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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

UN MODELO DE GENERACION DE COLUMNAS PARA UN RUTEO DE CAMIONES EN LA INDUSTRIA FORESTAL CHILENA

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN GESTION DE

OPERACIONES

MEMORIA PARA OPTAL TITULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL

JUAN ANDRES MUÑOZ SAAVEDRA

PROFESOR GUÍA: SR. ANDRÉS WEINTRAUB POHORILLE

MIEMBROS DE LA COMISION:

SR. PABLO ANDRÉS REY SR. CRISTIAN CORTES CARILLO

JUAN CARLOS MUÑOZ ABOGABIR

SANTIAGO DE CHILE SEPTIEMBRE, 2006

2

INDICE GENERAL 1.- INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 8

2.- EL PROBLEMA ....................................................................................................... 12

2.1.- Descripción del Problema .................................................................................. 12

2.2.- Métodos Existentes para Resolver el Problema de Transporte .......................... 16

2.3.- El Método ASICAM .......................................................................................... 17

3.- EL MODELO ............................................................................................................ 22

3.1.- Enfoque Utilizado............................................................................................... 22

3.2.- El Problema Maestro .......................................................................................... 26

3.3.- El Subproblema: Industria Forestal Chilena ...................................................... 30

4.- PROBLEMA MULTIPRODUCTO Y MULTICAMIÓN. ....................................... 36

4.1.- Descripción Del Problema.................................................................................. 36

4.2.- Descripción De Instancias .................................................................................. 37

4.3.- Solución Factible Inicial..................................................................................... 40

4.4.- Implementación. ................................................................................................. 42

4.5.- Resultados. ......................................................................................................... 49

4.5.1.- Descripción De Indicadores ........................................................................ 49

4.4.2.- Resultados Obtenidos .................................................................................. 49

5.- ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES........................................................................ 54

5.1.- Jornada Laboral .................................................................................................. 54

5.2.- Distribución del Tiempo..................................................................................... 61

3

5.3.- Programas De Viaje............................................................................................ 65

5.4.- Estructura de las Soluciones............................................................................... 70

6.-EXTENSIONES DEL MODELO. ............................................................................. 75

6.1.- Modificaciones al Modelo Original. .................................................................. 75

6.1.- Descripción de las instancias.............................................................................. 76

6.3.- Resultados Obtenidos ......................................................................................... 77

CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO. ................................................................. 80

BIBLIOGRAFÍA. ........................................................................................................... 82

ANEXOS ........................................................................................................................ 84

ANEXO I: Tiempos de Viaje por Camión. ................................................................ 85

ANEXO II: Costo Total de Transporte....................................................................... 86

ANEXO III: Tiempos de Ejecución del Modelo. ....................................................... 87

ANEXO IV: Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral. .................................... 88

ANEXO V: Tiempos de Viaje.................................................................................... 91

ANEXO VI: Estadísticas de la Jornada Laboral......................................................... 95

ANEXO VII: Programas de Viajes........................................................................... 100

ANEXO VIII: Programas de Viajes II...................................................................... 103

4

INDICE DE FIGURAS Gráfico 1.1: Principales Mercados para los Productos Forestales Chilenos .................. 10

Figura 3.1: Esquema de Itinerario. ................................................................................. 23

Figura 3.2: Procedimiento General................................................................................. 23

Figura 3.3: Esquema de Alternativas de Generación de Columnas................................ 25

Figura 3.4: Esquema físico de la Red del Subproblema. ................................................ 33

Figura 3.4: Esquema temporal de la Red del Subproblema............................................ 34

Figura 4.1: Esquema de Resolución ............................................................................... 40

Figura 4.2: Esquema de Implementación del Proceso de Resolución. ........................... 43

Figura 4.3: Esquema de Implementación de la Generación de Columnas. .................... 44

Figura 4.4: Esquema de Heurística para generar Soluciones Iniciales. .......................... 47

Gráfico 4.5: GAP’s Relativos para todas las Instancias. ................................................ 50

Gráfico 4.6: Tiempos de Ejecución. ............................................................................... 52

Gráfico 5.1: Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1.................................................... 56





Gráfico 5.6: Tiempos de Viaje Detallados en Porcentaje. Grupo de Instancias I1. ....... 62

Gráfico 5.7: Tiempos de Viaje Detallados en Horas. Grupo de Instancias I1................ 63

5

Gráfico 5.8: Estadísticas Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1. ............................... 64

Gráfico 5.9: Programas de Viajes. Grupo de Instancias I1............................................. 66

Gráfico 5.10: Programas de Viajes de la Solución Final. Todas las Instancias.............. 68

Gráfico 5.11: Programas de Viajes de la Solución Final. Promedios Instancias............ 70

Gráfico 6.1: GAP’s Relativos para todas las Instancias (Incluyendo Extensiones). ...... 73

Gráfico A.VI.1: Estadísticas Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1.......................... 97





6

INDICE DE CUADROS Y TABLAS Tabla 4.1: Descripción de Parámetros ............................................................................ 38

Tabla 4.2: Descripción de Instancias. ............................................................................. 39

Tabla 4.3: Costo de Transporte y Capacidades de Carga (Unidades de Carga, UC). .... 39

Tabla 4.4: Descripción de Indicadores. .......................................................................... 49

Tabla 4.5: Tiempos de Ejecución. .................................................................................. 51

Tabla 5.1: Descripción de Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral. ................... 55

Tabla 5.2: Descripción de Indicadores de Programas de Viajes. ................................... 65

Tabla 5.3: Tiempos de Viaje Instancia de Prueba. ......................................................... 71

Tabla 5.4: Asociación Productos – Camiones Instancia de Prueba................................ 71

Tabla 5.5: Demandas Instancia de Prueba. ..................................................................... 71

Tabla 5.6: Programas de Viaje de la Solución de la Instancia de Prueba....................... 72

Tabla 5.7: Estadísticas Programas de Viaje de la Solución de la Instancia de Prueba... 74

Tabla 6.1: Descripción de Instancias para extensión del Modelo. ................................. 77

Tabla 6.2: Resultados Obtenidos con la extensión del Modelo...................................... 77

Tabla 6.3: Tiempos de Ejecución de la extensión del Modelo. ...................................... 79

Tabla A.1.1: Tiempos de Viaje (Ida y Regreso) para cada tipo de Camión. .................. 85

Tabla A.2.1: Costos de la Solución. ............................................................................... 86

Tabla A.3.1: Tiempos de Ejecución (hh:mm:ss). ........................................................... 87

Tabla A.IV.1: Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral. Grupo I1. ..................... 88


7




Tabla A.V.1: Tiempos de Viaje. Grupo I1. .................................................................... 91




Tabla A.VI.1: Medidas de Efectividad de la duración de la jornada laboral. Grupo I1. 95




Tabla A.VII.1: Indicadores de Programas de Viajes. Grupo I1.................................... 100





Tabla A.VIII.1: Programas de Viajes Usados. Todas las Instancias. ........................... 103

Tabla A.VIII.2: Programas de Viajes Usados. Promedios. .......................................... 104

8

CAPÍTULO 1.

INTRODUCCIÓN

Este trabajo de tesis se enmarca dentro del área de la Gestión de Operaciones,

más específicamente en al área de la optimización combinatorial y los problemas de

ruteo de vehículos.

El objetivo central del presente trabajo es plantear, modelar y resolver un

modelo para el problema operacional de transporte dentro de la industria forestal

chilena. Diariamente, las empresas forestales deben tomar diversas decisiones acerca

de cómo llegar con sus productos hasta sus clientes. Dichas decisiones comienzan por

decidir qué caminos construir para realizar de forma eficiente la extracción de la

madera, qué tipos de camiones se deben utilizar para transportar los productos

obtenidos, además de decidir que ruta sigue cada camión para llegar hasta los puntos

de entrega determinados.

El problema que se pretende resolver tiene relación con la entrega de los

productos forestales, esto es, resuelto ya el problema de la construcción apropiada de

caminos o de la red de distribución, se intenta obtener las rutas lógicas para los

camiones disponibles dentro de dicha red de caminos, que optimicen los recursos de

las empresas forestales, en otras palabras, se busca obtener las rutas que permitan

llegar a tiempo a los puntos de entrega y con el menor costo de transporte asociado

posible.

Dentro de los aspectos que se consideran en el planteamiento y la resolución

del problema están las demandas fijas de productos en destinos previamente

determinados, es decir, las empresas forestales conocen con antelación quienes son

sus clientes y cuándo y dónde deben ser atendidos; la producción y disponibilidad

9

homogénea de productos durante la jornada laboral en los puntos de origen o

producción; una red de caminos que conecta puntos de origen y destinos y los costos

asociados al transporte de los productos, dependientes del tipo de camión que se

utilice para dicho propósito dentro de la red de caminos predefinida.

El problema que se intenta resolver en este trabajo cobra gran importancia

para la economía chilena si se considera que uno de los grandes sectores económicos

es el forestal. El altamente competitivo mundo de hoy, ha hecho que las industrias

forestales, entre muchas otras, traten de sacar el máximo provecho a sus recursos

optimizando sus procesos productivos.

Durante el mes de octubre de 2005, las exportaciones forestales chilenas

llegaron a US$ 316 millones, cifra que supera en 8,2% a la del mes precedente y en

17,9% a la de octubre de 2004. Con este resultado, el total exportado en los 10

primeros meses del año 2005 alcanza a US$2.945,1 millones, con un incremento de

5,7% respecto de igual período del año anterior.

Si se considera además que Estados Unidos mantiene el liderazgo entre quienes

importan productos forestales chilenos, con una participación superior al 25%1 del

total de las exportaciones y que se abren cada día más los mercados de Asia Pacífico

para la exportación de este tipo de producto, para las empresas forestales se hace aún

más relevante resolver el problema de extracción y distribución en forma óptima. En el

gráfico 1.1 se pueden ver los principales destinos de las exportaciones de productos

forestales chilenos.

1 Ver Gráfico 1.1

10

PRINCIPALES MERCADOS PARALOS PRODUCTOS FORESTALES CHILENOS

Enero-Octubre 2005: US$2.945,1 millones

10,80%1,20%1,20%1,30%1,50%1,70%2,00%2,00%

2,80%2,80%3,20%3,30%3,60%3,80%

4,60%8,00%

8,70%10,60%

27,00%

Otros

Venezuela

U.E.A.

Colombia

Argent ina

España

C. del Sur

Italia

México

EE.UU.

FUENTE : INFOR

Gráfico 1.1: Principales Mercados para los Productos Forestales Chilenos.

Lo que sigue de este trabajo está estructurado de la siguiente forma. En el

capítulo 2 se describe el problema que se intenta resolver más detalladamente. Se

agregan además algunas descripciones de los anteriores intentos por resolver el

problema que en este trabajo se intenta resolver y problemas similares a los que se

enfrentan otras industrias, describiendo de paso algunos resultados obtenidos en

dichos intentos.

11

El capítulo 3 da cuenta del modelo de generación de columnas construido para

resolver el problema planteado, partiendo por una descripción general del modelo

utilizado para llegar a su aplicación al problema particular en la industria forestal

chilena.

En el capítulo 4 se muestran las instancias utilizadas para probar el modelo,

explicando cómo fueron construidas las soluciones iniciales de los problemas, para

luego mostrar los resultados obtenidos. En el capítulo 5 se hace un análisis de dichos

resultados, basándose principalmente en indicadores utilizados para dar una mejor y

más clara interpretación del resultado obtenido.

El capítulo 6 presenta una extensión del modelo original y finalmente, el

capítulo 7 presenta conclusiones derivadas del trabajo realizado así como líneas de

acción que se sugieren pueden ser seguidas en investigaciones futuras del tema.

12

CAPÍTULO 2.

EL PROBLEMA

2.1.- Descripción del Problema

Los productos madereros o forestales se caracterizan por el largo y diámetro de

cada tronco. Existen puntos de explotación y acopio de productos que cuentan con

zonas y maquinaria que permite subirlos en diferentes tipos de camiones. Dichos

puntos serán llamados puntos de oferta. La cantidad disponible en cada uno de los

puntos de oferta depende de factores como la tasa de producción diaria, los productos

sobrantes del día anterior, entre otros factores.

Por su parte, la demanda de productos puede provenir desde diferentes puntos

de demanda, entre los que están:

• plantas de celulosa,

• puertos,

• centros de acopio.

Los productos son transportados desde los puntos de oferta hasta los puntos

de demanda utilizando diferentes tipos de camiones, cada uno con características

particulares. No todos los tipos de camiones pueden transitar por cualquier camino

dentro de la red, hay algunos de ellos que están limitados por su tamaño y capacidad

de carga a circular sólo en algunos tipos de caminos. Además, no todos los camiones

pueden transportar todos los tipos de productos, algunos de ellos están diseñados y

construidos para transportar un tipo especial de madera.

13

El problema que se intenta resolver será planteado para una jornada laboral de

12 horas e incluye la toma de decisiones como por ejemplo:

• Seleccionar los puntos de oferta desde los cuales transportar la madera para

satisfacer la demanda del producto. Es probable que para una jornada laboral

determinada existan puntos de oferta desde los cuales no se extraiga material.

• Determinar la cantidad de camiones de cada tipo que deben ser usados para

entregar los productos, dependiendo del tipo de producto que deba ser

entregado y de la red de caminos disponible.

• Estipular el programa de viajes de cada camión en su jornada de trabajo.

Además, el problema considera muchos otros factores que deben ser

controlados por las empresas forestales. El servicio de entrega debe siempre satisfacer

las necesidades y restricciones impuestas por los clientes, luego esto se traduce en

que el itinerario o programa de viajes de cada camión debe adaptarse a los horarios

de los pedidos de productos, es decir, se debe entregar las cantidades requeridas en

los destinos indicados por los clientes a la hora señalada, tratando de mantener cierta

regularidad en las entregas y movimientos dentro de la red de caminos, para no

producir congestión en algún punto dentro de dicha red de transporte que produzca

interrupciones del servicio y lentitud en los desplazamientos de los camiones.

Por otro lado, existe una capacidad de producción limitada por las maquinarias,

los recursos humanos y/o por los recursos naturales disponibles en cada uno de los

puntos de oferta. Por lo tanto, los camiones deben llegar a recoger productos en

instantes del día en que dichos productos estén disponibles en los puntos de oferta y

estén además disponibles las maquinarias necesarias para mover la madera y cargarla

en los camiones. Lo anterior implica que el programa de viajes de cada camión debe

considerar los horarios de llegada de los camiones a los puntos de oferta.

14

Como en muchas situaciones a las que se ve enfrentada cualquier empresa,

existen recursos limitados para realizar las labores diarias de entrega de productos, y

la idea es utilizar de la mejor forma posible los recursos disponibles. Ello implica que si

bien las empresas cuentan en general con un gran número de camiones disponibles de

diversos tipos, se debe tratar de satisfacer toda la demanda de un período de

planificación tratando de hacer lo más bajo posible el costo en el transporte de los

productos. Otras palabras, si bien se puede considerar como ilimitada la cantidad de

camiones disponibles diariamente, el modelo a construir debe tratar de minimizar la

cantidad de camiones a utilizar en una jornada laboral.

Así, cada viaje entre un punto de oferta y uno de demanda (y viceversa) está

definido por:

• El punto desde donde salen los productos (punto de oferta).

• El punto hacia donde se dirigen los productos (punto de demanda).

• El costo del viaje.

• El tiempo de viaje, que puede depender del camión y de las condiciones de

la ruta entre los dos puntos.

Los puntos de oferta y de demanda se considerarán predefinidos y fijos. Lo

anterior significa que cada camión puede retirar o cargar productos en horarios

determinados dependiendo de cada punto de oferta y debe entregar dichos productos

en los puntos de demanda en horas o intervalos de tiempo también definidos o

preestablecidos.

