UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUÍA PARA EL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD II. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS, VALOR ESPERADO Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

1. Un vendedor calcula que cada entrevista con un cliente conduce a una venta con probabilidad de 0.2. Cierto día entrevista a dos clientes. Calcula la distribución de probabilidad del número X de clientes que firman un contrato de venta.

2. Un embarque de siete televisores contiene tres aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra

aleatoria de cuatro de ellos. Si X es el número de unidades defectuosas que se adquieren, encuentra la distribución de probabilidad de X. Expresa los resultados gráficamente como un histograma de probabilidad.

3. Encuentra una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa

el resultado de un solo lanzamiento de un dado.

4. Suponga que cuatro bujías defectuosas han sido mezcladas, accidentalmente, con tres en buen estado. Construya la probabilidad para el número de bujías defectuosas que usted puede obtener si escoge dos de las ocho para instalarla en una máquina.

5. Un grupo organiza una rifa y planea vender 1000 boletos con un solo número ganador. Cada boleto

cuesta $1.00. Construye la distribución de probabilidad de sus ganancias netas si compra tres boleto y el premio es de $800.00.

7. Una caja contiene 3 cartas que son el dos, el tres y el cuatro de corazones. Se extraen dos cartas de la caja, poniendo la primera carta extraída de nuevo antes de la segunda extracción. Usa las técnicas de enumeración de eventos para deducir la distribución de la variable X.

8. Resuelve el problema 7 con la nueva hipótesis de que no se devuelve la primera carta.

9. Una compañía fabrica agujas para la inyección de insulina y las empaca en cajas de 100 unidades.

Durante algunos años se han hecho muestreos de estas cajas, por lo que se sabe que el 90% contiene agujas no defectuosas, 7% contiene exactamente un aguja defectuosa y 3% exactamente

”Puedo escribir los versos más tristes esta noche. Escribir, por ejemplo; “La noche está estrellada, y tiritan, azules, los astros, a los lejos”. . . (Poema 20). PABLO NERUDA

y

x

1/2

6. Suponga que una variable aleatoria Z tiene la distribución mostrada en la figura que se muestra al lado ¿Cuál es la probabilidad de que Z esté entre 0 y 1?

1 2

1

dos con defecto. Tomando como base esta información, ¿cuál es la distribución de probabilidad para X, donde X indica el número de agujas defectuosas por caja?

10. Verifica si la siguiente expresión es una función de probabilidad. En caso negativo, conviértela en

función de probabilidad. Grafica la distribución de probabilidades y traza un histograma.

P(x)= 5− x10 para x = 1, 2, 3, 4

11. Verifica si la siguiente expresión es una función de probabilidad. En caso negativo, conviértela en función de probabilidad. Grafica la distribución de probabilidades y traza un histograma.

P(x)= x

2 −150 para x = 2, 3, 4, 5

12. Encontrar la función de distribución de la variable aleatoria 𝑋 = el número de soles que se obtienen

al lanzar cinco monedas.

13. Una lotería tiene un premio de $ 1000.00, dos premios de $ 500.00, cinco de $100.00 y 50 de $5.00. si se venden 1 000 boletos, ¿cuál debe ser el valor del boleto?

14. Una urna contiene 8 canicas similares en todos los aspectos, con excepción del color. cuatro de ellas

son rojas, tres son blancas y una es negra. Se selecciona una canica al azar. Si es roja, la persona que la seleccionó recibe 15 centavos; si es blanca no recibe nada; si es negra, pierde 40 centavos. ¿Cuál es el valor esperado del jugador?

15. ¿Qué juego elegiría si se le diera la oportunidad? Tirar dos dados y recibir en dólares la suma de los

puntos obtenidos o tirar cuatro monedas y recibir en dólares el doble del número de caras obtenidas. 16. De acuerdo con una tabla de mortalidad la probabilidad de que una persona de 30 años sobreviva un

año más es de 0.992. una compañía de seguros ofrece venderle a un hombre de 30 años una póliza válida por un año, por $1000.00 que le costará al asegurado $20.00. ¿Cuál es la ganancia esperada para la compañía?

17. Se aplica un examen de 10 preguntas de elección múltiple a un grupo de estudiantes. Cinco de las

preguntas tienen dos elecciones, 5 tienen 3 elecciones. Al calificar, se dan 10 puntos por respuesta correcta y 0 por incorrecta, en el entendimiento de que las respuestas se clasifican en correctas o incorrectas y nada más. Si un estudiante contesta al azar, ¿cuál será su calificación esperada?

