Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN-ManaguaCurso de Análisis y Diseño de Modelos

Econométricos

Encuentro No.5Modelo Econométrico de

Regresión MúltipleParticipantes:

Docentes /FAREM-Carazo

Profesor:

MSc. Julio Rito Vargas Avilés.

2011

Contraste de hipótesis y Análisis de los estadísticos obtenidos por el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) con el Software Gretl

Año académico:

2

1 2 2 3 3 ...i i i k ki iY X X X

ECUACIONES DEL MODELO ECONOMÉTRICO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

2 3( , ,.., )kE Y X X X

1 1 2 21 3 31 1 1... k kY X X X

2 1 2 22 3 32 2 2... k kY X X X ……………………………………………………………………

1 2 2 3 3 ...n n n k kn nY X X X

La Ec. (1) es una expresión abreviada para el siguiente conjunto de n ecuaciones simultáneas:

(1)

3

NOTACIÓN MATRICIAL DEL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

El sistema de ecuaciones lineales anterior, puede escribirse en una forma alterna aunque más ilustrativa, donde las letras minúsculas son vectores filas o columnas y las mayúsculas son Matrices.

1 121 31 11

22 32 2 2 22

2 3

11

1

k

k

n n n kn k n

X X XY

X X XY

Y X X X

Y = X β + μ nx1 nxk kx1 nx1

4

y = Xβ + μPara estimar los parámetros de β, por el método MCO aplicamos la ecuación matricial siguiente

EL MODELO ECONOMÉTRICO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

1' 'X X X y 2

22

' ''X y nYRy y nY

Ecuación para calcular los estimadores de los parámetros β

Ecuación para calcular el coeficiente de determinación.

5

Ejemplo de Estimación de un modelo de regresión econométrico

Observación Consumo Ingreso Inflación Inversión1993 3 1 8 161994 2 2 15 171995 4 2.5 10 181996 5 3 9 151997 5 4 7 171998 7 5 6 201999 6 7 8 192000 8 8 4 212001 9 9 3 222002 12 15 1 23

Fuente: tomado del Libro Introducción a la Econometría/ Cap. VIII. (en miles de millones)

6

I. Marco teórico: Teoría del consumo Verificar la teoría económica de que el consumo, Y varia en razón directa del Ingreso, y en razón inversa de la Inflación. Lo anterior significa, entre otras cosas, comprobar que el coeficiente del regresor o variable exógena, Ingreso, tiene signo positivo, en tanto que el coeficiente de la otra variable exógena (Inflación), tiene signo negativo.

1 2 3* *i iY Ingreso Inflación

1' 'X X X y

32455768912

Y

1 1 81 2 151 2.5 101 3 91 4 71 5 61 7 81 8 41 9 31 15 1

X

0

1

2

7

0

1 ´1

2

'X X X Y

1'1 1 8 1 1 8 1 1 81 2 15 1 2 15 1 2 151 2.5 10 1 2.5 10 1 2.5 101 3 9 1 3 9 1 3 91 4 7 1 4 7 1 4 71 5 6 1 5 6 1 5 61 7 8 1 7 8 1 7 81 8 4 1 8 4 1 81 9 3 1 9 31 15 1 1 15 1

' 3245

5.8008374875

0.44219341977

-0.30975074776

4 81 9 3 91 15 1 12

CALCULO DE LOS ESTIMADORES POR MCO, USANDO LA ECUACIÓN

MATRICIAL.

8

1 2 3* *i iY Ingreso Inflación

Y = 5.800837487 + 0.4421934197*Ingreso - 0.3097507477*Inflación Y X Vamos a calcular los Y estimados a partir de la ecuación.

Dado que hemos obtenido los estimadores.

1 1 8 3.7650249251 2 15 2.0389631101 2.5 10 3.8088135591 3 9 4.339661016

5.8008374871 4 7 5.401355931

0.44219341971 5 6 6.153300099

-0.30975074771 7 8 6.418185441 8 41 9 31 15 1

Y X

38.0993818538.85132602112.12398803

9

3 3.765024925 -0.7652 2.0389631104 3.8088135595 4.3396610165 5.4013559317 6.1533000996 6.4181854438 8.0993818539 8.85132602112 12.12398803

e Y Y

0249250 -0.0389631109 0.1911864406 0.6603389830-0.4013559319 0.8466999006-0.4181854433-0.0993818538 0.1486739787-0.1239880347

La sumatoria de los errores e o μ como le hemos llamado es cero. Es decir ∑e=0

Los valores e o μ son las perturbaciones o desviaciones. En la medida que las perturbaciones tienen a cero, el modelo puede ser un buen predictor, dado que las variables explicativas o exógenas explicarían muy bien a la variable dependiente.