El modelo, además, debe respetar las jornadas de trabajo de los choferes

encargados de llevar los productos, y los puntos de partida y término de cada itinerario

o programa de viajes. Generalmente cada camión está asociado a una base o planta

desde la cual parte su recorrido diario y donde debe finalizar el mismo una vez

15

terminadas las labores asignadas. Ningún par chofer-camión puede estar fuera de la

base por períodos mayores a una jornada laboral preestablecida.2

En resumen, el problema consiste en entregar la cantidad de producto solicitada en

cada destino, a la hora señalada, minimizando los costos de transporte y respetando

las restricciones técnicas y laborales antes descritas3.

2 En este trabajo se considera una jornada laboral máxima de 12 horas. 3 En las restricciones se consideran también penalizaciones por los tiempos de espera de los camiones y por la cantidad de camiones que se utilizan en cada jornada. Por lo tanto, el modelo trata de minimizar los tiempos ociosos y los camiones a utilizar.

16

2.2.- Métodos Existentes para Resolver el Problema de

Transporte

El problema de transporte en la industria forestal ha sido estudiado en

diferentes países incluyendo Suecia (Palmgren, 2001) y Chile (Espinoza, 2000).

Desde fines de la década de los 80’s, las industrias forestales chilenas han

invertido recursos económicos y tiempo en el desarrollo de modelos matemáticos

orientados a mejorar los procesos en las compañías. Estos sistemas permiten tomar

decisiones sobre el itinerario diario de los camiones de transporte, planes de corte de

corto plazo, ubicación de maquinaria, construcción de caminos y planificación forestal

de mediano y largo plazo.

Las formas tradicionales de resolver el problema del transporte de la madera a

finales de los 80’s eran ineficientes y poco organizadas. Esto trajo consigo el no

cumplimiento de las demandas, largos tiempos de espera en colas, problemas entre

los choferes, largas jornadas de trabajo, baja utilización de los equipos, y baja

coordinación en las operaciones post-descarga.

Como solución a lo anterior, Bosques Arauco y el DII de la Universidad de

Chile, desarrollaron un sistema computacional para manejar y programar

eficientemente las rutas diarias de los camiones. El sistema fue puesto en marcha en

Enero de 1989 en Bosques Arauco. Desde entonces y hasta hace un par de años, ocho

firmas chilenas han implementado el sistema y reportaron ahorros que van desde un

15% a un 35% de los costos de transporte, lo que equivalía a un ahorro anual de US$

8,5 millones (Espinoza, 2000).

17

La implementación del sistema trajo consigo una serie de mejoras entre las que

destacan:

• mejora en las condiciones laborales (reducción de la jornada laboral),

• un alza de los sueldos,

• mayor homogeneidad en las operaciones post-descarga debido a la mejor

programación de la llegada de los camiones, que hacía más homogéneo el

tiempo entre llegadas,

• menores colas en los puntos de oferta y demanda,

• reducción del número de camiones y cargadores necesarios,

todo lo que redundaba en una mayor productividad de todo el sistema.

2.3.- El Método ASICAM

El sistema computacional implementado, llamado ASICAM (asignación de

camiones), consistía en un proceso de simulación de la jornada diaria, que entregaba

como resultado una ruta de trabajo para dicha jornada y demoraba aproximadamente

tres minutos en resolver problemas que incluían cerca de 200 camiones, 40 puntos de

oferta y 15 puntos de demanda (Weintraub et al., 1996).

El proceso, a grandes rasgos es como sigue:

• Paso 1, Inicializar la componente de tiempo en 0.

• Paso 2, Evaluar todos los viajes posibles para todos los camiones que se

pueden realizar dentro de un rango de una hora desde el tiempo inicial,

denominado t0.

18

• Paso 3, Asignar los viajes que han sido programados en el rango t0 + 15

minutos.

• Paso 4, Si algún cliente todavía puede recibir dentro del día productos,

mover la componente de tiempo en 15 minutos y repetir los pasos desde el

segundo, de otra forma, el proceso finaliza.

La evaluación de los posibles viajes (paso 2) estaba basada en un conjunto de

reglas heurísticas. Se consideraban los costos reales de los viajes y penalizaciones que

dependían de la congestión en los puntos de ofertas, entre otros factores.

A las demandas, dependiendo de su urgencia, se le asignaban prioridades, que

iban desde primera prioridad para los viajes que incluían demandas urgentes de

satisfacer, segunda prioridad a viajes destinados a satisfacer demandas atrasadas y

tercera prioridad a viajes que incluían visitas a puntos de oferta con una alta

acumulación de productos.

Los viajes eran elegidos considerando en primer lugar los de menor costo

dentro del grupo con primeras prioridades. Si no había viajes que satisficieran lo

anterior, el proceso continuaba seleccionando los viajes con menores costos dentro del

grupo con segunda prioridad para finalizar con los de tercera prioridad y los viajes sin

ninguna prioridad.

En cada iteración de la simulación, existían algunos parámetros que debían ser

actualizados; las demandas se iban satisfaciendo, la oferta en algunos orígenes

cambiaba debido a la cantidad de productos retirados y las prioridades de los viajes

eran recalculadas.

Desde la implementación de ASICAM hasta la fecha, muchos otros modelos han

intentado mejorar aún más el proceso obteniendo soluciones que cada vez se acercan

más a la solución óptima del problema.

19

En 1997, un trabajo conjunto entre la Universidad de Pisa, Italia y la

Universidad de Chile, utilizó un algoritmo basado en relajación lagrangeana para

resolver un problema similar. Dentro de sus principales características destaca el uso

de en ese entonces un nuevo algoritmo para aproximar la solución del dual

lagrangeano. (Gallo, Weintraub et. al., 1997),

En Mayo del 2000, un trabajo realizado en la Facultad de Ciencias Físicas y

Matemáticas de la Universidad de Chile (Espinoza, 2000), desarrolló un sistema

analítico-heurístico que flexibilizaba las condiciones pre-impuestas en ASICAM (entre

ellas la homogeneidad de la llegada de los camiones) y que eran consideradas como

restricciones en otros enfoques analíticos adoptados hasta esa fecha, pero que sin

embargo no consideraba la opción de resolver el problema directamente y en forma

exacta, debido a las limitaciones del software y hardware de la época.

Uno de los últimos intentos realizados para resolver el problema está contenido

en un trabajo de la División de Optimización del Departamento de Matemáticas del

Instituto de Tecnología de Linköping, Suecia (Palmgren, Ronnqvist, 2001), y el

enfoque utilizado por dicho trabajo es la generación de columnas4, utilizando una

heurística para generar un pool inicial de columnas disponibles para ser utilizadas en la

resolución del problema.

Los enfoques y trabajos antes descritos tienen un denominador común; utilizan

heurísticas o relajaciones del problema original para poder resolverlo.

Rônnqvist y Ryan a mediados de los noventa resolvieron un problema de

despacho de camiones en tiempo real en una de las más grandes compañías forestales

de Nueva Zelandia, que contaba con una flota de 120 camiones. En dicho problema,

no era necesario generar a priori o de una vez todos los programas de viaje requeridos

4 Metodología utilizada en este trabajo

20

para todo el día sino que el objetivo planteado era encontrar o generar un programa

de viajes a la vez para cada camión que estaba disponible. Los choferes llamaban a la

central de despachos una vez que habían completado la entrega encomendada y

pedían ser asignados a un nuevo viaje. El método propuesto era capaz de encontrar

rápidamente soluciones en este escenario. (Rônnqvist y Ryan, 1995).

La combinación de heurísticas y métodos exactos también ha sido aplicada

exitosamente en Finlandia. Un sistema llamado EPO ha sido usado en una gran

compañía Finlandesa llamada Enso-Gutzeit desde 1993 (Linnainmaa, Savola y Jokinen,

1995). EPO es un sistema que resuelve todas las etapas del proceso, desde las

decisiones estratégicas hasta las operacionales del día a día. Los datos de entrada son

recolectados en línea directamente desde los bosques y el resultado que se obtiene es

la programación semanal para cada camión.

En otras industrias se generan problemas similares al planteado en este

trabajo. Las líneas aéreas por ejemplo, se ven enfrentadas al problema de generar las

rutas que deberá seguir cada uno de sus tripulantes, agregando también a la decisión

los días de descanso que se asignarán a cada uno de ellos. El problema consiste en

seleccionar los destinos dentro de una red de ciudades que cada tripulante debe visitar

en un determinado número de días. Sólo Air New Zealand, entre 1986 y 1999, en

colaboración con la Universidad de Auckland desarrolló ocho aplicaciones

específicamente construidas para resolver todos los aspectos involucrados en el

problema descrito. Esos sistemas trajeron consigo un ahorro de NZ$15.655.000

anuales además de generar rutas más agradables y cómodas para sus tripulantes

(Butchers, 2001) (Ryan, 1997).

El objetivo de este trabajo de tesis es desarrollar un modelo de planificación

forestal pueda resolver el problema antes descrito utilizando un enfoque adoptado en

problemas similares y en otras industrias, basado en la generación dinámica de

21

columnas, técnica de descomposición de problemas de programación matemática

propuesta en un primer intento por Gilmore y Gomory en 1960.

22

CAPÍTULO 3.

EL MODELO

3.1.- Enfoque Utilizado

El problema de asignación de camiones, en su formulación matemática, tiene

una estructura adecuada para ser resuelto utilizando el método de generación de

columnas. La idea básica de dicho método es descomponer el problema original en un

problema maestro y un subproblema por cada tipo de camión que se considere en el

problema que se quiera resolver.

Una columna es la unidad básica de este tipo de modelos y corresponde a una

columna de la matriz completa de restricciones del problema maestro.

Frecuentemente, cada columna tiene una interpretación intuitiva y permite visualizar

de mejor forma el problema que se está modelando. En nuestro caso, una columna

corresponde a un programa de viajes o itinerario para una jornada de trabajo de un

camión particular.

El tamaño del problema maestro depende de la cantidad de columnas que se

incluyan en el mismo. La idea es, por lo tanto, incluir sólo las columnas “adecuadas” a

dicho problema, desechando todas aquellas que no aportan mejoras en el valor de la

función objetivo del problema global.

Cada camión, en un itinerario completo, puede visitar tantos puntos de oferta y

demanda como el tiempo de la jornada laboral, los tiempos de viaje y la disponibilidad

de productos se lo permitan, y una columna del problema indica cuáles de esos puntos

deben ser visitados por cada camión. Un itinerario puede verse como se ilustra en la

figura 3.1:

23

FININICIO

Puntos de Demanda

BASE

Puntos de Oferta

FININICIO

Puntos de Demanda

BASE

Puntos de Oferta

Figura 3.1: Esquema de Itinerario.

El problema maestro, en la aplicación estudiada en este trabajo y en muchas

otras, es la relajación de un modelo Lineal Entero Mixto que puede ser resuelto

rápidamente aplicando el algoritmo Simplex. Ahora, las variables duales obtenidas

luego de la resolución del problema maestro relajado son usadas como datos de

entrada en la función objetivo del subproblema generador de columnas. La salida o

resultado del subproblema es una nueva columna que es ingresada al problema

maestro y se caracteriza por tener el menor costo reducido de acuerdo a las variables

duales entregadas. Cabe mencionar que las columnas, en la mayoría de los casos, son

diferentes de una iteración a otra del proceso, dado que tanto las variables duales

como la solución del problema maestro relajado cambian de una iteración a otra. El

procedimiento general se ilustra en la figura 3.2:

Figura 3.2: Procedimiento General

Problema Maestro

Generación de Columnas (subproblemas)

Columnas Precios Duales (π)

24

Un punto importante a destacar es que, como ya se mencionó, el tamaño del

problema maestro, y por ende el tiempo de resolución, dependen de la cantidad y de

la “calidad” de las columnas que sean ingresadas al problema maestro. Luego, la idea

es que se ingrese inicialmente una solución factible inicial y se vayan agregando

columnas al problema a medida que se van realizando las iteraciones o llamadas al

generador de columnas. Ahora, la forma en que se obtienen las columnas puede

variar.

Existen varias alternativas para la selección de las columnas. La primera de

ellas es generar un conjunto con todas las posibles columnas, es decir, generar todos

los posibles viajes que un camión de un determinado tipo puede hacer durante el día.

Sin embargo, esta alternativa es muy difícil de aplicar debido a la gran cantidad de

columnas que podría ser necesario generar

Una alternativa para lidiar con el gran tamaño que puede llegar a tener el

conjunto de todas las columnas posibles es generar alguna metodología, como una

heurística, que seleccione sólo algunas de las columnas según reglas definidas por el

usuario (Palmgren, Ronnqvist, 2001).

Las dos metodologías mencionadas anteriormente, pueden ser mejoradas

calculando el costo reducido de todas las columnas para cada caso haciendo ingresar

al problema maestro sólo columnas con costos reducidos negativos5. Si consideramos

el conjunto con todas las columnas posibles combinado con el cálculo de los costos

reducidos y el ingreso selectivo de columnas al problema maestro, tendremos una

metodología equivalente a resolver un subproblema en cada iteración que genere la

mejor columna automáticamente, es decir, sin tener el conjunto total de columnas

creado a priori sino que utilizando la metodología propuesta por Dantzig-Wolfe para

resolver el problema. (Lasdon, 1970).

5 En cada iteración pueden ingresarse al problema maestro más de una columna.

25

Las diferentes alternativas son resumidas esquemáticamente en la figura 3.3.

Figura 3.3: Esquema de Alternativas de Generación de Columnas.

La última metodología mencionada es la utilizada en este trabajo principalmente

debido a que permite resolver una gran variedad de problemas6. Entonces, el esquema

que sigue el método de generación de columnas se puede resumir en los siguientes

puntos:

• Paso 1: Entregar al problema maestro una solución factible inicial

• Paso 2: Resolver una relajación del problema maestro

• Paso 3: Resolver el subproblema generando la columna con el menor costo

reducido7.

• Paso 4: Si el costo reducido de la mejor columna es menor a cero, dicha

columna es ingresada al problema maestro y se vuelve al paso 2, de otra forma

ir al paso 5.

6 Dicha metodología permite resolver problemas de tamaño muy superior a un problema real. 7 Las variables duales son consideradas en la construcción de la función objetivo del subproblema. Ver Capítulo 3.3.

Subconjunto de

todas las Columnas posibles

• Resolver Subproblema y añadir columnas con costo reducido negativo

Subproblema (Generador de Columnas)

Todas las Columnas posibles

Problema Maestro

• Añadir todas las columnas disponibles ó

• Calcular costo reducido y añadir columnas de costo negativo

26

• Paso 5: Con las columnas ingresadas al problema maestro en las iteraciones

realizadas anteriormente según el criterio del paso 4, se resuelve el problema

resultante en forma entera.

