UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA … · Los números Enteros y Racionales (Z, Q). Este...

UNIVERSIDAD LIBRE

FACULTAD DE INGENIERÌADEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

TALLER N° 1

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

LOS NÚMEROS REALES

DURACIÓN: 2 horasBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

OBJETIVO

Identificar y operar con cada uno de los elementos de los conjuntos numéricos sus características, correlaciones, y propiedades, su simbología y significado matemático, el análisis de los mismos en las actividades de la vida diaria.

LOGROS: Identifica y operacional correctamente con los conjuntos numéricos.

TEMAS: Los números Naturales (N): propiedades, operaciones, fracciones.Los números Enteros y Racionales (Z, Q): propiedades, operaciones.Los números Irracionales y Reales (I, R): propiedades, operaciones.Axiomas de los números reales.

CONCEPTUALIZACION.

a. Los números naturales (N): son los números que sirven para contar.Se simboliza N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} donde los puntos sucesivos indican que es un conjunto infinito. En este conjunto se definen las siguientes operaciones:

Dados a y b números naturales: a + b ∈ N (suma) y

a × b ∈ N (multiplicación)

Ejemplos:

7 + 4 = 11 ∈ N4 × 3 = 12 ∈ N

También el producto de varias veces un mismo número natural se llama potenciación, esto es:

a × a × a × a ×........× a = an

donde:

a se llama basen exponente

an enésima potencia de a

Ejemplo:

34 = 3 × 3× 3 × 3 = 81, es decir que 81 es la cuarta potencia de tres

El proceso inverso, es decir dada la potencia enésima de un número se puede conocer su base y este proceso se llama raíz enésima de un numero, esto es: an = b entonces n b = a}

Ejemplo:

273327 33 == pues

Los números naturales son ordenados es decir dados a y b ∈ N entonces a ≤ b, ó a < b, ó a > b, Ley de tricotomia, y siempre dados dos números naturales es mayor el que este más alejado del cero.

En ocasiones es posible que el número de unidades no sea exacto. Entonces es necesario subdividir la unidad en cierto número de partes iguales (n). Una de esas partes la notamos (1/n), si una cantidad contiene una de estas partes, su medida la llamamos (m/n) y a esta expresión la llamamos fracción.

Propiedades de las fracciones:ba

= dc

si y solo si a × d = b × c

ba

< dc

si y solo si a × d < b × c

Ejemplo:

32

= 1510

pues 2 × 15 =3 × 10

32

< 43

pues 2 × 4 < 3 × 3

Operaciones con fracciones:

n

nn

ba

bbbaaa

ba

cbbcad

cd

ba

dc

ba

dbdbca

dc

ba

dbbdbcad

dc

ba

dbbdbcad

dc

ba

bbca

bc

ba

=×

×=

≠=×=÷

≠×××=×

≠−=−

≠+=+

≠+=+

.........

0,

0,

0,

0,

0

Ejemplos:

1258

52

555222

52

2710

32

95

23

95;

278

9342

94

32

;152

151012

352534

32

54

1210

344132

31

42;

33

31

32

3

33

==××××=

=×=÷=××=×

=−=×

×−×=−

=×

×+×=+=+

En las fracciones la expresión "", aba

se llama numerador y “b” se llama denominador, si

el denominador es un múltiplo de diez se dice que la fracción es decimal. Ejemplo:

10005,

1004,

103

.

EJERCICIOS.

1. Si (a + b) + c = s ¿Cuál será la suma de b + c + a? Por qué?∆

2. Si a – b = 20 entonces (a + 10) – b =∆� 0 (a + 3) - (b + 2) =

a - (b + 7) =20 - (b - a) =

3. Si a – b = c∆� 0 b + c = 300

a + c = 130Entonces el valor de c es _______

4. Una población de bacterias se triplica cada 6 horas ¿ cuantas veces habrá crecido la población en:

∆� a. Un día b. Una semana c. Un mes

5. Un hombre nacido en 1934 se caso a los 25 años, tres años después nació su primer hijo, si el

∆� hombre murió cuando su primer hijo tenia 27 años ¿En qué año murió?.

6. Si a, b, c son números naturales y x = 2a + 1∆� 0 y = a +2b

z = a + b + cEstablezca relaciones entre x, y, z si: a. a = 3, b es el doble de a, y c = 3

a. a excede en 2 a b; c < 2 y b > 3b. b excede en 3 al triple de a; c = 1, a > 1

7. Compró cierto número de kilos de azúcar, por $6750 y luego los vendo por $10800 ganando

∆0 $30 por kilo, ¿Cuántos kilos compró? 8. Al gastar los 3/10 de mi capital y después los 4/5 de lo que me quedo, tengo aun

$14000. ∆0 ¿Cuál era mi capital?

9. Efectuar:

∆0 a).

65

91

32

201

103

52

++

−+b).

−

÷

−−

524

121

31

72

551

201

849

10. Completar:∆0

a). Los esde21

32

b.) Los esde 1269034

c). 13

54

21 =+ d.) =××

32

49

32

11. Grafique:

�0 a). 54

32 × b.)

21

54 deLos

12. Crear 10 problemas que contengan operaciones entre fracciones.�

13. Convertir en fracciones decimales y efectuar :

�0 a). ( ) 51005.043.15 ×− b.) 01.05.015.0

16.08 +

−

14. El costo de un articulo es de $7500, halle su nuevo costo si:∆0 a). Aumenta el 8% b). Aumenta el 0.8% c). Disminuye el

12%.

15. Que fraccionario representa la región sombreada.∆

a.) b.) c.)

16. El precio de un articulo más el IVA es de $139200. Si el IVA es del 16% halle el precio del

�0 articulo sin el IVA?

BIBLIOGRAFÍA

- Fundamentos de MatemáticasNúñez y SolerGrupo Editorial IberoamericaCapítulo 2 – Pág. 51-100

- Álgebra y TrigonometríaSwokowski / ColeGrupo Editorial IberoamericaCapítulo 1 – Ejercí. 1.1

SIMBOLOGÍA

∆ Competencia Interpretativa� Competencia PropositivaΟ Competencia Argumentativa

CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN

1. Halle la suma de los dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, y diez primeros impares; obsérvese los resultados e infiérase como hallar la suma de los cien primeros impares.

2. Se compran 115 reses a $700.000 cada una; se pierden 15 y las que quedan se venden a $900.000. cada una. Calcule la utilidad.

3. Un capital de $10.000.000 puesto a una tasa de interés del 1% anual se duplica cada 3 años. Escribir una expresión que corresponda al enunciado y halle el capital en 15 años.

4. Un hombre es propietario de los 3/4 de una parcela y vende 3/11 de su parte. ¿Qué parte de la parcela ha vendido?.

5. Calcule:

a. ¿Qué % es 2.500 de 20.000?b. El 12.5% menos de 120.000?c. El 32% más de 7.800d. Si la población de Bogota es de 7 millones de habitantes y crece anualmente en un

5,5%, hallar la población de Bogota en 20 años.

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 2

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRA LOS NUMEROS REALES


OBJETIVO

(continuación)

b. Los números Enteros y Racionales (Z, Q). Este conjunto numérico aparece como una necesidad del hombre de simbolizar cantidades perdidas o desaparecidas, luego aparecen el símbolo, -a, donde a es un número natural, luego el conjunto de los enteros se determine así: Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...) Que es nuevamente un conjunto infinito.El símbolo , -a, se denomina el inverso aditivo de a y el conjunto de los inversos aditivos de los naturales, excepto cero, se le denominan enteros negativos, y se simboliza Z.

Operaciones con los Enteros en la suma: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 0

,00

=−+=+−≥−−=+−

≥−=+−−=−+=+−

+−=−+−

aaaabasibabaabsiabba

aaababa

Ejemplos:( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 33636641041005555

62424

−=−−=+−=−=−+

=+−=−+−=+−=−+−

Ya se definió que:

aaaaaaaaaan

n ××××=

++++=×

.........

Ejemplo:

2433333331255555

153333335

5

3

=××××==××=

=++++=×

Luego con los enteros se tiene que: ( ) ( ) ( )baabba −=−=×−En la multiplicación : ( ) ( ) baba ⋅=−⋅−

De aquí se deducen las siguientes propiedades:

( )

( ) mnnm

nnn

mnmn

aa

aababa

aaa

=

≠=×=×

=× +

010

Ejemplos:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) mm

nn

aaa22

22...22

1

44

422

55563232

62323

=

=×=×

=×

=×=−−−=×−=×−

+

Relaciones entre números naturales: Para a y b números naturales -a = -b si y solo si a = bSi a = b entonces a + c = b + c

a – c = b – ca × c = b × c

para a y c números enteros a ≤ c si y solo si existe un numero natural único b, tal que a + b = cSi a ≤ b entonces a + c ≤ b + c

-a ≥ -ba × c ≤ b × c Si c > 0a × c ≥ b × c Si c < 0

Ejemplos: 3 ≤ 5 entonces 3 + 4 ≤ 5 + 4-3 ≥ -53 × 3 ≤ 5 × 33 × (-2) ≥ 5 × (-2)

La operación que a un número entero se le suma el inverso aditivo de un numero a, se denomina sustracción y se denota, b - a es decir b - a = b + (-a).

Ejemplo: 7 + (-3) = 7 - 3 = 4.

División Exacta: Significa hallar un factor conociendo un producto y el otro factor, es decir si a y b son enteros y a × x = b, si el numero x existe se llama cociente entre b y a, y se denota b ÷ a donde b se llama dividendo y a se llama divisor.

Luego si b ÷ a es un entero, entonces a es un factor o divisor de b, o b es un múltiplo de a

Ejemplo:

( ) 203603

60603 −=−÷=−

==×− xentoncesx

El conjunto de los números racionales (Q): se define así:

{ } 0,,/ ≠∈∈= bZbZabaQ

Propiedades:

cionsimplificanm

batolopor

ncmc

ba

ionAmplificackkbka

ba

cbdasisoloysidc

ba

=××=

≠××=

×=×=

tan

0

Ejemplos:

21

2221

42

4626

2412,

4342

32

65103106

53

=××==

××=

××=

×=×= quepuesto

Con los números racionales ocurren las mismas operaciones con las propiedades que en los números enteros.

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS

1. Un proyecto tiene una duración de 3 años, el primer año da una perdida de $80 millones, el

∆Ο� segundo año la perdida se disminuye en $50 millones y el tercer año se da una utilidad de $120 millones. Determine si el proyecto da pérdidas o ganancias y de cuanto?.

