UNIVERSIDAD DE SONORA · 2020. 2. 6. · delaci on del ADN. Incluso en la hip otesis de Riemann, A....

UNIVERSIDAD DE SONORA

DIVISION DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Programa de Licenciado en Matematicas

Aspectos analıticos del espacio de representaciones unitariasinducidas por acciones en espacios de probabilidad estandar

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciado en Matematicas

Presenta:

Beatriz Ramonetti Valencia

Director de tesis: Dr. Jesus F. Espinoza

Hermosillo, Sonora, Mexico Diciembre de 2014

Sinodales

Dr. Agustın Brau RojasDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

Dr. Jesus Francisco Espinoza FierroDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

M.C. Rosalıa Guadalupe Hernandez AmadorDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

Dr. Rafael Roberto Ramos FigueroaDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

i

A mis padres.A mi hermano, gracias por volver.

Agradecimientos

Gracias a Dios por permitirme llegar a donde estoy hoy y por la familia que me hasbrindado, a la cual le agradezco infinitamente pues es lo mas importante que tengo, pordarme su apoyo incondicional, su comprension y todo su amor en las buenas y en lasmalas, espero que se sientan orgullosos de mi.

Quiero agradecerle tambien a mi director, Dr. Jesus Francisco Espinoza Fierro, porsu ensenanza, su paciencia y por haberme dedicado su tiempo, siempre con amabilidad ydisposicion. Es un gran honor trabajar con usted. Ası como a M.C. Rosalıa GuadalupeHernandez Amador, Dr. Agustın Brau Rojas, y Dr. Rafael Roberto Ramos Figueroa,quienes fueron integrantes del comite revisor de mi tesis, por el tiempo brindado para lacorreccion y comentarios.

Le doy las gracias a todos mis profesores y companeros de la licenciatura por ayudarmea crecer personal y profesionalmente. Quiero agradecer a todos las personas que me hanapoyado a lo largo de mi vida, por su companıa y amistad, no alcanzan las palabras paradecir lo que significan para mi y lo feliz que soy de tenerlos en mi vida. Gracias por estarconmigo en todo momento.

v

Indice general

Introduccion IX

1. Preliminares de topologıa y algebra 11.1. Elementos de topologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Elementos de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Representaciones lineales 352.1. Acciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Representaciones de grupos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Representaciones unitarias y espacios de probabilidad estandar 533.1. Nociones y hechos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. La representacion de Koopman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. El espacio de representaciones unitarias realizables por una accion . . . . . . 573.4. Demostracion del resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografıa 65

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Introduccion

La teorıa de representaciones lineales de grupos ha tenido un importante impacto endiversas areas de la matematica y las ciencias en general. En [12] puede encontrarse unaexcelente exposicion sobre el desarrollo de esta teorıa y las importantes aportaciones desus fundadores.

Algunas aplicaciones a la ingenierıa han sido estudiadas en [8], sobre construccionescon bielas y cables; ası como en el diseno de redes telefonicas [5].

En la misma fısica-matematica hay bastante literatura de distintas aplicaciones de lateorıa de representaciones. Por ejemplo en la ecuacion del calor o la ecuacion de onda deSchrodinger, [11]; en Mecanica se puede consultar [24], [18] y [28].

En cristalografıa la teorıa de representaciones encuentra un area muy rica en aplica-ciones, debido a la rigidez de las transformaciones involucradas. Algunos artıculos que sepueden consultar son [7] y [6], entre otros.

En teorıa de nudos esta [10], un area que recientemente ha sido utilizada para la mo-delacion del ADN. Incluso en la hipotesis de Riemann, A. Connes mostro una aplicacionde la teorıa de representaciones, [9].

En este trabajo realizamos un analisis sobre la topologıa del espacio de representacionesunitarias de un grupo finito abeliano en un espacio de Hilbert complejo, separable y dedimension infinita. La motivacion de este analisis radica en su relacion con la construccionde ciertos espacios topologicos cuyas propiedades son importantes en topologıa algebraica,principalmente por el hecho de que el enfoque presentado en el ultimo capıtulo de estetrabajo proporciona un enfoque alternativo a las tecnicas tradicionalmente utilizadas enel estudio del espacio de representaciones unitarias para la construccion de espacios cla-sificantes (cf. [3] y [2]). El contenido de dicho capıtulo se basa principalmente en [13] y[20].

A fin de establecer de una manera mas precisa el resultado principal de [20], y quedesarrollamos en el Capıtulo 3, recordemos que si X es un conjunto y G es un grupo, sedice queG actua sobreX si existe un homomorfismo entre el grupoG y el grupo de simetrıasde X, esto es, el grupo (bajo la composicion) de las funciones biyectivas X → X. Luego,una representacion lineal de un grupo G, sobre un espacio vectorial V , es un homomorfismode grupos

ρ ∶ G Ð→ Aut(V ) ⊂ Sim(V )g z→ ρg

donde Aut(V ) denota el grupo de transformaciones lineales invertibles del espacio V en simismo. Equivalentemente, una representacion lineal consiste en una accion de G sobre Vmediante transformaciones lineales e invertibles de V .

ix

Cuando cada uno de los automorfismos ρg ∶ V → V es un operador unitario, decimosque ρ es una representacion unitaria.

Por otro lado, si (X,µ) es un espacio de probabilidad estandar, se dice que Gactua sobre X mediante automorfismos que preservan la medida, o bien, mediante µ-

automorfismos si para cada g ∈ G sucede que Xg // X es un automorfismo de Borel tal

que µ(A) = µ(g−1(A)) para todo g ∈ G y A ⊂ X medible. Ademas, si (X,µ) es un espaciode probabilidad estandar, se define el siguiente espacio de Hilbert complejo, separable y dedimension infinita,

L20(X,µ) = {f ∈ L2(X,µ) ∶ ∫

Xf dµ = 0} ,

lo cual permite definir canonicamente el homomorfismo

Aut(X,µ) Ð→ U(L20(X,µ))

T z→ UT

donde T ∶ X → X es un µ-automorfismo de Borel y UT ∶ L20(X,µ) Ð→ L2

0(X,µ) se definepor UT (f) = f ○ T−1.

Si ρ ∶ G → U(H) ∶= {U ∶ H → H ∶ T ∗T = TT ∗ = Id} es una representacion unitaria sobreun espacio de Hilbert H, complejo, separable y de dimemsion infinita, diremos que ρ esrepresentable por una accion si existe un espacio de probabilidad estandar (X,µ) y unaaccion a ∶ G→ Aut(X,µ) tal que la representacion inducida

Gκa0

''PPPPPPP

a��

Aut(X,µ) �� // U(L2

0(X,µ))

es unitariamente equivalente a ρ.Originalmente, en [20, Prop. H.14], Alexander S. Kechris demuestra que siG es un grupo

numerable y H es un espacio de Hilbert, entonces el conjunto de representaciones unitariasrealizables por una accion de G en H es denso en Hom(G,U(H)). Tambien demuestra quedicho conjunto es de primera categorıa o residual en Hom(G,U(H)), ya que es invariantebajo conjugacion por elementos del grupo unitario U(H), y en el caso que G es un grupoabeliano libre de torsion entonces tal conjunto es de primera categorıa.

En [20, Problem H.16], A. Kechris plantea el siguiente problema, aun abierto hasta elmomento de la redaccion de este trabajo:

Pregunta: Sean G un grupo infinito numerable y H un espacio de Hilbert complejo sepa-rable de dimension infinita. ¿Es el conjunto de todas las representaciones unitarias de G,realizables por una accion, de primera categorıa en Hom(G,U(H))?

Posteriormente, en [13], M. Dolezal responde una variante de esta pregunta bajo lahipotesis de que G es un grupo abeliano y finito. El resultado obtenido por M. Dolezalafirma de hecho, que tal subconjunto es residual, dando una respuesta negativa bajo lashipotesis mencionadas sobre el grupo.

x

INDICE GENERAL

Formalmente, el resultado obtenido por M. Dolezal es el siguiente.

Teorema([13, Th. 2]). Sea G un grupo abeliano finito y sea H un espacio de Hilbertcomplejo, separable y de dimension infinita. Entonces el conjunto

{π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ π es realizable por una accion}

es residual en Hom(G,U(H)).

De hecho, Dolezal demuestra un resultado mas fuerte, a saber que existe una represen-tacion π ∈ Hom(G,U(H)) realizable por una accion, con una clase de equivalencia unitariaque es residual en Hom(G,U(H)), i.e., el conjunto

[π] = {ρ ∈ Hom(G,U(H)) ∶ π ≃ ρ}

es residual en Hom(G,U(H)).La estructura de este trabajo es la siguiente. En el Capıtulo 1 se introducen varios

conceptos y resultados preliminares sobre topologıa y algebra, que son usados en el restodel trabajo. En el Capıtulo 2 presentamos una introduccion a la teorıa de representacio-nes lineales de grupos finitos y mostramos algunos ejemplos. Finalmente, en el Capıtulo3 se presenta el resultado principal antes mencionado y se concluye el capıtulo con sudemostracion.

xi

Capıtulo 1

Preliminares de topologıa yalgebra

En este capıtulo introducimos algunos conceptos y resultados que seran necesarios enlos capıtulos siguientes. El material aquı incluido puede consultarse con mayor detalle en[27] y [15].

1.1. Elementos de topologıa

Iniciaremos con alguna terminologıa estandar sobre espacios topologicos, topologıasrelativas, continuidad y topologıas en espacios de funciones.

1.1.1. Espacios topologicos

Antes de introducir la definicion de espacio topologico, recordemos que un espaciometrico es un conjunto S con una funcion ρ ∶ S × S → R+ ∪ {0}, llamada metrica en S,tal que para s1, s2, s3 ∈ S se cumple lo siguiente:

1) ρ(s1, s2) = 0 si y solo si s1 = s2

2) ρ(s1, s2) = ρ(s2, s1)

3) ρ(s1, s3) ≤ ρ(s1, s2) + ρ(s2, s3)

Si S es un espacio metrico, con metrica ρ, definimos para cada punto s0 ∈ S y a ∈ R+,la bola de radio a centrada en s0, como el conjunto dado por:

Bs0(a) = {s ∈ S ∣ ρ(s, s0) < a}.

Ejemplo 1.1.1. Sea S = R2. Definimos tres metricas sobre S como sigue.Para P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) ∈ S,

ρ1(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,ρ2(P1, P2) = max{∣x2 − x1∣, ∣y2 − y1∣},ρ3(P1, P2) = ∣x2 − x1∣ + ∣y2 − y1∣.

La bola de radio a y centro en el origen depende de la metrica, como se muestra enla siguiente imagen. Note que la bola no tiene porque ser circular o tener una frontera suave.

1

Capıtulo 1

(1) ∶ ρ1(s,0) < a (2) ∶ ρ2(s,0) < a (3) ∶ ρ3(s,0) < a

⧫

Las tres metricas le dan al plano tres distintas estructuras como espacio metrico. Porotro lado, la convergencia en el espacio es independiente de la metrica, esto es, de la formade la bola, pero sı depende de que la bola sea abierta. Es justo esta propiedad sobre estaclase de subconjuntos la que motiva la definicion de espacio topologico.

Definicion 1.1.2. Un espacio topologico es un conjunto S con una coleccion T desubconjuntos de S (T ⊆ 2S) que satisface las siguientes condiciones:

1) Vacıo y total: ∅, S ∈ T .

2) Interseccion finita: Si A1,A2 ∈ T entonces A1 ∩A2 ∈ T .

3) Union arbitraria: Si {Ai}i∈I ⊂ T entonces ⋃i∈I Ai ∈ T .

Los elementos de T se llaman conjuntos abiertos en S, y a T se le conoce como unatopologıa en S.

Por lo general se omite T y se menciona a S como un espacio topologico. Notemos quesobre todo conjunto S siempre es posible definir al menos dos topologıas, las cuales son.

Topologıa discreta: T = 2S

Topologıa indiscreta: T = {∅, S}

Definicion 1.1.3. Sea (S,T ) un espacio topologico. Un conjunto A ⊂ S es cerrado si sucomplemento es un conjunto abierto, i.e., S/A ∈ T .

La coleccion C que contiene a los conjuntos cerrados de S cumple las siguientes propie-dades, que se derivan de las propiedades de los conjuntos abiertos:

1) Vacıo y total: ∅, S ∈ C.

2) Union finita: Si A1,A2 ∈ C entonces A1 ∪A2 ∈ C.

3) Interseccion arbitraria: Si {Ai}i∈I ⊂ C entonces ⋂i∈I Ai ∈ C.

Un topologıa se puede describir especificando la coleccion de conjuntos cerrados, o bien,la coleccion de conjuntos abiertos.

Definicion 1.1.4. Sea S un espacio topologico y sea A ⊂ S. Un punto s ∈ S es un puntolımite de A si para cada subconjunto abierto U ⊂ S, tal que s ∈ U , se tiene que

(U − {s}) ∩A ≠ ∅.

2

Preliminares de topologıa y algebra

La cerradura de un conjunto es definida por

A = A ∪ {s ∈ S ∣ s es un punto lımite de A}.

Proposicion 1.1.5. La cerradura A de un conjunto A es un conjunto cerrado.

Demostracion. Probaremos que el complemento de A es abierto. Sea s ∈X/A. Entoncess no es punto lımite de A, por lo que existe un conjunto abierto Us tal que s ∈ Us y(Us − {s}) ∩A = ∅. Ademas, s /∈ A porque s /∈ A y por lo tanto

Us ∩A = ∅.

Se sigue que Us no contiene puntos lımites de A y Us ∩X/A = ∅, i.e.,

Us ⊂X/A ∀s ∈X/A.

Por otro lado como s ∈ Us, X/A ⊂ ⋃s∈X/AUs, y como Us ⊆X/A, ⋃s∈X/AUs ⊂X/A. Entonces

X/A = ⋃s∈X/A

Us

es union de conjuntos abiertos, por lo tanto es un abierto.

Sea X un espacio topologico. Un subconjunto A ⊂ X se dice que es denso en X si ysolo si A = X. Luego, si X es un espacio topologico y A ⊂ X, las siguientes proposicionesson equivalentes:

i) A es denso en X.

ii) A ⊂ B y B es cerrado, entonces B =X.

iii) Para todo subconjunto abierto V ⊂X se tiene que si A ∩ V = ∅ entonces V = ∅.

iv) (X/A)○ = ∅.

La prueba de estos enunciados se puede encontrar en [14].

Un espacio topologico es separable si contiene un subconjunto que sea denso ynumerable.

Un conjunto B ⊂ 2S es una base para una topologıa de S si satisface las siguientescondiciones:

1) ∅ ∈ B.

2) ⋃B∈BB = S.

3) Si B1,B2 ∈ B, entonces B1 ∩B2 = ⋃B∈B0 B para algun B0 ⊂ B.

Proposicion 1.1.6. Sea S un conjunto y B una base para la topologıa en S. Entonces

TB ∶= {U ∈ 2S ∣ U es union de elementos de B},

3

Capıtulo 1

es una topologıa en S, la topologıa generada por B.

Demostracion. Por definicion de base, tenemos que ∅, S ∈ TB, que es la primera condicionpara ser una topologıa.Sean V1, V2 ∈ TB, entonces

V1 ∩ V2 =⎛⎝ ⋃B1∈BV1

B1⎞⎠⋂

⎛⎝ ⋃B2∈BV2

B2⎞⎠= ⋃B1∈BV1 ,B2∈BV2

B1 ∩B2,

donde BV1 ,BV2 ⊂ B para V1, V2 respectivamente y donde B1 ∩B2 ∈ B, por ser elementos dela base, que es la segunda condicion para ser una topologıa.Sea V ⊂ TB, entonces

⋃V ∈V

V = ⋃V ∈V

⎛⎝ ⋃B∈BV

B⎞⎠= ⋃B∈B0

B,

donde BV ⊂ B para cada V ∈ V y B0 = ⋃V ∈V BV ⊂ B, que es la tercera condicion para seruna topologıa.

En particular, si (S, ρ) es un espacio metrico, se puede demostrar que

{Bs(a) ∣ s ∈ S y a es un real no negativo},

es una base para la topologıa inducida por la metrica.

De modo que todo espacio metrico tiene la estructura de espacio topologico donde losconjuntos abiertos son uniones de bolas.

Definicion 1.1.7. Sean S un conjunto y B1,B2 bases para topologıas en S. Entonces B1y B2 son equivalentes si generan la misma topologıa, i.e., si TB1 = TB2.

Proposicion 1.1.8. Sean S un conjunto, B1,B2 bases para topologıas en S. Entonces B1y B2 son equivalentes si y solo si:

i) Para cada s ∈ S y B1 ∈ B1 con s ∈ B1, existe B2 ∈ B2 tal que s ∈ B2 ⊂ B1, y

ii) Para cada s ∈ S y B2 ∈ B2 con s ∈ B2, existe B1 ∈ B1 tal que s ∈ B1 ⊂ B2.

Demostracion. Suponemos que B1 y B2 son equivalentes y sea s ∈ B1 ∈ B1. EntoncesB1 ∈ TB1 = TB2 , y

B1 = ⋃B2∈B20

B2

para algun B20 ⊂ B2. Por lo tanto, s ∈ B2 ⊂ B1 para algun B2 ∈ B20 ⊂ B2, lo cual prueba (i)y (ii) se prueba de manera analoga.Recıprocamente, suponemos que se cumplen (i), (ii). Sea B ∈ B1, por (i), para cada s ∈ Bexiste Bs ∈ B2 tal que s ∈ Bs ⊂ B. Ahora B ⊂ ⋃s∈B Bs ⊂ B, entonces

B = ⋃s∈B

Bs ∈ TB2 ,

por lo queTB1 ⊂ TB2 .

La otra contencion se prueba de manera analoga usando (ii), y ası TB1 = TB2 .

De lo anterior, se puede observar que las metricas ρ1, ρ2, ρ3 del plano R2, descritas enel Ejemplo 1.1.1, determinan la misma topologıa en S.

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Definicion 1.1.9. Sea (X,T ) un espacio topologico, una subfamilia SB de conjuntosabiertos en X es llamada subbase de X para la topologıa T si la familia de todas lasintersecciones finitas de elementos de SB es una base de X para T , o bien, una subbasepara (X,T ).

Los elementos de una subbase generalmente son llamados elementos basicos. Esimportante ver que una subbase no puede generar dos topologıas distintas, ya que SBgenera una base unica de T para X y dicha base genera una topologıa unica T en X,como ya se vio anteriormente. Por el contrario, se pueden encontrar espacios topologicoscon mas de una subbase.

Ejemplo 1.1.10. Sea R con la topologıa usual, una subbase para este espacio es la familiade semi-rectas o rayos de R, es decir:

SB = {{x ∈ R ∶ x < a},{x ∈ R ∶ x > a} ∶ a ∈ R}.

Ahora, sea R2 con la topologıa usual, una subbase para este espacio es la siguiente familia:

SB = {R × (a, b), (a, b) ×R ∶ a, b ∈ R, a < b}.

⧫

Proposicion 1.1.11. Sea X un espacio topologico, sea SB una subbase de X y sea unsubconjunto A ⊂ X. Entonces A es un conjunto abierto de X si y solo si para cada x ∈ Aexiste S ∈ SB tal que x ∈ SB ⊂ A.

Demostracion. Suponemos que A es un conjunto abierto en X, como SB es una subbasede X entonces la familia B de intersecciones finitas de elementos de SB es una base de X.Esto es, existe {Bi}i∈I ⊆ B tal que

A =⋃i∈I

Bi.

Como x ∈ A entonces x ∈ Bi0 para algun i0 ∈ I donde Bi0 = ⋂j∈J Sj con J finito y Sj ∈ SB.Ası, x ∈ Sj ⊆ A.Recıprocamente, supongamos que para cada x ∈ A existe Sx ∈ SB tal que x ∈ Sx ⊆ A,entonces

A = ⋃x∈A

{x} ⊆ ⋃x∈A

Sx ⊆ A.

Es decir, A = ⋃x∈A Sx y como SB es subbase de X, entonces A es un conjunto abierto enX.

1.1.2. Topologıa relativa

Si S es un espacio topologico y A ⊂ S, entonces la familia de subconjuntos

{A ∩U : U es abierto en S}

es una topologıa en A, y se llama la topologıa relativa en A; en efecto,

A ∩ ∅ = ∅ y A ∩ S = A.