Cabe mencionar en este punto que el método a utilizar en este trabajo no

garantiza una solución global óptima. Si bien en cada iteración, el subproblema

entrega la columna con el menor costo reducido para ser ingresada como un nuevo

programa de viajes al problema maestro, no es el procedimiento de Branch and Price

tradicional que si garantiza optimalidad. El método utilizado puede ser denominado

Generador Dinámico de Columnas y su gran ventaja radica en que permite obtener

tiempos de resolución inferiores en comparación a un B&P tradicional o en

comparación a métodos que generen a priori todas las columnas posibles. Souyris, en

un trabajo del año 2005, resuelve un problema que consiste en programar la

asignación de técnicos a los clientes que están en lista de espera por reparación de

falla en sus equipos utilizando generación de columnas. En dicho trabajo se

implementó un algoritmo Branch and Price, que es la Generación de Columnas aplicada

a cada uno de los nodos del árbol del Branch and Bound para estimar la diferencia

entre la solución encontrada y el óptimo del problema original. (Souyris, 2005)

3.2.- El Problema Maestro

Una vez que están los “mejores” itinerarios creados, la decisión que debe ser

tomada es cuáles de dichos itinerarios deben ser asignados (no necesariamente todos

se asignan a un camión, pueden sobrar) a un camión en particular. Por ende, las

variables usadas en el problema maestro son binarias, denominadas Xip y toman los

siguientes valores:

27

=no si0

itinarario o viajesde programa el ejecutacamión el si1 piX ip

El problema maestro [P] queda de la siguiente manera:

[ ]

)4.3(,

)3.3(,....2,1

)2.3(,.....2,1

)1.3(,......2,11.

min

1 1

1 1

1

1 1

pibinariaX

ndDdaXb

noSXa

niXas

XCP

ip

Dd

n

i

m

pipipd

Oo

n

i

m

pipipo

m

pip

n

i

m

pipip

i

i

i

i

∀

=≥

=≤

==

∑∑

∑∑

∑

∑∑

= =

= =

=

= =

Donde:

p : programa (j = 1….mi),

n : número de camiones,

mi : número de rutas factibles para cada camión i (i= 1,…,n),

nO : número de orígenes,

nd : número de destinos,

Ddad : Demanda destino d,

So : Oferta origen o,

Cip : costo del programa p si lo ejecuta el camión i,

aipo : cantidad de producto recogido en el punto o por el camión i usando el

programa p,

bipd : cantidad entregada en el punto d por camión i siguiendo el itinerario p.

28

Las variables aipo y bipd que consideran las cantidades de productos a recoger y

entregar en los orígenes o destinos, respectivamente, sólo consideran camionadas de

productos. Si consideramos que en un determinado problema varios tipos de camiones

pueden hacer las entregas de productos, las variables mencionadas toman tantos

valores como distintas capacidades de camiones existan.

Entonces, el problema consiste en minimizar el costo total de los viajes,

considerando los costos de cada viaje como conocidos y dependiendo de factores

como el estado y/o tipo de la ruta, el tiempo de viaje, el tipo de camión, entre otros. El

costo de los viajes propiamente tales es manejado de forma explícita en la función

objetivo del problema maestro y los otros factores antes mencionados son manejados

implícitamente por el modelo.

Un punto importante a la hora de modelar el problema, radica en la forma de

manejar los orígenes y destinos para que el problema pueda ser resuelto utilizando

generación de columnas. Los tiempos reales promedio de carga y descarga de un

camión, con cualquier tipo de productos, bordean los veinte minutos, por lo tanto, en

un mismo punto (origen o destino), no pueden realizarse operaciones con menos de

veinte minutos de diferencia entre si. Para que el modelo se haga cargo de lo

mencionado anteriormente, los orígenes reales del problema son replicados cada

veinte minutos, es decir, se podrá cargar una camionada de productos cada veinte

minutos. Por lo tanto los puntos de oferta del modelo son pares [origen, tiempo]. En

cada punto de oferta existe siempre una camionada de productos disponible para ser

recogida por algún camión que pueda hacer el recorrido hasta dicho punto8. En el caso

de los destinos, estos son replicados de la misma forma, pares [destino, tiempo] pero

considerando sólo aquellos instantes de tiempo en los cuales se necesita algún

producto en un destino determinado. Por ejemplo, si en el destino d6 se necesitan 3

8 Los diferentes tipos de camiones pueden recoger y entregar productos en sólo algunos orígenes y destinos, respectivamente. La camionada disponible corresponde a la capacidad de carga del camión más grande que pueda hacer el recorrido.

29

camionadas de producto de algún tipo9 a la hora 4 de planificación, existirán los

destinos [d6,4]; [d6,4.3] y [d6,4.6]. Entonces se le pide al modelo que se deben

entregar los productos solicitados en máximo tantos intervalos de tiempo como

entregas del camión más pequeño se necesiten para satisfacer la demanda. Si algún

camión con capacidad mayor puede llegar al destino, entonces la entrega puede

finalizar antes de tres intervalos de tiempo. Se debe tener en cuenta que camiones de

diferentes tipos pueden utilizarse para entregar los productos solicitados. Cada camión

tendrá sus propias características técnicas y podrá transportar algún tipo o todos los

tipos de productos, según sea el caso.

La relación entre camiones y trazas o tipos de productos es n:m, es decir, como

ya se mencionó, un determinado tipo de camión puede transportar uno o varios tipos

de productos, así como un tipo de producto puede ser transportado por uno o varios

tipos de camiones.

Existen tres bloques de restricciones para el problema. Las restricciones (3.1)

aseguran que un camión haga uno y solo un programa de viajes durante la jornada

laboral. Las restricciones (3.2) hacen respetar la oferta de productos en los puntos de

oferta y las restricciones (3.3) fuerzan al modelo a satisfacer la demanda de los

clientes.

Existen varias otras condiciones, mencionadas anteriormente, que se deben

satisfacer para la resolución de este problema. Entre ellas está respetar los horarios de

los pedidos de productos, los horarios de disponibilidad de productos en los puntos de

oferta así como de la maquinaria necesaria para cargar los mismos, entre otras.

9 Como camionada se entiende una unidad de carga, definida como la capacidad máxima de carga del camión más pequeño que se considere en el problema.

30

Todas las condiciones expuestas en el párrafo anterior, y algunas otras, son

tratadas en la segunda parte del modelo, el generador de columnas o subproblema

[SP].

3.3.- El Subproblema: Industria Forestal Chilena

El subproblema asociado al problema maestro descrito anteriormente, funciona

como un generador dinámico de columnas. Las columnas que van siendo generadas se

ingresan al problema maestro. Las variables duales obtenidas de resolver la relajación

lineal del problema maestro son utilizadas para construir la función objetivo del

subproblema.

Las variables duales se clasifican en tres grupos, asociado cada uno de ellos a

un bloque de restricciones del problema maestro. A las restricciones (3.1) se asocian

las variables duales αi, el bloque (3.2) está conectado con las variables πo, mientras

que las variables λd se asocian a las restricciones (3.3).

En la industria forestal chilena, existen algunas características que hacen

necesario adaptar la forma general del problema de planificación de camiones a su

configuración particular.

En primer lugar, en la mayoría de los casos, las cantidades cargadas en cada

punto de oferta completan la capacidad del camión asignado a la tarea, es decir, los

camiones se cargan completos una vez que llegan a retirar productos por lo que la

unidad de medida es generalmente camionadas. Además, no se necesita la variable

que indica la carga del camión al atravesar un arco de la red. Por lo tanto, basta saber

si se hace o no el viaje y si la respuesta es afirmativa, dicho viaje se hace con el

31

camión lleno y por lo tanto la carga al atravesar el arco respectivo es igual a la

capacidad del camión10.

La construcción de la red es fundamental a la hora de programar los viajes. Si

además de replicar los puntos de oferta y demanda dependiendo de las cantidades

ofrecidas y demandadas respectivamente, agregamos una componente temporal

asociada a cada uno de esos nodos, indicando a qué hora, o en que ventana de

tiempo, hay productos disponibles en los puntos de oferta y a que hora se necesitan

productos en los puntos de demanda, la variable tiempo se torna innecesaria y puede

ser eliminada del problema11.

Es en la red generada también donde se incluyen las restricciones de jornada

laboral asociadas al problema. Por construcción, los instantes de tiempo en que un

camión puede visitar un punto de oferta o de demanda no pueden superar la hora de

término de la jornada laboral.

El subproblema que se construye trata entonces de encontrar una ruta con el

costo más bajo posible pero respetando las restricciones y/o reglas impuestas. Estas

reglas son diversas incluyendo:

• Se deben respetar los horarios de carga y descarga, según oferta y demanda

de productos así como las capacidades de carga de los camiones y las

cantidades disponibles para cargar en los orígenes.

• El comienzo y el final de un recorrido debe ser el campamento base.

• Un camión no puede entregar productos sin antes haberlos recogido. Además,

si visita un nodo de la red, debe salir de él.

• No se pueden mezclar diferentes tipos de productos en un mismo viaje.

10 En los problemas reales existen diversos tipos de camiones con diversas capacidades de carga. El modelo se hace cargo de lo anterior implícitamente. 11 La red se hace más difícil de construir por su tamaño pero se construye una sola vez.

32

La red de viajes que pueden ser realizados juega un papel fundamental en este

modelo debido a que, entre otras cosas, permite manejar algunas de las restricciones

antes expuestas.

La red auxiliar generada entonces tiene las siguientes características:

• Los nodos de comienzo y fin de un itinerario12, son representados por los nodos

0 y n+1, respectivamente.

• Los orígenes y destinos son replicados dependiendo de la cantidad de

productos ofrecidos y demandados, respectivamente, permitiendo que un punto

real sea visitado más de una vez13.

• La conexión de los arcos sigue las siguientes reglas:

o Un arco conecta la base (nodo 0) con la base (nodo n+1). Este camino

representa el hecho de que un camión no realice ningún viaje durante

toda la jornada laboral.

o Existen arcos desde el nodo 0 hasta cada uno de los puntos de oferta

(orígenes replicados). Un tipo de camión sólo puede ir a puntos de

oferta que dispongan de productos que dicho tipo de camión pueda

cargar, por lo tanto, existe una red auxiliar para cada tipo de camión

disponible.

o Existen arcos conectando puntos de oferta con puntos de demanda que

requieran el producto antes recogido. Implícitamente estos arcos

respetan restricciones temporales, es decir, el arco existe si y solo si es

posible llegar desde el punto de oferta al punto de demanda en los

intervalos de tiempo entre que se recogen los productos y se deben

12 corresponden al campamento base 13 en realidad se visitan las replicaciones del punto original

33

entregar. Asimismo, estos arcos consideran el tiempo que un camión

debe esperar para ser atendido en su destino.

o Existen arcos conectando cada punto de demanda con cada punto de

oferta que disponga de productos que puedan ser cargados por el tipo

de camión disponible. Estos arcos también consideran la espera antes

de que un camión sea atendido en el origen respectivo.

o Existen arcos conectando los puntos de demanda con el nodo n+1

(base).

La figura 4 ilustra la red del subproblema, desde un punto de vista físico.

ORIGENES DESTINOS

BASE BASE

Oferta origen 1

Oferta origen o

Demanda destino 1

Demanda destino 1

0 N+1

ORIGENES DESTINOS

BASE BASE

Oferta origen 1

Oferta origen o

Demanda destino 1

Demanda destino 1

0 N+1

Figura 3.4: Esquema físico de la Red del Subproblema.

El esquema indica que arcos pueden existir dentro de la red de caminos entre

los nodos. Además, muestra gráficamente las replicaciones de los nodos orígenes y

destinos.

El siguiente esquema muestra la relación entre los nodos desde un punto de

vista temporal.

34

Figura 3.4: Esquema temporal de la Red del Subproblema.

Del esquema anterior podemos rescatar que un programa de viajes de un

camión cualquiera comienza y termina en la base, recorre orígenes y destinos e incluye

eventualmente tiempos de espera para ser atendido y tiempos de carga y descarga.

Dado entonces el problema maestro y las condiciones anteriores, su respectivo

subproblema trata de encontrar una ruta con costo mínimo, partiendo del nodo 0

(base) y terminando en el nodo n+1 (la misma base). Los costos de los arcos de las

“rutas auxiliares”, construidas en el subproblema, son iguales a los costos reales de

transporte entre dos puntos menos los costos reducidos de sus columnas asociadas en

el problema maestro.

Entonces, considerando lo expuesto en los puntos anteriores, el subproblema,

adaptado al caso de estudio (Industria Forestal Chilena) queda de la siguiente manera:

Tiempo

Orígenes

Destinos

Base Base

Tiempo Espera

Tiempo Espera

Tiempo Espera

Tiempo Espera

35

[ ]

)23.3(),(

)22.3(1

)21.3(1

)20.3(0.

)()(min'

),(:,

),(:,

),(: ),(:

),(::),(::

AbabinariaY

Y

Y

NaYYas

YCYCSP

ab

Afinbbfinb

Abinibbini

Aabb Acacacba

iabADb Abaa

bab

n

AOb

m

Abaaabbab

i

∈∀

=

=

∈∀=−

−⋅−+⋅−

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∈

∈

∈ ∈

∈ ∈∈ ∈

αλπ

Las restricciones (3.20) indican que si un camión visita un nodo de la red, debe

salir de él. La restricción (3.21) dice que el camión debe salir de la base y la restricción

(3.22) indica que el camión debe también regresar a la base.

Las restricciones del bloque (3.23) dan cuenta de la naturaleza de las variables

del problema.

Luego, el subproblema se traduce en buscar la ruta más corta de la red

generada considerando lo expuesto anteriormente y dónde los costos de viaje de los

arcos son los costos originales de viaje de un nodo a otro modificados por las variables

duales del problema maestro.

36

CAPÍTULO 4.

PROBLEMA MULTIPRODUCTO Y MULTICAMIÓN14.

4.1.- Descripción Del Problema

El problema real a resolver entonces, en su forma más general, puede

describirse como un conjunto de camiones, clasificados en distintos tipos, cada uno

con características particulares, un conjunto de ofertas en los orígenes, un conjunto de

demandas en los destinos y un conjunto de rutas por las cuales los camiones pueden

desplazarse, tratando de suplir la demanda existente, respetando la oferta de

productos disponible y tratando de escoger los viajes entre dos puntos que minimicen

el costo total de transporte de una jornada laboral completa.

Cada camión, dentro de sus características particulares, permite sólo el

transporte de determinados tipos de productos, incluyendo también la posibilidad,

dependiendo de la instancia a resolver, de que un tipo de camión pueda transportar

todos los tipos de productos disponibles y demandados. Asimismo, cada tipo de

producto puede ser transportado sólo por algunos, o eventualmente todos, los tipos de

camiones disponibles para la entrega de productos. Por sus características, el modelo

se denominará Multiproducto – Multicamión.

Como ya se mencionó en el capítulo anterior, el modelo por la construcción de

los puntos de oferta y demanda se hace cargo implícitamente de todas las restricciones

temporales del problema real. Es el subproblema el encargado de generar los

programas de viajes que son ingresados al problema maestro y es en la construcción

de la red auxiliar (nodos y arcos por donde pueden moverse los camiones), hecha

14 El problema puede también ser denominado Problema con Varios Productos y Flota No Homogénea.

37

antes de resolver por primera vez el problema maestro con una solución factible inicial,

dónde se deben tener en cuenta las restricciones temporales, es decir, es ahí dónde se

permite a los camiones hacer viajes que sean factibles en el tiempo y que respeten los

horarios de salida en los orígenes y los horarios de llegada en los destinos.

Existen casos prácticos donde existe un sólo tipo de camión para transportar

todos los tipos de productos disponibles. Dicha situación permite realizar

simplificaciones al modelo general descrito anteriormente. Este modelo puede ser

denominado Multiproducto – Monocamión. Pueden también darse otros casos, en que

por ejemplo un solo tipo de producto existente pueda ser transportado por varios tipos

de camiones (modelo Monoproducto – Multicamión), o donde un único tipo de

producto es transportado por un único tipo de camión disponible (modelo

Monoproducto – Monocamión). Sin embargo, los modelos simplificados brevemente

descritos, representan casos particulares del modelo estudiado en este trabajo de título

por lo que no serán estudiados individualmente.

El modelo Multiproducto – Multicamión, es el que representa mejor la realidad.

Si la situación a estudiar puede representarse como alguno de los modelos particulares

previamente descritos, utilizando el modelo Multiproducto – Multicamión puede

representarse dicha realidad.

A continuación, evaluaremos el desempeño del modelo construido resolviendo

una serie de problemas de características similares a los problemas reales y de

tamaños varias veces superiores.

