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UNIVERSIDAD DE SONORA

DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Programa de Licenciado en Matemáticas

Estabilización deslizante de una familia robusta de

sistemas lineales positivos.

T E S I S

Que para obtener el título de:

Licenciado en Matemáticas

Presenta:

Daniel Rubal Valencia

Director de tesis: M.C. Horacio Leyva Castellanos

Hermosillo, Sonora, México 10 de Diciembre de 2014

SINODALES

Dr. Carrillo Navarro Francisco ArmandoUniversidad de Sonora, Hermosillo, México

M.C. Leyva Castellanos HoracioUniversidad de Sonora, Hermosillo, México

Dr. Olmos Liceaga DanielUniversidad de Sonora, Hermosillo, México

Dr. Verduzco González FernandoUniversidad de Sonora, Hermosillo, México

Índice general

Dedicatoria 7

Agradecimientos 9

Introducción 11

1. Teoría de modos deslizantes para sistemas a�nes 13

1.1. De�nición de modo deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Condiciones invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Condiciones de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Sistemas lineales positivos 27

2.1. Algunos conceptos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. El teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler . . . . 282.3. Existencia y diseño de una familia de hiperplanos deslizantes . 29

3. Estabilización de sistemas positivos mediante modos desli-

zantes 33

3.1. Mezcla con dos tanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.1. Ejemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Estabilización de la insulina via modos deslizantes con controlpara T1DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1. Estabilización de insulina implica estabilización de glu-

cosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Robustez de la estabilidad de una familia de sistemas lineales 47

4.1. La estabilidad Hurwitz robusta de matrices Metzlerianas . . . 474.2. Estabilidad deslizante de una familia robusta de sistemas lineales 49

5

6 ÍNDICE GENERAL

4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.1. El caso de mezcla con dos tanques . . . . . . . . . . . . 504.3.2. El Modelo de la Insulina . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Conclusiones 57

Bibliografía 59

Dedicatoria

Dedicado a mi Papá,mi hermano, mi familia y a Paola,

pero en especial a mi Mamá.

7

8 DEDICATORIA

Agradecimientos

Quiero agradecer primero que nada a mi papá Abel Rubal Rodríguez queme dio todo su apoyo y todo su amor en esta etapa donde lo menos que hicefue agradecerle, hoy intento compensar un poco eso haciéndole saber que sinél, nada de esto fuera posible, espero que mis éxitos tambien sean tus éxitos.

A mi hermano Abel E. Rubal Valencia que siempre estuvo al pendientede mí y me sacó de muchos apuros cuando yo lo necesité en esta etapa, conel comparto cada uno de mis logros, de antemano gracias hermano a ti y ami papá por haber hecho que mi vida fuera un poco más fácil cuando nopasabamos por los mejores momentos.

A mi familia que siempre estuvo apoyándome en cada momento y semantuvo al tanto de mi progreso, gracias por echarme la mano cuando lonecesite.

A mis amigos que siguieron mis pasos por este andar, que aguantarontodo el tiempo sin saber de mi por estar siempre ocupado con la licenciatura,quiero agradecerles su apoyo y el estar conmigo en los momentos cuando lonecesité, también a los nuevos amigos que hice en la universidad, la verdadque sin ellos esta carrera hubiera sido mucho más complicada de lo que fue,cuantas tardes de tareas no compartimos, estar prácticamente toda la semanametidos en la biblioteca y también estando sábados y domingos, muchasgracias por abrirme las puertas de su casa y por todo el apoyo que siempreme dieron, gracias.

A mis profesores que fueron parte fundamental de mi formación, graciaspor todo el apoyo mostrado, en especial a mi director de tesis M.C. Hora-cio Leyva por estar siempre atento a cada paso que daba de la tesis y porsu paciencia. También a mis sinodales Dr. Francisco Carrillo, Dr. FernandoVerduzco y Dr. Daniel Olmos, por sus correciones y su ayuda en este trabajo.

Y por último a esas dos personas especiales en mi vida.

9

10 AGRADECIMIENTOS

A Paola E. Onuma Aganza que fue mi principal motor en los últimossemestres de la licenciatura, ella llegó en el momento justo para darme ánimosy darme su apoyo incondicional. Te agradezco tanto y de todo corazón el quehayas estado a mi lado todo este tiempo siendo tan paciente y comprensivade las situaciones por las que pasé, la verdad es que sin tí no se que sería demí ahora, gracias por tus consejos, por tu apoyo y por todo el amor mostrado,simple y sencillamente, muchas gracias por todo.

Y a la persona más importante de mi vida, a mi mamá Sonia HaydeéValencia Hernández que gracias a ella hoy soy una persona de bien y me hesuperado a cada momento, sus consejos y su ayuda fueron de vital impor-tancia en mi vida, hoy este logro más que mio es de ella, ella siempre luchóhasta el �nal por verme aquí y aquí estoy gracias a todo ese esfuerzo quepuso, siempre te llevare conmigo y se que estás orgullosa de este logro, sabesque todo lo que viene de ahora en adelante es gracias a ti mamá, tu siguespresente en cada logro, muchas gracias por todo tu amor mostrado duranteestos 22 años de mi vida, tengo que decirte muchas gracias mamá, un besoy un abrazo hasta el cielo para ti mamá, 27/03/72 - 20/07/14.

Muy agradecido con todosy con todo mi cariño, Daniel.

En la vida siempre habrá obstáculos difíciles de superar, pero depende deti y solo de ti el aceptarlos, ser valiente y enfrentarlos, solo así podrás superarcada uno de ellos y salir adelante.

Daniel Rubal Valencia.

Introducción

En este trabajo de tesis estudiamos la estabilización de una familia desistemas positivos lineales. Al considerar el parámetro de control, buscamosresolver un problema de estabilización con el objetivo de agregar dos carac-terísticas: lograr una mejor tasa de estabilización y describir la robustez dela estabilización. Para mejorar la tasa de estabilización hacemos uso de algu-nos resultados de la teoría de modos deslizantes; para describir la robustezaplicamos un teorema especí�co para esta familia de sistemas.

Consideremos el sistema lineal

x = Ax+ bu,

donde x ∈ Rn es la variable de estado, u ∈ [r1, r2] ⊂ R el parámetro decontrol, A ∈ Rn×n y b ∈ Rn.

Considerando una familia de sistemas lineales positivos (donde Rn+ es

invariante) con control escalar no negativo, y resultados de la teoría de modosdeslizantes para sistemas a�nes descritos en [15], logramos un diseño de lafunción de control para mejorar la tasa de estabilización de los sistemasretroalimentados. También analizamos la robustez de la estabilidad de lossistemas positivos que abordamos en este trabajo (ver, [5]). La motivaciónde estudiar la estabilidad de tal familia de sistemas se debe a que representansistemas compartimentales, en tales modelos es importante que las variables yparámetros sean no negativas ó estrictamente positivas. Hay ejemplos de talessistemas en el área económica, balance de masa, dinámica de poblaciones, etc.

En tal planteamiento, consideramos a los sistemas lineales como un casoparticular del sistema afín

x = f(x) + g(x)u,

donde x ∈ Rn es la variable de estado, u : Rn −→ R es el parámetro decontrol y f, g : Rn −→ Rn son campos vectoriales suaves.

11

12 INTRODUCCIÓN

En el primer capítulo se describe a grandes rasgos acerca de los modosdeslizantes para sistemas a�nes; se ve su de�nición, las condiciones para queel modo deslizante exista y se retoma lo de sistemas a�nes para el caso desistema lineal, por otra parte, se dan ejemplos de aplicación que nos ilustranlos conceptos que rodean a lo que re�ere el tema modos deslizantes.

En el segundo capítulo se explica acerca de los sistemas positivos, don-de nos adentramos a las de�niciones importantes que nos ayudan a seguiradelante en este trabajo, tales como la de matriz Metzler, matriz Hurwitz,matriz compartimental y mas adelante tambien la de matriz Metzleriana, lascuales nos ayudan a tener una clase de sistemas dinámicos mas en especí�co,a los cuales podremos aplicarles también el teorema de Frobenius-Perron. Seelabora un diseño de familias de hiperplanos delizantes que nos llevaran alsiguiente capítulo.

En el tercer capítulo se observa la conjunción de los temas anterioresaplicados en dos sistemas: en el primero de ellos se aborda el análisis deestabilización del sistema de control que representa la dinámica de la con-centración en dos tanques, donde presentamos condiciones necesarias paraque ocurra el deslizamiento, y por lo tanto mejorar la tasa de estabilización.El siguiente sistema con el que se trabaja es la estabilización de la insulinabasado en el modelo de Sorensen, vía modos deslizantes con control y deigual manera que para el caso de los dos tanques se presentan condicionesnecesarias para que ocurra el deslizamiento y por tanto mejorar la tasa deestabilización.

En el cuarto y último capítulo, se aborda sobre el tema de la robustez parael sistema lineal, para la cual se utiliza la de�nición de matriz Metzlerianay también la de matriz Hurtwitz estable, las cuales nos llevan a desarrollarun teorema el cual se aplica a los sistemas anteriormente mencionados, tantoal de los dos tanques como al de la insulina, para obtener así, no solo unasolución que estabilice nuestro sistema, sino, una familia de ellas.

Capítulo 1

Teoría de modos deslizantes parasistemas a�nes

Es conocido que la estabilización y robustez que caracteriza a los siste-mas con parte derecha discontinua es apreciada en las aplicaciones, por ellopresentamos los siguientes resultados para sistemas a�nes expuestos en [15].

Se consideran las ecuaciones diferenciales en el sentido de Filippov [8],con el �n de prever la posibilidad de utilizar las señales discontinuas en loscontroles. Las soluciones de Filippov coinciden con las soluciones habituales,cuando los lados derechos son Lipschitz. Se supone también que todos lasentradas consideradas permiten la existencia de soluciones y su extensión atodo el semieje t ≥ 0.

