UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE - MatemáticasUdeO · EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 32 ... ACTIVIDAD 15...

UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE UNIDAD CULIACAN

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA

ACADEMIA DE MATEMATICAS

GUIA DE ESTUDIO

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

REDISEÑO: Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante.

REVISION: Ing. José Antonio Castro Inzunza.

Abril 2012

Universidad de Occidente Estadística Descriptiva y Probabilidad

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ÍNDICE

Página: INDICE 1 INTRODUCCIÓN 2 CAPÍTULO I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 5

ACTIVIDAD 1 CONCEPTO DE ESTADÍSTICA 6 ACTIVIDAD 2 VARIABLES ESTADÍSTICAS 8 ACTIVIDAD 3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: DATOS NO AGRUPADOS 10 ACTIVIDAD 4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR 12 ACTIVIDAD 5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN: DATOS

AGRUPADOS 14

ACTIVIDAD 6 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN 16 ACTIVIDAD 7 MUESTRA Y POBLACIÓN 17 ACTIVIDAD 8 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 18 ACTIVIDAD 9 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN PARA

DATOS AGRUPADOS 21

ACTIVIDAD 10 GRÁFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 24 ACTIVIDAD 11 GRÁFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 26 ACTIVIDAD 12 COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS 27 ACTIVIDAD 13 SESGO Y CURTOSIS 30 ACTIVIDAD 14 USO DE SOFTWARE 31 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 32

CAPÍTULO II PROBABILIDAD 34 ACTIVIDAD 15 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PROBABILIDADES 35 ACTIVIDAD 16 ESPACIOS MUESTRALES 38 ACTIVIDAD 17 EVENTOS ALEATORIOS 41 ACTIVIDAD 18 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS

COMPLEMENTARIOS 44

ACTIVIDAD 19 ENFOQUE FRECUENCIAL DE LA PROBABILIDAD 47 ACTIVIDAD 20 ENFOQUE CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD 49 ACTIVIDAD 21 PROBABILIDAD USANDO TEORIA DE CONJUNTOS 51 ACTIVIDAD 22 TECNICAS DE CONTEO 53 ACTIVIDAD 23 TÉCNICAS DE CONTEO, PERMUTACIONES 56 ACTIVIDAD 24 SELECCIÓN DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:

COMBINACIONES 60

ACTIVIDAD 25 INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA 61 ACTIVIDAD 26 PROBABILIDAD TOTAL 67 ACTIVIDAD 27 PROBABILIDAD USANDO LA REGLA DE BAYES 70 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 73

CAPÍTULO III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 76 ACTIVIDAD 28 VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD 77

ACTIVIDAD 29 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS 80 ACTIVIDAD 30 ESPERANZA MATEMÁTICA Y VARIANZA 82 ACTIVIDAD 31 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 86 ACTIVIDAD 32 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL 89 ACTIVIDAD 33 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 90 ACTIVIDAD 34 DISTRIBUCIÓN DE POISSON 92 ACTIVIDAD 35 DISTRIBUCIÓN NORMAL 95 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 100

APÉNDICE 102 BIBLIOGRAFÍA 103


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INTRODUCCIÓN

SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha sido un tema muy discutido hasta nuestros días, se han escrito una gran cantidad de textos sobre el tema, pero el problema persiste, no hay un real aprendizaje significativo, el alumno aprende de manera memorizada procedimientos y fórmulas para resolver problemas, sin tener un entendimiento de lo que hace, esto ha sido en gran medida provocado por la falta de un significado de los contenidos matemáticos, es decir, ¿Cómo se puede utilizar a las matemáticas como una herramienta que permita desarrollar actividades cotidianas de una manera más fácil?. Las matemáticas son la llave para entender los fenómenos de la naturaleza, han permitido a los pintores una forma más realista de pintar, así como la comprensión de los sonidos que llevaron a la invención del teléfono y la radio, cada vez tienen una mayor ingerencia en la Medicina y la Biología. Lo interesante de las matemáticas es el hecho de que permiten plantear y resolver problemas de todas las áreas del saber, de una forma más racional, esto es lo que da su verdadero significado.

La enseñanza basada en competencias establece que hay que dotar al alumno de un conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan su realización y desarrollo tanto en el ámbito personal como profesional. Dentro de las competencias básicas se encuentran las competencias matemáticas, las cuales se relacionan con el desarrollo de habilidades para usar diferentes tipos de pensamiento matemático, como son el lógico, espacial, el de representación por medio de modelos, fórmulas, gráficos, que tienen aplicación universal para explicar y describir la realidad.

En definitiva, la competencia Matemática supone: aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad. Se deben desarrollar las siguientes competencias básicas:

� Organización, comprensión e interpretación de la información.

� Identificación de los elementos matemáticos que se presentan en una situación real.

� Aplicación de técnicas adecuadas de selección, ordenación y representación de los datos.

� Utilización de procedimientos matemáticos que permitan su análisis y la extracción de conclusiones.

� Expresión matemática oral y escrita.

� Uso del vocabulario y los símbolos matemáticos básicos. � Utilización de formas adecuadas de representación según el

propósito y la naturaleza de la situación.


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� Expresión correcta de los resultados obtenidos al resolver problemas.

� Justificación de resultados con argumentos y expresiones de base matemática.

� Capacidad para seguir una demostración sencilla de un resultado matemático, identificando las ideas fundamentales y enjuiciando la lógica y validez de las argumentaciones e informaciones.

� Planteamiento y resolución de problemas.

� Reconocimiento y planteamiento de situaciones reales susceptibles

de ser formuladas en términos matemáticos. � Traducción a esquemas o estructuras matemáticas. � Valoración de distintas vías para resolver problemas. � Selección de los datos y estrategias apropiadas para resolver un

problema. � Utilización con precisión de procedimientos de cálculo (exacto,

aproximado, mental, con calculadora, …), fórmulas y algoritmos. � Expresión correcta de los resultados y su interpretación en términos

de la situación inicial. � Uso de medios tecnológicos en el tratamiento de la información.

COMPETENCIAS PREVIAS: Para el desarrollo del curso se requiere que se tengan las siguientes

competencias previas:

� Habilidad para realizar operaciones aritméticas y algebraicas � Conocimiento de la teoría de conjuntos � Conocimientos de la integral definida y sus aplicaciones � Habilidad para calcular integrales definidas � Capacidad para el trabajo individual y en equipo � Tener disciplina y disposición para el aprendizaje de la Matemática

COMPETENCIA ESPECÍFICA DEL CURSO: Adquirir los conocimientos básicos y aplicar los métodos Estadísticos

empleados en el área Administrativa, donde se analice información obtenida de una población a partir del proceso de muestreo, que permita hacer más eficiente la toma de decisiones relacionadas con diferentes ámbitos del conocimiento, con un sentido ético, propositivo e innovador, buscando la sustentabilidad y mejora del medio donde se desarrolla. Y que a su vez, sirva de apoyo al curso de Estadística Inferencial, materias de la especialidad e inclusive para estudios de posgrado.


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SOBRE LA ESTADÍSTICA

La ESTADÍSTICA es una de las ramas de la Matemática que sin duda ha

tenido una gran influencia en la mayoría de las ciencias. Ningún Ingeniero, empresario, médico, licenciado o científico de cualquier clase puede evitar el contacto con ella en el curso de sus ocupaciones. Es un hecho también, que al leer cualquier revista o periódico, al escuchar la radio o al ver la televisión aparece información en forma estadística y aunque pensemos que estamos muy alejados de esta disciplina, nos solemos ver involucrados en ella, al participar, por ejemplo en un censo o una encuesta.

Es hora de preguntarnos, ¿Qué es la Estadística?, ¿Cómo funciona?, ¿Qué hace con los datos para llegar a ciertas conclusiones? ¿Qué aportación hace en la toma de decisiones?. En este curso daremos un panorama general de la disciplina, presentaremos algunos de sus conceptos básicos, formas de elaborar tablas para presentar información, como calcular algunas medidas representativas, elaboración de diferentes tipos de gráficas y la forma de interpretarse.

Otra disciplina que ha contribuido al desarrollo de la Estadística es la Teoría de las Probabilidades, la cual ha dado origen a una serie de leyes que son el sustento matemático para una rama de la estadística llamada inferencia , la cual a partir de cierta información obtenida de una parte de una población (muestra), nos permite hacer estimaciones y predicciones y tomar decisiones sobre todos los elementos de la población.

Este curso está formado por una serie de actividades donde se establecen los objetivos particulares de cada una, de tal manera de que al lograrlos al final del curso se alcance la competencia del mismo.

En el rediseño se buscó mejorar cada uno de los contenidos, se incluyeron nuevos ejemplos, tratando de facilitar el aprendizaje de esta disciplina.


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CAPÍTULO I

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Competencias específicas a desarrollar en este Capí tulo:

� Define Estadística y establece su división para su estudio.

� Identifica los diferentes tipos de variables que intervienen en los procesos estadísticos.

� Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión, tanto para datos no agrupados como agrupados.

� Construye Tablas de Distribuciones de Frecuencias.

� Diseña gráficos para presentar datos y resultados.

� Aplica los conocimientos teóricos a situaciones prácticas relacionadas con su carrera.

� Usa Software estadístico como herramienta de apoyo.

� Interpreta los resultados obtenidos.

� Pone en práctica la toma de decisiones.


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ACTIVIDAD 1

CONCEPTO DE ESTADÍSTICA

OBJETIVO : Establecer el concepto de Estadística a partir del análisis de situaciones cotidianas donde se presente información de tipo estadístico. Con frecuencia escuchamos o leemos frases como las siguientes:

a) En una escuela la calificación promedio de los niños que cursan primer grado es de 8.6.

b) En el estado de Sinaloa la tasa de desempleo fue del 2.3 % en el mes de Marzo de 2012.

c) Se ha encontrado que el 15 % de la población del estado padece hipertensión arterial. A partir del estudio de una muestra de 300 individuos tomados de la población.

d) Un estudio de 500 adolescentes, sobre la edad promedio a la que inician sus relaciones sexuales ha revelado que ha disminuido a 14 años.

e) La encuesta hecha por el periódico “El Universal” indica que el candidato del PRT tiene el 45 % de los votos probables.

f) Se ha encontrado que el peso promedio de los estudiantes de sexto año de primaria, se ha incrementado en 3.5 kg del año de 1995 al 2012.

g) Las ventas estimadas de juguetes para el siguiente año se incrementan en 20%.

h) Se estima que la duración media de una nueva marca de acumulador se encuentra entre 25 y 30 meses, con una confianza del 95%.

i) Un investigador ha determinado que existe una correlación entre el índice de masa corporal y el aumento de los niveles de colesterol.

En los enunciados anteriores se mide alguna característica o se cuenta el

número de resultados favorables referentes a una situación, se establecen relaciones entre cantidades y se hacen estimaciones. Esta información nos permite conocer las características de los elementos de una población y a partir de ésta tomar decisiones apropiadas, generalmente este procedimiento se hace por medio de una muestra.

En general, la Estadística tiene como objetivo la recolección, análisis y presentación de conjuntos de datos estadísticos, obtenidos de una población por


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medio de la selección de una muestra aleatoria y a partir de esta información tomar decisiones sobre la totalidad de los elementos de la población. Para su estudio la Estadística se divide en Estadística Descriptiva , Teoría de Probabilidades y Estadística Inferencial.

1.- Investigar que estudia cada una de las ramas de la Estadística.

2.- Investigar las escales de medición usadas en la Estadística

3.- Hacer una investigación bibliográfica de la Historia y de los personajes que han influido en el desarrollo de la Estadística.


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ACTIVIDAD 2

VARIABLES ESTADÍSTICAS OBJETIVO .- Identificar los diferentes tipos de variables utilizadas en los procesos estadísticos. Uno de los primeros pasos en el estudio de algún fenómeno, consiste en caracterizar las partes de dicho fenómeno. Por ejemplo, podríamos estudiar el índice de desempleo de acuerdo al sexo, en este caso tenemos dos cantidades que son: el índice de desempleo y el sexo, a estas se les denomina variables en estudio. Una clasificación general de estas es que unas son inherentes a cantidades, como el índice de desempleo, mientras que otras representan categorías y son inherentes a cualidades, por ejemplo el sexo. Para este estudio podríamos decir que el índice de desempleo es del 4.5% para las mujeres y 3.5 % para los hombres. A continuación se presentan algunas características de los estudiantes de la Universidad de Occidente. De acuerdo a los valores que pueden tomar estas variables, menciona si son categóricas o numéricas.

a) Sexo de cada alumno del grupo.

b) Cantidad de estudiantes del grupo.

c) Tipo de ocupación de los padres de los alumnos.

d) Peso de cada alumno.

e) Escolaridad del padre.

f) Estatura de cada alumno. g) Escuela de procedencia de la preparatoria. h) Promedio obtenido en la preparatoria.


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Además de la clasificación en variables categóricas y numéricas , podemos hacer una subclasificación de cada una, como se muestra en el cuadro:

Continuas.- Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo numérico

Numéricas Discretas.- Toman valores numéricos separados, Generalmente enteros. Variables

Nominales.- Se definen por medio de categorías o expresiones verbales.

Categóricas

Ordinales.- Se definen por categorías, pero existe un orden relativo entre ellas.

De acuerdo a la clasificación anterior, menciona a que tipo de variable

corresponden los valores que pueden tomar las variables: numérica continua, numérica discreta, categórica nominal o categórica ordinal. Tomados de las características de los alumnos de la Universidad de Occidente

Con la ayuda del profesor, diseñe un formato para aplicar una encuesta a los alumnos del grupo a que pertenece, donde se consideren las variables establecidas en esta actividad.


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ACTIVIDAD 3

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: DATOS NO AGRUPADOS OBJETIVO .- Calcular las medidas de tendencia central a partir de un conjunto de datos numéricos no agrupados. Un alumno de la Universidad de Occidente obtuvo las siguientes calificaciones en las materias del primer trimestre: Fundamentos de Algebra 8 Computación 9 Ingles 10 Formación integral 9 Metodología de la investigación 8 Comunicación 9 Un valor que representa a todas las calificaciones es el promedio , también llamado media aritmética . Este valor se obtiene sumando todos los valores y enseguida se divide la suma entre el número de datos:

83.86

9891098

valoresde Número

valoreslos de SumaPromedio =+++++==

En forma condensada se escribe:

n

xx

n

ii∑

== 1_

Otra medida es la Moda, en éste ejemplo es el número 9, se representa como x̂ . y es el dato que aparece con mayor frecuencia. También es común calcular la Mediana , la cual es el dato que divide al conjunto de datos en dos partes iguales, de tal manera que la mitad de los datos es menor o igual que esta y la otra mitad es mayor o igual. Para calcularla se deben ordenar los datos en forma ascendente, si el número de datos es impar el que se encuentra en la posición central es la mediana. Ordenando los datos: 8, 8, 9, 9, 9, 10 entonces la mediana es el número 9, que se representa como x~ , si el número de elementos es par, se calcula el promedio de los dos datos que ocupan la posición central, por ejemplo en los datos: 5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 la mediana es:

5.72

87~ =+=x


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Cuando el número de datos no es muy grande, se analizan como datos no agrupados.

Usando los criterios anteriores calcule la media aritmética, moda y mediana de los siguientes conjuntos de datos:

a) 12, 15,11, 16, 17, 14, 23, 21,11

b) 3.4, 6.1, 3.2, 4.9, 6.2, 6.1, 5.6, 7.3, 6.1

c) ¿Qué medida de tendencia central se puede calcular de los siguientes datos? M, M, F, M, M, F, F, M, F, M

Investigar en que situaciones es más recomendable el uso de la mediana

que la media aritmética. De los datos de la encuesta realizada entre los alumnos del grupo en la

actividad anterior, calcula las medidas de tendencia central de las variables que sea posible.

Investigar ¿Qué es la media Ponderada y la media Geométrica ?, sus principales aplicaciones y dar 2 ejemplos de cada una.


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ACTIVIDAD 4

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR

OBJETIVO .- Calcular e interpretar la desviación estándar de un conjunto de datos no agrupados. En la siguiente tabla se presentan las calificaciones de dos alumnos que cursan el segundo trimestre un la Universidad de Occidente:

Materia Alumno 1 Alumno 2 1 7 5 2 8 8 3 7 10 4 9 6 5 9 9 6 8 10

Si calculamos la media aritmética de cada alumno, notaremos que ambos tienen la misma 8=x , pero al observar las calificaciones de cada alumno, nos podemos dar cuenta que el primero tiene calificaciones más homogéneas y en el segundo están más dispersas, de lo cual concluimos que la media aritmética no es suficiente para describir totalmente un conjunto de datos, necesitamos una medida de la dispersión, la más utilizada es la varianza , la cual mide la dispersión de los datos con respecto a la media aritmética. Para calcularla se usa la fórmula:

n

xxs

n

ii∑

=−

= 1

2

2

)(

Las diferencias entre cada valor y la media aritmética se elevan al cuadrado para evitar el problema de los signos de las diferencias. Al calcular la raíz cuadrada de la varianza se obtiene la desviación estándar:

n

xxs

n

ii∑

=

−= 1

2)(

Cuando se usa la desviación estándar para hacer estimaciones sobre una población, los datos se dividen por n-1, esto para evitar el sesgo (Investigar este concepto).