4.2.- Descripción De Instancias

Las instancias de prueba utilizadas para evaluar el desempeño del modelo

construido se caracterizan por los parámetros descritos en la tabla 4.1:

38

Parámetro Descripción Costos por hora

Viaje Cargado (CVC) Es el costo por hora de viaje de un camión con su capacidad de carga completa

Viaje Descargado (CVD) Es el costo por hora de viaje de un camión descargado completamente

Tiempo de Espera (CTE) Es una penalización asignada a una hora de espera de un camión en algún nodo de la red

Nuevo Camión (CNC) Es el costo que se debe pagar por añadir un camión a la red de distribución

Capacidad de Carga (CC) Es la cantidad de unidades de carga que puede llevar cada tipo de camión. La demanda en los destinos está medida en unidades de carga (UC)

Nodos

Orígenes Reales (OR) Son los Puntos de Ofertas del problema real

Orígenes Virtuales (OV) Son los Puntos de Ofertas considerados en la red asociada al problema real

Destinos Reales (DR) Son los Puntos de Demanda del problema real

Destinos Virtuales (DV) Son los Puntos de Demanda considerados en la red asociada al problema real

Tiempos de Viaje (hrs.)15

Viaje Cargado* (TVC) Es el tiempo promedio, en horas, que demora un viaje de un camión cargado

Viaje Descargado* (TVD) Es el tiempo promedio, en horas, que demora un viaje de un camión descargado

* considerando todos los tipos de camiones si hay más de uno

Camionadas a Transportar** (CT)

Es la cantidad de camionadas que se deben transportar durante un período de operación

** considerando todos los tipos de productos si hay más de uno

Tabla 4.1: Descripción de Parámetros

Considerando entonces la descripción de parámetros expuesta anteriormente,

las instancias resueltas usando el modelo ya descrito, se describen a continuación:

15 Los tiempos de viajes detallados para cada tipo de camión se muestran en el Anexo I.

39

Descripción

Nodos Tiempos de Viaje

(hrs.) Camionadas Instancia OR OV DR DV TVC TVD CT

I1-1 10 120 5 22 1,056 0,956 138 I1-2 8 96 5 22 1,101 0,951 125 I1-3 9 108 5 22 1,121 0,951 123 I1-4 9 108 5 18 1,056 0,956 125 I1-5 10 120 5 22 1,106 0,956 116 I2-1 10 120 5 22 1,056 0,956 214 I2-2 8 96 5 22 1,101 0,951 230 I2-3 9 108 5 22 1,121 0,951 238 I2-4 9 108 5 18 1,056 0,956 198 I2-5 10 120 5 22 1,106 0,956 210 I3-1 10 120 5 22 1,056 0,956 335 I3-2 8 96 5 22 1,101 0,951 302 I3-3 9 108 5 22 1,121 0,951 335 I3-4 9 108 5 18 1,056 0,956 326 I3-5 10 120 5 22 1,106 0,956 283 I4-1 12 144 5 22 1,073 0,953 455 I4-2 12 144 5 22 1,093 0,953 401 I4-3 11 132 5 22 1,076 0,956 438 I4-4 11 132 5 22 1,076 0,956 424 I4-5 12 144 5 22 1,063 0,953 413 I5-1 12 144 5 22 1,063 0,953 529 I5-2 14 168 5 22 1,093 0,953 505 I5-3 14 168 5 22 1,093 0,953 532 I5-4 14 168 5 22 1,093 0,953 518 I5-5 11 132 5 22 1,076 0,956 506

Tabla 4.2: Descripción de Instancias.

Costos por hora Capacidad de Carga Tipo de Camión CVC CVD CTE CNC CC (UC)

1 1500 1000 30 20000 1 2 2000 1500 40 30000 1.5 3 1800 1200 35 18000 2 4 1600 1500 38 16000 2

Tabla 4.3: Costo de Transporte y Capacidades de Carga (Unidades de Carga, UC).

40

En los problemas reales típicos, las jornadas laborales en promedio son de 12

horas, y por cada hora se mueven en promedio 10 a 15 camionadas de productos.

Según lo anterior, en una jornada laboral, se trasladan entre 120 y 180 camionadas,

por lo que las instancias de los grupos I1 e I2 antes descritas representan

perfectamente un problema real e incluso lo sobrepasan. Sin embargo y como una

forma de estudiar la real capacidad del modelo construido, se utilizarán instancias que

incluyen el transporte de más de 500 camionadas (grupo I5) en una jornada laboral

(más de 4 veces lo que se traslada en una instancia real).

4.3.- Solución Factible Inicial

En el capítulo 3 se describió a grandes rasgos la metodología utilizada en este

trabajo de título. En su esquema general, dicha metodología, llamada generación de

Columnas, incluye dos problemas (Maestro y Subproblema) que deben ser resueltos en

más de una ocasión en forma iterativa hasta alcanzar el óptimo del problema general.

El esquema se muestra nuevamente en la figura 4.1:

Figura 4.1: Esquema de Resolución

PROBLEMA MAESTRO

GENERACION DE COLUMNAS (subproblemas)

Columnas Precios Duales (π)

41

Entonces, el problema comienza a resolverse en una primera iteración

encontrando una solución del Problema Maestro. Las variables de decisión del

problema maestro son binarias16 e indican si un programa de viajes (columna del

modelo) se ejecuta durante el período de planificación o no, en otras palabras, indican

si una columna es asignada a un camión o no. Sin embargo, para poder tomar la

decisión antes mencionada, es necesario contar con algún conjunto de columnas, o

programas de viajes, desde donde elegir algunas de ellas (o eventualmente todas),

para ser asignadas a los diferentes camiones. Se hace necesario entonces obtener y

entregar al modelo una solución factible inicial.

El mecanismo para seleccionar dicha solución factible inicial puede incluir desde

heurísticas hasta simple inspección. En este trabajo de tesis se optó por usar como

solución inicial un conjunto de columnas en cada una de las cuales un camión realiza

uno o dos viajes durante el horizonte de planificación. En el capítulo siguiente se hace

una descripción de la forma de implementar el modelo y de la forma de crear o

encontrar una solución factible inicial.

16 En capítulos siguientes se discute la integralidad de dichas variables.

42

4.4.- Implementación.

La implementación del modelo construido consta de diferentes partes que

intercambian información y que componen el proceso completo de resolución del

problema planteado. En primer lugar, es necesario generar las instancias que serán

resueltas con el modelo construido. Luego, una solución inicial debe ser encontrada

para comenzar la resolución del problema. Dicha resolución es ingresada como dato de

entrada al modelo de generación de columnas también construido y finalmente las

soluciones deben ser interpretadas y estudiadas.

El algoritmo de generación de columnas construido consta de dos modelos, un

maestro y un subproblema, que intercambian información entre ellos. El problema

maestro crece dinámicamente en tamaño en este algoritmo de generación de

columnas. Por lo tanto, su estructura puede ser convenientemente implementada

utilizando conjuntos dinámicos en GAMS.

Si bien la generación de columnas fue implementada utilizando GAMS, las

instancias resueltas y las soluciones iniciales fueron creadas fuera de GAMS, utilizando

una Macro Excel, más algunos chequeos y depuraciones manuales.

Las soluciones obtenidas luego de la ejecución del modelo también fueron

procesadas utilizando planillas de cálculo y algunas funciones estadísticas de MS Office.

El proceso anteriormente resumido se describe en la figura siguiente:

43

Figura 4.2: Esquema de Implementación del Proceso de Resolución.

Cada una de las partes que componen el proceso global de resolución del

problema fue implementada de manera independiente y utilizando el software y

metodologías ya mencionadas. Es la implementación de la generación de columnas

propiamente tal la que concita mayor interés en este trabajo de tesis y el algoritmo

utilizado se describe esquemáticamente a continuación:

Generación de Soluciones Factibles Iniciales: Heurística (Macro Excel)

Lectura de Datos en GAMS: Traspaso de datos en formato texto (Excel) a formato GAMS.

Generación de Columnas

Lectura e Interpretación de Resultados: Traspaso e interpretación de datos desde GAMS a Excel

Generación de Reportes: MS Office.

Generación de Instancias: Heurística (Macro Excel)

44

Figura 4.3: Esquema de Implementación de la Generación de Columnas.

El proceso se inicia con la lectura de los datos de entrada que permiten definir

las instancias que se van a resolver así como las redes auxiliares que utilizarán los

Lectura de Datos de Entrada (Instancia a Resolver y Solución

Factible Inicial)

Generación de Problema Maestro y Subproblemas

(Variables y Restricciones. Existe un subproblema por cada tipo de

camión.)

Resolución Problema Maestro (Problema Lineal Continuo)

Resolución Subproblemas

¿Existe alguna columna con costo reducido negativo?

INICIO

FIN

Resolución FINAL Problema Maestro

(Problema Lineal Entero)

SI

NO

45

subproblemas construidos. Los pasos siguientes incluyen la generación del modelo

maestro y de los modelos auxiliares (subproblemas), incluyendo variables, restricciones

y funciones objetivo, para resolver el problema maestro utilizando la solución factible

inicial incluida como dato de entrada del modelo.

Una vez obtenida la solución inicial, comienza el proceso iterativo o, en otras

palabras, la generación de columnas propiamente tal. Los subproblemas son resueltos,

teniendo en cuenta que habrá un subproblema por cada tipo de camión presente en la

instancia a resolver, y nuevas columnas son generadas. Si algunas de ellas, una o más

de una, tienen costos reducidos negativos, son ingresadas al problema maestro como

nuevos programas de viajes diarios y dicho problema es resuelto nuevamente. El

proceso se repite hasta que después de la resolución de los subproblemas, no resulta

ninguna columna nueva con costo reducido negativo.

El paso final entonces es resolver ahora el problema maestro en forma entera,

para obtener una solución al problema real planteado. Cabe mencionar que un

procedimiento de Branch & Price sería indicado para obtener soluciones óptimas al

problema entero, sin embargo, en capítulos posteriores veremos que las soluciones

obtenidas con la metodología descrita en los párrafos anteriores permite obtener, al

menos en todos los casos estudiados, soluciones de muy buena calidad (GAP’s

relativos menores a 3%).

Lo más interesante dentro del algoritmo descrito anteriormente es la parte del

subproblema generador de columnas propiamente tal. Como ya se mencionó, el

problema consiste en encontrar el camino más corto o con el mínimo costo en este

caso, entre dos puntos. El punto inicial es la base y el punto final es la misma base.

Dado que no es muy útil que un camión no haga nada durante el día, se descarta la

solución trivial que consistiría en quedarse en la base todo el día, y los camiones son

obligados a buscar otra ruta entre dichos dos puntos (la base como origen y como fin

de la ruta).

46

Luego de encontrar una solución por cada tipo de camión disponible en cada

problema, se entregan las soluciones al problema maestro como nuevas rutas o

programas de viajes disponibles para formar parte de la solución global del problema17.

De la obtención de una buena solución factible inicial dependerá en parte el

buen funcionamiento del modelo construido. Si la solución inicial entregada contiene

programas de viaje que no van a ser utilizados en la solución final del problema, serán

necesarias más iteraciones para encontrar la solución final al problema. Por lo tanto, se

debe tratar de encontrar programas de viaje que puedan ser utilizados como parte de

la solución final del problema. Sin embargo, como a priori es prácticamente imposible

saber que programas formarán parte de la solución final del problema, hay que buscar

una forma de generar para la solución factible inicial “buenos programas”,

entendiéndose por lo anterior programas que hagan más de una entrega de productos

diaria y que tengan la menor cantidad de tiempo de espera dentro de la red posible.

Tomando en cuenta lo anterior, se construye una heurística que permite

generar programas de viaje con las características deseadas. Se describe a

continuación:

17 Para más detalles acerca del subproblema, restricciones y consideraciones, ver capítulo 3.3.

47

Figura 4.4: Esquema de Heurística para generar Soluciones Iniciales.

Entonces, la heurística comienza ordenando las disponibilidades de productos,

creando una lista para cada tipo de producto según la hora o intervalo de tiempo en

que dicho producto se encuentre disponible en algún punto de oferta de la red. Algo

Chequear disponibilidad de producto p en origen o. Crear una lista de

ofertas para cada intervalo de tiempo

Recoger una camionada de producto p desde el primer origen disponible de la lista ordenada con el primer

camión disponible ¿Queda alguna demanda de

producto p sin abastecer?

Vaciar el camión en el primer destino que necesite producto p que pueda ser

abastecido desde el origen antes escogido

Cambiar de tipo de producto (p=p’)

NO

SI

Ordenar las listas generadas por intervalos y tipos de productos

Crear una lista con los productos demandados para cada intervalo de

tiempo

¿Queda alguna demanda de

algún producto sin abastecer?

FIN NO

SI

INICIO

48

similar se hace para las demandas, separándolas por tipo de producto demandado y

ordenándolas por la hora en que se debe iniciar la entrega del producto.

Lo que resta del proceso se repetirá para cada tipo de producto presente en la

instancia a resolver.

Se recoge una camionada de producto p desde el primer origen disponible en la

lista, es decir, lo más temprano posible, con el primer camión que esté disponible para

hacer el recorrido. Si hay más de un camión disponible se privilegiará al de mayor

capacidad. El camión ahora cargado se dirige entonces a entregar los productos que

transporta en el destino que tenga la primera prioridad en la lista de demandas, es

decir, el que necesite productos más temprano, siempre y cuando se pueda hacer el

recorrido respetando las restricciones horarias. En otras palabras, el recorrido sólo se

hace si el camión alcanza a llegar a la hora indicada al punto de demanda. Se repite lo

anterior hasta que todas las demandas de producto p se satisfacen. Luego se pasa al

producto p’ y se repite el proceso hasta completar todos los productos incluidos en la

instancia que se está resolviendo.

49

4.5.- Resultados.

4.5.1.- Descripción De Indicadores Antes de presentar los resultados obtenidos con la ejecución del modelo

construido y descrito anteriormente, es necesario describir algunos términos o

indicadores que serán utilizados en la presentación de dichos resultados.

La tabla siguiente muestra la descripción de los indicadores que se utilizarán:

Indicador Descripción Solución Entera (MIP) Se refiere a la solución asociada al problema Maestro Entero Mixto

planteado.

Solución Continua (RMIP) Se refiere a la solución óptima asociada al problema Continuo generado como una relajación del problema Maestro Entero Mixto.

GAP Absoluto Se calcula como la diferencia entre la Solución Entera (MIP) y la Solución Continua (RMIP)

GAP Relativo18 Describe que porcentaje de la Solución Entera (MIP) representa el GAP antes descrito.

Tabla 4.4: Descripción de Indicadores.

4.4.2.- Resultados Obtenidos

Considerando como solución factible inicial algún conjunto de programas de

viajes construido de la forma expuesta en al capítulo anterior y un criterio de parada

para las iteraciones de GAP Relativo ≤ 3%, los resultados (GAP’s Relativos) para las

instancias estudiadas se presentan en el siguiente gráfico19.

18 GAP Relativo = (GAP Absoluto / |MIP|) %. Este valor indica cuan cerca de la solución continua del problema se encuentra la solución entera obtenida y presentada como resultado del modelo. 19 Para el detalle de las soluciones MIP y RMIP y el valor del GAP Absoluto para todas las instancias, ver Anexo II.

50

Relative GAP - Todas las Instancias

2,1%

1,5%

2,3%

0,9%

2,2%

1,2%

2,9%

0,1%

1,2%

2,1%

1,9%

0,2%

0,8%

1,1%0,9%

2,5%

1,5%

1,1%

1,7%

2,5%

1,8%

2,2%

1,7%

2,3%

1,9%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5 I2-1 I2-2 I2-3 I2-4 I2-5 I3-1 I3-2 I3-3 I3-4 I3-5 I4-1 I4-2 I4-3 I4-4 I4-5 I5-1 I5-2 I5-3 I5-4 I5-5

Instancias

Rel

ativ

e G

AP

(%)

Gráfico 4.5: GAP’s Relativos para todas las Instancias.

Por construcción del modelo se obtienen GAP’s Relativos menores a 3% en

todas las instancias estudiadas. En cerca del 50% de las instancias estudiadas el GAP

Relativo es menor o igual que 1,5% lo que indica que el modelo entrega muy buenas

soluciones20.

