UNIVERSIDAD DEL CAUCA - PIS Ing. Miguel Angel Niño Zambrano EDII1 Estructura de Datos Lineales...

UNIVERSIDAD DEL CAUCA - PIS Ing. Miguel Angel Niño Zambrano EDII

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Estructura de Datos Lineales

Arboles


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Introducción

• Las estructuras array y listas son estructuras de datos lineales. A cada elemento le correspondía siempre un siguiente elemento.

• Los Arboles y Grafos son estructuras de datos no lineales puesto que pueden tener diferentes siguientes elementos, y también se conocen como estructuras multi - enlazadas


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Terminología básica

• Un árbol es un conjunto, de vértices y arcos que satisfacen ciertos requerimientos. Un vértice es un objeto simple (conocido también como nodo) que puede tener un nombre, además de cierta información; un arco es la unión entre dos vértices.


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• Una ruta, en un árbol, es una lista de diferentes vértices en la que los vértices consecutivos se conectan por medio de arcos dentro del árbol. Uno de los nodos del árbol se identifica como raíz (root).

• Existe exactamente una ruta entre la raíz y un nodo.


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Terminología básica• Esta definición implica que no existen

direcciones en los arcos, normalmente pensamos en los arcos como cualquier punto más allá de la raíz.

• Cada nodo, excepto la raíz, tiene exactamente un nodo arriba de él (padre) así, los nodos que se encuentran directamente abajo de algún nodo se denominan hijos.


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• Los nodos que no tienen hijos se conocen como hojas o nodos terminales. Así, un nodo con al menos un hijo es un nodo no terminal.


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Definición recursiva

• Base. Un nodo sencillo n es un árbol (árbol trivial). Decimos que n es es la raíz de ese árbol de un sólo nodo.

• Inducción. Sea v un nuevo nodo y sean T1, T2, ..., Tk uno o más árboles con raíces c1, c2, ..., ck, respectivamente.


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• Requerimos que ningún nodo aparezca más de una vez en los árboles Ti's; y por supuesto, v, siendo un "nuevo" nodo, no puede estar en ninguno de estos árboles.


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• Generamos un nuevo árbol T de v y T1, T2, ..., Tk de la siguiente forma:

a) Hacemos v la raíz de T

b) Adicionamos un arco de v a cada c1, c2, ..., ck, haciendo a cada uno de estos últimos un hijo de la raíz v. Otra forma de ver este paso es que hemos hecho a v el padre de cada una de las raíces de los árboles T1, T2, ..., Tk.


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Árboles ordenados, orientados y libres

• Un árbol es ordenado cuando el orden de los subárboles es importante; cuando no se considera un orden para los subárboles, el árbol es orientado. En este último caso, si la dirección de los arcos se ignora, el árbol es libre.


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Árboles ordenados, orientados y libres


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Subárboles

• En un árbol T, un nodo n, junto con todos sus descendientes, es llamado un subárbol de T. El nodo n es la raíz de este subárbol.

• Cada nodo es una raíz de un subárbol formado por él y los nodos debajo de él.


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Subárboles


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Nivel, altura y longitud de ruta

• Los nodos en un árbol lo dividen en niveles: el nivel de un nodo es el número de nodos en la ruta de ese nodo hasta la raíz (sin incluirlo a él mismo).

• La altura de un árbol es el nivel máximo entre todos los nodos del árbol.

• La longitud de ruta de un árbol es la suma de los niveles de todos los nodos en el mismo


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Árbol dirigido

• Un árbol es dirigido si cada nodo tiene una dirección hacia algún otro nodo sin contener ciclos.

• Un árbol es dirigido por la raíz si existe un sólo vértice r llamado raíz, con un grado de conectividad de entrada id(r) = 0 y para el resto de los vértices v del árbol id(v) = 1.


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Anexo B


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Árbol binario

• Un árbol binario es un conjunto finito de elementos que, o está vacío, o está formado de tres partes: la primera parte consiste en un elemento denominado raíz; las otras dos partes son, por sí mismas, árboles binarios, denominados subárbol izquierdo y subárbol derecho.


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Anexo B


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Árbol binario

• Estos subárboles pueden estar vacíos. Cada elemento de un árbol binario se denomina nodo.

• En un árbol binario, generalmente se cumple que, para cada nodo: los hijos izquierdos de un nodo son menores a él y los hijos derechos de un nodo son mayores a él.


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Árbol binario

• Recursivamente definimos un árbol binario:

Base. El árbol vacío es un árbol binario

Inducción. Si r es un nodo, y T1 y T2 son árboles binarios, entonces, existe un árbol binario con raíz r, un subárbol izquierdo T1 y un subárbol derecho T2.


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Propiedades

Existe exactamente una ruta que une cualquier par de nodos en un árbol

Un árbol con N nodos tiene N - 1 arcosUn árbol binario con N nodos internos tiene N + 1

nodos externosLa longitud de ruta externa de cualquier árbol

binario con N nodos internos es 2N veces más grande que la longitud de ruta interna


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Definiciones

• Cuando un árbol binario tiene exactamente cero o dos subárboles es llamado árbol estrictamente binario, de otra forma, es un árbol de Knuth.


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Definiciones


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Definiciones

• Un árbol binario estricto de altura d es balanceado cuando cada hoja en el árbol está en el nivel d o d - 1.

• Un árbol binario estricto de altura d es completamente balanceado si todas sus hojas o nodos terminales se encuentran en el nivel d.