⋂ni=1(A ∩Ui) = A ∩ (⋂ni=1Ui)

5

Capıtulo 1

⋃i∈I(A ∩Ui) = A ∩ (⋃i∈I Ui)

Cuando se trata de subespacios, se debe tener cuidado con especificar las topologıasque se usan, porque se puede tener que un conjunto es abierto en una topologıa y no en otra.

Ejemplo 1.1.12. Sean R con la topologıa usual y sea Z el conjunto de los numeros enterosun subconjunto de R. Consideremos en Z la topologıa relativa a la usual de R, que coincidecon la topologıa discreta en Z.

⧫Proposicion 1.1.13. Sean S un espacio topologico y A ⊂ S. Si A es abierto en S, entoncestodo conjunto abierto de A es abierto en S. Si A es cerrado en S, entonces todo conjuntocerrado de A es cerrado en S.

Demostracion. Si A es abierto en S y B es abierto en A, entonces B = U ∩A para algunU abierto en S. Como A y U son abiertos en S, se sigue que B es abierto en S.Ahora, si A es cerrado en S y B es cerrado en A, entonces A/B es abierto en A. Por loque A/B = A ∩U para algun abierto U en S. Ası,

B = A/(A/B) = A/(A ∩U) = A ∩ (S/U).

Como A y S/U son cerrados en S, B es cerrado en S.

Proposicion 1.1.14. Sean S un espacio topologico, Q ⊂ S con la topologıa relativa, yP ⊂ Q. Entonces la topologıa relativa T1 en P considerado como subconjunto de Q es lamisma que la topologıa relativa T2 en P considerado como subconjunto de S.

Demostracion. Sea A ⊂ P . Entonces

A ∈ T1 ⇔ A = P ∩U para algun abierto U ⊂ Q⇔ A = P ∩ (Q ∩U0) para algun abierto U0 ⊂ S⇔ A = P ∩U0 para algun abierto U0 ⊂ S (pues P ⊂ Q)⇔ A ∈ T2.

1.1.3. Conexidad y compacidad

Un espacio topologico S se dice ser conexo si los unicos conjuntos que son abiertos ycerrados son ∅ y S.

Proposicion 1.1.15. Un espacio topologico S es conexo si y solo si no es la union de dosconjuntos abiertos disjuntos no vacıos.

Demostracion. Suponemos que S es conexo, y suponemos que S = V1 ∪ V2 con V1, V2conjuntos abiertos tal que V1 ∩ V2 = ∅. Entonces V1 = S/V2 y ası V1 es tanto abierto comocerrado. Como S es conexo, V1 = ∅ o V1 = S. Si V1 = ∅ entonces V2 = S, y si V2 = ∅entonces V1 = S.Inversamente, suponemos que S no es union de dos conjuntos disjuntos no vacıos. SeaV ⊂ S un subconjunto abierto y cerrado. Entonces S/V es abierto y cerrado tambien, y Ses la union de conjuntos abiertos disjuntos V y V ′. Entonces V = ∅ o V ′ = ∅, y ası, V = ∅o V = S, por lo que S es conexo.

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Ejemplo 1.1.16. Los siguientes espacios son conexos:

1) Los intervalos en R.

2) El espacio real Rn de dimension n.

3) Cualquier bola en Rn.

4) La esfera de dimension n, para n ≥ 1.

5) El toro de dimension n, Tn = S1 × . . . S1.

⧫

Un subconjunto de un espacio topologico es conexo si es conexo con la topologıa relativa.

Proposicion 1.1.17. Sea S un espacio topologico, y sean T0,{Tw}w∈W subconjuntos co-nexos de S. Suponemos que T0 ∩ Tw ≠ ∅ para cada w ∈ W . Entonces T0 ∪ (⋃w∈W Tw) esconexo.

Demostracion. Sea T ∶= T0 ∪ (⋃w∈W Tw). Suponemos que T = V1 ∪ V2 para V1, V2conjuntos abiertos disjuntos en T . Entonces para cada w, V1 ∩ Tw y V2 ∩ Tw son conjuntosabiertos disjuntos en Tw, y la union es Tw. Como Tw es conexo, V1 ∩ Tw = ∅ o V2 ∩ Tw = ∅.Del mismo modo, V1 ∩ T0 = ∅ o V2 ∩ T0 = ∅.Si V2 ∩ T0 = ∅ entonces V1 ∩ T0 = T0. Ası, T0 ⊂ V1, y como T0 ∩ Tw ≠ ∅, V1 ∩ Tw ≠ ∅ paracada w ∈ W . Entonces V2 ∩ Tw = ∅ para cada w ∈ W y V1 ∩ Tw = Tw, y ası, Tw ⊂ V1 paratoda w ∈W . Por lo tanto, V1 = T0 ∪ (⋃w∈W Tw) y V2 = ∅.

La proposicion anterior se puede usar para probar que Rn es conexo, dado que las lıneasen Rn son conexas. En efecto, sean T0 = {0} y {Tw}w∈W el conjunto de lıneas que pasanpor el 0. Entonces Rn = T0 ∪ (⋃w∈W Tw).

Definicion 1.1.18. Un espacio topologico S es compacto si cada cubierta abierta tieneuna subcubierta finita; esto es, si por cada cubierta abierta V existe un numero finito deconjuntos V1, . . . , Vk ∈ V tal que S = ⋃kj=1 Vj.

Ejemplo 1.1.19.

1) Rn no es compacto.

2) Los subconjuntos compactos de Rn, con la topologıa usual, son los subconjuntoscerrados y acotados. (Teorema de Heine-Borel).

⧫

Sean X un espacio topologico y A una familia de subconjuntos de X. Decimos que Atiene la propiedad de interseccion finita si para cada coleccion finita no vacıa F ⊂ Ase tiene que

⋂F ∈F

F ≠ ∅.

7

Capıtulo 1

Proposicion 1.1.20. Sea S un espacio topologico. Entonces S es compacto si y solo sitoda familia de conjuntos cerrados {Fα}α∈I en S que tiene la propiedad de interseccionfinita, cumple con

⋂α∈I

Fα ≠ ∅.

Demostracion. Suponemos que S es compacto. Sea {Fα}α∈I de S tal que

⋂α∈I

Fα ≠ ∅.

Por lo que

S = S/ (⋂α∈I

Fα) = ⋃α∈I

(S/Fα).

Ası, {S/Fα}α∈I define una cubierta abierta de S, pero como S es compacto existenα1, . . . , αk ∈ I tales que

S =k

⋃j=1

(S/Fαj),

i.e., ⋂kj=1 Fαj = ∅. Entonces la familia {Fα}α∈I de cerrados no puede tener la propiedad deinterseccion finita.Inversamente, sea {Fα}α∈I una cubierta abierta de S, entonces

⋃α∈I Fα = S si y solo si ⋂α∈I S/Fα = ∅.

Como Fα es cerrado, S/Fα es abierto para cada α ∈ I. Suponiendo que la familia {S/Fα}α∈Ino tiene la propiedad de interseccion finita, exiten α1, . . . , αk ∈ I tales que

k

⋂j=i

S/Fαj = ∅,

i.e., ⋃kj=i Fαj = S. Por lo tanto, S es compacto.

Proposicion 1.1.21. Cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto ensu topologıa relativa.

Demostracion. Sea A un subconjunto cerrado de un espacio compacto S. Probaremosque A tiene la propiedad de la interseccion finita, ası, sea F una coleccion de subconjuntoscerrados de A que satisface la propiedad de interseccion finita. Como A es cerrado y cadaF ∈ F es cerrado en A, cada F ∈ F es cerrado en S.Entonces F es una coleccion de conjuntos cerrados en S que satisfacen la propiedad deinterseccion finita. Como S es compacto, ⋂F ∈F F ≠ ∅. Pero ⋂F ∈F F ⊂ A, i.e., A tiene lapropiedad de la interseccion finita.

Proposicion 1.1.22. Sea S un espacio topologico compacto. Entonces cada subconjuntoinfinito de S tiene un punto lımite.

Demostracion. Probaremos que si A ⊂ S no tiene un punto lımite, entonces A es finito.Observemos primero los siguientes hechos:

8


i) Suponemos que a ∈ A. Como a no es un punto lımite de A, existe un conjunto abiertoUa ⊂ S tal que a ∈ Ua y que (Ua − {a}) ∩A = ∅; esto es que Ua ∩A = {a}. Entoncescada {a} es un conjunto abierto en la topologıa relativa de A y por lo tanto, A es unespacio con la topologıa discreta.

ii) Como A no tiene puntos lımites entonces A = A, i.e., A es cerrado. Por la Proposicion1.1.21, A es compacto.

iii) Sea Ua = {a} para cada a ∈ A. Entonces por (i), {Ua}a∈A es una cubierta abierta deA. Luego, por (ii), existe una subcubierta finita {U1, . . . , Uk}. Por lo tanto,

A =k

⋃j=1

Uaj = {a1, . . . , ak}

es finito.

1.1.4. Funciones continuas

Una clase particularmente importante de funciones entre espacios topologicos son aque-llas que son compatibles, en cierto sentido, con las estructuras topologicas. Esta clase defunciones son llamadas funciones continuas y generalizan el concepto usual de continuidaden espacios metricos.

Definicion 1.1.23. Sean S y T espacios topologicos. Una funcion f ∶ S → T es continuasi la imagen inversa de un conjunto abierto es abierto; esto es, para cada conjunto abiertoU ⊂ T , se tiene que f−1(U) es abierto en S.

Proposicion 1.1.24. Sean S y T espacios topologicos. Sean BS y BT bases para las to-pologıas de S y T respectivamente. Entonces f ∶ S → T es continua si y solo si para cadas ∈ S y cada V ∈ BT con f(s) ∈ V , existe un U ∈ BS tal que s ∈ U y f(U) ⊂ V .

Demostracion. Suponemos que f es continua. Si s ∈ S y f(s) ∈ V ∈ BT , entonces f−1(V )es abierto en S y por lo tanto es union de elementos de BS . Como s ∈ f−1(V ), entonces sdebe estar en uno de los elementos basicos, llamemoslo U ∈ BS . Entonces U ⊂ f−1(V ), ası,f(U) ⊂ V .Recıprocamente, sea V0 un abierto en T . Vamos a probar que f−1(V0) es abierto en S. Seas ∈ f−1(V0), entonces f(s) ∈ V0, y ası f(s) esta en un basico Vs ∈ BT con Vs ⊂ V0. Por lotanto, por hipotesis, existe un elemento basico Us ∈ BS tal que s ∈ Us y f(Us) ⊂ Vs ⊂ V0;esto es, Us ⊂ f−1(V0). Entonces

f−1(V0) = ⋃s∈f−1(V0)

Us

es abierto en S.

Proposicion 1.1.25. Sean S y T espacios topologicos. Sean SBS y SBT subbases para lastopologıas de S y T respectivamente. Entonces f ∶ S → T es continua si y solo si para cadas ∈ S y cada V ∈ SBT con f(s) ∈ V , existe un U ∈ SBS tal que s ∈ U y f(U) ⊂ V .

9

Capıtulo 1

La prueba de esta proposicion se puede encontrar en [23].

Para espacios metricos, la Proposicion 1.1.24 muestra que la definicion de continuidades equivalente a la definicion usual con ε y δ.

De la definicion de continuidad se sigue que si g ∶ R → S y f ∶ S → T son funcionescontinuas, entonces f ○ g ∶ R → T es continua.

Proposicion 1.1.26. Sean S y T espacios topologicos y f ∶ S → T una funcion continuay sobreyectiva. Si S es conexo, entonces T es conexo.

Demostracion. Suponemos que V1, V2 son conjuntos abiertos disjuntos en T conV1 ∪ V2 = T . Entonces f−1(V1), f−1(V2) son conjuntos abiertos disjuntos en S conf−1(V1) ∪ f−1(V2) = S. Como S es conexo, f−1(V1) o f−1(V2) es vacıo. Pero como f essobre, f−1(Vj) = ∅ para j = 1,2 implica que Vj = ∅. Entonces T es conexo.

En particular, del resultado anterior se sigue que si f ∶ S → T es continua y S es conexo,entonces f(S) es conexo.

Ejemplo 1.1.27. El resultado anterior nos sirve para probar que si f ∶ [a, b] → R unafuncion real continua definida en el intervalo cerrado de a a b, con f(x1) > 0 para algunx1 ∈ [a, b], y f(x2) < 0 para algun x2 ∈ [a, b], entonces f(x0) = 0 para algun x0 ∈ [a, b].En efecto, sea T = f([a, b]). Como [a, b] es conexo, tambien lo es T . Pero si 0 /∈ T , entoncesT = (R− ∩T )∪ (R+ ∩T ) es la union de conjuntos abiertos disjuntos no vacıos. Por lo tanto0 ∈ T ; esto es, 0 = f(x0) para algun x0.

⧫

Ejemplo 1.1.28. Sea Sn la esfera unitaria en Rn+1; esto es,

Sn = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 ∶n+1

∑j=1

x2j = 1}.

Entonces Sn es conexo para n > 0. En efecto, sea f ∶ Rn+1 − {0}→ Sn definida por

f(x1, . . . , xn+1) =⎛⎜⎝

x1√∑x2j

, . . . ,xn+1√∑x2j

⎞⎟⎠.

Luego, como Rn+1 − {0}, con n > 1, es conexo y f es continua y sobreyectiva, se sigue queSn es conexo.

⧫

Ejemplo 1.1.29. Sean GL(n,R),GL(n,C) los conjuntos de matrices de tamano n×n, nosingulares (invertibles) con entradas reales y complejas, respectivamente. Entonces, si seconcatenan las filas de cada matriz en un solo renglon, entonces GL(n,R) se puede consi-

derar como un subconjunto de Rn2, por lo que es un espacio topologico como subespacio de

Rn2con su topologıa relativa. De manera similar, GL(n,C) ⊂ Cn2

es un espacio topologico.

Note que Cn2tiene la topologıa producto de R2, n2−veces.

Ahora, GL(n,R) no es conexo porque tomando

∆ ∶ Rn2

→ R − {0},

10


la funcion determinante, ∆ es continua y sobreyectiva. Como R−{0} no es conexo, tampocolo es GL(n,R), por la Proposicion 1.1.26.Note que este argumento no se cumple con GL(n,C). Como C − {0} = R2 − {0} es conexo,no se puede utilizar la Proposicion 1.1.26.

⧫

Proposicion 1.1.30. Sean S y T espacios topologicos, y sea f ∶ S → T una funcioncontinua y sobreyectiva. Si S es compacto, entonces T es compacto.

Demostracion. Sea V una cubierta abierta de T . Entonces {f−1(V ) ∶ V ∈ V} es unacubierta abierta de S. Como S es compacto, existe una subcubierta finita

{f−1(V1), . . . , f−1(Vk)}.

Como f es sobreyectiva, f(f−1(Vj)) = Vj para j = 1, . . . , k. Como ⋃kj=1 f−1(Vj) = S,

entonces ⋃kj=1 Vj = T . Por lo tanto, T es compacto.

Del resultado anterior, se deduce en particular que si f ∶ S → T es continua y S escompacto, entonces f(S) es compacto.

Definicion 1.1.31. Sean S y T espacios topologicos. Una funcion f ∶ S → T es llamadahomeomorfismo si f es una funcion biyectiva y tanto f como f−1 son continuas. En estecaso, lo denotamos por S ≅ T .

El hecho de que, f sea homeomorfismo, no solo significa que f manda puntos de S apuntos de T de forma uno a uno, sino que f manda conjuntos abiertos de S en conjuntosabiertos de T de forma uno a uno. Esto nos dice que S y T son topologicamente equivalen-tes; esto es, cualquier propiedad topologica que tenga S, tambien la tiene T , y viceversa.Entonces si f ∶ S → T es un homeomorfismo, S es conexo si y solo si T es conexo; y S escompacto si y solo si T es compacto.

1.1.5. Topologıas en espacios de funciones

Con base a la notacion y resultados de [14], denotaremos por C(X,Y ) el conjunto delas funciones continuas f ∶X → Y . Aunque, en general, no podemos asignarle una metrica,sı podemos hacerlo si consideramos al subconjunto de C(X,Y ) de funciones acotadas sobreun espacio metrico (Y, d).

Ejemplo 1.1.32. Considere la funcion continua f ∶X → Y , donde X es compacto y (Y, d)un espacio metrico. Como f(X) es compacto, y con el Ejemplo 1.1.19 (2), se tiene quef(X) es acotado en Y , esto es, existen y0 ∈ Y y M > 0 tales que

d′(f(x), y0) <M

para todo x ∈X. Por lo tanto, se tiene que f es una funcion acotada.⧫

Definicion 1.1.33. Sea X un espacio topologico y sea (Y, d) un espacio metrico. Definimosel conjunto CA(X,Y ) como el conjunto de funciones continuas y acotadas de X a Y .

Notemos que si X es compacto, entonces CA(X,Y ) = C(X,Y ), como se puede observaren el Ejemplo 1.1.32.

11

Capıtulo 1

1.1.5.1. La topologıa de la norma

Proposicion 1.1.34. El conjunto CA(X,Y ) se puede metrizar a traves de la metricauniforme, que se define como

du(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x)).

Demostracion. En primer lugar, se tiene que la funcion du esta bien definida, ya quesi f y g son dos funciones acotadas, entonces existen y0, y

′0 en Y , y M,M ′ > 0 tales que

d(f(x), y0) <M y d(g(x), y′0) <M ′ para todo x ∈X. Entonces

d(f(x), g(x)) ≤ d(f(x), y0) + d(y0, y′0) + d(g(x), y′0)< M + d(y0, y′0) +M ′ =M <∞

Ahora, verificamos que du es una metrica:

i) Como d es una metrica, entonces d(f(x), g(x)) ≥ 0 para todo x ∈ X, por lo queentonces, si f, g ∈ CA(X,Y ), du(f, g) ≥ 0.Ademas, si f ≠ g, existe un x0 ∈X tal que f(x0) ≠ g(x0), y por lo tanto

du(f, g) ≥ d(f(x0), g(x0)) > 0.

ii) du(f, g) = du(g, f) es facil de verificar ya que

d(f(x), g(x)) = d(g(x), f(x))

para todo x ∈X.

iii) Si f, g, h ∈ CA(X,Y ), entonces, para cada x0 ∈X,

d(f(x0), g(x0)) ≤ d(f(x0), h(x0)) + d(h(x0), g(x0)),

y por tanto

d(f(x0), g(x0)) ≤ supx∈X

d(f(x), h(x)) + supx∈X

d(h(x), g(x))

= du(f, h) + du(h, g)

como x0 ∈X es arbitrario,

du(f, g) = supx∈X

d(f(x), g(x)) ≤ du(f, h) + du(h, g).

Un espacio normado es un par (X, ∣∣ ⋅ ∣∣) formado por un espacio vectorial X sobre C yuna aplicacion ∣∣ ⋅ ∣∣ ∶X → R+ ∪ {0}, llamada norma, que cumple las siguientes propiedadespara todo λ ∈ C y x, y ∈X

1) ∣∣x∣∣ ≥ 0

2) ∣∣x∣∣ = 0 si y solo si x = 0

3) ∣∣λx∣∣ = ∣λ∣ ⋅ ∣∣x∣∣

12


4) ∣∣x + y∣∣ ≤ ∣∣x∣∣ + ∣∣y∣∣

donde ∣ ⋅ ∣ denota el modulo complejo. Si no se exige la condicion (2), la aplicacion ∣∣ ⋅ ∣∣ sellama seminorma.

Sea (X, ∣∣ ⋅ ∣∣) un espacio normado, si definimos la aplicacion

d(x, y) ∶= ∣∣x − y∣∣,

entonces (X,d) es un espacio metrico, de modo que todo espacio normado es un espaciometrico, sin embargo, no toda metrica se puede obtener de alguna norma. El siguienteresultado nos da condiciones para obtener una norma de una metrica.

Proposicion 1.1.35. Sea (X,d) es un espacio metrico, donde X es espacio vectorial. Sipara todos x, y, z ∈X, se cumple que:

i) d(x + z, y + z) = d(x, y)

ii) d(λx,λy) = ∣λ∣ ⋅ d(x, y)

entonces se puede definir una norma en X, ∣∣x∣∣ = d(0, x). Ademas,

∣∣x − y∣∣ = d(0, x − y) = d(y, x) = d(x, y).