Un indicador de eficiencia del modelo construido, teniendo en cuenta que en

alguna situación real puede ser usado para la planificación operacional (diaria) de

asignación de camiones, es el tiempo de ejecución del programa construido. Con un

tiempo de ejecución muy grande, el uso del programa se hace prácticamente

imposible, debido a la rapidez con que se deben tener resultados para planificar la

operación diaria de los camiones.

20 Es posible, con el modelo construido, estudiar los tiempos necesarios para que el modelo alcance el óptimo del problema entero mixto. En algunas instancias el GAP Relativo podría ser aun menor.

Grupo I1 Grupo I2 Grupo I3 Grupo I4 Grupo I5

51

La siguiente tabla muestra los tiempos de ejecución asociados a la resolución

del grupo de Instancias I121.

Tiempos de Ejecución (seg.) Lectura de Datos Problema Maestro Subproblema TOTAL Instancia Tiempo % Tiempo % Tiempo % Tiempo

I1-1 0:00:02 0,1% 0:00:56 4,4% 0:20:28 95,5% 0:21:26 I1-2 0:00:02 0,1% 0:00:59 3,9% 0:24:13 96,0% 0:25:13 I1-3 0:00:01 0,1% 0:00:41 4,4% 0:14:36 95,5% 0:15:18 I1-4 0:00:02 0,1% 0:01:02 4,5% 0:21:29 95,3% 0:22:33 I1-5 0:00:02 0,2% 0:00:52 5,1% 0:15:55 94,7% 0:16:49

Promedio 0:00:02 0,1% 0:00:54 4,4% 0:19:20 95,4% 0:20:16

Tabla 4.5: Tiempos de Ejecución.

Se desprende de la tabla anterior que la distribución de los tiempos de

ejecución del modelo es similar para todas las instancias del grupo presentado (Grupo

Instancias I1). La lectura de los datos de entrada (red auxiliar, ofertas, demandas,

solución inicial, entre otros) es realizada en un máximo de dos segundos. El problema

maestro utiliza aproximadamente un 5% del tiempo total de ejecución y es en la

ejecución del subproblema donde se gasta la mayor parte del tiempo de máquina.

Cabe recordar que existe un subproblema por tipo de camión disponible, por lo que a

mayor número de camiones disponibles en una instancia cualquiera, en la mayoría de

los casos es mayor el tiempo que necesitan los subproblemas para ser resueltos.

La distribución de tiempos de ejecución entre las distintas componentes o

partes del modelo general se repite de manera casi idéntica en el resto de las 21 En el Anexo III se encuentra una tabla con el detalle de los tiempos de ejecución para todas las instancias estudiadas.

52

instancias estudiadas (Ver Anexo III). En general la lectura de los datos de entrada se

realiza muy rápidamente (entre 0 y 1% del tiempo total), los problemas maestros a

resolver utilizan cerca del 5% del tiempo y es en la resolución de los subproblemas

donde se utiliza la mayor parte del tiempo de máquina (cerca del 95%).

El gráfico siguiente muestra la distribución de tiempos para una instancia en

particular (I1-1).

Tiempos de Ejecución Promedio Grupo Instancias I1

Lectura de Datos0,14%

Subproblema95,43%

Problema Maestro4,42%

Gráfico 4.6: Tiempos de Ejecución.

4.4.3.- Tiempo De Ejecución V/S Precisión Del Resultado

Como ya se mencionó, los resultados del modelo Multiproducto - Multicamión,

consideran como criterio de parada para las iteraciones, un error relativo máximo de

un 3%. Como en muchos problemas enteros, existe un trade-off entre la precisión del

resultado y el tiempo de ejecución del modelo. En un problema real, la exactitud que

53

se quiera obtener con el modelo construido y el tiempo en que es necesario obtener la

solución deseada, son factores que deben ser balanceados y ajustados por el usuario

final del modelo22.

22 Un estudio con diferentes GAP’s y tiempos de ejecución permitidos surge como un interesante tema a estudiar en trabajos futuros.

54

CAPÍTULO 5.

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES

En los capítulos anteriores se estudiaron los modelos base y múltiple,

incluyendo un análisis tiempo-precisión de éste último. En el presente capítulo, se

realizará un análisis de las soluciones obtenidas, considerando las soluciones óptimas

de los problemas resueltos.

5.1.- Jornada Laboral

La siguiente tabla muestra un resumen de algunos indicadores relacionados con

los tiempos de una jornada laboral ordinaria. Se muestran indicadores para todas las

instancias resueltas, separados por los tipos de camiones disponibles en cada una de

ellas.

Los términos empleados como indicadores de desempeño de las soluciones

obtenidas luego de la ejecución de los modelos se describen a continuación23:

23 Cabe mencionar que los valores de los indicadores están contenidos implícitamente en la resolución del problema maestro. Basta una interpretación y una lectura entre líneas de las columnas que forman parte de la solución del problema más algunas otras operaciones matemáticas para obtener los indicadores que se presentan.

55

Indicador Descripción

Inicio (hora)

Corresponde a la hora real de inicio de la jornada laboral. Es algunas veces más conveniente que un camión no parta su recorrido a la hora de inicio de una jornada laboral sino que lo haga un lapso de tiempo más tarde.

Fin (hora)

Corresponde a la hora real de finalización de la jornada laboral. Es muy común que los camiones terminen el recorrido diario antes de la hora nominal de término de la jornada laboral, porque en lo que les queda del día no alcanzan a hacer ningún otro viaje origen destino.

Duración (horas) Corresponde a la duración real de la jornada laboral y se calcula como la diferencia entre el Fin y el Inicio reales de la jornada. La duración máxima nominal de la jornada laboral es de 12 horas.

Tabla 5.1: Descripción de Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral.

Luego, considerando los términos descritos anteriormente, los indicadores de

tiempos de la jornada laboral se presentan a continuación en gráficos agrupados por

grupos de instancias24.

24 En el Anexo IV se detallan en tablas los resultados mostrados en los siguientes cinco gráficos.

56

Jornada Laboral (hrs.) - Grupo de Instancias I1

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,0

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Hor

as

Inicio Fin Duración

Gráfico 5.1: Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1.

Para el grupo de instancias I1, la hora de inicio de la jornada laboral es, en

promedio, la hora 1.8 y el final de la jornada laboral es, también en promedio, cerca de

la hora 9. La desviación estándar de la hora de finalización de la jornada laboral es de

0.58, por lo que se puede concluir que el comportamiento de los distintos tipos de

camiones en este ítem es casi idéntico. Sin embargo, dado que las instancias si bien

son similares, dada la demanda total (camionadas a mover) y la cantidad de tipos de

camiones disponibles, son independientes y distintas entre si, por lo que dicha similitud

en el comportamiento no es generalizable para los otros grupos de instancias y es solo

un comportamiento particular de este grupo.

El comportamiento en los otros indicadores es distinto para cada tipo de camión

disponible y no existe ningún tipo de relación entre el comportamiento de un mismo

tipo de camión para instancias distintas. Cabe mencionar que un tipo de camión, por

57

ejemplo C2, tiene los mismos costos de operación y puede recorrer los mismos

orígenes y destinos en cualquiera de las instancias estudiadas, si y solo si esté

disponible en dicha instancia.

En el siguiente gráfico se aprecian los indicadores de tiempos de la Jornada

Laboral para el grupo de Instancias I2


0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,0

C3

C4

Prom

.

C1

C2

Prom

.

C2

C3

Prom

.

C1

C4

Prom

.

C3

C4

Prom

.

I2-1 I2-2 I2-3 I2-4 I2-5

Instancias

Hor

as



En el caso de las instancias del grupo I2, el horario de inicio de la jornada

laboral es, en promedio, cercano a la hora 2.7, en otras palabras, los camiones parten

un poco más tarde que los utilizados en las instancias del grupo I1. Por otra parte, el

horario de fin de la jornada laboral es ligeramente mayor que la del grupo I1 (hora

9.5) pero con un mayor grado de dispersión, con una desviación de 0.84. Lo anterior

58

que implica que la duración de la jornada laboral es un poco menor (6.8 horas en

promedio. La jornada del grupo I1 dura en promedio 7.2 horas). Al igual que en el

caso anterior, no existe una relación clara entre el comportamiento de un mismo tipo

de camión entre una instancia y otra.

A continuación, el análisis del grupo de instancias I3.


0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,0

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I3-1 I3-2 I3-3 I3-4 I3-5

Instancias

Hor

as



Para este grupo de instancias, la hora de inicio de la jornada laboral está entre

las horas de inicio de los grupos anteriores (hora 2.4 en promedio), sin embargo, la

hora de finalización de la jornada es mayor (hora 9.7), lo que hace que la duración

total de la jornada de trabajo sea similar a la del grupo I1 (7.3 horas). El

comportamiento de los diferentes tipos de camiones muestra desviaciones muy

59

pequeñas en comparación con los grupos de instancias anteriores (0.1 para la hora de

inicio, 0.17 para la finalización y 0.22 para la duración de la jornada), lo que indica que

dicho comportamiento de homogeniza.

La situación para el siguiente grupo de instancias se muestra a continuación.


0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,013,014,0

C1

C2

C4

Pro

m.

C1

C2

C3

Pro

m.

C1

C3

C4

Pro

m.

C1

C3

C4

Pro

m.

C2

C3

C4

Pro

m.

I4-1 I4-2 I4-3 I4-4 I4-5

Instancias

Hor

as



Para este grupo de instancias, la jornada laboral muestra un pequeño aumento

en comparación con los grupos de instancias anteriores, llegando en promedio a 7.5

horas (contra 7.3 hrs. del grupo I3 y 7.2 hrs. Del grupo I1).

Por último, para el grupo de instancias I5, el gráfico siguiente da cuenta de sus

resultados.

60


0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,011,012,013,0

C2

C3

C4

Prom

.

C1

C2

C3

C4

Prom

.

C1

C2

C3

C4

Prom

.

C1

C2

C3

C4

Prom

.

C1

C3

C4

Prom

.

I5-1 I5-2 I5-3 I5-4 I5-5

Instancias

Hor

as



El dato más importante a destacar es el hecho de que las desviaciones estándar

siguen bajando y ya se puede hablar de un comportamiento muy similar de los

diferentes indicadores para todas las instancias de este grupo (en efecto las

desviaciones son 0.1 para la hora de inicio 0.11 pala la de fin y 0.05 para el tiempo

total de la jornada).

En general, podemos destacar que, en promedio, ningún tipo de camión

comienza el recorrido diario en la hora cero. En otras palabras, para todas las

instancias es conveniente que los camiones no partan su recorrido en la hora cero sino

que lo hagan un lapso de tiempo más tarde, dependiendo de la instancia.

61

En cuanto al comportamiento de cada tipo de camiones, éste varía

dependiendo de la instancia en estudio. Sólo en las instancias de los grupos I4 e I5,

que transportan cerca de 400 y 500 camionadas de producto diario respectivamente,

hay un comportamiento similar de los diferentes tipos de camiones, situación que no

es generalizable a todas las instancias estudiadas. Además, las duraciones de las

jornadas laborales y los tiempos de inicio y fin de las mismas, no están relacionados

con el tipo de camión usado. Para algunas instancias las duraciones de las jornadas

laborales son mayores para camiones grandes y para otras es completamente lo

contrario.

Cabe además destacar que las duraciones de las jornadas laborales están

directamente relacionadas con las instancias estudiadas. Es perfectamente factible que

con alguna otra instancia, real o artificial, se alcancen duraciones de las jornadas

laborales muy superiores o muy inferiores a los obtenidos con las instancias

estudiadas.

5.2.- Distribución del Tiempo.

Dentro de la jornada de trabajo de un camión en particular, se destacan tres

grupos de hechos que deben ser estudiados. Una vez que la jornada laboral comienza,

se divide en viajes de ida, es decir viajes con carga, viajes de regreso a los puntos de

oferta o sin carga y tiempo de espera en las colas de los puntos de oferta o demanda

para ser atendido. Un camión deberá esperar por ser atendido cuando su horario de

llegada es antes de que haya productos disponibles para ser recogidos en algún punto

de oferta o cuando en algún punto de demanda hay un camión en proceso de

descarga. El tiempo descargado incluye los traslados desde y hacia el origen o base de

cada camión. Cabe mencionar que la suma de los tres tiempos definidos

anteriormente, viaje cargado, descargado y tiempo de espera, en suma equivalen al

tiempo de duración de la jornada laboral real mostrado y estudiado anteriormente.

62

El resto del tiempo, es decir, cuando un camión no está en viaje o esperando

para ser atendido en algún punto de la red, se denomina tiempo ocioso, y es el tiempo

que un camión está en la base antes de comenzar la jornada laboral o al final de ella,

luego de haber finalizado el recorrido asignado. La diferencia entre el tiempo nominal

de duración de la jornada laboral y la duración real de la misma es igual al tiempo

ocioso.

Los siguientes gráficos muestran la distribución de los tiempos dentro de la

duración real de la jornada laboral para el grupo de instancias I1. El primero de ellos

muestra el porcentaje de contribución al total de cada uno de los tiempos medidos y el

segundo muestra la cantidad, en horas, de la contribución de dichos tiempos a la

duración total real de la jornada laboral.

Tiempos de Viaje - Contribución en horas al total Grupo I1

3,4 3,2 3,3 3,5 3,4

2,4 2,1 2,4 2,6 2,5

1,71,2 1,2

2,81,4

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,0

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Tiem

po (h

rs.) En Espera

DescargadoCargado

Gráfico 5.6: Tiempos de Viaje Detallados. Grupo de Instancias I1.

63

Tiempos de Viaje - Contribución en horas al total Grupo I1

3,4 3,2 3,3 3,5 3,4

2,4 2,1 2,4 2,6 2,5

1,71,2 1,2

2,81,4

0,01,02,03,04,05,06,07,08,09,0

10,0

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Tiem

po (h

rs.)

En EsperaDescargadoCargado

Gráfico 5.7: Tiempos de Viaje Detallados en Horas. Grupo de Instancias I1.

De los gráficos anteriores se desprende que se utiliza bastante más tiempo en

viajes cargados que en viajes con carga. Lo anterior indica que el modelo está

moviendo los camiones en forma adecuada. Dentro de los viajes descargados no se

consideran los viajes inicial y final, es decir, desde la base hasta el primer punto de

oferta de la jornada y desde el último punto de destino programado hasta nuevamente

la base.

La situación para el resto de las instancias es bastante similar, es decir, la

contribución de los tiempos individuales medidos al total de la jornada presenta una

distribución semejante a la situación anterior. Para revisar el detalle de los resultados

obtenidos ver Anexo V.

Las siguientes tablas muestran medidas de efectividad relacionadas a los

tiempos de las jornadas laborales, agrupando nuevamente los resultados por grupos

de instancias. La Duración Real de la jornada laboral es la dada en las tablas del Anexo

64

IV y depende de cada grupo de instancias. La Duración nominal de una jornada laboral

es siempre de 12 horas para todas las instancias.

Estadísticas Jornada Laboral - Grupo Instancias I1

0,0%10,0%20,0%30,0%40,0%50,0%60,0%70,0%80,0%90,0%

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Porc

enta

je

Duración Real/ Duración Nominal Tiempo de Espera / Duración Real

Gráfico 5.8: Estadísticas Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1.

Como se podía anticipar de gráficos anteriores, la ratio Duración Real /

Duración Nominal, se acerca en promedio a un 63%, es decir, la duración de la

jornada real de trabajo es de cerca de un 63% de la jornada nominal de 12 horas, por

lo tanto es un poco más de 7,5 horas de trabajo. Por otra parte, si consideramos solo

la duración real de la jornada, cerca de un 20% de ese tiempo los camiones lo utilizan

esperando por ser atendidos en algún punto (de oferta o demanda) dentro de la red

de caminos del problema.

