Universidad de los Andes-CODENSA

Programación Lineal y el Método Simplex.

Programación No Lineal y los Teoremas de Lagrange y Khun-Tucker.

IntroducciónLa programación matemática es una potente técnica de

modelado usada en el proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo se deben tener en cuenta:

1. Identificar las posibles decisiones a tomar.2. Determinar que decisiones resultan admisibles (Conjunto de

restricciones).3. Cálculo coste/beneficio de cada decisión (Función objetivo).

Cualquier problema de programación requiere identificar cuatro componentes básicos:

1. El conjunto de datos2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto

con sus dominios respectivos de definición.3. El conjunto de restricciones lineales del problema que

definen el conjunto de soluciones admisibles.4. La función lineal que debe ser optimizada.

Problema del TransporteCierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u1,…,um, desde cada uno de m orígenes, y recibirse en cantidades v1,…,vn, en cada uno de los n destinos. Determine las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, para conseguir minimizar el coste de envío.

1.Datos

m: el número de orígenes

n: el número de destinos

ui: la cantidad que debe enviarse desde el origen i

vj: la cantidad que debe ser recibida en el destino j

cij: el coste de envío de una cantidad de producto desde el origen i al destino j

2.Variables

xij: la cantidad que se envía desde el origen i al destino j. Se supone que las variables deben ser no negativas.

(1)

3.Restricciones: Las restricciones del problema son:

(2)

El primer conjunto de condiciones indica que la cantidad del producto que parte del origen i debe coincidir con la suma de las cantidades que parten de ese origen hasta los distintos destinos j=1,…,n.

El segundo conjunto de condiciones asegura que el total recibido en el destino j debe corresponder a la suma de todas las cantidades que llegan a ese destino y parten de los distintos orígenes i=1,…,m. Los grupos de restricciones presentados en (1) y (2) muestran las restricciones de las variables y del problema, respectivamente.

4.Función a maximizar

En el problema de transporte nos interesa minimizar los costos de envío (suma de los costos de transporte de todas las unidades). Es decir, se debe minimizar:

(3)

n1,...,j m;1,...,i ;0 ijx

m

1ijij

n

1jiij

n1,...,j ;vx

m1,...,i ;ux

m

i

n

jijijxcZ

1 1

Ejemplo – El Problema del Transporte:

Considérese el problema de transporte mostrado en la figura 1, donde m=3 orígenes, n=3 destinos, u1=2, u2=3, u3=4, v1=5, v2=2, v3=2.

Figura 1. Esquema del problema de transporte.

En este caso el sistema es

2

2

5

4

3

2

100100100

010010010

001001001

111000000

000111000

000000111

33

32

31

23

22

21

13

12

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x

CX

1,2,3ji, ;0 ijx

Las tres primeras ecuaciones establecen la conservación del producto en los tres orígenes y las tres últimas igualdades, la conservación del producto en los tres destinos.

Si se concretan los valores particulares:

Para los costos de envío, el problema consiste en minimizar:

El mínimo de la función objetivo es 14, que corresponde a:

123

212

321

c

333231232221131211 232232 xxxxxxxxxZ

202

021

002

X

Problema de la Planificación de la Producción

Un productor fabrica una pieza, cuya demanda varía en el tiempo, de acuerdo con la siguiente figura.

Figura 2. Gráfico de la demanda en función del tiempo.

El productor debe atender la demanda mensual siempre. En general cualquier problema de planificación admitirá diversas posibilidades que aseguren que la demanda es convenientemente atendida:

a) Producción variable: El fabricante puede producir cada mes el número exacto de unidades que le solicitan.

b) Producción Constante: El fabricante que debe atender una demanda que cambia con el tiempo puede producir por encima de dicho nivel en periodos de baja demanda y almacenar la sobreproducción para los periodos de demanda mayor.

Los problemas de esta naturaleza ilustran las dificultades que surgen cuando objetivos contrarios están presentes en e un sistema dado.

1. Datos

n: el número de meses a considerar

s0: la cantidad almacenada disponible al principio del periodo considerado

dt: el número de unidades (demanda) que se solicita en el mes t

smax: la capacidad máxima de almacenamiento

at: el precio de venta en el mes t

bt: el costo de producción en el mes t

ct: el costo de almacenamiento en el mes t

2. Variables

xt: el número de unidades producidas en el mes t

st: el número de unidades almacenadas en el mes t

3. Restricciones

La demanda dt en el mes t debe coincidir con el cambio en el almacenamiento ,

st-1–st, más la producción xt en el mes t; la capacidad de almacenamiento no puede excederse; y la demanda dt, almacenamiento st, y producción xt deben ser no negativas.

1

max

; 1,2,...,

; 1,2,...,

, 0

t t t t

t

t t

s x d s t n

s s t n

s x

4.Función a Optimizar

Una posibilidad consiste en maximizar el ingreso después de descontar los costes de la variación de la producción y los inventarios.

Otra posibilidad consiste en minimizar los costos de almacenamiento:

1

( )n

t t t t t tt

Z a d b x c s

1

n

t tt

Z c s

Ejemplo – El Problema de la Planificación de la Producción:

Considérese la función de demanda en función del tiempo mostrada en la siguiente tabla:

Tabla 1. Demanda en función del tiempo.

Supóngase que la cantidad almacenada inicialmente es s0=2. Entonces el sistema se transforma en:1

2

3

4

1

2

3

4

1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 3; , ; 1,2,3,4

0 1 1 0 0 0 1 0 6

0 0 1 1 0 0 0 1 1

s

s

s

sCx st xt o t

x

x

x

x

Donde el cero en la matriz de la derecha procede a restar la demanda para t=1 del almacenamiento inicial.