18. Dada la función de probabilidad para encuentra la media y la

desviación estándar. 19. De un grupo de 5 hombres y 3 mujeres se seleccionan tres personas al azar para formar un comité.

Si representa el número de mujeres en el comité, encuentra la media y la varianza de .

( ) 0.2P x = 0,1,2,3,4x =

X X

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1. Se extraen seis cartas con reemplazo de un juego de brige. Encontrar la probabilidad de obtener al mennos tres ases.

2. Un ingeriero de control de tráfico informa que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrícula del estado ¿Cuál es la probabilidad de que más de cuatro de los siguientes nueve vehículos no sean del estado?

3. Suponte que diez aparatos de radar están operando independientemente uno del otro y que la

probabilidad de que sólo uno de los aparatos detecte un cohete enemigo es de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que nueve aparatos de radar detecten el cohete?

4. Suponte que para cierta clase de flores cerca de 5% de las semillas no germinan. Las semillas se

empaquetan y venden en cajas de 10, con la garantía de que al menos nueve germinarán. Halla la probabilidad de que una caja fija arbitraria no tenga la propiedad grantizada.

5. Define lo que es un experimento binomial, da al menos tres ejemplos de fenómenos binomiales.

6. ¿Cuál es la probabilidad de que una auditoria de Hacienda detecte solamente dos declaraciones de

impuestos con deducciones ilegales si se seleccionan aleatoriamente seis de 18 declaraciones, ocho de las cuales contienen deducciones ilegales?

7. Un examen de opción múltiple está compuesta de 15 preguntas, con cinco respuestas posibles para

cada pregunta, de las cuales sólo una es correcta. Suponte que uno de los estudiantes que realiza el examen contesta las preguntas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente al menos 10?

8. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimeinto gástrico es de 0.8. Suponte que

20 personas han contraío dicho padecimiento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos 14, pero no más de 18? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan un máximo de 16?

9. Se planean 10 misiones especiales independientes a la luna. La probabilidad estimada de éxito de

cada misión es de 0.98. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 de las misiones planeadas tengan éxito?

10. Una clínica necesita 5 donadores 𝑅ℎ! en un día determinado. ¿Cuántas personas deben donar sangre para que haya una probabilidad menor que 0.9 de que por lo menos la sangre de cinco donadores sea 𝑅ℎ!?

11. La probabilidad de que Elena derrote a Saúl en un juego de ajedrez es de 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de que derrote a Saúl dos veces en tres juegos de ajedrez?

12. Un dado se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al menos un cinco o un seis?

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

1. Determina el área situada bajo la curva normal estándar que se encuentra a) entre 𝑧 = 0 y 𝑧 = 0.65, b) a la izquierda de 𝑧 = 2.74, c) a la derecha de 𝑧 = −1.63, d) a la derecha de 𝑧 = 1.59.

2. Encuentra el valor de 𝑧 si la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal

estándar tome un valor: a) menor de 𝑧 es de 0.9922, b) mayor de 𝑧 es de 0.1093, c) mayor de 𝑧 es de 0.6443, d) menor de 𝑧 es de 0.0217, e) entre – 𝑧 y 𝑧 es de 0.9298.

3. Determina las probabilidades

a) 𝑃(𝑋 ≥ 2.44) b) 𝑃(𝑋 ≤ −1.66) c) 𝑃(𝑋 ≤ 1.923) d) 𝑃(𝑋 ≥ 1) e) 𝑃(𝑋 ≥ −2.9) f) 𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 10)

suponiendo que 𝑋 es normal con media 0.8 y varianza 4.

4. Sea 𝑋 normal con media 0 y varianza 1. Determina la constante 𝑐 tal que a) 𝑃 𝑋 ≥ 𝑐 = 0.1 b) 𝑃 𝑋 ≤ 𝑐 = 0.05 c) 𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 = 0.45

5. Sea 𝑋 normal con media 100 y varianza 36. Encontrar

a) 𝑃(𝑋 > 110) b) 𝑃(𝑋 < 105) c) 𝑃(90 ≤ 𝑋 ≤ 10)

6. Sea 𝑋 normal con media -2 y varianza 0.25. Determina la constante 𝑐 tal que a) 𝑃 𝑋 ≥ 𝑐 = 0.2 b) 𝑃 −𝑐 ≤ 𝑋 ≤ −1 = 0.5 c) 𝑃 −2 − 𝑐 ≤ 𝑋 ≤ −2 + 𝑐 = 0.9

7. Qué porcentaje de observaciones de una variable aleatoria se espera que se localice: a) entre 𝜇 − 𝜎/4 y 𝜇 + 𝜎/4 b) entre 𝜇 − 𝜎/2 y 𝜇 + 𝜎/2

8. Un fabricante de resistencias sabe por experiencia que el valor de las resistencias que produce es normal con media 100 ohm y desviación estándar de 2 ohm. a) ¿Qué porcentaje de resistencias tendrán valor entre 98 y 102 ohm? b) ¿Qué porcentaje entre 95 y 105 ohm?