CALCULO DEL ERROR

10

10

1

1 1 (3 2 4 5 5 7 6 8 9 12) 6.110 10i

i

Y y

´

2

22

2

1 1 8 31 2 15 21 2.5 10 41 3 9 51 4 7 5

5.800 0.442 -0.309 10(6.1)1 5 6 71 7 8 61 8 4 81 9 3 9

' ' 1 15 1 12' 3

2455768912

X y nYRy y nY

´

2

32455

10(6.1)768912

CALCULO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN

11

2 450.8404534 - 372.1 78.7404534 0.973305975453-372.1 80.9

R

La variabilidad del consumo queda explicado en un 97.3% por los regresores Ingreso e Inflación.

2 e eST k

Varianza de las perturbaciones.

´

2

-0.7650249250 -0.7650249250 -0.0389631109 -0.0389631109 0.1911864406 0.19 0.6603389830-0.4013559319 0.8466999006-0.4181854433-0.0993818538 0.1486739787-0.1239880347S

11864406 0.6603389830-0.4013559319 0.8466999006-0.4181854433-0.0993818538 0.1486739787-0.1239880347 0.30850556957

12

1´1 1 8 1 1 81 2 15 1 2 151 2.5 10 1 2.5 101 3 9 1 3 9

0.95341344501 4 7 1 4 7

0.30850556951 5 6 1 5 61 7 8 1 7 81 8 4 1 8 41 9 3 1 9 31 15 1 1 15 1

V

-0.06850689645 -0.07542238354-0.06850689645 0.005778455931 0.005050509921 -0.07542238354 0.005050509921 0.006603803167

2 1( ´ )V S X X CALCULO DE LA MATRIZ DE

COVARIANZA

INTERCEPTO INGRESO INFLACIÓN

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

V( ) Cov( ) Cov( )

Cov( ) V( ) Cov( )

Cov( ) Cov( ) V( )

V

13

La suma de los cuadrados de los residuos (SCR o SRC) se puede obtener de la siguiente manera.

2

1

´T

tt

SCR e e e

´-0.7650249250 -0.7650249250

-0.0389631109 -0.0389631109 0.1911864406 0.1 0.6603389830-0.4013559319 0.8466999006-0.4181854433-0.0993818538 0.1486739787-0.1239880347

SCR

911864406 0.6603389830-0.4013559319

2.159538983 0.8466999006-0.4181854433-0.0993818538 0.1486739787-0.1239880347

14

Suma explicada de cuadrados o de la regresión SEC se define como:

2'SEC X Y nY

'

2

1 1 8 31 2 15 21 2.5 10 41 3 9 5

5.8008374871 4 7 5

0.4421934197 (10)(6.1) 450.8127620-372.1=78.1 5 6 7

-0.30975074771 7 8 61 8 4 81 9 3 91 15 1 12

SEC

71276

15

La Suma total de cuadrados STC se obtiene por la siguiente fórmula matricial

2'STC y y nY '

2

3 32 24 45 55 5

(10)(6.1) 453-372.1=80.97 76 68 89 912 12

STC

Suma de Cuadrados Fórmula Valor

Debido a la regresión SEC = 78.7

Debido a los residuos 2.2

Total 80.9

2'X Y nY

2

1

´T

tt

SCR e e e

2'STC y y nY

ANOVA

16

El Modelo:

Consumo = 5.800837487 + 0.4421934197*Ingreso - 0.3097507477*Inflación+μ

Cumplimiento de supuestos:

1. El modelo obtenido cumple, en lo que se refiere a los signos de los coeficientes de Ingreso e Inflación, con lo especificado por la teoría del consumo.

