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UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST-GRADO MAESTRÍA EN DOCENCIA DE EDUCACIÓN SUPERIOR PROPUESTA DE UN PROGRAMA ORIENTADOR DEL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A PROFESORES DE CICLO DIVERSIFICADO. Trabajo Especial de Grado presentado para optar al Título de Magíster en Docencia de Educación Superior. Autor: Lic. Carlos Moreno. Tutor: Lic. Italo Avendaño, M. Sc. Puerto Ordaz, octubre, 2003.
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UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST-GRADO
MAESTRÍA EN DOCENCIA DE EDUCACIÓN SUPERIOR
PROPUESTA DE UN PROGRAMA ORIENTADOR DEL PROCESO DE
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A
PROFESORES DE CICLO DIVERSIFICADO.
Trabajo Especial de Grado presentado para optar al Título de Magíster en
Docencia de Educación Superior.
Autor: Lic. Carlos Moreno.
Tutor: Lic. Italo Avendaño, M. Sc.
Puerto Ordaz, octubre, 2003.
II
UNIVERSIDAD GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN Y POST-GRADO
ESPECIALIZACIÓN EN DOCENCIA DE EDUCACIÓN SUPERIOR
PROPUESTA DE UN PROGRAMA ORIENTADOR DEL PROCESO DE
ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A
PROFESORES DE CICLO DIVERSIFICADO.
Trabajo Especial de Grado presentado para optar al Título de Magíster en
Docencia de Educación Superior.
Autor: Lic. Carlos Moreno.
Puerto Ordaz, octubre 2003.
III
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi carácter de Tutor del Trabajo de Grado presentado por el ciudadano
Carlos Moreno, para optar al Título de Magíster en Docencia de la Educación
Superior, considero que dicho Trabajo reúne los requisitos y méritos
suficientes para ser sometido a la presentación y evaluación por parte del
jurado examinador que se designe.
En Ciudad Guayana, a los seis días del mes de octubre de 2003.
_______________________ Lic. Italo Avendaño, M. Sc.
C.I.:
IV
DEDICATORIA
Primeramente a Dios todo poderoso que me dio luz, esperanza, fuerza y
voluntad en el camino emprendido, para obtener un crecimiento personal y
profesional.
A mi amada esposa, Darly, cuya presencia vital que estuve cerca de perder
me hizo comprender su importancia para este éxito profesional.
A mis hijos, Carlos Roberto y José Gregorio, por su compañía en los
momentos más críticos de mi vida.
A mi madre, a mis hermanos, tíos y todas aquellas personas que me
ayudaron a obtener el titulo de Magíster en Docencia en Educación Superior.
A mis compañeros de aula por compartir sus vivencias, fue un privilegio estar
con ustedes.
V
AGRADECIMIENTO
Mi agradecimiento público a la Universidad Nacional Experimental de
Guayana, institución para la cual trabajo, por el apoyo brindado en la
realización de estos estudios
A mi tutor Italo Avendaño, por su vocación en la docencia, por formar
alumnos en el abordaje de nuevos retos, por preocuparse por la calidad del
egresado ugmista, por exigir al profesional mayor nivel de preparación y por tu
amistad incondicional.
Asimismo la colaboración recibida de todas aquellas personas que de una u
otra manera influyeron, para concretar mis aspiraciones.
VI
ÍNDICE
pp. CARTA APROBACIÓN DEL TUTOR……………………………… iii
DEDICATORIA………………………………………………………… iv
AGRADECIMIENTO............................................................. v
ÍNDICE GENERAL................................................................ vi
ÍNDICE DE CUADROS ix
ÍNDICE DE FIGURAS............................................... x
RESUMEN xiv
INTRODUCCIÓN.................................................................. 1
CAPÍTULO
I EL PROBLEMA ............................................................... 4
Planteamiento del Problema......................................... 4
Objetivos de la investigación......................................... 7
Objetivo General........................................................... 7
Objetivos Específicos.................................................... 7
Justificación................................................................... 8
Alcance y Limitaciones.................................................. 9
Alcance......................................................................... 9
Limitaciones.................................................................. 9
II MARCO REFERENCIAL................................................ 9
Fundamentos Teóricos…….................................. 10
Elementos Fundamentales del Proceso de Enseñanza... 10
Rendimiento Académico……........................................ 14
VII
El Docente y su Formación............................................ 21
Estrategias Didácticas...................................................... 29
Innovaciones de la Educación............................................. 42
Constructivismo ………................................................ 48
Antecedentes de la Investigación..................... 49
Definición de términos................................................... 51
III MARCO METODOLÓGICO ......................................... 53
Tipo de Investigación.................................................... 53
Población y Muestra...................................................... 54
Técnicas e Instrumentación de Recolección de datos.. 55
Técnicas de Análisis de Datos...................................... 56
IV. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 57
Comparación de la opinión de los docentes sobre las
debilidades que presentan en el área de Matemática……
57
Comparación de la opinión de los docentes sobre el contenido
de un Programa Orientador…………….……
68
Identificación de las estrategias didácticas que fueron
escogidas para conformar el programa orientador…….
71
V LA PROPUESTA 76
Contexto 77
Institucionalidad 78
Origen 79
Fundamentación 80
Objetivos 81
VIII
Concepción Curricular 82
Componente Matemático 84
Componente Estrategias Didácticas 107
VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 118
Conclusiones 118
Recomendaciones 119
REFERENCIAS 120
ANEXOS 121
IX
ÍNDICE DE CUADROS
CUADRO DESCRIPCIÓN pp.
1 Fundamentación Empírica de la Propuesta 81
2 Especificaciones Curriculares 83
X
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA pp
1 Los estudiantes de bachillerato deben dominar la teoría de conjunto
57
2 Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades para dominar la teoría de conjunto
57
3 Los estudiantes de bachillerato deben dominar la suma, resta, multiplicación y división de fracciones
58
4 Los estudiantes de bachillerato muestran incompetencias en la suma, resta, multiplicación y división de fracciones
58
5 Los estudiantes de bachillerato deben dominar las propiedades de los números reales.
59
6 Los estudiantes de bachillerato no dominan las propiedades de los números reales .
59
7 Los bachilleres manejan las operaciones inherentes al proceso de despejar ecuaciones e inecuaciones
59
8 Una de las deficiencias de los bachilleres son las fallas al momento de despejar ecuaciones e inecuaciones
59
9 Los bachilleres deben comprender los elementos de la simbología matemática
60
10 Una de las debilidades de los bachilleres que deben ser subsanadas es la comprensión de los elementos de la simbología matemática
60
11 Los estudiantes de bachillerato deben dominar el tema de funciones
61
12 Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades en el tema de funciones
61
13 Los bachilleres que ingresan a la Universidad conocen a cabalidad las operaciones necesarias para factorizar
61
14 Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia cuando factorizan
61
15 Los estudiantes de nuevo ingreso dominan los productos notables
62
16 Los estudiantes de nuevo ingreso no dominan los productos notables
62
17 Los estudiantes de nuevo ingreso dominan el procedimiento de racionalización
62
18 Los estudiantes de nuevo ingreso no dominan el procedimiento de racionalización
62
XI
19 El bachillerato prepara para la representación espacial de los
planos geométricos 63
20 El bachillerato no prepara para la representación espacial de los planos geométricos
63
21 Los bachilleres que ingresan a la Universidad deben realizar operaciones con potencias con relativa facilidad
63
22 Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia al trabajar con potencias.
63
23 Los estudiantes deben saber graficar para poder visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines
64
24 Los estudiantes que no pueden graficar presentan problemas para visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines
64
25 El dominio de los parámetros geométricos prepara al estudiante para el significado de la trigonometría
64
26 Los estudiantes tienen problemas para dominar los parámetros geométricos y por ende, la trigonometría
64
27 La habilidad de comparar es fundamental para el área de las matemáticas
65
28 Las debilidades de los estudiantes a la hora de comparar entorpecen la profundización del conocimiento matemático.
65
29 Una de las habilidades fundamentales para el área de matemáticas es el análisis
65
30 Los estudiantes tienen dificultades para analizar problemas matemáticos.
65
31 Una de las habilidades necesarias en el área de matemáticas es la inferencia
66
32 Los estudiantes presentan problemas para hacer inferencias. 66
33 El dominio de la habilidad de análisis implica, a su vez, el manejo de la capacidad de resolver problemas
66
34 El estudiante, aun cuando tiene dominio de la habilidad de análisis implica, presenta dificultades en la resolución de problemas
66
35 Los estudiantes egresados de bachillerato tienen la capacidad de internalizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos
67
36 Los estudiantes egresados de bachillerato no son capaces de internalizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos
67
XII
37 Un estudiante que puede desarrollar el proceso de análisis,
debe dominar el de síntesis 67
38 Un estudiante, aún cuando puede desarrollar el proceso de análisis, no domina el de síntesis
67
39 Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal
68
40 Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal
68
41 El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación
69
42 El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación
69
43 El programa debe contemplar temas tales como: racionalización, factorización, potenciación y otras áreas
69
44 El programa debe contemplar temas tales como: racionalización, factorización, potenciación y otras áreas
69
45 El Programa orientador debe desarrollar contenidos para el dominio en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc)
70
46 El Programa orientador debe desarrollar contenidos para el dominio en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc)
70
47 El programa debe ejercitar problemas que evidencien conocimiento teórico, mostrando para que sirven en la vida real
70
48 El programa debe ejercitar problemas que evidencien conocimiento teórico, mostrando para que sirven en la vida real
70
49 El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, orientadas a demostrar al participante como se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos
72
50 El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, orientadas a demostrar al participante como se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos
72
51 El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategias didácticas en sus clases de bachillerato
72
52 El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategias didácticas en sus clases de bachillerato
72
53 El Programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas
73
54 El Programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas
73
XIII
55 El Programa orientador utilizará estrategias individuales como
la representación, orientadas a demostrar al participante cómo utilizar esta estrategia didáctica para ejercitar a los bachilleres
73
56 El Programa orientador utilizará estrategias individuales como la representación, orientadas a demostrar al participante cómo utilizar esta estrategia didáctica para ejercitar a los bachilleres
73
57 El Programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica para ejercitar a los docentes
74
58 El Programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica para ejercitar a los docentes
74
59 El Programa orientador utilizará la “búsqueda hacia atrás” como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes
74
60 El Programa orientador utilizará la “búsqueda hacia atrás” como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes
74
61 Estructura de la propuesta 77
XIV
PROPUESTA DE UN PROGRAMA ORIENTADOR DEL PROCESO DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE EN MATEMÁTICA DIRIGIDO A
PROFESORES DE CICLO DIVERSIFICADO.
Autor: Lic. Carlos Moreno.
Tutor: Lic. Italo Avendaño, M. Sc.
RESUMEN Para la ejecución de este trabajo se toma como base la experiencia de docentes del Curso Introductorio de la Universidad Nacional Experimental de Guayana, quienes por más de quince años consecutivos dictaron un curso dirigido a desarrollar habilidades cognoscitivas en estudiantes de nuevo ingreso, lo que los convierte en sujetos objeto de estudio a la hora de diseñar un programa orientador para que profesores de Ciclo Diversificado empleen estrategias didácticas destinadas a incrementar el rendimiento en el área de matemática. Para ello se plantearon los siguientes objetivos específicos: a) Comparar la opinión de docentes de la UNEG que atienden a estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado sobre las debilidades que los bachilleres presentan en el área de Matemática; b) Comparar la opinión de docentes de la UNEG que atienden a estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado, sobre los contenidos de un programa orientador del proceso de enseñanza – aprendizaje en matemática; y, c) Identificar las estrategias didácticas que fueron escogidas para conformar el programa orientador del proceso de enseñanza –aprendizaje en el área de matemática. Para alcanzar estos objetivos en el marco metodológico se explica porque es un proyecto factible de alcance exploratorio – descriptivo, basado en una investigación de campo tipo encuesta. El instrumento diseñado se aplicó a dos muestras intencionales: una constituida por docentes de la UNEG que han tenido experiencia con estudiante de nuevo ingreso y otra por profesores de Ciclo Diversificado de Puerto Ordaz. Los resultados obtenidos permitieron elaborar la propuesta del Programa Orientador, constituida por Contexto, Institucionalidad, Origen, Fundamentación Empírica, Objetivos, Concepción Curricular, Componente Matemático y Componente Estrategias Didácticas. Se elaboraron Conc lusiones y Recomendaciones sobre los resultados preliminares obtenidos, los cuales parecen indicar que es factible la implementación del Programa propuesto. Descriptores: programa orientador, estrategias didácticas, entes matemáticos, simbología matemática.
1
INTRODUCCIÓN
Este trabajo de grado tiene como propósito elaborar una propuesta para
que docentes de educación media del ciclo diversificado puedan implementar
las estrategias didácticas que los profesores de Matemáticas de la
Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG) han identificado como
fundamentales para reforzar la posibilidad de aprobar las asignaturas del área
de matemática a nivel universitario. Se tomó el caso de la UNEG, porque es
una Institución de Educación Superior que tiene como misión contribuir
significativamente al desarrollo cultural, científico y tecnológico de la región y
del país, tomando como eje al ser humano mediante el establecimiento de un
modelo que promueve el ejercicio innovador, eficiente y pertinente de sus
funciones de docencia, investigación y extensión (UNEG, 1996). En ese mismo
documento, el Art. 6 establece que la UNEG tendrá como objetivos, entre
otros:
• Continuar con el proceso formativo de los alumnos
procedentes del nivel anterior, de acuerdo a las necesidades de
desarrollo regional, nacional y los avances científicos, humanísticos
y tecnológicos.
• Elaborar y llevar a cabo programas de investigación
dirigidos al planteamiento de alternativas y soluciones de problemas
tanto nacionales como regionales.
• Realizar y promover actividades de exte nsión que
proyecten la imagen y el prestigio de la universidad en la
comunidad.
2
El primer párrafo del Artículo 6 refuerza la idea de realización de este
trabajo, ya que se continuará con el proceso formativo de los bachilleres al
proponer un programa orientador que mejore las estrategias utilizadas por los
profesores de Ciclo Diversificado.
Como bien se sabe, las cohortes de egresados de la educación
diversificada, llegan a la Universidad con serias deficiencias, por lo cual estas
Instituciones de Educación Superior emplean diversas estrategias para tratar
de nivelarlas o podrían correr el riesgo de quedarse sin estudiantes, porque
ellos no podrán responder favorablemente a las exigencias de los estudios
superiores.
Estas estrategias pueden ser cursos que se dictan antes de iniciar la
carrera, como en el caso de la UNEG, la cual implementó un Curso
Introductorio desde el inicio de sus clases de pregrado (1988) hasta el año
2002. Este Curso no buscaba nivelar las deficiencias que traían los bachilleres
de sus estudios precedentes, sino dar al estudiante herramientas para que
pudiese fortalecer el proceso de adquisición de los conocimientos, y a la
misma vez, desarrollar mecanismos que le permitieran estar consciente de
cómo los obtiene y cómo los puede emplear en nuevas experiencias.
El interés de este Trabajo de Grado se centró en conocer, mediante la
opinión de docentes de Matemáticas de la UNEG y de profesores de Ciclo
Diversificado, cuáles son las deficiencias que deben subsanarse y cuáles las
habilidades numéricas que deben traer los bachilleres para propiciar una
prosecución satisfactoria en el transcurso de la carrera. A partir de esta
información, se elaboró un programa orientador dirigido a docentes de Ciclo
Diversificado para la optimización de las estrategias didácticas que utilizan en
el aula de clase.
Este Proyecto consta de seis capítulos; el primero de ellos es el
Problema y contiene el planteamiento del problema, los objetivos que la
orientan, la justificación y los alcances y limitaciones que se pueden
encontrar.
El segundo capítulo, Marco Teórico, contiene los antecedentes de la
3
investigación, las bases teóricas, el sistema de variables y el glosario.
El tercer capítulo, denominado Marco Metodológico trata del tipo de
investigación, la población y muestra, los instrumentos de recolección de
información y describe el análisis que se le realizó a los datos recolectados.
En el cuarto Capítulo se presentan y analizan los resultados obtenidos
con la finalidad de demostrar el logro de los objetivos específicos planteados; y
en el Capítulo V se listan las Conclusiones y Recomendaciones elaboradas.
El Capítulo VI recoge todos los elementos que se consideraron en el
análisis de los resultados y que se incorporan en la Propuesta de un Programa
Orientador dirigido a profesores de Ciclo Diversificado.
Finalmente, se listan las referencias consultadas y los anexos que se
elaboraron.
4
CAPITULO I
EL PROBLEMA
Planteamiento del Problema
En la actualidad, la educación superior está siendo sometida a presiones
de distintas fuentes que plantean retos y desafíos, razón por la cual se
reconoce que vive uno de los momentos más complejos con relación a su
responsabilidad social, ya que tiene que dar respuestas a las demandas y
necesidades de una sociedad con profundas desigualdades. De allí que la
Universidad debe redefinir su misión para los tiempos venideros a fin de lograr
la equidad social y disminuir los procesos de marginalidad que han surgido de
la creciente globalización de la sociedad planetaria.
Un modo de procurar la disminución de esta creciente marginalidad
consiste en impartir explicaciones claras y coordinadas con la práctica y
proporcionar al alumnado materiales adecuados para la preparación y
evaluación de las materias. Así lo han demostrado Martínez y Moreno (2002)
en la asignatura Fundamentos Metodológicos en Psicología que se imparte en
la Universidad de Sevilla. Los autores citados afirman que:
…. cuando la mejora derivada de ambos factores no es suficiente, puede entenderse que el profesorado no está favoreciendo un aprendizaje suficientemente significativo en el alumnado; que relegue el ejercicio de la memorización de contenidos a la mínima expresión y por el contrario fomente la adquisición de usos y aplicaciones de dichos contenidos; un aprendizaje de un programa entendido como una serie estructurada de competencias a adquirir
5
más que como conjunto de conceptos a repetir como meros formulismos verbales. (p. 3).
Esto es especialmente importante en el área de la matemática, en la cual
se ha evidenciado una deficiencia en el manejo de conceptos matemáticos en
los estudiantes que inician estudios en las instituciones de educación superior,
lo que los ha llevado al fracaso, o en el mejor de los casos, a hacer una
carrera plena de altibajos por no tener buenas bases conceptuales que le
permitan la obtención de los nuevos conocimientos.
Puesto que las Universidades son responsables de lograr que todo
egresado posea un nivel adecuado de conocimientos, éstas se han visto
obligadas a diseñar cursos propedéuticos con la finalidad de nivelar en seis
meses, las fallas que durante años los estudiantes de bachillerato han
acumulado. Básicamente, estos cursos buscan “dar una base sólida para
proseguir estudios de nivel intelectual superior” (Peraza, 1995).
La Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG) no escapa de
esa realidad, y desde que inició las carreras de pregrado (1988), instituyó
como requisito de ingreso como estudiante regular, la aprobación del Curso
Introductorio, el cual no fue diseñado con la intención de nivelar las fallas
traídas por los estudiantes sino más bien con el objetivo de desarrollar en ellos
habilidades y destrezas para la solución de problemas.
Este curso fue analizado por Martínez (1994, p. 8) como alternativa
orientadora de “los cursos previos al acceso al nivel educativo universitario, a
efectos de incrementar la eficacia de éstos en la consecución de un mejor
desempeño como universitarios”. A pesar de las bondades que el Curso
Introductorio UNEG presentaba, no perduró en el tiempo y fue eliminado a
finales de 2002. Sin embargo, se trae como antecedente histórico ya que su
punto focal era el desarrollo de procesos de pensamiento como el análisis y la
síntesis, entre otros, pues se ha comprobado que muchas de la dificultades
que tienen los estudiantes están relacionadas con las carencias de
“habilidades para procesar información y repercuten en el desarrollo de
esquemas que faciliten el almacenamiento, la recuperación y el uso apropiado
6
de los conocimientos” (Sánchez, 1991, p. 32). Es por ello que el punto central
a desarrollar en este Curso era el “desarrollo de destrezas cognoscitivas, tales
como: solución de problemas, toma de decisiones, observación, análisis,
síntesis, lectura comprensiva y crítica, pensamiento simbólico y matemático”
(Reglamento General de la UNEG, 1996, Artículo 47).
Como se puede evidenciar, su objetivo no era nivelar al estudiante sino
prepararlo para su futuro universitario; estaba compuesto por cuatro
componentes a través de los cuales logra sus objetivos: Desarrollo de
Procesos Cognoscitivos, Lectura Comprensiva y Crítica, Métodos y Técnicas
de Estudio y Matemática; cada uno de los cuales, a través de sus estrategias
de enseñanza, apuntaban hacia la obtención de las herramientas
cognoscitivas necesarias para lograr el éxito en la vida universitaria.
Las conductas que el componente de Matemáticas del Curso Introductorio
quería desarrollar en el estudiante eran separar datos, dar ejemplos, graficar,
constituir definiciones a partir de ejemplos y de gráficos, aplicar métodos,
extraer metas, extraer datos, definir variables de un problema, relacionar
variables, entre otras.
Como cualquier docente de Matemáticas puede afirmar, el desarrollo de
estas habilidades debe preparar al estudiante para la resolución de problemas
del área de matemática. Ahora que este Curso ha sido eliminado existe la
posibilidad de que los profesores de la UNEG que tuvieron esa experiencia
puedan trasladar las metodologías que promueven el desarrollo de estas
habilidades para profesores de Ciclo Diversificado, mediante un programa
orientador diseñado al efecto. Dado que este curso fue implementado por
quince años consecutivos, la experiencia de los docentes de la UNEG, los
constituyen en sujetos – objeto de estudio que pueden tener opiniones
específicas y fundamentadas sobre la posibilidad de desarrollar este tipo de
programa que trataría de disminuir las deficiencias que presentan los
bachilleres en las áreas de Matemática.
Estos hechos promueven en el autor el deseo de investigar la opinión de
docentes del Área de Matemática de la UNEG para determinar las deficiencias
7
que traen los estudiantes y poder inferir elementos que deberían estar
presentes en un programa orientador destinado a potenciar las habilidades de
docentes del ciclo diversificado en el área de matemática.
Es por ello que se plantean las siguientes preguntas de investigación.
¿Existen diferencias de opinión entre los profesores de la UNEG y los de ciclo
diversificado sobre las deficiencias que presentan los bachilleres de nuevo
ingreso en el área de matemáticas? ¿Existen diferencias entre los profesores
de la UNEG y los de ciclo diversificado sobre las estrategias didácticas que
deben emplearse en un programa orientador del proceso de enseñanza –
aprendizaje en matemática?¿Cuáles estrategias didácticas fueron identificadas
por los docentes que puedan ser potenciadas en un programa orientador
dirigido a docentes del ciclo diversificado en el área de matemática?.
Objetivos
Objetivo General
Elaborar una propuesta de un programa de orientador del proceso de
enseñanza – aprendizaje en matemática dirigido a profesores de ciclo
diversificado.
Objetivos Específicos
- Comparar la opinión de docentes de la UNEG que atienden a
estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado
sobre las debilidades que los bachilleres presentan en el área de
Matemática.
8
- Comparar la opinión de docentes de la UNEG que atienden a
estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado,
sobre los contenidos de un programa orientador del proceso de
enseñanza – aprendizaje en matemática.
- Identificar las estrategias didácticas que fueron escogidas para
conformar el programa orientador del proceso de enseñanza –
aprendizaje en el área de matemática.
Justificación
La importancia de esta investigación radica en que la propuesta de un
programa orientador del proceso de enseñanza –aprendizaje en el área de
matemática, dirigido a docentes del ciclo diversificado podría contribuir a
potenciar las fortalezas de los bachilleres para desenvolverse en las
asignaturas relacionadas con matemática durante la carrera universitaria, pues
una mejor preparación de sus docentes inducirá el desarrollo de habilidades
para obtener una mejor actuación universitaria.
El proyecto le daría una herramienta de trabajo a los docentes
universitarios para integrarse con los profesores que forman “la materia prima”
que ingresa a la universidad, así como promovería en los estudiantes
habilidades para afrontar, con posibilidad de éxito, sus estudios en pregrado.
La idea de orientar a los docentes para el uso de estrategias didácticas para
incrementar habilidades como “leer” matemática, aplicar las definiciones en el
campo de la vida real (resolución de problemas), seguridad para buscar
información y procesarla en el campo de la acción, entre otras, coadyuvaría a
aclarar el proceso de aprendizaje en el estudiante que viene de bachillerato
con todas las limitaciones que se han señalado.
Sería una vía para hacer extensión universitaria, ya que el proyecto le
brindaría la oportunidad a los docentes de la UNEG de relacionarse con los
9
centros de educación diversificada de la región.
También va a permitir repensar el acto educativo en los niveles previos a la
universidad, porque el problema debe ser abordado en forma integral y
sistémica.