Demostracion.

i) ∣∣x∣∣ = d(0, x) ≥ 0.

ii) ∣∣x∣∣ = 0 si y solo si d(0, x) = 0 si y solo si x = 0.

iii) ∣∣λx∣∣ = d(0, λx) = d(λ0, λx) = ∣λ∣ ⋅ d(0, x) = ∣λ∣ ⋅ ∣∣x∣∣, donde se ha usado la Propiedad(ii).

iv)∣∣x + y∣∣ = d(0, x + y)

≤ d(0, x) + d(x,x + y)= d(0, x) + d(0, y)= ∣∣x∣∣ + ∣∣y∣∣, donde usamos (i).

De la Proposicion 1.1.35 se sigue que el espacio metrico (CA(X,Y ), du) es un espacionormado. En efecto, se sabe que para f, g, h ∈ CA(X,Y ) se cumple lo siguiente:

i) du(f + h, g + h) = supx∈X

d(f(x) + h(x), g(x) + h(x))

= supx∈X

d(f(x), g(x))

= du(f, g)ii) du(λf,λg) = sup

x∈Xd(λf(x), λg(x))

= ∣λ∣ ⋅ supx∈X

d(f(x), g(x))

= ∣λ∣ ⋅ du(f, g)

Entonces podemos definir∣∣f ∣∣ = du(0, f).

13

Capıtulo 1

Definicion 1.1.36. A la topologıa en CA(X,Y ) inducida por la metrica du, se le conocecomo topologıa de la norma.

1.1.5.2. La topologıa compacto-abierto

Por otro lado, si X es un conjunto y {Aα}α∈A es una familia de subconjuntos de X,donde cada Aα tiene una topologıa, entonces para cada α,β ∈ A, se tiene:

1) La topologıa de Aα y Aβ concuerda con la de Aα ∩Aβ.

2) Ya sea que Aα ∩Aβ es abierto en Aα y en Aβ, o bien Aα ∩Aβ es cerrado en Aα y enAβ.

La topologıa debil en X determinada (o inducida) por {Aα}α∈A se define por:

U es abierto en X si y solo si U ∩Aα es abierto en Aα para todo α ∈ A.

Definicion 1.1.37. Sean X,Y espacios topologicos. Para cada par de conjuntos K ⊂X,A ⊂Y , definimos

VK,A = {f ∈ C(X,Y ) ∶ f(K) ⊂ A}.

La topologıa compacto-abierto en C(X,Y ) es la que tiene como subbase a todos losconjuntos VK,A, donde K ⊂X es compacto y A ⊂ Y es abierto.

Se puede ver que C(X,Y ) es un espacio topologico invariante de X y Y ; esto es, siX ≅ L y Y ≅M entonces C(X,Y ) ≅ C(L,M).

Como los conjuntos abiertos basicos en C(X,Y ) son intersecciones finitas de subbasicos,es util observar que:

i) ⋂ni=1 VKi,A = V⋃ni=1Ki,A.

ii) ⋂ni=1 VK,Ai = VK,⋂ni=1Ai .

iii) ⋂ni=1 VKi,Ai ⊂ V⋃ni=1Ki,⋃ni=1Ai .

Sean X,Y,Z espacios topologicos. Para f ∈ C(X,Y ) y g ∈ C(Y,Z), la composiciong ○ f ∈ C(X,Z) define una aplicacion C(X,Y ) ×C(Y,Z)→ C(X,Z).

Para cada funcion f ∶ X → Y fija y continua, la funcion C(Y,Z) → C(X,Z) tal queg ↦ g ○ f se llama funcion inducida por f . De manera similar, cada g ∶ Y → Z induce lafuncion C(X,Y )→ C(X,Z) tal que f ↦ g ○ f .

Proposicion 1.1.38. La aplicacion C(X,Y ) × C(Y,Z) → C(X,Z) es continua, en latopologıa compacto-abierto, en cada argumento, esto es,

i) C(Y,Z)→ C(X,Z) tal que g ↦ g ○ f1, es continua para cada f1 ∈ C(X,Y ).

ii) C(X,Y )→ C(X,Z) tal que f ↦ g1 ○ f , es continua para cada g1 ∈ C(Y,Z).

Demostracion. Usaremos la caracterizacion de continuidad en terminos de subbases.

14


i) Sea g ∈ C(Y,Z) y sea VK,A un subbasico de C(X,Z) que contiene a g ○ f1. Notemosque g ○ f1 ∈ VK,A si y solo si g ∈ Vf1(K),A. Como f1(K) es compacto, Vf1(K),A es unsubbasico que contiene a g. Sea h ∈ Vf1(A),V entonces h(f1(A)) ⊂ V . Como h(f1(A)) =(h ○ f1)(A) ⊂ V entonces h ○ f1 ∈ VK,A.

ii) Se prueba de manera similar, viendo que g1 ○ f ∈ VK,A es equivalente a f ∈ VK,g−11 (A).

Proposicion 1.1.39. Sean X,Z espacios topologicos y sea Y un espacio compacto. En-tonces la funcion C(X,Y ) ×C(Y,Z)→ C(X,Z) es continua.

Demostracion. Sean f1 ∈ C(X,Y ), g1 ∈ C(Y,Z) y sea VK,A un subbasico de C(X,Z) quecontiene a g1 ○ f1. Como g−11 (A) ⊂ Y es abierto y f1(K) ⊂ g−11 (A) es compacto, existe unabierto U tal que f1(K) ⊂ U ⊂ U ⊂ g−11 (A).Por lo que se tienen los siguientes abiertos VK,U , VU,A que contienen a f1, g1, respectiva-mente. Ademas, sean h1 ∈ VK,U y h2 ∈ VU,A entonces (h1, h2)↦ h2 ○ h1 ∈ VK,A.

La funcion ω ∶ C(Y,Z) × Y → Z definido por (f, y) ↦ f(y) es llamada la funcionevaluacion de C(Y,Z).

Proposicion 1.1.40.

i) Para cada y0 ∈ Y fijo, la funcion ωy0 ∶ C(Y,Z) → Z tal que f ↦ ω(f, y0) = f(y0), escontinua.

ii) Si Y es compacto, entonces ω ∶ C(Y,Z) × Y → Z es continua.

Demostracion. Como ω se puede ver como la funcion composicion C(X,Y )×C(Y,Z)→C(X,Z) con X como un conjunto puntual; el resultado se obtiene de las Proposiciones1.1.38 y 1.1.39.

Sean X,Y,Z espacios topologicos y sea α ∶ X × Y → Z una aplicacion continua en ypara cada x fijo; ası

(α(x))(y) ∶= α(x, y) (1.1)

define una aplicacion α ∶X → C(Y,Z) tal que x↦ α(x).Recıprocamente, dada α ∶X → C(Y,Z), la ecuacion 1.1 define una aplicacion α ∶X×Y → Zcontinua en y para cada x fija.Las dos funciones, α y α, relacionadas por (1.1), se llaman asociadas, y satisfacen lassiguientes propiedades:

i) Si α ∶X × Y → Z es continua, entonces α ∶X → C(Y,Z) es continua.

ii) Si α ∶X → C(Y,Z) es continua y Y es compacto, entonces α ∶X ×Y → Z es continua.

La demostracion se puede encontrar en [14, p. 261].

Definicion 1.1.41. Un espacio de Hausdorff X se dice compactamente generado (obien, k−espacio) si todo subespacio A ⊂ X es cerrado en X si y solo si, A ∩K es cerradoen K para todo K ⊂X compacto.

15

Capıtulo 1

Corolario 1.1.42. Si α ∶ X → C(Y,Z) es continua y X × Y es un k−espacio, entoncesα ∶X × Y → Z es continua.

Demostracion. Se puede probar que α es continua en todos los conjuntos X ×B, dondeB ⊂ Y es compacto. Usemos la funcion continua i+ ∶ C(Y,Z) → C(B,Z) inducida por lainclusion i ∶ B → Y , cada funcion en la secuencia

X ×B α×IdÐ→ C(Y,Z) ×B i+×IdÐ→ C(B,Z) ×B ωÐ→ Z

es continua. Ahora, α es continua en cada subconjunto compacto C ⊂ X × Y , porque sip ∶X × Y → Y es la proyeccion, entonces p(C) es compacto y C ⊂X × p(C).

1.1.6. Topologıa en espacios de Hilbert

Sea (X,d) un espacio metrico. Una sucesion {xn} en X se dice que es convergente ax ∈X si

lımn→∞

d(x,xn) = 0.

En este caso el punto x, necesariamente unico, se dice que es el lımite de la sucesion y seescribe

lımn→∞

xn = x.

Definicion 1.1.43. Sea (X,d) un espacio metrico. Una sucesion {xn}n≥1 es de Cauchysi dado ε > 0, existe N ∈ N tal que d(xn, xm) < ε para todo n,m ≥ N , en otras palabras,

lımn,m→∞

d(xn, xm) = 0.

Observemos que toda sucesion de Cauchy {xn}n≥1 esta acotada, ya que existe N ∈ Ntal que para todo n,m ≥ N , d(xn, xm) < 1, luego, si

r > max{1, d(xN , xi) ∣ 1 ≤ i ≤ N − 1},

entonces d(xN , xn) < r para todo n ≥ N .Por otro lado, toda sucesion convergente es de Cauchy, ya que si {xn}n≥1 converge a

x0 en (X,d) entonces dado ε2 existe N ∈ N tal que d(xn, x0) < ε

2 si n ≥ N , por lo que

d(xn, xm) ≤ d(xn, x0) + d(x0, xm) < ε2+ ε

2= ε

si n,m ≥ N .

Un espacio metrico (X,d) es completo si toda sucesion de Cauchy en (X,d) esconvergente.

Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado, tal que con la metricainducida d(x, y) = ∣∣x − y∣∣ es completo, esto quiere decir que es un espacio vectorial Xsobre el campo C con una norma ∣∣ ⋅ ∣∣ tal que toda sucesion de Cauchy es convergente.

Un pre-espacio de Hilbert es un espacio vectorial X sobre el campo C, en el queesta definida una aplicacion ⟨⋅, ⋅⟩ ∶X ×X → C, llamada producto interior, que cumple losiguiente para todo x, y, z ∈X:

16


1) ⟨x,x⟩ ≥ 0, y ademas ⟨x,x⟩ = 0 si y solo si x = 0.

2) ⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩

3) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩

4) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩

Todo pre-espacio de Hilbert (X, ⟨⋅, ⋅⟩) es normado con

∣∣x∣∣ ∶=√

⟨x,x⟩

y por lo tanto es tambien un espacio metrico.

Definicion 1.1.44. Un pre-espacio de Hilbert (X, ⟨⋅, ⋅⟩) es un espacio de Hilbert si elespacio metrico (X,d) es completo, donde

d(x, y) = ∣∣x − y∣∣,

∣∣x∣∣ =√

⟨x,x⟩.

Ejemplo 1.1.45. Se tiene que `2 es un espacio de Hilbert, que se define como el siguienteespacio de funciones

`2 ∶= L2(N) = {x = (x1, x2, . . .) ∶ xi ∈ C,∞

∑i=1

∣xi∣2 <∞} ,

y con el producto interior

⟨x, y⟩ ∶=∞

∑i=1

∣xnyn∣2 .

⧫

Si (X, ⟨⋅, ⋅⟩) un pre-espacio de Hilbert, dos elementos x, y ∈X se dicen ser ortogonalescuando

⟨x, y⟩ = 0.

Lema 1.1.46. Sea {ei}i∈I un subconjunto ortonormal de un espacio de Hilbert H. Entoncesla combinacion lineal finita de elementos de {ei}i∈I es denso en H.

Demostracion. Sea x = ∑j∈J

αjej ∈ H y sea ε > 0. Como ∣∣x∣∣2 = ∑j∈J

∣αj ∣2, existe N ∈ N tal

que ∑j≥N

∣αj ∣2 < ε. Entonces

XXXXXXXXXXXx − ∑

j≤N

αjej

XXXXXXXXXXX

2

=XXXXXXXXXXX∑j>N

αjej

XXXXXXXXXXX

2

= ∑j>N

∣αj ∣2 < ε,

por lo que son combinaciones lineales finitas de elementos de {ei}i∈I , que son densos enH.

Proposicion 1.1.47. Las siguientes condiciones en un espacio de Hilbert H son equiva-lentes:

17

Capıtulo 1

i) H es separable.

ii) H admite una base ortonormal numerable.

Demostracion. Suponemos que D es un subconjunto denso y numerable de H ysuponemos que {ei}i∈I es una base ortonormal para H. Ası, si i ≠ j entonces ∣∣ei − ej ∣∣2 = 2.Como D es denso en H, para cada i ∈ I se puede encontrar un vector xi ∈ D tal que

∣∣xi − ei∣∣ <√

2

2. Por la propiedad de los elementos de la base, se tiene que la funcion I →D

tal que i↦ xi es inyectiva; como D es numerable, se concluye que I tambien es numerable.Recıprocamente, si I es un conjunto numerable y si {ei}i∈I es una base ortonormal deH, sea D un conjunto cuyos elementos tıpicos son de la forma ∑

j∈J

αjej , donde J es un

subconjunto finito de I y los αj son complejos cuyas partes reales e imaginarias sonracionales; por lo que D es un subconjunto denso y numerable de H.

Dos espacios con producto interior E y F son linealmente isometricos si existe unafuncion A ∶ E → F tal que para todo u, v ∈ E y α,β ∈ C cumple que:

1) A(αu + βv) = αAu + βAv.

2) ∣∣Au∣∣ = ∣∣u∣∣.

El operador A se llama isometrıa lineal.

Proposicion 1.1.48. Cualquiera dos espacios de Hilbert separables de dimension infinita(sobre C) son linealmente isometricos.

Demostracion. Suponemos que H1 y H2 son espacios de Hilbert separables de dimensioninfinita con bases ortonormales {ei}i∈I y {fj}j∈J respectivamente. Para cada h ∈ H1 sedefine

Ah =∑k

⟨h, ek⟩fk.

La serie converge por que en [19] se prueba que al tener una base ortonormal, se cumplela igualdad de Parseval, la cual es

∣∣h∣∣2 =∑k

∣⟨h, ek⟩∣2,

y por lo tanto se tiene que∣∣Ah∣∣2 =∑

k

∣⟨h, ek⟩∣2 = ∣∣h∣∣2.

Finalmente, A ∶H1 →H2, por lo que si h ∈H2, entonces

h =∑k

⟨h, fk⟩fk = A(∑k

⟨h, fk⟩ek) .

La misma prueba muestra que cada espacio de Hilbert de dimension n (sobre C) eslinealmente isometrico a Cn. Por lo que cada subespacio finito dimensionl de un espaciode Hilbert es cerrado.

18


1.2. Elementos de algebra

Introducimos a continuacion algunos resultados y definiciones relacionados con la partealgebraica de este trabajo, tales como el concepto de grupo, homomorfismos, subgrupos yconcluımos con el concepto de grupo topologico.

1.2.1. Definiciones y ejemplos

Sea G un conjunto no vacıo. Una operacion binaria ∗ en G es una funcion como lasiguiente:

∗ ∶ G ×G → G

(a, b) ↦ a ∗ b

La operacion binaria ∗ es asociativa si para todo a, b, c ∈ G tenemos

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

Si ∗ es una operacion binaria en G, decimos que a, b ∈ G conmutan si

a ∗ b = b ∗ a

Decimos que la operacion ∗, o bien G, es conmutativo si para todo a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a.

Ejemplo 1.2.1.

1) En Z,Q,R,C, la suma y multiplicacion usual (+,×) son operaciones binarias conmu-tativas.

2) En Z, la resta usual (−) es una operacion binaria no conmutativa pues a − b ≠ b − apara algun a, b ∈ Z, por ejemplo 3 − 5 ≠ 5 − 3.

3) En Z+,Q+,R+, la resta usual (−) no es una operacion binaria.

4) El producto cruz de dos vectores en R3 es una operacion binaria que no es asociativani conmutativa.

⧫

Supongamos que ∗ es una operacion binaria en el conjunto G y sea H un subconjuntode G. Si ∗ tambien es una operacion binaria en H, se dice que H es cerrado bajo ∗.Observe que si ∗ es asociativa (respectivamente conmutativa) en G, y H es cerrado bajo∗, entonces ∗ es asociativa (respectivamente conmutativa) en H.

Definicion 1.2.2. Si G es un conjunto no vacıo y ∗ ∶ G×G→ G es una operacion binaria,decimos que (G,∗) es un grupo si satisface las siguientes propiedades:

1) Asociatividad: Para todo a, b, c ∈ G tenemos que a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

2) Elemento neutro: Existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g, para todo g ∈ G.

19

Capıtulo 1

3) Existencia de inversos: Para cada g ∈ G, existe h ∈ G tal que g ∗ h = h ∗ g = e.Por la propiedad que cumple h, se le denota por g−1.

Decimos que (G,∗) es abeliano o conmutativo si a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ G.

Si tenemos al grupo (G,∗), podemos decir G es grupo bajo ∗, o bien que G es grupocuando se entiende que la operacion es ∗. Ademas, cuando G es finito, se dice que G esun grupo finito.

Ejemplo 1.2.3.

1) Z,Q,R,C son grupos bajo + con e = 0 y g−1 = −g, para todo g ∈ G.

2) Q − {0},R − {0},C − {0},Q+,R+ son grupos bajo × con e = 1 y g−1 = 1g , para todo

g ∈ G.

3) Los axiomas que cumplen los espacios vectoriales, los convierten en grupos abelianoscon la suma. Ası, Rn es un grupo aditivo.

4) Para n ∈ Z+, tenemos que Z/nZ es un grupo abeliano bajo +, donde la operacion esla adicion de clases de mod n.

5) Para n ∈ Z+, tenemos que (Z/nZ)× es un grupo abeliano bajo ×, donde la operaciones la multiplicacion de clases de mod n.

6) Si (A,∗) y (B,⋆) son grupos, podemos formar un nuevo grupo A ×B llamado pro-ducto directo y se define como el producto cartesiano de A y B con la siguienteoperacion:

(a1, b1)(a2, b2) ∶= (a1 ∗ a2, b1 ⋆ b2),

el ejemplo mas claro, serıa tomar A = B = R, ambos con +, para crear R2.

⧫

Proposicion 1.2.4. Si G es un grupo bajo la operacion ∗, entonces:

i) El elemento neutro de G es unico.

ii) Para cada g ∈ G, existe un unico inverso g−1.

iii) (g−1)−1 = g para todo g ∈ G.

iv) (g ∗ h)−1 = h−1 ∗ g−1 para todo g, h ∈ G.

v) Para g1, . . . , gn ∈ G, el valor de g1 ∗ . . . ∗ gn es independiente de como se encuentrenasociados los elementos por parentesis. Es la llamada ley asociativa generalizada.

Demostracion.

i) Si e1 y e2 son neutros de G, por (2) de la Definicion 1.2.2 tenemos que e1 ∗ e2 = e1 yque e1 ∗ e2 = e2. Por lo que e1 = e2.

20


ii) Sea e el neutro de G y sean a y b inversos de g ∈ G. Por (3) de la Definicion 1.2.2,a ∗ g = e y g ∗ b = e. Ası

a = a ∗ e= a ∗ (g ∗ b)= (a ∗ g) ∗ b= e ∗ b= b

iii) Debemos probar que (g−1)−1 = g es decir que g es el inverso de g−1. Como g ∗g−1 = e,si cambiamos g por g−1 tenemos que g−1 ∗ (g−1)−1 = e. Pero sabemos que el inversoes unico, por lo que (g−1)−1 = g.

iv) Sea a = (g ∗ h)−1, entonces

(g ∗ h) ∗ a = e ⇔ g ∗ (h ∗ a) = e⇒ g−1 ∗ (g ∗ (h ∗ a)) = g−1 ∗ e⇔ (g−1 ∗ g) ∗ (h ∗ a) = g−1⇔ e ∗ (h ∗ a) = g−1⇔ h ∗ a = g−1⇒ h−1 ∗ (h ∗ a) = h−1 ∗ g−1⇔ (h−1 ∗ h) ∗ a = h−1 ∗ g−1⇔ e ∗ a = h−1 ∗ g−1⇔ a = h−1 ∗ g−1

v) Para probar esto, utilizamos induccion sobre los subındices de los elementos de G.Para n = 1,2 se puede ver que sı se cumple la propiedad; para n = 3 se cumple portratar con una operacion binaria asociativa.Luego, suponemos que para n = k, se cumple que el valor de g1 ∗ . . . ∗ gk es indepen-diente de como se encuentren asociados los elementos por parentesis.Ahora, para n = k + 1, tenemos que ambos componentes del producto

(g1 ∗ . . . ∗ gk) ∗ (gk+1)

cumplen la proposicion, gracias a la base y a la hipotesis de induccion. Por lo que sepuede decir que

g1 ∗ . . . ∗ gk ∗ gk+1

es independiente de como se encuentren asociados los elementos por parentesis.

