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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

CURSO DE NIVELACION

MATEMÁTICA

2016

CARRERAS:

LICENCIATURA EN FÍSICA

PROFESORADO EN FÍSICA

LICENCIATURA EN QUÍMICA

PROFESORADO EN QUÍMICA

TÉCNICO QUÍMICO UNIVERSITARIO

TECNICATURA EN ENERGÍAS RENOVABLES

ANALISTA EN COMPUTACIÓN

DOCENTE RESPONSABLE:

LIC. MELINA BORDCOCH

FaCEN_UNCa/Curso de Nivelación - Matemática 2016

Docente Responsable: Lic. Melina Bordcoch Página 2

TEMA 1: UNIDADES DE MEDICION

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

UNIDADES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.

Tanto la Física como la Química son ciencias naturales o experimentales. De manera

inevitable surge la necesidad de medir. Los experimentos requieren mediciones y los resultados

de esas mediciones suelen describirse con números acompañados de la unidad correcta. Las

mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan

replicar en distintos lugares. El sistema empleado por los científicos e ingenieros de todo el

mundo es el sistema métrico, conocido desde 1960 por su nombre oficial: Sistema Internacional

(SI).

Se entiende por unidad fundamental a aquella unidad que no se compone de otras

unidades en oposición a la unidad derivada, que es aquella que se construye a partir de la

combinación de unidades fundamentales. La siguiente tabla nos muestra las unidades

fundamentales de SI:

Tabla 1: unidades fundamentales del SI

MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Intensidad de la corriente eléctrica Ampere A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Cantidad de materia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Angulo plano Radián rad

Angulo solido estereorradián sr

Para algunas magnitudes existen otras unidades que no pertenecen al SI. En países

anglosajones, por ejemplo, la longitud se mide en yardas o también en millas, la masa en onzas,

la temperatura en grados Fahrenheit (°F), entre otras. Las que cobran mayor importancia en

nuestra cotidianeidad son minutos (min), horas (h), días para medir el tiempo; grados (°),

minutos (´) y segundos (´´) para medir ángulos. Las equivalencias con las unidades del SI son:

Unidades de tiempo:

min601 h

s60min1

Unidades de ángulos:

rad 180

'601

''60'1



Para realizar el pasaje de unidades utilizaremos dos métodos: Regla de tres simple

(RTS) y Factor de Conversión (FC). Los siguientes ejemplos muestran cómo utilizar cada uno

de los métodos.

Ejemplos:

1. ¿Cuántos segundos hay en 27 minutos?

2. ¿Cuántos segundos hay en 1,35 horas? ¿Cuántos minutos?

3. ¿Cuántos segundos hay en 1:15 hora? ¿Cuántos minutos?

4. ¿Cuántas horas contienen 100.000 segundos?

Solución:

1. Primero se resolverá utilizando RTS. El dato está en minutos y la incógnita en

segundos, por lo tanto, la RTS estará encabezada por la equivalencia entre minutos y

segundos:

1 min ----------- 60 s

27 min --------- X s

Y resolvemos la incógnita X

ss

X 1620min1

60min72

Observe que la unidad “min” del numerador se simplifica con la del denominador.

Se resuelve ahora utilizando FC. Se observa que la resolución por RTS para X puede

reescribirse de la siguiente manera:

sss

X 1620min1

60min27

min1

60min27

La fracción min1

60s se denomina “Factor de conversión” y se construye de la siguiente

manera: dado que la unidad a convertir está en el numerador (27 min) el denominador

del FC contiene la unidad a convertir (min) y el numerador la unidad final que se quiere

conseguir (s); los valores (1 y 60) corresponden a la equivalencia entre las unidades.

2. Se resuelve primero utilizando FC. Se quiere convertir 1,35 h a s, por lo tanto:

sh

sh 4860

1

360035,1

Observe cómo la unidad h del numerador se simplifica con la del denominador.

Se aplica ahora RTS. El dato está en horas y la incógnita en segundos, por lo tanto, la

RTS estará encabezada por la equivalencia entre horas y segundos:

1 h ----------- 3600 s

1,35 h ------- X s

Resolviendo la incógnita X



sh

shX 4860

1

360035,1

que es la solución buscada.

3. El dato 1:15 hora puede considerarse por separado, por un lado 1h y por el otro 15 min.

Así, tendremos dos RTS distintas, la primera estará encabezada por la equivalencia

entre horas y segundos y la segunda por la equivalencia entre minutos y segundos:

Primero hacemos,

1 h ----------- 3600 s No es necesario resolver.

Luego,

1 min ----------- 60 s

15 min --------- X s

Resolviendo la incógnita X

ss

X 900min1

60min15

Por último, sumamos los dos resultados obtenidos:

1:15h=3600s + 900s = 4500 s

que es el resultado buscado.

Se propone que Ud. mismo plantee la resolución por FC.

4. El resultado de este apartado es 27,77 h. Plantee Ud. mismo la RTS y el FC para

resolver.

Ejemplos:

1. ¿A cuántos radianes equivalen 90°? ¿y 130°?

2. Un ángulo de 2

3rad, ¿a cuántos grados equivale? ¿Y uno de 1 rad?

Solución:

1. Se resolverá por RTS.

180° ---------- rad radrad

X2180

90

90° ---------- X rad No utilice la calculadora. Simplifique num. y den.

180° ---------- rad radradrad

X

72,018

13

180

130

130° ---------- X Simplifique num. y den. Luego, utilice la calculadora.

2. Se resolverá por FC:



270180

2

3

radrad

No utilice la calculadora. Simplifique num. y den.

3,57180

1rad

rad

Hasta ahora se han analizado sólo unidades simples, se mostrarán a continuación

ejemplos de unidades compuestas. Una magnitud importante que surge en la vida cotidiana es la

velocidad; la unidad de velocidad es unidad de longitud dividida en unidad de tiempo:

][

][][

tiempo

longitudvelocidad

Así, es claro que la velocidad es una magnitud derivada y la longitud y el tiempo son

magnitudes fundamentales. Por observación de la Tabla 1 la unidad de velocidad en el SI es:

s

mv ][ .

Sin embargo, la unidad de velocidad de uso cotidiano es Km/h; otras unidades de

velocidad son cm/s, m/s, Km/s, etc. Cualquier unidad de longitud dividida en cualquier unidad

de tiempo será unidad de velocidad.