MODELO FINAL OBTENIDO APLICANDO ECUACIONES DE MCO

17

CALCULO DE LOS ESTIMADORES USANDO GRETL

β1=

β2=

β3=

0 1

1

H : 0H : 0a

0 2

2

H : 0H : 0a

0 3

3

H : 0H : 0a

Significación: El modelo es significativo globalmente en todos sus estimadores (ELIO) y en el coeficiente de regresión que es de 0.965678

18

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LOS ESTIMADORES DE β1 , β2 y β3

β1=

β2=

β3=

19

CONTRASTE DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS

Ho: El error se distribuye normalmenteHa: El error no se distribuye normalmente

Estadístico de contraste: Chi-cuadrado(2) = 0.59373 con valor p = 0.743144.Se acepta la hipótesis nula que los residuos o perturbación del modelo lineal se distribuyen normalmente.

Suma acumulada de los cuadrados de los residuos('*' indica un valor fuera de la banda de 95% de confianza)

1996 0.004 2000 0.976 1997 0.388 2001 0.979 1998 0.452 2002 1.000 1999 0.957 *

20

TEST DE HETEROCEDASTICIDAD

La heterocedasticidad es la existencia de una varianza no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo econométrico. Entre las causas más frecuente se encuentran: que las Variables explicativa s tengan una gran dispersión respecto a su propia media.En el caso de la Inflación y el Ingreso tienen una varianza mínima,

Ho: No hay heterocedasticidadHa: Hay heterocedasticidad

Estadístico de contraste: LM = 5.62126 con valor p = P(Chi-Square(5) > 5.62126) = 0.344833

Se acepta la hipótesis nula que el modelo de regresión lineal cumple con el criterio de homoscedaticidad, es decir varianza aproximadamente iguales..

21

La heterocedasticidad es la existencia de una varianza no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo econométrico.Entre las causas más frecuente se encuentran:

a) Variables explicativas cuyo recorrido tenga una gran dispersión respecto a su propia media.

b) Omisión de variables relevantes en el modelo especificadoc) Cambio de estructurad) Empleo de variables no relativizadas.

Entre los efectos de la heterocedasticidad se encuentran:a.Incorrecta estimación de los parámetros.b.Cálculo incorrecto de las varianzas y parámetros ineficientes.c.Invalidación de los contrastes de significatividad.

Como se contrasta:

22

Como se contrasta:

Entre los contrastes gráficos más habituales se encuentra:La grafica del error a través de las distintas observaciones del modelo.En ambos la mera evolución del tiempo está correlacionado con valores cada vez mayores (izquierda) o cada vez menores(derecha), con lo que el calculo de la varianza por subperiodos arrojaría valores significativamente diferentes, es decir la serie error seria heterocedastica.-- Contraste de White- contraste de Glesjer- Contraste de Breusch-Pagan

23

TEST DE AUTOCORRELACIÓN

H0 =Ausencia de autocorrelaciónHa = Presencia de autocorrelación

Contraste Breusch-Godfrey de autocorrelación hasta el orden 1.

Estadístico de contraste: LMF = 1.03113 con valor p = P(F(1,6) > 1.03113) = 0.349078 Se acepta la hipótesis nula que el modelo de regresión lineal no tiene problemas de autocorrelación

24

TEST DE MULTICOLINEALIDAD

25

PORQUE LA VARIABLE INVERSIÓN NO SE INGRESÓ AL MODELO?

No mejoramos el modelo, al no explicar más del modelo, y según el contraste de hipótesis su estimador resulta ser cero.

26

Quitando la Variable Inversión del Modelo 2

Comparación entre el modelo 2 y el modelo 3: Hipótesis nula: el parámetro de regresión es cero para Inversión Estadístico de contraste: F(1, 6) = 0.193073, con valor p = 0.675754 De los 3 estadísticos de selección de modelos, 3 han mejorado.

27

CONTRASTE DE CHOW

Para ello la muestra total de datos se divide en varios grupos y se estima la Ecuación cuya estabilidad se está evaluando para cada uno de ellos. Ho: Hay un solo modelo para el conjunto de las observaciones: un modelo restringido que indica que hay estabilidad estructural. Ha: Hay un modelo diferente para cada una de las submuestras en que se divide la muestra. En este modelo sin restricciones los parámetros pueden cambiar de una submuestra a otra, es decir, no hay estabilidad estructural. Contraste de Chow de cambio estructural en la observación 1997 - Hipótesis nula: no hay cambio estructural Estadístico de contraste: F(3, 4) = 2.25362 con valor p = P(F(3, 4) > 2.25362) = 0.224321

28

PREDICCIÓN

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Consumopredicción