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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería
CURSO
CALCULO DIFERENCIAL
100410_57
Actividad 6: Trabajo colaborativo No 1
ESTUDIANTES:
LIZANDRO FABIO YUVABE CARIANIL
1.010.067.037
EDINSON LEONERDO CRUZ
80.145.309
JUAN ALBERTO GARCIA GARZON
7.251.301
DIRECTOR DE CURSO:
OSCAR DIONISIO CARRILLO RIVEROS
CERES-INIRIDA
5 de octubre 2010
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INTRODUCION
Las progresiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando
trabajamos con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el
aumento de consumo de electricidad, o el incremento de una capital en función del
tiempo. En ingeniería, administración y otras áreas también se nos presentan
aplicaciones, que podemos manejar mediante el concepto de sucesión.
Las matemáticas es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de
teorías y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la
lógica, los axiomas y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de
pensamiento de orden superior, especialmente la deducción, inducción y la
abstracción, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas
habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido del análisis, desarrollo del
raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la mente humana.
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OBJETIVO GENERAL
.
♦Determinar y hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a
progresiones aritméticas y progresiones geométricas, determinar sus
características, su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros
términos y su sentido de variación
OBJETIVOS ESPECIFICOS
♦Identificar los principios y características de las sucesiones.
♦Hallar los primeros términos de una sucesión, a partir de su término general,
dado el (o los) primer (os) término (s) de una sucesión, y la relación de recurrencia
♦Hallar el término general, en caso de ser posible; o aún, dados los primeros
términos de una sucesión, hallar una sucesión que se ajuste a estos términos.
♦Determinar el sentido de variación de una sucesión, su período (si existe), una
cota superior y una cota inferior (si existen).
♦Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones
aritméticas y determinar sus características:
♦Hallar su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos
y su sentido de variación.
♦Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones
geométricas y determinar sus características: su razón común, su primer término,
la suma de sus primeros términos y su sentido de variación.
♦Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas convergen.
♦Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas divergen.
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Aporte de Juan
FASE I
1. Hallar los 6 primeros términos de la progresión:
a)
46656617
3125516
256415
27314
4213
11)12(
1
617
6
516
5
415
4
314
3
213
2
112
1
21
u
u
u
u
u
u
nu nn
n
b)
7
18
7
18
16
6*3
6
15
6
15
15
5*3
5
12
5
12
14
4*3
4
9
4
9
13
3*3
23
6
12
2*3
2
3
2
3
11
1*3
1
3
6
5
4
3
2
1
1
v
v
v
v
v
v
n
nv
n
n
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2. Identificar el término general dado el primer termino y la relación de
recurrencia:
a)
133103
10373
7343
4313
1
3;1
34
23
12
01
1
uu
uu
uu
uu
u
uuu
o
nno
Termino general
)13( nun
b)
27
1
33
9
1
33
3
1
3
91
23
31
12
1
uu
uu
uu o
Termino general:
nnu3
1
Aporte de Edison
3. Sucesiones monótonas. Demostrar que Wn= es estrictamente creciente.
Para ser estrictamente creciente se
debe cumplir la siguiente regla
Entonces
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→
4. Demostrar que Xn= es estrictamente decreciente.
Se ve que cada término es menor que el anterior
entonces para demostrar se debe hacer lo siguiente
→
=
5. Sucesiones acotadas. Hallar la mínima cota superior de la sucesión:
Primero que nada se debe buscar cual seria la opción para la
mínima cota superior reemplazando así:
Se ve claramente que 3 es la mínima cota
superior ahora hay que comprobar:
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FASE 2
6. Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior:
Para determinarlos se reemplazan n desde uno hasta distintos
valores
Así pues se denota que es acotada puesto que su
cota inferior
Es y su cota superior es ya que cumple con lo
siguiente
7. Determinar las cotas superior e inferior de:
Al igual que en el punto anterior se reemplaza la n en la sucesión para
averiguar sus cotas y ver si acotada;
Así tenemos que la mínima cota superior es
1 y al decrecer toma valores menores que 1 pero nunca el 0 el cual sería su cota
inferior entonces:
Y esto comprobaría que es acotada
Aporte de Lizandro.
