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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ESTRATEGIAS DE CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO BASADAS EN OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO Y SU APLICACIÓN AL CONTROL DE FRECUENCIA DE BUSES CON TRANSBORDO MEMORIA PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA MARCELA JIMENA RIQUELME OLMEDO PROFESOR GUÍA: SRA. DORIS SÁEZ HUEICHAPÁN. PROFESOR CO-GUÍA: SR. CRISTIAN EDUARDO CORTÉS CARRILLO. MIEMBRO DE LA COMISIÓN: SR. HECTOR AGUSTO ALEGRÍA. SANTIAGO DE CHILE OCTUBRE 2007
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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ESTRATEGIAS DE CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO BASADAS EN OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO Y SU APLICACIÓN AL CONTROL DE
FRECUENCIA DE BUSES CON TRANSBORDO
MEMORIA PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA
MARCELA JIMENA RIQUELME OLMEDO
PROFESOR GUÍA: SRA. DORIS SÁEZ HUEICHAPÁN.
PROFESOR CO-GUÍA:
SR. CRISTIAN EDUARDO CORTÉS CARRILLO.
MIEMBRO DE LA COMISIÓN: SR. HECTOR AGUSTO ALEGRÍA.
SANTIAGO DE CHILE OCTUBRE 2007
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RESUMEN PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA POR: MARCELA RIQUELME OLMEDO FECHA: PROF. GUÍA: DORIS SÁEZ HUEICHAPÁN
“ESTRATEGIAS DE CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO BASADAS EN OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO Y SU APLICACIÓN AL CONTROL DE FRECUENCIA DE BUSES CON
TRANSBORDO”
El trabajo realizado en esta memoria tiene como objetivo principal desarrollar
estrategias de Control Predicitvo Híbrido en tiempo real sobre un modelo de un sistema de Transporte Público de buses.
Para esto, se integran dos estrategias de control en tiempo real: holding, que
consiste en la retención intencional de un bus y station skipping, que corresponde a saltarse una estación. Estas estrategias permiten al operador reaccionar dinámicamente y en tiempo real a perturbaciones, como por ejemplo, la demanda.
Además, es necesario determinar la flota óptima de buses, para lograr un
comportamiento apropiado del sistema. Igualmente, se debe plantear un método simplificado de estimación de la demanda que permita realizar el Control Predictivo.
De esta forma, en una primera parte, se propone un modelo analítico para un
sistema con un recorrido fijo, posteriormente se plantea analíticamente un sistema de dos recorridos unidos por una estación de transbordo. Luego, se desarrollan pruebas experimentales, a través de la programación de un sistema simple, las cuales verifican la eficiencia de la metodología de control propuesta analíticamente.
Se resuelve el problema mediante Enumeración Explícita, que resulta ser
adecuada para sistemas pequeños, sin embargo, si el sistema aumenta de tamaño este algoritmo se vuelve inmanejable en cuanto a tiempos computacionales, por lo cual se proceda a resolver el mismo problema mediante Algoritmos Genéticos .
Dentro de los resultados obtenidos, se comprueba que usando los algoritmos de
control propuestos se logra disminuir los tiempos de viaje y espera de los usuarios. Además, en el caso del sistema con transbordo, se evidencia una tendencia Multiobjetivo reflejada al optimizar el comportamiento de los sistemas por separado en contraposición con la minimización de los tiempos de espera en las estaciones de transferencia.
Por último, la flexibilidad de la formulación presentada permite al controlador
adecuarse a distintas políticas de servicio.
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Agradecimientos
Quiero dedicar esta memoria a mis padres y a mis dulces hermanitas, no encuentro palabras para
expresar lo mucho que los quiero. Además, a mi abuelita Deonila y a mi tío Claudio, quienes junto a mi
hermanita Pamela me han entregado su cariño incondicional durante estos años en Santiago.
Agradecer a mis profesores guías Doris Sáez y Cristian Cortés, ellos me han entregado todo su apoyo
para la realización de este trabajo, en especial la profesora Doris Sáez, quien no sólo es una excelente docente,
sino también una gran persona.
Agradecer también en este maravilloso momento, a los grandes amigos que he descubierto en mi paso
por la Universidad. El apoyo que necesité al estar lejos de mi familia lo encontré en ustedes también, esas
palabras afectuosas en el momento preciso, muchas gracias.
Por último agradecer a los proyectos FONDECYT 1061156 y 1061261 y al proyecto Anillo
ACT-32-2006 que financiaron esta memoria.
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RESUMEN I
AGRADECIMIENTOS II
1 INTRODUCCIÓN 1
1.1 MOTIVACIÓN 3 1.2 OBJETIVOS 4 1.3 ALCANCES 5 1.3.1 EL SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO 6 1.4 METODOLOGÍA DE TRABAJO 7
2 ANTECEDENTES 8
2.1 MODELACIÓN DE SISTEMAS DE TRANSPORTE PÚBLICO 8 2.1.1 DEFINICIÓN DE LOS SISTEMAS A MODELAR 9 2.1.2 SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO CON UN RECORRIDO FIJO 10 2.1.3 SISTEMA DE TRANSPORTE CON TRANSBORDOS 10 2.2 MODELACIÓN DE UN SISTEMA CON TRANSBORDOS 11 2.2.1 COORDINACIÓN DE HORARIOS EN UNA RED DE TRANSPORTE PÚBLICO CON TRANSBORDOS 12 2.2.2 OPTIMIZACIÓN DE TRANSFERENCIAS EN UNA RED DE TRANSPORTE PÚBLICO 13 2.2.3 MODELACIÓN ESTÁTICA 14 2.2.3.1 Definición del sistema 15 2.2.3.2 Función de costo de la transferencia 15 2.2.4 MODELACIÓN DINÁMICA 16 2.2.5 MODELACIÓN DE UN SISTEMA CON TRANSBORDO 18 2.3 OPTIMIZACIÓN DE UN SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO 19 2.3.1 HOLDING 19 2.3.2 STATION SKIPPING 21 2.4 CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO 21 2.4.1 MODELACIÓN DE SISTEMAS HÍBRIDOS 21 2.4.2 CONTROL DE SISTEMAS HÍBRIDOS 22 2.5 OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO 24 2.5.1 ALGORITMOS EVOLUTIVOS PARA OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO (MOEAS) 29 2.5.2 ALGORITMOS EVOLUTIVOS APLICADOS A OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO (MOEAS) 31 2.5.3 OPTIMIZACIÓN EVOLUTIVA MULTIOBJETIVO DINÁMICA 32
3 METODOLOGÍA PROPUESTA 35
3.1 ESTRATEGIAS DE CONTROL PREDICTIVO HÍBRIDO PARA LOS MODELOS 35 3.1.1 PLANTEAMIENTO ANALÍTICO PARA SISTEMA CON UN RECORRIDO FIJO 35 3.1.2 PLANTEAMIENTO ANALÍTICO PARA SISTEMA CON TRANSBORDO 45 3.1.2.1 Proposición de una función de costo para el transbordo 49 3.1.3 PERTURBACIONES DEL SISTEMA 56 3.2 ESTIMACIÓN DE LA DEMANDA 57 3.3 FLOTA ÓPTIMA 62
iv
3.3.1 DEMANDA DE SERVICIO 62 3.3.2 OFERTA DE SERVICIO 66 3.3.3 BALANCE OFERTA-DEMANDA 68
4 ALGORITMOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE RECORRIDO FIJO 71
4.1 METODOLOGÍA DE PROGRAMACIÓN DEL MODELO 72 4.2 OPTIMIZACIÓN MONO-OBJETIVO 75 4.2.1 ENUMERACIÓN EXPLÍCITA 75 4.2.2 ALGORITMOS GENÉTICOS 76
5 RESULTADOS 80
5.1 ALGORITMOS DE SOLUCIÓN PARA EL SISTEMA CON SEMÁFOROS 82 5.1.1 ENUMERACIÓN EXPLÍCITA 82 5.1.2 ALGORITMOS GENÉTICOS 92 5.2 SISTEMA SIN SEMÁFOROS 96 5.3 PRUEBAS ADICIONALES 101 5.3.1 COMPORTAMIENTO PARA DISTINTAS DEMANDAS 101 5.3.2 APLICACIÓN DE HOLDING EN TODAS LAS ESTACIONES 112 5.3.3 VARIACIÓN DE FRECUENCIA ÓPTIMA 116 5.4 DISCUSIONES 119 5.4.1 ENUMERACIÓN EXPLÍCITA 119 5.4.2 ALGORITMOS GENÉTICOS 120 5.4.3 ANÁLISIS COMPUTACIONAL 121
6 CONCLUSIONES 124
6.1 TRABAJO FUTURO 126
7 REFERENCIAS 130
ANEXO 134
A TABLAS DE GRÁFICOS 134
1
1 INTRODUCCIÓN
El interés por mejorar el transporte público a través de nuevas tecnologías ha
cobrado mucha importancia en estos últimos años, particularmente el desarrollo de
sistemas de control en tiempo real.
El diseño de Control de Sistemas es una herramienta fundamental para obtener
un desempeño óptimo de cualquier sistema dinámico, por lo que el desarrollo de
estrategias de control aplicadas a un sistema de transporte público resulta muy
adecuado. Sin embargo, en la literatura de transporte, las estrategias de control son
habitualmente desarrolladas en forma heurística y no poseen esta capacidad de
dinamismo propia del Control tradicional.
La efectividad del desplazamiento dentro de una ciudad depende de muchos
factores, por lo que la modelación de un sistema de transporte público debe ser
desarrollada de forma tal que los diversos factores que influyen en el funcionamiento de
un sistema de transporte público real, sean reconocidos e incluidos de manera
adecuada en el modelo, para así garantizar al usuario alta eficiencia, seguridad y ahorro
efectivo de tiempo. Por ejemplo, para condiciones de tráfico adversas, establecer un
horario planificado resulta ineficiente. Para reducir este efecto negativo, algunos
investigadores han desarrollado estrategias de control en tiempo real.
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En este trabajo se diseñará un modelo de un sistema de transporte público
basado en Control Predictivo Híbrido. La ventaja de este enfoque sobre el control
convencional es la visión que se tiene de lo que sucede en el sistema. El control
convencional toma sus acciones de control solamente en base a comportamientos
pasados, en cambio, el Control Predictivo, además de tomar en cuenta las acciones
pasadas, incluye el comportamiento futuro del sistema, lo que entrega una visión más
amplia para la toma de decisiones. Además, el Control Predictivo optimiza funciones
explícitas, entregando mayor flexibilidad al momento de controlar el sistema.
Las estrategias de Control Predictivo Híbrido desarrolladas deberán optimizar en
tiempo real los tiempos de viaje y espera de los usuarios de un sistema de transporte
público de buses. Esta optimización debe considerar tanto el tiempo de viaje en
vehículos, así como también el tiempo de espera de los pasajeros en los paraderos. Se
pretende minimizar al máximo estos componentes utilizando funciones objetivo
apropiadas.
El diseño básico de un sistema de transporte público de buses debe tomar en
cuenta el número de buses y sus rutas además de la frecuencia óptima asociada. El
diseño físico, es decir, el tamaño de la flota, la composición de ésta, el trazado y
localización de paraderos están estrechamente relacionados con la intensidad de la
demanda de pasajeros y su distribución.
Las estrategias de control en tiempo real tendrán la cualidad de incluir
estrategias clásicas de transporte, como la realización de holding, que consiste en un
bus que espera un tiempo extra en una estación determinada y expressing, acciones
que pretenden mejorar el funcionamiento de un sistema saltándose estaciones. Los
modelos serán formulados como problemas de Control Predictivo Híbrido, de manera
de considerar las características dinámicas típicas de un sistema de transporte público.
Para la optimización del sistema se recurrirá tanto a métodos de optimización
clásica, así como también a algoritmos evolutivos, los cuales son significativamente
más rápidos en cuanto a tiempo computacional, comparados con los métodos
3
tradicionales. Por último, se desarrollará un estudio para una posterior implementación
de Optimización Multiobjetivo para estas estrategias de control.
1.1 Motivación
Para operar un sistema de transporte público se debe establecer una relación
adecuada entre los modos y procesos de transporte, a través de un uso óptimo de la
tecnología existente. Es por esto que este trabajo tiene como finalidad modelar un
sistema de transporte público, que represente un comportamiento real, para
posteriormente diseñar Estrategias de Control Predictivo Híbrido (HPC), de manera de
lograr que el sistema se comporte óptimamente.
Las redes de transporte público están sujetas a condiciones inesperadas de
tráfico y demanda, con consecuencias tales como: tiempos de llegada de buses a los
paraderos muy variables, considerables tiempos de espera y de viaje. Es por esto que
resulta muy conveniente la realización de un control en tiempo real de estos sistemas.
Por otra parte, considerando la tecnología existente en la actualidad, se puede obtener
información sobre la ubicación de los buses, la cantidad de pasajeros en los paraderos,
destinos, etc, por lo que resulta factible una futura implementación de este control en
tiempo real.
En la literatura especializada se puede encontrar numerosas estrategias de
control en tiempo real, pero en su mayoría tratadas de manera heurística, que carecen
de control dinámico. Las estrategias propuestas en este trabajo presentan un enfoque
novedoso, ya que combinan perspectivas tanto del área de transporte, como del área
de Control Predictivo para resolver este problema de control en tiempo real.
En este trabajo se formula un modelo que permite la optimización en tiempo real
de operaciones de un sistema público de transporte de buses. El modelo integra dos
estrategias de control: holding y expressing (en particular station skipping) que, a través
4
de un análisis con un enfoque Multiobjetivo, logran que el comportamiento de un
sistema se adapte a los diferentes objetivos que se buscan, como por ejemplo,
disminuir tiempos de espera o considerar la cantidad de acciones de holding o station
skipping que se realicen.
1.2 Objetivos
El objetivo de esta memoria es formular un modelo de Control Predictivo Híbrido
(HPC), para optimización en tiempo real de un sistema de transporte público de buses
que cuente con una tecnología adecuada para control en tiempo real. Como por
ejemplo, APC (contador de pasajeros automático) y dispositivos AVL (localización
automática de vehículos).
Así, en la primera parte de este trabajo se desarrolla un modelo análitico para un
sistema de transporte público simple, y para un sistema con transbordo.
Luego, se propone modelos y sus respectivas estrategias de control, las cuales
permiten al operador reaccionar dinámicamente y en tiempo real a perturbaciones. Para
lograr esto, se determina la flota óptima de buses necesaria para lograr un adecuado
comportamiento del sistema. Además, se expone un método simplificado para estimar
la demanda de pasajeros.
Se prueba distintas funciones objetivo obteniéndose respuestas que satisfacen
las condiciones de diseño. Además, dada la flexibilidad de la formulación antes
desarrollada, el controlador podrá adecuarse a distintas políticas de servicio.
Finalmente, se desarrolla metodologías para la implementación de estas
estrategias y también se implementa en el programa Matlab versión 7.0, un Controlador
Predictivo Híbrido para un sistema simple.
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1.3 Alcances
En el modelamiento de los sistemas de transporte público de recorrido fijo y con
transbordo no se considera la optimización estructural de la red, sin embargo, se utiliza
un desarrollo para obtener la flota óptima de buses que se determina a través de la
demanda máxima en los paraderos, el largo del sistema y la cantidad de paraderos.
El desarrollo de estas estrategias de Control Predictivo Híbrido (HPC) se realiza
para un sistema con trazado conocido. Se utiliza para la optimización y como primera
aproximación, el método de enumeración explícita, para posteriormente utilizar
algoritmos desarrollados más recientemente, como optimización con Algoritmos
Genéticos.
En la actualidad, se cuenta con la tecnología suficiente para obtener información
on-line de los factores que intervienen en el comportamiento de un sistema de
transporte público, pues se conoce:
1. La posición de un bus: en un sistema real se puede obtener a través de un GPS
(Global Position System), por lo que se tiene la posición de cada bus en cada
instante.
2. Paradero origen y destino de cada pasajero: es posible conocer la hora de llegada al
paradero de origen y cuál es el paradero de destino. Esto puede ser implementado
para un sistema real en un futuro utilizando por ejemplo, la tecnología RFID
(Identificación por Radio-Frecuencia), que ya está siendo utilizada en las tarjetas de
prepago del sistema de transporte público actual.
Además, para el desarrollo y control de todo modelo que quiera ser
implementado en la realidad, es necesario contar con datos históricos del sistema
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que en este caso, puede ser obtenida a través de encuestas en paraderos o del
almacenamiento de información de días anteriores.
3. Carga en el bus: en un sistema real se puede incorporar en los buses sensores que
detecten cuánta gente sube y baja en cada estación, con lo que se obtiene la
cantidad de personas en el bus y además, cuánta gente sube y baja en cada
paradero.
4. Estados de semáforos: el estado de cada semáforo asumirá conocido.
Para realizar el Control Predictivo es necesario estimar la demanda. Sin
embargo, no es uno de los principales objetivos de este trabajo, por lo que esta
estimación se realiza de manera muy simple y se utiliza el trabajo previo desarrollado
por E. Sáez [1]. La metodología utilizada para esta estimación se explicará más
adelante. Además, esta demanda es generada por un programa implementado en C++,
donde se conocen las distribuciones de llegada de los pasajeros a los paraderos en los
distintos intervalos de tiempo.
1.3.1 El Sistema de Transporte Público
En un sistema de transporte público se puede mencionar a dos negociadores: los
“usuarios”, que corresponden a los pasajeros o carga, y a los “operadores”, quienes son
los responsables del comportamiento de los elementos móviles del sistema.
Este trabajo investigación toma en cuenta exclusivamente el beneficio de los
usuarios, a través de la minimización de su tiempo de viaje y de espera, por medio del
control del comportamiento de los elementos de los operadores.
Respecto al comportamiento de los usuarios, la demanda de transporte será una
perturbación a estimar del modelo, la cual se genera a través de una función de
distribución tipo Poisson con una estimación de la tasa de llegada conocida.
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Otra perturbación que afecta a la red son los semáforos; la cantidad de éstos, su
tiempo de ciclo y ubicación son parte de la topología del sistema, por lo que son
considerados parámetros de la red y, como se dijo anteriormente, este trabajo no tiene
como objetivo determinar la ubicación y cantidad ni el reparto de éstos.
1.4 Metodología de trabajo
La metodología para la realización de este trabajo consiste en varias etapas que
permiten abordar el problema de manera gradual, es decir, se comienza modelando
analíticamente un sistema simple, consistente en un sistema de buses con un recorrido
fijo.
En una etapa siguiente este modelo es implementado en el programa Matlab,
donde se diseña una estrategia de Control Predictivo Híbrido utilizando como métodos
de resolución de una única función objetivo los métodos de Enumeración Explícita y de
Algoritmos Genéticos.
Posteriormente, y en base a los resultados obtenidos anteriormente, se
desarrolla una optimización Multiobjetivo del sistema a través de la ponderación de
diversos factores que determinarán el comportamiento del sistema.
Además, se plantea un modelo analítico para un sistema compuesto de dos
recorridos fijos de buses unidos por una estación de transbordo y se plantean los pasos
que se deben seguir para una futura implementación del modelo.
Finalmente, se aplica esta estrategia de control predictivo experimentalmente
verificando la eficiencia del esquema propuesto.
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2 ANTECEDENTES
2.1 Modelación de Sistemas de Transporte Público
Un sistema de transporte puede definirse como un conjunto de modos y
procesos de transporte [3]. De acuerdo a esta definición, se puede dividir un sistema de
transporte en tres subsistemas generales:
• Subsistema físico: Modos de transporte involucrados. En este trabajo se desarrollan dos modelos de sistemas de transporte público. El
primer sistema disponible, es una línea de buses simple con un recorrido fijo, paraderos
y una estación Terminal.
El segundo sistema a modelar corresponde a dos líneas de buses de recorrido
fijo, paraderos que cuentan con una estación de transferencia y una estación Terminal.
La estación de transferencia conecta estos dos recorridos, por lo que algunos pasajeros
deberán hacer transbordo para llegar a su destino.
• Subsistema operativo: Procesos de transporte involucrados. Dentro de las características tecnológicas del sistema que intervienen en la
operación, como se mencionó en el alcance de esta memoria, se puede considerar un
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sistema GPS que proporcione información sobre la posición de cada bus en cada
instante.
Además, en el momento que el pasajero se sube a un bus se sabe a qué
paradero de destino se dirige, información que podría incluirse en el chip de la tarjeta de
pago, estimarse a través de datos históricos u obtenerse por medio de otras
tecnologías.
Inclusive, los buses podrían contar con sensores que detecten gente que sube y
baja en cada estación, así se sabría cuánta gente hay en el bus y cuántas personas
suben y bajan en cada paradero. Los paraderos deberían contar con la información de
cuánta gente está esperando en ellos.
• Subsistema de Control: Garantizar que la operación del sistema se ajuste a ciertos objetivos internos y/o externos al sistema.
Se desea implementar un sistema de control en tiempo real, por lo que debe
recibir información on-line. Para esto se deben tener sistemas de información y
comunicación avanzados, el modelo descrito cumple con estas características por lo
que es factible realizar este tipo de control.
2.1.1 Definición de los sistemas a modelar
Para realizar una planificación del transporte público urbano es necesario
considerar dos elementos fundamentales: diseño del sistema y horario de los buses. El
objetivo de esta memoria es que, dados los parámetros de un determinado sistema, se
desarrolle una estrategia de control que mejore el comportamiento del sistema en
relación a los tiempos de espera y de viaje de los usuarios.
El mayor problema en el diseño de un sistema radica en determinar las líneas de
transporte público y establecer un horario adecuado para la red. Las líneas de
transporte público para este caso, corresponden a uno de los parámetros del sistema.
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Respecto a establecer horarios de llegada, la idea de esta investigación no es
establecer horarios planificados de llegada de los buses, sino determinar el intervalo de
llegada de diseño que satisface la demanda máxima del sistema y así, obtener la
cantidad de buses óptima y su frecuencia de diseño y obligar a la red a seguir este valor
ideal de referencia.
En esta memoria se desarrolla una modelación dinámica para dos sistemas de
transporte público y además, se deriva estrategias de Control Predictivo Híbrido que
optimicen las redes modeladas buscando mejorar su desempeño.
2.1.2 Sistema de Transporte Público con un recorrido fijo
El primer sistema a modelar consiste en una línea con un recorrido fijo y en un
solo sentido que posee paraderos y semáforos. Además se cuenta con una estación
Terminal, como lo muestra la Figura 2.1.
Figura 2.1: Sistema simple.
2.1.3 Sistema de Transporte con transbordos
El segundo sistema a modelar se compone de dos líneas de buses, cada una
similar al primer sistema descrito, pero que además cuenta con una estación de
transbordo común que permite una interacción entre estos dos sistemas. La red puede
ser representada mediante la Figura 2.2.
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Figura 2.2: Sistema con estación de transbordo
A continuación, se presenta el estudio base sobre el cual se desarrollará el
diseño de un modelo analítico para un sistema con una estación de transbordo como el
descrito aquí.