1

)(ˆ 1

2

−

−=∑

=

n

xxs

n

ii

Usando las fórmulas anteriores calcular la varianza y desviación estándar de cada alumno:


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Alumno 1

894.08.0ˆ

8.05

4

5

011101

5

)88()89()89()87()88()87(

1

)(ˆ

1

2222221

2

21

==

==+++++=

−+−+−+−+−+−=−

−=∑

s

n

xxs

n

i

Alumno 2:

097.24.4ˆ

4.45

22

5

414409

5

)810()89()86()810()88()85(

1

)(ˆ

2

2222221

2

22

==

==+++++=

−+−+−+−+−+−=−

−=∑

s

n

xx

s

n

i

Como la desviación estándar de las calificaciones del alumno 2 es mayor que la del alumno 1, concluimos que las calificaciones del alumno 1 son menos dispersas.


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ACTIVIDAD 5

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN: DATOS AG RUPADOS

OBJETIVO .- Calcular las medidas de tendencia central y dispersión de un conjunto de datos agrupados por clases en una distribución de frecuencias. Las calificaciones de 30 alumnos de la materia de Estadística de la Universidad de Occidente se muestran a continuación. Calcule la media aritmética, mediana y moda:

7, 7, 9, 5, 8, 9, 6, 8, 5, 10, 7, 6, 8, 6, 7, 8, 4, 6, 8, 9, 10, 8, 7, 9, 5, 7, 6, 5, 9, 8 Podemos observar que las calificaciones se repiten, por ejemplo la calificación 7 se repite 6 veces, al número de veces que se repite una información se le llama frecuencia y cada calificación se usa como marca de clase . Para calcular la frecuencia de cada calificación podemos ordenar los datos de forma ascendente:

4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10 Con cada dato y sus frecuencias podemos construir una tabla de frecuencias:

Número de Clase Marcas de clase

Frecuencia de clase

1 4 1 2 5 4 3 6 5 4 7 6 5 8 7 6 9 5 7 10 2

A cada uno de los valores se les llama clase y al valor numérico marca de clase, esta tabla tiene varias ventajas:

a) Permite resumir la información y observar como se agrupan los datos.

b) Facilita el cálculo de las medidas de tendencia central y de dispersión. c) Permite hacer gráficos de los datos para observar su forma.

d) Permite identificar el Rango ó Amplitud en el que se encuentran los

datos.


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En el caso de la fórmula para la media aritmética, se le agrega la frecuencia de clase multiplicando a cada marca de clase:

2333.730

217

30

2045564230204

30

)2)(10()5)(9()7)(8()6)(7()5)(6()4)(5()1)(4(1

==++++++=

++++++==∑

=

n

fx

x

n

iii

La Moda es el dato que más se repite, de acuerdo a la tabla es 8ˆ =x , la

Mediana es el dato que divide al conjunto de datos en dos partes iguales, como el número de datos es par se debe calcular un promedio entre los datos que ocupan la posición 15 y 16 en los datos ordenados que son 7 y 7, entonces:

72

77~ =+=x

En la fórmula de la varianza también se agrega la frecuencia de clase

multiplicando a cada diferencia:

5736.229

6354.74)2()23.710()5()23.79()7()23.78(

29

)6()23.77()5()23.76()4()23.75()1()23.74(

1

)(

222

22221

2

2

==−+−+−+

−+−+−+−=−

−=∑

=

−

n

fxx

s

n

iii

La desviación estándar es 6042.1ˆ =s


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ACTIVIDAD 6

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN OBJETIVO .- Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión a partir de una tabla de distribución de frecuencias. En una empresa se entrevistó a todos los empleados que estaban por cumplir 20 años de servicio. Entre las preguntas de dicha encuesta, consideraremos únicamente la referente al número de hijos que tienen, a continuación se presenta la información obtenida:

a) Determina el número total de entrevistados.

b) Calcula la media aritmética, mediana y moda del número de hijos.

c) Calcula la desviación estándar del número de hijos.

La media nacional establece que el número de hijos promedio por familia es de 2.7, ¿Qué información proporciona la encuesta?

Número de hijos Frecuencia 0 16 1 12 2 20 3 25 4 17 5 7 6 3


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ACTIVIDAD 7

MUESTRA Y POBLACIÓN

OBJETIVO .- Establecer los conceptos de población y muestra a partir de un conjunto de datos y calcular sus medidas de centralización y dispersión. En la siguiente figura se presentan las calificaciones de 50 alumnos de la materia en Matemáticas: El profesor escoge las calificaciones de 10 alumnos: Las calificaciones de los 50 alumnos corresponden a la población y los escogidos por el profesor corresponden a una muestra.

a) Escribe el concepto de población.

b) Escribe el concepto de muestra.

c) Calcula la media aritmética de la población y de la muestra, y compáralos.

Media de la muestra n

xx

n

ii∑

== 1 = Media de la población N

xN

ii∑

== 1µ =

d) Calcula la desviación estándar de la población y de la muestra, y

compáralos

Desviación estándar de la muestra 1

)(ˆ 1

2

−

−=∑

=

n

xxs

n

ii

=

Desviación estándar de la población N

xN

ii∑

=

−= 1

2)( µσ =

e) ¿Por qué piensas que se deben escoger al azar los elementos de la

muestra?

f) ¿Existe alguna relación entre los valores muéstrales y los de la población?

5 7 4 8 9 10 4 5 7 8 9 6 10 9 9 8 7 6 4 5 7 8 9 7 7 8 9 10 6 7 4 5 5 6 7 9 9 4 7 6 4 9 8 7 6 7 8 8 6 7

7 9 5 7 8 6 8 4 9 5


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ACTIVIDAD 8

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

OBJETIVO .- Elaborar una tabla de distribución de frecuencias a partir de un conjunto de datos.

En la actividad 5 se elaboró una tabla de frecuencias tomando como clase a cada valor diferente que tomaba la variable, esto se puede hacer cuando el número de valores diferentes no es muy grande. Si se tienen datos cuya amplitud o rango es muy grande se agrupan en subgrupos llamados clases . El número de clases que se deben usar depende de la cantidad de datos, los estudiosos de la Estadística han recomendado que:

• Agrupemos los valores de la variable estadística en intervalos de clase contiguos y elegidos convenientemente para no perder mucha información. No existe un criterio claro de cuál debe ser el número de clases que debemos escoger, Norcliffe establece que el número de clases debe ser, aproximadamente igual a la raíz cuadrada positiva del número de datos. Normalmente, el número de intervalos de clase se suele fijar entre 5 y 15 de tal manera que en cada clase se tengan, al menos, 5 observaciones. De todas formas el investigador los acomodará a las condiciones especificas del problema estadístico objeto de estudio (se tomarán tantos intervalos como sean necesarios para recubrir todo el recorrido de la variable). Otro criterio es la formula de Sturges

nK log 322.31+=

• Los extremos de los intervalos de clase se denominan extremos de clase y sus puntos medios marcas de clase (valor que nos representa la información que contiene un intervalo).

• Como cada observación debe quedar perfectamente encasillada en uno y sólo un intervalo de clase, debemos decidir a qué intervalos pertenecen los extremos de las clases, por lo que habrán de tomarse intervalos semiabiertos o cerrados, en el segundo criterio se separan con un incremento ∆ el cual puede tomar el valor de 1, 0.1, 0.01, 0.001 de acuerdo a los datos.

• Por otro lado tenemos la amplitud de cada intervalo, que puede ser constante o variable. Si procuramos que todas las clases tengan la misma amplitud y los límites de cada clase sean números redondos (múltiplos por ejemplo de 5) conseguiremos simplificar mucho los cálculos (siempre y cuando no se pierda demasiada información debido a estas consideraciones).

• Debemos observar un hecho importante, se entiende que cuando hacemos una agrupación en intervalos de clase, para nosotros solamente cuenta el número de observaciones que caen dentro de cada


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uno de los intervalos y no la colocación en su interior, es decir, suponemos que la distribución de estos valores en el intervalo es homogénea, en esto radica la pérdida de información que supone agrupar los datos de las observaciones.

En la siguiente Tabla se dan las estaturas de 30 personas en centímetros, seleccionadas al azar:

Persona Estatura Persona Estatura Persona Estatura 1 115 11 153 21 121 2 148 12 116 22 159 3 157 13 160 23 186 4 171 14 181 24 152 5 192 15 198 25 148 6 139 16 120 26 137 7 140 17 142 27 116 8 164 18 145 28 173 9 177 19 120 29 162

10 149 20 198 30 101

La elaboración de una distribución de frecuencias se puede resumir en los siguientes pasos: 1.- Calcular la amplitud o rango de los datos R = Xmayor – Xmenor= 198 –101= 97cms. 2.- Calcular el número de clases. Si usamos la fórmula de Sturges K = 1 + 3.322log n =1+3.322 log 30= 5.9 = 6 clases

3.- Determinar el tamaño de clase 16166.166

97 ≈===k

Rc

4.- Determinar los intervalos de clase, estos deben cumplir la condición de que el primer intervalo debe contener al primer elemento y el último al elemento mayor, como los datos son enteros tomáremos un ∆ =1 que es el valor que separa una clase de la otra, por lo tanto se le suma C- ∆ = 16-1 = 15 si iniciamos con el dato menor:


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Al construir la tabla con el tamaño de clase 16 fue necesario agregar una clase más para que el dato mayor estuviera contenido. Otra alternativa seria hacer el tamaño de clase más grande, por ejemplo 17 lo cual daría como resultado la tabla: 5.- Si usamos la segunda tabla, tenemos que determinar la frecuencia absoluta de cada clase, esto consiste en contar el número de observaciones que pertenecen a cada clase: En general se debe redondear hacia arriba el tamaño de la clase.

Ejercicio propuesto En equipos, determinar los límites de clase para elaborar una distribución de frecuencias, usando la siguiente información:

a) n=150 Xmen=8.3 Xmay=15.2 b) n=200 Xmen=2.35 Xmay=2.65

Clase Límite inferior

Límite superior

1 101 116 2 117 132 3 133 148 4 149 164 5 165 180 6 181 196 7 197 212


Límite superior

1 101 117 2 118 134 3 135 151 4 152 168 5 169 185 6 186 202


Límite superior

Frecuencia absoluta

1 101 117 4 2 118 134 3 3 135 151 8 4 152 168 7 5 169 185 4 6 186 202 4


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ACTIVIDAD 9

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN PARA DATO S AGRUPADOS

OBJETIVO .- Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión a partir de una distribución de frecuencias. En la actividad 8 se elaboró la siguiente distribución de frecuencias: La media aritmética, varianza y desviación típica se pueden calcular de forma tabular. Para esto es necesario calcular las marcas de clase que se obtienen como el valor medio de cada clase:

2

LsLi +=ix

La tabla para los cálculos es (completa la siguiente tabla):


Límite superior

Frecuencias Absolutas

1 101 117 4 2 118 134 3 3 135 151 8 4 152 168 7 5 169 185 4 6 186 202 4

Clase Límite Inferior LI

Límite Superior LS


if

Marcas de Clase

ix

ii fx

( ) ii fxx 2−

1 101 117 4 109 2 118 134 3 126 3 135 151 8 143 4 152 168 7 160 5 169 185 4 177 6 186 202 4 194

Sumas


22

Primero calculamos la media aritmética: ==∑

=

n

fxx i

ii

6

1

Con este valor podemos completar la última columna y calcular la varianza:

=−

−=∑

=

1

)(ˆ

6

1

2_

2

n

fxxs i

ii

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

=−

−=∑

=

1

)(ˆ

6

1

2_

n

fxx

s iii

Para calcular la moda y mediana se usan las siguientes fórmulas.

Moda: cx m

∆+∆∆

+=21

1LRI ˆ

Para aplicar esta fórmula es necesario primero determinar la clase modal,

que es aquella cuya frecuencia absoluta sea la mayor, en función de esta clase se obtienen los datos de la fórmula:

clase de Tamaño

posterior la a respectocon modal clase la de frecuencia de Exceso

anterior la a respectocon modal clase la de frecuencia de Exceso 2

-LImodal clase la deinferior real limiteLRI

2

1

==∆=∆

∆==

c

m

Para este problema la clase modal es la número 3 puesto que su frecuencia

absoluta es la mayor, a partir de esta clase se calculan los demás datos:

cms. 66.14816.145.1341715

55.134ˆ :fòrmula laen doSustituyen

17

178

538

134.50.5-135LRI

2

1

=+=

++=

==−=∆=−=∆

==

x

c

m

Mediana: cf

Fx

m

mn

m

−+= 2 LRI~


23

Para esta fórmula primero se debe encontrar la clase mediana, esta es la clase cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a n/2.

clase de Tamaño

mediana clase la de absoluta Frecuencia

mediana clase la aanterior clase la de acumulada Frecuencia

datos de totalNúmero n2

-LI mediana clase la deinferior real Límite LRI

===

=

∆=

c

f

F

m

m

m

Las frecuencias acumuladas se obtienen al sumar las frecuencias absolutas

de clase, como se muestra en la siguiente tabla: Para la clase mediana se calcula la mitad de los datos, 30/2=15 se busca la

clase cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a este valor, la clase número 3 es la clase mediana puesto que su frecuencia acumulada es igual a 15, a partir de esta clase se calculan los datos de la fórmula:

5.151175.134178

7155.134~ fórmula laen doSustituyen

17

7

8

134.50.5-135LRI

=+=

−+=

===

==

x

c

F

f

m

m

m


Límite Superior



Acumuladas 1 101 117 4 4 2 118 134 3 7 3 135 151 8 15 4 152 168 7 22 5 169 185 4 26 6 186 202 4 30


24

ACTIVIDAD 10

GRÁFICAS PARA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

OBJETIVO : Representar en diferentes formas gráficas una distribución de frecuencias Las distribuciones de frecuencias elaboradas en las actividades anteriores se pueden representar por medio de diferentes gráficos, para la distribución de la actividad 5, vamos a agregar las columnas de frecuencias acumuladas, frecuencias absolutas relativas y frecuencias acumuladas relativas:

Clase Marcas de

clase

Frecuencia Absolutas

Frecuencias Acumuladas

iF

Frecuencias Relativas

%if

Frecuencias Acumuladas

Relativas %iF

1 4 1 1 3.33 3.33 2 5 4 5 13.33 16.66 3 6 5 10 16.67 33.33 4 7 6 16 20.00 53.33 5 8 7 23 23.33 76.66 6 9 5 28 16.67 93.33 7 10 2 30 6.67 100

Las frecuencias relativas se calculan dividiendo cada valor entre el número total de datos. Histograma de frecuencias .- Es un gráfico de barras en el cual, en el eje horizontal se colocan las marcas de clase y en eje vertical las frecuencias absolutas o relativas. En el caso de tener clases por intervalos, en el eje horizontal se colocan los límites reales de clase.

Histograma calificaciones de

Pensamiento matemático


25

Gráfico circular o de pastel .- En este se divide el círculo en forma proporcional a los frecuencias absolutas o relativas. Considerando como referencia que los

o360 del círculo corresponden al 100 %.

Polígono de frecuencias .- En este diagrama de línea se colocan las marcas de clase en eje horizontal y las frecuencias absolutas o relativas en el eje vertical.

Polígono de frecuencias acumuladas (Ojiva positiva).- Es un gráfico de línea en el cual se colocan las marcas de clase o los límites reales superiores en el eje horizontal y las frecuencias acumuladas o relativas en el eje vertical.


26

ACTIVIDAD 11

GRÁFICAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

OBJETIVO .- Elaborar los gráficos a partir de una distribución de frecuencias. Para la distribución de frecuencias de la actividad 9, se elabora la siguiente tabla:

Con los valores obtenidos los gráficos correspondientes son.

HISTOGRAMA Y POLIGÓNO

Distribución de estaturas

CIRCULAR OJIVA

Distribución de las estaturas

Clase Limite Inferior

LI

Limite Superior

LS

Frecuencia

if Limite real

inferior

Limite real

superior

Marcas de

clase

Frecuencias acumuladas


f(%)


acum..F(%)

1 101 117 4

2 118 134 3

3 135 151 8

4 152 168 7

5 169 185 4

6 186 202 4


27

ACTIVIDAD 12

COMPARACIÓN DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS OBJETIVO .- Utilizar las distribuciones de frecuencias y medidas de tendencia central para analizar y comparar conjuntos de datos. En un programa de autocontrol de peso se utilizaron dos métodos para reducción de peso, dos grupos de 45 personas cada uno, se sometieron a cada método. Después de 6 meses se determinó el peso perdido por cada persona usando los diferentes métodos, la información se presenta en las siguientes tablas:

30 15 18 23 6 12 12 23 25 13 17 17 28 18 16 27 10 19 13 15 25 18 21 14 27 9 18 12 25 25

16 9 8 21 17 15 12 10 20 16 12 15 8 17 19

Método 1 Método 2 Construya una distribución de frecuencias para cada método: Método 1: Método 2:

15 8 12 18 28 23 16 20 17 21 19 17 17 28 13 20 7 14 8 15 18 10 8 11 16 15 30 28 22 10 18 20 21 18 18 29 23 14 14 25 24 19 15 11 21


28

Calcule la media aritmética y desviación estándar de cada método.