9. La altura de los alumnos de una escuela es una variable aleatoria normal con media de 1.70 m y varianza de 0.01. Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura esté entre 1.64 y 1.80 m?

10. Suponte que los diámetros de los tornillos fabricados por una compañía están distribuidos noemalmente con media de 0.25 y desviaicón estándar de 0.002 cm, Un tornillo se considera defectuosos si su diámetro es menor que 0.2 o mayor que 0.28 cm. Indica el porcentaje de tornillos defecuosos producidos por esa compañía.

11. El tiempo medio de vida de cierto dispositivo eletrónico tiene una distribución normal con media de

120 horas y desviación estándar de 7 horas. Indica la probabilidad de que el dispositivo siga funcionando después de 130 horas.

12. Los pesos de 500 estudiantes están distribuidos noemalmente con media de 68.5 kg y desviación

estándar de 10 kg. Indica el número de estudiantes que pesan entre 48.5 y 71.5 kg. DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS.

1. Cierta población tiene media y desviación estándar iguales a 500 y 30, respectivamente. Se seleccionan muchas muestras de tamaño 36 y se calculan las medias.

a) ¿Qué valor es de esperar que tenga la media de todas esas medidas muestrales? b) ¿Qué valor se esperaría para la desviación estándar de todas las medias muestrales? c) ¿Qué forma es de esperar que tenga la distribución de todas las medias muestrales?

2. Los médicos y los investigadores científicos han establecido que la media y la desviación estándar

de las longitudes del cráneo humano son de 20.5 y 3.3 respectivamente. Suponga que un explorador descubre una isla en donde los nativos han estado separados del resto del mundo por varios años. Una muestra de 25 de estos nativos muestra una longitud media del cráneo de 24.6 cm. ¿Tienen los investigadores alguna razón para excitarse?

3. Si una población normal tiene desviación estándar igual a 25 unidades, ¿cuál es el error estándar de

la media 𝜎! si se utilizan muestras de tamaño 16, de tamaño 25, de tamaño 50 y de tamaño 100?

4. El peso del equipaje de los pasajeros de cierta línea aérea está distribuido normalmente con media y desviación estándar iguales a 12 y 2.4 kilogramos, respectivamente. Si el peso límite de la carga total es igual a 1275 kilogramos, ¿cuál es la probabilidad de que el límite sea excedido por 100 pasajeros?

5. Considere la población aproximadamente normal de las estaturas de los estudiantes varones en una

universidad. Suponga que las estaturas individuales tienen media y desviación estándar iguales a 170 y 10 centímetros, respectivamente. Se obtiene una muestra de 16 estaturas. Evalúa

a) la media de esta distribución de muestreo. b) El error estándar de la media. c) La forma de esta distribución. d) 𝑃(𝑋 ≥ 175) e) 𝑃(𝑋 < 168)

6. Suponte que se selecciona una muestra con 𝑛 = 25 observaciones de una población que tiene una distribución normal, con una media de 106 y una desviación estándar de 12.

a) Obtén la media y la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media muestral 𝑥. b) Encuentra la probabilidad de que 𝑥 exceda a 110.

c) Calcula la probabilidad de que la media muestral se desvíe de la media poblacional 𝜇 = 106, por más de 4.

7. Un departamento estatal de carreteras vigiló una autopista interestatal en particular durante 25

períodos de 1 hora seleccionados al azar durante un mes, para obtener información acerca del volumen de la carga transportada por camiones a través de dicha autopista. Se contó el número de traileres para cada periodo de una hora y se calculó 𝑥 para la muestra de 25 periodos individuales de una hora. Suponte que la distribución del número de traileres pesados por hora es aproximadamente normal, con 𝜇 = 50 y 𝜎 = 7.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral 𝑥 para 𝑛 = 25 periodos de una hora

sea mayor que 55? b) Suponte que se cuentan los traileres para cada uno de los 𝑛 = 4 periodos de 1 hora,

seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑥 sea mayor que 55? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número total de traileres, para un periodo de 4 horas, sea

mayor que 180?

