UNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA TÉCNICA...

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

Departamento de Matemtica Aplicada II Departamento de Ingeniera Qumica y Ambiental

Proyecto Fin de Carrera

MODELADO Y SIMULACIN DE UN REACTOR DE LECHO FLUIDO PARA LA COMBUSTIN DE

PARTCULAS DE CARBN

Presentado por Lidia Montes Mateo para la obtencin del ttulo de Ingeniero Qumico

Directores del Proyecto: D. Emilio Freire Macas D. Alberto Gmez Barea

Sevilla, Diciembre de 2004.

Modelado y Simulacin de un Reactor de Lecho Fluido para la Combustin de Partculas de Carbn Lidia Montes Mateo

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A mis padres y a mi hermana, que fueron lo primero que me brind la buena suerte.


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NDICE DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIN.

1.1. Objeto del proyecto. 1.2. Antecedentes.

1.3. Motivacin.

1.4. Estructura del presente Proyecto Fin de Carrera.

1.4.1. Modelado de reactores de lecho fluido. 1.4.2. Presentacin del problema y su estructura matemtica. 1.4.3. Resolucin de los modelos con MATLAB. 1.4.4. Validacin de los modelos desarrollados. 1.4.5. Conclusiones. 1.4.6. Organizacin y uso del CD.

2. MODELADO DE REACTORES DE LECHO FLUIDO.


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2.1. Introduccin

2.2. Elementos bsicos de la teora de fluidizacin.

2.2.1. Clasificacin de partculas 2.2.2. Regmenes de fluidizacin. 2.2.3. Comportamiento de slidos en lechos fluidos.

2.3. Modelado de reactores segn la teora de 2 fases.

2.3.1.Modelo de Davidson y Harrison. 2.3.2.Modelo de Kunii y Levenspiel.

3. PRESENTACIN DEL PROBLEMA Y DE SU ESTRUCTURA MATEMTICA.

3.1. Introduccin. 3.2. Descripcin general del modelo.

3.3. Balance de poblacin.

3.4. Ecuaciones de conservacin.

3.4.1. Fase burbuja. 3.4.2. Gas intersticial de la fase emulsin. 3.4.3. Modelo de partcula.

3.5. Simplificaciones del modelo general.

3.5.1. Anlisis de las ecuaciones de conservacin en el caso en que la difusin de reactivos es el paso limitante y no existe reaccin homognea en la fase burbuja (M-Model). 3.5.2. Anlisis de las ecuaciones de conservacin en el caso en que la difusin de reactivos es el paso limitante y existe reaccin homognea en la fase burbuja (Rx-Model).

4. RESOLUCIN DE LOS MODELOS CON MATLAB.

4.1. Presentacin de MATLAB. 4.2. Anlisis matemtico del M-Model.


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4.2.1. Presentacin de la funcin del M-Model. 4.2.2. Mtodo de Davidenko. 4.2.3. Resolucin del M-Model con el mtodo de Davidenko. 4.2.4. Mtodos de resolucin alternativos.

4.3. Anlisis matemtico del Rx-Model.

4.3.1. Presentacin de la funcin del Rx-Model. 4.3.2. Funciones de Matlab: ode45 y fsolve. 4.3.3. Teorema fundamental del clculo. 4.3.4. Resolucin del Rx-Model.

5. VALIDACIN DE LOS MODELOS DESARROLLADOS.

5.1. Anlisis crtico sobre el modelo original. 5.2. Validacin del M-Model. 5.3. Validacin del Rx-Model. 5.4. Conclusiones.

6. ORGANIZACIN Y USO DEL CD.

6.1. Contenido y organizacin del CD. 6.2. Archivos generales. 6.3. M-Model.

6.3.1. Carpeta Davidenko. 6.3.2. Carpeta MATCONT.

6.4. Rx-Model.

7. NOTACIN.


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8. REFERENCIAS. 1. INTRODUCCIN


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1.1. OBJETO DEL PROYECTO El presente proyecto tiene como objetivo mostrar, analizar y resolver eficientemente distintos modelos conocidos para un reactor de lecho fluido aplicado a la combustin de partculas de carbn. Todos los modelos que aparecen en el proyecto han sido formulados y publicados con anterioridad por D. Alfredo L. Gordon y D. Neal R. Amundson, profesores del Departamento de Ingeniera Qumica y Ciencia de los Materiales de la Universidad de Minnesota (Estados Unidos) [1,2]. La carencia de una resolucin matemtica apropiada y extensible a otro tipo de modelos, nos llev a abordar este proyecto que, en cualquier caso, siempre puede llevarse ms all mediante un estudio matemtico ms sofisticado. Se detallan tambin los posibles desacuerdos e incorrecciones encontradas durante el estudio pormenorizado de los modelos antes citados. La finalidad principal es el desarrollo de una herramienta computacional numrica mediante el programa MATLAB que permita resolver los modelos planteados as como realizar un estudio de sensibilidad de los distintos parmetros que intervienen. Este procedimiento de trabajo no es exclusivo de la combustin de partculas de carbn en lecho fluido. Pretende ser un mtodo genrico que permita resolver otros modelos con ecuaciones de conservacin similares. A partir de las ecuaciones propias de otros casos (conservacin de materia y energa) pueden obtenerse resultados anlogos que podrn ser analizados desde el punto de vista de la ingeniera. 1.2. ANTECEDENTES Como se ha comentado con anterioridad, el modelado del proceso de combustin de partculas de carbn mediante un reactor de lecho fluido, ha sido estudiado con anterioridad por A. L. Gordon y N. R. Amundson, cuyas publicaciones han sido tomadas como referencia [1,2].


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Este proyecto pretende desarrollar la herramienta computacional que apoye los resultados de los modelos propuestos en los artculos publicados en la revista Chemical Engineering Science durante los aos 1976 y 1978, titulados Modelling of Fluidized Bed Reactors Combustin of Carbon Particles IV and V. En estos artculos se propone un modelo genrico para la simulacin del combustor de lecho fluido basado en los estudios hidrodinmicos anteriores desarrollados por Davidson y Harrison en los que se asume que el reactor est dividido en dos fases denominadas fase burbuja (dilute phase) y fase emulsin (dense phase). Gordon y Amundson proponen un conjunto de ecuaciones de conservacin en cada una de las fases citadas, y un tercer bloque que modela la fase slida de cada partcula. Este modelo genrico es excesivamente complejo desde el punto de vista de la resolucin matemtica. Basndose en observaciones de tipo emprico y operacional, Gordon y Amundson realizan las simplificaciones de su propio modelo que resultan mucho ms manejables desde el punto de vista de su anlisis, y que son aplicables para ciertas condiciones de trabajo del lecho. Estos modelos simplificados, que sern explicados posteriormente, reciben el nombre de M-Model y Rx-Model. Ambos son casos muy especficos de la combustin de partculas de carbn, siendo el modelo Rx bastante ms general que el denominado M-Model. 1.3. MOTIVACIN Los modelos de comportamiento anteriormente citados datan de mediados de la dcada de los setenta. Las publicaciones realizadas en ese momento incluan una resolucin matemtica de los modelos simplificados antes presentados. La intencin de este proyecto es la utilizacin de las posibilidades y capacidades actuales para resolver problemas de carcter similar. En el pasado, la limitacin en el terreno de la informtica obligaba al clculo de soluciones a travs de mtodos iterativos cuya resolucin era tediosa. En la actualidad, la velocidad de clculo se multiplica a lmites extraordinarios que permiten obtener resultados en tiempo rcord. Este desarrollo del clculo numrico ha permitido de igual forma, el correspondiente desarrollo de nuevos mtodos de resolucin matemtica.


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MATLAB es un medio muy poderoso para el estudio de ecuaciones diferenciales. Posee muchas capacidades de actuacin a una velocidad muy rpida. Su uso es generalizado en el campo de la matemtica y est extendido internacionalmente a nivel acadmico. Proporciona un entorno de trabajo muy amigable y un lenguaje de programacin relativamente asequible. Por estas razones ha sido elegido para llevar a cabo este proyecto fin de carrera. 1.4. ESTRUCTURA DE ESTE PROYECTO FIN DE CARRERA 1.4.1. Modelado de reactores de lecho fluido. En este primer captulo se describe de manera general el comportamiento de los reactores de lecho fluido. La comprensin en materia de funcionamiento, condiciones de operacin y capacidades de actuacin es fundamental para entender los modelos que sern presentados a posteriori. El fenmeno de la fluidizacin es complejo y existen distintas teoras acerca del mismo. Aqu sern presentadas las ms conocidas y extendidas a nivel de estudio de este tipo de sistemas. De igual forma, se har mencin a otros puntos importantes de esta clase de reactores, como es todo lo que concierne al comportamiento de partculas segn sus caractersticas, regmenes de fluidizacin en el lecho, etc. 1.4.2. Presentacin del problema y su estructura matemtica. Este apartado describe detalladamente el modelo utilizado para la descripcin del fenmeno de combustin en lecho fluido de partculas de carbn. Todas las ecuaciones, as como todos los parmetros que aparecen en las mismas, sern presentados con rigor. A partir del modelo general, sern descritos los casos particulares que conducen a la simplificacin del mismo, as como las condiciones bajo las que estos nuevos modelos reducidos son aplicables. 1.4.3. Resolucin de los modelos con MATLAB.