2.2 Modelación de un Sistema con Transbordos
En algunas áreas metropolitanas el transporte público convencional no puede
proveer un servicio directo debido a diferentes razones, como por ejemplo, no ser
económicamente conveniente o tener densidades de demanda bajas.
Por esto se hace necesario que en algunos sistemas de transporte público se
realicen transferencias de pasajeros. De ahí que el desarrollo de algún sistema
coordinado puede reducir considerablemente el tiempo de viaje de los pasajeros, que
se traduce, para el caso donde existan transferencias, en minimizar también la espera
en las estaciones de transbordo.
En los últimos años, diferentes investigaciones postulan diversas maneras de
optimizar las transferencias de pasajeros para determinados sistemas de transporte
público.
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En relación a las estrategias de transferencia, según Abkowitz [4] se pueden
dividir en:
1. Transferencias sin horarios.
2. Transferencias con horarios sin espera de vehículos.
3. Transferencias con horarios donde el vehículo de menor frecuencia espera a que el
vehículo de mayor frecuencia llegue.
4. Transferencias con horarios donde cualquier vehículo que llegue primero espera por
el que está atrasado.
2.2.1 Coordinación de horarios en una Red de Transporte Público con transbordos
Según estudios realizados por Ting y Schonfeld [5], el problema de tener horarios
coordinados en una red de transporte público es que la demanda estocástica y las
condiciones de tráfico pueden provocar que los vehículos no lleguen a la hora
estipulada, por lo que establecer horarios de transferencia se torna muy complicado.
Esto hace necesario incluir factores de seguridad llamados “tiempos slacks”, que
corresponden a lapsos extra que permanecen los buses en el paradero de transbordo y
que reducen la probabilidad de perder conexiones. La adición de este tiempo slack trae
consigo costos de operación mayores, además de retrasos innecesarios para algunos
pasajeros (Lee y Schonfeld [6]). Asimismo, los estudios de Désilets y Rousseau [7] y
publicaciones de Bookbider y Désilets [8] establecen que estos horarios de
transferencia con tiempos slacks son inapropiados para redes de transporte largas y
con transferencias descentralizadas, por lo que se puede concluir que es muy
importante realizar transbordos en sistemas que cumplan con determinadas
características.
El problema que desarrollan Ting y Schonfeld [5] consiste en que para establecer
los tiempos de transferencia y así minimizar el costo total de la operación, se optimizan
tanto los recorridos como los tiempos slacks.
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2.2.2 Optimización de Transferencias en una red de Transporte Público
En el trabajo de Bookbinder y Désilets [8], la red de transporte público se asume
dada y el horario de recorrido es fijo para cada línea. En este tipo de esquemas hay
básicamente dos maneras de reducir el tiempo de espera para transferencias. La
primera es aumentando el número de buses y choferes requeridos para operar estas
rutas. La segunda alternativa es la transferencia coordinada, que incluye dos
posibilidades Timed transfer y Transfer Optimization.
Timed Transfer es una estrategia basada en viajes planeados para encontrarse
en ciertos puntos de transferencia, llamados periodos de contacto. También se
incorpora puntos focales para asegurar que los contactos ocurran incluso si alguno de
los buses está atrasado. Este método resulta inapropiado para transbordos
descentralizados.
En el método de Transfer Optimization no se requiere que los buses se
encuentren en los puntos de transferencia sino, que las salidas del terminal sean
organizadas bajo la idea de minimizar alguna medida que evalúe la inconveniencia del
transbordo.
La gran ventaja de este método es que no es necesario asegurar el contacto de
los buses; lo cual hace que el número requerido de buses no sea necesariamente
afectado.
Por lo tanto, hay dos puntos importantes que considerar para la problemática del
transbordo:
1. Definir función objetivo que refleje la inconveniencia del transbordo dado un horario.
2. Encontrar un algoritmo que minimice esta función objetivo J.
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2.2.3 Modelación Estática
Con respecto a publicaciones realizadas sobre la modelación estática de
sistemas de transporte público, se puede mencionar la investigación realizada por Lee y
Schonfeld [6], en la cual se desarrolla un modelo sobre la base de que para establecer
tiempos óptimos de espera para los pasajeros. Así, los costos totales del sistema
pueden ser reducidos si se da un cierto tiempo “slack” en los horarios de vehículos,
para disminuir la probabilidad de perder conexiones.
Estos tiempos slacks son tiempos extras de espera de los buses en los
paraderos, si es que llegan antes del horario estipulado y los horarios de transferencia
son establecidos previamente.
Se formulan y se utilizan las funciones de costo de transferencia para determinar
el tiempo slack óptimo para estos sistemas simples, donde las transferencias son entre
una ruta de autobús y una línea del tren.
Algunos resultados analíticos se derivan para las distribuciones discretas y
Gumbel empíricas de los tiempos de llegada del autobús. Las relaciones entre los
tiempos slacks y óptimos, los volúmenes de transferencia, los valores del viaje del
pasajero, los gastos de explotación del autobús, y desviación estándar de las llegadas
de autobús y del tren, también se desarrollan numéricamente usando llegadas
normalmente distribuidas.
Sin embargo, el acercamiento numérico propuesto puede optimizar estos
tiempos slacks para cualquier distribución observada de llegada. Los resultados
proporcionan algunos resultados deseables, no obstante, demuestran que la
coordinación de horario entre dos rutas no es buena cuando las desviaciones estándar
de llegadas exceden ciertos niveles.
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2.2.3.1 Definición del sistema Siguiendo con el modelo de Lee y Schonfeld [6], un tren o un recorrido con una
frecuencia muy baja en comparación con otro recorrido de frecuencia mayor, posee una
varianza de la llegada casi nula, lo que implica que el pasajero del tren espera mucho
menos debido a la alta frecuencia con que pasa su bus de transbordo, por lo cual es
conveniente realizar slacks sólo en los tiempos de llegada de los buses con mayor
frecuencia, o sea, en un solo recorrido.
El primer modelo formulado asume que los trenes llegan exactamente en el
horario estipulado, mientras que los buses llegan de acuerdo a tres posibles funciones
de distribución; discreta general, normal o Gumbel. El segundo modelo relaja la llegada
de los trenes con una distribución de probabilidad cuya varianza es mucho menor que
la varianza de las llegadas de los buses. En ambos se usa distribución normal.
2.2.3.2 Función de costo de la transferencia
Para un enfoque estático, la función de costo típica asociada con las
transferencias incluye tres componentes:
1. Costo de horarios retrasados (holding)
2. Conexiones perdidas de bus a tren.
3. Conexiones perdidas de tren a bus.
Como se dijo anteriormente, dentro de los objetivos de la modelación, no se
pretende optimizar funciones de costos que incluyan gastos de explotación u otros tipos
de costos, pero por otro lado, es destacable que al momento de considerar las
funciones que toman en cuenta el transbordo se busque minimizar estas tres
componentes de una función de costo típica.
Respecto al tipo de modelo propuesto, una modelación estática es conveniente si
las distribuciones de llegada de los buses reflejan fielmente el comportamiento del
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sistema real, pero si ocurre alguna perturbación no considerada, los horarios
establecidos no logran que el sistema se comporte de manera apropiada.
Otra forma de abordar este problema es determinando el tiempo óptimo de
“holding” en estaciones de transferencia, es decir, estableciendo cuál es el tiempo que
debe esperar un bus cuando existe transferencia, anticipándose a la llegada de
pasajeros desde las otras líneas de conexión, como es el caso del trabajo desarrollado
por Hall y Dessouky [9].
Los tiempos de holding pueden ser optimizados basándose en la probabilidad de
distribución de las demoras en el horario. El planteamiento de Hall y Dessousky [9]
difiere del trabajo realizado por Lee y Schonfield [6] ya que estos últimos optimizan
simultáneamente rutas y márgenes de seguridad en tiempos en los que se producen las
conexiones, mientras que en Hall y Dessousky [9] sólo se optimizan holding times en
vez de rutas. Sin embargo, también constituye una modelación estática que para
sistemas muy variantes o con muchas perturbaciones no resulta adecuada. Dado que
un enfoque estático no es la mejor solución a este problema, una manera más
adecuada de abordar el problema es mediante una modelación dinámica.
2.2.4 Modelación Dinámica
Un trabajo interesante para la modelación de estos sistemas es el realizado por
Bookbinder y Désilets [8] que será la base de la modelación propuesta en esta
memoria. Ellos establecen una función de “desutilidad” que considera el tiempo que las
personas deben esperar en las estaciones de transferencia hasta que llega su
conexión. Está función es formulada de la siguiente manera:
Función de desutilidad: Evaluar la inconveniencia de tiempos de viaje
aleatorios, de una conexión de un viaje de un punto F moviéndose desde una línea
alimentadora LF a una recibidora LR. C denota al viaje en LR cuyo tiempo de llegada al
punto de transferencia LF es el más cercano al punto de transferencia F, N es el viaje
siguiente a C en LR (cada subíndice: C=critical F=Feeder N=Next) se define las
variables independientes tF, tC y tN tiempos de llegada de estos 3 viajes. Estos toman
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valores en intervalos finitos llamados ventanas de llegada [aF, aF + δF], [aC, aC + δR],
[aN, aN + δR] (δ se llama semilla de llegada y a es lo más temprano que se puede llegar,
que puede ser menor que el tiempo del horario y d es la hora de partida, con C y N,
estos viajes van a salir de inmediato si están atrasados y si no, a la hora fijada por
horario).
Con esto es posible definir las siguientes variables
dc= tiempo de llegada del bus Critical establecido por horario.
dF= tiempo de llegada del bus Feeder establecido por horario.
dN= tiempo de llegada del bus Next establecido por horario.
tC= tiempo de llegada real del bus Critical.
tF= tiempo de llegada real del bus Feeder.
tN= tiempo de llegada real del bus Next.
Figura 2.3: Líneas de tiempo
En la Figura 2.3 se resume las líneas de tiempo de todos los casos posibles. El
primer caso (2.3.a) es cuando el bus Critical llega adelantado y además el bus Feeder
llega antes que salga el bus Critical. El segundo (2.3.b) es cuando el bus Feeder llega
antes que el bus Critical pero el bus Critical llega atrasado. El tercero (2.3.c) es cuando
llega el bus Critical antes que el bus Feeder, pero el bus Feeder llega cuando el bus
18
Critical ya se ha ido, por lo tanto debe esperar al siguiente. El último caso (2.3.d) es el
mismo caso 3 pero además el bus Next está atrasado.
Así, se define la función de espera con holding como:
La función de desutilidad g(w) puede ser g(w)=w donde el promedio de
desutilidad corresponde al tiempo de espera, pero no es recomendable utilizar esta
función, ya que penaliza tiempos de espera largos y cortos con el mismo peso por lo
que se puede elegir g(w)=w2. La función que realmente toma en cuenta la varianza del
tiempo de espera es D=var(w)=E(w)2 +[E(w)]2 .
La distribución que se puede usar para modelar las llegadas puede ser una
variante de la distribución exponencial llamada Shifted Truncated Exponencial (STE).
La ventaja de esta función es que la línea alimentadora puede llegar con mayor
probabilidad tarde que temprano.
2.2.5 Modelación de un sistema con transbordo
El promedio de desutilidad mide la inconveniencia de una transferencia. Para el
modelo que se desea implementar se asumirá que sólo hay una transferencia.
Sea T el horario. Se definen las posibles conexiones que pueden ocurrir en T
1,2,…,N. Para cada conexión k, Dk(T) es el promedio de desutilidad definido
anteriormente.
C
N F
si , si t ,
( , , ) si t , , en otro caso
C F C C F C
C F C C FF N C
F C F C N N
N F
d t t d t dt t d t t
w t t td t t t d t dt t
− ≤ ≤⎧⎪ − > ≥⎪= ⎨
− > > ≤⎪⎪ −⎩
19
Sea kn el flujo de transferencia, es decir, el número de pasajeros haciendo la
conexión. Por lo tanto, la función a minimizar es:
∑=
=N
Kkk TDnTC
1)()( (2.1)
donde hay que elegir el horario T que minimice esta función.
2.3 Optimización de un Sistema de Transporte Público
Los sistemas de transporte público están frecuentemente sujetos a muchas
perturbaciones, algunas pueden provocar frecuencias de buses irregulares, lo que
conlleva al aumento del tiempo de espera de los usuarios, otras traen consigo el
colapso en los tiempos de viaje. Para estos problemas existen diversas estrategias de
control en tiempo real, dentro de las más eficientes se puede destacar la realización de
holding y de station skipping.
2.3.1 Holding
Una estrategia de control efectiva en tiempo real para estos sistemas consiste en
realizar holding, lo que se traduce en agregar un tiempo extra de espera de un bus en
una estación con la finalidad de atrasar intencionalmente este bus para así regularizar
la frecuencia de llegada de los buses a los diferentes paraderos, lo que minimiza la
varianza de los tiempos de espera de usuarios, como lo demostró Newell [10].
Esta estrategia además de ser efectiva, es una de las más comúnmente usadas
en la operación de transporte público si además se cuenta con información on-line
(O’Dell et al. [11]).
20
Esta estrategia ha causado mucho interés en la literatura especializada desde
hace muchos años, en los trabajos de Osuna y Newell [12] en 1972 y de Barnett [13] en
1974 se desarrollan métodos analíticos para encontrar el punto óptimo en la
minimización del promedio del tiempo de espera de pasajeros con esta estrategia de
control. Turnquist y Blume [14] en 1980 y más recientemente trabajos que consideran
información on-line como es el caso de Sun y Hickman [15] en 2004 y Zhao et al. [16]
en 2006).
Para la operación de un único vehículo, el análisis de Osuna y Newell [12] indica
que al momento de introducir una estrategia de control, el tiempo de espera disminuye
un 10% mientras que el intervalo de llegada de un bus aumenta un 30%.
Por otro lado, en el trabajo realizado por Zhao et al. [16] se establece que mucho
tiempo de holding, determinado por un horario base de control, puede provocar la
disminución de la frecuencia de buses de una determinada flota de vehículos.
Una propiedad importante de la estrategia de holding es que ésta es
independiente de los patrones de demanda (Eberlein [17]). Por lo que uno de los
desafíos al implementar esta estrategia es decidir cuál es el tiempo ideal de holding que
se debe realizar.
Otro punto que es conveniente estudiar es determinar las estaciones donde se
debe realizar el holding. Eberlein et al.[18] señalan que para un control on-line, lo mejor
es realizar holding sólo en la estación Terminal, ya que el realizarlo en otras estaciones
no mejora el comportamiento del sistema. Sin embargo, los desarrollos de Sun
yHickman [15] indican que el hacer holding en varias estaciones puede ser una mejor
estrategia que el realizarlo exclusivamente en una estación.
21
2.3.2 Station skipping
Esta estrategia de control consiste en saltarse una estación con la finalidad, al
igual que en el caso anterior, de lograr la regularización en los tiempos de llegada de
los buses a las estaciones.
Dentro de las estrategias de station skipping se pueden destacar deadheading y
expressing. Cuando un bus realiza deadheading, el bus se devuelve vacío desde una
estación determinada hasta el Terminal, con el objetivo de ahorrar tiempo y así
disminuir los intervalos de llegada de los buses a los siguientes paraderos.
Expressing es similar en el sentido de que el bus también se salta estaciones, sin
embargo, la diferencia radica en que el expressing no está asociada exclusivamente a
la estación Terminal ni tampoco el bus debe necesariamente estar vacío cuando se
salta estaciones.
Este tipo de estrategia de control, al contrario del holding, es muy sensible a los
patrones de demanda en las diferentes estaciones (Eberlein et al. [18]).
En esta memoria se trabaja con la estrategia de expressing la cual se combina
con holding. Se modela ambas estrategias de control simultáneamente y se analiza su
efecto en una red de transporte público.
2.4 Control Predictivo Híbrido
2.4.1 Modelación de Sistemas Híbridos
Los sistemas híbridos son sistemas heterogéneos que pueden exhibir dinámicas
continuas (diferencias o ecuaciones diferenciales) así como también discretas (switches
22
on/off, comandos cuantizados). Es decir, un sistema dinámico con lógica mixta MLD
(Mixed Logical Dynamic, Bemporard y Morari [2]), que puede ser descrito por un
sistema de ecuaciones diferenciales sujeto a inecuaciones que involucran variables
binarias y continuas. Estas variables discretas pueden ser estados y/o variables de
entrada del sistema.
La naturaleza híbrida de un sistema de transporte público el que se quiere
modelar en esta memoria de Título, requiere el desarrollo de una estrategia de Control
Predictivo Híbrido.
Este sistema se puede describir mediante:
El vector de estado:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , , ,δ+ =x k f x k u k k z k (2.2)
El vector de salida
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,δ=y k g x k u k k z k (2.3)
Y las restricciones
( ) ( ) ( ) ( )( ), , , 0δ ≤h u k k z k x k (2.4)
donde ( ) ( ) ( ) , R 0,1⎡ ⎤= ∈ ×⎣ ⎦lc
nnT Tc lx k x k x k es el vector que representa respectivamente,
los estados continuos y binarios, además ( ) ( )0,1 , Rηδ ∈ ∈ crk z k son variables
auxiliares binarias y continuas, ( ) ( ) ( ) , R 0,1⎡ ⎤= ∈ ×⎣ ⎦lc
mmT Tc lu k u k u k son las entradas
continuas y binarias, ( ) ( ) ( ) , R 0,1⎡ ⎤= ∈ ×⎣ ⎦lc
ppT Tc ly k y k y k es el vector de salida con
componentes continuas y binarias.
2.4.2 Control de Sistemas Híbridos
En la literatura especializada se puede encontrar numerosas propuestas para la
resolución óptima de problemas de Control de Sistemas Híbridos. El Control Predictivo
(MPC) basado en modelos dinámicos Híbridos ha emergido como un prometedor
23
controlador para Sistemas Híbridos. La idea detrás del MPC es construir un control
óptimo sobre un horizonte de predicción finito; para esto se define una función objetivo
que representa los objetivos de control del sistema. Esta función se minimiza a través
de las acciones de control y se puede escribir de la siguiente manera:
( )( ), ( 1),..., ( 1)
min , , , ,uu k u k u k N
J J u z x yδ+ + −
= (2.5)
Las variables son los vectores:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, 1 ,...., 1
1 ,....,
1 ,....,
1 , 2 ,....,
1 ,....,
Tu
T
T
T
T
u u k u k u k N
k k N
z z k z k N
x x k x k x k N
y y k y k N
δ δ δ
= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦
(2.6)
k es el instante de tiempo actual, ( )x k el estado actual, N el horizonte de predicción,
( ) ( ),..., 1T
uu k u k N+ −⎡ ⎤⎣ ⎦ la secuencia de control que minimiza la función J y uN es el
horizonte de control. Como se tiene un horizonte deslizante de control, solo se aplica al
sistema la primera componente de la acción de control ( )u k .
Las dinámicas híbridas a menudo son tan complejas que un controlador
retroalimentado no puede ser implementado satisfactoriamente con métodos analíticos
(enumeración explícita, branch and bound, etc.) por lo que un método estocástico de
resolución (algoritmos genéticos, Particle Swarm Optimization, etc.) puede ser una
buena solución. En la sección 2.5 se presenta una revisión bibliográfica de algunas de
estas metodologías.
La inclusión de optimización multiobjetivo en este tipo de estrategia de control
aporta mucho ya que permite conocer el compromiso que existe entre las funciones
objetivos que se optimizan, así, se tiene un mayor conocimiento de la dinámica de la
24
planta y por lo tanto más información sobre que acción de control tomar, dependiendo
de las prioridades del operador.
2.5 Optimización Multiobjetivo
La mayoría de los problemas son Multiobjetivo por naturaleza, ya que consideran
muchos objetivos que deben ser optimizados simultáneamente y, normalmente, estos
objetivos están en contraposición. El desarrollo de problemas de optimización
Multiobjetivo ha recibido mucha atención en estos últimos años. A continuación se
presentan los conceptos básicos asociados a esta optimización.
• Conceptos de Optimización Multiobjetivo
En principio, un problema de optimización multiobjetivo se define como:
Encontrar un vector de variables de decisión que satisfaga un conjunto de restricciones
y optimice una función vectorial cuyos elementos representan a las funciones objetivo.
Estas funciones son una descripción matemática de criterios de desempeño que están
en conflicto entre sí. En este sentido, el término “optimizar” significa encontrar aquella
solución que proporcione valores para todas las funciones objetivo aceptables para el
diseñador.
Definición 1 (Variables de decisión) Las variables de decisión son el conjunto de parámetros para los cuales se
buscan los valores que resuelvan el problema de optimización. Las variables pueden
ser enteras, reales, o una combinación de ambas. Estos parámetros se denotan
mediante .,...,2,1, njx j =
25
El vector de n variables de decisión x se representa mediante:
1 2[ , ,..., ]Tnx x x x= (2.7)
Definición 2 (Funciones objetivo).
Las funciones objetivo de un Problema de Optimización Multiobjetivo (POM) se
denotan mediante ),(),...,(),( 21 xfxfxf k donde k (k ≥ 2) es el número de funciones
objetivo del POM. De esta manera, las funciones objetivo conforman una función
vectorial )(xf que se define mediante:
T
k xfxfxfxf )](),...,(),([)( 21= (2.8)
Respecto a las dos definiciones anteriores (1 y 2), es importante notar que
intervienen dos espacios euclidianos diferentes.
1. El espacio n-dimensional de las variables de decisión (llamado también espacio de
decisión, o espacio genotípico), en el cual cada eje coordenado corresponde con
cada componente del vector x .
2. El espacio k-dimensional de las funciones objetivo (llamado también espacio de
criterios, o espacio fenotípico), en el cual cada eje coordenado corresponde con
cada componente del vector ( )f x .
Definición 3 (Restricciones) En la mayoría de los problemas del mundo real existen restricciones dadas por
las condiciones de operación y de recursos disponibles. Es preciso que las restricciones
sean cumplidas para que las soluciones encontradas tengan validez. Las restricciones
se modelan matemáticamente mediante desigualdades:
( ) 0 i=1,2,3,...,mig x ≥ (2.9)
26
o igualdades:
( ) 0 i=1,2,3,...,pih x = (2.10)
Definición 4 (Problema de optimización Multiobjetivo) Formalmente, un POM se define como el problema de encontrar el vector
* * * *1 2, ,...,
T
nx x x x⎡ ⎤= ⎣ ⎦ que satisfaga m restricciones de desigualdad
( ) 0 i=1,2,3,...,mig x ≥ (2.11)
p restricciones de igualdad
( ) 0 i=1,2,3,...,pih x = (2.12)
y optimice la función vectorial
[ ]1 2( ) ( ), ( ),..., ( ) Tkf x f x f x f x= (2.13)
En la definición anterior, el vector x se destina para denotar a las soluciones
óptimas (usualmente más de una). Las restricciones dadas por las ecuaciones (2.11) y
(2.12) definen una región factible dentro del espacio de las variables de decisión;
cualquier solución x dentro de esta región es considerada una solución factible. La
función vectorial )(xf proyecta el conjunto Ω al conjunto Λ el cual representa el
conjunto de todos los valores posibles de las funciones objetivo.