Si se maximiza el beneficio después de descontar los costos y los inventarios, y se toma at=3, bt=1, ct=1, el problema de optimización se convierte en:

Maximizar

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

Resolviendo este problema encontramos que el valor máximo es:

Lo que implica ningún almacenamiento.

1 2 3 4 1 2 3 436Z x x x x s s s s

1 2 3 4 1 2 3 426 para ( , , , , , , , ) (0,0,0,0,0,3,6,1)TZ x s s s s x x x x

Problema de la DietaSe conocen los contenidos nutritivos de ciertos alimentos, sus precios y la cantidad mínima diaria de nutrientes aconsejada. El problema consiste en determinar la cantidad de cada alimento que debe comprarse para satisfacer los mínimos aconsejados y alcanzar un precio total mínimo.

1.Datos

m: el número de nutrientes.

n: el número de Alimentos.

aij: la cantidad del nutriente i en una unidad del alimento j.

bi: la cantidad mínima del nutriente i aconsejada.

cj: el precio de una unidad del alimento j.

2.Variables

xj: la cantidad del alimento j que debe adquirirse.

3.Restricciones

Como la cantidad total de un nutriente dado i es la suma de las cantidades de los nutrientes en todos los alimentos y las cantidades de alimentos deben ser no negativas, entonces tenemos:

4.Función a Minimizar

En el problema de la dieta se esta interesado en minimizar el precio de la dieta:

Minimizar

Donde cj es el precio unitario del alimento j.

1

; 1,...,

0; 1,...,

n

ij j ij

j

a x b i m

x j n

1

n

j jj

Z c x

Ejemplo – El Problema de la Dieta:

Considere un caso con cinco nutrientes y con los mínimos aconsejados para los nutrientes digeribles (DN), proteínas digeribles (DP), calcio (Ca), y fósforo (Ph) dados en la siguiente tabla:

Tabla 2. Contenidos nutritivos de cinco alimentos

Las restricciones se convierten en1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

78.6 70.1 80.1 67.2 77.0 74.2

6.50 9.40 8.80 13.7 30.4 14.7

0.02 0.09 0.03 0.14 0.41 0.14

0.27 0.34 0.30 1.29 0.86 0.55

, , , ,

x

x

x

x

x

x x x x x

0

Supóngase que los precios unitarios de los alimentos son:

De este modo se tiene el siguiente PPL:

Minimizar

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

Con la solución de este sistema se obtiene la solución

1 2 3 4 51, 0.5, 2, 1.2, 3c c c c c

1 2 3 4 50.5 2 1.2 3Z x x x x x

0.793 en el punto (0,1.530,0,0.023,0)Z

Problema del Flujo en un a RedSupóngase una red de transporte (conducción hidráulica, ferrocarril, carreteras, etc.) a través de la cual se desea enviar un cierto material (aceite, grano, vehículos, mensajes, etc.) de un conjunto de nodos de la red, llamados nodos fuente, a un conjunto de puntos de destino, llamados nodos sumideros. Además de éstos, la red contiene nodos intermedios, donde no tienen lugar ni entradas ni salidas de material. Sea xij el flujo que va del nodo i al nodo j (positiva en la dirección ij ,y negativa en otro caso).

1.Datos

g: el grafo g=(N,A) que describe la red de transporte, donde N es el conjunto de nudos, y A es el conjunto de conexiones.

n: el número de nudos en la red.

fi: el flujo entrante (positivo) o saliente (negativo) en el nudo i

mij: la capacidad máxima de flujo en la conexión entre el nudo i y el j

cij: el precio de mandar una unidad del bien desde el nudo i al nudo j.

2.Variables

xij: el flujo que va del nodo i al nodo j

3.Restricciones: Las restricciones del problema son:

Imponiendo la condición de conservación del flujo en todos los nudos, y las restricciones sobre la capacidad de las líneas o conexiones, se obtienen las siguientes restricciones:

Restricciones de conservación del flujo(4)

Restricciones de capacidad de las líneas o conexiones(5)

donde i<j evita la posible duplicación de restricciones.

4.Función a minimizar: El precio total es:(6)

Así, debe minimizarse (6) bajo (4) y (5).

Las redes de abastecimiento de agua, los sistemas de comunicaciones, y otros, conducen a problemas de redes de transporte como el descrito aquí.

n1,...,i ;)( ij jiij fxx

ji ; ijijij mxm

ij

jiijxcZ

Ejemplo – El Problema de Flujo en Redes:

Considérese el problema de flujo en la red de la figura 3 donde las flechas indican los valores positivos de las variables del flujo.

Figura 3. Esquema del problema de transporte.

En este caso el sistema es

(7)

Donde se supone que

4

3

2

1

34

24

14

13

12

11100

10010

01001

00111

f

f

f

f

x

x

x

x

x

ji ;

ji ;

ijij

ijij

mx

mx

2)(7,-4,-1,- )f,f,f,(fy j,i ,4 4321 ijm

Supóngase además que . El problema de optimización es minimizar

Sometido a (7). Mediante el software adecuado puede obtenerse la siguiente solución:

Esta solución indica que existe un conjunto de infinitas soluciones, todas ellas proporcionando el mismo valor óptimo, Z=5.

ji, ;1 ijc

3424141312 xxxxxZ

10 ;