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Una vez conocido el modelo seleccionado para trabajar, se procede al tratamiento de las ecuaciones que lo describen. La existencia de distintas simplificaciones implica el uso de diferentes mtodos de actuacin a la hora de su tratamiento. El modelo ms simple (M-Model) es validado a travs de la utilizacin del Mtodo de Davidenko. De forma paralela, un software de continuacin denominado MATCONT que puede ser integrado en MATLAB, dar resultados anlogos. El Rx-Model necesitar una programacin algo ms compleja dentro del entorno MATLAB. Para este caso, se pondrn de manifiesto las posibilidades del programa en lo relativo a la resolucin de ecuaciones diferenciales a travs de las funciones aportadas por el mismo. 1.4.4. Validacin de los modelos desarrollados. Cada uno de los modelos descritos recibir un tratamiento matemtico muy distinto al que fue utilizado originariamente por sus autores. En este captulo se comparan los resultados obtenidos en las publicaciones con las soluciones obtenidas mediante MATLAB. Asimismo, se ponen de manifiesto ciertas incoherencias o erratas encontradas en los artculos, que pueden conducir a resultados dispares. 1.4.5. Conclusiones. Las conclusiones extradas a lo largo de todo el trabajo y estudio durante la realizacin de este proyecto fin de carrera, son presentadas en este captulo. Se presentan tambin las alternativas y posibles extensiones del mismo. 1.4.6. Organizacin y uso del CD. Los archivos creados en MATLAB para la resolucin de los modelos propuestos se adjuntan en un CD ligado a esta memoria. En este captulo se describe la estructura del CD, el procedimiento de utilizacin del mismo y unas indicaciones de cada uno de los


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m-files donde se comentan los datos requeridos y los resultados proporcionados por los mismos.


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2. MODELADO DE REACTORES DE LECHO FLUIDO. 2.1. INTRODUCCIN. Un reactor de lecho fluido se utiliza para reacciones donde intervengan un slido y un fluido (generalmente un gas). En estos reactores la corriente de gas se hace pasar a travs de las partculas slidas, a una velocidad suficiente para suspenderlas. Con el movimiento rpido de partculas se obtiene un alto grado de uniformidad en la temperatura evitando la formacin de zonas calientes. Los sistemas de lecho fluido tienen la ventaja de poder trabajar con estas partculas slidas suspendidas en una corriente de aire, siendo sus propiedades similares a las de un lquido. Por esta razn, los reactores de lecho fluido son ampliamente utilizados en la industria, tanto en procesos catalticos como no catalticos. La utilizacin de este tipo de equipos est cada vez ms extendida por sus ventajas respecto a otro tipo de reactores, principalmente:

- Elevados valores de los coeficientes de transferencia de calor que permiten reducir las superficies de transferencia, lo que implica unidades ms compactas.

- Existe un control de la contaminacin ya que valores de temperatura inferiores

minimizan la formacin y emisin de xidos de nitrgeno.

- En combustores, el dixido de azufre producido puede minimizarse con la adicin de caliza al reactor.


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El tamao de las partculas slidas que pueden ser fluidizadas vara desde tamaos inferiores a una micra, hasta varios centmetros de dimetro. La velocidad de entrada del gas est generalmente comprendida ente 0.15 y 6 m/s. Esta velocidad est referenciada respecto al reactor libre de partculas, y recibe el nombre de velocidad superficial (U0). El reactor tiene normalmente forma de cilindro vertical. Un recipiente de este tipo permite tener espacio suficiente para una expansin vertical de los slidos y para la separacin del material posiblemente arrastrado. Las caractersticas relativas al diseo de este tipo de reactores varan segn las condiciones de operacin, el espacio disponible y el uso del mismo. La distribucin del gas a la entrada del reactor es un parmetro indispensable a tener en cuenta, ya que una mala distribucin puede acarrear cadas de partculas slidas que no son bien fluidizadas hacia la parte inferior del recipiente. Un sistema de lecho fluido no constituye un solo equipo aislado, sino que est formado de distintos componentes de los cuales el ms importante es el recipiente de fluidizacin. En l puede distinguirse la ya citada zona de distribucin de gas en la parte inferior, a continuacin la zona de lecho fluidizado, y finalmente el espacio de separacin. Otros componentes del sistema son la alimentacin y descarga de los slidos, el separador de polvo para los gases de salida y todo lo relativo a la instrumentacin. 2.2. ELEMENTOS BSICOS DE LA TEORA DE FLUIDIZACIN 2.2.1. Clasificacin de partculas. El tamao de las partculas slidas que pueden ser fluidizadas puede variar, como se ha indicado con anterioridad, entre tamaos comprendidos entre 1 m y 6 cm. La distribucin de tamaos de los slidos de trabajo y la diferencia de densidad entre las partculas y el gas utilizado, determina el comportamiento de los slidos en el proceso de fluidificacin. Esta forma de comportamiento queda plasmada en la Figura 1, donde se realiza una clasificacin de los tipos de partculas segn Geldart [4].


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Figura 1. Clasificacin de las partculas segn Geldart en fluidizacin con aire (condiciones ambientes).

En esta grfica se observa que existen cuatro tipos de comportamientos posibles:

Slidos tipo A (aeratable): son partculas de un tamao medio y densidad baja. Este tipo de partculas no contemplan ningn problema en el proceso de fluidizacin.

Slidos tipo B (sand-like): comprende un gran rango de tamaos de partculas y

de densidad. La fluidizacin se produce de forma apropiada para un rgimen gaseoso intenso.

Slidos tipo C (cohesive): Son partculas cohesivas difciles de fluidificar debido

a que las fuerzas de atraccin entre partculas son de orden mayor que la fuerza proporcionada por el gas. Este tipo de partculas muestran una tendencia a adherirse y a medida que se incrementa el flujo de gas provocan la abertura de canales que se extienden desde la zona del distribuidor hasta la superficie. Si no se formaran estos canales, todo el lecho se elevara como un bloque.

Slidos tipo D (spoutable): son grandes slidos de alta densidad difciles de fluidizar. Es necesario el uso de distribuidores apropiados para evitar caminos preferenciales. Si no se forman canales de paso para el gas, el lecho entero acta como un pistn en el reactor.


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Para todos los grupos de partculas, a medida que la velocidad del gas aumenta, la densidad del conjunto del lecho disminuye y la turbulencia crece. En lechos de pequeo tamao, para partculas sobre todo del tipo B y D, las burbujas pueden llegar a alcanzar un tamao similar a la mitad del dimetro del reactor [5]. Como podr verificarse ms adelante, atendiendo a las caractersticas propias de nuestro problema (dimetro y densidad de partculas, y densidad del aire de entrada), las partculas de carbn utilizadas en los modelos pueden ser clasificadas como tipo D dentro del grfico proporcionado por Geldart. 2.2.2. Regmenes de fluidizacin Adems de las caractersticas propias de las partculas, el gas que suspende el lecho juega un papel fundamental en el proceso de fluidizacin. Su velocidad a la entrada del reactor (U0) ser clave en la determinacin del rgimen burbujeante. La velocidad terminal de una partcula es la velocidad que alcanza la misma cuando desciende a travs de un fluido. Para una partcula situada en un lecho fluido y para cualquier tipo de rgimen de trabajo, existe una correlacin muy extendida, que permite su clculo [6]:

1

**2 *0.5

2.335 1.74418 st

p p

Ud d

= +

siendo

( )

12 3

* gt t

s g

U Ug

=

( )13

*2

g s gp p

gd d

=

La velocidad de mnima fluidizacin es la velocidad del gas en el instante en el que el peso de la carga de slidos iguala la resistencia de friccin de las partculas. En ese


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instante el lecho puede considerarse an fijo, y la velocidad puede ser calculada a partir de la ecuacin de Ergn [6]. Existen diferentes regmenes de fluidizacin atendiendo a la velocidad del gas. El tipo de partculas tambin condiciona el comportamiento de las mismas en el recipiente. Por orden creciente de la velocidad del gas se conocen los siguientes tipos:

- Lecho fijo: la velocidad del gas no supera la velocidad de mnima fluidizacin de las partculas, y en consecuencia, no se produce fluidizacin de las mismas.

- Rgimen burbujeante: el gas tiene una velocidad superior a la de mnima

fluidizacin. Aparecen burbujas de gas que ascienden a travs del lecho. El gas no alcanza la velocidad terminal de las partculas, lo que implicara la presencia de arrastres. Ser el rgimen de trabajo del modelo aqu propuesto.

- Rgimen turbulento: un lecho fluido que trabaje en rgimen turbulento debe

operar por encima de la velocidad terminal de algunas o todas las partculas que lo forman. En este caso, sera necesario el retorno de los slidos al lecho para mantener el balance.

