formulando el problema de la
investigación.
Después de realizado el estudio de algunos elementos del proceso
enseñanza aprendizaje en general y del Cálculo Diferencial en
particular, el diagnóstico realizado ayudó a determinar las deficiencias
en el proceso de modelación matemática adecuado a la resolución de
problemas reales de la mayoría de los estudiantes en UNAPEC,
precisando el problema de la presente investigación en la contradicción
entre contenidos teóricos y sus aplicaciones prácticas en el proceso de
modelación matemática en la enseñanza aprendizaje del Cálculo
diferencial de funciones reales de una variable.
A pesar de que en UNAPEC han existido avances en el proceso de
enseñanza – aprendizaje del Cálculo Diferencial, se constató que no se
ha resuelto el problema, permaneciendo todavía muchas de las
dificultades encontradas en la aplicación del proceso de modelación
matemática, particularmente en la resolución de problemas reales
relacionados al contexto y a las necesidades de las carreras de
negocios o de ingeniería.
32
CAPÍTULO II.
PLANTEAMIENTO DE
UNA METODOLOGÍA ALTERNATIVA
33
CAPÍTULO II. PLANTEAMIENTO DE UNA METODOLOGÍA
ALTERNATIVA
En el segundo capítulo, se plantea una Metodología alternativa,
basándose en el paradigma pedagógico histórico - cultural, para el
mejoramiento de la capacidad de los estudiantes de Cálculo Diferencial
en UNAPEC en la resolución de problemas reales, en aplicación de los
algoritmos del Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable.
2.1. MODELACIÓN
2.1.1 Modelación Matemática
El Diccionario de la Real Real Academia Española ofrece hasta diez
significados distintos del término modelo, aun cuando sólo dos pueden
considerarse propios del ámbito metodológico:
- Representación en pequeño de alguna cosa.
- Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un
sistema o de una realidad compleja, que se elabora para facilitar
su comprensión y el estudio de su comportamiento.
Estos dos significados tienen sus limitaciones, como dice Armatte con
relación al primero de ellos. El hablar de representación de algo
implica la asunción de la existencia de ese algo, de esa realidad.
Siguiendo este argumento, se torpeza con una de las constantes
tensiones presentes al hablar de modelos, como es la existente entre
la concepción del modelo como tal representación de la realidad o
como instrumento forjador de tal realidad (Armatte, 2000).
La pequeñez de la representación, que se supone es el modelo, es una
metáfora que exige también una mínima reflexión. Básicamente, no se
34
trata de una reducción de tamaño, como si el modelo fuera la maqueta
de un arquitecto o de un ingeniero. No hay reducción de tamaño en un
modelo matemático que en una estilizada fórmula intente explicar. Lo
que reduce el modelo es la cantidad de dimensiones o elementos de la
realidad. El modelo reduce porque excluye, no porque
miniaturiza. El modelo no es un bonsái de la realidad, aún aceptando
la existencia de ésta, sino una simplificación de la realidad porque
elimina elementos de ésta.
La otra limitación tiene que ver con el segundo de los significados.
Avisa de la difusa frontera entre teoría y modelo, que señala la
tendencia de las teorías a constituirse en modelos y de los modelos a
constituirse en teorías. Una tendencia que tiene que ver con el
momento de institucionalización de las ciencias en los diversos campos
intelectuales y profesionales. Cuanto más se exija a una ciencia que
sea aplicada, operativa y, en general, poco reflexiva y crítica, la
frontera tiende a diluirse.
En un ámbito propiamente metodológico, Casas Aznar define el
modelo:
1) Como prototipo o tipo ejemplar de algo a lo que habría que aspirar.
Modelo como pattern.
2) Una serie de planos esquemáticos, mostrando qué es una cosa, o
cómo hay que desarrollar una cosa.
3) Un procedimiento de análisis de datos para propósitos generales,
sin contenido, como cuando se habla del modelo subyacente en el
modelo de regresión lineal. Toda técnica de análisis supone un modelo.
4) Un modelo matemático (Casas Aznar, 1989).
Ha de destacarse que varias de estas concepciones pueden
encontrarse en el mismo manual, sin señalarse las diferencias. Algo
que es más común en los manuales escritos por varios autores (König
1973), (Álvaro, 1996), (Morales, 1997).
35
La relación entre teoría y modelo es fluctuante. Para unos, el modelo
es un conjunto de teorías que explican un fenómeno (Sierra 1979),
(Álvaro y Páez 1996) Para otros, la teoría es lo que subyace a un
modelo; mientras que, en la posición contraria, se encuentran quienes
mantienen que toda teoría arrastra un modelo (del hombre, de la
sociedad, de las relaciones sociales, etc.). La confusión parece
superada, al encontrarse con una definición de teoría que, como era de
esperar, incluye el concepto de estructura: “Se define una teoría como
un conjunto de hipótesis estructurado por la relación de implicación o
deducibilidad o, más formalmente: una teoría T es una estructura (H,
I) en la que H es un conjunto de hipótesis e I es una relación en H
llamada implicación o deducibilidad, de manera que H está
debidamente conectado por I” (Galtung 1966). Si a esto se añade que
Galtung presenta como dimensiones de las teorías: generalidad,
amplitud, evaluación de las hipótesis, formalización, axiomatización,
relación con otras teorías, predicibilidad, comunicabilidad,
reproducibilidad y fecundidad; se vuelven a nublar las diferencias entre
teoría y modelo. Algo parecido ocurre con el papel dado por Goode y
Hatt a la teoría como: orientación, conceptualización y clasificación,
resumen, predicción de los hechos e indicadora de los claros en
nuestros conocimientos (Goode y Hatt, 1967).
La relación entre teoría y modelo se encuentra en que, como indica
Visauta, el modelo representa a la teoría. La estructura está en la
representación, siendo ésta la aportación del modelo frente a lo que
serían simples teorías. A través de la representación, se relacionan
teorías. Así, lo que viene a representar un modelo no es la realidad,
entendida como relación entre variables de la realidad, sino la relación
del conjunto de teorías operantes (Visauta, 1989). Esto es lo que
parece indicar González Río: "Un modelo expresa las relaciones
entre elementos que son percibidas por la teoría, siendo más
36
una reproducción teórica de la realidad que una reproducción
de ésta" (González, 1997).
En la medida que se habla de esquema, parece indicado en la propia
propuesta de la Real Academia: como esquema teórico, explicativo de
la realidad. El modelo añade el esquema a la teoría, pone forma a
ésta.
Ante la confusión, ninguno de los autores que abordan directamente la
cuestión, en uno de los textos que por distintos motivos cabe
considerar clásico, ven diferencia entre teoría y modelo. Para Hans
Albert: "El modelo tiene el status lógico de una teoría empírica y no se
diferencia, por consiguiente, de las teorías científicas" (Zetterberg
1973). Puede hablarse, a lo suma, del modelo como de una
especificación de la teoría: la empírica o científica. Para Hans L.
Zetterberg, modelo y teoría son el mismo resultado de la actividad
teórica (Zetterberg, 1973).
Según la definición dada por la Dra. María Lourdes Rodríguez González
en su Tesis Doctoral: “El modelo destaca los elementos esenciales del
objeto de estudio y descarta los no esenciales; pero es importante que
esta selección sea correcta. Un determinado modelo matemático tiene
como objetivo explicar matemáticamente relaciones que se dan en el
mundo real, para revelar la esencia de las mismas y encontrar facetas
que pueden estar ocultas por elementos no esenciales, por lo que el
modelo nos permite profundizar el estudio de un objeto en una
dirección determinada.” (M. L. Rodríguez G., 2003).
El modelo va más allá de su expresión matemática, que puede
considerarse su sintaxis. El modelo matemático requiere de este
lenguaje, de esta sintaxis, pero también tiene su significado. Un
modelo que sólo fuese una expresión lógica formal, sintácticamente
perfecta, pero sin significado alguno no tendría sentido. Es como si se
pronunciase una frase, correctamente construida, pero que no puede
37
aplicarse a ningún ámbito de la realidad. Por utilizar un conocido
ejemplo, podría decirse: los unicornios son preciosos animales sin
cuernos. Desde el punto de vista sintáctico es aceptable. No desde el
semántico, donde incluso podrían apreciarse síntomas de
contradicción. Por tal exigencia de sentido del modelo tiende a
confundirse con la teoría, como se ha visto.
Ya en el primer capítulo el autor consideró denominar Modelo
Matemático al conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que
reflejan, de alguna manera, en un proceso de abstracción, un
fenómeno en cuestión o un problema real. Un modelo es una
reducción y una simplificación del mundo, extrayendo de éste sus
ruidos, roces, detalles o concreciones menos pertinentes con el
fenómeno u objeto estudiado.