Alcance y Limitaciones
Alcance
Esta investigación presenta una propuesta de un programa orientador
para docentes del ciclo diversificado, en aras de permitir que ellos
implementan estrategias didácticas que, en opinión de docentes que dictaron
el Curso Introductorio de la UNEG, coadyuvarían a optimizar la preparación de
los bachilleres para su ingreso al nivel superior.
Limitaciones
Una de las limitaciones que se encontró es la utilización de un mismo
vocablo: estrategias didácticas, para denominar acciones del proceso
educativo que son diferentes. Este hecho se encontró tanto en los docentes de
la UNEG como en los profesores del Ciclo Diversificado, lo cual le impuso al
autor la necesidad de analizar esta denominación para poder confiar en la
información que se recolectó con la encuesta diseñada.
10
CAPITULO II
MARCO DE REFERENCIA
Fundamentos Teóricos
Elementos Fundamentales del Proceso de Enseñanza
Se pueden identificar seis elementos fundamentales en el proceso
enseñanza-aprendizaje: el alumno, el profesor, los objetivos, la materia, las
técnicas de enseñanza y el entorno social, cultural y económico en el que se
desarrolla.
Los alumnos y profesores constituyen los elementos personales del
proceso, siendo un aspecto crucial, el interés y la dedicación de docentes y
estudiantes en las actividades de enseñanza-aprendizaje. Los objetivos sirven
de guía en el proceso, y son formulados al inicio de la programación docente.
La materia, por su parte, constituye la sustancia, el conocimiento que es
necesario transmitir de profesor a alumno, y que debe ser asimilada por éste.
Las técnicas de enseñanza, los medios y métodos a través de los cuales se
realiza la labor docente dependen de la naturaleza de la asignatura. Por
último, el entorno condiciona en gran medida el proceso.
Por tanto, la enseñanza y el aprendizaje son dos fenómenos correlativos
y relacionados por lo que se denomina la relación didáctica. Se distinguen tres
etapas en la acción didáctica:
A) Planteamiento. En esta etapa se formulan los objetivos educativos y
11
los planes de trabajo adaptados a los objetivos previstos. La formulación de un
plan implica la toma de decisiones anticipada y la reflexión con anterioridad a
la puesta en práctica.
B) Ejecución. Posteriormente al planteamiento, el profesor pone en
práctica los recursos y métodos didácticos, desarrollándose el proceso de
enseñanza.
C) Evaluación. Es la etapa en la que se verifican los resultados obtenidos
con la ejecución, materializándose en el proceso de evaluación. (Pujol Balcells,
y Fons Martin,1981, p. 32)
Por tanto, el proceso de enseñanza-aprendizaje se desarrolla en varias
etapas, y comporta un proceso de comunicación entre el docente que enseña,
que transmite unos conocimientos y a quien se enseña, el alumno o también
denominado discente. Comúnmente, la evaluación de este proceso se traduce
en cuantificaciones de lo que se conoce como rendimiento académico, por lo
cual existen numerosos estudios que buscan como elevarlo en función de la
relación de cada uno de los seis elementos fundamentales previamente
identificados.
Uno de esos estudios fue realizado por Martínez y Moreno (2002) en el
cual se pretende explorar las ventajas, y los posibles inconvenientes, de un
proceso de enseñanza en el que las actividades del profesor y los materiales
de trabajo fomenten un aprendizaje activo y significativo en el que el alumno
vaya adquiriendo las sucesivas competencias definitorias de la materia a
través de una práctica variada, organizada, relevante y reflexiva. Para hacerlo,
los autores citados hacen referencia al modelo psicológico formulado por
Ribes (1990) y Varela y Ribes (2002) con desarrollos en campos afines como
la inteligencia y el aprendizaje, y su aporte consiste en modificar este
paradgma conceptual para su aplicación al nivel universitario.
Martínez y Moreno (Ibídem) afirman que: “se entiende a la educación
formal como el diseño de un ambiente que promueve en los alumnos el
desarrollo de comportamientos o competencias inteligentes mediante un
aprendizaje estructurado”. En este aspecto, el modelo de los autores coincide
12
con lo planteado por otros– como los constructivistas - en que tal educación
debe ser el diseño de una intervención que sea un ajuste permanente a los
procesos de aprendizaje activo que ha de realizar el alumno en interacción con
su medio, debiendo ubicarse el profesor para ello en el límite creciente de la
competencia de los alumnos (Bruner, 1988) y siendo un mediador entre el
conocimiento a impartir y el conocimiento previo de los alumnos (Ausubel,
Novak y Hanesian, 1983).
El trabajo citado concluye afirmando que existen algunos efectos de un
modelo de fomento de aprendizaje significativo sobre el rendimiento de los
estudiantes; confirmado por “la mejor proporción media de aciertos obtenidas
en pruebas específicas en los apartados temáticos de la asignatura que se
impartieron según este modelo” (Martínez y Moreno, 2002, p. 10). Sin
embargo, no es posible dilucidar exactamente qué papel le corresponde al
modelo de fomento del aprendizaje significativo en el rendimiento final en la
asignatura de los alumnos, pero parece indicar que sus efectos se limitan al
nivel de las clases presenciales.
Principios Metodológicos
La eficacia en la motivación del alumnado y la transmisión de
conocimientos precisa del conocimiento de ciertas técnicas y principios.
Fernández (1990) señala una serie de principios metodológicos básicos de la
enseñanza:
1) Principio de no sustitución. El estudiante debe ser activo en su
proceso de aprendizaje, hacer por él lo que él debiera hacer, anularía su
autoestima, su toma de conciencia de lo que es capaz, de tomar decisiones
razonadamente por sí mismo, etc.
2) Principio de actividad selectiva. No se deben sustituir las actividades
mentales superiores y más específicamente humanas (razonar, comprender,
13
aplicar, sintetizar, etc.), por otras actividades cuyo proceso mental es de
inferior jerarquía. El memorizar información no debe constituir la única
actividad de los alumnos.
3) Principio de anticipación. Es preciso conocer el nivel de los alumnos,
sus conocimientos previos, para avanzar partiendo de lo que dominan y
ayudarles a llegar al objetivo de enseñanza fijado.
4) Principio de motivación. Este aspecto es crucial para todo estudiante.
Nadie aprende si no le mueve alguna razón. Bien puede ser por la motivación
hacia el contenido terminal del aprendizaje, es decir, motivación porque lo que
hay que aprender por sí mismo es interesante; la motivación por mediación
instrumental ya que el alumno capta la importancia de un aprendizaje como
instrumento útil para el logro de un objetivo deseado; el método didáctico
utilizado por el profesor atrae a los alumnos, pero no sólo por el lado de la
amenidad, sino por el lado de la participación, el desafío intelectual, etc; por el
profesor, pues el contacto entre el docente y el alumno, y el cómo éste se
establece, reside una poderosa razón motivadora en los procesos de
enseñanza-aprendizaje; motivación por la co-decisión curricular, ya que el
hecho de tomar decisiones sobre como se va a administrar la asignatura o
cómo va a ser evaluado, es un efecto motivador universalmente confirmado; y
el efecto sinérgico Zeigarnik-Hawthorne (citado por Fernández, 1990) el cual
se refiere a la motivación producida “cuando un profesor hábil sabe crear una
sensación de desafío. Aparece igualmente, cuando un grupo advierte que se
encuentra embarcado en un proyecto pionero o de investigación.”(p. 32)
Didáctica.
De la eficacia del profesor va a depender la relación entre lo que se
enseña y lo que el alumno aprende. Un criterio fundamental para determinar el
éxito de la actividad didáctica es la capacidad desarrollada por el estudiante de
resolver nuevos y variados problemas, en otras palabras, “lo que acontece al
alumno como consecuencia de la actividad del profesor” (curso de didáctica)
14
Si se define la educación como el proceso que tiende a capacitar al
individuo para actuar conscientemente frente a situaciones nuevas,
aprovechando la experiencia previa que posee, y teniendo en cuenta la
inclusión del individuo en la sociedad, se puede por lo tanto decir que la
educación es un proceso social más amplio y de mayor rango que la mera
instrucción, la cual se limita a transmitir destrezas técnicas o teorías
científicas.
Se puede entonces concluir que la educación requiere de una reflexión y
una dirección que la lleve a alcanzar los objetivos propuestos. Se hace preciso
un conjunto de procedimientos y normas destinadas a dirigir el aprendizaje del
modo más eficiente posible.
Rendimiento Académico
Existen diversas definiciones de rendimiento académico; Parrra (1998)
cita las siguientes:
• Borrego (1.985) lo concibe como el logro del aprendizaje obtenido por el alumno a través de las diferentes actividades planificadas por el docente en relación con los objetivos planificados previamente; por su parte.
• Caraballo (1.985) lo definió como la calidad de la actuación del alumno con respecto a un conjunto de conocimientos, habilidades o destrezas en una asignatura determinada como resultado de un proceso instruccional sistémico.
• Páez (1.987) señala que el rendimiento académico es el grado en que cada estudiante ha alcanzado los objetivos propuestos y las condiciones bajo las cuales se produjo ese logro.
• El Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación (1.986) lo explica como el proceso alcanzado por los alumnos en función de los objetivos programáticos previstos, y que puede ser medido mediante la realización de actividades de evaluación.
• El producto que da el alumnado en los centros de enseñanza y que habitualmente se expresa a través de las calificaciones escolares (concepto elaborado por Martínez Otero- Pérez, s/f)
15
Todas las definiciones dadas, exceptuando la que contempla el
Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación, coinciden en un punto,
y es que para precisar el rendimiento escolar o académico logrado por un
grupo de alumnos han de considerarse dos aspectos fundamentales en el
proceso educativo: aprendizaje y conducta.
Martínez - Otero (s/f) refiere los resultados de un proyecto de
investigación realizado en 1997 en España con adolescentes del último año de
bachillerato; en el cual identifica algunos “Condicionantes del rendimiento
académico”, los cuales se resumen muy brevemente a continuación: este autor
hace la siguiente salvedad:
Para facilitar la exposición se analizan los distintos condicionantes por separado, mas no hay que olvidar, que el rendimiento escolar depende, en mayor o menor grado, de numerosas variables que configuran una enmarañada red en la que es muy difícil calibrar la incidencia específica de cada una. (Ibídem)
Inteligencia . Existen numerosos estudios que demuestran que hay
correlaciones positivas entre factores intelectuales y rendimiento, es preciso
matizar que los resultados en los tests de inteligencia o aptitudes no explican
por sí mismos el éxito o fracaso escolar, sino más bien las diferentes
posibilidades de aprendizaje del alumno. Para explicar esta situación o la
inversa (escolares con bajas puntuaciones y alto rendimiento) hay que apelar a
otros aspectos, v. gr., la personalidad o la motivación. Cuando se consideran
estos factores las predicciones sobre el rendimiento académico mejoran.
Entre las variables intelectuales, la que tiene mayor capacidad predictiva
del rendimiento académico es la aptitud verbal (comprensión y fluidez oral y
escrita). La competencia lingüística influye considerablemente en los
resultados escolares, dado que el componente verbal desempeña una
relevante función en el aprendizaje.
Personalidad. Durante la adolescencia acontecen notables
transformaciones físicas y psicológicas que pueden afectar al rendimiento; y
16
los profesores deben estar preparados para canalizar positivamente estos
cambios. Sin embargo, el estudio citado refiere que los rasgos de personalidad
que han tenido mayor relevancia son la perseverancia, en cuanto rasgo de
personalidad; y se confirma la idea de los autores que sostienen que durante
el bachillerato suelen tener calificaciones más elevadas los estudiantes
introvertidos que los extravertidos, quizás porque se concentran mejor.
Hábitos y técnicas de estudio. El autor afirma que ha comprobado que
los hábitos y técnicas de estudio tienen gran poder predictivo del rendimiento
académico, mayor incluso que las aptitudes intelectuales. Las dimensiones
con más capacidad de pronosticar los resultados escolares son las
condiciones ambientales y la planificación del estudio. En efecto, el
rendimiento intelectual depende en gran medida del entorno en que se estudia.
La iluminación, la temperatura, la ventilación, el ruido o el silencio, al igual que
el mobiliario, son algunos de los factores que influyen en el estado del
organismo, así como en la concentración del estudiante.
Intereses profesionales. En cuanto a la relación de la dimensión que
analizamos con el rendimiento académico se comprueba que los intereses
vocacionales-profesionales tienen escaso poder predictivo de los resultados
escolares, quizá porque las puntuaciones en intereses tienen, en general, poca
estabilidad en la educación secundaria y se consolidan a partir de los
dieciocho años. Asimismo, Martínez – Oviedo afirma que ha comprobado que
los alumnos de rendimiento académico alto se interesan más por el área
científica que los escolares de rendimiento medio y bajo.
Clima social escolar. El clima escolar depende de la cohesión, la
comunicación, la cooperación, la autonomía, la organización y, por supuesto,
del estilo de dirección docente. En general, el tipo de profesor dialogante y
cercano a los alumnos es el que más contribuye al logro de resultados
positivos y a la creación de un escenario de formación presidido por la
cordialidad. Los resultados obtenidos por el autor apoyan la opinión de los
investigadores que no son partidarios de las estructuras de aprendizaje de tipo
competitivo. Por el contrario, la cooperación entre alumnos, además de
17
favorecer el rendimiento académico, genera relaciones personales positivas
entre ellos.
Ambiente familiar . El clima familiar influye considerablemente en el
educando tanto por las relaciones que se establecen en el hogar, como por los
estímulos intelectuales, culturales, etc. que se brindan, así como por la forma
de ocupar el tiempo libre. La familia es la institución natural más importante en
la formación. En la investigación analizada (Martínez –Oviedo, s/f) se ha
comprobado que las actividades sociales y recreativas de la familia constituyen
un buen indicador de la influencia que esta institución ejerce sobre el
rendimiento escolar del alumno.
El autor concluye reiterando que rendimiento académico en los distintos
niveles educativos es el resultado de una constelación de factores. Pese a los
numerosos estudios sobre el tema, permanecen las incógnitas y dificultades
del sistema educativo, en general, y de los educadores, en particular, a la hora
de erradicar el elevado fracaso escolar.
En este artículo se han descrito sumariamente algunos condicionantes
del rendimiento escolar en la adolescencia; pero se conoce que los factores
que inciden en el rendimiento son numerosos y constituyen una intrincada
malla. En cualquier caso, una taxonomía apropiada para acercarse al
fenómeno que nos ocupa ha de permitir reconocer entreveradamente tres
grupos de condicionantes:
1) psicológicos (rasgos de personalidad, aptitudes intelectuales, etc.), 2) pedagógicos (hábitos y técnicas de estudio, estilos de enseñanza -aprendizaje, etc.), y 3) sociales (ambiente familiar y escolar, mass media, etc.). Si partiendo de los condicionantes analizados en el artículo tuviésemos que reflejar por medio de una ecuación el perfil de un alumno con alto rendimiento académico, dicha expresión estaría integrada por los siguientes valores: buena aptitud verbal, perseverancia, hábito de estudiar y dominio de técnicas, intereses científicos, organización e integración en la escuela, ocupación saludable del tiempo libre y apoyo familiar. Andrade, M., Miranda, Ch., y Freixas, I. (2001) realizaron un estudio
cuantitativo, descriptivo, correlacional, multivariado por los factores (o variables
18
independientes), explicativo (varianza del Rendimiento Académico), y
predictivo vía explicación matemática (comunalidad, intersección o dispersión
concomitante entre los factores y el criterio), cuyo interés se centró en
responder la siguiente pregunta : ¿Cómo se relacionan las Inteligencias
Múltiples Lógico-Matemática y Lingüística, el Currículum del Hogar con el
Rendimiento Académico de los Alumnos de Segundo Año Medio de Liceos
Municipalizados de la Comuna de Santiago?.
Para ello, aportaron antecedentes teóricos y empíricos a la
conceptualización y métrica de las teorías de las Inteligencias Múltiples, en su
parte Lógico-Matemática y Lingüística, el Currículo del Hogar y la Autoestima;
determinar y comprender los niveles de relación de algunas variables
intelectuales, del Hogar con el Rendimiento alcanzado de los alumnos; y
establecer las variables que mejor describan y explique los niveles de
Rendimiento Académico de los alumnos.
Los resultados obtenidos a partir de este estudio, revelan que la variable
Condiciones Necesarias en el Hogar para Motivar el Deseo de Aprender y la
Inteligencia Lógico Matemática tienen igual poder de determinación sobre el
Rendimiento en castellano. Respecto del Rendimiento en Matemáticas; el
máximo de predicción lo entrega la Inteligencia Lógico-Matemática, con un
14,2%, más la Inteligencia Lingüística que aporta un 1,9%. Se ratificó aquí el
poder influyente que aporta la Familia sobre los Rendimientos académicos; y,
se añaden variables que han sido poco exploradas sistemáticamente en Chile:
Inteligencias Múltiples y Condiciones para Motivar los Aprendizajes.
Se puede concluir que, a pesar que el rendimiento depende de múltiples
factores que se entrelazan, la motivación es uno de los que se ha encontrado
con mayor poder predictivo. La línea de investigación liderada por Romero
García y que rige el trabajo de Parra se centra en la importancia que tiene la
variable motivación sobre el rendimiento académico, la cual reitera mediante
una cita textual de otro autor: "esta afirmación apunta al control de una variable
por sobre todas las demás: la motivación." (Salas A. R., 1.996; citado por
Parra, 1998).
19
Diversos estudios llevados a cabo en el país, permiten inferir la
importancia dada a la motivación como factor incidente en el rendimiento del
hombre, ya sea en el campo académico como en el profesional. Oswaldo
Romero García (1.977), Colombia Salón de Bustamante (1.981) y más
recientemente Mario Bedoya Orozco (1.992-1.995), quienes han trabajado
para el Laboratorio de Psicología de la Universidad de los Andes (Mérida,
Venezuela), hoy Centro de Investigaciones Psicológicas, han desarrollado una
serie de investigaciones orientadas a descubrir la importancia que tiene la
motivación sobre el rendimiento académico del estudiantado venezolano. En
esta línea, algunos especialistas piensan que el rendimiento académico de los
estudiantes está ligado a sus habilidades intelectuales. No obstante, un
estudio realizado por Romero García en 1.980 comprobó que no existen
diferencias significativas entre el cociente intelectual de estudiantes repitientes
y no repitientes, “lo que le incentivó a buscar razones en otros ámbitos,
descubriendo a la motivación como factor interviniente y decisivo en el citado
rendimiento” (Ibídem)..
Bajo estas afirmaciones, el rendimiento académico, en principio, es
concebido como un problema que sólo se resolverá, de forma científica,
cuando se determine la relación existente entre el trabajo realizado por
los docentes en interacción con sus alumnos, por un lado, y la
educación, es decir, la perfección intelectual y moral lograda por éstos,
por otro. El autor de este trabajo subraya en negritas la conceptualización
anterior porque estima que es el centro de la discusión sobre rendimiento
académico, y que no es otro que la manera en la cual éste debe reflejar los
logros del proceso educativo.
En tal sentido, los avances experimentados por la pedagogía
experimental (Lexus, 1.997, citado por Parra, 1998) permiten llegar a un
conocimiento bastante exacto de lo que un alumno aprende; no obstante,
midiendo la instrucción, además del aspecto intelectual de la educación, se
podrán conocer otros factores volitivos, emocionales, sociales, que influyen en
aquella. De esta manera, la medida de la instrucción dice mucho acerca de la
20
inteligencia de los alumnos, así como también de sus habilidades y destrezas,
de su voluntad, motivación, sentimientos, capacidades, e incluso, de las
condiciones sociales y culturales en el que se desenvuelven. Puede
distinguirse, entonces, dos facetas en el aprendizaje como indicador del
rendimiento académico e intelectual del estudiante: los conocimientos
adquiridos y los hábitos que le permiten ejecutar con facilidad operaciones, por
lo general, de carácter intelectual.
Ejemplificando lo anterior, en la enseñanza de las matemáticas se
atiende tanto a que el aprendiz adquiera las ideas fundamentales (nociones)
de una operación, como sumar, así como también a la rapidez y corrección
demostrada durante una ejecución o práctica. Que el aprendiz conozca cómo
se llaman los datos, sus propiedades y reglas, son un conjunto de
conocimientos aprendidos, mientras que sumar con rapidez y corrección es el
fruto de un hábito adquirido; de allí se deduce que la inteligencia se manifiesta
en el saber y en la aptitud para ejecutar trabajos intelectuales, en términos de
rendimiento, habrá que referirse a conocimientos y hábitos mentales, es decir,
a un aprendizaje.
Sustentando en lo anterior, el rendimiento académico es definido como la
relación entre lo obtenido, expresado en una apreciación objetiva y cuantitativa
(puntaje, calificación) o en una subjetiva y cualitativa (escala de valores,
rasgos sobresalientes) y el esfuerzo empleado para obtenerlo, y con ello
establecer el nivel de alcance, así como los conocimientos, habilidades y/o
destrezas adquiridas, el éxito o no en la escolaridad, en un tiempo
determinado. (Zubizarreta, 1.969, citado por Parra, 1998).
Ahora bien, Romero García (1.985) no sólo define el término, sino que
además establece la relación entre este concepto y el aprendizaje; en tal
sentido, expone que rendimiento es ejecución, actuación. Un estudiante,
aclara, debe aprender contenidos científicos, desarrollar destrezas
profesionales y una determinada forma de percibir y concebir el mundo que es
propio de su área de su especialización. Para llegar a ello debe sufrir su
aprendizaje. Todo verdadero aprendizaje es doloroso en el sentido de requerir
21
esfuerzo, constancia, tolerancia al fracaso y, en cierto modo, no ser
inmediatamente recompensado. Es inútil pensar que podemos aprender sin
esfuerzo. Para aprender hay que trabajar duro en la comprensión del
conocimiento y en su uso, único camino hacía la maestría de una disciplina o
profesión. Aprendizaje y rendimiento, sostiene Romero García, son lo mismo
cuando la medida de este último representa válidamente aquel.
Así mismo, refiere Romero García, la relación inevitable entre el término
rendimiento y evaluación, pues, en la vida del escolar lo que permite visualizar
el rendimiento de los alumnos no es más que producto del sistema de
evaluación. El problema de la evaluación justa y objetiva representa aún un
gran reto para los especialistas en materia educativa, pero, …”por ahora y con
todas las limitaciones inevitables, entiéndase por rendimiento las
calificaciones escolares, que no hacen justicia a lo aprendido ni a los
conocimientos teóricos o prácticos adquiridos por los estudiantes, pero que
tienen una significativa relevancia social” (Parra, 1998).
El Docente y su Formación.
Según un estudio de la Universidad de Salamanca (Universia.es, 2003)
se deben realizar investigaciones destinadas a aumentar el rendimiento
académico de los estudiantes universitarios “teniendo en cuenta los tres tipos
de variables; institucionales, alumnado y profesorado”. Ese mismo informe
establece que “Los profesores de la Universidad consideran que las causas
principales del bajo rendimiento del alumno universitario son el bajo nivel con
el que llegan a la educación superior y el excesivo numero de asignaturas
que tienen que cursar cada semestre”.
Por otra parte, entre las causa debidas a los propios profesores el
informe subraya la baja estimulación para la dedicación a la tarea docente, la
falta de estrategias de motivación por parte del profesor y la escasa
comunicación entre docente y alumno. Sin embargo, los profesores de esa
Universidad valoran en forma positiva las condiciones de docencia, opinión
22
fundamentada principalmente en la dedicación de un tiempo razonable en la
preparación de las clases.
No obstante, el informe concreta algunos aspectos negativos como la
escasa preparación previa de los alumnos, la deficiente coordinación entre
los programas, la reducida posibilidad de promoción personal que ofrece la
Universidad y la escasa coherencia académica de los planes de estudio
(Universia.es, 2003) .
Sobre el profesorado el informe aconseja tomar medidas orientadas al
reconocimiento de las tareas docentes (no solo para impartir las clases, sino
con actividades de puesta al día, preparación de materiales, corrección de
ejercicios) y a la potenciación de la formación pedagógica del profesorado
(Universia.es, 2003).
Vela (1996) en un Programa de Capacitación de Capacitadores
especifica que ellos deben ser “sujetos”, esto es, que tomen sus propias
decisiones; además hace énfasis en que deben ser congruentes y esto lo
sustenta en la parte introductoria del curso que dicta:
Señoras y señores, a lo largo de este curso yo haré lo mismo que les estoy enseñando a hacer a ustedes. No lo haré perfectamente. Será tarea de ustedes el hacer preguntas cuando vean que existe una falta de congruencia entre lo que estoy diciendo y lo que estoy enseñando. La importancia de este aspecto es reafirmada por el autor citado en la
siguiente afirmación: “empleamos una quinta parte del tiempo total del curso
de capacitación en establecer el ambiente adecuado”. Esto quiere decir que la
importancia de la actitud del facilitador y su capacidad de crear un clima
adecuado es un elemento esencial para la formación de formadores.
