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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFacultad de Ciencias - Departamento de Matematicas

TOPOLOGIA GENERAL

G. PADILLA

Resumen. Estas notas fueron realizadas entre 2006 y 2008, fecha en la cual dicte dicho curso en la

Universidad Central de Venezuela.

Contenido

1. Espacios metricos 21.1. Espacios metricos 21.2. Conjuntos cerrados 41.3. Sucesiones 61.4. Funciones continuas entre espacios metricos 71.5. Mas ejercicios de espacios metricos 82. Espacios topologicos 92.1. Espacios topologicos 92.2. Continuidad 112.3. Bases y sub-bases 122.4. Topologıa producto 142.5. Espacios cociente 152.6. Axiomas de numerabilidad 162.7. Subespacios topologicos 172.8. Conexidad 172.9. Componentes conexas 192.10. Conexidad por arcos 202.11. Separacion 212.12. Mas ejercicios de topologıa 223. Espacios compactos 233.1. Compacidad 233.2. Espacios Hlc 253.3. Espacios paracompactos 274. Convergencia en espacios topologicos 284.1. Redes 294.2. Sub-redes 304.3. Redes universales 314.4. Espacios completamente regulares 335. Espacios metrizables 365.1. Espacios totalmente acotados 365.2. Separacion de cerrados con funciones continuas 375.3. El teorema de extension de Tietze 38

Fecha: Julio 2008, actualizadas en marzo 2012.

1

2 G. PADILLA

5.4. Espacios acotados 405.5. Convergencia puntual y uniforme 426. El truco de Bredon 437. Fibrados topologicos 447.1. Amalgama de espacios topologicos 447.2. Familias amalgamables y semigrupos de cociclos 457.3. Fibrados Generales 457.4. Ejemplos 467.5. Morfismos fibrados 467.6. Unicidad de los espacios fibrados 46Referencias 47

1. Espacios metricos

Incluimos en este breve capıtulo las propiedades mas importantes de los espacios metricos y topologicos.Hemos seguido especialmente a [2].

1.1. Espacios metricos. Un espacio metrico es un par (E, d) tal que E 6= ∅ es un conjunto y E ×

Ed - [0,∞) es una funcion real tal que para cualesquiera x, y, z ∈ E se tiene

(a) Unicidad: d(x, y) = 0 ⇔ x = y(b) Simetrıa: d(x, y) = d(y, x)(c) Desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Dado x ∈ E la bola abierta (resp. cerrada) con centro en x y radio δ > 0 es el conjunto B(x, δ) ={y ∈ E : d(x, y) < δ} (resp. el conjunto B(x, δ) = {y ∈ E : d(x, y) ≤ δ}). La distancia entre dos sub-conjuntos no vacıos A,B ⊂ E se define como el ınfimo

d(A,B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}

Un subconjunto A ⊂ E es abierto ⇔ para todo punto x ∈ A hay un δ > 0 suficientemente pequeno talque B(x, δ) ⊂ A.

Lema 1.1.1. Para cualesquiera x, y, z ∈ E se tiene |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y).

[Demostracion] Por la desigualdad triangular tenemos que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Si d(x, z) ≥d(y, z) entonces 0 ≤ d(x, z)− d(y, z) ≤ d(x, y) y el enunciado vale. En caso contrario, si d(x, z) > d(y, z)entonces por la misma desigualdad triangular d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) y con el mismo procedimientoanterior 0 ≤ d(x, z)− d(y, z) ≤ d(x, y). �

Lema 1.1.2. En todo espacio metrico (E, d);

(1) ∅ y E son abiertos.(2) Toda bola B(x, δ) es abierta en el sentido anterior.(3) A es abierto ⇔ es union de bolas abiertas.(4) La union arbitraria de abiertos es un abierto.(5) La interseccion finita de abiertos es un abierto.

[Demostracion] Vamos por pasos.

(1) Es trivial.

TOPOLOGIA GENERAL 3

(2) Sean y ∈ B(x, δ), ρ = d(x, y) y δ′ = min{ρ, δ − ρ}. Si d(y, z) < δ′ entonces por la desigualdadtriangular d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ≤ ρ+ (δ − ρ) = δ; luego B(y, δ′) ⊂ B(x, δ).

(3) Directo de la definicion.(4) Si A = ∪

i

Ai

es union de abiertos entonces, por el paso anterior, como cada Ai

es union de bolas

abiertas, luego A tambien es union de bolas abiertas. Por el paso anterior A es abierto.(5) Por induccion y asociatividad de la interseccion, es suficiente verlo para la interseccion A∩B dos

abiertos A,B ⊂ E. Dado z ∈ A ∩B como A es abierto existe δ > 0 tal que B(z, δ) ⊂ A y, comoB es abierto, existe δ′ > 0 tal que B(z, δ′) ⊂ B. Entonces B(z, ρ) ⊂ A ∩B para ρ = min{δ, δ′}.

�

Dados un subconjunto Z ⊂ E y un punto x ∈ E; diremos que Z es un entorno de x, o bien x es unpunto interior de Z; si y solo si existe un δ > 0 suficientemente pequeno tal que B(x, δ) ⊂ Z. Diremosque x es exterior a Z ⇔ x es un punto interior de E\Z. Dado otro subconjunto Y ⊂ X diremos que Zes un entorno de Y ⇔ Z es un entorno de todos los puntos de Y .

Lema 1.1.3. Dado un espacio metrico (E, d) y dos subconjuntos Y,Z ⊂ E.

(1) Z es entorno de Y ⇔ existe algun abierto U ⊂ E tal que Y ⊂ U ⊂ Z.(2) La union de entornos de Y es un entorno de Y .(3) La interseccion finita de entornos de Y es un entorno de Y .

[Demostracion] Para ver (1) tomamos, para cada y ∈ Y , una bola abierta de radio suficientemente

pequeno δy> 0 tal que B(y, δ

y) ⊂ Z. Por 1.1.2-(3) el subconjunto U = ∪

y∈YB(y, δ

y) es el abierto buscado.

Las propiedades (2) y (3) son consecuencia de la primera y las propiedades de los abiertos, cf. de nuevo

1.1.2. �

El interior de un subconjunto Z ⊂ E en un espacio metrico (E, d) es el subconjunto◦Z = {z ∈ X : B(z, δ) ⊂ Z para algun δ > 0}

de todos los puntos interiores de Z.

Lema 1.1.4. Dado un espacio metrico (E, d) y subconjuntos Y,Z ⊂ E;

(1)◦Y ⊂ Y es el abierto mas grande contenido en Y .

(2) Y ⊂ Z ⇒◦Y ⊂

◦Z.

(3)◦

(Y ∩ Z) =◦Y ∩

◦Z.

(4) Y es abierto ⇔ Y es entorno de todos sus puntos ⇔◦Y = Y .

[Demostracion] Vamos por pasos.

(1) El interior◦Y es abierto: Si y ∈

◦Y entonces hay algun δ > 0 suficientemente pequeno tal que

B(y, δ) ⊂ Y . Por 1.1.2, B(y, δ) es abierta, luego para cualquier otro punto x ∈ B(y, δ) hay algun ε > 0

tal que B(x, ε) ⊂ B(y, δ) ⊂ Y , con lo cual x ∈◦Y . Se deduce que en realidad B(y, δ) ⊂

◦Y , con lo cual

el interior◦Y es union de bolas abiertas, luego es abierto por 1.1.2-(3). Si A ⊂ Y es cualquier abierto

contenido en Y entonces, para cualquier a ∈ A, existe un δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ A ⊂ Y con lo cual

a ∈◦Y por definicion de los puntos interiores; luego A ⊂

◦Y .

4 G. PADILLA

(2) Si Y ⊂ Z y x ∈◦Y es un punto interior a Y , entonces existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ Y ⊂ Z con lo

cual x es un punto interior a Z.

(3) Hay que ver una contencion doble. Como Y ∩ Z ⊂ Y y Y ∩ Z ⊂ Z, por el paso anterior se tiene que◦

(Y ∩ Z) ⊂◦Y ∩

◦Z. Para ver la otra contencion suponga que x ∈

◦Y ∩

◦Z; sean ε, δ > 0 tales que B(x, ε) ⊂ Y

y B(x, δ) ⊂ Z. Entonces B(x,min{ε, δ}) ⊂ Y ∩ Z.

(4) Es directa de las definiciones. �

Lema 1.1.5. Un punto x ∈ E es exterior a Y ⊂ E ⇔ d(x, Y ) > 0.

[Demostracion] Porque x es exterior a Y ⇔ x es interior a E\Y . Esto ultimo sucede ⇔ existe algunδ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ E\Y ; es decir que B(x, δ) ∩ Y = ∅, lo cual pasa si y solo si d(x, Y ) > 0. �

Lema 1.1.6. Para cada Y ⊂ E y cada δ > 0 el subconjunto V (Y, δ) = {x ∈ E : d(x, Y ) < δ} es unentorno abierto de Y .

[Demostracion] Basta demostrar V (Y, δ) = ∪y∈Y

B(y, δ). Ambas contenciones son obvias, pues un

punto x pertenece a V (Y, δ) si y solo si existe algun y ∈ Y tal que d(x, y) < δ; y esto sucede si y solo six ∈ B(y, δ) para algun y ∈ Y . �

1.2. Conjuntos cerrados. Un subconjunto C ⊂ E es cerrado ⇔ su complemento E\C es abierto.

Lema 1.2.1. En todo espacio metrico,

(1) La interseccion de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado.(2) La union finita de subconjuntos cerrados es un subconjunto cerrado.(3) ∅, E son cerrados.

[Demostracion] Es inmediato de §1.1.2 y las operaciones de conjuntos. �

La adherencia Y de un subconjunto ∅ 6= Y ⊂ E se define como el conjunto de los puntos no exterioresa Y ; es decir Y = {x ∈ E : d(x, Y ) = 0}.

Proposicion 1.2.2. Dado un espacio metrico (E, d); y Y,Z ⊂ E;

(1) Y ⊂ Y .(2) x ∈ Y ⇔ toda bola abierta centrada en x intersecta a Y .(3) Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.(4) Y ∪ Z = Y ∪ Z.(5) Y es la interseccion de todos los entornos de la forma V (Y, δ) con δ > 0.(6) Si x ∈ (Y \Y ) 6= ∅ entonces la interseccion de cualquier entorno de x con Y es un subconjunto

infinito.(7) Y es cerrado ⇔ Y = Y .

(8) Y = Y .(9) Y es el cerrado mas pequeno que contiene a Y .

(10) La adherencia de toda bola abierta B(x, δ) es la bola cerrada B(x, δ).

[Demostracion] Procedemos por pasos.(1) Directa de la definicion de adherencia.

TOPOLOGIA GENERAL 5

(2) Como la distancia de x a Y es el ınfimo de las distancias d(x, y) variando a y ∈ Y ; se tiene que

d(x, Y ) = 0 ⇔ para cada δ > 0, existe algun y ∈ Y tal que d(x, y) < δ; luego y ∈ B(x, δ) ∩A 6= ∅.(3) Si Y ⊂ Z y entonces, por propiedades de los ınfimos, para cualquier punto x ∈ E se tiene

d(x, Y ) = inf{d(x,w) : w ∈ Y } ≥ inf{d(x,w) : w ∈ Z} = d(x, Z)

En particular, d(x, Y ) = 0⇒ d(z, Z) = 0.(4) De las dos contenciones, ⊃ es directa del paso anterior. Para ver ⊂ vamos por contrarrecıproco. Si

x 6∈ Y ∪ Z entonces d(x, Y ) > 0 y d(x, Z) > 0. Existen pues ε1 , ε2 > 0 tales que B(x, ε1) ∩ Y = ∅ yB(x, ε

2)∩Z = ∅. Basta tomar ε = min{ε

1, ε

2}. Por construccion, B(x, ε)∩ (Y ∪Z) = ∅; luego x 6∈ Y ∪ Z.

(5) Para ver que Y = ∩δ>0

V (Y, δ) demostramos las dos contenciones. De ellas, ⊂ es directa de las defini-

ciones. Ahora bien, x ∈ ∩δ>0

V (Y, δ) si y solo si x ∈ V (Y, δ) para cada δ > 0; es decir, si y solo si para

cada δ > 0 existe algun yδ∈ Y tal que d(x, y

δ) < δ. Ello implica que, para todo δ > 0, la bola abierta

centrada en x con radio δ intersecta a Y , pues yδ∈ B(x, δ) ∩ Y 6= ∅. Entonces x ∈ Y por definicion.

(6) Sea x ∈ Y \Y . La bola B(x, 1) intersecta a Y en algun punto y16= x. Como 0 < δ

1=

d(x,y1)

2 , la

bola B(x, δ1) intersecta a Y en algun punto y2 6= x. Por construccion, y2 6= y1 . Como 0 < δ2 =d(x,y

2)

2 ,la bola B(x, δ2) intersecta a Y en algun punto y3 6= x y por construccion, y3 es diferente de y1 , y2 . Sicontinuamos el proceso de modo inductivo, por el axioma de eleccion es posible construir una sucesiony

1, . . . , y

n, . . . de puntos diferentes en Y tales que d(x, y

n+1) < d(x, y

n)/2 para cada n.

(7) Por el paso (1) de este lema, basta ver una sola contencion. Es decir, Y es cerrado ⇔ Y ⊃ Y . Ahora

bien, Y es cerrado si y solo si E\Y es abierto; ello solo sucede⇔ todo punto de E\Y es un punto interior:x 6∈ Y si y solo si existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ E\Y , luego B(x, δ) ∩ Y = ∅. Se concluye que Y escerrado si y solo si vale el condicional x 6∈ Y ⇒ x 6∈ Y ; o dicho de otro modo, Y ⊂ Y .

(8) La contencion Y ⊂ Y sale del paso (1). Para ver la otra contencion tome un punto x ∈ Y .

Dado cualquier δ > 0, la bola centrada en x con radio δ intersecta a Y . Sea z ∈ B(x, δ) ∩ Y 6= ∅ y

ε = min{d(x,z),δ−d(x,z)}2 . Entonces B(z, ε) ⊂ B(x, δ) y B(z, ε) ∩ Y 6= ∅; luego B(x, δ) ∩ Y 6= ∅. De la

arbitrariedad de δ se deduce que x ∈ Y por el paso (2).(9) Por (7) y (8) Y es cerrado. Si Y ⊂ C y C es cerrado, por los pasos (3) y (7) tenemos que Y ⊂ C = C.

(10) si z es un punto en la adherencia de B(x, δ) y z 6∈ B(x, δ) entonces, para cada entero positivo n > 0

podemos elegir yn∈ B(z, 1

n ) ∩B(x, δ). Por la desigualdad triangular

d(z, x) ≤ d(x, yn) + d(y

n, x) <

1

n+ δ

Tomando el lımites para n 7→ ∞ se tiene d(z, x) ≤ δ. Por otro lado, como z 6∈ B(x, δ) tenemos qued(z, x) ≥ δ; luego d(z, x) = δ.�

Dados Y, Z ⊂ E decimos que Y es denso en Z si Z ⊂ Y ; en particular, decimos que Y es denso sies denso en E, es decir, si Y = E. El espacio E es separable si existe posee algun subconjunto denso ynumerable.

Lema 1.2.3. Si X es denso en Y y Y es denso en Z entonces X es denso en Z.

6 G. PADILLA

[Demostracion] Si X ⊂ Y y Y ⊂ Z entonces, por §1.2.2-(8) tenemos que X ⊂ Z = Z. �

La frontera ∂Y de Y se define como el conjunto de puntos que son adherentes a Y y a E\Y ; es decir∂Y = {z ∈ E : d(x, Y ) = d(x,E\Y ) = 0}.

Dado cualquier espacio metrico (E, d) y un subconjunto Y ⊂ E; la metrica de subespacio de Y esla restriccion de d a Y × Y .

1.3. Sucesiones. Fijamos un espacio metrico (E, d). Una sucesion en E es la imagen de una funcion

cualquiera Nx -E; escribimos x

n= x(n). Usualmente escribimos tambien a la sucesion x como un

subconjunto numerable {xn

: n = 0, 1, . . . } ⊂ E en el cual pueden haber repeticiones. Si {xn}n∈N es

una sucesion en E, una sub-sucesion es la composicion de x con cualquier funcion inyectiva y creciente

Nk -N; es decir, i < j ⇒ ki < kj . Una sucesion converge si existe algun x ∈ E tal que, para cada

ε > 0, hay un entero Nε

tal que n > Nε⇒ d(x, x

n) < ε; es decir, la cola de la sucesion a partir de N

ε

esta contenida en la bola de centro x y radio ε. En tal caso escribimos

Limn

xn

= x

y decimos que la sucesion {xn}n converge a x. Si una sucesion no converge a ninun punto decimos quediverge.

Lema 1.3.1. En un espacio metrico toda sucesion convergente posee un unico lımite.

[Demostracion] Si {xn}n converge a x, x′ entonces para cada ε hay un entero Nε tal que valen los doscondicionales siguientes:

• n > Nε ⇒ d(x, xn) < ε; y• n > N

ε⇒ d(x′, x

n) < ε.

Si x 6= x′ entonces, por definicion de las metricas, d(x, x′) 6= 0. Basta tomar ε = d(x,x′)3 . Entonces las

bolas B(x, ε) y B(x′, ε) son disjuntas, por lo cual no pueden ser validos ambos condicionales al mismotiempo. �

Una sucesion {xn}n

en E es de Cauchy⇔ para cada ε > 0 existe un entero Nε

tal que vale el siguientecondicional

m,n > Nε ⇒ d(xm , xn) < ε

Lema 1.3.2. Toda sucesion convergente contiene una sub-sucesion de Cauchy.

[Demostracion] Si {xn}n

converge a x entonces para cada ε hay un enteroNε

tal que vale el condicionalsiguiente:

n > Nε ⇒ d(x, xn) <ε

2

Entonces, si m,n > Nε

tenemos que d(xm, x

n) ≤ d(x

m, x) + d(x, x

n) < ε

2 + ε2 = ε. �

De este modo, dada cualquier sucesion convergente, podemos asumir salvo ajustes que se trata de unasucesion de Cauchy. Un espacio metrico E es completo si toda sucesion de Cauchy en E converge aalgun punto en E.

TOPOLOGIA GENERAL 7

1.4. Funciones continuas entre espacios metricos. Dados dos espacios metricos (E, d) y (E′, d′)

una funcion Ef -E′ es continua en un punto x ∈ E si y solo si para cada ε > 0 hay algun δ > 0

(que depende de x y de ε) tal que d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε.

Proposicion 1.4.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Ef -E′ es continua en x ∈ E.

(2) Para cada entorno V ′ de f(x) existe algun entorno V de x tal que f(V ) ⊂ V ′.(3) f

−1

(V ′) es un entorno de x para cada entorno V ′ de f(x).

[Demostracion] (1)⇒ (2): Dado cualquier entorno V ′ de f(x) basta tomar cualquier ε > 0 suficiente-mente pequeno tal que B(f(x), ε) ⊂ V ′. Como f es continua, hay algun δ > 0 tal que vale el condicionald(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε; en otras palabras f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε) ⊂ V ′. El entorno buscadoes V = B(x, δ).(2)⇒ (3): Si V ′ es un entorno de f(x), como existe un entorno V de x tal que f(V ) ⊂ V ′, tenemos que

x ∈ V ⊂ f−1

(V ′) con lo cual f−1

(V ′) es un entorno de x.