Método 2


LI

Limite Superior

LS

Frecuencia Absoluta

if

Limite real inferior

LRI

Limite real superior

LRS

Marcas de clase

ix

ii fx

( ) ii fxx 2−

Frecuencia Acumulada

iF

Total


LI

Limite Superior

LS

Frecuencia Absoluta

if

Limite real inferior

LRI

Limite real superior

LRS

Marcas de clase

ix

ii fx

( ) ii fxx 2−

Frecuencia Acumulada

iF

Total


29

Una Medida de dispersión muy utilizada para comparar dos conjuntos de datos es el Coeficiente de Variación , el cual se calcula dividiendo la desviación estándar entre la media aritmética:

100% x ˆ

x

sCV =

Esta cantidad mide el grado de dispersión de los datos comparada con la

media aritmética. Calcula el coeficiente de variación de cada conjunto de datos:

100% x ˆ

1 x

sCV = = 100% x

ˆ2 x

sCV = =

¿A qué conclusión puedes llegar, a partir de los resultados obtenidos?

Una forma de comparar conjuntos de datos es usando el gráfico de caja y bigotes, los bigotes corresponden a los datos mayor y menor de cada método. Los extremos de las cajas corresponden a los cuartiles 1 y 3, y la línea en medio de la caja es la mediana o el cuartil 2.

Grafico obtenido con Statgraphics

Para calcular los cuartiles se usan las fórmulas:

cf

FQ

Q

Qni

i LRI 4

Q

−+= donde 3,2,1=i la fórmula se usa igual que para la

mediana.

=

−+= c

f

FQ

Q

Qn

LRI 4

Q1

=

−+= c

f

FQ

Q

Qn

LRI 4 3

Q3

Los gráficos muestran que la reducción de peso de los dos métodos es igual,

este tipo de comparaciones se hacen en estadística Inferencial, usando procedimientos probabilísticos.


30

ACTIVIDAD 13

SESGO Y CURTOSIS OBJETIVO .- Calcular el sesgo y curtosis de una distribución de frecuencias, para determinar si se aproxima a la Distribución Normal. Existen dos medidas importantes en la estadística, el sesgo mide como se distribuyen los datos en torno de la media aritmética y la curtosis mide el grado de apuntalamiento de los datos. Estas medidas son importantes para determinar si la distribución de frecuencias se aproxima a la distribución normal, la cual es la base de la inferencia Estadística. La distribución normal es una distribución teórica generada por una función matemática, tiene una forma de campana la cual es simétrica con respecto a la media aritmética (Pág. 95). El coeficiente de sesgo y curtosis de la distribución normal son cero, para calcular estos coeficientes se usan las formulas:

Coeficiente de sesgo o asimetría 2

3

1

2

1

3

1

)(1

)(1

−

−=

∑

∑

=

=

k

iii

k

iii

fxxn

fxxn

g

Coeficiente de curtosis 3

)(1

)(1

2

1

2

1

4

2 −

−

−=

∑

∑

=

=

k

iii

k

iii

fxxn

fxxn

g

Se considera que una distribución de frecuencias se aproxima a la distribución normal si 5.01 ≤g y 5.02 ≤g

Coeficiente de sesgo y curtosis de la distribución de frecuencias de la actividad 11

Valor de =1g Valor de =2g

¿De acuerdo a los resultados se puede decir que la distribución se aproxima a la normal?

Clase

Límite Inferior LI

Límite Superior LS


if

Marcas de

Clase ix

ii fx

( ) ii fxx 2−

( ) ii fxx 3−

( ) ii fxx 4−

1 101 117 4 109 2 118 134 3 126 3 135 151 8 143 4 152 168 7 160 5 169 185 4 177 6 186 202 4 194

Sumas


31

ACTIVIDAD 14

USO DE SOFTWARE OBJETIVO .- Utilizar software para analizar conjuntos de datos. Algunos softwares Estadísticos permiten construir una distribución de frecuencias de un conjunto de datos, solo se deben introducir los datos y generar la distribución de frecuencias, usando el STATGRAPHCS, se obtiene la distribución de las estaturas siguiente:

Se observa que para el tamaño de clase se toma el valor sin redondearlo y se construyen intervalos abiertos. Otro software muy utilizado es el Macstat, la tabla obtenida es la siguiente: MacStat - Estadística descriptiva Análisis de: Datos Media Desviación estándar (s) Varianza (s²) 30 150.0389 25.0213 626.0650 Dato mínimo Dato máximo Rango Coeficiente V. 101.0000 198.0000 97.0000 16.6765 Moda Mediana Asimetría 144.6500 149.5000 +0.2154 CLASES LRI LRS Marca De Clase Frec. Frec. R. Frec. A. Frec. R. A.

1 [101.0000 117.1667) 109.0833 4 13.333 % 4 13.333 %

2 [117.1667 133.3333) 125.2500 3 10.000 % 7 23.333 %

* 3 [133.3333 149.5000) 141.4167 8 26.667 % 15 50.000 %

4 [149.5000 165.6667) 157.5833 7 23.333 % 22 73.333 %

5 [165.6667 181.8333) 173.7500 4 13.333 % 26 86.667 %

6 [181.8333 198.0000] 189.9167 4 13.333 % 30 100.000 % * Intervalo(s) modal(es)


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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.- Define cada uno de los siguientes términos:

a) Estadística. b) Estadística descriptiva. c) Inferencia estadística. d) Población. e) Muestra. f) Distribución de frecuencias.

2.- Menciona 5 ejemplos donde se use la estadística para la toma de decisiones. 3.- Que nos indican las medidas de tendencia central y de dispersión. 4.- Cuales son las ventajas y desventajas de agrupar un conjunto de datos en una distribución de frecuencias. 5.- En que caso se recomienda el uso de los gráficos de barras, líneas y circular. 6.- Si un conjunto de datos tiene una desviación estándar mayor que otro conjunto de datos, ¿Qué significa esto?. 7.- En que casos se recomienda agrupar un conjunto de datos en una distribución de frecuencias. 8.- Menciona ejemplos de variables estadísticas, numéricas continuas y discretas, categóricas nominales y ordinales (5 ejemplos de cada una diferentes a las de las notas).

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 1.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de 15 alumnos se dan a continuación: 8,7,9,8,7,6,5,8,4,9,8,7,6,8,7 .Calcule la media aritmética, mediana, moda , desviación estándar y coeficiente de variación de los datos. 2.- El número de emergencias que llegan a un hospital diariamente durante un periodo de 40 días se muestra a continuación: 5,8,4,6,9,8,7,10,12,6,8,2,4,9,8,5,10,8,5,4,7,6,11,5,8,7,6,3,4,3,5,8,9,5,4,7,8,7,8,7

a) Elabore una distribución de frecuencias de los datos. b) Calcule las medidas de tendencia central. c) Calcule la desviación estándar. d) Calcule el coeficiente de variación. e) Calcule los coeficientes de sesgo y curtosis f) Dibuje los gráficos de barras, circular de los datos, ojiva.


33

3.- Una compañía desea saber si un nuevo sistema de producción ha mejorado significativamente la calidad de los productos que elabora, el proceso anterior presentaba un promedio de 15 productos defectuosos por lote de producción, se ha decidido investigar 50 lotes producidos con el nuevo proceso de producción, el numero de defectos encontrados son: 8,10,14,18,15,5,4,8,7,11,9,12,10,11,8,9,4,5,6,7,11,8,9,6,5,4,16,8,6,5,6,7,8,4,9,11,8,9,5,6,8,7,9,4,5,7,9,8,11,5.

a) Elabore una distribución de frecuencias de los datos, use la fórmula de Sturges

b) Calcula la media aritmética y desviación estándar c) Calcula es sesgo y curtosis ¿La distribución se aproxima a la

distribución normal ? d) Con la información obtenida, ¿se puede decir que el nuevo proceso es

mejor que el anterior? e) ¿Qué consideraciones se deben hacer al tomar esta decisión?

4.- La empresa Cúspide S.A. se dedica a enlatar conservas, el peso promedio de estas es de 150 gr. el encargado de control de producción piensa que el peso de las latas se ha salido de control, hay indicios que este es mayor de 150 gr. para verificar lo anterior se tomaron 50 latas y se les midió el peso, obteniéndose los siguientes datos: 158.3, 160.2, 150.1, 153.8, 161.4, 145.8, 156.2, 153.1, 155.6, 156.4 149.2, 146.3, 158.4, 155.2, 145.3, 156.1, 147.8, 149.5, 154.2, 155.3 152.3, 156.2, 153.2, 154.3, 146.2, 154.1, 150.2, 154.2, 153.1, 151.3 152.1, 156.3, 149.2, 152.6, 148.2, 150.3, 149.2, 149.6, 153.4, 148.3 153.2, 149.5, 154.2, 152.1, 153.4, 152.4, 151.8, 156.2, 152.4, 150.2 a) Elabore una distribución de frecuencias, use la fórmula de Sturges b) Calcule la media aritmética, mediana y moda c) Calcule la desviación estándar y el coeficiente de variación d) Calcule el coeficiente de sesgo y el de curtosis e) ¿La distribución se aproxima a la normalidad?

f) Dibuje un histograma, diagrama circular, ojiva, diagrama de caja y bigotes

g) ¿Se puede decir que el peso promedio es mayor de 150 gr?


34

5.- Una muestra de 100 mediciones del diámetro de una pieza arrojó la siguiente distribución de frecuencias.

Clase LI LS f 1 6.10 6.14 10 2 6.15 6.19 25 3 6.20 6.24 35 4 6.25 6.29 15 5 6.30 6.34 10 6 6.35 6.39 5

a) Calcule las medidas de tendencia central.Calcule la desviación estándar y el coeficiente de variación. b) Calcule el coeficiente de sesgo y curtosis c) Dibuje un histograma, ojiva y grafico circular.

6.- Usando el criterio de Sturges para el número de clases, establezca los límites de clase y limites reales adecuados para elaborar una distribución de frecuencias. a) n=120 Xmen=5.5 Xmay=12.3 b) n=250 Xmen=0.35 Xmay=0.65


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CAPÍTULO II

PROBABILIDAD

Competencias específicas a desarrollar en este Capí tulo:

� Definir Probabilidad.

� Conceptualizar todo lo referente a la Teoría de las Probabilidades.

� Construir el espacio muestral que corresponda a cada experimento aleatorio.

� Establecer la diferencia entre los tipos de eventos aleatorios.

� Manejar y aplicar las diferentes operaciones con conjuntos.

� Representar por medio de Diagramas de Venn-Euler las operaciones con conjuntos.

� Aplicar los diferentes enfoques con que se maneja la Estadística.

� Conocer y manejar las Técnicas de Conteo más adecuadas a cada caso. � Calcular la probabilidad de diferentes tipos de eventos presentes en las aplicaciones

prácticas. � Interpretar resultados obtenidos para la toma de decisiones


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ACTIVIDAD 15

INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE PROBABILIDADES OBJETIVO .- Conocer los conceptos básicos de la Teoría de Probabilidades

La Probabilidad nace como una necesidad del estudio de fenómenos aleatorios, que se presentan muy comúnmente en las ciencias y la sociedad. En 1654 el caballero de Mére, jugador y matemático aficionado propuso a Blas Pascal un problema relativo a las oportunidades de ganar en un juego de dados. Pascal comunicó el problema a Fermat y de la correspondencia entre ambos surgió lo que después ha llegado a ser la moderna teoría de probabilidades. De esta forma el sencillo problema de un jugador originó la poderosa técnica que constituye los fundamentos de la estadística matemática, y a través de esta de gran parte de las matemáticas de la economía y de la industria. Laplace, eminente matemático francés de fines del siglo XVIII y principios del siglo XIX, describió en una ocasión la teoría de probabilidades como “ el sentido común reducido a cálculo ”. La siguiente anécdota se relaciona con lo anterior:

Dos estudiantes están tratando de decidir cómo pasar la tarde. Finalmente convienen en dejar que sea una moneda la que decida. Si sale figura van al cine; si es escudo van a una cervecería y si la moneda cae de canto estudiarán.

Este cuento no es trivial puesto que se puede aprender mucho de él. El sentido común, basándonos en la experiencia, nos dice que los muchachos no se dedicarán a estudiar. Es decir que intuitivamente sabemos que la moneda no caerá de canto, además sabemos que si la moneda es buena la posibilidad de que caiga escudo o cara es la misma. Pero hay que tener cuidado en el manejo de las probabilidades, puesto que nos pueden llevar a resultados incorrectos.

Con relación a lo anterior empezaremos dando una definición de un experimento aleatorio, el cual es una situación que se puede repetir una infinidad de veces (teóricamente) y cuyos resultados son determinados por el azar, por ejemplo: Experimento A: Observar el número que sale en la cara superior al lanzar un dado. Experimento B: Observar el tiempo que pierde una persona esperando el autobús. En todos los experimentos, tiene que pasar algo y se ha de observar algún hecho, algún proceso o sistema en funcionamiento, y hay que observar una parte de él. La cosa hecha o la parte observada junto con la observación que se saca, es el experimento. La observación misma es un resultado del experimento. Se dice que un experimento es aleatorio, si no se puede predecir el resultado antes de llevarlo a cabo, también es necesario que se pueda repetir una infinidad de veces (cuando menos en teoría, aunque la repetición no sea practicable) bajo las mismas condiciones.


37

Aunque los resultados de los experimentos aleatorios son determinados por el azar, estos pueden diferir de tal modo que exista una regularidad, por lo que se puede calcular un número que nos indique la posibilidad de que ocurra algún resultado o combinación de resultados, a este número se la conoce como Probabilidad . Al construir un modelo matemático de un experimento aleatorio, debemos considerar, las formas de describir:

a) Todos los casos posibles.

b) Los sucesos posibles o de interés.

c) La probabilidad de los sucesos. Un suceso o evento es cualquier situación que se pueda presentar durante un experimento aleatorio, en la construcción de los modelos se deben establecer las reglas para combinar posibles sucesos y calcular sus posibles probabilidades. Después de obtener un modelo abstracto, podemos estudiarlo en el papel y conseguir conocimientos muy valiosos sobre el funcionamiento del proceso. Hay que tener siempre presente, que los conceptos matemáticos usados son idealizaciones de algunos aspectos de la situación estudiada, por lo que los resultados obtenidos pueden que no concuerden con la realidad, para estar seguro de los resultados, hay que experimentar y comparar los resultados con los de nuestro modelo Realiza una investigación bibliográfica y responde las siguientes preguntas: 1.- ¿Qué es un experimento aleatorio? 2.- Menciona ejemplos de experimentos aleatorios.


38

3.- ¿Qué es un experimento determinístico y menciona ejemplos? 4.- ¿Qué es la probabilidad? 5.- ¿Qué es un evento aleatorio? 6.- ¿Cómo se validan los resultados arrojados por un modelo probabilístico?

7.-¿Qué aportaciones hacen la Teoría de la Probabilidad y los modelos Probabilísticos en tú desarrollo profesional?


39

ACTIVIDAD 16

ESPACIOS MUESTRALES

OBJETIVO .- Determinar el espacio muestral de diferentes experimentos aleatorios. Antes de empezar el cálculo de probabilidades es necesario poder describir los posibles resultados de un experimento aleatorio, la manera más conveniente de hacer esto es por medio de la teoría de conjuntos. Cuando se realiza un experimento aleatorio, pueden ocurrir un número finito o infinito de posibles resultados, al conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio se le llama Espacio muestral. Para representarlo se usará el símbolo S, el cual significa el espacio muestral de un experimento, algunos ejemplos: a) Experimento A: Observar el resultado de la cara superior al lanzar un dado S= {1,2, 3,4,5,6} b) Experimento B: Observar el resultado al lanzar una moneda S= {A, L} c) Experimento C: Medir el tiempo que espera una persona para tomar el autobús. S= {t / 15t0 ≤≤ } donde t esta en minutos.

Encuentre los elementos de un espacio muestral adecuado para cada uno de los siguientes experimentos:

1.- Observar el sexo de niños recién nacidos 2.- Determinar el número de botellas defectuosas en cajas de una docena entregadas a una tienda 3.- Observar la posición (distancia al centro) de una bala disparada sobre un blanco cuyo radio es 10 cm. 4.- Observar el número de caras que salen al lanzar dos monedas sobre una mesa.


40

5.- Contar el número de accidentes que ocurren en una carretera de una ciudad durante una semana. 6.- Determinar el tiempo que tarda un cliente en ser atendido en un banco

Al describir los espacios muéstrales, estos pueden ser discretos cuando los posibles resultados son numerables, en la mayoría de los casos podemos asignarles números enteros, por ejemplo el espacio muestral del experimento A, tiene 6 elementos, estos se pueden contar, luego es discreto . En el caso del experimento C, el tiempo de espera de la persona se encuentra entra 0 y 15 minutos, como este es un intervalo real de tiempo, no se pueden enumerar los posibles resultados, por lo tanto es continuo .

De los espacios muéstrales del ejercicio anterior, mencione cuales son

discretos y cuales son continuos.