1.1. De�nición de modo deslizante

Consideramos el sistema dinámico no lineal

x = f(x) + g(x)u, (1.1)

donde x ∈ X, un conjunto abierto de Rn; la función de entrada del controlu : Rn −→ R es posiblemente de un carácter discontinuo; y f , g son camposvectoriales de clase C1 de�nidos en X con g(x) 6= 0, ∀x ∈ X. Sea s unafunción suave s : X −→ R, con un gradiente distinto de cero en X. Elconjunto

S := {x ∈ X ⊂ Rn : s(x) = 0}, (1.2)

13

14CAPÍTULO 1. TEORÍA DE MODOS DESLIZANTES PARA SISTEMAS

AFINES

entonces de�ne una subvariedad (n−1)-dimensional localmente regular en X(ver, [6]), llamada de ahora en adelante la variedad deslizante o la super�ciede cambio. La función escalar s a menudo sera abordada como la función desuper�cie coordenada.

Todos los resultados expuestos en esta sección son de un carácter local,restringido a una vecindad abiertaX ∈ Rn teniendo una intersección no vacíacon la variedad deslizante S.

Una ley de control de estructura variable se obtiene al permitir que lafunción de control u tome uno de dos valores obtenidos de acuerdo con elsigno de s(x), y es de�nida por

u =

{r+ para s(x) > 0r− para s(x) < 0

, (1.3)

con r+ 6= r−.Las leyes de control obtenidas r+ y r− se re�eren a los valores extremos

del control. Se supone que satisface r+ > r−. Sea Lhσ la derivada direccional(ver, [6]) de la función escalar σ con respecto al campo vectorial h.

Supongamos que como resultado de la norma del control (1.3) las trayec-torias de estado de (1.1) alcanza localmente la super�cie de deslizamiento Sy, de ahí en adelante, su movimiento se ve limitado a una vecindad de S.Decimos que existe un régimen de deslizamiento en S (ver, [18]), siempre que

lıms→0+

Lf+gr+s < 0, lıms→0−

Lf+gr−s > 0 , (1.4)

i.e, la velocidad de cambio de la función escalar de la super�cie coordenadas(x), medida en la dirección del campo controlado, es tal que un cruce de lasuper�cie está garantizada, de cada lado de la super�cie, por el uso de la leyde control (1.3).

Sea ds una forma correspondiente al gradiente de s(x) y sea 〈, 〉 el produc-to escalar de vectores y co-vectores en su relación funcional. Las condiciones(1.4) son equivalentes a

lıms→0+〈ds, f + gr+〉 < 0, lım

s→0−〈ds, f + gr−〉 > 0 , (1.5)

la cual alternativamente explica que en S, las proyecciones del campo vecto-rial controlado f + gr+ y f + gr− en el vector gradiente a s son opuestos ensigno y por lo tanto el campo controlado localmente apunta hacia la super�cieS.

1.2. CONDICIONES INVARIANTES 15

Figura 1.1: Deslizamiento sobre la super�cie S.

1.2. Condiciones invariantes

Una de�nición del movimiento de deslizamiento ideal es dada por Utkinen [18]. Esta de�nición es conocida como el método de control equivalente. Eneste enfoque, los movimientos de deslizamiento ideales se describen mediantelas siguientes condiciones de invariancia:

s = 0, Lf+gueq(x)s = 〈ds, f + gueq(x)〉 = 0 , (1.6)

donde ueq(x) es un control retroalimentado suave para el cual S es una varie-dad integral local o una variedad invariante local de (1.1). La función del con-trol retroalimentado ueq(x) es llamado el control equivalente. De la de�niciónde derivada direccional y de (1.6), podemos obtener el control equivalente.

Tenemos que〈ds, f + gueq(x)〉 = 0,

por lo que〈ds, f〉+ 〈ds, gueq(x)〉 = 0,

lo cual implica queueq(x)〈ds, g〉 = −〈ds, f〉,

por lo tanto

ueq(x) = −LfsLgs

= −〈ds, f〉〈ds, g〉

. (1.7)

El sistema dinámico x = f(x) + g(x)ueq(x) describe la dinámica ideal dedeslizamiento.


AFINES

1.3. Condiciones de existencia

Decimos que el control equivalente está bien de�nido siempre que existay está determinado en forma única por las condiciones de invariancia.

Lema 1. Una condición necesaria y su�ciente para que el control equivalenteeste bien de�nido es que la condición de transversalidad

〈ds, g〉 6= 0 , (1.8)

se satisface localmente en S.

Demostración. Supongamos que el control equivalente (1.7) esta bien de�ni-do. Entonces necesariamente 〈ds, g〉 6= 0 en S ya que, de otro modo, 〈ds, f〉tendría que ser cero para que el control equivalente exista. Sin embargo, eneste caso, ueq(x) no estaría de�nido de forma única ya que (1.6) se esta-ría satisfaciendo por cualquier control con función u. Si en el otro sentido,〈ds, g〉 6= 0 en S, entonces de manera evidente ueq existe. Supongamos, paraprobar unicidad, que la condición de invariancia se satisface por dos contro-les equivalentes, u1eq y u2eq, mientras que la condición de transversalidad esválida, entonces de (1.6) se sigue que

〈ds, f + gu1eq(x)〉 = 〈ds, f + gu2eq(x)〉 = 0,

donde podemos ver que

〈ds, f〉+ 〈ds, gu1eq(x)〉 − 〈ds, f〉 − 〈ds, gu2eq(x)〉 = 0,

de manera evidente

u1eq(x)〈ds, g〉 − u2eq(x)〈ds, g〉 = 0,

por lo tanto(u1eq − u2eq) 〈ds, g〉 = 0,

lo cual es una contradicción en virtud de (1.3) y el supuesto señalado.

La condición de transversalidad solo representa una condición necesariapara la existencia del deslizamiento, como lo demuestra el siguiente Lema.

Lema 2. Si el deslizamiento existe localmente en S entonces

〈ds, g〉 < 0 , (1.9)

en S.

1.3. CONDICIONES DE EXISTENCIA 17

Demostración. De la de�nición de deslizamiento dada en (1.4) o (1.5), tene-mos que, en S,

〈ds, f + gr+〉 < 0 y 〈ds, f + gr−〉 > 0,

de aquí que〈ds, f + gr+〉 < 〈ds, f + gr−〉,

lo que implica que

〈ds, f + gr+〉 − 〈ds, f + gr−〉 < 0,

donde〈ds, f〉+ 〈ds, gr+〉 − 〈ds, f〉 − 〈ds, gr−〉 < 0,

por lo tanto,〈ds, (r+ − r−)g〉 = (r+ − r−)〈ds, g〉 < 0.

El resultado se sigue de que r+ > r−.

Observación 1. Notamos que el signo de la condición de transversalidades arbritrario y depende en la orientación de S. Por ejemplo, si en (1.2) sede�ne S usando s1(x) = −s(x), lógicamente (1.3) cambia y la condición detransversalidad adopta la forma 〈ds1, g〉 > 0.

El siguiente corolario es una consecuencia directa del Lema 1 y el Lema2.

Corolario 1. Una condición necesaria para la existencia del deslizamientolocal en S es que el control equivalente este bien de�nido en S.

Teorema 1. Una condición necesaria y su�ciente para la existencia del des-lizamiento en S es que localmente en X

r− < ueq(x) < r+ , (1.10)

para x ∈ S.

Demostración. Supongamos que el deslizamiento local existe en S, entoncesde (1.5) se sigue que localmente en S,

〈ds, f + gr+〉 = 〈ds, f〉+ r+〈ds, g〉 < 0,


AFINES

donde〈ds, f〉 < −r+〈ds, g〉,

por Lema 2, 〈ds, g〉 < 0, entonces

〈ds, f〉〈ds, g〉

> −r+,

por virtud de (1.7)

〈ds, f〉〈ds, g〉

+ r+ = −ueq(x) + r+ > 0,

por lo tantoueq(x) < r+.

Por otra parte, en S, 〈ds, f + r−g〉 > 0; usando los mismos argumentosse sigue que

−ueq(x) + r− < 0,

por lo tantor− < ueq(x).

Entonces concluimos que

r− < ueq(x) < r+.

Ahora, para probar la implicación inversa en el teorema, sea ueq(x) unafunción suave satisfaciendo (1.7) y (1.10). De esto se deduce que

0 < ueq(x)− r− < r+ − r−,

y por tanto,0 < weq(x) < 1,

donde weq(x) := (ueq(x)−r−)

(r+−r−). De esto es fácil ver que 0 < 1−weq(x) < 1 y por

tantoweq(x)〈ds, f + gr+〉+ (1− weq(x))〈ds, f + gr−〉

=(ueq(x)− r−)

(r+ − r−)〈ds, f + gr+〉+ 〈ds, f + gr−〉 − (ueq(x)− r−)

(r+ − r−)〈ds, f + gr−〉

=(ueq(x)− r−)

(r+ − r−)(〈ds, gr+〉 − 〈ds, gr−〉) + 〈ds, f + gr−〉


=(ueq(x)− r−)

(r+ − r−)(r+〈ds, g〉 − r−〈ds, g〉) + 〈ds, f + gr−〉

= (ueq(x)− r−)(〈ds, g〉) + 〈ds, f〉+ 〈ds, gr−〉= ueq(x)〈ds, g〉+ 〈ds, f〉 = 〈ds, f〉+ 〈ds, gueq(x)〉

= 〈ds, f + gueq(x)〉 = 0

Hay que observar que las cantidades 〈ds, f + gr+〉 y 〈ds, f + gr−〉 son designos opuestos en S. Ya que la orientación de S es arbitraria siempre sepuede de�nir de tal manera que

〈ds, f + gr−〉 > 0

y entonces 〈ds, f + gr+〉 < 0. Sin embargo, esto signi�ca que el control

u =

{r+ para s(x) > 0r− para s(x) < 0

(1.11)

actua en el sistema (1.1) satisfaciendo

〈ds, f + gr+〉 |s=0= lıms→0+〈ds, f + gr+〉 = lım

s→0+Lf+gr+s < 0

y〈ds, f + gr−〉 |s=0= lım

s→0−〈ds, f + gr−〉 = lım

s→0−Lf+gr−s > 0,

i.e, el deslizamiento existe en S.