La principal función de los modelos es simplificar el mundo para
hacerlo comprensible. Se asume que el modelo no es la realidad sino
que es un instrumento para abordar ésta, para eliminar algunos de sus
ruidos y, en definitiva, poder manejarla. Se debe atender al hecho
que, cuando se propone un modelo, éste proviene de aproximaciones
realizadas para poder entender mejor un fenómeno, y que, sin
embargo, no siempre tales aproximaciones están de acuerdo con la
realidad. Se aclaró que, sea como sea, un modelo matemático
refleja, aunque con una visión simplificada, aspectos de la
situación investigada.
Representar una situación real con instrumental matemático - modelo
matemático - involucra una serie de procedimientos. Se Identificará el
proceso en tres etapas, divididas en cinco subetapas, a saber:
1a) Interacción con el asunto
Reconocimiento de la situación problema;
Familiarización con el asunto que va a ser modelo-
investigación.
38
2a) Construcción matemática
Formulación del problema-hipótesis;
Resolución del problema en términos del modelo.
3a) Modelo matemático
Interpretación de la solución-convalidación.
1a) Interacción con el asunto
Una vez delineada la situación que se pretende estudiar, debe
hacerse una investigación sobre el asunto. Tanto indirectamente (a
través de libros y revistas especializadas) como directamente in situ (a
través de datos experimentales obtenidos con especialistas del área).
Aunque se haya dividido esta etapa en dos subetapas, los límites entre
ambas no son tajantes: el reconocimiento de la situación-problema se
torna cada vez más claro, a medida que se van conociendo los datos.
2a) Construcción Matemática
Ésta es la etapa más compleja y desafiante. Está subdividida en
formulación del problema y solución. Aquí se da la “traducción” de la
situación-problema al lenguaje matemático. Intuición y creatividad son
elementos indispensables en esta etapa.
En la formulación del problema-hipótesis, es necesario:
Clasificar las informaciones (relevantes y no relevantes)
identificando los hechos involucrados.
Decidir cuáles son los factores a ser perseguidos, planteando
la hipótesis.
Generalizar y seleccionar variables relevantes.
Seleccionar símbolos apropiados para dichas variables.
Describir las relaciones que se establezcan, en términos
matemáticos.
39
Se debe concluir esta subetapa con un conjunto de expresiones
aritméticas y fórmulas, o ecuaciones algebraicas, o gráfico, o
representaciones, o programa computacional que lleven a la solución o
permitan deducir una.
En la solución del problema en términos del modelo la situación pasa a
ser resuelta o analizada con el “instrumental” matemático de que se
dispone. Esto requiere un aguzado conocimiento sobre las entidades
matemáticas usadas en la formulación.
La computadora puede ser un instrumento imprescindible:
especialmente en las situaciones donde no fuese posible resolver por
procesos continuos, se obtienen resultados por procesos discretos.
3a) Modelo Matemático
Para poder concluir el modelo, se torna necesario un chequeo para así
comprobar en qué nivel éste se aproxima a la situación-problema
traducida y a partir de ahí, poder utilizarlo.
De esta forma, se hace primero la interpretación del modelo y
posteriormente, se comprueba la adecuación-convalidación.
Para interpretar el modelo se analizan las implicaciones de la solución,
derivada del modelo que está siendo investigado. Entonces, se
comprueba la adecuación del mismo, volviendo a la situación-
problema investigada, evaluando cuánto significativa y relevante es la
solución.
Si el modelo no atiende a las necesidades que lo generó, el proceso
debe ser retomado en la segunda etapa cambiando hipótesis,
variables, etc.
Es importante al concluir el modelo, elaborar un informe en el que se
comuniquen todas las facetas del desarrollo, con el fin de propiciar su
uso.
40
2.1.2. Modelación matemática como método de enseñanza
Una gran parte del éxito del proceso docente educativo depende de la
utilización de métodos de enseñanza racionales y productivos que se
seleccionan tomando en consideración los objetivos y las
peculiaridades del proceso de asimilación de los conocimientos.
"La asimilación de conocimientos es un tipo de actividad y para que el
alumno aprenda requiere que él realice determinadas acciones; que
éstas no sean acciones meramente preceptúales (reconocer,
representarse) o de memoria (reproducir, etc). De aquí que, para cada
profesor el problema central sea el de organizar, estructurar
correctamente la actividad de asimilación del estudiante". (González,
1990).
En el plano didáctico se distinguen cuatro niveles de asimilación del
conocimiento: (Hernández, 1997).
Primer nivel: Familiarización. El estudiante es capaz de reconocer los
objetos, procesos y propiedades estudiadas anteriormente según el
modelo a él presentado, las exigencias en la comprensión, lo sólido de
la recordación, lo necesario para hacer operaciones mentales y lógicas.
Segundo nivel: Reproducción. El estudiante puede reproducir la
información, la operación, resolver problemas tipos estudiados en el
proceso de enseñanza. El estudiante no sólo debe comprender la
información y retenerla en la memoria, sino prepararla para la
reproducción.
Tercer nivel: Producción. El estudiante es capaz de realizar las
operaciones según el orden acostumbrado, en las condiciones nuevas
y con el contenido nuevo. Es necesario organizar la ejercitación de
41
modo que el estudiante pueda acometer las tareas de manera
independiente y productivamente.
Cuarto nivel: Creación. El estudiante es capaz de orientarse
independientemente en situaciones objetivas y subjetivas nuevas para
él. Hay que entrenar al estudiante a desarrollar habilidades de manera
independiente para que alcance el nivel de creatividad.
Para que el estudiante alcance el nivel más alto de asimilación, la
enseñanza debe ser estructurada de manera que el mismo pueda
asimilar consecuentemente las operaciones precedentes a cada nivel.
En la actualidad, no es posible comprender la esencia de los métodos
de enseñanza sin considerar el papel activo del estudiante en el
proceso docente y su independencia cognoscitiva. Sólo así se
enriquecen las relaciones alumno - profesor, y se contribuye al logro
de un mayor protagonismo del estudiante.
Así que hoy se emplean los llamados métodos activos, productivos,
problemáticos y diversas técnicas de trabajo grupal; muchas de estas
propuestas son englobadas bajo el nombre de Métodos y Técnicas
Participativas, basadas en la concepción del aprendizaje como proceso
activo de construcción y reconstrucción del conocimiento por los
alumnos, mediante la solución colectiva de tareas docentes, el
intercambio y confrontación de ideas, opiniones y experiencias entre
estudiantes y profesores.
Los métodos y técnicas participativas se definen como "las vías,
procedimientos y medios sistematizados de organización y desarrollo
de la actividad del grupo de estudiantes, sobre la base de
concepciones no tradicionales de la enseñanza, con el fin de lograr el
aprovechamiento óptimo de sus posibilidades cognoscitivas y
afectivas". (Colectivo de autores, 1995). Entre los métodos y técnicas
42
que propician la asimilación de los conocimientos y procedimientos
matemáticos se encuentra el Método de discusión con sus variantes:
discusión plenaria y en grupos pequeños, el método problémico -
exposición problémica, conversación heurística, búsqueda parcial y
método investigativo.
Se confirma la opinión del autor que la enseñanza a través de la
resolución de problemas es el método para poner en práctica el
principio general de aprendizaje activo. Se trata de considerar
como lo más importante:
$ Que el alumno manipule los objetos matemáticos
$ Que active su propia capacidad mental
$ Que ejercite su creatividad
$ Que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin
de mejorarlo conscientemente
$ Que adquiera confianza en sí mismo
$ Que se prepare para otros problemas
Es importante conseguir esos objetivos, por varias razones, entre
otras:
$ Porque así el estudiante adquiere su propia capacidad
autónoma para resolver problemas
$ Porque el mundo evoluciona muy rápidamente, de manera
que se necesita procesos efectivos de adaptación a los
cambios.
La modelación matemática, como método de enseñanza de la
Matemática, conlleva desarrollar las herramientas de cálculo
matemático necesarias para la resolución de las cuestiones
involucradas, y retornar luego al modelo inicial. El tiempo de
interrupción depende de la amplitud del contenido, lo importante es no
perder de vista la motivación. En el proceso el profesor induce a la
investigación, manteniéndose muchas veces como orientador.
43
Mantener un clima de cierta libertad, estimulando la participación, la
tranquilidad, y la creatividad individual, permitirá obtener resultados
satisfactorios relacionados con el aprendizaje de las matemáticas.
La investigación, parte de la tarea, no sólo propiciará una mejor
visualización sobre la importancia de los conocimientos matemáticos
estudiados, sino también el conocimiento y valorización del trabajo de
un profesional.