- Rgimen rpido: la velocidad del gas es an ms alta. Desaparecen las burbujas

de gas entre el material slido, para dar paso a una circulacin de gas en la que los slidos son arrastrados, siendo necesaria la captacin y el retorno de los mismos al lecho.

- Rgimen de arrastre neumtico: hay un transporte de las partculas de slido a

alta velocidad que obliga a la recirculacin de las mismas al lecho. Los slidos se extienden hasta la salida y no ocupan ms del 10 por ciento del volumen del lecho. No existen burbujas y la velocidad de transferencia de masa es muy alta.

La Figura 2 representa de manera muy grfica el comportamiento de los slidos (perfiles de concentracin) en el lecho fluido para valores crecientes de la velocidad de entrada del gas segn lo descrito anteriormente:


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Figura 2. Comportamiento de slidos en lecho fluido a velocidad del gas creciente. 2.2.3. Comportamiento de slidos en lechos fluidos. Segn Rowe y Patridge [7], los slidos presentes en los lechos fluidos se mezclan debido a la turbulencia creada por el desplazamiento de las burbujas de gas y por el arrastre que se crea en la parte posterior de las mismas. De esta forma la mezcla ser tanto ms intensa, cuanto ms alta sea la velocidad del gas. En lneas generales, se establecer un flujo de slidos ascendente en el lecho y otro flujo descendente que recorrer las paredes del reactor. Los slidos presentes en este tipo de reactores pueden sufrir una disminucin de su tamao debido a tres mecanismos principales:

- Rozamiento entre partculas: se produce con el encuentro aleatorio de las mismas en el lecho. Su contribucin a la reduccin global de tamao es pequea.

- Impacto entre partculas: tiene lugar en las zonas donde la velocidad del gas es

elevada. Aumenta la probabilidad de rotura de las partculas por choque.

- Decrepitacin trmica: las tensiones a las que son sometidas las partculas como consecuencia de los efectos trmicos pueden provocar la reduccin de las mismas a tamao cristalino.


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2.3. MODELADO DE REACTORES SEGN LA TEORA DE LAS

DOS FASES. 2.3.1. Modelo de Davidson y Harrison El modelo planteado en este proyecto est basado en las consideraciones desarrolladas por Davidson y Harrison, que asumen una divisin del reactor de lecho fluido en dos fases ya citadas: fase burbuja (dilute o bubble phase) y fase emulsin (dense phase). La fase burbuja se considera incompresible, y est integrada por la fase gaseosa que recorre el lecho. Se asume que en la misma la cantidad de slido es nula. La presin en esta fase se considera uniforme. La fase emulsin comprende las partculas slidas del interior del reactor y el gas intersticial entre las mismas. La densidad de esta segunda fase se considera homgenea y constante. Otras hiptesis bsicas de este modelo son:

a) La porosidad de la fase emulsin es constante y su valor se considera igual al de la porosidad en condiciones de mnima fluidizacin.

b) Existe un intercambio de materia y calor entre las dos fases citadas.

c) Las burbujas que atraviesan el lecho estn libres de partculas, su tamao es

homogneo y se distribuyen de manera uniforme a travs de todo el lecho.

Considerando el valor de la porosidad constante en la fase emulsin, puede calcularse el volumen de las partculas y el gas intersticial que forman parte de la misma:

i mf mfV V=

( )1p mf mfV V=


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El volumen correspondiente a la fase burbuja (dilute phase) puede calcularse a partir de la fraccin en volumen de burbujas en el lecho ():

1d mfV V

=

El modelo de Davidson y Harrison permite tambin realizar un clculo de los valores de velocidad del gas en cada una de las fases a partir de distintas hiptesis. Para el desarrollo del modelo es necesario el conocimiento de los siguientes valores de velocidades:

Velocidad de mnima fluidizacin (Umf): se calcula a partir de la ecuacin de Ergn para condiciones de mnima fluidizacin en el equipo [6].

( ) ( )232 3 3

150 11.75p g s g mfp mf g p mf gmf mf

d g d U d U

= +

Velocidad superficial del gas de alimentacin (U0): es la velocidad con la que el gas entra en el lecho.

Velocidad relativa de ascensin de burbujas (Ubr): el modelo de Davidson y

Harrison asume que la fluidodinmica de una burbuja del lecho fluido puede asimilarse al caso de un lquido estancado. Para esa situacin particular, ese valor de Ubr est correlacionado a travs de la expresin de Nicklin (1961):

( )120.711br bU gd=

Velocidad absoluta del gas en la fase burbuja (Ud): se calcula a travs de una relacin entre las tres velocidades anteriores.

0d mf brU U U U= +


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Velocidad absoluta del gas intersticial de la fase emulsin (Ui): se utiliza la

expresin de Bukur [8].

( )1mf

imf

UU

=

La fraccin relativa de burbujas en el lecho puede ser calculada a partir de los valores de las velocidades anteriores de la forma:

0

2mf

d mf

U UU U

=+

Esta expresin es aplicable al caso de burbujas lentas para partculas tipo D segn la clasificacin de Geldart. Se denomina burbuja lenta a aquella que viaja ms lentamente que el gas de la fase emulsin. En este caso se forma un cortocircuito de gas que atraviesa la misma de abajo hacia arriba. Este comportamiento en el lecho se produce siempre que

1brd

uu

p

Cuando la relacin anterior sea superior a uno estaremos hablando de burbujas rpidas. En ellas, todo el flujo que las atraviesa es recirculado formando una nube. Segn el modelo de Davidson y Harrison, esta nube es de forma esfrica. 2.3.2. Modelo de Kunii y Levenspiel Uno de los modelos simplificados ms conocido acerca del comportamiento de un lecho fluido burbujeante es el propuesto por los investigadores Daizo Kunii y Octave Levenspiel [6]. Este modelo se basa en la existencia de las dos fases descritas por el modelo hidrodinmico de Davidson y Harrison algunos aos antes.


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El modelado de las fases est basado en la existencia de un conjunto de postulados enunciados a continuacin de manera general. El punto ms interesante de este modelo es la explicacin referente a la interaccin entre las distintas fases que componen el lecho.

Modelado de la fase burbuja. Postulado 1. El lecho fluido est constituido por dos fases, una fase gaseosa incompresible y viscosa y otra fase particulada sin viscosidad y de densidad constante (son las dos fases ya descritas en el modelo de Davidson y Harrison). Postulado 2. Las etapas de una burbuja creada en el plato distribuidor son tres:

- Burbujas de pequeo tamao que coalescen de forma rpida a poca distancia del plato.

- Burbujas de tamao medio con nubes de tamao comparable al de la propia

burbuja.

- Burbujas grandes que se desplazan a gran velocidad con nubes despreciables. Postulado 3. La velocidad de las burbujas es la definida en el modelo de Davidson y Harrison (Ud). Postulado 4. El tamao de las burbujas es elegido como parmetro del modelo. Se define el dimetro efectivo de burbuja. Esto contradice la ya explicada evolucin del tamao de una burbuja en el lecho. Se asume la hiptesis de que la zona de formacin y coalescencia de burbujas es suficientemente corta como para asumir un tamao de burbuja constante en el resto del lecho. Postulado 5. El contenido de slidos en la fase burbuja se asume nulo y por tanto la porosidad en esta fase es igual a uno. En la fase emulsin, la fraccin de slido es igual a la que exista en condiciones de mnima fluidizacin.

Modelado de la fase emulsin. Postulado 1. Adems de las fases denominadas burbuja y emulsin, existe una nube que rodea las burbujas y cuya base inferior est formada por una estela. La estela est


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formada por slidos cuya concentracin es considerada igual a la que existe en la fase emulsin. Postulado 2. Se utilizan las expresiones del modelo de Davidson y Harrison para la determinacin de la fraccin volumtrica de la nube en relacin al volumen ocupado por la burbuja. Postulado 3. Las burbujas llevan una estela compuesta de slidos en su camino a travs del lecho. La concentracin de partculas slidas en esa estela es igual a la concentracin de la fase emulsin. Por el contrario, el flujo caracterstico de la nube es turbulento. En consecuencia, la velocidad del gas y slido que contiene son iguales a la de la burbuja. Postulado 4. La fase emulsin tiene caractersticas de mnima fluidificacin.

Modelado de la transferencia de materia entre las fases. En un reactor de lecho fluido existen dos tipos de intercambio de materia que deben ser considerados:

a) Transporte entre la partcula slida y el gas que la rodea. Este transporte no se considera controlante y es despreciado en el modelo propuesto por Kunii y Levenspiel.

b) Mecanismo de difusin molecular modelado a travs de la existencia de dos

coeficientes de transferencia de materia correspondientes al intercambio entre la burbuja y la nube (Kbc) y entre la nube y la fase emulsin (Kce).

El modelo de Kunii y Levenspiel [6] establece un conjunto de correlaciones para el clculo de estos coeficientes, y la relacin entre los mismos para alcanzar un valor de un coeficiente global de transferencia de materia entre la fase burbuja y la fase emulsin (Kbe). Todos los coeficientes estn dados por unidad de volumen de burbuja y tienen unidades de s-1.