Cuando se tiene un grupo G en abstracto, es decir que no se especifica los elementospero se hacen calculos con ellos, se puede escribir ab en lugar de a ∗ b, o tambien se puedeescribir a ⋅ b. Del mismo modo, al trabajar con tres elementos, no se necesita colocar losparentesis, se escribe simplemente abc. Continuando con notacion, podemos establecerque e = 1.

De la misma manera, al tener un producto xx⋯x (n−veces) con x ∈ G y n ∈ Z+, sepuede escribir xn. Igualmente para x−1x−1⋯x−1 (n−veces) es x−n. Se tiene que x0 = 1.

21

Capıtulo 1

Ahora, si G es aditivo, la suma x + x + ⋯ + x (n−veces) con x ∈ G y n ∈ Z+ se escribe nx.Igualmente para x−1 + x−1 +⋯ + x−1 (n−veces) es −nx. Se tiene que 0x = 0.

Proposicion 1.2.5. Sean G un grupo y a, b ∈ G. Las ecuaciones ax = b y ya = b tienenuna unica solucion para x, y ∈ G. En particular, las leyes de cancelacion por la derecha ypor la izquierda se cumplen en G, i.e.,

i) Si au = av entonces u = v.

ii) Si ub = vb entonces u = v.

Demostracion. Podemos resolver ax = b al multiplicar por la izquierda en ambos ladospor a−1, ası x = a−1b. Como a−1 es unico, tenemos que x es unico. De manera similar conya = b, obtenemos y = ba−1.Ahora, con este procedimiento:

i) Si au = av, multiplicamos ambos lados en la izquierda por a−1, y obtenemos u = v.

ii) De manera similar si ub = vb, multiplicamos ambos lados en la derecha por b−1, yobtenemos u = v.

Para un grupo G y x ∈ G se define el orden de x como el entero positivo nmas pequeno tal que xn = 1, y se denota ∣x∣. En este caso, x es de orden n. Si x notiene una potencia positiva que lo haga el elemento neutro, se dice que x es de orden infinito.

Es importante no confundir el sımbolo de orden con el sımbolo de valor absoluto.

Ejemplo 1.2.6.

1) Un elemento del grupo tiene orden 1 si y solo si es el elemento neutro.

2) En los grupos aditivos Z,Q,R,C, los elementos distintos del neutro tienen ordeninfinito.

3) En los grupos multiplicativos R−{0},Q−{0}, el −1 tiene orden 2 y los demas elementosdistintos del neutro tiene orden infinito.

4) En el grupo aditivo Z/9Z, el elemento 6 es de orden 3, pues

6 ≠ 0,6 + 6 = 12 = 3 ≠ 0,6 + 6 + 6 = 18 = 0

5) En el grupo multiplicativo (Z/7Z)×, los elementos 2 y 4 tienen orden 3,

2 × 2 × 2 = 8 = 1,4 × 4 × 4 = 64 = 1,

⧫

22


El grupo diedrico

Una familia importante de ejemplos de grupos es la clase de grupos cuyos elementos sonsimetrıas de objetos geometricos. La subclase mas simple es cuando los objetos geometricosson figuras planas regulares.

Para cada n ∈ Z+, n ≥ 3, sea D2n el conjunto de simetrıas de un n−agono regular, dondeuna simetrıa es un movimiento rıgido del n−agono.

Mas precisamente, podemos describir las simetrıas eligiendo nombres para los n vertices,como en la siguiente imagen.

Luego, cada simetrıa s puede describirse unicamente por la permutacion correspondien-te σ de {1,2,3, . . . , n} donde la simetrıa s manda el vertice i a donde estaba el vertice j,i.e., σ manda el i al j.

Se puede decir que si s es una rotacion de 2πn radianes con sentido de las manecillas del

reloj sobre el centro del n−agono, entonces σ es un permutacion que manda el i al i + 1,donde 1 ≤ i ≤ n − 1 y σ(n) = 1.

Ahora, D2n es un grupo definiendo la operacion st tomando s, t ∈ D2n para crear lasimetrıa que es aplicar primero t y despues s al n−agono. Si s, t describen a σ, τ respecti-vamente, aplicar st es aplicar σ ○ τ a los vertices del n−agono.

La operacion binaria en D2n es asociativa pues la composicion de funciones es asociativa.El elemento neutro de D2n es la simetrıa identidad que deja fijos los vertices, se denotapor 1. El elemento inverso de s ∈ D2n es la simetrıa que regresa lo que hizo s, i.e., s−1 quedescribe a σ−1.

Al grupo D2n se le llama el grupo diedrico de orden 2n. En algunos textos se denotaDn, y podemos ver que el subındice nos dira el orden del grupo. Para verificar que el ordendel grupo es 2n, observemos que dado cualquier vertice i existe una simetrıa que lleva elvertice 1 al vertice i, como el vertice 2 sigue al vertice 1 es enviado al vertice i + 1 o i − 1.

Por lo que existen 2n posiciones para ordenar el par de vertices 1,2, ya que las simetrıasson moviemientos rıgidos. Tomemos en cuenta que n+1 = 1 y 1−1 = n, i.e., los enteros quenombran los vertices se leean en modn.

De las 2n simetrıas, tenemos n rotaciones sobre el centro cada 2πin radianes, con 0 ≤ i ≤

n − 1. Tambien tenemos n reflecciones sobre las n lıneas de simetrıa. Si n es impar, cadalınea de simetrıa pasa por un vertice y el punto medio del lado opuesto, si n es par, hayn/2 lıneas de simetrıa que pasan por 2 vertices opuestos y n

2 que pasan perpendicularmentepor 2 lados opuestos.

23

Capıtulo 1

Ejemplo 1.2.7. Si tomamos n = 4, podemos dibujar un cuadrado centrado en el origendel plano xy. Las lıneas de simetrıa serıan los ejes x, y y las rectas y = x, y = −x.

⧫

Fijemos al n−agono regular centrado en el origen del plano xy y nombremos los verticesdel 1 al n con el sentido de las manecillas del reloj. Sea r la rotacion sobre el origen por2πn radianes, con el sentido de las manecillas del reloj. Sea s la refleccion sobre la lınea de

simetrıa que pasa por el vertice 1 al origen.

Ejemplo 1.2.8.

1) 1, r, r2, . . . , rn−1 son distintas, y rn = 1, por lo que ∣r∣ = n.

2) ∣s∣ = 2.

3) s ≠ ri, para cualquier i.

4) sri ≠ srj , para toda 0 ≤ i ≠ j ≤ n − 1, ası

D2n = {1, r, r2, . . . , rn−1, s, sr, sr2, . . . , srn−1}

i.e., cada elemento se puede escribir de manera unica como skri, con k ∈ {0,1} y0 ≤ i ≤ n − 1.

5) rs = sr−1, lo cual indica que D2n no es abeliano.

6) ris = sr−i, lo cual indica como conmuta s con las potencias de r.

⧫

Teniendo estos resultados, se puede tener completa la tabla de multiplicacion del grupoD2n en terminos de r y s, ya que cada elemento tiene una representacion unica en base depotencias de r y s, y de su producto.

Un subconjunto S de un grupo G con la propiedad de que cada elemento de G se puedeescribir como el producto finito de elementos de S se dice ser conjunto de generadoresde G. Se denota G = ⟨S⟩ para indicar que G es generado por S o que S genera a G.

24


Ejemplo 1.2.9.

1) Decimos que Z = ⟨1⟩ pues cada entero es suma de +1’s o −1’s.

2) En D2n, r y s son los generadores, esto es D2n = ⟨r, s⟩.

⧫

Cualquier ecuacion en un grupo G que cumplan los generadores, se llaman relaciones.Por lo que se denota al grupo de la siguiente manera:

G = ⟨S ∣ R1,R2, . . . ,Rm⟩

donde S genera a G y R1,R2, . . . ,Rm son las relaciones en G. Cuando se tiene a G descritade esta manera, se le conoce como una presentacion del grupo G.

Ejemplo 1.2.10. En D2n tenemos las siguientes relaciones:

rn = 1 , s2 = 1 , rs = sr−1

Ademas, estas relaciones tienen una propiedad adicional, que cualquier otra relacion entreelementos del grupo es derivada de alguna de estas tres.Por lo que una presentacion de D2n es:

D2n = ⟨r, s ∣ rn = 1, s2 = 1, rs = sr−1⟩

⧫

El grupo simetrico

Sea X un conjunto no vacıo y sea Sim(X) el conjunto de todas las biyecciones de X ası mismo, i.e., el conjunto de todas las permutaciones de X.

El conjunto Sim(X) es un grupo bajo la composicion de funciones, y es llamado elgrupo simetrico del conjunto X. Veamos que efectivamente tiene una estructura degrupo: Primero observemos que el ser composicion de funciones biyectivas nuevamente esuna biyeccion, la operacion es cerrada en Sim(X).

Luego si Φ1,Φ2,Φ3 ∈ Sim(X) y x ∈X, entonces

1. Asociatividad:(Φ1 ○ (Φ2 ○Φ3))(x) = Φ1((Φ2 ○Φ3)(x))

= Φ1(Φ2(Φ3(x)))= (Φ1 ○Φ2)(Φ3(x))= ((Φ1 ○Φ2) ○Φ3)(x)

Ası, Φ1 ○ (Φ2 ○Φ3) = (Φ1 ○Φ2) ○Φ3

2. Elemento neutro: Existe la simetrıa Id ∶= Φe(x) = x.

3. Existencia de inversos: Como se vio anteriormente, se tiene la existencia de inversospara cada elemento de Sim(X) gracias a la existencia de inversos para cada elementode G. Ası,

Φ−1g = Φg−1

25

Capıtulo 1

Es importante ver que los elementos de Sim(X) son permutaciones de X, no elementosde X.

Ejemplo 1.2.11. Cuando X es el conjunto {1,2,3, . . . , n}, se suele denotar Sim(X) porSn. Veamos que el orden de Sn es n!. Como X es finito, nos podemos fijar solamente en lasfunciones inyectivas de X en sı mismo.Una funcion inyectiva σ puede enviar al 1 a cualquiera de los n elemenos de X. Luego,σ(2) ∈ {1, . . . , n} − {σ(1)}, i.e., puede ser cualquiera de los n − 1 elementos restantes.Despues, σ(3) puede ser cualquiera de los n− 2 elementos restantes. Y ası continua, por loque existen n! funciones inyectivas posibles de X en sı mismo.

⧫

Vamos a describir una notacion mas conveniente al momento de calcular permutaciones,ası los elementos de Sn quedaran expresados por su descomposicion en ciclos.

Definicion 1.2.12. Un ciclo es una cadena de enteros que representan los elementos deSn, los enteros permutan cıclicamente y fijan a los que no se encuentran en la cadena.

Ejemplo 1.2.13. El ciclo (a1 a2 . . . am) representa la permutacion que envıa el ai al ai+1con 1 ≤ i ≤ m − 1 y el am al a1. Por ejemplo el ciclo (2 1 3) es la permutacion que envıa2↦ 1, 1↦ 3 y 3↦ 2.

⧫

En general, para cada σ ∈ Sn, los numeros del 1 al n seran reorganizados y agrupadosen k ciclos de la siguiente forma:

(a1 a2 . . . am1)(am1+1 am1+2 . . . am2) . . . (amk−1+1 amk−1+2 . . . amk)

a partir de la cual la accion de σ en los numero del 1 al n se puede leer facilmente. Elproducto de estos ciclos es la llamada descomposicion en ciclos de σ.

Ejemplo 1.2.14. Sea n = 13 y sea σ ∈ S13 definida por

σ(1) = 12 , σ(2) = 13 , σ(3) = 3 , σ(4) = 1 , σ(5) = 11σ(6) = 9 , σ(7) = 5 , σ(8) = 10 , σ(9) = 6 , σ(10) = 4σ(11) = 7 , σ(12) = 8 , σ(13) = 2

Por lo que su descomposicion en ciclos es la siguiente:

(1 12 8 10 4)(2 13)(5 11 7)(6 9)

⧫

La longitud de un ciclo es el numero de enteros que estan en el, un ciclo de longitud kes un k−ciclo. Ademas, dos ciclos se llaman disjuntos si no tienen ningun entero en comun.

Se considera que los 1−ciclos no se escriben, ası se facilita aun mas la escritura y lecturade las permutaciones. Por lo que la identidad en Sn se escribe como 1, pues la permutaciones (1)(2) . . . (n).

26


Ejemplo 1.2.15. Veamos los 6 elementos de S3 y sus descomposiciones en ciclos.

σ1(1) = 1, σ1(2) = 2, σ1(3) = 3 ⇔ σ1 = 1σ2(1) = 1, σ2(2) = 3, σ2(3) = 2 ⇔ σ2 = (2 3)σ3(1) = 3, σ3(2) = 2, σ3(3) = 1 ⇔ σ3 = (1 3)σ4(1) = 2, σ4(2) = 1, σ4(3) = 3 ⇔ σ4 = (1 2)σ5(1) = 2, σ5(2) = 3, σ5(3) = 1 ⇔ σ5 = (1 2 3)σ6(1) = 3, σ6(2) = 1, σ6(3) = 2 ⇔ σ6 = (1 3 2)

⧫

Para cualquier σ ∈ Sn, la descomposicion en ciclos de σ−1 se obtiene escribiendo cadaciclo de la descomposicion en ciclos de σ pero en el orden inverso.

Ejemplo 1.2.16. Si σ = (1 12 8 10 4)(2 13)(5 11 7)(6 9) es un elemento de S13, se tiene

σ−1 = (4 10 8 12 1)(13 2)(7 11 5)(9 6).

⧫

Otro detalle que debemos mantener en mente es que el producto de permutaciones (ocomposicion de ellas) se debe leer de derecha a izquierda.

Ejemplo 1.2.17. Sea el producto de las permutaciones σ = (1 2 3) y τ = (1 2)(3 4). Porlo que en σ ○ τ = (1 2 3) ○ (1 2)(3 4) se ve que τ manda el 1 al 2 y σ manda el 2 al 3, porlo que σ ○ τ manda el 1 al 3. Siguiendo con los demas numeros, llegamos a que

σ ○ τ = (1 3 4).

⧫

Ejemplo 1.2.18. Sean σ = (1 2) y τ = (1 3). Entonces:

(1 2) ○ (1 3) = (1 3 2) y (1 3) ○ (1 2) = (1 2 3)

Lo que muestra que Sn no es un grupo abeliano para todo n ≥ 3.⧫

La descomposicion en ciclos de las permutaciones es unica, siempre y cuando se tratande ciclos ajenos. Por otro lado, un mismo ciclo puede escribirse de diferentes maneras, yaque los enteros permutan cıclicamente:

(a1 a2 . . . am) = (a2 a3 . . . am a1)= (a3 a4 . . . am a1 a2)= . . .= (am a1 a2 . . . am−1)

Pero por convencion, se escribe el entero mas pequeno al principio.

27

Capıtulo 1

1.2.2. Homomorfismos de grupos

En el contexto de teorıa de grupos, la clase particularmente importante de aplicacionesentre dos grupos, es aquella de las aplicaciones compatibles con la estructura algebraica,en el sentido de la siguiente definicion.

Definicion 1.2.19. Sean (G,∗) y (H,⋆) grupos. Una funcion ϕ ∶ G→H tal que

ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ⋆ ϕ(y) para toda x, y ∈ G

se llama homomorfismo.

Cuando los grupos G y H no tienen una operacion explıcita, se puede escribir

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)

pero se debe tener claro que xy representa el producto en G y ϕ(x)ϕ(y) el producto en H.

Definicion 1.2.20. Una funcion ϕ ∶ G→H es llamada isomorfismo si

1) ϕ es homomorfismo, y

2) ϕ es biyectivo.

En cuyo caso, G y H se dicen ser isomorfos, i.e., G ≅H.

Intuitivamente, los grupos G y H que son isomorfos, son el mismo grupo, excepto quelos elementos y las operaciones se escriben de distinta manera. Entonces cada propiedadque tiene G depende solo en la estructura de grupo de G, y se cumple en H.

Ejemplo 1.2.21.

1) Para todo grupo G, G ≅ G. La funcion identidad nos da un isomorfismo, pero nonecesariamente es el unico.

2) La funcion exponencial exp ∶ R→ R+ definido por x↦ ex es un isomorfismo de (R,+)en (R+,×).

3) Se prueba que el isomorfismo entre grupos simetricos solo depende de la cardinalidaddel conjunto a permutar. Se va a probar para el caso finito:Sean X y Y conjuntos no vacıos. Probaremos primero que SX y SY son isomorfos si∣X ∣ = ∣Y ∣. En efecto, podemos ver que si ∣X ∣ = ∣Y ∣, entonces existe una biyeccion θ deX en Y . El cual envıa x ∈X a θ(x) ∈ Y .Para obtener la funcion ϕ ∶ SX → SY , sea σ ∈ SX una permutacion de X y sea ϕ(σ)una permutacion en Y , ası, si σ(x1) = x2 con x1, x2 ∈X entonces ϕ(σ)(θ(x1)) = θ(x2).Tambien se tiene que si SX ≅ SY , entonces ∣X ∣ = ∣Y ∣. Como SX ≅ SY entonces ∣SX ∣ =∣SY ∣. Si ∣SX ∣ = n! y ∣SY ∣ =m! entonces n! =m!, i.e., n =m y ası ∣X ∣ = ∣Y ∣.

⧫

Para determinar que propiedades de una estructura se conservan bajo isomorfismos seusan los teoremas de clasificacion. Se puede determinar cuales objetos matematicos(grupos) son isomorfos sin tener una funcion explıcita.

Generalmente es difıcil determinar cuando dos grupos son isomorfos. Hay ocasionesdonde es mas facil determinar cuando dos grupos no son isomorfos.

28


Ejemplo 1.2.22. Si ϕ ∶ G → H es un isomorfismo, entonces en particular se tiene losiguiente:

1) G y H tienen la misma cardinalidad, i.e., ∣G∣ = ∣H ∣.

2) G es abeliano si y solo si H es abeliano.

3) x y ϕ(x) tienen el mismo orden, i.e., ∣x∣ = ∣ϕ(x)∣, para toda x ∈ G.

⧫

Sea G un grupo finito de orden n y con S = {s1, s2, . . . , sm} un conjunto de generadoresde G. Sea H otro grupo y sean {r1, r2, . . . , rm} elementos de H. Suponga que cada relacionque se satisface en G por si tambien se satisface en H cuando cada si se reemplaza por ri.

Entonces hay un unico homomorfismo ϕ ∶ G → H que evıa si ↦ ri. Si tenemos unapresentacion de G, solo necesitamos verificar las relaciones de G y verificar que cumplanen H al hacer la sustitucion.

Si H es generado por {r1, r2, . . . , rm}, ϕ es sobreyectivo. Si ademas H tiene el mismoorden que G, entonces ϕ es inyectivo. Ası, tenemos un isomorfismo, i.e., G ≅H.

Ejemplo 1.2.23.

1) Recordemos a D2n = ⟨r, s ∣ rn = 1, s2 = 1, sr = r−1s⟩. Suponga que H es un grupoque contiene a los elementos a y b con an = 1, b2 = 1 y ba = a−1b. Entonces existe unhomomorfismo de D2n a H que manda r ↦ a y s ↦ b. Daremos un homomorfismoexplıcitamente.Tomando k ∈ Z tal que divide a n y k ≥ 3, sea D2k = ⟨r1, s1 ∣ rn1 = s21 = 1, s1r1 = r−11 s1⟩.Definiendo

ϕ ∶ D2n → D2k

r ↦ r1s ↦ s1

Como k divide a n, escribimos n = km y como rk1 = 1, entonces rn1 = (rk1)m = 1. Ası,ϕ se extiende de manera unica de D2n a D2k. Luego, como {r1, s1} generan a D2k, ϕes sobreyectivo. Este homomorfismo no es isomorfismo si k < n.