1.- Observar el sexo del nacimiento de tres recién nacidos en un hospital 2.- Determinar el número de botellas defectuosas en cajas de una docena entregadas a una tienda 3.- Observar la posición (distancia al centro) de una bala disparada sobre un blanco cuyo radio es de 10 cm. 4.- Observar el número de caras que salen al lanzar dos monedas sobre una mesa. 5.- Contar el número de accidentes que ocurren en una carretera de una ciudad durante una semana. 6.- Determinar el tiempo que tarda un alumno en resolver un examen de estadística. Supongamos ahora el experimento D: Tirar una moneda al aire repetidas veces hasta que salga águila A y contar el número de tiradas. S={1,2,3,4,5,...} Aunque el espacio muestral tiene un número infinito de elementos es numerable, entonces es discreto.


41

Muchas veces se puede dividir un experimento en una secuencia de experimentos independientes más sencillos o ensayos, se puede decir que una sucesión así constituye un experimento compuesto . Por ejemplo: Experimento: Tirar una moneda al aire y después lanzar un dado El experimento anterior se puede dividir en dos ensayos independientes, que son los posibles resultados de la moneda y los posibles resultados del dado, entonces los posibles resultados del experimento compuesto estarán formados por pares ordenados, donde el primer elemento son los resultados de la moneda y el segundo los resultados del dado:

Espacio muestral da la moneda S1={ A , L} Espacio muestral del dado S2={1,2,3,4,5,6}

Espacio muestral del evento compuesto

S={(A,1),(A,2),(A,3),(A,4), (A,5),(A,6),(L,1),(L,2),(L,3),(L,4),(L,5),(L,6)} El espacio muestral resultante tiene 12 elementos, una consideración hecha es que los ensayos son independientes, es decir, que el resultado del primero no afecta los resultados de los siguientes. Una forma de especificar este tipo de espacios muestrales es por medio del producto cartesiano: Sean S1 , S2, S3, ..., Sn , espacios muéstrales de ensayos independientes que forman el experimento cuyo espacio muestral es S, los elementos de S estarán formados por las eneadas Escriba los espacios muéstrales de los siguientes experimentos:

a) Observar el sexo de dos nacimientos de niños en un hospital.

b) Observar el resultado de tres monedas que se tiran sobre una mesa.

c) Observar los posibles resultados de dos dados que se tiran sobre una

mesa. Al desarrollar el modelo probabilístico de un experimento aleatorio, el primer paso es la descripción del espacio muestral. Cualquier pregunta que deba hacerse, se debe responder en términos del espacio muestra.


42

ACTIVIDAD 17

EVENTOS ALEATORIOS OBJETIVO .- Determinar sucesos a partir de diferentes experimentos aleatorios.

Al efectuar un experimento aleatorio, a cada posible resultado o combinación de estos, se le conoce como sucesos o eventos aleatorios. Una definición más precisa de un evento y la ocurrencia del mismo se da a continuación: a) Cualquier subconjunto de un espacio muestra es un suceso b) Se dice que ha ocurrido un suceso E si el resultado del experimento es un punto o puntos que pertenecen a E. Para comprender el significado de las definiciones anteriores, se realiza el siguiente ejercicio: Experimento: Tirar un dado y observar el resultado de la cara superior Espacio muestral: S={1,2,3,4,5,6} A continuación se mencionan algunos eventos obtenidos del experimento: EVENTO ELEMENTOS N° DE ELEMENTOS E1= El resultado es el número 5 E1={5} n(E1)= 1 E2= El resultado es par E2={2,4,6} n(E2)= 3 E3= El resultado es menor que 5 E3={1,2,3,4} n(E3)=4 E4= El resultado sea menor o igual a 6 E4={1,2,3,4,5,6} n(E4)=6 E5= El resultado sea negativo E5={ } n(E5)=0 Los sucesos anteriores se pueden clasificar de acuerdo a características especiales que presenten: a) Eventos elementales .- Contienen un solo elemento del espacio muestral, ejemplo E1 b) Eventos con incertidumbre .- Son aquellos que no se tiene la seguridad de su ocurrencia, ejemplos E1, E2, E3. c) Eventos imposibles .- No contiene elementos del espacio muestra , ejemplo E5


43

d) Eventos seguro .- Contiene todos los elementos del espacio muestra, ejemplo E4

En los sucesos donde hay incertidumbre, no se puede conocer el resultado hasta que se lleve a cabo el experimento. Aparece aquí la necesidad de tener una teoría de probabilidades que permita calcular el grado de incertidumbre de los sucesos, es decir contar con una escala para medir dicha incertidumbre.

EJERCICIOS 1.- Proponga 3 experimentos aleatorios, determine su espacio muestra y mencione 3 eventos para cada experimento. 2.- Sea un experimento, con un espacio muestra S={a,b,c,d,}, determine todos los eventos posibles en este espacio muestra. 3.- En espacio muestral continuo, ¿Es posible determinar el número de posibles resultados para un suceso definido bajo dicho espacio?. Justifique su respuesta


44

4.- De un ejemplo de un experimento aleatorio cuyo espacio muestra sea continuo, defina 3 sucesos sobre dicho espacio. 5.- Investigue los siguientes términos:

a) Eventos complementarios

b) Eventos Mutuamente excluyentes


45

ACTIVIDAD 18

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y EVENTOS COMPLEMEN TARIOS

OBJETIVO .- Identificar los eventos mutuamente excluyentes y complementarios en diferentes situaciones

Hay dos clases de eventos muy importantes para el desarrollo de la teoría de probabilidades, los sucesos complementarios los cuales tienen la característica de que siempre que ocurre uno no puede ocurrir el otro, además al realizar el experimento debe ocurrir necesariamente uno de los dos, por ejemplo los eventos: E1= El resultado es par al lanzar un dado={2,4,6}

E 2 = El resultado es impar al lanzar un dado={1,3,5}

Al realizar el experimento es evidente que tiene que ocurrir alguno de los dos, puesto que entre ambos contienen todos los elementos del espacio muestral.

Los sucesos Mutuamente excluyentes son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo, los sucesos E1 y E2 son mutuamente excluyentes. Una forma muy conveniente para representar el espacio muestral y los sucesos es por medio de los diagramas de Venn-Euler y el uso de la notación de conjuntos. Sucesos mutuamente excluyentes Ahora podemos tratar combinaciones de sucesos, para esto se usará la notación de conjuntos:

a) Evento unión : Ocurre al menos uno de los eventos E o F E F≡ ∪ b) Evento intersección : Ocurren los eventos E y F≡ E ∩ F (en la teoría de probabilidades se omite el símbolo de intersección EF FE ∩≡ c) Evento diferencia : Ocurre E pero no F 'EF o F-E ≡

d) Evento complemento : No ocurre el evento E ≡ E’

E F


46

Ejemplo: En una escuela hay 200 alumnos, de los cuales 100 practican

fútbol, 120 practican béisbol y 50 practican ambos deportes, si se toma un alumno al azar, determine los resultados favorables a cada uno de los siguientes eventos: a) El alumno practique los dos deportes a la vez.

b) Practique fútbol pero no-béisbol. c) Practique al menos uno de los deportes. d) No practique deporte. Para resolver este problema podemos auxiliarnos de los diagramas de Venn-Euler, el número de elementos del espacio muestral es n(S)=200, sea F el conjunto de los alumnos que practican fútbol y B los que practican béisbol, entonces n(F)= 100 y n (B)=120, los que practican ambos deportes n(FB)= 50, se observa que los conjuntos B y F no son mutuamente excluyentes, puesto que tienen elementos en común: S F F ∩ B B a) Los resultados favorables del evento son el número de estudiantes que practican los dos deportes, en el diagrama de Venn-Euler es la intersección, n(FB)=50 b) Para el evento que el alumno practique fútbol pero no-béisbol, los resultados favorables es el número de elementos de la diferencia entre F y B: n(F-B)= n(F)-n(F ∩ B)=100 - 50=50

Completa los cálculos:

c) Al menos un deporte significa que practiquen béisbol, fútbol o ambos, es decir el suceso unión n(F U B)=n(F)+n(B)-n(F ∩ B)= d) Que no practique deporte son los elementos que quedan fuera de la unión, los cuales corresponden al complemento de la misma: n(FUB)’=n(S)-n(FUB)=


47

Resolver el siguiente problema: Una encuesta realizada a 500 personas sobre las preferencias a dos productos de limpieza arrojó los siguientes resultados:

200 personas usan el producto A 350 personas usan el producto B 150 personas usan ambos productos

Determinar:

a) El número de personas que usan solamente el producto A. b) El número de personas que usan al menos uno de los productos. c) No usan algún producto.


48

ACTIVIDAD 19

ENFOQUE FECUENCIAL DE LA PROBABILIDAD OBJETIVO .-Calcular la probabilidad de un suceso usando el enfoque frecuencial .

La tercera etapa del desarrollo de un modelo probabilístico es el cálculo de la probabilidad de los sucesos y combinación de los mismos, este paso es el más complicado puesto que hay que trasladar a la vida real el modelo, para ello se necesita la reflexión, intuición y experiencia. Antes de este siglo se usaban dos formas de calcular probabilidades en términos de conceptos empíricos, el enfoque frecuencial y el enfoque clásico , ahora se reconoce que estos modelos no son suficientes, pero se pueden usar para asignar probabilidades a los modelos axiomáticos. Si se estudia un suceso particular E de un experimento aleatorio, la probabilidad P(E) que hay que asignar al evento se puede obtener de la siguiente manera:

Se realiza el experimento un gran número de veces N y se cuenta el número de veces que ocurre el suceso E, representado por h, entonces la razón h/N llamada frecuencia relativa, se puede usar para estimar la probabilidad P(E).

La validez de este sistema ésta basado en la hipótesis de que existe un número llamado P(E) al cual tiende el cociente h/N calculado a partir de los distintos conjuntos de N ensayos del experimento. Matemáticamente esto se simboliza:

∞→

=

NN

hLimEP

)(

Aunque es imposible aceptar que la hipótesis es verdadera, la experiencia

muestra que se puede aceptar razonablemente. De hecho, en la mayoría de las aplicaciones de la teoría de la probabilidad a situaciones de vida diaria se usa este enfoque, por ejemplo: a) En cierta región de la República Mexicana se ha observado que en un periodo de 30 años, se han presentado 4 ciclones en 10 de los 30 años, por lo tanto la probabilidad de que en el siguiente año se presenten 4 ciclones es 10/30=0.3333=33.33% b) Un nuevo medicamento se ha probado en 500 personas que tenían un mismo padecimiento, encontrándose que en 450 se tuvieron resultados favorables, por lo tanto la eficacia del medicamento es:

P(E)=


49

Realizar los siguientes experimentos y calcular la probabilidad de que

ocurra de acuerdo al enfoque frecuencial:

1.- Lanzar una moneda diferente número de veces, por ejemplo 10, 20, 30,... y calcular las frecuencias relativas del suceso que el resultado sea cara y hacer notar que las frecuencias relativas se encuentran entre 0 y 1.

Número de lanzamientos

10 20 50

Número de caras

Probabilidad P(E)=

P(E)=

P(E)=

2.- Investigue en periódicos, revistas, etc. 5 ejemplos donde se utilice el enfoque frecuencial para calcular probabilidades. 3.- Realizar el siguiente experimento diferentes número de veces: Lanzar dos dados sobre una mesa, calcule la probabilidad de que la suma de los puntos de los dados sea 7 usando el enfoque frecuencial.

Número de lanzamientos

10 20 50

Número de veces que la suma es 7

Probabilidad P(E)=

P(E)=

P(E)=


50

ACTIVIDAD 20

ENFOQUE CLASICO DE LA PROBABILIDAD COMPETENCIA.-Calcular la probabilidad de un evento usando el enfoque clásico. En muchas aplicaciones de la teoría de probabilidades se puede describir el espacio muestral como un conjunto finito de casos que se estiman igualmente probables. Si sabemos que cada uno de los n casos posibles de S tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces cada uno tendrá la probabilidad de ocurrir 1/n, a esto se le conoce como la función de probabilidad de Laplace, filósofo y matemático, cuyo libro Théorie analytique des probabilités (1812 ) sentó las bases para establecer la teoría de probabilidades como disciplina matemática. De lo anterior podemos concluir que si un experimento tiene un espacio muestral discreto y finito S, con un número de posibles resultados N y un suceso E tiene h resultados favorables, entonces la probabilidad de ocurrencia del suceso es:

N

h

Sn

EnEP ==

)(

)()(

De acuerdo a este enfoque el cálculo de probabilidades se reduce a determinar el número los posibles resultados de E y S.

Ejemplos: a) Se tira un dado, encuentre la probabilidad de que el resultado sea par: Espacio muestral S= {1,2,3,4,5,6} suceso E={2,4,6}

%505.06

3

)(

)()( ====

Sn

EnEP

b) Se tiran dos dados, hallar la probabilidad de que la suma de los puntos sea 7. Determina el espacio muestral S= Determine los elementos del Suceso T=

Calcule la probabilidad de suceso:

==)(

)()(

Sn

TnTP

c) Se tiran dos monedas al aire, calcular la probabilidad de que aparezca una cara. Espacio muestral S={(C,C),(C,A),(A,C),(A,A)} Evento R={(C,A),(A,C)}

==)(

)()(

Sn

RnRP


51

CASOS DE ESTUDIO 1.- Una caja contiene 5 esferas rojas, 4 azules y 2 blancas, se saca una al azar, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) La esfera sea roja. b) La esfera sea azul o blanca. c) La esfera sea verde. 2.- En una caja hay 5 esferas con los números 1,2,3,4,5 se toman dos esferas al mismo tiempo: a) Determine el espacio muestra del experimento (coloque los números en los ejes y forme los pares ordenados)

b) Calcule la probabilidad de que los dos números sean pares.

c) Calcule la probabilidad de que la suma de los puntos sea par. 3.- En un recipiente hay 6 productos de los cuales 2 son defectuosos, se seleccionan 2 productos al mismo tiempo al azar: a) Determine el espacio muestra del experimento

b)Calcule la probabilidad de que uno de estos sea defectuoso

c) Calcule la probabilidad de que los dos sean defectuosos (Sugerencia: Numere los defectuosos como D1, D2 y los no defectuosos como D’1, D’2, D’3, D’4 y construye el espacio muestra de forma análoga al ejercicio 2)


52

ACTIVIDAD 21

PROBABILIDAD USANDO TEORIA DE CONJUNTOS OBJETIVO .-Calcular la probabilidad de un suceso usando la teoría de conjuntos. En una encuesta realizada a una muestra de 300 personas se obtuvieron los siguientes resultados: 200 personas toman refresco de cola, 180 personas toman refresco de sabor y 100 personas toman refresco de cola y de sabor

Calcule la probabilidad de que una persona tomada al azar: a) Tome refresco de sabor. b) Tome refresco de cola pero no de sabor. c) Tome al menos uno de los dos refrescos. d) No tome refresco de cola. e) No tome refresco.

En este caso el espacio muestra tiene 300 elementos, no es posible hacer una descripción de los elementos n(S)=300, llamemos a los que toman refresco de cola como C y a los que toman refresco de sabor como R, por lo tanto sus elementos correspondientes son n(C)=200 y n(R)=180, además n(CR)=100, lo cual queda representado en el diagrama siguiente: S C C∩ R R Calcule la probabilidad:

a) ==)(

)()(

Sn

RnRP

b) )()()( RCPCPRCP ∩−=−

c) )()()()( RCPRPCPRCP ∩−+=U

c) )(1)( ' CPCP −=

d) )(1)( ' RCPRCP UU −=


53

La solución de este problema ha generado una serie de expresiones generales o fórmulas que nos permiten calcular probabilidades de algunos tipos de eventos:

o)complement (suceso sucesoun ocurra no que de adProbabilid )(1) (

diferencia sucesoun de idadProbababil )()()(

)()()(

:entonces 0,=P(CR)sean lo si que de caso

elen pero s,excluyente mutuamenteson no Ry C Si )()()()(

' CPCP

CRPCPRCP

RPCPRCP

CRPRPCPRCP

−=

−=−+=

−+=

U

U

La validez de las expresiones anteriores se puede demostrar usando los axiomas de la probabilidad. 1.- Mediante una encuesta se preguntó a 500 personas su preferencia por dos periódicos de la localidad, obteniendo los siguientes resultados: 250 leen El Sol, 300 leen El Debate y 100 leen ambos periódicos, si se toma una persona al azar, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que lea solamente el sol. b) Que no lea el periódico.

2.- Una empresa a determinado que la probabilidad de que una persona conozca sus productos por la radio es del 35%, por la TV es del 55%, y por ambos medios es del 15%, calcule he interprete los que se te pide:

a) T)-P(R b) =R)-P(T c) =∪ R)P(T d) =∩ )R'P(T'


54

ACTIVIDAD 22

TÉCNICAS DE CONTEO

OBJETIVO .- Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de elementos de un espacio muestra o suceso. Como se ha visto en la sección anterior, el cálculo de probabilidades se reduce a contar el número de posibles resultados del espacio muestra y de los sucesos. En muchos casos a resolver es posible encontrar los posibles resultados sin hacer la lista de los elementos o sin describir los conjuntos S y E.