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( ) ( ) ( )1 1 1

be bc ceb b bK K K

+

siendo

( )12

54

4.510.4mfbc b

bb

U DKd d

= +

( )12

36.78mf D

ce bb

DUK

d

=

De la misma forma se obtienen los coeficientes de transferencia de energa correspondientes a los binomios nube-fase emulsin (Hce)b, fase burbuja-nube (Hbc)b y, finalmente el coeficiente global fase emulsin-fase burbuja (Hbe)b. En el caso de la transferencia de calor, el valor del flujo energtico entre la fase emulsin y la nube es muy superior al existente entre esta ltima y la fase burbuja. Es por eso que el coeficiente de transferencia global burbuja-emulsin, puede aproximarse al valor de (Hbe)b obtenido mediante la correlacin siguiente:

( ) ( )

12

52

4.5 10.4mf g g g g gbe bcb bb

b

U c k cH H

d d

= +


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3. PRESENTACIN DEL PROBLEMA Y DE SU ESTRUCTURA

MATEMTICA.


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3.1. INTRODUCCIN. En este apartado se describe el modelo de combustin al que se realizar el estudio matemtico posterior. Se ha elegido un reactor de lecho fluido ya que las ecuaciones que modelan las fases son mucho ms complejas que en el caso de otro tipo de reactores. Basndonos en los artculos ya citados, el modelo ser particular del caso de combustin de partculas de carbn, pero podra ser igualmente extensible a otro tipo de reacciones. Se pretende resolver el problema matemtico sin perder de vista las soluciones fsicas. Es por ello que se hace nfasis en la comprensin de los parmetros que intervienen as como en la interpretacin de las soluciones obtenidas. 3.2. DESCRIPCIN GENERAL DEL MODELO Como ha sido explicado con anterioridad, el modelo a tratar consiste en el conjunto de dos fases (fase emulsin y fase burbuja) que describen el comportamiento de la combustin de partculas de carbn en un reactor continuo de lecho fluido no isotermo. Las partculas de carbn sufren dos reacciones heterogneas diferentes: oxidacin con el oxgeno procedente del aire, y reduccin con el dixido de carbono producido en el sistema. Ambas reacciones producen monxido de carbono que se oxidar gracias al oxgeno del aire de entrada (reaccin homognea). Las tres reacciones descritas son:

C (s) + 0.5 O2 (g) CO (g) (1)

CO (g) + 0.5 O2 (g) CO2 (g) (2)

C(s) + CO2 (g) 2 CO (g) (3)


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La primera y la tercera son reacciones gas-slido, mientras que la segunda corresponde a una reaccin gas-gas homognea. Los gases (oxgeno, monxido de carbono y dixido de carbono) se difunden en el lecho hasta llegar a las partculas, en cuya superficie el oxgeno y el dixido de carbono pueden llegar a reaccionar. Asimismo, el monxido de carbono fruto de la primera reaccin puede combinarse con el oxgeno. El punto exacto donde se produce esta reaccin entre el oxgeno y el monxido de carbono es desconocido. Si la reaccin se produce en la zona adyacente a la superficie de las partculas de carbono o en el gas intersticial de la fase emulsin depender probablemente de las condiciones del lecho. En cualquier caso existen dos situaciones lmites:

- el monxido de carbono se oxida en la superficie de las partculas de carbono. - el monxido de carbono se oxida homogneamente en la fase gaseosa: esta ser

la condicin de partida aunque asumimos que puede contener incorrecciones importantes.

Las dos reacciones heterogneas que se presentan se asumen de primer orden respecto a la concentracin del gas. La reaccin homognea ser considerada de segundo orden.

21 1 ,O sr k C=

2 22 2 , , 2 , ,O I CO I O D CO Dr k C C k C C= =

23 3 ,CO sr k C=

Las constantes cinticas ki corresponden a expresiones del tipo Arrhenius. El planteamiento de las ecuaciones de conservacin de masa y energa que darn forma al modelo debe considerar tres bloques principales:

1. Ecuaciones de conservacin de la fase burbuja (dilute phase) formada por burbujas esfricas de tamao uniforme exentas de partculas.

2. Ecuaciones de conservacin del gas intersticial perteneciente a la fase emulsin

(dense phase).


28

3. Ecuaciones de conservacin de las partculas de carbono suspendidas en el gas intersticial de la fase emulsin.

Debido al proceso de la combustin las partculas disminuyen su tamao en el tiempo. En un instante determinado del proceso, el lecho contiene partculas con tiempos de residencia diferentes y una distribucin de tamaos determinada. Aunque todo el sistema se considere en rgimen estacionario, cada partcula tiene su propio estado transitorio y por tanto su radio y su temperatura variarn a lo largo del tiempo, aunque en todas las partculas se consideren las mismas condiciones en las fronteras. El balance de poblacin planteado en el apartado siguiente permitir obtener una expresin de la distribucin de partculas en el lecho. Las partculas alimentan el lecho con un flujo constante, y se asume que stas son consumidas en su totalidad. En general, las concentraciones de los reactivos en las fases gaseosas son pequeas y los cambios en el volumen y en las propiedades fsicas se asumen despreciables. Las variaciones de los valores de las propiedades con la temperatura tambin pueden asumirse despreciables. Las reacciones heterogneas se asumen mucho ms rpidas que la difusin del gas hacia el interior de las partculas. Por tanto, puede considerarse que las reacciones tienen lugar en la superficie de las partculas. Adicionalmente, la conduccin de calor a travs de las partculas se asume suficientemente elevada como para despreciar los gradientes de temperatura dentro de las mismas. 3.3. BALANCE DE POBLACIN Las partculas de carbn se alimentan al lecho con temperatura y flujo constante. Bajo condiciones de rgimen permanente, el peso de slidos en el lecho se mantiene constante. En este sistema, las partculas de carbn se consumen y pierden masa debido al fenmeno de la combustin. Para el estudio del caso general, se desprecia la existencia de cenizas y se asume que las reacciones heterogneas tienen lugar en la superficie de las partculas. Igualmente se considera que no existen reacciones entre partculas slidas. En consecuencia, la densidad de las partculas se mantiene constante. Para modelar el comportamiento global de las partculas se realiza un balance poblacional de las mismas entre tamaos comprendidos entre r y r+r. La integracin


29

de la ecuacin diferencial correspondiente al balance da la distribucin del tamao de partculas en el lecho [1]:

30

3( ) ( )b i

F rP rWR r R

=

Para alcanzar este resultado ha sido necesaria la adopcin de un conjunto de hiptesis:

- El tamao de las partculas slidas en la alimentacin es constante, y su radio se denomina Ri.

- La constante de elutriacin k(r) se considera nula, por lo que no existe flujo de

arrastre de partculas. En la prctica, algunas partculas pueden ser arrastradas debido a los valores elevados de la velocidad superficial del gas. Sin embargo, se asume que el lecho est provisto de un separador ciclnico que devolver estas partculas al lecho.

- No existe flujo de extraccin de partculas slidas del lecho (overflow).

La distribucin de tamaos se normaliza a travs de la expresin:

0

( ) 1iR

bP r dr =

En general el valor de R(r) depende de las concentraciones y las temperaturas en las distintas fases y no puede ser resuelto independientemente. Es necesario resolverlo de manera simultnea con las otras ecuaciones de conservacin. 3.4. ECUACIONES DE CONSERVACIN


30

El modelado del sistema requiere la formulacin de las ecuaciones de conservacin para el caso de transferencia de masa y energa. Estas ecuaciones se presentan en el artculo citado [1], y son adimensionalizadas posteriormente para su tratamiento matemtico. En el presente proyecto se dar prioridad a estas ltimas, puesto que son las que nos permitirn alcanzar resultados en MATLAB. Sin embargo, es conveniente conocer de dnde proceden y sobre todo, cual es el significado de los trminos que las componen. Con todas las consideraciones explicadas anteriormente, los balances de materia y energa por fases y componentes adimensionales son los detallados a continuacin (segn el modelo de Gordon y Amundson). Las ecuaciones se presentan ya adimensionalizadas. Las variables y agrupaciones adimensionales se presentan en las tablas siguientes:

Medida de referencia

Variable Adimensional

Altura

fL

*

f

zzL

=

Tiempo

f

i

LU

*i

f

UL =

Concentracin

0jC

*

0*jn

jnj

CC

C=

Temperatura

0*T

*

0*n

nTTT

=

Radio

iR

*

i

rrR

=

El subndice n se refiere a cualquiera de las tres fases consideradas en el modelo:

- d: fase burbuja (dilute phase). - i: gas intersticial de la fase emulsin. - p: partculas slidas de carbn.