El proceso enseñanza aprendizaje del Cálculo Diferencial, utilizando el
método de modelación, desde el punto de vista del autor, es más
gratificante, toda vez que el alumno va a aprender lo que le causa
interés, tornándose así corresponsable de su aprendizaje. El profesor-
orientador, a su vez, también se torna “ganador” en el sentido de que,
cada tema escogido por sus alumnos, le facilita aquilatar su
conocimiento.
Sin embargo, en cursos regulares donde hay un programa que cumplir
- currículum y una estructura espacial y de organización (como sucede
en la mayoría de las instituciones de enseñanza) - el método de
modelación sufre algunas alteraciones. En este caso, se debe tener en
consideración, principalmente, lo siguiente: el grado de preparación de
los alumnos; el tiempo disponible que tendrán para el trabajo extra-
clase; el programa a cumplir.
Ejemplos análogos - fijación de conceptos: después de desarrollar el
contenido matemático suficiente para responder o resolver un modelo,
proponer ejemplos análogos para que el contenido no se restrinja al
modelo.
Los ejemplos análogos darán una visión más clara sobre el asunto,
supliendo deficiencias, rellenando posibles lagunas en lo referente a la
comprensión del contenido. Según Adler “Nuestro conocimiento no
está limitado a las percepciones adquiridas empíricamente. Está
44
organizado y adquiere profundidad a través de los conceptos creados
por la mente humana” (Adler, 1968).
Se cree que tanto alumnos como profesores tendrán más entusiasmo
en la posibilidad de transformar la educación superior, si participan de
un trabajo con modelación donde el contenido no está disociado de la
realidad, si conectan lo que se ha aprendido con lo que se ha
elaborado, si se estimula la creatividad. Éstas son condiciones
esenciales para obtener éxito en la sociedad futura. Lo central es que
la educación superior llegue a ejercer el papel que le corresponde:
preparar al individuo para actuar como profesional en el medio
circundante.
2.2. Una Metodología Alternativa.
Como punto de partida los enfoques alternativos a los métodos
tradicionales descartan el modelo del aprendizaje por transmisión hoy
unánimemente combatido por los especialistas e investigadores en
Didáctica de las Ciencias. Una vez eliminados enfoques basados
únicamente en la transmisión de información, la organización de las
actividades que conducen al aprendizaje significativo está lejos de ser
evidente o unívoca (Driver, 1988). No olvidemos que incluso la clase
expositiva se presta a modificaciones que la convierten en un método
más activo (Campanario, 2002). Por otra parte, concepciones
epistemológicas coincidentes sobre la naturaleza de la ciencia o el
aprendizaje e incluso orientaciones metodológicas similares se
traducen en enfoques distintos a la hora de organizar las tareas de
clase.
Los estudiantes tienen dificultades para aplicar estrategias de
pensamiento formal en contextos en los que no están acostumbrados
45
y mantienen ideas científicamente erróneas que resisten a los métodos
de enseñanza tradicionales. Sánchez y Valcárcel han comparado los
rasgos fundamentales que definen los métodos tradicionales basados
en una enseñanza por transmisión frente a los que promueven el
aprendizaje entendido como construcción de conocimientos (Sánchez y
Valcárcel, 1993).
Las dos concepciones se diferencian en el papel que desempeñan en el
aprendizaje factores como la labor del profesor (transmitir
conocimientos frente a facilitar situaciones de aprendizaje), el papel
del alumno (asimilar información frente a construir información) y la
mente del sujeto que aprende (receptáculo inicialmente vacío o con
algunas ideas fácilmente reemplazables frente a una estructura
organizada de ideas y estrategias de razonamiento resistentes al
cambio). Las concepciones del aprendizaje son radicalmente distintas
(llenar un recipiente vacío frente a modificar, sustituir o ampliar ideas
o conceptos existentes), al igual que las concepciones sobre el
conocimiento (algo que existe fuera frente a algo que construye cada
individuo) y, en consecuencia, existe oposición en la concepción acerca
de las variables que inciden en el aprendizaje (situaciones externas,
profesor, clase, libros y experimentos frente a situaciones internas e
ideas alternativas de los alumnos).
Es innegable que en muchas aulas predomina un modelo tradicional y
es evidente que los modelos basados en la transmisión tienen
dificultades para promover el aprendizaje significativo. Según
Calatayud, Gil y Gimeno, estos modelos tienen su fundamento en unas
suposiciones inadecuadas
Enseñar es una tarea fácil y no requiere una especial preparación.
46
El proceso de enseñanza - aprendizaje se reduce a una simple
transmisión y recepción de conocimientos elaborados
El fracaso de muchos estudiantes se debe únicamente a sus propias
deficiencias: falta de nivel, falta de capacidad, etc. (Calatayud, 1992).
El extenso uso que se hace de la lección unidireccional se debe a la
rapidez y sencillez para la transmisión de conocimientos, pese a sus
conocidos inconvenientes (Beléndez, 1996). Las prácticas que
acompañan a las concepciones tradicionales son de sobra conocidas: la
actividad predominante en las aulas es la transmisión verbal de
conocimientos por el profesor con una falta casi absoluta de
interacción entre los alumnos y se pone el mayor énfasis en el
aprendizaje de hechos básicos y definiciones y las relaciones explícitas
con aspectos de la vida cotidiana son escasas. De hecho, gran parte de
la enseñanza de las ciencias en las aulas es descontextualizada,
"siendo, los métodos convencionales expositivo y uso del texto,
básicamente, los grandes aliados de esa descontextualización"
(Cartaña y Comás, 1994).
La resolución de problemas es una actividad habitual en la clase de
ciencias a la que se dedica una parte importante del tiempo escolar y
suele plantearse, además, como un objetivo básico del aprendizaje.
Según revelan algunas encuestas, los profesores de ciencias
consideran mayoritariamente que la resolución de problemas es algo
que debe incorporarse a la actividad de aprendizaje de sus alumnos
(Garret, 1988) Muchos libros de texto dedican una fracción
significativa de su espacio a problemas y ejercicios y existen bastantes
manuales especializados e incluso colecciones y series editoriales
dedicadas íntegramente a la resolución de problemas en diversas
áreas.
47
Bajo la influencia de las ideas piagetianas sobre el pensamiento
formal, durante los años sesenta y setenta y con el énfasis en la
adquisición de los procesos de la ciencia por los alumnos, la resolución
de problemas adquirió aún mayor importancia en el entorno educativo.
De acuerdo con este punto de vista, las ciencias serían especialmente
indicadas para utilizar la resolución de problemas como medio para
desarrollar el pensamiento formal. (Pozo y Carretero, 1987).
Existe un consenso casi general en que para resolver efectivamente
problemas es conveniente seguir los pasos clásicos de planteamiento,
solución y comprobación, si bien algunos autores dividen las fases
anteriores en otras más detalladas. (Kempa, 1986). En el proceso de
resolución el sujeto que aprende tiene que movilizar sus conocimientos
en un dominio determinado, a la vez que aplica determinados procesos
mentales. El resultado sería, por una parte, una solución y, por otra,
un aprendizaje adicional. La resolución de problemas implicaría, tanto
una activación y movilización de los conocimientos relevantes, como
un aprendizaje de nuevos conocimientos y habilidades (Perales, 2000).
Uno de los aspectos que más atención ha recibido en la investigación
en Didáctica de las Ciencias es el relacionado con los procesos que se
siguen para resolver problemas. Una de las líneas de investigación
intenta identificar las dificultades que encuentran los alumnos en esta
actividad. Según el punto de vista clásico, estas dificultades serían el
reflejo de diferencias individuales que inciden en el proceso de
resolución. El cuadro que se desprende de las investigaciones
realizadas es ciertamente pesimista ya que constata un fracaso casi
generalizado (Gil, Carrascosa, Furió y Martínez-Torregrosa, 1991);
(Gil, Martínez-Torregrosa y Senent, 1988). Además, como cualquier
profesor sabe, algunos alumnos que consiguen resultados correctos lo
hacen mediante la aplicación de "trucos" y algoritmos estereotipados
48
de resolución, con lo que un éxito en dicha tarea no necesariamente se
corresponde con el aprendizaje significativo de las ciencias (una
observación que debería obligarnos a refinar los métodos de
investigación y evaluación). Así, por ejemplo, llevados por el
automatismo mecánico, los estudiantes rara vez analizan por su
cuenta la validez de las soluciones que obtienen, de manera que
resultados numéricamente absurdos se aceptan sin dificultad como
válidos (Campanario, 1995).