Dado que el objeto de estudio del presente trabajo de grado es la
elaboración de una propuesta orientadora para que profesores de Ciclo
Diversificado mejoren sus estrategias didácticas de enseñanza en el área de
matemática, nos ha parecido extremadamente interesante comenzar el aparte
23
referente al Docente con la discusión de un trabajo sobre las características de
la educación secundaria, elaborado por el Rector de una universidad chilena.
Schiefelbein y Zúñiga (2001) hacen referencia a un informe elaborado
por la UNESCO y OCDE (2000), en el cual se muestra que en América Latina
los alumnos tienen una reducida capacidad para entender mensajes escritos,
relacionar antecedentes, procesar información y llegar a conclusiones
razonadas; y por ello enfocan su atención a las deficiencias que traen los
alumnos que egresan de la educación secundaria.
Estos autores afirman que el haber completado la educación media en
Chile (para aquellos que no terminaron la universidad) no les asegura las
competencias y destrezas básicas consideradas indispensables para participar
en una sociedad moderna (OCDE, 2000). Lo mismo se repite para otros
países de Latinoamérica, en este caso en Venezuela también se da la escasa
preparación de los bachilleres para el mercado laboral.
Schiefelbein y Zúñiga (2001) afirman que:” La educación secundaria
tiene como misión asegurar la convivencia social y conservar las principales
tradiciones de una sociedad, por lo que favorece la comunicación y el
consenso (mientras que la universidad busca la crítica metódica, así como
inventar e innovar, lo que implica aceptar contradicciones)”. A continuación,
hacen un resumen de las características de este nivel educativo:
• El “programa cultural” se transmite por un método de enseñanza centrado en el “alumno promedio” que debe recibir la información. El programa (y el método) subraya más el reconocimiento de hitos culturales (¿Qué obras realizó Leonardo da Vinci?) que la capacidad de realizar un análisis personal (conocidos tales antecedentes mi conclusión es tal o cual).
• No se suele tomar en cuenta el “conocimiento previo” del alumno sobre el tema de la clase y, por ende, no se le ayuda a relacionarlo e incorporarlo a su experiencia. El alumno debe hacer el esfuerzo personal de integrar lo “nuevo”.
• Predominan los controles pedagógicos con énfasis en la retención y en la memorización. Se le da una importancia relativa menor al desarrollo de habilidades básicas generadas por la participación en actividades (medir, preguntar, observar o hacer); la expresión de opiniones y de
24
puntos de vista fundados, y la presentación oral y escrita de síntesis y de posiciones personales (otros sistemas educativos se caracterizan por los debates formales, trabajos escritos habituales, exámenes como “take-home”, o los “papers” en que se presenta una posición personal).
• No existen opciones que permitan educar a los jóvenes en el ejercicio de una libertad responsable. Los programas educativos nacionales fijos son difíciles de modificar y, a veces, son el objeto de control “formalístico” por autoridades superiores de fiscalización.
• No hay oportunidades para “discutir” temas de interés personal (en un periodo en que se busca una definición personal) o “proponer” diversas alternativas de solución al problema propuesto por el profesor (o el programa).
• Escasas oportunidades para escribir sobre experiencias personales, el resultado de una discusión de grupo, la elaboración de un proyecto o la reacción frente a una propuesta o situación conflictiva. Se estima que los alumnos de nivel medio sólo escriben entre 20 y 50 páginas de “escritura libre” por año.
• Una elección relativamente temprana de carrera, como elección definitiva de una profesión específica obliga, a su vez, a tomar decisiones en “programas diferenciados en el nivel medio. En la universidad misma, el modelo subraya la profesionalización temprana, con poco énfasis en formaciones básicas de tipo general y con poco espacio para la reorientación y cambios de carrera. (Ibídem).
Muchos de los factores que se perciben como negativos en la secundaria
se repiten en el nivel universitario, de tal manera que, según los autores
citados, “la Educación Superior utiliza una tecnología educacional
relativamente tradicional, en que más de la mitad del tiempo dedicado a
docencia se realiza a través de clases magistrales”.
El artículo analizado finaliza presentando las siguientes
recomendaciones para mejorar el perfil del egresado de educación secundaria,
las cuales comparte el autor y forman parte del programa orientador
propuesto, las cuales inician afirmando que: …”conviene definir tres metas en
un proceso de implantación de estrategias integrales de aprendizaje”:
_ Asegurar una formación fundamental, que asuma las tareas de la
formación preuniversitaria: competencias básicas de comunicación oral y
escrita, de los lenguajes básicos (lengua propia y de comunicación
25
profesional, matemáticas y comunicación audiovisual), en el análisis de
perspectivas teóricas y valóricas;
_ Orientar la clase como una interacción preparada, un plan de
preparación de actividades académicas, que lleve el diálogo, hacia la
construcción colectiva de conocimientos y de prácticas. Una clase
dialogal debiera ser el medio más adecuado para favorecer el desarrollo
de la autonomía intelectual del estudiante y para permitirle al profesor
estructurar en forma cada vez más explícita su plan de enseñanza.
_ Crear oportunidades de formación y de perfeccionamiento educativo
para los profesores, para facilitar la comprensión de la perspectiva
educativa de la Universidad y para favorecer su expresión personal en la
producción de escritos de encuadre pedagógico y de investigación y de
creación personal, que lleven a beneficiar su pedagogía y a subrayar su
contribución intelectual a la comunidad académica.
Se destaca por su importancia la última recomendación, la cual centra su
atención en la necesidad de la formación continua del profesorado. Para llevar
a cabo este desideratum existen muchas iniciativas, una de las cuales es la
experiencia de la Universidad Politécnica de Madrid, reseñada Sánchez Núñez
(2002), que establece que el diseño de programas de formación para la mejora
de la docencia debe iniciarse mediante la activa participación de los mismos
docentes mediante el estudio de sus necesidades de formación. Esto hace que
todo programa de formación debe estar precedido de un análisis de
necesidades formativas, para que cumpla con una de las características
propias de toda acción formativa, como es la pertinencia, ya que un programa
es pertinente si responde a las necesidades existentes. El modelo de
capacitación docente implementado por esa Universidad:
…”armoniza el estudio de estrategias didácticas, la valoración, la observación y la reflexión sobre la práctica, as í como la colaboración colegiada entre iguales. Desde un aprendizaje significativo, trata que el profesor vaya formando un pensamiento
26
práctico que le aleje de las teorías implícitas y las ideas pedagógicas predeterminadas que posee, producto de sus experiencias como alumno. (Ibídem).
Se desea llamar la atención sobre la importancia de la última afirmación
referida a la necesidad de alejarse de ideas pedagógicas predeterminadas;
este es el objeto de estudio de un trabajo realizado por una docente de la UCV,
Sánchez, L (2003), quien estableció una serie de constructos sobre los
enfoques asociacionista y constructivista del aprendizaje de docentes
Universitarios y profesionales no docentes.
Esta profesora venezolana trabajó con tres tipos de sujetos que
identificó de la siguiente manera:
• docentes universitarios con información científica sobre el
aprendizaje, que son aquellos que han recibido educación formal
en áreas académicas
• docentes universitarios legos, es decir, carentes de ese
conocimiento científico
• profesionales legos en aprendizaje, esto es, sin actividad docente
alguna.
Con la ayuda de docentes expertos en aprendizaje, se determinaron
siete enfoques del aprendizaje: Tradicional, Asociacionismo, Constructivismo
Individual, Constructivismo Social, Procesamiento de Información, Cognitivo-
Social y Humanista. Mediante la comparación estadística de las opiniones de
ochocientos sujetos entrevistados, concluye que las estructuras conceptuales
de quienes manejan conocimiento científico son muy semejantes a las de
aquellos que calificó como legos, quienes deberían tener unas estructuras
“imprecisas, vagas e indefinidas”. …”Se pudiera pensar que estas personas
aún cuando hayan adquirido formación o capacitación sobre el aprendizaje, su
conocimiento sobre un enfoque en particular es lego”. Así mismo, algunos
legos se comportan como aquellos que tienen información científica sobre el
aprendizaje al estructurar las mismas concepciones de aprendizaje,
27
concepciones que por lo demás se corresponden con los enfoques en cuestión
y son coherentes en sus elementos constitutivos.
Cuál es la implicación de estos hallazgos? El estar seguros de que
programas de formación docente deben tratar de promover …” la
reconstrucción y aproximación de ese conocimiento lego al académico, al
científico y consolidarlo con miras a elevar la calidad del profesorado”
(Sanchez, L., 2003).
No se debe olvidar la importancia de la capacitación docente en el área
de las nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC); ésta ha
llegado a tal grado que en el ámbito de la educación existe una creciente
necesidad de actualizar métodos, capacitar docentes y generar mecanismos
de actualización en el uso e incorporación de las tecnologías en los diferentes
niveles educativos a fin de insertarlas curricularmente como un medio de
apoyo a las actividades previamente planificadas; la razón de esto es que las
tecnologías de información y comunicación representan un medio que pueden
potenciar y optimizar recursos, espacios y tiempos.
En la actualidad, si realizamos un análisis de los alumnos que ingresan a
la Universidad y que vienen directamente de la Educación Media se advierte
que presentan un perfil cada vez más cercano al uso de las Tecnologías de
Información y Comunicación para sus desempeños y esperan sostener
relaciones virtuales en su quehacer académico con sus docentes y
compañeros de estudios, superando los límites de espacio y tiempo de las
aulas tradicionales, para vincularse de una manera más autónoma con las
fuentes de información y transformarse en agentes más dinámicos en la
generación de conocimiento .
La Universidad Técnica Metropolitana (UTME, 2003) realizó un informe
en el cual se revela que existe una gradual intervención de TIC en el quehacer
académico de los docentes de educación superior chilenos, generando la
posibilidad de crear modelos curriculares de inserción de las TIC aplicables a la
docencia y que satisfagan las crecientes expectativas de uso de los nuevos
alumnos universitarios.
28
Los docentes de la educación superior chilena poseen distintos
conocimientos tecnológicos, grados de acceso a tipos y calidad de tecnologías
y variados niveles de uso de TIC en su docencia, lo que influye en la variedad y
calidad de la oferta metodológica, didáctica y evaluativa que desarrollan en sus
prácticas (UTME, 2003).
Para concluir esta parte se puede afirmar, en base a la literatura
revisada, que el rendimiento académico es una variable compleja en la cual
intervienen muchas subvariables, que dependen del alumno, del contexto y
del docente. En este último caso, y debido a la pertinencia que tiene con el
objeto de estudio del presente trabajo de grado, es interesante destacar los
resultados de un trabajo de investigación realizado en un Instituto
Universitario de Costa Rica- ITCA (Alfaro, Centeno, Hernández y Jaén,
2002) en el cual se refieren resultados que demuestran que la capacitación
recibida por los docentes tiene repercusiones positivas en el rendimiento
académico de los estudiantes del ITCA. Los resultados indican que:
…existe una percepción de mejoría por parte de los estudiantes en la metodología de enseñanza, un mayor nivel de planificación, diseño de material didáctico y cumplimiento de los objetivos de los programas de las asignaturas de parte de los docentes capacitados.
Estos resultados brindan un soporte conceptual satisfactorio para la
realización de la propuesta de un programa orientador, puesto que existen
diversos estudios que demuestran la relación entre los comportamientos del
profesor y los resultados de aprendizaje de los alumnos. El punto de atención
en este caso son las estrategias utilizadas, que Carreras, Guil, y Mestre
(1999), identifican en dos grupos que están íntimamente ligados entre sí:
…..las estrategias instructivas en el aula y las estrategias de dirección en el aula, ambas asociadas a las mejora del aprendizaje de los alumnos. Las de dirección pueden considerarse como condiciones necesarias, “preventivas”, para asegurar el
29
funcionamiento de las instructivas… (que, acota la autora, deben ser similares a las didácticas).
En este sentido, la propuesta que se elaboró contiene estrategias
motivadoras para que los docentes internalicen la importancia de utilizar
ambos tipos para propiciar el aprendizaje.
Estrategias Didácticas.
Desde los filósofos de la Grecia Clásica que se interesaron por estudiar
la educación y su relación con el conocimiento, la política y la ética, numerosos
investigadores han estudiado el método didáctico y se han esforzado por
comprender y mejorar la educación.
El vocablo educación, etimológicamente procede del latín “educatio”, que
quiere decir acto de criar, de una manera más amplia, formación del espíritu,
instrucción. Deriva a su vez del verbo “ducare”, que significaba conducir o
guiar. El Diccionario de la Real Academia de la Lengua lo define como:
“crianza, enseñanza y doctrina que se da a los niños y a los jóvenes, y como
instrucción por medio de la acción docente”.
El mismo Diccionario especifica que la enseñanza es el sistema y
método de dar instrucción. Conjunto de conocimientos, principios, ideas, etc.,
que se enseñan a otros.
Se pueden considerar las siguientes dimensiones de la enseñanza:
1. La educación tiene un carácter práctico, ya que pretende producir ciertos
efectos sobre la realidad.
2. La educación tiene también una dimensión especulativa o teórica.
3. Es normativa, puesto que reflexiona sobre lo que debe ser.
Por ser conceptos paralelos y complementarios, se hace necesario
diferenciar los términos de enseñanza y aprendizaje. Mientras que enseñar es
30
explicar algo a los demás, el aprendizaje sería su efecto. El aprendizaje lo
realiza el alumno al captar los contenidos que le enseña el profesor.
El aprendizaje es una actividad mental del sujeto que aprende, lo que le
permite la adquisición de conocimientos, hábitos y actitudes, así como la
retención y utilización de los mismos, originando una modificación de la
conducta. En este sentido, Gómez (1996), define la actividad de aprendizaje
como “La secuencia de acciones encaminadas a la construcción del
conocimiento, al desarrollo de habilidades y a la formación de actitudes” ,
igualmente establece que la profundidad y la calidad del aprendizaje estarán
determinados “tanto por el conocimiento y comprensión de la naturaleza de la
misma” (la secuencia) y por la amplia o poca información que se posee sobre
el tema en cuestión, “.(p. 54).
En realidad, de lo que se habla en términos de las modernas teorías o
ciencias de la educación es de la existencia de un “proceso de enseñanza –
aprendizaje”, en el cual la atención está centrada en el individuo que
transforma sus estructuras mentales construyendo un nuevo conocimiento; es
decir, es aquel que aprende. Mata (1999) afirma que es muy difícil desligar
estrategias instruccionales y métodos de enseñanza, porque ambos están
conectados en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Nerici (1980, citado por Mata, 1999) define las Estrategias de
Instrucción “como procedimientos lógicos y psicológicamente estructurados,
destinados a dirigir el aprendizaje de los educandos, con el fin de alcanzar los
objetivos de la enseñanza” (p.153).
Partiendo de esa definición y en los diferentes enfoques teóricos que
tratan de explicar el fenómeno del aprendizaje, surgen una gran variedad de
modalidades, procedimientos o estrategias didácticas con la finalidad de
presentar algunas maneras de conducir la acción educativa. Una de las
diferencias primarias que establece Mata (Ibídem) está centrada en que la
atención se enfoca en el alumno; y esto hace que las técnicas que se utilizan
en el aula sean específicas para este tipo de aprendizaje. Estas técnicas,
métodos o estrategias se han definido como aquellos que consisten en:
31
…dar participación directa y dinámica a los educandos en su proceso de aprendizaje. Estos métodos dan la oportunidad para que los alumnos actúen e investiguen por sí mismo, poniendo en juego sus aptitudes físicas y mentales generando en ellos una acción que resulte del interés, la necesidad o la curiosidad. En esta perspectiva el docente debe propiciar la curiosidad y expectativa, ideando situaciones de aprendizaje altamente interesantes, estimulantes y significativas. (Métodos Activos y Didácticos, Aplicables a Educación Inicial, Primaria, Secundaria y Superior. (s/f).
En ese mismo documento se establecen los principios que deben tener
los métodos activos o centrados en el alumno:
1. Que la mente humana se adapte más fácilmente al estudio de las cosas claras, ordenadas, lógicas y prácticas.
2. Que la memoria funciona mejor cuando los conocimientos van de lo fácil a lo difícil y de lo concreto a lo abstracto.
3. Que el aprendizaje es más eficaz cuando, además de ejecutar la repetición se combina durante el proceso, la teoría con la práctica.
No todas las estrategias que se listan a continuación son centradas en
métodos activos; ellas se encontraron en un documento en línea denominado
“Captura de los resultados obtenidos en la sesión” , cuyo valor consiste en la
definición resumida de las estrategias didácticas de la siguiente forma:
Basado en Problemas. Situaciones problemáticas tomadas de la realidad y relacionadas con los contenidos del curso que se espera sean abordadas por el alumno de manera grupal. Lo fundamental en la forma de trabajo que se genera está en que los alumnos puedan identificar lo que requieren para enfrentar la situación problemática y las habilidades que se desarrollan para llegar a resolverla. Método de casos. Descripción escrita de un hecho acontecido en la vida de una persona, grupo y organización. La situación descrita puede ser real o hipotética pero construida con características análogas a las presentadas en la realidad. Método de Proyectos. Actividades que enfrentan al alumno a
32
situaciones problemáticas reales y concretas que requieren soluciones prácticas y en las que se pone de manifiesto una determinada teoría. Debate. Trabajo grupal organizado y estructurado con fines de aprendizaje en el que los alumnos expresan puntos de vista distintos acerca del asunto en cuestión. Exposición. Presentación de un tema lógicamente estructurado, en donde el recurso principal es el lenguaje oral, aunque también puede ser el texto escrito. Provee de estructura y organización a material desordenado y además se pueden extraer los puntos importantes de una amplia gama de información. Juego de roles. Representación actuada de situaciones de la vida real, relacionadas principalmente con situaciones problemáticas en el área de las relaciones humanas con el fin de comprenderlas. Prácticas de laboratorio. Situación práctica de ejecución según una determinada técnica orientada a desarrollar las habilidades requeridas y que demanda un trabajo de tipo experimental para poner en práctica determinados conocimientos. Prácticas de campo (trabajo de campo). Situación que pone al alumno en contacto directo con una actividad real de la sociedad que ha sido previamente estudiada desde una perspectiva teórica, a partir de la cual puede adquirir una experiencia auténtica y, al mismo tiempo, comprobar conocimientos y aptitudes para el ejercicio de su profesión. Seminarios y mesas redondas. Alumnos o grupos de expertos ajenos al grupo presentan información relevante ante un determinado grupo de alumnos, quienes participan en la discusión de las ideas, llegando así a conclusiones grupales. Entrevista a un experto frente al grupo (por el profesor y/o los alumnos). El profesor y/o un pequeño grupo de alumnos organizan una entrevista con un experto en el tema que se está tratando en el curso. Demostración de una habilidad o actividad frente al grupo (por un experto). El profesor u otro experto en el área de especialidad del curso realiza una demostración frente al grupo de alumnos de una actividad o una habilidad propia a la temática del curso que se esté revisando en ese momento. Técnica de panel. Discusión a modo de conversación entre un grupo seleccionado de personas (alumnos o invitados externos) que abordan un tema específico. La discusión es regulada por un líder (puede ser el profesor o bien algún alumno). Simulación. Diseño de un sistema real, a partir del cual se conducen experimentos con el fin de entender el comportamiento del sistema o evaluar estrategias con las cuales éste pueda ser operado. Método Harvard (para aprendizaje de las matemáticas)
33
Investigación y profundización de un tema trabajando en grupos pequeños. Estudio de un tema a profundidad en pequeños grupos por parte de los alumnos, cuyos hallazgos ha de ser plasmados en un informe grupal y comunicados mediante una presentación oral a los demás miembros de la clase. Tutoría de pares (Peer Tutoring). Pares de alumnos trabajando en torno a un tema (pueden ser del mismo curso o bien de cursos diferentes) con el fin de ampliar y/o clarificar algún aspecto del mismo Rejilla . Análisis, estudio y comprensión de determinado material de trabajo (artículos, capítulos, etc.) a partir de la organización de los alumnos en pequeños grupos. El material se divide en tanto apartados como miembros tiene el grupo (pequeño). Los alumnos de cada grupo estudian con los miembros de los demás grupos que tienen su mismo apartado. Luego vuelven a su grupo original y explican los aprendizajes efectuados al resto de sus compañeros. Murmullos (Buzz groups).Diálogos entre alumnos orientados a que planteen dudas y preguntas sobre un tema determinado. Diálogos simultáneos. Discusión en pares o tríos sobre un tema para luego llegar a una conclusión grupal. Técnica de la pregunta. Diálogo entre el profesor y los alumnos a partir de cuestionamientos que facilitan la interacción para: revisar, repasar, discutir, reflexionar y ideas claves sobre un tópico o tema. Phillips 6-6. Trabajo de los alumnos en pequeños grupos (6 alumnos) que discuten acerca de un tema determinado durante un periodo corto de tiempo (6 minutos). Lluvia de ideas. Forma de trabajo que permite la libre presentación de ideas, sin restricciones ni limitaciones, con el objetivo de producir ideas originales o soluciones nuevas.
A partir de esta información, se presentan a continuación los conceptos
y prácticas recomendadas en la aplicación de los métodos activos que el autor
seleccionó como más favorables para emplearse en la enseñanza de la
Matemática.
La Lección Magistral
La lección magistral es un método de enseñanza centrado básicamente
en el docente y en la transmisión de unos conocimientos. Se trata
principalmente de una exposición continua de un conferenciante. Los alumnos,
por lo general, no hacen otra cosa que escuchar y tomar notas, aunque suelen
34
tener la oportunidad de preguntar. Es, por consiguiente, un método expositivo
en el que la labor didáctica recae o se centra en el profesor. Se caracteriza
fundamentalmente por ser un proceso de comunicación casi exclusivamente
uni-direccional entre un profesor que desarrolla un papel activo y unos
alumnos que son receptores pasivos de una información.
La clase magistral ha sido duramente criticada. Las críticas a la lección
magistral se centran básicamente en dos aspectos: por un lado, en la
pasividad del alumno, y por otro, en la poca efectividad en la transmisión de
conocimientos. Se argumenta que los estudiantes pueden encontrar la
información en una biblioteca bien abastecida, y que los libros son preferibles
a los apuntes de clase a la hora de proporcionar información.
Sin embargo, autores como Román Sánchez, Musitu, Pastor y otros
(1987, p. 26) argumenta, que el principal valor en el marco académico de la
lección magistral en la actualidad, es su función motivadora Para ellos, un
buen profesor puede mostrar más fácilmente y con mayor vivacidad que una
obra escrita una asignatura. Claro está que en ello tiene mucho que ver la
organización y presentación del material, ya que un medio correcto de
comunicación si esté dirigido a aquellos que quieren escuchar a personas que
tienen algo nuevo y original que decir en una materia.
La personalidad del profesor y su entusiasmo es de suma importancia
para que la clase magistral logre su objetivo y le permita presentar una
materia de una forma estimulante que motive de una forma adecuada a los
alumnos. Esto se pone de manifiesto en las investigaciones recogidas por
Pujol y Fons (1981, p. 38): “Como era de prever, los alumnos de las clases en
que los profesores exponían su materia de forma entusiasta aprendieron más,
asimilaron mejor los conocimientos y terminaron más motivados hacia la
asignatura.”
Otra de las ventajas de la clase magistral resaltada por autores como
Beard (1974), es el aspecto de la eficacia y la economía en tiempo, esfuerzo y
dedicación que supone, para la docencia, un auditorio amplio en comparación
con otros métodos de enseñanza a grupos más reducidos.
35
Las Clases Prácticas
En las clases prácticas, generalmente se analizan ejercicios y supuestos,
normalmente de carácter cuantitativo. Se trata de aplicar los conocimientos
teóricos a la resolución de casos y problemas concretos. Las etapas que
suelen seguirse en las clases prácticas son:
A) El profesor selecciona una situación que se refleja en unos datos para
su análisis, y de los cuales, a través de unos métodos seleccionados, se
llegarán a ciertos resultados o conclusiones.
B) Se entrega el enunciado a los estudiantes, preferiblemente antes de la
clase.
C) Lectura del ejercicio antes de su resolución, permitiendo aclarar
posibles dudas.
D) Resolución del ejercicio, procurando que todos colaboren en la
búsqueda de la solución, discusión y análisis de los resultados obtenidos.
Las clases prácticas suelen basarse en unos conocimientos teóricos previos.
Permiten un desarrollo de las enseñanzas teóricas que posibilita la clarificación
de conceptos, la eliminación de fallos en el aprendizaje anterior y el desarrollo
de habilidades.
Es deseable y permite una participación activa del alumno. Se trata de
que el alumno participe en el ejercicio y encuentre la solución del problema
planteado. De tal modo, que en clase se puedan analizar los procedimientos
de solución seguidos, los resultados obtenidos y las dudas o aspectos no
comprendidos por los estudiantes.