La gran utilidad del FC se aprecia cuando se quiere pasar de una unidad de velocidad a

otra. Analice los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

1. ¿A cuántos m/s equivalen 40 km/h?

2. ¿Cuántos km/h son 300.000.000 m/s?

Solución:

Se resolverán ambos ejemplos por FC. Plantee Ud. mismo la RTS adecuada para

resolver.

1. Dado que la unidad de velocidad es compuesta, se debe construir un FC por cada

unidad a convertir, es decir, un FC que pase km a m y otro que pase h a s.

Como la unidad km está en el numerador, su FC debe tener los km en el

denominador y los m en el numerador.

Por el contrario, como la unidad h está en el denominador, su FC debe tener las h en

el numerador y los s en el denominador. Se establece en cada caso la equivalencia

correspondiente. Así:

s

m

s

h

km

m

h

km11,11

3600

1

1

100040

2. El resultado es 1.080.000.000 km/h. Plantee Ud. mismo el FC correspondiente para

resolver.



Ejercicio:

1. Una partícula se desplaza con una velocidad constante igual a s

mv 5 . exprese esta

velocidad en km/s, m/h y km/h.

NOTACION CIENTIFICA. PREFIJOS DE UNIDADES.

Resulta conveniente y cómodo el uso de la notación científica cuando los resultados de

las mediciones son números muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa la notación científica,

el resultado se escribe como un número comprendido entre cero y nueve multiplicado por la

potencia de diez correspondiente. Siga con atención los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

Expresar en notación científica:

1. La velocidad de la luz es 300.000.000 m/s.

2. Los glóbulos rojos humanos tienen un diámetro aproximado de 0,000008 m.

Solución:

1. Para expresar el resultado en notación científica, elegimos el número entre 0 y 9

correspondiente, en este caso: 3

Para pasar de 300.000.000 a 3 hemos movido la coma 8 lugares hacia la izquierda. Esto

significa que para pasar de 3 a 300.000.000 tenemos que multiplicar por 100.000.000 ó

de manera equivalente por 108.

Por lo tanto,

300.000.000 m/s = 3 108 m/s

Es la expresión correcta en notación científica de la velocidad de la luz en m/s.

2. En este segundo ejemplo el número adecuado es 8. Ahora bien, para pasar de 8 a

0,000008 tenemos que dividir 8 por 1.000.000. Escribiendo esta división como fracción

000.000.1

8 es más sencillo advertir que:

mmm 6

6108

10

8

000.000.1

8

Esta es la expresión en notación científica buscada.

Ejercicios:

1. Exprese en notación científica:

a. 150.000 cm/s b. 350.120.000.000 m c. 1.080.000.000 km/h

2. Exprese en notación científica:

a. 0,0000025 mm b. 0,00000000915 m/s c. 0.000344 m



3. Regrese a la notación nominal los siguientes valores expresados en notación científica:

a. 2,5 109 b. 0,35 105 c. 7,9 10-5 d. 1,25 10-6

Ya definidas las unidades fundamentales y la notación científica es fácil introducir

unidades más grandes y más pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico

estas nuevas unidades se relacionan con las unidades fundamentales por medio de múltiplos de

10 ó 1/10. Así, 1km son 1000 m y 1 cm son 1/100 m. Es común expresar estos múltiplos en

notación exponencial:

mmmkm 33 1010110001

mmmcm 22 10101100

11

Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de

la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo “kilo” siempre indicará una cantidad 1000 veces

mayor, así:

mkm 3101

gkg 3101

WkW 3101

y el prefijo “centi” indica una cantidad 100 veces menor, así:

mcm 2101

gcg 2101

lcl 2101

Observe que el prefijo “kilo” está representado por la letra o símbolo “k” en el lado

izquierdo de la igualdad y es sustituido por 310 en el lado derecho de la misma. De la misma

manera, el prefijo “centi” se representa con el símbolo “c” y es sustituido por 210. Veamos

otros ejemplos:

mkm 310 33

gkg 310 2,52,5

mcm 210 55

gcg 210 1010

Los prefijos kilo y centi no son los únicos que representan múltiplos y submúltiplos de

una unidad. La siguiente tabla detalla los prefijos estándar del SI, el factor que representa y el

símbolo que utiliza:



Tabla 2: prefijos estándar en el SI

FACTOR PREFIJO SIMBOLO 1810 exa E

1510 peta P

1210 tera T

910 giga G

610 mega M

310 kilo k

210 hecto h

10 deca da

110 deci d

210 centi c

310 mili m

610 micro

910 nano n

1210 pico p

1510 femto f

1810 atto a

Ejemplo:

Pase el resultado de las siguientes mediciones a notación científica y exprese con el

prefijo adecuado:

a. 115.000.000 m b. 0,00000002235 m

Solución:

a. El número adecuado es 1,15 y el factor es 108, pero 108 no se encuentra entre los

factores de la Tabla 2. Por lo tanto, el número adecuado será:

115.000.000 m = 0,115 109 m = 0,115 Gm

b. El número adecuado es 2,235 y el factor 10-8, pero 10-8 no se encuentra entre los

factores de la Tabla 2. Por lo tanto, el número adecuado será:

0,00000002235 m = 22,35 10-9 m = 22,35 nm

Ejercicios:

1. Pase el resultado de la medición a notación científica y exprese con el prefijo adecuado:

a. 125.000.000.000 bytes b. 0,0000355 g

2. Exprese en metros:

a. 3,5 nm b. 5,25 Gm



CONVERSION DE LONGITUD, AREA Y VOLUMEN EN EL SISTEMA METRICO.

Retomando el tema de las unidades derivadas o compuestas, ejemplos de ellas, muy

utilizadas en la vida cotidiana, son las unidades de área y de volumen, como se detalla a

continuación:

2)(longitudlongitudlongitudarea

3)(longitudlongitudlongitudlongitudvolumen

De esta manera se evidencia que en el SI las unidades de área y longitud son:

2][ mA

3][ mV

Sin embargo, en ocasiones suelen utilizarse otras unidades de área y volumen como

hectárea (ha) y litro (l) que guardan una equivalencia con el SI:

2000.101 mha

lm 10001 3

Como ya se vio en la Tabla 2, los múltiplos y submúltiplos más cercanos a la unidad

metro son:

Por ejemplo, si se requiere conocer cuántos mm hay en 12,5 dam hacemos

mmmm 125000101010105,12

mmmm 125000100005,12

multiplicamos cuatro veces por 10, ya que hay 4 lugares hacia la derecha entre el múltiplo dam

y el submúltiplo mm. Pero dado que 1000010101010 , multiplicar 4 veces por 10 es

igual a multiplicar una sola vez por 10.000; de manera equivalente movemos la coma 4 lugares

hacia la derecha. ¿Qué significado tiene el factor 10.000? Básicamente dice que en 1 dam se

tienen 10.000 mm.