2. Si x < 0, y y > 0 determine el signo del numero real

Ο� a.) xy b.) yx 2

c.) x

yx +

d.) xy − e.) ( )xyy − f.) xyyx −

3. Remplace el símbolo: [ ] con <, con > ó con = para que sea valida la afirmación resultante

Ο� a.) [ ] 09.0111

b.) [ ] 143.071

c.) [ ] 47 −− d.) [ ]15225 e.) [ ]17289

4. Exprese el enunciado en forma de desigualdad� a.) X es negativo. b.) Q es menor o igual que 5. c.) Y es

positivod.) T no es menor que 3. e). El cociente de P y Q es, cuando mucho, 7f.) P no es mayor que 2.

5. Durante 4 semanas Pedro le presta a Luisa $2720 diarios de lunes a sábado, cada domingo

∆Ο Luisa abona a Pedro $5290. ¿ Cuál es el saldo de Luisa al final de la cuarta semana?.

6. Hallar el valor de X, y explique cada paso:∆Οa.) ( ) bbx +=++ 115 b.) ( ) ( )127 −=−+x

c.) ( ) 117 =−+ x d.)

( )( )[ ] ( ){ } ( )[ ] 8773352 ++−=−+−++−+ x

7. Halle los valores enteros de X y explique cada paso:∆Ο a.) 312 −<+x b.) 179 ≥−− x

b.) ( ) 251423 +≤++ x c.) ( ) ( ) 42 235 −−>+− x

8. Halle el valor entero de X si existe: ∆Ο a.) ( ) 2473 −=+x b.) 567 =− x c.) ( ) 80275 −=+− x

d.) ( ) 32 1020342 −−=−x e.) 20412 =−− x F:) ( ) 2348 =− x

9. Si a, b y c son números enteros, escriba 5 igualdades de la forma ax + b = c de tal manera que

� x sea un número entero.

10. Efectué

Ο a.)

÷

−+

2

23

125

83

b.) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1232 84234 −−− +−÷+−

11.Reemplace el símbolo con = o bien con ≠ para que el enunciado se cumpla con todos los

∆Ο� números reales a,b,c,d siempre que las expresiones estén definidas.

a.) [ ] acbaacab ++

b.) [ ] cbaacab ++

c.)

[ ]ac

ab

acb ++

d.) [ ]dc

ba

dbca +

++

e.) ( ) [ ] ( )cbacba ÷÷÷÷ f.) [ ] 1−−−abba

g.) ( )[ ] baba +−+− h.) ( ) [ ] 22 rr aa i.) [ ]( ) xyyx abba

BIBLIOGRAFÍA


- Álgebra y TrigonometríaSwokowski / ColeGrupo Editorial IberoamericaCapítulo 1 – Ejercí. 1.1.

CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN

1. Completar el [ ]�Ο a.) [ ] 643 = b.) [ ] 381 = c.) [ ]=52

2. Completar el [ ]

�Ο a.) [ ]

[ ]23

254 =+ b.)

[ ]

[ ]4

32 =

−

c.) [ ] 1294 ×=×

3. Completar el [ ]�Ο a.) [ ] [ ] xx 33 =+ b.) [ ] 1143 =− c.)

[ ]cba

cba

+=

++ 2

4. Hallar el valor de x

Ο� ∆ a.) 39

19367 =−x b.)

31

875 =−−

xc.)

223

411

83 ×=−x

5. Reescriba la expresión empleando un radicalΟ� ∆ a.) 2

34x b.) ( ) 2

34x c.) 2

34 x+

d.) ( ) 23

4 x+ e.) 31

8 y− f.) ( ) 31

8 y−

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 3

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL

ÁLGEBRALOS NUMEROS REALES


(continuación)

Los números Irracionales y los Reales: (I, R)

Los números racionales tienen la característica que al dividir el numerador entre el denominador siempre va obtener una expresión decimal periódica, es decir se repite un numero de cifras infinitamente.

Ejemplo:

a.) ...3333.031 = b.) { c.) ...750000.0

43 =

b.) ...333.237 = c.) ....5757.0

9957 = e.) ...1212.1

99111 =

Según lo anterior se tiene que en a: el periodo es tres, en b: el periodo es cero, en c: el periodo es tres, en, d: el periodo es 57, en e el periodo es 12.

En ocasiones para operar con expresiones decimales es más conveniente convertirlas en racionales.

Ejemplo:

980122400

99100

99224..0101.1...2626.2 =×=×

Para convertir una expresión decimal a racional se procede así:

periododelcifrasdenumerodelodependienddiezdepotenciaunapormultiplicasexx

...26.2100....2626.2

==

22499...2626.2

..2626.226100

==−=

xxx

2626.299224 ==x

En cambio los números irracionales son aquellos que no tienen una expresión decimal periódica, es decir que no tienen periodo finito

Ejemplo:periodotienenoy414213562.12 =

periodotienenoy141592654.3=π

Otra forma de reconocerlos es cuando la expresiónba

al dividirlo nunca encontraremos periodo

finito.Para finalizar: El conjunto de los números reales recoge todos los conjuntos numéricos anteriores, luego en estos se cumplen todas las operaciones anteriores y sus propiedades.

Luego los números reales tienen una estructura axiomática que sigue todas las operaciones de todos los conjuntos numéricos esta son:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) xzxyzyxvaDistributi

xxxxxxxxxInvertivaxxxxxxulativa

yxxyxyyxaconmutativzxyyzxzyxzyxAsociativa

+=+≠==+−=−+

===+=+=+=+

=++=++

−− 010:1100:mod

::

11

Pero esencialmente la más sobresaliente es la de cerradura o clausurativa que asume que: la suma de dos números reales es otro real, y que el producto de dos números reales es otro real

A continuación presentaremos las operaciones de más frecuencia con el conjunto de los números reales, sus características y propiedades.

Las operaciones que se efectúan en los diferentes conjuntos numéricos se van sucediendo de igual forma en los conjuntos que los contienen, así sucesivamente.

QZ

N I

R


1. Efectuar las siguientes operaciones de sumas y restas con los enteros.∆Ο a.) ( )97 −+ b.) ( ) 74 +− c.) ( ) ( ) ( )474 −−−+− d.)

( ) ( )53 −−−

2. Efectuar las siguientes operaciones de sumas y restas con los racionales.

∆Ο a.) 9

432

−+−

b.)

−−

73

54

c.)

−+

27

58

d.)

−+

−

32

54

3. Escribir tres números racionales equivalentes al racional dado

� a.) 52−

b.) 34

c.) 21− d.)

97

−

4. Efectué y simplifique las siguientes operaciones.

∆Ο a.)

52

144

1031

212

94

25

45

87

×

−−

×

−−

b.)

52

72

23

52

67

45

×

−−

−×

−

c.)

544

125

32

72

553

207

816

×

−−

÷

−−

5. Convertir las siguientes expresiones decimales en fracción (racional)Ο∆ a.) 55.2 b.) ....717171.0 c.) ....0333.1 d.) ..251111.4

e.) 1.36. Convertir la siguiente expresión racional en expresión decimal

Ο∆ a.) 37

b.) 43

c.) -1112

d.) 311−

e.) 74

7. Efectuar las siguientes operaciones pero dar el resultado con una expresión racional.

Ο∆ a.) ( )( )[ ] ( )

( )[ ] ( )01.01.01.08.05.003.06.035.0

−÷÷+÷+×

b.)

16.03256.0

3564.0303.0

0056.0 ++

c.) 01.05.015.0

16.08 +

− d.)

( )( ) 432.01.08

1.015.0452.0006.8×+−

÷++}

Recordaremos ahora las propiedades de la potenciación

aaaaa n ...××= , 00 =n , 00 no esta definido

( )( )

01)

)

,,,))

≠=

=

∈=×∈=×

−

+

aa

av

aaiii

RnmbadondeabbaiiRadondeaaai

nn

nmmn

nnn

mnmn

8. Efectuar los siguientes ejercicios de potenciación con los reales

Ο∆ a.) 32 23 ×− b.) 1691

34 2

×

×

−

c.)

×

×

−

518

52

31 12

d.)

( ) 000.000.1001.0 3 ×−

9. Simplifique las siguientes expresiones

Ο∆ a.) ( )( )

−−− 31352

3162 yxyxyx b.)

3

31

23

−−

y

y

c.) 2

30

453

−yxyx

d.) ( ) ( ) 23152 8382 −−− rr

Recordaremos el proceso de la radicación

( ) abbayaaa mn

nm

nmn mnm

=⇔===1

Donde si ya 0≥ m y n son positivos el resultado es un real positivo.

10. Reescriba la expresión empleando exponentes racionales

�Ο a.) 4 3x b.) 3 5x c.) ba + d,) 3 33 sr − e.)

( )4 3ba +

11. Reescriba la expresión empleando un radical

�Ο a.) 23

4x b.) ( ) 23

4x c.) ( ) 23

4 x+ d.) 31

8 x− e.) ( ) 31

8y

Relación Potenciación- Radicación abba nn =⇔=Ejemplo: 283 = pues 823 = ( ) 273 3 =− pues 3273 −=−

Propiedades de la Radicación:

a.) 6 565

23113333: ====

+

Ejemploaaaaa mnnm

mnmn

b.) 464164164: 3333 ==×== Ejemploabba nnn

c.) ( ) 26464: 613 2

11

1====

= Ejemploaaaa mnmn

nmn m

12. Calcular las siguientes raíces utilizando las propiedades

Ο∆ a.) 33 93 b.) 28 c.) 4 3 64 d.) 2 3 47

13. Halle el resultado de las siguientes operaciones con radicales

Ο∆ a.) 2457345

32125

51 −+ b.) 69 22

c.) ( ) 22734 − d.)

( ) 232 yx −

Relación Potenciación-Logaritmación.: nbba n =⇔= logEjemplo: 225log5 = pues 2552 = ; 532log2 = pues 3525 =

14.Encontrar el valor del [ ] en cada uno e los siguientes ejercicios

� a.) [ ] 4log3 = b.) [ ]=64log4 c.) [ ] 532log = d.)