2

0

4

1

4

)1(

2

4

4

3

0

punto elen 5

34

24

14

13

12

x

x

x

x

x

Z

Problema de la Cartera de Valores

Un inversor es propietario de participaciones de varios valores. Mas concretamente es dueño de bi participaciones de los valores bursátiles Ai, i=1,2,..m. Los precios actuales de estos valores son vi. Considérese que se pueden predecir los dividendos que se pagarán al final del año que comienza y los precios finales de los diferentes valores bursátiles, esto es, Ai pagará di y tendrá un nuevo precio wi.El objetivo es ajustar la cartera, es decir, el número de participaciones en cada valor, de modo que se maximicen los dividendos

1.Datosm: el número de valores bursátiles

bi: el número actual de participaciones del valor bursátil i

vi: el precio actual del valor i por participación

di: el dividendo que se pagará al final del año en el valor bursátil i

wi: el nuevo precio del valor bursátil i

r: porcentaje mínimo r del valor actual de toda la cartera que no debe superarse en el ajuste

s: porcentaje mínimo del valor total actual que no debe superarse por el valor futuro total de la cartera, para hacer frente a la inflación

2.Variables

xi: el cambio en el número de participaciones del valor bursátil i.

3.Restricciones

Se deben asegurar ciertas condiciones que debe satisfacer una cartera bien equilibrada:

El número de participaciones debe ser no negativo

Exigimos que el capital asociado a todo valor concreto, después del ajuste, represente al menos una cierta fracción r del capital total actual de la cartera

i ix b

( ) ( ); i i i j j ji

r v b x v b x j

El capital total de la cartera no debe cambiar en el ajuste pues se supone que no se invierte dinero adicional

Para hacer frente a la inflación, el capital total en el futuro debe ser al menos un cierto porcentaje s mayor que el capital invertido actualmente:

4.Función a optimizar

Nuestro objetivo es maximizar los dividendos

La tarea se concreta al determinar el valor máximo de los dividendos sujeto a todas las restricciones anteriores.

0i ii

v x

( ) (1 )i i i i ii i

w b x s v b

( )i i ii

Z d b x

Ejemplo – El Problema de la Cartera de Valores:

Se tienen participaciones de tres valores bursátiles, 75 de A, 100 de B y 35 de C, con precios 20, 20 y 100 dólares, respectivamente. Se dispone de la siguiente información: A no pagará dividendos y alcanzará una nueva cotización de 18 dólares, B pagará 3 dólares por participación y la nueva cotización será 23 dólares, y C pagará 5 dólares por participación con una nueva cotización de 102 dólares. Si se toman los porcentajes r como 25 y s, 0.30, todas las restricciones se escriben como:

75

100

35

0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(75 )

0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(100 )

0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 100(35 )

20 20 100 0

18(75 ) 23(100 ) 102(35

A

B

C

A B C A

A B C B

A B C C

A B C

A B

x

x

x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x

) 1.03(7000)Cx

Después de varias simplificaciones , las restricciones anteriores se transforman en:

La solución obtenida es:

75

100

35

15 5 25 250

5 15 25 250

5 5 75 1750

20 20 100 0

18 23 102 270

A

B

C

A B C

A B C

A B C

A B C

A B C

x

x

x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

612.5 dólares y 12.5, 75, 17.5A B CZ x x x

Problema de Distribución de Energía

Los generadores de energía, así como las demandas de la misma se sitúan en una red energética. El objetivo de este problema consiste en decidir la energía a producir por cada generador de forma tal que se satisfagan las diferentes condiciones técnicas de la red y los generadores, así como las demandas, al mínimo coste.Cada línea de transmisión de una red de energía transmite energía de un bus a otro. La energía transmitida es proporcional a la diferencia de los ángulos de estos buses (de forma similar a que el agua que fluye en una tubería que conecta dos tanques es proporcional a la diferencia de alturas del agua en ambos). La constante de proporcionalidad tiene un nombre divertido ¨susceptibilidad¨. La potencia transmitida desde el bus i al j a través de la línea i-j es por tanto

(8)

donde Bij es la susceptibilidad de la línea i-j, y y los ángulos de los buses i y j, respectivamente. Por razones físicas, la cantidad de energía transmitida a través de una línea tiene un límite. Este límite está relacionado con consideraciones térmicas o de estabilidad. Por tanto, una línea energética debe ser operada de forma tal que su límite de transmisión no sea excedido.

)( jiijB

i j

Esta condición puede formularse como(9)

donde es la capacidad de transmisión de la línea i-j. Debe notarse que la potencia transmitida es proporcional a la diferencia de ángulos y no, a un ángulo dado. Por tanto, puede fijarse el valor de un ángulo arbitrario a 0, y tomarlo como origen. Es decir, para un bus arbitrario k:

(10)

Una consecuencia que se deriva de esta posibilidad de fijar arbitrariamente un origen es que los ángulos son variables no restringidas en signo. La potencia generada por un generador es una magnitud positiva limitada inferiormente, debido a las condiciones de estabilidad (de forma similar a la de un automóvil, que no puede moverse a una velocidad inferior a un cierto límite), y superiormente, debido a límites térmicos (similarmente a la de un automóvil que no puede moverse a más de una cierta velocidad máxima). Las restricciones anteriores conducen a:

(11)

donde pi es la potencia producida por el generador i, y y son constantes positivas que representan, respectivamente, el mínimo y el máximo de las potencias generadas por el generador i.

0k

ijjiijij PBP )(

ijP

iii PpP

iPiP

En todo bus, la potencia que entra debe ser igual a la potencia que sale (ley de la conservación de la energía), que puede escribirse como

(12)

donde es el conjunto de buses conectados a través de las líneas al bus i y Di la demanda asociada al bus i.Como se ha indicado anteriormente, la potencia transmitida a través de toda línea es limitada, por tanto

(13)

1.Datosn: el número de generadores. : la mínima energía de salida asociada al generador i. : la máxima energía de salida asociada al generador i.