Cuando se pregunte a los profesores por las causas de las dificultades
en la resolución de problemas y del fracaso consiguiente, la mayoría
atribuye la responsabilidad a los propios alumnos y opina que las
dificultades se deben a la falta de los conocimientos teóricos
necesarios, al escaso dominio del aparato matemático y a una lectura
poco comprensiva del enunciado (Gil, Martínez-Torregrosa y Senent,
1988). Los estudiantes coinciden parcialmente con el diagnóstico
anterior y tienden a culpar del fracaso a los procedimientos de
resolución y a la comprensión superficial o incomprensión por su parte
de los enunciados, a la vez que admiten una cierta responsabilidad por
su falta de persistencia en el trabajo. No obstante, los alumnos
piensan que las operaciones matemáticas desempeñan un papel
menor como fuente de dificultades (Oñorbe y Sánchez, 1996).
Una posible fuente de dificultad en la resolución de problemas se debe
al desajuste entre las capacidades formales de los alumnos y las
demandas cognitivas de la tarea (Pozo y Carretero, 1987). Es común
que sujetos que desarrollan y aplican estrategias de pensamiento
formal en un dominio determinado, demuestren un nivel de
desempeño más bajo cuando se enfrentan a tareas que tienen que ver
con dominios desconocidos (Carretero, 1980); (Genyea, 1983).
Además, el uso generalizado de algoritmos en la resolución de
49
problemas puede llevar a una situación en la que la única variable que
explica la actuación exitosa o no de los sujetos sea precisamente el
grado de pensamiento formal (Níaz, 1995).
Anderson propone tres estadios en el aprendizaje de la resolución de
problemas:
a) Una primera fase declarativa: el alumno recibe información.
b) Una fase de compilación: el conocimiento se convierte en un
conjunto de procedimientos.
c) Estadio procesual: la actuación se automatiza. (Anderson, 1982)
Reiff propone otro modelo para la resolución de problemas, según el
cual es preciso, en primer lugar, una activación de conocimientos
relevantes junto con una identificación de la estructura del problema.
Para ello es conveniente un análisis inicial cualitativo en el que son
útiles diversos heurísticos (formular una idea general previa sobre la
situación, proceder a acotar esta idea, construir un esquema de
actuación,...). Estas estrategias forman también parte del proceso de
resolución. Una vez que se obtiene la solución es preciso comprobar su
consistencia con el enunciado y con la que se obtendría siguiendo
otros métodos posibles (Reiff, 1983).
Otros autores ofrecen recomendaciones diversas para que los alumnos
puedan afrontar con éxito cada una de las fases generales de
planteamiento, solución y comprobación. Así, Pozo y otros autores
proponen algunas técnicas útiles en la fase de comprensión (Pozo y
otros, 1994). Algunas de estas técnicas consisten en cambiar el
formato del problema, generalizarlo o concretarlo dependiendo de que
sea específico o general, etc. Estos autores proponen para la fase de
resolución diversas heurísticas como dividir el problema en
50
subproblemas, buscar ejercicios análogos, ir de lo conocido a lo
desconocido, etc. Padgett, por su parte, recoge 33 pasos necesarios
para resolver los problemas (Padgett, 1991) y los organiza de acuerdo
con las etapas de planteamiento, solución y comprobación. Otros
autores proponen enfoques heurísticos que parecen dar resultados
satisfactorios en muchas situaciones (Perales, 1993).
Como cualquier sugerencia para organizar mejor el trabajo y
estructurar la información relevante para una tarea, las
recomendaciones y propuestas anteriores sin duda tienen efectos
positivos. Sin embargo, una crítica legítima que puede formularse a
algunos de los enfoques anteriores es que los consejos que se ofrecen
muchas veces se refieren más a la solución de ejercicios repetitivos
que a la de verdaderos problemas en un sentido amplio. Además, con
las técnicas docentes tradicionales lo que se consigue en muchas
ocasiones no es enseñar a resolver problemas, sino a memorizar
soluciones explicadas por el profesor, lo que hace que los alumnos "se
encuentren perdidos cuando no reconocen el tipo de problema que
tienen que resolver" (Gil, Martínez-Torregrosa y Senent, 1988).
Según la opinión del autor se considera necesario incentivar la
iniciativa de los alumnos; la búsqueda de alternativas de solución de
problemas relacionados con los procesos reales de la profesión; así
como la integración de los conocimientos y el desarrollo del
componente investigativo es una necesidad en la formación del
profesional de estos tiempos. Para lograr tales propósitos es necesario
cambiar los métodos de enseñanza aprendizaje que se utilizan en la
actualidad. En el presente trabajo se presenta una metodología que
puede contribuir al logro de tales propósitos. Esta propuesta incluye
tres etapas fundamentales del proceso de solución de problemas
matemáticos contextualizados: organización - planificación, ejecución
51
y evaluación.
Características de la metodología:
1. Se centra en la utilización de los métodos problémicos:
Planteamiento de tareas y preguntas problémicas (activación).
Conducir el proceso de solución del problema docente profesional
a través de preguntas y tareas problémicas formuladas
adecuadamente, sobre la base del empleo de procedimientos
que permiten concretar y acelerar los medios y vías de solución,
y engendrar el proceso de la estimulación y desarrollo de la
creatividad profesional y la independencia cognoscitiva de los
alumnos.
Darle participación al alumno en la elaboración de los objetivos
de aprendizaje y vincularle los contenidos técnicos de los temas
con la realidad social, productiva, económica y financiera de las
empresas del territorio, con su experiencia profesional y
personal.
Plantearle al estudiante tareas atractivas y significativas para
resolver en la clase y fuera de ella.
Enseñar a plantear problemas, no enseñar soluciones ni
respuestas.
2. El proceso de solución de los problemas matemáticos
contextualizados se desarrolla teniendo en cuenta los eslabones:
modelación matemática, selección del método matemático más
adecuado, solución e interpretación de los resultados.
3. La forma de enseñanza típica que se utiliza es la clase; pero se
hace la precisión de algunas tipologías con relación a sus funciones
y en correspondencia con los objetivos propuestos.
52
4. El medio fundamental que se propone utilizar es el pizarrón, aunque
en las actividades de introducción del nuevo contenido es muy
factible la utilización de computadoras para mostrar esquemas y
gráficas ya elaborados
Etapas de la metodología:
Etapa de organización y planificación del proceso docente
educativo.
Etapa de ejecución del proceso docente educativo.
Etapa de evaluación del aprendizaje.
Etapa de organización y planificación
En esta primera etapa se requiere de:
1. Precisar como punto de partida, el modo de actuación de los
profesionales que se quieren formar, que refleja la lógica de este
en la ejecución de sus funciones. Este aspecto es importante, pues
mediante la implementación de esta metodología se pretende
llevar la lógica de actuación del profesional al proceso docente
educativo del Cálculo Diferencial, con el objetivo de atenuar la
contradicción entre ambos procederes.
2. Llevar al estudiante a la aplicación de los conocimientos adquiridos
en la solución de problemas contextualizados, según el objeto de
trabajo del profesional que se quiere formar. Esta configuración
refleja la sistematicidad del proceso, por lo que es importante
definir con claridad la habilidad generalizadora y no proponer un
número elevado de objetivos.
Es el caso de los problemas de optimización, con aplicaciones
prácticas en muchas áreas de vida: téngase en cuenta cuantas
veces se habla de máximo beneficio, mínimo coste, voltaje
53
máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia o
máxima distancia. En la solución de esos problemas prácticos, el
desafió más grande suele ser convertir el problema en palabras en
un problema matemático de optimización. Es decir que en
numerosas ocasiones interesa conocer sólo el máximo o el mínimo
de una función. Estos problemas a menudo requieren un
planteamiento previo que, resumiendo, es el siguiente:
a. Determinar la función de la que se quiere obtener el máximo
o el mínimo. Es fácil que ésta dependa de más de una variable.
Si hay más de una variable, buscar la relación entre ellas para que
la función sólo dependa de una incógnita.
b. Calcular el máximo o el mínimo pedido, imponiendo las
condiciones necesarias en sus derivadas.
c. Criticar la solución obtenida
Un ejemplo: Una empresa ha decidido mejorar su seguridad
instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la
estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de
alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de
la empresa se puede expresar como la décima parte del producto
entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del
número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada
tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?
a. Determinar la función
Se Llamará x a las alarmas de tipo B instaladas, con lo que
las alarmas de tipo A serán (9-x)
La seguridad de la empresa viene expresada por la función
f(x)=(9-x)x2/10=(9x2-x3)/10
b. Calcular el máximo
Se Calcula f'(x)=(18x-3x2)/10
54
Se Resuelve la ecuación: f'(x)=0. Soluciones: x=0, x=6
Se Calcula f''(x)= (18-6x)/10 y su signo en estos valores. El máximo se obtiene en x=6
c. Criticar las soluciones
Se debe instalar 6 alarmas de tipo B y 3 de tipo A
En el los Anexos se ponen ejemplos con tipos diferentes de
problemas contextualizados: ritmos de cambios relacionados,
relación entre razón de cambio promedio y razón de cambio
instantáneo, teorema del valor medio.