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Definiciones


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Definiciones


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Bosques

• Un bosque es un conjunto de árboles disjuntos, y puede ser transformado en un árbol de Knuth con el algoritmo siguiente:

1.Ligar las raíces de los árboles del bosque y seleccionar a la raíz del árbol a la izquierda como la raíz del nuevo árbol


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Bosques

2.Ligar a todos los hermanos de cada padre

3.Retirar todas las ligas de un padre a sus hijos excepto la del hijo de la izquierda


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Anexo B


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Anexo B


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Anexo B


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Anexo B


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Operaciones en árboles binarios

• INFO(p). Regresa el contenido de n.• LEFT(p). Regresa un apuntador al hijo izquierdo

de n.• RIGHT(p). Regresa un apuntador al hijo derecho

de n.• FATHER(p). Regresa un apuntador al padre de n.• BROTHER(p). Regresa un apuntador al hermano

de n.


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• ISLEFT(p). Regresa un valor verdadero (TRUE) si n es un hijo izquierdo.

• ISRIGHT(p). Regresa un valor verdadero (TRUE) si n es un hijo derecho.

• MAKETREE(x). Crea un nuevo árbol binario formado por un solo nodo con información x y regresa un apuntador a ese nodo.


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• SETLEFT(p,x). Recibe un apuntador p a un nodo de un árbol binario que no tenga hijo izquierdo. Crea un nuevo hijo izquierdo a ese nodo con información x.

• SETRIGHT(p,x). Recibe un apuntador p a un nodo de un árbol binario que no tenga hijo derecho. Crea un nuevo hijo derecho a ese nodo con información x.


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Anexo A

Programa 54


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Recorrido de árboles

• Recorrer un árbol es un método de visitas de sus nodos con el objeto de sistematizar la recuperación de la información almacenada en los mismos.

• Los recorridos pueden practicarse sistematizando la visita de los subárboles.


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Recorrido de árboles. Preorder

Función Preorder {

Se visita el nodo

Si el subárbol izquierdo existe y no se ha visitado: llamar a Preorder

Si el subárbol derecho existe y no se ha visitado: llamar a Preorder

Regresar

}


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Recorrido de árboles. Inorder

Función Inorder {

Si el subárbol izquierdo existe y no se ha visitado: llamar a Inorder

Se visita el nodo

Si el subárbol derecho existe y no se ha visitado: llamar a Inorder

Regresar

}


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Recorrido de árboles. Postorder

Función Postorder {

Si el subárbol izquierdo existe y no se ha visitado: llamar a Postorder

Si el subárbol derecho existe y no se ha visitado: llamar a Postorder

Se visita el nodo

Regresar

}


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Anexo B


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Borrado de nodos

• Para borrar cualquier nodo de un árbol binario, se debe de colocar en su lugar el nodo que está más a la izquierda del subárbol derecho o el nodo que está más a la derecha del subárbol izquierdo.


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Anexo B


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Balanceo de Árboles

• Cuando un árbol se desbalancea es necesario realizar una serie de rotaciones que acomoden la nueva raíz y se genere un árbol balanceado.

• Primero, es necesario saber cuándo un árbol se ha desbalanceado. Para ello es necesario llevar una ponderación en cada nodo a medida que se insertan nuevos elementos.


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Árbol balanceado


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• Así, si un nodo no tiene hijos o tiene ambos, su ponderación será de 0. Si tiene el hijo izquierdo, pero no el derecho, se le restará a su ponderación un 1. Si tiene el hijo derecho, pero no el izquierdo, se le sumará a su ponderación un 1. Así, cuando un nodo tenga una ponderación mayor a 1 o menor a -1, ese nodo se encuentra desbalanceado.


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• Cuatro rotaciones (depende del pivote)

– Rotación sencilla izquierda

– Rotación sencilla derecha

– Rotación doble izquierda

– Rotación doble derecha


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Anexo B


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Anexo A

Ejemplo 1 (Balanceo) Programa 55-a Programa 55-b Programa 55-c


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Árboles binarios Entretejidos o Enhebrados

• Dada la importancia de los árboles ligados, conviene desarrollar algoritmos no recursivos para manipularlos y estudiar las exigencias de tiempo y espacio de dichos algoritmos.

• Al cambiar las ligas nil en ligas especiales (entretejidas), es posible realizar recorridos, inserciones y eliminaciones sin recurrir a una pila o a la recursión.


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Árboles Entretejidos

• En un árbol binario entretejido a la derecha, cada liga derecha nil se reemplaza por una liga especial con el sucesor del nodo bajo la transversal en orden, llamada entretejido derecho.


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• Usando este tipo de árbol nos será fácil hacer una transversal en orden del mismo, pues lo único que se requiere es seguir una liga o entretejido ordinario para hallar el siguiente nodo que se visitará.


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• En un árbol entretejido izquierdo se sustituye cada liga izquierda nil con una liga especial con el predecesor del nodo bajo la transversal en orden.

• Si se tienen ambos entretejidos, el resultado se conoce como árbol binario totalmente entretejido.


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Figura 33


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Árboles de Expresión

• Un árbol de expresión se construye a partir de los operandos y operadores simples de una expresión (aritmética o lógica), colocando los operandos simples como las hojas de un árbol binario y los operadores como los nodos interiores.


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• En cada operador binario, el subárbol izquierdo contiene todos los operandos y operadores simples en el operando izquierdo del operador dado, y el subárbol derecho contiene todo lo del operando derecho.

• En un operador unitario, un subárbol estará vacío.


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• Se acostumbra escribir algunos operadores unitarios a la izquierda de sus operandos, como ‘-’ (negación unitaria) o bien las funciones estándar como log() y cos().

• Otros se escriben a la derecha, entre ellos la función factorial ( )!, o la que asume el cuadrado de un número: ( )2


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Figura 34 Figura 35 Figura 36

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