(3) ⇒ (1): Si tomamos en particular V ′ = B(f(x), ε) para cualquier ε > 0, como f−1

(B(f(x), ε)) es un

entorno de x; existe un δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f−1

(B(f(x), ε)). Entonces f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε) o, enotras palabras, vale el condicional d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε. �

Decimos que f es continua ⇔ f es continua en todo punto de E.


(1) Ef -E′ es continua.

(2) f−1

(A′) es abierto en E para cada abierto A′ ⊂ E′.(3) f

−1

(C ′) es cerrado en E para cada cerrado C ′ ⊂ E′.(4) f(Y ) ⊂ f(Y ) para todo Y ⊂ E.(5) Si x = Lim

nxn entonces f(x) = Lim

nf(xn).

[Demostracion] (1)⇒ (2): Es directa de §1.4.1.(2) ⇒ (3): Por propiedades de las imagenes inversas, un cerrado C ′ ⊂ E tenemos que A′ = E′\C ′ es

abierto; por (2) su imagen inversa A = f−1

(A′) = f−1

(E′\C ′) = E\f−1

(C ′) es abierto; luego C = f−1

(C ′)es cerrado.(3)⇒ (4): La imagen inversa f

−1

(f(Y )) es un cerrado que contiene a Y . Por §1.2.2-(9) la adherencia de

Y es el menor cerrado que lo contiene, luego Y ⊂ f−1

(f(Y )) o, lo que es lo mismo, f(Y ) ⊂ f(Y ).(4) ⇒ (1): Supongamos que (1) no es cierta. Entonces existen x ∈ E y ε > 0 tales que para cadaentero positivo n ≥ 1 se puede conseguir algun y

n∈ E tal que d(x, y

n) < δ y d(f(x), f(y

n)) ≥ ε. Por

construccion x esta en la adherencia de Y = {yn

: n ≥ 1}; sin embargo f(x) 6∈ f(Y ), . Esto contradice(4).(1)⇒ (5): Si {xn}n es una sucesion que converge a x entonces, puesto que f es continua, para cada ε > 0existe un δ > 0 tal que vale el condicional d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε. Ahora bien, sea N

δun entero

tal que vale el condicional n > Nδ⇒ d(x, x

n) < δ; entonces de ambos condicionales deducimos que vale

n > Nδ⇒ d′(f(x), f(x

n)) < ε. De la arbitrariedad de ε se deduce que {f(x

n)}n

converge a f(x).(5) ⇒ (1): Supongamos que {xn}n converge a x en E y {f(xn)}n no converge a f(x) en E′. Entoncesexiste algun ε > 0 tal que el conjunto de los enteros n tales que d′(f(x), f(xn)) ≥ ε es infinito. Al mismotiempo para cada δ > 0 existe algun entero N

δtal que vale el condicional n > N

δ⇒ d(x, x

n) < δ. De

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este modo, es posible conseguir algun n > Nδ

tal que valgan ambas a la vez, vale decir, d(x, xn) < δ

y d′(f(x), f(xn)) ≥ ε. De este modo, ε es un numero tal que para todo δ > 0 es falso el condicionald(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε. Se concluye que f no es continua en x. �

Proposicion 1.4.3. La composicion de funciones continuas es continua.

[Demostracion] Sean Ef -E′ y E′

g -E′′ continuas, z = g(f(x)) para algun x ∈ E. Dadocualquier ε > 0 existen δ1 , δ2 tales que se satisfacen los siguientes condicionales

• d′(f(x), w) < δ1⇒ d′′(g(f(x)), g(w)) < ε.

• d(x, y) < δ2⇒ d′(f(x), f(y)) < δ

1.

Combinando ambos condicionales deducimos que d(x, y) < δ2⇒ d′′(g(f(x)), g(f(y))) < ε. De la arbi-

trariedad de x, ε deducimos que gf es continua. �

Una funcion Ef -E′ entre espacios metricos es uniformemente continua ⇔ para cada ε > 0

existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε para todo x, y ∈ E.

Proposicion 1.4.4. (1) Toda funcion uniformemente continua es continua.(2) La composicion de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua.

[Demostracion] (1) es directa. Para (2) vale la misma demostracion de §1.4.3 con ligeros ajustes. �

Proposicion 1.4.5. Si D ⊂ E es denso y Ef -E′ es una funcion entre espacios metricos, tal que

(a) f es continua en E; y(b) f es uniformemente continua en D;

entonces f es uniformemente continua.

[Demostracion] Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ε para todox, y ∈ D. Como D es denso en E tenemos que D = E luego, para cualquier x ∈ X, se tiene qued(x,D) = 0. De este modo, dados cualesquiera x, y ∈ E siempre

�

1.5. Mas ejercicios de espacios metricos.

(1) Verifica que los siguientes son ejemplos de espacios metricos:

• E = Rn

y d la distancia usual.• E = R

n

y d(x, y) = |x1 − y1 |+ · · ·+ |xn − yn |.• E = R

n

y d(x, y) = max {|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |}.• X 6= ∅ cualquier conjunto, E es el conjunto de funciones acotadas en R

X

y d(f, g) = sup {|f(x)− g(x)| : x ∈ X}.• E 6= ∅ cualquier conjunto y d es la distancia discreta dada por d(x, y) = 0 si x = y y d(x, y) = 1

en caso contrario.• E es el conjunto de sucesiones de numeros reales x = (xn)n tales que la serie correspondiente Σ

n

|xn |2

converge; y d(x, y) = Σn

|xn − yn |2

.

(2) Para n = 2, haga un dibujo de la bola abierta centrada en el origen, con radio δ = 1; para los casos (a),(b) y (c) del problema anterior.

TOPOLOGIA GENERAL 9

(3) Muestra que d(f, g) =∫ 1

0|f(t) − g(t)|

2

dt es una distancia en el espacio E de todas las funciones reales

continuas definidas en [0, 1]. ¿Sigue siendo d una distancia si en lugar de funciones continuas tomamosfunciones integrables de Lebesgue?

(4) Dos distancias d, d′ definidas en E 6= ∅ son equivalentes⇔ definen los mismos abiertos, es decir, si y solosi todo d-abierto es un d′-abierto y viceversa. Muestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:(a) d, d′ son distancias equivalentes.(b) Toda d-bola abierta es union de d′-bolas abiertas; y toda d′-bola abierta sea una d-bola abierta.(c) Dados ε > 0, y ∈ Bd(x, ε) y y′ ∈ B

d′ (x′, ε); existe un δ > 0 tal que B

d′ (y, δ) ⊂ Bd(x, ε) y

Bd(y′, δ) ⊂ Bd′ (x, ε).

(5) Muestra que si y 6∈ B(x, δ) entonces d(y,B(x, δ)) ≥ d(y, x)− δ. ¿Vale para la bola cerrada B(x, δ)?(6) Si (E, d) es un espacio metrico y A ⊂ E; muestra que |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).(7) Verifica cada una de las propiedades de 1.1.(8) Muestra que en la recta real con la distancia usual, el conjunto de los naturales N no posee un sistema

fundamental numerable de entornos.(9) (E, d) es un espacio metrico discreto ⇔ todo subconjunto es abierto.

(10) Prueba que toda d−esfera unitaria S(x, 1) = {y ∈ E : d(x, y) = 1} es un conjunto cerrado.

(11) Muestra que si A ⊂ E es abierto entonces A ∩ Y ⊂ A ∩ Y para cada Y ⊂ E.

(12) Mostrar que en general es falsa la igualdad A ∩B = A ∩ B para cualesquiera A,B ⊂ E en un espaciometrico (E, d). Mas aun; da un ejemplo para E = R con la distancia usual, de subconjuntos A,B tales

que A ∩B, A ∩B, A ∩B y A ∩B son todos diferentes, y A ∩B no esta contenido en A ∩B.(13) Muestra en todo espacio metrico (E, d), un punto x es adherente a A ⇔ x es el lımite de alguna sucesion

de puntos en A.(14) Verifica cada una de las propiedades de 1.2.

(15) Muestra que Rn

con la metrica usual es un espacio separable.(16) Prueba que en un espacio metrico E la union de un subconjunto abierto y de su exterior es densa.(17) Un punto x ∈ A ⊂ E es aislado en A si existe un entorno V de x tal que V ∩A = {x}. Muestra que si

E es separable entonces el conjunto de puntos aislados en E es a lo sumo numerable.(18) Si E′ ⊂ E entonces E′ es un espacio metrico con la distancia restringida d′(x, y) = d(x, y) para todo

x, y ∈ E′. La inclusion E′i -E es continua.

(19) Toda funcion constante entre espacios metricos es continua.(20) Si (E, d) es un espacio metrico entonces, para cada y ∈ E, la funcion f(x) = d(x, y) es continua.(21) Si (E, d) es un espacio metrico entonces, para cada A ⊂ E, la funcion f(x) = d(x,A) es continua.

2. Espacios topologicos

Seguimos en esta seccion a [1, 4, 6].

2.1. Espacios topologicos. Un espacio topologico es un conjunto X al cual asociamos una familiade subconjuntos T de X, que llamaremos la topologıa de X; y que satisface:

(a) ∅ y X pertenecen a T .(b) La union de toda coleccion de conjuntos en T pertenece a T .(c) La interseccion de toda coleccion finita de conjuntos en T pertenece a T .

Notemos que los subconjuntos que pertenecen a la familia T satisfacen en X propiedades analogas a lasque poseen los subconjuntos abiertos en un espacio metrico cualquiera, §1.1.2; solo que ahora no hay unadistancia a la cual se remitan dichas propiedades. Esta sencilla abstraccion permite pensar en abiertos ocerrados de manera conjuntıstica, sin tener una metrica prefijada.En adelante diremos que un subconjunto A ⊂ X es abierto ⇔ pertenece a T . Un subconjunto C ⊂ Xes cerrado⇔ su complemento X\C es abierto. Dado un punto x ∈ X y un subconjunto Y ⊂ X diremosindistintamente que ”Y un entorno de x” o ”x es un punto interior de Y ” si exsite algun abierto A

10 G. PADILLA

tal que x ∈ A ⊂ Y . El interior de Y es el conjunto◦Y de todos los puntos interiores de Y . Un entorno

de Y ⊂ X es un abierto A tal que Y ⊂ A.

Proposicion 2.1.1. En todo espacio topologico

(1) La union (resp. interseccion finita) de entornos de Y es un entorno de Y .

(2)◦Y ⊂ Y y es el abierto mas grande contenido en Y .

(3) Y ⊂ Z ⇒◦Y ⊂

◦Z.

(4)◦

(Y ∩ Z) =◦Y ∩

◦Z.

(5) A es abierto ⇔ A es entorno de todos sus puntos ⇔◦A = A.

(6) La interseccion (resp. union finita) de subconjuntos cerrados es un cerrado.(7) ∅, X son cerrados.(8) Para cada Y ⊂ X existe un cerrado minimal Y ⊂ Y dado por la interseccion de todos los cerrados

que contienen a Y . Un punto x ∈ X pertenece a Y ⇔ todo entorno de x intersecta a Y .(9) Y es cerrado ⇔ Y = Y .

(10) Si Y ⊂ Z ⇒ Y ⊂ Z.(11) Y ∪ Z = Y ∪ Z.

[Demostracion] (1) Por las propiedades §2.1-(b) y (c).

(2) Que◦Y ⊂ Y es inmediato. Dado cualquier abierto A tal que A ⊂ Y ; por la definicion de puntos

interiores todo punto x ∈ A es interior a Y , es decir x ∈◦Y ; luego A ⊂

◦Y .

(3) Es directa.

(4) Por el paso anterior se tiene la contencion ⊂. Vemos la otra: Suponga que x ∈◦Y ∩

◦Z. Si A,B son

abiertos tales que x ∈ A ⊂ Y y x ∈ B ⊂ Z entonces x ∈ A ∩ B ⊂ Y ∩ Z. Como A ∩ B es abierto,obtenemos x es un punto interior en Y ∩ Z.(5) Si A es abierto entonces todos sus puntos son interiores y el es entorno de todos sus puntos.

Recıprocamente, si A es entorno de todos sus puntos entonces, para todo x ∈ A existe un abiertoBx tal que x ∈ Bx ⊂ A. Luego A es union de la familia de abiertos {Bx : x ∈ A}, y por la propiedad§2.1-(b) A es abierto. Esto da el primer ⇔; el segundo es trivial.(6) Es consecuencia de las leyes de De Morgan para las uniones e intersecciones de complementos, mas

las propiedades §2.1-(b) y (c). Por ejemplo: Si {Ci}i

es cualquier familia de cerrados entonces cadaAi = X\Ci es abierto. Por la propiedad §2.1-(b) se tiene que ∪

i

Ai es abierto, luego su complemento

∩i

Ci = ∩i

(X\Ai) = X\

[∪i

Ai

]es cerrado. De modo similar se procede con las uniones finitas de cerrados.

(7) Directa de la propiedad §2.1-(a).

(8) Defina Y como el conjunto de puntos x ∈ X que satisfacen el siguiente condicional:

∃A ∈ T (x ∈ A)⇒ A ∩ Y 6= ∅Un punto z 6∈ Y si y solo si existe algun abierto A tal que z ∈ A y A ∩ Y = ∅. En tal caso, por el mismocondicional de arriba, es inmediato que A ∩ Y = ∅; es decir, A esta contenido en el complemento de Y .Por el paso (5) se deduce que el complemento de Y es abierto; luego Y es cerrado. Para ver que es elcerrado mas pequeno que contiene a Y suponga que Y ⊂ C y C es cerrado. Entonces el abierto A = X\Cno intersecta a Y , e.d. A ∩ Y = ∅ de donde, por la misma observacion anterior, A ∩ Y = ∅. Deducimos

TOPOLOGIA GENERAL 11

que (X\C) ∩ Y = ∅; ello implica que Y ⊂ C.(9) Veamos el condicional doble. (⇒): Siempre se tiene que Y ⊂ Y para cualquier Y ⊂ X. Si Y es

cerrado, por el paso anterior, como Y es el cerrado mas pequeno que contiene a Y , se tiene Y ⊂ Y ; luegoson iguales. (⇐): Si Y = Y entonces, por el paso anterior, Y es cerrado.(10) Si x ∈ Y entonces, para todo abierto A se tiene que x ∈ A ⇒ A ∩ Y 6= ∅. Cuando Y ⊂ Z esto

implica que, para tdo abierto A, si x ∈ A entonces ∅ 6= A ∩ Y ⊂ A ∩ Z. Luego x ∈ Z.(11) El paso anterior implica la contencion ⊃. Para ver la otra vamos por contrarrecıproco. Si x 6∈ Y ∪Z

entonces, por la definicion de adherencias, existen dos abiertos A,B que contienen a x y ademas satisfacenA ∩ Y = ∅, B ∩ Z = ∅. Entonces A ∩ B es un entorno de x y (A ∩ B) ∩ (Y ∪ Z) = ∅. Deducimos quex 6∈ Y ∪ Z. �

2.2. Continuidad. Una funcion Xf -X ′ entre espacios topologicos (X, T ) y (X ′, T ′) es continua

⇔ f−1

(A′) ∈ T para cada A′ ∈ T ′. Resumimos esta situacion diciendo que ”f−1

(abierto) = (abierto), o

bien que f−1

[T ′] ⊂ T .


(1) Xf -X ′ es continua.

(2) f−1

(C ′) es cerrado en X para cada cerrado C ′ ⊂ X ′.(3) f(Y ) ⊂ f(Y ) para todo Y ⊂ X.

[Demostracion] Vamos por pasos:

(1) ⇒ (2): Si C ′ ⊂ X es cerrado entonces A′ = X ′\C ′ es abierto. Como f es continua, X\f−1

(C ′) =

f−1

(X ′\C ′) = f−1

(A′) es abierto, luego f−1

(C ′) es cerrado.(2)⇒ (1): Es analoga al paso anterior.

(2) ⇒ (3): Como f(Y ) es cerrado en X ′, su preimagen f−1

(f(Y )) es cerrado en X y contiene a Y . Por

§2.1.1-(8), Y ⊂ f−1

(f(Y )) o, en otras palabras, f(Y ) ⊂ f(Y ).

(3) ⇒ (2): Sea C ′ ⊂ X ′ cerrado y C = f−1

(C ′). Como C ′ = C ′ por §2.1.1-(9); tenemos que f(C) ⊂f(C) = C ′ = C ′; de donde C ⊂ f

−1

(C ′) = C. Ahora bien, por la definicion en §2.1.1-(8) tenemos queC ⊂ C, luego son iguales. �

Proposicion 2.2.2. La composicion de funciones continuas es continua.

[Demostracion] Sean Xf - Y

g -Z funciones continuas entre espacios topologicos. Dado

cualquier abierto A ⊂ Z; puesto que g es continua se tiene que g−1

(A) es abierto en Y . Puesto que

f es continua se tiene que (gf)−1

(A) = f−1(g−1

(A))

es abierto en X. �

Un homeomorfismo es una biyeccion Xf -X ′ tal que f es continua y su inversa g = f

−1

tambienes continua.

Proposicion 2.2.3. Una biyeccion continua Xf -X ′ es homeomorfismo ⇔ f(Y ) = f(Y ) para todo

Y ⊂ E.

12 G. PADILLA

[Demostracion] Es inmediata de §2.2.1. �

Una base de entornos de un punto x ∈ X es una familia V de entornos de x tal que, dado cualquierentorno Y de x, existe algun V ∈ V tal que x ∈ V ⊂ Y . Si V ⊂ T decimos que es una base de entornos

abiertos. Diremos que Xf -X ′ es continua en x ∈ X ⇔ para cada entorno V ′ de f(x) existe algun

entorno V de x tal que f(V ) ⊂ V ′.

Lema 2.2.4. En todo espacio topologico (X, T );

(1) V(x) = {A : A ∈ T , x ∈ A} es una base de entornos abiertos de x.(2) Si A y A′ son dos bases de entornos abiertos de x entonces {A ∩ A′ : A ∈ A, A′ ∈ A′} es una

base de entornos de x.

[Demostracion] Trivial. �

Lema 2.2.5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Xf -X ′ es continua en x.

(2) f−1

[A] ={f−1

(V ) : V ∈ A}

es una familia de entornos de x; para cada base de entornos A de

f(x).

[Demostracion] (1)⇒ (2): Si V ∈ A es un entorno de f(x) entonces, como f es continua en x, existe

algun entorno U de x tal que f(U) ⊂ V . En tal caso x ∈ U ⊂ f−1

(V ) de donde f−1

(V ) tambien es un

entorno de x. Se deduce que f−1

[A] es una familia de entornos de x.(2) ⇒ (1): Dado cualquier entorno V ′ de f(x); sea A la familia de todos los entornos de f(x). Puesto

que V ′ ∈ A; por (2) se tiene que f−1

(V ′) es un entorno de x. De la arbitrariedad de V ′ se deduce que fes continua en x. �

Lema 2.2.6. Xf -X ′ es continua ⇔ es continua en todo punto de X.