La participación activa de los alumnos en la resolución de un ejercicio
facilita el aprendizaje y la capacidad de resolución de los problemas. En este
caso, el profesor realiza una tarea de asesoramiento y guía en la búsqueda de
soluciones adecuadas a la cuestión planteada. Las clases prácticas permiten
poner al alumno en contacto con instrumentos de resolución de problemas y
toma de decisiones en casos concretos, que les acercan a las situaciones
reales y permiten comprender la aplicación práctica de los modelos teóricos.
36
La Enseñanza en pequeños grupos
Beard (1974), recoge los resultados de una encuesta entre profesores
sobre los objetivos y las ventajas de la enseñanza en peque ños grupos, que
se resumen en las siguientes:
A) El objetivo que prepondera sobre todos los demás es el de ayudar a los estudiantes a discutir y a esclarecer las dificultades que surgen en clases magistrales u otras sesiones docentes. Entre las ventajas del método se señalan el dar la oportunidad de formular preguntas, ayudar a la comprensión del tema de la clase magistral, asegurarse de que los alumnos no se pierden en los cursos de clases magistrales y obtener un contacto más personal con los alumnos.
B) Promover un pensamiento más crítico y más lógico, ayudar a los estudiantes a resolver problemas y a hacer aplicaciones prácticas de las teorías.
C) Obtener práctica en la presentación oral de informes, discutir la labor de los estudiantes.
D) Proporcionar al profesorado una visión retrospectiva sobre el progreso de los estudiantes, así como de las actitudes de estos y también de la efectividad de la enseñanza. Muchos profesores universitarios consideran que esta visión retrospectiva sobre el éxito del aprendizaje y de la enseñanza es una de las principales ventajas del método. (p. 136)
El objetivo más mencionado es ayudar al estudiante en sus dificultades.
Pero es difícil descubrir las dudas, errores, dificultades de los estudiantes. En
la gran mayoría de los casos, analizar las dificultades implica plantear
problemas en forma de ejercicios escritos o preguntas cuyas respuestas deben
ser pensadas en voz alta o a lo sumo anotadas. Existen una gran variedad de
métodos de enseñanza que se diferencian básicamente en la intensidad mayor
o menor que muestran dos variables como son: el número de participantes y el
grado de intervención del profesor o los alumnos. De tal manera, que tenemos
métodos que se dirigen a muchos alumnos, como la lección magistral,
pasando por diversos métodos de enseñanza a grupos reducidos, a la
enseñanza tutorial, a uno sólo o muy pocos alumnos atendidos a la vez. Por
37
otra parte, los diversos métodos se diferencian por la mayor o menor actividad
del profesor o de los alumnos. De esta manera, tenemos sistemas centrados
en el docente en el que la actividad corresponde casi exclusivamente al
profesor, y los discentes tienen una participación más o menos pasiva;
métodos más centrados en los alumnos en los cuales estos tienen un
protagonismo mucho mayor y desarrollan una gran actividad. La mayor parte
de técnicas de enseñanza a pequeños grupos consisten en actividades
centradas en los alumnos donde se procura una máxima participación de los
mismos.
Etapas de la Dinámica de Grupo. En definitiva, los pasos en esta dinámica
de grupo son: primero la asignación de un trabajo a un estudiante o grupo.
Este trabajo puede partir de una lectura o una serie de informaciones previas
que hay que analizar y completar con más información, o bien un tema o
asunto que se asigna para su estudio.
A continuación, se desarrolla una etapa de búsqueda de más información
y de estudio de la misma, así como de análisis del tema por parte de los
alumnos. Posteriormente, es posible que esté prevista la discusión entre los
distintos alumnos y la crítica de las distintas posturas.
La etapa central y básica de los métodos de enseñanza a pequeños
grupos y particularmente en el que tradicionalmente se denomina seminario,
consiste en la discusión y puesta en común de los resultados de un trabajo
previo, en una reunión en que está presente el profesor, pero en la cual buena
parte de la actividad la desarrollan los estudiantes. Es por esto que se
denominan métodos centrados en el alumno.
No siempre es necesario el trabajo previo del discente, puesto que existe
la posibilidad de una exposición inicial de un tema o una problemática. Es a
partir de esta introducción cuando se desarrolla el debate. La participación
activa de los distintos integrantes del grupo es un objetivo significativo para el
adecuado aprovechamiento del método.
Es, por tanto, esencial del método, la discusión y el que todos participen,
38
puesto que todos tienen derecho a ello, y además deben de hacerlo para que
este método sea efectivo y cumpla su misión. El centro de la discusión suele
ser un trabajo o texto escrito, generalmente presentado por un estudiante o
grupo de ellos.
Este tipo de actividades permite un mayor contacto de los estudiantes
entre sí y también con los profesores, lo cual permite una mejor comunicación,
y puede servir como elemento motivador el trabajo en común.
La dinámica de este método que exige discusiones y puestas en común, así
como la colaboración e intervención de todos, requiere unos conocimientos
previos y normalmente un trabajo previo por parte de los estudiantes. Es
necesario un interés común y unos conocimientos previos.
Seminario
El seminario tradicional se ha enfocado a la investigación y a la
realización de auténticos trabajos de investigación. No existe propiamente
seminario si los participantes no hacen un trabajo real de investigación que
ordinariamente será escrito. El trabajo en un seminario implica para el alumno
toda una serie de actividades:
A) Preparación. Generalmente, el estudiar un determinado tema y
ampliarlo buscando material.
B) Elaboración. Posteriormente, debe pensar, reflexionar, resolver los
distintos problemas que plantea el tema y desarrollar una síntesis que debe
normalmente presentar por escrito.
C) Exposición. Y por último, debe ser capaz de exponer claramente al
resto de los compañeros el resultado de su trabajo, defenderlo y aclarar las
dudas y cuestiones que puedan plantear los demás y el profesor.
En la práctica, cuando los alumnos trabajan en grupo, entre ellos se
suele dar un amplio debate, sobre todo si es un tema que les resulta atractivo
y cercano como el desarrollar un plan de marketing para una empresa que han
39
escogido y para lo que se encuentran motivados. Asimismo, se encuentran
motivados para plantear dudas al profesor en una sesión en grupo pequeño.
Sin embargo, el plantear dudas o criticar el trabajo de los compañeros es una
actividad mas complicada de realizar y de que se produzca.
El objetivo del seminario es que el alumno aprenda a reflexionar, que
adopte un comportamiento activo y que aprenda a debatir en grupo y a
defender sus posturas. Se trata de un adiestramiento en la solución de
problemas, en la búsqueda de soluciones y en la defensa y debate del
planteamiento personal.
Por medio de la dinámica de grupo se puede a veces cambiar las
actitudes de manera más fácil que actuando individualmente. En numerosas
ocasiones, por consiguiente, el estudiante cree conocer unas determinadas
materias o la solución a ciertos problemas, pero no es hasta que manifiesta de
forma verbal o por escrito sus consideraciones cuando se le puede mostrar
sus lagunas y errores. Incluso él mismo, al intentar explicar una cuestión
puede percatarse de qué deficiencias existen en su razonamiento o qué partes
realmente no comprende como pensaba.
Es esencial que manifiesten sus opiniones, bien sea por escrito o en
discusión verbal, para poder descubrir, a través de las críticas de sus maestros
y compañeros, las deficiencias existentes en sus argumentos.
Esto es una experiencia frecuente entre los profesores. El esfuerzo que
supone explicar los temas, tratar de transmitirlos lo más claro posible, ayuda a
pensar, a analizar las cuestiones que de otro modo no se habrían planteado.
La propia labor de debate y exposición fomenta ciertas habilidades de
comunicación, trabajo en grupo y facilita el razonamiento.
Uno de los problemas en el trabajo con pequeños grupos para conseguir
los mejores resultados, es que todos los estudiantes participen. Se hace
preciso estimular la participación, promover la comunicación y conseguir que
todos hablen e intervengan en los debates. Para lograr este objetivo, se hace
preciso generar confianza, de tal modo, que se establezca un clima de diálogo
distendido, así como plantear preguntas o problemas introductorios que llamen
40
la atención y que, comenzando por cuestiones de relativa facilidad, facilite el
inicio de la discusión y anime al debate. Del mismo modo, fomentar la
curiosidad mediante el planteamiento de problemas o cuestiones que apelen
de manera práctica a los principios de la asignatura.
Las Tutorías
Las tutorías constituyen un método complementario de formación
personalizada. El sistema de las tutorías tal como se las entiende de forma
tradicional en las Universidades inglesas, y luego en parte copiadas por
algunas americanas, exige la formalización de una relación entre un tutor y un
grupo de estudiantes, así como reuniones periódicas de forma individual o con
muy pocos alumnos.
Por consiguiente, en este sistema tradicional de las Universidades
inglesas, el estudiante se reúne semanalmente sólo o con unos pocos
alumnos con el tutor que le ha sido designado. Se ha asimilado en ocasiones
al seminario, pero en las tutorías el alumno recibe atención personalizada al
ser una reunión individual con el tutor o un grupo más reducido que en los
debates de los seminarios. El seminario, por tanto, implica mayor número de
alumnos.
Las tutorías, al ser personalizadas o en un grupo que no suele ser más
de cuatro, permite aclarar las dudas que cada alumno de forma individual
tiene. Permite una atención personalizada. Da lugar a una comunicación de
doble sentido que puede ser más difícil en las lecciones magistrales. Permite
resolver dudas específicas o pedir más información a los que están
especialmente interesados en un tema, materia o cuestión.
Se critica el método de las tutorías por ser muy costoso en tiempo y
requerir una gran cantidad de profesores y muchas horas de trabajo. Se dice
que es un gasto excesivo de tiempo y dedicación por parte de los profesores el
repetir lo mismo una otra vez a los estudiantes, que podrían adquirir esos
conocimientos por otros varios métodos.
41
Lo que hay que tener claro es que cada método tiene sus ventajas e
inconvenientes y que cada sistema de enseñanza es mejor en unos
determinados aspectos y sirven, por lo tanto, para unos fines diversos. El
sistema tutorial parte de la premisa de que cada estudiante es distinto de los
demás y requiere, por consiguiente, un trato especial. Las tutorías presentan
toda una serie de ventajas:
A) Sirve de sistema de retroalimentación para el profesor. El docente
puede adquirir una valiosa información sobre lo que se va entendiendo en
clase, las dificultades de los alumnos donde están, la motivación de estos, los
temas que les interesan, etc.
B) Permite aclarar dudas individuales.
C) Permite a los alumnos que quieren profundizar en un tema informarse
sobre él, localizar información.
D) Si existe una reunión periódica, permite hacer un seguimiento de los
alumnos y motiva, como los que preparan oposiciones.
Trabajos en Grupo
Mientras que en la lección magistral el alumno tiene un comportamiento
básicamente pasivo, en las técnicas de trabajo en grupo debe participar de
modo activo. Al trabajar en grupo, el alumno puede resolver problemas
prácticos, aplicar conocimientos teóricos y también recibir orientación por parte
del profesor.
El trabajo en grupo es un método que permite a los alumnos
convenientemente agrupados, realizar y discutir un trabajo concreto, intervenir
en una actividad exterior, o encontrar solución a un problema sometido al
examen del grupo, con la finalidad de concluir con unos razonamientos
concretos. El trabajo en grupo permite conseguir unos objetivos distintos a los
métodos expositivos, al facilitar una mayor participación y responsabilidad de
los alumnos. Los objetivos generales de este método son:
A) Lograr la individualización de la enseñanza.
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B) Conseguir la participación activa de todos los alumnos en el proceso
de enseñanza-aprendizaje.
C) Desarrollar la habilidad de trabajar en equipo.
D) Los grupos restringidos poseen gran capacidad autoformativa. Por
medio de la dinámica de grupo se puede cambiar las actitudes de forma más
fácil que actuando individualmente.
La correcta aplicación del método suele requerir un número limitado de
alumno en cada grupo de trabajo pues los grupos excesivamente grandes
dificultan la colaboración y la participación activa de todos los alumnos. La
labor del profesor es orientadora y motivadora del proceso de trabajo de los
estudiantes.
Innovaciones en la Educación.
La expansión sufrida por los sistemas de educación a partir de la segunda
guerra mundial, sobreimpuesta a un modelo pensado para un sistema mucho
menos numeroso; la diversificación de clientelas originada en la incorporación
de sectores sociales con bases culturales diferentes, y las restricciones
materiales que acompañaron los procesos de endeudamiento y ajuste, han
hecho que tanto los objetivos como los modelos de gestión y administración
tradicionales, que se pueden calificar como artesanales y basados en las
relaciones primarias, no puedan sostenerse junto a la complejidad acarreada
por esos grandes cambios.
Es decir que el crecimiento y la expansión educativa no presentan ahora
sólo un problema de escala cuantitativa (mayor número de profesores o
maestros, de escuelas, de aulas) sino que plantean desafíos cualitativos que
suponen volver a pensar no sólo hacia dónde debe de ir la enseñanza, sino,
de manera concatenada, cómo debe organizarse y conducirse el sistema
educativo.
Tal vez una de las enseñanzas más claras de los últimos 20 años en
materia de política educativa se refiere a la necesidad de atender con todo
43
cuidado la gestión integral de los distintos niveles y dimensiones que requiere
la puesta en marcha de una transformación o innovación en la educación. A la
vez, cada uno de los niveles debe entenderse como un complejo proceso
construido socialmente por múltiples actores, al igual que son diferentes la
naturaleza de la participación de estos últimos y su contribución en el logro de
los objetivos buscados. (Ibarrola de, M. y Gallart, M. ; 1994)
La innovación debe entenderse como la experimentación de una
educación media con sentido e identidad propios, que logre otorgar a la
juventud latinoamericana, con calidad y equidad, las competencias básicas
indispensables para enfrentar los nuevos desafíos de la modernidad.
Quizás el tema más difícil de encarar es justamente el que tiene que ver
con la manera como se conduce el proceso de innovación. Conducir la
transformación de la organización es un compromiso concreto de la gestión
efectiva, que tiene altos riesgos ya que debe producirse junto con el cambio de
los modelos de gestión. Las decisiones que se relacionan con el mejoramiento
de la calidad de la educación son en particular riesgosas, debido a que en
ellas se combinan dos problemas: a) por un lado son técnicamente complejas;
b) por otro, plantean problemas de política institucional.
Frente a este tipo de decisiones no siempre se tiene en cuenta la
complejidad técnica y profesiona l incluida en el campo pedagógico, y tampoco
se considera muchas veces que la introducción de cambios profundos
necesariamente genera resistencias que deben ser contempladas de
antemano.
La gestión efectiva se ocupa de ambas cosas. Plantea los procedimientos
a partir de los cuales se pueden conducir los procesos de cambio institucional
tomando las decisiones correctas, en el momento adecuado.
Para poder cambiar las bases estructurales del modelo de organización
escolar, la institución debe cambiar su mirada. En lugar de estar centrada
solamente en el pasado, debe integrar en una mirada conjunta y relativizada el
pasado, el presente y el futuro (Flores, 1992; citado por Aguerrondo, 1992b).
Es indispensable insistir en la mirada conjunta hacia las tres dimensiones
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temporales, ya que muchas innovaciones pretenden hacer tabla rasa del
pasado, provocando así la incapacidad de identificar la naturaleza de las
claras y fuertes determinaciones que en circunstancias ahora identificables
provocaron determinados resultados. (Ibarrola de, M. y Gallart, M. ; 1994) .
Un ejemplo concreto de la importancia de entender a cabalidad lo que
significa una innovación que persigue mejorar (Ministerio de Educación,
Colombia, s/f) país en el cual se está implementando un proyecto para
incorporar la tecnología informática con la visión de mejorar la calidad de la
enseñanza en matemática, desarrollando la capacidad de aprendizaje de los
estudiantes a través del uso de computadoras. De igual modo, este proyecto
diseña una estrategia para incorporar gradualmente el uso de la tecnología en
el sistema educativo colombiano, por medio de la consolidación de una
comunidad de docentes comprometida con dicha tarea.
Es muy importante destacar que desde el mismo inicio del proyecto se
ha centrado el interés en la formación del recurso humano; por lo cual
establece taxativamente que el docente debe profundizar sus conocimientos
matemáticos y didácticos y cuestione su quehacer pedagógico reconociendo el
papel decisivo que tienen las nuevas tecnologías en la transformación de las
estructuras curriculares. “El proyecto busca que los docentes identifiquen las
potencialidades de la tecnología para innovar las prácticas escolares y tomen
conciencia de la función catalizadora de dichos instrumentos, al favorecer la
rapidez de dichos cambios” (Ministerio de Educación, Colombia, s/f).
Contienen unos referentes curriculares que propician reflexiones acerca
de la naturaleza de las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, el tipo de
matemáticas que deben aprender los ciudadanos, y los principios básicos que
ayudan a organizar el currículo y orientan su evaluación. En ellos se subraya la
importancia de procesos como el razonamiento, el planteamiento y la
resolución de problemas, la comunicación, la modelación, la elaboración y
comparación de procedimientos que contribuyan al aprendizaje de los
alumnos. También resalta la importancia de los contextos como ambientes que
dan sentido al aprendizaje de los alumnos, reconociéndose el papel
45
fundamental de las nuevas tecnologías para dinamizar y propiciar cambios en
el currículo de matemáticas. Tal como lo destaca el proyecto:
Con estos antecedentes surgió el proyecto Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia, como una estrategia posible y viable para mejorar la calidad de la educación matemática colombiana, modernizar los ambientes escolares, aprovechar el potencial educativo de las tecnologías de información y comunicación, y promover su uso en los procesos de enseñanza y aprendizaje, políticas que en la actualidad impulsa el sistema educativo colombiano. (Ibídem).
El proyecto se articula en tres ejes claves que interactúan entre sí:
desarrollo académico o reconceptualización de las matemáticas que se
conocen y enseñan, y que tiene que ver con el currículo, la formación de
docentes, la producción de material de apoyo y las líneas de investigación que
deben ser asumidas; gestión que se refiere al mantenimiento de las
condiciones para el desarrollo del proyecto a nivel nacional y sostenibilidad,
que está relacionada con la planificación a corto, mediano y largo plazo de
acciones que permitan asumir con autonomía el proyecto.
Es importante destacar que la formación de docentes esta orientada
hacia “lograr su cualificación permanente, consolidación de una red de
educadores matemáticos, fomento de los grupos de estudio regionales de los
coordinadores y profesores participantes en el proyecto e intercambio
académico a través de una lista de discusión por Internet”. Es importante
destacar que estos objetivos se comparten en el presente trabajo de grado.
La importancia de destacar este proyecto radica en la visión que han de
tener las Instituciones Educativas de la imperiosa necesidad que tienen los
futuros profesionales de dominar el manejo de la computadora, ya que en el
mercado laboral del Siglo XXI la falta de dominio telemático será un nuevo
“analfabetismo funcional”.
Las nuevas tecnologías están incidiendo en el mundo educativo de una
manera firme y de creciente importancia. En particular, dentro del ámbito de la
formación del profesorado, la telemática tiene un papel de gran alcance, tanto
46
como objeto en sí misma, como en su rol de vehículo para multiplicar el
alcance de los esfuerzos formativos. Este es un tema de absoluta actualidad
en todos los países de nuestro entorno, registrándose gran número de
iniciativas de alcance cada vez más masivo.
En el campo de actividades con alumnos, y sin llegar a las sofisticadas
opciones de la telemática multimedia, es de gran interés la aplicación
consistente en poner en contacto escuelas o centros educativos de distintos
países mediante un sencillo correo electrónico con acceso a red internacional,
aplicación muy conocida y probada en el mundo científico y de negocios.
En el documento en línea denominado “Métodos activos y dinámicos” se
hace especial referencia en el sentido de que se desprende de la Instrucción
Programada, de la que sigue sus conceptos y procedimientos, pero con el uso
de la computadora, la que se debe ser manejada a través de un “programa”.
Este tipo de método ..”Se inició más o menos en 1920 en los Estados Unidos,
a partir del desarrollo de la Cibernética atribuido a Norbert Wiener, tomando la
forma de máquinas de enseñanza que permiten, según Skinner “aprender
más, en menos tiempo, con menos fatiga”. (Ibídem).
Las máquinas de enseñanza o computadora requieren que el alumno
sepa manejarlas correctamente, aprendiendo primero a utilizar el aparato
conocer su “lenguaje”, la forma de programar y operar (es decir el hardware y
el software).
El acelerado desarrollo de la aplicación de la computadora en la
educación dio origen a la pedagogía Cibernética. Luis Couffignal reseña que
esta Pedagogía nació de las aplicaciones de investigación sobre el aprendizaje
y sobre la teoría de la información, proponiendo sus principios y sus métodos
en época reciente. (Ibídem). Esta explicación da pie para considerar conceptos
relativos a la Educación Virtual o Virtualización de la Educación.
47
Virtualización de la Educación.
Fue necesario exponer el conjunto de consideraciones teóricas anteriores
para comprender la inserción de las NTIC en la educación superior en la
actualidad; actividad que permite ahora hilvanar esa serie de reflexiones
alrededor de la virtualización con el influjo de la generalización de la
informática y la telemática como bases tecnológicas de la sociedad de la
información.
Silvio (2000), expresa que la virtualización y su implicación en la
educación superior como proceso, además de ser el resultado del tratamiento
y de la comunicación, mediante computadora de datos, informaciones y
conocimientos.
... en el contexto de la educación superior, ese proceso comprende la representación de procesos y objetos asociados a actividades de enseñanza y aprendizaje, investigación, extensión y gestión, así como objetos cuya manipulación permite al usuario, realizar diversas operaciones a través de Internet, tales como aprender mediante la interacción con cursos electrónicos, inscribirse en un curso, consultar documentos en una biblioteca electrónica, comunicarse con estudiantes, profesores y otros tareas y actividades. (p. 211).
Los elementos fundamentales para impulsar la virtualización en un
proceso educativo, los cuales conforman un sistema interactivo son:
Infraestructura física (medios tecnológicos), infraestructura lógica, actores,
recursos, servicios telemáticos, servicios de información y comunicación,
software de aplicaciones individuales, entre otros aspectos. Los procesos de
enseñanza y aprendizaje pueden realizarse en aulas virtuales, laboratorio
virtual, biblioteca virtual y oficina virtual. De ésta manera, se fomentaría la
enseñanza, la investigación, la búsqueda de información y la gestión general.
El resultado de esa virtualización es lo que se podría llamar un campus virtual,
en el cual los espacios básicos se hallarían interrelacionados en una totalidad
48
integrada. Ese campus virtual es lo que los expertos en ésta disciplina
denominan “ambiente electrónico de enseñanza, aprendizaje e investigación”,
creado por la convergencia de poderosas y nuevas tecnologías de información
e instrucción. Ambiente que seguramente creará una nueva cultura de la
calidad académica.
Este fenómeno de la virtualización se introdujo en la cultura mundial, y
Venezuela no está al margen de su influencia; menos aún el nivel de
educación superior. Las universidades venezolanas independientemente de su
modalidad y naturaleza, están obligadas por Ley y por los nuevos
lineamientos conceptuales en transformar la educación e implementar la
virtualización para el mejoramiento, modernización y calidad del proceso
educativo que desarrollan. Esta virtualización deberá formarse por medio de
la comunidad virtual de aprendizaje, utilizando Internet.
Constructivismo.
Para el constructivismo, el conocimiento se logra a través del
procesamiento de la información y posteriormente, se construye la nueva, en
este proceso es muy importante la estructura de conocimientos ya conocida
por el alumno, pues de ellos se partirá para estructurar los venideros.
Florez Ochoa (1994), sostiene que para el constructivismo “el aprendizaje
es siempre una reconstrucción interior y subjetiva, mientras que el
conocimiento puede dejar de serlo cuando se produce y formula mediante
ciertas reglas llamadas métodos” (p. 244). Actualmente se piensa que el
conocimiento es producto de la interacción ininterrumpida entre el sujeto que
conoce y el objeto conocido. En esta investigación, el constructivismo está
presente en el sentido de que se aspira lograr las vías para que el estudiante
pueda obtener las destrezas necesarias para lograr el éxito en su vida
universitaria, pero la metodología que se proponga tiene que tomar en cuenta
los conocimientos que el estudiante trae así como sus experiencias, a fin de
que, conjugándose con los conocimientos que adquiera en su carrera, la
49
construcción de los nuevos conocimientos sean de mayor importancia y
utilidad para ellos.
Antecedentes de la Investigación
Rodríguez (1994, p. 5) destaca que: “A nivel nacional se han realizado
diferentes diagnósticos que revelan una profunda crisis, evidenciada en parte,
por un bajo rendimiento estudiantil”. Continúa expresando que “se exhibe
como característica común, un evidente deterioro del rendimiento académico
en las Universidades Nacionales, apareciendo la Matemática como una de las
materias en el currículo de carreras de Educación Superior con más alto índice
de reprobados”.