En la Figura 2.4 se muestra, a manera de ejemplo, una función vectorial )(xf
para el caso de 2 variables de decisión y 3 funciones objetivo.
27
Figura 2.4: Función de proyección de un POM
(Fuente: Tesis Antonio López Jaimes, México D.F 2005).
Definición 5 (Optimalidad de Pareto)
Se dice que un punto *x ∈Ω es un óptimo de Pareto si para toda
e I= x ∈Ω 1,2,..., κ ya sea,
*( ( ) ( ))i ii I f x f x∀ ∈ = (2.14)
O hay al menos una i I∈ tal que
*( ) ( )i if x f x> (2.15)
Definición 6 (Dominancia de Pareto)
Se dice que un vector 1( ,..., )ku u u= domina a otro 1( ,..., )kv v v= (denotado
mediante u v≺ ) si y sólo u es parcialmente menor a v, i.e.,
i ik u < i k u i ii k v v∀ ∈ 1,..., : ∧ ∃ ∈1,..., : < (2.16)
Definición 7 (Conjunto de óptimos de Pareto)
Para un POM )(xf dado, el conjunto de óptimos de Pareto (P*) se define como:
* / : ( ) ( )P x y f y f x= ∈Ω ¬ ∃ ∈Ω ≺ (2.17)
28
Definición 8 (Frente de Pareto)
Para un POM )(xf y un conjunto de óptimos de Pareto P*, el frente de Pareto
(FP*) se define como:
/))(),...,(( *21
* PxxfxffuFP ∈=== (2.18)
En los problemas de optimización de un solo objetivo, el algoritmo se concentra
en encontrar el óptimo global (o su vecindad). Sin embargo, en los problemas
multiobjetivo, se trata con un valor de aptitud por cada función objetivo. Esto hace que
la noción de “óptimo” se torne más compleja en este contexto.
Para comprender mejor esta situación, se presenta como ejemplo el problema de
optimizar el diseño de un puente, en el cual se requiere minimizar el riesgo de
accidentes y el costo del puente (Figura 2.5). La solución A consigue un costo bastante
bajo, pero a costa de un alto riesgo; por otro lado, la solución D implica un costo alto,
pero minimiza el riesgo de accidentes; alternativamente, la solución C tiene valores
promedio en ambos objetivos.
Figura 2.5: Ilustración de los conceptos de optimalidad de Pareto
(Fuente: Tesis Antonio López Jaimes, México D.F 2005).
29
En este ejemplo, ninguna de las soluciones puede ser considerada mejor que la
otra con respecto a todos los objetivos. Por esta razón, en los POM, con objetivos en
conflicto, se busca un conjunto de soluciones óptimas, en lugar de una sola solución.
2.5.1 Algoritmos evolutivos para optimización multiobjetivo (MOEAs)
Una ventaja importante de los algoritmos evolutivos por sobre las técnicas usadas
por la optimización Multiobjetivo tradicional es la forma en que se opera sobre un
conjunto de soluciones en cada instante. Los algoritmos evolutivos, debido a que
trabajan con poblaciones, pueden producir un conjunto de soluciones óptimas del frente
de Pareto en una sola iteración mientras que la programación matemática tradicional
solo produce una solución en cada instante.
• Algoritmos Genéticos Los algoritmos genéticos están inspirados en el mecanismo de selección natural
donde los individuos más fuertes son probablemente los ganadores en un ambiente
competitivo (Man et al. [29]).
A través un método de evolución genético, una solución óptima puede ser
encontrada y representada por ganadores finales de un juego genético.
Los algoritmos genéticos presumen que la solución potencial de cualquier
problema es un individuo y puede ser representado por un set de parámetros. Estos
parámetros pueden ser relacionados con genes de un cromosoma y pueden ser
estructurados por una cadena de valores en forma binaria.
Un valor positivo, generalmente llamado un valor de fitness, es usado para
reflejar el grado de bondad del cromosoma para el problema que estaría altamente
relacionado con un valor objetivo.
En una aplicación práctica, una población de cromosomas es instalada e
inicializada aleatoriamente.
30
En cada ciclo de una operación genética denominada un proceso evolutivo, una
generación posterior es creada de los cromosomas en la población actual.
Esto sólo ocurre si un grupo de estos cromosomas, generalmente denominados
“padres”, son seleccionados vía una rutina de selección específica.
Los genes de los padres son mezclados y recombinados para la producción de
descendencia en la siguiente generación.
Se espera, que a partir de este proceso de evolución (manipulación de genes),
los “mejores” cromosomas crearán un número más grande de descendencia y de este
modo tenga una mayor probabilidad de sobrevivencia la generación posterior.
• Particle Swarm Optimization (PSO)
Particle Swarm Optimization es una técnica basada en optimización estocástica
inspirada en el comportamiento de una bandada de pájaros o un cardumen de peces al
buscar alimento (Zhang et al. [30]).
PSO comparte muchas similitudes con técnicas de computación evolutiva como
los Algoritmos Genéticos. El sistema es inicializado con una población de soluciones al
azar y busca el óptimo actualizando a las generaciones. Sin embargo, a diferencia del
AG, PSO no posee operadores evolutivos. En el PSO, las soluciones potenciales,
llamadas partículas, viajan a través del espacio de resultados siguiendo a las actuales
partículas óptimas.
Las ventajas del PSO sobre AG son que es más fácil de implementar y son
menos los parámetros que hay que ajustar. PSO ha sido exitosamente aplicado en
muchas áreas, en particular, optimización de funciones.
31
2.5.2 Algoritmos Evolutivos aplicados a Optimización Multiobjetivo (MOEAS)
Los problemas de optimización Multiobjetivo evolutiva han recibido mucha
atención en los últimos años, por lo que en la literatura EMO se pueden encontrar
numerosos algoritmos de resolución (ver por ejemplo [6], [8] y [9]) los cuales permiten
obtener buenas aproximaciones del frente óptimo de Pareto.
La idea de implementar un algoritmo de solución es obtener un conjunto finito de
soluciones no dominadas, que sean una buena aproximación del Frente de Pareto y
que sean lo más diversas posible.
El problema más complejo a solucionar es establecer un criterio adecuado para
obtener las soluciones no dominadas, tal como lo señalan los trabajos de Bosman y
Thierens [19], Knowles y Corne [20] y Coello [21].
Respecto al trabajo desarrollado por Bosman y Thierens [19], se destaca que no se
puede converger en la búsqueda de un mejor método ya que estos presentan un
comportamiento que refleja la característica multiobjetivo de los problemas, es decir,
existe un trade-off entre la proximidad al frente de Pareto y la preservación de la
diversidad de resultados que se pueden obtener.
Coello [21] propone un modelo de decisión multicriterio, donde se realiza una
revisión sobre los métodos más representativos, como por ejemplo NSGA (Non
Dominated Sorting Genetic Algorithm) y MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm), sus
ventajas y desventajas y cuales pueden ser los caminos a seguir para implementar un
método que tome en cuenta tanto obtener soluciones no dominadas como así también
diversidad de soluciones.
No obstante lo anterior, Lee y Henrick [22] proponen un algoritmo de resolución
básico que se puede generalizar en los siguientes pasos:
• Diseñar una representación de la solución.
• Diseñar una codificación de la solución.
32
• Diseñar una apropiada evaluación de la función objetivo.
• Elegir apropiadamente los parámetros del algoritmo.
Además de la gran utilidad de algoritmos de optimización multiobjetivo evolutiva
para encontrar soluciones Pareto óptimas para problemas multiobjetivo estáticos (ver
por ejemplo [23] y [24]), ha surgido también la necesidad de resolver problemas
multiobjetivos dinámicos. A continuación, se presenta el estado de arte de estos
algoritmos.
2.5.3 Optimización Evolutiva Multiobjetivo Dinámica
En la literatura EMO (Optimización Evolutiva Multiobjetivo) se puede encontrar un
gran número de problemas estáticos (no cambian durante el curso de la optimización),
estos problemas requieren un procedimiento de optimización estática, en el cual el
objetivo es encontrar un conjunto de variables que optimizan una función objetivo
estática.
Sin embargo, muchas otras aplicaciones en el mundo real requieren optimización
Multiobjetivo dependiente del tiempo (on-line), en cuyo caso la función objetivo y/o sus
parámetros varían en el tiempo. Respecto a estos problemas, no existen muchos
algoritmos EMO y ciertamente, no existe una manera establecida de desarrollar un
algoritmo adecuado para DEMO (optimización evolutiva multiobjetivo dinámica).
En el trabajo realizado por Farina et al. [23] se presenta un algoritmo base de
solución para estos casos. Estos problemas se pueden resumir de acuerdo a dos
criterios: si cambian en el tiempo las variables de decisión y/o las funciones objetivo. Es
por esto que se dividen en 4 casos bases:
1. Las variables de decisión óptimas cambian mientras que los valores óptimos de la
función objetivo se mantiene fijos.
2. Las variables de decisión óptimas y los valores óptimos de la función objetivo
cambian.
33
3. Las variables de decisión óptimas se mantienen fijas mientras que los valores
óptimos de la función objetivo varían.
4. Ambos, variables de decisión óptimas y valores óptimos de la función objetivo no
varían, pero el problema puede cambiar.
Además, en [23] se propone un algoritmo de resolución basado en un vector de
direcciones y se presentan soluciones que sugieren la necesidad de métodos más
eficientes de búsqueda, como el NSGA-II, SPEA (Strength Pareto Evolutionary
Algorithm) o SPEA2 y un estudio riguroso de ellos.
Dentro de los algoritmos más eficientes desarrollados en los últimos años, se
puede destacar en NSGA-II que, según la literatura especializada, es el algoritmo
representativo del estado del arte en optimización Multiobjetivo evolucionaria. Sin
embargo, en el trabajo desarrollado por Knowles [25], se desarrolla un algoritmo
llamado ParEGO donde se obtienen resultados significativamente mejores, pero para
un problema particular.
Adicionalmente, en el trabajo de Coello [26] se presenta un algoritmo evolutivo
llamado Algoritmo Cultural, que es comparado con NSGA-II y entrega resultados
interesantes. A continuación, se explica en detalle en qué consiste el NSGA-II.
Algoritmo genético multiobjetivo NSGA-II
Este método corresponde a una versión modificada del algoritmo NSGA. Este
algoritmo se basa en la clasificación de individuos en varias capas o frentes. La
clasificación consiste en agrupar a todos los individuos no dominados en un frente, con
un valor de fitness (adaptabilidad) igual para todos los individuos. Este valor es
proporcional al tamaño de la población, así para proporcionar un potencial reproductivo
igual para todos los individuos de este frente. Entonces el grupo de individuos
clasificados es ignorado y otro frente de individuos no dominados es considerado. El
proceso continúa hasta que se clasifican a todos los individuos en la población. Puesto
que los individuos del primer frente tienen el valor de fitness mayor, consiguen siempre
más copias que el resto de la población.
34
Posee un mecanismo elitista1 que consiste en elegir los mejores P individuos de la
unión de las poblaciones padre e hijo.
Además en adición al valor fitness un nuevo parámetro llamado crowding distance2 es calculado para cada individuo. Crowding distance es la medida de que tan cerca
está un individuo de sus vecinos.
Los padres son seleccionados de la población usando un torneo de selección
basada en el fitness y crowding distance. Un individuo es seleccionado con mayor
fitness si la crowding distance es mayor que la del otro individuo .La selección de la
población genera descendencias con operadores como crossover y mutación.
Finalmente, los antecendentes presentados en este trabajo entregan las bases
que permitirán la incorporación de Optimización Multiobjetivo a los problemas de
transporte público señalados. Sin embargo, en este trabajo sólo se plantearán las
funciones objetivo que permitirán una futura implementación de los algoritmos de
solución EMO aquí estudiados.
1 Elitismo: debido a los efectos de muestreo y a la disrupción de los operadores genéticos las buenas soluciones se pueden perder durante el proceso de optimización. El elitismo retiene las mejores soluciones. 2 Crowding distance es comparada sólo si el fitness de dos individuos es el mismo.
35
3 METODOLOGÍA PROPUESTA
3.1 Estrategias de Control Predictivo Híbrido para los Modelos
Uno de los objetivos más importantes de este trabajo es formular modelos
dinámicos de sistemas de transporte de buses para la realización de un control HPC
(Control Predictivo Híbrido) en tiempo real. A continuación se presentan los modelos
desarrollados.
3.1.1 Planteamiento analítico para sistema con un recorrido fijo
La principal característica que diferencia al esquema HPC que se propone frente
al HPC típico es la doble dimensionalidad del modelamiento dinámico: espacial y
temporal.
La formulación de este modelo está basada en el trabajo de E. Sáez [1], se
utiliza la misma formulación, sin embargo, se realizan algunas actualizaciones que le
dan más claridad a la modelación.
36
Con el propósito de optimizar el esfuerzo computacional, este HPC es
desarrollado en un espacio discreto, es decir, en el diseño intervienen tanto variables
continuas como discretas; las variables discretas están determinadas de tal manera
que cada vez que un bus llega a una estación o a un semáforo se genera un instante k
(dimensionalidad espacial), instante en el cual el estado de cada bus es actualizado.
Además, en el diseño del sistema se descarta la posibilidad de que dos buses
lleguen en el mismo instante a un paradero o semáforo, por lo que el instante k
siempre estará asociado a un único bus que llegó a un único paradero o semáforo en
ese instante. Es posible realizar este supuesto debido a la naturaleza continua del
tiempo, posición y velocidad que están definidas en el modelo.
La mayoría de las formulaciones HPC tienen un paso fijo, no obstante, el hecho
de que se defina un instante cada vez que ocurre un hecho relevante (que un bus
llegue a una estación o semáforo) implica que la discretización del sistema es de paso
variable.
Con todo esto es posible definir un conjunto de datos asociados a cada instante
generado ( , , )i j k , es decir, el instante k siempre estará asociado a un bus i que
generó el evento al llegar a un paradero o semáforo j , con esto se logra el enfoque
temporal al momento de precisar las variables que describen el sistema.
Se definen dos variables de estado que determinan la condición de los buses
además de generar los eventos.
Variables de estado
• Posición del bus ( )iX t , en cualquier instante continuo t .
• Tiempo estimado que falta para que un bus llegue al próximo paradero ˆ ( )iT t .
37
Numerosos estudios señalan la combinación de holding con station skipping es
una muy buena alternativa como estrategia de control (Eberlein [17]). Por lo que las
variables manipuladas serán estas acciones.
Acciones de control
• ( )iSu k : Acción de control sobre el bus i correspondiente a la activación de la
transferencia de pasajeros.
• ( )ih k : Acción de Holding sobre el bus i correspondiente al tiempo de holding a
realizar y puede tomar valores discretos. Donde ( ) , , 0i i ih k n nτ τ+= ∈ > conocido.
Es decir, los períodos de holding son discretos, con diferentes valores pero de
paso fijo τ .
Variables de salida
• ˆ ( )iL k + Cantidad de pasajeros del bus i en el instante k + .
• ( )iTd k∧
+ Tiempo de salida del bus i en el instante k + .
Con todo esto, el modelo diseñado en esta memoria se puede resumir en el
siguiente sistema de bloques de la Figura 3.1.
38
Sistema de Transporte Público
Control Predictivo
Híbrido
DemandaEstimador
ˆ( ), ( )i ix t T tˆ ( 1)iL k +
( )iTd k d∧
+
( )ih k
( )iSu k
ˆ ( )ˆ ( )i
k
B k
Γ +
Sistema de Transporte Público
Control Predictivo
Híbrido
DemandaEstimador
ˆ( ), ( )i ix t T tˆ ( 1)iL k +
( )iTd k d∧
+
( )ih k
( )iSu k
ˆ ( )ˆ ( )i
k
B k
Γ +
Figura 3.1: Modelo dinámico para sistema de transporte A continuación se presenta los parámetros que caracterizarán al sistema.
Parámetros
• b : Número total de buses del recorrido, los cuales son idénticos e
intercambiables.
• P : Número total de paraderos, equidistantes a lo largo del corredor.
• S : Número de semáforos.
• D : Largo total de corredor [ ]m .
• at : Tiempo que demora un pasajero en descender de un bus [ ]seg .
• bt : Tiempo que demora un pasajero en subir a un bus [ ]seg .
Como se mencionó anteriormente, el modelo predictivo propuesto posee tanto
variables de estado discretas como continuas, a continuación se explicitan todas las
variables involucradas.
La posición del bus en el tiempo continuo t queda descrita mediante la siguiente
ecuación:
39
( ) ( ) ( )k
t
i i k it
x t x t v dϑ ϑ= + ∫ (3.1)
Respecto a la velocidad instantánea ( ) ( )i iv t x t= , se trabaja con ella de manera
simplificada ya que toma los siguientes valores:
( )iv t⎧
= ⎨⎩ o
0 [m/s] si el bus está detenido v si el bus está en movimiento
Esta velocidad corresponde a la velocidad promedio de un bus en un sistema de
transporte público típico. La simplificación está en el hecho de que no se consideran
valores intermedios en la aceleración y desaceleración del bus al llegar a una parada o
semáforo ni tampoco se considera las condiciones de tráfico que pueden influir en estas
velocidades.
Por ejemplo, la velocidad que puede tomar un bus entre una parada en un
instante kt y la siguiente parada en un instante k dt + , puede ser representada mediante
la Figura 3.2.
Figura 3.2: Ejemplo de la trayectoria de un bus entre paradas
Donde ( )iTr k es el tiempo asociado transferencia de pasajeros (máximo entre el
tiempo de subida y bajada de pasajeros) del bus i cuando llega a un paradero en el
instante k . ( )iTv k es el tiempo de viaje entre dos estaciones consecutivas y por último,
kt
)(tvi
dkt +
)(kTri )(khi )(kTvi
0v
40
( )ih k es el tiempo asociado a la acción de holding en la estación en la cual se
encuentra el bus i en el instante k , lo cual es decidido previamente por el despachador.
Con todo esto, la velocidad queda descrita por
0
0 ( ) ( )( )
( ) ( )k k i i
ik i i k d
t t t h k Tr kv t
v t h k Tr k t t +
≤ ≤ + +⎧= ⎨ + + ≤ ≤⎩
Se tiene la cantidad de pasajeros que bajan del bus i entre el instante k y el
instante 1+k representada por ( )iA k .
Además ˆ ( )iB k corresponde a la cantidad de pasajeros que suben al bus i entre
el instante k y el instante 1+k . Este valor es estimado ya que en el instante k se tiene
certeza de cuántas personas bajan del bus pero no de la gente que subirá realmente.
ˆ ( )iB k se obtiene a través del estimador de la demanda (ver Figura 3.1), éste
indicará cuántas personas deberían estar esperando en un paradero a una hora
determinada, por lo tanto, cuántos usuarios deberían subirse a un bus está
directamente relacionada con esta estimación.
Con la definición de las variables anteriores se puede determinar el tiempo
estimado de transferencia en el paradero donde es generado el instante k .
ˆ ˆ( ) ( ), ( )i a i b iTr k Max t A k t B k= ⋅ ⋅ (3.2)
( )iL k corresponde a la cantidad de pasajeros del bus i en el instante k . Esta
carga está limitada por la capacidad máxima del bus, por lo que se define maxL que
corresponde a la carga máxima de un bus, que se considera una flota homogénea, por
lo tanto se debe cumplir
41
( )i maxL k L≤ (3.3)
Con todo esto se puede definir la cantidad estimada de pasajeros del bus i en
un instante 1k + como:
ˆ ˆ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i iL k L k B k Su k A k+ = + − (3.4)
Donde )(kLi es la carga del bus en el instante previo k , más los usuarios que
subirán entre k y 1k + ˆ ( ) ( )i iB k Su k , menos ( )iA k que corresponde al número de
pasajeros que descienden del bus i entre estos instantes.
También es necesario contar con la información de la cantidad de gente que se
encuentra esperando en cierto paradero asociado al instante k + , dada por:
1ˆˆ ( ) ( ) ( , ) ( )p ik k k k B kδ −Γ + = Γ + + − (3.5)
Donde ( )kΓ corresponde a la carga previa en la misma parada, ˆ ( , )p k kδ + es la
cantidad de pasajeros que llega a esta estación entre los instantes k y k + , es decir,
la demanda de pasajeros en este paradero entre estos instantes (se obtiene con el
estimador de la demanda). Por último, 1( )iB k− corresponde a la suma de personas que
subieron al bus anterior 1i − en la misma estación.
Es importante señalar que la ecuación (3.5) sólo puede estar definida para un
bus en particular; el bus cuya llegada a este paradero s esté asociado al instante k + ,
además el instante anterior k está asociado a otro bus pero al mismo paradero s .
Ahora, para generar el siguiente evento del modelo dinámico, con las
definiciones dadas anteriormente se determina el tiempo que le falta al bus i para llegar
al próximo paradero (ver Figura 3.2).
42
( ) ( ) ( ) ( ) i k i i k k dT t t h k Tr k Tv k t t t t += + + + − ≤ ≤ (3.6)
Además, es necesario definir otro término, ( )iTd k∧
+ , que corresponde a la hora
de salida del bus asociado al instante k + , éste queda determinado por:
( ) ( ) ( )i k i iTd k t h k Tr k∧
+ = + + (3.7)
Claramente este último valor es estimado debido a la incerteza generada por la
demanda de pasajeros.
Finalmente, ˆ ( )iH k + representa el intervalo de tiempo que transcurre entre que
un bus 1i − parte de una estación (bus que llega en el instante futuro k z+ − ) y el
tiempo en que parte el próximo bus i de esta misma estación en el instante asociado al
instante también futuro k + . La variable z representa el instante en que el bus 1i −
llega a esta misma estación.
Con esto, se puede definir el intervalo estimado de tiempo en que un bus i sale
de una estación como:
1ˆ ( ) ( ) ( )ii iH k Td k Td k z∧ ∧
−+ = + − + − (3.8)
Para el Control Predictivo que se desarrolla, es necesario definir funciones que
permitan decisiones en tiempo real y permitan optimizar el sistema dinámico. Por lo que
el próximo paso es definir las funciones que consideren el ahorro en tiempo de viaje y
espera de los usuarios.
A continuación se presenta estas funciones las cuales deben cumplir tres
objetivos: minimizar los tiempos de espera en paraderos, considerar el costo asociado
al tiempo extra de viaje de pasajeros cuando el bus realiza holding y por último
43
considerar el costo debido al tiempo extra de espera de los usuarios cuando el bus
realiza station skipping.
• Minimización de tiempos de espera
Esta función minimiza el tiempo promedio de espera de los usuarios en los
paraderos. El hecho de que se minimice este tiempo de espera se podría traducir en la
regularización de los intervalos de llegada de los buses a cada paradero. Sin embargo,
este término minimiza el “promedio” de los tiempos de espera, no los tiempos efectivos
de espera, por lo que es necesario agregar otro término a esta función que considere
esta regularización de intervalos.