[Demostracion] (⇒) Dado x ∈ X y un entorno V 3 f(x) en X ′; sea A 3 f(x) cualquier abierto tal

que A ⊂ V . Como f es continua, W = f−1

(A) es abierto en X y x ∈W . Por construccion f(W ) ⊂ V .

(⇐) Sea A ⊂ X ′ cualquier abierto. Si f−1

(A) = ∅ entonces es abierto. Supongamos que f−1

(A) 6= ∅.Entonces, para cada x ∈ f−1

(A) se tiene que A es un entorno abierto de f(x). Puesto que f es continua

en x, existe algun entorno V ⊂ X de x tal que f(V ) ⊂ A, luego x ∈ V ⊂ f−1

(A). Se deduce que todo

punto de f−1

(A) es un punto interior. Por §2.1.1-(5), f−1

(A) es abierto. �

2.3. Bases y sub-bases.

Lema 2.3.1. La interseccion T = ∩i

Ti

de cualquier familia de topologıas {Ti}i

de X es una topologıa de

X.

[Demostracion] Es inmediato de los axiomas de topologıa, cf. 2.1. �

Proposicion 2.3.2. Dado un conjunto X y una familia de subconjuntos S ⊂ P(X) hay una topologıaminimal T (S) que satisface:

(1) S ⊂ T (S).


(2) Si T es cualquier topologıa de X y S ⊂ T entonces T (S) ⊂ T .(3) A ∈ T (S) ⇔ A = ∅, o A = X, o A se puede escribir como union de intersecciones finitas de

elementos de S.

[Demostracion] Sea

T = {T ⊂ P(X) : S ⊂ T y T es una topologıa de X}

Esta familia no es vacıa pues P(X) ∈ T. Tomamos como T (S) a la interseccion de todas las topologıasen T. Entonces (1) y (2) son inmediatas. Para demostrar (3) sea

T0 = {∅, X} ∪ { uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de S}

Entonces

• T0 es una topologıa: Que T0 es cerrada por uniones arbitrarias se deduce directamente de ladefinicion. Veamos que T0 es cerrada por intersecciones finitas. Sea A1 , . . . , An una coleccionfinita de conjuntos en T0 ; y apliquemos induccion en n. Para n = 1 es trivial. Para n > 1 podemosasumir por hipotesis inductiva que A =

(A

1∩ · · · ∩A

n−1

)∈ T

0. Sea B = A

ny escribamos

A = ∪i∈I

(Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi

)B = ∪

j∈J

(Sj,1 ∩ · · · ∩ Sj,mj

)donde I, J son dos conjuntos arbitrarios de ındices y S

k,l∈ S para cualesquiera k, l. Entonces,

por las leyes de DeMorgan,

A ∩B = ∪i∈I∪j∈J

[(Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi

)∩(Sj,1 ∩ · · · ∩ Sj,mj

)]es union arbitraria de intersecciones finitas de elementos de S; luego A

1∩ · · · ∩A

n= A∩B ∈ T

0.

• Si S ⊂ T y T es una topologıa entonces T0⊂ T : Si T es cualquier topologıa que contiene a S

entonces todo conjunto A ∈ T0 , que se escribe de la forma A = ∪i∈I

(Si,1 ∩ · · · ∩ Si,mi

), pertenece

a T por los axiomas de topologıa. Se deduce que T0⊂ T .

• T0

= T (S): La contencion ⊂ es consecuencia del paso anterior. La contencion ⊃ se deduce de

que T (S) satisface la propiedad (2).

�

Fijemos a continuacion un espacio topologico (X, T ). Diremos que S es una sub-base de X ⇔ T =T (S). Una familia de subconjuntos B ⊂ P(X) es una base de (X, T ) ⇔

• B ⊂ T .• Todo abierto se escribe como una union de subconjuntos de la familia B.

Si B es una base, los subconjuntos de la familia B se llaman abiertos basicos.

Lema 2.3.3. Toda base es una sub-base. Por otra parte, si S es una sub-base, entonces la familia Bdada por todas las intersecciones finitas de subconjuntos en S es una base.

[Demostracion] La primera afirmacion es inmediata de §2.3.2 y la definicion de una sub-base; si B esuna base de (X, T ) entonces T (B) = T . Por otra parte, si S es una sub-base entonces T = T (S). Por§2.3.2, todo abierto se escribe como uniones arbitrarias de intersecciones finitas de subconjuntos de lafamilia S. Si B es la familia de las intersecciones finitas de subconjuntos de la familia S entonces B ⊂ Tpues las intersecciones finitas de abiertos son abiertas. Mas aun, todo abierto se escribe como unionarbitraria de subconjuntos de la familia B; luego B es una base. �

14 G. PADILLA

Proposicion 2.3.4. Sea (X, T ) un espacio topologico y B ⊂ T una familia de abiertos. Las siguientesafirmaciones son equivalentes

(1) B es una base.(2) Dado cualquier entorno V de x existe algun U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ V .

[Demostracion] (1) ⇒ (2): Sea V un entorno de x. El interior◦V es un abierto de X que contiene a

x; luego se puede escribir como union arbitraria de algunos abiertos basicos, digamos◦V = ∪

i

Ui

tales que

cada Ui∈ B es un abierto basico. Entonces x ∈ U

ipara algun i; luego x ∈ U

i⊂ V .

(2) ⇒ (1): Sea A abierto. Para cada x ∈ A sea Ux∈ B algun abierto tal que U

x⊂ A. Entonces

A = ∪x∈A

Ux. Luego todo abierto se escribe como arbitraria de subconjuntos de la familia B; es decir B es

una base. �

2.4. Topologıa producto. Dado un espacio topologico (Y, T ), un conjunto X 6= ∅ y una funcion

cualquiera Xf - Y ; la familia T f = {f−1

(A) : A ∈ T } es la topologıa mas pequena en X tal

que f es continua, llamamos a T f la topologıa inicial inducida por f . Mas en general, una situacionsimilar se puede reproducir para cualquier familia de espacios topologicos no vacıos.

Proposicion 2.4.1. Dado un conjunto X 6= ∅, una familia {(Xi, T

i: i ∈ I)} de espacios topologicos y

funciones Xfi-Xi para cada i; y sea S =

{f−1

i(A) : A ∈ Ti , i ∈ I

}. Entonces T (S) es la topologıa

mas pequena en X tal que todas las fi

son continuas.

[Demostracion] Que T (S) es una topologıa es inmediato de §2.3.2 y esta es la topologıa mas pequenaque contiene a S. Si T es cualquier otra topologıa en X tal que todas las funciones f

ison continuas

entonces, por la def. de continuidad §2.2 y la def. de S se tiene trivialmente que S ⊂ T . Por construccionT (S) ⊂ T . �

Esta T (S) dada en el enunciado de §2.4.1 es la topologıa inicial inducida por las {fi , i ∈ I}. Enparticular, para cada familia de espacios topologicos no vacıos {(X

i, T

i)}i, la topologıa producto en

X =∏i

Xi es la topologıa inicial inducida por las proyecciones coordenadas Xπi-Xi , πi(x) = xi .

Dotado de dicha topologıa llamamos a X el espacio producto de los Xi-es.

Proposicion 2.4.2. Sea X =∏i

Xi el espacio producto de una familia {(Xi , Ti) : i ∈ I} de espacios

topologicos no vacıos. Una base de X es dada por todos los subconjuntos de la forma

[Aj1× · · · ×A

jn

]×

∏j∈I\{j1,...,jn}

Xj

n ∈ N; j1, . . . , j

n∈ J ;A

jkabierto en X

jk∀k = 1, . . . , n

[Demostracion] Dado i ∈ I y cualquier abierto Ai en Xi , notemos que Ai ×∏j 6=i

Xj = π−1

i(Ai) es

un subconjunto de la familia S que genera la topologıa inicial en el producto cartesiano cf.§2.4.1. Por§2.3.3 una base B de X es dada por la familia de las intersecciones finitas de estos subconjuntos. Un


subconjunto de B, e.d. un abierto basico cualquiera, se escribe entonces de la forma

A = π−1

j1

(Aj1

)∩ · · · ∩ π

−1

jn

(Ajn

)=[Aj1× · · · ×A

jn

]×

∏j∈I\{j1,...,jn}

Xj

para cierta familia finita de subındices. �

Corolario 2.4.3. Si X = X1× · · · × X

nes un producto finito de espacios topologicos, entonces todo

abierto en X se escribe de la forma A = A1×· · ·×A

ndonde cada A

jes abierto en X

jpara j = 1, . . . , n.

A continuacion estudiamos las funciones continuas en espacios producto.

Proposicion 2.4.4. Sea X =∏i

Xi el producto cartesiano de una familia {(Xi , Ti) : i ∈ I} de espacios

topologicos no vacıos, dotado de la topologıa producto. Una funcion Yf -X es continua ⇔ para cada

i la composicion con la i-esima proyeccion Yf -X

πi-Xi es continua.

[Demostracion] (⇒) Es directa de §2.2.2. (⇐) Basta ver la continuidad de f sobre la familia deabiertos basicos dada en §2.4.2. Sea

A = π−1

j1

(Aj1

)∩ · · · ∩ π

−1

jn

(Ajn

)=[Aj1× · · · ×A

jn

]×

∏j∈I\{j1,...,jn}

Xj

un abierto basico de X. Dado que cada composicion π

if es continua para todo i, tenemos que B

jk=

f−1(π−1

jk

(Ajk

))es abierto en Y para cada k = 1, . . . , n. Luego

f−1

(A) = f−1(π−1

j1

(Aj1

)∩ · · · ∩ π

−1

jn

(Ajn

))= f

−1(π−1

j1

(Aj1

))∩· · ·∩f

−1(π−1

jn

(Ajn

))= B

j1∩· · ·∩B

jn

es abierto en Y . �

Por la proposicion anterior solemos decir que una funcion en un espacio producto es continua si y solosi es continua coordenada a coordenada.

2.5. Espacios cociente. Dado un espacio topologico no vacıo (X, T ), un conjunto Y 6= ∅ y una funcion

cualquiera Xf - Y ; T

f= {A ⊂ Y : f

−1

(A) ∈ T } es la topologıa mas grande en Y tal que f escontinua. Esta T

fes la topologıa final inducida por las f . En particular

Proposicion 2.5.1. Dado un espacio topologico no vacıo (X, T ), y una funcion sobreyectiva Xf - Y ;

(1) La relacion ”a ∼fb ⇔ f(a) = f(b)” es una equivalencia en X.

(2) Si Xπ -X/ ∼

fes la proyeccion cociente que manda a cada punto x en su clase de equivalencia

[x]; entonces (X/ ∼f, T

π) ∼= (Y, T

f).

[Demostracion] (1) Es trivial. (2) Veamos que la biyeccion inducida X/ ∼f

f - Y dada por

f [x] = f(x) es un homeomorfismo. Dado un subconjunto A ⊂ Y notemos que f−1

(A) = π−1

(f−1

(A)) es

union de clases de equivalencia (es un conjunto ”saturado”). Ahora bien, A es abierto en Y ⇔ f−1

(A) es

16 G. PADILLA

abierto en X ⇔ f−1

(A) es abierto en X/ ∼f; de aquı se deduce que f es continua. La continuidad de la

inversa de f se ve de modo similar. �

La proposicion anterior garantiza que, cuando f es sobreyectiva, la topologıa final inducida por f sepuede obtener de un cociente en X por clases de equivalencia. Por ello la llamamos topologıa cociente.En adelante, dado un espacio topologico (X, T ) y una relacion de equivalencia cualquiera ∼ en X; siempre

dotamos a X/ ∼ de la topologıa cociente Tπ inducida por la proyeccion Xπ -X/ ∼ y hablamos del

espacio cociente X/ ∼. Un subconjunto A ⊂ X es π-saturado ⇔ A es union de clases de equivalencia

⇔ A = π−1

(B) para algun B ⊂ X/ ∼.

Proposicion 2.5.2. Principio de trasgresion: Sea X/ ∼ un espacio cociente. Una funcion cualquiera

X/ ∼g -Z es continua ⇔ la composicion X

gπ-Z es continua.

[Demostracion] (⇒) Es directa de §2.2.2. (⇐) Supongamos que gπ es continua y sea A ⊂ Z abierto.

Entonces (gπ)−1

(A) = π−1

(g−1

(A)) es abierto en X. Como X/ ∼ tiene la topologıa cociente, g−1

(A) esabierto en X/ ∼. �

Si R,R′ son dos relaciones de equivalencia en X, decimos que R′ refina a R y escribimos R′ ≺ Rsi y solo si vale el siguiente condicional (x, y) ∈ R′ ⇒ (x, y) ∈ R. En otras palabras: R′ ≺ R ⇔ todaclase de equivalencia en R es union de clases de equivalencia en R′. Vistas en terminos de las particionesinducidas, R′ ≺ R ⇔ la particion inducida por R′ refina a la particion inducida por R.

Corolario 2.5.3. Si R,R′ son equivalencias en X y R′ refina a R entonces

X/R′π -X/R [x]

R′ 7→ [x]R

es continua.

[Demostracion] Si πR, π

R′ son las proyecciones de X en X/R y X/R′ respectivamente, entoncesπR′π = π

R. �

2.6. Axiomas de numerabilidad. Dado un espacio topologico (X, T ) diremos que

• X satisface el primer axioma de numerabilidad o es ”1-numerable” ⇔ todo punto en Xposee una base numerable de entornos abiertos.

• X satisface el segundo axioma de numerabilidad o es ”2-numerable” ⇔ X posee una basenumerable.

2.6.1. Ejemplos. Notemos que

(1) Todo espacio 2-numerable es 1-numerable.(2) Todo espacio metrico (E, d) es 1-numerable: La topologıa es dada por las bolas abiertas. En todo

punto x ∈ E una base de entornos de x es dada por las bolas abiertas B(x, δ) con radio racional

no negativo δ ∈ Q+

.(3) El espacio euclıdeo Rn

es 2-numerable: Una base de Rn

es dada por las bolas de radio racionalcentradas en puntos de coordenadas racionales.


2.7. Subespacios topologicos. Dado un subconjunto Y ⊂ X la topologıa relativa de Y en X esla familia T

Y= {Y ∩A : A ∈ T }. Dotado con la topologıa T

Ydecimos que Y es subespacio de X; y

escribimos Y ≤ X. Un embebimiento es una funcion continua Zf -X tal que Z

f - f(Z) esun homeomorfismo de Z en su imagen f(Z) como subespacio de X. Si existe un embebimiento de Z enX decimos que Z es embebible en X y escribimos Z ≺ X.

Lema 2.7.1. Sea (X, T ) espacio topologico y Y ⊂ X un subespacio. Entonces

(1) C ′ ⊂ Y es cerrado en Y ⇔ C ′ = Y ∩ C con C ⊂ X cerrado en X.(2) Para cada Z ⊂ Y ⊂ X escribamos Z

Ypara la adherencia de Z como subconjunto del espacio

(Y, TY

). Entonces ZY

= Z ∩ Y .

[Demostracion] (1) C ′ es cerrado en Y ⇔ A′ = Y \C ′ es abierto en Y ⇔ A′ = A ∩ Y donde A ⊂ X

es abierto en X. Entonces C = X\A satisface C ∩ Y = (X\A)∩ Y = Y \A = Y \A′ = C ′. (2) Por el paso

anterior y las propiedades de la adherencia, se tiene directamente que

ZY = ∩{C′ : Z ⊂ C′, C′ cerrado en Y } = ∩{C ∩ Y : Z ⊂ C,C cerrado en X}

= ∩{C : Z ⊂ C,C cerrado en X} ∩ Y

= Z ∩ Y

�

Lema 2.7.2. Sea (X, T ) espacio topologico.

(1) Dado un subconjunto Y ⊂ X dotado de alguna topologıa T ′:

(a) La inclusion (Y, T ′)ı - (X, T ) es continua ⇔ T

Y⊂ T ′.

(b) La inclusion (Y, T ′)ı - (X, T ) es un embebimiento ⇔ T

Y= T ′.

(2) Y ≤ X ⇒ Y ≺ X.(3) Z ≺ X ⇔ Z ∼= Y para algun Y ≤ X.

[Demostracion] (1) Para cada subconjunto Z ⊂ X la preimagen ı−1

(Z) = Z ∩ Y es la interseccion de

Z con Y . De este modo, ı es continua ⇔ A ∩ Y ∈ T para todo abierto A ⊂ X; es decir ⇔ T ′ ⊂ TY

.Esto demuestra (a) , (b) es inmediata.

(2) Es consecuencia de (1)-(b).

(3) Directa de la definicion. �

La frontera topologica de un subconjunto Y ⊂ X es la interseccion de su adherencia con la adheren-cia de su complemento relativo: ∂Y = Y ∩X\Y . Diremos que Y es denso en X ⇔ Y = X. Diremos

que Y es nunca denso en X ⇔◦Y = ∅.

2.8. Conexidad. Fijemos un espacio topologico (X, T ). Una disconexion de X es una particion de Xen dos subconjuntos disjuntos, abiertos y no vacıos X = A t B; A,B ∈ T , A 6= ∅, B 6= ∅. Decimos queX es conexo si no existe ninguna disconexion de X.

Proposicion 2.8.1. X es conexo ⇔ Los unicos subconjuntos abiertos y cerrados de X son ∅ y el propioX.

18 G. PADILLA

[Demostracion] (⇒): Si A ⊂ X es un conjunto abierto y cerrado entonces X = A t (X\A) es unaparticion de X en dos conjuntos abiertos. Por hipotesis X no posee disconexiones, luego A = ∅ o(X\A) = ∅, en este ultimo caso A = X.(⇐): Si X = AtB es una particion cualquiera de X en dos abiertos disjuntos; como B = X\A es abiertose tiene que A es cerrado. Entonces por hipotesis A = ∅ o A = X, en este ultimo caso B = ∅. Se deduceque X no posee disconexiones. �

Un espacio discreto es un espacio topologico (Z,P(Z)) tal que la topologıa en Z es toda la familia de

partes de Z. Una funcion discreta en X es una funcion continua Xf -Z en algun espacio discreto

Z.

Proposicion 2.8.2. X es conexo ⇔ toda funcion discreta en X es constante.

[Demostracion] Para cualquiera de los casos X = ∅ o X = {x} la equivalencia es trivial. Podemosasumir que X posee mas de un punto. Verificamos ambos condicionales por contrarrecıproco.

(⇒): Supongamos que existe alguna funcionXf -Z discreta y no constante. Fijemos algun z ∈ f(X).

Entonces f(X) ⊂ Z posee mas de un punto, por lo cual Z\{z} 6= ∅. Tomando las preimagenes A = f−1

(z)

y B = f−1

(Z\{z}) obtenemos una disconexion X = A tB; luego X no es conexo.(⇐): Si X no es conexo fijemos alguna disconexion X = AtB. Puesto que A,B son abiertos disjuntos novacıos, si consideramos el espacio 2 = {0, 1} con la topologıa discreta, entonces la funcion caracterıstica

1A

: X - 2 1A

(x) =

{1 x ∈ A0 x 6∈ A

es continua. En efecto 1−1

A(2) = X, 1

−1

A(1) = A, 1

−1

A(0) = B y 1

−1

A(∅) = ∅. Se deduce que 1

Aes una

funcion discreta no constante. �

Corolario 2.8.3. La adherencia de un subespacio conexo es conexa.