Ejemplo 1. Consideremos el sistema afín en el plano

(xy

)=

s2

1 + s2−1

1s2

1 + s2

( xy

)−(xy

)u,

donde s =√x2 + y2 − 3 es la función de cambio y el control u = 0.5 +

0.5(signo(√x2 + y2 − 3)).

Realizando los cálculos pertinentes, tenemos que el sistema en coordena-das polares queda descrito de la siguiente manera:

r =(r − r0)2

1 + (r − r0)2− u,

θ = 1,


AFINES

con r0 = 3 y control u ∈ U = [0, 1].

Una retroalimentación deslizante discontinua del sitema afín:

u(r) =

{1 para r > r0

0 para r ≤ r0

El campo vectorial correspondiente al control discontinuo u := 0.5 ∗ (1 +signo(r − r0)) es el siguiente.

Figura 1.2: Campo vectorial correspondiente al control discontinuo.

Podemos obtener también una retroalimentación de nuestro sistema afínde tal manera que el control que utilizamos es uno continuo, el cálculo de estese puede ver en [11]. Por tanto, la retroalimentación estabilizante continuadel sistema afín es

u(r) =

{1−

[1

(1+p2)(1+p2)

]npara r > r0

0 para r ≤ r0

con p = (r − r0).


Tal que el sistema realimentado, para n = 1 y r ≥ r0, nos queda

r =(r − r0)2

1 + (r − r0)2− u(r)

=(r − r0)2

1 + (r − r0)2− 1 +

[1

(1 + p2)1+p2

]n= − 1

1 + (r − r0)2+

1

(1 + p2)1+p2

= − 1

(1 + p2)+

1

(1 + p2)

1

(1 + p2)p2

=1

1 + p2

(−1 +

1

(1 + p2)p2

),

�nalmente

r =1

1 + p2

(−1 +

1

(1 + p2)p2

)< 0 si p > 0.

El campo vectorial correspondiente al control continuo se ve en la �gura1.3.

Figura 1.3: Campo vectorial correspondiente al control continuo.

Para r = r0 la circunferencia es invariante.


AFINES

1.4. Caso lineal

Si consideramos el sistema lineal

x = Ax+ bu, (1.12)

donde x ∈ Rn es la variable de estado, u ∈ [r1, r2] ⊂ R el parámetro decontrol, A ∈ Rn×n y b ∈ Rn.

Con el objetivo de describir el deslizamiento, consideramos un vector cons-tante L ∈ Rn y un escalar constante k > 0, de manera que el segmento dehiperplano contenido en Rn, representado por la igualdad

S := {x ∈ R2|Lx− k = 0}, (1.13)

donde L y k representan parámetros por determinar, de manera que se cumplela condición de deslizamiento, expresada con el par de desigualdades:

lım(Lx−k)→0+

L(Ax+ br1) < 0 para x ∈ Rn,

lım(Lx−k)→0−

L(Ax+ br2) > 0 para x ∈ Rn,(1.14)

Elegimos k de forma que el hiperplano, representado por Lx − k = 0,pase por un punto predeterminado x de manera que el hiperplano (1.13) nosqueda como:

L(x− x) = 0,

por consiguiente

k = Lx, (1.15)

Con las desigualdades (1.14) y, los valores de los parámetros r1, r2, x, k y L,es conocido que mediante la aplicación del control discontinuo

u =

{r1 si Lx− k > 0r2 si Lx− k < 0

(1.16)

tendremos que cualquier solución x(t) que inicia fuera del hiperplano Lx = k,alcanza al hiperplano en tiempo �nito. Hay aplicaciones donde la aplicacióndel control discontinuo (1.16), que toma valores en los extremos del intervalode restricción [r1, r2], reduce el tiempo de llegada al hiperplano Lx = k (ver,

1.4. CASO LINEAL 23

[12]), ya que al considerar la función de Lyapunov V = 12(Lx− k)2, tenemos

que el control (1.16) es la solución al siguiente problema de optimización

mınu∈[r1,r2]

dV

dt= mın

u∈[r1,r2]{(Lx− k), L(Ax+ bu)}.

Una vez cumplidas las desigualdades (1.14), se origina una dinámica in-variante sobre el hiperplano Lx = k, podemos decir que esta dinámica co-rresponde a la aplicación del llamado control equivalente, denotado por ueqy de�nido para x tales que Lx = k, de manera que lo podemos calcular dela igualdad Lx = 0. Es decir,

L(Ax+ bueq) = 0,

por consiguiente

ueq = −LAxLb

,

con Lb > 0. Con este resultado tenemos de�nido el control globalmenteestabilizante para toda x ∈ Rn:

u =

r1 si Lx− k > 0−LAx

Lbsi Lx− k = 0

r2 si Lx− k < 0(1.17)

Ejemplo 2. El sistema de control de dos dimensiones(xy

)=

(−3 14 5

)(xy

)+

(01

)u, donde u ∈ [−76, 76]

con u = −76sign(s) y función de cambio s(x, y) = y − 2x le corresponde el

punto de equilibrio x =(−u

19, −3u

19

)T= −u

19(1, 3)T , de forma que

si s > 0⇒ u = −76⇒ x = (4, 12)T ,

si s < 0⇒ u = 76⇒ x = (−4,−12)T .

Para s = 0, u no está de�nido.

La siguiente observación se sigue de lo anterior

Observación 2. Para cualquier valor de u, los puntos de equilibrio del sis-tema están sobre la línea recta con pendiente 3 que pasa por el origen.


AFINES

Los valores propios de la matriz A =

(−3 14 5

)son

λ1 = 1 + 2√

5 y λ2 = 1− 2√

5,

con los correspondientes vectores propios

v1 = (1, 4 + 2√

5)T y v2 = (1, 4− 2√

5)T .

El siguiente es el retrato fase de la matriz A.

Figura 1.4: Retrato fase correspondiente a la matriz A.

De acuerdo a las desigualdades (1.14), para obtener el dominio del mododeslizante calculamos

lıms→0+

s = lıms→0+

(10x+ 3y − 76) = 16x− 76 < 0⇔ x <19

4,

lıms→0−

s = lıms→0−

(10x+ 3y + 76) = 16x+ 76 < 0⇔ x > −19

4,

estas desigualdades implican que existe un modo deslizante en el intervalo−19

4< x < 19

4. Este es un segmento de la linea recta de cambio

S = {(x, y) ∈ R2 | s(x, y) = 0}.

1.4. CASO LINEAL 25

El modo deslizante es representado por la ecuación x = −x.

Ahora trabajaremos con el caso del control continuo de este ejemplo, peroprimero, se dará una explicación de donde sale este control continuo (ver,[9]).

Una hipótesis escencial de la teoría de control de estructura variable, con-siste en que el control puede cambiar de un valor a otro in�nitamente rápido.Físicamente esto es imposible, ya que todo mecanismo presenta un retardo alllevar a cabo un cambio de valor en el control. Por consiguiente es necesarioconsiderar el efecto chattering, este fenómeno es un serio obstáculo en laaplicación de los controles de tipo (1.17). De acuerdo a esta característica,un buen control para el sistema (1.1) es uno que ayude a eliminar el efec-to chattering y a la vez mantenga la convergencia en tiempo �nito. Ademásde ser acotado, el control debe preservar la dinámica deslizante sobre S, asícomo la persistencia de esta dinámica en presencia de perturbaciones.

Una opción aceptada para anular el efecto chattering consiste en conside-rar una vecindad Oε = {x ∈ Rn||s(x)| < ε} de la super�cie de cambio S (ver[16]). En esta vecindad es posible reemplazar el control discontinuo (1.17) poruno continuo o de clase C1. Sin embargo, esta sustitución puede destruir lainvariancia de S y de la dinámica deslizante sobre S. Bajo la consideraciónde la vecindad Oε de S, propongo el siguiente control continuo:

u(s) =

uc si | s

ε| < 1

−ksign(s) si | sε| ≥ 1

(1.18)

con uc := ueq − | sε |p(ksign(s) + ueq), donde p > 0.

De acuerdo con (1.18), el control de relevo ur(s) = −ksign(s) actúa fuerade la vecindad Oε, mientras que en el interior funciona una interpolacióncontinua entre ueq y los valores extremos ±k. El control (1.18) es continuo yacotado. En [15] se probó que −k ≤ ueq ≤ k. Para el control (1.18) es fácilprobar el siguiente par de desigualdades:

ueq ≤ u(s) ≤ k para s ≤ 0,

−k ≤ u(s) ≤ ueq para s ≥ 0,

Prueba para el caso 0 < s < ε.


AFINES

De este caso deducimos que 0 < | sε|p < 1

⇒ 0 <∣∣∣sε

∣∣∣p (k+ueq) < k+ueq, ⇒ ueq > ueq−∣∣∣sε

∣∣∣p (k+ueq) > −k,

es decir, ueq > u(s) > −k.