Si, en cambio, se requiere conocer cuántos km hay en 50.000 cm hacemos

kmkm 5,010:10:10:10:10:50000

kmkm 5,0100000:50000

Es decir, dividimos 5 veces en 10 ya que existen 5 lugares hacia la izquierda entre el

submúltiplo cm y el múltiplo km. Pero dado que



100000100000

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1 ,

dividir 5 veces en 10 es igual a dividir una sola vez por 100.000 lo cual implica que para

resolver se debe mover la coma 5 lugares hacia la izquierda. Aquí, el factor 100.000 significa

que en 1km se tienen 100.000 cm.

De manera similar se trabaja con los múltiplos y submúltiplos de las áreas y volúmenes.

En el caso de las áreas se tiene

donde se aprecia claramente que en lugar de multiplicar (dividir) por 10 cada vez que se pasa de

un múltiplo a otro menor (mayor) se multiplica (divide) por 100. En el caso de los múltiplos y

submúltiplos de volumen se tiene

donde se ve que el factor de conversión entre un múltiplo y otro es de 1000.

Ejemplos:

1. Determine cuántos m2 tiene 23,45 km2.

2. Calcule cuantos m3 se tienen en 150.000 mm3.

Solución:

1. El valor se da en km2 y debemos calcular en m2. Como existen 3 lugares entre km2 y m2

debemos multiplicar 3 veces 23,45 por 100, o directamente una sola vez por 1.000.000.

Así:

22 23450000000.000.145,23 mm

que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000 implica que existen

1.000.000 de m2 en 1 km2.

2. El valor se da en mm3 y debemos calcular en m3. Como existen 3 lugares entre mm3 y

m3 debemos dividir 3 veces 150.000 en 1000 o una sola vez en 1.000.000.000. Así:

33 00015,0000.000.000.1:000.150 mm



que es la solución buscada. Observe que el factor 1.000.000.000 implica que existen

1.000.000.000 de mm3 en 1 m3.

Ejercicio: Resuelva los ejemplos anteriores planteando el factor de conversión.

EJERCITACIÓN

1. Use Regla de Tres Simple para resolver:

a. Si 1 mol de urea tiene una masa de 60 g ¿Cuál es la masa de 0,35 moles?

b. Si 1 mol contiene 6,022 x 1023 moléculas ¿Cuántas moléculas contienen 0,35

moles?

c. ¿Cuál es la masa de una molécula de urea? (vea el ejercicio a.)

d. Si un mol de superfosfato tiene una masa de 194 g ¿Cuántos moles hay en 75,8

g?

e. ¿Cuál es la masa de 0,71 moles de superfosfato? (vea el ejercicio d.)

f. Si 1 mol de cualquier gas en CNTP ocupa un volumen de 22,4 l ¿Cuántos moles

hay en 120 l?

g. ¿Qué volumen ocupan 3,65 moles de cierto gas en CNTP? (Vea el ejercicio f.)

h. Un cierto gas tiene una masa molar de 8 g ¿Cuál es la masa de 1000 l?

2. Resuelva los siguientes pasajes de unidades. Del inciso a. al e. utilice obligatoriamente

el factor de conversión:

a. 3000 seg a min f. 3000 m2 a hm2

b. 3,45 horas a min g. 6,35 107 mm2 a m2

c. 5,17 horas a seg h. 5000 cm3 a m3

d. 760 seg a horas i. 750 mm3 a dm3

e. 655 min a horas j. 3,550 m3 a cm3

3. Resuelva utilizando el factor de conversión adecuado.

a. 50 m/s a km/h

b. 340 m/s a km/h (velocidad del sonido)

c. 3 x 108 m/s a km/h (velocidad de la luz)

d. 1,55 km/h a m/s

e. 35 km/s a km/h y a m/s

4. Exprese en notación científica y utilice el prefijo adecuado de la Tabla 2 para reescribir

su resultado:

a. 298.000 m

b. 7.600 m

c. 0,000067 m

d. 0,0654 g

e. 43.000.000 g

f. 0,00000065 m

g. 0,00000005 s

h. 0,00000255 s

i. 355.000.000 g



5. Exprese los siguientes resultados en la unidad fundamental correspondiente (esto es, sin

los prefijos que indican múltiplos o submúltiplos). Luego, pase a notación científica y

reescriba el resultado empleando el prefijo correcto (Tabla 2):

a. 13.500.000 km

b. 0,000456 ms

c. 20.000 ton

d. 0,00000799 mm

e. 0,00012 m



TEMA 2: ECUACIONES Y EXPRESIONES

FRACCIONARIAS

Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son

iguales. Por ejemplo,

835

es una ecuación. Pero no es una ecuación muy interesante, simplemente expresa un hecho

aritmético. La mayor parte de las ecuaciones que estudiamos en álgebra contienen variables. En

esta sección se analizarán dos tipos de ecuaciones, lineales y cuadráticas y los distintos métodos

de resolución.

ECUACIONES LINEALES

El tipo más simple de ecuación es la ecuación lineal, o de primer grado, es equivalente

a una ecuación de la forma

0 bax

donde a y b representan números reales con 0a y x es la incógnita que hay que

determinar. Por ejemplo:

1974 x

las letra x representa la variable. La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:

)7(19)7(74 x Sumar a ambos lados del igual 7

124 x

4

1.12

4

1.4 x Multiplicar a ambos lados por

4

1

3x

La solución es 3x . Para verificar esto se sustituye 3x en la ecuación original y

comprobamos que este valor hace verdadera la ecuación:

3x

197)3(4

1919 Sí se satisface

Otro ejemplo de ecuación lineal:

8347 xx

Dado que la variable aparece a ambos lados, en este caso debe llevarse los términos que

contienen la incógnita a un lado del signo igual y aquellos términos independientes al otro,

483447 xx Sumar 4

1237 xx

xxxx 312337 Restar x3

124 x



4

1.12

4

1.4 x Multiplicar por

4

1

3x

Para verificar la respuesta se sustituye 3x en la ecuación original (verifique usted

mismo/a, se obtiene 17 a ambos lados del igual).