[ ]=1000log10

15. Escriba las siguientes expresiones en notación logarítmica

�Ο a.) 1614 2 =− b.) 48 3

2= c.) 000.100105 = d.) 642 =x

e.) 01.0210 =− f.) ( ) zya x +=2 g.) tp x = h.)

wa nm =+

i.) cba n =+ )( j.) ba =10

16. Escriba las siguientes expresiones en notación exponencial

�Ο a.) bax +=2log b.) 210log2

1 −= c.) 3log =zy

d.) 131log3 −=

e.) 4log =bx

BIBLIOGRAFÍA


- Álgebra y TrigonometríaSwokowski / ColeGrupo Editorial IberoamericaCapítulo 1 – Ejercí. 5.50

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 4

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: EXPRESIONES ALGEBRAICASDURACIÓN: 2 horasBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

OBJETIVO

Recordar conceptos adquiridos en la secundaria para fundamentar las bases que soportan el andamiaje matemático que requiere el Ingeniero a través de toda su carrera y en el ejercicio del profesional.

TEMAS:

Expresiones matemáticas algebraicas. Polinomios Operaciones algebraicas

CONCEPTUALIZACION.

Como se pudo observar en el capítulo de número entero Z, se utilizaron expresiones literales para expresar los mismos; igual sucedió con los números reales R y se usaron letra minúscula para determinar los elementos de los conjuntos.

En la tabla siguiente observaremos algunas notaciones con su terminología.

NOTACIÓN SIGNIFICADO EJEMPLO

CONSTANTE Elemento literal o numérico de un conjunto.

5; TT ; e 2 ; a,b,c

VARIABLE Letra o símbolo que

representa cantidades desconocidas o que dependen de otras.

x; y, z; w......

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Podemos decir que las expresiones algebraicas son aquellas que contienen tantas constantes como variables.

Ejemplo: ( X3 + 2X 6X +5para X > 0

VALOR TIPICO

Es el valor real que tiene la expresión algebraica cuando se reemplazara la variable por un determinado valor.

Ejemplo:

Si en el ejercicio anterior X = 4 tendremos.

(4)3 + 2(4) –64 +5 = 64+8-3+5 = 74

CONCEPTO DE MONOMIO Y POLINOMIO.

MONOMIO: Es la expresión algebraica que contiene un solo término; de la forma axn

donde a= constante, x = variable ∧ n es el exponente.

BINOMIO: Es la suma algebraica de dos monomios axn +/- bxM

POLINOMIOS: Es la suma de cualquier número de términos an xn+ an-1 xn-1 + ........... a 1 X + a 0 donde n es el grado o exponente del polinomio y a k son números R.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA Y RESTA: Para poder sumar o restar polinomios, es necesario que tengan términos semejantes; entendiendo como semejantes aquellos que tienen el mismo grado y expresión literal . Ejemplo: x y2 ∧ 6x y2

Ejemplo: Realizar la suma de los siguientes polinomios: X2 – 5X+8; -6 X2 +3;

9 X2 – 7X.

Entonces x2 – 5x +8

-6x2 +3

9x2 -7x

4x2 –12x +11

Resta: la resta está considerada como una suma algebraica; ya que cumple con la propiedad de que se aplica con los términos semejantes solo que se multiplica por (-1) el polinomio que se pretende restar. Ejemplo: De 7x3 – 9x + 3 Restar –5x3 +2x -8

Entonces: Multiplicamos por (-1) (-5x3 + 2x-8) se convierte en: 5x3 –2x+8 y ahora sumamos:

7x3 –9x +3

5x3 –2x+8

12x3 –11x+11

EJERCICIOS PROPUESTOS

En las siguientes figuras, se encuentra el perímetro:

3x 2x

3x P= L c

4x 5x

Dadas las figuras, calcula las superficies A y B y la superficie total

S= S=

Bb


Escriba una expresión en símbolos algebraicos que represente fielmente el enunciado.

1. Un número aumentado en 112. A veces un número3. Un número disminuido en a4. El cociente de dividir un número por 85. El cociente de dividir un número por a6. El cociente de dividir un número por otro7. Un número entero par no negativo8. Un número impar no negativo9. Un número impar negativo10. El perímetro de un rectángulo11. El perímetro de una circunferencia12. La superficie de un triángulo13. La superficie de un círculo14. El cuadrado de un número aumentado en 215. El cuadrado de la suma de dos números16. Un número aumentado en su cuadrado17. La suma del cuadrado de dos números18. La diferencia del cuadrado de dos números19. La diferencia de dos números, el cuadrado20. Los 2/8 de un número aumentado en 521. La suma de 3 enteros g consecutivos22. La suma de 3 enteros positivos consecutivos pares23. La suma de 3 enteros positivos consecutivos impares 24. Un número de dos dígitos25. El valor de cierto número de artículos si cada uno vale $4880

Competencia:

2. PRODUCTOS DE POLINOMIOS

Tanto en monomios como en polinomios es necesario hacer primero el producto de signos.

- . - = + + . - = -

+ . + = + - . + = -

De lo anterior se deduce que : El producto de signos iguales es + y que : El producto de signos diferentes es - .

En la parte literal se tiene en cuenta las normas de la potenciación. Igual base y diferente exponentes, se suman los exponentes (en el producto también se cumple igual base con igual exponente.

EJEMPLOS: (2X2), (3X2) = 6X4

(5X) (2X5) = 10X6

(XY2Z).(XY3Z2) = X2Y5Z3

(-5XY3 ).(2X3Y) = -10 X4Y4

(-3X2Y2Z).(-4 XYZ) = 12 X3Y3Z2

Para el producto de polinomios, se realiza término a término de acuerdo con lo explicado anteriormente y al final se reducen los términos semejantes

Existente dos métodos para realizar el producto de polinomios.

Ejemplo: Realizar el producto: (4x2-5x+3).(2x-2)

1° (4x2-5x+3).(2x-2) = 8x3-8x2-10x2+10x+6x-6

2° 4x2-5x+3

por 2x-2

-8x2+10x-6

8x3-10x2+6x

8x3-18x2+16x-6 Suma de lo anterior


Realizar los siguientes productos

1. (x1/3) (x)2/5

2. *(X+5)

3. (X+5)2.(X+5)

4. (3X3+2X2) (12X-8)

5. (5X-4Y) (5X-4Y)

7. (X1/3 - Y1/3) (X2/3 +X1/3 Y1/3+Y2/3)8. (4X3-3X2+3X-5) (-2X2+3X-2)

9. Hallar el área de un cubo que tiene de arista (6+x) cm

10 en la figura encontrar el área y el volumen

(X+1) 2X

3X 2X X

Competencia:

UNIVERSIDAD LIBRE

FACULTAD DE INGENIERÌA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICASTALLER N° 5

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POLINOMIOSDURACIÓN: 2 horasBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CONCEPTUALIZACION.

MONOMIOS: En el mismo orden de idead y retomando el concepto de la potenciación, la

división entre dos cantidades con igual base se realiza dejando la misma base y se restan los

exponentes.

Utiliza también el comportamiento de los signos.

Ejemplos: 2x4 ÷4x2 = 2x 4 = 1 x2

4x2 2

-3x 2 y 2 z 3 = -3x y4z2

(4x2yz4+2x3z2) ÷ (2xz) Tendremos

4x 2 yz 4 +2x 3 z 2 = 2xyz3 + x2z

2 x z 2x Z

POLINOMIOS: Para dividir dos polinomios es necesario observar las siguientes normas:

1. Ordenar tanto el dividendo como el divisor en forma descendente ó ascendente

2. Realizar el producto de los signos3. Hacer la división de cada uno de los términos entre el primer término del divisor, para

obtener el cociente.

4. Hacer el producto del cociente por el divisor.

5. Colocar el resultado del paso cuarto, debajo de los términos semejantes del dividendo.

6. Se hace la resta de los términos semejantes del punto y se sigue, hasta cuando no haya

más términos para bajar.

Ejemplo: Hallar la división de:

X4 – 16 entre x2 - 4

X4 +0x3 + 0x2 + 0x – 16 x2 –4

- (x4) -(4x2) x2+4

0 0x3 +4x2 + 0x

-(4x2)+ -(16)

0 0

Respuesta X2 +4

Del ejemplo anterior se deduce que los términos que no aparezcan entre el primero y el

último, de acuerdo con el grado del polinomio, deben colocarse con cero (0),para

efectuar la división.


Realiza las siguientes divisiones

1. 27 x3 – 1 entre (x-1)

2. x2 –5x-6 entre x – 3

3. (g p4 q3 – 6 p2 q4 + 5p3 q2) entre 3 p2 q2

4. x2+6x+9 entre (x+3)

5. x2 – 6x –5 entre x -1

6. x3 – 3x2y + 4y2 entre y – x3

7. 6x2 – 5x +4 entre x2 - 9

8. Encuentre la expresión algebraica que represente el volumen de un solo cubo; y exprese

cuantos cubos caben en el cubo grande?

y

-x -

Competencia : 1 a 7

8

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 6

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: FACTORIZACIÓN DE LAS FORMAS x2+bx+c

y ax2+bx+c


OBJETIVO

Identificar y factorizar (descomponer en dos factores) correctamente los trinomios de las formas x2+bx+c y ax2+bx+c.

CONCEPTUALIZACION.

Para lograr el objetivo planteado se debe dominar en forma adecuada los siguientes conceptos previos:♦ Producto de binomios♦ Producto notable de la forma (x+a)(x+b)♦ Caso factor común por agrupación de términos♦ Adición y multiplicación de números enteros♦ Múltiplos y divisores de un número

PARTE TEÓRICAA. TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Recuerda que en un trinomio x2+bx+c, c se conoce como constante. Si la constante de un polinomio de la forma x2+bx+c no es un cuadrado perfecto, el trinomio no se puede factorizar como un trinomio cuadrado perfecto; sin embargo, es posible que se pueda factorizar como un producto de dos binomios diferentes así: Primero se abren dos paréntesis para escribir los factores. En cada uno se escribe la raíz cuadrada de x2 o sea x Enseguida se buscan dos números que multiplicados den el número c y sumados

algebraicamente den el número b

EJEMPLO 1

Factoricemos x2– 8x+12En este caso tenemos que buscar dos números cuyo producto sea +12 y su suma sea –8Cuando factorizamos puede ser útil una tabla así:

Producto 12 suma –1, –12 – 13 –2, – 6 – 8 los números que necesitamos son – 2 y – 6 –3, – 4 – 7

Procedemos a factorizar como se explicó anteriormente

x2–8x+12 = ( )( ) abrimos dos paréntesis = (x )(x ) escribimos x en ambos paréntesis = (x – 2)(x – 6) escribimos los dos números que buscamos, y es la solución.