8. sucesiones convergentes. Demostrar que la sucesión
n
nvn
31 es
convergente y a que converge.
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3
1lim
3
1lim
131
nnn
nn
n
n
n Es convergente y converge a -1/3
9. Demuestre que la sucesión nnnwn 22 es convergente y a que
converge.
Multiplicamos por el conjugado
12
2
11
2lim
11
2
2
2lim
2
2
2
222
22
2
22
22
2
22
22
2
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n nnn
n
nnn
nnn
nnn
nnnnn
La sucesión es convergente y converge a -1
10. Limite de una sucesión. Mostrar que la sucesión
14
83
n
nwn tiene como
límite ¾.
4/3lim
4
3lim
1
8
14
83
n
n
n
nn
n
nn
n
n
FASE III
11. Sucesiones divergente. Demostrar que la sucesión
4
12nwn no es
convergente, justifica.
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nn
nn
)(4/1
)1(lim4/14
1lim 2
2
PROGRESIONES
12. en una progresión aritmética 28;33 1220 aa hallar ra ;1
8/5
8/169
8
169
8
95264
8/)95(33
)8/5)(19(33
)8/5)(120(33
)1(
)1(
8
5
8
2833
8
)28(33
1
|
1
1
1
1
1
1220
r
a
a
a
a
a
arna
rnaa
n
aar
n
n
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13. Una progresión aritmética nv tiene como primer 1, n-enésimo termino es 15 es,
la sumatoria de los n primeros términos es 200. Hallar el número de términos n
incluidos en la suma y la diferencia común.
12/7
12/724/14125
115
1
)1(
25
16/400
)16(400
2
115200
2
?
?
200
1
15
1
1
r
r
rn
au
rnau
n
n
n
nnaus
r
n
s
a
u
v
n
n
n
n
n
14. Calcular la suma de: a) Halla la suma de los números pares.2,4,6…100
2550
2550)102(252
50)2100(
50
5014912/98
12
2100
1
2
100
2
1
1
s
s
n
n
n
nr
aa
r
a
a
n
n
b) Hallar la suma de todos los números impares de 2 cifras.
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2475
24752
4950
2
45)110(
2
45)1199(
45
144
12/88
12
1199
1
2
99
11
1
1
s
s
n
n
n
n
r
aan
r
a
u
n
n
c) cuantos números impares consecutivos a partir del uno es preciso
tomar para que su sea igual a 1521?
39
15212
3042
2
39)177(
77761
2)139(1
2
1
391521
1
n
s
a
a
r
a
n
n
n
Se toma 39 números impares consecutivos.
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15. Hallar los 6 primeros términos de la progresión dada por la sucesión
729/13
1
243/13
1
813
1
27/13
1
9/13
1
3/13
1
3
1
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
u
u
u
u
u
u
un
n
n
16. Un tipo de bacteria se produce por bipartición cada 15 minutos (cuarto de
hora). Cuantos bacterias hallaremos luego de 6 horas
La progresión va creciendo
1, 2 ,4…
periodos2415/36036060*6
Iniciamos con una bacteria, tenemos
1677721512
1)2(1 24
s
Habrá 16777215 bacterias, si no ha muerto ninguna.
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Conclusiones
El trabajo que hemos desarrollado nos permite llegar a las siguientes
conclusiones:
•Durante el desarrollo del trabajo podemos identificar clases de sucesiones.
• demostrar analíticamente cuando una sucesión es acotada superiormente e
inferiormente.
•pudimos desarrollar diferentes enlaces de conocimientos en los diversos
actividades o ejercicios para el desarrollo del trabajo.
• manejamos la capacidad analítica del pensamiento humano en los factores de
los temas.
• Profundización de los diferentes temas aptos para el desarrollo de los próximos
trabajos.
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Bibliografía
www.monografias.com › Matemáticas
Modulo Curso cálculo diferencial segunda edición c "copyright UNAD
Jorge Eliécer Rondón Duran
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C., 2010
www.mitareanet.com/mates1.htm