2) Sea G = D6 como se presenta en el ejemplo anterior. Si H = S3, los elementos a =(1 2 3) y b = (1 2) satisfacen las siguientes relaciones:

a3 = 1, b2 = 1, ba = a−1b

Entonces existe un homomorfismo de D6 a S3 que manda r ↦ a y s ↦ b. Ademas, ay b generan a S3 pues

b = (1 2)a = (1 2 3)b2 = (1 2) = 1a2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)ab = (1 2 3)(1 2) = (1 3)ba = (1 2)(1 2 3) = (2 3)

29

Capıtulo 1

Entonces el homomorfismo es sobreyectivo. Ademas como D6 y S3 son de orden 6, elhomomorfismo es isomorfismo, i.e., D6 ≅ S3.

⧫

Se menciono anteriormente la nocion de isomorfismo, el cual es un homomorfismobiyectivo. Se tiene tambien los siguientes homomorfismos particulares:

1) Un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo.

2) Un epimorfismo es un homomorfismo sobreyectivo.

3) Un endomorfismo es un homomorfismo sobre el mismo grupo.

4) Un automorfismo es un endomorfismo biyectivo.

1.2.3. Subgrupos

Sea G un grupo y sea H un subconjunto de G. Diremos que H es un subgrupo de G siH es no vacıo y H es cerrado bajo el producto e inversos, i.e., si x, y ∈H entonces x−1 ∈Hy ademas xy ∈H. Usamos la notacion H ≤ G para establecer que H es un subgrupo de G.

Los subgrupos de G son simplemente subconjuntos de G que tambien son grupos conla operacion de G, por lo que se le denota a la operacion con el mismo sımbolo. Ademassi H ≤ G y H ≠ G, se puede escribir H < G.

Si H ≤ G entonces las leyes de cancelacion de G implican que el elemento neutro deH es el mismo que el de G, y que el inverso de un elemento x ∈ H es el mismo elementoinverso en G.

Ejemplo 1.2.24.

1) Todo grupo G tiene 2 subgrupos: H = G y H = {e}. El segundo se llama subgrupotrivial.

2) Z ≤ Q y Q ≤ R con la operacion +.

3) Si G = D2n, sea H = {1, r, r2, . . . , rn−1} el conjunto de rotaciones de G. Como elproducto de dos rotaciones es una rotacion y el inverso de una rotacion tambien esuna rotacion, se tiene H ≤ G.

4) El conjunto de los enteros pares es un subgrupo del grupo Z bajo la suma.

5) La propiedad de ser subgrupo es transitiva, i.e., si H ≤ G y K ≤H entonces K ≤ G.

6) Algunos conjuntos que no son subgrupos, son los siguientes:

30


a) Q − {0} bajo la multiplicacion no es subgrupo de R bajo la suma. Aunqueambos sean grupos y Q − {0} ⊂ R, la operacion de Q − {0} no es restriccion dela operacion de R.

b) Z+ no es subgrupo de Z. Aunque Z+ es cerrado bajo +, no contiene al elementoneutro de Z ni a ningun elemento inverso de sus elementos.

c) De manera analoga, (Z − {0},×) no es subgrupo de (Q − {0},×).d) D6 no es subgrupo de D8 pues D6 /⊂ D8.

⧫

1.2.4. Grupos topologicos

Un grupo topologico es un conjunto con una topologıa y una estructura algebraica,las cuales coexisten de manera compatible. Formalmente, un grupo topologico consiste deun grupo G con una topologıa, tal que las aplicaciones

i) G → G ii) G ×G → Gg ↦ g−1 (g, h) ↦ gh

son continuas.En [1] y [22] pueden consultarse una gran cantidad de resultados acerca de grupos

topologicos.Primero, si (H, ⟨⋅, ⋅⟩) es un espacio de Hilbert complejo y T ∶H →H una transformacion

lineal, decimos que T es unitario si TT ∗ = Id = T ∗T , donde T ∗ ∶ H → H es el operadoradjunto de T , i.e.,

⟨Tx, y⟩ = ⟨x,T ∗y⟩

para todo x, y ∈H.Notemos que si dimH = n < ∞, T corresponde a una matriz con T ∗ ≡ T t, esto es, T

corresponde a una matriz unitaria de n × n.Nos interesa particularmente trabajar con espacios de Hilbert H de dimension infinita.

DenotaremosU(H) ∶= {T ∶H →H ∣ TT ∗ = T ∗T = Id}

para un espacio de Hilbert H de dimension infinita y separable.Notemos primero que U(H) es un grupo. En efecto,

1) Sean T1, T2, T3 ∈ U(H) entonces T1○(T2○T3) = (T1○T2)○T3 pues para cada i ∈ {1,2,3}se tiene que Ti ∶H →H.

2) Existe Id ∈ U(H) tal que Id ○ T = T ○ Id, para todo T ∈ U(H).

3) Para cada T ∈ U(H), existe T ∗ ∈ U(H) tal que TT ∗ = T ∗T = Id.

Por otro lado, sea (U(H), ∣∣ ⋅ ∣∣) entonces T ∈ U(H) preserva producto interior, i.e.,⟨Tx,Ty⟩ = ⟨x, y⟩. Por lo tanto tambien preserva normas.

El objetivo de esta seccion es demostrar que el grupo U(H), con H espacio de Hilbertcomplejo, separable y de dimension infinita, tiene una estructura de grupo topologico, yaque este hecho sera utilizado en el Capıtulo 3 de este trabajo.

31

Capıtulo 1

Por otro lado, sobre el grupo U(H) es posible definir varias topologıas de maneranatural. La topologıa mas usual es dada por la topologıa de la norma, inducida por lanorma en el espacio de Hilbert H; con esta estructura, U(H) es lo que se conoce como unmodelo de espacio de Lie de Banach, algo mucho mas fuerte que solo un grupo topologico.En [21] pueden consultarse tanto este hecho, como algunos resultados interesantes en sutopologıa.

Otras topologıas que tambien hacen de U(H) un grupo topologico son la topologıafuerte, la topologıa debil y la topologıa compacto-abierto, entre otras. En [16] se demuestradicho resultado y ademas que U(H) es de hecho un grupo Polaco.

En esta seccion presentamos la prueba de que U(H) es un grupo topologico en latopologıa fuerte, ya que es esta la topologıa utilizada en el Capıtulo 3.

Recordemos que en la topologıa fuerte, una base de vecindades para un operador T0 ∈U(H), es dada por:

V (T0, ε, x) = {T ∈ U(H) ∶ ∣(T − T0)x∣ < ε ∀x ∈H}

con ε > 0, y la topologıa generada por la coleccion de estos basicos es la la topologıafuerte.

Proposicion 1.2.25 (cf. [25]). U(H) es un grupo topologico con la topologıa fuerte.

Demostracion. Primero, sean S,T ∈ U(H). Se busca probar que (S,T )↦ ST es continua.Ası, tomamos S0, T0 ∈ U(H) fijos y un basico que contiene a S0T0, esto es,

V0(S0T0, ε, x) = {R ∈ U(H) ∶ ∣(R − S0T0)x∣ < ε}.

Debemos probar que existe un abierto W0 con (S0, T0) ∈W0. Sea

W0((S,T ), ε, x) ∶= {(S,T ) ∈ U(H) × U(H) ∶ ∣(S − S0)T0x∣ <ε

2, ∣(T − T0)x∣ <

ε

2}.

Ademas, si (S,T ) ∈W0 entonces ST ∈ V0(S0T0, ε, x) ya que

∣(ST − S0T0)x∣ = ∣(ST − ST0 + ST0 − S0T0)x∣≤ ∣(ST − ST0)x∣ + ∣(ST0 − S0T0)x∣≤ ∣S(T − T0)x∣ + ∣(S − S0)T0x∣< ε

2 +ε2 = ε.

Probaremos ahora que T ↦ T−1 es continua. Por lo que tomamos T0 ∈ U(H) para definir

V0(T−10 , ε, x) = {S ∈ U(H) ∶ ∣(S − T −10 )x∣ < ε ∀x ∈H},

una vecindad de T−10 .Ademas, sea

W0(T0, ε, y) = {T ∈ U(H) ∶ ∣(T − T0)y∣ < ε ∀y ∈H}

32


un vecindad de T0. Entonces sea x ∈H y tomando y = T−10 x

∣(T−1 − T−10 )x∣ = ∣T−1x − T −10 x∣= ∣T−1T0T−10 x − T−10 x∣= ∣T−1T0y − y∣= ∣TT−1T0y − Ty∣= ∣Toy − Ty∣ < ε.

De modo que (W0)−1 ⊂ V0.

33

Capıtulo 2

Representaciones lineales

Como comentabamos en la introduccion de este trabajo, la teorıa de representacioneslineales es un area con una amplia gama de aplicaciones y es nuestro objetivo analizaralgunos aspectos analıticos del espacio de representaciones lineales de un grupo, bajo ciertascondiciones sobre este. A fin de darle a este trabajo una presentacion mas autocontenidaincluımos en este capıtulo una introduccion a la teorıa de representaciones lineales degrupos finitos y mostramos algunos ejemplos.

2.1. Acciones de grupos

Iniciaremos con algunos resultados generales sobre acciones de grupos y posteriormente,en la siguiente seccion, nos restringiremos a acciones lineales sobre espacios vectoriales.

Definicion 2.1.1. Si G es un grupo y X es un conjunto, decimos que G actua sobre X siexiste una funcion, llamada accion

Φ ∶ G ×X →X

tal que, para cada g, h ∈ G y para cada x ∈X, se satisface lo siguiente:

i) Φ(g,Φ(h,x)) = Φ(gh, x).

ii) Φ(e, x) = x, con e ∈ G como el neutro en G.

Con el fin de simplificar un poco la notacion, escribiremos g ⋅x en lugar de Φ(g, x). Conesta notacion, los axiomas que definen una accion se pueden escribir como:

i) g ⋅ (h ⋅ x) = (gh) ⋅ x.

ii) e ⋅ x = x, con e ∈ G como el neutro en G.

Observemos que para g ∈ G fijo, tenemos una aplicacion

Φg ∶= Φ(g,−) ∶X → X

x ↦ Φ(g, x)

35

Capıtulo 2

Y de los axiomas anteriores, se sigue que, para todo x ∈X,

Φg−1 ○Φg(x) = Φg−1(Φ(g, x))= Φ(g−1,Φ(g, x))= Φ(g−1g, x)= Φ(e, x)= x

Por lo que,

Φg−1 ○Φg = IdX .

Analogamente, Φg ○Φg−1 = IdX y se sige que

Φ−1g = Φg−1 .

De modo que cada elemento de g ∈ G define una funcion biyectiva de X en X, esto es, unapermutacion Φg ∈ Sim(X). Ası, toda accion Φ de G en X induce una aplicacion

Ψ ∶ G → Sim(X)g ↦ Φg

Proposicion 2.1.2. Sean G un grupo, X un conjunto no vacıo, y Φ ∶ G ×X → X unafuncion. La aplicacion

Ψ ∶ G→ Sim(X)

definida por Ψ(g) ∶= Φg = Φ(g,−) es un homomorfismo de grupos si y solo si, Φ es unaaccion.

Demostracion. Supongamos primero que Ψ es un homomorfismo, esto es,

Ψ(gh) = Ψ(g)Ψ(h).

Por un lado

Ψ(gh)(x) = Φ(gh, x),

Ψ(g)(Ψ(h)(x)) = Φ(g,Φ(h,x)),

ası queΦ(g,Φ(h,x)) = Ψ(g)(Ψ(h)(x))

= Ψ(g) ○Ψ(h)(x)= Ψ(gh)(x)= Φ(gh, x).

Por otro lado, como Ψ(e)(x) = IdX(x), por lo que:

Φ(e, x) = Ψ(e)(x)= IdX(x)= x

Concluımos que Φ es una accion. Recıprocamente, se debe probar que Ψ(gh) = Ψ(g)○Ψ(h),pero sabemos que

Ψ(gh) = Φgh,

36


Ψ(g) ○Ψ(h) = Φg ○Φh,

y que Φ es accion, ası queΨ(gh) = Φgh

= Φg ○Φh

= Ψ(g) ○Ψ(h).

Existen diferentes tipos de acciones, dependiendo de la forma en la que actuan sobreX. Enlistaremos a continuacion los tipos de acciones mas frecuentes:

Accion Trivial: Donde Ψ ∶ G→ Sim(X) es el homomorfismo constante g ↦ IdX .Equivalentemente, g ⋅ x = x para todos g ∈ G, y para todos x ∈X.

Accion Fiel: Donde Ψ ∶ G→ Sim(X) es inyectivo.Equivalentemente, si g ⋅ x = x para todo x ∈X entonces g = e.En este caso, G ≅ Im(Ψ).

Accion Libre: Si g ⋅ x = x para algun x ∈X entonces g = e.Se sigue que toda accion fiel es libre.

Accion Transitiva: Para cada x, y ∈X, existe g ∈ G tal que g ⋅ x = y.

Accion Regular: Para cada x, y ∈X, existe un unico g ∈ G tal que g ⋅ x = y.Se sigue que toda accion regular es libre y transitiva.

Definicion 2.1.3. Si G actua en X, para x ∈X se define el grupo

Gx ∶= {g ∈ G ∣ g ⋅ x = x},

llamado el grupo de isotropıa en x.

Se puede verificar que efectivamente Gx es un grupo, de hecho es un subgrupo de G.En efecto, el elemento neutro de Gx es el mismo que en G y tambien los inversos de loselementos de Gx son los mismos que en G. De esta manera solo falta ver que la operaciones cerrada en Gx, esto es gh ∈ Gx para cualesquiera g, h ∈ Gx. Por lo que tomamos g, h ∈ Gx,entonces

(gh) ⋅ x = g ⋅ (h ⋅ x) = g ⋅ x = x.

Observemos que G actua trivialmente sobre X si y solo si Gx = G para todo x ∈ X, yque G actua libremente sobre X si y solo si Gx = {e} para todo x ∈X.

Se tienen los siguientes ejemplos de acciones.

Ejemplo 2.1.4. Todo conjunto X puede ser considerado como un G-conjunto, para cual-quier grupo G, mediante la accion trivial que es aquella que no tiene efecto alguno sobreel G-conjunto X.

G ×X → X

(g, x) ↦ x

⧫

37

Capıtulo 2

Ejemplo 2.1.5. Si G es un grupo, podemos considerarlo como un G-conjunto utilizandola multiplicacion en G,

β ∶ G ×G → G

(g, x) ↦ g ⋅ x

Veamos que β cumple los axiomas de una accion. Primero tomemos g, h, x ∈ G, se tieneque

β(g, β(h,x)) = β(g, h ⋅ x) = gh ⋅ x = β(gh, x).

Ahora sea e ∈ G el elemento identidad de G, ası

β(e, x) = e ⋅ x = x ∈ G.

Tambien se puede ver que β es una accion fiel, pues es una accion inyectiva. Por lo queG↪ Sim(G), y se sigue el Teorema de Cayley, que afirma que todo grupo G es isomorfo aun grupo de permutaciones.

⧫

Ejemplo 2.1.6. Otra manera de darle a G una estructura de G-conjunto es mediante laaccion sobre sı mismo, con la operacion conjugacion.

γ ∶ G ×G → G

(g, x) ↦ gxg−1

Los axiomas de accion se siguen por las propiedades de grupo en G. En efecto, primerotomemos g, h, x ∈ G, se tiene que

γ(g, γ(h,x)) = γ(g, hxh−1)= g(hxh−1)g−1= (gh)x(h−1g−1)= (gh)x(gh)−1= γ(gh, x)

Ahora sea e ∈ G el elemento identidad de G, ası

γ(e, x) = exe−1

= x

Ademas es una accion trivial si y solo si G es abeliano, pues, si por un lado suponemosque G es abeliano, para g ∈ G y x ∈X,

γ(g, x) = gxg−1

= gg−1x= ex= x

Por otro lado, si G no fuera abeliano, existen x ∈X y g−1 ∈ G tal que

gxg−1 ≠ gg−1x = x

de modo que γ(g, x) ≠ x y la accion γ no es trivial.

38


La accion γ es fiel si y solo si el centro de G, definido por

Z(G) ∶= {g ∈ G ∣ gh = hg ∀h ∈ G}

es trivial. En efecto, supongamos que Z(G) = {e}, entonces ningun otro elemento de Gconmuta.

γ(g, x) = gxg−1 = gg−1x⇐⇒ g = e

La accion γ es libre, o transitiva, si y solo si G es trivial.Si G = {e} entonces γ(e, x) = exe−1 = x. Por lo que el unico elemento de G que es elelemento neutro es el que manda x↦ x, es decir, es libre.

⧫

Definicion 2.1.7. Sea G un grupo actuando sobre el conjunto X. Decimos que los elemen-tos x, y ∈X estan relacionados si y solo si, existe g ∈ G tal que g ⋅ x = y, esto es

x ∼ y ⇐⇒ ∃g ∈ G, g ⋅ x = y

Lema 2.1.8. La relacion ∼ es una relacion de equivalencia.

Demostracion. Para probar que ∼ es una relacion de equivalencia, hay que probar que ∼es una operacion reflexiva, simetrica y transitiva.

Reflexividad: Como e ∈ G es tal que e ⋅ x = x, entonces x ∼ x.

Simetrıa: Si x ∼ y entonces existe g ∈ G tal que g ⋅x = y. Pero como G es grupo, existeg−1 ∈ G tal que g−1 ⋅ y = g−1(g ⋅ x) = (g−1g) ⋅ x = x. Por lo que existe g−1 ∈ G tal queg−1 ⋅ y = x, i.e., y ∼ x.

Transitividad: Si x ∼ y y y ∼ z entonces existen g, h ∈ G tal que g ⋅ x = y, h ⋅ y = z.Pero como G es grupo y g, h ∈ G entonces tambien m = hg ∈ G, por lo que z = h ⋅ y =h(g ⋅ x) = (hg) ⋅ x =m ⋅ x. Entonces existe m ∈ G tal que m ⋅ x = z, i.e., x ∼ z.

Definicion 2.1.9. Definimos el espacio cociente o espacio de orbitas como el conjuntode clases de equivalencia de la relacion ∼, y denotamos este conjunto como X/G.

Es importante tener en cuenta como se va a manejar el cociene X/G, ya que se puedetomar a H, un subgrupo de G, y si H actua sobre G mediante la multiplicacion por laizquierda (h, g) ↦ h ⋅ g se obtiene el espacio de orbitas G/H como las clases lateralesderechas de H en G, i.e.,

G/H = {[g] ∣ g ∈ G}= {{h ⋅ g ∣ h ∈H} ∣ g ∈ G}= {Hg ∣ g ∈ G}

Analogamente, si H actua sobre G mediante la multiplicacion por la derecha(h, g)↦ g ⋅h−1 se obtiene el espacio de orbitas G/H como las clases laterales izquierdas deH en G.

39

Capıtulo 2

Se puede observar que ambas son acciones, la multiplicacion por la izquierda se probo engeneral en el Ejemplo 2.1.5, y la multiplicacion por la derecha se sigue de tomar h1, h2, g ∈ G,ası

(h1, (h2, g)) = (h1, g ⋅ h−12 ) = (g ⋅ h−12 ) ⋅ h−11 = g ⋅ (h−12 h−11 ) = g ⋅ (h1h2)−1 = (h1h2, g),

(e, g) = g ⋅ e−1 = g.

Es usual restringir nuestra atencion a cierta clase de simetrıas de un conjunto X, enespecial en aquellas que preservan ciertos aspectos caracterısticos de interes. Por ejemplo,si X es un espacio topologico nos interesarıan aquellas simetrıas de X continuas, si X esuna variedad diferenciable, nuestras simetrıas de interes serıan las simetrıas diferenciables,y si X es un espacio vectorial, serıa deseable trabajar con simetrıas lineales, etc.

