Universidad de Sonora Departamento de Física

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano

© 2013

Temario

1. Propiedades ondulatorias de las partículas.

2. Estructura atómica.

3. Mecánica cuántica.

4. Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.

5. Átomos de muchos electrones.

6. Moléculas.

7. Mecánica estadística.

8. Estado sólido.

Temario

1. Propiedades ondulatorias de las partículas.

1. Ondas de De Broglie.

2. La función de onda.

3. El principio de incertidumbre.

1. Ondas de De Broglie

A principios de la década de 1920 se había aceptado que la teoría de

Bohr no estaba completa:

Fracasaba en la predicción de las intensidades observadas en las

líneas espectrales.

Era parcialmente exitosa para predecir las longitudes de ondas de

emisión y absorción para átomos de muchos electrones.

No proporcionaba una ecuación de movimiento que rigiese la

evolución temporal de los sistemas atómicos, a partir de un estado

inicial.

Recalcaba en exceso la naturaleza corpuscular de la materia y no

podía explicar la recién descubierta dualidad onda-partícula de la luz.

No proporcionaba un esquema general para “cuantizar” otros sistemas,

especialmente aquellos que no presentaban un movimiento periódico.

El primer paso hacia una nueva mecánica de los sistemas atómicos fue

dado en 1923 por el físico francés Louis Víctor de Broglie.

1. Ondas de De Broglie

De Broglie en su tesis doctoral postuló que,

debido a que los fotones poseen características

ondulatorias y corpusculares, quizá todas las

formas de la materia también tengan propiedades

ondulatorias y corpusculares.

En 1923 esta idea no tenía ninguna evidencia

experimental; sin embargo, en 1927 Clinton J.

Davisson (1881-1958) y Lester H. Germer (1896-

1971) lograron una prueba experimental que

confirmó la idea de de Broglie: la difracción de

electrones no relativistas mediante un cristal.

Clinton J. Davisson (izquierda) y

Lester H. Germer (centro) en los Bell

Laboratories en Nueva York.

Louis Víctor de Broglie

(1892-1987).

1. Ondas de De Broglie

A continuación revisemos con un poco más de detalle la idea de de

Broglie.

Un fotón de frecuencia n tiene un momento p dado por

donde hemos usado que ln = c.

Por lo tanto, podemos escribir la longitud de onda de un fotón, en

términos de su momento, como

Considerando la idea de de Broglie, para una partícula de masa m y

velocidad v, podemos escribir su longitud de onda de de Broglie como

donde se ha tomado p = gmv, y el factor relativista g definido como

E h hp

c c

n

l

h

pl

h

mvl

g

2

2

1

1 vc

g

1. Ondas de De Broglie

La expresión anterior implica que, conforme aumenta el momento de la

partícula, la longitud de de Broglie asociada disminuye, y viceversa.

Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas (fotones), los

aspectos de onda y partícula de un objeto en movimiento no se pueden

observar de manera simultánea, por lo que no podemos decir cuál es la

descripción “correcta”.

Es importante mencionar que lo único que podemos decir es que en

ciertas situaciones un objeto en movimiento se comporta como onda y en

otras situaciones lo hace como partícula.

Las propiedades ondulatorias de un objeto toman relevancia cuando su

longitud de onda de de Broglie, dada por

es comparable con las dimensiones propias y de su entorno de interacción.

h

mvl

g

2. La función de Onda

La onda de materia que representa a una partícula en movimiento debe

reflejar el hecho de que esta tiene una gran probabilidad de ser encontrada

en una pequeña región del espacio sólo en un tiempo específico.

Una onda sinusoidal de extensión infinita y amplitud constante NO puede

representar apropiadamente a una partícula localizada en movimiento; por lo

que se requiere un pulso, grupo de ondas o paquete de ondas de extensión

espacial limitada, el cual puede formarse sumando ondas sinusoidales con

longitudes de ondas diferentes.

Se puede demostrar que este paquete de ondas se mueve a una

velocidad de grupo vg, idéntica a la velocidad clásica de la partícula.