En el siguiente ejemplo se resolverá una ecuación que no parece lineal, pero que se

simplifica a una lineal que es equivalente:

32

12

1

x

x

x

x

)32)(1(

32

12)32)(1(

1

xx

x

xxx

x

x Multiplicar por el producto de

los denominadores

)1)(12()32( xxxx Simplificar la expresión

13232 22 xxxx Aplicar propiedad distributiva

2222 2132232 xxxxxx Restar

22x

133 xx

xxxx 31333 Restar x3

16 x Multiplicar por 6

1

6

1x

Ejercicio: Verifique la respuesta del ejemplo anterior.

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones lineales. Luego, verifique su respuesta.

0123 x xx 3522 12

56

1

3

x

x

x

x

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, es decir, incluye un término con la

variable elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática es equivalente a una de la forma:

02 cbxax



donde cba y , son números reales con 0a .

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, es decir, la ecuación se satisface

para dos valores de la variable. Al resolver se aplican algunos de los casos de factoreo, como

por ejemplo, binomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, factor común y el método de

Baskara. El siguiente ejercicio servirá a modo de recordatorio de cada uno de ellos.

Ejercicio 3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Luego, verifique su respuesta.

2452 xx 052 x 042 xx 5)4( 2 x

EXPRESIONES FRACCIONARIAS.

El cociente de dos expresiones algebraicas se conoce como expresión fraccionaria. Un

tipo común de expresión fraccionaria ocurre cuando tanto el numerador como el denominador

son polinomios. Esto se conoce como expresión racional. Por ejemplo,

3

524 3

x

xx

es una expresión racional cuyo denominador es cero cuando:

3

03

x

x

Como la división por cero no está definida, al tratar con esta expresión, implícitamente

suponemos que 3x .

En la simplificación de las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como

el denominador y se utiliza la siguiente propiedad de las fracciones:

B

A

BC

AC

donde es posible simplificar los factores comunes del numerador y del denominador. Por

ejemplo: dada la expresión fraccionaria

2

12

2

xx

x

Se factoriza tanto el numerador como el denominador:

)1)(1(12 xxx Factorizar el numerador

)2)(1(22 xxxx Factorizar el denominador

Sustituyendo en la expresión fraccionaria dada:

)2)(1(

)1)(1(

2

12

2

xx

xx

xx

x Sustituir en la expresión original

Se observa que es posible simplificar (x – 1) del numerador y denominador:



)2(

)1(

2

12

2

x

x

xx

x Simplificar factores comunes

Reduciendo así la expresión fraccionaria original.

Ejercicio: Reduzca las expresiones fraccionarias mediante simplificación.

xx

x

410

4252

2

4

442

2

x

xx

Si una fracción tiene un denominador de la forma xba es posible racionalizar el

denominador multiplicando el numerador y el denominador por el radical conjugado

xba . Esto es útil gracias a la definición de diferencias de cuadrados, en este caso se tiene

que

xba xba xba 22

donde se ha eliminado la raíz cuadrada en la expresión del lado derecho. Un ejemplo concreto

es el siguiente:

x

x

x

x

xx

1

1

1

1.

1

1

1

1

donde se ha eliminado la raíz cuadrada del denominador. El proceso de racionalización también

puede llevarse a cabo en el numerador, como se verá en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 7. Racionalice las siguientes expresiones:

x21

1

3

21 x

No se debe aplicar propiedades de la multiplicación a la suma. Muchos errores en

álgebra provienen de hacer esto. La tabla siguiente muestra la propiedad correspondiente a la

multiplicación y el ERROR que se comete al aplicar esa misma propiedad a la suma. Lea

atentamente y sea cauteloso en el momento de resolver futuros ejercicios.



Ejercicio: Dé valores a las constantes a y b en la tabla anterior y verifique la igualdad y la

no igualdad en cada una de las propiedades.

EJERCITACIÓN

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a. 125 x i. yy2

3

3

43

3

2 o. yy

3

53

2

3

b. 337 x j. yy3

1

3

41 p.

5

4

3

2

3

3

12

31

x

x

x

x

c. 554 x k. yy7

3345

d. 125 x l. 2

1

3

1

xx

e. 2

32

3

2t m.

23

x

x

x

x

f. 2

1

4

2

5

3 t n.

2

5

1

3

x

x

x

x

g. 25

45 t ñ.

4

25

32

16

x

x

x

x



2. Despeje según se indica:

a. vtxx 0 Despeje x0, v, t.

b. 0

0

tt

xxv

Despeje x0, x, t.

c. 2

002

1attvxx Despeje x0, v0, a.

d. atvv 0 Despeje v0, a, t.

e. 0

0

tt

vva

Despeje v0, v, t

f. xavv 22

0

2 Despeje v0, a, x

3. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a. 03 2 xx g. 962 yy m. tt 512

b. 044

1 2 t h. xx3

7

5

3 2 n. )1(32 xx

c. 012 2 y i. 08

9

5

11 2 t k. 242 xx

d. 025 2 x j. 036

25

4

9 2 y yy 442

e. 062 tt l. 04

1

6

7 2 t

4. En los primeros cinco ejercicios aplique factorización en el numerador y denominador

para simplificar la expresión racional. En los ejercicios restantes, racionalice el

numerador o el denominador, según corresponda.



TEMA 3: TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS

Un ángulo consta de tres partes: un rayo inicial, un rayo terminal y

un vértice (el punto de intersección de los rayos), como muestra la

figura. Un rayo está en posición normal si su rayo inicial coincide

con el semieje positivo de x y su vértice está en el origen.

Utilizamos letras griegas minúsculas para nombrar ángulos o

representar sus medidas. Los ángulos comprendidos entre 0 y

90 se denominan agudos y los ángulos comprendidos entre 90 y

180 se llaman obtusos. Los ángulos positivos se miden en el

sentido antihorario y los negativos en el sentido horario.

Ejercicio: Grafique un ángulo de 0 , 90 , 180 , 45 y 135 . Asigne “agudo”, “obtuso”,

“recto” y “llano” según corresponda.