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es un esquema que se usa como herramienta para determinar las diferentes formas en que se puede llevar a cabo un experimento o suceso, por ejemplo: supóngase que se lanzan tres monedas sobre una mesa, como se mencionó anteriormente este experimento lo podemos describir por medio de tres experimentos más simples, que son los resultados de cada moneda, entonces dado el resultado de cada moneda podemos considerar los resultados de las siguientes formando una ramificación, como se muestra en la figura: A A,A,A A L A,A,L A A A,L,A L L A,L,L A L,A,A A L L,A,L L A L,L,A L L L,L,L El espacio muestral tiene 8 elementos, aunque aquí aun se describen los elementos, es una forma más ordenada de obtener los resultados, además nos permite obtener un principio básico para las técnicas de conteo, obsérvese que los posibles resultados de los experimentos simples son 2 para cada uno y el resultado del espacio muestra total es 2x2x2=8, a este principio se le llama Principio Multiplicativo .


55

El diagrama de árbol es adecuado cuando el número de posibilidades es pequeño. El siguiente ejemplo muestra como se usa este principio, el cual es adecuado cuando el número de posibles resultados es demasiado grande:

Un estudiante desea hacer una clave de acceso para un sistema de computadora, para esto solo puede usar los números de 1 al 9, si la clave debe tener 4 números, de cuantas formas diferentes la puede hacer si: a) Se permite repetir los números

b) No se permiten repetir los números

Solución: Como la clave debe tener 4 números, podemos considerar las posibilidades para cada posición, si se permite repetir, coloca los posibles números que se pueden colocar en cada posición: Posición 1a 2da 3ra 4ta

Posibilidades ___ ___ ___ ____ El total de posibles números se obtiene multiplicando las posibilidades = Si no se permite la repetición, la cantidad de números que se pueden colocar después de la primera disminuye en uno, puesto que el número ya asignado no se puede colocar de nuevo

Posición 1a 2da 3ra 4ta

Posibilidades ___ ___ ___ ___ Total de posibles números = De acuerdo a lo anterior, se puede establecer el siguiente principio multiplicativo: Sea un evento E el cual se puede dividir en una serie de ensayos o acciones E1, E2,…,Ek, los cuales pueden ocurrir de n1, n2, …, nk formas, entonces el evento E puede ocurrir de n1x n2x …xnk


56

Usando el principio multiplicativo enunciado resuelve los siguientes problemas: 1.- En una ciudad se forman las placas de los automóviles usando dos letras del alfabeto y cuatro números del 0 al 9, determine cuantas placas diferentes se pueden fabricar sí: a) Se pueden repetir las letras y los números b) Solamente se pueden repetir los números 2.- De una baraja de 52 cartas se sacan dos cartas una tras otra, calcule la cantidad de formas diferentes en que pueden ocurrir los siguientes eventos, suponiendo que la primera carta se regresa a la baraja y se baraja antes de sacar la segunda: a) La primera sea un as y la segunda un 3 b) La primera sea un corazón negro y la segunda un rey c) Una sea un 5 d) El número total de formas en que pueden aparecer las dos cartas. 3.- Resuelva el ejemplo anterior si la primera carta no se regresa a la baraja. 4.- Se tienen 5 números de los cuales tres son impares y dos pares, cuantas cantidades diferentes se pueden formar de 3 números sí: a) Los números se pueden repetir. b) La cantidad debe ser par y no se pueden repetir los números. c) La cantidad debe ser par y se pueden repetir los números.


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ACTIVIDAD 23

TÉCNICAS DE CONTEO, PERMUTACIONES

OBJETIVO .- Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de posibles resultados de un suceso o experimento, donde se considera el orden.

ORDENAMIENTOS CON REPETICIÓN

Al determinar el número de posibles formas en que puede ocurrir un suceso estamos determinando los posibles ordenamientos de los elementos, en el caso de un suceso que se puede dividir en k sucesos simples y si los elementos se pueden repetir, es decir los resultados son independientes, entonces las formas en que puede ocurrir el evento compuesto son: Suceso 1 2 3 4 ... k Posibilidades n n n n ... n Usando el principio multiplicativo, la cantidad total de formas es: n x n x n x n...x n= nk Por ejemplo, si un dado se lanza cuatro veces consecutivas, el número de formas en que puede ocurrir el espacio muestra es 64=1296 ORDENAMIENTOS SIN REPETICIÓN (PERMUTACIONES) Si ahora consideramos los diferentes resultados de un experimento o suceso en el cual los elementos no se pueden repetir, tendremos un ordenamiento sin repetición, si el primer elemento puede ocurrir de n formas, el siguiente podrá ocurrir de n-1 formas, el tercero de n-2 y así sucesivamente hasta que el último solo puede ocurrir de 1 forma, suponiendo que considerados igual numero de sucesos que elementos posibles, entonces el número total de formas es: Posición 1 2 3 4 ... k ... n-1 n Posibilidades n n-1 n-2 n-3 n-3 … n-(k-1) … 2 1 Usando el principio multiplicativo: Total de formas n(n-1)(n-2)(n-3)... {n-(k-1)}...(2)1= n! A la operación anterior se le llama el factorial de n y se representa por n!, entonces:

!nPnn = La expresión anterior se lee: Permutaciones de n elementos tomados de n elementos, todos a la vez.


58

Ejemplo: Determinar de cuántas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas si hay 5 lugares. Como una persona solo puede ocupar un solo lugar, el problema se refiere a ordenamientos sin repetición: 5P5 = 5! = (5)(4)(3)(2)(1)=120 formas Supongamos que en el ejemplo anterior solo hay tres lugares, entonces el número de formas diferentes es: Lugar 1 2 3 Posibilidades 5 4 3 La cantidad total es (5)(4)(3)=60 formas. Si consideramos que tenemos n elementos los cuales se ordenan en k posiciones: Posición 1 2 3 4 ... k Posibilidades n n-1 n-2 n-3 n-(k-1) El número total de formas es n(n-1)(n-2)(n-3)...{n-(k-1)}=nPk esta operación se puede realizar con la siguiente formula:

)!(

!

kn

nPkn −

=

Lo cual se lee: permutaciones de n elementos tomados k a la vez

Para nuestro ejercicio 602

120

!2

!5

)!35(

!535 ===

−=P

Por definición: 0!=1

Ejemplo: Una persona tiene 6 libros diferentes de física y 4 libros de matemáticas, determine de cuantas maneras diferentes: a) Puede acomodar solo los libros de Física. b) Si acomoda todos los libros a la vez. c) Si los libros de Física y Matemáticas deben estar juntos.


59

Solución.

a) Si solo se consideran los libros de Física, son las permutaciones 6P6= 6!= 720

b) Las formas diferentes tomando todos los libros a vez 10P10=10!=3 628 800 c) Al considerar los libros en bloque, se obtienen las permutaciones de cada uno y luego se usa el principio multiplicativo, además como se pueden permutar los grupos entre sí, se debe multiplicar por 2!:

Libros de Física 6P6= 6!= 720

Libros de Matemáticas 4P4=4!=24 Permutaciones Totales = 2(6P6)( 4P4)=2(17 280)=34 560

PERMUTACIONES CON ELEMENTOS NO TODOS DIFERENTES

En algunos tipos de CASOS A RESOLVER los elementos que se permutan no son diferentes entre si, por ejemplo consideremos el caso de determinar los números diferentes que se pueden formar con los números 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 tomándolos todos a la vez, obsérvese que al cambiar de lugar los números idénticos la cantidad formada no cambia, las formas diferentes de permutar los todos los números a la vez es 7! , pero hay que considerar las permutaciones de los elementos idénticos que son 2! (para los unos), 3! (para los dos) y 2! (para los tres), entonces el total de números diferentes es:

21024

5040

)2)(6)(2(

5040

!2!3!2

!72,3,27 ====P

En general cuando se permutan n elementos tomados todos a la vez y exciten grupos de elementos idénticos n1, n2 ,... , nk, las permutaciones diferentes son:

!!...!!

!

321,...,, 321

knnnnn nnnn

nP

k=


60

CASOS A RESOLVER

1.- Una persona olvidó su clave de acceso a un sistema de computadoras, la clave esta formada por 4 números, determina cuántas formas diferentes puede tener la clave si no se permite repetir los números.

2.- Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila, de cuántas formas se pueden acomodar si:

a) Pueden sentarse en cualquier lugar

b) Las mujeres y los hombres deben estar juntos

c) Los hombres deben estar en los sitios impares

3.- Un estudiante pondrá una repisa en su cuarto y desea colocar 6 libros de física, 5 de matemáticas y dos novelas, de cuantas formas los puede acomodar si:

a) No existe restricción b) Los libros de cada tipo deben estas juntos c) Solo las novelas deben estar juntas

4.- Determine de cuántas maneras se pueden permutar las letras a, a, a, b, b, b, b, c, c tomándolas todas a la vez.


61

ACTIVIDAD 24

SELECCIÓN DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO: COMBINACIONE S OBJETIVO .- Calcular el número de posibles selecciones de elementos de un conjunto. Cuando se seleccionan elementos de un conjunto sin importar el orden de aparición, se dice que se efectúo una combinación, supongamos que tenemos cuatro letras diferentes a, b, c, d y queremos seleccionar 3 de ellas. Para determinar el número de posibles selecciones, se hace la siguiente lista:

a,b,c a,b,d b,c,d a,c,d Obsérvese que estos resultados al multiplicarlos por sus posibles permutaciones, tenemos las permutaciones de n elementos tomados en k. Si llamamos a las selecciones anteriores como nCk tenemos:

nPk= k! nCk

!)!(

!

! kkn

n

k

PC kn

kn −==

Para nuestro ejemplo: 4)6)(1(

24

!3!1

!4

!3)!34(

!434 ===

−=C , lo cual reafirma el

resultado obtenido en las selecciones de las letras.

CASOS A RESOLVER

1.-¿ De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 personas de un grupo de 7.? 2.- En un grupo hay 8 hombres y 6 mujeres, se quiere seleccionar 4 hombres y 3 mujeres para formar un comité, de cuantas formas se puede formar ese comité. 3.- Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿Cuántas palabras pueden formarse, que contengan 4 consonantes y 3 vocales?, No es necesario que tengan sentido


62

ACTIVIDAD 25

INDEPENDENCIA ESTOCASTICA

OBJETIVO .- Calcular probabilidades de eventos que se pueden dividir en ensayos independientes o dependientes Al realizar un experimento aleatorio, los resultados de los eventos pueden depender unos de otros, por ejemplo supongamos que tenemos una urna con 5 esferas rojas y 4 azules y sacamos dos esferas una tras otra, reemplazando la primera esfera, es decir el resultado de la primera extracción no afecta la segunda, en este caso se dice que los eventos son independientes, calculemos la probabilidad del, siguiente suceso: que la primera esfera sea roja y la segunda azul, el espacio muestra tiene 9x9=81 posibles resultados, mientras que el suceso tiene 5x4=20 resultados favorables, entonces:

2469.081

20

)(

)()( ===

Sn

EnEP

Ahora consideremos lo siguiente, el evento E se puede expresar como un evento compuesto E1 y E2, donde: E1 : es el resultado de la primera esfera E2 : es el resultado de la segunda esfera Recordemos que el espacio muestra es el producto cartesiano de los espacios muéstrales de cada evento: S1 : posibles resultados de la primera esfera S2 : posibles resultados de la segunda esfera Usando de nuevo la definición de probabilidad:

)()()(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)(

)()()( 21

2

2

1

1

21

21

21

2121 EPEP

Sn

En

Sn

En

SnSn

EnEn

xSSn

xEEnEEPEP =⋅====

A esta ecuación se le conoce como la probabilidad de eventos independientes definidos en espacios compuestos, usemos la fórmula para calcular la probabilidad del evento anterior:

2469.081

20

9

4

9

5)()()()( 2121 ==⋅=== EPEPEEPEP

Supongamos que la primera esfera no se regresa a la urna, entonces el espacio muestra de la segunda esfera se disminuye en uno, el principio anterior


63

sigue siendo valido, solo hay que indicar que existe una dependencia del segundo resultado con respecto al primero:

27777.018

5

72

20

8

4

9

5)/()()()( 12121 ===⋅=== EEPEPEEPEP

La expresión 21 / EE se lee:”el evento E2 dado que ya ocurrió el evento E1” Las expresiones anteriores nos permiten calcular probabilidades de experimentos los cuales se pueden especificar como una sucesión de ensayos , y pueden ser dependientes o independientes, en general las expresiones a usar serian:

)../().../()/()()...,,,()(

)()...()()(),..,,,()(

121213121,321

321321

−====

nnn

nn

EEEEPEEEPEEPEPEEEEPEP

EPEPEPEPEEEEPEP

La primera expresión para eventos independientes y la segunda para

eventos dependientes. Ejemplo: Un experimento consiste en lanzar una moneda 5 veces consecutivas, calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a) Las dos primeras sean águilas b) Dos sean caras Solución: Obsérvese que este experimento consiste en una serie de ensayos independientes, puesto que el resultado de cada moneda no se ve afectado por el resultado de las anteriores. a) En este suceso se especifica el orden de aparición de los resultados:

32

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)()()()()(),,,,( === CPCPCPAPAPCCCAAP

b) Al decir dos caras, no se especifica el orden de aparición, por lo tanto hay que considerar todo los posibles resultados: ),,,,(...),,,,(),,,,(CARAS) 2( CCAAAPAACACPAAACCPP +++= Se puede observar que el suceso tiene 10 posibles resultados, los cuales tienen igual probabilidad de ocurrir, además los posibles resultados son las permutaciones de 5 elementos en grupos de elementos no diferentes entre si, entonces el cálculo de la probabilidad se reduce a determinar la probabilidad de un solo resultado y multiplicarlo por las posibles permutaciones:


64

%25.313125.0

16

5

32

10

8

1

4

110

2

1

2

1

!3!2

!5

)()( )()()()()( CARAS)= 2(32

323,253,25

====

=

=

= APCPPAPAPAPCPCPPP

Ejemplo: En una escuela el 60% de los estudiantes son católicos, el 30%

protestantes y el resto no profesan alguna religión, se toman 8 alumnos al azar, suponiendo que el porcentaje de alumnos no se altera al tomar los elementos de la muestra, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) 4 sean católicos, 2 protestantes y 2 ateos b) 5 sean católicos c) 3 sean católicos y 5 protestantes

Solución: Obsérvese que en todos los eventos los ensayos son sin orden de aparición y además independientes. a) Se considera la secuencia de 4 católicos, 2 protestantes y 2 ateos y sus permutaciones

%89.404898.0)01)(.09.0)(1296.0(420

)1.0()3.0()6.0(!2!2!4

!8)()()()2,2,4( 224224

2,2,48

===

== APPPCPPAPCP

b) Al considerar 5 católicos, los restantes se pueden agrupar como no católicos:

%87.272787.0

)064.0)(07776.0(56)4.0()6.0(!3!5

!8)()()3,5( 353'5

3,58'

==

=== CPCPPCCP

c) 3 católicos y 5 protestantes

%94.20294.0

)00243.0)(216.0(56)3.0()6.0(!5!3

!8)()()5,3( 5353

5,38

==

=== PPCPPPCP

Ahora se consideran ensayos en los cuales el resultado de cada uno afecta a los siguientes, es decir hay dependencia.


65

Ejemplo: En una caja hay 12 esferas, de las cuales 5 son rojas, 4 blancas y 3 azules, se toman 4 esferas al azar sin reemplazo, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sean 2 rojas, una blanca y una azul en ese orden

b) Sean 1 roja, 2 blancas y una azul c) Sean 3 rojas

Solución: a) En este caso se establece un orden especifico, por lo tanto hay un solo

resultado:

%02.20202.099

2

11880

240

9

3

10

4

11

4

12

5)/()/()/()(),,,(

===

=⋅⋅⋅== RRBAPRRBPRRPRPABRRP

b) No se establece un orden específico de aparición, por lo cual hay que considerar todas las posibilidades, es decir las permutaciones:

9

5

10

3

11

4

12

3...

9

3

10

5

11

3

12

4

9

3

10

3

11

5

12

4

9

3

10

3

11

4

12

5

)/()/()/()(

...)/()/()/()()/()/()/()(

),,,(...),,,(),,,(),,,(),2,(

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

+++=

++++=

ABBRPABBPABPAP

BRBAPBRBPBRPBPRBBAPRBBPRBPRP

RBBAPARBBPABRBPABBRPABRP

Obsérvese que todos los posibles resultados tienen la misma probabilidad, por lo cual se puede utilizar el mismo principio donde los ensayos son independientes, es decir calcular la probabilidad de uno de ellos y multiplicarlo por las posibles permutaciones.

%18.181818.011

2

11880

2160

11880

18012

9

3

10

3

11

4

12

5

!1!2!1

!4)/()/()/()(),2,( 1,2,14

====

=

== RBBAPRBBPRBPRPPABRP

Este mismo resultado lo podemos obtener usando combinaciones, considerando las posibles selecciones de cada una de las categorías.