En realidad todas las ondas observadas están limitadas a regiones

definidas del espacio, por lo que una onda plana con una longitud de onda

exacta y extensión infinita es una abstracción

2. La función de Onda

a) Partícula de masa m y

velocidad v0.

b) Superposición de muchas

ondas de materia con una

dispersión de longitudes

de onda centradas en l0 =

mv0, que representa

correctamente a la misma

partícula

Representación de una partícula mediante ondas

2. La función de Onda

Para continuar, vamos a considerar una onda unidimensional que se

propaga en la dirección x positiva con una velocidad de fase (o velocidad de

la onda viajera) vp, la cual puede escribirse como

donde l y f están relacionadas por

O, en términos del número de onda k (= 2p/l) y la frecuencia angular w (=2pf)

con

2( , ) 2

xy x t ACos ft

pp

l

pv fl

( , )y x t ACos kx tw

pvk

w

2. La función de Onda

A continuación consideremos que se tienen dos ondas viajando a la

derecha con la misma amplitud, pero longitudes de onda, frecuencias y

velocidad de fase ligeramente diferentes:

y

con lo que la onda resultante es

Esta expresión puede simplificarse si usamos la identidad

1 1 1( , )y x t ACos k x tw 2 2 2( , )y x t ACos k x tw

1 1 2 2( , )Ry x t A Cos k x t Cos k x tw w

22 2

a b a bCosa Cosb Cos Cos

2. La función de Onda

Con ello, la expresión para la onda resultante se puede rescribir como

Para el caso de dos ondas con valores de k y w, ligeramente diferentes se

observa que Dk = k2 - k1 y Dw = w2 - w1 son pequeños, pero k2 + k1 y w2 + w1 son

grandes

12 1 2 1 22

12 1 12

2( , )R ACos k k x ty x t Cos k k x tw w ww

Lo anterior puede

interpretarse como una

envolvente sinusoidal

ancha (la parte en rojo)

que limita o modula

una onda de alta

frecuencia dentro de la

envolvente (la parte en

negro).

2. La función de Onda

Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a

una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes

comunes a modelos más complicados.

1. La envolvente y la onda en su interior se mueven a velocidades

diferentes:

• Para la onda dentro de la envolvente

• Para la onda envolvente (o grupo)

2 1 1

1

2 1 1

/ 2

/ 2pv v

k k k

w w w

2 1

2 1

/ 2

/ 2gv

k k k

w w w D

D

2. La función de Onda

Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a

una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes

comunes a modelos más complicados.

2. Mientras más pequeño es el ancho espacial del pulso, Dx, mayor es el

intervalo de longitudes de onda o números de onda, Dk, necesario para

formar el pulso, matemáticamente planteado como

3. De manera semejante, si la duración temporal, Dt, del pulso es pequeña,

se requiere una amplia distribución de frecuencias, Dw, para formar el

grupo, es decir

Estas ecuaciones constituyen relaciones de incertidumbre o

relaciones de reciprocidad para pulsos de cualquier tipo:

electromagnéticos, sonoros e, incluso, ondas de materia.

1x kD D

1t wD D

3. El principio de incertidumbre

El principio de incertidumbre de Heisenberg

establece que “es imposible conocer de manera

simultánea y exacta la posición y el momento de un

objeto”. Dicho principio fue descubierto por W.

Heisenberg en 1927, siendo uno de los más significativos

de las leyes físicas.

Es necesario un análisis formal para justificar la

conclusión anterior y estar en condiciones de

cuantificarla; no basta considerar un paquete de ondas

formado por dos ondas armónicas como se hizo

anteriormente.

De hecho, se necesita un número infinito de ondas

a

Werner Karl Heisenberg

(1901-1976).

armónicas con diferentes frecuencias, números de onda y amplitudes para

tener un grupo aislado de forma arbitraria.

En tal caso, vamos a requerir de una herramienta desarrollada por Joseph

Fourier y que se conoce como análisis de Fourier.

3. El principio de incertidumbre

El análisis de Fourier surgió a partir del

intento de éste matemático francés por hallar

la solución a un problema práctico, la

conducción del calor en un anillo de hierro.