Grupos Adimensionales

2f

ji i

DLU R

=


31

( )be fbid

g g i

H LH

c U=

''01

11

ik RKD

=

'' 0*02 1

2f

i

k C LK

U=

''03

33

ik RKD

=

0*1s

s

M CM

=

i

d

UUU

=

d

i

VV

=

0*1

g

s s j

kM c C D

=

0

i

f

WUF L

=

c c fc

g g i i

h A LH

c VU=

( ), ,f

di j be b ji

LK K

U=

( ) 0*10*

ij

g g

H CL

c T

=

0*i

ig

ENR T

=

ss i

WWV

=

j jM =

s s

g g

cc

=

3.4.1. Fase burbuja.


32

Se denominan con la letra y las concentraciones adimensionales de los distintos gases en la fase burbuja. La letra x representa la concentracin adimensional de dichos compuestos en el gas intersticial de la fase emulsin. Las ecuaciones de conservacin en la fase burbuja se definen para cada uno de los componentes gaseosos que entran en juego:

Nmero

Componente

1 Oxgeno molecular 2 Monxido de carbono 3 Dixido de carbono

La cuarta ecuacin corresponde al balance de energa en esta fase. Se observa que todas ellas estn formadas por tres sumandos que indican:

- Variacin de la concentracin del componente o la temperatura con la altura del lecho.

- Trmino correspondiente a la difusin de reactivos en la fase. Incluye el

coeficiente adimensional de transferencia de materia o calor. - Trmino reactivo, donde se incluye una expresin exponencial tipo Arrhenius.


33

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 4 1 2

0

44 4 2 2 2 4 1 2

4

exp / 0

(0)

1...3

exp / 0

(0) 1

jid j j j

j j

id

dyK U x y K U N y y y

dz

y y

j

dy H U x y K L U N y y ydz

y

+ + =

=

=

+ + =

=

3.4.2. Gas intersticial de la fase emulsin. Utiliza la misma notacin indicada en la fase burbuja. Incluye las concentraciones de gases en la fase burbuja con superndice cero que implica condiciones iniciales. Estos valores de concentracin de gases dependientes de la posicin, se promedian y se incluyen en el trmino convectivo de estas ecuaciones. En estos balances estn incluidos los datos referentes a la poblacin de partculas slidas en la fase emulsin.

10 2

2 2 2 4 1 20

12

4 4 4 4 4 2 2 2 4 1 20

( ) 3 (( ) ( ) / ) exp( / ) 0

1...3

1 ( ) 3 (( ( ) ) ( ) / ) ( ) exp( / ) 0

j j id j j s js j b j

id s p b c ws

y x K y x W D C x p r r dr K N x x x

j

x H y x W T r x p r r dr H T x K L N x x x

+ + + =

=

+ + + + =


34

3.4.3. Modelo de partcula.

o Concentracin de productos y reactivos en la superficie de las partculas.

1 1 1 1 3 3 3exp( / ) 3 exp( / ) 0

1...3

j js j p s j p sx C K r N T C K r N T C

j

+ + =

=

o Ratio de consumo (velocidad de disminucin de tamao).

1 1 1 3 3 3( ) exp( / ) exp( / )

(0) 1

p s p sdrR r K DM N T C K DM N T Cd

r

= =

=

o Temperatura.

1 1 1 1 3 3 3 3 42

0

3 exp( / ) 3 exp( / ) 3 ( )3

(0)

p p s p s pp

p p

dT DL K N T C DL K N T C x TdrTd r d r r r

T T

+ = + +

=

siendo

1

0

( )y y z dz=


35

3.5. SIMPLIFICACIONES DEL MODELO GENERAL. 3.5.1. Anlisis de las ecuaciones de conservacin en el caso en que la difusin de reactivos es el paso limitante y no existe reaccin homognea en la fase burbuja (M-Model). El primer caso de estudio simplificado del modelo general es el denominado M-Model. En l, la difusin de reactivos es el paso limitante. La velocidad de transferencia de masa de oxgeno y dixido de carbono en el gas es mucho ms lenta que la velocidad de reaccin en la superficie de las partculas de carbn. Se considera adems que no existe reaccin homognea entre el oxgeno y el monxido de carbono en la fase burbuja. Esta ltima hiptesis es una prctica comn en lechos catalticos donde se asume que no existen partculas dentro de las burbujas. Ms adelante se comprobar que esta suposicin est bastante alejada de la realidad. Eliminando la reaccin homognea del sistema, queda eliminado por tanto, el sumando correspondiente al trmino reactivo de la fase burbuja. El modelo en esta fase queda:


36

( )

( )

0

44 4

4

(0)

1...3

(0) 1

jid j j

j j

id

dyK U x y

dz

y y

j

dy H U x ydz

y

=

=

=

=

=

La resolucin de este tipo de ecuaciones es muy sencilla ya que pueden ser integradas explcitamente. El resultado es de la forma:

0

4 4 4

( ) ( ) exp( )

( ) (1 )exp( )

j j j j id

id

y z x y x UK z

y z x x UH z

= +

= +

Los perfiles de concentracin y temperatura de los gases se integran para obtener un valor promedio en el lecho, tal y como se ha explicado con anterioridad. El resultado del clculo de los promedios es:

0

4 44

( )

(1 )

j j jjid

id

Py x y xK

Qy x xH

= +

= +


37

donde

[ ]

[ ]

1 1 exp( )

1 1 exp( )

id

id

P UKU

Q UHU

=

=

Al asumir que la difusin de reactivos a travs del gas es un paso limitante, la ecuacin referente a la temperatura de una partcula tambin puede ser modificada. Segn las simplificaciones propuestas por Gordon y Amudson, se obtiene una expresin de la temperatura de la partcula en funcin del radio de la misma. Esto quiere decir que partculas con tamaos diferentes tendrn temperaturas superficiales distintas, ya que se adopt la hiptesis de gradiente trmico nulo dentro de las mismas. La ecuacin resultante es:

3 31 14

0

3 3 ( )

(1)

pp p

p p

dT DL xDL xT x Tdr r Br

T T

+ = + +

=

Se trata de una ecuacin diferencial lineal de primer orden con una condicin inicial. Puede integrarse y obtener una solucin.

0 3( 1) 3( 1) 4 1 1 3 3( )( ) 1(1 )

E Ep p

M x L x L x ET r T r rM E

+ + = +

donde


38

1 3(2 )E

x x

=+

De esta forma, la integral que aparece en las ecuaciones de balance del gas intersticial de la fase emulsin puede ser resuelta. Las ecuaciones correspondientes a balances de materia y energa dentro del gas intersticial de la fase emulsin quedan de la siguiente manera:

01 1 1 3 1 3 2 2 2 4 1 2

4 2 3 1 2 4 3 4 2 2 2 4 1 2

( )(1 ) 5 5 exp( / ) 0

(1 )(1 ) 5(2 ) 5( ) ( ) exp( / ) 0

j j j j j

c ws

y x P G x G x K N x x x

x Q G G x G G x H T x K L N x x x

+ + + + =

+ + + + + + + =

donde los parmetros adimensionales Gi se definen como sigue:

1

02

3 1

4 3

s

s p

s

s

G W D

G W MDT

G W DL

G W DL

=

=

=

=

En consecuencia, todo el sistema original del M-Model ha sido reducido a un conjunto de ecuaciones cuyas incgnitas son las concentraciones correspondientes a los reactivos presentes en el gas intersticial de la fase emulsin, y a la temperatura de dicha fase (xj). Manipulando estas ecuaciones se alcanza una expresin dependiente de una nica variable que ser el punto de partida para el estudio pormenorizado de este caso particular.


39

5 2 4 2 21 5 2 3 4 6 2 1

6 1 1

10 ( )( ) (5 10 ) (1 ) 1 0( ) ( )c ws

G G G N NF x G L G G G L x Q H TG v x v x

+

= + + + + + =

siendo

2 1 7 8 11

5 6 1 5 6

( )( ) ln( )K x G G xv xG G x G G

+=

Los nuevos parmetros adimensionales Gi se definen de la forma:

5

6 5 1

7 5 1 6

8 6 6 1

1

5

2 (10 )

2 ( 5 )

G P

G G G

G G G G

G G G G

= +

= +

=

=

La ecuacin simplificada ha quedado reducida a una nica variable que es la concentracin de oxgeno en el gas intersticial de la fase emulsin. Las concentraciones de monxido de carbono, dixido de carbono y la temperatura de los gases en esa fase se despejan de las expresiones siguientes:


40

24

1

3 5 6 1

5 6 12

2 1 2 4

( )

2( )

exp( / )

Nxv x

x G G x

G G xxK x N x

=

=

=

Pese a que el M-Model es un modelo simplificado y relativamente sencillo de abordar matemticamente, puede llegar a ser muy rico en el anlisis de los parmetros que forman parte del mismo. El estudio de las relaciones entre parmetros puede darnos una idea de la influencia de las distintas variables dentro del sistema. Para la resolucin de la ecuacin simplificada en x1, se han utilizado dos procedimientos de distinto grado de rigor que nos han conducido a resultados equivalentes.

1. Resolucin de la ecuacin mediante el Mtodo de Davidenko. 2. Resolucin de la ecuacin mediante el uso de MATCONT, paquete de

MATLAB para el estudio de sistemas dinmicos. 3.5.2. Anlisis de las ecuaciones de conservacin en el caso en que la difusin de reactivos es el paso limitante y existe reaccin homognea en la fase burbuja (Rx-Model).