[Demostracion] Sea Y ⊂ X un subespacio conexo. Por la def. de la topologıa de subespacio, unadisconexion de Y es dada por un par de abiertos A,B ⊂ X tales que

• Y ⊂ A ∪B.• A ∩B ∩ Y = ∅

Puesto que Y ⊂ Y notemos que Y ⊂ A∪B, y A∩B∩Y ⊂ A∩B∩Y = ∅, luego A∩B∩Y = ∅. Se deduceque A,B son una disconexion de Y . Puesto que Y es conexo, se tiene que A ∩ Y = Y o B ∩ Y = Y .Sin perdida de generalidad supongamos que A ∩ Y = Y , es decir, que Y ⊂ A. Entonces, por la def. deadherencia, Y ⊂ A. Se deduce que A,B son una disconexion trivial de Y , luego Y es conexo. �

Proposicion 2.8.4. [Propiedades de la conexidad](1) La imagen de un espacio conexo por una funcion continua es conexa.

(2) La union de subespacios conexos no disjuntos 2 a 2 es conexa.

(3) En todo espacio topologico X, la relacion ”a ∼ b ⇔ ∃Y ⊂ X tal que Y es un subespacio

conexo y a, b ∈ Y ”; es una equivalencia en X.

[Demostracion] (1) Sea X conexo y Xf - Y cualquier funcion continua. Si f(X)

g -Z es


cualquier funcion discreta entonces la composicion gf tambien es discreta; puesto que X es conexo gf esconstante; luego g es constante.(2) Sea {Yi : i ∈ I} cualquier familia de subespacios conexos de X, tales que Yi∩Yj 6= ∅ para cualesquiera

i, j ∈ I; y escribamos Y = ∪i

Yi. Si X

f -Z es cualquier funcion discreta entonces las restricciones

fi

= f |Yi

son constantes para cada i ∈ I. Es inmediato que fi|Yi∩Yj

= fj|Yi∩Yj

para cada i, j; de donde

f |Y

es constante. Se deduce que toda funcion discreta definida en Y es constante. Por la arbitrariedadde f se tiene que Y es conexo.(3) La relacion es reflexiva pues para todo x ∈ X el atomo {x} es conexo. La simetrıa es trivial. Para

la transitividad supongamos que a ∼ b y b ∼ c. Sean Y,Z ⊂ X subespacios conexos tales que a, b ∈ Y yb, c ∈ Z. Puesto que b ∈ Y ∩ Z 6= ∅, por el paso enterior, Y ∪ Z es un subespacio conexo que contiene aa, c; luego a ∼ c. �

2.9. Componentes conexas. Una componente conexa de X es un subespacio conexo de X que esmaximal por contenciones. Toda componente conexa de X es una clase de equivalencia de la relaciondefinida en §2.8.4-(3). anterior. Por §2.8.3 toda componente conexa es cerrada. Una equivalencia masdebil es la siguiente:

(1) a ∼ b ⇔ f(a) = f(b) ∀Xf -Z discreta

Una casi-componente de X es una clase de equivalencia de la relacion anterior.

Lema 2.9.1. [Propiedades de las componentes conexas](1) Toda componente conexa es cerrada.

(2) Toda casi-componente es cerrada.

(3) Toda componente conexa de X esta contenida en una casi-componente.

(4) Toda casi-componente es union de componentes conexas.

(5) X es la union disjunta de sus componentes conexas (resp. de sus casi-componentes).

[Demostracion] Procedemos por pasos: (1) Por §2.8.3.

(2) Dado x ∈ X la casi-componente que contiene a x es su clase de equivalencia por la relacion §2.9-(1);

es decir,

Cx

=

{y ∈ X : f(x) = f(y)∀ X

f -Z discreta

}Es suficiente notar que Cx = ∩

f discretaf−1

(f(x)) es interseccion de cerrados en X.

(3) Por §2.8.2.

(4) De nuevo por Por §2.8.2, la relacion de equivalencia §2.8.4-(3) es mas fuerte que (refina a) la equiva-

lencia de arriba §2.9-(eq equivalencia casi-componentes).(5) Trivial. �

Diremos que X es localmente conexo si todo punto de X posee una base de entornos conexos.

20 G. PADILLA

Lema 2.9.2. Si X es localmente conexo entonces(1) Toda componente conexa es abierta.

(2) Las componentes conexas coinciden con las casi-componentes.

[Demostracion] (1) Sea C ⊂ X una componente conexa y x ∈ C. Dado cualquier entorno abierto

conexo Ux 3 x, por la maximalidad de las componentes, tenemos que Ux ⊂ C. Entonces C es la unionde los abiertos Ux variando a x ∈ C; luego C es abierto.(2) Por §2.9.1-(4); si C ′ es una casi-componente entonces es union de componentes conexas; digamos

C ′ = tiCi. Por el paso (1) de esta demostracion cada componente conexa C

ies abierta; luego C ′ es

abierta. Ahora bien; por §2.9.1-(2) C ′ es cerrada. Puesto que en X los subconjuntos cerrados y abiertosmaximales son precisamente sus componentes conexas, se deduce que C ′ es ella misma una componenteconexa. �

2.10. Conexidad por arcos. La relacion ”a ∼ b ⇔ ∃[0, 1]f -X continua, tal que f(0) = a y

f(1) = b” es una equivalencia. Una componente arco-conexa de X es un clase de equivalencia de larelacion anterior. Diremos que X es arco-conexo ⇔ para todo par de puntos a, b ∈ X se tiene a ∼ b; esdecir ⇔ X posee una sola clase de equivalencia por dicha relacion. Con un procedimiento similar al de§2.8.4-(2) se puede verificar que la union de subespacios arcoconexos no disjuntos 2 a 2 es un subespacioarcoconexo, luego una componente arco-conexa de X es un subespacio arco-conexo maximal de X. Unespacio X es localmente arco-conexo ⇔ todo punto de X posee una base de entornos arco-conexos.

Lema 2.10.1. [Propiedades de la conexidad por arcos](1) El intervalo [0, 1] es conexo.

(2) Todo espacio arco-conexo es conexo.

(3) Todo espacio localmente arco-conexo es localmente conexo.

(4) Toda componente arco-conexa esta contenida en alguna componente conexa.

(5) Toda componente arco-conexa es abierta y cerrada.

(6) Si X es localmente arco-conexo entonces toda componente arco-conexa es una componente

conexa.

[Demostracion] (1) Vamos por reduccion al absurdo: Supongamos que existe una funcion discreta y no

constante [0, 1]f - 2 = {0, 1}. Como [0, 1] es un espacio metrico la continuidad se expresa en terminos

de lımites y sucesiones. Supongamos sin perdida de generalidad que f(0) = 0. Ya que f no es constante,

f−1

({1}) es un subconjunto no vacıo y acotado, contenido en [0, 1]. Sea a = inf{t ∈ [0, 1] : f(t) = 1}.Por construccion a > 0 y f(t) = 0 para todo t ∈ [0, a). Pero entonces existe un entero positivo n > 0suficientemente grande tal que la sucesion {t

m= a − 1

m : m > n} esta contenida en [0, a) y converge aa. Sin embargo f(t

m) = 0 para todo m, y f(a) = 1. En terminos de lımites, para todo δ < 1/n existe

m > n tal que |tm− a| < δ y sin embargo |f(t

m)− f(a)| = 1; es decir, f no es continua en a; luego no es

una funcion discreta.

(2) Sea X un espacio arcoconexo y Xf -Z una funcion discreta. Dados cualesquiera a, b sea

[0, 1]σ -X un camino continuo tal que σ(0) = a y σ(1) = b. Por el paso anterior [0, 1] es conexo.


Puesto que la composicion g = fσ es continua, es una funcion discreta definida en [0, 1]; luego es con-stante. Se deduce que f(a) = g(0) = g(1) = f(b). Dejando fijo a a ∈ X y moviendo arbitrariamente ab ∈ X se deduce que f ≡ f(a) es la funcion constante de valor f(a). Por §2.8.2 y la arbitrariedad de f ,se deduce que X es conexo.(3) Consecuencia del paso (2).

(4) Consecuencia del paso (2).

(5) Sea C0

una componente arco-conexa. Por la condicion de arco-conexidad local C0

es abierta (la dem.

es analoga a la de §2.9.2-(1) para componentes conexas). Veamos que C0 es cerrada; para ello, sea C lacomponente conexa que contiene a C0 . Escribamos a C = C0 t

jCj como union de algunas componentes

arco-conexas en X. Con el mismo argumento de antes, cada Cj

es abierta. Por el paso (3) de estademostracion X es localmente conexo; por §2.9.1-(1) C es cerrado. Entonces

C0 = C\ tj 6=0

Cj = C ∩(X\ t

j 6=0Cj

)es interseccion de dos cerrados, luego es cerrado.(6) Es consecuencia del paso anterior; la demostracion es analoga a la de §2.9.2-(2). �

2.11. Separacion. Estos son los axiomas de separacion en un espacio topologico (X, T ):

T0 Dados dos puntos diferentes en X, existe un abierto que contiene a solo uno de los dos.T

1Dados dos puntos x 6= y en X, existe un abierto que contiene a x y no a y; y otro entorno quecontiene a y y no a x.

T2

Propiedad de Hausdorff: Dados dos puntos x 6= y en X, existen dos abiertos disjuntosA ∩B = ∅ tales que x ∈ A, y ∈ B.

T3 Regularidad: X es T1 y dado un cerrado C ⊂ X y un punto x ∈ X\C, existen dos abiertosdisjuntos A ∩B = ∅ tales que x ∈ A, C ⊂ B.

T4

Normalidad: X es T1

y dados dos cerrados disjuntos C,D ⊂ X, C ∩D = ∅ existen dos abiertosdisjuntos A ∩B = ∅ tales que C ⊂ A, D ⊂ B.

Por ejemplo: En un espacio T0

los puntos se pueden distinguir por los abiertos a los que pertenecen.En un espacio T1 todo conjunto unitario es cerrado. Esta es otra manera de caracterizar la regularidady la normalidad:

Lema 2.11.1. Si X es un espacio T1 entonces(1) X es regular ⇔ dado x ∈ X y un entorno abierto U de x existe un abierto A tal que

x ∈ A ⊂ A ⊂ U .(2) X es normal ⇔ dado un cerrado C ⊂ X y un entorno U ⊃ C existe un abierto A tal que

C ⊂ A ⊂ A ⊂ U .

[Demostracion] (1) Vemos el doble condicional: (⇒) El cerrado C = X\U es disjunto de x. Por

regularidad existen abiertos disjuntos A,B ⊂ X que separan a x de C. Es decir, A ∩ B = ∅, x ∈ A yC ⊂ B. De ello se deduce que A ∩ C = ∅, es decir, A ⊂ U . (⇐) Recıprocamente, si vale la propiedadcitada, C es cualquier cerrado y x 6∈ C es un punto fuera de C; entonces U = X\C es un entorno abiertode x. Basta tomar cualquier abierto A 3 x tal que A ⊂ U . Por construccion C = X\U ⊂ X\A = B y Bes un abierto disjunto de A.(2) Se procede de modo similar al primer paso sustituyendo a x por un cerrado D disjunto de C. �

22 G. PADILLA

El axioma de separacion mas importante es posiblemente el axioma T2

o axioma de Hausdorff.

Proposicion 2.11.2. [Propiedades de los espacios Hausdorff](1) Todo subespacio de un espacio Hausdorff es Hausdorff.(2) El producto cartesiano de una familia de espacios Haudorff (con la topologıa producto) es

Hausdorff.(3) Un espacio Hausdorff X es regular ⇔ para cada x ∈ X los entornos cerrados de x forman una

base de entornos.

[Demostracion] (1) Si Y ⊂ X es un subespacio de X y este ultimo es Hausdorff entonces, dados

cualesquiera a, b ∈ Y diferentes, basta tomar dos abiertos U, V ⊂ X que los separen, e.d. U ∩ V = ∅,a ∈ U y b ∈ V . Entonces U ′ = U ∩ Y y V ′ = V ∩ Y son abiertos que separan a a, b en Y .Sea Xi una familia de espacios Hausdorff y X =

∏i

Xi el espacio producto. (2) Si x, y son dos puntos

diferentes en X entonces sus coordenadas xi, y

idifieren en algun ındice i. Basta tomar dos abiertos

Ui, V

i⊂ X

ique separen a x

ide y

i. Entonces U = U

i×∏j 6=i

Xj

y V = Vi×∏j 6=i

Xj

son dos abiertos basicos

en X que separan a x, y.(3) Es directa de §2.11.1. �

Proposicion 2.11.3. Todo subespacio de un espacio regular es regular.

[Demostracion] Sea X un espacio regular y Y cualquier subespacio. Primero que nada notemos Yes T1 . La regularidad de Y es consecuencia del comportamiento de las adherencias en subespacios, cf.§2.7.1, y la caracterizacion de la regularidad con bases de entornos cerrados, cf.§2.11.1. �

2.12. Mas ejercicios de topologıa.

(1) Muestra que los siguientes son ejemplos de espacios topologicos:(a) La topologıa trivial o ”indiscreta”: X cualquier conjunto y T = {∅, X}.(b) La topologıa ”discreta”: X cualquier conjunto y T = P(X) la familia de todos los subconjuntos de

X.(c) La topologıa del ”orden”: (X,<) cualquier conjunto parcialmente ordenado y T la topologıa gen-

erada familia de todos los segmentos iniciales Ix = {y : y < x} y finales Fx = {y : x < y}, variandoa x ∈ X.

(d) La topologıa ”metrica”: (X, d) cualquier espacio metrico y T la familia de todos subconjuntosabiertos en el sentido de 1.1.

(e) La topologıa ”cofinita”: X cualquier conjunto de cardinal infinito y T contiene a ∅ y a todo sub-conjunto A cuyo complemento X\A es finito.

(2) Da un ejemplo de un espacio metrico que no satisfaga el 2do axioma de numerabilidad.(3) Sea X = N ∪ {N} con la topoloıa T inducida por el orden entre cardinales. Muestra que no existe una

distancia d definida en X que induzca a T .

(4) Si S es una sub-base de X; muestra que Xf -X ′ es continua⇔ f

−1

(S) es abierto para todo S ∈ S.(5) Verifica que las definiciones de interior, adherencia y frontera en espacios topologicos coinciden con las

dadas en 1 cuando la topologıa proviene de una metrica.

(6) Dado un espacio topologico (X, T ) verifica que X\◦A = X\A y X\A =

◦(X\A).

(7) Dado un espacio topologico (X, T ) y una familia de subconjuntos {Yi}i muestra que

◦(∩i

Yi) ⊂ ∩i

◦Yi


Da un ejemplo de una tal familia para la cual no se tiene la igualdad. Halla una relacion similar para lasadherencias.

(8) Dado un espacio topologico (X, T ) y Y ⊂ X muestra que X =◦Y t ∂Y t (X − Y ).

(9) Muestra que un espacio metrico es 2-numerable⇔ posee un subconjunto numerable y denso. En tal casodecimos que el espacio es separable.

(10) Verifica que la union finita de subconjuntos nunca densos es nunca densa.

(11) Si Y ⊂ X es conexo en X y Y ⊂ Z ⊂ Y entonces Z es conexo.(12) Muestra que el intervalo [0, 1] es conexo en R .

(13) Sea X = {(0, 0); (0, 1)}∪(t

n∈N+

{1/n} × [0, 1]

)⊂ R

2

con la topologıa de subespacio. Mostrar que {(0, 0)}

y {(0, 1)} son componentes conexas, pero no son casi-componentes.(14) Muestra que

(a) En un espacio regular todo par de puntos distintos pueden ser separados por dos abiertos cuyasadherencias son disjuntas.

(b) En un espacio normal todo par de cerrados disjuntos pueden ser separados por dos abiertos cuyasadherencias son disjuntas.

(1) Toda topologıa del orden es regular.

(2) Si Xf,g - Y son continuas y Y es Hausdorff, entonces {x ∈ X : f(x) = g(x)} es cerrado.

3. Espacios compactos

Fijamos un espacio topologico (X, T ).

3.1. Compacidad. Un cubrimiento de Y ⊂ X es cualquier familia de subconjuntos de X cuya unioncontiene a Y . Un subcubrimiento de Y es una subfamilia de un cubrimiento de Y tal que ella mismaes un cubrimiento de Y . Decimos que X es compacto ⇔ posee la propiedad de Heine-Borel: De cadacubrimiento abierto de X se puede extraer un subcubrimiento (abierto) finito.

(1) Si Xf - Y es continua y X es compacto entonces f(X) es compacto.

(2) El cociente de un espacio compacto es compacto.(3) Si Z ⊂ Y ⊂ X y Z es compacto en Y entonces Z es compacto en X.(4) Si X es compacto y Y ⊂ X es cerrado entonces Y es compacto.

Lema 3.1.1. El intervalo [0, 1] es compacto en R .

[Demostracion] Sea U cualquier cubrimiento abierto de [0, 1] y sea

S = {t ∈ [0, 1] : [0, t] posee un subcubrimiento finito de U}Puesto que 0 ∈ S, tenemos que este es un conjunto no vacıo y superiormente acotado en R . Sea b = sup(S)el supremo de dicho conjunto. Notemos que si t ∈ S y 0 ≤ s ≤ t entonces [0, s] ⊂ [0, t] se cubre conun numero finito de abiertos de U , es decir que s ∈ S. De dicha observacion se deduce que S es unintervalo; luego S = [0, a) o S = [0, a] para algun a ≤ b. Por unicidad del supremo se deduce que a = b,es decir S = [0, b) o S = [0, b]. Si b 6∈ S entonces basta tomar cualquier U ∈ U tal que b ∈ U . Esteabierto U debe entonces contener un intervalo de la forma (b − ε, b] para cierto ε > 0. Entonces, como(b− ε/2) ∈ S, [0, b− ε/2] se cubre con un numero finito de abiertos en U ; digamos U

1, . . . , U

n. Notemos

que U1, . . . , U

n, U

n−1= U es un cubrimiento finito de [0, b] luego b ∈ S (contradiccion). La suposicion

b 6∈ S lleva al absurdo, luego b ∈ S y en consecuencia S = [0, b], con b ≤ 1. Finalmente, si b < 1,entonces U contiene a todo un intervalo de la forma (b− ε, b+ ε) para cierto ε > 0 y, en este ultimo caso,U1 , . . . , Un , Un−1 = U es un cubrimiento finito de [0, b+ ε/2] luego b ∈ S no es el supremo (contradiccion).Se deduce que b = 1. �

24 G. PADILLA

Proposicion 3.1.2. Si X es compacto, entonces la proyeccion coordenada X × Yπ - Y es cerrada.