EJEMPLO 2

Factoricemos x2 – 7x – 18En este caso tenemos que buscar dos números cuyo producto sea – 18 y su suma sea –7

Producto – 18 suma –1, 18 17 – 9, 2 – 7 los números que necesitamos son – 9 y 2 –3, 6 3 1, – 18 –17 9, – 2 7

procedemos a factorizar como el ejemplo anterior:

x2– 7x – 18 = ( )( ) abrimos dos paréntesis = (x )(x ) escribimos x en ambos paréntesis = (x – 9)(x + 2) escribimos los dos números que buscamos, y es la solución.

PARTE TEÓRICA

B. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Este caso de factorización es parecido al caso anterior, y debe tener las siguientes características: Debe estar ordenado en forma descendente con respecto a x El primer término debe ser positivo, con a ≠ 1

PROCEDIMIENTO

Hay dos formas las cuales explicaré a continuación:Primera forma:

Se multiplican los números ac Se buscan dos números que multiplicados den ac y sumados den b Se reparte el término x con los números que hemos encontrado Se aplica el caso factor común por agrupación de términos.

EJEMPLO 1Factoricemos 3x2 – 4x –15

Multiplicamos 3×(–15)= – 45 y buscamos dos números que multiplicados den – 45 y sumados – 4

Producto – 45 suma –15, 3 –12 – 9, 5 – 4 los números que necesitamos son – 9 y 5

–3, 15 12 1, – 45 –44 9, – 5 4

entonces 3x2 – 4x –15 = 3x2 – 9x +5x –15 = (3x2 – 9x) + (5x –15) se agrupan de a 2 términos = 3x(x– 3) + 5(x– 3) factor común de cada paréntesis =(x– 3)(3x + 5)

Segunda forma:Factoricemos el mismo ejercicio anterior: 3x2 – 4x –15

Multiplicamos y dividimos la expresión por 3: 3(3x2 – 4x –15) 3

Efectuando: 9x2 – 4(3x) –45 3

Reescribimos el numerador: (3x)2 – 4(3x) –45 3

Factorizamos el numerador (3x )(3x ) 3

Buscamos dos números cuyo producto sea – 45 y

sumados den – 4, son – 9 y 5 (3x – 9)(3x +5) 3

Extraemos factor común en el primer binomio: 3(x – 3)(3x +5) 3

Simplificando nos da la solución: 3x2 – 4x –15= (x–3)(3x+5)

ACTIVIDAD

Factorice los siguientes trinomios:1. 2x2 + 7x + 32. x2 + 7x + 123. 6x2 – 11x + 34. x2 + 4x –325. 6x2 – x –126. x2 –11x + 287. 4x2 – 4x – 128. x2 + 5x – 149. 12x2 + 13x – 1410.x2 – x – 12

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 7

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: DIVISIÓN SINTÉTICA


OBJETIVO

Analizar y realizar la división por el método de División Sintética como una manera práctica y rápida para hallar el residuo, saber si una división es exacta o factorizar aquellos polinomios que no se pueden por métodos conocidos.

LOGROS:

Aplica la división Sintética para hallar el residuo, conocer el resultado de una manera práctica y rápida o factorizar un polinomio por un binomio.

CONCEPTUALIZACION.

La división sintética es una forma práctica y rápida para realizar el algoritmo de la división que en muchos casos resulta dispendioso, para aplicar este método se debe tener en cuenta lo siguiente:1. El cociente es un polinomio en x P(x) cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.2. El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del

dividendo.3. El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente

del término anterior por el segundo término del binomio divisor (x+a) cambiado de signo (–a) y sumado este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.

4. El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término por el segundo término del divisor cambiado de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo.

PROCEDIMIENTO

Ejemplo: Dividir x3 –5x2 +3x +14 entre x –3

Dividendo: x3 –5x2 +3x +14 Divisor x – 3

Coeficientes: 1 –5 +3 +14 +3 1x3 = 3 (–2)x3=–6 (–3)x3=–9

Segundo término del divisorCon signo cambiado

1 –2 –3 +5

Explicación :

El cociente es un polinomio de 2° grado ya que el dividendo es de tercer gradoEl coeficiente del primer término es 1El coeficiente del segundo término es –2 que se obtiene de sumar –5 con el producto de 1x3 que es el divisorEl coeficiente del tercer término se halla de sumar +3 con el producto del anterior coeficiente por el divisor es decir (–2)x3El residuo es +5 que es el último coeficiente obtenido de sumar +14 con el producto del anterior coeficiente por el divisor es decir (–3)x3=–9

El cociente de la anterior división es : x2–2x–3 y el residuo es 5

ACTIVIDAD:

Hacer las siguientes divisiones por el método de división sintética:1. x3+4x2–x–10 entre x–32. 2x4–5x3+7x2–9x+3 entre x–13. x5+x4–5x3–7x+8 entre x+34. 4x3–8x2+11x–4 entre 2x–15. 6x5+2x4–3x3–x2+3x+3 entre 3x+1

Competencia

Hallar el valor de la constante K (término independiente del polinomio) para que:1. 7x2–5x+K sea divisible entre x–52. x3–3x2+4x+K sea divisible entre x–23. 2a4+25a +K sea divisible entre a+3

residuo

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 8

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: FRACCIONES PARCIALESDURACIÓN: 2 horasBIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRIA

ANALÍTICA SWOKOWSKI & COLEDécima edición Paginas : 709 a 715

OBJETIVO

Descomponer expresiones racionales en sumas de expresiones más sencillas, mediante la utilización de sistemas de ecuaciones.

CONCEPTUALIZACION.

División algebráica larga Factorización en todos los casos Sumas y diferencias de fracciones algebráicas Solución de sistemas de ecuaciones lineales

PARTE TEORICA

Tomamos el caso de `____X-29___ que al descomponerla en suma de fracciones, nos (X-4) ( X + 1 )da como resultado : ___6_ _ __5__ lo que se llama descomposición se fracciones X + 1 X – 4Parciales. Al tomar una expresión racional para descomponerla en fracciones parciales se debe cumplir con:

1- Determinar si la fracción es propia o empropia1.1 Si es propia, es decir que el grado del numerador es menor que el del denominador,

entonces se puede continuar el proceso de hallar las fraciones parciales.1.2 Si es impropia, el grado del numerador es igual o mayorque eldel denominador,

entonces es necesario realizar la división larga para detener la forma adecuada. 2- Ver si el deniminador es factorizable de modo que sea producto de factores diferentes

o factores repetibles2.1 Por cada factor irreductible se tendrá el denominador para cada sumando de las fracciones parciales. 2.2 Si se trata de factores lineales repetidos, se tendrán tantas fracciones parciales, cual sea el grado del factor repetido.

Aplicando los conceptos anteriores, desarrollaremos ejercicios que servirán de ejemplo para los posibles casos en que se deben hallar fracciones parciales.

Ejemplo 1. Fracción propio con denominador lineal factorizable en producto de factores diferentes.

Dada ___4X 2 – 5X – 15__ , Hallar las fracciones parciales correspondientes X3 – 4 X2 – 5 XSiendo una fracción propia procedemos asi:1- Factorizamos el denominador: X3 – 4X2 – 5 X = X ( X2 – 4X – 5 ) = X ( X – 5 )( X + 1)

2- A cada factor del denominador la corresponderá una fracción parcial asi: 4X 2 – 5 X – 15 = _A _ + _B_ + _ C_ X3 – 4X2 –5X X X-5 X+1

3- Hallamos el mínimo común denominador (MCD) y realizamos la suma :

__A__ + __B__+ __C__ = A(X-5)(X+1) + B(X)(X+1) + C(X)(X-5) X X-5 X+1 X (X-5)( X+1 ) Desarrollando, resulta : __A__ + __B__+ __C__ = A(X 2 -5)(X+1) + B(X 2 +X) + C(X 2 -5) X X-5 X+1 X (X-5)( X+1 )

4 - Hallamos los valores de A,B,C. Para esto multiplicamos ambps miembros de la ````````````igualdad por el MCD y obtenemos:

4X2 –5X-15 = AX2 – 4AX – 5A) +BX2+BX +CX2-5CX = X2(A+B+C) +X(B-4A-5C)-5ª

Formamos los coeficientes de potencias iguales en cada lado y resulta:

A + B + C = 44B+ B- 5C = -5 - 5A = -15

Despejando, se obtiene : A = 3 , B = 2 Y C = -1; por lo tanto , la descomposición es :

4X 2 – 5X – 15 = __3__ + __2___ - __1__ X3 – 4X – 5X X X-5 X + 1

Ejemplo 2: Fracción propia con denominador factorizable en factores repetido.

___2X + 3___ = 2X + 3 X2-2X+1 (X-1)2

1- Tomamos el denominador factorizado y procedemos asi:

___2X + 3___ = __A__ + __B__ (X-1)2 X-1 (X-1)2

2 – Se halla el MCD y se realiza la suma : 2X +3 = AX – A + B = AX – A +B (X-1)2 (X-1)2 (X-1)2

3- Igualamos numeradores : 2X +3 = AX – A + B

De donde : A=2 B-A= 3

4- Despejamos A y B y obtenemos,

A = 2 y B = 5

La descomposición en fraccines será: __2X + 3__ = __2__ + __5__ X2 –2X +1 X-1 (X-1)2

Ejemplo 3 : Fracción propia cuyo denominador contiene un factor cuadrático irreductible.

____X 2 + X - 6 __ X3 – X2 + X – 1

1- Factorizamos el denominador:

____X 2 + X - 6 __ = ___X 2 + X – 6 ____ X3 – X2 + X – 1 (X2+1)(X – 1)

2- La descomposición será:

____X 2 + X - 6 __ = ___AX + B_ + __C__ X3 – X2 + X – 1 X2+1 X – 1

Debe tenerse en cuenta que, cuando el factor es cuadrático irreductible, el numerador será de la forma AX + B , por cuanto el grado del numerador siempre se diferencia en una unidad menos que el del denominador.

3- Se procede como en los casos anteriores y tenemos :

____X 2 + X - 6 __ = ___(AX + B)( X – 1)_ + _C (X 2 = 1)__ X3 – X2 + X – 1 ( X2+1) ( X – 1)

4-Igualando numeradores y desarrollando: X2 + X – 6 = AX2 - AX + BX - B + CX 2 + C = X2 ( A + C) + X (B – A) - B + C

Entonces: A + C = 1 B – A = 1 C – B = -6

Resolviendo el sistema tenemos:

A = 3 , B= 4 Y C = -2

La descomposición será:

____X 2 + X - 6 __ = ___3X + 4_ - __2__ X3 – X2 + X – 1 X2+1 X – 1

Ejemplo 4 : Fracción impropia, porque el grado del denominador es igual a menor que el del numerador.