Las hiptesis tomadas como partida en las simplificaciones del caso anterior no siempre se satisfacen, y por tanto, los resultados desprendidos de la resolucin del mismo no se adaptan a la realidad. Concretamente, la reaccin que efectivamente existe en la fase burbuja y que en el M-Model haba sido despreciada, juega un papel importante en el proceso. Se considera pues, un modelo de comportamiento basado en la existencia de una reaccin homognea en la fase burbuja entre el monxido de carbono y el oxgeno, as como de un control en la transferencia de materia que llega a la superficie de las partculas de carbn. Es el denominado Rx-Model.


41

Las ecuaciones de conservacin quedan de la siguiente manera:

o Fase burbuja.

( ) ( )2 2 2 4 1 2

0

exp / 0

(0)

1...3

jid j j j

j j

dyK U x y K U N y y y

dz

y y

j

+ + =

=

=

( ) ( )4 4 4 2 2 2 4 1 2

4

exp / 0

(0) 1

iddy H U x y K L U N y y ydz

y

+ + =

=

o Gas intersticial de la fase emulsin.

01 1 2 2 2 4 1 2( ) 5 exp( / ) 0

1...3

j j id j j s j jy x K y x W Dx K N x x x

j

+ + + =

=

0 04 4 4 1 1 3 3 4 2 2 2 4 1 21 ( ) 5 (2 ) 5 ( ) ( ) exp( / ) 0id s p s p c wsx H y x W D MT L x W D MT L x H T x K L N x x x + + + + + + + =


42

El mtodo de resolucin de este caso es diferente al del M-Model y requiere un estudio ms profundo y exhaustivo. Se sigue el siguiente esquema iterativo:

a) Supuestos unos valores de las variables xi (se toman los obtenidos a partir del estudio del M-Model) se resuelven las ecuaciones de conservacin del gas en la fase burbuja, obteniendo las correspondientes concentraciones y temperatura yi.

b) Se calculan los promedios en la direccin axial del lecho de las yi obtenidas.

c) Con los valores promediados, se resuelven las ecuaciones correspondientes a los

balances del gas de la fase emulsin. Se comparan los valores obtenidos con los supuestos, que haban sido adquiridos de la solucin del M-Model. Si los valores de las xi difieren (y lo harn al haberse ampliado la generalidad del modelo), se repite el procedimiento hasta alcanzar la convergencia.

4. RESOLUCIN DE LOS MODELOS CON MATLAB.


43

4.1. PRESENTACIN DE MATLAB. MATLAB es el nombre abreviado de Matrix Laboratory, y corresponde a un potente programa de clculo numrico a partir de vectores y matrices. Es una herramienta computacional muy poderosa y atractiva a la hora de resolver problemas, programar y resolver grficamente. Se ha escogido el tratamiento de este proyecto en MATLAB por tratarse de un lenguaje relativamente sencillo e intuitivo. El estudio de las ecuaciones de los modelos planteados con MATLAB permite su extensin a casos de similares caractersticas, as como amplias posibilidades a la hora de representar las soluciones, lo cual es siempre ventajoso a la hora de la interpretacin de resultados. Los modelos ya descritos, aunque similares, sern tratados de forma bien distinta en lo que a su estudio se refiere. En los apartados siguientes se presentan las ecuaciones de conservacin en la forma en la que sern tratadas en el programa, as como las funciones de MATLAB y los principios matemticos que apoyarn su resolucin [9]. Seguidamente se proceder a la bsqueda de resultados que sern analizados posteriormente. 4.2. ANLISIS MATEMTICO DEL M-MODEL. 4.2.1. Presentacin de la funcin del M-Model.


44

Recordemos que la ecuacin general que representa el M-Model es:

5 2 4 2 21 5 2 3 4 6 2 1

6 1 1

10 ( )( ) (5 10 ) (1 ) 1 0( ) ( )c ws

G G G N NF x G L G G G L x Q H TG v x v x

+

= + + + + + =

siendo

2 1 7 8 11

5 6 1 5 6

( )( ) ln( )K x G G xv xG G x G G

+=

Esto puede expresarse de la forma:

1 11

( ) 0( )cF x a bx

v x= + =

siendo

1 11

1

( )( ) ln( )

dx e xv xf x

+=

donde

5 2 4

5 26

10 ( ) 1 c wsG G Ga G L Q H T

G+= + + + +

3 4 6 25 10b G G G L=

2(1 )cc Q H N= + +


45

2 82

5 6

K GdG G

=

7

8

GeG

=

5

6

GfG

=

La condicin para que la ecuacin, expresada a travs de los nuevos coeficientes, tenga solucin es que el argumento del interior del logaritmo sea positivo. Deben buscarse valores de x1 que satisfagan la condicin:

1 1 1( )( ) 0x x e x f+ p

lo cual se satisface cuando

1e x f p p

Se conocen las expresiones de e y f, y los valores de las variables de las que dependen son perfectamente compatibles con esta solucin. En consecuencia, para definir nuestro radio de accin debemos limitarnos a los valores de x1 comprendidos entre e y f. As aseguraremos que el logaritmo neperiano de la ecuacin sea positivo en todos los casos y que la solucin a la ecuacin sea real. La publicacin de Gordon y Amundson propone un estudio de la funcin anterior representativa del M-Model para la determinacin de las posibles soluciones mltiples existentes, debido a la existencia de mltiples reacciones en el proceso fsico. En referencia a criterios de diseo, es importante asegurar la existencia de una nica solucin en rgimen permanente. El primer punto del estudio, ya tratado con anterioridad en el proyecto, es la determinacin del intervalo de x1 que satisface un argumento positivo del logaritmo de la funcin. Se concluye que el valor de la concentracin adimensional de oxgeno en el gas de la fase emulsin debe estar comprendido entre e y f .


46

El estudio de la unicidad de la solucin de la ecuacin propuesta pasa por comprobar que la derivada de la ecuacin en cualquier punto del rango es diferente a cero. Esto implica que no existen mximos o mnimos y que la funcin es creciente o decreciente en el intervalo, dando una solucin nica que satisface F(x1)=0. La derivada de la funcin a estudiar es del tipo:

11 2

1 1

( )( )( )

dv xcF x bv x dx

= +

Para asegurar la unicidad de la solucin debe darse que dicha derivada no alcance un mximo o un mnimo, luego:

12

1 1

( )( )

dv xc bv x dx

Es a partir de esta expresin, cuando se encuentran ciertas incoherencias en el artculo nombrado:

Tanto 11

( )dv xdx

como 2 1( )v x se consideran positivas a partir de todas las

definiciones aportadas con antelacin. Slo resta que los parmetros b y c tengan signos idnticos para consumar la desigualdad. Sin embargo, y a diferencia de lo que se asegura en el artculo, esto no se produce para ningn valor de U0 seleccionado dentro del rango. El parmetro c siempre es positivo y, por el contrario, el parmetro b siempre es negativo. Esto implica que la condicin que asegura la unicidad de soluciones no se cumple dentro del rango previsto y, en consecuencia, pueden existir soluciones mltiples de la ecuacin.

El estudio del signo del parmetro b ocupa un puesto significativo en el artculo

de Gordon y Amundson. Aunque no es relevante para este caso, ya que se comprueba que el parmetro b tiene un signo distinto al esperado, es de rigor mostrar la relacin correcta entre los grupos adimensionales que forman dicho parmetro y que en la publicacin est expresado con numerosos errores. Para un valor de b>0, debe cumplirse que


47

3 4 6 25 10 0G G G L f

Lo que implica que:

2

3.07(1 ) (1 exp( ))1(1 )

mf mf id

mf i mf

DL UKU R U

+

f

La Figura 3, cuyo mtodo de obtencin se detalla a continuacin, recoge una representacin aproximada de las curvas que componen la solucin a la ecuacin propuesta para distintos valores de U0 comprendidos dentro de un rango. En ella se observa la existencia de soluciones nicas, dobles o incluso triples para valores crecientes de esta velocidad superficial. Para los casos estudiados del M-Model donde la velocidad superficial del gas de entrada era relativamente elevada, se ha comprobado que la solucin de la ecuacin para x1 era mltiple. Para resolver la ecuacin propuesta se trabajar con el mtodo de Davidenko (cuyo fundamento ser explicado en el apartado siguiente), el cual necesita un punto de la curva (o un punto muy prximo a la misma) para comenzar el procedimiento de continuacin. Este punto, a priori, es desconocido. A partir de unos datos representativos del comportamiento del modelo, creamos con MATLAB unas curvas que representen la funcin general del M-Model para un rango dado de valores de x1. Esto se consigue simplemente otorgando valores a x1 y calculando F(x1). Mediante el comando plot (x,y) se consiguen las curvas que, aunque no muy precisas, nos pueden ayudar a alcanzar los primeros valores de partida para el uso del mtodo de Davidenko. Es necesario obtener los valores de x1 para los que F(x1) llega a ser nulo. El primer paso es la adopcin de los datos necesarios para la definicin del proceso. Todos ellos pueden ser variados en funcin de las caractersticas del sistema en cuestin:

Valores numricos de los parmetros usados en la resolucin del modelo

26cA m= 21.17tA m=

0* 31 0.0048 /C mol m=


48

02 0C = 03 0C =

1460sJc

kgK=

1140gJc

kgK=

20.00006 /D m s= 1 15000g

E KR

=

2 12000g

E KR

=

3 25000g

E KR

=

22.50cJh

sm K=

'' 701 1.55 10 /k m s=

3'' 802 3.09 10

m kgkmols

=

'' 703 1.55 10 /k m s=

0.6mfL m= 12 /sM kg mol=

1 /cq kg s= 323cfT K= 373wsT K=

81 2.21 10

JHmol

=

82 5.71 10

JHmol

=

83 3.50 10

JHmol

=

0.4mf =

26.75 10gJk

msK=

54.15 10gkgms

=

30.35 /g kg m = 3800 /s kg m =


49

Estos datos de partida son introducidos por el usuario del programa a partir de la puesta en marcha de un m-file de MATLAB denominado datosrequeridos.m (Anexo I), donde adems de las magnitudes anteriormente indicadas se piden los valores correspondientes a:

- Dimetro efectivo de burbuja (db). - Radio inicial de las partculas de carbn (Ri).