Cruz (1994, p. 3) menciona que a partir del 1980 la Facultad de Ingeniería
de la Universidad Central de Venezuela dispuso de una forma propia de
ingreso, en la cual destaca la presentación de una prueba voluntaria de aptitud
académica. Los postulantes que la aprueban, ingresan directamente al primer
semestre de estudios, mientras que los que no aprueben pero tengan puntajes
cercanos al mínimo aprobatorio, tienen la opción de incorporarse a un Curso
Introductorio, que de ser aprobado, permite al postulante inscribirse como
alumno regular de la institución. Este curso tiene como objetivos:
Completar el nive l mínimo de habilidades y conocimientos exigidos al bachiller que ingresa a la facultad. Desarrollar o consolidar hábitos y destrezas para facilitar el aprendizaje a nivel universitario. Proporcionar al aspirante información y orientación para que pueda clarificar su decisión vocacional.
Martínez (1994, p. 30) describe el Curso Introductorio de la UNEG como un
semestre como alumno aspirante, “obligatorio reglamentariamente, dirigido a
propiciar en el participante la adquisición de destreza y habilidades
cognoscitivas que favorezcan el procesamiento de la información.” Así mismo,
justifica la existencia de este Curso porque se refiere al especial enfoque
50
curricular de la UNEG, orientado a promover experiencias donde el estudiante
deberá enfrentar una serie de problemas cuya solución será lograda a través
de la búsqueda de conocimientos.
García (1990:68) por su parte considera que cursos preuniversitarios,
orientados a desarrollar destrezas y habilidades cognoscitivas “pueden ser la
solución para disminuir la brecha entre el segundo y el tercer nivel de la
educación matemática en Venezuela”.
Bottino (2000:2), destaca que el diseño del Curso Introductorio:
Comprende cuatro (4) componentes fundamentales: Desarrollo de
procesos Cognoscitivos (DPC), Métodos y Técnicas de Estudio (MTE); Lectura Comprensiva y Crítica (LCC); y Matemática (MAT). El Componente Matemática está planificado para desarrollar en el estudiante destrezas y habilidades cognoscitivas (entendiéndose éstas como la manera de hacer y la manera de proceder, respectivamente), utilizando los conocimientos matemáticos presentes en los programas de estudio correspondiente a la tercera etapa de la Escuela Básica y a la Educación Media Diversificada”
Todos estos trabajos guardan pertinencia con el presente, ya que se trata
de estudios realizados en función de las características del estudiante que
recién ingresa a una Universidad, y sobre las diferentes estrategias que estas
Instituciones se plantean para suplir las deficiencias que traen de bachillerato.
Dentro de estas, se considera innovadora la idea de que la Universidad dirija
su atención hacia los profesores de media diversificada.
Para finalizar los antecedentes de la investigación, se referirá de manera
resumida la Metodología de Enseñanza en el Área de Matemáticas del Curso
Introductorio, la cual se considera como de importancia al ser una experiencia
precursora del desarrollo de habilidades en el área de matemática.
La metodología de enseñanza giraba toda alrededor de la participación
activa del estudiante, el cual conocía con anticipación los contenidos
matemáticos que se tocarían en las clases, con el propósito de que refrescara
los conocimientos que tuviera al respecto. Al inicio de cada clase, el docente
en su papel de facilitador del proceso, explicaba el objetivo y las conductas a
51
ser practicadas. El estudiante, en una primera etapa, trabajaba solo por un
corto lapso de tiempo. Luego en parejas para aclarar las dudas que surgieron
en la etapa anterior, y por último, la etapa grupal, donde algunos de ellos
pasaban a la pizarra y los demás atentos al trabajo para señalar posibles
errores u otras vías de solución del problema. Mientras tanto, el docente
estaba dando instrucciones y guiando el proceso de discusión en grupo, ante
alguna duda o error, empleando preguntas convergentes y divergentes,
buscaba conseguir la respuesta en cualquiera de los estudiantes presentes,
dando para ello pistas coherentes que llevaran a feliz término la situación
creada. En ningún momento el facilitador resolvía o daba las respuestas a los
problemas. Finalmente, el docente hacía un cierre de la actividad, afianzando
el objetivo y lo aprendido.
La duración del curso era de un semestre y, para el Componente de
Matemática, se contemplaban 75 horas totales destinadas a desarrollar
talleres y evaluaciones distribuidas en 15 semanas a razón de 5 horas por
semana. Se disponían, además de 2 horas semanales de tutorías para que el
alumno consultara con su profesor y recibiera retroalimentación de las
evaluaciones y su desempeño.
Definición de términos básicos.
Es importante destacar que las definiciones que se encuentran a
continuación fueron elaboradas por el autor, mediante su experiencia como
Docente del Curso Introductorio de la UNEG.
Cierre: El docente, al final de cada objetivo, hace un resumen de lo
aprendido en el taller.
Concreción de entes matemáticos: Posibilidad de manipular los entes
matemáticos, en la realidad, ejemplo: figuras geométricas y sus elementos.
52
Etapa individual: Momento cuando el estud iante trata, sólo, de dar
respuesta a los problemas.
Etapa en pareja: Momento cuando el estudiante, en compañía de otro,
trata de lograr la respuesta a los problemas.
Etapa grupal: Momento cuando todos los estudiantes presentes en el
taller, tratan de conseguir respuestas a los problemas.
Leer matemática: Tener la suficiente comprensión, dominio y alcance de
todos y cada uno de los símbolos matemáticos encontrados en un tema.
Parafrasear: Procesar, con nuestras propias palabras, en forma sencilla
lo leído, sin perder el significado.
Preguntas convergentes: Hacer preguntas directas, para centrar al
estudiante en un punto específico matemático que se desea.
Preguntas divergentes: Hacer preguntas abiertas, para observar
diversas respuestas, de un mismo punto matemático.
Ubicación espacial: Habilidad de concretar en la realidad, las
posiciones relativas de orientación y ubicación de entes matemáticos, por
ejemplo: ejes coordenados, planos, vectores, números reales, etc.
Taller: Desarrollo de la clase, poniendo en práctica las etapas: individual,
en pareja y grupal.
53
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
Tipo de Investigación
Esta investigación responde a la modalidad de un proyecto factible con
base en un estudio de campo, apoyado en una revisión documental y es de
alcance descriptivo. Según el Manual de la U.P.E.L. (2001, p. 7), un proyecto
factible es.. ”una solución posible a un problema de tipo práctico para
satisfacer necesidades de una institución o grupo social, apoyada en una
investigación de campo o una investigación documental”. En el presente caso,
tal solución consiste en una propuesta para que docentes de la UNEG
coordinen un Programa Orientador dirigido a que profesores de Ciclo
Diversificado consoliden las estrategias que utilizan en el área de las
matemáticas.
De acuerdo con la estrategia utilizada, es una investigación de campo,
debido a que los datos para el estudio fueron recopilados directamente por el
investigador. En Tamayo y Tamayo (1999, p. 71) se especifica la importancia
de una investigación de campo, porque los datos son recogidos de la realidad,
por ende: “su valor radica en que permiten cerciorarse de las verdaderas
condiciones en que se han obtenido los datos, lo cual facilita su revisión o
modificación en caso de surgir dudas”.
El presente trabajo de campo se realizó en dos fases consecutivas: una
primera de alcance exploratorio, en la cual se realizaron entrevistas
semiestructuradas a tres de los profesores que tienen experiencia en el Curso
54
Introductorio – UNEG, que permitieron elaborar las preguntas de los
cuestionarios que fueron aplicados. En la segunda fase, de alcance
descriptivo, se identificaron deficiencias de los estudiantes y las estrategias
didácticas que se requieren para el desarrollo del Programa Orientador
presentado en la propuesta. Hernández – Sampieri, Collado y Baptista (2002;
p. 60) definen en su texto que….”El propósito del investigador es describir
situaciones y eventos. Esto es, decir cómo es y como se manifiesta
determinado fenómeno. Miden o evalúan diversos aspectos, dimensiones o
componentes del fenómeno a investigar”.
Población y Muestra
En el marco de esta investigación se trabajo con dos poblaciones: la
primera representada por todos los docentes que han dictado el componente
matemática del Curso Introductorio y que todavía están en la UNEG (siete).
Debido a que este número es relativamente pequeño, el autor decidió incluir a
los docentes que dictan matemática I en los diferentes proyectos de carrera
del núcleo Puerto Ordaz, escogiendo como criterio para esta selección el
haber estado en contacto con los estudiantes que aprobaban el Curso
Introductorio y en este semestre, con bachilleres de nuevo ingreso: Estos
docentes son diecinueve, lo que da un total de veintiséis individuos.
Para los efectos de esta población, debido a su tamaño se tomará el
total de los profesores para la aplicación del instrumento, ya que es muy
pequeña para aplicar un muestreo.
La segunda población está conformada por los profesores que dictan
matemática en liceos de Puerto Ordaz; en este caso debido a lo amplio de
este universo se escogió una Muestra no probabilística, que es aquella que
“supone un criterio de selección informal…la elección de los sujetos no
depende de que todos tengan la misma probabilidad de ser elegidos, sino de
55
la decisión del investigador” (Hernández, Collado y Baptista, 2003, p. 326-
327). Esos mismos autores identifican varios tipos de muestra no
probabilística, entre las cuales se encuentra la Muestra de sujetos voluntarios,
integrada por : “sujetos que acuden voluntariamente a participar en un
estudio.. se procura que sean homogéneos en variables tales como edad o
sexo” (Ibídem, p. 328).
En este proyecto se trabajó con una muestra no probabilística, integrada
por sujetos voluntarios que fueron 25 profesores de liceos públicos y privados
de Puerto Ordaz, los cuales accedieron gustosamente a responder el
instrumento en la oportunidad en la cual el investigador le planteó el alcance
del proyecto .
Procedimientos y Técnicas de Recolección de Información
Se elaboró un instrumento de recolección de información para determinar
las debilidades que presentan los bachilleres y las estrategias didácticas que
deben ser incluidas en el programa orientador de los docentes de matemática,
el cual fue elaborado basándose en las respuestas obtenidas en la entrevista
semi-estructurada aplicada en la fase exploratoria a los tres profesores del
Curso Introductorio escogidos.
Después de analizar estas respuestas, se elaboraron dos (2)
cuestionarios tipo escala Lickert, uno para los docentes UNEG y otro para los
profesores de Ciclo Diversificado; orientados a recolectar información en dos
áreas específicas: debilidades que presentan los bachilleres que ingresan en
la Universidad y las estrategias didácticas que deben utilizarse en el área de
matemática. Tamayo y Tamayo (1999) lo define como “...aquel que contiene
los aspectos del fenómeno que se consideran esenciales, permite además
aislar ciertos problemas que nos interesan principalmente, reduce la realidad a
cierto número de datos esenciales y precisa el objeto del estudio”.
56
Validez y Confiabilidad
Los instrumentos diseñados (Anexo A-1 y A-2) fueron validados
mediante su aplicación en una prueba piloto integrada por 5 docentes
universitarios y sometido a la consideración de dos profesores para obtener
otra validación por juicio de expertos (Anexo B).
La confiabilidad fue determinada utilizando el coeficiente α de
Cronbach, calculado utilizando las facilidades del SPSS en ambiente Windows;
ver Anexo C.
Técnicas de Análisis de Datos
Las respuestas de las encuestas se tabularon asignándoles una
codificación a las diferentes alternativas escogidas, para poder elaborar tablas
con frecuencias y porcentajes; las cuales se complementaron mediante la
elaboración de gráficos. Las tablas de datos están contenidas en el Anexo D.
57
CAPÍTULO IV
PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS.
Los resultados se presentan en el mismo orden en el cual se elaboraron
los objetivos específicos, con la finalidad de demostrar su logro. Es importante
destacar que los primeros dos objetivos significaban una comparación de
opiniones provenientes de diferentes grupos, por lo cual se presentan dos
gráficos por cada ítem de los instrumentos elaborados.
Comparación de la opinión de docentes de la UNEG que atienden a estudiantes de nuevo ingreso y de profesores de ciclo diversificado sobre las debilidades que éstos presentan en el área de Matemática.
Figura 1: Los estudiantes de bachillerato deben dominar la teoría de conjunto.
Figura 2: Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades para dominar la teoría de conjunto .
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En la Figura 1 se ilustra la opinión de los docentes de la UNEG en el
sentido de que están totalmente de acuerdo y de acuerdo en que los
estudiantes deben dominar la teoría de conjunto.
Por su parte, los docentes de Ciclo diversificado opinan que los
bachilleres presentan dificultades para manejar la teoría de conjunto (Figura
2).
Figura 3: Los estudiantes de bachillerato deben dominar la suma, resta, multiplicación y división de fracciones.
Figura 4: Los estudiantes de bachillerato muestran incompetencias en la suma, resta, multiplicación y división de fracciones
En la Figura 3 se ilustra la opinión de los docentes de la UNEG en el
sentido de que están totalmente de acuerdo y de acuerdo en que los
estudiantes deben dominar la suma resta, multiplicación y división de
fracciones.
Por el contrario, los docentes de Ciclo diversificado opinan que los
bachilleres muestran incompetencias en la suma, resta, multiplicación y
división de fracciones (Figura 4). Sin embargo, debe destacarse que en este
grupo se observa una ligera tendencia (1 de 25) a estar parcialmente en
desacuerdo con estas incompetencias.
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Figura 5: Los estudiantes de bachillerato deben dominar las propiedades de los números reales
Figura 6: Los estudiantes de bachillerato no dominan las propiedades de los números reales
La opinión de los docentes UNEG se presenta en la Figura 5, y se puede
afirmar que están totalmente de acuerdo en que los estudiantes deben
dominar las propiedades de los números reales.
En este caso se repite el resultado anterior, ya que aunque los docentes
de Ciclo diversificado opinan que los bachilleres no dominan las propiedades
de los números reales (Figura 6), sigue existiendo la ligera tendencia (1 de 25)
a estar parcialmente en desacuerdo.
Figura 7: Los bachilleres manejan las operaciones inherentes al proceso de despejar ecuaciones e inecuaciones.
Figura 8: Una de las deficiencias de los bachilleres son las fallas al momento de despejar ecuaciones e inecuaciones.
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En este caso, la opinión de los docentes UNEG que se presenta en la
Figura 7 muestra una marcada dispersión, por lo cual no se puede afirmar que
exista una tendencia clara sino un ligero predominio de aquellos que opinan
que los estudiantes si saben despejar ecuaciones e inecuaciones.
Por el contrario, los docentes de Ciclo diversificado opinan que los
bachilleres presentan fallas al momento de despejar ecuaciones e
inecuaciones (Figura 8).
Figura 9: Los bachilleres deben comprender los elementos de la simbología matemática.
Figura 10: Una de las debilidades de los bachilleres que deben ser subsanadas en la comprensión de la simbología matemática
La opinión de los docentes UNEG que se presenta en la Figura 9 permite
afirmar que están totalmente de acuerdo y de acuerdo en que los bachilleres
deban comprender los elementos de la simbología matemática, a pesar de que
en opinión de los docentes de ciclo diversificado esos estudiantes presentan
debilidades en este aspecto (Figura 10).
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Figura 11: Los estudiantes de bachillerato deben dominar el tema de funciones.
Figura 12: Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades en el tema de funciones.
Figura 13: Los bachilleres que ingresan a la Universidad conocen a cabalidad las operaciones necesarias para factorizar.
Figura 14: Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia cuando factorizan.
La figura 11 y la 12 muestran que las opiniones de ambos grupos son
coincidentes, pues mientras los docentes de la UNEG afirman que los
bachilleres deben dominar el tema de funciones, los profesores de Ciclo
Diversificado opinan que presentan muchas dificultades en este tema.
En la figura 13 se observa una marcada dispersión en la opinión de los
docentes UNEG sobre si los estudiantes conocen a cabalidad las operaciones
necesarias para factorizar; al mismo tiempo los docentes de Ciclo Diversificado
opinan que los bachilleres cometen errores con mucha frecuencia al factorizar.
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Figura 15: Los estudiantes de nuevo ingreso dominan los productos notables
Figura 16: Los estudiantes de nuevo ingreso no dominan los productos notables
Figura 17: Los estudiantes de nuevo ingreso dominan el procedimiento de racionalización
Figura 18: Los estudiantes de nuevo ingreso no dominan el procedimiento de racionalización.
Las cuatro figuras que se muestran anteriormente ilustran casos
semejantes, pues mientras la opinión de los profesores de la UNEG
demuestran una amplia dispersión sobre el dominio por parte de los
estudiantes de los productos notables (Figura 15) y de la racionalización
(Figura 17); los docentes de Ciclo Diversificado están totalmente de acuerdo y
de acuerdo en que no dominan estos procedimientos (Figura 16 y 18).
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Figura 19: El bachillerato prepara para la representación espacial de los planos geométricos.
Figura 20: El bachillerato no prepara para la representación espacial de los planos geométricos.
Figura 21: Los bachilleres que ingresan a la Universidad deben realizar operaciones con potencias con relativa facilidad.
Figura 22: Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia al trabajar con potencias
Las figuras 19 y 20 que ilustran la opinión de los dos grupos encuestados
presentan coincidencias, pues ambos grupos estiman que el bachillerato no
prepara para la representación espacial de los planos geométricos.
En el caso de las siguientes figuras, se deduce de la Nº. 21 que los
docentes UNEG opinan que los bachilleres deben realizar operaciones con
potencias; mientras que los profesores de Ciclo Diversificado afirman que los
estudiantes cometen muchos errores al trabajar con potencias (Figura 22)
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Figura 23: Los estudiantes deben saber graficar para poder visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines.
Figura 24: Los estudiantes que no pueden graficar presentan problemas para visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines.
Figura 25: El dominio de los parámetros geométricos prepara al estudiante para el significado de la trigonometría .
Figura 26: Los estudiantes tienen problemas para dominar los parámetros geométricos y, por ende, la trigonometría .
En la Figura 23 se observa que los docentes UNEG opinan que los
estudiantes deben saber graficar para poder visualizar soluciones en las áreas
de trigonometría, geometría y afines; mientras que los profesores de Ciclo
Diversificado afirman que los bachilleres tienen problemas al graficar y que
esto tiene influencia en las áreas identificadas (Figura 24).
El caso es similar a los resultados que se muestran en las Figuras 25 y
26, las cuales ilustran la opinión de los docentes UNEG que están de acuerdo
en que el dominio de parámetros geométricos prepara al estudiante para el
significado de la geometría; al mismo tiempo los profesores de Ciclo
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Diversificado afirman que los estudiantes tienen problemas para dominar
estos parámetros geométricos.
Figura 27: La habilidad de comparar es fundamental para el área de las matemáticas.
Figura 28: Las debilidades de los estudiantes a la hora de comparar entorpece la profundización del conocimiento matemático.
Figura 29: Una de las habilidades fundamentales para el área de matemáticas es el análisis.
Figura 30: Los estudiantes tienen dificultades para analizar problemas matemáticos
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TA PA IN ED AbD Figura 31: Una de las habilidades necesarias en el área de matemáticas es la inferencia.
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TA PA IN ED AbD Figura 32: Los estudiantes presentan problemas para hacer inferencias,
Se presentan juntos los resultados que se ilustran en las figuras 27, 28,
29, 30, 31 y 32 porque están relacionados a habilidades que deben dominar
los bachilleres para tener éxito en el área de matemáticas; estas son:
comparación, análisis e inferencia. Al igual que en los resultados anteriores,
los docentes UNEG estiman que los bachilleres deben dominar estas
habilidades y los profesores de Ciclo Diversificado opinan que los estudiantes
presentan problemas en su manejo.
Figura 33: El dominio de la habilidad de análisis implica, a su vez, el manejo de la capacidad de resolver problemas.
Figura 34: El estudiante, aun cuando tiene dominio de la habilidad de análisis, presenta dificultades en la resolución de problemas.
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Figura 35: Los estudiantes egresados de bachillerato tienen la capacidad de internalizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos.
Figura 36: Los estudiantes egresados de bachillerato no son capaces de internalizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos.
La figura 33 ilustra la opinión de los docentes UNEG, en el sentido de que
la habilidad de análisis capacita al estudiante para la resolución de problemas;
al mismo tiempo los profesores de Ciclo Diversificado opinan que aún cuando
los estudiantes estén capacitados para analizar, todavía presentan
dificultades para resolver problemas.
Figura 37: Un estudiante que puede desarrollar el proceso de análisis, debe dominar el de síntesis.
Figura 38: Un estudiante, aun cuando puede desarrollar el proceso de análisis, no domina el de síntesis.
En el caso de la figura 37, se observa una leve dispersión en las
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respuestas de los docentes UNEG, pues parece que, en su opinión, existe una
tendencia a considerar que el proceso de análisis no siempre conduce al
desarrollo del de síntesis. La respuesta de los profesores de Ciclo
Diversificado que se ilustra en la Figura 38 es más clara, ya que la pregunta
elaborada es una afirmación taxativa al respecto.
Cuando se comparan las opiniones de los dos grupos, se puede afirmar
que, a pesar de que el dominio de las fracciones es importante para los
profesores de la UNEG, los de Ciclo Diversificado opinan que los estudiantes
que egresan de bachillerato no lo tienen, lo que justifica el alto índice de
repitencia en el área de matemática.
Comparación de la opinión de docentes de la UNEG que atienden a estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado,
sobre los contenidos de un programa orientador del proceso de enseñanza – aprendizaje en matemática.
Figura 39: Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal.
Figura 40: Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal
Tal como se observa en la figuras 39 y 40, tanto los docentes de la
UNEG como los profesores de Ciclo Diversificado coinciden en que el
programa orientador debe comenzar por un taller de crecimiento personal.
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Figura 41: El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación
Figura 42: El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación.
El mismo caso anterior se repite para las figuras 41 y 42, para las cuales
coincide la opinión de ambos grupos de docentes sobre el hecho de que el
programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes
o tendencias de la educación.
Figura 43: El programa debe contemplar temas tales como: racionalización, factorización, potenciación y otras áreas.
Figura 44: El programa debe contemplar temas tales como: racionalización, factorización, potenciación y otras áreas.
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Figura 45: El Programa orientador debe desarrollar contenidos para el dominio en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc)
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Figura 46: El Programa orientador debe desarrollar contenidos para el dominio en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc)
Los resultados que se muestran en las figuras 43, 44, 45 y 46 demuestra
que se repite la coincidencia sobre la opinión de ambos grupos de docentes,
para los cuales el programa orientador debe incluir temas tales como:
racionalización, factorización, potenciación y otras áreas.; así como
desarrollar contenidos para el dominio de la concreción de entres
matemáticos.
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Figura 47: El programa debe ejercitar problemas que evidencien conocimiento teórico, mostrando para que sirven en la vida real.
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Figura 48: El programa debe ejercitar problemas que evidencien conocimiento teórico, mostrando para que sirven en la vida real.
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Finalmente, se observa en las figuras 47 y 48 que el programa orientador
debe lograr que los docentes ejerciten problemas de la vida real, de tal manera
de propiciar lo que se denomina aprendizaje significativo. En consecuencia, en
cuanto a los contenidos del Programa Orientador, ambos grupos de docentes
coinciden plenamente sobre la inclusión de los siguientes aspectos:
1. Un Taller de crecimiento personal
2. Una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la
educación.
3. Contemplar temas tales como: racionalización, factorización,
potenciación y otras áreas.
4. Desarrollar contenidos para el dominio en la concreción de entes
matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc).
5. Ejercitar problemas que evidencien conocimiento teórico, mostrando
para que sirven en la vida real.
Identificación de las estrategias didácticas que fueron escogidas para conformar el programa orientador del proceso de enseñanza –
aprendizaje en el área de matemática.
Las últimas preguntas del cuestionario fueron elaboradas para lograr esta
identificación. Es importante destacar que el autor tomó la decisión de
presentar todos los gráficos juntos porque demuestran coincidencia total de
opiniones entre ambos grupos de docentes, quedando para el final la
identificación de las estrategias.
72
Figura 49: El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, orientadas a demostrar al participante como se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
Figura 50: El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, orientadas a demostrar al participante como se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
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TA PA IN ED AbD Figura 51: El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategias didácticas en sus clases de bachillerato.
Figura 52: El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategias didáctica en sus clases de bachillerato.
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Figura 53: El Programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas.
Figura 54: El Programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas.
Figura 55: El Programa orientador utilizará estrategias individuales como la representación, orientadas a demostrar al participante cómo utilizar esta estrategia didáctica para ejercitar a los bachilleres.
Figura 56: El Programa orientador utilizará estrategias individuales como la representación, orientadas a demostrar al participante cómo utilizar esta estrategia didáctica para ejercitar a los bachilleres.
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Figura 57: El Programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica para ejercitar a los docentes
Figura 58: El Programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica para ejercitar a los docentes
Figura 59: El Programa orientador utilizará la “búsqueda hacia atrás” como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes
Figura 60: El Programa orientador utilizará la “búsqueda hacia atrás” como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes
En resumen, los docentes estiman que el programa utilizará las
siguientes estrategias, de tal manera que las aplique en las clases que brinda
en el Ciclo Diversificado:
1. Seminarios y talleres, orientados a demostrar al participante como se
pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
2. Los portafolios de ejercicios.
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3. Emplear los métodos inductivo y deductivo.