Por tanto siguiendo con el ejemplo y de acuerdo a (1.18), podemos aplicarel control continuo.

uc =

−10x− 3y − |S

ε|p(76sign(s)− 10x− 3y) si |S

ε| < 1

−76sign(s) si |Sε| ≥ 1

donde p > 1. Con este control aplicado al sistema (1.11) obtenemos el si-guiente sistema con lado derecho continuo.

x = −3x+ y

y = −6x+ 2y − |y − 2x

ε|p(ksign(y − 2x)− 10x− 3y).

donde la línea recta S = {(x, y) ∈ R2 | y − 2x = 0} es invariante. Ademássobre esta recta hay una dinámica deslizante si −4.75 < x < 4.75.

Figura 1.5: Dinámica deslizante sobre la recta S.

Con este ejemplo mostramos que es posible estabilizar, mediante modosdeslizantes, un sistema inestable a lazo abierto.

Capítulo 2

Sistemas lineales positivos

Muchos modelos económicos, físicos, biológicos, etc., involucran cantida-des que se representan mediante variables positivas. Por ejemplo la concen-tración de substancias, el nivel de líquidos en tanques, la biomasa de unapoblación, etc. Estos ejemplos pertenecen a la clase de sistemas positivos,donde las variables de estado y las condiciones iniciales son no negativas(ver, [1]). En tales sistemas también pueden considerarse controles positivos,por ejemplo en reactores y procesos biológicos la acción de control está re-lacionada a �ujos, cuyos valores son estrictamente positivos, por ejemplo laintroducción de insulina en un ser vivo es un ejemplo de control positivo.

En este trabajo consideramos una familia de sistemas que satisfacen lashipótesis de la teoría de estabilidad para sistemas positivos, tales como losteoremas de Frobenius-Perron para matrices Metzler y el teorema de Gersch-gorin aplicado a matrices compartimentale

Bajo tales consideraciones para x = Ax + bu, presentamos un conjuntode resultados en el ámbito de la teoría de modos deslizantes que permiten laexistencia de una dinámica deslizante mediante la cual podemos estabilizarrápidamente este sistema positivo.

2.1. Algunos conceptos importantes

Consideremos el sistema lineal homogéneo

x = Ax, (2.1)

donde x ∈ Rn es la variable de estado y A ∈ Rn×n.

27

28 CAPÍTULO 2. SISTEMAS LINEALES POSITIVOS

De�nición 1. El sistema (2.1) es positivo si para cada x(t0) = x0 ∈ int(Rn+), t ≥

0, sucede que la solución correspondiente x(t; t0;x0) ∈ int(Rn+) para toda

t ≥ t0.

De�nición 2. La matriz A = [aij] ∈ Rn×n es Metzler si aij ≥ 0 para i 6= j.

De�nición 3. La matriz A = [aij] ∈ Rn×n es Hurwitz si todos sus valorespropios tienen parte real negativa.

Teorema 2. El sistema x = Ax es positivo si y sólo si A es Metzler.

A este tipo de sistemas se les denomina positivos porque el cono positivoRn

+ es un conjunto invariante (ver, [2]).Consideramos el sistema

x = Ax+ bu, (2.2)

con A ∈ Rn×n matriz Metzler y Hurwitz, b ≥ 0 y r2 > r1 ≥ 0. En el teorema4 veremos que tales condiciones representan condiciones de positividad: elsistema lineal (2.2) es positivo si y sólo si la matriz A es Metzler y b ≥ 0, u ≥ 0(ver, [7]).

2.2. El teorema de Frobenius-Perron para ma-

trices Metzler

Teorema 3. Sea A una matriz Metzler. Entonces, existen un número realµ0 y un vector x0 ≥ 0 tales que se cumple lo siguiente:

i)Ax0 = µ0x0, yii) Si µ 6= µ0 es cualquier otro valor propio de la matriz A, entonces

Re(µ) < µ0.

Adicionalmente a las hipótesis del teorema 2 supondremos condicionespara que la estabilización de la dinámica controlada también ocurra en Rn

+.

Teorema 4. Sea A ∈ Rn×n una matriz Metzler. La inversa −A−1 existe yes positiva, si y sólo si, A es Hurwitz (i.e, µ0 < 0).

La prueba de los teoremas 3 y 4 pueden verse en [2] y [4], respectivamente.

2.3. EXISTENCIA Y DISEÑO DE UNA FAMILIA DE HIPERPLANOSDESLIZANTES 29

2.3. Existencia y diseño de una familia de hi-

perplanos deslizantes

Consideremos la matriz Metzler A dada en (2.2) con entradas aij ≥ 0para i 6= j y el vector L = (l1, . . . , ln), con p = (p1, p2, . . . , pn)T ∈ Rn

+ tal que

ATLT = −p.

Proposición 1. Si p ∈ int(Rn+), entonces existe un deslizamiento sobre todo

el hiperplano S = {x ∈ Rn+/L(x− x) = 0}, bajo el sistema (1.12)-(1.17).

Demostración. La condición p ∈ int(Rn+) implica que ueq(x) > 0 para x ∈

Rn+, pues

LT = (−A−1)Tp ∈ Rn+;

ya que A es Metzler y Hurwitz. Es decir, para cada p ∈ Rn+ tenemos un vector

L = −pTA−1 ∈ Rn+, tal que ueq = −LAx

Lb> 0, entonces

ueq =pTx

pT (−A−1)b> 0 para x ∈ Rn

+.

De acuerdo al teorema 1 visto en el primer capítulo, al considerar r2 > 0su�cientemente grande (0 < ueq ≤ máx(ueq) < r2) tenemos que existe undeslizamiento sobre el hiperplano S.

Observación 3. La dinámica deslizante es dada por el sistema lineal x =

Aeqx, donde Aeq = A + b( pT

pT (−A−1)b) es Metzler, ya que es la suma de una

matriz Metzler y una matriz con entradas no negativas; es decir, el segmentode hiperplano deslizante es invariante.

Lema 3. detAeq = 0.

Demostración. Basta con probar que b ∈ ker(I − b LLb

), ya que

A+ b

(−LALb

)=

(I + b

(− L

Lb

))A,

donde tenemos que

(I − b LLb

) = b− b LLbb = 0,

concluimos que detAeq = 0


La interpretación del lema anterior consiste en que la dinámica n-dimensionalde x = Ax se restringe, mediante el control equivalente, a la dinámica (n−1)-dimensional de�nida en el hiperplano S y representada por x = Aeqx.

En particular, por ser A matriz Hurwitz tenemos que x = −A−1bu espunto de equilibrio de x = Ax+bueq, ya que al sustituir en la última igualdadobtenemos que:

x = Aeqx

= Ax+ b(−LAxLb

)

= A(−A−1bu) + b(−LA(−A−1bu)

Lb)

= −bu+ b(−L(−bu)

Lb)

= 0.

Hemos probado que λ = 0 es valor propio de la matriz Aeq = A +

b( pT

pT (−A−1b)); además es Metzler por ser la suma de una matriz Metzler y

una matriz con entradas no negativas.Por otro lado, tenemos que si x∗ ∈ Ker(I − b L

Lb), entonces x∗ = 1

LbbLx∗.

Por lo tanto, x∗ ∈ Im(b), implicando que λ = 0 es el valor propio correspon-diente al vector propio x∗. En cada una de las aplicaciones expuestas másadelante, mostramos que λ = 0 es el valor propio dominante de Aeq, y deacuerdo al teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler, esto implicaque la dinámica del sistema x∗ = Aeqx tiene al estado x = −A−1bu comoúnico punto de equilibrio sobre el hiperplano Lx = k.

De las desigualdades

lım(Lx−k)→0+


lım(Lx−k)→0−

L(Ax+ br2) > 0 para x ∈ Rn,(2.3)

es fácil ver que para x tal que s(x) = 0, se cumple que

L(Ax+ br1) < 0 < L(Ax+ br2),

como Lb > 0, tenemos que

Lbr1 < −LAx < Lbr2 ⇐⇒ r1 < −LAx

Lb< r2,

2.3. EXISTENCIA Y DISEÑO DE UNA FAMILIA DE HIPERPLANOSDESLIZANTES 31

es decir, r1 < ueq < r2, por lo que concluimos que ueq ∈ [r1, r2]. En particular,se cumple que

ueq(x) = − 1

LbLAx = − 1

LbLA(−A−1bu)

= − 1

LbL(−bu) = u.

Proposición 2. Si A es Metzler y Hurwitz, entonces la solución x(t, x0) delsistema (2.2), que inicia en x0 ∈ Rn

+, puede ser estabilizada en el punto deequilibrio x = −A−1bu, con u ∈ [r1, r2], mediante un deslizamiento sobre elhiperplano wT0 (x− x) = 0 con el control positivo

u(x) =

r1 si wT0 (x− x) > 0u si wT0 (x− x) = 0r2 si wT0 (x− x) < 0

(2.4)

donde ATw0 = λ0w0, con valor propio dominante λ0 < 0.

Demostración. Si A es Metzler y Hurwitz, entonces AT es Metzler y Hurwitztambién. De acuerdo al teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler,sea w0 > 0 el vector propio de AT asociado al valor propio dominante λ0 < 0;de forma que

ATw0 = λ0w0,

implicando que

wT0 Ax = λ0wT0 x ≤ 0,

y

wT0 b > 0;

de manera que la función ueq = −LAxLb

, con L = wT0 y x tal que wT0 (x− x) = 0


nos queda ueq(x) = u:

ueq(x) = −wT0 Ax

wT0 b

= (−λ0)wT0 x

wT0 b

= (−λ0)wT0 x

wT0 b

= − 1

wT0 bλ0w

T0 (−A−1bu)

= − 1

wT0 b(wT0 A)(−A−1bu)

= u.

Capítulo 3

Estabilización de sistemaspositivos mediante modosdeslizantes

Los comportamientos de los sistemas a�nes x = f(x) + g(x)u con ladoderecho discontinuo no puede ser descrito adecuadamente en términos dela teoría clásica de ecuaciones diferenciales. Para resolver estos problemas,hay varios caminos que son usualmente sugeridos, con el �n de reducir elproblema original a una forma que produce una solución muy cercana a ladel problema original y que permiten el uso de tecnicas de análisis clásico.Tal sustitución del problema es llamada regularización.