3. Los temas deben estar estructurados teniendo en cuenta los
criterios de sistematización, generalidad y secuencia de los
contenidos científicos. Cada tema debe tributar a la solución de
uno o varios problemas y por supuesto al objetivo general de la
Asignatura, con una organización didáctica que como proceso de
enseñanza aprendizaje gradual permite el tránsito de los
estudiantes por los diferentes niveles de asimilación posibilitando
el cumplimiento del objetivo general.
Se sugiere definir como tipologías de clase las siguientes:
conferencia generalizadora introductora, clases prácticas de tipo 1 y
2, clases prácticas integradoras, taller integrador evaluativo.
La conferencia generalizadora introductora es el tipo de clase
donde se garantiza la motivación de los alumnos mediante el
acercamiento al objeto de estudio en su relación con el objeto de
trabajo del profesional que se quiere formar y su orientación en el
estudio del tema.
La clase práctica de tipo I es el tipo de clase donde los
estudiantes particularizan los conceptos generales a partir de la
generalización teórica, se apropian de métodos de solución a través
55
de la adquisición de conocimientos complementarios y desarrollan
habilidades en la aplicación de estos conocimientos a un nivel
reproductivo.
La clase práctica de tipo II es el tipo de clase donde los
estudiantes sistematizan las habilidades adquiridas, amplían,
profundizan e integran los conocimientos.
Las clases prácticas integradoras son clases prácticas de tipo II,
que se desarrollan al finalizar un tema o parte de él, con el objetivo
de integrar los conocimientos y habilidades adquiridas.
El taller integrador evaluativo es el tipo de clase donde los
alumnos exponen los resultados de una tarea investigativa
orientada con anterioridad, relacionada con la modelación de
problemas vinculados con otras asignaturas o con el perfil de la
carrera y que requiere del uso de métodos matemáticos para su
solución.
4. Elaborar un sistema de problemas a través de los cuales se
desarrolla una dinámica del aprendizaje centrada en el análisis de
alternativas y selección de la más apropiada, según las exigencias
que se plantean.
Aquí se presenta un ejemplo de clases:
Clases sobre puntos extremos de una función, y optimización:
Conferenza generalizadora introductora:
Empezar con la motivación, poniendo una situación problémica (sin
ponerla directamente como problema de optimización), por ejemplo en
economía y comercio: conociendo la relación precio por unidad de
produción (demanda) y del coste de produción por unidad, examinar y
calcular el beneficio total al producir X unidades de producto en varias
situaciones: 1) Por x=m (m siendo las unidades de produción que ,
supuestamente, el profesor ya sabe se corresponda al beneficio
56
máximo). 2) Por algunos valores de x menores que m. 3) Por algunos
valores de x mayores que m. Hacer constatar que si x no es m, no solo
se tiene un beneficio menor, si no que, en lugar de una ganancia, se
puede presentar hasta una Perdida, con el riego de quiebra.
De esta situación problémica deducir la importancia que tiene saber
ese valor x=m….. y como hallarlo: Pues eso es un problema de
optimizazión. Pasar entonces a definiciones y conceptualizaciones.
Clase práctica del tipo I: Orientar metodologicamente ofreciendo
variantes y diferentes situaciones de puntos extremos y críticos de una
función real de una variables y como abordar las mismas.
Clase práctica del tipo II: Ampliar, profundizar e integrar los
conocimientos, para que los estudiantes sistematizen las habilidades
adquiridas.
Clases prácticas integradoras Se resuelven unos problemas reales.
Ejemplo: A un lado de un río de 1 Km de anchura hay una central
eléctrica y al otro lado, 8 Km corriente arriba, una factoría. Tender un
cable por tierra cuesta 3 pesos/metro y bajo el agua 5 pesos/metro.
¿Cuál es el tendido más económico desde la central a la factoría? Los
alumnos, aplicando los conocimientos adquiridos
a. Determinarán la función, individuando las variables y sus relaciones.
b. Calcularán el mínimo de la función
c. Criticarán las soluciones, adecuándolas al problema real.
Taller integrador evaluativo
Los alumnos, dividiéndose en pequeños grupos, son invitados a
solucionar y exponer los resultados de unos problemas relacionados
con la modelación de situaciones vinculadas con el perfil de su carrera
y que requiere del uso de los métodos matemáticos de optimización
estudiados para su solución.
57
Ejecución del proceso
Según C. Álvarez, criterio que se retoma en esta investigación, el
método, las formas de enseñanza y el medio describen la ejecución del
proceso docente educativo. Teniendo en cuenta este planteamiento en
esta etapa se hace énfasis en estos tres aspectos fundamentales
(Álvarez, 1999).
1. Los métodos de enseñanza aprendizaje
En las diferentes actividades se deben utilizar métodos problémicos:
expositivos, de elaboración conjunta, de búsqueda parcial o heurística
e investigativos. Con la participación activa de los alumnos se revela el
objetivo del tema, se arriban a conceptos y procedimientos generales,
se particularizan los conceptos y procedimientos generales, hasta
lograr el trabajo independiente.
En el desarrollo de todas las actividades debe establecerse una
relación entre el objeto de trabajo del profesional y el objeto de
estudio del Cálculo, es conveniente plantear al estudiante situaciones
problémicas, que lo alarmen y le permitan apropiarse de una
contradicción entre los conocimientos ya adquiridos y los que debe
conocer. Este problema está relacionado con la temática a tratar y la
función del egresado en el ejercicio de su profesión. De esta forma se
revela la importancia del tema y se despierta el interés de los alumnos
por los nuevos contenidos.
En la solución de los problemas que se le presentan al alumno en
las clases o como tarea investigativa, es importante que se analicen
las alternativas de carácter matemático, profesional o tecnológico,
existentes para llegar a la respuesta, las que se corresponden con la
dimensión en que se manifiesta el proceso de solución del problema
dado.
58
En el proceso de selección de la alternativa más conveniente se
utiliza el siguiente razonamiento:
identificar alternativas,
reconocer indicios de cada alternativa,
caracterizar cada alternativa,
comparar alternativas,
valorar ventajas y desventajas de cada alternativa,
seleccionar la alternativa más conveniente.
Lo que desarrolla en los alumnos una lógica de trabajo similar a la que
necesita para ejercer su profesión con independencia.
2. Las formas de enseñanza
La forma de enseñanza que se utiliza es la clase, aunque según su
función asumen diferentes tipologías:
Se recomienda, para la introducción del nuevo contenido utilizar la
conferencia generalizadora introductora, cuyo objetivo
fundamental es que el alumno se motive, se familiarice con los
nuevos contenidos y se apropie de una lógica del tema.
Para el desarrollo de las primeras actividades prácticas de cada
temática, en las que se particularizan los procedimientos y
conceptos generales mediante la generalización por deducción,
característica de la Matemática, se deben utilizar clases prácticas
de tipo I.
Las clases prácticas de tipo II, se utilizan para la
sistematización de las habilidades desarrolladas a un primer nivel,
lográndose niveles de producción o creación en los alumnos.
Al finalizar cada tema o un grupo de clases deben realizarse clases
prácticas integradoras y taller integrador evaluativo. En el
taller los estudiantes presentan los resultados de una tarea que se
59
les orienta al iniciar el tema, la cual consiste en buscar en otras
asignaturas de la carrera, un problema que se pueda modelar,
valorar las diferentes vías para llegar a la solución, resolver
utilizando los métodos matemáticos estudiados, e interpretar los
resultados. El informe debe entregarse de forma escrita, teniendo
en cuenta los elementos fundamentales de Metodología de la
Investigación para tales efectos.
3. Los medios de enseñanza
Durante todas las actividades es necesario acompañar la explicación
del profesor con medios que contribuyan a que su exposición sea cada
vez más clara, de forma tal que en el alumno no surjan dudas sobre
las deducciones y generalizaciones. En este sentido es conveniente
además de la utilización del pizarrón como medio fundamental la
elaboración de esquemas.
Los esquemas pueden ser elaborados en el pizarrón, o en algunas
actividades se puede hacer uso de la computación.