___2X 2 + 7X ___ X2 + 6X + 9

1-En este caso los grados son iguales, entonces se realiza la división larga y se obtiene :

___2X 2 + 7X __ = 2 – __5X + 18__ X2 + 6X + 9 X2 + 6X + 9

2- A la parte fraccionaria se le buscan las fracciones parciales, aplicando el caso correspondiente:

__5X + 18 _ = __5X + 18__

X2 + 6X + 9 ( X + 3)2

3-Como este caso ya se vio en el “Ejemplo 2 “ , entonces procedemos de igual forma, para obtener:

5X + 18 _ = __A__ + __B__ = A(X+3) + B X2 + 6X + 9 X + 3 (X+3)2 (X+3) 2

4-Desarrollando:

5X + 18 = AX + 3A + B

A = 5 3 A + B = 18 De donde : A = 5 , B = 3

La descomposición de las fracciónes quedará: ___2X 2 + 7X __ = 2 – __5 + __3__

X2 + 6X + 9 X + 3 (X+3)2 = 2 – __5 - __3__ X + 3 (X+3)2

ACTIVIDADES:

Encontrar la descomposición de fracciones parciales

1- 8X – 1__ (X-2)(X+3)

2 - 5X – 12__ X2 – 4X

3-. ___37 – 11 X___ (X+1)(X2-5X+6)

4-... 19X 2 + 50X – 25 3X3 – 5X2

5- . X 2 – 6 ___ (X+2)2(2X-1)

6- . X2 – X-21___ (X2+4) (2X – 1)

7- .4X 3 –X 2 +4X + 2 ( X2 + 1 )2

8- . X3_________ X3 – 3X2 + 9 X – 27

9- . 2X 2 + 7X____ X2 + 6X + 9

10 - . 4X 3 + 4X 2 – 4X + 2__ 2X2 – X –1

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 9

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: Ecuaciones Lineales y de Segundo Grado


OBJETIVO

Al finalizar la presente Ayuda Didáctica durante el tiempo de seis horas, el educando estará en capacidad: _ Identificar cuando una función es lineal o es cuadrática _ Representarlas gráficamente _ Establecer la ecuación lineal o la de segundo grado, y determinar los valores de la incógnita para los cuales son válidas.

CONCEPTUALIZACION.

Conocer el concepto de función. Localizar puntos en el plano cartesiano. Identificar las propiedades que satisfacen los números reales. Manejar la raíz cuadrada de un entero no negativo. Conocer las formas directas de la factorización

DESARROLLO:

1.-El signo de igualdad ( = ) relaciona dos expresiones ,ambas o una ,contiene la letra x cuyo valor inicialmente es desconocido .Y la ecuación no es mas que una proposición de esta índole ;si se cumple para al menos un valor se llama solución y el procedimiento a seguir es la resolución . La ecuación 2x - 3 = x + 2 dice que x debe ser 5; por supuesto x = 5 es una solución .Esta ecuación es condicional .Por qué? En otras que son satisfechas por todos los valores permisibles se denominan identidades .Ej. : 2x + y = 2(x + y) - y para cualquier x i y

2.-Una función simple es f(x) = mx + b ,donde m y b son reales ;es lineal y su gráfica es una línea recta que interseca el eje de las ordenada en el punto (0,b) ;b = f(0) se llama ordenada al origen de la recta y m la pendiente de la misma .La ecuación lineal se desprende de igualar la función mx + b a c .A propósito mx + b = c implica mx + b -c = 0Los métodos para resolver las ecuaciones ,se fundamentan en la suposición de que existe una solución atendiendo : a) x = a implica x + k = a + k b) X = a " x k = a k, k = 0 c) x = a " x / k = a / k , k = 0

La ecuación 3x = 6 tiene una solución x = 2 ,pero la ecuación 3x (x + 1) = 6(x + 1) tiene una solución mas ,x = -1 la cual no satisface la inicial .En qué argumentaría este hecho ?Cuando se tiene fracciones donde al menos aparece x en un denominador ,su solución se basa en transformar las fracciones utilizando MDC .Resolver :

6(x - 3) + x 1 + 2x + x tomando a 3(x - 9) como mínimo denomina- 3(x - 3) x + 3 3 dor común y eliminando los denominadores , Tenemos : 6(x - 9) + x (x + 3) = 3(x -9) + 6x(x-3) + x(x-9)

Esta ecuación se reduce a que x = 1 .Argumente parte del procedimiento anterior .Ejercicios :

a) El denominador de una fracción es 5 unidades mayor que el numerador .Si éste se aumenta en 1 y el denominador en 6 ,el valor no cambia .Qué ocurre ?

b) Coloca el número real preciso que conlleva a que la ecuación se reduzca a x = 0 ,en la siguiente ecuación :

x- x + x + 0.25 x - 0.25c) Marca con una cruz la respuesta correcta (ax - b)(ax + b) es igual a :

a (x - b) a (x - b) a (x - b) a (x – b) e) La diferencia de dos números positivos es 5 ;si se agrega 3 a cada uno ,el cociente del

mayor por el menor es 1.5 .Qué se debe hacer?f) Marca con una cruz la verdadera de 7 5 6 8g) Resolver para x en : 1 + 3 = 3 x x + 1 -x -x

3) La función de máximo grado 2 en la variable independiente ,tiene la forma ax + bx + c con a ,b y c reales ,a = 0 recibe el nombre de función cuadrática .Al analizar los (x , y) de y = ax + bx + c ,y completando cuadrado podemos lograr la gráfica donde aprenderá muchas propiedades de la función , por lo tanto tenemos : 4ac - b y - = a (x + b / 2a) 4a

El valor mínimo de (x + b / 2a) se tiene en x = - b/ 2a ,y es cero ;el mínimo para y será en 4ac - b si a>0 que ocurrirá en el anterior de x ,por consiguiente el punto correspondiente 4aa estas coordenadas es el más bajo .Será el más alto para los valores obtenidos de la abscisa y ordenada si a<0 .Así se obtiene una parábola y su vértice estará determinado por esas coordenadas .Describa el gráfico para la función -7 + 5x + 3x ,explique la obtención .

Desarrollando la ecuación ax + bx + c = 0 ,encontraremos los ceros de la función cuadrática ,cuando se llegue a la fórmula general : x = (-b + b -4ac) / 2a .Argumente cómo hacerlo ? El mismo ejercicio planteado anteriormente , resuélvalo para que x = (-5 + 109) / 6 ,logrando así los ceros lo que puede verificarse por sustitución .

4) Para resolver una ecuación cuadrática por la fórmula es indispensable identificar los valores de las constantes y proceder a reemplazarlos en ella .En efecto : Dada la ecuación -2x + 3x + 5 = 0 observamos a = -2 ,b =3 y c = 5 luego x -3 + 3 -4(-2 ) 5 -3 +7 2(-2) -4 Por tanto las soluciones son : -1 y 5/2 Mientras que el camino de completar el cuadrado puede ser siempre usado para resolver cualquier ecuación de este tipo sin embargo en la realidad no se hace .Su importancia se torna en el marco teórico de sacar una fórmula que facilite el resolver la ecuación dada .Ocurre con frecuencia que si el trinomio cuadrado ax + bx + c es factorizable ,en cuyo caso sería resolverla por el método que lleva su nombre .Considérese la ecuación resuelta por la fórmula ,que puede escribirse como (x + 1)(-2x + 5) = 0,de manera que cada factor debe ser igualado a cero .Cuál es la razón para hacerlo ? ,luego llegamos a los mismos valores para x .5) Lo desarrollado nos sirve para determinar las raíces de dicha ecuación que también es aplicable a otra ecuación que pueda reducirse a este tipo ,utilizando una sustitución .En efecto ,resolvamos la siguiente : x + 6x + 2x - 21x - 18 = 0 .Completando cuadrado , nos lleva a esta ,que es la esperada (x + 6x + 9x ) -7(x + 3x) -18 = 0 ,haciendo u = x + 3x ; entonces u -7u -18 = 0 ó (u - 9)(u + 2) = 0 por tanto u = 9 y u = -2 ;implica 0 = x + 3x - 9 y 0 = x + 3x + 2 .Las cuatro soluciones son el conjunto :{-1,-2, (-3 + 3 5)/2 } e interprete estos resultados argumentando el procedimiento realizado . Resolvamos otra mucho más sencilla : x - 17x + 16 = 0 factorizando dicho trinomio resulta (x - 16)(x - 1) = 0 .Luego las cuatros raíces son x = +1 ,+2Ejercicios :

a) La f(x) está dada por -3x + 6x - 2 .Encontrar las coordenadas (x , f(x)) del vértice y trazar la gráfica de la función .

b) Marca con una cruz ,dado que el vértice de la gráfica de la función en 2x - kx + 2 esté en la recta paralela al eje de las abscisas con los valores para k i y ,así :

k = 0 i y = 1 k = 2 i y = 0 k = 1 i y =0 k= 0 i y = 2

c) Las soluciones para x = - b/ a, c en las siguientes ecuaciones, sólo hay una que es correcta .Identifíquela: bx + (b +ac)x + ac = 0 ax +(ac -2b)x- 2bc = 0 ax + (b -ac)x - bc = 0 cx +(bc -a)x - ab = 0

d) Resuélvala por cualquier método apropiado . (x - 1)/ (x + 1) + 1 = (x + 1)/ (x - 1)

e) Dado el cuadrado de lado igual a 1 que aparece ,represente en su área la expresión (x + (1-x)) siendo x la correspondiente al cuadrado pequeño .

f) Si las raíces de una de las ecuaciones son 2 / 3 ,-5 / 4 .Ubíquela : 12x - 7x- 10 = 0 12x + 7x + 10 = 0

-12x + 7x- 10= 0 12x + 7x- 10 = 0

f) Resolver todos los valores de x que satisface la ecuación : x - 8x + 15 = 0

g) Hallar las dimensiones de la figura .

i) Un avión puede lanzar hacia abajo objetos con Vo = 19.6 m/s ,si lanza un objeto cuando el avión está a una altura de 2352m En qué tiempo llegará al suelo el objeto? j) Un mayordomo tiene 100 metros cuadrados para cultivar .Puesto que sólo tiene 30 metros de cerca de alambre para un corral ,utilizaría tres lados ya que aprovecharía una pared ,interprete con un gráfico el problema .Qué se buscaría como solución del mismo ?