3.1. Mezcla con dos tanques

La descripción del problema es el siguiente:Dos tanques, A y B, contienen V1 y V2 litros de salmuera y en los cuales se

disolvieron inicialmente a y b libras de sal respectivamente. Ambos tanquesestán conectados, habiéndo un �ujo f2 de salmuera del tanque A al B y un�ujo f3 del tanque B al A. Además, del exterior hay un �ujo f1 con u librasde sal por litro hacia el tanque A, y del tanque B hay un �ujo f4 hacia elexterior. Deseamos determinar la cantidad de sal presente en cada tanque enel instante t.

33

34CAPÍTULO 3. ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS POSITIVOS

MEDIANTE MODOS DESLIZANTES

Figura 3.1: Representación de los tanques.

Denotando por x1(t) y x2(t) las cantidades de sal presentes al instante ten los tanques A y B respectivamente, el modelo mátematico matricial es dela forma: (

x1

x2

)=

(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)+

(f1

0

)u (3.1)

con condiciones iniciales x1(0) = a y x2(0) = b, de manera que el objetivo esestabilizar rápidamente las concentraciones xi

Vide cada uno de los tanques.

Suponemos que V1 y V2 son constantes, entonces

f2 = f3 + f4 y f1 = f4, (3.2)

donde la matriz de coe�cientes A es Metzler, cuyos valores propios son de laforma

λ1,2 =−f2(V1 + V2)±

√D

2V1V2

, (3.3)

donde D = f 22 (V2 − V1)2 + V1V2f3f2. De (3.2) tenemos que f3 < f2, de modo

que la expresión

D < f 22 (V2 − V1)2 + V1V2f

22

= f 22 (V1 + V2)2,

por consiguiente −f2(V1 + V2) +√D < 0, esto es que A es matriz Hurwitz.

De acuerdo al teorema de Frobenius-Perron para matrices Metzler, tenemos

3.1. MEZCLA CON DOS TANQUES 35

que el punto de equilibrio x es positivo y asintóticamente estable, i.e.,

x = −A−1bu = u

(V1

V2

)(3.4)

Entonces, u es quien determina la cantidad de sal en cada tanque. La di-námica es sencilla, al aplicar un control constante u, cualquier solución queinicie en R2 tiende asintóticamente al punto de equilibrio x. Enseguida seprobará que se puede estabilizar más rápido al considerar un control de laforma u ∈ [r1, r2] en lugar de u = u. Con

0 ≤ r1 < u < r2.

Sea L = (l1, l2), con li > 0, denotemos a s(x) = Lx− k, entonces s(x) =l1x1 + l2x2 − k = 0, tal que para Lx = k tenemos Lx = 0 de forma que larecta s(x) = 0 pasa entre los puntos

x1 = r1

(V1

V2

)y x2 = r2

(V1

V2

). (3.5)

Si consideramos el control discontinuo

u(x) =

{r1 para s(x) > 0r2 para s(x) < 0

(3.6)

Para cumplir con las condiciones de deslizamiento

lım(Lx−k)→0+


lım(Lx−k)→0−

L(Ax+ br2) > 0 para x ∈ Rn,(3.7)

debemos tener que LAx < 0 para toda x ∈ Rn+,

LAx = −x1f2l1 − f2l2

V1

− x2f2l2 − f3l1

V2

,

es su�ciente quef2(l1 − l2) ≥ 0 y f2l2 − f3l1 > 0,

y ademásf2(l1 − l2) > 0 y f2l2 − f3l1 ≥ 0,



pero no puede pasar que ambas sean mayores que cero pues no se cumpliriaque LAx < 0, y esto se resume en

f3

f2

≤ l2l1≤ 1. (3.8)

Sabemos que Lb = f1l1, entonces,

ueq =x1

f2l1−f2l2V1

+ x2f2l2−f3l1

V2

f1l1,

así la dinámica deslizante dada por x = Ax+ bueq, toma la forma

x =

(− f2l2V1l1

f2l2V2l1

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)= Aeqx, (3.9)

y Aeq tiene valores propios λ1 = 0 y λ2 = − f2V1V2l1

(V1l1 + V2l2), por lo que elvalor propio λd del modo deslizante es

λd = − f2

V1V2

(V1 +V2l2l1

),

donde λd está en función del cociente l2l1. De la desigualdad (3.8), si suponemos

que l1 = l2 estaremos minimizando el valor propio λd, con l2l1∈ [f3

f2, 1], de tal

manera que el deslizamiento sea el óptimo, es decir, tenemos que

λd < λ2 =−f2(V1 + V2)−

√D

2V1V2

ya que f3 < f2 y concluímos que λd < λ2 < λ1 < 0.Considerando l1 = l2, de (3.7) se tiene que r1 < x1

V1< r2, con ueq =

−LAxLb

= r2− x1V1

y λd = −2f2V1, es decir, en todo el segmento de recta {(x1, x2) ∈

R2+ | s(x1, x2) = 0} existe un deslizamiento. Haciendo k = 1

2L(x1 + x2),

entoncesk =

1

2L(−A−1br1 − A−1br2) = V1l1(r1 + r2).

Suponiendo l1 = l2 y V1 = V2 en (3.9), la dinámica deslizante es repre-sentada en términos de x1 ó x2, por una de las dos ecuaciones

xi = −f2

V1

(2xi − V1(r1 + r2)), para i = 1, 2. (3.10)


el punto de equilibrio xi = 12V1(r1 + r2), este punto de equilibrio es el punto

medio del segmento de deslizamiento. Para el sistema (3.1), si l1 = l2 yV1 = V2, tenemos que

u(x) =

r1 si s(x) > 0ueq si s(x) = 0r2 si s(x) < 0

(3.11)

con s(x) = Lx− k.

3.1.1. Ejemplo numérico

Asignando al sistema (3.1) los valores V1 = V2 = 10, f1 = f4 = 1, f2 = 3,f3 = 2 y u ∈ [0, 4], tenemos que(

x1

x2

)=

(−0.3 0.20.3 −0.3

)(x1

x2

)+

(u0

). (3.12)

De (3.5) tenemos que

x1 =

(00

)y x2 =

(4040

).

Como u = 2, se tiene que x = (20, 20)T , con l1 = l2 = 1 y k = V1l1(r1 +r2) = 40, la recta de cambio es x1 +x2 = 40. Ya que ueq = r2− x1

V1= 4−0.1x1

de (3.11) tenemos que

u(x) =

0 si x1 + x2 > 404− 0.1x1 si x1 + x2 = 404 si x1 + x2 < 40

(3.13)

entonces, 0 < 4 − 0.1x1 < 4 por lo que el intervalo de deslizamiento es0 < x < 40. Luego, tenemos que

Aeq =

(− f2l2V1l1

f2l2V2l1

f2V1

− f2V2

)=

(−0.3 0.30.3 −0.3

),

entonces σ(Aeq) = {0,−0.6}, mientras que σ(A) = {−5.5051×10−2,−0.54495},así λd = −0.6, es decir, λd < mın[σ(A)]. Esta última desigualdad implica que,



Figura 3.2: Comportamiento del sistema.

para condiciones iniciales sobre la recta de deslizamiento, es más rápido es-tabilizar mediante la aplicación del control (3.13) que mediante el controlconstante u = 2.

Consideremos la suma de los tiempos de convergencia desde una condicióninicial x0 a una vecindad del punto de equilibrio x bajo el control u dado por(3.13) es menor el tiempo de convergencia correspondiente al aplicar el controlconstante u = u.

Dada x0 = (x10, x20)T = (20, 40)T (la cual no pertenece a la recta dedeslizamiento) la solución de (3.12)− (3.13) es

(26.33e−5.5051×10−2t

+ 6.3299e−0.54495t

7.7526e−0.54495t − 32.247e−5.5051×10−2t

).

Sea td el tiempo de llegada de esta solución a la recta de deslizamientos(x1, x2) = 0, lo podemos obtener de x1(td, u) + x2(td, u) = 40, de mane-ra que td = 6.944.

El punto de llegada sobre la super�cie deslizante será nuestra nueva con-


diición inicial, la cual es

x(td) = e

−0.3 0.20.3 −0.3

(2040

)=

(17.82122.179

),

considerando la solución deslizante, de (3.10) tenemos que x1 = 12 − 0.6x1,luego x1(t) = e−0.6t(G + 20e0.6t), entonces x1(0) = 17.821 y G = −2.179.Entonces, el tiempo de llegada tf de la trayectoria que parte de esta nuevacondición inicial a una vecindad Nε de x sobre la super�cie de deslizamientosatisface |x1(tf ) − 20| = δ = 0.001, esto es que 2.179e−0.6tf = 0.001, asítf = 12.811. De tal manera que el tiempo de llegada de la trayectoria queinicia en x0 a Nε es td + tf = 19.755.

Considerando el sistema (3.12) con u = u = 2, su solución es dada porx(t) = eAt(x0 + A−1bu) − A−1bu, para t = tc > 0 pedimos que |x(tc) − x| =δ = 0.001 con x = (20, 20)T , nos queda que tc = 171.945; de manera quetd + tf < tc. Los resultados de este ejemplo numérico se pueden ver en la�gura siguiente:

Figura 3.3: En esta simulación se tomó la condición inicial x0 = (20, 40)T , lacurva du(t) =

∑|xi(t, u− xi)| donde x(t, u) es la solución del sistema (3.12)

con u = 2, la curva du(t) =∑|xi(t, u)− xi)| donde x(t, u) es la solución con

u de la forma (3.13).