%18.181818.011

2

495

90

495

)3)(6(5),2,(

412

132415 =====⋅⋅

=C

CCCABRP

c) Sean 3 rojas

%14.141414.099

14

495

70

495

)7)(10(),3(

412

1735' =====⋅

=C

CCRRP


66

CASOS A RESOLVER

1.- En un hospital ocurrieron 6 nacimientos, si se sabe que 3

2 de los

nacimientos son mujeres, calcule la probabilidad de que: a) Los dos primeros sean hombres y las restantes mujeres. b) 3 sean hombres. c) Al menos dos sean niños. 2.- Se lanzan dos dados en 5 ocasiones, calcule la probabilidad de que la suma de los puntos sea 7: a) En uno de los lanzamientos. b) En tres de los lanzamientos. 3.- En una caja hay 8 esferas rojas, 5 azules y 4 blancas, si se extraen 5 esferas al azar, sin reemplazo, calcule la probabilidad de que:

a) 2 sean rojas y 3 blancas. b) Cuando más una sea roja. 4.- La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 años es de 3/5 y la probabilidad de que la mujer viva es de 2/3, calcular la probabilidad de que:

a) Ambos vivan. b) Viva solamente el hombre. c) Viva solamente la mujer. d) Viva al menos uno.


67

5.- En una empresa se sabe que el 40% de los empleados trabaja en el departamento de producción, 30 % en acabado y el resto en mantenimiento, se toma una muestra de 10 empleados al azar, calcule la probabilidad de que: a) 4 sean de producción, 3 de acabado y 3 de mantenimiento. b) 5 sean de producción. c) Al menos uno sea de mantenimiento. 6.- Una caja contiene 50 tornillos, de los cuales 45 están bien construidos y el resto defectuosos, un empleado toma 6 tornillos al azar, cual es la probabilidad de que: a) Ninguno esté defectuoso. b) 2 sean defectuosos. c) Al menos uno sea defectuoso (resuelva con reemplazo y sin reemplazo).


68

ACTIVIDAD 26

PROBABILIDAD CONDICIONAL Y TOTAL OBJETIVO .- Calcular la probabilidad de eventos dependientes usando la probabilidad total En la sección anterior se consideraron sucesos los cuales se pueden dividir en ensayos, ahora se consideran sucesos donde se hace una sola observación y se quiere calcular la probabilidad condicional del evento dado que sabemos que ha ocurrido otro suceso, para esto analicemos la siguiente situación. En un salón con 20 estudiantes 8 fuman, 12 usan gafas y 6 fuman y usan gafas, se toma un alumno al azar y resulta que usa gafas, ¿Cuál es la probabilidad de que fume?. La información del problema se puede representar por medio de un diagrama de Venn-Euler: S n(S)=20 n(F)= 8 n(G)=12 F F∩ G G n(FG)=6 En nuestro problema al saber que el alumno usa gafas, necesariamente proviene de conjunto G, entonces nuestro espacio muestral se reduce a los elementos de G, para que el alumno también fume debe pertenecer a la intersección FG, por lo tanto:

5.012

6

)(

)()/( ==∩=

Gn

GFnGFP

Si dividimos el numerador y denominador entre n(S) tenemos como resultado:

)(

)(

)(

)()(

)(

)/(GP

GFP

Sn

GnSn

GFn

GFP∩=

∩

=

A esta se le conoce como la probabilidad condicional del suceso F dado que ocurrió el suceso G.


69

Supongamos ahora que tenemos la siguiente situación, en una caja hay dos urnas, en una de ellas hay 3 esferas rojas y 4 azules, en la otra hay 5 esferas rojas y 3 azules, si se elige al azar una esfera de cualquier urna, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja. En este caso la probabilidad de que sea roja dependerá de la urna que se tomó la esfera, es decir, tenemos dos posibilidades, que sea roja dado que se tomó de la urna 1 o que sea roja dado que se tomó de la urna 2: )2/()2()1/()1()( URPUPURPUPRP += Como la probabilidad de tomar cualquier urna es la misma: 5267.0112/5916/5 14/3)8/5)(2/1()7/3)(2/1()( ==+=+=RP A esta probabilidad se le llama probabilidad total. El resultado anterior puede generalizarse como: sean E1 , E2 , E3,... Ek sucesos mutuamente excluyentes y complementarios y Q un suceso cuya ocurrencia depende de los eventos Ek, entonces: )/()(...)/()()/()()( 2211 KK EQPEPEQPEPEQPEPQP +++= Ejemplo: Un monedero contiene dos monedas de plata y 4 monedas de cobre, un segundo monedero contiene 4 monedas de plata y 3 de cobre, si se elige al azar una moneda de uno de los monederos, cual es la probabilidad de que sea de plata. Aquí E1 es el suceso de escoger el primer monedero y E2 escoger el segundo monedero, el evento Q es que la moneda sea de plata, como se puede tomar cualquier monedero P(E1)=P(E2)=1/2, las probabilidades condicionales de tener la moneda de plata dependerán del monedero P(Q/E1)=2/6 y P(Q/E2)=4/7: P(Q)=(1/2)(2/6) + (1/2)(4/7)=1/6 + 2/7= 19/42 =0.4523


70

PROBLEMAS 1.- Una encuesta realizada a un grupo de personas reveló que el 60% prefiere los refrescos de cola, el 50% prefieren el refresco de sabor y el 30% prefiere ambos refrescos, si se toma una persona al azar, calcule la probabilidad de que: a) Si se sabe que toma refresco de cola, que no tome refresco de sabor.

b) Si se sabe que toma refresco de cola que también tome refresco de sabor.

2.- Una empresa se dedica a la fabricación de tornillos, para esto cuenta con tres máquinas, la primera tiene un 3% de defectuosos, la segunda un 5% y la tercera una 2%, como la primera es mas nueva fabrica el 50% de los tornillos, la segunda el 30% y la tercera el resto, si se toma un tornillo al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?. 3.- Una prueba para detectar el SIDA da positiva el 90% de los casos que realmente tienen SIDA y da positiva en el 5% de los casos que no lo tienen, si se estima que en una población el 8% de los habitantes son portadores de la enfermedad, si una persona al azar se hace un examen ¿cuál es la probabilidad de que sea positivo?. 4.- En un salón de clases hay 6 mujeres y 4 hombres, en un segundo salón hay 5 mujeres y 8 hombres, en un momento dado un alumno se pasa del salón 1 al salón 2, si después se selecciona al azar un alumno del segundo salón, calcule la probabilidad de que sea hombre.


71

ACTIVIDAD 27

PROBABILIDAD USANDO LA REGLA DE BAYES OBJETIVO .- Calcular la probabilidad de eventos dependientes usando la regla de Bayes Otra aplicación de la probabilidad condicional es el Teorema de BAYES , el cual se usa para calcular la probabilidad de un evento dado que sabemos que ocurrió un resultado, consideremos el siguiente ejemplo: Una prueba para detectar el SIDA da positiva el 90% de los casos que realmente tienen SIDA y da positiva en el 5% de los casos que no lo tienen, si se estima que en una población el 8% de los habitantes son portadores de la enfermedad, si una persona al azar se hace un examen, si el resultado fue positivo ¿cuál es la probabilidad de que tenga realmente SIDA? En este problema sabemos que el resultado de la prueba fue positivo, pero existen dos situaciones en las que es positivo, que tenga SIDA y sea positivo y que no tenga la enfermedad y sea positivo, esto lo podemos representar por medio de un árbol de decisiones: EExxaammeenn ppoossii ttiivvoo PP((PP//SS))==9900%% TTiieennee SSIIDDAA PP((SS))==88%% EExxaammeenn nneeggaattiivvoo PP((NN//SS))==1100%% EExxaammeenn ppoossii ttiivvoo PP((PP//SS’’ ))==55%% NNoo ttiieennee SSIIDDAA PP((SS’’ ))==9922%% EExxaammeenn nneeggaattiivvoo PP((NN//SS’’))==9955%% Como sabemos que el resultado del examen fue positivo, el espacio muestra se reduce a los eventos donde el resultado es positivo, por lo tanto:

%01.616101.0118.0

072.0

046.0072.0

072.0

)05)(.92.0()09)(.08.0(

)9.0)(08.0(

)/()()/()(

)/()(

)(

)()/(

''

===+

=

+=

+==

SPPSPSPPSP

SPPSP

PP

SPPPSP

De acuerdo al resultado anterior la confiabilidad de la prueba es de solo 61.01%, es decir, es de esperarse que de cada 100 personas que se realicen la prueba en aproximadamente 61 si el resultado es positivo tendrá realmente la enfermedad. Al generalizar la expresión se obtiene el teorema de Bayes:


72

Sean los eventos E1 , E2 , E3, ... , Ek mutuamente excluyentes y complementarios y E un evento cuya ocurrencia depende de los eventos Ek, entonces la probabilidad condicional de un evento Ek dado que ocurrió el evento E es:

∑=

=

+++++=

∩=

k

nnn

ii

KKii

ii

ii

EEPEP

EEPEP

EEPEPEEPEPEEPEPEEPEP

EEPEP

EP

EEPEEP

1

2211

)/()(

)/()(

)/()(...)/()(...)/()()/()(

)/()(

)(

)()/(

Ejemplo: Una de las piezas utilizadas para armar una maquinaria son fabricadas por tres empresas, la empresa uno proporciona el 30% de las piezas, la empresa 2 el 50% y la empresa 3 el resto de las piezas, se sabe que de las piezas que entrega la empresa 1 el 4% son defectuosas, de la empresa 2 el 2% y de la empresa 3 el 5%, si una de las máquinas falla debido al mal estado de una pieza, cual es la probabilidad de que provenga la pieza de la empresa 1: En este problema los eventos complementarios son la procedencia de las piezas P(E1)=30%, P(E2)=50% y P(E3)=20%, sea E que la pieza falle, entonces esta probabilidad depende de la empresa de donde procede la pieza, P(E/E1)=4%, P(E/E2)=2% y P(E/E3)=5%, la probabilidad que se busca es P(E1/E):

%5.37375.0)05.0)(2.0()02.0)(5.0()04.0)(3.0(

)04.0)(3.0(

)/()()/()()/()(

)/()()/(

332211

111

==++

=

++=

EEPEPEEPEPEEPEP

EEPEPEEP

Esto significa que el 37.5% de las veces que las máquinas fallen, la pieza defectuosa proviene de la empresa 1. Calcule la probabilidad que la pieza provenga de las otras empresas y compruebe que la suma de las probabilidades es 1.


73

CASOS A RESOLVER

1.- En una empresa el 40% de los empleados trabajan en el departamento de producción, de los que trabajan es ese departamento el 30% son mujeres y de los que no trabajan en producción el 50% son mujeres, se toma un empleado al azar y resulta ser hombre, cual es la probabilidad de que sea del departamento de producción. 2.- En una ciudad se sabe que el 30% de los conductores ha tenido un accidente grave, de los que han sufrido accidentes el 20% son mujeres y de los que no han sufrido accidentes el 40% son mujeres, si se escoge una persona al azar y resulta ser hombre, ¿Cual es la probabilidad de que haya sufrido un accidente grave?.

3.- En una caja hay 8 productos de los cuales 3 son defectuosos, en una segunda caja hay 10 productos de los cuales 2 son defectuosos, una persona saca un producto de la primera caja y lo coloca en la segunda, después saca un producto al azar de la segunda caja y resulta ser defectuoso, calcule la probabilidad de que el producto que se paso de la primera caja a la segunda fue defectuoso.

4.- El departamento de contabilidad de una empresa está compuesto por70% de personas tituladas y 30% de pasantes. Si se sabe que el 40% de los titulados elabora pólizas de nóminas y que el 60% de los pasantes elabora ese tipo de pólizas, ¿Cuál es la probabilidad de que el encargado de las pólizas sea titulado?.


74

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

RESPONDE O RESULVE LO QUE SE TE PIDE EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS. 1.- ¿Qué es un fenómeno aleatorio y un fenómeno determinístico? 2.- Define los siguientes términos: a) Probabilidad . b) Espacio muestral . c) Evento. 3.- Menciona 3 experimentos aleatorios cuyo espacio muestral sea discreto y 3 de tipo continuo (diferentes a los de las notas). 4.- Para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, proponga un espacio muestra adecuado:

a) Lanzar tres monedas. b) Contar el número de accidentes que ocurren en una fábrica en un día c) Medir el tiempo en que una persona llega de su casa a su trabajo d) Contar el número de veces que se lanza un dado hasta que la suma de

los puntos sea 7 5.- Para los experimentos anteriores, proponga 2 sucesos para cada uno. 6.- Explique en que consiste el cálculo de probabilidades usando el enfoque frecuencial y clásico. 7.- Para los sucesos siguientes, determine si son mutuamente excluyentes o no lo son A= El resultado sea un as al sacar una carta de una baraja. B= El resultado sea un trébol . A= El número de defectuosos es mayor de 3. B= El número de defectuosos es menor que 5. 8.- Usando el enfoque clásico o frecuencial, calcule la probabilidad de las siguientes situaciones:

a) El resultado de la suma de los puntos sea impar al lanzar un par de dados. b) Un tornillo sea defectuoso, si después de analizar 100 tornillos 5 fueron defectuosos.

c) Aparezca 1 cara al lanzar tres monedas. d) Que un medicamento sea efectivo, si al aplicarse a 1000 pacientes en 998 fue efectivo. e) Que una esfera sea roja o azul al tomarse de una urna donde hay 5

rojas, 4 azules y 3 verdes.


75

9.- Determine el número de formas diferentes en que pueden ocurrir las siguientes situaciones:

a) Formar números telefónicos diferentes de 6 dígitos, el primer digito no pude ser cero.

b) De un grupo de 5 libros de Física, 8 de Matemáticas y 3 de Química, seleccionar 6 libros de tal manera que dos sean de cada materia.

c) Con las letras R,R,R,T,T,T,T,E,E cuantas permutaciones diferentes se pueden hacer tomando todas las letras a la vez.

d) Sentar a 4 mujeres y 5 hombres, de tal manera que los hombres y las mujeres estén siempre juntas.

10.- Un experimento consiste en lanzar un par de dados en 5 ocasiones y observar la suma de los puntos, calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

a) la suma de los puntos que aparezca sea 4,5,6,7,8 en ese orden. b) que caigan 2 onces de las 5 tiradas. c) caigan 3 cuatros de las 5 tiradas.

11.- Se toma cinco cartas al azar de una baraja de 52 cartas sin reemplazo, calcule la probabilidad de aparezcan los siguientes juegos:

a) tres ases y dos reyes. b) flor de tréboles. c) tercia de reyes.

12.- Una compañía empaca sus productos en cartones de 12 unidades, si la probabilidad de que un producto este defectuoso es del 1.5%, calcule la probabilidad de que en un cartón:

a) Un producto este defectuoso. b) Al menos dos productos estén defectuosos.

13.- Sean los eventos A= el resultado sea par al lanzar un dado y B= Se obtiene cara al lanzar una moneda, interpreta literalmente los siguientes eventos: BAABBABABA ′∩′−∪′∩∩ 14.- Suponga que A y B son eventos de un espacio muestral S tales que P(A)=0.6 ; P(B)=0.4 y 2.0)( =∩ BAP , calcule: )( d) )( c) )( b) )( a) BAPBAPBAPBAP −′∩′∩′∪ 15.- Un patrón desea llenar dos puestos con personas de un grupo de 13 empleados, de los cuales 5 son hombres y 8 mujeres, si los selecciona sin


76

conocer su identidad del empleado ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea hombre y otro mujer?, ¿Qué ambos sean hombres?. 16.- En una escuela el 20% de los niños tiene el vista defectuosa, 8% tienen el oído defectuoso y el 4% tienen vista y oído defectuoso, si se selecciona un niño al azar, calcule la probabilidad:

a) Tenga vista defectuosa pero no el oído. b) Tenga vista u oído defectuoso. c) No tenga vista defectuosa. d) Este sano de la vista y el oído.

17.- En una escuela el 15 % de los estudiantes usan lentes, de los que usan lentes el 45% son mujeres y de los que no usan lentes el 65% son mujeres, si se toma un alumno al azar, calcule la probabilidad:

a) Use lentes y sea hombre. b) No use lentes y sea mujer. c) Si se sabe que usa lentes que sea hombre, d) Si no usa lentes que sea hombre.

18.- Una empresa transportista tiene un gran número de camiones, el 40% salieron hacia el norte, 30% salieron al oeste y el resto al sur, de los que salieron al norte el 5% presentó un desperfecto, del los que salieron al oeste el 3% presento algún desperfecto y de los que salieron al sur el 4% presentaron un desperfecto, se toma un camión al azar y se encuentra que presenta un desperfecto, calcule la probabilidad de que sea del norte. 19.- Una compañía tiene tres divisiones, en la siguiente tabla se muestra el porcentaje de la producción y el porcentaje de productos defectuosos:

División 1 2 3 % de producción 35% 40% 25% % de defectuosos 4% 5% 2%

Si a una tienda se entrega un producto y este es defectuoso, calcule la

probabilidad de que sea de la segunda división


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CAPÍTULO III

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Competencias específicas que contiene este Capítulo:

Definir distribución de probabilidad.

Construir tablas de distribuciones de probabilidad.

Establecer la diferencia entre tipos de distribuciones de probabilidad presentes en las aplicaciones prácticas.

Aplicar la integral definida para el cálculo de probabilidades.

Usar Tablas para definir probabilidades.

Plantear y resolver problemas que representan situaciones reales propias de la especialidad.

Interpretar resultados obtenidos.

Tomar decisiones.