4. Los mapas conceptuales.
5. La “búsqueda hacia atrás”.
A partir de estos resultados se elaboró la propuesta que se presenta en
el Capítulo V, que se encuentra en la página siguiente.
76
CAPÍTULO V LA PROPUESTA
PROGRAMA ORIENTADOR EN EL ÁREA DE LAS MATEMÁTICAS -
POAM.
La propuesta planteada a los Docentes del Ciclo Diversificado, como
programa orientador del proceso de enseñanza – aprendizaje en matemática,
es producto de la acción docente desarrollada a lo largo de más de 15 años de
ejercicio de la profesión en la Universidad Experimental de Guayana (UNEG),
la cual no escapa de la realidad de aceptar estudiantes que ingresan con las
carencias de habilidades para procesar información matemática. Por ello, la
Universidad instauró en 1988 como requisito de ingreso, la aprobación del
Curso Introductorio, el cual no fue diseñado con la intención de nivelar las
fallas traídas por los estudiantes, sino más bien con el objetivo de desarrollar
en ellos habilidades y destrezas para la solución de problemas.
Se hace este señalamiento, debido que el punto focal del curso era el
desarrollo de procesos de pensamiento como el análisis y la síntesis. Lo
seguido acá tiene el interés de coadyuvar esfuerzo en mejorar la calidad de la
enseñanza en esta área, para desarrollar la capacidad de aprendizaje de los
estudiantes que cursan el bachillerato a través de ciertas estrategias y
herramientas didácticas que pudieran ser utilizadas por sus profesores de
Ciclo Diversificado.
Cabe señalar que debido a que la propuesta se centra en la posibilidad
de continuar la formación del recurso humano docente, mediante la
profundización de sus conocimientos matemáticos y didácticos, se aspira
además a generar un permanente cuestionamiento de su quehacer
pedagógico para que reflexione sobre la práctica de nuevas estrategias; todo
77
ello redundará en el mejoramiento académico de los estudiantes.
La propuesta está estructurada en los siguientes componentes:
PROPUESTA DELPROGRAMA
ORIENTADOR
CONTEXTO
INSTITUCIONALIDAD ORIGEN
FUNDAMENTACIONEMPIRICA
OBJETIVOS
CONCEPCIÓNCURRICULAR
COMPONENTEMATEMÁTICO
COMPONENTEESTRATEGIASDIDÁCTICAS
PROPUESTA DELPROGRAMA
ORIENTADOR
CONTEXTO
INSTITUCIONALIDAD ORIGEN
FUNDAMENTACIONEMPIRICA
OBJETIVOS
CONCEPCIÓNCURRICULAR
COMPONENTEMATEMÁTICO
COMPONENTEESTRATEGIASDIDÁCTICAS
Figura 61: Estructura de la Propuesta. Todos los elementos que aparecen en esta estructura se explican y
sustentan a continuación.
Contexto
En los últimos años, a nivel nacional se han realizado diferentes
diagnósticos sobre el rendimiento estudiantil de los bachilleres recién
egresados, que arrojan como resultado un bajo desempeño, evidenciándose el
área de matemática como una de las materias en el currículo de carreras en
nuestras universidades que no alcanza los objetivos curriculares nacionales.
Como hicimos referencia en los antecedentes de esta investigación, un
trabajo realizado por Rodríguez (1994) en la UNEG destaca que: “A nivel
78
nacional se han realizado diferentes diagnósticos que revelan una profunda
crisis, evidenciada en parte, por un bajo rendimiento estudiantil”. Más adelante
señala, que: “se exhibe como característica común, un evidente deterioro del
rendimiento académico en las universidades nacionales, apareciendo la
matemática como una de las materias, en el currículo de carreras de
educación superior, con el más alto índice de reprobados”.
Ante estos hechos es pertinente, ahora que el Curso Introductorio de la
UNEG ha sido eliminado, que los profesores que participamos en forma
ininterrumpida durante la permanencia de dicho curso, traslademos la
experiencia a profesores de Ciclo Diversificado, mediante un programa
orientador diseñado al efecto; debido a que nos convertimos en sujetos –
objeto de estudio durante los 15 años consecutivos de su implementación.
Vista esta situación, nuestra propuesta intentará disminuir las
deficiencias que presentan los bachilleres en un área tan vital para su
formación integral, como es la matemática, mediante una actualización de sus
profesores de matemática..
Institucionalidad
Esta propuesta se enmarca dentro de los objetivos de dos Instituciones;
por una parte constituye una demostración de los resultados de los programas
de post-grado de la Universidad Gran Mariscal de Ayacucho, ya que su
propósito fundamental es elevar la calidad de la educación. Por consiguiente,
lo planteado queda inscrito como parte de las estrategias de mejoramiento del
proceso de enseñanza – aprendizaje, con el objetivo de contribuir a que el
estudiante de bachillerato adquiera herramientas didácticas que le permitan
proseguir sus estudios en las distintas universidades del país.
Por otra parte, se encuentra la Universidad Nacional Experimental de
Guayana, la cual dentro de su Reglamento General ha sido concebida como
79
ente rector del subsistema de educación regional; y esto significa que le
compete asumir procesos que mejoren la educación impartida a nivel de
secundaria. Adicionalmente, la UNEG dictó durante quince (15) años
consecutivos un programa destinado a mejorar aptitudes y habilidades de
bachilleres que recién ingresan a la Universidad; lo cual es un soporte
fundamental empírico que se aprovecha en toda su extensión mediante la
formulación de este Programa Orientador en el Área de las Matemáticas -
POAM.
Origen
La educación ha sido tema de estudio desde los filósofos de la Grecia
clásica, hasta nuestros tiempos; numerosos investigadores han dedicado parte
de su vida a demostrar como se aprende y como debe de enseñarse.
Todas esas experiencias acumuladas hasta el momento señalan que
nadie es dueño absoluto de cual es la manera más expedita para dominar en
forma única un área del conocimiento humano en particular.
Esa búsqueda permanente para mejorar el proceso de enseñanza –
aprendizaje, es el principal motivo de muchos docentes hoy en día, que los
llevan a plantear fórmulas para mejorar la preparación que traen por ejemplo,
los estudiantes de bachillerato que entran a nuestras universidades en el área
de matemática.
Entre ellos, tenemos a: Rodríguez (1994), Cruz (1994) y Bottino (2000):
mediante los resultados de sus trabajos pudo elaborar el autor este trabajo de
grado de maestría, destinado a solventar la necesidad de profundizar sobre el
papel de las estrategias y las maneras de abordar los diferentes entes
matemáticos, para su mejor dominio y comprensión por parte de los
estudiantes.
80
Fundamentación
La propuesta centra su articulación en tres direcciones primordiales, sin
menoscabo de otras que coadyuven a mejorar la actividad académica en su
conjunto.
La primera esta determinada en términos del dominio de las diferentes
estrategias didácticas.
La segunda son los principios metodológicos básicos empleados a lo
largo de nuestra experiencia descrita en el Curso Introductorio de la UNEG,
tales como:
• Tener dominio total del objetivo a lo largo en cada sesión de clase
• Informar claramente el objetivo de la actividad
• Efectuar las respuestas divergentes
• Utilizar las respuestas divergentes como dinamizadoras de la
discusión grupal
• Utilizar las respuestas erradas como aprendizaje
• Mantener una actitud de observar participante
• Estimular la búsqueda de información, entre otros.
Y la tercera, en la definición y ejemplo de cada conducta a dominar, las
cuales ayudarán a la comprensión y manejo adecuado de los entes
matemáticos.
Adicionalmente a estas tres directrices principales, que surgen en
momentos temporales que anteceden a la ejecución del trabajo de campo de
la presente investigación, se resume a continuación la fundamentación
empírica de la propuesta como resultado de las respuestas obtenidas a los
cuestionarios diseñados y aplicados tanto a docentes UNEG como a
profesores de Ciclo Diversificado.
81
Tabla Nº. 1
Fundamentación empírica de la propuesta.
ASPECTOS CONSIDERADOS RESULTADOS
Contenidos Un Taller de crecimiento personal, actualización en las últimas tendencias de la educación, temas sobre racionalización, factorización, potenciación y otras áreas; así como el desarrollo de contenidos para el dominio de la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc).
Estrategias Didácticas Seminarios y talleres, portafolios de ejercicios, emplear los métodos inductivo y deductivo, los mapas conceptuales y la “búsqueda hacia atrás”.
Nota: el autor, 2003.
Objetivos.
Objetivo General
• Contribuir a mejorar la enseñanza de las matemáticas a nivel de
bachillerato.
Objetivos Específicos.
• Sugerir estrategias didácticas que podrían ser usadas en las
sesiones de clase.
• Utilizar adecuadamente principios metodológicos básicos
• Describir conductas a ser desarrolladas en clase
82
Concepción curricular. El programa de la propuesta esta proyectado para que los docentes de
Ciclo Diversificado internalicen metodologías y estrategias didácticas para que
el estudiante adquiera conductas, implementando conocimientos matemáticos
que le permitan con mayor capacidad enfrentar su aprendizaje.
Para dictar los contenidos que contempla el programa orientador, se
aplicarán los principios de participación, flexibilidad y horizontalidad pues están
definidos en la Andragogía, Ciencia de la Educación que fundamenta la
estrategia didáctica a seguir ya que los profesores de Ciclo Diversificado son
adultos.
La concepción curricular está enmarcada dentro del enfoque sistémico;
por lo cual se presentan los contenidos en un orden secuencial para abordar el
proceso educativo.
La concepción curricular de sistemas se fundamenta en la Teoría General de Sistemas y sugiere que se sigan los siguientes pasos: identificar las necesidades, seleccionar y organizar los requisitos y alternativas de solución, elegir la alternativa más factible, implantar la solución elegida y evaluar continuamente lo que va logrando. (Nozenko y Fornari, 1995, p.57).
En esta investigación se habla de un programa orientador porque se
presenta a consideración de los docentes de Ciclo Diversificado una serie de
contenidos y estrategias didácticas que se deben implementar para mejorar la
formación de los bachilleres que egresan de Ciclo Diversificado, todo desde la
experiencia, vivencias y perspectivas de docentes del Curso Introductorio de la
UNEG. Además las tendencias post modernas, con el avance de la tecnología,
nos obligan a pensar en la posibilidad de proponer un programa flexible,
probablemente virtual, con elementos totalmente cibernéticos que le permitan
en un futuro cercano a este docente preparar materiales de apoyo con el uso
83
de los aportes tecnológicos de que podría disponer la institución.
El Programa Orientador se propone para que conste de cuatro (4)
componentes básicos que posteriormente, durante el desarrollo del programa
definitivo, servirán de base para el desglose de los objetivos instruccionales.
Estos componentes son: Desarrollo Personal, Ciencias de la Educación,
Componente Matemático y Estrategias Didácticas.
Tabla 2.
Especificaciones curriculares.
E.C
C.*
OBJETIVOS TERMINALES
SINOPSIS DE CONTENIDO ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
DESARROLLO PERSONAL
Estimular emociones, sentimientos y valores que encaminen hacia el éxito.
Manejo de emociones: § Motivación § Empatía § Autoestima § Seguridad en si mismo § toma de decisiones. Relaciones Humanas: § Liderazgo de grupo productivo § Comunicación efectiva.
Talleres vivenciales.
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Brindar a los docentes de Ciclo Diversificado una visión resumida de las últimas concepciones educativas que se ajustan al área de matemática.
• Aprendizaje Significativo (1): • Psicología educativa y la labor
docente • Teoría del aprendizaje significativo • Aprendizaje significativo y
aprendizaje mecánico • Aprendizaje por descubrimiento y
aprendizaje por recepción • Requisitos para el aprendizaje
significativo • Teoría de la asimilación • Diferenciación progresiva y
reconciliación integradora. Pedagogía de la Información(2): § Modelos pedagógicos e
información. § Enseñar a aprender en el marco
de las NTIC. § Incidencias del enfoque
pedagógico en lo educativo.
Talleres de discusión conceptual del material de apoyo previamente entregado. Entrevistas. Presentación del informe final, que debe contener un resumen elaborado y la defensa del tema.
84
Tabla 2 (Cont.)
COMPONENTE MATEMÁTICO
Proveer al docente de información para recordar principios metodológicos que permitan el dominio de entes matemáticos.
Manejo de Información: § Racionalización. § Factorización. § Potenciación. § Geometría § Planos § Trigonometría. § Vectores. § Rectas.
Trabajo de campo. Recolección de información. Clasificación de información. Presentación de informe final.
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Suministrar al docente elementos conceptuales y prácticos para su implementación en las aulas de clase.
§ Seminarios y Talleres. § Portafolio de Ejercicios § Métodos Inductivo y Deductivo § Mapas Conceptuales § Búsqueda hacia atrás.
Seminario de estudio Talleres para la práctica. Lectura de bibliografía
Nota (1): Aprendizaje significativo, (s/f). Nota (2): Pedagogia Informacional, (s/f).
El autor considera que las últimas concepciones educativas se pueden
conseguir mediante una adecuada búsqueda bibliográfica; por ejemplo los
contenidos de aprendizaje significativo y pedagogía informacional se
encuentran en línea en las páginas web que se reseñan; sin embargo, su
aporte innovativo fundamental consiste en la elaboración de los componentes
matemáticos y de estrategias didácticas, que se presentan a continuación.
Componente Matemático.
Para comprender el “conocimiento matemático” se debe analizar la
estructura matemática (definiciones, axiomas, teoremas, etc.) para estar en
capacidad de descomponer los entes matemáticos mencionados en las
diversas partes que lo constituyen, siguiendo un proceso lógico y ordenado,
según la naturaleza del ente de que se trate. Todo ello, enmarcado dentro de
la educación activa, la cual da participación directa y dinámica a los
estudiantes en su progreso de aprendizaje, generando en ellos una acción
85
independiente facilitada por el docente, el cual debe estimular en un ambiente
de confianza para que el educando construya sus propias deducciones,
aunque sean erradas.
Seguidamente se pone en funcionamiento la adquisición de esos
conocimientos en la solución de problemas según las fases que plantea Polya
(1965): Interpretación, planificación, ejecución y verificación; autor para el cual
resolver problemas es una cuestión de habilidad que se adquiere por la
imitación y la práctica. Por ello, el docente debe fomentar el aprendizaje por
medio de la búsqueda de parte del educando, es decir, aplicando para ello el
método heurístico que le permite aprender haciendo. En definitiva la
metodología a utilizar para implementar éste programa se apoya en la
educación activa, la cual centra la acción en el educando.
Objetivo General.
Ejercitar principios metodológicos que le permitan al docente promover el
dominio de definiciones, axiomas, teoremas y métodos en la solución de
problemas matemáticos.
Objetivos Específicos
1 Practicar diferentes ejercicios para que puedan ejercitar a los
estudiantes en el análisis de definiciones, axiomas, teoremas que
constituyen la estructura del conocimiento matemático. Para ello debe
lograr que el estudiante adquiera las siguientes conductas:
1.1 Separar en conceptos y propiedades las definiciones matemáticas.
1.2 Dar ejemplos de definiciones matemáticas.
1.3 Representar gráficamente definiciones matemáticos.
1.4 Representar gráficamente axiomas matemáticos.
1.5 Separar en proposiciones las hipótesis y tesis que conforman
86
teoremas matemáticos.
1.6 Dar ejemplos de teoremas matemáticos.
1.7 Representar gráficamente teoremas matemáticos.
2 Señalar claramente los caminos que debe seguir el estudiante para
resolver problemas matemáticos siguiendo las fases para su solución:
interpretación, planificación, ejecución y verificación. Para ello debe:
2.1 Realizar ejercicios para motivar a los estudiantes la ejecución de
enunciados de problemas a través de modelos matemáticos y
gráficos.
2.1.1 Extraer la meta del problema.
2.1.2 Extraer los datos del problema.
2.1.3 Realizar modelos matemáticos a partir de problemas.
2.1.4 Representar gráficamente problemas matemáticos.
2.2 Elaborar estrategias que permitan resolver problemas utilizando
conocimientos matemáticos.
2.3 Resolver problemas aplicando estrategias sustentadas en
conocimientos matemáticos.
2.4 Verificar el procedimiento ejecutado en la resolución de problemas
matemáticos.
Los ejercicios desarrollados como ejemplos de cada una de las
conductas descritas en el programa orientador, aunque no sean del tópico
matemático mencionado en las encuestas (los temas en los que los docentes
han detectado fallas frecuentes en los estudiantes, impidiéndoles dominar
temas relacionados con los señalados en las encuestas), demuestran lo que
se quiere transmitir, es decir, cómo abordar el aprendizaje matemático a fin de
que sea significativo para el estudiante de bachillerato y pueda juzgar su
aplicabilidad en los diferentes contenidos. Con ello el autor quiere reafirmar su
creencia de que el aprendizaje adquirido por los alumnos de esa manera les
permite una mayor comprensión de los temas.
A continuación se describen las conductas que debe desarrollar el
87
estudiante, especificando los diferentes ejercicios - tipos que se pueden
aplicar en las clases de matemáticas del Ciclo Diversificado.
1 Separar:
Para promover esta conducta, el docente debe lograr que dada una
definición o teorema el estudiante esté en capacidad de descomponer los
entes matemáticos mencionados en sus elementos constitutivos.
Toda definición matemática está formada por un concepto y unas
propiedades; el concepto es el nombre, la palabra, la expresión a la cual se
refieren todas y cada una de las propiedades que caracterizan el concepto y
hace que éste sea una cosa y no otra.
Ejemplo:
Observemos en forma práctica lo antes señalado con la siguiente
definición matemática:
“Función exponencial es una función de la forma F(X)= aX, donde “a” es
una constante positiva denominada base y “x” es la variable independiente
llamada exponente”.
Detallando la definición dada, se observa lo siguiente:
Concepto: Función Exponencial.
Propiedades: - Es una función de la forma F(X)= aX
- “a” es una constante positiva denominada base.
- “x” es la variable independiente llamada exponente.
Como se evidencia, se ha separado el concepto y las propiedades de la
definición dada. Las propiedades extraídas de la definición en cuestión son las
características que posee una función exponencial, es decir, que tiene tal
forma, que “a” es tal cosa, etc. En otras palabras todos aquellos elementos
que se refieren al concepto.
Así como las definiciones están constituidas por un concepto y unas
propiedades, los teoremas están formados por una hipótesis y una tesis, las
88
cuales están integradas por proposiciones.
Antes de desarrollar un ejemplo práctico, se debe aclarar primero que se
entiende como hipótesis, tesis y proposiciones.
Según el diccionario de la lengua española, hipótesis es: “suposición de
una cosa, sea posible o imposible, para sacar de ella una consecuencia”
Ahora bien, para este programa, hipótesis de un teorema son todos
aquellos elementos matemáticos que se proveen dentro del teorema, para que
se dé la tesis.
Tesis: el diccionario de la lengua española la define como: “proposición
que se mantiene con razonamiento”
Para el programa, tesis es lo que sucede producto de dar ciertas
condiciones matemáticas previas.
Proposición, para el diccionario antes mencionado, es: “acción y efecto
de proponer”
Para el programa, es toda expresión o elemento matemático que
conforma tanto la hipótesis como la tesis del teorema, en otras palabras son
los fundamentos matemáticos que poseen tanto la hipótesis como la tesis.
Ejemplo:
“Dado tres números a, b, c pertenecientes a los reales, donde “a” es
mayor que “b” y cero es mayor que “c” entonces b x c es mayor que a x c”
Obsérvese los elementos matemáticos que se están dando en la
hipótesis:
• Tres números a, b, c que pertenecen a los reales.
• “a” es mayor que “b”.
• Cero es mayor que “c”.
Ahora bien, dada la indicación anterior entonces resulta que la
proposición de la tesis es:
• b x c es mayor que a x c.
En síntesis, hipótesis es una serie de condiciones previas dadas, para
que suceda algo como desenlace (tesis). Por tanto, con la ejercitación de la
conducta “separar” se realizan ejemplos para solventar la debilidad observada
89
por los docentes que se refleja en los ítems 4,6 y 18 de la encuesta.
2 Dar Ejemplos:
Con esta conducta se quiere lograr que, dada una definición o teorema,
el estudiante esté en capacidad de hacer una representación numérica o
gráfica, en otras palabras, que dé un ejemplo.
Veamos un ejercicio:
Definición: “Una ecuación de segundo grado es una función
proposicional de la forma Ax2+Bx-C=O(A?O), donde A, B y C se denominaran
coeficientes, x es la variable, cuyo mayor exponente es dos (2). El exponente
de la variable que acompaña a “C” es cero (0)”.
Ejemplos Numéricos:
I. 2x2 +3x-10=0.
II. 9x2 –x+8=0.
III. 4x2 +7x-5=0.
Definición: “Una función F definida en un intervalo se dice que es
creciente en ese intervalo si y sólo si F(x1) < F(x2) siempre que x1 < x2 donde
x1 y x2 son cualesquiera dos números en el intervalo”.
Ejemplo Gráfico:
90
Teorema: “Dado tres números a, b, c pertenecientes a los reales donde
“a” es mayor que “b” y cero es mayor que “c”, entonces b x c es mayor que a x
c”.
Ejemplos Numéricos:
I. a = 8
b = 4 ? bxc = (4).(-2)= - 8
? -8 > -16
c = - 2 axc (8).(-2)= - 16
II. a = - 10
b = -12 ? bxc = (-12).(-3)= 36
? 36 > 30
c = - 3 axc = (-10).(-3)=30
Teorema: “Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes
en una secante T, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier
secante T´ paralela a T´´.
Ejemplo Gráfico:
( ) X 2 X 1 0
F (X 1 )
F (X 2 )
F (X) Y
X
Leyenda: X 1 ; X 2 = Números Reales
F(x )= La Función
( ) x 2 x 1 0
F (X 1 )
F (X 2 )
F (X) Y
X
Leyenda: X 1 ; X 2 = Números Reales
F(x )= La Función
91
Leyenda:
T = Secante
T1 = Secante Paralela a T (T//T1)
L1; L2; L3 = Son Rectas Paralelas entre sí.
T1
L2
L3
T
L1
Leyenda:
T = Secante
T1 = Secante Paralela a T (T//T1)
L1; L2; L3 = Son Rectas Paralelas entre sí.
T1
L2
L3
T
L1
Como se puede inferir, esta conducta refuerza el dominio de la conducta
separar, además de contribuir a eliminar las debilidades contempladas en los
ítems 4, 6 y 18 de la encuesta.
3 Representar gráficamente:
Esta conducta quiere lograr que en cada definición, axioma, teorema o
un problema matemático en general, el alumno plasme a través de símbolos
matemáticos y de otras disciplinas: diagramas, esquemas, tablas, dibujos,
gráficos, etc. Todos y cada uno de los elementos que contienen los entes
matemáticos señalados.
La representación a través de un dibujo o de un gráfico tiene su
diferenciación. Un dibujo como tal es una representación a grosso modo de la
situación planteada, donde no hay una verdadera precisión de todos los
fundamentos matemáticos y la ausencia de la ubicación espacial debida (los
ejes de coordenadas, recta real, etc.). En cambio un gráfico, es aquel que
parte del establecimiento de la ubicación (ya sea de los ejes de coordenadas,
recta real, etc.), donde va a vaciar toda la información contenida de lo dado,
además de aquellas indicaciones que crea adecuadas para que el grá fico
hable por si sólo. Cada gráfico debe ir acompañado de su respectiva leyenda,
la misma debe contener la explicación de cada uno de los símbolos y variables
que contenga. La internalización de esta conducta es importante para
visualizar situaciones en general.
El diccionario Enciclopédico de las Matemáticas expresa:
92
… las ciencias físicas, recurren con frecuencia a la ayuda preciosa que pueden proporcionarles los diagramas, que son verdaderas descripciones de las fases de un fenómeno, o también los ábacos, cuadros gráficos con varias entradas que comprenden familias de curvas correspondientes a un fenómeno y que con una simple lectura reemplaza a una serie de cálculos. Esas diversas representaciones gráficas pueden ser todavía más ricas de significación eligiendo juiciosamente coordenadas y escalas. Tomo I (p. 33). Ejemplo de un dibujo de una definición:
“El intervalo abierto de A a B, denotados por (A, B), es el conjunto de
todos los números reales x tales que A<x<B.
Ejemplo de un gráfico de la misma definición:
( x )
A B
0 -8 +8
Leyenda: (A, B) = intervalo abierto A = extremo inferior del intervalo B = extremo superior del intervalo. X = la variable que toma cualquier valor del intervalo, menos los de A y B, debido que el intervalo es abierto. R = es la recta real..
( x )
A B
( x )
A B
93
Ejemplo de un dibujo del siguiente problema:
“Desde la punta de un edificio que ve hacia el Océano, un hombre
observa un bote que navega directamente hacia él. Si el hombre se encuentra
a 100 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia
de 25º a 40º durante el período de observación, demuestre que la distancia
aproximada que ha recorrido el bote durante ese tiempo es 95 metros.”