Ejercicio 2: Grafique un ángulo de 45 negativo. ¿Cuál es su medida tomada en el sentido

positivo? Haga lo mismo con un ángulo de 90 negativo.

Además de grados, los ángulos pueden medirse en otra unidad denominada radianes.

Definición de radián: la longitud del arco del sector sostenido por el ángulo.

Dado que el perímetro de un círculo es r2 , el de un círculo unidad (es decir, de radio 1) es

2 . Esto implica que la medida en radianes de un ángulo que mide 360 es 2 . En otras

palabras radianes 2360 , o bien, dividiendo ambos miembros de la igualdad en 2 se tiene

rad 180 Es conveniente conocer las conversiones de los ángulos más usuales, para ello,

resuelva el siguiente ejercicio.

Ejercicio: Complete la siguiente tabla. En la primera columna aparecen los ángulos medidos en

grados. Complete la segunda columna con los respectivos valores medidos en radianes

utilizando sólo fracciones de , no utilice decimales. Por último, represente en la tercera

columna el ángulo de cada fila como la porción de la circunferencia trigonométrica

correspondiente, sombreando dicha región.



JAMÁS olvide estos valores y estas gráficas. NUNCA!!!

GRADOS RADIANES (EN

FRACCIONES DE )

PORCIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°



240°

270°

300°

315°

330°

360°

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo

recto se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Ejercicio: Dibuje un triángulo rectángulo, señale apropiadamente el ángulo recto y denomine

“h” a la hipotenusa y c1 y c2 a cada cateto.

En todo triángulo rectángulo “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos”. Es decir,

222 )2()1( cch

A esta relación se la llama Teorema de Pitágoras.

Ejercicio: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la

hipotenusa? Represente gráficamente.

Ejercicio: Dado el triángulo de la figura, calcule la longitud del lado restante según los lados

que se dan como dato.

a) 5,41c y 9h

b) 62 c y 12h



Ejercicio: Diga si los siguientes triángulos son rectángulos.

a) 61c , 82 c y 10h

b) 91c , 52 c y 11h

Ejercicio: Proponga un ejemplo de triángulo rectángulo

distinto a los enunciados hasta aquí.

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está

constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo significa

determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre

ellos.

Dado cualquier triángulo rectángulo se puede considerar las siguientes razones entre los

lados del mismo:

h

c1,

h

c2 y

2

1

c

c

Estas razones no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las

llama razones trigonométricas. Sea uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, las razones

trigonométricas se definen de la siguiente manera:

hipotenusa

opuesto catetosen

JAMÁS OLVIDE ESTAS

EXPRESIONES!!!

hipotenusa

adyacente catetoc os

adyacente cateto

opuesto catetot g

A continuación se muestra un triángulo rectángulo con todos sus lados asignados y un

ángulo señalado.



Las razones trigonométricas para el triángulo de la figura anterior son:

h

c1

h

c.o.sen

h

c2

h

c.a.c os

c2.

c1

c.a.

c.o.t g

Ejercicio: Suponga el triángulo rectángulo 61c , 82 c y 10h ,

calcule las tres razones trigonométricas para los ángulos y .

Repita el ejercicio para el triángulo rectángulo 31c , 42 c y

5h .

Las razones trigonométricas facilitan la resolución de un triángulo rectángulo. En los

ejercicios anteriores, por ejemplo, es posible calcular el valor de los ángulos en cuestión, ya que

conocemos todos sus lados. En el caso en que 61c , 82 c y 10h ,

6,010

61

h

csen entonces 87,36)6,0arcsin(

y podría obtenerse el mismo valor de usando cualquier razón trigonométrica. De la misma

manera,

8,010

82

h

csen entonces 13,53)8,0arcsin( .

Usando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas es posible resolver los

triángulos en base a muy pocos datos. Por ejemplo, para resolver el triángulo 31c , 62 c

calculamos,

71,64563 22 h

5,06

3

2

1

c

ctg 56,26)5,0(arctg

23

6

1

2

c

ctg 44,63)2(arctg



También podemos considerar el siguiente ejemplo 41c 50 hacemos,

2

1

c

ctg

entonces

35,3)50(

412

tgtg

cc

22,5435,3 22 h

18090

entonces 90

y por lo tanto 40509090 .

Ejercicio: Resuelva los siguientes triángulos: 51c y 30 ; 5,32 c y 45 .

Retornemos ahora a la circunferencia de radio uno, denominada circunferencia

trigonométrica. Se marca un ángulo arbitrario en ella, por ejemplo de la siguiente figura,

El rayo terminal interseca la circunferencia en el punto A. Proyectando ese punto sobre

el eje x se marca el punto B. De esta manera, se ha determinado un triángulo rectángulo.

Conociendo que el radio de esta circunferencia es 1, las razones trigonométricas del ángulo

son:

bb

h

b

1sin a

a

h

a

1cos

cos

sin

a

btg



De esta manera se ha obtenido un resultado sumamente útil en trigonometría y es la posibilidad

de escribir la tangente de un ángulo en términos del seno y el coseno de ese mismo ángulo, es

decir:

cos

sintg RECORDAR SIEMPRE!!!

Esta identidad es válida para cualquier valor de la hipotenusa, no necesariamente 1, como se usó

aquí. Debe recordar esta identidad, será de mucha utilidad en los cursos oficiales de la carrera

que eligió seguir.

Ahora bien, dado que tenemos una expresión para los catetos del triángulo rectángulo inscripto

en la circunferencia trigonométrica anterior, se escribe a continuación el Teorema de Pitágoras

para dicho triángulo:

222 hba

222 1)(sin)(cos

1sincos 22 RECORDAR SIEMPRE!!!

RECUERDE siempre esta expresión, es una IDENTIDAD esencial y se utilizará en cualquier

curso de Matemática, del Cálculo al Álgebra, incluso cuando estudie los números complejos.

Ejercicio: Demuestre que la identidad

cos

sintg sigue siendo válida para cualquier valor

arbitrario del radio de la circunferencia (hipotenusa).