Así, se define la siguiente función a minimizar:
21 1 2 ( )
1
ˆ ˆˆ( ) ( ) ( ( ) )Np
i i i i kJ H k k H k Hθ θ = +=
⎡ ⎤= + Γ + + + −⎣ ⎦∑ (3.9)
Como se mencionó en la parte anterior, el término ( )iH k∧
+ corresponde al
tiempo que transcurre entre la salida de un bus en un instante futuro k + , con respecto
a la salida de su predecesor, la cantidad estimada de pasajeros que estarán en un
paradero, esperando que llegue un bus i asociado al instante k + es ˆ ( )kΓ + por lo
que el primer término de la ecuación (3.9) considera la minimización del tiempo de
espera dentro de un horizonte de predicción Np , para cada bus i que genere un
evento en k + ( ( )i i k= + ).
El segundo término, como se dijo anteriormente, está asociado a la
regularización de los intervalos ( )iH k∧
+ , H corresponde al intervalo de diseño que
satisface la demanda de la red, el cual es determinado en este mismo capítulo. Por lo
tanto, este segundo término minimiza la diferencia entre intervalos en torno al intervalo
óptimo.
44
Estos términos, así como también los siguientes, son ponderados por un factor θ
para sintonizar y además ajustar la importancia que se le quiera dar a cada uno de
éstos.
• Costo asociado al holding
El hecho de realizar holding como acción de control para la regularización de
intervalos implica un tiempo extra de viaje para los usuarios que están arriba del bus
que está haciendo holding, por lo que se tiene la siguiente componente de la función de
costo asociada que debe ser minimizada:
2 3 ( )1
ˆ ( ) ( 1)Np
i i i i kJ L k h kθ = +=
⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦∑ (3.10)
En esta función se pondera el tiempo de holding ( 1)ih k + − que realiza el bus i
en el instante k + , que fue tomado como acción de control en el instante anterior
1k + − , por la cantidad de pasajeros ˆ ( )iL k + de pasajeros del bus i en el instante
k + , para un horizonte de predicción Np .
• Costo asociado a station skipping
Así como el realizar holding en una estación tiene un costo asociado, el hecho de
que un bus no pare en un paradero trae consigo un tiempo extra de espera
considerable para la gente que se encuentra en esa estación, por lo que la función
(3.11) considera este tiempo, ya que si se realiza esta acción de control, ( 1)iSu k + −
toma el valor 1. Esta acción de control debe ser tomada en el instante anterior 1k + − y
si no se realiza la acción, todo este término se anula.
( )3 4 1 ( )1
ˆˆ ( ) ( ) 1 ( 1)Np
i i i i kJ k H k z Su kθ + = +=
⎡ ⎤= Γ + + + − + −⎣ ⎦∑ (3.11)
45
Ahora, el intervalo de tiempo extra que deben esperar los pasajeros si el bus i
no para al llegar a un paradero en el instante k + es 1ˆ ( )iH k z+ + + ya que este término
corresponde al intervalo de tiempo que transcurre entre que llegó el bus i que no paró,
y el siguiente bus 1i + que llega a esta misma estación en el instante futuro k z+ + .
Finalmente, el promedio de gente que deberá esperar este tiempo extra es la
tasa de pasajeros que llega a esta estación por el intervalo de tiempo que trascurre
entre que salió el bus que no para y el siguiente bus que llega, es decir ˆ ( )kΓ + , esto
para todos los i buses que generen instantes k + en un horizonte de predicción Np .
Por lo que la función objetivo propuesta para un recorrido corresponde a:
( )
21 2( ),..., ( 1) 1
3 4 1( )
ˆ ˆˆ ( ) ( ) ( ( ) )
ˆ ˆˆ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1)
Np
i iu k u k Np
i i i ii i k
Min J H k k H k H
L k h k k H k z Su k
θ θ
θ θ
+ −=
+= +
⎡= ⋅ + Γ + + ⋅ + −⎣
⎤+ ⋅ + + − + ⋅Γ + + + − + − ⎦
∑ (3.12)
Con ( )
( ) ( ) ( )
ii
i
h ku k u k
Su k+⎡ ⎤
+ = + = ⎢ ⎥+⎣ ⎦si el bus i generó evento k +
Es importante señalar que cada vez que un bus genere un instante será
considerado en la función objetivo, todo bus que genere instante entre k + y Np .
3.1.2 Planteamiento analítico para sistema con transbordo
Utilizando la misma notación anterior, se plantea una función de costo para un
sistema compuesto de dos recorridos fijos; cada uno con las mismas características del
modelo planteado anteriormente, interconectados a través de una estación de
transbordo.
46
Al igual que en la modelación anterior, cada vez que un bus llega a una estación
o a un semáforo, se genera un instante k , por un bus de cualquiera de los dos
recorridos.
Igualmente que en el diseño anterior, se descarta la posibilidad de que dos
buses lleguen en el mismo instante a un paradero o semáforo, por lo que el instante k
siempre estará asociado a un único bus que llegó a un único paradero o semáforo de
uno de los dos recorridos.
Con todo esto se pueden mantener las variables de estado del modelo anterior.
Variables de estado
• Posición del bus ( )iX t , en cualquier instante continuo t .
• Tiempo que falta para que un bus llegue al próximo paradero ˆ ( )iT t .
Se usarán las mismas estrategias de control que en la modelación anterior pero
además se agrega holding en la estación de transferencia, por lo tanto las nuevas
acciones de control son:
Acciones de control
• ( )iSu k : Acción de control sobre el bus i correspondiente a la activación de la
transferencia de pasajeros.
• ( 1)ih k − : Acción de Holding sobre el bus i correspondiente al tiempo de holding a
realizar y puede tomar valores discretos
.
• ( 1)Tih k − : Acción de Holding sobre el bus i cuando llega a la estación de transbordo
y puede tomar valores discretos.
47
Variables de salida
• Cantidad de pasajeros ˆ ( )iL k + en un bus i .
• Tiempo de salida ( )iTd k∧
+ de un bus i .
Con todo esto, el modelo diseñado en esta memoria se puede resumir en el
siguiente sistema de bloques de la Figura 3.3.
Sistema de Transporte Público
con transbordo
Control Predictivo
Híbrido
DemandaEstimador
ˆ( ), ( )i ix t T tˆ ( 1)iL k +
( )iTd k d∧
+
( )ih k
( )iSu k
ˆ ( )ˆ ( )i
k
B k
Γ +
( )Tih k
Sistema de Transporte Público
con transbordo
Control Predictivo
Híbrido
DemandaEstimador
ˆ( ), ( )i ix t T tˆ ( 1)iL k +
( )iTd k d∧
+
( )ih k
( )iSu k
ˆ ( )ˆ ( )i
k
B k
Γ +
( )Tih k
Figura 3.3: Modelo dinámico para sistema de transporte con transbordos
Parámetros
• b : Número total de buses de cada recorrido, los cuales son idénticos e
intercambiables, así, se tiene:
1 2
Buses recorrido 1 Buses recorrido 2
1,..., ,... 1,..., ',...,b i b i b→
• P : Número total de paraderos, que están equidistantes a lo largo del corredor.
1 2
Paraderos recorrido 1 Paraderos recorrido 2
1,..., ,... 1,..., ',...,P j P j P→
• S : Número de semáforos.
1 2
Semáforos recorrido 1 Semáforos recorrido 2
1,..., ,... 1,..., ',...,S l S l S→
48
• 1 2 D y D : Largos totales de cada corredor [ ]m
• at : Tiempo que demora un pasajero en descender de un bus [ ]seg
• bt : Tiempo que demora un pasajero en subir a un bus [ ]seg
Las variables del modelo se mantienen, ˆ ( )iT t sigue siendo el tiempo que le falta
al bus i para llegar al próximo paradero, sin embargo hay que agregarle el tiempo de
holding extra en estaciones de transferencia, por lo tanto queda re definido como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k i Ti i k k dT t t h k h k Tr k Tv k t t t t += + + + + − ≤ ≤ (3.13)
En la Figura 3.4 se ejemplifica la trayectoria de un bus en un sistema con
transbordo.
Figura 3.4: Ejemplo de trayectoria de un bus entre paraderos, en sistema con transbordo
( )iTr k es el tiempo asociado transferencia de pasajeros del bus i cuando llega a
un paradero en el instante k , ( )iTv k es el tiempo de viaje entre dos estaciones
consecutivas y por último ( )ih k es el tiempo asociado a la acción de holding en la
estación en la cual se encuentra el bus i en el instante k , lo cual es decidido
previamente por el despachador. El nuevo término ( )Tih k corresponde a la acción de
holding en una estación de transbordo, es considerado una acción de holding aparte ya
que su finalidad es otra.
kt
)(tvi
dkt +
)(kTri )(khi )(kTvi( )Tih k
ov
49
Para el Control Predictivo se utilizará las mismas funciones objetivo definidas
para el sistema simple, pero para cada sistema por separado.
También es necesario definir una función que minimice los tiempos de espera
extra para los pasajeros que deben hacer transbordo de recorrido.
3.1.2.1 Proposición de una función de costo para el transbordo
El primer inconveniente del trabajo de Bookbinder y Désilets [8] para la
modelación de los tiempos de espera del sistema propuesto es que las esperas sólo la
realiza el bus critical3 , por lo que para que también la realice el bus feeder hay que
modificar los casos posibles en la función de desutilidad.
Además el sistema propuesto que se desea controlar no debe considerar
horarios preestablecidos, por lo que hay que re definir las variables que describen los
tiempos de espera; para así realizar una modelación dinámica que se ajuste a lo que
se quiere controlar en el sistema.
La función de espera, además de considerar la definición propuesta por
Bookbinder y Désilets [8] y tomando en cuenta que hay transferencia de pasajeros en
ambos sentidos, puede ser resumida de la siguiente manera
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
= si ,( , , , , , ) = si ,
= si ,
C C C C C C C C
C C C C N N C C N C C C C C
N C C C C C C C
w d t w d t t d t dw t t d d d d w d t w d t t d t d
w d t w d t t d t d
= − − ≤ ≤⎧⎪= = − − > ≤⎨⎪ = − − ≤ >⎩
Donde 1w es el tiempo de espera para el pasajero que viaja desde la línea 1 a la
línea 2 y 2w al tiempo de espera del pasajero que viaja desde la línea 2 a la línea 1.
3 Capítulo 2 Antecedentes, 2.1.5 Modelación dinámica
50
Respecto de las otras variables, 1Ct corresponde al tiempo de llegada un bus del
recorrido 1 a la estación de transferencia en el instante k , 2Ct al tiempo de llegada de
un bus del recorrido 2 a la misma estación de transferencia en el instante más cercano
a k . 1Cd corresponde al tiempo en que el bus i abandona la estación de transferencia
del recorrido 1 después de haber realizado la transferencia de pasajeros y/o alguna
acción de control, 1Nd es la salida del siguiente bus del mismo recorrido. Las salidas
2Cd y 2Nd son análogas para el recorrido 2.
Ahora, si esta función se denota de una manera distinta, para realizar
predicción a un paso, los horarios de llegada correspondientes son los estimados por el
modelo, por lo tanto, si el bus del recorrido 1 llega primero, se define kt para 1Ct , que
corresponde al tiempo estimado de llegada a la estación de transferencia del bus i . Así,
'kt será el tiempo estimado para la llegada el bus del recorrido 2 a la estación de
transferencia instantes después, es decir 2Ct . Los horarios de salida de cada bus, como
se mencionó anteriormente, quedan definidos como:
( ) ( ) ( ) ( )i k i Ti iTd k t h k h k Tr k∧
+ = + + + (3.14)
La ecuación (3.14) se refiere al tiempo estimado de salida del bus i del recorrido
1 que llegó en el instante k y parte en ( )iTd k∧
+ , que según la notación anterior es 1Cd .
Análogamente, para el bus del recorrido 2 se tiene la siguiente función:
' ' ' ' 'ˆ ( ' ') ( ') ( ') ( ')i k i Ti iTd k t h k h k Tr k+ = + + + (3.15)
La ecuación (3.15) representa el tiempo estimado de salida para el bus 'i del
recorrido 2 que llegó en el instante ' 'k + a esta estación de transbordo, o sea 2Cd . De
acuerdo a esta nueva notación, si un bus no alcanza a llegar antes de que se vaya el de
la línea contraria, se deberá esperar más tiempo, tiempo entre que llegue el bus
51
2w
1w
siguiente, para cada sistema +k zt y ' '+k zt que posteriormente parten en 1ˆ ( )+ + +iTd k z m y
' 1ˆ ( ' ' ')+ + +iTd k z m ; estos serán los tiempos de salida estimados de los buses siguientes
en la estación de transferencia, es decir los buses 1i + e ' 1i + , por lo tanto
corresponden, respectivamente a 1Nd y 2Nd .
Lo anterior significa que la función de espera para una predicción a un paso
queda definida según los siguientes casos:
• Caso 1: El bus del recorrido 1 llega primero y se alcanza a encontrar con el bus
del recorrido 2 en la estación de transferencia.
kt 'kt ( )iTd k∧
+ ' ( ' ')iTd k∧
+
Figura 3.5: Línea de tiempo para caso 1
'1 '
2 ' '
( ' ') si
= ( ) ( )
i k k k
i ik k
w Td k t t t
w Td k t t Td k
∧
∧ ∧
= + − ≤
+ − ≤ +
(3.16)
52
1w
2w
2w
1w
• Caso 2: El bus del recorrido 2 llega primero y se alcanza a encontrar con el bus
del recorrido 1 en la estación de transferencia.
'kt kt ' ( ' ')iTd k∧
+ ( )iTd k∧
+
Figura 3.6: Línea de tiempo para caso 2
'1 '
'2 '
( ' ') si
= ( ) ( ' ')
i k k k
i ik k
w Td k t t t
w Td k t t Td k
∧
∧ ∧
= + − ≤
+ − ≤ + (3.17)
• Caso 3: El bus del recorrido 1 llega primero pero parte antes de que llegue el bus
del recorrido 2.
kt ( )iTd k∧
+ 'kt ' ( ' ')iTd k∧
+ k zt + 1( )∧
+ + +iTd k z m
Figura 3.7: Línea de tiempo caso 3
'1 '
12 ' '
( ' ') si
= ( ) ( )
i k k k
i ik k
w Td k t t t
w Td k z m t t Td k
∧
∧ ∧
+
= + − ≤
+ + − ≥ + (3.18)
53
2w
1w
• Caso 4: El bus del recorrido 2 llega primero pero parte antes de que llegue el bus
del recorrido 1.
'kt ' ( ' ')iTd k∧
+ kt ( )iTd k∧
+ ' 'k zt + ' 1( ' ' ')∧
+ + +iTd k z m
Figura 3.8: Línea de tiempo caso 4
' 11 '
'2 '
( ' ' ') si
= ( ) ( ' ')
i k k k
i ik k
w Td k m t t t
w Td k t t Td k
∧
+
∧ ∧
= + + − ≤
+ − ≥ + (3.19)
Respecto de la función a minimizar, 1
kn corresponde a los pasajeros que están
realizando el transbordo desde la línea 1 a la 2 y 2kn el transbordo de la línea 2 a la 1.
Finalmente 1 2( ) y ( )k kD T D T es el promedio de desutilidad para cada línea, que
corresponde a la varianza del tiempo de espera, es decir 1( ) =kD T 21( )w y =2 ( )kD T 2
2( )w .
Así, la función a minimizar será
1 1 2 2
1( ) ( ( ) ( ))
N
k k k kK
C T n D T n D T=
= ⋅ + ⋅∑ (3.20)
También se podría sumar un cierto tiempo constante que es el que pierde el
pasajero haciendo la combinación de estaciones, mas en este modelo se considerará
despreciable.
Finalmente, es importante señalar que Abkowitz [4] simula una variedad de
estrategias de despacho para sistemas con transferencia de pasajeros, cuyos
resultados indican que para dos líneas de buses no es conveniente realizar estrategias
54
de holding si es que sus recorridos son muy diferentes y, en el caso de que los
recorridos sean similares, es conveniente realizar una estrategia doble, es decir, en
ambos sentidos.
Además, claramente cuando se tiene frecuencias de buses que realizan
transbordo muy pequeñas, tampoco tiene sentido una estrategia de optimización de
estos tiempos de espera ya que se podrían considerar despreciables.
Finalmente, como señalan Cortés y Jayakishnan [28], si bien los puntos de
transferencia agregan flexibilidad al sistema de operación, una manera de mejorarlo
aún más es ubicar estos puntos en el mejor lugar posible, ya sea de manera manual o
heurística, lo que queda fuera del alcance de esta memoria.
Esta función se lleva a la notación utilizada en el sistema con un solo recorrido.
Para esto es necesario elegir un sistema de referencia, por lo que la función a
minimizar, vista desde el sistema 1 es:
2 24 1 1 2 ' 2 ( ) ' '( ' ')
1( ) ( ) ( ) ( ' ') ( ' ')
Np
i i i i k i i kJ k n k w k n k w kγ = + ∧ = +=
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + ⋅ + + + ⋅ +⎣ ⎦⎣ ⎦∑ (3.21)
Donde γ toma el valor 1 si es que el evento k + es generado en una estación
de transferencia del primer sistema y 0 si no. Además, el instante k + es el generado
por un bus del sistema 1 y el instante ' 'k + es el instante generado al llegar un bus del
sistema 2 a la estación de transbordo, el cual, por la definición hecha anteriormente de
las funciones de desutilidad, puede ser antes o después de k + , sin embargo está
asociado siempre al instante k + , ya que es el instante más cercano a éste.
Así, las funciones propuestas a minimizar para un sistema de dos recorridos fijos
con una estación de transbordo son:
1 2( ),..., ( 1)u k u k NpMin J J Jη
+ −= + (3.22)
55
Con ( )
( ) ( ) ( )
ii
i
h ku k u k
Su k+⎡ ⎤
+ = + = ⎢ ⎥+⎣ ⎦si el bus i generó evento k + . Además,
η corresponde a un factor que pondera la importancia entre optimizar recorridos por
separado ( 1J ) y optimizar la minimización de tiempos de espera en transbordo ( 2J ).
Y ( )kγ + = ⎧⎨⎩
1 Si se arribó a una estación de transferencia del sistema 10 Si no
El término ( )kγ + se activa exclusivamente al arribar a una estación del sistema
de referencia (sistema 1).
donde:
( )
21 1 2
1
3 4 1( )
ˆ ˆˆ ( ) ( ) ( ( ) )
ˆ ˆˆ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1)
Np
i i
i i i ii i k
J H k k H k H
L k h k k H k z Su k
θ θ
θ θ
=
+= +
⎡= ⋅ + Γ + + ⋅ + −⎣
⎤+ ⋅ + + − + ⋅Γ + + + − + − ⎦
∑
2 22 1 1 2 ' 2 ( ) ' '( ' ')
1( ) ( ) ( ) ( ' ') ( ' ')
Np
i i i i k i i kJ k n k w k n k w kγ = + ∧ = +=
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + ⋅ + + + ⋅ +⎣ ⎦⎣ ⎦∑
Respecto a J1, no es necesario tener una función objetivo para cada recorrido,
ya que los instantes se activan indistintamente del circuito en que se encuentren, por lo
que J1 considera ambos casos.
Con este desarrollo se puede proponer las posibles funciones que participarían
en una futura implementación Multiobjetivo (ver antecedentes, Capítulo 2).
Así, este mismo sistema, optimizado con un enfoque Multiobjetivo tendría como
función objetivo la ecuación 3.23.
1 2( ),..., ( 1)
,u k u k Np
Min J J J+ −
= (3.23)
56
donde:
( )
21 1 2
1
3 4 1( )
ˆ ˆˆ ( ) ( ) ( ( ) )
ˆ ˆˆ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1)
Np
i i
i i i ii i k
J H k k H k H
L k h k k H k z Su k
θ θ
θ θ
=
+= +
⎡= ⋅ + Γ + + ⋅ + −⎣
⎤+ ⋅ + + − + ⋅Γ + + + − + − ⎦
∑
2 22 1 1 2 ' 2 ( ) ' '( ' ')
1( ) ( ) ( ) ( ' ') ( ' ')
Np
i i i i k i i kJ k n k w k n k w kγ = + ∧ = +=
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + ⋅ + + + ⋅ +⎣ ⎦⎣ ⎦∑
Ahora bien, la Optimización Multiobjetivo se caracteriza por optimizar funciones
que están en conflicto entre sí. En este caso en particular, significa que la optimización
de cada uno de los sistemas por separado ( 1J ), perjudica los tiempos de espera en las
estaciones de transbordo ( 2J ), esto no es intuitivo, por lo que se deberá realizar
pruebas previas, que verifiquen que estas dos funciones están en contraposición, antes
de aplicar este método de optimización.
3.1.3 Perturbaciones del sistema
El hecho de agregar perturbaciones al modelo otorga generalidad a la hora de
controlar el sistema, un control óptimo será aquel que se comporte de manera
adecuada tanto bajo condiciones ideales así como también bajo perturbaciones
considerables.
• Demanda
La demanda corresponde a una perturbación del sistema, ésta fue generada con
una distribución tipo Poisson para cada paradero y para un periodo de 25 días, con dos
horas de simulación por día. La tasa de llegada de pasajeros iλ es distinta para cada
paradero. Además, se tiene el supuesto de que cuando se llega a la estación Terminal
(estación 1) todos los pasajeros deben descender.
57
• Semáforos
Los semáforos corresponden a una perturbación medible del sistema ya que, a
pesar de que por el momento no se puede ejercer ninguna acción de control sobre
ellos, se conoce su estado y su tiempo de ciclo, por lo tanto, se tiene certeza de cuánto
tiempo deberá permanecer detenido un vehículo al llegar a cualquiera de ellos.
Además de obtener un sistema más realista, el hecho de agregar semáforos
entrega una futura herramienta de control, esto si se modifica la programación para
poder variar el tiempo de ciclo de éstos durante la simulación.
3.2 Estimación de la Demanda
Para realizar este HPC es necesario contar con la estimación de la demanda de
pasajeros, para esto se utiliza el desarrollo realizado por E. Sáez [1] en su trabajo de
memoria. A continuación se presenta la metodología aplicada.
Estimación de la hora de llegada y destino de los pasajeros Es muy importante señalar que no sólo hay que predecir la hora de llegada de un
pasajero a cierto paradero, sino que también cuál será su destino.
La estimación de las horas de llegada de usuarios y su destino se realizará
utilizando una predicción simplificada basada en ventanas móviles, la hora de llegada
de una persona a un paradero se realiza mediante promedios móviles, mientras que el
destino de esta persona corresponde al destino más frecuente de la ventana generada.
Esta estimación está compuesta por dos términos, uno con información on-line,
que es la información actual, es decir la que ha transcurrido durante el mismo día y otro
58
con información off-line, que corresponde a información de días anteriores. Estos
términos se ponderan de acuerdo a la importancia que se le quiera dar a cada uno.