BIBLIOGRAFÍA :

Fundamentos de Matemáticas de Oakley .Ed .Mc Graw HillAlgebra y Geometría de Bardell .Ed .CECSAAlgebra Moderna de Dolciani .Ed .Publicaciones Cultural S .A .

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 10

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

APLICACIONESINECUACIONES CUADRÁTICAS CON APLICACIONES


OBJETIVO

UTILIZAR DESIGUALDADES PARA REPRESENTAR SITUACIONES Y EN ELLAS PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS ENCONTRANDO EL VALOR DE LA INCÓGNITA.

CONCEPTUALIZACION.

Una desigualdad lineal en una variable es un intervalo que según su tipo se clasifican en abiertos, semiabiertos, y cerrados como se presenta en la siguiente tabla:

NOTACION GRAFICA DESIGUALDAD TIPO DE INTERVALO( a, b ) a < x < b Intervalo Abierto[ a, b ] a ≤ x ≤ b Intervalo Cerrado[ a, b ) a ≤ x < b Intervalo Semiabierto( a, b ] a < x ≤ b Intervalo Semiabierto( a, ∞ ) a < x < ∞ Intervalo Infinito( -∞, b ) - ∞ < x < b Intervalo Infinito( -∞, ∞ ) - ∞ < x < ∞ Intervalo Infinito

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

PROPIEDAD EJEMPLO1. Si a < b, y b < c, entonces a < c 3 < 7 y 7 < 9; entonces 3 < 92. Si a < b, entonces 2 < 5, de modo que a + c < b + c y 2 + 3 < 5 + 3, y a -- c < b -- c 2 -- 3 < 5 -- 3 3. Si a < b y c > 0, entonces 1 < 9 y 4 > 0, entonces a.c < b.c y a/c < b/c 1.4 < 9.4 y 1/4 < 9/44. Si a < b y c < 0, entonces 5 < 7 y --2 < 0, entonces a.c > b.c y a/c > b/c 5.(--2) > 7.(--2) y 5/(--2) > 7/(--2)

Es importante recordar que al multiplicar o dividir por un número real negativo ambos miembros de la desigualdad se invierte el signo de la desigualdad que es la aplicación de la propiedad 4. Propiedades semejantes a las anteriores son válidas para >, ≥, <, ≤.

En los siguiente ejemplos se estudian soluciones de desigualdades mediante intervalos con su representación gráfica.

Ejemplo 1: Resolver la siguiente desigualdad 4.X – 3 < 2.X + 5

Solución: 4.X – 3 < 2.X + 5 Desigualdad dada ( 4.X – 3 ) + 3 < ( 2.X + 5 ) + 3 Se suman 3

4.X < 2.X + 8 Se simplifica4.X – 2.X < ( 2.X + 8 ) – 2.X Se resta 2.X

2.X < 8 Se simplifica

2.X / 2 < 8 / 2 Se divide entre 2X < 4 Se simplifica

Por tanto, las soluciones de la desigualdad consisten en todos los números reales, x, tales que X < 4. Es el Intervalo ( -∞, 4 ) que se representa gráficamente en la recta numérica.

4 -- 3.XEjemplo 2: Resolver la siguiente desigualdad -- 5 ≤ --------------- < 1

2

Solución: Un número X es una solución de la desigualdad si y sólo si

4 -- 3.X 4 -- 3.X -- 5 ≤ --------------- y --------------- < 1

2 2

Es posible trabajar cada desigualdad por separado, o resolver ambas en forma simultánea, como sigue:

4 -- 3.X -- 5 ≤ --------------- < 1 Desigualdad dada

2

-- 10 ≤ 4 -- 3.X < 2 Multiplicación por dos

-- 10 -- 4 ≤ -- 3.X < 2 -- 4 Se resta 4

-- 14 ≤ -- 3.X < -- 2 Se simplifica

-- 14 -- 3.X -- 2 ---------- ≥ ---------- > -------- Se divide entre -- 3-- 3 -- 3 -- 3

14 2 ---------- ≥ X > -------- Se simplifica

3 3

2 14---------- < X ≤ -------- Desigualdad equivalente

3 3

Así, las soluciones de las desigualdad son todos los números reales en el intervalo semiabierto ( ⅔, 14/3], como se representa en la recta real.

Ejemplo 3: Uso de una fórmula de las lentes

Como se observa en la figura si una lente biconvexa tiene una distancia focal de f centímetros y se coloca un objeto a una distancia de p centímetros de la lente, donde p > f, entonces la distancia q de la lente a la imagen, está relacionada con p y f mediante la fórmula:

1 1 1 ----------- + -------- = ---------

p q f

Si f = 5 cm. ¿a qué distancia debe estar el objeto para que la imagen esté a más de 12 cm de la lente?

Solución: Como f = 5, se puede volver a escribir la fórmula como

1 1 1 ----------- + -------- = ---------

p q 5

Se desea determinar los valores de q que tales que q > 12. Primero se despeja q así:

5q + 5p = pq Se multiplica por el M.C.M., 5pq

q. ( 5 – p ) = -- 5p Se agrupan los términos en q en un lado y se factoriza

5.p 5.pq = -- --------- = --------- Se divide entre 5 – p

5 -- p p -- 5

Para resolver la desigualdad q > 12, se procede como sigue:

5.p 5.p --------- > 12 q = --------- p -- 5 p -- 5

5.p > 12 ( p – 5) Se permite, porque como p > f, entonces p – 5 > 0

1. Dada la desigualdad –7 < -3, determine la que se obtiene sia. se suma 5 a ambos lados de la desigualdadb. se resta 4 a ambos lados de la desigualdadc. ambos miembros se multiplican por 1/3d. ambos miembros se multiplican por – 1/3

2. Dada 4 > - 5, determine la desigualdad que se obtiene sia. se suma 7 a ambos lados de la desigualdadb. se resta -5 a ambos lados de la desigualdadc. ambos miembros se dividen entre 6

d. ambos miembros se dividen entre –6

Exprese la desigualdad en forma de un intervalo y bosqueje su gráfica.3. x < -24. x ≥ 45. –2 < x ≤ 46. 3 ≤ x ≤ 77. 5 > x ≥ -28. x ≤ 59. x > -310. –3 ≤ x < 511. – 3 < x < -112.–3 ≥ x > -5Exprese el intervalo en forma de desigualdad en la variable x.13. ( -5, 8]14. [0, 4)15. [ -4, -1]16. (3, 7)17. [4, ∞)18. (-3, ∞)19. (-∞, - 5)20. (-∞, 2]

Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos cuando sea posible. 21. 3x –2 >1422.2x + 5 ≤ 723.–2 –3x ≥ 2 24.3 – 5x < 11

CUESTIONARIO DE FUNDAMENTACIÒN DE TRIGONOMETRIAElaborado Por: Ing Sara García González.

- Qué es la trigonometría; por qué y para qué se desarrolló.- Quiénes aportaron al desarrollo de la trigonometría y cuáles fueron los aportes.- En qué unidades se miden los ángulos.- Qué es el : a) grado sexagesimal; b) radian.- Cómo se subdividen los grados y realizar un ejemplo- Realizar un ejemplo de conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa.- cuáles son las funciones trigonométricas de ángulos agudos en los triángulos

rectángulos.- A qué se denomina ángulo de : a) elevación b) depresión- Realice un ejemplo donde aplique el concepto de los ángulos anteriores

Desarrollo de competencias.

- Dibuje ángulos de: a) 120 b)960 c)220 d) 400.- Expresar en notación decimal: a) 15 19 28 b) 127 5 18.

- Expresar en grados, minutos y segundos: a) 150.63 b) 215.43 c) 918.7.- Expresar en radianes: a) 135 b) -45 c) 33.40 d) -35.2.

Encuentre la medida de un àngulo central en una circunferencia de radio= 4cms, si el àngulo subtiende un arco de 6.75. Determinar hexángulo en : a) radianes b) grados.

Demostrar que el àrea de un sector circular formado por un àngulo central O radianes, en un cìrculo de radio r, està dada por A=1/2(r)O

Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega hacia el edificio. Si el observador està a 100 pies sobre el nivel del mar y el àngulo de depresión de la lancha pasa de 15 a 35 grados durante la observación. Calcular la distancia que recorre la lancha hasta ese punto.

Bibliografía:

Algebra y trigonometría. Dennis Zill. Ed. Mc Graw Hill.Algebra y trigonometría, Earl Swokovski. Tompson

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 11

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: IDENTIDADES PITAGORICAS


LOGROS: Comprender y aplicar las funciones trigonométricas de ángulos agudos.

Construir las funciones trigonométricas a partir del círculo unidad.

Determinar los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos notables.

Deducir y probar identidades trigonométricas.

Aplicar las funciones trigonométricas a situaciones en diferentes contextos.

TEMAS:

Funciones trigonométricas de Ángulos Agudos

Identidades fundamentales

CONCEPTUALIZACION.

Funciones Trigonométricas de Ángulos Agudos.

Dado el triángulo BAC, rectángulo en A, se definen las siguientes funciones trigonométricas

cb

adyacentecatetoopuestocatetotan

ac

hipotenusaadyacentecatetocos

ab

hipotenusaopuestocatetosen

==α

==α

==α

C

a

b

αB c A

C

α b=1

B A

bc

opuestocatetoadyacentecatetogcot

ca

adyacentecatetohipotenusasec

ba

opuestocatetohipotenusacsc

==α

==α

==α

Ejemplo

Dado 51=αsen . Calcular las demás funciones trigonométricas del ángulo

Como el seno del ángulo es igual al cateto opuesto

sobre la hipotenusa, asignamos a b=1 y a=5. Por

medio del Teorema de Pitágoras calculamos c

6262

55

621

562

51

6224152

=α=α=α

=α=α=α

==−==

gcotsecccos

tancossen

cAB

EL CIRCULO UNIDAD.

Si trazamos el círculo unidad cuyo radio es 1, podemos definir sobre él las funciones

trigonométricas fundamentales seno y coseno

Para cada número θ el seno de θ,

denotado sen θ, y el coseno θ denotado

cos θ, se definen como sigue: Se traza el

ángulo de θ radianes con origen en (0,0)

y una arista sobre el semieje x positivo.

Sea el punto P sobre el círculo unidad

determinado por la segunda arista, la

coordenada X de P es entonces cos θ y

la coordenada Y es sen θ.