Ejemplo 2.1.10. Consideremos las siguientes transformaciones de R2,

a(x, y) = (x + 1, y)b(x, y) = (x + 1

2 ,−y)c(x, y) = (x, y + 1)

Cada una de estas transformaciones es un homeomorfismo de R2 en R2, y por lo tantotambien lo es cada composicion entre estas. Ası, consideremos el grupo

ΓC = ⟨a⟩ = {an ∶ R2 → R2 ∣ n ∈ Z}

y a la accion inclusionΓC ↪ Homeo(R2) ⊂ Sim(R2).

El espacio cociente o espacio de orbitas R2/ΓC mediante esta accion puede identificarse conel cilindro. Si tomamos el espacio cociente ([0,1]×R)/ΓC , obtenemos nuevamene el cilindro.Esto se debe a que la region [0,1]×R contiene al menos un representante de cada ΓC−orbi-ta. Una region conexa del plano con esta caracterıstica es llamada dominio fundamental.

ΓC−orbita: Cilindro

Por otro lado, si consideramos al grupo

ΓM = ⟨b⟩

entonces la accion inclusion

ΓM ↪ Homeo(R2) ⊂ Sim(R2)

tiene como espacio de orbitas a la banda de Mobius.

40


ΓM−orbita: Banda de Mobius

No es difıcil convencerse que las acciones

ΓT = ⟨a, c⟩↪ Homeo(R2) ⊂ Sim(R2)

ΓK = ⟨b, c⟩↪ Homeo(R2) ⊂ Sim(R2)

tienen como espacio de orbitas al toro y a la botella de Klein, respectivamente.

ΓT−orbita: Toro ΓK−orbita: botella de Klein

⧫

En los ejemplos anteriores, nos enfocamos en cierto tipo de simetrıas de R2 (homeo-morfismos), si en lugar de eso, enfocamos nuestra atencion en aquellas simetrıas de R2

que preservan su estructura de espacio vectorial, entramos en la teorıa de representacioneslineales.

2.2. Representaciones de grupos finitos

En esta seccion se establecen algunos resultados sobre teorıa de representacioneslineales de grupos finitos. Tanto las definiciones como los resultados aquı enunciados, sepueden encontrar completamente desarrollados en [17] y [26].

Sea V un espacio vectorial complejo. Denotaremos por AutC(V ) al conjunto de todoslos isomorfismos C−lineales de V en V . Notemos que AutC(V ) forma un grupo bajo lacomposicion de funciones.

En este trabajo solo consideraremos espacios vectoriales complejos y homomorfismosC-lineales, de modo que en adelante omitiremos el subındice en AutC(V ), denotando esteespacio simplemente por Aut(V ).

Consideremos un grupo finito G y un espacio vectorial complejo V de dimension finita.Una representacion lineal de G en V , de grado n, corresponde a un homomorfismo

ρ ∶ G→ AutC(V ) ⊂ Sim(V )

41

Capıtulo 2

Lema 2.2.1. Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

i) ρ ∶ G→ Aut(V ) es un homomorfismo.

ii) φρ ∶ G × V → V es una accion tal que φρ es isomorfismo de espacios vectoriales paracada g ∈ G.

iii) V tiene estructura de CG−modulo, dada por

⎛⎝∑g∈G

λgg⎞⎠⋅ v ∶= ∑

g∈G

λgρg ⋅ v.

Demostracion. Los enunciados (i) y (ii) son equivalentes gracias a la Proposicion 2.1.2y porque ρg es una aplicacion lineal. La equivalencia de los enunciados (i) y (iii) se pudever en [26, p. 47].

Ejemplo 2.2.2. Sea (Z2,+) un grupo y Aut(R2) un espacio vectorial. Podemos ver que

ρ ∶ Z2 → Aut(R2)

0 ↦ (1 00 1

)

1 ↦ (0 11 0

)

es una representacion lineal pues es un homomorfismo,

ρ(0 + 1) = ρ(1)

= (0 11 0

)

= (0 11 0

)(1 00 1

)

= ρ(0) + ρ(1)

⧫

Ejemplo 2.2.3. Sea X cualquier conjunto y G un grupo que actua en X, i.e., G→ Aut(X)es un homomorfismo al grupo de permutaciones de X. Ahora, si V es un espacio vectorialde dimV = ∣X ∣, esto es, V es un espacio vectorial con base {ex}x∈X , entonces G actua enV como

g ⋅∑axex =∑axeg⋅x,

y esta accion es llamada representacion permutacion.La representacion regular, denotada por RG o R, corresponde a la accion de G ensı mismo, dada por el Ejemplo 2.1.5 de multiplicacion por la izquierda. Dicho de otramanera, R es el espacio de funciones complejas en G, donde un elemento g ∈ G actua enuna funcion α por (gα)(h) = α(g−1h).

⧫

42


Cuando no existe ambiguedad respecto al homomorfismo ρ, usualmente nos referimosa V como la representacion de G, y tambien escribimos ρg(v) para denotar ρ(g)(v). Dichoesto, una transformacion entre dos representaciones V y W de G corresponde a una apli-cacion lineal φ ∶ V →W entre espacios vectoriales que hace conmutar el siguiente diagrama

Vφ //

g

��

W

g

��V

φ //W

para cada g ∈ G, esto es, φ(g ⋅ v) = g ⋅φ(v) para todo v ∈ V . En este caso, decimos que φ esuna transformacion G-lineal y denotamos por HomG(V,W ) al conjunto de todas estasaplicaciones, esto es,

HomG(V,W ) = {φ ∶ V →W ∣ φ es G−lineal}.

Definicion 2.2.4. Dos representacions son llamadas isomorfas o equivalentes si entreellas existe un isomorfismo de espacios vectoriales G−lineal.

Definicion 2.2.5. Si W es una representacion de G y V es un subespacio vectorial de Wtal que para cada g ∈ G y v ∈ V tenemos que ρg(v) ∈ V , entonces decimos que V es unasubrepresentacion de G o un G-espacio invariante. Cuando una representacion notiene subrepresentaciones propias W ≠ {0}, es llamada irreducible.

Ejemplo 2.2.6. Si V y W son dos representaciones de G y φ ∶ V →W es una aplicacionG-lineal, entonces Ker (φ) e Im(φ) son subrepresentaciones de V y W , respectivamente, yaque si v ∈ Ker (φ) ⊂ V entonces gv ∈ Ker (φ) pues φ(gv) = gφ(v) = g0 = 0. Analogamente, siw ∈ Im(φ) y w = φ(v) para algun v ∈ V , entonces gw = gφ(v) = φ(gv) ∈ Im(φ).

⧫

Mostramos a continuacion algunos ejemplos de como obtener nuevas representacionesa partir de representaciones dadas.

Representacion suma directa.Sean ρ1 ∶ G → Aut(V ) y ρ2 ∶ G → Aut(W ) representaciones de G, podemos formar larepresentacion suma directa ρ1 ⊕ ρ2 ∶ G→ Aut(V ⊕W ) dada por

(ρ1 ⊕ ρ2)g(v ⊕w) ∶= ρ1g(v)⊕ ρ2g(w)

para cada g ∈ G, v ∈ V y w ∈W .

Representacion producto tensorial.Analogamente al caso anterior, es posible definir la representacion producto tensorial V ⊗Wde dos represetaciones V y W de G,

(ρ1 ⊗ ρ2)g(v ⊕w) ∶= ρ1g(v)⊗ ρ2g(w),

la cual es de nuevo una representacion de G.

Representacion Hom. Si V y W son representaciones del grupo G, podemos formar unanueva representacion sobre HomC(V,W ), el espacio de todas las aplicaciones C-linealesφ ∶ V →W , con la accion dada por

(gφ)(v) ∶= gφ(g−1 ⋅ v) v ∈ V.

43

Capıtulo 2

Es usual denotar esta accion tambien como HomC(V,W ).

Dado un G-espacio V , denotaremos por V G al subconjunto de V que consiste de todoslos puntos fijados por la accion para todo g ∈ G, esto es,

V G ∶= {v ∈ V ∣ g ⋅ v = v para todo g ∈ G}.

En esta notacion, tenemos

HomC(V,W )G = HomGC(V,W ).

En efecto, φ ∈ HomC(V,W )G si y solo si

(gφ)(v) = φ(v) para todos g ∈ G, v ∈ V,

pero como (gφ)(v) = gφ(g−1 ⋅ v), entonces φ(v) = gφ(g−1 ⋅ v). Siendo ası,

φ(g ⋅ v) = gφ(g−1 ⋅ (g ⋅ v)) = gφ(v)

para todos g ∈ G, v ∈ V, lo cual significa precisamente que φ ∈ HomGC(V,W ).

Representacion dual. Sea V una representacion de G y consideremos el espacio vectorialcomplejo V ∗ ∶= HomC(V,C) con la suma y multiplicacion por escalares usual. De modoque, como un caso particular de la representacion Hom, la representacion dual es dada por

ρ∗(g) ∶= ρ(g−1).

Hemos visto que dadas dos representaciones podemos formar una nueva representacion,como la suma directa de ellas. Preguntemonos por el resultado inverso, es decir, dada unarepresentacion V de G, ¿sera posible escribir V como una suma directa de subrepresenta-ciones? La respuesta es que si, y es dada por el siguiente resultado, tambien conocido comoel Teorema de Maschke.

Teorema 2.2.7 (Maschke). Si V es una representacion de dimension compleja finita delgrupo finito G y W es una subrepresentacion, entonces existe un subespacio invariantecomplementario W ′ tal que V =W ⊕W ′.

Demostracion. Si olvidamos por un momento que V tiene una accion definida en el, ysolo lo vemos como un espacio vectorial complejo de dimension finita, entonces siemprepodemos definir sobre V un producto interior Hermitiano, pues V ≃ Cm para algun m yen Cm se tiene el producto interior usual, digamos

⟨ , ⟩ ∶ V × V → C.

Si W es un subespacio vectorial de V siempre existe su ⟨ , ⟩−complemento ortogonalW ⊥, sin embargo cuando V y W son representaciones lineales, no es necesariamente elcomplemento ortogonal W ⊥ una representacion lineal (ver Ejemplo 2.2.8). Para que dichacondicion se cumpla, debemos tener que si w′ ∈ W ⊥ entonces gw′ ∈ W ⊥ para todo g ∈ G,esto es,

⟨gw′,w⟩ = 0 para todos g ∈ G,w ∈W,

44


o bien, como W es G-invariante,

⟨gw′, gw⟩ = 0 para todos g ∈ G,w ∈W.

Esta ultima condicion no es valida en general, pero en el caso de grupos finitos (inclusocompactos) siempre es posible construir un producto Hermitiano a partir del ya dado, quesea invariante respecto a G, como el siguiente,

⟨v,w⟩inv ∶= ∑g∈G

⟨gv, gw⟩,

ya que ⟨gv, gw⟩inv = ⟨v,w⟩inv. Esa propiedad de ser invariante es la que garantiza la exis-tencia de un complemento ortogonal G−invariante

W ⊥ = {v ∈ V ∣ ⟨v,w⟩inv = 0 ∀w ∈W}.

Ejemplo 2.2.8. Si V es una representacion del grupo G y debilitamos la hipotesis de queeste sea finito, entonces el Teorema de Maschke puede que ya no sea valido. Por ejemplo,si G = (R,+) es el grupo aditivo de los numeros reales y V = C2, entonces

ρ ∶ R → GL(2,C)

x ↦ (1 x0 1

) ,

es una representacion lineal y el subespacio

W = C⊕ 0 = {(z,0) ∣ z ∈ C}

es G-invariante, pues al tomar (z,0) ∈W se tiene que para todo x ∈ R,

ρx(z,0) = (1 x0 1

)(z0) = (z

0) .

Sin embargo, no tiene un complemento G-invariante distinto a W y al trivial.⧫

Ejemplo 2.2.9. El Teorema de Maschke tampoco es valido en general para campos decaracterıstica positiva, por ejemplo si la caracterıstica del campo divide el orden del grupo.Consideremos el campo Zp y el espacio vectorial V = Zp ⊕ Zp sobre Zp, con el siguienteproducto interior

⟨ , ⟩ ∶ V × V → Zp(v1, v2) ↦ v11v21 + v12v22

donde v1 = (v11, v12) y v2 = (v21, v22). Si tomamos nuevamente la accion

g ↦ (1 g0 1

)

de un grupo G sobre V cuyo orden sea divisible por p, se puede ver que el producto anteriorno es invariante respecto a G.Ademas, aunque Zp⊕0 es un subespacio G-invariante, no existe un G-espacio complemen-tario, de hecho su complemento ⟨ , ⟩inv-ortogonal es precisamente V .

⧫

45

Capıtulo 2

Como una consecuencia del Teorema de Maschke, se sigue el siguiente resultado:

Corolario 2.2.10. Toda representacion V de dimension compleja finita de un grupo finitoG, es una suma directa de representaciones irreducibles. Esta propiedad es conocida comoreducibilidad completa.

Demostracion. Sea V una representacion de dimension compleja finita de un grupofinito G, por el Teorema de Maschke se puede ver como una suma directa de dossubrepresentaciones. Las cuales pueden ser o no irreducibles, si no lo son se les aplicanuevamente el Teorema de Maschke y esa subrepresentacion se expresa como suma deotras.Se tiene que es un proceso finito ya que la dimension tanto del grupo G como de larepresentacion V son finitas. Y ası, la representacion V quede expresada como sumadirecta de representaciones irreducibles.

Combinando lo anterior con el siguiente resultado, tendremos que dicha descomposiciones unica, salvo isomorfismo.

Lema 2.2.11 (Schur). Si V y W son representaciones irreducibles de G y φ ∶ V →W esuna aplicacion G-lineal, entonces

1. φ es un isomorfismo, o bien, φ = 0.

2. Si V =W , entonces φ = λ ⋅ Id, para λ ∈ C, Id la aplicacion identidad.

Demostracion. La primera parte del Lema se sigue del hecho de que Ker (φ) e Im(φ)son subrepresentaciones de V y W , respectivamente, ya que V es irreducible, se tienen lossiguientes dos casos:

● Ker (φ) = 0: Entonces φ es inyectiva y distinta de cero, por lo tanto Im(φ) ≠ 0 de dondese sigue que Im(φ) =W por ser W irreducible. Por lo tanto φ es un isomorfismo.

● Ker (φ) = V : y por lo tanto φ = 0.

Para la segunda parte del lema usamos el hecho de que el campo C es algebraicamentecerrado, eso significa que todos los polinomios con coeficientes complejos tienen sus raıcesdentro de los complejos. Como esto garantiza la existencia de un valor propio no nulo parala aplicacion φ ∶ V →W , digamos λ ∈ C, consideremos ahora la aplicacion

ψ ∶= φ − λ ⋅ Id ∶ V →W,

y notemos que ψ es tambien G−lineal pues

gψ(v) = gφ(v) − gλ ⋅ Id(v) = φ(g ⋅ v) − λ ⋅ Id(g ⋅ v) = ψ(g ⋅ v),

pues tanto φ como λ ⋅ Id son G−lineales.Ahora, todo multiplo C-escalar del vector propio vλ asociado al valor propio λ satisface

ψ(cvλ) = (φ − λ ⋅ Id)(cvλ) = φ(cvλ) − λ ⋅ Id(cvλ) = cφ(vλ) − λcvλ = 0,

de donde se sigue que Ker (ψ) ≠ 0 y al ser una subrepresentacion de V debemos tenerKer (ψ) = V , es decir, ψ ∶= φ−λ ⋅Id = 0 sobre todo elemento en V , y por lo tanto φ = λ ⋅Id.

Del Teorema de Maschke y el Lema de Schur, deducimos el siguiente resultado.

46


Proposicion 2.2.12. Sea G un grupo finito y ρ ∶ G → Aut(V ) una representacion. En-tonces

V ≅ ⊕Vi∈Irr(G)

aiVi

donde Irr(G) corresponde al conjunto de clases de isomorfismo de representaciones irre-ducibles de G.

Se tiene que ai, nos dice cuantas veces aparece la representacion irreducible Vi en taldescomposicion, porque las representaciones que son isomorfas a Vi se ven como una sola,y ası ai nos dice cuantas son las isomorfas a Vi.

2.3. Ejemplos

Mostramos a continuacion algunos ejemplos de representaciones lineales.

Ejemplo 2.3.1. Haciendo referencia al Ejemplo 2.2.2, considere la representacion

ρ ∶ Z2 → Aut(R2)

Los subespacios propios de R2 son:

U = {(x, y) ∈ R2 ∣ x = 0, y ≠ 0}

V = {(x, y) ∈ R2 ∣ x ≠ 0, y = 0}

W = {(x, y) ∈ R2 ∣ y =mx,m ∈ R}

Pero el unico subespacio invariantes de esta accion es W , porque si (x, y) ∈ U entoncesρ(1)(x, y) /∈ U , del mismo modo para V . De esta manera, la representacion se ve como lasiguiente suma de representaciones irreducibles: W ⊕ {0}.

⧫

Ejemplo 2.3.2. Sea Z4 = {0,1,2,3} el grupo aditivo de las clases residuales modulo 4.Todas las representaciones lineales complejas de dimension 1 que tiene este grupo son:

ρ0 ∶ Z4 → Aut(C) ; ρ1 ∶ Z4 → Aut(C)x ↦ 1 0 ↦ 1

1 ↦ −12 ↦ 13 ↦ −1

ρ2 ∶ Z4 → Aut(C) ; ρ3 ∶ Z4 → Aut(C)0 ↦ 1 0 ↦ 11 ↦ i 1 ↦ −i2 ↦ −1 2 ↦ −13 ↦ −i 3 ↦ i

Son las unicas porque como tienen que ser homomorfismos, todas deben de mandar 0↦ 1y tambien que se manda 1↦ ω, donde ω4 = 1.

⧫

47

Capıtulo 2

Se puede observar que, en general, si V es una representacion de un grupo finito G cadag ∈ G nos da una funcion ρg ∶ V → V , pero esta funcion no siempre es un homomorfismoG−lineal: para h ∈ G se tiene que

g(h(v)) ≠ h(g(v)).

Siendo ası, ρg ∶ V → V sera G−lineal para cada ρ si y solo si g esta en el centro Z(G)de G. En particular, se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 2.3.3. Si G es un grupo abeliano y V una representacion irreducible de G,se tiene que V es de dimension 1.

Demostracion. Por la observacion anterior, como G es abeliano se tiene G = Z(G) yası ρg ∶ V → V es G−lineal. Luego, por la segunda parte el Lema de Schur (2.2.11), cadaelemento de g ∈ G actua en V por ρg = λ ⋅ Id para algun λ ∈ C. Ası todo subespacio de Ves invariante, por lo que V es de dimension 1.

Otros ejemplos que se muestran a continuacion, son las representaciones complejas delgrupo simetrico en tres elementos.

Ejemplo 2.3.4. Sea G = S3, el grupo no-abeliano mas simple. Para empezar, en cualquiergrupo simetrico, se tienen dos representaciones de dimension 1:

Trivial:

ρ ∶ G → Aut(C) ≃ C∗

g ↦ 1

Alternante:

ρ′ ∶ G → Aut(C) ≃ C∗

g ↦ sgn(g)

Por otro lado, consideremos la representacion permutacion del Ejemplo 2.2.3, con X ={1,2,3} y V = C3, donde G actua sobre C3 permutando las coordenadas. Explıcitamente, si{e1, e2, e3} es la base estandar de C3, entonces g ⋅ ei = eg(i), y para (z1, z2, z3) ∈ C3 general,

g ⋅ (z1, z2, z3) = g ⋅ (z1e1 + z2e2 + z3e3)= z1eg(1) + z2eg(2) + z3eg(3)= (zg−1(1), zg−1(2), zg−1(3))

Esta representacion, como cualquier representacion de permutacion, no es irreducible, puesla lınea L generada por el vector (1,1,1) ∈ C3 es invariante.Notemos que el subespacio complementario a la lınea L, es el subespacio

V = {(z1, z2, z3) ∈ C3 ∶ z1 + z2 + z3 = 0}.

Esta representacion V de dimension 2 es irreducible, y conocida como la representacionestandar de S3. Por lo tanto la descomposicion en irreducibles de la representacion permu-tacion es

C3 ≃ L⊕ V.

48


Ahora, vamos a describir una representacion arbitraria de S3, para crearla normalmente seusa la teorıa de caracteres, pero se va a usar un metodo mas rudimentario, aunque puedeser ineficiente. La idea es simple, empecemos con una representacion arbitraria W de S3 yveamos la accion del subgrupo abeliano A3 = Z/3 ⊂ S3 en W , i.e.,

A3 → Aut(V ).