Bij: la susceptancia de la línea i-j. : la capacidad máxima de transmisión de la línea i-j.

Ci: el coste de producir energía en el generador i. : el conjunto de buses conectados a través de líneas al bus i.

Di: la demanda asociada al bus i.

i ;)(

iij

jiij DpBi

i

i ,j ,)( i ijjiijij PBP

iP

iP

ijP

i

2.Variables

pi: la energía producida por el generador i.

: el ángulo del bus i.

3.Restricciones: Las restricciones de este problema son

(14)

4.Función a minimizar: El objetivo es minimizar el precio total de la producción de potencia

(15)

donde Ci es el precio de la producción del generador i, y n el número de generadores.

i

n1,2,...,i max;min

,...,2,1 ;j max;)(max

,..,2,1i ;)(

0

i

ii

ijjiijij

jiijiij

k

PpiP

niPBP

nDPBi

n

iii pCZ

1

Ejemplo – El Problema de Distribución de Energía:Considérese el sistema de la figura 4:

Figura 4. Esquema del problema de Distribución de Energía.

El generador del bus 1 produce un coste 6 y sus límites inferiores y superiores son, respectivamente, 0.15 y 0.6. El coste de producción del generador del bus 2 es 7 y sus límites de potencia son, respectivamente, 0.1 y 0.4. La línea 1-2 tiene una susceptancia 2.5 y un límite de transmisión máximo de 0.3, la línea 1-3 tiene una susceptancia de 3.5 y un límite de transmisión de 0.5, y, finalmente, la línea 2-3 tiene una susceptancia de 3.0 y un límite de transmisión de 0.4. Este sistema tiene una demanda simple localizada en el bus 3 con un valor de 0.85. Se considera un periodo de una hora, y se toma como origen el bus 3.

Este problema puede escribirse como:

minimizar

sometido a

Las variables de optimización son p1, p2, y .

La solución de este problema es:

La solución óptima requiere que el generador 1 produzca 0.565 y el generador 2 produzca 0.285.

21 76 pp

5.0)(5.35.0

4.0)(0.34.0

3.0)(5.23.0

4.010.0

6.015.0

85.0)(0.3)(5.3

0)(5.2)(0.3

0)(5.2)(5.3

0

31

32

21

2

1

3231

22123

11213

3

P

P

p

p

1 2

TT .117,0)(-0.143,-0 ,85)(0.565,0.2p ,385.5 Z

Introducción a la Programación Lineal

Problema de Programación Lineal (PPL): La forma mas general de un problema de programación lineal consiste en minimizar o maximizar:

Sujeto a:

donde p ,q y m son enteros positivos tales que . Solución Factible: Un punto

que satisface todas las restricciones se denomina solución factible. El conjunto de todas esas soluciones es la región de factibilidad.

n

jjjxcXfZ

1)(

n

jijij

n

jijij

n

jijij

bxa

bxa

bxa

1

1

1

1-1,2,...pi ,

1-1,2,...pi ,

1-1,2,...pi ,

mqp 1

),...,,( 21 nxxxX

Solución Óptima: Un punto factible tal que para cualquier otro punto factible X se denomina una solución óptima del problema.

Típicamente n es mucho mayor que m. Lo que distingue a un PPL de otros problemas de optimización es que todas las funciones que aparecen son lineales.

En un PPL la región factible es un Politopo o un Poliedro.

El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sin embargo, las condiciones de optimalidad garantizan por lo general óptimos locales. Sin embargo, los PPL presentan propiedades que hacen posible garantizar el óptimo global:

o Si la región factible esta acotada, el problema siempre tiene una solución (condición suficiente pero no necesaria).

o El óptimo de un PPL es siempre un óptimo global.o Si x e y son óptimos de un PPL, entonces cualquier

combinación lineal de ellos es también un óptimo. Nótese que una combinación lineal convexa de óptimos no cambia el valor de la función objetivo.

o La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la región factible.

X~

)~

()( XfXf

Ejemplo – Solución Única:

Maximizar

Sometido a

tiene por solución única Z=12, que se alcanza en el punto P=(3,3)

Figura 5. Ejemplo Solución Única.

213 xxZ

0

1

0

42

3

6

2

1

21

2

21

1

21

21

x

xx

x

xx

x

xx

xx

Ejemplo – Solución Múltiple:

Si la función objetivo del problema anterior se reemplaza por:

el problema tiene múltiples soluciones

Figura 6. Ejemplo Solución Múltiple.

En efecto, cualquier punto del segmento con extremos en los puntos (2; 4)T y

(3; 3)T da la solución óptima del problema (Z = 6).

213 xxZ

Ejemplo – Solución No Acotada:

Maximizar

Sometido a

tiene solución no acotada

Figura 7. Ejemplo No Acotada.

213 xxZ

0

1

0

2

1

21

2

21

x

xx

x

xx

Ejemplo – Solución No Factible:

Maximizar

Sometido a

No tiene solución factible porque la nueva restricción

no es compatible con las anteriores.

213 xxZ

021 xx

0

0

1

0

42

3

6

2

21

1

21

2

21

1

21

21

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

Problema en la Forma Estándar

Un PPL definido en la forma:

Minimizar

Sometido a

Se dice que está en forma estándar. Ello implica:

1. La función objetivo debe minimizarse.

2. las restricciones deben ser de igualdad.