Otros aspectos a tener en cuenta en la ejecución del proceso
docente educativo del Cálculo Diferencial:
En las diferentes actividades se recomienda abordar aspectos
relacionados con la historia de las matemáticas, como herramienta
para desentrañar verdades, destacándose el lugar que ocupa el
tema dentro de la ciencia. Además al enunciar los teoremas se
pueden comentar datos sobre los autores, la época y país donde
vivieron y desarrollaron su labor científica, papel que jugaron en el
desarrollo del tema. De esta forma se contribuye a consolidar en el
alumno una concepción científica del mundo.
Durante todas las actividades es importante intercambiar con los
alumnos sobre la importancia del tema como un medio potente no
sólo de la matemática, haciéndose énfasis en la necesidad de su
60
conocimiento, como una herramienta fundamental para dar solución
a sus problemas científicos productivos e investigativos y para la
vida. Esto es muy importante para lograr la motivación en el
alumno.
Es muy importante la adecuada orientación del estudio
independiente, como medio fundamental para el desarrollo de la
independencia cognoscitiva de los alumnos.
Evaluación del aprendizaje
Desempeñan un papel fundamental las evaluaciones frecuentes y
parciales. El taller integrador puede constituir una forma de evaluación
parcial con muchas ventajas en el cumplimiento de las funciones de
esta fase. Puede utilizarse como complemento de una evaluación
parcial escrita o, en los temas que el objetivo lo requiera, como única
forma.
La evaluación mediante el taller integrador evaluativo tiene la ventaja
de que el profesor está cerca del alumno, comprobando, preguntando,
convirtiendo la evaluación en un diálogo educativo con los estudiantes
sobre los caminos o vías escogidas para actuar, sobre las dificultades
encontradas y las alternativas posibles.
Las evaluaciones frecuentes se realizan cuando el profesor estime
conveniente, con la mayor sistematicidad posible; pero teniendo en
cuenta el nivel por el que transita el alumno.
Las evaluaciones frecuentes, parciales y finales, conforman un
sistema. El sistema de evaluación se define teniendo en cuenta el
objetivo de cada actividad, el cual debe reflejar el nivel de asimilación
que ha alcanzado el estudiante, finalizándose con evaluaciones
productivas y creativas.
61
El sistema de evaluación que se planifique en la asignatura debe:
llevar al alumno a la integración de los conocimientos
adquiridos;
plantear al estudiante dilemas y no exigir sólo la memorización
de conceptos;
conducir a los alumnos al análisis de alternativas en la búsqueda
de la solución de los ejercicios y problemas;
incluir, siempre que sea posible, la solución de problemas
relacionados con el objeto de trabajo del profesional que se
quiere formar;
acercar al estudiante a lo académico, investigativo y laboral.
Conclusiones del capítulo
Los resultados obtenidos en la investigación permitieron arribar a las
siguientes conclusiones:
1. Se integraron los elementos fundamentales del proceso de
modelación matemático, para una enseñanza problémica a fin de
lograr una organización problémica del proceso de enseñanza –
aprendizaje del Cálculo Diferencial de funciones reales de una
variable.
2. Este trabajo posibilitó la conformación de una Metodología
Alternativa para la utilización de la enseñanza problémica en el
proceso de modelación matemática para la resolución de problemas
contextualizados a las carreras y al perfil del egresado en la
Universidad APEC, en el proceso enseñanza - aprendizaje del
Cálculo Diferencial.
62
CAPÍTULO III
APLICACIÓN Y CONPROBACIÓN DE LA
METODOLOGÍA ALTERNATIVA PARA EL
PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL
CALCULO DIFERENCIAL
63
CAPÍTULO III. APLICACIÓN Y COMPROBACIÓN DE LA
METODOLOGÍA ALTERNATIVA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DEL CALCULO DIFERENCIAL
En el presente capítulo se va a comprobar y evaluar la validez de la
metodológica propuesta, experimentándola directamente con los
estudiantes.
3.1. Aplicación experimental a los estudiantes
En los últimos dos cuatrimestres (septiembre – diciembre 2004, y
jenero – abril 2005) se aplicó a los alumnos del autor en Unapec, la
metodología propuesta en esta tesis.
En términos absolutos resultó lo siguiente: Respecto a los estudiantes
que se inscribieron a los cursos de Cálculo Diferencial impartidos por el
autor en Unapec, durante el último cuatrimestre (septiembre –
diciembre) del 2004, lograron terminar el curso y aprobarlo el 31.9%,
resultando retirados o reprobados el 68.1%. En el primer cuatrimestre
(jenero – abril) del 2005) lograron terminar el curso y aprobarlo el
52.4%, resultando retirados o reprobados el 47.6%.
64
GRÁFICA # 4
GRÁFICA # 5
Se observó entonces una mejora absoluta y relativa, respecto a los
datos del diagnóstico.
65
Se denotó evidentemente un progresivo mejoramiento en absoluto,
que el autor supone pueda llevar a resultados más propiamente
satisfactorios en la medida en que la aplicación de la Metodología
Alternativa se profundice.
Con respecto a los estudiantes que aprobaron en los últimos dos
cuatrimestres (septiembre-diciembre 2004, y enero-abril 2005),
según la investigación estadística, obtuvieron una calificación
excelente el 7.7% de los estudiantes, el 15.5% apenas aprobó, el
46.1% aprobó con calificación B y el 30.7%% con calificación C.
GRÁFICA # 6
Es decir que, respecto a los datos del diagnóstico, la situación
mejoró también en términos relativos, con relación a las
calificaciones.
Para observar más propiamente las variables del problema, se
hicieron las evaluaciones siguientes. En la observación de los
exámenes del los últimos dos cuatrimestres (septiembre-diciembre
2004 y enero-abril 2005), se midieron los siguientes datos: Un 56%
66
de los estudiantes tenía un buen conocimiento de las fórmulas a
aplicarse, aunque se observaron todavía en bastantes casos (67%)
faltas de conocimientos básicos. Pero cuando se trató de resolver
problemas, el 87% de los alumnos logró identificar correctamente
los datos (variables independientes) del problema, y el 75% de
ellos identificó correctamente los objetivos (variables dependientes)
de los problemas, por lo cual generalmente utilizaron estrategias
claras y correctas para resolverlo. Estos datos, comparados a los
del diagnóstico constituyen ya una primera comprobación de la
validez de la metodología aplicada, claro con posibilidad de
mejoras.
3.2. Corroboración y evaluación de la propuesta.
A continuación se describe la aplicación experimental (2004 – 2005)
realizada con el fin de constatar el grado desempeño en los procesos
de modelación de situaciones problémicas, validar en la práctica la
propuesta de Metodología Alternativa, y comprobar la efectividad de la
utilización de la metodología propuesta en el proceso de enseñanza –
aprendizaje del Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable,
comprobando las posibilidades reales de utilización de la enseñanza
problémica, con problemas contextualizados en las condiciones
concretas de las carreras de los estudiantes de UNAPEC.
Se les dio un seguimiento pedagógico a fin de constatar las supuestas
transformaciones que debían experimentar estos alumnos, en cuanto a
la asimilación productiva de los conocimientos del Cálculo Diferencial,
con relación a la aplicación en el proceso de modelación matemática
adecuada para la resolución de problemas contextualizados. Este
experimento consistió en la utilización intensiva de la Metodología
Alternativa propuesta en el proceso de enseñanza – aprendizaje del
67
Cálculo Diferencial. Se tomó como base la tipología de situaciones
problémicas contextualizadas y su modelación para resolver.
Se consideraron las siguientes variables:
Variable independiente: la Metodología utilizada para el proceso
enseñanza – aprendizaje del Cálculo Diferencial de funciones reales de
una variable, con dos valores: 1, la Tradicional, y 2, la Alternativa.
Variable dependiente: el Desempeño (aplicación práctica de los
conocimientos) en los procesos de modelación de situaciones
problémicas de los estudiantes de Cálculo Diferencial en UNAPEC.
Al dimensionar esta variable, se consideraron como indicadores:
1. Capacidad de clasificar las informaciones relevantes y no
relevantes.
2. Capacidad de decisión sobre los factores a ser perseguidos,
planteando hipótesis de soluciones.
3. Capacidad de generalizar y seleccionar variables relevantes
4. Capacidad de seleccionar símbolos apropiados para dichas
variables.
5. Capacidad de decidir las relaciones entre las variables.
6. Capacidad de identificar alternativas.
7. Capacidad en valorar ventajas y desventajas de cada
alternativa
8. Capacidad de seleccionar la alternativa más conveniente.
9. Obtención de resultados correctos.
68
10. Originalidad de las soluciones dadas (grado de singularidad o
novedad en las respuestas).