Esto produce la siguiente descomposicion: si tomamos τ como el generador de A3 (i.e.,un 3−ciclo), el espacio W es generado por los eigenvectores vi para la accion de τ , cuyoseigenvalores son potencias de una raız cubica de la unidad, ω = e2πi/3. Entonces,

W =⊕Vi,

donde

Vi = Cvi y τvi = ωαivi.

Despues, para ver como los demas elementos de S3 actuan en W , en terminos de estadescomposicion, se toma σ una transposicion tal que τ y σ generan a S3 con la relacion

στσ = τ2.

Se quiere saber a donde manda σ a cada eigenvector v para la accion τ , digamos con ωi;para resolver esto, se ve como actua τ en σ(v). Usando la relacion anterior:

τ(σ(v)) = σ(τ2(v))= σ(ω2i ⋅ v)= ω2i ⋅ σ(v).

Por lo que, si v es un eigenvector para τ con el eigenvalor ωi, entonces σ(v) es tambien uneigenvector para τ con el eigenvalor ω2i.

⧫

2.4. Caracteres

Retomando el ultimo ejemplo de la seccion anterior se sugiere que conociendo los eigen-valores de cada elemento de G, debe ser suficiente para describir la representacion. Claroque especificar todos los eigenvalores de la accion no es trivial y, de hecho es redundanteya que si se tienen los eigenvalores {λi} de un elemento g ∈ G, entonces se tienen los eigen-valores {λi}k de gk, para cada k. Podemos usar esto para simplificar los datos que tenemosque especificar. La clave es dar la suma de los eigenvalores de cada elemento de G, comosabemos que ∑λki es equivalente a saber el eigenvalor {λi}.

Definicion 2.4.1. Si ρ ∶ G→ Aut(V ) es una representacion, entonces el caracter

χV ∶ G→ C

es una funcion compleja definida por

χV (g) ∶= Tr(ρg),

donde Tr denota la traza de la transformacion lineal ρg.

49

Capıtulo 2

En particular, tenemosχV (hgh−1) = χV (g),

pues las matrices similares tienen la misma traza. De modo que χV es constante sobre clasesde conjugacion de G; tal funcion se llama funcion de clase. Note que χV (e) = dimV ,donde e es el elemento neutro del grupo.

Proposicion 2.4.2. Sean V y W representaciones de G. Entonces

χV ⊕W = χV + χW , χV ⊗W = χV × χW , χV ∗ = χV .

Demostracion. Se calcula el valor de dichos caracteres en un elemento g ∈ G fijo. Si parala accion de g, V tiene eigenvalores {λi} y W tiene eigenvalores {µi}. Entonces {λi + µj}y {λi ⋅ µj} son eigenvalores de V ⊕W y V ⊗W respectivamente, de donde se cumplen lasprimeras dos formulas.Similarmente, {λ−1i = λi} son eigenvalores para g en V ∗, pues todos los eigenvalores sonraıces n−esimas de la unidad, con n el orden de g.

Ejemplo 2.4.3. Calcularemos el caracter de la representacion permutacion del Ejemplo2.2.3. Probaremos que si V es la representacion de permutacion asociada a la accion de ungrupo G en un conjunto finito X, entonces χV (g) es el numero de elementos de X fijadospor g, tal expresion se llama formula original de punto fijo.En efecto, supondremos que X = {x1, . . . , xn}, y ası obtenemos V como el espacio vectorialgenerado por los elementos de X. Por lo que nuestra representacion se puede expresar dela siguiente manera:

ρ ∶ G → Aut(V )g ↦ ρg ∶ V → V

n

∑i=1

aixi ↦n

∑i=1

aig ⋅ xi

donde ai ∈ C para i ∈ {1, . . . , n}.Ahora, denotemos el conjunto de elementos en X fijados por g ∈ G como

Xg = {x ∈X ∶ g ⋅ x = x}

Lo que nos permite restringir a ρ de la siguiente manera:

ρ′ ∶ G → Aut(VXg)g ↦ ρ′g ∶ VXg → VXg

n

∑i=1

aixi →n

∑i=1

aig ⋅ xi =n

∑i=1

aixi,

i.e., se identifica con la funcion Id, y por la nota de la Definicion 2.4.1 se tiene que χV = ∣Xg ∣.⧫

Como se ha dicho, el caracter de una representacion de un grupo G es realmente unafuncion en un conjunto de clases en G. Esto sugiere expresar la informacion basica so-bre las representaciones irreducibles de un grupo G en la forma de una tabla de caracter.

50


Esta es una tabla con las clases [g] de G enlistadas en la parte superior, usualmentemediante una g representativa, con el numero de elementos en cada clase sobre el; lasrepresentaciones irreducibles V de G enlistadas a la izquierda, y en la casilla correspon-diente el valor del caracter χV en la clase [g].

Ejemplo 2.4.4. Calcularemos la tabla de caracter de S3. Es facil empezar con la repre-sentacion trivial, que toma el valor 1 en las tres clases [1], [(1,2)], [(1,2,3)]; mientras larepresentacion alternante tiene el valor 1 para las clases [1], [(1,2,3)] y el valor −1 para laclase [(1,2)].Para ver el caracter de la representacion estandar V , note que la descomposicion de larepresentacion permutacion es C3 = ρ⊕ V , como se vio en el Ejemplo 2.3.4, y por lo tantoel caracter de la representacion permutacion tiene los valores: χV ([1]) = 3, χV ([(1,2)]) = 1y χV ([(1,2,3)]) = 0. Por otro lado, de la Proposicion 2.4.2 se tiene que

χV ([1]) = χC3([1]) − χρ([1]) = 3 − 1 = 2

χV ([(1,2)]) = χC3([(1,2)]) − χρ([(1,2)]) = 1 − 1 = 0

χV ([(1,2,3)]) = χC3([(1,2,3)]) − χρ([(1,2,3)]) = 0 − 1 = −1

Por lo que la tabla de caracter de S3 es

1 3 2S3 1 (1,2) (1,2,3)

trivial ρ 1 1 1alternante ρ′ 1 −1 1

estandar V 2 0 −1

Esto nos da otra solucion al problema de descomponer un representacion W de S3 enrepresentaciones irreducibles, si

W ≅ ρ⊕a ⊕ ρ′⊕b ⊕ V ⊕c,

entoncesχW = aχρ + bχρ′ + cχV .

En particular, como χρ, χρ′ , χV son independientes se puede ver que W es determinadosalvo isomorfismo por su caracter χW .

⧫

Definicion 2.4.5. Sea G un grupo finito, sea e el elemento neutro del grupo y sea V unarepresentacion irreducible de G. Al valor χρ1(e) = n se le conoce como el grado de larepresentacion V .

Corolario 2.4.6. Sea G un grupo finito, sea ∣G∣ = g y sean n1, . . . , nk los grados de lasrepresentaciones irreducibles ρ1, . . . , ρk de G. Entonces

k

∑i=1

n2i = g.

Con este resultado (probado en [26, p. 18]) y el Ejemplo 2.4.4, se puede ver que no haymas representaciones irreducibles de S3 pues

1 + 1 + 22 = 6 = ∣S3∣.

51

Capıtulo 3

Representaciones unitarias yespacios de probabilidad estandar

El objetivo de este capıtulo es analizar algunos aspectos analıticos en el espacio derepresentaciones unitarias de un grupo abeliano y finito, sobre un espacio de Hilbert com-plejo, separable y de dimension infinita. La motivacion de este analisis radica en su relacioncon la construccion de ciertos espacios topologicos cuyas propiedades son importantes entopologıa algebraica (cf. [3] y [2]).

El contenido de este capıtulo se basa principalmente en [13] y [20].

3.1. Nociones y hechos basicos

Si X es un espacio topologico, un subconjunto S ⊂ X es llamado de primera ca-tegorıa, si se puede escribir como la union numerable de subconjuntos de X densos enninguna parte, i.e.,

S =∞

⋃n=1

Sn, (Sn)○ = ∅.

Se dice que S ⊂X es residual si X/S es de primera categorıa.

Recordemos que un espacio topologico es separable si contiene un subconjunto quesea denso y numerable.

Definicion 3.1.1. Un espacio Polaco es un espacio topologico completamente metrizabley separable. Esto es, un espacio homeomorfo a un espacio metrico completo que tiene unsubconjunto denso numerable.

Una σ−algebra sobre un conjunto X es un familia S no vacıa de subconjuntos de X,donde los elementos de S cumplen las siguientes propiedades:

1) ∅,X ∈ S.

2) Si E ∈ S entonces X/E ∈ S.

3) Si {E1,E2, . . .} ⊂ S es una sucesion (numerable) entonces la union (numerable) detodos ellos tambien esta en S.

53

Capıtulo 3

Al par (X,S) se denomina como espacio medible, y los elementos de S se denominanconjuntos medibles.

Si X es un espacio topologico, entonces la σ−algebra de Borel se define co-mo la σ−algebra B(X) generada por los abiertos de X. Se pude observar que tambienesta generada por los cerrados de X. Todo conjunto en B(X) se llama conjunto de Borel.

Si S ⊂ X es la interseccion de una coleccion numerable de abiertos, entonces S es unconjunto Gδ. El cual no necesariamente es un conjunto abierto, pero si es un conjuntomedible pues es interseccion de conjuntos de una σ−algebra.

Definicion 3.1.2. Una medida es una funcion µ definida en una σ−algebra S sobre unconjunto X con valores en el intervalo real extendido [0,∞] que verifica:

La medida del conjunto vacıo es cero, i.e., µ(∅) = 0.

Si {E1,E2, . . .} es una sucesion numerable de conjuntos disjuntos dos a dos de laσ−algebra S, entonces

µ(∞

⋃i=1

Ei) =∞

∑i=1

µ(Ei).

Si una medida cumple que para dos conjuntos medibles A,B ∈ S tal que A ⊆ B,satisfacen que µ(A) ≤ µ(B), entonces se dice que la medida es monotona.

La medida de Lebesgue se puede definir sobre Rn como la medida inducida por elvolumen de los elementos basicos en la topologıa producto; ası sobre el conjunto de losnumeros reales, por lo que se tiene

µ([a, b]) = µ((a, b)) = b − a, con a, b ∈ R.

µ({a}) = 0, con a ∈ R.

Todos los conjuntos numerables tienen medida cero.

Definicion 3.1.3. Una funcion medible se define como una funcion f de un espaciomedible (X,SX) a otro espacio medible (Y,SY ) tal que

f−1(E) ∈ SX ,

para todo E ∈ SY .

Si X es un espacio topologico y A ∈ B(X) es un conjunto de Borel, las siguientesfunciones son ejemplos importantes de funciones medibles:

La funcion caracterıstica de A, definida por,

χA(x) = { 0 si x /∈ A1 si x ∈ A

La funcion simple se ve como combinacion lineal finita de funciones caracterısticas:f =∑

i∈I

λiχAi donde los Ai’s son medibles y disjuntos dos a dos.

54

Representaciones unitarias y espacios de probabilidad estandar

Un espacio medible (X,S) se dice ser espacio de Borel estandar cuando es isomorfoa un espacio Polaco Y dotado con una σ−algebra de Borel B(Y ). Un espacio medible (X,µ)se dice ser un espacio de probabilidad si µ(X) = 1.

Definicion 3.1.4. Sea (X,S) un espacio medible. A µ se le llama medida de probabili-dad no-atomica si para todo A ∈ S tal que µ(A) > 0, existe B ⊂ A tal que µ(A) > µ(B) > 0.

Un espacio de probabilidad estandar es un espacio de Borel estandar (X,S) conuna medida de probabilidad no-atomica µ definida en la σ−algebra S. Denotamos a esto,brevemente, como (X,µ) en vez de (X,S, µ).

3.2. La representacion de Koopman

En el resto de este trabajo, cuando se mencione un espacio de Hilbert, se entendera comoun espacio de Hilbert complejo, separable y de dimension infinita.

SiH es un espacio de Hilbert, denotamos por U(H) el grupo unitario deH, que contienetodos los operadores unitarios sobre H, dotado con la topologıa fuerte.

Para un grupo numerable G y un espacio de Hilbert H, una representacion unitaria deG consiste de un homomorfismo G→ U(H) y denotamos por Hom(G,U(H)) al espacio detodas las representaciones unitarias de G.

El conjunto Hom(G,U(H)) es un subespacio cerrado del espacio Polaco C(G,U(H))y por lo tanto, tambien es un espacio Polaco.

Si (X,µ) es un espacio de probabilidad estandar, denotamos por L20(X,µ) el comple-mento ortogonal de las funciones constantes en el espacio de Hilbert L2(X,µ), i.e.,

L2(X,µ) = {f ∶X → R ∶ ∫X

∣f ∣2 <∞},

y

L20(X,µ) = {f ∈ L2(X,µ) ∶ ∫Xfdµ = 0}.

Si (X,µ) es un espacio de probabilidad estandar, entonces un automorfismo de BorelT ∶ X → X es llamado un automorfismo que preserva la medida de (X,µ) si para cadaB ∈ S se tiene que µ(T−1(B)) = µ(B), al cual llamaremos brevemente µ-automorfismo.Como es usual, identificamos dos µ−automorfismos T,S de (X,µ) si estos coinciden casien todas partes, i.e., si

µ({x ∈X ∶ T (x) ≠ S(x)}) = 0.

Bajo esta identificacion, y asumiendo de aquı en adelante a (X,µ) como un espacio deprobabilidad estandar, denotamos el espacio de todos los µ−automorfismos de (X,µ) porAut(X,µ). Ahora, este conjunto nos da paso al siguiente resultado.

Lema 3.2.1. Existe una aplicacion bien definida,

Aut(X,µ) �� // U(L20(X,µ)) (3.1)

T � // UT

Dada para cada T ∈ Aut(X,µ) y f ∈ U(L20(X,µ)), por UT ∶ f z→ f ○ T −1.

55

Capıtulo 3

Demostracion. Veamos primero que la aplicacion (3.1) esta bien definida. Para ello, esnecesario verificar que UT ∈ U(L20(X,µ)), esto es, UT (f) ∈ L20(X,µ) para cada f ∈ L20(X,µ)y que UT es unitario.

Sea f ∈ L20(X,µ). Debemos probar que,

∫XUT (f)dµ = ∫

Xf ○ T−1dµ = 0.

Basta demostrar la igualdad anterior para una funcion caracterıstica f = χA, pues en [4]se pueden encontrar dos resultados que dicen que una funcion medible se puede expresarcomo el lımite de una sucesion de funciones simples, y ademas que una funcion simple escombinacion lineal de funciones caracterısticas.

Siendo ası, sea A un subconjunto medible de X, en cuyo caso se tiene

∫XχA ○ T−1dµ = µ(T−1(A)) = µ(A).

Luego, como f ∈ L20(X,µ), se sigue que

∫Xfdµ = ∫

XχAdµ = µ(A) = 0.

Veamos ahora que UT es unitario, esto es, que U∗T = U−1

T . Para ello, es suficiente demos-trar que ⟨UT f, g⟩ = ⟨f,U−1

T g⟩ para f y g funciones caracterısticas.Sean A y B subconjuntos medibles de X, y sean χA y χB sus correspondientes funciones

caracterısticas. Entonces,

⟨UTχA, χB⟩ = ∫XχA ○ T−1 ⋅ χBdµ = µ(T (A) ∩B)

Por otro lado,

⟨χA, U−1T χB⟩ = ∫

XχA ⋅ χB ○ Tdµ = µ(A ∩ T−1(B)) = µ(T−1(T (A) ∩B)) = µ(T (A) ∩B).

Finalmente, la inyectividad de la aplicacion (3.1) se sigue del hecho de que si UT = US ,entonces f ○ T−1 = f ○ S−1 para toda funcion f ∈ L20(X,µ), lo cual implica que T−1 = S−1casi en todas partes y se sigue el resultado que deseabamos demostrar.

Como consecuencia del Lema 3.2.1 se tiene que Aut(X,µ) puede identificarse comoun subgrupo cerrado del grupo Polaco U(L20(X,µ)), y por lo tanto tambien es un grupoPolaco.

Sea a ∶ GÐ→ Sim(X) una accion de G sobre X. Decimos que a es una µ-accion si a(g)es un µ-automorfismo de (X,µ) para todo g ∈ G, esto es, a define un homomorfismo porrestriccion

a ∶ GÐ→ Aut(X,µ).

Identificamos dos µ−acciones a, b de G en (X,µ) si estas coinciden en casi todas partes,i.e., si para todo g ∈ G se tiene

µ({x ∈X ∶ a(g)(x) ≠ b(g)(x)}) = 0.

Bajo esta identificacion denotamos el espacio de todas las µ−acciones de G en(X,µ) por A(G,X,µ). Dado que A(G,X,µ) es un subespacio cerrado del espacio Polaco

56


C(G,Aut(X,µ)), tambien este es un espacio Polaco.

Toda µ−accion de A(G,X,µ) con G un grupo numerable y (X,µ) un espacio de proba-bilidad estandar, se induce de manera canonica a la representacion unitaria de Koopmanasociada a la accion a de la siguiente manera:

G

κa

%%KK

KK

KK

KK

KK

K

a

��Aut(X,µ) �

� // U(L20(X,µ))

donde κag(f)(x) = f(a(g−1)(x)) con g ∈ G,f ∈ L20(X,µ), x ∈X.

Dos representaciones unitarias π ∶ G→ U(H), ρ ∶ G→ U(K), con G un grupo numerabley H,K espacios de Hilbert, se llaman unitariamente equivalentes si existe un operadorunitario U ∶H Ð→ K que hace conmutar el siguiente diagrama

Hπg //

U��

HU��

K ρg// K

para todo g ∈ G.

Definicion 3.2.2. Una representacion unitaria π ∶ G Ð→ U(H) se dice que es realizablepor una accion, si existe a ∈ A(G,X,µ) tal que π es unitariamente equivalente a larepresentacion Koopman κa asociada a la accion a.

Algunos hechos interesantes concernientes a la nocion de realizabilidad por una accion,pueden encontrarse en [20, Ap. H-(F)].

3.3. El espacio de representaciones unitarias realizables poruna accion

En [20, Prop. H.14] se demuestra que si G es un grupo numerable y H es un espaciode Hilbert, entonces el conjunto de representaciones unitarias realizables por una accionde G en H es denso en Hom(G,U(H)). Tambien se demuestra que dicho conjunto es deprimera categorıa o residual en Hom(G,U(H)), ya que es invariante bajo conjugacion porelementos del grupo unitario U(H), y en el caso que G es un grupo abeliano libre de torsionentonces tal conjunto es de primera categorıa.

En [20, Problem H.16] el autor plantea el siguiente problema, aun abierto hasta elmomento de la redaccion de este trabajo:

Pregunta: Sean G un grupo infinito numerable y H un espacio de Hilbert complejo sepa-rable de dimension infinita. ¿Es el conjunto de todas las representaciones unitarias de G,realizables por una accion, de primera categorıa en Hom(G,U(H))?

57

Capıtulo 3

Posteriormente, en [13] se responde una variante de esta pregunta bajo la hipotesis deque G es un grupo abeliano y finito. El resultado obtenido en [13] afirma de hecho, quetal subconjunto es residual, dando una respuesta negativa bajo las hipotesis mencionadassobre el grupo.

Formalmente, el resultado obtenido por M. Dolezal es el siguiente.

Teorema 3.3.1. [13, Th. 2] Sea G un grupo abeliano finito y sea H un espacio de Hilbertcomplejo, separable y de dimension infinita. Entonces el conjunto

{π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ π es realizable por una accion}

es residual en Hom(G,U(H)).

De hecho, Dolezal demuestra un resultado mas fuerte, a saber que existe una represen-tacion unitaria realizable por una accion, cuya clase de equivalencia unitaria es residual enHom(G,U(H)).

La prueba del Teorema 3.3.1 sera desarrollada en varios lemas, los cuales se demuestranen la siguiente seccion, y esencialmente se seguira de los siguientes hechos:

Sea el espacio de probabilidad estandar (X = C(G, [0,1]), µ).Como C(G, [0,1]) = ∏

g∈G[0,1], se tiene lo siguiente:

µ(X) = µ⎛⎝∏g∈G

[0,1]⎞⎠= ∏g∈G

(µL([0,1])) = 1,

donde se toma a µL como la medida de Lebesgue.