- Temperatura de entrada de los gases al reactor (T0).

- Gravedad (g).

- Velocidad superficial de entrada de los gases en el reactor (U0).

- Temperatura inicial en la superficie de las partculas (Tp0).

A partir de todos los datos de partida y mediante el fichero adimensional.m se calculan todos los parmetros adimensionales descritos en el apartado 3.4 y que son necesarios para manejar valores numricos en las ecuaciones de conservacin utilizadas. De igual forma el fichero agrupaciones.m calcula dar los valores correspondientes a las Gi y a los coeficientes comprendidos entre a y f. Los resultados de la ejecucin de estos dos ficheros, para los datos de partida considerados para una velocidad superficial del gas de 25 m/s (aproximadamente 10 veces la velocidad de mnima fluidizacin) son los que se exponen en la tabla siguiente:

Grupos Adimensionales

2f

ji i

DLU R

= = 0.2239

( )be fbid

g g i

H LH

c U= = 22.1337

'' 0*02 1

2f

i

k C LK

U= = 138360

( ) 0*111 0*

g g

H CL

c T

= = 8.8622

( ) 0*122 0*

g g

H CL

c T

= = 22.8972


50

( ) 0*133 0*

g g

H CL

c T

= = -14.0351

i

d

UUU

= = 1.3956

d

i

VV

= = 9.9352

0*1s

s

M CM

= = 7.2 10-5

c c fc

g g i i

h A LH

c VU= =0.0125

( ), ,f

di j be b ji

LK K

U= =1.2511

22 0*

g

ENR T

= = 40

ss i

WWV

= = 1.5

s s

g g

cc

= =2927.3

Para obtener todos los valores de todos los parmetros adimensionales ha sido necesario adicionalmente, el clculo de todas las velocidades ya mencionadas y los coeficientes de transferencia de materia y calor entre fases. Sin embargo, estos valores adimensionales variarn en funcin del valor escogido de U0 en el lecho. Todos ellos sern mltiplos (entre 2.5 y 12 veces) de la velocidad de mnima fluidizacin. La representacin de la funcin F(x1) vs x1 debe realizarse entre un rango determinado de valores de x1. Para seleccionar el rango adecuado se ha realizado un estudio de la ecuacin en cuestin. Se representa finalmente F(x1) vs x1 para distintos valores del parmetro U0. Para cada valor de U0 definido en datosrequeridos.m se calculan todos los parmetros adimensionales, los Gi y las agrupaciones anteriores. Una vez conocidos los valores de e y f para ese valor de la velocidad superficial, se puede trabajar con el rango de x1 que hace positivo el logaritmo de la ecuacin. Con el simple comando plot(x,y), MATLAB es capaz de dibujar la funcin de manera aproximada, suficiente para poder tomar un punto de partida en la ejecucin posterior del mtodo de Davidenko (archivo Fig3individual.m del Anexo I). Para unos valores de:

0* 300T K=


51

0* 500pT K= 0.005iR m=0.05bd m=

Se obtienen las siguientes curvas parametrizadas en U0.

Figura 3. M-Model para distintos valores de la velocidad superficial del gas de entrada.

Ya es posible partir de un punto perteneciente (o muy prximo) a las curvas reales para resolver exactamente la ecuacin por el mtodo de Davidenko. Recordemos que los valores de la velocidad superficial U0 han sido tomados entre lmites comprendidos entre 2.5 y 12 veces el valor de la velocidad de mnima fluidizacin, que para los datos considerados es aproximadamente de 2.6 m/s.


52

4.2.2. Mtodo de Davidenko. El mtodo de Davidenko es un mtodo matemtico de continuacin para resolver ecuaciones de la forma

1( , ) 0F x y =

donde x1es la incgnita e y representa un parmetro del modelo. La secuencia de actuacin en MATLAB est recogida en el archivo davidenko.m. La obtencin de las races de una ecuacin de ese tipo siguiendo el mtodo de Davidenko sigue los pasos siguientes:

1. Bsqueda de un punto que pertenezca a la curva o est muy prximo a la misma.

40 0( , ) 10F x y

2. Clculo de un vector tangente a la curva en ese punto donde la norma del mismo

sea superior a un valor dado.

0 0

0 0

0 0

( , )( , )

( , )

( , )( , )

y x x yx y

x y x y

F FT

F F

=

donde

0 0 0 0

2 2( , ) ( , )( , ) ( ) 0.0001x y x y x y x yF F F F= +

3. Prediccin de un nuevo punto: con el punto inicial perteneciente a la curva y el

valor de la tangente en dicho punto, calculamos un nuevo valor de (x,y) para un valor de h suficientemente pequeo para no alcanzar irregularidades.


53

0 01 1 0 0 ( , )( , ) ( , ) x yx y x y hT= +

4. Correccin del nuevo punto mediante la aplicacin del mtodo de Newton

fijando x1 o y1 segn si:

2 0 0 1 0 0( , ) ( , )T x y T x y o si

1 0 0 2 0 0( , ) ( , )T x y T x y

siendo T1 y T2 las componentes del vector tangente T.

El programa va a elegir los puntos sucesivos que irn formando la curva a partir de los vectores tangentes que impliquen un menor desplazamiento. Con un paso suficientemente pequeo estamos garantizando la continuidad de la curva. Para llevarlo a cabo es preciso el clculo de las derivadas de la funcin respecto a la incgnita y respecto al parmetro. Es necesaria tambin una buena eleccin del punto de partida que debe necesariamente pertenecer a la curva o estar muy prximo a la misma. 4.2.3. Resolucin del M-Model con el mtodo de Davidenko. Para la obtencin de los valores de x1 (concentracin adimensional de oxgeno en el gas intersticial de la fase burbuja) de la ecuacin del M-Model a partir del mtodo de Davidenko se han creado dos m-files en MATLAB.


54

El primero de ellos es la secuencia de pasos del mtodo de Davidenko, que se adjunta en el Anexo I. El segundo archivo corresponde a la funcin que va a ser llamada por dicho mtodo y que contiene a la propia funcin, y a las derivadas respecto a la incgnita y al parmetro. La llamada de MATLAB en la Command Window es de la forma:

[sol, cambio]=davidenko(fun,[x0;y0],h,n)

El significado de los parmetros se detalla a continuacin:

- sol: son los puntos de la curva. - cambio: son los puntos donde cambia el mtodo de Newton.

- fun: corresponde a la funcin y a las derivadas parciales. 'fun' ha de devolver un

vector. - [x0;y0]: son las condiciones iniciales.

- h: es el tamao del paso.

- n: es el nmero de puntos a calcular.

El siguiente paso es la eleccin de los parmetros ms significativos del modelo para la obtencin de las curvas que nos permitan tener una visin amplia del comportamiento en el reactor en funcin de la variacin de ciertas magnitudes. El propsito de esta forma de trabajo, es obtener la representacin de la variable elegida (x1) respecto a los parmetros del modelo. De esta forma se abre la posibilidad de estudiar el modelo desde un punto de vista fsico, es decir, observando la variacin de valor de las variables a calcular cuando se toman distintos valores de los diferentes parmetros relacionados con el comportamiento del sistema. Para unos datos de partida dados, se ha estudiado la variacin de los valores de xi en funcin de la temperatura inicial en la superficie de las partculas (Tp0) y de la temperatura inicial de alimentacin de los gases al reactor (T0). Se han elegido estos dos parmetros por ser bastante representativos de un problema de este tipo. Adems, aparecen ligados a la funcin de manera lineal, lo que permite calcular la derivada de la funcin de forma relativamente simple. A continuacin se presentan los resultados obtenidos mediante la aplicacin del mtodo de Davidenko a cada uno de lo parmetros seleccionados.


55

Resolucin del M-Model con el mtodo de Davidenko. Parmetro 1: Temperatura superficial inicial de las partculas de carbn.