[Demostracion] Esta funcion es continua pues X × Y posee la topologıa producto. Si C ⊂ X × Yes cualquier cerrado, basta mostrar que U = Y \π(C) es abierto. Tomemos t ∈ U ; esto implica que(x, t) ∈ V = (X × Y )\C para todo x ∈ X. Fijado cualquier x ∈ X, puesto que V es abierto en X × Ypodemos tomar un abierto basico A × B ⊂ V tal que x ∈ A ⊂ X y t ∈ B ⊂ Y . Por construccion;π(A×B) = B ⊂ U . Se deduce que U es abierto. �

Una funcion continua Xf - Y es propia ⇔ la preimagen f

−1

(C) de todo subespacio compactoC ⊂ Y es un subespacio compacto en X.

Proposicion 3.1.3. Supongamos que Xf - Y es una funcion continua y cerrada. Si f

−1

(y) escompacto para todo y ∈ Y entonces f es propia.

[Demostracion] Sea C ⊂ Y compacto y U un cubrimiento abierto de K = f−1

(C). Para cada y ∈ Csea U

y= {U 1

y, . . . , U

ny

y} una subfamilia finita de U que cubre a f

−1

(y) y Wy

la union de los abiertos

en Uy . Como f es cerrada, Vy = Y \f(X\Wy ) es un entorno abierto de y. Ademas f−1

(Vy ) ⊂ Wy paracada y ∈ C. Obtenemos un cubrimiento abierto {V

y: y ∈ C} de C. Por compacidad podemos extraer

un subcubrimiento finito Vy1, . . . , V

yk. Entonces K es cubierto por W

y1, . . . ,W

ykquienes, a su vez, son

uniones finitas de abiertos de U . �

Corolario 3.1.4. Si X,Y son compactos, entonces X × Y es compacto.

[Demostracion] Por 3.1.2 la proyeccion X × Yπ - Y es cerrada; y por 3.1.3 π es propia. Dado

que el espacio de llegada Y es compacto y π es sobreyectiva, el espacio de partida X ×Y es compacto. �

Corolario 3.1.5. El producto cartesiano [0, 1]n

= [0, 1]× · · · × [0, 1] ⊂ Rn

es compacto.

[Demostracion] Por induccion: para n = 1 es el lema 3.1.1. Si vale para n entonces, para n + 1,

tenemos que [0, 1]n+1

= [0, 1]n × [0, 1] es producto de dos compactos y usamos 3.1.4. �

Proposicion 3.1.6. Si X es Hausdorff entonces todo subespacio compacto de X es cerrado.

[Demostracion] Sea K ⊂ X compacto, x ∈ X\K. Para cada y ∈ K sean Ay, B

yabiertos tales que x ∈

Ay, y ∈ B

yy A

y∩B

y= ∅. Puesto que la familia {B

y: y ∈ K} es un cubrimiento abierto de K, podemos

extraer de ella un subcubrimiento abierto finito, digamos By1, . . . , B

yn. Entonces K ⊂ B

y1∪ · · · ∪ B

yn.

Por construccion A = Ay1∩· · ·∩Ayn

es un entorno abierto de x y A∩Byj= ∅ para cualquier j = 1, . . . , n;

luego A∩K = ∅. Se deduce que A ⊂ X\K con lo cual el complemento de K es abierto, e.d. K es cerrado.�

Corolario 3.1.7. Un subespacio de Rn

es compacto ⇔ es cerrado y acotado.

[Demostracion] (⇒): Sea K ⊂ Rn

compacto. Por 3.1.6 K es cerrado, de modo que basta ver quees acotado. Para n = 1 es inmediato pues K puede ser cubierto por un numero finito de intervalos dediametro finito, luego es acotado. Para n > 1, por el ejercicio (1) de 3.1, cada proyeccion coordenada

Rn πj-R manda a K en algun subespacio compacto πj (K) que es cerrado y acotado en R , luego


πj(K) ⊂ [a

j, bj] esta contenido en algun intervalo cerrado. Tomando imagenes inversas se deduce que

K ⊂ [a1 , b1 ]× · · · × [an , bn ]. Como la topologıa de las bolas es equivalente a la topologıa de las cajas enRn

, basta tomar ε > 0 y cualquier bola abierta de diametro finito B tal que K ⊂ (a1− ε, b

1+ ε)× · · · ×

(an− ε, b

n+ ε) ⊂ B.

(⇐): SiK es acotado entonces posee diametro finito, existe alguna bola abierta de diametro finito centradaen el origen B(0, δ) que contiene a K. Puesto que la topologıa de las bolas es equivalente a la topologıade las cajas en Rn

, existe alguna caja abierta, que es un abierto basico de la forma (a1, b

1)×· · ·× (a

n, bn)

y contiene a K. Pero entonces K ⊂ [a1, b

1] × · · · × [a

n, bn] y este ultimo subespacio es compacto en Rn

por 3.1.5. Si K es cerrado entoces, por el ejercicio (4) de 3.1, K es compacto en [a1, b

1] × · · · × [a

n, bn].

Luego K es compacto. �

Lema 3.1.8. Toda biyeccion continua de un compacto en un Hausdorff es un homeomorfismo.

[Demostracion] Sea X compacto, Y Hausdorff y Xf - Y una biyeccion continua. Debemos

mostrar que f es un homemorfismo, es decir que su inversa g = f−1

es continua. Para ello bastaver que f es cerrada (manda cerrados en cerrados). Si C ⊂ X es cerrado entonces, por la propiedad (4)C es compacto. Por la propiedad (1) la imagen directa f(C) es un subespacio compacto de Y , el cual esHausdorff. Por el lema anterior 3.1.6, f(C) es cerrado en Y . �

Corolario 3.1.9. Toda funcion continua a valores reales con dominio compacto alcanza el supremo (yel ınfimo) en el dominio.

Lema 3.1.10. Todo espacio Hausdorff y compacto es T4

(es decir, normal).

[Demostracion] Sea X un espacio Hausdorff y compacto. Verificamos que

• X es T3: Es decir, regular. Sea C ⊂ X un cerrado y x ∈ X\C. Siga la demostracion en 3.1.6; los

abiertos x ∈ A y B = By1∪ · · · ∪B

ynconseguidos allı son los deseados para separar a x y C.

• X es T4: Es decir, normal. Sean C,C ′ ⊂ X cerrados disjuntos. Para cada x ∈ C ′ sean Ax , Bx abiertos

tales que x ∈ Ax , C ⊂ Bx y Ax ∩ Bx = ∅. Por la propiedad (4) C es compacto y {Ax : x ∈ C}es un cubrimiento abierto de C; podemos extraer un subcubrimiento finito A

x1, . . . , A

xn. Entonces

C ⊂ A = Ax1∪ · · · ∪A

xnes abierto; C ′ ⊂ B = B

x1∩ · · · ∩B

xnes abierto; y A∩B = ∅ por construccion.

�

3.2. Espacios Hlc. Un espacio (X, T ) es localmente compacto ⇔ todo punto posee algun entornocompacto. En adelante, dado un espacio Hausdorff localmente compacto diremos que X es Hlc.

(1) En un espacio Hlc los entornos compactos forman una base de entornos en cualquier punto.(2) Si X es Hlc y A ⊂ X es abierto, entonces A es Hlc.(3) Si X es Hlc y C ⊂ X es cerrado, entonces C es Hlc.

Sea (X, T ) un espacio Hlc. La compactificacion de Alexandrof de X es el espacio X∞

= X t {∞}con la topologıa T ∞ siguiente: Un subconjunto A de X

∞pertenece a T ∞ ⇔:

• A ⊂ X y A ∈ T ; o bien• C = X

∞\A es compacto en X.

Lema 3.2.1. Dado un espacio Hlc (X, T );

(a) X es un subespacio de X∞

.(b) X

∞es compacto y Hausdorff.

26 G. PADILLA

(c) T ∞ es la unica topologıa en X∞

tal que X∞

satisface (1) y (2).

[Demostracion] La propiedad (a) es por definicion: En efecto, sea A ⊂ X∞

un abierto. Si ∞ 6∈ A

entonces A ⊂ X es un abierto de X. En caso contrario, si ∞ ∈ A entonces C = X∞\A ⊂ X es compacto

en X. Puesto que X es Hausdorff, C ⊂ X es cerrado en X (lema 3.1.6). Entonces A ∩ X = X\C esabierto en X.Para ver (b) tomemos cualquier cubrimiento abierto U de X

∞. Algun subconjunto U ∈ U debe contener

al punto infinito; e.d. ∞ ∈ U . Entonces C = X∞\U es compacto en X. Dado que X es subespacio de

X∞

(punto anterior) C tambien es compacto en X∞

(ejercicio (3) de 3.1); luego C es cubierto por unnumero finito de abiertos de U .Para (c) supongamos que T ′ es cualquier otra topologıa de X

∞que satisface (1) y (2) y tomemos un

abierto U ∈ T ′. Si ∞ 6∈ U entonces U ⊂ X. Como X es un subespacio de (X∞, T ′) se deduce que U es

abierto en X; luego U esta en T ∞ . Por otra parte, si ∞ ∈ U entonces C = X∞\U es cerrado. Puesto

que (X∞, T ′) es compacto, C es compacto en (X

∞, T ′) (ejercicio (4) de 3.1). Puesto que C ⊂ X y X es

subespacio de (X∞, T ′), C es compacto en X; luego U ∈ T ∞ . Con esto deducimos que T ′ ⊂ T ∞ . La

otra contencion es analoga. �

Lema 3.2.2. Si X,Y son Hlc entonces Xf - Y es propia⇔ f admite la extension continua X

∞ f - Y∞

definiendo f(∞X

) =∞Y

.

[Demostracion] (⇒) La funcion f esta bien definida, basta verificar que es continua. Dado cualquier

abierto A ⊂ Y ∞ debemos ver que f−1

(A) es abierto en X∞

. Si ∞Y6∈ A entonces A ⊂ Y es abierto en Y

pues Y es subespacio de Y∞

. En este caso A′ = f−1

(A) = f−1

(A) es abierto en X por la continuidad def , luego es abierto en X

∞. Por otra parte, si ∞

Y∈ A entonces C = Y

∞\A es compacto en Y . Puesto

que f es propia; C ′ = f−1

(C) = f−1

(C) es compacto en X, luego f−1

(A) = X∞\C ′ es abierto en X

∞.

(⇐) Dado cualquier compacto C ⊂ Y , por definicion A = Y∞\C es abierto en Y

∞y contiene al punto

infinito∞Y

. Si f es continua entonces f−1

(A) es abierto en X∞

y contiene al punto infinito∞X

. Entonces

f−1

(C) = f−1

(C) = X∞\f−1

(A) es compacto en X. Se deduce que f es propia. �

Lema 3.2.3. Toda funcion propia entre espacios Hlc es cerrada (manda cerrados en cerrados).

[Demostracion] Sea Xf - Y una funcion propia entre espacios Hlc y X

∞ f - Y∞

la extensioncontinua del lema anterior. Todo cerrado C ⊂ X es tambien cerrado en X

∞, pues X es subespacio de

X∞

. Puesto que X∞

es compacto, C es compacto en X∞

(ejercicio (4) de 3.1). Su imagen f(C) = f(C)es entonces compacta en Y

∞(ejercicio (1) de 3.1). Como Y

∞es Hausdorff se deduce que f(C) es cerrado

en Y∞

(lema 3.1.6). Como f(C) ⊂ Y y Y es subespacio de Y∞

; se deduce que f(C) es cerrado en Y . �

Un subespacio Y ⊂ X es localmente cerrado en X ⇔ para cada punto y ∈ Y existe algun entornoabierto Uy en X tal que Uy ∩ Y es cerrado en Uy .

Lema 3.2.4. Y ⊂ X es localmente cerrado ⇔ Y = A ∩C donde A ⊂ X es abierto y C ⊂ X es cerrado.


[Demostracion] (⇒) Para cada y ∈ Y sea Uy

un entorno abierto tal que Uy∩ Y es cerrado en U

y.

Tomemos el abierto U = ∪y∈Y

Uy

y el cerrado C = Y (la adherencia de Y ). Entonces

U ∩ C = Y ∩ U = Y ∩[∪y∈Y

Uy

]= ∪

y∈Y

[Y ∩ Uy

]= ∪

y∈Y

[Y ∩ Uy

]= Y

La otra implicacion es trivial. �

Proposicion 3.2.5. En un espacio Hausdorff X las siguientes proposiciones son equivalentes.

(1) X es Hlc.(2) X es un subespacio localmente cerrado de algun espacio Hausdorff compacto.(3) X es un subespacio localmente cerrado de algun espacio Hlc.

[Demostracion] (1)⇒ (2): Si X es Hlc entonces X es abierto en X∞

, que es compacto y Hausdorff.Puesto que X es subespacio de X

∞; todo subespacio compacto de X es cerrado en X

∞(lema 3.1.6). En

particular, como X es Hlc, es localmente cerrado en X∞

.(2)⇒ (3): Es trivial.(3) ⇒ (1): Si X es subespacio localmente cerrado de un espacio Y Hlc, por el lema 3.2.3 escribamosX = A∩C tales que A ⊂ Y es abierto y C ⊂ Y es cerrado. Puesto que Y es localmente compacto; dadocualquier punto x ∈ C, x posee un entorno compacto V ⊂ Y . Como Y es Hausdorff, V es cerrado en Y(lema 3.1.6). Entonces C ∩ V es cerrado en V , luego C ∩ V es compacto (ejercicio (4) de 3.1). Se deduceque C es localmente compacto. Puesto que X = C∩U es un abierto de C con la topologıa de subespacio;se deduce que X es localmente compacto. �

3.3. Espacios paracompactos. Una familia S de subconjuntos de X es localmente finita (en adelantelf) ⇔ todo punto de X tiene un entorno que intersecta a lo sumo un numero finito de subconjuntos dela familia S.

Lema 3.3.1. Sea S una familia lf en un espacio topologico X. Entonces(1) {S : S ∈ S} es lf.

(2) ∪S∈S

S = ∪S∈S

S.

[Demostracion] (1) Sea x ∈ X y U un entorno de x que intersecta un numero finito de conjuntos en

la familia S. Fijemos un conjunto S ∈ S de la familia. Basta verificar que U intersecta a S si y solo siU intersecta a S. Una de las dos implicaciones es inmediata pues S ⊂ S. Por otra parte, si x ∈ U ∩ Sentonces, por definicion de adherencia, todo entorno de x intersecta a S. En particular para U intersectaa S.(2) Puesto que cada S0 esta contenido en la union ∪

S∈SS; por monotonıa de la adherencia (ejercicio (10)

de 2.1) tenemos que S0⊂ ∪S∈S

S. Tomando uniones del lado izquierdo obtenemos que ∪S∈S

S ⊂ ∪S∈S

S. Para

verificar que ∪S∈S

S ⊂ ∪S∈S

S tomemos un punto z ∈ ∪S∈S

S y un entorno abierto U de z que intersecta un

numero finito de conjuntos de la familia S; digamos S1, . . . , Sn. Por definicion de adherencia, para cadaentorno abierto V de z, se tiene que V ∩ U intersecta a ∪

S∈SS; luego intersecta S1 ∪ · · · ∪ Sn. Se deduce

que

z ∈ S1 ∪ · · · ∪ Sn = S1 ∪ · · · ∪ SnLa ultima igualdad se tiene pues la union es finita (ejercicio (11) de 2.1). Luego z ∈ Sj para algun j. �

28 G. PADILLA

Dados dos cubrimientos abiertos U ,V de X diremos que V refina a U si cada subconjunto de lafamilia V esta contenido en algun subconjunto de la familia U . Dados cualesquiera cubrimientos U ,Vsiempre existe algun cubrimiento W que los refina a ambos; podemos tomar por ejemplo la familia deintersecciones U ∩ V con U ∈ U y V ∈ V. Un espacio Hausdorff X es paracompacto si para cadacubrimiento abierto existe un refinamiento abierto lf.

Lema 3.3.2. Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto.

[Demostracion] Sea X un espacio paracompacto y C un cerrado en X. Dado cualquier cubrimientoabierto U de C, la familia V = U ∪ {X\C} es un cubrimiento de X. Extraigamos un refinamiento lf deW; los abiertos en W que intersectan a C dan un refinamiento lf de U . �

Proposicion 3.3.3. Todo espacio paracompacto es normal.

[Demostracion] Sea X un espacio paracompacto. Entonces:• X es regular: Dado un cerrado C en X y un punto x ∈ X\C. Como X es Hausdorff, para cada y ∈ Cpodemos tomar dos abiertos disjuntos A

y, B

ytales que x ∈ A

y, y ∈ B

y. Tomemos el cubrimiento abierto

de X que consta de todos los abiertos By y el abierto X\C; y tomemos un refinamiento abierto lf U dedicho cubrimiento. Sea

U ={V ∈ U : V ⊂ Vy para algun y ∈ C

}Notemos que C ⊂ U . Por 3.3.1-(2) y la monotonıa del operador de adherencia (ejercicio (10) de 2.1)tenemos que

U = ∪{V : V ∈ U , V ⊂ V

ypara algun y ∈ C

}⊂ ∪

y∈CVy

de donde x 6∈ U . Esto implica que x posee algun entorno W disjunto de U , por la definicion de adherencia.• X es normal: Dados dos cerrados C,C ′; por el paso anterior para cada punto x ∈ X\C ′ podemos tomardos abiertos disjuntos Ax , Bx tales que C ′ ⊂ Ay y x ∈ By . Tomemos el cubrimiento abierto de X queconsta de todos los abiertos B

yy el abierto X\C ′. Repitiendo en adelante el mismo razonamiento del

paso anterior se llega separar C,C ′ con dos abiertos disjuntos. �

Lema 3.3.4. Dado un espacio paracompacto X y una familia localmente finita F = {Cα}α de cerradosdisjuntos; hay una familia {Vα} de abiertos disjuntos que los separan.

[Demostracion] Sea C = tαCα. Como F es localmente finita, para cada Cα el subconjunto (C −Cα)

tambien es cerrado; en consecuencia hay un entorno abierto Uα de Cα cuya adherencia no intersectaa (C − Cα). Puesto que X es paracompacto, del cubrimiento abierto {X − C} ∪ {Uα}α extraemos unrefinamiento abierto localmente finito W = {Wγ}γ . Por la finitud local de W,

∪β 6=α

Uβ = ∪β 6=α

[∪

Wγ⊂UβWγ

]= ∪β 6=α

∪Wγ⊂Uβ

Wγ =

[∪β 6=α

∪Wγ⊂Uβ

Wγ

]= ∪β 6=α

Uβ

de dondeKα = ∪

β 6=αUβ

es cerrado. Basta ahora definir Vα = (Uα −Kα). �

4. Convergencia en espacios topologicos

Fijamos un espacio topologico (X, T ).


4.1. Redes. Un conjunto dirigido es un conjunto parcialmente ordenado (D,≤) tal que, para cua-

lesquiera i, j ∈ D siempre existe algun k ≥ i, j. Una red en X es una funcion Dα -X definida de

un conjunto dirigido en X; en tal caso escribiremos usualmente xi

= α(i) para cada i ∈ D. Dado Y ⊂ Xy cualquier red α en X; diremos que α

• Cae en Y ⇔ α(D) ⊂ Y .• Cae frecuentemente en Y ⇔ para cada i ∈ D existe algun j ≥ i tal que α(j) ∈ Y .• Cae a la larga en Y ⇔ existe algun i ∈ D tal que α(j) ∈ Y para todo j ≥ i.