3. El vector debe ser no negativo.

4. Las variables x deben ser no-negativas.

Cualquier problema puede ponerse en forma estándar.

XCZ T

ox

bAx

mb

Paso a un Problema de Minimización:

Un problema de maximización puede convertirse en uno de minimización cambiando el signo de la función objetivo. El problema:

Maximizar

es equivalente al problema

Minimizar

sometidos ambos a las mismas restricciones.

Paso a Variables No Negativas:

El conjunto de r variables no restringidas puede escribirse en función de otro conjunto de r + 1 variables no negativas:

De esta forma se añade una variable en vez del método usual de añadir r nuevas variables.

Paso a Restricciones de Igualdad:

Se puede conseguir usando variables de holgura:

XCZ Tmax

XCZ Tmax

rxx ,...,1

*** ,,...,1

xxx r

1,2,...ri ;** xxxii

o La desigualdad:

con , equivale a la igualdad

o La Desigualdad:

con , equivale a la igualdad

ininii bxaxaxa ...2211

01 nx

inninii bxxaxaxa 12211 ...

ininii bxaxaxa ...2211

01 nx

inninii bxxaxaxa 12211 ...

Ejemplos – Transformación a la Forma Estándar:o Maximizar

sometido a

Este problema en la forma estándar es

Minimizar

sometido a

o Maximizar

sometido a

321 532 xxxZ

0,

33

2

21

321

21

xx

xxx

xx

)(532 7621 xxxxZ

0,,,,,

3)(3

2

765421

57621

421

xxxxxx

xxxxx

xxx

313 xxZ

0

1

1

1

1

31

321

321

x

xx

xxx

xxx

Este problema en la forma estándar es

Minimizar

sometido a3313 zyxZ

0,,,,,,,

1

1

1

2133221

2331

133221

33221

uuzyzyx

uzyx

uzyzyx

zyzyx

El Método SimplexSea el PPL:

Minimizar

Sujeto a

Donde es una matriz de costos y A es una matriz de m x n.

El método simplex (MS) consta de dos etapas:

oEtapa de Iniciación El conjunto inicial de restricciones se transforma en otro

equivalente de igualdades, asociadas a una solución básica.

Los valores de las variables básicas se transforman en no negativos (se obtiene una solución básica factible). Esta etapa se llama reguladora.

xcxf T)(

,0

,0 ;

x

bbAx

Tncccc ),...,,( 21

oEtapa de Iteraciones EstándarEn esta etapa los coeficientes de la función de costo se

transforman en no positivos y el valor de la función de costo se mejora iterativamente, hasta obtener la solución óptima, se detecta solución no factible, o solución no acotada. En este proceso iterativo se obtienen diferentes soluciones factibles. Para este fin se utiliza la llamada transformación elemental de pivotaje.

Fase de Iniciación: Una de las peculiaridades del SM consiste en incorporar una nueva variable Z, igual a la función objetivo del problema, y la restricción asociada

Las restricciones son

Y la función objetivo

Donde (B N) es una partición de la matriz A, y XB y XN definen otra partición de x, en variables básicas y no básicas, respectivamente.

nnxcxcZ ...11

bx

xNB

N

B

) (

N

BTN

TB

x

xccZ

1

)0(

Usando la ecuación de restricciones podemos obtener

donde

Ahora, de la ecuación de la función objetivo y la anterior ecuación obtenemos

donde

Para obtener

NNB

NB

UxvNxBbBx

bNxBx

11

NBU

bBv1

1

N

NTN

TB

TB

NTNN

TB

wxuZ

xcUcvcZ

xcUxvcZ

0

)(

)(

TN

TB

TB

cUcw

vcu

0

NB xUv

wu

x

Z 10

El MS comienza con el conjunto de restricciones

Donde es una partición del conjunto de variables . Las matrices

se obtienen resolviendo las restricciones en xB

donde son los coeficientes de costo asociados a xB y xN, respectivamente.Podemos entonces obtener un nuevo conjunto equivalente de restricciones con la misma estructura

donde t se refiere al número de la iteración y t=0 es la iteración inicial.

NNB x

Z

xUv

wu

x

ZT

11)0(

)0()0(

)0()0(

0

NB xx nxxx ,...2,1

)0()0( y Uv

TN

TB

TB cUcwVCU )0()0()0()0( ,

TNcy T

Bc

)(

)(

)()()(

)()(

)(

)( 110

t

t

ttt

tt

t

t

NN

T

Bx

Z

xUv

wu

x

Z

Programación No LinealEl problema más general de programación no lineal (PPNL), puede plantearse como:

Minimizar

Sujeto a

En forma compacta el modelo anterior puede escribirse:

Minimizar

Sujeto a

),...,( 1 nxxfZ

0),...,(

0),...,(

0),...,(

0),...,(

1

11

1

11

nm

n

nl

n

xxg

xxg

xxh

xxh

)(xfZ

0)(

0)(

xg

xh

Donde es el vector de las variables de decisión, es la función objetivo, y y , donde y

son las restricciones de desigualdad y de igualdad, respectivamente.

La figura 8a muestra que el mínimo del problema se alcanza en el conjunto de puntos en los que la tangente es horizontal.

Figura 8. Mínimos Locales y Globales.

Sin embargo, si se busca el mínimo de la función:

en , se encuentra uno con dificultades, pues no tiene puntos con derivada nula. Sin embargo, el hecho de que f tienda a cero cuando x tiende a ±∞ y que tome valores negativos, indica que f debe alcanzar su mínimo en algún lugar.