Una vez detallado el mtodo de Davidenko y, conociendo un punto aproximado de la curva de trabajo, se pretende estudiar cmo vara la concentracin de oxgeno adimensional en el gas intersticial de la fase burbuja (x1) con respecto a diferentes parmetros. El primero de ellos es la temperatura inicial en la superficie de las partculas (Tp0). Para dibujar la curva mediante continuacin a partir de este parmetro es necesario crear un m-file (tparticulas.m en Anexo I) donde aparezca definida la funcin a estudiar, as como las derivadas parciales referidas a la incgnita principal (x1) y al parmetro (Tp0). Para comenzar el proceso iterativo es necesario escoger una pareja de valores iniciales. Para un valor de la velocidad superficial inicial elegido (por ejemplo U0=25 m/s), atendiendo a la figura 3 se puede escoger aproximadamente como datos iniciales, los siguientes valores:

x1 = 0.62 Tp0 = 500/300

El valor de la temperatura inicial de la superficie de las partculas se adimensionaliza dividindolo por el valor de la temperatura inicial de los gases en Kelvin. Mediante una llamada al procedimiento de Davidenko del tipo:

[sol,cambio]=davidenko(tparticulas,[0.62;1.667],0.001,100) se genera la curva deseada.


56

Figura 4. Efecto de la temperatura inicial de las partculas sobre la composicin de oxgeno en

el gas de la fase emulsin.

Segn las condiciones de operacin de este tipo de sistemas, es lgico concluir que el valor adimensional de Tp0 ser siempre positivo, por lo que slo nos quedaremos con la zona derecha de la grfica. Se observa que para ciertos valores de dicha temperatura existe ms de un valor posible de x1. Todos ellos son soluciones matemticas pero slo uno representar las condiciones fsicas del proceso. Las relaciones entre las incgnitas xi son conocidas, y permiten la construccin de curvas similares en funcin de la concentracin de otros compuestos o la temperatura en el gas de la fase emulsin. La concentracin adimensional de dixido de carbono en el gas de la fase emulsin (x3) se obtiene una vez conocida la secuencia de resultados de x1 segn la relacin:

3 5 6 12( )x G G x= Para dibujar la curva de esta nueva concentracin frente al parmetro, basta con sustituir cada valor de x1 en la expresin anterior y representarlo frente al valor de Tp0 al que va relacionado.


57

La curva para una velocidad superficial de entrada de gases de 25 m/s queda de la forma que muestra la Figura 5.

Figura 5. Efecto de la temperatura inicial de las partculas sobre la composicin de dixido de

carbono en el gas de la fase emulsin.

De nuevo se observa que para ciertos valores de la temperatura superficial inicial de las partculas de carbn, existe multiplicidad de soluciones (hasta 3) en x3. Slo una de ellas tendr significado fsico en el sistema de trabajo. Para el caso de x4 (temperatura de los gases intersticiales en la fase emulsin) la relacin es

24

1( )Nx

v x=

y la representacin grfica para U0=25m/s aparece en la Figura 6.


58

Figura 6. Efecto de la temperatura inicial de las partculas sobre la temperatura del gas de la fase emulsin.

Finalmente, para el caso de la concentracin adimensional de monxido de carbono (x2), la relacin es del tipo:

5 6 12

2 1 2 4exp( / )G G xx

K x N x

=

para cuya representacin es necesario conocer los valores correspondientes de x1 y x4. Grficamente obtenemos la Figura nmero 7.


59

Figura 7. Efecto de la temperatura inicial de las partculas sobre la composicin de monxido de carbono en el gas de la fase emulsin.

Este anlisis puede realizarse para cualquier valor de U0 dentro del rango dado y para cualquier par de condiciones iniciales que cumplan las especificaciones.

Resolucin del M-Model con el mtodo de Davidenko. Parmetro 2: Temperatura inicial de entrada de gases al reactor.

El estudio del sistema respecto al parmetro anterior es relativamente sencillo debido a que ste slo aparece en una ocasin, y de forma lineal, en uno de los sumandos de la ecuacin principal. El segundo parmetro a estudiar es la temperatura inicial de entrada del oxgeno al reactor (T0). Este caso es completamente opuesto en ese sentido ya que existe una dependencia ms que clara en multitud de expresiones adimensionales respecto de esta temperatura.


60

La forma de proceder es anloga a la precedente, con la dificultad aadida de que el mtodo de Davidenko necesita la definicin de la derivada de la funcin respecto al parmetro, que en este caso ser ms compleja que en el anterior. El archivo que contiene la definicin de la funcin general con sus derivadas respectivas lleva el nombre de tinicial.m. Para hacer ms sencillo el trabajo se realiza la derivada respecto a la inversa de la temperatura inicial (T0) ya que la ecuacin general puede expresarse de la forma:

1 1 21

( , ) 1( )CyF x y Q Ay Bx y

v x= + + +

donde y representa la inversa de la temperatura de entrada inicial de los gases en Kelvin. Asimismo,

0* 0* 0*5 5 3 1 5 2 1

6 6

10 10 ( ) ( )[ ]s p s wsg g g g

G W MDT G W D H C G H CA TG c G c

= + + +

0* 0* 0*1 3 1 6 2 15 10 ( ) ( )[ ]s s

g g g g g g

W DC W D H C G H CBc c c

=

2 (1 )cg

EC Q HR

= + +

donde las variables que aparecen con asterisco, no estn adimensionalizadas y deben ser incorporadas con sus unidades correspondientes. Para comenzar a trabajar con este mtodo, de nuevo es necesario otorgar una pareja de valores iniciales al programa para comenzar el proceso iterativo. Para una velocidad de entrada del gas de 25 m/s, y segn los datos adoptados con antelacin, pueden considerarse como condiciones iniciales una temperatura de 300K para T0 y una concentracin de x1 de 0.62. La llamada al proceso de continuacin tendr la misma forma que el caso anterior:


61

[sol, cambio]=davidenko(tinicial,[0.62;0.00333],-0.001,70)

El resultado ser de la forma mostrada en la Figura 8.

Figura 8. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composicin de

oxgeno en el gas de la fase emulsin.

Para el valor inicial de trabajo del sistema de 1/300 en abscisas, puede contemplarse de nuevo la multiplicidad de soluciones respecto a la concentracin x1 que por supuesto coinciden con los hallados en los casos anteriores. El procedimiento para la obtencin de las concentraciones x2, x3 y x4, a partir de las relaciones ya descritas, es anlogo al precedente. Las grficas se dibujan a partir de los archivos contenidos en la carpeta xi. Los resultados pueden observarse en las Figuras 9, 10 y 11.


62

Figura 9. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composicin de

monxido de carbono en el gas de la fase emulsin.


63

Figura 10. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la composicin de dixido de carbono en el gas de la fase emulsin.

Figura 11. Efecto de la inversa de temperatura del gas de entrada sobre la temperatura en el

gas de la fase emulsin. 4.2.4. Mtodos de resolucin alternativos: MATCONT

MATCONT es un paquete de continuacin de MATLAB para el estudio numrico interactivo de ecuaciones diferenciales ordinarias parametrizadas. Entre sus capacidades est la de calcular curvas de equilibrio. En este caso, se intentarn reproducir los resultados obtenidos con Davidenko para el M-Model con este programa. Para conseguir una curva de equilibrio es necesario partir de un punto de equilibrio, que ser el punto inicial tomado en el mtodo de Davidenko. Se define la funcin a tratar con la incgnita (x=x1) y el parmetro (y=1/T0). Para ambos se completa el valor inicial ya comentado. Es necesario tambin dar todos los valores de las magnitudes de las ecuaciones usadas en el cmputo. Pueden insertarse como parmetros pero es necesario conocer su valor numrico. Para los datos de partida conocidos, la funcin se define de la forma:

x = 1+alfaq +ay +byx (py/V)


64

V = log (dx(x+e)/(f-x))

Y los datos a completar en la Continuer Window son:

t interval 1000 InitStepSize 0.0001 MinStepSize 0.00001MaxStepSiz

e 0.1

La eleccin de estos datos puede ser crucial para el buen funcionamiento del programa, pero la forma de comprobarlo es algo rudimentaria ya que requiere ensayo y error. Para el punto inicial y las magnitudes asumidas (obtenidos de los archivos de MATLAB correspondiente a los nmeros adimensionales y las agrupaciones):

x 0.62 y 0.006 a 36532 b -40170 p 97578 d 32341 e -0.6075f 0.8038

alfa

9.9352

q 0.7165 La variable y se elige como parmetro libre, seleccionndola con respecto a las otras en la ventana de Starter. En esa misma ventana se completan los valores iniciales para x e y, as como los valores fijos del resto de los parmetros. El resultado obtenido por este programa es idntico al que se desprenda del uso de Davidenko (ver Figura 12 y comparar con Figura 8). Claramente, si la curva es idntica en el caso de x1, lo ser igualmente para las xi restantes. En cualquier caso, los dos mtodos presentan una serie de ventajas e inconvenientes:

Modelado y Simulacin de un Reactor de Lecho Fluido para la Combustin de Partculas de Carbn

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