Dada una red α en X y un punto x ∈ X, diremos que α converge a x si y solo si para todo entornoabierto U de X se tiene que α cae a la larga en U . Note que, si α converge a x entonces x es un puntode adherencia de α(D).

Lema 4.1.1. Sean Y,Z ⊂ X y α una red en X. Si α cae eventualmente en Y y α cae eventualmente enZ entonces Y ∩ Z 6= ∅ y α cae eventualmente en Y ∩ Z.

[Demostracion] Sean i, i′ ∈ D tales que α(j) ∈ Y (resp. α(j) ∈ Z) para cada j ≥ i (resp. j ≥ i′).Entonces, como D es dirigido, basta tomar k ≥ i, i′. Por construccion, para cada j ≥ k se tiene queα(j) ∈ Y ∩ Z. �

Lema 4.1.2. X es Hausdorff ⇔ toda red converge a lo sumo a un unico punto.

[Demostracion] Probamos el doble condicional.

(⇒) Sea X es Hausdorff y α una red que converge a dos puntos x, y. Si x ∈ U , y ∈ V son dos entornosabiertos entonces, por definicion, α cae eventualmente en U y cae eventualmente en V . Por el lemaanterior, α cae eventualmente en U ∩ V 6= ∅ con lo cual x, y no pueden separarse por entornos disjuntos.Puesto que X es Hausdorff eso implica que x = y.

(⇐) Suponga que X no es Hausdorff y sean x, y dos puntos en X que no pueden separarse por entornosabiertos disjuntos. Consideremos el conjunto parcialmente ordenado (D,≤) definido como sigue: Unelemento de D es un par (U, V ) tal que U es un entorno abierto de x y V es un entorno abierto de y.Definimos la relacion de orden parcial como sigue: (U, V ) ≤ (U ′, V ′) si y solo si U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V .Puesto que, para cada par (U, V ) en D, la interseccion U ∩ V 6= ∅ es no vacıa, por el axioma de eleccion

podemos elegir un elemento x(U,V )

∈ U ∩V . Esto define entonces una red Dα -X. Afirmamos que α

converge a x y a y. Para ver que α converge a x tomemos cualquier entorno abierto W de x. Entonces,para cualquier (U, V ) ≥ (W,W ) en D, se tiene que x

(U,V )∈ U ∩ V ⊂W ; luego α cae a la larga en W . De

modo similar se ve que α converge a y. �

En un espacio Hausdorff X toda red α converge, a lo sumo, a un unico punto x y, en tal caso decimosque x es el lımite de α y escribiremos x = Lim

i∈Dxi, o bien x = Lim α.

Lema 4.1.3. Xf - Y es continua ⇔ dada cualquier red α en X que converge a x ∈ X, la red fα en

Y converge a f(x).

[Demostracion] Mostramos el doble condicional. (⇒) Suponga que f es continua y sea α una red en

X que converge a x. Sea U un entorno abierto de f(x). Como V = f−1

(U) es un entorno de x, la red αcae a la larga en V ; es decir, existe algun i tal que α(j) ∈ V para todo j ≥ i. Entonces f(α(j)) ∈ U paratodo j ≥ i; es decir, fα cae a la larga en U .

30 G. PADILLA

(⇐) Recıprocamente sea Xf - Y cualquier funcion entre dos espacios topologicos que satisface la

condicion del enunciado: Para cada red α en X que converja a un punto x, la red compuesta fα converge

a f(x). Supongamos que f no es continua y sea V ⊂ Y algun abierto tal que su preimagen U = f−1

(V ) no

es abierto en X. Tomemos cualquier punto x ∈ U\◦U 6= ∅. Consideremos el conjunto dirigido D = V(x)

de todos los entornos de x ordenados por contencion: dados A,B ∈ D diremos que A ≤ B si y solo siB ⊂ A. Por la seleccion del punto x, ningun entorno de x puede estar contenido en U . Luego, paracualquier A ∈ D tenemos que A ∩ (X\U) 6= ∅ y podemos escoger w

A∈ A ∩ (X\U) por el axioma de

eleccion. De este modo construimos una red Dα -X dada por α(A) = w

A. Si W es cualquier entorno

abierto de x y A ≥W , es decir, si A ⊂W , entonces A∩ (X\U) ⊂W ∩ (X\U), luego wA∈W . Se deduce

que α cae eventualmente en W . De la arbitrariedad de W deducimos que α converge a x. Sin embargo,f(w

A) = f(α(A)) 6∈ V para todo A ∈ D; luego fα nunca cae a la larga en V y, por tanto, no converge a

f(x). �

Por la proposicion anterior, dada cualquier red α que converge en X, la condicion de continuidad setraduce

f(Limi∈D

xi) = Lim

i∈Df(x

i)

Lema 4.1.4. Dado Y ⊂ X, tenemos x ∈ Y ⇔ x es un punto lımite de alguna red que cae en Y .

[Demostracion] (⇒): Si x ∈ Y entonces, para el conjunto parcialmente ordenado D = V(x) de todoslos entornos abiertos de x con el orden parcial U ≤ V ⇔ V ⊂ U ; por el axioma de eleccion podemos

elegir xU∈ U ∩ Y 6= ∅ para cada U ∈ D. Entonces α(U) = x

Udefine una red D

α -X que convergea x.

(⇐): Si x = Limi∈D

xi

es punto lımite de alguna red Dα - Y ⊂ X entonces, por definicion, para cada

entorno U de x, α cae a la larga en U . En particular, ∅ 6= α(D) ∩ U ⊂ Y ∩ U . Se deduce que x ∈ Y . �

4.2. Sub-redes. Dados cualesquiera conjuntos paracialmente ordenados (D,≤) y (D′,≤) una funcion

Dg -D′ es

• Creciente: ⇔ se satisface i ≤ j ⇒ g(i) ≤ g(j).• Final: ⇔ se satisface que, para cada i′ ∈ D′, existe i ∈ D tal que j ≥ i⇒ g(j) ≥ i′.

Notemos que toda funcion creciente es final, luego las funciones finales generalizan la idea de subsucesiones.

Dada una red D′α -X; una subred de α es la composicion αg de α con cualquier funcion final

Dg -D′.

Lema 4.2.1. Una red α en X cae frecuentemente en todo entorno de x ∈ X si y solo si existe una subredde α que converge a x.

[Demostracion] (⇒) Suponga que D′α -X cae frecuentemente en todo entorno de x. Sea D el

conjunto parcialmente ordenado de los pares (i, U) tales que i ∈ D′, U es un entorno abierto de x yxi = α(i) ∈ U ; con el orden parcial (i, U) ≤ (j, V ) ⇔ i ≤ j y V ⊂ U . Puesto que α cae frecuentementeen U ∩V ; existe algun k ≥ i, j tal que x

k∈ U ∩V . En consecuencia (k, U ∩V ) ∈ D y (k, U ∩V ) ≥ (i, U);


analogamente (k, U ∩V ) ∈ D y (k, U ∩V ) ≥ (j, V ), por lo cual D es un conjunto dirigido. Consideramos

la funcion Dg -D′ dada por g(i, U) = i. Esta funcion es final pues, dado i′ ∈ D′, podemos tomar

(i′, X) ∈ D y por la definicion de g, si (j, V ) ≥ (i′, X) entonces j ≥ i′. De este modo, αg es una subredde α. Para ver que αg converge a x sea W cualquier entorno abierto de x. Como α cae frecuentementeen todo entorno de x existe algun ındice i tal que xi ∈W ; luego (i,W ) ∈ D. Si (j, V ) ≥ (i,W ) entoncesj ≥ i y α(g(j, V )) = α(j) = xj ∈ V ⊂ W . De la arbitrariedad de (j, V ) se deduce que αg cae a la largaen W y, de la arbitrariedad de W , que αg converge a x.

(⇐) Sea D′α -X una red en X, D

g -D′ una funcion final y supongamos que la subred αgconverge a x. Dado cualquier entorno abierto U de x existe algun i0 ∈ D tal que α(g(j)) ∈ U paratodo j ≥ i0 . Dado ahora i′ ∈ D′, como g es final, existe algun i1 ∈ D tal que vale el condicionalj ≥ i

1⇒ g(j) ≥ i′. Puesto que D es dirigido basta tomar i ≥ i

0, i

1. Obtenemos el condicional

j ≥ i ⇒ k = g(j) ≥ i′ y xk

= xg(j)

= α(g(j)) ∈ U . De la arbitrariedad de i′ deducimos que αg caefrecuentemente en U . �

4.3. Redes universales. Una red Dα -X es universal ⇔ para cada Y ⊂ X se tiene que α cae, a

la larga, en Y o en X\Y .

Lema 4.3.1. La composicion de una red universal con cualquier funcion es una red universal.

[Demostracion] Si Dα -X es una red universal, X -Z es cualquier funcion entre espacios

topologicos y Y ⊂ Z; entonces, por definicion, α cae eventualmente en A = f−1

(Y ) o en X\A =

f−1

(Z\Y ). Luego αf cae eventualmente en Y o en Z\Y . �

Teorema 4.3.2. Toda red posee una subred universal.

[Demostracion] Sea Dα -X una red. Sea R el conjunto de todas las familias S ⊂ P(X) tales

que

(1) S ∈ S ⇒ α cae frecuentemente en S.(2) S, S′ ∈ S ⇒ S ∩ S′ ∈ S.

Esta familia es no vacıa pues {X} ∈ R. Notemos que:

• R posee una familia maximal S0 : Demos a R el orden parcial de inclusion. Supongamos que {Si}i esuna cadena en R; es decir, que para cualesquiera i, j tenemos que S

i⊂ S

jo S

j⊂ S

i. Consideremos

entonces S = ∪i

Si . Entonces:

(1) S ∈ S ⇒ S ∈ Si

para algun i, luego α cae frecuentemente en S.(2) S, S′ ∈ S ⇒ S ∈ S

iy S′ ∈ S

jpara algunos i, j. Sin perdida de generalidad asumamos que

Si⊂ S

j. Entonces S, S′ ∈ S

j⇒ S ∩ S′ ∈ S

j; luego S ∩ S′ ∈ S.

De las observaciones anteriores deducimos que S ∈ R; luego toda cadena en R posee un supremo en lafamilia. Por el lema de Zorn, R posee una familia maximal S0 .

• α posee una subred universal: Consideremos a continuacion el conjunto D′ = {(S, i) : S ∈ S0, i ∈

D,xi∈ S} con el orden parcial

(S, i) ≤ (R, j) ⇔ R ⊂ S y i ≤ j

32 G. PADILLA

y la funcion D′g -D dada por g(S, i) = i. Notemos que g es final: Dado i ∈ D y cualquier S ∈ S

0,

como α cae frecuentemente en S existe algun j ≥ i tal que xj = α(j) ∈ S. Luego (S, j) ∈ D′. Si ahora(R, k) ≥ (R, j) entonces, por definicion, g(R, k) = k ≥ j ≥ i. Afirmamos que la subred αg es universal.Para ver esto ultimo supongamos que S ⊂ X es un subconjunto tal que αg cae frecuentemente en S.Entonces, para cada (R, j) ∈ D′ existe algun (T, k) ≥ (R, j) tal que x

k= α(g(k)) ∈ S ∩ T ⊂ T ∩ R.

Deducimos que α cae frecuentemente en S ∩R para cualquier R ∈ S0. Pero entonces

S ′ = S0∪ {S} ∪ {S ∩R : R ∈ S

0}

contiene a S0

y satisface las condiciones (1) y (2). Por maximalidad, deducimos que S ′ = S0. En

particular, S ∈ S0. Del mismo modo, si αg cae frecuentemente en (X\S), entonces (X\S) ∈ S

0. Ahora

bien, ambas no pueden pasar al mismo tiempo pues, en tal caso, por la propiedad (2), tendrıamos que∅ = S ∩ (X\S) ∈ S0 , lo cual contradice la propiedad (1). Ya que no suceden las dos al tiempo, alguna delas dos es falsa. Si αg no cae frecuentemente en S (resp. en X\S) entonces cae a la larga en X\S (resp.en S). Se concluye que αg es universal. �

Lema 4.3.3. Toda subred de una red universal es universal.

[Demostracion] Si D′α -X es una red universal y D

g -D′ es final, tomemos un subconjuntoY ⊂ X. Si α cae a la larga en Y , entonces existe algun i′ ∈ D′ tal que j′ ≥ i′ ⇒ x

j′ ∈ Y . A su vez, existe

algun i ∈ D tal que j ≥ i⇒ g(j) ≥ i′; luego α(g(j)) = xg(j)∈ Y . Se deduce que αg cae a la larga en Y .

De modo similar, si α cae a la larga en X\Y entonces αg tambien. �

Teorema 4.3.4. [Teorema de Bolzano-Weierstrass] Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) X es compacto.(2) Toda coleccion de subespacios cerrados en X con la propiedad de interseccion finita (toda inter-

seccion finita de elementos de la familia es no vacıa), posee interseccion no vacıa.(3) Toda red universal en X converge en X.(4) Toda red en X posee una subred convergente.

[Demostracion] Procedemos por pasos.(1)⇒(3): Sea α = {x

i: i ∈ D} una red universal que no converge en X. Dado cualquier y ∈ X existe

algun entorno Uy de y tal que α no cae a la larga en Uy . Por universalidad, α cae a la larga en K = X\Uy ;e.d. que existe algun ındice iy ∈ D tal que j ≥ iy ⇒ xj 6∈ Uy . Ahora bien, {Uy : y ∈ X} es un cubrimientoabierto de X, por compacidad, podemos extraer un subcubrimiento finito U

y1, . . . , U

yn. Basta entonces

tomar cualquier k ≥ iy1, . . . , i

yn. Por construccion; j ≥ k ⇒ x

j6∈ U

yr∀r = 1, . . . , n⇒ x

j6∈ X, lo cual es

absurdo.

(3)⇒(4): Inmediata del lema §4.3.3.

(4)⇒(2): Sea F una familia con la propiedad de interseccion finita. Si anadimos a F todas las interseccionesfinitas de elementos de la familia podemos asumir que F es cerrada por intersecciones finitas. EntoncesF es ordenada por la relacion C ≥ C ′ ⇔ C ′ ⊂ C. Con esta relacion F es un conjunto dirigido. Porel axioma de eleccion, para cada C ∈ F podemos elegir algun x

C∈ C con lo cual obtenemos una red

Fα -X dada por α(C) = x

C. Por hipotesis, podemos extraer una subred convergente β = αg, para

alguna funcion maximal Dg - F. Esta subred satisface β(i) = α(g(i)) = x

g(i)∈ g(i) ∈ F. Sea x ∈ X

tal que β converge a x y C ∈ F. Como g es maximal existe algun i ∈ D tal que j ≥ i⇒ g(j) ≥ C, lo cual


en el orden de F implica que g(j) ⊂ C. Del lema 4.1.4 se deduce que

x ∈ β({j : j ≥ i}) = {xg(j)

: j ≥ i} ⊂ C = C

pues C es cerrado. De la arbitrariedad de C obtenemos que x ∈ ∩C∈F

C; lo cual demuestra (2). �

Proposicion 4.3.5. Dada una familia de espacios topologicos {(Xi, T

i)}i; una red D

α -∏i

Xi

con-

verge a x = (xi)i ∈∏i

Xi⇔ cada composicion con una proyeccion coordenada D

πiα-Xi converge a

πi(x) = x

ipara cada i.

[Demostracion] La direccion (⇒) es directa de la continuidad de las proyecciones coordenadas. Paraver (⇐) supongamos que απ

iconverge a π

i(x) = x

ipara cada i y sea U cualquier entorno abierto de

x. Podemos asumir, sin perdida de generalidad, que U = (Ui1× · · · × U

in) ×

∏i6=i1,...,in

Xi

es un abierto

basico. Para cada k = 1, . . . , n tenemos que πikα cae a la larga en U

ik. Entonces, para cada ı ∈ D

existen ı1, . . . , ı

ntales que ≥ ı

k⇒ π

ik(α()) ∈ U

ik. Puesto que D es dirigido, existe algun ı′ tal que

≥ ı′ ⇒ πik

(α()) ∈ Uik

para todo k = 1, . . . , n. Pero entonces ≥ ı′ ⇒ α() ∈ U . Se deduce que α caea la larga en U . De la arbitrariedad de U obtenemos que α converge a x. �

Teorema 4.3.6. [Teorema de Tijunov] El producto arbitrario de espacios compactos es compacto.

[Demostracion] Sea X =∏i

Xi

el producto de una familia de espacios compactos y Dα -X

cualquier red universal. Entonces por 4.3.1, para cada i la composicion Dπiα-X

ies una red universal

en Xi. Como cada X

ies compacto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass 4.3.4 π

iα converge en X

ipara

cada i. Por la prop. anterior 4.3.5, α converge en X. De nuevo por el teorema de Bolzano-Weierstrass,X es compacto. �

4.4. Espacios completamente regulares. Un espacio Hausdorff X es completamente regular oT

3 12

⇔ para cada punto x ∈ X y cada cerrado C ⊂ X tal que x 6∈ C; existe una funcion continua

Xf - [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(y) = 1 para todo y ∈ C.

Lema 4.4.1. Todo espacio completamente regular es regular.

[Demostracion] SeaX completamente regular, C un cerrado y x 6∈ C un punto deX. SiXf - [0, 1]

es cualquier funcion continua tal que f(x) = 0 y f(y) = 1 para todo y ∈ C; entonces U = f−1

[0, 1/3) y

V = f−1

(2/3, 1] son dos abiertos disjuntos en X que separan a x de C. �

Lema 4.4.2. Sea C ⊂ [0, 1] cerrado y x ∈ [0, 1]\C. Existe una funcion continua [0, 1]f - [0, 1] tal

que f ≡ 0 en un entorno de x y f ≡ 1 en un entorno de y.

[Demostracion] Puesto que C es cerrado y acotado, es un compacto contenido en [0, 1]. Como RHausdorff existen ε > 0 y 0 ≤ a < b ≤ 1 tales que C ⊂ (a− ε, b+ ε) y (x− ε, x+ ε) ∩ (a− 2ε, b+ 2ε) = ∅.