Tnxxx ),...,( 1 nf :

mng : lnh : Tm xgxgxg ))(),...,(()( 1

Tl xhxhxh ))(),...,(()( 1

3/23/2 )2()2()( xxxf

Un análisis más profundo de f revela que el mínimo se alcanza en , pero f no es diferenciable en este punto. Este simple ejemplo muestra que se debe tener especial cuidado cuando las funciones que intervienen no son diferenciables.

Figura 9. Grafica de la función .

Hay además otro problema igualmente relevante, referente a los problemas no lineales diferenciables. Para ilustrarlo, se considera la función objetivo siguiente

Figura 10. Grafica de la función .

2x

3/23/2 )2()2()( xxxf

)cos(sin10)10/1()( 2 xxxxxf

Esta función es diferenciable en todo , pero tiene un conjunto infinito de puntos con tangente horizontal (puntos en los que f´(x) = 0). Estos puntos reciben el nombre de puntos estacionarios y todos ellos, salvo uno, son óptimos locales. Puesto que si se restringe la atención a un pequeño entorno de ellos, se convierten en máximos o mínimos locales. La ecuación f´(x) = 0 no puede ser resuelta en forma cerrada, por lo que se deben utilizar métodos numéricos. La existencia de un conjunto infinito de puntos candidatos y la ausencia de un método para generarlos explícitamente, conducen a la imposibilidad de conocer, con total certidumbre, si un determinado candidato es el óptimo global.Estamos interesados en la clase de funciones tales que sus mínimos locales sean también globales. En la figura se da una función que no cumple esta condición. Hay puntos en el intervalo que están por encima del segmento que une los mínimos. La convexidad es aquí suficiente para evitar este comportamiento. Para ser convexa se exige que el grafo esté por debajo del intervalo que une los extremos.

Figura 11. Ilustración de la Propiedad de Convexidad

*, xx

Un PPNL puede no tener solución por:

1. La función no es acotada en S. Por ejemplo, f(x) = x, donde decrece sin límite hasta −∞ cuando x tiende a −∞. En este caso se escribe

2. La función es acotada en S pero no se alcanza la cota inferior: en S. Por ejemplo, la función está acotada en y la cota inferior es 0 pero es inalcanzable por f(x).

Teorema 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)

Sea S un conjunto cerrado, acotado y no vacío de y una función continua. El problema

Minimizar

Sujeto a

admite al menos una solución óptima. Corolario 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)

Sea S un conjunto cerrado y no vacío (posiblemente no acotado) de y una función continua.

x

-)(Ínfimo Sx xf

)(Ínfimo Sx xfxexf )( S

n Sf :

)(xfZ

Sx

n

Sf :

Si tenemos:

Entonces el problema es:

Minimizar

sujeto a

admite al menos una solución óptima.

Estos resultados pueden hacerse más explícitos cuando la función f es convexa.

Definición 1 (Mínimo global)

Una función f(x) tiene un mínimo global (mínimo global estricto) en el punto , de S, si para todo x en S.

Definición 2 (Mínimo local)

Una función f(x) tiene un mínimo local (mínimo local estricto) en el punto , de S, si existe un número positivo tal que (respectivamente, ) para todo x en S tal que .

)(lim , xfSxx

)(xfZ

Sx

x

))()(( )()( ** xfxfxfxf

*x

)()( xfxf )()( xfxf xx0

De ello se concluye que un mínimo global es también un mínimo local. En una dimensión es fácil ilustrar los conceptos anteriores. En la figura 11, S es el segmento . es el conjunto de los mínimos locales, y es el conjunto de los mínimos globales.

Figura 12. Una función con tres mínimos locales y dos globales.

Definición 3 (Diferenciabilidad)

Se dice que es diferenciable en x si existen las derivadas parciales y

, y

donde es el gradiente de f en x.

ba, 21,, xxaS 2* , xaS

nf : ,ix

f

n1,...,i

0)()()()(

lim

xy

xyxfxfyf T

xy

T

nx

xf

x

xfxf

)(

,...,)(

)(1

Definición 4 (Diferenciabilidad continua)

Una función f se dice continuamente diferenciable en si todas las derivadas parciales son continuas en . En este caso, también es diferenciable.

Se considera el siguiente PPNL:

Minimizar (1)

sujeto a(2)

donde con y

son funciones continuamente diferenciables en la región factible

x

x

)(xfZ

0)(

0)(

xg

xh

lnn :h ,:g ,: mnf Tm xgxgxg )(),...,()( 1 Tl xhxhxh )(),...,()( 1

0g(x) ,0)( xhxS

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (CKKT)

Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker constituyen el resultado más importante de programación no lineal. Deben ser satisfechas por cualquier óptimo restringido, sea éste local o global, y para cualquier función objetivo, ya sea lineal o no lineal. Además, los criterios de parada de los métodos iterativos se basan en estas condiciones. Mientras que en los problemas diferenciables sin restricciones el gradiente se anula en los mínimos locales, esto no ocurre para problemas con restricciones, tal como ilustra la figura 11 en el punto . Esto se debe a las restricciones del problema. Las condiciones de Karush-Khun-Tucker generalizan las condiciones necesarias de óptimo para los problemas con restricciones.

Figura 13. En problemas restringidos diferenciables el gradiente no es necesariamente cero en la solución óptima

ax

Definición 5 (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker):

El vector satisface las condiciones de Karush-Khun-Tucker para el PPNL (1)-(2) si existe un par de vectores y tales que

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Los vectores µ y ¸ son los multiplicadores de Khun-Tucker. La condición (6) es la condición complementaria de holgura. La (7) son las condiciones duales de factibilidad y requieren la no-negatividad de los multiplicadores de las restricciones de desigualdad. Las condiciones (4)-(5) se llaman condiciones primales de factibilidad.