Observe que los catetos del triángulo inscripto en la circunferencia trigonométrica son

iguales a las razones trigonométricas. Dicho al revés, las razones trigonométricas de dicho

rectángulo están representadas por los catetos del mismo. Es posible inferir que para cada

triángulo rectángulo inscripto en una circunferencia trigonométrica existe una manera

geométrica de representar las razones trigonométricas, que se muestran en la siguiente figura:

Figura 2: Representación de seno y coseno en la circunferencia trigonométrica



Ejercicio: Trace un ángulo obtuso en una circunferencia trigonométrica (radio 1, es decir,

hipotenusa 1). Represente el seno y el coseno del ángulo (remarque esos segmentos).

Determine el signo de cada uno. Repita el ejercicio para un ángulo cuyo rayo terminal caiga en

el tercer cuadrante y para uno cuyo rayo terminal caiga en el cuarto cuadrante.

Ejercicio: Con los resultados del Ejercicio 12, complete la siguiente tabla.

R. T. /

Cuadrante

I II III IV

sen

cos tg

Ejercicio: Complete la siguiente tabla. En los casos en que el resultado de la razón

trigonométrica sea un número irracional, deberá escribirlo en forma completa y en forma

decimal conservando tres cifras decimales. Utilice el teorema de Pitágoras cuando así lo precise.

JAMÁS OLVIDE ESTOS VALORES, TENGALOS SIEMPRE A MANO.

NO PUEDE OLVIDAR NI EL VALOR, NI EL SIGNO!!!

ANGULO

(RADIANES)

SENO SEGMENTO DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

COSENO SEGMENTO DE LA

CIRCUNFERENCIA

TRIGONOMÉTRICA

TANGENTE

0

6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4



2

3

3

5

4

7

6

11

2

TRIÁNGULOS OBLICUOS: TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

Cuando el triángulo en cuestión no cuenta con un ángulo recto, dicho triángulo se denomina

triángulo oblicuo. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Figura 3: Ejemplos de triángulos oblicuos

Para resolver un triángulo oblicuo no debe recurrirse al teorema de Pitágoras, en su lugar

utilizamos el Teorema del Coseno y/o el Teorema del Seno.

Teorema del Coseno:

Se utiliza para resolver un triángulo oblicuo cuando se conocen dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos. Se expresa de la siguiente manera:

cos2222 bccba

Ejemplo:

Resuelva el siguiente triángulo oblicuo:

b = 4, c = 5, = 110°



Solución:

En primer lugar verificamos que los datos sean los adecuados. El ejercicio da el valor de b y c,

por lo tanto, el ángulo necesario para poder utilizar el Teorema del coseno es el comprendido

entre b y c, es decir, .

Una vez hecha la verificación, se procede a resolver. Se determina el valor de a:

23,532,27

32,27110cos.5.4.254cos2 22222

a

bccba

Ya se tiene el valor de los tres lados. Resta determinar los valores de dos ángulos; se resolverá

primero b aplicando el Teorema del Coseno de la siguiente manera:

46)69,0arccos(

69,05.23,5.2

4532,27

2)cos(

)cos(2

)cos(2

22222

222

222

ac

bca

bcaac

accab

Para determinar el ángulo g, hacemos:

= 180° – – =180° – 110° – 46° = 24°

En conclusión: a = 5,23 , b = 4, c = 5, = 110°, = 46°, = 24°.

Ejercicios:

1. Resuelva el triángulo oblicuo: b = 10, c = 7, = 50°. Represente gráficamente a escala.

2. Resuelva el triángulo oblicuo: a = 3, c = 6, = 100°. Represente gráficamente a escala.

Teorema del seno:

Permite resolver un triángulo oblicuo a partir de tres datos cualesquiera del triángulo.

(Aclaración: algunos casos pueden no tener solución). Dado el triángulo oblicuo de la Figura 4,

el Teorema del Seno se escribe de la siguiente manera:

Figura 4: Teorema del Seno

El Teorema del seno resulta ser una triple igualdad; los tres datos del problema deben pertenecer

a sólo dos de las tres fracciones para poder resolver exitosamente. Por ejemplo, si los datos son

sinsinsin

cba



(a, b, ) se utiliza la primera igualdad para obtener ( se obtiene por medio de = 180° – –

; finalmente se resuelve para c) resolviendo exitosamente. Por el contrario, si los datos son (a,

b, c) es imposible ubicar los datos en sólo dos fracciones, cada uno pertenece a una fracción

distinta y dicho triángulo deberá resolverse aplicando el Teorema del Coseno.

Ejercicios:

Resuelva los siguientes triángulos oblicuos (respete la denominación de la Figura 4):

1. a = 3, = 35°, = 85°

2. b = 50, = 100°, = 30°

EJERCITACIÓN



TEMA 4: CONCEPTOS BÁSICOS DE VECTORES

VECTORES: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES.

Un vector es un segmento de recta dirigido. Es decir, dada una recta L, se toma un segmento

que pertenezca a la misma con una orientación determinada, obteniendo así el vector v. En

palabras coloquiales, un vector es una flecha.

Figura 1: El vector, elementos y propiedades.

Los elementos de un vector son: punto inicial Q y el punto final P.

Las propiedades de un vector son: magnitud, dirección y sentido. La magnitud es el tamaño del

vector. La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector que viene dada

por el ángulo que forma L con una recta horizontal x que pasa por el punto inicial del vector.

Dada la dirección del vector, se tienen dos sentidos posibles. El sentido u orientación viene

dado por el sentido de la flecha.

Ejercicio: Con una regla y un transportador, determine la magnitud y dirección del vector de la Figura 1.

COMPONENTES DE UN VECTOR

Se inserta ahora un par de ejes coordenados x e y cuyo origen coincida con el origen del vector,

de la siguiente manera:

Figura 2: El vector en un par de ejes coordenados



Desde el extremo del vector se traza una línea vertical (paralela al eje y) a trazos hasta

intersectar el eje x; el segmento determinado entre esta intersección y el origen del sistema se

denomina componente x del vector, vx. De manera similar, desde el extremo del vector se traza

una línea horizontal (paralela al eje x) a trazos hasta intersectar el eje y; el segmento

determinado entre esta intersección y el origen del sistema se denomina componente y del

vector, vy. La Figura 3 representa el vector y sus componentes:

Figura 3: El vector y sus componentes

Ejercicio:

a. Determine con regla y transportador el módulo y la dirección del vector v.

b. Use la regla para medir la longitud de las componentes vx y vy del vector v.

c. Compruebe que: 22

|| yx vv v

La igualdad 22

|| yx vv v será verdadera para cualquier vector gracias al Teorema de

Pitágoras. Observe que trasladando el segmento que representa la componente vy hacia la línea a

trazos vertical, se forma un triángulo rectángulo donde vx y vy son los catetos y v es la

hipotenusa (vea Figura 4). Así, dadas las componentes del vector pueden calcularse su módulo y

dirección de la siguiente manera:

Módulo de v: 22

|| yx vv v

Dirección de v: x

y

v

vtan

Figura 4: El vector y sus componentes.