78

ACTIVIDAD 28

VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

OBJETIVO .-Construir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Una formalización de la teoría de probabilidades se logra introduciendo dos conceptos matemáticos que son: variable y función , recordemos que el primero se refiere a un símbolo que puede tomar diferentes valores de un conjunto de definición, el segundo establece una correspondencia entre los valores de dos variables, la cual se puede representar por medio de tablas o fórmulas. El objetivo de esta sección es desarrollar la teoría de probabilidades bajo estos dos conceptos. Al realizar un experimento aleatorio se pueden definir variables cuyos valores están definidos por los resultados del espacio muestra, a éstas se les conoce como variables aleatorias, en realidad una variable aleatoria es un tipo de función que asigna un valor numérico a cada resultado del espacio muestra, generalmente se representan con letras mayúsculas. Como los espacios muestrales pueden ser discretos o continuos, las variables aleatorias se pueden clasificar de la misma manera, para entender mejor lo anterior hagamos el siguiente ejemplo: Un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, consideremos la variable aleatoria el número de caras que aparecen. Determine los valores que puede tomar la variable y su correspondiente probabilidad. Solución: En este problema llamemos X= El número de caras que aparecen al lanzar tres monedas, el espacio muestra esta formado por 8 posibles resultados: S={(C,C,C),(C,C,A),(C,A,C),(C,A,A),(A,C,C),(A,C,A),(A,A,C),(A,A,A,)} X= 3 2 2 1 2 1 1 0 Obsérvese que la variable aleatoria puede tomar los valores X={0,1,2,3}, en este caso cada resultado asociado con la variable aleatoria tiene la misma probabilidad de ocurrir, entonces: P(X=0)=1/8 P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8 P(X=3)=1/8


79

Si relacionamos cada valor de la variable aleatoria con su correspondiente probabilidad, se tendrá la función de probabilidad o también llamada Distribución de Probabilidad. X P(X) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Podemos observar que la probabilidad de los posibles valores de la variable aleatoria se encuentra entre 0 y 1, además la suma de las probabilidades es igual a 1. En esta distribución la variable es discreta y además finita, existen otras situaciones que dan origen a variables discretas infinitas. Para esto tratemos el siguiente experimento: Una moneda se lanza repetidas veces hasta que el resultado es una cara, determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria relacionada con el número de tiradas: Sea X= Número de tiradas hasta que caiga una cara Esta variable puede tomar los X=1,2,3,4,5,6,....

x

xXPXPXPXP

==

==

====2

1)(

2

1)3(

2

1)2(

2

1)1(

32

Esta sucesión de valores es infinita, para que sea una distribución de probabilidad la suma de las probabilidad de todos los posibles valores debe ser igual a 1. Podemos decir que:

x

xXP

==2

1)(

Los ejemplos anteriores se refieren a distribuciones discretas, dos resultados importantes de estas distribuciones son:

1)( .2

1)(0 .1

1

==−

≤=≤−

∑=

n

ii

i

xXP

xXP


80

CASOS A RESOLVER 1.- Un experimento consiste en lanzar un par de dados, sea la variable aleatoria la suma de los puntos, determine su distribución de probabilidad. 2.- Dos dados se lanzan 5 veces, si la variable aleatoria es el número de veces que aparece un 7, determine su distribución de probabilidad. 3.- Si un par de dados se tira repetidas veces hasta que aparezca un 7, determine la distribución de probabilidad de la variable que corresponde al número de tiradas.


81

ACTIVIDAD 29

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS OBJETIVO .- Conocer los conceptos básicos de las distribuciones de probabilidad continuas y calcular probabilidades usando la integral definida. En este caso la variable aleatoria puede tomar cualquier valor en un intervalo numérico por lo que en las distribuciones continuas el espacio muestra es infinito. Para calcular probabilidades se establece una función )(xf llamada función de densidad de probabilidad, la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en un intervalo se da como el área bajo la curva en el intervalo:

∫=≤≤b

a

dxxfbXaP )()(

En una distribución de probabilidad continua deben cumplirse las siguientes propiedades:

0)( 1)( .2

y entre area )()( .1

≥=−

=≤≤−

∫

∫∞

∞−

xfdxxf

badxxfbXaPb

a

En general se pueden proponer diferentes funciones de densidad de probabilidad, las cuales deben cumplir las propiedades anteriores. Ejemplo: Una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad:

≤≤−

= valorotrocualquier para 0

20 )24()(

xxcxf

Calcular:

a) El valor de la constante c b) )1( ≤XP c) )5.15.0( ≤≤ XP


82

a) El valor de la constante c se calcula para que el área bajo la curva sea igual a 1, en el intervalo de definición de la función

4

1 1=c(4) 1)4( 1)24(

2

0

22

0

==−=−∫ cxxcdxxc

Redefiniendo la función:

≤≤−=

valorotrocualquier para 0

20 )24(4

1)(

xxxf

b) )1( ≤XP se calcula:

( )4

3)3(4)24()1( 4

11

0

241

1

041 ==−=−=≤ ∫ xxdxxXP

c ) )5.15.0( ≤≤ XP

( )[ ] [ ]

5.04375.09375.0

)5.0()5.0(4)5.1()5.1(4

4)24()5.15.0(

2412

41

5.1

5.0

241

5.1

5.041

=−=−−−=

−=−=≤≤ ∫ xxdxxXP


83

ACTIVIDAD 30

ESPERANZA MATEMÁTICA Y VARIANZA

OBJETIVO .- Calcular el valor esperado y la varianza de una distribución de probabilidad. Al estudiar conjuntos de datos en Estadística se calcularon algunas medidas que los describían, como son la media aritmética y varianza, de manera análoga en las distribuciones de probabilidad es posible calcular estas medidas, que son el valor esperado y la varianza. Supongamos que el siguiente experimento se repite 100 veces y se anotan los resultados obtenidos en cada ensayo: Experimento: lanzar un par de dados y observar la suma de sus puntos. Resultados Frecuencia 2 1 3 5 4 9 5 10 6 12 7 23 8 13 9 11 10 7 11 6 12 3 Si calculamos la media aritmética de los resultados usando la fórmula:

11.7100711

100)3(12)6(11)7(10)11(9)13(8)23(7)12(6)10(5)9(4)5(3)1(2

=

==

++++++++++

=∑−

n

xfx

Este valor es el más representativo del conjunto de datos, si ahora repetimos el experimento para diferentes valores de n cada vez mayores, podremos observar que el cociente anterior tiende a un valor limite que en este ejemplo es 7, a este se le conoce como el valor esperado y se puede escribir como:

)(n

xflìmXEn

∑∞→

=


84

El cálculo del valor esperado usando este enfoque frecuencial es muy tardado y en algunos casos impráctico, la expresión anterior la podemos desarrollar de la siguiente manera:

∑

∑

=

+++=+++==∞→∞→∞→∞→

)()(

)(...)()( ...lìm )( 22112

21

n1

xxpXE

xpxxpxxpxn

flìmx

n

flìmx

n

fx

n

fxlìmXE nn

n

nn

n

ii

n

El valor esperado se puede obtener multiplicando cada valor de la variable aleatoria por su correspondiente probabilidad de ocurrir. Recordemos que la probabilidad frecuencial de un evento tiene como valor limite la probabilidad calculada con el enfoque clásico, determinemos el valor esperado usando el enfoque clásico, para esto es necesario tener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria: X= Suma de los puntos al lanzar dos dados Distribución de probabilidad de la variable

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

El valor esperado de la variable aleatoria seria: µ =E(X)= 2(1/36)+3(2/36)+4(3/36)+5(4/36)+6(5/36)+7(6/36)+8(5/36)+9(4/36) +10(3/36)+11(2/36)+12(1/36)=7 Otra cantidad calculada de una distribución es la varianza la cual se define como:

n

fxx∑−

−=

22

)(σ

Para la variable aleatoria anterior la varianza es 2.297368 , de la misma manera que en la media aritmética, al calcularla para diferentes valores de n cada vez más grandes de la varianza tiende a un valor fijo, el cual se representa como:

[ ]

)()()(

)( 22

2 ∑∑ −=

−==

∞→xpxEx

n

fxxlìmXVARn

σ

Usando esta formula para la variable del ejemplo: VAR(X)=(2-7)2(1/36)+(3-7)2(2/36)+...+(12-7)2(1/36)= 2.415229 En resumen para las distribuciones de probabilidad discretas el valor esperado y varianza se obtienen con las expresiones:


85

[ ]∑∑

−=

=

)( )()(

)()(2 xpXExXVAR

xxpXE

Para una distribución continua el valor esperado y la varianza se obtienen mediante las expresiones:

[ ]∫∫∞

∞−

∞+

∞−

−==== +

22

)()()( )( )( dxxfxExXVARdxxfxXE σµ

Las expresiones anteriores son fundamentales para desarrollar los conceptos de la estadística Inferencial. Ejemplo: Sea la distribución de probabilidad definida por la función:

≤≤+=

xde valoresdemàs los para 0

40 si )1(

)(

2 xxc

xp

a) Determine el valor de c b) Calcule la probabilidad de que x se encuentre entre 2 y 3 c) Determine el valor esperado y la varianza de la distribución Completa los siguientes cálculos: a) Como el área bajo la curva debe ser igual a 1:

76

3c 1)1( 1)1(

4

0

24

0

2 ==+=+ ∫∫ dxxcdxxc

b) La probabilidad pedida es el área entre 2 y 3:

=+=≤≤ ∫3

2

2 )1(76

3)32( dxxXp

c) Valor esperado

=+== ∫∫4

0

24

0

)1(76

3)( )( dxxxdxxfxXE

d) Varianza:

[ ] [ ] =+−=−= ∫∫4

0

22

24

0

)1(22.376

3)()()( dxxxdxxfXExXVAR


86

CASOS A RESOLVER

1.- Una moneda se lanza 4 veces, sea la variable aleatoria el número de caras, determine: a) La distribución de probabilidad. b) El valor esperado y varianza. 2.- Un par de dados se lanzan cinco veces consecutivas, sea la variable aleatoria la suma de los puntos sea 6, obtenga: a) Su distribución de probabilidad. b) Su valor esperado y varianza. 3.- La distribución de probabilidad de una variable continua es:

≤≤+

=x

xxcxf

de valor otro para 0

50 )1()(

a) Calcule el valor de c.

b) Calcule el valor esperado y la varianza.

c) Calcule la probabilidad de que la variable se encuentre entre 3.4 y 4.


87

ACTIVIDAD 31

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL OBJETIVO .- Calcular probabilidades de un evento usando la distribución Binomial. En las secciones anteriores se estudiaron algunos tipos de situaciones en los cuales los eventos estaban formados por una serie de ensayos, lanzar una moneda en repetidas ocasiones, lanzar un par de dados varias veces, tomar varios sujetos de una población, etc. los cuales podían ser dependientes o independientes. Se puede hacer una clasificación de dichas situaciones dando origen a diferentes distribuciones de probabilidad discretas. Consideremos el siguiente ejemplo: Un par de dados se lanza 5 veces sobre una mesa, calcule la probabilidad de que la suma de los puntos sea 7 en 3 ocasiones, en este caso cada lanzamiento del par de dados lo podemos considerar con dos posibles resultados, que sea la suma igual a 7 y que la suma no sea 7, como no se establece el orden de aparición debemos considerar todos los posibles resultados en los 5 lanzamientos: P(3 sietes)=P(7,7,7,7’,7’) + P(7,7,7’,7,7’)+…+P(7’,7’,7,7,7) Como los resultados son independientes: P(3sietes)=P(7)P(7)P(7)P(7’)P(7’)+P(7)P(7’)P(7)P(7)P(7’)+…+ P(7’)P(7’)P(7)P(7)P(7)

Tenemos que 6

5

36

30)7(

6

1

36

6)7( ==′== PP

Considerando todas las posibles permutaciones:

%2.3032.0)694.0)(00463.0(106

5

6

1

!2!3

!5)7()7( )sietes (3

232'3

2,35 ===

== PPPP

En este problema podemos observar las siguientes características: a) Existen n ensayos idénticos

b) Cada ensayo tiene solo dos posibles resultados ( éxito y fracaso) c) Los ensayos son independientes d) La probabilidad de éxito y fracaso se mantienen constantes e) No existe un orden específico de ocurrencia Sea x el valor la variable aleatoria X que especifica el número de éxitos de los n ensayos, p la probabilidad de éxito, entonces 1-p es la probabilidad de cada uno de los n-x fracasos, entonces la expresión que describe la distribución es: xnk

xnxnx

xnkn kpCppPxXP −−− −=−== )1( )1( )( ,

A esta distribución se la conoce como Binomial.


88

Ejemplo: En una escuela el 15% de los alumnos fuman. Se toma una muestra de 5 alumnos al azar, suponiendo que la probabilidad de fumar no cambia, calcule la probabilidad: a) De que fumen 2 de los cinco. b) Al menos uno fume. En este caso se trata de una distribución Binomial, puesto que existen 5 ensayos idénticos, cada uno tiene dos posibles resultados: que fume y que no fume. Sea la variable aleatoria X= El número de fumadores de la muestra

La probabilidad de éxito p= 15% y n=5, usando la fórmula de la distribución Binomial:

a) 1381.0)85.0()15.0(!3!2

!5)15.01()15.0()2( 3232

3,25 ==−== PXP

b) 5563.04437.01)85.0()15.0(1)0(1)1( 50

05 =−=−==−=≥ CXPXP


89

CASOS A RESOLVER 1.- Una moneda se lanza en 6 ocasiones, calcule la probabilidad de que aparezcan 3 caras. 2.- En una empresa el 25% de los empleados son mujeres, si se toma una muestra de 10 empleados al azar, cual es la probabilidad de que 5 de ellos sean mujeres. 3.- La probabilidad de que un tornillo falle es el 4%. En una caja con 50 tornillos cuál es la probabilidad de que ninguno este defectuoso. Si la empresa vende 1000 cajas, en cuántas de ellas se espera que tengan al menos un tornillo defectuoso.


90

ACTIVIDAD 32

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL OBJETIVO .- Calcular probabilidades de eventos usando la distribución Multinomial. En la distribución Binomial solo hay dos posibles resultados, pero en muchos casos se pueden tener más posibles resultados, por ejemplo: En una ciudad se sabe que el 60% de los habitantes son católicos, 30% protestantes y el resto son ateos, se toma una muestra al azar de 10 personas (con reemplazo). Cuál es la probabilidad de que 5 sean católicos, 3 protestantes y 2 ateos.

%29.50529.0)01.0)(027.0)(07776.0(2520

)1.0()3.0()6.0(!2!3!5

!10)()()()2,3,5( 235235

2,3,510

===

== APPPCPPAPCP

Las características de esta distribución son las mismas que la distribución Binomial excepto que cada ensayo puede tener más de dos posibles resultados, generalizando: Sea N el número de observaciones o ensayos x1 resultados favorables a la categoría 1 p1 probabilidad de que ocurra la categoría 1 x2 resultados favorables a la categoría 2 p2 probabilidad de que ocurra la categoría 2 xk resultados favorables a la categoría k pk probabilidad de que ocurra la categoría k

kxk

xx

kk ppp

xxx

NxxxNP ...

!!...!

!),...,;( 21

2121

21 =

Usando la fórmula se escribe:

%29.50529.0)1.0()3.0()6.0(!2 !3 !5

!10)2,3,5;10( 235 ===P

Problema:

En una escuela el 50% de los alumnos estudia Administración, 30% Mercadotecnia y el 20% estudia Sistemas Computacionales, se toma una muestra de 10 alumnos con reemplazo ( cada alumno se puede escoger más de una vez), calcule la probabilidad de que:

a) 6 sean de Administración, 2 de Mercadotecnia y 2 de Sistemas Computacionales.

b) 4 sean de Administración y el resto de Mercadotecnia.


91

ACTIVIDAD 33

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA OBJETIVO .- Usar la Distribución Hipergeométrica para calcular probabilidades de eventos discretos donde se presenta esta distribución. En la distribución Binomial los ensayos que se realizan son independientes, en el caso de que sean dependientes la distribución a utilizar es la Hipergeométrica. Consideremos el caso que en cada ensayo solo se tienen dos posibles resultados.

Ejemplo: En una bolsa hay 10 tornillos, de los cuales 4 están defectuosos, si se toman 4 tornillos al azar sin reemplazo, calcule la probabilidad de que 2 estén defectuosos. Sea X el número de defectuosos de la muestra y queremos la probabilidad de que X=2, recordemos que en este tipo de experimentos podemos usar combinaciones para calcular la probabilidad, tenemos dos grupos de tornillos, los defectuosos que son 4 y los no defectuosos que son 6, entonces solo necesitamos calcular de cuantas maneras se pueden seleccionar 2 defectuosos de 4 y 2 no defectuosos de 6, y las formas en que se pueden seleccionar los 4 tornillos de 10:

7

3

210

90

210

)15)(6( )2(

410

2624 =====C

CCXP

Generalizando, tenemos N elementos de los cuales se toma una muestra de n sin reemplazo, donde N la podemos dividir en dos grupos n1 y N-n1 y se calculan las combinaciones de n1 en k y de N-n1 en n-k, y las selecciones de N en n:

nN

xnnNxn

C

CCxXP −−== 11

)(

Esta distribución es la contraparte de la distribución Binomial para ensayos independientes, así como la distribución Binomial se puede generalizar para situaciones donde cada ensayo puede tener más de dos posibles resultados, la distribución Hipergeométrica también se puede generalizar.