Ejemplo de un gráfico del mismo problema:
25º
40º
100 Mts
X = 95 Mts
a= 25º. Angulo de depresión ß= 40º. Angulo de depresión
h = 100 mts. Altura del edificio x = 95º mts. Dist. Recorrida por el bote
ß= 0= Angulos alternos internos entre ¦ ¦
a= a1= Angulos alternos internos entre ¦ ¦
94
h = 100 Mts
Y
X0
?
A
X = 95 Mts
ß=40º
T =40º a1=25ºß1=40º
a=25º
a=50º
Leyenda:a= 25º. Angulo de depresiónß= 40º. Angulo de depresiónh= 100 mts. Altura del edificiox= 95º mts. Dist. Recorrida por el boteß= 0= Angulos alternos internos entre ¦a= a1= Angulos alternos internos entre ¦
h = 100 Mts
Y
X0
?
A
X = 95 Mts
ß=40º
T =40º a1=25ºß1=40º
a=25º
a=50ºh = 100 Mts
Y
X0
?
A
X = 95 Mts
ß=40º
T =40º a1=25ºß1=40º
a=25º
a=50º
Leyenda:a= 25º. Angulo de depresiónß= 40º. Angulo de depresiónh= 100 mts. Altura del edificiox= 95º mts. Dist. Recorrida por el boteß= 0= Angulos alternos internos entre ¦a= a1= Angulos alternos internos entre ¦
En conclusión:
El gráfico posee todos los datos y meta del problema, con su respectiva
leyenda, además de otros términos para su resolución, todos estos elementos
diferencian un gráfico de un dibujo.
A juicio del autor, esta es una de las conductas más importantes a
desarrollar; su dominio contribuye a subsanar las debilidades mencionadas en
la mayoría de los ítems señalados en la encuesta, tales como 1, 3, 4, 5, 6, 10,
12, 13, y 18.
4. Extraer Meta :
Esta conducta empieza a ejercitarse a partir de la primera etapa de
resolución de problema (etapa de interpretación) y consiste, como su nombre
lo indica, en extraer (separar) la meta del problema. Aunque se puede deducir
la meta de manera textual, el alumno debe saber parafrasear, explicar dicha
meta: para de esa manera tener seguridad que el educando comprende lo que
está pidiendo el problema. Lo importante en esta conducta, es que no se
pierda la esencia del objetivo del problema.
Ejemplo:
“Una torre de “h” metros de altura esta inclinada con un ángulo “a”
95
respecto a la horizontal. Desde la parte superior de la torre un observador ve
una persona con ángulo de depresión “ß”. ¿Cómo harías para determinar a
que distancia se encuentra esta persona de la base de la torre?”.
Meta:
1. ¿Cómo harías para determinar a que distancia se encuentra esta
persona de la base de la torre?
2. ¿Calcula la distancia que separa a la persona de la base de la
torre?
3. ¿Qué espacio hay entre la persona y la base de la torre?
4. ¿Cuál es la longitud entre la base de la torre y la persona que el
observador ve de la parte superior de la torre?
Como se puede evidenciar, existen distintas maneras de expresar la
meta de ese problema en particular, sin que se pierda la esencia de lo que
está exigiendo.
Esta conducta en cierta forma tiene alguna correspondencia para ayudar
a fortalecer la habilidad de comparar, señalada en la encuesta en los ítems 14
y 15.
5. Extraer Datos.
Esta conducta, como la anterior, comienza a practicarse desde el inicio
de las etapas de resolución de problema. La misma consiste como su
denominación lo indica, en extraer todos los datos explícitos del problema
planteado.
Los detalles en cuestión deben ir acompañados de su respectiva
definición, es decir, debe llevar la explicación, la referencia de cada uno de
ellos.
Se deben diferenciar dos tipos de datos:
a. Datos explícitos son aquellos que están siempre representados en
números o en su defecto en letras.
96
b. Datos implícitos son, como su palabra lo indica, los que están
inmersos en algunas de las palabras o expresiones del problema,
generalmente adjetivos, como: cuadrados, redondos, elíptico, etc.
Estos detalles, aunque no se extraen como tales, aparecen luego en la
forma que toma la representación gráfica del enunciado.
Ejemplo:
“Se ha determinado que cuando un cable suspende una carga de igual
peso, a distancias horizontales iguales, el cable toma forma parabólica. A partir
del conocimiento anterior los ingenieros de SIDOR diseñaron un puente
colgante con las siguientes características: los extremos del cable están
apartados a 1.200 metros y a 120 metros arriba de la horizontal sujetos a una
estructura donde el centro del cable está nivelado a dicha horizontal. Se desea
colocar fuentes luminosas sobre el cable a 400 metros de distancia de las
estructuras del puente. ¿A qué altura se colocarán las fuentes luminosas?
:
Datos explícitos Leyenda
1) d1= 1200 metros. Distancia de separación entre los extremos del cable.
2) d2= 120 metros. Distancia entre el cable y la horizontal.
3) d3= 400 metros. Distancia de las fuentes luminosas a la estructura del puente.
Los datos implícitos en este problema, aunque se dijo que no se extraen,
por ser palabras, frases, adverbios, etc., sino que aparecen luego en la
representación gráfica del enunciado son:
• Distancias horizontales iguales.
• Forma parabólica.
• Puente colgante.
El dominio de esta conducta ayuda a mejorar las debilidades que se
señalan en los ítems 5, 12 y 18 de la encuesta.
97
6. Definición de Variables:
Esta conducta busca lograr en el estudiante la habilidad para definir las
variables a ser utilizadas en un módulo matemático en particular, de tal
manera que se perciba bien lo que cada una de ellas representa.
Ejemplo:
“Un químico tiene tres soluciones que contienen un 10%, 30% y 50%,
respectivamente, de ciertos ácidos. Sea mezclar las tres soluciones, usando el
doble de la solución al 50% respecto a la de 30%, para obtener 50 litros de
una solución que contenga un 32% del ácido. ¿Qué deberá hacer el químico
para saber cuantos litros de cada solución deberá usar?”.
x = solución que contiene 10% de cierto ácido.
y = solución que contiene 30% de cierto ácido.
z = solución que contiene 50% de cierto ácido.
Como se puede evidenciar se utilizaron tres variables, las cuales fueron
definidas, es decir, se describió lo que representa cada una de ellas. Es
importante destacar que esta conducta se mide en los ítems 5 y 18 de la
encuesta.
7. Relación de Variables:
Para demostrar esta conducta, hay que tomar en cuenta cualquier tipo de
conexión entre las variables que intervienen en el problema, las mismas van a
aparecer en la representación gráfica, así como en el (los) modelo(s)
matemático(s). Esto permitirá conseguir la meta deseada.
Al respecto, el Diccionario Enciclopédico de las Matemáticas, dice lo
siguiente:
En la matemática moderna, lo importante son las relaciones. En esta
98
nueva perspectiva, las relaciones constituyen o unen los “objetos” que eran tradicionalmente estudiados en sí mismos: rectas, círculos, ángulos, números, funciones… antes eran secundarias en comparación con los seres matemáticos: como ellos eran de naturaleza numérica, geométrica, funcional… con la “matemática”, al contrario, son las relaciones consideradas en sí mismas, las que son prioritarias. Tomo I. (p. 48). Algunas relaciones clásicas entre variables serían:
• Proporcionalidad directa entre dos entidades [y = f(x)].
• Proporcionalidad inversa entre dos variables
=
xk
y .
• Proporcionalidad al cuadrado de la inversa
= 2x
ky .
• Proporcionalidad al cuadrado (llamada también función cuadrática
o parabólica) que se escribe (y = kx2).
• La variable x es el doble de y (x = 2y).
• La variable x es tres veces más concentradas que y (x = 3y).
• La variable x es el quintuple de la diagonal y (x = 5y).
Como se puede observar, cualquier tipo de correspondencia se refleja en
un modelo matemático y en su gráfico respectivo a la vez.
Ejemplo:
“El largo de una campo rectangular excede a su ancho en 4 centímetros.
Si cada dimensión se aumenta en 3 centímetros, el área será el doble. Ha llar
las dimensiones del campo rectangular.”
Definición de variable:
L = Largo del campo rectangular.
A = ancho del campo rectangular
Relación de Variable:
I) La primera relación que está en el enunciado del problema es: el
99
largo de un campo rectangular excede a su ancho en 4
centímetros, es decir, L = a + 4.
II) La segunda relación: si cada dimensión se aumenta en 4 cm., el
área será el doble, es decir, aumentadas las dimensiones en 4
cm. entonces el área nueva (An) va a ser igual al doble del área
anterior (Aa): An = 2Aa.
8. Realizar Modelos.
En esta conducta hay que distinguir dos tipos de modelos:
a. Existen problemas donde los modelos que se van a utilizar están
establecidos, es decir, las fórmulas ya son conocidas.
Un ejemplo de este tipo es: calcular el volumen del cubo, cilindro,
paralelepípedo, pirámide, etc. Todos estos modelos para determinar el
volumen están en los formularios, libros, etc.
b. En cambio existen problemas, donde el estudiante tiene que ir extrayendo
relación para luego integrarlas en un modelo matemático.
Ejemplo:
“La suma de las edades de A y B es 84 años, y B tiene 8 años menos
que A. Hallar ambas edades”.
Sea: X = edad de A.
Como B tiene 8 años menos que A: X - 8 = edad de B (I).
La suma de ambas edades es 84 años;
Luego, se tiene la ecuación: X + X - 8 = 84 (II).
Lo cual representa el modelo matemático que permite resolver el
problema planteado.
Se observa en el ejemplo, que el modelo matemático no está
preconcebido para resolver la situación problema, sino que hay que construirlo
a partir de las relaciones existentes.
En conclusión, la conducta de realizar modelos tiene esas dos variantes,
100
de acuerdo al tipo de contenido matemático, es decir, algunas veces hay que
recurrir a la memoria o en su defecto a los formularios y otras hay que
construirlo con los elementos presentes en el problema.
9. Vía de Solución:
Esta conducta es la parte de planificar las distintas estrategias que
permitan la ejecución del problema. Estas estrategias consisten en una serie
de pasos donde se señala el por que se aplica un principio matemático
determinado, el modelo matemático respectivo, además de los elementos que
se conoce y el que se va a calcular. Mayor, citado por Sternberg (1986) dice lo
siguiente: “Para poder diseñar un plan de ataque, la persona necesita poseer
algún conocimiento de la heurística de la resolución del problemas (es decir,
conocimiento estratégico)”. (p. 182).
Para consolidar una vía de solución (concebir un plan) Polya (1965) dice
lo siguiente:
Tenemos un plan cuando sabemos, al menos a “grosso modo” que cálculo, qué razonamientos o construcciones habremos de efectuar para determinar la incógnita. De la comprensión del problema a la concepción de plan, el camino puede ser largo y tortuoso. De hecho, lo esencial en la solución de un problema es concebir la idea de un plan. (p. 30). Además Polya (Ibídem) sugiere una series de preguntas, que bien
comprendidas ayudan a provocar el lanzamiento de las ideas para
conformación del plan.
Algunas preguntas orientadoras son:
• ¿Se han encontrado con un problema semejante?.
• ¿Conoce un problema relacionado con éste?.
• ¿Conoce algún teorema que pueda ser útil?.
• Mire atentamente la incógnita y trate de recordar un problema que
le sea familiar y que tenga la misma o una incógnita similar.
101
• ¿Puede deducir algún elemento útil de los datos?.
Para entender mejor, a continuación se ofrecen varias definiciones sobre
estrategias y un ejemplo práctico que clarifique lo que se entiende en este
programa orientador por esa conducta.
Algunas definiciones sobre estrategias, tomada de la nueva enciclopedia
Larousse, tomo cuarto, página 3682.
1. Arte de concebir, preparar y dirigir acciones militares en gran
escala.
2. Arte de coordinar las acciones y de maniobrar para alcanzar un
objetivo.
Una síntesis de las definiciones (1) y (2) seria:
3. Arte de concebir acciones para alcanzar un objetivo.
En definitiva, arte de concebir, coordinar pasos para alcanzar la meta del
problema.
Para la mejor comprensión de los conceptos emitidos a continuación se
compara, en forma sencilla y práctica la estrategia militar con la matemática:
Tabla Nº. 3
Estrategias
Estrategia Militar Estrategia Matemática
a. Se concibe (no se ejecuta, esto es importante de observar) la acción militar para lograr el objetivo.
b. No pertenece a la estrategia decirle a los soldados que deben buscar la pólvora, echarla en el orifico del cañón, encender la mecha, otras tantas cosas más y por último disparar para lograr el objetivo. Esto no pertenece a la estrategia, sencillamente por que se terminaría la guerra y el General estaría todavía echando el cuento.
c. Acá la ejecución, el movimiento, las operaciones las va a realizar el soldado, para resolver el problema planteado con el enemigo.
a. Se concibe el porqué del teorema (por ejemplo, por ser triángulo rectángulo u oblicuángulo, etc.).
b. Lo mismo sucede acá, no se debe (no es que no se pueda) señalar en la estrategia que se debe hacer las operaciones indicadas (es decir, sumar, restar, sacar la raíz cuadrada, etc).
Las operaciones acá implican la aplicabilidad del teorema. Se debe recordar que la estrategia en sí, no es la ejecución. c. La ejecución, el movimiento, es decir,
las operaciones las va a realizar el que toma la estrategia para resolver el problema planteado.
102
Visualización de lo antes expresado mediante ejemplos sencillos.
Ejemplo :
“Dado un triángulo rectángulo ABC, donde 54 == ACyAB . Calcular el
ángulo “a” perteneciente al vértice C”.
Estrategia:
1. Como es un triángulo rectángulo, aplico el teorema de Pitágoras
222ACABBC += , para obtener el lado BC , ya que conozco ACyAB
2. Aplico la función trigonométrica sen a =BCAB
, ya que conozco BCyAB .
3. A partir del paso anterior obtengo a =arc sen BC
AB, que es la meta del
problema.
Lo que no se debe hacer (no es que no se pueda):
1. Como es un triángulo rectángulo aplico el teorema de Pitágoras
222ACABBC += , donde el valor de AB lo sustituyo en la fórmula y
lo elevo al cuadrado, eso sumado va a ser igual a la raíz cuadrada
de BC y así sucesivamente, lo que implica que la operacionalidad
a
A
B C
103
de los pasos no deben estar contenidos en la estrategia; por que de
lo contrario se convierte en un relato, más que una estrategia.
10. Ejecutar Plan:
Esta conducta en sí, es la tercera fase de resolución de problema, donde
se realizan las operaciones con los datos explícitos y modelos matemáticos
contemplados en el plan, utilizando algoritmos de cálculo, acá hay que estar
alerta a la respuesta del estudiante, para manejar situaciones confusas que
puedan presentarse y así tener dominio total del objetivo a lograr. Mayer,
citado por Sternberg (1986) señala lo siguiente al respecto:
La ejecución de la solución requiere que el sujeto sea capaz de efectuar operaciones, como el cálculo. Para ejecutar las soluciones a los problemas, el sujeto necesita algún conocimiento de los procedimientos de solución, es decir, conocimientos algorítmicos. Por ejemplo, el sujeto tiene que saber que la suma de 3 + 5 es 8. Las personas pueden inferir en su capacidad para desarrollar las operaciones, y estas diferencias pueden estas relacionadas con el conocimiento algoritmico. Los algoritmos de cálculo dependen de la disponibilidad de unas técnicas bien asimiladas. (p 182 -83). Como se puede observar, ningún alumno resuelve un problema en el
vacío. Al respecto Gagne (1979) dice:
Para resolver un problema, el sujeto debe ser capaz de evocar las reglas previamente adquiridas que se relacionen con el caso. La solución depende siempre de su experiencia previa, específicamente de la evocación de reglas ya aprendidas. (p. 143) Ejemplo: (ejecución del plan del ejemplo anterior)
1. 222ACABBC += (I) Teorema de Pitágoras.
Donde: AB =4
AC =5
Sustituyendo esos valores en (I) se tiene:
104
222)5()4( +=BC
25162
+=BC
412
=BC
41=BC
)(4,6 IIBC =
2. Sen a= )(IIIBCAB
, sustituyendo los valores respectivos se obtiene:
Sen a= 40,64
Sen a= 0,625
3. Del segundo paso se extrae la meta del problema del ejemplo que
se está practicando:
Sen a= 0,625 ? arc sen 0,625
? a=36,68º
11. Interpretación de la Solución:
Esta conducta se refiere a que, ningún resultado (meta) debe quedar sin
su explicación debida. Por consiguiente, cualquier valor de la solución de un
problema debe llevar una pequeña reseña de lo que significa.
Ejemplo:
Dado el siguiente problema:
“Un agricultor requiere una mezcla de 1000 kg de fertilizante con un 30%
de nitrógeno (N). Para ello dispone de dos fertilizantes A y B, con 42% y 15%
de N, respectivamente. ¿Cuántos Kilogramos de los fertilizantes A y B se
deben mezclar para obtener lo requerido por el agricultor?”.
La solución de este p roblema es el siguiente:
a
A
BC
a
A
BC
105
X = fertilizante A al 42% de Nitrógeno.
Y = fertilizante B al 15% de Nitrógeno.
Donde x = 555,5 Kg.
y = 444,5 Kg.
Interpretación:
El agricultor requiere de 555,.5 Kg. del fertilizante A y 444,5 Kg. del
fertilizante B para obtener la mezcla de 1000 Kg.
12. Verificación del Procedimiento:
Esta conducta consiste, como su nombre lo indica, en verificar cada una
de las fases de resolución de problemas, para ello Polya (1965) sugiere una
serie de preguntas, además de algunas otras que se le ocurran al profesor
para la comprobación de lo que se ha realizado, y así tener seguridad en los
resultados obtenidos por etapas.
a. Interpretación (Comprender el problema).
• ¿Cuál es la incógnita?.
• ¿Cuáles son los datos?.
• ¿Cuál es la condición?, etc .
b. Planificación de estrategias (Concebir un plan).
• ¿Se ha encontrado con un problema semejante? .
• ¿Has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente
diferente?.
• ¿Conoce un problema relacionado con éste?.
• ¿Podría enunciar el problema en otra forma? etc.
c. Ejecución del Plan.
• ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto?.
• ¿Puede usted demostrarlo? etc.
d. Verificación De Procedimiento. (Visión retrospectiva).
106
• ¿Puede usted verificar el resultado?.
• ¿Puede verificar el razonamiento?.
• ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? etc.
En este programa, una manera práctica de verificar una ejecución de un
problema, además de hacer las preguntas que sugiere Polya (1965) y otras
que surgen del proceso dinámico de clase, es buscar otra vía de solución (si la
hay), la cual debe conducir al mismo resultado que el anterior.
Por ejemplo, cuando se resuelve un problema cuyo modelo matemático
es un sistema de ecuaciones, primero se aplica el método de eliminación (por
señalar alguno en particular), luego el de igualación, sustitución, etc. Y los
resultados obtenidos de ambas maneras deben coincidir, de lo contrario se
debe pensar que algo esta mal, ésta es una manera de verificar si se ha
cometido algún error en alguna parte de la concepción o desarrollo del
problema.
13. Verificación de la Solución:
Esta conducta, consiste en comprobar que la meta obtenida está dentro
de los parámetros esperados; no es más que introducir el (los) valor (es) en el
modelo matemático respectivo para observar si lo satisface o no.
Polya (1965) dice al respecto:
Reconsiderando la solución, si examinando el resultado y el comienzo que les condujo a ella, podría consolidar sus conocimientos y desarrollar sus aptitudes para resolver problemas. Un buen profesor debe comprender y hacer comprender a sus alumnos que ningún problema puede considerarse completamente terminado. Siempre queda algo por hacer; mediante un estudio cuidadoso y una cierta concentración, se puede mejorar cualquier solución, y en todo caso, siempre podremos mejorar nuestra comprensión de la solución. (p. 35).
107
Componente Estrategias Didácticas. Con la intención de lograr en el estudiante una mejor comprensión e
internalización de las conductas que conforman el programa de la propuesta,
se describen a continuación varias estrategias que responden a las respuestas
dadas tanto por los docentes de la UNEG entrevistados, como por parte de los
profesores de Ciclo Diversificado.
El docente tiene que tener la habilidad y conocimiento para utilizar una
estrategia y/o método en el momento preciso requerido. No obstante, este
proceso de enseñanza tiene siempre que estar en perfecta concordancia con
los objetivos previstos, lo cual le va a permitir al facilitador guiar con claridad el
proceso, sin desviar el tema de interés. Por consiguiente, cuando se elige una
estrategia y/o método de enseñanza se deben tener definidos los objetivos que
se quieren lograr con esa acción.
En el capítulo II, se describieron varios de los métodos referidos en los
resultados de las encuestas; éstos bien utilizados, ayudan al proceso de
enseñanza – aprendizaje, además de las estrategias que se detallan a
continuación.
a. Representación: Esta estrategia consiste en hacer una traducción a
través de símbolos matemáticos, diagramas, gráficos, etc. de una situación
dada, donde se va a apreciar todos y cada unos de los elementos presentes, ya
sea en la definición, axioma, teorema o en un problema en particular. La
utilización de esta estrategia responde a la necesidad de fortalecer la debilidad
observada en los bachilleres (Ítem 18 de la encuesta aplicada) en la cuales
establece que ellos deben comprender y manejar los entes matemáticos
señalados (definición, axiomas, teoremas o problemas).
La representación no es más que la simplificación de lo que se tiene
como un todo (por ejemplo, un problema) que permite a la vez avizorar el
camino para resolverlo.
Esta estrategia es de mucha ayuda en la interpretación de un
108
problema, la cual se hace a través de símbolos, gráficos, tablas, etc. La
misma permite observar un problema de otra manera, lo cual orienta su
comprensión para resolverlo, hace el problema más simple o más fácil de
ver. Esta estrategia recomienda: leer varias veces el problema, pensar en
una representación que tenga alguna similitud con los objetivos, pasar a la
representación elegida la información ordenadamente, y por último,
observar que la representación sea clara, es decir, que permita que otra
persona comprenda el problema.
Veamos ahora algunos ejemplos donde se evidencia la utilidad de
Representar, ya sea a través de símbolos matemáticos, diagramas, gráficos,
etc., una situación matemática dada; es decir, una definición, teorema o un
problema en particular.
Ejemplo 1:
Definición: una elipse es un lugar geométrico de los puntos del plano
tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos dados es constante. Los
puntos fijos se denominan focos (F y F’), el punto medio entre ellos es el
centro (C) de la elipse. En una elipse se pueden señalar los siguientes
elementos:
a) Eje principal: es la recta vertical u horizontal que pasa por los focos
(F y F’) de la elipse, además la corta en dos puntos llamados
vértices principales (A y A’). Cuando el eje principal es paralelo al
eje X, la elipse es horizontal. Si es paralelo al eje Y, es vertical.
b) Eje secundario: es la recta perpendicular al eje principal que pasa
por el centro y corta la elipse en dos puntos llamados vértices
secundarios (B y B’).
c) La distancia del centro a los vértices principales se denota “a”; es
decir : CA = CA’ = a. La distancia del centro a los vértices
secundarios se denota “b”; es decir: CB = CB’ = b. La distancia del
centro a los focos se denota “c” o sea: CF = CF ’ = c (distancia focal).
109
Como podemos observar, esta definición posee mucha información; para
su debido procesamiento se hace necesario tomar en cuenta la estrategia de
“Representación”, la cual nos permite a través de la utilización de símbolos
matemáticos simplificar lo que se tiene como un todo, para su mejor
visualización y comprensión. A continuación, se representa gráficamente lo
que está expuesto literalmente en la definición:
Si se detalla el gráfico anterior, vemos que orienta la comprensión y hace
más fácil de comprender el ejemplo que ha sido definido con palabras. Esto
demuestra que la visualización de un ente matemático, a través de la
estrategia Representación, ayuda a la interpretación debida. En otras
palabras, un gráfico bien elaborado habla por si sólo, lo que trae como
consecuencia inmediata que la persona comprenda lo planteado. En definitiva,
el dominio de esa estrategia fortalece lo que se manifiesta en el ítem 10 de la
encuesta.
Ejemplo 2:
Definición de la pendiente de una recta: Sean P1 (X1, Y1), P2 (X2, Y2) dos
puntos sobre la recta L. La razón m = Y2 – Y1/ X2 – X1.
Esta definición, a diferencia de la anterior, posee poca información; pero
si no hacemos la traducción a través de símbolos matemáticos y el gráfico
respectivo, se puede correr el riesgo de no interpretar adecuadamente la
definición dada. De allí la importancia de la estrategia Representación.
a
b
A A`F`CF
B
B`
Eje secundario
Eje principal
c
P (x,y )a
b
A A`F`CF
B
B`
Eje secundario
Eje principal
c
a
b
A A`F`CF
B
B`
Eje secundario
Eje principal
c
P (x,y )
FF´ = FocosC = CentroAA` = Vértices principalesBB` = Vértices secundariosa = la distancia de centro a los vértices principalesb = la distancia de centro a los vértices secundariosc = la distancia del centro a los focosCF = CF`= Distancia focal
110
Observemos los pasos que vamos a dar para visualizar la comprensión de esta
definición particular (que podría ser un teorema o un problema).