Con el Lagrangiano las condiciones KKT se escriben como

nx m l

m1,...,j ,0

m1,...,j ,0)(

l1,...,k ,0)(

m1,...,j ,0)(

0)()()(11

j

jj

k

j

m

jjj

l

kkk

xg

xh

xg

xgxhxf

)()()(),,( xgxhxfxL TT

0),,(

0),,(

0),,(

xL

xL

xLx

0

0),,(

xLT

Figura 14. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de una restricción de igualdad y dos variables.

Figura 15. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de dos restricciones de desigualdad y dos variables.

Casos EspecialesSi falta una restricción en un PPNL, el multiplicador asociado a la restricción “ausente" es nulo, y la restricción se elimina de la formulación de las condiciones de KKT. En estos casos resulta:

1.(Problemas sin restricciones) En este caso solo se tiene la condición:

2.(Problemas con restricciones de igualdad solamente) Las condiciones de KKT son una extensión del principio clásico del método de los multiplicadores de Lagrange. Este método sólo surge con problemas que únicamente tienen restricciones de igualdad:

0)( Xf

lkXh

XhXf

k

k

l

kk

,...,1 ,0)(

0)()(1

3. (Problemas con restricciones de desigualdad solamente) Las condiciones de KKTC son:

m1,...,j ,0

m1,...,j ,0)(

m1,...,j ,0)(

0)()(1

j

jj

j

m

jjj

Xg

Xg

XgXf

Ejemplo

Minimizar

sujeto a

Sean los multiplicadores asociados a la igualdad y las desigualdades, respectivamente. Las condiciones de KKT son:

1. La condición de estacionariedad del Lagrangiano es:

(8)

2. Las condiciones primales de factibilidad:

(9)

21 xxZ

0

0

04

0

2

1

22

2

22

1

1

x

x

xx

xx

321 y , ,

0

0

1

2

1

0

0

1

2

2

1

1 132

2

11

x

x

x

0

0

04

0

2

1

22

2

22

1

1

x

x

xx

xx

3. Las condiciones complementarias de holgura son:(10)

(11)

(12)

3. Las condiciones duales de factibilidad son:(13)

Caso I: . Si entonces usando (11), x1 = 0, y (8) implica que

Puesto que y no se cumple la condición (13), entonces los puntos KKT deben satisfacer .

Caso II: , y . Si entonces usando (12), x2 = 0, y la relación

de (9) se obtiene x1 = 0, y con (8) resulta

por lo que todo punto KKT debe satisfacer .

0)(

0)(

0)4(

23

12

22

211

x

x

xx

0 , , 321

02 02

021

01

312

2

x

12 02

03 02 03 02

21 xx

01

03

Caso III: , y . Si entonces usando (10) resulta , y con la condición de factibilidad, resulta el sistema de ecuaciones:

La única condición que satisface el sistema (9) es , donde y, con (8) resulta:

cuya solución es:

que es un punto KKT

Caso IV: .Usando (8), resulta el sistema de ecuaciones

y se obtiene la solución y . De (9), se obtiene , y puesto que se trata de un punto factible, es también un punto KKT.

01 032 01 04221 2

xx

0

04

221

221 2

xx

xx

,x2

171

021

0221

1

1

)21(2

2

2

1

0)21(2

21

0321

01

021 1

x

1 2/11 x 4/1212 xx

Definición 6 (Restricción Activa)

Sea , y . La restricción de desigualdad se dice que es una restricción activa en el punto si ; por otro lado, se dice inactiva si

El conjunto de los índices de las restricciones activas se denota por , es decir

Lema 1: Las CKKT son necesarias para un óptimo local de “la mayoría” de PPNL.

nx mj ,...,1x 0)( xg j

0)( xg j.0)( xg j

)(xI

0)()( xgjxIj

Condiciones Suficientes Definición 7 (Función Convexa)

Sea , donde S es un conjunto convexo no vacío de . La función f se dice que es convexa en S si para cada par de puntos x1 y x2 y cualquier escalar t tal que

0≤t≤1, se tiene

Si se cumple la desigualdad estricta anterior, f se dice que es estrictamente convexa. Similarmente, una función f es cóncava si la desigualdad se cumple con la desigualdad se cumple al revés, es decir, si (-f) es convexa.

Teorema 2 ( Óptimo global y local)

Considérese la función convexa , donde S es un conjunto convexo no vacío de . Todo mínimo local de f en S es también un mínimo global de f en S. Además, si f es estrictamente convexa hay a lo sumo un único mínimo global.

Sf : n

)()1()())1(( 2121 XftXtfXttXf

Sf :n

Las figuras 16, 17 y 18 muestran ejemplos de funciones convexa, cóncava y otra no convexa no cóncava.

Figura 16. Ejemplo Función Convexa. Figura 17. Ejemplo Función Cóncava.

Figura 18. Ejemplo Función No Convexa, No Cóncava.

