Breve historia Durante muchos siglos se consideró que las orbitas de

los planetas eran circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol ocupa uno de los focos

ELIPSEEs el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 

Elementos de la Elipse

F y F´ son los puntos fijos llamados focos

2c : se llama distancia focal a la distancia

que hay entre los dos focos

P : cualquier punto de la elipse

PF Y PF´ : son los radio vectores de la elipse

2a : es la suma de los radio vectores y el

eje mayor de la elipse

2b : es el eje menor de la elipse

P

A

P

F

2a

2c

B

2b

RELACION ENTRE LA DISTANCIA FOCAL Y LOS SEMIEJES

LA EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su

semidistancia focal y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno

con 

también vale la relación

EXCENTRICIDAD ANGULAR DE LA ELIPSE

La excentricidad angular   es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad.

 DIRECTRIZ DE LA ELIPSE

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz .La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad   de la elipse.  

ECUACION DE LA ELIPSE EN COORDENADAS CARTESIANAS

EN COORDENADA CARTESIANAS EN EL EJE X1.1 CENTRADA EN EL ORIGEN

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Realizando las operaciones llegamos a

1.2 CENTRADA FUERA DEL ORIGEN

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

1

Ejemplo:Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

2.EN COORDENADA CARTESIANAS EN EL EJE Y

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:F'(0, −c) y F(0, c)

Dada la ecuación reducida de la elipse hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad. 

ejemplo

EN COORDENADA CARTESIANAS PARALELO AL EJE X

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:     

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

 Dada la elipse de ecuación hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

ejemplo

EN COORDENADA CARTESIANAS PARALELO AL EJE YSi el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y+c) y F'(x0, y0−c). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Área de la elipse