34 G. PADILLA

Tome cualquier funcion continua Rg -R tal que g ≡ 1 en [a − ε, b + ε] y g ≡ 0 en R\(a − ε, b + ε);

por ejemplo se puede tomar a g como una funcion cuyo grafo es una poligonal. La restriccion f = g|[0,1]

es la funcion buscada. �

Dado un espacio X completamente regular, consideramos el conjunto F = C(X, [0, 1]) de todas lasfunciones continuas de X en [0, 1]. Consideramos el producto cartesiano de [0, 1] consigo mismo F-veces;

es decir [0, 1]F

=∏f∈F

[0, 1] con la topologıa producto, por el teorema de Tijunov 4.3.6 este espacio es

compacto. Un elemento de [0, 1]F

se puede ver como una secuencia (tf)f∈F subindicada por funciones

continuas con tf∈ [0, 1] para cada f ∈ F. Equivalentemente, un elemento de [0, 1]

Fes una funcion

F = C(X, [0, 1])µ - [0, 1]

que a cada funcion continua Xf - [0, 1] le asigna un real t

f= µ(f) ∈ [0, 1]. Definimos

(2) XΨ - [0, 1]

FΨ(x) = x : F - [0, 1] x(f) = f(x)

Es decir, Ψ(x) = x es el operador que a cada funcion f definida en X la evalua en x. La compactacion

de Stone-Cech de X es la adherencia de Ψ(X) como subespacio de [0, 1]F. La denotamos

(3) β(X) = Ψ(X) ⊂ [0, 1]F

Puesto que [0, 1]F

es compacto y Hausdorff, β(X) es compacto y Hausdorff.

Proposicion 4.4.3. Si X es un espacio completamente regular entonces XΨ - β(X) es un embe-

bimiento.

[Demostracion] Debemos verificar que:

• β es inyectiva: Si Ψ(x) = Ψ(y) entonces f(x) = f(y) para cualesquiera funcion continua Xf - [0, 1].

Puesto que X Hausdorff, los conjuntos {x} y {y} son cerrados. Como X es completamente regular, six 6= y entonces existe alguna funcion continua f tal que f(x) = 0 y f(y) = 1; pero esto es imposible pornuestra suposicion, luego x = y.

• β es continua: Sea Dα -X cualquier red en X que converge a x ∈ X. Entonces, para cada funcion

continua Xf - [0, 1], en virtud de 4.1.3 tenemos que

Limi∈D

Ψα(f) = Limi∈D

Ψ(xi)(f) = Lim

i∈Dxi(f) = Lim

i∈Df(x

i) = f(x) = x(f) = Ψ(x)(f)

De la arbitrariedad de f y el hecho de que f(x) es precisamente la f -esima coordenada de x en β(X) ⊂[0, 1]

Fcomo subespacio del producto; se deduce que Ψ es continua coordenada a coordenada. Por 4.3.5,

deducimos que Ψ es continua, es decir

Limi∈D

Ψα = Ψ(x) = Ψ

(Limi∈D

α

)


• La inversa de β es continua: Supongamos que α es una red en X tal que Ψα converge a Ψ(x) para

algun x ∈ X. Entonces, para cada funcion continua Xf - [0, 1],

Limi∈D

f(xi) = Limi∈D

xi(f) = Limi∈D

Ψ(xi)(f) = Ψ(x)(f) = f(x)

es decir, fα converge a f(x). Ahora bien, si α no converge a x entonces existe algun entorno U de x talque α no cae a la larga en U ; por lo cual α cae frecuentemente en C = X\U ; el cual es un cerrado que

no contiene a x. Puesto que X es totalmente regular, existe una funcion continua Xf - [0, 1] tal que

f(x) = 0 y f(y) = 1 para todo y ∈ C. De este modo, fα es frecuentemente 1 pero f(x) = 0; lo cualcontradice la igualdad de arriba. �

Teorema 4.4.4. Si X es completamente regular y Xf -R es una funcion continua y acotada, existe

una funcion continua [0, 1]F f -R tal que f extiende a f de modo unico en β(X); es decir, fΨ = f

donde XΨ - β(X) es el embebimiento de Stone-Cech.

[Demostracion] Sin perdida de generalidad podemos suponer que f(X) ⊂ [0, 1]. En ese caso consid-eramos la funcion

[0, 1]F f -R f(µ) = µ(f)

En otras palabras, el valor de f(µ) es la f -esima coordenada de µ en [0, 1]F. Si D

α - [0, 1]F

es unared que converge a µ entonces, por 4.3.5, la red converge coordenada a coordenada. En particular, la

composicion πfα con la f -esima proyeccion coordenada [0, 1]

F πf- [0, 1] converge a πf(µ). Puesto que

πf(τ) = τ(f) = f(τ) para cualquier τ ∈ [0, 1]

F, tenemos que

Limi∈D

f(µi) = Limi∈D

µi(f) = Limi∈D

πf(µi) = π

f

(Limi∈D

µi

)= π

f(µ) = µ(f) = f(µ)

Por 4.1.3 deducimos que f es continua. Dado x ∈ X, por la definicion de f tenemos que

f(Ψ(x)) = Ψ(x)(f) = x(f) = f(x)

luego fΨ = f , con lo cual f restringida a β(X) coincide con f . �

Proposicion 4.4.5. Si Xg - Y es una funcion continua entre espacios completamente regulares

entonces existe una unica funcion continua β(X)g - β(Y ) tal que gΨ

X= Ψ

Yg.

[Demostracion] La funcion g es unica y se puede definir como el pull-back por composicion. Sea

FX

= C(X, [0, 1]) y FXµ - [0, 1] un elemento de [0, 1]

FX . Definimos

FYg(µ)- [0, 1] g(µ)(f) = µ(fg)

36 G. PADILLA

El operador esta bien definido pues, si Yf - [0, 1] es continua entonces la composicion X

fg- [0, 1]es continua y podemos evaluar µ(fg). Obtetenemos de este modo una funcion

[0, 1]FX g - [0, 1]

FYµ 7→ g(µ)

Entonces;

• g es continua: Dada una red Dα - [0, 1]

FX que converge a µ; por 4.3.5 la composicion con cualquierfuncion coordenada

[0, 1]FX π

h- [0, 1]

converge para cualquier funcion continua Xh - [0, 1] a π

h(µ). En particular

Limi∈D

g(µi)(f) = Lim

i∈Dµi(fg) = Lim

i∈Dπfg

(µi) = π

fg

(Limi∈D

µi

)= π

fg(µ)

�

5. Espacios metrizables

En esta seccion volvemos a revisar los espacios metricos, ahora con todas las herramientas de topologıadisponibles.

5.1. Espacios totalmente acotados. Un epacio metrico (E, d) es totalmente acotado ⇔, para todoε > 0, X posee un cubrimiento finito por bolas abiertas de radio ε.

Teorema 5.1.1. [Bolzano-Weierstrass en espacios metricos] En un espacio metico (E, d) las sigu-ientes afirmaciones son equivalentes

(1) E es compacto.(2) Toda sucesion en E posee una subsucesion que converge en E.(3) E es completo y totalmente acotado.

[Demostracion] (1)⇒ (2) Sea S = {xn} una sucesion en E. Si S no posee subsucesiones convergentes

entonces, dado cualquier x ∈ E, como x no es el lımite (de ninguna subsucesion) de S; podemos escogeralgun entorno Ux que contiene a lo sumo una cantidad finita de elementos de S. Puesto queX es compacto,del cubrimiento U = {Ux : x ∈ X} podemos extraer un subcubrimiento finito, digamos U1 , . . . , Un deabiertos, cada uno de los cuales contiene a lo sumo una cantidad finita de elementos de S. Se deduceentonces que S es finito; pero en ese caso por el principio del casillero, alguno de los elementos z ∈ S

es escogido un numero infinito de veces por la funcion de la sucesion Nx -E. De x

−1

(z) podemosextraer una subsuecsion constante, lo cual es una contradiccion.(2) ⇒ (3) Sea S = {xn} una sucesion de Cauchy en E. De (2) se deduce que S posee una subsucesionS′ = {xnk } que converge a un punto x ∈ E. Pero entonces toda la sucesion converge a x; esto se puedever por desigualdad triangular. En efecto: Dado ε > 0 existen enteros N1 , N2 > 0 tales que

• n,m > N1⇒ d(x

n, x

m) < ε/2.

• k > N2⇒ d(x

nk, x) < ε/2.

Basta tomar el maximo N = max(N1 , N2) y notar que si k > N entonces d(xk, x) ≤ d(x

k, xnk ) +

d(xnk, x) < ε. De aquı se deduce que E es completo. Por otra parte, supongamos que E no es completa-

mente acotado. Entonces existe algun ε > 0 tal que X no se puede cubrir con un numero finito de bolas


de radio ε. En tal caso, podemos conseguir una sucesion de puntos S = {z1, z

2, . . . } en E tales que la

distancia entre cualesquiera dos de ellos es siempre mayor o igual a ε. Entonces de S no se puede extraeruna subsucesion convergente, lo cual contradice (2).(3)⇒ (2) Sea S = {x

n} una sucesion cualquiera. Si S es un conjunto finito, por el principio del casillero,

alguno de los elementos z ∈ S es escogido un numero infinito de veces por la funcion de la sucesion

Nx -E. De x

−1

(z) podemos extraer una subsuecsion constante (ergo convergente) y no hay masque hacer. Supongamos entonces que S es un subconjunto infinito (propiamente numerable). Puestoque X es totalmente acotado, se le puede cubrir con un numero finito de bolas abiertas de radio 1. Denuevo por el principio del casillero alguna de estas bolas, digamos B1 , contiene una cantidad infinita deelementos de S; digamos B

1. Con un argumento inductivo podemos dar una familia de bolas abiertas

B1, B

2, . . . , B

n, . . . cada una de ellas de radio respectivo 1/n, tales que cada B

n+1contiene una cantidad

infinita de elementos de Sn

= S ∩B1∩ · · · ∩B

n. Finalmente, puesto que cada S

nes no vacıo y contiene

una cantidad infinita de elementos de S; por el axioma del buen orden en los naturales y el axioma deeleccion, podemos seleccionar para cada k un elemento xnk ∈ Sk de tal suerte que k1 < k2 < k2 < · · · .De este modo construimos una subsucesion S′ = {xnk : k ∈ N}; notemos que por construccion S′ es de

Cauchy. Puesto que E es completo, S′ converge en E. Esto demuestra (2).(2) ⇒ (1) Sea U un cubrimiento abierto de E. Como ya demostramos (2) ⇒ (3) podemos asumir queE es completo y totalmente acotado. Notemos entonces que E es separable. En efecto: Para cada en-tero n > 0 el espacio E se puede cubrir con un numero finito de bolas abiertas de radio 1/n, centradassobre un conjunto finito de puntos, digamos B(xn,j ,

1n ) para j = 1, . . . , kn. Entonces, por construccion,

D = {xn,j : n ∈ N+

, j = 1, . . . , kn} es un subconjunto denso y numerable en E. Sea

D = {x1 , x2 , . . . }

una renumeracion de los elementos de D. Cada xi ∈ D pertenece a algun abierto Vi ∈ U del cubrimientooriginal y podemos conseguir algun entero ni tal que B(xi ,

1ni

) ⊂ Vi . Dado cualquier x ∈ E y cualquier

ε > 0, por argumento de densidad existe algun xi ∈ D tal que d(x, xi) < ε. En particular, existe algun xital que d(x, x

i) < 1

ni, es decir x ∈ B(x

i, 1ni

) ⊂ Vi. Se deduce que V = {V

i: i ∈ N} es un subcubrimiento

numerable de U . Si V posee un subcubrimiento finito de E concluimos la demostracion. Supongamos locontrario: Entonces los conjuntos cerrados Ci = E\(V1 ∪ · · ·Vi) son todos no vacıos y encajados, valedecir, C

1⊃ C

2⊃ · · · etc. Por nuestra suposicion, D posee una subsucesion S = {x

nk: k ∈ N} que

converge a un punto x ∈ E. Por construccion xnk ∈ Ci para todo nk> i. Puesto que cada Ci es cerrado,

el punto ımite x pertenece a cada Ci . En consecuencia

x ∈ ∩i

Ci = E\ ∪i

Vi = ∅

lo cual es absurdo. �

5.2. Separacion de cerrados con funciones continuas. Primero que nada desarrollamos las her-ramientas para separar cerrados con funciones continuas. Fijamos un espacio topologico X.

Lema 5.2.1. Supongamos que para cada racional diadico r = m2n

(con m > 0,n ≥ 0 enteros) existe un

abierto Ar en X tal que se satisface el siguiente condicional: r < s⇒ Ar ⊂ As . Entonces

Xf -R f(x) =

{inf{r : x ∈ A

r} x ∈ A

1

1 x 6∈ A1

es continua.

38 G. PADILLA

[Demostracion] Supongamos que f(x) < r para cierto racional diadico r. Entonces, por propiedadesdel ınfimo, existe algun diadico s < r suficientemente pequeno tal que f(x) < s < r y x ∈ A

s⊂ A

s⊂ A

r.

Luego, por contrarrecıproco, f satisface el siguiente condicional: x 6∈ Ar ⇒ f(x) ≥ r. Para cualquiert > 0 tenemos que

f−1

(−∞, t) = {x : f(x) < t} = {x : f(x) < r < t, r diadico} = ∪r<t

Ar

es abierto en X. De modo similar se verifica que f−1

(t,∞) es abierto. Puesto que los abiertos de la forma(−∞, t) y (t,∞) generan la topologıa de R , se deduce que f es continua. �

Proposicion 5.2.2. [Lema de Urysohn] Si X es normal, C ⊂ X es cerrado, A ⊂ X es abierto y

C ⊂ A; existe una funcion continua Xf - [0, 1] tal que f |

C≡ 0 y f |

X\U ≡ 1.

[Demostracion] Definimos una familia de abiertos {Ar

: r diadico} que satisfaga la condicion de§5.2.1. Como los diadicos son de la forma r = m

2ncon m > 0 y n ≥ 0 enteros; hacemos induccion en n

para construir los abiertos deseados.• Caso n = 0: Definimos A1 = A.• Caso n ≥ 1: Por hipotesis inductiva supongamos que hemos definido los abiertos A

m/2n para 1 ≤ m ≤

2n

.• Caso n+ 1: Para cada 1 ≤ k ≤ 2

n+1

definimos Ak/2

n+1 del modo siguiente: Si k = 2j es par tomamos

Ak/2

n+1 = Aj/2

n . Si k = 2j + 1 es impar, puesto que X es normal podemos elegir un abierto B tal que

C ⊂ B ⊂ B ⊂[A

1/2n ∩ · · · ∩A

j+1/2n

]Definimos A

k/2n+1 = B.

Habiendo construido la familia de abiertos deseada, aplicamos el lema §5.2.1. �

5.3. El teorema de extension de Tietze. Este es un resultado tecnico, sin embargo importante, sobrela construccion de extensiones de funciones continuas.

Teorema 5.3.1. [Extensiones de Tietze] Sea X normal, C ⊂ X cerrado y Cf -R continua.

Existe una funcion continua Xh -R tal que

(1) h(x) = f(x) para todo x ∈ C.(2) sup{f(x) : x ∈ C} = sup{h(x) : x ∈ X}.(3) inf{f(x) : x ∈ C} = inf{h(x) : x ∈ X}.

[Demostracion] Comenzamos considerando el caso en que f es acotada. Sin perdida de generalidad

podemos suponer que 0 ≤ f ≤ 1; con ınfimo 0 y supremo 1. Sea C1 = C ∩ f−1

([0, 13 ]) y A1 = f−1

([0, 23 )).

Por el lema de Urysohn §5.2.2 existe una funcion Xr1- [0, 1] tal que

r1|C1≡ 0 r

1|X\A

1≡ 1

es decir

r1(x) =

0 x ∈ C y f(x) ≤ 13

1 f(x) ≥ 23


Entonces la funcion h1

=(13

)r

1satisface

Xh

1- [0, 1/3] h1(x) =

0 x ∈ C y f(x) ≤ 13

13 x ∈ C y f(x) ≥ 2

3

Sea f1

= f − h1. Notemos que 0 ≤ f

1(x) ≤ 2

3 para todo x ∈ C. Repitiendo el mismo proceso para f1;

podemos conseguir una funcion continua

Xh

2- [0, 2/9 = (1/3) · (2/3)] h2(x) =

0 x ∈ C y f1(x) ≤ 29

29 x ∈ C y f

1(x) ≥ 4

9 = 23 ·

23

Sea f2

= f1− h

2. Notemos que 0 ≤ f

2(x) ≤ 2

3 −29 = 3·2−2

9 = 49 para todo x ∈ C. Continuando

este proceso de modo inductivo supongamos que hemos definido f1, . . . , f

n; y que esta ultima satisface

0 ≤ fn(x) ≤

(23

)npara todo x ∈ C. Aplicando de nuevo el lema de Urysohn podemos conseguir una

funcion continua

hn+1 : X - [0, (1/3) · (2/3)n

] hn+1(x) =

0 x ∈ C y f

n(x) ≤

(13

) (23

)n(13

) (23

)nx ∈ C y fn(x) ≥

(23

) (23

)ny definimos f

n+1= f

n− h

n+1la cual satisface

0 ≤ fn+1(x) = fn − hn+1 ≤(

2

3

)n−(

1

3

)(2

3

)n=

(2

3

)n+1

Hemos construido una sucesion de funciones continuas y acotadas {hn

: n = 0, 1, . . . }. Consideremos

h(x) =∑n

hn(x)

Esta funcion esta bien definida pues, para cada x, el lado derecho es una serie que converge uniformemente.En efecto: ∑

n

hn(x) ≤∑n

(1

3

)(2

3

)n=

(1

3

)∑n

(2

3

)n=

(1

3

)Limn

1−(23

)n1−

(23

) = 1

A continuacion, para cada x ∈ C, tenemos

f(x)− h1(x) = f1(x) f(x)n − hn+1(x) = fn+1(x) ∀n ≥ 1

De este modo

f(x)− [h1(x) + h2(x)] = [f(x)− h1(x)]− h2(x) = f1(x)− h2(x) = f2(x)

Aplicando induccion es posible ver que

f(x)− [h1(x) + · · ·+ h

n(x)] = f(x)−

[h

1(x) + · · ·+ h

n−1(x)]− h

n(x)

= fn−1(x)− hn(x) = fn(x)

Como fn ≤(23

)nen C; tomando lımites

f(x)− h(x) = Limn

fn(x) ≤ Lim

n

(2

3

)n= 0

Con esto verificamos la propiedad (1). Las propiedades (2) y (3) sobre las cotas se dan por construccionde la sucesion de las h

n. Finalmente, en el caso no acotado distinguimos tres sub-casos:

40 G. PADILLA

(a) f no es acotada.(b) f es acotada inferiormente por a ∈ R .(c) f es acotada superiormente por b ∈ R .

Sea α cualquier homeomorfismo

• Rα - (0, 1) en el caso (a) .

• [a,∞)α - [0, 1) en el caso (b) .

• (−∞, b]α - (0, 1] en el caso (c) .

Entonces F = αf es acotada. Aplicamos el procedimiento del caso acotado a F . Dejamos los detalles allector. �

5.4. Espacios acotados. Un espacio metrico (E, d) es acotado⇔ existe algun λ > 0 tal que d(x, y) ≤ λpara todo x, y ∈ E. El diametro de E es el menor λ tal que eso ocurre.

Lema 5.4.1. Dado un espacio metrico (E, d) siempre existe una metrica d′ tal que d′(x, y) ≤ 1∀x, y ∈ Ey d′ genera la misma topologıa de d.