Es importante notar que la expresión para la dirección del vector es cierta siempre que el ángulo

esté comprendido entre el vector y el semieje positivo de x.

Ejercicios:

1. Considere un vector cuyas componentes son vx = 6 y vy = 8. Calcule el módulo de v y su

dirección . Luego, grafique.

2. Las componentes de un vector son vx = 12 y vy = 20. ¿Cuál es el módulo del vector?

¿Qué dirección lleva?

3. Un niño camina 200m al Este y 450m al Norte, ¿Qué distancia en línea recta deben

caminar sus padres para encontrarlo? ¿En qué dirección?

Por otro lado, si se conoce el módulo y la dirección de un vector, es posible obtener sus

componentes utilizando las razones trigonométricas seno y coseno del ángulo . Observando la

Figura 4 es claro que,

sin|v| entonces |v|

sin y

yv

v

cos|v| entonces |v|

cos xx v

v

Ejercicios:

1. Sea un vector con 16|| v y 30 . Obtenga sus componentes y represente

gráficamente.

2. El módulo de un vector mide 25 y tiene una inclinación de 45° con respecto al nivel

horizontal, ¿qué valor se obtendrá al medir las componentes? Represente gráficamente.

COMPONENTES DE UN VECTOR: APLICACIONES

Este segundo enfoque es muy útil al momento de analizar los sistemas físicos compuestos por

objetos que se mueven a lo largo de planos horizontales e inclinados. Analice la situación que se

presenta en la Figura 5.a; un bloque se desplaza a lo largo de un plano horizontal por acción de

una fuerza F. La fuerza F no está dirigida a lo largo del plano, más bien forma un ángulo con

él.

Figura 5: Bloque deslizándose en un plano horizontal

Desde el punto de vista vectorial, el vector F tiene dos componentes, Fx y Fy representadas en la

Figura 5.b. Procediendo de la misma manera que con la Figura 4, las componentes Fx , Fy y el



vector F forman un triángulo rectángulo; Fy es el cateto opuesto a la dirección y Fx es su cateto

adyacente, con lo cual Fx = |F| cos y Fy = |F| sin

Ejercicios:

1. Un bloque es tirado por una fuerza de |F|=1000N y =30° con respecto al plano

horizontal. Determine las componentes Fx y Fy.

2. Un trabajador traslada una pesada caja tirando de ella por medio de una cuerda a lo

largo de un plano horizontal. Si la tensión en la cuerda es de 750 N y la dirección con

respecto al plano es 25°, determine las componentes x e y de la tensión.

3. Un niño tira de su camión de juguete por medio de un cordón atado al mismo. Si la

tensión ejercida por el niño es de 50N y =135° con respecto al semieje positivo de x,

determine las componentes de la tensión. Si no actúan otras fuerzas sobre el camión de

juguete, indique el sentido del movimiento.

Observe a continuación la situación presentada en la Figura 6. En esta figura se representa un

bloque que cae por un plano inclinado un ángulo por acción de su propio peso, descartando

toda otra posible acción sobre el cuerpo. Como se puede apreciar, la fuerza peso está

representada por un vector que apunta siempre vertical hacia abajo, sin importar la inclinación

del plano (Figura 6.a y 6.b). La fuerza P también tiene dos componentes, una en dirección de la

superficie del plano, Px, y la otra perpendicular a la superficie del plano, Py (Figura 6.c).

Figura 6: Bloque descendiendo por un plano inclinado por acción de su propio peso.

Para descomponer la fuerza peso, se trazan en primer lugar los ejes x e y con origen en el

cuerpo. El eje x es paralelo a la superficie del plano, es decir, está inclinado un ángulo . El eje

y es perpendicular al eje x. La fuerza peso queda comprendida entre el semieje negativo de y y

el eje x y el ángulo será, por construcción, el comprendido entre el peso y el eje y.

Nuevamente, trasladando la componente Px al lugar de la línea punteada, las componentes Px ,

Py y P forman un triángulo rectángulo donde la componente Px es el cateto opuesto a , Py es su

cateto adyacente y P es la hipotenusa. De esta manera, Px=|P|sin y Py=|P|cos

Ejercicio:

1. Represente gráficamente un bloque descendiendo por un plano inclinado a 30°.

Represente el vector Peso P y sus componentes. Si |P| = 100N, obtenga sus

componentes.

2. Calcule las componentes de la fuerza peso (|P| = 50N) de un bloque descendiendo por

un plano inclinado a 20°. Represente esquemáticamente.



Es claro que en ambas situaciones, planos horizontales e inclinados, actúan otras fuerzas, entre

ellas la Fuerza Normal, que no han sido representadas en los esquemas de las figuras anteriores.

El objetivo de no incluirlas responde a que en este curso de nivelación se busca introducir el

concepto de vectores y cálculo de sus componentes con una breve aplicación en Física sin

introducir mayores detalles ni conceptos que se estudiarán en los cursos oficiales de Física

dictados en el presente año académico.

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES: ENFOQUE GEOMÉTRICO

Si se colocan en una balanza una masa de 1 kg junto con otra de 2 kg, la medición de la masa

total será 3 kg. La magnitud denominada masa es una magnitud escalar y por lo tanto, para

sumar dos valores de masa, simplemente se aplican las reglas de la aritmética para hacerlo.

Cuando se trata de magnitudes vectoriales como los desplazamientos, velocidades y fuerzas la

suma de estas magnitudes no es trivial. Sumar una velocidad de |v1| = 20km/h con otra

velocidad |v2| = 40 km/h NO es igual a 60 km/h. La dirección y el sentido de los vectores afecta

el resultado de la suma.

Dados dos vectores u y v, es posible definir la operación SUMA entre ellos. La suma de dos

vectores es un tercer vector definido como w = u + v. En este curso de nivelación se analizará

de manera geométrica la suma vectorial.