Un ejemplo gráfico de la data off-line y on-line generada y que se utiliza para
hacer esta predicción se muestra en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1: Matriz Demanda para paradero 6
Destino Hora Llegada Destino Hora Llegada Destino Hora Llegada Destino Hora Llegada Destino Hora Llegada Destino
9 0,02 5 0,03 5 0,03 11 0,03 8 0,03 811 3,94 6 0,76 8 1,40 3 2,13 7 16,07 910 21,62 3 14,10 7 5,83 9 3,11 11 16,68 55 27,32 3 27,82 10 6,38 8 5,07 7 21,64 45 29,61 11 38,41 6 17,25 11 16,23 8 24,29 35 41,26 5 49,51 5 28,02 5 26,68 5 34,29 57 49,81 7 58,78 11 28,91 11 30,71 2 38,64 7
10 51,13 10 60,34 6 34,17 7 47,45 7 59,74 45 58,30 6 61,33 3 43,52 4 50,78 5 72,53 39 59,09 4 63,40 5 46,61 9 55,11 4 79,40 69 65,62 8 70,79 3 49,72 11 55,76 11 80,35 68 78,37 3 72,55 9 50,85 4 56,31 8 84,08 4
10 95,55 7 74,52 7 51,98 4 56,69 10 87,14 1011 99,78 11 78,19 7 60,48 7 57,06 7 87,20 23 100,11 6 99,05 4 65,67 7 58,31 9 87,85 83 103,09 6 105,63 5 77,02 8 58,51 10 90,05 105 103,69 10 108,41 4 78,52 9 58,95 5 92,61 99 110,32 9 110,48 8 81,33 7 62,61 6 93,11 59 114,43 7 117,39 10 91,27 8 78,99 7 93,89 93 115,83 8 123,32 6 105,53 11 80,23 79 117,12 9 -- -- 105,94 6 80,33 68 121,19 6 -- -- 126,16 5 81,33 33 -- -- -- -- -- -- 91,26 8
10 -- -- -- -- -- -- 100,48 6-- -- -- -- -- -- -- 100,89 11-- -- -- -- -- -- -- 103,20 6-- -- -- -- -- -- -- 131,82 9
PARADA 1DIA 21 DIA 22 DIA 23 DIA 24 DIA 25
Data off-line
Data on-line
Estimación
Se realizan estadísticas sobre ventanas móviles, los números azules
corresponden a las ventanas de tiempo utilizadas para la estimación de la hora de
llegada de un pasajero. El destino estimado es el destino más frecuente de estas
ventanas (números verdes).
A continuación, en la Tabla 3.2 se presenta la notación utilizada para la predicción
de estos datos.
59
Tabla 3.2: Datos on-line
El largo de estas ventanas se va adecuando a la cantidad de datos disponibles.
Por lo tanto, la próxima hora de llegada 1ˆmy + a un paradero j se calcula a través de la
siguiente ecuación:
( ) ( )1 _ˆ (1 )m m on line dat histy y α α+ −= + ⋅ ∆ + − ⋅ ∆ (3.23)
Donde my es la última hora de llegada de una persona a un paradero
determinado.
on line−∆ corresponde al promedio de diferencias entre las horas de llegada de los
pasajeros del día actual, se determina mediante la ecuación 3.24
1
1
1
m
k kk i
on line
y y
m i
−
+=
−
−∆ =
− +
∑ (3.24)
PARADA j
DIA ACTUAL
Hora de llegada
Destino
1y 1d
2y 2d
iy id
1my − 1md −
my md
1ˆmy + 1ˆ
md +
on line−∆ on lined −
60
_dat hist∆ es el promedio de las diferencias entre las horas de llegada de los pasajeros
de días anteriores que pertenecen a la ventana de tiempo asociada a la hora de llegada
que se quiere predecir. Por ejemplo, si se considera el día off-line k, la ventana
asociada considera los ka∆ instantes anteriores al instante actual m , más los
kb∆ instantes posteriores, es decir k ka kb∆ = ∆ + ∆ . Se promedian las diferencias entre los
datos de estas ventanas ∆ para cada día de de los n datos utilizados como data
histórica y después se realiza un promedio total con los ∆ de estos n días anteriores, es
decir
1_
n
kk
dat hist n=
∆∆ =
∑ (3.25)
La tabla 3.4 aclara la notación utilizada.
61
Tabla 3.3: Notación utilizada para datos de demanda
[ ]0,1α ∈ , es un factor de peso, determina la importancia que se le dé a la data
actual sobre la data histórica.
El destino estimado para esta hora de llegada se obtiene a través de la
realización de un histograma que considera una ventana de tiempo d para un día de
data histórica k , al igual que en el caso anterior, tomando en cuenta los kad destinos
anteriores al destino asociado al instante m más los kbd destinos posteriores a este
instante. A continuación se hace un histograma promedio considerando los n días de
data histórica.
PARADA 1
DIA 1 DIA i DIA 24 DIA 25 (Actual)
Hora de
llegada Destino
Hora de
llegada Destino
Hora de
llegada Destino
Hora de
llegada Destino
Hora de
llegada Destino
Hora de
llegada Destino
[ ]11y [ ]11d
[ ]1 ky
[ ]1 kd
[ ]241y [ ]241d
[ ]251y [ ]251d
[ ]12y [ ]12d
[ ]2 ky
[ ]2 kd
[ ]242y [ ]242d
[ ]252y [ ]252d
[ ]251my −
[ ]251md −
[ ]kiy
[ ]kid [ ]25my [ ]25md
1a∆
1ad
[ ]24iy [ ]24id
[ ]1iy [ ]1id
[ ]imy [ ]imd
nad
[ ]1 kmy +
[ ]1 kmd +
[ ]24my [ ]24md
[ ]1my [ ]1md
[ ]241my +
[ ]241md +
[ ]im qy +
[ ]im qd +
nb∆ nbd
-- -- -- -- [ ]24m qy +
[ ]24m qd +
na∆
1bd1b∆
62
En base este histograma promedio obtenido se le asocia una probabilidad simple
al destino del pasajero del paradero i . Con la data destino del día actual on lined − (ver
Tabla 3.2) se realiza una modificación a esta probabilidad obtenida, con la finalidad de
tomar en cuenta de que la gente que ha llegado durante el día actual (datos on-line)
provoca que la probabilidad de estos destinos disminuya. Esto porque la gente que se
suponía iba a tener ese destino ya subió.
Así, se generan llegadas y destinos estimados de pasajeros para todos los
paraderos y, a medida que avanza el tiempo, se van calculando las siguientes
estimaciones en base a las hechas anteriormente.
3.3 Flota óptima
Para realizar un buen control sobre un sistema de transporte, es necesario que la
topología del sistema sea consistente, es decir, que la cantidad de paraderos y de
buses sea la adecuada para satisfacer la demanda.
Para determinar la flota óptima se debe encontrar un equilibrio entre la frecuencia
de buses que es capaz de ofrecer el sistema y la demandada por los usuarios.
3.3.1 Demanda de servicio
La demanda de servicio se obtiene calculando la frecuencia de buses mínima
que satisface la demanda máxima de pasajeros, para esto se necesita obtener el flujo
entre paraderos.
Para un día cualquiera de servicio es posible construir una matriz Origen-
Destino (Tabla 3.2).
63
Tabla 3.4: Ejemplo matriz de origen-destino (OD) para 10 paraderos.
Par 1 Par 2 Par 3 Par 4 Par 5 Par 6 Par 7 Par 8 Par 9 Par 10Par 1 0 0 11 8 14 10 0 0 0 0Par 2 0 0 3 19 21 17 26 0 0 0Par 3 0 0 0 4 17 26 26 32 0 0Par 4 0 0 0 0 10 57 61 54 64 0Par 5 0 0 0 0 0 14 115 98 103 86Par 6 133 0 0 0 0 0 35 139 143 116Par 7 99 0 0 0 0 0 0 24 103 124Par 8 112 0 0 0 0 0 0 0 23 92Par 9 128 0 0 0 0 0 0 0 0 36
Par 10 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0
DESTINO
OR
IGEN
Esta matriz resume la cantidad de pasajeros que abordan en cada Paradero
Origen, y llegan a un Paradero destino determinado, durante un intervalo de tiempo de
dos horas. Por ejemplo, durante estas horas de simulación, hay 8 pasajeros que
abordaron en el Paradero 1 y descendieron en el Paradero 4.
La simulación se realiza para un intervalo de dos horas por lo que se tendrá la
acumulación de datos para estas dos horas.
Figura 3.9: Flujos entre paradero
(Fuente: Memoria Eduardo Sáez[1]).
La Figura 3.9 muestra los flujos pasajeros entre los paraderos. En el paradero i
suben iS pasajeros a los buses y bajan iB pasajeros de los buses en una unidad de
tiempo [ . .]u t . Entre el paradero i y el paradero 1i + existe un flujo , 1i iq + medido en
[ ]. .pas
u t , que es la cantidad total de pasajeros que recorren la distancia entre el
paradero i y el 1i + durante el tiempo que se registraron los datos y se obtiene de la
siguiente manera.
64
, 1 1,i i i i i iq q S B+ −= + − (3.24)
Los valores de iS son fáciles de obtener y corresponden a la suma horizontal de
los valores de las filas de origen en la matriz OD (suma sobre las filas). Es decir, iS
corresponde al total de pasajeros que suben a algún bus en el paradero i durante el
tiempo registrado [ . .]u t . Por otro lado, iB corresponde al total de pasajeros que bajan de
algún bus en el paradero i durante el tiempo registrado [ . .]u t .
Con esta información es posible construir un histograma del flujo acumulado de
pasajeros durante la simulación de dos horas de tiempo real (Figura 3.10), del cual se
desprende que el tramo mas cargado es el comprendido entre los paraderos 7 y 8.
Par1-2 Par2-3 Par3-4 Par4-5 Par5-6 Par6-7 Par7-8 Par8-9 Par9-100
200
400
600
800
1000
1200
1400Flujo total de pasajeros acumulado durante 2[hrs]
Flujos entre paraderos
Pas
ajer
os
Figura 3.10: Demanda acumulada de pasajeros durante 2 horas de simulación4
La frecuencia que satisface la demanda depende de la carga máxima de los buses
max pasL bus⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
y del flujo máximo entre paraderos. Esta frecuencia debe satisfacer el
tramo más cargado y se calcula a través de la siguiente ecuación.
4 Resultados en ANEXO A tabla A.1
65
, 1 max
max. .
i id
q busf u tL+ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.25)
Con lo anterior se tiene el intervalo de diseño.
1 . .[ ]dd
u tH busf= (3.26)
Este intervalo quiere decir que cada dH unidades de tiempo . .[ ]u tbus debe salir
un bus desde un paradero determinado.
Utilizando la ecuación 3.25 de frecuencia demandada se tiene que la frecuencia
mínima que requiere el sistema para satisfacer la demanda es de
1318. .72d
busf u t⎡ ⎤= ⎣ ⎦
18,3 19 . .dbusf u t
⎡ ⎤= ≈ ⎣ ⎦
Ahora bien como el registro de datos se realizó para dos horas de tiempo real la
frecuencia demandada por hora es
19 102d
busf hora⎡ ⎤= → ⎣ ⎦
Con esto se obtiene un intervalo demandado por los usuarios de
min6 dH bus⎡ ⎤= ⎣ ⎦
66
3.3.2 Oferta de servicio
La oferta de servicio corresponde a la una frecuencia ofrecida por el operador y
depende directamente del tamaño de la flota que opera en el sistema.Se tiene una
cantidad de b buses, N paraderos y S semáforos.
Al ubicarse en un paradero fijo, la frecuencia ofrecida por el sistema será
determinada mediante la ecuación 3.27.
. .ofc
b busf u tt⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.27)
Donde ct corresponde al tiempo de ciclo, que es el tiempo total que demora un
bus en dar una vuelta completa por el sistema. Este tiempo es, por lo tanto, la
sumatoria del tiempo total de viaje de un bus más los tiempos de detención en
paraderos y semáforos.
c viaje paraderos semáforost t t t= + + (3.28)
El circuito tiene un largo [m]D y los buses viajan a una velocidad constante e
igual para todos los buses [ ]. .mv u t , por lo que un bus demorará en recorrer el circuito
completo:
[ . .]viajeDt u tv
= (3.29)
Los tiempos de detención de los buses en los paraderos se obtienen mediante:
det1
N
paraderos jj
t t=
= ∑ (3.30)
67
Donde det jt es el tiempo de detención del bus en el paradero j medido en [ . .]u t .
De manera análoga se tiene para los semáforos
det1
S
semáforos ss
t t=
= ∑ (3.31)
Análogamente, det st es el tiempo de detención del bus en el semáforo s medido
en [ . .]u t .
Finalmente el intervalo ofertado de servicio oH viene dado por
1 . .of
of
u tH busf⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.32)
Reemplazando,
. .viaje paraderos semáforoscof
t t tt u tH busb b+ + ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ (3.33)
El tiempo de ciclo ct depende de la demanda en los paraderos y del tamaño de
flota, por lo que la determinación de este valor esta sujeta a la demanda acumulada en
paraderos.
Así, es necesario escoger a priori el tamaño de flota b para así poder determinar
efectivamente los tiempos de detención en paraderos.
Por ejemplo, para demanda alta en paraderos, los tiempos de detención en
paradero det jt serán más grandes debido a la mayor cantidad de pasajeros transfiriendo.
Por el contrario, si la demanda acumulada es pequeña, los tiempos de detención serán
menores.
68
Por lo tanto es necesario generar una recursión para obtener este equilibrio entre
la demanda ofrecida y la demandada.
3.3.3 Balance oferta-demanda
La flota que debe operar en sistema debe ser tal que satisfaga la demanda
máxima, que fue determinada en el punto anterior. Por lo tanto debe ofrecer un intervalo
de servicio oH mayor o igual al máximo demandado por los usuarios.
. . o d
u tH H bus⎡ ⎤≥ ⎣ ⎦ (3.34)
Dado que se tiene una demanda de pasajeros determinada por las tasas de
llegada de éstos a los paraderos iλ , la variable a optimizar para satisfacer la condición
de la ecuación 3.34 corresponde al tamaño de flota b . Para lograr esta condición es
necesario realizar una recursión que itere desde una condición inicial de tamaño de
flota 0b .
Así, se simula el sistema sin control, con lo que se obtiene un tiempo de ciclo
0ct inicial. Con esto tiempo se obtiene un intervalo ofrecido inicial 0
. . ofu tH bus
⎡ ⎤⎣ ⎦ . A
continuación se compara este valor con el intervalo demandado . . d
u tH bus⎡ ⎤⎣ ⎦ . De no
cumplirse 3.34 se actualiza la flota según:
[ ]1 = 1 i ib b bus+ + (3.35)
Se itera nuevamente hasta cumplir la condición 3.34, se detiene la iteración y se
selecciona el tamaño de flota 1ib + , éste será el número de buses óptimo para operar el
sistema. El diagrama de bloques de la Figura 3.11 resume el algoritmo.
69
Figura 3.11: Esquema iteración determinación flota de operación
El esquema resume el funcionamiento del algoritmo implementado, se inicializa
el sistema con una flota base adecuada 0b , el cual genera un intervalo 0ofH ofrecido de
acuerdo al desarrollo de la simulación sin control, por lo tanto, que dependerá de la
demanda y de la topología del sistema (revisar 3.3.2). Este intervalo ofrecido es
comparado con el intervalo dH , que se obtiene a través de la demanda de servicio, o
sea, determinando el flujo máximo (revisar 3.3.1). Ambos intervalos son comparados, si
coinciden o el intervalo ofrecido es mayor al demandado, el algoritmo se detiene
obteniéndose la flota b y el intervalo H de diseño, si no, se le suma 1 a la flota y se
vuelve a recalcular el intervalo ofrecido hasta cumplir la condición 3.34.
0ofH
0b
?iof dH H≥ , ,i of ofb H f
Si
No
1 1i ib b+ = +
Inicio
FiniofH
70
En el Capítulo 3 se presentó la metodología que permitirá la implementación de
las estrategias de control desarrolladas. Además, el planteamiento analítico presentado
es genérico por lo que puede ser fácilmente adaptado a otros sistemas de similares
características.
También, se resumió la manera en que se determina la flota óptima en una red
de transporte público y cómo se predice la demanda en este trabajo, puntos claves para
los siguientes capítulos.
A continuación, se presentan los algoritmos implementados para la optimización
de la función objetivo propuesta para el control HPC diseñado.
71
4 Algoritmos de solución para un sistema de recorrido fijo
Como se especificó en el capítulo anterior, las variables manipuladas son 2,
holding y station skipping.
Respecto a la primera variable manipulada, según las características del sistema,
se determinó que valores adecuados de holding son: 0, 30, 60 y 90 [s].
La segunda corresponde a la acción de station skipping que puede tomar 2
valores; 0 si se realiza esta acción y 1 si no. Claramente estas dos acciones son
excluyentes entre sí, ya que si se decide hacer station skipping no se puede hacer
holding y sucede lo mismo para el caso inverso.
Con todo esto se puede decir que las acciones de control tienen 5 estados
posibles, así, se codifica estas acciones de control con valores enteros entre [1,5].
1 0 12 30 1
3 60 14 90 15 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
72
Donde la primera acción de control representa el holding y la segunda la
realización de station skipping. Es necesario además, considerar las siguientes
restricciones:
• Cuando se llega a un paradero, si se quiere bajar gente, la única opción es
detenerse, esto significa que no se puede realizar station skipping bajo estas
condiciones.
• Para simplificar las acciones de control posibles, la acción de holding sólo se puede
realizar en paraderos específicos, no en cualquiera de ellos. Esto se podrá modificar
posteriormente.
• Estas acciones de control sólo pueden ser aplicadas a los paraderos, por lo que si
se llega a un semáforo obviamente la acción de control es nula.
4.1 Metodología de programación del modelo
Notar que, a pesar de que se puedan realizar acciones de control sólo en
paraderos, la idea de que se genere un evento en un paradero o semáforo tiene el
propósito de implementar en un trabajo futuro un control a través de otorgar prioridad en
la señalización, en otras palabras, controlar los ciclos de los semáforos para así
utilizarlos como otra variable manipulada.
Como se señaló anteriormente, la programación descarta la posibilidad de que
dos buses lleguen en el mismo instante a un paradero o semáforo, por lo que el instante
k siempre estará asociado a un único bus que llegó a un único paradero o semáforo en
ese instante.
Para la modelación del sistema con buses de recorrido fijo se utiliza el programa
Matlab versión 7.0. El programa se inicializa en base a parámetros entregados por el
73
programador. A continuación el sistema avanza en el tiempo y a medida que llegan los
buses a diferentes paraderos o semáforos, se actualizan los datos de todo el sistema.
Así, se crean matrices, las cuales van guardando todos datos determinantes para el
sistema.
La simulación genera una matriz para cada bus, en este caso, son 6 buses por lo
tanto 6 matrices con la siguiente estructura:
Tabla 4.1: Matriz de datos del bus 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1018,96 3863 23 6,94 50 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 3 5 8 5 2 019,15 3941 23 6,94 51 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 3 5 8 5 2 019,29 4000 23 0,00 52 6 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 5 8 5 2 119,43 4000 52 0,00 53 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 020,57 4000 52 0,00 54 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 020,66 4000 52 0,00 55 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 021,21 4000 52 0,00 56 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 021,70 4000 52 0,00 57 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 021,87 4000 52 6,94 58 6 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 022,07 4048 52 6,94 59 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 022,64 4284 52 6,94 60 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 022,96 4419 52 6,94 61 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 023,78 4758 52 6,94 62 -1 -1 -1 -1 -1 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 023,88 4800 52 6,94 63 7 -1 1 0 0 8 0 0 0 0 0 6 15 13 10 1
SeG
Velocidad [m/s]
Personas que bajan en paradero Par Sem Su HoHora
[min]Posición
[m]Carga K
La primera columna corresponde a la hora en que algún bus llegó a un paradero,
la segunda es la Posición[m] en que se encuentra el bus a esa hora, la siguiente la
cantidad de personas arriba de ese bus, la velocidad del bus [m/s], k es el instante
generado por algún bus, la columna Par indica en qué paradero se encuentra (si no
está en ninguno toma valor -1). La columna Sem indica en que semáforo está (si no
está en ninguno toma valor -1).
En las siguientes 3 columnas aparecen las acciones de control:
• Su: Acción sobre station skipping, si se deja subir toma el valor 1, si se realiza
station skipping toma el valor 0.
• Ho: Acción sobre holding, si se realiza toma el valor 1, si no, toma el valor 0.
74
• Se: Acción sobre semáforos, si está en verde el bus debe seguir y toma el valor
1, si está en rojo debe detenerse y toma el valor 0.
Posteriormente el destino de las personas que están en el bus y finalmente G,
que es un indicador; toma el valor 1 si el evento fue generado por ese bus y 0 si no.
La programación también genera matrices para cada paradero:
Tabla 4.2: Matriz de datos del paradero 6
En bus En paradero2,11 8 4 13 9 13 0 1 0 3,208,64 24 5 47 20 24 2 1 0 10,6412,86 35 6 20 0 1 4 1 0 13,0619,29 52 1 52 24 32 3 1 0 21,9620,57 54 2 7 0 0 3 1 0 20,7227,95 71 3 59 22 28 3 1 0 30,2830,86 77 4 17 1 1 1 1 0 30,9538,95 98 5 0 1 0 0 0 0 38,9542,53 105 6 72 43 24 13 1 0 44,53
Hora salida [min]
Suben bus Bajan bus Su HoCargas inicialesHora llegada
[min]K Bus
La Tabla 4.2 contiene la cantidad de personas en bus y paradero al llegar el bus
a una estación. La carga inicial del paradero no es necesariamente la gente que sube al
bus ya que puede que mientras el bus este transfiriendo llegue más gente a la estación
o, que por capacidad del bus, no sea posible que suba toda la gente que está
esperando en el paradero.
La Tabla 4.3, importante también para el estudio del comportamiento del
sistema, es la que recoge la información de cada semáforo.
Tabla 4.3: Matriz de datos de semáforo 2
18,37 48 2 10 0 0,000 18,3723,78 62 3 14 1 0,225 24,0027,28 70 4 8 1 0,725 28,0036,84 92 5 0 0 0,000 36,8437,37 94 6 34 1 0,628 38,0046,70 116 1 0 0 0,000 46,7051,08 125 2 49 1 0,925 52,0056,53 140 4 21 0 0,000 56,5356,91 142 3 9 0 0,000 56,91
Hora salida [min]
Hora llegada [min]
Tiempo luz roja [min]K Bus Carga bus Rojo/Verde
75
La Tabla 4.3 muestra la hora en que llega un bus al semáforo, el instante, el bus
que llega y su carga. Además, si al llegar al semáforo la luz es roja, la columna 5 toma
el valor 1 y si es verde el valor 0. La siguiente columna indica cuánto tiempo de roja
debe esperar el bus antes de partir. Por último, se computa la hora de salida de ese
bus.
A modo de ejemplo, se desarrollará la simulación para aproximadamente dos
horas de tiempo real. El sistema se encuentra discretizado, además, todas las
simulaciones que se realicen tendrán como criterio de detención el cumplir con una
cierta cantidad de instantes generados. Estos instantes tendrán un paso variable, por lo
que en cada simulación participarán un número diferente de personas, esto porque que
los tiempos involucrados serán distintos.