Primero, nos ubicamos espacialmente, es decir, graficamos los ejes
coordenados:
Segundo, graficamos una recta genérica cualquiera, señalando dos
puntos de corte de la recta con los ejes:
Tercero: graficamos los puntos dados sobre la recta en cuestión:
Cuarto: al listar las ordenadas Y2 – Y1 y las abcisas X1 – X2 y dividir
dichos resultados, obtenemos la pendiente de la recta, que no es más que la
razón (m) de dichas cantidades. Esto es una forma gráfica y sencilla de
calcular lo que conocemos como pendiente (esto es, lo expresado en palabras
en la definición). He allí la importancia de manejar oportuna y adecuadamente
la estrategia de Representación, ya que bien manejada vale por mil palabras.
Y
0 X
Y
0 X
Y
0 X
-b
L
A (a,0)
B (0,-b)
Y
0 X
-b
L
A (a,0)
B (0,-b)
Y
0 X
-b
L
A (a,0)
B (0,-b)
P1(x1;y1)
P2(x2;y2)Y2
Y1
X1 X2
Y
0 X
-b
L
A (a,0)
B (0,-b)
P1(x1;y1)
P2(x2;y2)Y2
Y1
X1 X2
111
b. Búsqueda hacia atrás: Es una estrategia que permite resolver un
problema partiendo desde la meta, yendo paso a paso hacia atrás, como ella
misma lo señala, hasta llegar al inicio del problema. Es decir, en vez de ir como
de costumbre del comienzo hasta llegar a la meta, lo hacemos al revés. la
esencia de esta estrategia es considerar que lo buscado se conoce (es decir,
la meta), e ir observando que pasos le anteceden hasta llegar al punto de
partida (situación inicial).
Se debe tener presente que este tipo de estrategia es aplicable
solamente a problemas donde el estado final o meta está claramente definido,
por lo tanto no es aplicable a problemas donde la meta o estado final es
desconocida. Esta estrategia utiliza un razonamiento regresivo y se puede
sintetizar así: partir desde la meta (a donde se desea llegar), admitir que es
posible llegar allí y decidir que operación se debe ejecutar sobre un estado
inmediatamente anterior a la meta a alcanzar y así sucesivamente hasta llegar
al estado inicial.
Esta estrategia en la conducta vía de solución facilita algunas veces el
camino a escoger y en aquellas situaciones donde la representación gráfica de
los problemas son triángulos o figuras afines.
Tomemos como ejemplo para la demostración en la práctica de la
referida estrategia el problema planteado en la descripción de la página 92 del
presente trabajo:
Problema: “Desde la punta de un edificio que ve hacia el Océano, un
hombre observa un bote que navega directamente hacia él. Si el hombre se
encuentra a 100 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del
bote cambia de 25º a 40º durante el período de observación, demuestre que la
distancia aproximada que ha recorrido el bote durante ese tiempo es 95
metros.”
112
Vemos que la meta es demostrar que la distancia es de
aproximadamente 95 metros.
- Observando el gráfico tenemos el ? AOC y el ? ACB. La meta a calcular está
en el ? ACB, es decir, tenemos que calcular el lado CB .
- Como el triángulo es oblicuángulo, si conociéramos los lados AC y AB el
problema estaría resuelto, porque conocemos los ángulos respectivos;
pero ese no es el caso.
- Entonces, nos vamos desde la meta hacia atrás para ver si podemos
calcular los lados AC y AB , para luego regresar y aplicar el teorema del
coseno; el cual nos permite conociendo dos lados y el ángulo respectivo
entre ellos, obtener el otro lado opuesto a dicho ángulo.
- Veamos la ejecución de lo planteado:
• Aplico tg 50ª = OC / 100; en el ? AOC para conocer el lado
OC .
• Como conozco el lado OC por el paso anterior y a la vez
se sabe el valor del lado AO , dato del problema, aplico el
teorema de Pitágoras en el ? AOC para conocer el lado AC ,
por ser rectángulo.
• En el ? AOB aplico sen 25ª = 100 / AB en el vértice B,
d1 = 100 Mts
Y
X 0
?
A
X = 95 Mts
ß=40º
T=40º a1=25º ß1=40º
a=25º
a=50º
Leyenda: a y ß = Angulos de depresión d1= distancia sobre el nivel del mar. x= Distancia recorrida por el bote AOC= Vértices del triangulo rectángulo ACB= Vértices del triangulo oblicutángulo
113
porque el triángulo es rectángulo, para obtener el lado AB .
• Finalmente, como hemos obtenido los lados AC y AB y el
ángulo respectivo del ? ACB lo conocemos, aplicamos la ley
del coseno, por ser el triángulo oblicuángulo y con ello
demostramos que la distancia aproximada del lado CB del
? ACB es 95 metros.
Como hemos demostrado, la estrategia búsqueda hacia atrás permite
transitar el gráfico del problema, es decir, ir y venir en búsqueda de la
solución. En conclusión, esta estrategia nos facilita, partiendo de la meta,
yendo paso a paso hacia atrás como ella misma lo indica, hasta llegar al inicio
del problema y regresar convenientemente de acuerdo a la situación
planteada.
c. Mapa de concepto: esta estrategia de organización, permite ordenar
las ideas principales de una actividad de enseñanza – aprendiza je. Es una
herramienta que ayuda a esquematizar a través del diagrama de Venn, la
estructura de las relaciones entre conceptos, proposiciones existentes entre
ellos. Un mapa elaborado con los conceptos y proposiciones principales de un
tema matemático en particular, ayuda tanto al docente como al estudiante a
una mayor comprensión del contenido. Novak (1991), citado por Perera (1999)
señala que un mapa “es un recurso esquemático para la representación de un
conjunto de significados conceptuales incluidos en una estructura de
proposiciones y constituye una forma muy individual en la representación
gráfica de información” (p 11). Williams (1986) también citado por Perera
(1999) lo considera una herramienta de organización gráfica para sintetizar la
información.
Veamos como esquematizamos a través de esta estrategia una
definición.
Expresión algebraica. Definición. Es una expresión constituida por
letras, números y otros símbolos algebraicos. Las partes de la misma que
están conectadas por signos más (+) o menos (-) se denominan términos. En
114
todo término se distinguen dos partes: el coeficiente (número) y la variable
(letra). Esta última siempre estará elevada a algún exponente natural.
Representado el mapa conceptual equivalente a este concepto, tenemos:
EXPRESION ALGEBRAICA
CONSTITUIDAPOR LETRAS
CONSTITUIDAPOR NÚMEROS
CONSTITUIDAPOR SIMBOLOSALGEBRAICOS
TERMINOS
COEFICIENTE
VARIABLE
ELEVADAEXPONENTE
NATURAL
EXPRESION ALGEBRAICA
CONSTITUIDAPOR LETRAS
CONSTITUIDAPOR NÚMEROS
CONSTITUIDAPOR SIMBOLOSALGEBRAICOS
TERMINOS
COEFICIENTE
VARIABLE
ELEVADAEXPONENTE
NATURAL
d. Portafolio de Ejercicios: esta estrategia consiste simplemente en
darles series de ejercicios a los estudiantes, de los temas o tópicos
específicos que ellos deben manejar, para la mejor comprensión de los
objetivos que se han propuesto; para luego en los talleres en el salón de clase
escudriñar pedagógicamente con ellos el aprendizaje adquirido y cómo lo
abordaron de tal manera que se les pueda orientar al respecto y así contribuir
para que su aprendizaje activo sea cada día más independiente y
responsable .
115
e. Concreción de entes matemáticos: esta estrategia se refiere al
manejo en concreto de todos los posibles entes matemáticos, es decir, que el
alumno tenga la oportunidad de manipular, tocar todos y cada uno de los
elementos que conforman , por ejemplo: las figuras geométricas (cilindro,
cubo, pirámide, paralelepípedo, etc.), vectores, planos, rectángulo, etc. la
virtud de esta estrategia es que el estudiante entra en contacto directo con
parte de la abstracción matemática, lo que le permite que dicho aprendizaje
sea duradero en el tiempo y con ello significativo.
f. Método de la Discusión Dirigida: El objetivo de este método es
lograr que los estudiantes discutan un tema matemático con la participación
de la mayoría presente, con la ayuda del facilitador, el cual debe preparar
preguntas, tanto convergentes, como divergentes que estimulen el debate.
Este método ayuda al estudiante a independizarse y formar parte activa de su
formación.
g. Método Mixto (Inductivo – Deductivo): Se trata de dos métodos
de gran utilidad en el proceso de enseñanza – aprendizaje, aunque parte de
forma diferente en su modo de razonar, debido a que el inductivo parte de lo
particular a lo general y el deductivo de lo general a lo particular, en la práctica
educativa no están aisladas.
Por esta razón, el docente debe manifestar habilidad suficiente para
hacerle ver al estudiante la relación entre ambos razonamientos,
principalmente entre análisis y síntesis, que su procedimiento de este método,
además de la comparación, ejemplificación, observación, experimentación,
generalizaciones, intuición, demostración y aplicación.
A continuación nos vamos a referir a algunos de los procedimientos
mencionados:
Análisis : Es un procedimiento que trata la descomposición de
elementos que conforman la totalidad, es decir, separar un todo en las
diversas partes que lo integran. Desde luego siguiendo un orden, según la
naturaleza del objeto (en caso nuestro del Ente matemático respectivo).
Síntesis: es un procedimiento inverso al análisis, que va de lo simple a
116
lo compuesto, es decir, integra los diversos elementos de un todo.
Comparación: Es un procedimiento que permite extraer las semejazas y
diferencias entre dos o más entes matemáticos.
Ejemplificación: Es un procedimiento útil al estudiante en la práctica
para fijar planteamientos teóricos. Permite que el educando, dada una
definición o teorema sea capaz de hacer una representación numérica o
gráfica, es decir, dar un ejemplo.
Observación: Es un procedimiento que permite la utilización de los
sentidos para la percepción de los elementos y características que conforman
los entes matemáticos. Por ejemplo, en el caso de las figuras geométricas se
tiene la oportunidad de examinar directamente los elementos que la
constituyen.
Aplicación: Es un procedimiento que consiste en poner en ejecución lo
aprendido, es decir, transferencia de aprendizaje. El educando debe ser capaz
de aplicar en situación problema las definiciones, teoremas aprendidos con
anterioridad.
A continuación, se presenta un ejemplo donde es evidencia la
convergencia de la estrategia mixta (inductiva – deductiva).
Estudio de los tipos de triángulos (también con figuras geométricas.
- Si se estudian las diversas características de los triángulos y las
relaciones que los unen: lado, ángulo, vértice, etc., se está
realizando un análisis .
- Si se hace la presentación concreta de varios tipos de triángulo y
a la vez se realiza su respectiva representación gráfica, se está
en presencia de la Observación o Intuición.
- Si se presentan varios tipos de triángulo (rectángulo, equilátero,
isósceles, escaleno) y los cotejamos, estamos en presencia de la
Comparación.
- Si se logra a través de una actividad que los alumnos dibujen y
grafiquen a la vez diferentes tipos de triángulos, se está frente a
la estrategia Aplicación.
117
- Si los estudiantes explican debidamente los aspectos generales
de los diferentes tipos de triángulos, se está empleando al
estrategia Deducción.
o Si interrogamos adecuadamente con preguntas
convergentes y divergentes sobre aspectos importantes de
los triángulos, esteremos en presencia del proceso de
Síntesis.
- Finalmente, cuando se le pide a los estudiantes que hagan una
descripción amplia de las características de los triángulos,
estamos aplicando la estrategia Generalización.
El autor de este trabajo está firmemente convencido que la mayoría, sino
todos estos conceptos son conocidos y manejados por los profesores de Ciclo
Diversificado por su formación de pregrado en el área de matemática,
obligatoria para desempeñarse como docente en los liceos públicos
venezolanos. Sin embargo, su valía radica en el esfuerzo de haberlos
reunidos bajo la experticia adquirida en el Curso Introductorio de la UNEG,
donde se trató de dotar a los bachilleres de herramientas para alcanzar éxito
en esta área del conocimiento.
118
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones.
Se presentan en el mismo orden en el cual se elaboraron los resultados
que se analizan en el Capítulo IV.
• El primer objetivo fue comparar la opinión de docentes de la UNEG que
atienden a estudiantes de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo
diversificado sobre las debilidades que los bachilleres presentan en el área
de Matemática. La opinión de los dos grupos de docentes son realmente
coincidentes; por lo cual las debilidades identificadas son: Teoría de
conjunto; suma, resta y multiplicación de factores; propiedades de los
números reales; despeje de ecuaciones e inecuaciones; comprensión de
simbología matemática; funciones, factorización, productos notables,
racionalización, potencias; representación espacial de los planos
geométricos como preparación a la trigonometría; comparación, análisis,
síntesis, inferencias, resolución de problemas; definiciones, axiomas,
teoremas y problemas matemáticos.
• Al comparar la opinión de docentes de la UNEG que atienden a estudiantes
de nuevo ingreso y la de profesores de ciclo diversificado, se puede
concluir que la coincidencia sobre los contenidos de un programa
orientador del proceso de enseñanza – aprendizaje en matemática es aún
mayor, puesto que ambos grupos están mayoritariamente de acuerdo
sobre el contenido de este programa, que debe ser estructurado de la
siguiente manera: Un Taller de crecimiento personal, actualización en las
últimas tendencias de la educación, temas sobre racionalización,
119
factorización, potenciación y otras áreas; así como el desarrollo de
contenidos para el dominio de la concreción de entes matemáticos
(geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc).
• Las estrategias didácticas que fueron escogidas por ambos grupos para
conformar el programa orientador del proceso de enseñanza –aprendizaje
en el área de matemática son: Seminarios y talleres, portafolios de
ejercicios, emplear los métodos inductivo y deductivo, los mapas
conceptuales y la “búsqueda hacia atrás”.
Recomendaciones.
Todas las Recomendaciones que elaboraron los sujetos objeto de
estudio están contempladas en la propuesta: aquellas que no aparecen; se
presentan a continuación:
• Presentar la propuesta del Programa Orientador ante el Distrito
Escolar del Municipio Autónomo Caroní y la Dirección Regional de
Educación para su implementación.
• Presentar este Programa Orientador ante la Coordinación de
Extensión de la UNEG y ante FUNDAUNEG para que se estudie
la posibilidad de vender la propuesta a d iferentes liceos.
120
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de Adultos y Desarrollo. Caracas: Centro de Documentación INSTIA.
125
ANEXOS
126
ANEXO A-1: Encuesta dirigida a los profesores de la UNEG. INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
Objetivo: Diseñar una propuesta de actualización docente en estrategias metodológicas para mejorar las habilidades matemáticas de los estudiantes del ciclo diversificado.
Información General :
El presente cuestionario:
Es anón imo. Es pe rsonal y conf idenc ia l . Tus respuestas serán objeto de un anál is is profundo que ayudará a opt imizar las habi l idades matemát icas de los estudiantes. La ut i l idad y val idez de la información suminist rada dependerá de la ca l idad de tus respuestas, por eso la im por tanc ia de la co laborac ión que puedas aportar contestando las preguntas objet ivamente.
Instrucciones:
En esta sección, tú vas a responder conforme a tu experiencia como docente de matemática. Lee cada frase o proposición y dependiendo de tu opinión, elige una de las cinco respuestas posibles.
1) TOTALMENTE DE ACUERDO: La afirmación expresa exactamente lo que Usted siente sobre el particular.
2) PARCIALMENTE DE ACUERDO: No está totalmente de acuerdo, pero considera que la afirmación más bien expresa lo que Us ted siente sobre el particular.
3) NI ACUERDO NI DESACUERDO (INDECISO): Tiene dudas acerca de la veracidad de la afirmación.
4) EN DESACUERDO: La afirmación no expresa lo que usted piensa sobre el particular.
5) EN ABSOLUTO DESACUERDO: La afirmación definitivamente no expresa lo que Usted siente sobre ese particular.
Marca con una equis “X” en e l cuadro correspondiente a l va lor de tu respuesta u t i l izando la escala señalada.
Responde de acuerdo sea tu percepción. Contesta todas las preguntas.
Gracias por tu colaboración!
127
ASIGNATURA (S)___________________________________SEMESTRE______________ FRECUENCIA_________________
Identificación de debilidades. TA PA IN ED AbD
1. Los estudiantes de bachillerato deben dominar la teoría de conjunto.
2. Los estudiantes de bachillerato deben dominar la suma, resta, multiplicación y división de fracciones.
3. Los estudiantes de bachillerato deben dominar las propiedades de los números reales.
4. Los bachilleres manejan las operaciones inherentes al proceso de despejar ecuaciones e inecuaciones.
5. Los bachilleres deben comprender los elementos de la simbología matemática.
6. Los estudiantes de bachillerato deben dominar el tema de funciones.
7. Los bachilleres que ingresan a la Universidad conocen a cabalidad las operaciones necesarias para factorizar.
8. Los estudiantes de nuevo ingreso dominan los productos notables.
9. Los bachilleres de nuevo ingreso dominan el procedimiento de racionalización.
10. El bachillerato prepara para la representación espacial de los planos geométricos.
11. Los bachilleres que ingresan a la Universidad deben realizar operaciones con potencias con relativa facilidad.
12. Los estudiantes deben saber graficar para poder visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines.
13. El domino de los parámetros geométricos prepara al estudiante para el significado de la trigonometría.
14. La habilidad de comparar es fundamental para el área de matemáticas.
15. Una de las habilidades fundamentales en el área de matemáticas es el análisis.
16. Una de las habilidades necesarias en el área de matemáticas es la inferencia.
17. El dominio de la habilidad de análisis implica, a su vez, el manejo de la capacidad de resolver problemas.
18. Los estudiantes egresados de bachillerato tienen la capacidad de interiorizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos.
19. Un estudiante que puede desarrollar el proceso de análisis debe dominar el de síntesis.
128
IDENTIFICACIÓN DE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS.
AFIRMACIONES. TA PA IN ED AbD
1. Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal.
2. El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación.
3. El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, y tutorías orientadas a demostrar al participante cómo se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
4. El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategia didáctica en sus clases de bachillerato.
5. El Programa orientador para los docentes debe contemplar temas de conocimiento para subsanar las debilidades de los bachilleres, tales como: racionalización, factorización, potenciación, y otras áreas.
6. El Programa orientador debe desarrollar estrategias para el dominio en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc.)
7. El programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas.
8. En el programa orientador debe ejercitar problemas que evidencien conocimientos teóricos, mostrando para que sirven en la vida real.
9. El programa orientador utilizará estrategias de representación, orientadas a demostrar al participante cómo se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
10. El programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica para ejercitar a los docentes.
11. El Programa orientador utilizará la técnica de la pregunta y la respuesta como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes.
12. El Programa orientador utilizará la “búsqueda hacia atrás” como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes.
129
ANEXO A-2: Encuesta dirigida a profesores de Ciclo Diversificado. INSTRUMENTO DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
ASIGNATURA (S)___________________________________SEMESTRE______________ FRECUENCIA_________________
Identificación de debilidades. TA PA IN ED AbD
1. Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades para dominar la teoría de conjunto.
2. Los estudiantes de bachillerato muestran incompetencias en la suma, resta, multiplicación y división de fracciones.
3. Los estudiantes de bachillerato no dominan las propiedades de los números reales.
4. Una de las deficiencias de los bachilleres son las fallas al momento de despejar ecuaciones e inecuaciones.
5. Una de las debilidades de los bachilleres que deben ser subsanadas es la comprensión de la simbología matemática.
6. Los estudiantes de bachillerato presentan dificultades en el tema de funciones.
7. Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia cuando factorizan.
8. Los estudiantes de nuevo ingreso no dominan los productos notables.
9. El procedimiento de racionalización desarrollado por los bachilleres de nuevo ingreso no es dominado totalmente.
10. El bachillerato no prepara para la representación espacial de los planos geométricos.
11. Los bachilleres que ingresan a la Universidad cometen errores con mucha frecuencia al trabajar con potencias
12. Los estudiantes que no pueden graficar, presentan problemas para visualizar soluciones en las áreas de trigonometría, geometría y afines.
13. Los estudiantes tienen problemas para dominar los parámetros geométricos y, por ende, la trigonometría.
14. Las debilidades de los estudiantes a la hora de comparar entorpece la profundización del conocimiento matemático.
15. Los estudiantes tienen dificultades para analizar problemas matemáticos.
16. Los estudiantes presentan problemas para hacer inferencias. 17. El estudiante, aun cuando tiene dominio de la habilidad de
análisis, presenta dificultades en la resolución de problemas.
18. Los estudiantes egresados de bachillerato no son capaces de internalizar definiciones, axiomas, teoremas y problemas matemáticos.
19. Un estudiante, aun cuando puede desarrollar el proceso de análisis, no domina el de síntesis.
130
IDENTIFICACIÓN DE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS.
AFIRMACIONES. TA PA IN ED AbD
1. Un programa orientador para profesores de ciclo diversificado debe iniciarse con un Taller de crecimiento personal.
2. El programa orientador debe incluir una actualización sobre las últimas corrientes o tendencias de la educación.
3. El programa orientador utilizará estrategias grupales como seminarios, talleres, y tutorías orientadas a demostrar al participante cómo se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
4. El programa orientador debe utilizar los portafolios de ejercicios para que el docente los tome como estrategia.
5. El Programa orientador debe contemplar temas de conocimiento para subsanar las debilidades de los bachilleres, tales como: racionalización, factorización, potenciación, y otras áreas.
6. El Programa orientador debe desarrollar el domino en la concreción de entes matemáticos (geometría, planos, trigonometría, vectores, rectas, etc.)
7. El programa orientador debe emplear los métodos inductivo y deductivo como estrategias didácticas.
8. En el programa orientador debe ejercitar problemas que evidencien conocimientos teóricos, mostrando para que sirven en la vida real.
9. El programa orientador utilizará estrategias individuales como la representación, orientadas a demostrar al participante cómo se pueden emplear para lograr los objetivos matemáticos.
10. El programa orientador debe usar los mapas conceptuales como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes.
11. El Programa orientador utilizará la técnica de la pregunta y la respuesta como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes.
12. El Programa orientador utilizará la búsqueda hacia atrás como estrategia didáctica a ejercitar en los docentes.
131
ANEXO B: Validación por juicio de expertos.
Experto 1: Dra. Aixa viera
Dimensiones Ítems Redacción Factor Adecuado Inadecuado Adecuado Inadecuado Precisa Confusa
Debilidades X X X Estrategias X X X
TOTAL 100 % 100 % 100 %
Experto 2: Ing. Angel Guerrero Dimensiones Ítems Redacción Factor
Adecuado Inadecuado Adecuado Inadecuado Precisa Confusa Debilidades X X X Estrategias X X X
TOTAL 100 % 100 % 100 %
132
ANEXO C: Confiabilidad.
Reliability ****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ****** R E L I A B I L I T Y A N A L Y S I S - S C A L E (A L P H A) Reliability Coefficients N of Cases = 50,0 N of Items = 31 Alpha = ,8406
133
Anexo D: Tablas de Codificación. Docentes Ciclo D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 4 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 6 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 7 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 8 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2
10 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 13 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 14 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 16 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 17 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 18 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 19 4 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 20 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 4 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 23 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 24 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 25 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 26 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 29 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 30 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 31 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1
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Doc. UNEG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 3 4 4 1 1 1 2 2 1 1 4 2 4 1 3 1 1 4 2 1 1 4 4 5 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 7 4 4 2 2 4 4 4 4 2 4 4 1 1 4 3 4 1 2 5 2 2 1 2 2 4 2 8 4 4 2 3 2 4 4 5 2 4 4 4 4 4 3 4 4 3 5 4 4 4 4 2 4 4 9 4 4 2 3 2 4 4 5 2 4 4 2 4 4 3 5 4 3 4 4 2 1 5 2 2 4
10 4 5 4 3 4 4 5 5 4 4 4 4 5 4 3 5 4 3 5 4 4 5 4 4 4 4 11 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 12 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 13 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 14 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 15 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 16 3 1 2 1 1 3 1 1 2 1 3 1 1 1 4 1 1 2 1 2 2 1 1 2 3 2 17 2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 4 18 4 5 1 2 4 4 4 2 5 1 4 4 1 1 4 4 2 3 3 4 4 4 5 4 4 4 19 3 1 1 3 2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 20 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 21 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 22 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 23 2 1 1 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 3 1 3 1 2 2 2 4 1 3 2 24 3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 2 25 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 26 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 27 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 28 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 29 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 30 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 31 2 1 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 3 1 2 2 4 2 2 3 3