En el Anexo VI se muestran los gráficos con las ratios presentados para los

restantes grupos de instancias. En general, el comportamiento es bastante similar al

mostrado por el grupo I1 por lo que un análisis de cada grupo de instancias no aporta

información adicional.

65

5.3.- Programas De Viaje Un punto importante de estudiar para complementar el análisis de las

soluciones obtenidas tiene relación con que tipos de programas de viaje que se están

utilizando en las soluciones finales del modelo. ¿Es una combinación entre programas

de la solución factible inicial o son solamente patrones creados en las iteraciones

realizadas, o viceversa?. Además es interesante estudiar que tipos de camiones se

utilizan y cuantos viajes se realizan en cada programa de viajes. Los siguientes gráficos

y tablas dan cuenta de lo anterior.

La nomenclatura utilizada para mostrar los resultados obtenidos es la siguiente:

Parámetro Descripción

Solución Final Es la cantidad de programas de viajes de la solución final asignados a cada tipo de camión. La suma de los programas asignados a todos los tipos de camiones da como resultado la cantidad total de programas de viaje de la solución final del problema.

Viajes (Prom.)

Indica cuantos viajes se realizan, en promedio, en los programas de viajes usados por cada tipo de camión. Un viaje Origen – Destino – Origen es considerado como un solo viaje, dado que en total se realiza una sola entrega de productos. Se incluyen como viajes los recorridos desde y hacia la base.

Programas Originales Son los programas de viajes que forman parte de la solución inicial que se utiliza para comenzar las iteraciones (o generación de columnas

Ingresados Corresponde a la cantidad de programas de la solución inicial del problema

Usados Corresponde a la cantidad de programas de la solución inicial que forman parte de la solución final del problema

Programas Nuevos Son los programas de viajes generados por el modelo construido. Corresponden a las columnas generadas.

Generados Corresponde a la cantidad total de programas generados por el modelo

Usados Corresponde a la cantidad de programas generados por el modelo que forman parte de la solución final del problema

Tabla 5.2: Descripción de Indicadores de Programas de Viajes.

66

Usando entonces la nomenclatura anterior, los siguientes gráficos muestran

indicadores relacionados con los programas de viajes incluidos en las soluciones

obtenidas, agrupando nuevamente por grupos de instancias.

Programas - Grupo de Instancias I1

11

20

7

35

8

22

13

18

8

15

2,6 2,0 2,6 2,0 2,8 2,0 2,5 2,0 2,5 2,0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

C3 C4 C1 C2 C2 C3 C1 C4 C3 C4

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Can

tidad

Solución Final Viajes (prom )

Gráfico 5.9: Programas de Viajes. Grupo de Instancias I1.

La cantidad de programas de viaje totales utilizados así como la distribución de

estos, es decir, la cantidad de programas que son asignados a cada tipo de camiones,

son absolutamente independientes de la instancia estudiada y de los tipos de camiones

que se utilicen en cada una de esas instancias. Dependerán de las características

propias de cada instancia (distribución de las demandas, combinación de tipos de

camiones, entre otros factores).

67

Un punto rescatable del gráfico anterior es que en todas las instancias, el

modelo tiende a utilizar camiones con mayor capacidad para transportar los productos.

Cabe recordar que la nomenclatura de los camiones tiene relación con su capacidad de

carga. Así C4 puede cargar más productos que C3, a la vez C3 puede cargar más

productos que C2 y C2 más que C1. Lo anterior indica que dados los costos de viaje y

de poner un nuevo camión en la red de caminos, es conveniente optar por camiones

más grandes, siempre y cuando puedan cubrir los puntos de demanda que necesiten

productos.

La cantidad de viajes que se realizan en promedio en cada programa de trabajo

también varían para un mismo tipo de camión de una instancia a otra. Por ejemplo

podemos ver que el tipo de camiones C3 hace en promedio una cantidad de 4.6 viajes

en la instancia I1-1 y solo 4.0 en la instancia I1-3. Sin embargo, cabe destacar que el

otro tipo de camión que se utiliza en cada instancia recién mencionada es distinto (C4

en I1-1 y C2 en I1-3), situación que influye en la asignación de los programas y en la

cantidad de viajes realizados por cada camión. Sin embargo, cabe destacar que

mientras mayor es la capacidad del camión, menos viajes promedio realiza en cada

programa de viaje. Lo anterior se explica por las características de las instancias. Para

que reflejen de mejor manera un problema real, las instancias fueron construidas

considerando que los camiones más grandes no pueden cubrir todas las rutas que

pueden cubrir los camiones más pequeños porque los caminos construidos no lo

permiten. Lo anterior implica que mientras más chico el camión, mayor cantidad de

puntos dentro de la red auxiliar puede cubrir, lo que redunda en una mayor cantidad

de combinaciones de viajes factibles de realizar, alcanzando también a cubrir más

nodos dentro de la red en el mismo tiempo que un camión más grande.

La situación del grupo de instancias I1 se repite en los otros grupos de

instancias. Para ver el detalle de programas usados y viajes promedio para las otras

instancias estudiadas ver Anexo VII.

68

Las soluciones entonces compuestas por dos tipos de programas de viajes;

programas ingresados como parte de la solución inicial del problema y programas

generados en las iteraciones del modelo (columnas generadas). Los programas

ingresados como solución inicial consideraban uno o dos entregas de productos en

toda la jornada laboral. Es interesante saber entonces cuál es la composición final de

las soluciones.

El siguiente gráfico muestra la composición de las soluciones finales obtenidas

para todas las instancias25.

Programas de Viajes de la Solución Final - Todas las Instancias

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5 I2-1 I2-2 I2-3 I2-4 I2-5 I3-1 I3-2 I3-3 I3-4 I3-5 I4-1 I4-2 I4-3 I4-4 I4-5 I5-1 I5-2 I5-3 I5-4 I5-5

Instancias

Porc

enta

jes

Programas Originales Programas Nuevos

Gráfico 5.10: Programas de Viajes de la Solución Final. Todas las Instancias.

25 En el Anexo VIII se incluye una tabla con el detalle de los programas de viaje usados en las soluciones finales, para todas las instancias estudiadas.

Grupo I1 Grupo I2 Grupo I3 Grupo I4 Grupo I5 Grupo I1 Grupo I2

69

Del gráfico anterior podemos rescatar que es muy bajo el porcentaje de

programas de viaje originales que forman parte de la solución final. Lo anterior se

explica porque los programas de viajes incluidos en las soluciones factibles iniciales de

los problemas resueltos consideraban, por construcción, sólo uno o dos viajes por

programa. En otras palabras, un camión salía de la base, recorría uno o dos orígenes

donde cargaba productos y los entregaba en uno o dos destinos, antes de regresar a la

base. Si bien salen de la solución final muchos de los programas ingresados

originalmente, lo importante en este punto es que si bien esto indicaría que mejores

soluciones factibles iniciales pueden ser entregadas26, el programa detecta que dichos

programas de viajes no son en su mayoría parte del óptimo y los excluye en su

mayoría de la solución final. Sin embargo, en todas las soluciones obtenidas existen

programas de viajes que realizan un solo viaje durante una jornada de trabajo. Esto se

debe principalmente a que en las instancias resueltas hay orígenes y destinos que

están relativamente lejos del resto y si un camión realiza un viaje cubriendo alguno de

dichos puntos, no alcanza dentro de la jornada laboral nominal máxima a realizar

ningún otro viaje.

Es interesante notar que la tendencia observada indica que mientras más

camionadas es necesario entregar en una determinada instancia, menor es la

contribución de los patrones de la solución original a la solución final. El siguiente

gráfico muestra las composiciones promedios de las soluciones, agrupando por grupo

de instancias. Cabe recordar que las instancias están agrupadas de acuerdo a la

cantidad de camiones demandados. Así, las instancias I1 tienen una demanda cercana

a 100 camionadas, las instancias I2 cerca de 200 camionadas y así sucesivamente

hasta llegar a las instancias I5 que tienen una demanda cercana a 500 camionadas por

jornada laboral.

26 Este punto puede considerarse en desarrollos y mejoras futuras al modelo desarrollado en este trabajo de título.

70

Programas de Viajes de la Solución Final - Promedios Instancias

39%19% 17% 20% 12%

61%81% 83% 80% 88%

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

100%

Prom. I1 Prom. I2 Prom. I3 Prom. I4 Prom. I5

Instancias

Porc

enta

jes

Programas Originales Programas Nuevos

Gráfico 5.11: Programas de Viajes de la Solución Final. Promedios Instancias.

El gráfico anterior muestra que, salvo para el grupo de instancias I4, mientras

más camionadas es necesario transportar, menor es el porcentaje de programas de

viaje originales que se incluyen en la solución final. Lo anterior se debe principalmente

a que mientras más camionadas halla que transportar, más grandes serán las

instancias en número de orígenes y destinos, y por ende de puntos de oferta y

demanda, por lo que existen más combinaciones de viajes y más programas de viajes

se pueden generar a medida que se resuelve el problema, lo que implica que los

programas “simples” que forman parte de la solución inicial ya no son necesarios en la

solución final.

5.4.- Estructura de las Soluciones

Hasta este punto hemos analizado las soluciones entregadas, calculando

diversos indicadores de desempeño del programa construido para resolver nuestro

71

problema original. Sin embargo, es importante mostrar como esas soluciones son

entregadas por dicho programa.

Dado que las instancias resueltas, similares a un problema real, presentan

soluciones que incluyen una gran cantidad de programas de viajes, una instancia de

prueba fue generada para ver de qué forma el programa está entregando las

soluciones al problema.

Los datos de esta instancia de prueba están dados en las siguientes tablas:

Tiempos de viaje (Horas) Orígenes o1 o2 o3 o4 o5 Base

Base 1,5 1,5 1,0 0,6 1,0 - d1 1,0 0,6 1,3 0,6 1,3 1,0 d2 1,3 0,6 1,0 0,6 0,6 0,6

Destinos

d5 1,0 0,6 1,0 1,3 1,0 1,5

Tabla 5.3: Tiempos de Viaje Instancia de Prueba.

Camión 1 2 4 5 CapacidadT1 - - - SI 2T2 SI SI SI - 2

Producto

Tabla 5.4: Asociación Productos – Camiones Instancia de Prueba.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12d1 - - 2 p1 2 p2 - - - - - - - -d2 - - - - 2 p2 - - - - - - -d5 - 6 p5 - - - - - - 4 p4 - - -

Hora

Tabla 5.5: Demandas Instancia de Prueba.

72

De los cuadros anteriores se puede inferir que la instancia tiene 5 orígenes, 3

destinos, 2 tipos de camiones y 4 tipos de productos. El cuadro de demandas dice por

ejemplo que el destino 1 requiere 2 camionadas o un camión con capacidad 2, de

producto tipo 1 o p1, a la hora 3 y 2 camionadas de producto 2 o p2, a la hora 4. En

total, la demanda es de 16 camionadas. El camión tipo T1 puede cargar productos tipo

1, 2 y 4 (p1, p2 y p4) y el camión T2 sólo puede cargar productos tipo p5.

Entonces, con un esquema de demandas como el mostrado en la tabla 5.5, los

resultados entregados por el modelo son los siguientes:

Nodo (Origen o Destino) p88 p130 p218 p336 p342

o103 2 0 0 0 0o106 0 2 0 0 0o11 0 0 2 0 0o423 0 0 0 2 0o233 0 0 0 0 2o543 0 0 0 2 0o163 0 0 0 2 0o376 0 0 0 0 2

d5p5h2 2 0 0 0 0d5p5h23 0 2 0 0 0d5p5h26 0 0 2 0 0d1p1h3 0 0 0 2 0d1p2h4 0 0 0 0 2d2p2h5 0 0 0 2 0d5p4h9 0 0 0 2 0d5p4h93 0 0 0 0 2

Programa

Tabla 5.6: Programas de Viaje de la Solución de la Instancia de Prueba.

73

Un 2 en la tabla anterior significa que un camión con capacidad 2 hizo un retiro

o una entrega en el punto (nodo de la red), indicado. Para los orígenes, la

nomenclatura utilizada es la siguiente:

O1 03

Origen n°1 Hora 0,3 (si la jornada comienza a las 8 de la mañana

equivale a las 8:20 AM).

Para los destinos es algo similar:

D5 P5 H2

Destino n°5 Producto P5 Hora 2 (si la jornada comienza a las 8 de

la mañana equivale a las 10:00 AM).

Para resolver el problema fue necesario crear 343 programas de viaje, y la

solución escogió los programas 88, 130, 218, 336 y 342 para recoger y entregar las 16

camionadas requeridas.

Los programas de viajes utilizados indican a los camiones requeridos que deben

hacer entre 3 y 7 viajes cada uno, y que cada camión trabaja entre 4,6 y 8,6 horas

diarias. El detalle de los viajes y tiempos de viajes se muestra en la siguiente tabla.

74

p88 p130 p218 p336 p342Viajes (#) 3 3 3 7 5

Tiempo de Viaje (hrs.) 4 4 4 6,9 5,9Espera (hrs.) 0,6 0,6 0,6 1,6 2,9

Programa

Tabla 5.7: Estadísticas Programas de Viaje de la Solución de la Instancia de Prueba.

75

CAPÍTULO 6.

EXTENSIONES DEL MODELO.

En los capítulos anteriores se analizó un modelo de distribución de productos

forestales que consideraba una discretización del día o jornada laboral a intervalos de

20 minutos. Las demandas en los destinos estaban fijas y bien determinadas y existían

una serie de otras restricciones por cumplir. Una extensión natural del modelo antes

descrito y analizado podría considerar relajar los horarios de entrega de los productos,

permitiéndole a los camiones llegar en cualquier momento del día con la madera a los

destinos. Lo anterior, mirado desde el punto de vista de quien implementa el modelo,

trae consigo la generación de redes auxiliares mucho más grandes que las asociadas al

problema resuelto originalmente, lo que redunda en una mayor complejidad del

modelo y en la necesidad de mayor capacidad de máquina para resolverlo, sin

embargo, con el enfoque utilizado es factible modelar dicha extensión del problema

original y estudiar su comportamiento.

En este capítulo se presenta la modelación y resolución de un par de instancias,

similares a las usadas en el estudio del modelo original, para la extensión del modelo

que se propone.

6.1.- Modificaciones al Modelo Original. El modelo original sufre algunas modificaciones que permiten resolver

problemas como el descrito anteriormente, permitiendo a los camiones entregar los

productos en cualquier momento del día, o de la jornada laboral.

76

Los subproblemas no sufren modificaciones y siguen siendo problemas que

tratan de encontrar la ruta más corta, o más barata, entre dos puntos, entregando

columnas o programas de viaje que son incluidos en el problema maestro. La única

diferencia con los subproblemas originales es el tamaño de la red auxiliar que se

genera en cada iteración. Dado que los productos se pueden entregar en cualquier

momento del día, se necesitará un nodo por cada intervalo de tiempo que se considere

en la discretización de la jornada laboral y por cada demanda de productos en algún

destino. Así, si existen 5 destinos y 5 demandas, y la discretización del día considera

intervalos de 20 minutos cada uno, tendríamos un total de 900 nodos solo en la última

línea o etapa (la entrega de los productos), sin considerar la enorme cantidad de

combinaciones o posibles rutas que se generarán considerando un número no muy

grande de orígenes.

El problema maestro sufre una pequeña modificación respecto al modelo

original. Las restricciones que hacían relación a la satisfacción de la demanda

presentan ahora una forma que permite controlar que entre todos los posibles nodos

de entregas de productos relacionados a un mismo destino, sólo se entregue la

cantidad demandada.

6.1.- Descripción de las instancias. Las instancias usadas para probar la extensión del modelo construido se

presentan a continuación. La nomenclatura utilizada se describe en la tabla 4.1.