8. Una población tiene una distribución normal con media 𝜇 desconocida y desviación estándar 𝜎 = 5. Obtén la probabilidad de que 𝑥 diste de 𝜇 menos de una unidad, si 𝑛 es igual a los valores siguientes:

a) 𝑛 = 25 b) 𝑛 = 100 c) 𝑛 = 225. 9. Una población tiene una distribución normal con media 𝜇 desconocida y desviación estándar 𝜎 = 5.

Se toma una muestra aleatoria de tamaño 𝑛 = 25 de esta población.

a) Calcula la probabilidad de que 𝑥 difiera de la media 𝜇 por menos de una unidad, es decir, calcula 𝑃(−1 < 𝑥 − 𝜇 < 1).

b) Si la desviación estándar fuera 2.5 en vez de 5, encuentre 𝑃(−1 < 𝑥 − 𝜇 < 1). c) Si la desviación estándar fuera de 10 en vez de 5, calcula 𝑃(−1 < 𝑥 − 𝜇 < 1).

10. Usted tiene la muestra de una familia de cinco hijos. Las edades de ellos son: 16, 13, 10, 7 y 4 y se

obtiene una muestra de tamaño 3 sin reemplazo.

Construye la distribución muestral de la media y verifica que: 𝜇 = 𝜇! y 𝜎!! = !!

!!!!!!!

.

11. Los médicos y los investigadores científicos han establecido que la media y la desviación estándar

de las longitudes del cráneo humano son de 20.5 y 3.3 respectivamente. Suponga que un explorador descubre una isla en donde los nativos han estado separados del resto del mundo por varios años. Una muestra de 25 de estos nativos muestra una longitud media del cráneo de 24.6 cm. ¿Tienen los investigadores alguna razón para excitarse?

12. La media y la desviación estándar para la cantidad de líquido distribuido por un cantinero se intenta

que sea de 8.0 y 0.1 onzas, respectivamente. En una muestra de 49 tragos se encuentra que tiene una media de 8.02 onzas ¿Hay alguna necesidad de comprobar la máquina más ampliamente? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral de 8.02 o más?

13. Cada estudiante en un grupo de 25 tira al aire una moneda 16 veces. Sea X el número de caras

obtenidas por cada estudiante. ¿Cuál es la probabilidad de que el número promedio de caras para los 25 estudiantes se encuentre entre 7.5 y 8.5?

14. Tomando a 𝑥 distribuida normalmente con media 30 y desviación estándar 8, calcula la probabilidad de que el promedio de muestra de 𝑥, basada en una muestra de tamaño 16, a) sea menor que 16, b) exceda a 36, c) exceda a 28, d) sea menor que 25, e) se encuentre entre 33 y 34.

15. Si la desviación estándar del peso de niños de primer grado es de 2.5 kilogramos, ¿cuál es la

probabilidad de que el peso medio de una muestra al azar de 100 niños de estos niños, difiera en más de medio kilogramo, con respecto al peso medio para todos los niños?

16. Para ahorrar tiempo, Juan decide hallar el peso total de una caja que contiene 16 paquetes, en vez

de pesar cada paquete por separado. Encuentra que la media y la desviación estándar de los pesos de las cajas son 24.2 y 1.2 respectivamente, para una muestra grande de dichas cajas.

a) Suponiendo que las cajas se componen de muestras aleatorias de paquetes individuales,

¿cuál es la desviación estándar del peso por paquete? b) Suponiendo que se encontró que el resultado en a) no concordaba con resultados

anteriores cuando los paquetes se pesaban de uno en uno, ¡qué explicación daría usted?

17. La captura diaria 𝑥, en libras, de un pescador de langostas es el total de mariscos de un número fijo de trampas. ¿Qué tipo de distribución de probabilidad esperaría que tuviera la captura diaria y por qué? Si la captura media por trampa por día es de 30 libras con 𝜎 = 5 libras, y el pescador tiene 50 trampas, obtén la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad del total de valores de 𝑥.

18. Tomando 𝑥normalmente distribuida con una media de 20 y desviación estándar de 4, calcula la

probabilidad de que la media de las muestras 𝑥, basada en una muestra de tamaño 64 a) exceda a 21, b) exceda a 20.5, c) se encuentre entre 19 y 21, d) exceda a 25, e) exceda a 18.