Fourier demostró que se puede

descomponer una función periódica en

series trigonométricas convergentes

(basadas en senos y cosenos) y que, en su

honor, reciben el nombre de Series de

Fourier.

Las ondas armónicas continuas e infinitas

no existen realmente, ya que los sistemas

están limitados tanto espacial como

temporalmente, así que toma sentido analizar

ondas localizadas.

Jean Baptiste Joseph Fourier

(1768-1830)

3. El principio de incertidumbre

Para formar un pulso que sea cero en todas partes fuera de un intervalo

espacial finito Dx, se requiere sumar un número infinito de ondas armónicas

cuyas longitudes de onda y amplitudes varíen de manera continua. Esta

suma puede efectuarse con una integral de Fourier.

Siguiendo la idea anterior, a un cierto tiempo t, el grupo de ondas

localizado espacialmente, yR(x), se puede representar mediante la integral de

Fourier

donde la función g(k) describe cómo la amplitud de las ondas que

contribuyen a yR(x) varía con el número de onda k (=2p/l), y eikx es la

expresión abreviada de Euler para una onda armónica.

La función g(k) recibe el nombre de Transformada de Fourier de yR(x).

1( ) ( )

2

ikx

Ry x g k e dkp

3. El principio de incertidumbre

Si se conoce yR(x), la función de distribución de amplitud o Transformada

de Fourier g(k) se puede obtener mediante la expresión

Este par de ecuaciones son válidas para el caso de un pulso espacial en

un tiempo dado, pero es importante mencionar que son matemáticamente

idénticas al caso de un pulso temporal que pasa por una posición fija. En este

segundo caso, bastará hacer los cambios x por t y k por w, resultando

1( ) ( )

2

ikx

Rg k y x e dxp

1( ) ( )

2

i tf t F e dww wp

1( ) ( )

2

i tF f t e dtwwp

Transformada de Fourier

Transformada inversa de Fourier

3. El principio de incertidumbre

Regresando a nuestro asunto de interés, se requiere conocer qué valores

toma (o puede tomar) el producto Dx∙Dk.

Sin entrar en detalles, se puede mostrar que la relación entre la distancia

Dx y la dispersión del número de onda Dk depende del aspecto del paquete

de ondas y también de la forma en cómo sean definidos Dx y Dk.

3. El principio de incertidumbre

El valor mínimo del producto Dx∙Dk ocurre cuando la envolvente del

paquete de ondas tiene la conocida forma de campana de la función

Gaussiana; en este caso, la transformada de Fourier tiene la misma forma que

la función original, tal como se muestra en la figura.

Si Dx y Dk se toman como las

desviaciones estándar del grupo de ondas

y su transformada, respectivamente, se

encuentra que el valor que toma el

producto Dx∙Dk es ½, por lo que al

corresponder al valor mínimo, permite

escribir que

1

2x kD D

3. El principio de incertidumbre

Por otro lado, la longitud de onda de de Broglie para una partícula de

momento p es l = h / p, y su correspondiente número de onda es

de donde

Con esto, podemos escribir la relación de incertidumbre

como

La relación anterior es el bien conocido principio de incertidumbre de

Heisenberg:

2 1

2

px

h

pD D

2 pk

h

p

2 pk

h

pDD

1

2x kD D

4

hx p

pD D

3. El principio de incertidumbre

La desigualdad anterior implica que, en cualquier instante, el producto

de la incertidumbre en la posición de un objeto (Dx) por la incertidumbre en

su momento (Dp) tiene el valor mínimo de h/4p, independientemente de la

precisión con que se intente medir, es decir, no es un problema de medición,

sino de la propia naturaleza de las cantidades física involucradas.

Finalmente, dado la aparición recurrente en la física moderna del

término h/2p, resulta útil abreviarlo mediante el empleo de la constante

reducida de Planck o “h barra”:

Con lo que podemos escribir el principio de incertidumbre de Heisenberg

como

2x pD D

341.054571628 102

hJ s

p

Universidad de Sonora Departamento de Física

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano

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