Para resolver la suma de manera geométrica, dados dos vectores u y v, se grafica el primer

vector con la magnitud y dirección correspondientes, luego se grafica el segundo vector

ubicando su punto inicial en el punto final del primer vector. Por último, se traza el vector que

tiene origen en el primer vector y final en el final del segundo vector (Figura 7).

Figura 7: Suma de vectores, resolución geométrica.

Se analizarán a continuación algunos casos especiales de suma de vectores a través de algunos

ejercicios.

CASO 1: Los vectores son colineales. En este caso, los vectores tienen la misma dirección

aunque no necesariamente el mismo sentido.

Ejercicios: (Grafique en cada caso)

1. Sean los vectores |u| = 3, = 0° y |v| = 4, = 0°. Determine la suma w = u + v.

2. Sean los vectores |d1| = 100m, = 30° y |d2| = 300m, = 30°. Determine la suma

d = d1 + d2.

3. Sean los vectores |v1| = 40 km/h, = 45° y |v2| = 80 km/h, = 225°. Determine la

suma v = v1 + v2.



CASO 2: Los vectores forman 90°. Veremos en estos ejercicios que los vectores a sumarse y el

vector suma forman un triángulo rectángulo; se obtiene el módulo de la suma mediante Teorema

de Pitágoras.



2. Sean los vectores |d1| = 100m, = 30° y |d2| = 300m, = 120°. Determine la suma

d = d1 + d2.

3. Sean los vectores |v1| = 40 km/h, = 45° y |v2| = 80 km/h, = 135°. Determine la

suma v = v1 + v2.

CASO 3: Los vectores forman ó un ángulo agudo ó uno obtuso. En este caso los vectores a

sumarse y el vector suma forman un triángulo oblicuo, por lo tanto se utilizará el Teorema de

Coseno y/o Teorema del Seno para obtener el módulo de la suma.



2. Sean los vectores |d1| = 100m, en dirección ESTE y |d2| = 300m, en dirección NORESTE

(45° con respecto a la horizontal). Determine la suma d = d1 + d2.

Ahora bien, dados dos vectores u y v, es posible definir la operación DIFERENCIA (RESTA)

entre ellos. La resta de dos vectores es un tercer vector definido como w = u - v. Para construir

el vector diferencia (w) geométricamente, se grafican ambos vectores con origen común, es

decir, los puntos iniciales de u y v coinciden; w es el vector que tiene origen en el extremo del

segundo vector y final en el extremo del primer vector (Figura 8).

Figura 8: Diferencia de vectores, construcción geométrica

Como puede apreciarse en la Figura 8 los vectores involucrados también forman un triángulo

que puede resolverse con los Teoremas adecuados (además del caso colineal). Se analizarán los

distintos casos a partir del siguiente ejercicio.

Ejercicio:

Tome los ejercicios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 anteriores y resuélvalos para la

diferencia. Siempre grafique.



EJERCITACIÓN

1. Las componentes de un vector son vx = 20 y vy = 50. Determine módulo y dirección del

vector v.

2. Una partícula se mueve 1,55 mm al Este y luego 2,33 mm al Norte. Determine la

distancia que existe desde el punto de partida hasta el punto de llegada de la partícula.

Represente gráficamente.

3. Un grupo de montañistas ha caminado 3 km hacia el Este y luego 5 km hacia el sur.

Determine la distancia en línea recta y la dirección que debe tomar un segundo grupo de

montañistas para ir a su encuentro. Represente gráficamente.

4. Un niño explorador parte desde su campamento y camina 900 m hacia el Oeste y 750 m

al Norte. Determine qué distancia debe caminar y en qué dirección para regresar al

campamento. Calcule también la distancia total recorrida. Represente gráficamente el

recorrido completo.

5. Un vector tiene módulo 50 y dirección 25°. Determine sus componentes.

6. Un futbolista patea una pelota de manera tal que le imprime una velocidad de módulo

|v|=15 m/s y dirección = 38°. Determine las componentes horizontal y vertical del

vector velocidad.

7. Un avión se desplaza a una velocidad de 300 km/h en dirección NE (45°). Determine las

componentes vertical y horizontal de dicha velocidad.

8. Un bloque se desplaza por acción de una fuerza a lo largo de un plano horizontal. La

fuerza tiene una magnitud de 100N y una dirección 25°. Determine las componentes de

las fuerza y represente la situación.

9. Una caja es empujada a lo largo de un plano horizontal con una fuerza cuyas

componentes son Fx=80N Fy=25N. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo que

forma con la horizontal.

10. Un bloque se desplaza a hacia la derecha por un plano horizontal. Sobre el bloque actúa

una fuerza de 50N en dirección 90° con respecto al plano. ¿Es esta fuerza la responsable

del movimiento del bloque? Justifique. Represente esquemáticamente.

11. Un cuerpo se desliza hacia abajo por un plano inclinado bajo la acción de su propio

peso. Si el ángulo de inclinación del plano es 25° y el peso del cuerpo es 70 N,

determine la componente paralela al plano y la perpendicular a él del Peso.

12. Una caja de 200N cae por un plano inclinado a 45°. Determine las componentes del

peso. Represente esquemáticamente.

13. Las componentes del peso de una caja que desciende por un plano inclinado son Px=

155N y Py = 60N. Determine el Peso de la caja y el ángulo de inclinación del plano.

14. Las componentes del peso de un bloque que desciende por un plano inclinado son Px=

50N y Py = 120N. Determine el Peso de la caja y el ángulo de inclinación del plano.

15. Dados los siguientes vectores, determine la Suma y la Diferencia entre ellos. Grafique a

escala cada caso:

a. |u| = 50, = 0° y |v| = 75, = 0°

b. |u| = 6, = 0° y |v| = 8, = 90°

c. |u| = 12, = 0° y |v| = 20, = 45°

d. |u| = 150, = 40° y |v| = 250, = 220°

e. |u| = 3,7, = 90° y |v| = 2,4, = 180°

f. |u| = 20, = 180° y |v| = 55, = 45°

g. |u| = 5, = 135° y |v| = 7,5, = 135°

h. |u| = 4,5, = 45° y |v| = 8,2, = 315°

i. |u| = 3, = 60° y |v| = 4, = 300°

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA FACULTAD DE …exactas.unca.edu.ar/ingres/2016/mat-1-2016.pdf ·...

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