Ejemplo:

Hallar

π

π

22senycos

24=c

a = 5

Y (0,1)

P (cos θ, sen θ)

(1,0) X

sen θ

Cos θ

θ

Sí 2π=θ Entonces el ángulo es un ángulo recto P = (0,1) luego

1202 =π=π senycos

Ejemplo:

Hallar ( ) ( )π−π− senycos

Sí π−=θ , P es el punto (-1,0) luego ( ) ( ) 01 =π−=π− senycos

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Primeramente como un incremento de π2 en conduce al mismo punto P sobre el circulo

Cos (θ + π2 ) = cos θ.

Sen. (θ + π2 ) = sen θ.

Así, decimos que el seno y el coseno tienen período π2 . En segundo lugar por inspección de

la figura se verifica que

Cos (- θ) = cos θ

sen ( - θ ) = - sen θ

Los números cos θ y sen θ están ligados por la

ecuación

cos2 θ + sen2 θ = 1Lo cual se puede verificar mediante la aplicación

del Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Hallar

π

π

44senycos

Sí el ángulo es 4π (45°) es inmediato comprobar geométricamente que el coseno y el seno

coinciden

(cos θ,sen θ)

(cos (-θ),sen (-θ))

θ

-θ

22

47070

22

21

4

21

4

144

44

2

22

=

π≈==

π

=

π

=

π+

π

π=

π

seny.cos

cos

coscos

sencos

Θ 06

π4

π3

π2

π32 π 43π

65π π67 π

34 π23π π2

Cos θ 1

23

22

21 0

21−

22−

23−

-1

23−

21−

0 1

Tabla 1. Cosenos de múltiplos de 6π

Con está información podemos representar la función coseno. Como cos (θ + π2 ) = cos θ, el

gráfico se repite a intervalos de longitud π2 . La gráfica de la función seno se puede construir

de manera similar.

LA FUNCIÓN TANGENTE.

Para cada número θ distinto de 2π , más cualquier múltiplo de π , la tangente de θ, denotada

tan θ, se define como sigue: se traza al ángulo de θ radianes sobre el circulo unidad y se halla

el punto Q de intersección de la segunda arista del ángulo con la recta L que pasa por (1,0) y

es paralela al eje Y. La coordenada de Y de Q es tan θ.

Observar que en la figura que para θ cerca de pero menor que tan θ se hace muy grande.

Mientras que cos θ y sen θ nunca sobre

pasan el valor de 1, tan θ puede hacerse

arbitrariamente grande.

Observar también que para

2π < θ < π

Un ángulo en el segundo cuadrante, tan θ

es negativa.El gráfico de la función tangente

se construye partiendo de una tabla como la

correspondiente a la función coseno.

Q

θ (1,0)

L

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad algebraica entre funciones de un mismo ángulo

que se cumple para cualquier valor que tome dicho ángulo.

Ejemplo: sen θ. Csc θ = 1

α+=α 22 1 tansec

Para comprobar una identidad, es decir, para demostrar que los dos miembros de la igualdad

son idénticos, se realizan todas las operaciones y sustituciones que sean necesarias sobre el

miembro izquierdo, sin efectuar ningún cambio en el derecho, hasta que los dos miembros

sean iguales.

Ejemplo: sen θ . csc θ = 1

Sen .1/sen θ = 1

Ejemplo:

Demostrar que

ycosysen

ycos)ysen(ycos

ysen)ysen(ycos

)ysen()ysen()ysen(ycos

ysenycos

ycosysen

ysenycos

−=−

−−=

−+−=

+

−=+

11

11

111

1

11

2

2


1. Hallar cos 3π y sen 3

π . Use el triángulo equilátero ODE de la figura

2. Sea un ángulo agudo para el cual sec θ = 5/3. Hallar

a) tan θ. b) sen θ.

3. Escribir la primera expresión en términos de la segunda

D

2

O 1 C E

a) cot θ, sen θ c) cot θ, csc θ

b) tan θ, sen θ d) cos θ, cot θ

4. Un lado de una hoja rectangular de papel mide 6 cm, mientras que los lados

adyacentes a éste miden más de 6 cm. Se dobla una de las esquinas de la hoja de manera

que apenas toca el lado de mayor longitud opuesto a ella. Sí la longitud del doblez es L cm

y sí el doblez hace un ángulo con la posición original del lado mayor, tal como lo muestra la

figura, expresar L en términos de θ.

Verificar que tan (θ + π ) = tan θ.

5. Representar las funciones seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

6. Probar que

xcotxcscxtanxsec

22

22

11

+=+=

7. Demostrar que

8. Verificar la identidad θ+θ−=θ−θ

sensen)sectan(

112

9. Simplificar la expresión (sec θ + tan θ) (1 - sen θ)

10. Calcular la longitud del lado del triángulo equilátero

inscrito en un círculo de radio a.

11. Calcular la superficie de un campo rectangular, sí se sabe que un alambre que lo

atraviesa diagonalmente tiene una longitud L y forma con uno de sus lados un ángulo θ.

12. Uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 20 cm y el ángulo opuesto a

la base 40º 15'. Resolver el triángulo.

13. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno a cm y los ángulos

iguales θ, grados. Hallar el área del triángulo.

θ

L 6

xxsenxsenx

sensen

sensen

2

422

costan

11

1csc1csc

cot11

cos

=−

+−=

+−

−=

−

θθ

θθ

θθθθ

14. En el triángulo de la figura un ángulo mide el doble que otro y los lados opuestos

correspondientes mide uno el doble del otro. Puede existir este triángulo?

CUESTIONARIOa. Mencione y explique dos sistemas de medida angular.

b. Señale las funciones trigonométricas de ángulos agudos y de su definición.

c. Cuáles funciones trigonométricas son recíprocas.

d. Señale los signos que toman las funciones trigonométricas seno y coseno en los diferentes

cuadrantes.

e. Cuáles son los valores máximos y mínimos que pueden tomas las funciones

trigonométricas.

f. En que condiciones se puede asumir que sen θ ≈ θ

g. Qué son ángulos de elevación y ángulos de depresión?

h. Qué es una identidad trigonométrica

i. Defina Ecuación Trigonométrica.

BIBLIOGRAFIASWOKOUSKI, Earl William. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Mexico. Grupo

Editorial Iberoamérica. 1994

BARNETT, Raymond. Algebra y Trigonometría. Mc Graw Hill Latinoamericana. 1976.

OLIMPIADAS COLOMBIANAS DE MATEMÁTICAS. Recopilado por Maria Falk de Losada.

Universidad Antonio Nariño.

DENNIS ZILL, Algebra y Trigonometría Mc Graw Hill.

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 12

a 2a

2 α α

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS


OBJETIVO

Reconocer y resolver expresiones de tipo ecuación con términos trigonométricos, observar las relaciones con las ecuaciones algebraicas y su similitud de soluciones.

LOGROS:Resuelve ecuaciones trigonométricas desarrollando los mismos pasos que con las ecuaciones algebraicas y reconoce el tipo de variables en las ecuaciones trigonométricas.

TEMAS:Solución de ecuaciones trigonométricas con una sola función.Solución de ecuaciones trigonométricas reduciendo a una función.Solución de ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples.

CONCEPTUALIZACION.

Una ecuación trigonométrica es aquella cuyos términos son expresiones de trigonometría. Se resuelven mediante las mismas técnicas a las que se usan en las ecuaciones algebraicas; la diferencia principal radica primero que se despeja sen x, cos θ, etc., de la ecuación trigonométrica y a continuación se determinan los valores de x o de θ que satisfagan la ecuación. Las soluciones se pueden expresar como números reales o como ángulos.

Ejemplos:

a). Determinar las soluciones de la ecuación [ ]πθθ 0,2 si 21 ∈=sen

Solución:

Como 0>θsen para I y II cuadrante se tiene que con 6πθ = , y , 656 πππθ =−=, 21=θsen ó ( ) 6211 π=−sen , ( ) 21651 =− πsen

b). Resolver, factorizando, una ecuación trigonométrica: θθθ sentgsen =

Solución:

( )( )

1001

0

===−

=−=

θθθθ

θθθθθθ

tgysenLuegotgsen

sentgsensentgsen

Si 0=θsen entonces nπθ = para todo n enteroSi 1=θtg entonces nππθ += 4 para todo n entero, tg es de periodo π

De modo que las soluciones de θθθ sentgsen = son nyn πππ +4

En este ejemplo se cometería un error al dividir a ambos lados por θsen ya que se habrían perdido las soluciones para 0=θsen

c). Resolver la ecuación: 01cos2 2 =−− ttsenSolución:

Expresamos la ecuación en términos de una sola función en este caso del tcos y después se resuelve por factorización.

( )

( )01coscos2

101coscos201coscos22

01coscos1201cos2

2

2

2

2

2

=−+

−=+−−=−−−

=−−−

=−−

ttttt

ttsen

t

Factorizando: ( ) ( ) 01cos1cos2 =+− ttLuego 01cos2 =−tO 01cos =+tPor lo tanto


1. Determine todas las soluciones de las ecuaciones dadas

Ο∆ a.) θ

θsen

1cos = b.) 032cos2 =−θ c.) 1313 =ttag

d.) 21

32 =

− πxsen e.) 12 =xtag f.)

( ) ( ) 011cos =+− θθ seng.) ( ) 022csc2 =−xxsen h.) 02 =+ αα tagtag i.) 02cos4 =−θ

2. Determine las soluciones de la ecuación que estén en el intervalo [ ]π2,0

Ο∆ a.) µµ sensen −= 12 2 b.) xxsenxtag cos2 = c.) tsent cos31 =−

d.) xxctgxsenx csccos =+ e.) 0122 23 =−−+ senxxsenxsen f.) 1sec =+ θθtag

3. En un día claro con D horas de luz diurna, la intensidad I de la luz solar (en cal/cm2) se puede

�Ο calcular aproximadamente con la fórmula: 00Im 3 =≤= tparaDtsenI π

Donde t = 0 corresponde a la aurora e Im es la intensidad máxima si D 0 12,

¿Aproximadamente cuantas horas después de la salida del sol, Im21=I ?

4. El peso W de una persona en la superficie terrestre es directamente proporcional a la aceleración gravitatoria g (en m/s2). Debido a la rotación, la tierra está achatada en los polos y, como consecuencia, el peso varía en distintas latitudes, si θ es la latitud entonces g se puede

�Ο aproximar mediante la expresión: ( )θ2cos00264.018066.9 −=g

a). ¿A qué latitud 8.9=g ?b). Si una persona pesa 150 lb en el ecuador (θ = 0°) ¿en qué latitud pesará 150.5 lb?