77

Descripción

Nodos Tiempos de Viaje (hrs.) Camionadas

Instancia OR OV DR DV TVC TVD CT I6-1 3 36 2 24 1,151 0,951 80 I6-2 9 108 5 22 0,993 0,833 70

Tabla 6.1: Descripción de Instancias para extensión del Modelo.

La instancia I6-1 es muy inferior en cantidad de nodos a las instancias

utilizadas anteriormente. La instancia I6-2 es similar a las instancias del grupo I1

anteriormente utilizadas.

6.3.- Resultados Obtenidos

Considerando como solución factible inicial algún conjunto de programas de

viajes construido de la forma expuesta en al capítulo 3 y un criterio de parada para las

iteraciones de GAP Relativo ≤ 3%, los resultados (GAP’s Relativos) para las instancias

estudiadas se presentan en la siguiente tabla.

Costos (Función Objetivo) Instancia MIP RMIP GAP Relative GAP

I6-1 739495 727726 11769 1,59% I6-2 561451 552920 8532 1,5%

Tabla 6.2: Resultados Obtenidos con la extensión del Modelo.

A priori, el único obstáculo probable que podría haber impedido la resolución

del problema era la capacidad del CPU que se estaba utilizando. No obstante, se

obtuvieron resultados similares a los obtenidos anteriormente, con GAP’s menores al

78

2%. El siguiente gráfico presenta una comparación de la calidad de las soluciones

entre las Instancias originales y las nuevas de prueba.

Relative GAP - Todas las Instancias (Incluye Extensiones)

2,1%

1,5%

2,3%

0,9%

2,2%

1,2%

2,9%

0,1%

1,2%

2,1%

1,9%

0,2%

0,8%

1,1%0,9%

2,5%

1,5%

1,1%

1,7%

2,5%

1,8%

2,2%

1,7%

2,3%

1,9%

1,6%1,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5 I2-1 I2-2 I2-3 I2-4 I2-5 I3-1 I3-2 I3-3 I3-4 I3-5 I4-1 I4-2 I4-3 I4-4 I4-5 I5-1 I5-2 I5-3 I5-4 I5-5 I6-1 I6-2

Instancias

Rel

ativ

e G

AP

(%)

Gráfico 6.1: GAP’s Relativos para todas las instancias (Incluyendo extensiones)

Pese a que del gráfico anterior se desprende que las soluciones presentan una

calidad similar a las de las instancias originales, existe aún un factor que limitaría un

uso práctico del modelo en una circunstancia como la modelada. Si bien se obtuvieron

buenas soluciones, el tiempo que se necesitó para obtenerlas crece mucho cuando

aumentamos el tamaño de la red del problema.

Grupo I1 Grupo I2 Grupo I3 Grupo I4 Grupo I5 Grupo I6

79

La siguiente tabla muestra los tiempos de ejecución de los modelos resueltos.

Tiempos de Ejecución (seg.) Lectura de Datos Problema Maestro Subproblema TOTAL Instancia

Tiempo % Tiempo % Tiempo % Tiempo I6-1 0:00:02 0,1% 0:05:09 11,9% 0:38:05 88% 0:43:16 I6-2 0:00:02 0,1% 0:23:23 7,6% 5:05:49 92,9% 5:29:14

Tabla 6.3: Tiempos de Ejecución de la extensión del Modelo.

Pasando de 3 orígenes y 2 destinos a 9 orígenes y 5 destinos se produce un

salto muy grande en el tiempo necesario para resolver el problema. Por un lado casi se

triplicó el número de nodos, entre orígenes y destinos, y por otro lado el tiempo

necesario para resolver el modelo crece más de 8 veces lo que lo hace poco útil en la

práctica, debido a la gran cantidad de tiempo necesaria para su resolución.

Ahora, considerando que la instancia I1-1, con una cantidad similar de orígenes

y destinos que la instancia I6-2 y con más camiones a transportar, era resuelta en 21

min. y 26 segundos e I6-2 es resuelta en más de 5 horas, se puede concluir que si

bien el modelo permite resolver el problema planteado, no permite utilizar instancias

mayores a las del grupo I1 estudiado originalmente.

80

CAPÍTULO 7.

CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO. En el presente trabajo de tesis abordamos el problema operacional de

transporte que enfrentan las empresas forestales chilenas al decidir como transportar

sus productos hasta sus clientes. Construimos para resolver dicho problema un modelo

de generación de columnas dadas las características del problema a resolver y de lo

práctico que ha sido este tipo de modelo en aplicaciones similares, en industrias

forestales de otros países y en otro tipo de industrias alrededor del mundo.

Hemos mostrado que existen variadas formas de generar las columnas o

programas de viajes, base del modelo construido. En este trabajo se optó por utilizar

un generador dinámico de columnas que va entregando una nueva ruta en cada

iteración del problema y no necesita generar una gran cantidad de rutas a priori para

resolver el problema, sino que en cada iteración busca la ruta más corta en una red

auxiliar generada para cada caso estudiado.

El modelo fue testeado con varias instancias de prueba que representan

situaciones reales a las que se enfrentan las empresas forestales y otras instancias que

superan con creces la magnitud de un problema real, con el fin de probar la capacidad

del modelo de resolver problemas aún más grandes que los reales.

Los resultados enteros obtenidos, que permitirían el uso del modelo construido

en situaciones reales, están relativamente muy cerca del resultado continuo óptimo del

problema. En todas las instancias de prueba, para mantener un balance entre buenos

resultados y pequeños tiempos de resolución de los modelos, se encontraron

resultados con un GAP relativo menor a un 3%, manteniendo tiempos de ejecución

que ni en el más grande de las instancias estudiadas superaron los 55 minutos, lo que

81

hace al modelo útil para usarse en situaciones en que deben programarse viajes

diariamente.

El modelo construido permite además construir una serie de indicadores y hacer

una serie de mediciones de tiempos en la jornada laboral, de porcentajes de utilización

de recursos, entre otros, lo que agrega aun más valor al trabajo realizado,

permitiéndole a un potencial futuro usuario hacer un acabado análisis de las

programaciones diarias o por jornada laboral de sus camiones.

Otro punto interesante es estudiar la forma de ingresar mejores soluciones

iniciales al problema. Si bien el modelo reconoce que la mayoría de los programas de

viajes ingresados como soluciones iniciales en este trabajo no deberán formar parte de

la solución final del problema, ingresar “mejores” soluciones iniciales podría traer

consigo mejoras en los tiempos de ejecución del modelo dado que se generarían

probablemente menos columnas durante la ejecución del modelo.

La cantidad de camiones disponibles en un problema real puede estar limitada

a un número determinado de camiones de cada tipo. El modelo permite fijar la

cantidad de camiones máxima agregando sólo una restricción al problema maestro, lo

que no acarrea mayores problemas ni necesita mayores desarrollos, sin embargo, es

un tema que también puede ser estudiado.

Para concluir, si bien el modelo es ya una herramienta práctica para la

resolución de problemas reales, existen aspectos que aún pueden ser modificados para

aumentar la confiabilidad y el rango de problemas que pueden ser resueltos con el

modelo construido, como lo estudiado en el capítulo 6, sin la necesidad de hacer

cambios sustanciales a lo ya construido.

82

BIBLIOGRAFÍA.

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83

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15. Weintraub, A., Epstein, R., Morales, R., Serón, J. Use of OR Systems in the

Chilean Forest Industries. Interfaces Vol. 29(1), 1999, pp 7-29.

84

ANEXOS

85

ANEXO I: Tiempos de Viaje por Camión.

Cabe mencionar que existen instancias que comparten los mismos orígenes y

destinos. Los primeros tres grupos de instancias cumplen lo anterior. A continuación se

detallen los tiempos de viaje (ida y regreso) por camión para cada instancia.

Tiempos de Viaje (hrs.)

TVC TVD Instancia C1 C2 C3 C4 Prom. C1 C2 C3 C4 Prom.

I1-1 ; I2-1 ; I3-1 - - 1,056 1,056 1,056 - - 0,956 0,956 0,956I1-2 ; I2-2 ; I3-2 1,106 1,097 - - 1,101 0,956 0,947 - - 0,951I1-3 ; I2-3 ; I3-3 - 1,117 1,126 - 1,121 - 0,947 0,956 - 0,951I1-4 ; I2-4 ; I3-4 1,056 - - 1,056 1,056 0,956 - - 0,956 0,956I1-5 ; I2-5 ; I3-5 - - 1,106 1,106 1,106 - - 0,956 0,956 0,956

I4-1 1,076 1,067 - 1,076 1,073 0,956 0,947 - 0,956 0,953I4-2 1,096 1,087 1,096 - 1,093 0,956 0,947 0,956 - 0,953I4-3 1,076 - 1,076 1,076 1,076 0,956 - 0,956 0,956 0,956I4-4 1,076 - 1,076 1,076 1,076 0,956 - 0,956 0,956 0,956I4-5 - 1,057 1,066 1,066 1,063 - 0,947 0,956 0,956 0,953I5-1 - 1,057 1,066 1,066 1,063 - 0,947 0,956 0,956 0,953I5-2 1,096 1,087 1,096 1,096 1,093 0,956 0,947 0,956 0,956 0,953I5-3 1,096 1,087 1,096 1,096 1,093 0,956 0,947 0,956 0,956 0,953I5-4 1,096 1,087 1,096 1,096 1,093 0,956 0,947 0,956 0,956 0,953I5-5 1,076 - 1,076 1,076 1,076 0,956 - 0,956 0,956 0,956

Promedio 1,085 1,082 1,086 1,078 1,082 0,956 0,947 0,956 0,956 0,954

Tabla A.1.1: Tiempos de Viaje (Ida y Regreso) para cada tipo de Camión.

86

ANEXO II: Costo Total de Transporte.

Costos (Función Objetivo) Instancia MIP RMIP GAP Relative GAP

I1-1 1198333 1173231 25102 2,1% I1-2 1608500 1584846 23654 1,5% I1-3 765588 748282 17306 2,3% I1-4 633038 627612 5426 0,9% I1-5 407409 398292 9117 2,2% I2-1 741893 732652 9241 1,2% I2-2 2343705 2274832 68873 2,9% I2-3 1065105 1063536 1569 0,1% I2-4 824325 814058 10268 1,2% I2-5 656780 642700 14080 2,1% I3-1 1513573 1484867 28706 1,9% I3-2 2522622 2516724 5898 0,2% I3-3 2068550 2051130 17420 0,8% I3-4 1207887 1194912 12975 1,1% I3-5 2163148 2143292 19856 0,9% I4-1 2311524 2252921 58603 2,5% I4-2 2784969 2742114 42855 1,5% I4-3 1645969 1628577 17392 1,1% I4-4 1688731 1659352 29380 1,7% I4-5 1615249 1574725 40525 2,5% I5-1 2931951 2878697 53254 1,8% I5-2 3168312 3099367 68945 2,2% I5-3 2892839 2844983 47856 1,7% I5-4 3856388 3766734 89654 2,3% I5-5 2666760 2615737 51023 1,9%

Tabla A.2.1: Costos de la Solución.

87

ANEXO III: Tiempos de Ejecución del Modelo.

CPU Times Instancia Lectura de Datos Problema Maestro Subproblema TOTAL

I1-1 0:00:02 0:00:56 0:20:28 0:21:26 I1-2 0:00:02 0:00:59 0:24:13 0:25:13 I1-3 0:00:01 0:00:41 0:14:36 0:15:18 I1-4 0:00:02 0:01:02 0:21:29 0:22:33 I1-5 0:00:02 0:00:52 0:15:55 0:16:49 I2-1 0:00:02 0:01:09 0:22:23 0:23:33 I2-2 0:00:02 0:00:59 0:22:40 0:23:41 I2-3 0:00:02 0:02:01 0:36:38 0:38:40 I2-4 0:00:02 0:00:50 0:14:34 0:15:26 I2-5 0:00:02 0:01:22 0:07:59 0:09:23 I3-1 0:00:02 0:02:22 0:32:10 0:34:34 I3-2 0:00:02 0:00:58 0:17:46 0:18:46 I3-3 0:00:02 0:03:22 0:45:56 0:49:20 I3-4 0:00:02 0:02:21 0:35:46 0:38:09 I3-5 0:00:02 0:02:42 0:33:21 0:36:04 I4-1 0:00:01 0:01:15 0:30:36 0:31:52 I4-2 0:00:01 0:01:35 0:34:48 0:36:25 I4-3 0:00:02 0:02:28 0:43:52 0:46:22 I4-4 0:00:03 0:03:03 0:43:52 0:46:58 I4-5 0:00:03 0:02:21 0:38:33 0:40:57 I5-1 0:00:05 0:01:37 0:45:17 0:46:59 I5-2 0:00:05 0:00:59 0:44:39 0:45:44 I5-3 0:00:05 0:01:49 0:45:29 0:47:22 I5-4 0:00:05 0:02:15 0:51:03 0:53:23 I5-5 0:00:05 0:03:00 0:46:39 0:49:44

Tabla A.3.1: Tiempos de Ejecución (hh:mm:ss).

88

ANEXO IV: Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral.

A continuación se presentan 5 tablas, una por grupo de instancias, con el

detalle de los tiempos de Inicio, Fin y la Duración de la jornada laboral para cada una

de las instancias estudiadas.

Tipo de Camión Inicio Fin DuraciónC3 1,0 9,3 8,3C4 2,1 9,0 6,9

Prom. 1,7 9,1 7,4C1 0,9 8,8 7,9C2 2,3 8,2 6,0

Prom. 2,0 8,3 6,3C2 1,3 9,5 8,2C3 2,6 8,6 6,1

Prom. 2,2 8,9 6,6C1 1,1 9,3 8,2C4 1,1 10,4 9,3

Prom. 1,1 9,9 8,8C3 1,1 9,7 8,6C4 2,4 8,7 6,3

Prom. 1,9 9,0 7,1Promedio Gral. 1,8 9,0 7,2

Desviación Estándar 0,43 0,58 0,96

Jornada Laboral (horas)Instancia

I1-1

I1-2

I1-3

I1-4

I1-5

Tabla A.IV.1: Indicadores de Tiempos de la Jornada Laboral. Grupo I1.

89


Prom. 2,7 9,6 6,9C1 1,4 10,8 9,4C2 1,9 7,2 5,3

Prom. 1,7 8,3 6,6C2 1,7 10,8 9,1C3 5,0 10,6 5,6

Prom. 4,0 10,7 6,6C1 1,6 10,0 8,4C4 2,6 9,0 6,4

Prom. 2,3 9,3 7,0C3 1,6 10,5 9,0C4 3,2 8,9 5,8



I2-1

InstanciaJornada Laboral (horas)

I2-2

I2-3

I2-4

I2-5



Prom. 2,3 9,9 7,6C1 2,2 10,9 8,7C2 2,7 9,3 6,6

Prom. 2,5 9,8 7,3C2 1,7 10,4 8,6C3 2,6 9,1 6,6

Prom. 2,3 9,6 7,2C1 1,6 10,3 8,6C4 2,9 9,2 6,3

Prom. 2,5 9,6 7,1C3 1,9 10,5 8,7C4 2,7 9,2 6,5



I3-5

I3-1

I3-2

I3-3

I3-4



90

Tipo de Camión Inicio Fin DuraciónC1 3,4 11,9 8,6C2 1,9 12,2 10,2C4 2,9 11,4 8,5

Prom. 2,6 9,2 7,6C1 3,0 11,0 8,0C2 1,9 12,0 10,0C3 3,2 11,1 7,9

Prom. 2,6 9,0 7,2C1 3,5 12,5 9,0C3 1,8 12,2 10,4C4 2,5 11,5 9,0

Prom. 2,3 9,2 7,8C1 3,2 11,5 8,3C3 1,9 12,1 10,1C4 3,1 11,3 8,2

Prom. 2,6 9,1 7,4C2 3,4 12,3 8,8C3 1,8 12,1 10,3C4 2,7 11,4 8,7



I4-4

I4-5

I4-1

I4-2

I4-3



Tipo de Camión Inicio Fin DuraciónC2 4,9 11,1 6,2C3 4,9 10,5 5,6C4 4,9 11,0 6,1

Prom. 4,9 10,8 5,9C1 4,7 10,1 5,3C2 6,0 11,5 5,5C3 4,9 11,5 6,6C4 4,2 9,9 5,6

Prom. 4,8 10,6 5,8C1 4,8 10,2 5,3C2 6,1 11,6 5,5C3 5,0 11,6 6,6C4 4,3 10,0 5,6

Prom. 5,0 10,9 5,8C1 4,8 10,1 5,3C2 6,0 11,6 5,5C3 4,9 11,6 6,6C4 4,3 9,9 5,6

Prom. 4,9 10,7 5,8C1 5,0 10,8 5,8C3 5,1 11,0 5,9C4 4,7 10,6 5,9



I5-4

I5-5

I5-1

I5-2

I5-3



91

ANEXO V: Tiempos de Viaje

A continuación se detalla la distribución de los tiempos de las duraciones

reales de las jornadas laborales, agrupando por tipo de instancia.