4.2 Optimización Mono-Objetivo
4.2.1 Enumeración Explícita
Como primer método de resolución para este problema de optimización se
desarrolla un control HPC en base a la estrategia expuesta en el capítulo anterior. Para
la optimización de la función objetivo se recurre a una resolución mediante
Enumeración Explícita, es decir, se plantean todas las acciones de control factibles para
el instante en que se quiere aplicar la acción, después se determinan, en base a éstas,
las acciones posibles en el instante siguiente, hasta completar el horizonte de
predicción designado. Con esto, se obtienen todas las combinaciones posibles de
acciones de control futuras:
( ) ( ) ( ) ... 1 -1uu k u k u k N⎡ ⎤⎣ ⎦+ +
Estas secuencias son evaluadas en la función objetivo, escogiéndose la mejor
acción y aplicando sólo la acción obtenida para el instante actual ( )u k . El problema de
76
este método es el esfuerzo computacional que implica simular todas las acciones de
control posibles para todo el horizonte de predicción. Además está la necesidad de
estimar la demanda en los instantes siguientes predichos.
Sin embargo, este algoritmo tradicional es perfeccionado, descartando de
inmediato acciones de control no factibles al momento de generar las posibles
acciones futuras; por ejemplo, si la próxima estación no permite la realización de
holding, station skipping o es un semáforo, no se estudia ninguna posible acción de
control para este instante.
Además, debido a lo reducido del sistema y a las restricciones de éste, las
posibles acciones de control en cada instante no son muchas, por lo que la resolución
mediante este método resulta ser, en efecto, adecuada. No obstante, si el sistema
crece o las restricciones se relajan, este método pierde validez si se busca optimización
en tiempo real ya que se tornaría muy ineficiente en términos de esfuerzo
computacional. Por lo tanto, se hace necesario el estudio de otros métodos de
resolución como el de Algoritmos Genéticos.
4.2.2 Algoritmos Genéticos
Para resolver este tipo de problemas resulta muy adecuado el uso de Algoritmos
genéticos ya que este método no necesita calcular el gradiente de la función objetivo,
por lo que se ve reducido el esfuerzo computacional, lo cual es ideal si se busca un
control en tiempo real. Además, este algoritmo se comporta muy bien en la resolución
de problemas con variables enteras-mixtas y características no lineales.
Una potencial solución del Algoritmo Genético es llamada individuo y
corresponde a secuencia de posibles acciones de control. Cada elemento de este
individuo representa a un gen y el largo de individuo corresponde al horizonte de
predicción Np , es decir, un individuo queda representado, al igual que en enumeración
explícita, por:
77
( ) ( ) ( ) ... 1 -1pu k u k u k N⎡ ⎤⎣ ⎦+ +
Considerando estas definiciones, las variables manipuladas quedan descritas
mediante:
0 30 60 90 0( ) , , , ,
1 1 1 1 0⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∈ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
u k
Donde el primer término representa la acción de holding y el segundo la acción
de station skipping. Así, para aplicar Algoritmos Genéticos en la optimización del
sistema se propone la siguiente codificación
0 30 60 90 01 , 2 , 3 , 4 , 5
1 1 1 1 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
El algoritmo genético otorga a los mejores individuos una mayor probabilidad de
ser elegidos como padres, y a través de su recombinación, asegura una buena
descendencia.
El procedimiento para la implementación de este algoritmo consta de los
siguientes pasos (Man et al.[29]):
1. Inicializar una población de individuos, i.e., crear un número entero de soluciones
factibles para el problema. Por ejemplo si se tiene un horizonte de predicción Np =5,
existen 55 posibles individuos, de los cuales no todos son factibles debido a las
restricciones anteriormente explicadas. En el ejemplo se tiene una población de N
individuos por generación, por lo tanto:
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⇔ ⇔ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 2 3 5Individuo 1Individuo 2 2 1 3 3 4Población ... ....
4 1 1 2 3Individuo N
i
78
Esto significa que, por ejemplo, para el individuo 1 el vector con las acciones de
control futuras es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
TIndividuo 1= 1 2 3 4
= 1 1 2 3 5
0 0 30 60 0
1 1 1 1 0
T
T
u k u k u k u k u k
Es decir, u(k) y u(k+1) corresponden a la no realización de holding ni station
skipping. En los instantes futuros k+2 y k+3 se realiza un holding de 30 y 60 segundos
respectivamente. Por último, en el instante k+4, se aplica station skipping.
2. El siguiente paso es evaluar la función de fitness para toda la población inicial
utilizando la función objetivo definida en la ecuación (3.12).
3. Se selecciona aleatoriamente los padres de la siguiente generación (diferentes
vectores con las acciones de control futuras). Siguiendo con este mismo ejemplo, si los
individuos 2 y 4 son elegidos padres:
4B2A 2B 4A
Individuo 2 Individuo 4
2 1 3 3 4 1 5 3 2 1
4. Se aplica el operador de crossover. Se debe fijar la probabilidad de que éste
ocurra y en qué parte del individuo deba ocurrir, este lugar puede ser fijo o aleatorio, en
este ejemplo, si se designa como lugar de crossover entre el tercer y cuarto gen se
obtiene:
4B2A 4A 2B
Nuevo Individuo 1 Nuevo Individuo 2
2 1 3 2 1 1 5 3 3 4
79
5. También se debe realizar el proceso de mutación, donde es necesario fijar la
probabilidad de ocurrencia de que algún gen de cada nuevo individuo cambie. Si ocurre
mutación, los nuevos individuos quedan de la siguiente manera:
↑ ↑
Nuevo Individuo 1 Nuevo Individuo 2
2 1 4 2 1 1 5 3 3 2
6. Con los nuevos individuos ya generados se evalúa el fitness de la función objetivo
para toda la población.
7. Se selecciona los mejores individuos respecto a la función objetivo.
8. Se reemplaza los individuos más débiles de la generación previa por individuos más
fuertes de la nueva generación obtenida en el paso 7.
9. Si el valor de la función objetivo alcanza un valor de tolerancia definido o si es que
se completa un número de generaciones designado se detiene el proceso (criterio de
detención) si no, se vuelve al paso 2. Como se desea realizar un control en tiempo real
lo mejor es utilizar como criterio de parada un número determinado de generaciones.
Por último, en este capítulo se resumió la metodología desarrollada para la
implementación de las estrategias de control HPC propuestas en el Capítulo 3.
Además, se desarrolló dos algoritmos de optimización mono-objetivo, los cuales
permitirán comprobar la eficacia de estas estrategias.
En el siguiente capítulo se analizarán los resultados obtenidos tras la
implementación de esta novedosa estrategia HPC.
80
5 Resultados
La estrategia propuesta es aplicada a un sistema simple como se presenta en la
Figura 5.1, que corresponde a un corredor de 8[km] con 10 estaciones uniformemente
distribuidas sobre una ruta que posee una flota de 6 buses. Además hay 2 semáforos,
uno ubicado equidistante entre los paraderos 2 y 3 y otro ubicado entre los paraderos 4
y 5, a 720[m] del paradero 4.
Bus 6
Bus 1
Paradero 1Paradero 10
Paradero 9
Paradero 2Semáforo i
Bus 2
Bus 6
Bus 1
Paradero 1Paradero 10
Paradero 9
Paradero 2Semáforo i
Bus 2
Figura 5.1: Sistema programado
Las acciones de holding se realizan en los paraderos 3 y 7 y las acciones de
station skipping pueden ser aplicadas en todas las estaciones. Además, se asume una
demanda dinámica en los paraderos desconocida, que sigue un proceso de Poisson. La
simulación programada es para un intervalo de tiempo de 2 horas.
Como se expuso en el Capítulo 3, la determinación de la flota óptima y del
intervalo de salida de los buses H óptimo, se obtiene a través de la demanda
81
acumulada en dos horas de simulación del día 25. A continuación, la Figura 5.2
presenta el histograma de demanda para este día.
12
34
56
78
910
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
Destino
Origen
Histograma de demanda día 25
Can
tidad
de
pasa
jero
s
Figura 5.2: Histograma de la demanda durante dos horas del día 25
El histograma de la demanda acumulada indica que los viajes más recurrentes son
entre los paraderos ubicados en la mitad del recorrido y en general los destinos de los
usuarios son 3 paraderos más allá de su origen. O sea, el mayor flujo y, por lo tanto, el
problema, estaría en las estaciones del centro.
A continuación, se examinan los resultados obtenidos tras la implementación de
Enumeración Explícita y Algoritmos Genéticos para el día 25.
82
5.1 Algoritmos de Solución para el Sistema con semáforos
5.1.1 Enumeración Explícita
Debido a que el sistema de transporte público que se utiliza para la simulación
de las estrategias de control desarrolladas anteriormente es pequeño, Enumeración
Explícita es una buena alternativa de resolución.
La Tabla 5.1 muestra el tiempo de espera, tiempo de viaje y tiempo total
promedio por persona, considerando diferentes ponderaciones en los pesos de la
función objetivo y distintos horizontes de predicción Np .
Para simplificar la notación, estos resultados son separados en casos; El sistema
sin control corresponde al caso OL mientras que los demás casos se dividen de
acuerdo a la ponderación asignada a los pesos de cada término de la función objetivo,
es decir, la ponderación que se le dé a 1 2 3, ,θ θ θ y 4θ .
De esta manera, los pesos asignados a cada término se escogen realizando un
análisis de sensibilidad, que determina dentro de qué valores estos términos empiezan
a influir en el comportamiento del sistema.
83
Tabla 5.1: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 9,26 9,60 18,87Np=2 5,06 9,90 14,96Np=5 4,35 9,96 14,31Np=10 4,61 10,11 14,72Np=2 5,49 9,41 14,90Np=5 5,69 9,40 15,09Np=10 5,78 9,70 15,48
Np=2 5,73 9,45 15,18Np=5 5,65 9,40 15,05Np=10 6,00 10,00 16,00Np=2 7,22 9,62 16,83Np=5 5,12 9,67 14,79Np=10 5,79 9,80 15,59
Np=2 5,44 9,54 14,98Np=5 5,00 9,83 14,83Np=10 4,91 9,76 14,67
Np=2 6,09 10,03 16,12Np=5 6,08 10,32 16,40Np=10 7,14 10,01 17,15
Np=2 6,09 10,03 16,12Np=5 6,59 10,19 16,79Np=10 6,76 9,46 16,22
Np=2 7,23 9,61 16,84Np=5 6,14 9,28 15,42Np=10 7,77 10,06 17,83
H
0-1-0-0
1-1-0.005-10
Tiempo de espera [min]
1-0-0-0
B 1-1-0-0
Horizonte de Predicción
C
Casos Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
Se puede observar que la implementación de esta estrategia HPC entrega una
disminución en el tiempo promedio total de usuarios de un 15% en comparación al
sistema sin control (OL). Además, se destaca una considerable mejora en el tiempo de
espera de pasajeros, el cual se ve reducido en un 20% en comparación con el tiempo
promedio de espera para el caso OL. Finalmente el tiempo de viaje empeora un 2%.
Estos resultados validan la implementación de la estrategia HPC.
Dado que al momento de optimizar cada función objetivo tiene pesos fijos, cada
combinación de pesos puede ser considerada como una función objetivo a optimizar
distinta. Con esto, cada caso tiene un horizonte de predicción óptimo diferente, por lo
que es importante sensibilizar en algún parámetro de sintonía para determinar cuál será
el Np óptimo en cada caso.
84
Esto se puede corroborar en los datos de la Tabla 5.1, por ejemplo, para el caso
D el horizonte óptimo de predicción resulta ser Np = 5, sin embargo, para el caso F el
horizonte que entrega mejores resultados es Np = 10.
De los resultados de la Tabla 5.1 también se desprende, en un primer análisis,
que el caso A, que tiene como objeto de optimización únicamente la minimización de
los tiempos “promedio” de espera de los pasajeros, es el que entrega mejores tiempos
“promedio” de espera y total por pasajero.
La Tabla 5.2 resume la cantidad de pasajeros afectada por los diferentes tiempos
de holding aplicados y de acciones de station skipping (Pax corresponde al número de
pasajeros afectados), además se detalla la cantidad de pasajeros que participan en el
sistema (Pax Totales). Estos pasajeros no son los mismos, ya que como se señaló al
momento de explicar la metodología de la programación, el período de simulación es
fijo y viene determinado por cuántos instantes se generen. Como las acciones de
control están cambiando en cada simulación, la cantidad de pasajeros que participan
cambia también.
Además, en la Tabla 5.2 se detalla la cantidad de veces que se aplica alguna de
estas acciones de control.
85
Tabla 5.2: Acciones de Holding y de Station Skipping Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
47 2 0 0 0 0 75 39 1157122 4 64 5 60 1 30 23 1379159 4 93 4 54 4 91 39 12900 0 13 1 277 17 92 20 129232 1 13 1 355 17 179 21 1385125 2 7 1 473 12 142 18 140434 1 20 2 302 15 130 18 131532 1 13 1 533 17 186 22 138532 2 128 3 388 13 208 19 138826 2 0 0 18 3 91 29 13990 1 14 2 6 2 221 50 1202
139 3 117 4 86 4 76 29 13540 0 0 0 0 2 94 31 12140 0 0 0 0 0 16 33 12760 0 0 0 0 0 105 25 14060 0 63 1 288 16 78 25 121912 1 121 3 348 7 156 35 131722 1 92 4 371 9 46 25 13430 0 68 2 276 15 78 25 121982 4 138 4 376 8 43 21 1403196 4 98 4 163 5 30 30 135510 1 0 0 18 3 96 30 13970 0 85 2 35 6 69 28 131030 2 73 3 84 4 33 25 1360
H
0-1-0-0
1-1-0.005-10
1-0-0-0
B 1-1-0-0
C
Casos Pax Totales
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
Analizando los resultados de la Tabla 5.2, se verifica la consistencia en cuanto a
la ponderación de los términos de la función objetivo. En el caso de ponderar con
valores más altos las penalizaciones por hacer holding (casos D y E) o station skipping
(casos F y G), se disminuye la cantidad de personas afectadas con la realización de
estas acciones de control.
A continuación, se presenta una tabla resumen con los porcentajes de personas
afectadas por las acciones de control. La abreviación %Ph indica el porcentaje de
personas afectadas por holding y %PSk corresponde al porcentaje de personas
afectadas por station skipping.
En la Tabla 5.3 también se muestran los tiempos de viaje promedio “extra” de las
personas: av(h2) indica el tiempo promedio de viaje “extra” para las personas que
realizan holding, mientras que la abreviación av(h1) es el tiempo promedio de viaje
86
extra para todas las personas involucradas en el intervalo de tiempo simulado, ambos
medidos en segundos.
Tabla 5.3: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
4 6 1 3018 2 9 5224 7 12 5022 7 20 8929 13 24 8443 10 33 7727 10 22 8342 13 36 8639 15 31 793 7 2 552 18 1 6925 6 14 550 8 0 00 1 0 00 7 0 029 6 24 8537 12 30 8136 3 29 8228 6 24 8442 3 32 7534 2 20 582 7 1 699 5 6 6914 2 9 69
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
av(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%Ph
H
0-1-0-0
1-1-0.005-10
1-0-0-0
B 1-1-0-0
C
Casos
En la Tabla 5.3 se puede apreciar la disminución de cantidad de personas
afectadas por las acciones de control al ponderar en mayor medida las penalizaciones
por holding y station skipping. Por ejemplo, para el caso D y E se observa que el
porcentaje de personas afectadas por holding disminuye al aumentar el valor de 4θ ,
ponderador de la penalización por realizar holding.
De la Tabla 5.3 también se deriva que las personas afectadas por holding
esperan un tiempo extra promedio av(h2) de 1 minuto. Mientras que estas acciones de
control traen como consecuencia para el sistema completo, un tiempo de espera extra
en el tiempo de viaje promedio de pasajeros av(h1) de 15 segundos.
87
A continuación, se presentan los intervalos tiempo entre salidas de los buses
( )iH k a lo largo de la simulación para el caso OL (sin control) y para los casos con
estrategias de HPC implementadas.
• Caso OL (Sin control)
En la Figura 5.3 se muestran los intervalos de tiempo entre las salidas de los
buses para cada paradero durante el periodo de simulación. La abscisa representa los
eventos asociados al paradero en particular y la ordenada corresponde al intervalo de
tiempo entre salidas de los buses ( )iH k para ese paradero, medidos en minutos.
El comportamiento más adecuado para un sistema de transporte público de
buses con estas características, es tal que estos intervalos sean lo más regulares
posible.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.3: Sin estrategia de control
88
En la Figura 5.3 se aprecian intervalos muy irregulares. A continuación, se
muestran los resultados obtenidos después de aplicar la estrategia de control HPC
desarrollada.
• Caso B
En este caso la función objetivo toma en consideración solamente los primeros
dos términos que corresponden a la minimización de los tiempos de espera promedio y
regularización de intervalos. No se considera las penalizaciones debido a las acciones
de control. El mejor resultado se obtiene con un horizonte de predicción 2Np = y los
intervalos obtenidos aparecen en la Figura 5.4.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.4: Estrategia de control HPC B
89
• Caso A
Esta estrategia sólo considera la minimización de los tiempos “promedio” de
espera, debido a que sólo minimiza los intervalos de tiempo entre buses ( )iH k por la
cantidad de personas en paraderos, no los tiempos efectivos de espera. No hay
ninguna restricción sobre la varianza que puedan sufrir estos tiempos. La siguiente
figura muestra los resultados con estrategia de control.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.5: Estrategia de control HPC A
De estos gráficos se puede concluir que a pesar de que la consideración del
primer término (asociado a minimizar tiempos promedio de espera) genera el mejor
resultado en cuanto a tiempos de espera (ver la Tabla 5.1 caso A) no necesariamente
entrega un mejor comportamiento global del sistema.
90
Por el hecho de considerar exclusivamente el primer término de la ecuación 3.9,
solamente se está realizando una minimización de los intervalos ( )iH k + por las
personas involucradas ( )kΓ + , en el fondo se está haciendo una minimización de los
tiempos “promedios” de espera, no de los tiempos de espera efectivos de las personas,
esto significa que la varianza que puedan tener estos “tiempos promedios de espera” no
es considerada.
• Caso C
Este caso sólo considera la regularización de los intervalos. De la Tabla 5.1 se
puede ver que los mejores tiempos de espera y de viaje obtenidos con esta
ponderación de pesos es un poco inferior a la obtenida con la combinación
correspondiente al caso B, que considera sólo los primeros dos términos de la función
objetivo. La Figura 5.6 representa el comportamiento de las salidas de los buses en los
distintos paraderos para el caso C.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.6: Estrategia de control HPC C
91
La Figura 5.6 revela que los intervalos se vuelven más regulares con la
implementación de esta estrategia. A continuación, se muestra un gráfico que resume la
desviación estándar de los intervalos ( )iH k + para los casos analizados anteriormente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7Desviación estándar de intervalos
Paradero
OLHPC BHPC AHPC C
Figura 5.7: Desviación estándar de intervalos por paradero5
De la Figura 5.7 y la Tabla 5.1 se puede inferir que el caso B es el que entrega
mejores resultados finalmente. Este caso toma en consideración los dos primeros
términos de la función objetivo: la minimización de los tiempos de espera y la
regularización de los intervalos.
La alternativa C, que sólo regulariza intervalos, es la que, según la Tabla 5.7,
genera intervalos más regulares, sin embargo, sus mejores tiempos de espera y de
viaje promedio no resultan ser tan óptimos como los mejores obtenidos con control HPC
tipo B (ver Tabla 5.1).
El caso A, que considera sólo la minimización de los tiempos promedio de
espera, a pesar de que en la Tabla 5.1 evidencia mejores resultados, al no regularizar
5 Resultados en ANEXO A tabla A.2
92
intervalos provoca que ciertos usuarios esperen muy poco y otras personas esperen
mucho, lo que no es bueno para el sistema, esto se ve reflejado en la Figura 5.7.
A continuación, se presenta los resultados obtenidos con la implementación de
algoritmos genéticos de solución.
5.1.2 Algoritmos Genéticos
El método de enumeración explícita, si bien entrega buenos resultados, tiene una
gran desventaja; mientras va aumentando el tamaño del sistema, el esfuerzo
computacional necesario para resolver el problema de optimización aumenta
considerablemente, por lo tanto, resulta imprescindible explorar algoritmos de
resolución más adecuados.
En el Capítulo 4 se describe la metodología utilizada para la implementación de
este algoritmo genético de solución y a continuación se detallan los resultados
obtenidos a través de la Tabla 5.4.
93
Tabla 5.4: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 9,26 9,60 18,87Np=2 6,60 9,50 16,10Np=5 6,20 9,53 15,73Np=10 6,03 9,48 15,51
Np=2 5,58 9,73 15,31Np=5 5,71 9,76 15,47Np=10 6,84 9,38 16,22
Np=2 6,02 9,68 15,70Np=5 5,98 9,59 15,57Np=10 6,05 10,07 16,12
Np=2 6,62 9,29 15,91Np=5 6,43 9,59 16,02Np=10 6,74 9,54 16,28
Np=2 6,05 9,69 15,74Np=5 5,99 9,29 15,28
Np=10 5,32 10,03 15,35
Np=2 6,09 9,65 15,74Np=5 6,21 10,02 16,23Np=10 7,14 9,89 17,03
Np=2 6,98 10,07 17,05Np=5 7,44 10,57 18,01Np=10 6,01 9,90 15,91
Np=2 7,56 9,73 17,29Np=5 6,89 9,36 16,25Np=10 7,93 10,34 18,27
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
H
0-1-0-0
1-1-0.005-1
Tiempo de espera [min]
1-0-0-0
B 1-1-0-0
Horizonte de Predicción
C
Casos
Como se puede apreciar en la Tabla 5.4 y en las siguientes dos tablas, la
implementación del Algoritmo Genético entrega resultados bastante similares a la
enumeración explícita.
La mejora respecto al sistema sin control OL resulta considerable. Hay una
disminución en el tiempo promedio total para los usuarios de alrededor de un 14%,
mientras que los tiempos de espera son reducidos en promedio un 30% y el tiempo de
viaje empeora un 1%. Valores muy similares al 15% de disminución del tiempo total y al
35% de disminución en los tiempos de espera y aumento en un 2% del tiempo
promedio de viaje para usuarios, resultados obtenidos mediante enumeración explícita,
lo que valida este algoritmo de resolución.
Sin embargo, al comparar las Tablas 5.1 y 5.4 se observa que los resultados
obtenidos para cada caso resultan un tanto más deficientes que los obtenidos con
94
enumeración explícita, esto debido a que los métodos de resolución mediante
algoritmos genéticos entregan sub-óptimos.
En la Tabla 5.5 se presentan las acciones de control aplicadas en cada
estrategia HPC implementada, de donde se puede ver que la cantidad de acciones de
control, al igual que en el caso de enumeración explícita, se ve influenciada por la
penalización que se le este dando.