BIBLIOGRAFÍA:

-Algebra y trigonometría con geometría analíticaSwokowski Cole - Tercera ediciónGrupo editorial IberoamericaCapítulo 7, pags 414 – 425-Algebra y trigonometría con geometría analíticaWalter Fleming / Dale Varberg - Tercera ediciónPrentice HallCapitulo 8, pags 393 – 400.- GeometríaClemens, et al.Prentice Hall – Serie Anofi - primera ediciónCapitulo 9, pags 330 a 334.

CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN:1º. Resolver las siguientes ecuaciones encontrando todas las soluciones en el intervalo 0 a 2π

a.) sentt 32cos = b.) 0132 =+− tagxxtag c.) xxsen cos12 2 +=

2º. Demuéstrese que t = π /4 es la única solución en π≤≤ t0 para la ecuación:

tabsentba

sentabtba

coscos

++=

++

3º. El Sr. Godínez construyó una resbaladilla de 10 pies de altura con una base de 20 pies (figura). A). Encuentre el ángulo α en grados. B). ¿Por cuánto (θ en la figura) debe incrementarse el ángulo de inclinación si se desea aumentar la altura (a 15 pies) manteniendo la base de 20 pies?

4º. Resuelva la ecuación: 0234 =++ tsentsentsen

5º. Un rayo de luz de la lámpara L en la figura se refleja en un espejo al objeto O.

a). Encuéntrese la distancia Xb). Escríbase una ecuación para θc). Resuélvase esa ecuación.

Cumplimiento de logros: Aplicará las soluciones de ecuaciones trigonométricas para analizar y plantear modelos trigonométricos para resolver situaciones de la física y la ingeniería.

αθ

dibujo

UNIVERSIDAD LIBRE


TALLER N° 13

θ θESPEJO

L

O

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA Y TRIGONOMETRIATÍTULO:

TEOREMAS DEL SENO Y COSENO


OBJETIVO

Plantear y resolver modelos geométricos de tipo trigonométrico haciendo uno de de los teoremas del seno y coseno, interpretando sus resultados y analizando los mismos.

LOGROS:

Identifica y operaciona con el teorema adecuado a situaciones planteadas de la ingeniería.

TEMAS: Teorema del seno.Teorema del coseno.

CONCEPTUALIZACION.

En cualquier triangulo la razón del seno de un Angulo a la longitud del lado opuesto a el es igual a al razón del senoθ de otro ángulo, la longitud del lado opuesto a este último, es decir:

senodelteoremac

senb

sena

sen γβα ==

Este teorema teorema se usa para casos donde se conoce: (L=lado, A= un ángulo)

1.° Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)

2° Dos ángulos y cualquier lado (AAL, o ALA)

El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados menos el doble producto de las longitudes de ellos por el coseno del Angulo que forman es decir:

αcos2222 bccba −+=βcos2222 accaa −+=γcos2222 abbac −+=

Teorema del coseno

A

B Caβ

c

α

b

γ

A B

C

a

βc

α

b

γ

Este teorema se usa en casos cuando se conoce1° Dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)2° Los tres lados

Se recomienda no memorizar estos teoremas si no analizarlos e interpretarlos cada vez que requiera su utilización.Las demostración para llegar a estos resultados (teorema) se deja como ejercicio haciendo uno de todos los conocimientos de trigonometría adquiridos.

ACTIVIDADES Y EJERCICIOSEjemplo:

A.) Dados: a = 12.4 b = 8.7 < β = 36.7°

Calcular las demás partes del triangulo ABC.

Solución: para calcular α : βαβα senbasenluego

bsen

asen =

8518.07.8

7.364.12 αα °= sensen Por lo tanto ( ) °≈= − 4.588518.01senα

Como °=++ 180γβα entonces °=+°+° 1807.364.58 γ entonces °= 9.84γ

Para conocer el valor de la longitud C, tendremos: αγ

αγ sensenac

sena

senc =⇒=

Luego c= 5.144.589.844.12 ≈

°°

sensen

con lo cual queda determinadas todas las

Partes del triangulo ABC.

b.) Cuando el ángulo de elevación del sol es 64° un poste telefónico que esta inclinado un ángulo de 10° directamente frente al sol forma una sombra

de 12 pies de longitud en terreno horizontal, calcular la longitud aproximada del poste.

Solución: °

=° 36

1264 sensena

Entonces: piessensena 35.18

366412 ≈

°°=

C.) Un paralelogramo tiene lados de 30 cm y 70 cm de longitud, y uno de sus ángulos mide 65°. Calcular con redondeo a cm enteros la longitud de cada diagonal

Solución: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1.402565cos703027030 222 ≈°−+=ACLey de los coseno.Usando ∆ ABCAC ≈ 63cmDe manera similar usando el triangulo BAD y con ∠

A B

C

a

βc

α

b

γ

A B

C

a

64°

36°

80°12

10°

A

30

D

65°B C

65°

30

70

70

BAD=180°-65°=115°, se puede calcular BD como sigue

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7575115cos703027030 222 ≈°−+=BDcmBD 87≈

d.) Para calcular el área de cualquier triangulo A= αbcsen21

donde α es el ángulo

entre los lados b y c.Calcular el área del triangulo ABC con a= 2.2 cm, b= 1.3 cm y °= 2.43γSolución: como γ es el ángulo que forman los lados a y b puede emplearse directamente la formula anterior.

298.02.433,12,221

21 cmsenabseA =°×××== α

e.) También se puede determinar el área de un triangulo conocido solamente la longitud de los tres lados. a, b, c

( ) ( ) ( )csbsassA −−−= Donde ( )

2cbas ++=

esta formula se llama “la formula de Heron”.Calcular el área de un triangulo cuyos lados miden 125,160 y 225cm respectivamente.

( ) ( ) ( )3095130225=A( ) 29720255

2225160125 cmS ≈=++=


1) Calcule aproximadamente, las partes restantes del triangulo ABC2) Para determinar la distancia entre dos puntos Ay B un topógrafo escoge un punto C

que se halla a 375m de A y 530 de B si< BAC mide 49°30’ calcule la distancia de A a B.

3) Los ángulos de elevación de un globo visto desde dos puntos A y B en suelo a nivel, ´4047´´1024 °° ysen respectivamente, donde A y B están separados 8.4millas y el

globo se encuentra entre ellos en el mismo plano vertical. Calcule la altura del globo respecto al suelo.

4)

AC es 10 metros más largo que Cb determínese la longitud de CD.

5) En una esquina de un triangulo, el ángulo mide 52.4°, lo lados que se encuentran en esa esquina miden 100m, y 120m de largo. ¿ cuanto mide el tercer lado?

6) Un jardín triangular tiene lados de longitud, 35,40 y 60 mts. Encuéntrese el ángulo mas grande del triangulo, y el área del mismo.

7) Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130° y después 80 millas en dirección 245° aproximadamente ¿ a que distancia se encuentra el aeroplano del punto A.?

8) Un rombo tiene lados de 100 cm de longitud y el ángulo en uno de los vértices es 70°. Calcule las longitudes de las diagonales.

9) La caja rectangular tiene dimensiones 468 ×× calcule el ángulo θ que forma una diagonal de la base y una diagonal de la cara.

A

D

BC65°85°45°

10) Las manecillas de un reloj tienen 4 y 5 pulgadas de largo respectivamente. A cierta hora entre las 1:45 y las 2:00 se encuentran las puntas de las manecillas separadas 8 pulgadas ¿ Que hora es entonces?

BIBLIOGRAFÍA:

-Algebra y trigonometría con geometría analíticaSwokowski Cole - Tercera ediciónGrupo editorial IberoamericaCapítulo 8, Págs. 468 – 485-Algebra y trigonometría con geometría analíticaWalter Fleming / Dale Varberg - Tercera ediciónPrentice HallCapitulo 9, Págs. 404– 415.

CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN:

1º. Dado el triangulo. Determine

a.) Lado c y los demás ángulosb.) El área del triangulo

2º. Una carretera recta forma un ángulo de 15° con la horizontal, cuando el ángulo de elevación del sol es 57°, un poste vertical al lado de la carretera forma una sombra de 75 pies de longitud pendiente abajo. Calcule la longitud del poste.

3°. Calcule el área del triangulo ABC A.) 302060 === cbαb.) 2.172.1057.35 === bγαc.) 102020 === cba

4°. Una carretera recta forma un ángulo de 22° con la horizontal, desde cierto punto P en ella, el ángulo de elevación del avión es 57°. En el mismo instante, desde otro punto Q, 100m adelante del primero, el ángulo de elevación es de 63°. Los puntos P, Q y A quedan en el mismo plano vertical. Calcule la distancia de P al avión A.

5°. Un pedazo de alambre de 60 pulgadas de largo es doblado en forma de triangulo . Encuéntrense los ángulos del triangulo si dos de sus lados tienen 24 y 20 pulgadas de longitud.

Cumplimiento de Competencias: Dado cualquier triangulo se lograra determinar algunas de sus partes dado mínimo tres partes de las mismas. A demás calculara su área. Triangulizara regiones y resaltara aspectos del mismo.

Ernesto Vargas♦ Guía No. 1 Números reales. Operaciones♦ Guía No. 2 Números reales. Operaciones♦ Guía No. 3 Números reales. Potenciación, radicación y logaritmación

Sara García♦ Guía No. 4 Expresiones algebraicas♦ Guía No. 5 Operaciones algebraicas

Oscar Domínguez♦ Guía No. 6 Factorización

A

BC

80°

8 cm

5 cm

15°

57°

♦ Guía No. 7 División sintéticaRafael Ruiz.♦ Guía No. 8 Fracciones parciales

Tito Rovira♦ Guía No. 9 Ecuaciones lineales y cuadráticas♦ Guía No. 10 Intervalos, inecuaciones y solución

Ramiro Serrano♦ Guía No. 11 Inecuaciones de primer grado♦ Guía No. 12 Inecuaciones cuadráticas

Felipe Lara♦ Guía No. 13 Valor absoluto y aplicaciones♦ Guía No. 14 Clasificación de ángulos

Jorge castañeda♦ Guía No. 15 Identidades pitagóricas. Funciones trigonométricas. Identidades

trigonométricas

Sara García♦ Guía No. 16 Identidades de la suma y diferencia de ángulos

Ernesto Vargas♦ Guía No. 17 Ecuaciones trigonométricas♦ Guía No. 18 Teorema del seno y coseno

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA … · Los números Enteros y Racionales (Z, Q). Este...

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA … · Los números Enteros y Racionales (Z, Q). Este...