Tipo de Camión Cargado Descargado En Espera Total3 3,8 2,9 1,8 8,44 3,2 2,2 1,7 7,1

Promedio 3,4 2,4 1,7 7,6% 45,0% 32,4% 22,7% -1 3,3 2,8 1,7 7,82 3,2 2,0 1,1 6,3

Promedio 3,2 2,1 1,2 6,548,8% 32,5% 18,7% -

2 4,1 3,0 1,2 8,33 3,0 2,2 1,2 6,4

Promedio 3,3 2,4 1,2 6,947,7% 34,5% 17,8% -

1 3,4 2,7 2,2 8,34 3,7 2,5 3,2 9,4

Promedio 3,5 2,6 2,8 8,939,6% 29,0% 31,4% -

3 4,2 3,1 1,9 9,24 3,0 2,2 1,2 6,3

Promedio 3,4 2,5 1,4 7,346,8% 33,9% 19,3% -

I1-5

I1-1

I1-2

I1-3

I1-4

Tiempos de Viajes (horas)Instancia

Tabla A.V.1: Tiempos de Viaje. Grupo I1.

92


Promedio 3,0 2,0 1,9 6,9% 43,3% 29,3% 27,4% -1 3,6 2,5 2,8 8,92 2,5 1,5 1,9 5,9

Promedio 2,8 1,8 2,1 6,8% 41,5% 26,9% 31,6% -2 4,0 3,3 1,6 8,93 2,5 1,5 1,6 5,6

Promedio 3,0 2,0 1,6 6,6% 45,1% 30,8% 24,0% -1 4,3 3,1 1,7 9,14 3,0 2,2 1,2 6,4

Promedio 3,4 2,4 1,4 7,2% 47,0% 33,9% 19,1% -3 4,0 3,0 2,0 8,94 2,7 1,7 1,6 6,0

Promedio 3,1 2,1 1,7 6,9% 44,6% 30,7% 24,7% -

I2-1

I2-2

I2-3


I2-4

I2-5



Promedio 3,7 2,6 1,6 7,9% 46,3% 21,8% 13,7% -1 4,4 3,1 1,9 9,42 3,0 2,2 1,4 6,6

Promedio 3,5 2,5 1,6 7,6% 46,1% 20,8% 13,3% -2 4,4 3,1 1,8 9,33 3,0 2,2 1,4 6,6

Promedio 3,4 2,5 1,6 7,5% 46,0% 20,6% 13,0% -1 4,3 3,1 1,9 9,24 3,1 2,3 1,1 6,5

Promedio 3,5 2,5 1,4 7,4% 47,2% 21,1% 11,4% -3 4,4 3,1 1,9 9,34 3,0 2,2 1,3 6,6

Promedio 3,4 2,4 1,5 7,3% 46,4% 20,3% 12,2% -

I3-3

I3-4

I3-5

I3-1

I3-2



93

Tipo de Camión Cargado Descargado En Espera Total1 3,8 3,0 2,0 8,92 4,4 3,6 2,3 10,34 4,0 3,1 1,7 8,8

Promedio 4,1 3,2 1,9 9,2% 44,4% 34,8% 20,7% -1 3,6 2,5 1,9 8,02 4,1 3,3 2,1 9,53 3,6 2,6 1,7 7,9

Promedio 3,7 2,8 1,9 8,3% 44,8% 33,0% 22,2% -1 3,9 3,3 2,0 9,23 4,5 3,8 2,3 10,64 4,2 3,3 1,5 9,1

Promedio 4,3 3,5 1,8 9,6% 44,9% 36,4% 18,7% -1 3,7 2,8 2,0 8,43 4,3 3,5 2,2 9,94 3,8 2,8 1,7 8,3

Promedio 3,9 3,0 1,9 8,8% 44,6% 34,0% 21,4% -2 3,8 3,1 1,9 8,93 4,4 3,7 2,2 10,34 4,1 3,1 1,5 8,8

Promedio 4,1 3,3 1,8 9,2% 44,8% 35,7% 19,5% -


I4-1

I4-2

I4-3

I4-4

I4-5


94

Tipo de Camión Cargado Descargado En Espera Total2 2,6 2,2 2,2 7,03 2,5 2,3 1,6 6,44 2,5 2,1 2,1 6,6

Promedio 2,5 2,2 1,9 6,6% 37,8% 32,9% 29,4% -1 2,2 3,3 1,7 7,22 2,5 3,0 1,5 7,03 2,5 1,6 2,6 6,74 2,4 1,9 1,7 6,0

Promedio 2,4 2,2 1,9 6,6% 36,9% 34,0% 29,0% -1 2,3 3,4 1,8 7,52 2,5 3,0 1,5 7,03 2,6 1,7 2,3 6,64 2,4 1,9 1,7 6,0

Promedio 2,5 2,3 1,8 6,6% 37,6% 34,9% 27,6% -1 2,2 3,4 1,7 7,32 2,5 3,0 1,5 7,03 2,5 1,6 2,5 6,74 2,4 2,0 1,7 6,1

Promedio 2,5 2,3 1,9 6,6% 37,0% 34,8% 28,2% -1 2,4 2,5 1,8 6,73 2,5 2,2 1,9 6,64 2,4 2,3 2,0 6,7

Promedio 2,4 2,3 1,9 6,7% 36,5% 35,0% 28,6% -

I5-2

I5-3

I5-4

I5-5

I5-1



95

ANEXO VI: Estadísticas de la Jornada Laboral.

A continuación se presentan 5 tablas y 5 gráficos, una por grupo de instancias,

con el detalle de las estadísticas de la Jornada Laboral.

Tipo de Camión Duración Real/ Duración Nominal

Tiempo de Espera / Duración Real

C3 69,0% 21,3%C4 57,4% 24,5%

Prom. 61,5% 23,2%C1 65,8% 21,6%C2 49,7% 18,8%

Prom. 52,8% 19,3%C2 68,0% 15,3%C3 50,4% 20,1%

Prom. 55,1% 18,5%C1 68,3% 26,8%C4 77,1% 35,0%

Prom. 73,4% 31,8%C3 71,3% 22,2%C4 52,6% 18,4%

Prom. 59,1% 20,0%

I1-3

I1-4

I1-5

Estadísticas - Jornada Laboral

I1-1

I1-2

Instancia

Tabla A.VI.1: Medidas de Efectividad de la duración de la jornada laboral. Grupo I1.



C3 77,1% 23,5%C4 45,5% 31,5%

Prom. 57,1% 27,5%C1 78,2% 29,5%C2 44,5% 35,0%

Prom. 54,7% 32,6%C2 76,1% 17,4%C3 46,5% 28,1%

Prom. 55,2% 23,8%C1 70,0% 20,2%C4 53,2% 19,4%

Prom. 57,9% 19,7%C3 74,8% 22,5%C4 48,1% 27,0%

Prom. 56,5% 25,1%


I2-2

I2-3

I2-4

I2-5

I2-1

Instancia


96



C3 72,3% 21,6%C4 54,7% 21,7%

Prom. 63,3% 21,6%C1 72,8% 21,7%C2 54,8% 21,8%

Prom. 61,2% 21,8%C2 71,9% 21,4%C3 54,6% 21,6%

Prom. 60,4% 21,5%C1 72,1% 21,6%C4 52,9% 17,8%

Prom. 59,0% 19,3%C3 72,2% 21,6%C4 54,1% 20,4%

Prom. 58,9% 20,8%


Instancia

I3-5

I3-1

I3-2

I3-3

I3-4




C1 71,5% 23,6%C2 85,2% 22,4%C4 70,6% 20,1%

Prom. 63,0% 25,4%C1 66,7% 23,7%C2 83,6% 20,8%C3 65,8% 21,8%

Prom. 59,8% 25,8%C1 74,7% 21,9%C3 86,8% 21,9%C4 75,4% 16,4%

Prom. 65,4% 22,8%C1 69,1% 23,7%C3 84,4% 21,6%C4 68,2% 21,0%

Prom. 61,3% 25,6%C2 73,5% 22,0%C3 85,6% 21,7%C4 72,6% 17,7%

Prom. 64,1% 23,4%


Instancia

I4-1

I4-2

I4-3

I4-4

I4-5


97



C2 51,6% 34,8%C3 46,6% 28,9%C4 50,9% 34,5%

Prom. 49,6% 32,7%C1 44,4% 31,1%C2 46,1% 27,7%C3 55,3% 39,7%C4 46,9% 29,6%

Prom. 48,6% 32,6%C1 44,4% 33,0%C2 46,1% 27,7%C3 55,3% 35,2%C4 46,9% 29,6%

Prom. 48,7% 31,1%C1 44,4% 32,0%C2 46,1% 27,7%C3 55,3% 37,4%C4 46,9% 29,6%

Prom. 48,7% 31,9%C1 48,2% 31,7%C3 49,3% 31,7%C4 48,8% 33,6%

Prom. 48,8% 32,5%


Instancia

I5-3

I5-4

I5-5

I5-1

I5-2



0,0%10,0%20,0%

30,0%40,0%50,0%60,0%

70,0%80,0%90,0%

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Porc

enta

je


Gráfico A.VI.1: Estadísticas Jornada Laboral. Grupo de Instancias I1.

98


0,0%10,0%20,0%30,0%40,0%50,0%60,0%70,0%80,0%90,0%

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Porc

enta

je




0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

Pro

m.

C2

C3

Pro

m.

C1

C4

Pro

m.

C3

C4

Pro

m.

I1-1 I1-2 I1-3 I1-4 I1-5

Instancias

Porc

enta

je



99


0,0%10,0%

20,0%30,0%

40,0%50,0%60,0%

70,0%80,0%

90,0%100,0%

C1

C2

C4

Pro

m.

C1

C2

C3

Pro

m.

C1

C3

C4

Pro

m.

C1

C3

C4

Pro

m.

C2

C3

C4

Pro

m.

I4-1 I4-2 I4-3 I4-4 I4-5

Instancias

Porc

enta

je




0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

C2

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

C3

C4

Pro

m.

C1

C2

C3

C4

Pro

m.

C1

C3

C4

Pro

m.

I5-1 I5-2 I5-3 I5-4 I5-5Instancias

Porc

enta

je



100

ANEXO VII: Programas de Viajes.

A continuación se presentan 5 tablas, una por grupo de instancias, con el

detalle de los programas de viajes utilizados por tipo de camión. Además, se detalla la

cantidad de viajes promedio que se realizan en cada programa ejecutado por algún

camión.

Programas de Viajes

Instancia Tipo de Camión

Solución Final

Viajes (Prom.)

C3 11 2,6 I1-1 C4 20 2,0 C1 7 2,6 I1-2 C2 35 2,0 C2 8 2,8 I1-3 C3 22 2,0 C1 13 2,5 I1-4 C4 18 2,0 C3 8 2,5 I1-5 C4 15 2,0

Tabla A.VII.1: Indicadores de Programas de Viajes. Grupo I1.

Programas Instancia Tipo de

Camión Solución

Final Viajes

(Prom.) C3 15 2,8 I2-1 C4 26 2,0 C1 24 2,7 I2-2 C2 55 2,0 C2 17 2,9 I2-3 C3 41 2,0 C1 13 2,5 I2-4 C4 33 2,0 C3 13 2,7 I2-5 C4 28 2,0


101


Camión Solución

Final Viajes

(Prom.) C3 34 2,4 I3-1 C4 35 2,0 C1 38 2,4 I3-2 C2 69 2,0 C2 29 2,3 I3-3 C3 58 2,0 C1 25 2,4 I3-4 C4 53 2,0 C3 15 2,4 I3-5 C4 42 2,0



Camión Solución

Final Viajes

(Prom.) C1 14 2,5 C2 29 2,4 I4-1 C4 57 2,2 C1 19 2,5 C2 29 2,2 I4-2 C3 62 2,1 C1 9 2,3 C3 29 2,4 I4-3 C4 52 2,1 C1 12 2,5 C3 25 2,3 I4-4 C4 52 2,1 C2 12 2,4 C3 25 2,4 I4-5 C4 48 2,1


102


Camión Solución

Final Viajes

(Prom.) C2 24 2,1 C3 42 2,1 I5-1 C4 55 2,1 C1 21 2,0 C2 21 2,0 C3 35 2,0

I5-2

C4 52 2,0 C1 13 2,1 C2 37 2,1 C3 36 2,1

I5-3

C4 45 2,1 C1 17 2,1 C2 29 2,1 C3 36 2,1

I5-4

C4 49 2,1 C1 31 2,1 C3 38 2,1 I5-5 C4 56 2,0


103

ANEXO VIII: Programas de Viajes II.

Programas de Viajes Programas Originales Programas Nuevos

Usados Usados Instancia Ingresados

# % del totalGenerados

# % del totalTotal Utilizados

I1-1 47 14 45% 27 17 55% 31 I1-2 52 13 31% 34 29 69% 42 I1-3 57 12 40% 30 18 60% 30 I1-4 46 13 42% 31 18 58% 31 I1-5 55 8 35% 27 15 65% 23 I2-1 87 12 29% 42 29 71% 41 I2-2 84 10 13% 76 69 87% 79 I2-3 93 7 12% 62 51 88% 58 I2-4 85 13 28% 48 33 72% 46 I2-5 91 6 15% 59 35 85% 41 I3-1 125 14 20% 83 55 80% 69 I3-2 134 16 15% 102 91 85% 107 I3-3 142 13 15% 84 74 85% 87 I3-4 138 9 12% 82 69 88% 78 I3-5 122 12 21% 90 45 79% 57 I4-1 195 21 21% 139 79 79% 100 I4-2 188 25 23% 146 85 77% 110 I4-3 192 17 19% 165 73 81% 90 I4-4 172 22 25% 153 67 75% 89 I4-5 165 12 14% 136 73 86% 85 I5-1 240 23 19% 157 98 81% 121 I5-2 221 12 9% 184 117 91% 129 I5-3 228 15 11% 163 116 89% 131 I5-4 248 16 14% 147 97 86% 113 I5-5 221 9 7% 196 116 93% 125

Tabla A.VIII.1: Programas de Viajes Usados. Todas las Instancias.

104

Programas de Viajes Programas Originales Programas Nuevos

Usados Usados Instancia Ingresados # % del total Generados # % del totalTotal Utilizados

Prom. I1 51 12 39% 30 19 61% 31 Prom. I2 88 10 19% 57 43 81% 53 Prom. I3 132 13 17% 88 67 83% 80 Prom. I4 182 19 20% 148 75 80% 95 Prom. I5 232 15 12% 169 109 88% 124

Tabla A.VIII.2: Programas de Viajes Usados. Promedios.

UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y ... · El capítulo 3 da cuenta del modelo de...

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