Tabla 5.5: Acciones de Holding y de Station Skipping
Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
50 1 111 4 144 7 93 13 1447125 2 71 4 85 5 109 16 147254 2 96 6 62 4 131 18 1457
0 0 72 1 372 11 96 19 13800 13 9 2 427 13 191 23 1378
261 10 177 9 264 7 280 25 137135 2 25 1 340 16 190 17 132437 2 17 1 498 18 152 19 135437 2 143 4 289 20 298 23 13870 0 0 0 35 6 240 19 140934 3 12 1 14 1 187 22 1380112 2 2 1 74 2 189 23 1359
0 0 0 0 0 0 69 25 13700 1 18 1 42 1 123 17 1440
0 0 22 1 31 2 96 19 1380
0 0 8 1 201 13 56 16 135976 4 222 8 356 44 101 24 1215136 11 277 9 228 11 127 17 1337
89 5 129 21 290 32 56 23 1295144 10 73 7 369 31 97 21 1370134 7 180 16 322 16 89 17 1382
15 1 14 1 76 3 82 23 134113 3 34 2 103 4 51 25 132854 5 21 1 40 3 23 31 1348
H
0-1-0-0
1-1-0.005-1
1-0-0-0
B 1-1-0-0
C
Casos Pax Totales
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
De la Tabla 5.5 se desprende que al considerar una mayor penalización al
aplicar holding, casos D y E, se castiga en mayor medida el realizar esta acción lo cual
se refleja en la disminución de la aplicación de esta estrategia, en desmedro de la
minimización de los tiempos de espera, resultados coincidentes con los de la Tabla 5.2
en donde se aplica enumeración explícita. Estos mismos resultados se ven reflejados
95
en las acciones de station skipping, al penalizar más esta estrategia la aplicación de
esta disminuye.
La Tabla 5.6 presenta valores estadísticos sobre las acciones de control
aplicadas en cada estrategia HPC.
Tabla 5.6: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
21 6 15 6919 7 11 5615 9 9 61
32 7 27 8532 14 28 8951 20 31 6030 14 25 8341 11 35 8534 21 26 762 17 2 904 14 2 5014 14 7 54
0 5 0 04 9 3 81
4 7 3 78
15 4 14 8954 8 39 7348 9 31 64
39 4 28 7243 7 31 7246 6 32 698 6 6 7711 4 9 789 2 5 56
H
0-1-0-0
1-1-0.005-1
1-0-0-0
B 1-1-0-0
C
Casosav(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%Ph
F 1-1-0-1
G 1-1-0-10
A
D 1-1-0.005-0
E 1-1-1-0
En la Tabla 5.6 se ven manifestados los resultados anteriores. Los porcentajes
de personas afectadas por las acciones de control están determinados por el grado de
penalización que se les dé, al igual que la Tabla 5.3 que resumía estos mismos
resultados pero con Enumeración Explícita.
Con resolución mediante algoritmos genéticos se observa que av(h2), el tiempo
promedio de viaje extra para las personas que realizan holding, es de 70 segundos,
versus los 60 segundos que se obtienen con enumeración explícita. En cuanto a av(h1),
el tiempo promedio de viaje extra para todas las personas involucradas en el intervalo
96
de tiempo simulado, toma un valor promedio de 17 segundos versus los 15 segundos
obtenidos con enumeración explícita. Todo esto es esperable, ya que este método de
optimización resulta ser sub-óptimo, pero igualmente efectivo.
Se puede decir concluir que la resolución del problema de control HPC
implementado con Algoritmos Genéticos entrega una solución muy similar a la que
entrega el método de Enumeración Explícita.
Por otro lado, es importante señalar, respecto a la simulación implementada, que
la modelación analítica desarrollada en el Capítulo 3 no considera la existencia de los
semáforos, sin embargo, esta perturbación es incluida en el simulador con el propósito
de que en trabajos futuros se indague en estrategias de coordinación dinámica de
semáforos. En este trabajo de memoria se evaluó el desempeño del controlador
sometido a dos escenarios. El primero, con semáforos, en el cual se pone a prueba el
modelo frente a esta considerable perturbación. En el segundo, sin semáforos, para
analizar los efectos de las acciones de control en los tiempos de viaje de los pasajeros.
5.2 Sistema sin semáforos
La inclusión de semáforos afecta en forma directa el tiempo de viaje de los
usuarios, por lo que las realizaciones anteriores no permiten dimensionar los efectos del
holding y station skipping en estos tiempos de viaje.
A continuación, se presentan los resultados obtenidos tras la eliminación de esta
perturbación y utilizando como método de resolución Enumeración Explícita.
Primero se muestra el sistema sin ninguna acción de control efectuada a través
de la Figura 5.8, donde se detallan los intervalos de tiempo transcurrido entre las
salidas de los buses en cada paradero, es decir, los intervalos ( )iH k .
97
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.8: Sin estrategia de control
Se observa un comportamiento muy irregular en las salidas de los buses en
todos los paraderos, especialmente en los últimos instantes de la simulación. El
comportamiento es muy similar al obtenido en el sistema anterior sin control (comparar
con Figura 5.3).
La idea de un control adecuado es que, además de disminuir tiempos de espera
y de viaje, se logre regularizar estos intervalos. A continuación, la Tabla 5.7 resume los
resultados obtenidos al eliminar estas perturbaciones del sistema y realizar un control
tipo B, es decir, considerando los primeros dos términos de la función objetivo,
asociados a minimizar tiempos de espera y a regularizar intervalos.
98
Tabla 5.7: Tiempos de viaje, espera y totales promedio de pasajeros Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 9,90 9,77 19,67Np=2 5,00 9,17 14,17Np=5 6,12 9,74 15,86Np=10 6,41 9,71 16,12
Np=2 5,60 9,15 14,75Np=5 5,43 9,25 14,68Np=10 5,58 9,18 14,76
Np=2 5,77 9,41 15,18Np=5 5,37 9,45 14,82Np=10 5,22 9,40 14,62
Np=2 6,50 8,93 15,43Np=5 5,88 8,83 14,71Np=10 5,58 9,62 15,20
Np=2 5,70 9,42 15,12Np=5 5,47 9,29 14,76Np=10 5,68 9,32 15,00
G 1-1-0-10
C 0-1-0-0
D 1-1-0.005-0
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
Tiempo de espera [min]
B 1-1-0-0
Horizonte de Predicción
Casos
A 1-0-0-0
La Tabla 5.7 revela una mejora considerable en los tiempos de espera de las
personas con la implementación de estas acciones de control. Esta mejora, al igual que
en el primer caso analizado (comparación con resultados de Tabla 5.1 casos
respectivos), es de aproximadamente un 40%.
Por otra parte, los tiempos de viaje se ven disminuidos, contrariamente a lo que
sucedía en el caso de control HPC con semáforos (comparar Tablas 5.1 y 5.7). En
todos los casos anteriores este tiempo era empeorado con las acciones de control, sin
embargo, al eliminar esta perturbación hay una mejora en el tiempo de viaje promedio
de un 5%, en contraste con el aumento de un 2% (Tabla 5.1).
Finalmente, los tiempos totales se ven mejorados en un 23%, mientras que para
el control con semáforos el mejoramiento era de sólo un 17% en promedio. Todos estos
resultados concuerdan con lo expresado anteriormente sobre el efecto directo de
semáforos en los tiempos de viaje de los usuarios.
A continuación, se revisa la cantidad de acciones aplicadas en los distintos
casos, a través de la Tabla 5.8.
99
Tabla 5.8: Acciones de holding y Station Skipping Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
0 0 0 0 8 2 75 34 126836 3 110 4 2 1 17 33 139743 2 48 4 250 7 9 24 1262
25 2 101 3 246 10 49 17 141615 1 41 3 290 8 75 19 1401171 4 77 4 143 8 14 24 135315 1 42 4 374 16 193 23 127281 2 66 3 394 13 128 12 141222 2 8 1 414 15 169 16 14330 0 0 0 80 7 41 13 1463
100 4 60 1 22 4 65 25 139889 4 8 2 103 6 25 34 13636 1 0 0 213 11 143 28 122422 2 41 3 290 8 71 17 1387244 5 24 3 138 8 51 23 1388
G 1-1-0-10
C 0-1-0-0
D 1-1-0.005-0
Pax Totales
B 1-1-0-0
Casos
A 1-0-0-0
Respecto a la Tablas 5.8 y 5.9, se puede decir que el comportamiento se
mantiene igual que para los casos de control HPC con semáforos. Al igual que en
resultados anteriores, la cantidad de acciones de control efectuadas y gente afectada
por éstas, está directamente relacionada con la penalización que se les asigne
(comparar Tablas 5.8 y 5.9 con Tablas 5.2 y 5.3, considerando casos respectivos).
Tabla 5.9: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
1 6 1 9011 1 6 5327 1 21 78
26 3 20 7825 5 21 8429 1 17 5834 15 29 8538 9 30 7731 12 27 865 3 5 9013 5 6 4715 2 9 6218 12 16 8825 5 21 8329 4 15 52
G 1-1-0-10
C 0-1-0-0
D 1-1-0.005-0
av(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%Ph
B 1-1-0-0
Casos
A 1-0-0-0
Respecto a la Tabla 5.9, se ratifica el funcionamiento adecuado del sistema. Por
ejemplo, en el caso D, si se penaliza esta acción de control con 0.005, el porcentaje de
usuarios afectados disminuye.
100
Para un análisis más profundo del comportamiento del sistema bajo control tipo
B, se presentan los intervalos de salida de los buses en cada paradero en Figura 5.19.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.9: Estrategia de control HPC B
Al comparar la Figura anterior con la Figura 5.8 (sin control) se puede comprobar
la mejora en cuanto a regularización de intervalos, dado que el sistema tiene un
comportamiento más estable. Para mayor claridad, se presentan las desviaciones
estándar de los intervalos ( )iH k para cada paradero en la Figura 5.10.
101
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6Desviación estándar de intervalos
Paradero
OPHPC B
Figura 5.10: Desviación estándar de intervalos por paradero6
En la Figura 5.10 se aprecia con mayor claridad que la varianza de los intervalos
disminuye al aplicar control. Además, si se compara esta figura con la figura 5.7, se
observa una mejora aún mayor que las mejoras anteriores. Esto resulta muy esperable,
ya que se le quitaron perturbaciones importantes al sistema.
5.3 Pruebas adicionales
Es importante señalar que estas pruebas adicionales fueron realizadas para el
sistema de transporte público con semáforos.
5.3.1 Comportamiento para distintas demandas
Como se mostró en la sección anterior, el controlador se comporta muy bien para
la demanda del día 25, día con que se determinó la flota óptima en el Capítulo 3. Es 6 Resultados en ANEXO tabla A.6
102
conveniente por lo tanto, estudiar el comportamiento del controlador para demandas de
otros días.
En otras palabras, aplicarle al sistema una perturbación diferente, con lo cual se
comprueba que el controlador posea la capacidad dinámica de controlar bajo diferentes
perturbaciones.
Así, se eligen al azar dos días con los cuales se pone a prueba el funcionamiento
del controlador. La resolución es obtenida a través de enumeración explícita y demanda
estimada.
• Día 10
La figura 5.11 corresponde al histograma de la demanda del día 10 para dos
horas de simulación, que es la utilizada en esta prueba.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
Destino
Origen
Histograma de demanda día 10
Can
tidad
de
pasa
jero
s
Figura 5.11: Histograma para la demanda durante dos horas del día 10
103
El histograma de la Figura 5.11 posee el mismo comportamiento que el
histograma de la Figura 5.2, ya que estas demandas son generadas con las mismas
tasas de llegada y la misma distribución.
La Figura 5.12 muestra el comportamiento de los intervalos de salida de los
buses en los distintos paraderos del sistema, con esta demanda y sin ninguna
estrategia de control implementada.
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.12: Sin estrategia de control HPC
Los resultados obtenidos tras aplicar la estrategia de control HPC implementada
para el caso B, es decir, considerando solamente la minimización de los tiempos de
espera y la regularización de los intervalos, se detallan en la Tabla 5.7.
104
Tabla 5.10: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 10,30 9,82 20,12
Np=2 7,68 9,85 17,53
Np=5 5,97 9,64 15,61Np=10 5,97 9,75 15,72
Casos
B 1-1-0-0
Horizonte de Predicción
Tiempo de espera [min]
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
Los resultados de la Tabla 5.10 indican que la estrategia implementada para el
día 25 también sirve para el día 10, sin embargo, los resultados no son tan
satisfactorios como para los obtenidos con el día con que se determinó la flota óptima y
su intervalo óptimo H .
Si se considera sólo el caso B de la Tabla 5.1 (tabla que contiene los resultados
con enumeración explicita para el día 25) se obtiene una mejora en el tiempo promedio
de espera de un 50%, mientras que el tiempo total promedio para los pasajeros es
mejorado en un 23% y el tiempo de viaje es empeorado con la acción de control en tan
sólo un 4%.
Al utilizar la misma estrategia HPC y el mismo intervalo óptimo obtenido para el
día 25, ahora para el día 10, se obtiene una mejora en el tiempo de espera promedio
para los pasajeros de un 37% y la mejora en el tiempo total es de un 20%, mientras que
el tiempo de viaje se mantiene.
Tabla 5.11: Acciones de Holding y de Station Skipping
Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
0 0 0 0 419 12 34 11 1438
26 1 114 3 372 10 75 23 145672 3 197 4 281 7 23 15 1369
Casos
B
Pax Totales
1-1-0-0
La Tabla 5.11 vuelve a verificar la consistencia de los resultados, se detalla la
cantidad de acciones de control aplicadas y la cantidad de personas afectadas.
105
Tabla 5.12: Valores estadísticos de acciones de control Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
29 2 26 9035 5 28 8040 2 29 71
av(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%PhCasos
B 1-1-0-0
Los resultados de la Tabla 5.12 son similares a los obtenidos en la Tabla 5.3
caso B. Los porcentajes de personas afectadas por station skpping %PSk resultan ser
menores para el día 10 (Tabla 5.12) en comparación al día 25 (Tabla 5.3 caso B),
mientras que los porcentajes de personas que realizan holding %Ph aumentan
levemente, entregando a fin de cuentas resultados muy parecidos.
Las tablas anteriores ratifican el funcionamiento adecuado del control. A
continuación, se presenta resultados con la demanda del día 15. Esto permite estudiar
la adaptabilidad del control a diferentes perturbaciones del sistema.
El mejor resultado para esta demanda se obtiene con 5Np = . A continuación, se
presenta el comportamiento de los intervalos.
106
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.13: Estrategia de control HPC B
Si se comparan las Figuras 5.12 y 5.13 se observa una mejora considerable en
cuanto a la regularización de intervalos en los distintos paraderos tras la aplicación de
la estrategia de control. Este resultado puede verse con mayor claridad a través de la
Figura 5.14, donde se analiza la desviación estándar de los intervalos con la utilización
de este método de control y sin control.
107
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7Desviación estándar de intervalos
Paradero
OLHPC B
Figura 5.14: Desviación estándar de intervalos por paradero7
En la Figura 5.14 se observa claramente la mejora en el comportamiento del
sistema tras haber aplicado la estrategia de control.
Además, si se comparan las Figuras 5.14 (aplicación de control HPC caso B para
día 10) y la Figura 5.7 (aplicación de control caso HPC B para día 25) se observan
comportamientos muy similares en lo referente a las mejoras en los intervalos de salida
de buses en los distintos paraderos.
• Día 15
El histograma de la Figura 5.15 permite observar el comportamiento de la
demanda que se utiliza para la simulación.
7 Resultados en ANEXO A tabla A.3
108
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
Destino
Origen
Histograma de demanda día 15
Can
tidad
de
pasa
jero
s
Figura 5.15: Histograma de demanda para 2 horas de simulación para el día 15
El histograma de la Figura 5.15, que representa la demanda para el día 15,
presenta un comportamiento similar al obtenido para los días 25 y 10, por lo que es
coherente utilizar la misma estrategia HPC y el mismo intervalo de diseño que para el
día 25.
Los resultados obtenidos para los intervalos de salida sin la aplicación de ningún
control se presentan en la Figura 5.16.
109
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.16: Sin estrategia de control HPC
Se puede ver que las salidas de los buses en los distintos paraderos es muy
irregular, especialmente en los últimos paraderos y en los últimos instantes, lo cual es
negativo para el sistema.
La Tabla 5.13 resume los resultados tras aplicar en este sistema la estrategia de
control HPC caso B, es decir, considerando sólo la minimización de los tiempos
promedio de espera y la regularización de los intervalos.
Tabla 5.13: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 10,54 9,61 20,15
Np=2 6,10 9,99 16,09Np=5 5,89 10,34 16,23Np=10 7,30 10,66 17,96
Tiempo de espera [min]
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
Casos
B 1-1-0-0
Horizonte de Predicción
110
Si se compara la Tabla 5.13 con las Tablas 5.3 caso B (día 25) y 5.10 (día 10),
las mejoras obtenidas son similares. El tiempo de espera es mejorado en alrededor de
un 40%, el tiempo de viaje empeora un 7% y finalmente la mejora en el tiempo total de
viaje es de un 20%.
Tabla 5.14: Acciones de Holding y de Station Skipping Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
30 1 0 0 329 13 27 23 140730 2 14 1 324 9 25 28 1397153 6 28 1 538 8 28 26 1431
Pax TotalesCasos
B 1-1-0-0
Tabla 5.15: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
26 2 22 8526 2 22 8450 2 38 76
av(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%PhCasos
B 1-1-0-0
Consecuentemente con los resultados obtenidos para el día 10, para el día 15 se
observa un control efectivo del sistema y resultados similares a los obtenidos para el
día 25. Los mejores resultados en la salida de buses mejoran según la figura 5.17.
111
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.17: Estrategia de control HPC B
En la figura 5.18 se compara la desviación estándar de los intervalos de salida
para el sistema con y sin control.
112
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7Desviación estándar de intervalos
Paradero
OLHPC B
Figura 5.18: Desviación estándar de intervalos por paradero8
La Figura 5.18 evidencia la mejora en la regularización de intervalos. Además, si
se compara con las Figuras 5.7 y 5.14 caso B, se puede esperar un desempeño similar
de la estrategia bajo diferentes demandas, lo que le otorga generalidad al control
desarrollado.
Finalmente, sobre el comportamiento del control HPC aplicado a otras
demandas, se concluye que es igualmente efectivo pero para demandas con
comportamiento similares. Los histogramas de las Figuras 5.2, 5.11 y 5.15 tienen
comportamientos similares, ya que están generados con la misma distribución.
Claramente, la regularización de intervalos está asociada a la demanda por medio del
intervalo de diseño H , por lo que no tiene sentido aplicar esta estrategia de control a
demandas con otro tipo de distribución.
5.3.2 Aplicación de holding en todas las estaciones
El siguiente análisis tiene la finalidad de estudiar posibles mejoras en el control
desarrollado a través de la posibilidad realizar holding en todas las estaciones, 8 Resultados en ANEXO tabla A.4
113
recordando que los resultados anteriormente obtenidos son para holding en las
estaciones 3 y 7 solamente. A este control, siguiendo con la notación anterior, se
designará como caso I.
Tabla 5.16: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 9,26 9,60 18,87Np=2 5,79 9,98 15,77Np=5 6,21 10,02 16,23Np=10 6,75 10,49 17,24
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total [min]
1-1-0-0
Casos
I
Horizonte de Predicción
Tiempo de espera [min]
La Tabla 5.16 muestra los resultados obtenidos cuando es posible realizar
holding en todas las estaciones. El tiempo de espera mejora en un 33%, el tiempo de
viaje aumenta en un 6% y el tiempo total disminuye un 14%. Este caso se podría
comparar con el caso B de la Tabla 5.1, ya que ambos consideran únicamente los dos
primero términos de la función objetivo.
Con el caso B de la Tabla 5.1 se obtenía una mejora en los tiempos de espera
de un 50%, superior al 33% aquí obtenido. El tiempo de viaje es empeorado aún más al
hacer holding en todas las estaciones, aumentando a un 6% en comparación con el 4%
obtenido al hacer holding en sólo dos estaciones. Respecto al tiempo total promedio por
pasajero, los resultados anteriores (Tabla 5.1 caso B) indicaban una mejora de un
23%, mientras que el caso I entrega una disminución en el tiempo total de un 13%. En
consecuencia, todos estos nuevos valores resultan inferiores a los obtenidos con
menos holding, sin embargo, aún falta analizar el comportamiento de los intervalos de
salida de los buses.
A continuación, la Tabla 5.17 resume la cantidad de acciones de control
aplicadas con esta nueva estrategia.
Tabla 5.17: Acciones de Holding y de Station Skipping
Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
89 4 42 12 583 47 91 20 138196 5 32 10 398 44 101 24 121534 13 21 4 747 37 81 18 1327
Pax Totales
Casos
I 1-1-0-0
114
Si se comparan los resultados de la tabla anterior con la Tabla 5.2 caso B, se
revela el aumento de las acciones de holding al modificar este parámetro de control.
Esto se aprecia de mejor manera en la Tabla 5.18, donde se dan a conocer algunas
estadísticas obtenidas.
Tabla 5.18: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
52 7 42 8143 8 33 7760 6 52 87
Casos
I 1-1-0-0
av(h2) [s]av(h1) [s]%PSk%Ph
Al comparar la Tabla 5.18 con la Tabla 5.3 caso B, se observa claramente el
efecto de esta medida de control. El porcentaje de personas afectadas por el holding al
aplicarlo en estaciones seleccionadas (Tabla 5.3 caso B) es en promedio un 30%,
mientras que con esta modificación se ven afectadas el 52% de las personas, un valor
considerable tomando en cuenta que es una acción de control que disgusta a los
usuarios.
Estos resultados indican diferencias entre aplicar holding en algunas estaciones
o en todas.
La Figura 5.19 presenta el comportamiento de los intervalos de salida de los
buses para ver si es que desde este punto de vista, la realización de holding en todas
las estaciones ayuda a la regularización de intervalos.
115
0 5 10 150
10
20Paradero 1
0 5 10 150
10
20Paradero 2
0 5 10 150
10
20Paradero 3
0 5 10 150
10
20Paradero 4
0 5 10 150
10
20Paradero 5
0 5 10 150
10
20Paradero 6
0 5 10 150
10
20Paradero 7
0 5 10 150
10
20Paradero 8
0 5 10 150
10
20Paradero 9
0 5 10 150
10
20Paradero 10
Figura 5.19: Con estrategia de control HPC I
Se puede ver que los intervalos son muchísimo más regulares que los obtenidos
anteriormente. Si se comparan las desviaciones estándar previas con las obtenidas se
ratifica la mejora en cuanto a regularización de intervalos.
116
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6Desviación estándar de intervalos
Paradero
OL
HPC B
HPC I
Figura 5.20: Desviación estándar de intervalos por paradero
A pesar de que los intervalos son mucho más regulares no hay que olvidar que
los tiempos de espera, de viaje y totales promedio no son tan buenos como los que se
obtienen con el control HPC B.