Cada uno de estos parámetros puede tomar dos valores (0, 1) según
se tenga o no la Capacidad considerada, por un total máximo de 10
para la variable desempeño en el proceso de modelación de
situaciones problémicas.
En decir que esta variable se midió a través de una escala ordinal en
10 puntos:
desempeño alto (9-10);
desempeño medio (7-8);
desempeño bajo (5-6)
desempeño escaso (0-1-2-3-4)
La primera muestra para la medición se tomó en relación a los
alumnos del autor en el periodo enero – agosto 2004, es decir ante de
la aplicación de la Metodología Alternativa (valor 1 de la variable
independiente). La segunda muestra se aplicó nuevamente a los
alumnos del autor en los periodos septiembre – diciembre 2004, y
enero – abril 2005, es decir en la fase de aplicación de la Metodología
Alternativa (valor 2 de la variable independiente).
Para demostrar la hipótesis de experimentación, se evaluó el estado
de la variable dependiente: grado de desempeño en los procesos de
modelación de situaciones problémicas, tanto en cada ejercicio de los
exámenes como en las preguntas más propiamente de aplicación y
contextualización de los conocimientos del Calculo Diferencial de
funciones reales de una variable, en particular con respecto a los
problemas de aplicación del Teorema del valor medio y de Rolle, los
69
problemas de ritmos de cambios relacionados y los problemas de
optimización.
Se demostró de manera detallada que los resultados, comparando los
de las dos muestras independientes, confirman que en el grupo donde
se aplicó la Metodología Alternativa (variable independiente 2) los
resultados alcanzados son significativamente más altos (53.8% de
alumnos con grado de desempeño alto, 36% con grado de desempeño
medio, 8.2% con grado de desempeño bajo y 2% con grado de
desempeño escaso) que en el primer grupo (variable independiente 1)
(5.4% de alumnos con grado de desempeño alto, 38.2% con grado de
desempeño medio, 39.8%, con grado de desempeño bajo y 16.6% con
grado de desempeño escaso).
Por lo tanto, se confirma que la aplicación de la Metodología
Alternativa para el proceso de enseñanza - aprendizaje del Cálculo
Diferencial de funciones reales de una variable, sustentada en la
unidad de la teoría y la práctica en el proceso de modelación favorece
el desempeño de los estudiantes en el proceso de modelación de
situaciones problémicas y la asimilación de los conocimientos, así
como la originalidad en la solución de situaciones problémicas, y la
asimilación productiva, permitiendo superar la contradicción entre la
materia del Cálculo diferencial y su aplicación práctica, solucionando la
contradicción entre la complejidad de las temáticas del cálculo
Diferencial y la necesidad de que los estudiantes las utilicen como
eficaz herramientas de trabajo en sus carreras y desempeños
profesionales.
70
CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO
Mediante el desarrollo del experimento pedagógico formativo se
comprobó la efectividad de la utilización de la metodología propuesta,
con aportes que posibilitaron un enriquecimiento de la Metodología de
la Enseñanza del Cálculo Diferencial, al hacer más dinámico y
participativo el proceso enseñanza – aprendizaje del Cálculo
Diferencial.
la aplicación de la Metodología Alternativa para el proceso de
enseñanza - aprendizaje del Cálculo Diferencial de funciones reales de
una variable, sustentada en la unidad de la teoría y la práctica en el
proceso de modelación permitió superar la contradicción entre la
materia del Cálculo diferencial y su aplicación práctica y resolver el
problema de la investigación.
71
CONCLUSIONES GENERALES
El aporte fundamental de la investigación lo constituye la Metodología
Alternativa para el proceso Enseñanza – Aprendizaje del Cálculo
Diferencial de funciones reales de una variable, basada en el proceso
de modelación matemática adecuado a la resolución de problemas
contextualizados, donde el contenido no esté disociado de la realidad,
a partir de los contenidos invariantes de las carreras de negocios y de
ingeniería en la Universidad APEC, favoreciendo la participación activa
de los estudiantes, en la utilización de los métodos problémicos. En
particular:
Con la metodología propuesta se logra un acercamiento entre el
objeto de estudio del Cálculo diferencial y el objeto de trabajo del
profesional que se pretende formar, contribuyendo a la motivación
constante de los alumnos y a la formulación de problemas
docentes contextualizados.
En la metodología se concibe el proceso de solución de problemas
contextualizados en tres dimensiones: gnoseológica, profesional y
tecnológica, lo que fundamenta el manejo de alternativas de
carácter matemático, profesional o tecnológico en el desarrollo de
las fases de este proceso.
La concepción de la metodología propuesta propicia el despliegue
sistémico de los contenidos, utilizándose para ello diferentes
tipologías de clase como: conferencia generalizadora introductora,
clase práctica de tipo I, clase práctica de tipo II y taller integrador
evaluativo.
La aplicación de esta metodología perfecciona el programa de
Cálculo Diferencial en UNAPEC para las diferentes carreras, en
cuanto a organización de los temas, definición de objetivos y
72
tipologías de clase, concepción del sistema de evaluación y
reelaboración de las indicaciones metodológicas.
Todas estas conclusiones corroboran en la práctica la idea planteada
inicialmente en esta investigación, y demuestran el cumplimiento del
objetivo propuesto por el investigador, así como la solución del
problema científico planteado.
RECOMENDACIONES
La Metodología Alternativa que se formuló en esta tesis fue
experimentada en los alumnos de Calculo Diferencial que cursaron con el
autor en la Universidad UNAPEC.
Recomendamos:
Estudiar la posible aplicación de la Metodología Alternativa para el
proceso enseñanza - aprendizaje de otras ramas de la Matemática.
Analizar la posible aplicación de esta metodología para el proceso
enseñanza - aprendizaje de otras asignaturas científicas, con las
adecuaciones pertinentes, según el caso.
Fomentar la enseñanza problémica profesional en todas las
asignaturas técnicas.
Extender la investigación con el fin de perfeccionar los resultados y
generalizar la metodología.
73
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83
ANEXOS
84
ANEXO I
CUESTIONARIO A PROFESORES de CALCULO EN UNAPEC
Para cada una de las competencias o habilidades que se presentan a
continuación, indique por favor:
La importancia que, en su opinión, tiene cada competencia o
habilidad en el estudio del Cálculo en vista del desempeño
profesional de los jóvenes egresados
El nivel en que cree que dicha habilidad o competencia se
desarrolla durante el estudio del Cálculo en UNAPEC.
Utilice, por favor, la siguiente escala:
N = nada
P = poco
B = bastante
M = mucho
Importancia
85
Desarrollo
IMPORTANCIA DE HABILIDADES
EN EL ESTUDIO DEL CÁLCULO EN VISTA DEL DESEMPEÑO PROFESIONAL DE LOS EGRESADOS
(RESULTADOS DE LA ENCUESTA)
HABILIDAD / COMPETENCIA
IMPORTANCIA
N P B M
CONOCIMIENTO BASICO
10 30 60
CAPACIDAD PARA PRIORIZAR Y FOCALIZAR
50 50
CAPACIDAD DE ANALISIS Y SINTESIS
10 20 70
CAPACIDAD PARA IDENTIFICAR, FORMULAR Y
RESOLVER PROBLEMAS
20 10 70
86
PENSAMIENTO SISTEMICO
10 50 40
HABILIDAD DE GESTION DE LA INFORMACION
30 50 20
HABILIDAD PARA LA TOMA DE DECISION
10 50 40
CAPACIDAD CRITICA Y AUTOCRITICA
10 40 50
CAPACIDAD PARA SEGUIR APRENDIENDO
20 20 60
CAPACIDAD PARA GENERAR NUEVAS IDEAS (CREATIVIDAD)
10 60 30
HABILIDADES PARA TRABAJAR EN FORMA AUTONOMA
20 40 40
%
%
%
%
NIVEL DE DESARROLLO DE HABILIDADES
EN EL ESTUDIO DEL CÁLCULO EN UNAPEC (RESULTADOS DE LA ENCUESTA)
HABILIDAD / COMPETENCIA
DESARROLLO
N P B M
CONOCIMIENTO BASICO
20 30 30 20
CAPACIDAD PARA PRIORIZAR Y FOCALIZAR
10 50 30 10
CAPACIDAD DE ANALISIS Y SINTESIS
10 40 30 20
CAPACIDAD PARA IDENTIFICAR, FORMULAR Y RESOLVER
PROBLEMAS
10 70 20
PENSAMIENTO SISTEMICO
20 70 10
HABILIDAD DE GESTION DE LA INFORMACION
10 50 30 10
HABILIDAD PARA LA TOMA DE DECISION
60 40
87
CAPACIDAD CRITICA Y AUTOCRITICA
10 50 20 20
CAPACIDAD PARA SEGUIR APRENDIENDO
10 50 30 10
CAPACIDAD PARA GENERAR NUEVAS IDEAS (CREATIVIDAD)
20 80
HABILIDADES PARA TRABAJAR EN FORMA AUTONOMA
30 50 20
%
%
%
%
88
ANEXO II: Mapa de Habilidades y Estrategias
HA
BILI
DA
DES
DESCRIPCIÓN
ESTRATEGIAS
I
D
E
N
T
I
F
I
C
A
R
Se refiere que al abordar una situación
problema, el sujeto sea capaz de:
Identificar datos
Identificar la o las preguntas, y
Reconocer el contexto (visualización de la
situación problemática en su conjunto)
Selección de datos (técnica de
subrayado, reescritura de datos).