Teorema 3 (Convexidad y diferenciabilidad)

Sea un conjunto convexo y diferenciable en S. Entonces f es convexa en S si:

Además, f es estrictamente convexa en S si:

Definición 8 (Función dos veces diferenciable)

Se dice que es dos veces diferenciable en el punto X si existe un vector columna , y una matriz n x n , tal que

La matriz se llama la matriz Hesiana de f en el punto X. El elemento ij de

es la segunda derivada parcial . Por otra parte, si las derivadas parciales son continuas, entonces f se dice dos veces continuamente diferenciable y, entonces es una matriz simétrica.

nS nf :

SXXXXXfXfXf T 2112121 , );()()()(

212112121 con , );()()()( XXSXXXXXfXfXf T

nf :)(Xf )(2 Xf

0))(()(

21

)()()()(lim

2

2

XY

XYXfXYXYXfXfYf TT

xy

)(2 Xf

)(2 Xfji XXXf /)(2

)(2 Xf

Definición 9 (Matriz semidefinida positiva)

Una matriz simétrica A es semidefinida positiva si para cualquier vector X. Además, si la igualdad se cumple sólo cuando x = 0, entonces A se llama definida positiva.

Teorema 4 (Funciones convexas)

Sea un conjunto abierto y convexo y sea dos veces diferenciable en S. Entonces, se cumple:

1. f es una función convexa en S si es una matriz semidefinida positiva para todo , es decir

2. f es una función estrictamente convexa en S si es una matriz definida positiva para todo , es decir

0AXX T

0AXX T

nS nf :

)~

(2 XfSX ~

n2 Y ;0)~

( YXfY T

)~

(2 XfSX ~

n2 Y ;0)~

( YXfY T

Algunas funciones convexas importantes son:

1.Funciones Afines:

Sea , donde , , es una función afín. Entonces, la matriz Hesiana es para todo . Puesto que esta función satisface el Teorema 4, es una función convexa. Nótese que f es también cóncava puesto que

es igual a cero.

2.Formas cuadráticas:

Sea una forma cuadrática. Si la matriz C es semidefinida positiva, entonces f es una función convexa, ya que la matriz Hesiana de f es

para todo X.

aXbXf T )( ba y nX

0)~

(2 XF nX ~

)~

)((2 Xf

aXbCXXXf TT 2

1)(

CXf )(2

Las operaciones que conservan la convexidad son:

1. Combinaciones lineales no negativas de funciones convexas.

Sean fi(X), i = 1,…, k funciones convexas, y sean , i = 1,…, k escalares positivos. Considérese la función . Puesto que la suma de matrices semidefinidas positivas es también semidefinida positiva, entonces h es una función convexa.

2. Composición primera.

Si h es convexa y T es una transformación lineal (o afín), la composición g = h(T)

también es convexa.

3. Composición segunda

Si g es convexa, y h es una función convexa no decreciente de una variable, la composición f = h(g) también es convexa.

4. Supremo

El supremo de una familia de funciones convexas es también una función convexa.

i

k

iii XfXh

1)()(

Condiciones Suficientes de Karush-Kuhn-Tucker

Lema 2 (Problema de programación convexa)

Considérese el problema de programación convexa (PPC):

Minimizar

sujeto a

donde f es convexa y diferenciable y S es un conjunto convexo. Entonces es un óptimo global si

Teorema 5 (Suficiencia de las condiciones de Karush-Khun-Tucker)

Considérese el PPNL

Minimizar

sujeto a

)(XfZ

SX

SX *

SXXXXf T ,0*)(*)(

)(XfZ

0)(

0)(

Xg

Xh

Supóngase que existe una tripleta que satisface las CKKT. Sea

. Supóngase que f(X), gi(X) para todo y hk(X) para todo son funciones convexas en , y que hk(X) para todo son funciones cóncavas en . Entonces es una solución global del PPNL.

Ejemplo 1– Caso Especial sin Restricciones:

Sea convexa en y diferenciable en x*. Entonces x* es una solución global óptima del problema

Minimizar

si

La clase más importante de PPNL para los que las CKKT son siempre necesarias y suficientes es la de los llamados programas convexos (PC), que consisten en minimizar una función objetivo convexa con un conjunto de restricciones tales que las desigualdades son funciones convexas y las igualdades funciones afines, es decir:

),,( X

0y 0 kk kKkK )(XIi

Kk n Kkn X

nf : n

nxxfZ ),(

0)( * xf

Minimizar

Sujeto a

donde f y g son funciones convexas y continuamente diferenciables, y h es una función afín. Un caso particular importante es el problema de programación lineal, por lo que los resultados anteriores son totalmente aplicables a este problema.

En muchos casos tenemos el problema

Minimizar

donde r(x) y s(y) son funciones de dos variables x e y, respectivamente. Puesto que α y no están restringidos, se trata de un problema sin restricciones, y las CKKT son:

)(xfZ

0)(

0)(

xg

xh

2))()((),( i

ii ysxrf

iii

iiii

ysxrf

xrysxrf

0))()((),(

0)())()((),(

Mediante un reordenamiento de las anteriores Ecuaciones podemos obtener:

La solución del sistema es:

Teniendo en cuenta que maximizar una función es lo mismo que minimizar la misma función cambiada de signo, el problema consiste en

Minimizar

sujeto a

ii

ii

ii

ii

ii

i

ysnxr

ysxrxrxr

)(

)()()( 2

)))(()((

)()()()()(

)))(()((

)()()()(

22

2

22

i iii

i iiii

i iii

i iii

i iii

iii

xrxrn

ysxrxrysxr

xrxrn

ysxrysxrn

21 xxZ

0

0

2

1

21

x

x

Caxx

donde son constantes, tales que , x1 y x2 son los niveles de inversión y de trabajo, respectivamente, y es la función de Cobb Douglas, que da el nivel de producción como función de ambas variables, y a es el coste por unidad de trabajo. Además hay una restricción de dinero disponible C. Este es un PPC, pues las restricciones son lineales y la función objetivo es convexa.

0 ,0 121)2,1( xxxxf

Bibliografía

“Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia”, Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo García, Natalia Alguacil, 2002.