Después de todo el análisis realizado, la aplicación de holding en todas las
estaciones mejora considerablemente la regularización de intervalos, sin embargo, no
hay que olvidar que esta estrategia es muy penalizada por los usuarios.
5.3.3 Variación de frecuencia óptima
El siguiente estudio tiene como finalidad investigar el comportamiento del control
HPC implementado para el sistema, si la frecuencia óptima determinada en un principio
resulta no ser tal.
En el Capítulo 3 se determinó un intervalo óptimo de diseño 6H = , ahora se
varía este valor a uno menor 5H = y uno mayor 7H = .
117
En la Tabla 5.19 se presentan los resultados obtenidos tras estas
modificaciones. El horizonte elegido es 2Np = y el control se realiza tomando en cuenta
los primeros dos términos de la función objetivo, es decir, el caso B.
Tabla 5.19: Tiempos de espera, viaje y totales promedio por pasajero Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
OL Open Loop 9,26 9,60 18,86
H=5 6,36 9,47 15,83H=6 5,49 9,41 14,90H=7 5,33 9,88 15,21
Tiempo de espera [min]
Tiempo de viaje [min]
Tiempo Total[min]
Casos
B 1-1-0-0
Intervalo de diseño
Los resultados de la tabla anterior resultan ser aceptables, sin embargo, el
menor tiempo de espera se obtiene con H =6 (determinado en el Capítulo 3 como
óptimo).
Tabla 5.20: Acciones de Holding y de Station Skipping
Factores de Peso Holding 30[s] Holding 60[s] Holding 90[s] Station Skippingθ1−θ2−θ3−θ4 Pax Veces Pax Veces Pax Veces Pax Veces
12 1 45 2 80 5 160 39 12130 0 13 1 277 17 92 20 12920 0 8 1 299 11 129 31 1336
Pax Totales
Casos
B 1-1-0-0
De la Tabla 5.20 se destaca que el tipo de holding que se realiza depende del
intervalo de diseño. Al escoger un intervalo menor al determinado se esta obligando al
sistema a realizar períodos de holding de menor duración, ya que se necesita que los
buses se muevan más rápido para así tener frecuencias de salidas mayores. Por el
contrario, si el intervalo elegido H , es superior al de diseño, el holding de 90 segundos
se vuelve más recurrente. Este comportamiento se ve también reflejado en la Tabla
5.21.
Tabla 5.21: Valores estadísticos de acciones de control
Factores de Pesoθ1−θ2−θ3−θ4
11 13 8 7522 7 20 8923 10 21 89
Casos%Ph %PSk
av(h1) [s]
av(h2) [s]
B 1-1-0-0
118
La Tabla 5.21, al igual que la 5.20, evidencia leves cambios en las acciones de
control, por lo que en general el comportamiento es muy parecido. Así, para tener una
mayor claridad sobre los resultados obtenidos, se presenta la Figura 5.21, donde se
comparan las desviaciones estándar para los distintos intervalos H utilizados.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6Desviación estándar de intervalos
Paradero
Sin ControlH=5H=6H=7
Figura 5.21: Desviación estándar de los intervalos por paradero
La tabla anterior viene a confirmar los análisis anteriores. El mejor resultado se
obtiene al tomar el H de diseño obtenido, sin embargo, el resultado al tomar 5H =
resulta ser muy parecido. Esto, porque al momento de realizar los cálculos en el
Capítulo 3 se determinó un H ofrecido de 5, pero un H demandado de 6, por lo que el
valor 5 resulta ser también muy razonable. Respecto al valor 7, se puede ver sus
valores se desvían un poco de los anteriores, incluso llegando en las estaciones
extremas a presentar un comportamiento mucho peor que para el caso sin control.
De este análisis se puede concluir que la determinación certera de este
parámetro resulta ser revelante al momento de implementar esta estrategia HPC.
119
5.4 Discusiones
5.4.1 Enumeración Explícita
Las diferentes pruebas realizadas tienen por objetivo adquirir un conocimiento
más profundo respecto al real comportamiento del control HPC desarrollado. Por
ejemplo, respecto al horizonte de predicción óptimo, éste permitió deducir que cada vez
que se cambian las ponderaciones de los términos de la función objetivo se está
optimizando una nueva función objetivo, por lo tanto, puede que para cierta función el
horizonte de predicción óptimo sea uno y para otra función objetivo el óptimo cambie.
Así, lo mejor es sensibilizar en torno a un peso determinado y encontrar qué horizonte
de predicción entrega mejores resultados para estos pesos específicos.
En relación a los gráficos logrados sobre los intervalos de salida de los buses,
éstos entregan bastante información sobre el comportamiento del sistema, y se pueden
observar mejoras considerables respecto a la regularización de intervalos. A
continuación, a modo de resumen se comparan soluciones para el paradero 3
(paradero en el cual se realiza holding).
0 5 10 150
10
20Paradero 3
P d 40 5 10 15
0
10
20Paradero 3
P d 4 a) Sin Control (OL) b) Con control HPC B ( 2Np = )
Figura 5.22: intervalos de salida de buses paradero 3
No se presentó en la figura anterior el control HPC I que entrega mejores
resultados debido a que los tiempos de viaje totales no son tan mejorados. Además,
esta estrategia (HPC B) resultaría más fácil de implementar en un sistema real.
120
Respecto a esto mismo, los esfuerzos computacionales en el caso de HPC I son un
poco mayores a los que requiere el control HPC B.
Considerando los resultados obtenidos al variar la frecuencia óptima de salida de
los buses H , se puede decir que, los efectos de determinar una frecuencia sub-óptima
para una red de transporte público derivan en resultados menos satisfactorios. Sin
embargo, se logra una mejora en comparación con la red de transporte público sin
control.
Finalmente, la eliminación de los semáforos incidió en la obtención de una mayor
mejora al aplicar las estrategias de control, no obstante, la inclusión de semáforos
además de ser una potencial herramienta de control, le entrega más poder de
generalización al sistema y en consecuencia, a la estrategia de control que se desee
implementar.
5.4.2 Algoritmos Genéticos
Aunque la optimización mediante Algoritmos Genéticos entrega soluciones sub-
óptimas, si el sistema aumentase de tamaño, se podría aplicar este método, realizando
previamente algunas mejoras con el fin de disminuir su tiempo de convergencia.
Respecto a la programación implementada, es importante sintonizar algunos
parámetros para la adecuada resolución del problema (determinar el número óptimo de
individuos, el número de generaciones, la probabilidad de crossover, etc).
La gran dificultad de la implementación de este algoritmo, está en el hecho de
que el modelo posea numerosas restricciones. Por ejemplo, si se baja una persona en
un paradero no se puede hacer station skipping, porque sólo algunas son estaciones de
holding; el llegar a un semáforo implica la generación de un nuevo evento, sin embargo,
no se puedan realizar acciones sobre él. Todo esto limita mucho el espacio de
soluciones factibles, por lo que cuando se generan las soluciones al azar, hay muchas
de éstas que no son factibles, y que por lo tanto deben ser eliminadas.
121
Así, se debe tener una cantidad de generaciones y de población grande para
converger a las soluciones óptimas, lo que trae como consecuencia esfuerzos
computacionales de consideración.
El algoritmo presentado no elimina de inmediato las soluciones no factibles, sin
embargo, les asigna un fitness muy pequeño, lo cual influye en que la probabilidad que
sean elegidos como padres sea prácticamente nula. No se eliminan de inmediato
debido a que puede que ellos estén muy cercanos a la solución óptima, por lo que no
es bueno descartarlos a priori.
Respecto a la mejora de este algoritmo, existen diversas maneras de
perfeccionarlo para que converja más rápido a la solución óptima, por ejemplo, que las
soluciones aleatorias pertenezcan al espacio de soluciones factibles; no obstante, se
consideró de menor importancia esta mejora, tomando en cuenta los alcances de esta
memoria.
5.4.3 Análisis computacional
Acerca de la implementación del modelo simple, la información histórica de la
demanda (información off-line) es complementada con la información de demanda on-
line para estimar la demanda futura. El estimador de demanda desarrollado para la
simulación programada resulta ser un tanto ineficiente en cuanto a esfuerzo
computacional requerido. Los tiempos computacionales utilizando demanda
desconocida y prediciéndola a través del estimador o utilizando la demanda futura como
conocida entregan, en promedio, los siguientes valores:
Tabla 5.22: Tiempo computacional de sistema
Demanda desconocida Demanda conocidaNp=2 2200 5Np=5 2700 20Np=10 3500 370
Tiempo computacional [seg]Horizonte de Predicción
El computador utilizado para las simulaciones es un Pentium M de 1.73 GHz y
520 RAM. De esta tabla se deduce que el tiempo computacional es mayoritariamente
122
producto de la estimación de la demanda y no como podría suponerse, de la resolución
por enumeración explícita.
Sin embargo, el modelo programado es pequeño. A medida que se aumente la
complejidad del sistema, la resolución por enumeración explícita se hará cada vez más
lenta. De ahí que la programación mediante Algoritmos Genéticos puede ser una muy
buena solución.
En el capítulo anterior se desarrolló un método de resolución con Algoritmos
Genéticos, no obstante, el modelo no resultó ser tan eficiente como se esperaba en
cuanto a esfuerzo computacional.
Si para la optimización del problema se utilizaba demanda desconocida, este
algoritmo demoraba demasiado en converger a una solución, por lo que se descartó
este análisis. A continuación, se presentan los tiempos computacionales con la
demanda conocida, análisis que sí se pudo realizar con éxito.
Tabla 5.23: Tiempo computacional del sistema
Enumeración explícita Algoritmos GenéticosNp=2 5 900Np=5 20 1200Np=10 370 1600
Horizonte de PredicciónTiempo computacional [seg]
De la tabla anterior se puede desprender que los resultados obtenidos con
Algoritmos Genéticos, considerando el tiempo computacional requerido, son
insuficientes, sin embargo, éstos pueden perfeccionarse ya que el algoritmo
implementado es muy básico y como se estudió en el capítulo de antecedentes, existen
numerosas técnicas para mejorar la rapidez de este algoritmo.
Lo importante de este desarrollo es comprobar que la solución con este algoritmo
es favorable. Si se compara los resultados obtenidos con enumeración explícita y con
Algoritmos Genéticos (Tablas 5.1 y 5.18), se puede ver que son muy similares.
123
Así, el gran aporte de este algoritmo genético implementado, comparado con
enumeración explícita, es que si la dimensión de la red de transporte aumenta, es decir,
se tienen más buses, paraderos, etc. Enumeración explícita pierde eficiencia y
algoritmos genéticos se vuelve un método de resolución mucho más ventajoso.
Ahora bien, como ya se cuenta con un algoritmo genético simple, la
implementación de un algoritmo de resolución Multiobjetivo resulta muy simple,
aplicando el desarrollo teórico del Capítulo 2 y realizando una pequeña modificación en
la programación ya implementada.
124
6 Conclusiones
El desarrollo de estrategias de control en tiempo real para resolver un problema
de optimización de un sistema de transporte público ha sido enfocado en la literatura
especializada de forma heurística y sin capacidad de control dinámico. En este trabajo
se desarrolló un modelo de transporte público que integra dos herramientas de control
conocidas por su efectividad: holding y station skipping. La estrategia diseñada
soluciona un problema de control del transporte público en tiempo real y demanda de
pasajeros desconocida, aprovechando la disponibilidad de información on-line.
Finalmente, el objetivo de este trabajo fue cumplido, se realizó una formulación
analítica para dos sistemas de transporte público bajo un enfoque de control predictivo
híbrido (HPC). El modelamiento dinámico de los sistemas permite optimización en
tiempo real utilizando datos históricos, como en el caso de la demanda, además de
datos on-line.
Se desarrolló una programación que permite estudiar experimentalmente el
comportamiento de una red de transporte público con un recorrido al aplicar una
estrategia de control. Esta misma programación permitirá, tras una modificación en
base al desarrollo analítico presentado en la Sección 3.1.2, que sea posible
implementar un sistema con transbordos sin dificultades.
125
El enfoque predictivo dado al problema permitió estimar los efectos de acciones
de control en el comportamiento futuro del sistema, además de permitir la inclusión de
restricciones para los modelos.
Del análisis desarrollado en el Capítulo 5 se obtuvo interesantes conclusiones
como por ejemplo, la importancia de tener un buen predictor de demanda, que además
de que entregue una buena estimación, requiera poco esfuerzo computacional.
Se pudo desarrollar e implementar un algoritmo genético con resultados similares
a Enumeración Explícita, a pesar de que requiere un esfuerzo computacional mayor.
Este algoritmo será más atractivo si el tamaño del sistema crece y enumeración
explícita se vuelve inmanejable en cuanto a su implementación.
De estos resultados también se desprende la importancia de regularizar
intervalos en torno al intervalo de diseño adecuado a la demanda. Como se pudo
comprobar, si se trabaja con otros intervalos, el control no resulta ser tan bueno.
Respecto a la aplicación de holding en todas las estaciones, a pesar de que
entrega intervalos más regulares, la mejora en cuanto a tiempos de espera y de viaje en
comparación con la realización de holding en estaciones seleccionadas no es relevante,
salvo que se penalice la realización de esta acción, ya que constituye una molestia
considerable para los usuarios.
Además, de este análisis de resultados, se puede concluir que los distintos
términos considerados en la función objetivo principal tienen un comportamiento
“potencialmente” Multiobjetivo, ya que ninguna de las soluciones encontradas es en
principio la mejor, sino que depende del objetivo que se busque.
Como se pudo comprobar a través de las distintas simulaciones desarrolladas, si
se tiene como objetivo primordial disminuir los tiempos promedio de espera de las
personas, se puede caer en una inestabilidad en el comportamiento del sistema, que se
ve reflejada en la gran variación que sufren los intervalos de salida de los buses. Esto
126
debido a que se están minimizando los tiempos de espera promedio, no los efectivos.
De ahí que el segundo término, asociado a la regularización de intervalos, cobra
importancia.
Asimismo, si se busca un sistema que no afecte demasiado a los usuarios, los
términos de la función objetivo asociados a las penalizaciones de las acciones de
control deberán ser fuertemente considerados, a través de un análisis de sensibilidades
previo.
Con este estudio se puede concluir que la flexibilidad de la formulación propuesta
permite al controlador adecuarse a distintas políticas de servicio. Sin embargo, es
recomendable hacer un análisis de sensibilidad para obtener el horizonte de predicción
óptimo y así obtener mejores soluciones.
Finalmente, se puede concluir que a pesar de que el modelo implementado
mediante la programación en Matlab corresponde a un modelo de una red de transporte
público muy simple, se evidencia la conveniencia de la estrategia HPC formulada lo que
permitirá posteriores trabajos en base a esta perspectiva novedosa.
6.1 Trabajo futuro
• Optimización Multiobjetivo
Los resultados obtenidos con optimización mediante Algoritmos Genéticos,
indican que mediante pequeñas modificaciones al algoritmo desarrollado en el Capítulo
4 pueda llevarse a cabo la implementación de optimización Multiobjetivo. Además,
pueden incluirse más funciones objetivo, como por ejemplo, la minimización de costos
para usuarios o la minimización de costos para los operadores, objetivos que
generalmente estarán en contraposición.
127
• Implementación en Matlab del Sistema con Transbordos
Debido a transparencia de la programación implementada para el modelo con un
recorrido, la implementación de un sistema con una estación de transferencia con las
características del modelo analizado en este trabajo, resulta fácil de programar y
constituye un factor fundamental si se busca analizar la factibilidad de agregar
estaciones de transbordo en algún sistema.
• Estimación de la demanda
El gran inconveniente de esta implementación es la estimación de la demanda. El
hecho de utilizar tanto demanda off-line como on-line, a pesar de entregar mayor
precisión, requiere un enorme esfuerzo computacional, lo que va en desmedro del
control on-line que se desea realizar.
La formulación propuesta no depende de una metodología específica para
estimar la demanda, por lo que puede ser mejorada con técnicas más sofisticadas. Un
trabajo futuro adecuado es el estudio sobre métodos de estimación rigurosos y que no
requieran grandes tiempos computacionales.
• Semáforos como acciones de Control
En este trabajo se consideró a los semáforos como una perturbación medible, sin
embargo, la programación permite modificar el tiempo de ciclo de éstos, lo cual es una
potencial herramienta de control del sistema. Por ejemplo, en vez de hacer holding en
ciertos paraderos se podría colocar un semáforo aguas abajo de éste y cambiar los
tiempos de ciclo o reparto, de manera que si un bus está adelantado se detenga o si
está atrasado, que tenga preferencia. Ésto, desde el punto de vista de los usuarios, es
mejor visto que la realización de holding o station skipping.
128
• Agregar perturbaciones que representen condiciones de tráfico
Se puede generar un sistema más sustancioso, incluyendo velocidades de buses
que varíen en forma estocástica, emulando las condiciones de tráfico a la que están
sometidos en la realidad estos modos de transporte.
• Inserción de Estrategias de Control similares
Holding y station skipping son estrategias de control en tiempo real o para
interrupciones pequeñas, sin embargo existen otras estrategias de control para
interrupciones mayores o demandas desbalanceadas como el caso de Deadheading o
bucles, que consisten en inserción de buses.
Como se analizó en este trabajo, si no se está controlando con el intervalo
H óptimo de diseño, el control no resulta ser tan efectivo, por lo que se podrían insertar
buses momentáneamente con el fin de estabilizar el sistema y así mejorar la situación.
• Estrategias de Control en una Plataforma Adecuada
Una herramienta muy apropiada para este propósito es el software comercial de
microsimulación de tráfico Paramics, un software usado para la modelación de
movimiento y comportamiento de vehículos individuales en redes urbanas y carreteras,
el cual posee los siguientes programas que facilitan su manejo:
Paramics Modeller
Provee una visualización de redes de caminos y demandas de tráfico usando
una interfaz gráfica. Como entrada se tienen los datos geográficos y de viaje con los
cuales se simula el comportamiento de las líneas y de cada vehículo.
129
Paramics Processor
Configura y pone en marcha la simulación de tráfico en modo batch sin la
visualización de la red. Esto aumenta dramáticamente la rapidez de la simulación.
Paramics Analyser
Lee los datos de salida del modelo simulado y provee resultados que permiten
comparar posteriores simulaciones.
Así, la implementación de alguna de las estrategias de control desarrolladas con
el programa Matlab puede ser modificada para su utilización en esta plataforma de
simulación, la cual permite programación en C y C++.
130
7 Referencias [1] E. Sáez M., “Estrategias de Control Predictivo Híbrido en tiempo real para sistemas
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título de Ingeniero Civil Electricista, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad
de Chile, Julio 2007.
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[15] A. Sun y M. Hickman, “The Holding Problem at Multiple Holding Stations”, 9th
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[16] J. Zhao, S. Bukkapatnam, M. Dessouky, “Distributed Architecture for Real-Time
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132
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[20] Z. Knowles y D. Corne, “The Pareto archived evolution strategy: a new baseline
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[21] C.A.C Coello, “Handling preferences in evolutionary multiobjetive optimization, a
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[23] M. Farina, K. Deb y P. Amato, “Dynamic multiobjective optimization problems: test
cases, approximations and aplications, Evolutionary Computation, IEEE Transactions
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expensive multiobjective optimization problems”, Evolutionary Computation, IEEE
Transactions Vol. 10, Issue 1, pp. 50-66, Feb. 2006.
[26] C. Coello y R. Becerra, “Evolutionary Multiobjective Optimization using a Cultural
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133
[27] C. Cortés, M. Matamala y C. Contardo, “The Pickup and Delivery Problem with
Transfers: Formulation and Branch-and-cut solution method”, Preprint submitted to
Transportation Research Part B, 2006.
[28] C. Cortés y R. Jayakishnan. “Analytical modeling of stochastic rerouting delays for
dynamic multi-vehicle pick-up and delivery problems”. Proceeding of the Triennial
Symposium on Transportation Analysis (TRISTAN) V, Guadeloupe, French West Indies,
2004.
[29] K. Man, K. Tang, S. Kwong, “Genetic Algorithms, Concepts and Designs”. Springer,
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[30] L.B Zhang, C. Zhou, X.H. Liu, Z.Q. Ma, M. Ma, Y.C. Liang, “Solving multi objective
optimization problems using particle swarm optimization”, Evolutionary Computation,
Vol. 4, pp. 2400-2405, 2003.
134
ANEXO
A Tablas de gráficos
Tabla A.1: Flujos totales de pasajeros entre paraderos durante 2 horas.
Par 1- 2 Par 2 - 3 Par 3 - 4 Par 3 - 4 Par 4 - 5 Par 5 - 6 Par 6 - 7 Par 8 - 9 Par 10 - 11 Par 12 - 1343 129 220 435 789 1231 1318 1198 926 498
Flujo Total entre paraderos
Tabla A.2: Desviación estándar de salidas para cada control HPC
Sin Control Control B Control A Control C1 4,66 4,45 5,48 3,752 4,77 3,89 5,22 3,133 4,70 3,02 5,05 1,984 4,65 3,35 4,30 2,025 4,24 3,45 4,24 3,466 5,08 4,40 4,59 4,287 5,16 3,71 5,90 3,718 5,36 4,24 5,23 4,039 4,78 4,45 5,59 4,0610 4,56 4,46 5,33 3,95
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
Tabla A.3: Desviación estándar de salidas con y sin control
Sin Control Control B1 5,02 4,362 5,14 4,103 4,91 3,644 5,10 3,485 5,13 3,72
6 5,76 4,237 6,11 4,288 6,25 4,339 6,40 4,6010 5,12 4,46
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
135
Tabla A.4: Desviación estándar de salidas con y sin control
Sin Control Control B1 5,02 4,402 5,14 4,263 4,91 3,624 5,10 4,125 5,13 4,636 5,76 5,027 6,11 4,828 6,25 4,47
9 6,40 4,4910 5,12 4,35
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
Tabla A.5: Desviación estándar de salidas
Sin Control Control B Control I1 4,66 4,45 2,622 4,77 3,89 2,153 4,70 3,02 1,884 4,65 3,35 2,295 4,24 3,45 3,076 5,08 4,40 3,337 5,16 3,71 3,448 5,36 4,24 3,299 4,78 4,45 3,1410 4,56 4,46 3,01
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
Tabla A.6: Desviación estándar de salidas
Sin Control Control B1 5,19 3,052 5,38 2,813 5,26 2,164 4,84 2,975 4,36 3,576 5,14 3,127 5,37 3,338 5,98 3,779 5,57 3,1510 5,25 3,12
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
136
Tabla A.7: Desviación estándar de salidas
Sin Control H=5 H=6 H=71 4,66 4,34 4,45 5,21592 4,77 4,13 3,89 4,7783 4,70 3,26 3,02 3,61814 4,65 3,70 3,35 3,19295 4,24 3,59 3,45 2,95616 5,08 4,26 4,40 3,417 5,16 4,02 3,71 3,48738 5,36 4,06 4,24 4,15929 4,78 4,23 4,45 4,7982
10 4,56 4,14 4,46 5,1997
ParaderoDesviación Estándar de Salidas