Aplicando la proposición 2 para el caso de los dos tanques(x1

x2

)=

(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)+

(f1

0

)u, (3.14)

donde fi > 0 y f2 = f1 + f3, y el punto de equilibrio

x = −A−1bu

= −

(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)−1(f1

0

)u

= uf1

f2 − f3

(V1

V2

)= u

(V1

V2

).

Al considerar la restricción l2l1∈ [f3

f2, 1] para tener deslizamiento sobre la

recta l1x1 + l2x2 = k, k = 12(r1 + r2)(l1V1 + l2V2) tenemos que el valor propio

correspondiente al deslizamiento es dado por

λd = − f2

V1V2

(V1 +l2l1V2)

de forma que λd es decreciente en el intervalo [f3f2, 1]. De manera que el des-

lizamiento es más rápido si l2l1

= 1 y más lento si l2l1

= f3f2.

Ejemplo 3. Generando otro plano deslizante con base a la proposición 2.Considerando V1 = V2, tenemos que la matriz

AT =

(−f2

Vf2V

f3V−f2

V

),

tiene vector propio

w0 =

(1f3

√f2f3

1

)=

( √f2f3

1

)≥ 0

asociado al valor propio dominante λ0 = 1V

√f2f3− 1

Vf2 < 0. Por la proposi-

ción anterior, tenemos que ocurre un deslizamiento sobre la recta wT0 (x− x).

3.2. ESTABILIZACIÓN DE LA INSULINA VIA MODOS DESLIZANTESCON CONTROL PARA T1DM 41

Observación 4. De acuerdo al cálculo de este ejemplo, observamos que si

L = (l1, l2) = (√

f2f3

1) tal que l = l2l1

= 1√f2f3

=√

f3f2< 1, de forma que√

f3f2∈ (f3

f2, 1) implicando que

LAx =

(√f2

f3

1

)(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)

= x1

(1

V1

f2 −1

V1

f2

√f2

f3

)− x2

(1

V2

f2 −1

V2

f3

√f2

f3

)

= x11

V1

f2

(1−

√f2

f3

)− x2

1

V2

(f2 − f3

√f2

f3

)

< 0 para

(x1

x2

)∈ R2

+.

3.2. Estabilización de la insulina via modos des-

lizantes con control para T1DM

3.2.1. Estabilización de insulina implica estabilización

de glucosa

Muchos modelos matemáticos sobre la dinámica de la glucosa-insulinaen la T1DM (Diabetes Mellitus tipo 1) han sido propuestos; sin embargo, elmodelo de Sorensen es uno de los más aceptados pues es el más completo en larepresentación del metabolismo de la glucosa en un enfoque compartimental(ver, [17]). El uso del modelo de Sorensen para �nes de control se ha discutidoen [14]; ahí, se da una breve discusión acerca de la estructura principal delmodelo. El modelo es dividido en 3 subsistemas: glucosa, insulina y tasas deglucagon-metabólico. El subsistema de la glucosa es una ecuación diferencialordinaria no lineal 8-dimensional, mientras tanto el subsistema de la insulinaes una ecuación diferencial ordinaria lineal 7-dimensional. Ambos sistemasestán acoplados por el subsistema no lineal de tasas de glucagon-metabólico.

Un enfoque típico del control de la glucosa en la T1DM (Diabetes Me-llitus tipo 1) consiste en diseñar una función u(t) para controlar la señal desalida medida, esto es, la concentración de glucosa de el tejido vascular peri-



férico. El objetivo del control en la concentración de glucosa se alcanza porel suministro exógeno de insulina en la ruta subcutánea (señal de control)de�nido por diseño u(t). En esta contribución, un subsistema de estabiliza-ción de la insulina es propuesto. Esta intención obedece al necesario controlde la infusión de insulina; es decir, no es su�ciente para obtener la concen-tración de glucosa en rangos �siológicos, pero la insulina infundida debe sercontrolada con el �n de reducir el exceso de dosis infundidas para prevenirla hiperinsulinemia y el coma diabético.

Proponemos un algoritmo para el control de la insulina basado en laestabilización rápida de un sistema de control lineal por medio de la teoríade modos deslizantes para sistemas positivos. El sistema controlado es elsubsistema de insulina del modelo de Sorensen, el cual aquí es reescrito yconsiderando los parámetros nominales:

x1 = 1.73x2 − 1.73x1

x2 = 0.454x1 + 0.909x4 + 0.727x5 + 1.06x6 − 3.151x2

x3 = 0.765x2 − 0.765x3

x4 = 0.094x2 + 0.378x3 − 0.789x4 (3.15)

x5 = 1.411x2 − 1.835x5

x6 = 1.418x2 − 1.874x6 + 0.455x7

x7 = 0.05x6 − 0.111x7

donde, xi, para i ∈ 1, . . . , 7 es la concentración de insulina en el cerebro, ar-terias, intestino, hígado, riñones, vascular periférica, compartimentos inters-ticiales periféricos, respectivamente. Este submodelo se utiliza para diseñarun control estabilizador según la metodología utilizada en el trabajo.

De tal manera que proponemos un algoritmo para el control de la insulina,basado en una estabilización rápida de un sistema lineal de la forma

x = Ax

con

A =

−173100

173100

0 0 0 0 0227500

−31511000

0 9091000

7271000

5350

00 153

200−153

2000 0 0 0

0 47500

189500

− 7891000

0 0 00 1411

10000 0 −367

2000 0

0 709500

0 0 0 −937500

91200

0 0 0 0 0 120

− 1111000


A continuación, los parámetros de el control no continuo u para la rápidaestabilización de la insulina son calculados.

Consideremos la representación del espacio de estado del subsistema linealde la insulina descrito antes:

x = Ax+ bu

y = g(x, y) (3.16)

con x = (x1, . . . , x7)T ∈ R7+ representando los niveles de insulina. El pará-

metro del control positivo u representa la infusión de insulina, esto es, unparámetro acotado u ∈ [r1, r2], con r2 > r1 ≥ 0. Podemos ver que la ma-triz A de este modelo es Metzler y Hurwitz, de tal manera que se cumple lapositividad y la condición deslizante dada en (3.7).

El problema de estabilización asume la infusión de insulina exógena enel tejido subcutáneo, es decir, la ecuación de balance de masa de la concen-tración de insulina en el compartimento vascular periférica x6 es modi�cadapor la adición de la entrada u:

x6 = 1.418x2 − 1.874x6 + 0.455x7 + 1.418u

El término multiplicativo 1.418 preserva el balance de la masa en la ecua-ción, utilizando los valores nominales de los parámetros de caudal y volumenen el compartimento vascular periférico

(QIPV IPV

= 1.418)(ver, [17]).

De esta manera, b = [0 0 0 0 0 1.418 0]T y los parámetros delhiperplano Lx− k = 0 son L = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7]. Una vez quese cumplen las desigualdades (3.7), podemos de�nir el control deslizante ueqen el segmento del hiperplano Lx = k. De Lx = 0

ueq = −LAxLb∈ [r1, r2].

De acuerdo con k = Lx, tenemos: k = (r1 +r2)±(0.45781a1 +0.45781a2 +0.45781a3 + 0.27387a4 + 0.35202a5 + 0.6885a6 + 0.3101a7). Podemos probarque existe L tal que un deslizamiento estable aumente sobre el hiperplanoH = {x ∈ R7

+|Lx = k}. Los valores ai > 0 para i = 1, 2, . . . , 7 y k > 0 debenser �jos de tal manera que se cumpla la desigualdad (3.7). De esta manera:

LAx = x6(1.06a2 − 1.874a6 + 0.05a7)− x3(0.765a3 − 0.378a4)

+x2(1.73a1 − 3.151a2 + 0.765a3 + 0.094a4 + +1.411a5 + 1.418a6)

−x5(1.835a5 − 0.727a2)− x4(0.789a4 − 0.909a2)

−x1(1.73a1 − 0.454a2)− x7(0.111a7 − 0.455a6).



Por simplicidad en la expresión de valores numéricos anterior se asignana algún ai, en particular para eliminar x1, x3, x4, x5 y x7 teniendo el siguientesistema lineal

1.73 −0.454 0 0 00 0 0.765 −0.378 00 −0.909 0 0.789 00 −0.727 0 0 1.835

a1

a2

a3

a4

a5

=

0000

con la siguiente solución no trivial:

[a1 a2 a3 a4 a5]T = [0.66239 2.5241 1.4369 2.9080 1.0]T .

Además, consideramos que 0.111a7 − 0.455a6 = 0 y a6 = 0.24396a7, y tene-mos:

L = [0.662 2.524 1.436 2.908 1 0.243a7 a7]

tal queLAx = [0.345a7 − 4.023]x2 + [2.675− 0.407a7]x6

Debido a que bTu = [0 0 0 0 0 1.418 0]T tenemos Lbr1 = a6r1 =0.243a7r1. Para determinar los valores de parámetro positivo tal que se cum-ple la desigualdad (3.7), las siguientes operaciones deben ser consideradas:

Lx = (Ax+ bu)

= (0.345a7 − 4.023)x2 + (2.675− 0.407a7)x6 + 0.243a7u

Debemos considerar tambien:

Lx−k = 0.662x1+2.524x2+1.436x3+2.908x4+x5+0.243a7x6+a7x7−k = 0.

Es decir;

x2 =1

2.524k − 1

2.524(0.662x1 + 1.436x3 + 2.908x4 + x5 + 0.243a7x6 + a7x7)

=1

2.524k − (0.262x1 + 0.569x3 + 1.152x4 + 0.396x5 + 0.097a7x6 + 0.396a7x7)

=1

2.524k − Lmxm.


De tal manera que

Lx− k > 0 ⇔ x2 >1

2.5241k − Lmxm ⇔ u = r1

< 0 ⇔ x2 <1

2.5241k − Lmxm ⇔ u = r2.