Consideremos la siguiente accion:

a ∶ G Ð→ Aut(C(G, [0,1]))g z→ g ⋅ x ∶= x(g−1)

Sea π ∈ Hom(G,U(H)) una representacion unitaria y sea χ ∈ G∗ = Hom(G,C) uncaracter en el grupo dual. Se define el subespacio Hπχ de H por

Hπχ = {h ∈H ∶ πg(h) = χ(g)h ∀g ∈ G}.

La representacion de Koopman asociada a la µ-accion libre a de G sobre el espaciode probabilidad estandar X = C(G, [0,1]),

κa ∶ G a // Aut(X,µ) �� // U(L20(X,µ))

es unitariamente equivalente a toda representacion unitaria π ∈ Hom(G,U(H)) talque dimHπχ =∞ para todo caracter χ ∈ G∗ (Lema 3.4.3), y

El conjunto de las representaciones unitarias π ∈ Hom(G,U(H)) tales que dimHπχ =∞ para todo caracter χ ∈ G∗ es un subconjunto Gδ-denso en Hom(G,U(H)) (Lema3.4.4).

58


De los ultimos dos hechos se sigue que cada una de las representaciones en el conjunto

A = {π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ dimHπχ =∞ ∀χ ∈ G∗},

es realizable por una accion y que ademas, este conjunto es Gδ-denso en Hom(G,U(H)).Esto implica que A es una interseccion numerable de conjuntos abiertos y por lo tanto,densos en Hom(G,U(H)). En particular, se sigue que el Hom(G,U(H))/A esta dado poruna union numerable de conjuntos densos en ninguna parte, lo cual implica que A esresidual y por lo tanto tambien lo es el conjunto de todas las representaciones unitariasrealizables por una accion.

3.4. Demostracion del resultado principal

Consideremos la representacion de Koopman

κa ∶ G a // Aut(X,µ) �� // U(L20(X,µ))

asociada a la µ-accion libre

a ∶ G ×C(G, [0,1]) Ð→ C(G, [0,1])(g, x) z→ g ⋅ x ∶= x(g−1)

sobre el espacio de probabilidad estandar X = C(G, [0,1]).Para cada caracter χ ∶ G → C en el grupo dual de G, se define el subespacio Kχ de

L20(C(G, [0,1])) por

Kχ = {f ∈ L20(C(G, [0,1])) ∶ κag(f) = χ(g)f ∀g ∈ G}.

Lema 3.4.1. Para toda χ ∈ G∗, se tiene que dimKχ =∞.

Demostracion. Tomemos una χ ∈ G∗. Para todo g ∈ G definimos

Qg = {x ∈ C(G, [0,1]) ∶ x(g) ∈ [0, 1

2] , x(g) ∈ (1

2,1] ∀g ∈ G, g ≠ g}.

Los conjuntos Qg, con g ∈ G, son disjuntos dos a dos. Tambien son conjuntos con la medidaproducto positiva. Denotamos por e al elemento neutro de G y definimos un operador linealT como

T ∶ L20(Qe)→ L20(C(G, [0,1])).

Primero, cada f ∈ L20(Qe) se extiende a ⋃g∈G

Qg estableciendo

T (f)(x) = χ(g−1)f(a(g−1)(x)), g ∈ G,x ∈ Qg.

Entonces se fija T (f)(x) = 0 para toda x ∈ C(G, [0,1])/ ⋃g∈G

Qg. Para verificar que esta bien

definido, se debe probar que T (f) ∈ L20(C(G, [0,1])) para toda f ∈ L20(Qe). Pero para cadag ∈ G, se tiene que

∫Qg

∣T (f)∣2 = ∣χ(g−1)∣2∫Qe

∣f ∣2 <∞

59

Capıtulo 3

y que

∫QgT (f) = χ(g−1)∫

Qef = 0.

El operador T esta dado por la extesion natural, y ası es inyectivo. Por lo que es suficientecon probar que T (L20(Qe)) ⊆ Kχ, pues L20(Qe) es de dimension infinita. Para hacer esto,se escoge una f ∈ L20(Qe), con g ∈ G, x ∈ C(G, [0,1]). Si x ∈ C(G, [0,1])/ ⋃

g∈G

Qg entonces

a(g−1)(x) ∈ C(G, [0,1])/ ⋃g∈G

Qg, y ademas se tiene

κag(T (f)(x)) = κag(0) = 0,

χ(g)T (f)(x) = 0.

Y si x ∈ Qg para algun g ∈ G, entonces a(g−1)(x) ∈ Qg−1g y ası tenemos que

κag(T (f))(x) = T (f)(a(g−1)(x))= χ((g−1g)−1)f(a((g−1g)−1)(a(g−1)(x)))= χ(g−1g)f(a(g−1g)(a(g−1)(x)))= χ(g−1)χ(g)f(a(g−1gg−1)(x))= χ(g)χ(g−1)f(a(g−1)(x))= χ(g)T (f)(x).

Se ha llegado a que κag(T (f))(x) = χ(g)T (f)(x) para cada g ∈ G y que T (f) ∈ Kχ, comose querıa.

Para una representacion unitaria π ∈ Hom(G,U(H)) y un caracter en el grupo dualχ ∈ G∗ = Hom(G,C), se define el subespacio Hπχ de H por

Hπχ = {h ∈H ∶ πg(h) = χ(g)h ∀g ∈ G}.

Lema 3.4.2. Sea π ∈ Hom(G,U(H)). Entonces se tiene que

H = ⊕χ∈G∗

Hπχ,

donde ⊕ se refiere a la suma directa de subespacios ortogonales.

Demostracion. Primero, se muestra que los subespacios Hπχ, con χ ∈ G∗, son ortogona-les dos a dos. Sean χ,χ′ ∈ G∗ tal que χ ≠ χ′. Entonces hay un g ∈ G que cumple conχ(g) ≠ χ′(g). Los subespacios Hπχ y Hπχ′ estan contenidos en los eigenespacios del operadorunitario πg correspondiente a los eigenvalores χ(g) y χ′(g) respectivamente, y estos doseigenespacios son ortogonales.Ahora, descomponemos a H en una suma directa de subespacios de dimension finita queson invariantes por la representacion π. La descomposicion se construye por inducciontranfinita.En el primer paso, se toma un h ∈H diferente de cero y arbitrario, y se define a

H0 = span{πg(h) ∶ g ∈ G}.

Despues, se supone que para un α ordinal, se tienen subespacios ortogonales dos a dos dedimension finita Hβ, con β < α, que son invariantes por π.

60


Si H = ⊕β<α

Hβ, la construccion esta completa. Y si no es el caso, se toma un h no-cero

arbitrario en el complemento ortogonal de ⊕β<α

Hβ y se define a

Hα = span{πg(h) ∶ g ∈ G}.

Esta construccion se terminara en un α ordinal numerable, ya que H es separable. Entoncesse tiene que H = ⊕

β<α

Hβ.

Luego, se tiene por el Teorema de Mascke que cada subespacio H ′ de H de dimension finitainvariante (por π) puede descomponerse en una suma directa de subespacios invariantes(por π).Se sigue, de las consideraciones de arriba, que

H =⊕i∈I

Hi

para alguna familia (numerable) {Hi ∶ i ∈ I} de subespacios invariantes (no-triviales) porπ. Sea i ∈ I. Se probara que Hi ⊆Hπχ, para algun χ ∈ G∗. Por el caso de dimension finita delteorema espectral, para cada g ∈ G, el subespacio Hi es una suma directa de eigenespaciosde la resticcion πg ∣Hi de πg a Hi. Cada uno de estos eigenespacios es invariante por π, puessi h es un eigenvector de πg ∣Hi correspondiente a un eigenvalor λ ∈ C y g ∈ G, entonces setiene

πg(πg(h)) = πgg(h) = πgg(h) = πg(πg(h)) = πg(λh) = λπg(h).

Pero Hi es invariante y por eso hay un complejo χ(g) ∈ C (que es el unico eigenvalor deπg ∣Hi) tal que πg ∣Hi = χ(g)Id. Sea h ∈ Hi un vector no-cero arbitrario. Entonces para todog, g ∈ G se tiene

χ(g)χ(g)h = χ(g)πg(h)= πg(χ(g)h)= πg(πg(h))= πgg(h)= χ(gg)h= χ(gg)h,

y ası χ(g)χ(g) = χ(gg). Se sigue que χ ∈ G∗ y Hi ⊆Hπχ.Finalmente, se tiene que

H =⊕i∈I

Hi = ⊕χ∈G∗

⊕i∈I

Hi⊆Hπχ

Hi ⊆ ⊕χ∈G∗

Hπχ,

y la prueba esta completa.

Lema 3.4.3. Sea π ∈ Hom(G,U(H)) tal que dimHπχ =∞ para todo χ ∈ G∗. Entonces π esunitariamente equivalente a κa.

Demostracion. Por el Lema 3.4.2, se tiene

H = ⊕χ∈G∗

Hπχ.

61

Capıtulo 3

Y al aplicar esto al espacio de Hilbert L20(C(G, [0,1])) y con κa, se obtiene

L20(C(G, [0,1])) = ⊕χ∈G∗

(L20(C(G, [0,1])))κa

χ = ⊕χ∈G∗

Kχ.

Como los subespacios Hπχ de H y Kχ de L20(C(G, [0,1])) son de dimension infinita, existe

una isometrıa lineal de H sobre L20(C(G, [0,1])). Dicha isometrıa prueba que π y κa sonunitariamente equivalentes.

Lema 3.4.4. El conjunto A = {π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ dimHπχ = ∞, ∀χ ∈ G∗} es Gδ−densoen Hom(G,U(H)).

Demostracion. Primero, se prueba que A es denso. Tomemos un abierto U enHom(G,U(H)) de la forma:

U(ρ, ε, h1, . . . , hp) = {π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ ∣∣πg(hj) − ρg(hj)∣∣ < ε, ∀g ∈ G, ∀j ∈ {1, . . . , p}}

donde ρ ∈ Hom(G,U(H)), p ∈ N, h1, . . . hp ∈H y ε > 0. Se busca encontrar algun π ∈ A∩U .Definimos

H ′ = span{ρg(hj) ∶ g ∈ G, j ∈ {1, . . . p}}.

Entonces H ′ es un subespacio de dimension finita de H invariante por la representacion ρ.Sea T una isometrıa lineal de L20(C(G, [0,1])) sobre el complemento ortogonal (H ′)⊥ deH ′ en H. Define π ∈ Hom(G,U(H)) tal que coincida con ρ en H ′ y tal que la restriccionde π a (H ′)⊥ se define como la conjugacion de κa por la isometrıa lineal T .En otras palabras, se define π de la siguiente manera:

πg ∶ H ′ ⊕ (H ′)⊥ → H ′ ⊕ (H ′)⊥h ⊕ h ↦ ρg(h) ⊕ T ○ κag ○ T−1(h)

Se tiene que π ∈ U , ya que

∣∣πg(hj) − ρg(hj)∣∣ = ∣∣ρg(hj) − ρg(hj)∣∣ = 0 < ε,

para toda j ∈ {1, . . . p}.Tambien se tiene que π ∈ A, pues al tomar h ∈ T (L20(C(G, [0,1]))) ⊂ (H ′)⊥ tal que h = T (f)con f ∈Kχ, i.e., h ∈ T (Kχ). Entonces

πg(h) = T ○ κag ○ T −1(h)= T ○ κag ○ T −1(T (f))= T ○ κag(f)= T (χ(g)f)= χ(g)T (f)= χ(g)h

Por lo que h ∈Hπχ. Recordemos que como T es una isometrıa lineal, es inyectiva, y se tieneque T (Kχ) ⊂Hπχ. Ası, dimHπχ ≥ dimKχ =∞ para toda χ ∈ G∗.Despues, se prueba a continuacion que A es un conjunto Gδ. Para ello, basta con que elconjunto

Uχq = {π ∈ Hom(G,U(H)) ∶ dimHπχ ≥ q}, ∀χ ∈ G∗, q ∈ N

62


sea abierto en Hom(G,U(H)), por que podemos identificar a A como interseccion nume-rable de estos conjuntos, i.e.,

A = ⋂χ∈G∗

⎛⎝⋂q∈N

Uχq⎞⎠.

Ası que fijemos una χ ∈ G∗, un q ∈ N y un π ∈ Uχq para probar que π es un punto interiorde Uχq . Como dimHπχ ≥ q, existen h1, . . . , hq ∈ H vectores linealmente independientes talque para toda g ∈ G y j ∈ {1, . . . , q} cumplen que

πg(hj) = χ(g)hj .

Sea η > 0 tal que si se toman h′1, . . . , h′q ∈H y cumplen ∥h′j − hj∥ < η, para toda j ∈ {1, . . . , q},

entonces h′1, . . . , h′q son linealmente independientes. Suponemos que G tiene n elementos:

g1, . . . , gn. Definimos

C = mın{∣χ(g) − χ′(g)∣ ∶ g ∈ G, χ,χ′ ∈ G∗, χ(g) ≠ χ′(g)},

ε = Cηn,

yV (π, ε, h1, . . . hq) = {ρ ∈ Hom(G,U(H)) ∶ ∣∣ρg(hj) − πg(hj)∣∣ < ε, ∀g ∈ G}.

Basta con probar que V ⊆ Uχq . Para lo cual se elige un ρ ∈ V y por el Lema 3.4.2, se obtieneque

H = ⊕χ′∈G∗

Hρχ′ .

Se sigue que para toda j ∈ {1, . . . , q} esta la siguiente descomposicion

hj = ∑χ′∈G∗

hχ′

j

donde hχ′

j ∈Hρχ′ , para toda χ′ ∈ G∗ y donde la suma es una suma directa interna.

Ası, basta probar que ∥hχj − hj∥ < η para toda j ∈ {1, . . . , q}, ya que se obtiene que hχ1 , . . . , hχq

son vectores linealmente independientes, de esta manera se llega a que dimHρχ′ ≥ q, y por

tanto ρ ∈ Uχq . Tomemos j ∈ {1, . . . , q}, para cada k ∈ {0,1, . . . , n} denotamos

G∗k = {χ′ ∈ G∗ ∶ χ′(gl) = χ(gl), ∀l ∈ {1, . . . , k}}.

De la definicion de estos conjuntos se tiene que G∗k ⊆ G

∗k−1, ası podemos formar la siguiente

sucesion de contenciones:

{χ} = G∗n ⊆ G∗

n−1 ⊆ ⋯ ⊆ G∗k ⊆ G

∗k−1 ⊆ ⋯ ⊆ G∗

0 = G∗.

Se sigue que

hj − hχj =⎛⎝ ∑χ′∈G∗

hχ′

j

⎞⎠− hχj =

n

∑k=1

⎛⎜⎝

∑χ′∈G∗

k−1−G∗

k

hχ′

j

⎞⎟⎠=

n

∑k=1

⎛⎜⎝∑

χ′∈G∗

k−1

hχ′

j − ∑χ′∈G∗

k

hχ′

j

⎞⎟⎠,

y por lo tanto se tiene

∥hj − hχj ∥ ≤n

∑k=1

XXXXXXXXXXXXX∑

χ′∈(G∗)k−1

hχ′

j − ∑χ′∈G∗

k

hχ′

j

XXXXXXXXXXXXX.

63

Capıtulo 3

Para cada k ∈ {1, . . . , n}, se tiene

XXXXXXXXXXXXX∑

χ′∈G∗

k−1

hχ′

j − ∑χ′∈G∗

k

hχ′

j

XXXXXXXXXXXXX

2

=XXXXXXXXXXXX

∑χ′∈G∗

k−1/G∗

k

hχ′

j

XXXXXXXXXXXX

2

= ∑χ′∈G∗

k−1/G∗

k

∥hχ′

j ∥2

≤ ∣χ′(gk) − χ(gk)∣2

C2 ∑χ′∈(G∗)k−1/G

∗

k

∥hχ′

j ∥2

= 1

C2 ∑χ′∈G∗

k−1/G∗

k

∣χ′(gk) − χ(gk)∣2 ∥hχ′

j ∥2

≤ 1

C2 ∑χ′∈G∗

∣χ′(gk) − χ(gk)∣2 ∥hχ′

j ∥2

= 1

C2

XXXXXXXXXXX∑χ′∈G∗

(χ′(gk) − χ(gk))hχ′

j

XXXXXXXXXXX

2

= 1

C2


χ′(gk)hχ′

j − ∑χ′∈G∗

χ(gk)hχ′

j

XXXXXXXXXXX

2

= 1

C2


χ′(gk)hχ′

j − χ(gk) ∑χ′∈G∗

hχ′

j

XXXXXXXXXXX

2

= 1

C2


ρgk(hχ′

j ) − χ(gk)hjXXXXXXXXXXX

2

= 1

C2∥ρgk(hj) − πgk(hj)∥

2

< 1

C2ε2

= 1

C2(Cηn

)2

= η2

n2,

y por eso,

∥hj − hχj ∥ <n

∑k=1

η

n= η,

como se querıa.

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Bibliografıa

[1] A. Arhangel’skii and M. Tkachenko. Topological groups and related structures. AtlantisPress, 2008.

[2] Atiyah Michael and Segal Graem. Twisted K-theory. Ukranian Mathematical Bulletin,1(3):291–334, 2004.

[3] N. Barcenas, J. Espinoza, M. Joachim, and B. Uribe. Classification of twists in equiva-riant k-theory for proper and discrete actions. http://arxiv.org/abs/1202.1880, Febrero2012.

[4] R. G. . Bartle. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley ClassicsLibrary, 1995.

[5] F. Bien. Construction of telephone networks by group representations. Notices A. M.S, 36:5–22, 1989.

[6] F. Chung, B. Kostant, and S. Sternberg. Groups and the buckyball. Birkhauser, 1994.

[7] F. Chung and S. Sternberg. Mathematics and the buckyball. American Scientist,83:56–71, 1993.

[8] R. Connelly and A. Back. Mathematics and tensegrity. Amer Scientist, pages 142–151,1998.

[9] A. Connes. Formule de traces en geometrie non-commutative et hypothese de riemann.C. R. Acad. Sci. Paris, 323:1231–1236, 1996.

[10] F. Constantinescu and F. Toppan. On the linearized artin braid representation. J.Knot Theory and its Ramifications, 2, 1993.

[11] M. Craddock. The symmetry groups of linear partial differential equations and repre-sentation theory, i. J. Diff. Equations, 116:202–247, 1995.

[12] C. W. Curtis. Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, andBrauer. AMS and the London Mathematical Society, 2000.

[13] M. Dolezal. Unitary representations of finite abelian groups realizable by an action.Topology and its Applications, 164:87–94, 2014.

[14] J. Dugundji. Topology. Allyn and Bacon, Inc., 1966.

[15] D. S. Dummit and R. M. Foote. Abstract Algebra. John Wiley and Sons, 2004.

65

[16] J. Espinoza and B. Uribe. Topological properties of the unitary group. JP Journal ofGeometry and Topology, 16(1):45–55, October 2014.

[17] W. Fulton and J. Harris. Representation Theory. A First Course. Springer-Verlag,1991.

[18] H. Georgi. Lie Algebras in Particle Physics. Addison-Wesley, 1995.

[19] K. Gohberg, Goldberg. Basic Classes of Linear Operators. Birkhauser, 2003.

[20] A. Kechris. Global Aspects of Ergodic Group Actions, volume 160. MathematicalSurveys and Monographs, 2010.

[21] N. H. Kuiper. The homotopy type of unitary group of hilbert space. Topology, 3:19–30,1965.

[22] L. S. Pontryagin. Topological Groups. CRC Press;, 1987.

[23] C. Robles and J. C. Avila. Topologıa. Universidad de Sonora, 2009.

[24] D. Sattinger and O. Weaver. Lie Groups and Algebras With Applications to Physics,Geometry, and Mechanics, volume 61. Applied Mathematical Sciences, 1986.

[25] M. Schottenloher. The unitary group in its strong topology. arXiv:1309.5891[math.FA], September 2013.

[26] J. P. Serre. Linear Representations of Finite Groups. Springer, 1977.

[27] Singer and Thorpe. Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer,1967.

[28] V. Vladimirov. On the freund-witten adelic formula for veneziano amplitudes. Lettersin Math. Physics, 27:123–131, 1993.

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