Conversión del enunciado en preguntas.
Uso de esquemas para replantear el
problema.
Selección de la meta del problema
(subrayar o reescribir la pregunta, marcar
la palabra clave)
A
N
A
L
I
Z
A
R
Este es un proceso que implica
descomponer las situaciones en las partes
que la constituyen, esto permitiría:
Discriminar los datos pertinentes de los
que no lo son para la realización del
problema.
Determinar las variables que intervienen
en el problema y
Establecer las necesidades de información
cuando ésta no es completa.
Formulación de preguntas que apunten
al análisis.
Uso modelos con material concreto
(maquetas) o gráfico (ilustraciones,
dibujos, mapas, redes) para representar la
información.
Uso de registros orales o escritos para
los requerimientos del problema (técnicas:
hacer una lista por ej. de materiales, de
herramientas, de información que
necesito, etc.; grabación en audio de los
pasos del problema).
Asignación de símbolos a objetos y
eventos para reducir su expresión.
89
R
E
L
A
C
I
O
N
A
R
Es establecer una conexión mental entre
objetos, sucesos y entre ambos.
En una situación problema implicaría:
Relacionar los datos con los conocimientos
previos acerca de la situación.
Establecer la concordancia entre los datos
y la pregunta (que los datos se relacionen
con la pregunta).
Combinar todas las variables del problema
en forma simultánea o sucesiva. y/o
Determinar los nexos y relaciones entre los
objetos que intervienen en el problema.
Construcción y uso de tablas, cuadros,
gráficos y mapas conceptuales para
resaltar las relaciones existentes.
Ordenamiento de los objetos y
situaciones en esquemas de clasificación
Búsqueda de un patrón numérico o
geométrico
Ordenamiento temporal de los sucesos
Ordenamiento de objetos según la
variación de una de sus propiedades
P
L
A
N
I
F
I
C
A
R
Es la etapa donde se planea la forma en que
se solucionará el problema.
Esto implica :
Plantear las estrategias posibles de
solución
Decidir qué estrategia es la más adecuada
para solucionar el problema.
Uso de una operación matemática (o
secuencia de ellas).
Uso de una fórmula, regla de tres,
ecuaciones, teoremas etc.
Uso de lenguaje gráfico: simulaciones,
dibujos, diagramas de flujos, etc.( para
representar la solución, como un modelo a
escala de la solución real).
Búsqueda de ejemplos conocidos como
base para la resolución
Reducción de problemas numéricos
más complejos a otros más sencillos
Ordenamiento de los pasos para la
ejecución de la tarea.
90
E
J
E
C
U
T
A
R
Es la etapa en que se:
Lleva a cabo el plan seleccionado y
comunica la solución de manera coherente
con la interrogante
Resolución de una fórmula, regla
de tres, ecuación, teorema, etc.
Ejecución de operaciones
matemáticas.
Confección de modelos
bidimensionales
Construcción de objetos
tridimensionales.
Uso del ensayo y error sistemático
E
V
A
L
U
A
R
Consiste en dar un juicio valorativo al:
Comprobar si el objetivo se ha logrado de
manera óptima.
Verificar las causas de las posibles
deficiencias del proceso que impiden el logro
del objetivo
Seleccionar una respuesta de entre varias
respuestas factibles.
Revisión de la concordancia entre la
respuesta y la situación planteada.
Revisión del proceso de solución
Emisión de juicios de valor respecto de
la calidad del producto o de la calidad de
la información.
Revisión de las variables que inciden en
la selección de una solución (cuando hay
más de una solución al problema).
91
ANEXO III Pensamiento Crítico y esquemas tradicionales
Pensamiento Crítico Esquemas tradicionales
No - algorítmico. El camino para la
acción no se encuentra completamente
especificado con anterioridad
Algorítmico. El camino para la acción
se encuentra completamente especifi-
cado con anterioridad.
Complejo. El camino total no es
“visible” (hablando mentalmente)
desde un único punto de vista.
Caminos visibles. Se utilizan ejemplos
estándar con caminos visibles
Soluciones múltiples. El pensamiento
crítico da lugar frecuentemente a
soluciones múltiples, cada una con
costos y beneficios.
Solución única. Hay una única solu-
ción posible.
Criterios múltiples. El pensamiento
crítico involucra la aplicación de
múltiples criterios que, en ocasiones,
entran en conflicto entre ellos.
Criterios sencillos. Se requiere la utili-
zación de criterios sencillos que se
encuentran bien definidos.
Incertidumbre. El pensamiento crítico
involucra frecuentemente la
incertidumbre. No se conoce todo lo
que se requiere para desarrollar la
tarea.
Certeza. Se tiene certeza: se ha dado
toda la información que se requiere.
Auto-regulación. El pensamiento
crítico requiere la auto - regulación del
proceso de pensamiento
Regulación externa. En muchas ocasio-
nes es un tercero quien determina lo
que se debe hacer en cada momento.
Asignación de significado. El
pensamiento crítico requiere la
asignación de significado, encontran-
do la estructura subyacente a un
desorden aparente.
Significado dado. El significado está
dado o se supone.
Requiere esfuerzo. El pensamiento
crítico requiere de esfuerzo. Se
requiere gran cantidad de trabajo
mental con el propósito de desarrollar
las elaboraciones y los juicios
involucrados.
No requiere esfuerzo. El trabajo normal-
mente involucra ejercicios estándar
tan simplificados que requieren de
muy poco esfuerzo.
92
ANEXO IV Problemas sobre: Relación entre razón de cambio
promedio y razón de cambio instantáneo - Ritmos de
cambios relacionados - Teorema del valor medio y de Rolle -
Optimización
1. - El costo en dólares de producir x unidades de cierto artículo es
205.0105000)( xxxC . A) Encuentre la razón de cambio promedio
de C con respecto a x, cuando se cambie el nivel de producción de
x=100 a x=105. B) Halle la razón instantánea de cambio de C con
respecto a x cuando x=100.
2. - A) Encuentre la razón de cambio promedio del área de un
círculo con respecto a su radio r, cuando éste cambia de
(i) 2 a 3 (ii) 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1
B) Encuentre la razón instantánea de cambio cuando r=2.
3. - La función de posición de una partícula está dada por
ttts 75.4 23 con 0t A) Calcular la velocidad media en los
primeros 10 segundos. B) Calcular la velocidad instantánea cuando
t=3 seg. C) Calcular el instante en que la partícula alcanza una
velocidad de 5 m/s
4. - Suponga que un barco de transporte de petróleo se ha
averiado y el petróleo sale y se extiende circularmente. Si el radio
de la mancha crece a la velocidad constante de 1 m/s, ¿Cuál es la
velocidad de crecimiento de la mancha cuando el radio es 30m?
5. - Si una bola de nieve se licua de tal suerte que su área
superficial disminuye con una tasa de min/1 2cm , calcule la tasa con
que se reduce el diámetro en el momento en que mide 10 cm.
93
6. - Dos automóviles parten del mismo punto. Uno va hacia el sur a
60 mi/h y el otro hacia el oeste, a 25 mi/h. Calcule con que rapidez
aumenta la distancia entre ellos después de dos horas.
7. - Comprueba que la función x
xf4
5)( satisface las condiciones
del Teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y determina el
valor medio que cumple con las conclusiones del Teorema.
8. - Comprueba que la función xxxf 42)( 2 satisface las tres
condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [0,2] y determina
el valor de x que cumple con las conclusiones del Teorema.
9. - Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que
conectarlos mediante un cable que esté atado en algún punto del
suelo entre ellos. Hallar en que punto ha de amarrarse el suelo con
el fin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible.
10. - En la comercialización de un producto se ha comprobado que
la demanda viene dada por x
p50
. El coste de producción de x
unidades es 5005.0 xC . Calcular el numero de unidades que es
más conveniente producir y el precio por unidad para que se
consiga un beneficio máximo.