Si asumimos que 0.345a7 − 4.023 = 0, entonces a7 = 11.632; tal que:

L = [0.662 2.524 1.436 2.908 1 2.837 11.63] (3.17)

y Lx = 2.837u− 2.060x6, la desigualdad (3.7) resulta:

lıms−→0+

Lx = lıms−→0+

L(Ax+ br1) = 2.837r1 − 2.060x6 < 0

⇔ x6 >2.837r1

2.060= 1.377r1

lıms−→0−

Lx = lıms−→0−

L(Ax+ br2) = 2.837r2 − 2.060x6 > 0

⇔ x6 <2.837r2

2.060= 1.377r2

que se puede resumir en condiciones para r1 y r2:

r1 < 0.726x6 < r2

si estamos de acuerdo con 12.770 = mın{x6} ≤ x6 ≤ max{x6} = 34.425,entonces podemos elegir r1 > 10 y r2 < 50. Podemos también considerark = 552.75. El control equivalente resulta ueq = −LAx

Lb= 0.72622x6, debido

a que Lx = 0 implica que ueq = 0.72622x6. Entonces, el control puede serrede�nido:

u =

r1 si Lx− 552.75 > 00.72622x6 si Lx− 552.75 = 0r2 si Lx− 552.75 < 0

con 0 < r1 < mın{0.726x6} ≤ 0.726x6 ≤ max{0.726x6} < r2, donde elegi-mos a k = 552.75. Ahora, calculamos el punto de equilibrio x de el sistemadeslizante: x = Ax+ bueq(x); es decir:

Ax+ bueq(x) = 0

Debido a que x debe estar en el hiperplano, entonces debe de cumplirseLx = k. De la ecuación (3.15) y de seleccionar k = 552.75, entonces x =[28.672 28.672 28.672 17.153 22.059 43.114 19.421]T .

Capítulo 4

Robustez de la estabilidad de unafamilia de sistemas lineales

4.1. La estabilidad Hurwitz robusta de matri-

ces Metzlerianas

En esta sección mostraremos un resultado de robustez para una familiade sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Consideremos el sistema lineal positivo con control positivo

x = Ax+ bu, (4.1)

donde A ∈ Rn×n matriz Metzler y Hurwitz, x, b ∈ Rn+ y u ∈ [r1, r2] ⊂ R+.

Bajo tales condiciones de positividad para (4.1), presentamos un conjunto deresultados que permiten asegurar la existencia de equilibrios y la estabilidadrobusta de tales soluciones de (4.1) contenidas en el cono positivo Rn

+.Una extensión importante de la prueba propuesta es la posibilidad de to-

mar los casos cuando la dinámica de los sistemas no es exactamente conocida,esto es ahora presentado.

Agregamos algunas de�niciones para abordar el teorema 12.6 del libro [5].Pero primero, de�nimos el conjunto

A := {A ∈ Rn×n : a−ij ≤ aij ≤ a+ij, para toda i, j}

47

48CAPÍTULO 4. ROBUSTEZ DE LA ESTABILIDAD DE UNA FAMILIA

DE SISTEMAS LINEALES

que incluye a las matrices Metzlerianas de cota inferior y cota superior, donde

A− =

a−11 . . . a−1n...

. . ....

a−n1 . . . a−nn

, A+ =

a+11 . . . a+

1n...

. . ....

a+n1 . . . a+

nn

de tal manera que tenemos la siguiente de�nición.

De�nición 4. Una matriz A es llamada matriz Metzleriana si aii < 0 paratoda i y aij ≥ 0 para toda i 6= j. Similarmente, un intervalo de matrices A esllamada matriz intervalo Metzleriana, si cada matriz A ∈ A es una matrizMetzleriana.

Podremos representar un elemento Aε ∈ A mediante la notación:

A− < Aε < A+

donde ε es un parámetro escalar, ε ∈ [α, β], donde α, β ∈ R de tal maneraque α < β, tal que

A− = A+ αC y A+ = A+ βC

y además representamos a un elemento de Aε como

Aε = A+ εC

donde C es una matriz no negativa.En el siguiente teorema, el termino A(k) denota la submatriz principal

de A, que consiste de las primeras k columnas y k renglones.

Teorema 5. Una matriz Metzleriana A ∈ Rn×n es Hurwitz para toda A ∈[A−, A+] si y solo si A+ es Hurwitz. Una condición equivalente es que todoslos menores principales de −A+ son positivos, i.e, det[−A+(k)] > 0 parak = 1, ..., n.

De acuerdo al teorema anterior, tenemos que la matriz Aε = A + εC esMetzleriana y Hurwitz para cualquier ε ∈ [α, β], tal que A+ = A + βC esHurwitz.

4.2. ESTABILIDAD DESLIZANTE DE UNA FAMILIA ROBUSTA DESISTEMAS LINEALES 49

4.2. Estabilidad deslizante de una familia ro-

busta de sistemas lineales

En esta sección consideramos una matriz Metzleriana Aε y un intervalode matrices Metzlerianas A tal que A− ≤ Aε ≤ A+, con A+ Hurwitz estable.Sea el sistema de control positivo

x = Aεx+ bu, (4.2)

donde x, b ∈ Rn+ y u ∈ [r1, r2], con 0 ≤ r1 < r2. De acuerdo al teorema de

Frobenius-Perron para matrices Metzler, tenemos que el punto de equilibrioxε = −A−1

ε bu ∈ Rn+, es positivo, tal que la dinámica de (4.2) con u = u

es asintóticamente estable; cualquier solución que inicie en Rn+ tiende asin-

tóticamente al punto de equilibrio xε para cualquier valor �jo de ε ∈ [α, β].Puede probarse que los sistemas positivos del tipo (4.2) son no totalmentecontrolables, aún así, podemos preguntarnos ¾Es posible mejorar la tasa deestabilización al considerar u ∈ [r1, r2] en lugar del valor constante u = u?, enesta sección damos una respuesta positiva a la pregunta mediante un mododeslizante que mejora la tasa de estabilización.

Consideremos el sistema positivo (4.2), con matriz Metzleriana Aε ∈ A

para ε ∈ [α, β]. En los trabajos [10] y [12] se muestran condiciones su�cien-tes para tener un modo deslizante de�nido en un segmento de hiperplanocontenido en Rn

+. Si consideramos un vector constante Lε ∈ Rn+, podemos

representar un segmento de hiperplano que pasa por el punto de equilibriopositivo xε, mediante la igualdad

Lε(x− xε) = 0,

de manera que se cumplen las condiciones deslizamiento expresadas con elpar de desigualdades:

Lε(Aεx+ br1) < 0 para x ∈ Rn+ tales que Lεx > 0,

Lε(Aεx+ br2) > 0 para x ∈ Rn+ tales que Lεx < 0.

(4.3)

Con la igualdad Lεx = 0 de�nimos ueqε. Es decir,

Lε(Aεx+ bueqε) = 0,



por consiguiente

ueqε = −LεAεxLεb

= − pTε x

pTε (−Aε)−1b> 0,

donde ATε LTε = −pε, con pε ∈ Rn

+. De manera que la dinámica deslizante esrepresentada por

x = Aeqεx,

con Aeqε matriz Metzler dada por

Aeqε = Aε + b

(pTε

pTε (−Aε)−1b

).

Bajo estas condiciones, es conocido que mediante la aplicación del control

uε(x) =

r1 si Lε(x− xε) > 0ueqε si Lε(x− xε) = 0r2 si Lε(x− xε) < 0

(4.4)

tendremos que cualquier solución x(t, ε) que inicia fuera del hiperplano Lε(x−xε) = 0, alcanza al hiperplano en tiempo �nito y converge bajo un desliza-miento al punto de equilibrio xε.

4.3. Aplicaciones

Para algunos sistemas positivos del tipo (4.2) es posible determinar unintervalo de matricesA. A continuación planteamos dos aplicaciones, en cadauna calculamos los elementos de robustez y describimos el sistema de control.En el capítulo anterior estudiamos la estabilización mediante un deslizamien-to de ambas aplicaciones para el caso ε = 0, de manera que ahora mostramosla viabilidad de la estabilización deslizante para cualquier valor ε ∈ [α, β].

4.3.1. El caso de mezcla con dos tanques

Ahora veremos la robustez para el caso de mezcla con dos tanques, paraesto utilizaremos lo visto en la sección 3.1, a lo cual le aplicaremos lo vistoal comienzo del capítulo.

4.3. APLICACIONES 51

Por tanto, utilizando el sistema del tipo (4.1)(xy

)=

(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)+

(f1

0

)u (4.5)

con fi > 0, i = 1, 2, 3, 4 y si consideramos volumenes constantes V1 y V2 detal manera que f2 = f3 + f4 y f1 = f4, tal que f3 < f2.

Ahora analizando el sistema a lazo abierto(xy

)=

(− f2V1

f3V2

f2V1

− f2V2

)(x1

x2

)(4.6)

con V1 = V2 = V .Sea ε ∈ [−1, 1

2] y la matriz C de�nida por

C =

(f2 − f3 0

0 f2 − f3

),

por lo tanto, podemos considerar las matrices

A− :=1

V

(−2f2 + f3 f3

f2 −2f2 + f3

)y

A+ :=1

V

(−1

2(f2 + f3) f3

f2 −12(f2 + f3)

)donde tenemos que A− ≤ Aε ≤ A+ con

Aε =1

V

(−f2 f3

f2 −f2

)+ ε

1

V

(f2 − f3 0

0 f2 − f3

)=

1

V

(−(f2 − εf2 + εf3) f3

f2 −(f2 − εf2 + εf3)

)con tr(Aε) = − 2

V(f2 − εf2 + εf3) < 0 y det(Aε) = 1

V 2 (f2 − f3)(f2 − 2εf2 +ε2f2− ε2f3) > 0 para ε ∈ [−1, 1

2]. Es decir, Aε es Hurwitz y Metzleriana para

ε ∈ [−1, 12], al aplicar el teorema 5 es su�ciente al mostrar que A+ es Hurwitz.