Sean N elementos los cuales se toma una muestra de tamaño n sin reemplazo y los podemos clasificar en n1 , n2, n3, ..., ni grupos y de cada grupo se seleccionan k1, k2 , k3 ,..., ki , entonces la probabilidad de que aparezcan los resultados anteriores es:

nN

xnxxnxn

i C

CCCCxxxxnNP ii

... ),...,,,; ;( 332211 n

321 =


92

CASOS A RESOLVER

1.- En un grupo de 15 estudiantes compuesto por 9 hombres y 6 mujeres, se seleccionan 5 al azar para asistir a una conferencia, calcule la probabilidad de que: a) 3 sean mujeres. b) Al menos uno sea hombre. c) Todos sean mujeres. 2.- En un grupo de 30 estudiantes se sabe que 15 de ellos estudian Administración, 10 estudian Mercadotecnia y el resto estudia Ingeniería, para efectuar una encuesta se toma una muestra de 8 alumnos al azar, calcule la probabilidad de que: a) 4 estudien Administración, 2 Mercadotecnia y 2 Ingeniería.

b) 4 estudien Administración y 4 Mercadotecnia.

c) Al menos uno estudie Mercadotecnia.


93

ACTIVIDAD 34

DISTRIBUCIÓN DE POISSON OBJETIVO .- Usar la distribución de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de eventos donde se presenta esta distribución. Ahora estudiaremos un tipo especial de distribución, la cual mide la probabilidad de ocurrencias de éxitos por un intervalo de tiempo o de espacio, por ejemplo:

Número de accidentes que ocurren por semana en una autopista. Número de personas que llegan a un banco por hora. Número de errores que comete una secretaria por página, etc. Número de vehículos que llegan a una caseta de cobro por minuto. Existe una íntima relación entre la distribución Binomial y la distribución de Poisson, consideremos un intervalo de tiempo t, en el cual queremos determinar la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias, para esto dividamos t en n subintervalos de tamaño ∆t t

n= , si consideramos que la probabilidad de una ocurrencia en ∆t es proporcional al tamaño del mismo p t= λ ∆ , entonces la probabilidad de que no se presente es 1− λ ∆t donde λ es la razón de ocurrencias por unidad de tiempo, la probabilidad de exactamente K ocurrencias en el intervalo se obtiene haciendo que n tienda a infinito:

t

x

ett

xxn

nlìmxXP

xxnx

n

donde

!

) 1() (

!)!(

!)(

λµ

µλλµ

=

=∆−∆−

==−

−

∞→

Donde x=0,1,2,3,4,... hasta un valor infinito. La cual corresponde a la fórmula de la distribución de Poisson. Esta distribución se utiliza para aproximar resultados de la distribución Binomial cuando n es grande y p es pequeña, tenemos que

t entonces λλλ ==∆= npn

ttp :

!

)()1()(

x

enpppCxXP

npxxnx

xn

−− ≈−==


94

Ejemplos: 1.- A una estación telefónica llegan llamadas a razón de 3 por minuto. Calcule la probabilidad de que en un intervalo de tiempo de 40 seg. lleguen:

a) Exactamente tres llamadas.

b) Al menos lleguen 3 llamadas. Solución: En este ejemplo λ= 3 llamadas/ minuto t= 40 seg= 0.666 min por lo tanto

llamadas 1.9=min) in)(0.666llamadas/m 3( == tλµ

a) %06.171706.06

)1495.0)(85.6(

!3

)9.1()3(

9.13

=====−e

XP

b)

[ ]

[ ] %67.292967.07033.012698.02840.01495.01

!2

)9.1(

!1

)9.1(

!0

)9.1(1

)2()1()0(1)2(1)3(9.129.19.10

==−=++−=

++−=

=+=+=−=≤−=≥−−− eee

XPXPXPXpXP

Aproximación de la distribución Binomial con la de Poisson En una caja se empacan 100 tornillos, si se sabe que la máquina que los fabrica tiene un 2% de defectuosos, calcule la probabilidad de que la caja tenga 5 defectuosos. Como tenemos una muestra grande n=100 y una probabilidad de éxito pequeña p=0.02 , podemos usar la aproximación de la distribución Binomial por la de Poisson, tomando 2)02.0)(100(= ==npµ

%68.30368.0120

)1353.0(32

!5

2)5(

25

===≈=−e

XP

El valor exacto calculado con la distribución Binomial es 0.0353=3.53% lo cual es una buena aproximación.


95

CASOS A RESOLVER

1.- Se ha determinado que los accidentes en una céntrica avenida de una ciudad ocurren a razón de 8 por semana. Calcule la probabilidad de que en un lapso de 5 días, ocurran: a) 6 accidentes. b) Entre 5 y 12 accidentes. c) Más de 10 accidentes. 2.- Una empresa produce rollos de tela que presentan 2 defectos por cada 10 m de tela. Calcule la probabilidad de que en un pedazo de tela de 4 m, se presenten: a) Un defecto. b) Al menos dos defectos. c) Cuando más tres defectos. 3.- La probabilidad de que una persona tomada al azar tenga SIDA es del 1.5%, si se toma una muestra de 300 personas, cual es la probabilidad de que: a) Ninguna tenga SIDA b) 2 o más tengan SIDA


96

ACTIVIDAD 35

DISTRIBUCIÓN NORMAL OBJETIVO .- Calcular probabilidades de eventos continuos usando la distribución Normal. El primero en deducir la distribución normal fue Abrahán de Moivre en 1733 como el límite de la distribución Binomial, esta misma fórmula fue obtenida por Karl Friedrich Gauss, al evaluar los errores de las observaciones astronómicas. La distribución Binomial para valores grandes de n y probabilidades p cercanas a 0.5, adquiere una forma acampanada, consideremos el siguiente ejemplo: Se lanzan 10 monedas sobre una mesa, sea la variable aleatoria el número de caras que aparecen. Su distribución de probabilidad es:

1024

1

1024

10

1024

45

1024

120

1024

210

1024

252

1024

210

1024

120

1024

45

1024

10

1024

1 P(X)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 X

Graficando los puntos discretos: P(x) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Si consideramos que n tiende a infinito, entonces los puntos se pueden unir con una línea continua:

σ

µ

CURVA NORMAL


97

La función de densidad de probabilidad para la Distribución Normal es:

∞≤≤∞−=−−

xexfx

2

1)(

2

2

2

)(

σµ

πσ

La distribución normal queda totalmente especificada si se conoce su media µ y desviación estándar σ se escribe X ~ ),( σµN , para cada par de valores de estos parámetros existe una distribución diferente. Tiene la propiedad de que el área bajo la curva depende del número de desviaciones estándar, esto permite utilizar una sola distribución en términos de una variable estandarizada, es decir escribir los valores de x en función de desviaciones estándar, con lo que se define una variable z:

σµ−= x

z

La distribución de probabilidad para la variable estandarizada quedaría.

∞≤≤∞−=−

zezfz

2

1)( 2

2

π

Para calcular probabilidades de que la variable aleatoria se encuentre entre dos valores se obtiene como:

)( 2

1

2

1)( 21

22

)( 2

1

2

2

2

zZzPdzedxebXaPz

z

zb

a

x

≤≤===≤≤ ∫∫−

−−

ππσσµ

La distribución estandarizada tiene las características 0)( =ZE y 1)( =ZVAR , se dice que Z ~ )1,0(N

a b

z 1 z 2

La igualdad anterior significa que es posible calcular las probabilidades de la variable x en términos de la variable z, para el cálculo de probabilidades de la distribución normal estandarizada se utiliza una Tabla que proporciona las probabilidades de 0 hasta cualquier valor positivo de z:


98

)0( 2

1)( 2

2

zZPdzezZFz

o

z

≤≤=== ∫−

π

0 x

0 z

Para calcular las áreas de 0 a z se utiliza una Tabla que se muestra en el apéndice, a continuación se resuelve un problema para mostrar el cálculo de probabilidades de la distribución normal. Ejemplo: La duración media de una lámpara incandescente tiene una distribución normal con media de 1200 hrs. y desviación estándar de 150 horas. Calcule la probabilidad de que la duración de una lámpara: a) Sea de 1200 a 1350 horas b) Esté entre 900 y 1300 horas. c) Sea mayor de 1400 horas d) Sea menor de 1300 horas. Solución: En este ejemplo la variable aleatoria X es la duración de una lámpara en horas.

a) Se pide )10()13501200( ≤≤=≤≤ zPxP los valores de z se obtienen con la fórmula, como el área buscada se encuentra entre 0 y z, corresponde al valor leído directamente en la Tabla: %13.343413.0)1( )10( ====≤≤ zFzP b) Se quiere )67.02()1300900( ≤≤−=≤≤ zPxP en este caso se obtiene el área para z=2 puesto que como la curva es simétrica es la misma área para z=-2 y se suma el área para z=0.67 7258.02486.04772.0)67.0()2( )67.02( =+==+==≤≤− zFzFzP c) Sea mayor de 1400 es )33.1()1400( ≥=≥ zPXP el área buscada es el de la cola derecha de la curva, como es simétrica cada mitad es 0.5, entonces: %18.90918.04082.05.0)33.1( 5.0)33.1( ==−==−=≥ zFzP


99

El área calculada se ilustra en la figura:

1 2 0 0 1 4 0 0

0 1 . 3 3

d) Menor de 1300 es )67.0()1300( ≤=≤ ZPXP el área buscada es:

1 2 0 0 1 3 0 0

0 0 . 6 7

Se observa que el área es igual al área de 0 a 0.67 más la mitad de la curva que es 0.5 %86.747486.02486.05.0)67.0( 5.0)67.0( ==+==+=≤ ZFXP


100

CASOS A RESOLVER

1.- La resistencia de un material a la ruptura presenta una distribución normal con media de 2500 y desviación estándar de 180. C Calcule la probabilidad de que una muestra de material tomada al azar:

a) Tenga una resistencia menor de 2300. b) Sea mayor de 2400. c) Esté entre 2600 y 2800. 2.- Una empresa vende acumuladores que tienen una duración media de 24 meses con una desviación estándar de 3 meses. Si la empresa vende 5000 acumuladores y ofrece una garantía de 18 meses. Calcule que cantidad debe esperarse que reemplace la compañía. 3.- En el problema anterior, ¿Qué garantía se debe dar si la compañía esta dispuesta a reemplazar el 10% de los acumuladores ?.


101

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1.- Define los siguientes términos: a) Variable aleatoria b) Distribución de probabilidad c) Valor esperado. 2.- Menciona las características de las distribuciones de probabilidades discretas y continuas. 3- Menciona las características de las siguientes distribuciones de probabilidad, que definen su aplicación: a) Binomial b) Hipergeométrica c) Poisson d) Normal 4.- Bajo qué condiciones se puede utilizar la distribución de Poisson para aproximar a la Binomial. 5.- ¿Qué indica el valor de z en la distribución normal?. 6.- En una distribución continua, ¿Por qué se calculan las probabilidades por intervalos?. 7.- Un experimento aleatorio consiste en sacar 3 esferas sin reemplazo de una urna donde hay 4 esferas rojas, 3 azules y 3 blancas. Sea la variable aleatoria el número de rojas que aparecen, determine:

a) La distribución de probabilidad. b) La distribución acumulada. c) El valor esperado y la varianza.

9.- En una escuela el 65% de los alumnos son mujeres y el 35% son hombres, se toma una muestra de 5 alumnos al azar para aplicarles una encuesta, si la variable aleatoria es el número de hombres de la muestra, determine:

a) Su distribución de probabilidad. b) El valor esperado y la varianza. c) La probabilidad de que en la muestra, al menos dos sean hombres.

10.- Una distribución continua se define mediante la expresión:

≤≤+=

x

xxc

xp

de valor otro para 0

50 )12(

)(

a) Calcule el valor de c b) Calcule )3( ≤xp c) Calcule )41( ≤≤ xp d) Calcule el valor esperado y varianza.


102

11.- La probabilidad de que en un día de verano llueva es del 5%. Calcule la probabilidad de que en 7 días consecutivos:

a) Llueva una vez. b) Llueva al menos 2 veces. c) Llueva cuando más una vez.

12.- En una ciudad se sabe que 50% de la población es católica, el 30% protestante y el resto ateos, se selecciona una muestra de 20 personas al azar para realizar un estudio, calcule la probabilidad de que en la muestra:

a) 10 sean católicos, 5 protestantes y 5 ateos. b) 10 sean católicos y 10 protestantes. c) 15 sean católicos.

13.- A un cajero automático llegan personas a razón de 3 por minuto, calcule la probabilidad de que en un lapso de 2 minutos:

a) Lleguen 6 personas. b) Lleguen al menos 4 personas.

14.- La probabilidad de que una persona sufra una reacción alérgica al administrarle un medicamento es del 0.1%, si el medicamento se administra a 2000 personas, calcule la probabilidad de que:

a) 5 sufran reacción. b) Al menos 2 sufran reacción.

15.- En una caja hay 20 productos de los cuales se sabe que 5 están defectuosos, una persona selecciona 4 productos al azar (sin reemplazo), calcule la probabilidad de que:

a) Uno este defectuoso. b) Dos o menos estén defectuosos.

16.- Las encuestas realizadas por una corporación financiera han revelado que una cuenta regular de ahorros, abierta en uno de sus Bancos, tiene una duración promedio de 26 meses con una desviación estándar de 8.2 meses, si una persona abre una cuenta de ahorros en una de sus sucursales ,calcule la probabilidad de que:

a) Tenga dinero después de 30 meses b) Sea cancelada antes de un año y medio c) Dure entre 20 y 30 meses d) Dure menos de 35 meses.

17.- La revista Ciencia Médica publica que el peso de un bebé recién nacido es una variable aleatoria, que sigue una distribución normal con media de 3.2 kg y una desviación estándar de 0.4 kg, determine qué porcentaje de los bebes recién nacidos: a) Tienen un peso mayor a 3.5 kg b) Tienen peso entre 3 y 3.6 kg.


103

APÉNDICE

AREA BAJO LA CURVA NORMAL ENTRE 0 Y Z

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.00000 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.02790 0.03188 0.03586 0.1 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.07535 0.2 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409 0.3 0.11791 0.12172 0.12552 0.12930 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173 0.4 0.15542 0.15910 0.16276 0.16640 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793 0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.20540 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.22240 0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.25490 0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.26730 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.28230 0.28524 0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29673 0.29955 0.30234 0.30511 0.30785 0.31057 0.31327 0.9 0.31594 0.31859 0.32121 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891 1.0 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214 1.1 0.36433 0.36650 0.36864 0.37076 0.37286 0.37493 0.37698 0.37900 0.38100 0.38298 1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39617 0.39796 0.39973 0.40147 1.3 0.40320 0.40490 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41309 0.41466 0.41621 0.41774 1.4 0.41924 0.42073 0.42220 0.42364 0.42507 0.42647 0.42786 0.42922 0.43056 0.43189 1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408 1.6 0.44520 0.44630 0.44738 0.44845 0.44950 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449 1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46080 0.46164 0.46246 0.46327 1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46637 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062 1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.47320 0.47381 0.47441 0.47500 0.47558 0.47615 0.47670 2.0 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.48030 0.48077 0.48124 0.48169 2.1 0.48214 0.48257 0.48300 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.48500 0.48537 0.48574 2.2 0.48610 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.48840 0.48870 0.48899 2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49010 0.49036 0.49061 0.49086 0.49111 0.49134 0.49158 2.4 0.49180 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361 2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.49430 0.49446 0.49461 0.49477 0.49492 0.49506 0.49520 2.6 0.49534 0.49547 0.49560 0.49573 0.49585 0.49598 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643 2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.49720 0.49728 0.49736 2.8 0.49744 0.49752 0.49760 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807 2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.49831 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.49861 3.0 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49897 0.49900 3.1 0.49903 0.49906 0.49910 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929 3.2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.49940 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.49950 3.3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.49960 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965 3.4 0.49966 0.49968 0.49969 0.49970 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976 3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.49980 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983 3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989 3.7 0.49989 0.49990 0.49990 0.49990 0.49991 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995 3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997 4.0 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49997 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 4.1 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 0.49998 0.49999 0.49999 4.2 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 4.3 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.99999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 4.4 0.49999 0.49999 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000 0.50000

Tabla Generada por: Instituto de Matemáticas(IMAT)


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BIBLIOGRAFÍA 1.- ESTADISTICA PARA ADMINISTRACIÓN Lind Ed. Mc Graw Hill

2.- MATEMÁTICAS MODERNAS APLICADAS J.C. Turner Alianza Universitaria 3.- PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Murray R. y Spiegel McGraw-Hill 4.- ESTADÍSTICA Murray R. Spiegel McGraw-Hill 5.- PARADOJAS MATEMÁTICAS Northrop Eugene UTEHA 6.- PROBABILIDAD Seymour Liptchus McGraw-Hill 7.- ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES Richard Levin Prentice Hall 8.- ESTADÍSTICA APLICADA A ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA Leonard Kazmier Alfredo Díaz Mata McGraw-Hill

9.- ESTADÍSTICA ELEMENTAL Robert Jhonson Grupo Editorial Ibero América 10.- ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN Stevenson McGrall Hill 11.- SOFTWARE PARA ESTADÍSTICA MacStat 2 12.- Consulta de páginas en Internet.

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