Además tenemos que nuestro punto de equilibrio queda de�nido por

x = −A−1ε bu

= −

(−(f2−εf2+εf3)

Vf3V

f2V

−(f2−εf2+εf3)V

)−1(f1

0

)u



y tambien podemos minimizar λdε cambiando la pendiente de la recta desli-zante. A partir de (4.3), debemos tener que LAεx < 0 para toda x ∈ Rn

+,

LAεx = −x1l1(f2 − εf2 + εf3)− f2l2

V− x2

l2(f2 − εf2 + εf3)− f3l1V

,

es su�ciente que

l1(f2 − εf2 + εf3)− f2l2 ≥ 0 y l2(f2 − εf2 + εf3)− f3l1 > 0,

y además

l1(f2 − εf2 + εf3)− f2l2 > 0 y l2(f2 − εf2 + εf3)− f3l1 ≥ 0,

pero no puede pasar que ambas sean mayores que cero pues no se cumpliriaque LAεx < 0, y esto se resume en

f3

f2

≤ l2 − εl2l1 − εl2

≤ 1. (4.7)

Sabemos que Lb = f1l1, entonces,

ueqε =x1

l1(f2−εf2+εf3)−f2l2V

+ x2l2(f2−εf2+εf3)−f3l1

V

f1l1,

así la dinámica deslizante dada por x = Aεx+ bueqε, toma la forma

x =

(−f2l2

V l1

(f2−εf2+εf3)l2V l1

f2V

−f2−εf2+εf3V

)(x1

x2

)= Aeqεx, (4.8)

y Aeqε tiene valores propios λ1 = 0 y λ2 = −f2l1+f2l2−εf2l1+εf3l1V l1

, por lo que elvalor propio λd del modo deslizante es

λd = −f2l1 + f2l2 − εf2l1 + εf3l1V l1

,

donde λd está en función de la pendiente l2l1. De la desigualdad (4.7), si

suponemos que l1 = l2 estaremos minimizando el valor propio λd de talmanera que el deslizamiento sea el óptimo, es decir, tenemos que

λd < λ2 = −2f2 − εf2 + εf3

V,

ya que f3 < f2 y concluímos que λd < λ2 < λ1 < 0.


Ejemplo 4. Retomando el ejemplo numérico 3.1.1 tenemos que la matriz Adel sistema

x = Ax+ bu

queda determinada por

A =

(−0.3 0.20.3 −0.3

)Tenemos que V = 10, además ε ∈ [−1, 1

2] y

C =

(1 00 1

),

por lo que podemos considerar las matrices

A− =

(−0.4 0.20.3 −0.4

)y

A+ =

(−0.25 0.2

0.3 −0.25

),

y además

Aε =1

10

(−3 + ε 2

3 −3 + ε

),

con tr(Aε) = −15(3− ε) < 0 y det(Aε) = 1

100(3− 6ε+ ε2) > 0 para ε ∈ [−1, 1

2].

Es decir, Aε es Hurwitz y Metzleriana para ε ∈ [−1, 12], al aplicar el teorema

5 es su�ciente al mostrar que A+ es Hurwitz.Además tenemos que el punto de equilibrio es:

x = −A−1ε bu

= −2

(−0.3 + 0.5ε 0.2

0.3 −0.3 + 0.5ε

)−1(10

)= 2

(− 10ε−30ε2−6ε+3

20ε2−6ε+3

1130ε2− 1

5ε+ 1

10

−13ε−1

130ε2− 1

5ε+ 1

10

)(10

)= 2

(− 10ε−30ε2−6ε+3

20ε2−6ε+3

0.3ε2−6ε+3

− 10ε−30ε2−6ε+3

)(10

)= 2

(− 10ε−30ε2−6ε+30.3

ε2−6ε+3

).



También tenemos que l1 = l2 = 1 y por consiguiente

ueqε = −LAεxLb

= −

(1 1

)( −0.3 + 0.5ε 0.20.3 −0.3 + 0.5ε

)(x1

x2

)(

1 1)( 1

0

)=

1

10εx1 + (

1

10ε− 1

10)x2,

y tenemos que

x1 + x2 =2

ε2 − 6ε+ 3

(30 + 10ε30

)=

2

ε2 − 6ε+ 3(60 + 10ε),

por tanto

ueqε =−2ε2 − 10ε+ 12

ε2 − 6ε+ 3− x1

10,

por lo que el control queda de�nido como

uε(x) =

0 si x1 + x2 > 40−2ε2−10ε+12ε2−6ε+3

− x110

si x1 + x2 = 40

4 si x1 + x2 < 40

(4.9)

Luego, tenemos que

Aeqε =

(−f2l2

V l1

(f2−εf2+εf3)l2V l1

f2V

−f2−εf2+εf3V

)=

(−0.3 0.3− 0.1ε0.3 −0.3 + 0.1ε

),

entonces σ(Aeq) = {0,−0.6+0.1ε}, mientras que σ(A) = {−.05505,−0.54495},así λdε = −0.6+0.1ε, es decir, λdε < mın[σ(A)]. Esta última desigualdad im-plica que, para condiciones iniciales sobre la recta de deslizamiento, es másrápido estabilizar mediante la aplicación del control (4.9) que mediante elcontrol constante u = 2.


4.3.2. El Modelo de la Insulina

En esta sección mostramos un resultado de robustez para una familia desistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

El resultado de robustez que aplicamos aquí es para los sistemas lineal deltipo (4.1) con matriz Metzleriana, una clase particular de matrices Metzler.

Considerando la matriz

A =

−173100

173100

0 0 0 0 0227500

−31511000

0 9091000

7271000

5350

00 153

200−153

2000 0 0 0

0 47500

189500

− 7891000

0 0 00 1411

10000 0 −367

2000 0

0 709500

0 0 0 −937500

91200

0 0 0 0 0 120

− 1111000

,

podemos de�nir la matriz C = [cij], con

cij =

{1 si aij 6= 00 si aij = 0

es decir,

C =

1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 1 1 00 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 00 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 1

Si A+ es Hurwitz, el Teorema 4 nos asegura que la matriz A + εC es

Hurwitz para cualquier valor de ε tal que − 120< ε < 1

200, donde podemos

considerar que

A+ = A+

(1

200

)C y A− = A+

(− 1

20

)C

donde el valor a−76 = 0, indica la cota inferior para tener la condición Metz-leriana y Hurwitz de la matriz Aε es − 1

20.



Mostramos que la matriz

A+ =

−171100

1810

0 0 0 0 012

−3110

0 1 73100

1110

00 77

100−76100

0 0 0 00 1

10410

−78100

0 0 00 3

20 0 −18

100 0

0 32

0 0 0 −185100

46100

0 0 0 0 0 112

−110

es Hurwitz, ya que los menores principales de −A+ son positivos (sin erroresde redondeo al calcular los determinantes):

det[−A+(1)] =171

100

det[−A+(2)] =4401

1000

det[−A+(3)] =83619

25000

det[−A+(4)] =2440341

1250000

det[−A+(5)] =60102567

25000000

det[−A+(6)] =718468299

500000000

det[−A+(7)] =8052561

156250000

Concluimos esta sección observando que el sistema lineal

x = (A+ εC)x,

es estable si ε ∈ [−0.05, 0.005].Para algunos sistemas positivos del tipo (4.1) es posible determinar un

intervalo de matrices, de manera que un intervalo �grande� signi�ca �másrobustez� en la estabilidad del sistema.

Conclusiones

En esta tesis consideramos la teoría de modos deslizantes para sistemasa�nes con control escalar restringido al intervalo [r1, r2], con r2 > r1 ≥ 0.Para tales sistemas presentamos e ilustramos el teorema que establece lascondiciones necesarias y su�cientes para que una dinámica deslizante exista.Ilustramos la geometría de tales condiciones con dos ejemplos. Con el �nde abordar una familia de aplicaciones, describimos los resultados anteriorespara los sistemas lineales, como un caso particular de los sistemas a�nes, yconsideramos condiciones de positividad para tales sistemas.

En este trabajo incluimos dos aplicaciones: el modelo de mezclas de dostanques y el submodelo de la insulina, siendo este último parte del conocidomodelo de Sorensen. Mostramos que el modelo de los dos tanques satisfacenlas condiciones de deslizamiento, ilutramos esto mediante un ejemplo numé-rico y se pudo ver grá�camente como ocurre el deslizamiento en el espaciode estado.

Para el caso de la insulina también mostramos que la matriz correspon-diente satisface las condición de ser Metzler, tal que al aplicar la teoría demodos deslizante se logró que hubiera deslizamiento, pero aquí no es posibleilustrar el deslizamiento en el espacio de estado ya que es un sistema consiete variables de estado.

Como resultado, para el caso del modelo de los dos tanques, logramos lamejor tasa de estabilización sobre el modo deslizante al variar la pendientede la recta deslizante.

También, considerando un resultado de robustez para matrices Metzleria-nas, mostramos una manera de analizar y diseñar una estabilización robustade una familia de sistemas lineales, de manera que describimos la robustezde la estabilización lograda mediante los modos deslizantes para las dos apli-caciones. De manera que logramos el objetivo de describir un método paramejorar la tasa de estabilización y describir la robustez de la propia estabi-

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58 CONCLUSIONES

lización.A futuro es posible trabajar con el deslizamiento sobre super�cies (no

necesariamente hiperplanos pero satisfaciendo las condiciones deslizamientoy de positividad) para procurar mejorar la tasa de estabilización, y de serposible describir la robustez de la estabilidad.

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