[Demostracion] Se puede considerar por ejemplo

d′(x, y) =

{d(x, y) si d(x, y) ≤ 1

1 en otro caso

Dejamos de ejercicio ver que d′ es una metrica. Para ver que d y d′ son equivalentes basta notar que essuficiente generar la topologıa con bolas abiertas de radios pequenos. En otras palabras un subconjuntoA ⊂ E es abierto (con cualquiera de las dos distancias) ⇔ A es union de bolas abiertas de radio menorque 1. �

5.4.1. Ejemplos. Si (E1 , d1), . . . , (En , dn) es una familia finita de espacios metricos, el producto cartesianoE = E1 × · · · × En se puede dotar de varias metricas distintas; por ejemplo

• La metrica de la suma d(x, y) = Σi

di(xi , yi).

• La metrica de Pitagoras: d(x, y) =√

Σi

d2

i(xi , yi).

• La metrica del maximo: d(x, y) = max {di(xi , yi ): i = 1, . . . , n}.

Proposicion 5.4.2. Sea {(En , dn) : n = 1, 2, · · · } una familia numerable de espacios metricos acotadosde diametro 1; y sea E =

∏n

En

el espacio producto. Entonces E es un espacio metrico acotado de

diametro 1. La topologıa producto de E es generada por la siguiente distancia

d(x, y) =∞∑n=1

dn

(xn, y

n)

2n

[Demostracion] Escribamos E =∏n

En

para el espacio producto, y (E′, d) para el mismo conjunto

con la topologıa metrica inducida por la distancia d definida en el enunciado. Queremos demostrar que

la funcion identidad E′id-E es un homeomorfismo.


• id es continua: Por §2.4.4, basta mirar la continuidad coordenada a coordenada. Cada com-

posicion E′πn-En es una funcion entre espacios metricos y satisface d(πn(x), πn(y)) =

d(xn, y

n) ≤ 2

n

d(x, y). De esta desigualdad se deduce inmediatamente la continuidad, en terminosde lımites de sucesiones.

• id es abierta: Basta demostrar que, para cada x ∈ E, la bola abierta B(x, ε) contiene un entornode x en la topologıa producto. Ahora bien,

B(x, ε) =

{y ∈ E :

∞∑n=1

dn

(xn, y

n)

2n< ε

}

Sea m > 0 suficientemente grande tal que 2−m

< ε4 . Si y ∈ E es cualquier punto tal que

dn(x

n, y

n) < ε

2 para n = 1, . . . ,m− 1 entonces:

d(x, y) =∞∑n=1

dn (xn ,yn )

2n

=m−1∑n=1

dn (xn ,yn )

2n+

∞∑n=m

dn (xn ,yn )

2n<

m−1∑n=1

ε

2n+1 + ε4

∞∑n=0

12n

< ε2 + ε

2 = ε

Se concluye que

B(x1 , ε/2)× · · · ×B(xm−1 , ε/2)×∏n≥m

Em

es un abierto basico de la topologıa producto que contiene a x y esta contenido en B(x, ε).

�

Proposicion 5.4.3. [1er teorema de metrizacion] Sea X un espacio Hausdorff. Supongamos que

existe una familia numerable de funciones continuas F = {Xfi- [0, 1]; i = 1, 2, . . . } tales que, para

cada cerrado C ⊂ X y cada x ∈ (X\C) existe algun i tal que fi(x) = 0 y f

i(y) = 1 para todo y ∈ C.

Entonces

Xϕ - [0, 1]

N+

ϕ(x) = (fi(x))i

es un embebimiento.

[Demostracion] Procedemos por pasos.• ϕ es continua: Por §2.4.4, basta mirar la continuidad coordenada a coordenada. La composicion concada proyeccion es precisamente πiϕ = fi .• ϕ es inyectiva: Como X es Hausdorff todo punto en X es cerrado. Si x 6= y; existe entonces algunındice i tal que fi(x) = 0 y fi(y) = 1; luego ϕ(x) 6= ϕ(y).• ϕ es un embebimiento: Para ver que ϕ es homeomorfismo en su imagen basta mostrar que es cerrada,vale decir, que si C ⊂ X es cerrado entonces f(C) es cerrado en f(X). Sean que {cn}n es una sucesionen C y x ∈ X tales que la sucesion ϕ(cn) converge a ϕ(x). Debemos demostrar que ϕ(x) ∈ ϕ(C) para locual es suficiente ver que x ∈ C. Supongamos lo contrario, es decir, que x 6∈ C. Entonces existe algunındice i tal que f

i(x) = 0 y f

i(y) = 1 para todo y ∈ C. Pero entonces 1 = π

i(ϕ(c

n)) para todo n, y

dicha sucesion constante no converge a 0 = fi(x) = π

i(ϕ(x)). Luego π

iϕ no es continua, e.d que ϕ no es

continua coordenada a coordenada. Por §2.4.4, esto implica que ϕ no es continua, lo cual contradice elprimer paso de esta demostracion. �

42 G. PADILLA

Corolario 5.4.4. Todo espacio normal 2do numerable es completamente regular

[Demostracion] Dado un espacio normal X, por el lema de Urysohn, cf. §5.2.2, para cada par de

cerrados disjuntos C,D se puede hallar una funcion continua Xf - [0, 1] tal que f |

C≡ 0 y f |

D≡ 1.

Puesto que la base de X es numerable, los pares de conjuntos cerrados constituyen una familia numerablede modo que se puede construir una familia numerable de funciones F que satisfaga la hipotesis de §5.4.3.�

Proposicion 5.4.5. [2do teorema de metrizacion] Sea X espacio 2do numerable completamente regu-

lar. Supongamos que para cada par de cerrados disjuntos C,D existe una funcion continua Xf - [0, 1]

tal que f |C≡ 0 y f |

D≡ 1. Entonces X es metrizable.

[Demostracion] Sea X 2do numerable y completamente regular. Demostraremos que X satisface lashipotesis de §5.4.3. La idea es la siguiente: Fijemos una base numerable B de la topologıa de X. Para

cada par de abiertos U, V ∈ B tales que U ⊂ V , fijemos alguna una funcion continua Xf - [0, 1] tal

que f |U≡ 0 y f |

X\V ≡ 1. Sea F la familia de estas funciones. Entonces• F es numerable: Porque B × B es numerable.• F satisface la hipotesis de §5.4.3: Sea C ⊂ X cualquier cerrado y x ∈ (X\C). Tomemos un abiertobasico V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ (X\C). Como X es completamente regular existe alguna funcion continua

Xg - [0, 1] tal que g(x) = 0 y g|

X\V ≡ 1. Salvo ajustes en la funcion g, podemos asumir que g seanula en todo un entorno de x; de modo que existe algun abierto basico U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ V yg|U≡ 0. Por la continuidad de g tenemos entonces que U ⊂ V . Podemos entonces reemplazar a g por

alguna funcion f ∈ F tal que f |U≡ 0 y f |

X\V ≡ 1. �

Teorema 5.4.6. [Teorema de Urysohn] Todo espacio 2do numerable completamente regular es metriz-able.

[Demostracion] Es suficiente construir la familia de funciones que satisface la hipotesis de §5.4.5. �

5.5. Convergencia puntual y uniforme.

(4) Si D ⊂ E es denso y Ef -E′ es una funcion tal que (a) f es continua en E; y (b) f es

uniformemente continua en D; entonces f es uniformemente continua.(5) Un espacio metrico (E, d) es completo ⇔ toda sucesion de Cauchy en E converge en E. Todo

espacio metrico (E, d) se puede embeber en un espacio metrico completo (E′, d′); de tal modoque E sea denso en E′.

(6) Toda funcion uniformemente continua Ef -E′ se puede extender a las completaciones E

g -E′

de modo que g|E≡ f .

Una sucesion de funciones Efn-E′, con n ∈ N, se dice que converge uniformemente a cierta

funcion Eg -E′ ⇔ para cada ε > 0 existe algun N

ε∈ N tal que vale el siguiente condicional

n > Nε⇒ d′ (f

n(x), g(x)) < ε ∀x, y ∈ E


(7) Si unas Efn-E′ son uniformemente continuas y convergen uniformemente a g entonces g es

uniformemente continua.

(8) Si unas Efn-E′ convergen uniformemente a f , y unas E′

gn-E′′ convergen uniforme-mente a g entonces las gnfn convergen uniformemente a gf .

(9) Sea E × E′f -R acotada y uniformemente continua. Para cada x ∈ E definamos g(x) =

inf {f(x, y) : y ∈ E′} y h(x) = sup {f(x, y) : y ∈ E′}. Mostrar que g, h son acotadas y uniforme-mente continuas. Idea: Dado ε > 0 y u, v ∈ E tales que d(u, v) < δε ; entonces ∀z ∈ E′ se tieneque f(v, z) ≤ f(u, z) + ε ≤ g(u) + ε. De aquı se deduce que |h(u)− h(v)| < ε. Para g se procedede modo similar.

(10) Supongamos que Efi- [0, 1] es cualquier familia de funciones uniformemente continuas. En-

tonces h(x) = sup {fi(x) : i ∈ I} y g(x) = inf {f

i(x) : i ∈ I} son uniformemente continuas de E

en [0, 1]. Idea: Con la misma demostracion del ejercicio anterior, tome E′ = I con la metrica discreta y defina f(x, i) = fi(x).

(11) Si unas E × E′fi- [0, 1]; con i ∈ N, convergen uniformemente a f ; entonces las h

i(x) =

sup {fi(x, y) : y ∈ E′} convergen uniformemente a h(x) = sup {f(x, y) : y ∈ E′} y las gi(x) =inf {fi(x, y) : y ∈ E′} convergen uniformemente a g(x) = inf {f(x, y) : y ∈ E′}.

6. El truco de Bredon

La demostracion del truco de Bredon data, de 1962, ano en que el autor daba un curso sobre gruposde Lie. Fue usado por el autor para dar una demostracion accesible del teorema de De Rham sin recurrira sucesiones espectrales [1, p.289-291]. Desde entonces y debido a su comodidad, ha sido empleadoen artıculos de de topologıa algebraica, como una manera alterna a la aproximacion axiomatica de lacohomologıa, al uso de complejos dobles, sucesiones espectrales y cohomologıas de Cech. El truco deBredon persigue demostrar una afirmacion ϕ referida a abiertos de un espacio topologico X, pasando dela validez local a la validez global.

Proposicion 6.0.1. Sea X un espacio topologico paracompacto, U un cubrimiento abierto y ϕ(U) unaafirmacion referida a los abiertos de X, tales que se satisfacen las siguientes propiedades:

(BT1) U contiene una base de la topologıa de X.(BT2) Si U, V ∈ U entonces U ∩ V ∈ U .(BT3) ϕ(U) es cierta para todo U ∈ U .(BT4) Dados dos abiertos U, V ⊂ X; si ϕ(U), ϕ(V ) y ϕ(U ∩V ) son ciertas entonces ϕ(U ∪V ) es cierta.(BT5) Dada cualquier familia disjunta de abiertos {V

j}j; si ϕ(V

j) es cierta para todo j entonces ϕ(t

jVj)

es cierta.

Entonces ϕ(X) es cierta.

[Demostracion] Procedemos por pasos:

• Q vale sobre toda union finita de abiertos de U : Veamos que ϕ(U) vale siempre que U = U1∪· · ·∪U

n

es una union finita de abiertos del cubrimiento U . Para n = 1 es inmediata y, si asumimos por induccionel paso n entonces, dado cualquier U

n+1tal que vale Q(U

n+1); tendremos que

U ∩ Un+1 = (U1 ∩ Un+1) ∪ · · · ∪ (U1 ∩ Un+1)

44 G. PADILLA

es una union de n abiertos en U por BT2. Como valen ϕ(U) por h.i., ϕ(Un+1

) por BT3 y ϕ(U ∩Un+1

) denuevo por h.i.; en virtud de BT4 se deduce ϕ(U ∪ Un+1).

• Q(X) es cierta: A continuacion tomemos cualquier funcion continua y propia Xf - [0,∞). Por

ejemplo: como X es Hlc la compactificacion de Alexandroff X∞

es un espacio compacto. Basta tomar

cualquier funcion real X∞ f -R ; por compacidad, f alcanza su valor ınfimo en X

∞; ajustando f con

una traslacion adecuada podemos asumir que f ≥ 0; cf. 3.2.1, 3.2.2.

Subdividamos al espacio X en ”capas de cebolla” compactas An

= f−1

[n, n + 1]. Por la compacidad

de An y la propiedad BT1, podemos cubrir a An con un abierto Vn ⊂ f−1

(n − 13 , n + 1

3 ) que sea unionfinita de abiertos del cubrimiento U , luego vale ϕ(Vn) para cada n, por el primer paso. Por construccion,ademas, V

n∩ V

n+2= ∅ para todo n. En virtud de la propiedad BT5 entonces ϕ(V ) vale para V = t

nV

2n

y, del mismo modo, ϕ(W ) vale para W = tnV

2n+1. Finalmente, notemos que

V ∩W =(tnV2n

)∩(tnV2n+1

)= t

n

(Vn ∩ Vn+1

)Cada Vn ∪ Vn+1 es una union finita de abiertos que pertenecen a U por la propiedad BT2; de nuevo porel primer paso vale ϕ(Vn ∪ Vn+1) para cada n. De la igualdad anterior y la propiedad BT5 se deduce lavalidez de ϕ(V ∩W ). Como X = V ∪W Por la propiedad BT4 tenemos la validez de ϕ(X). �

7. Fibrados topologicos

Dedicamos esta ultima seccion a introducir la idea de fibrados generales. Seguimos aquı a [9].

7.1. Amalgama de espacios topologicos. Sean X,Y dos espacios topologicos, Z ⊂ X un subespacio

y Zf - Y una funcion continua. La amalgama X,Y a traves de f es el espacio cociente

X ∪fY =

X t Y∼

[a] =

{{a} a 6∈ Z t f(Z)

f−1

(a) t {a} a ∈ f(Z)

La funcion f de arriba se llama funcion de pegamento o amalgama. Sea X t Yq -X ∪

fY la

proyeccion cociente. Un abierto basico de X ∪fY es de la forma q

−1

(A ∪

fB

)donde A ⊂ X y B ⊂ Y son

abiertos. En particular, notemos que

A ∪f∅ = (A\Z) ∪ A ∩ Z

f∅ ∪fB = f

−1

(B) ∪ (B\f(Z))

Como ejemplos sencillos citemos:

• Si f es una funcion constante entonces todo Z se identifica con la clase del unico punto [y] en el

rango de f . Por ejemplo; si X = R2

, Z = {x ∈ X : |x| > 1} y Y = {∞} es un punto (en cuyo

caso f toma el valor constante ∞), entonces X ∪fY = S2

es la 2-esfera.

• Si X = R2

, Z = {x ∈ X : |x| > 1} y Y = [0,∞) y f toma el valor constante 0, entonces entonces

X ∪fY = S2

es un globo con cordel.


• Si X = S2

= Y y Z = {(0, 0, 1)} es el polo norte (en cuyo caso f toma un solo valor) entonces

entonces X ∪fY = S2 ∨ S2

son dos esferas pegadas por un punto. Con este ejemplo, de modo

inductivo, se puede construir un bouquet de esferas pegadas por un punto.• Un caso particular que nos interesa es cuando Z ⊂ X es un abierto y f es un embebimiento (un

homeomorfismo en su imagen). ¿Puede el lector hacer un dibujo de los abiertos basicos en cadauno de los ejemplos anteriores?

7.2. Familias amalgamables y semigrupos de cociclos. Serıa deseable generalizar el proceso anteriora fin de amalgamar una familia cualquiera de espacios topologicos. Como veremos, al aparecer mas dedos espacios surgen condiciones necesarias para tener una amalgama bien definida. Supongamos queX = {X

i: i ∈ I} es una familia de espacios topologicos, y que hemos seleccionado un subespacio Z

i⊂ X

i

para cada i; y una funcion continua Zj

fij-X

ipara cada i, j ∈ I. Para que la relacion

a ∼ b ⇔ ∃i, j ∈ I(a ∈ Zj) ∧ (b ∈ X

i) ∧ (f

ij(a) = b)

sea una equivalencia en tiXi; necesitamos que sea

• Simetrica: Supongamos que a ∈ Zj, b ∈ X

iy a ∼ b, entonces b ∼ a por lo cual b ∈ Z

iy f

ji(b) = a.

Entonces, por definicion, para cada i, j ∈ I se tiene que fij

(Zj

)= Z

iy f

ji= f

−1

ijes la inversa

de fij .• Reflexiva: Dado a ∈ Z

i, entonces a ∼ a, con lo cual f

ii(a) = a, luego f

ii= id

Zipara cada i ∈ I.

• Transitiva: Dados a ∈ Zk, b ∈ Z

jy c ∈ Z

itales que a ∼ b y b ∼ c; entonces a ∼ c luego f

jk(a) = b,

fij

(b) = c y fik

(a) = c. En particular fik

(a) = fij

(fjk

(a)). Dejando fijos a i, j, k y variando

a, b, c se deduce que fik

= fijfjk

.

Decimos que la familia X es amalgamable si se satisfacen las condiciones anteriores. Ello sucede ⇔ elconjunto de funciones

G ={fij : i, j ∈ I

}satisface las siguientes propiedades:

(1) Cerrado por composiciones: fik

= fijfjk

.

(2) Cerrado por inversos: fji = f−1

ij.

(3) Posee identidades: fii = idZi

para cada i ∈ I.

Es decir G es un semigrupo (las identidades no son unicas); lo llamamos el semigrupo de cociclosasociado a la familia amalgamable X . Las condiciones (1),(2),(3) se llaman condiciones de cociclos.

7.3. Fibrados Generales. Un fibrado es una cuadrupla ξ = (E, π,B, F ) que satisface las siguientescondiciones:

(1) E,B, F son espacios topologicos, a E se le llama techo, a B base y a F fibra de ξ.

(2) Eπ -B es una funcion continua, se le llama proyeccion de ξ.

(3) Para cada b ∈ B existen un entorno abierto b ∈ U ⊂ B y un homeomorfismo

U × Fα - π

−1

(U) tal que π(α(u, z)) = u para todo u ∈ U y z ∈ F . En dicha situacion

decimos que (U,α) es una carta fibrada de ξ, el abierto EU

= π−1

(U) es un entorno trivialdel fibrado.

Las siguientes propiedades se deducen directamente de la definicion anterior

(a) π es sobreyectiva.(b) B (resp. E) se cubre con una familia de cartas fibradas (resp. de entornos triviales).

46 G. PADILLA

(c) Si (α,U) (β, V ) son dos cartas fibradas tales que U ∩ V 6= ∅ entonces el cambio de cartas seescribe del modo siguiente

αβ−1

: (U ∩ V )× F - (U ∩ V )× F αβ−1

(u, z) = (u, gαβ

(u, z))

donde (U ∩ V )gαβ- F es una funcion continua que depende de las funciones α, β.

(d) Para cada u ∈ U ;

(i) La funcion gαβ

(u) : F - F dada por gαβ

(u)(z) = gαβ

(u, z) es un homeomorfismo.

(ii) La familia G|u de todas las funciones gαβ

(u) que provienen de algun cambio de cartas αβ−1

definido en u; es un semigrupo de cociclos. Es decir, gβα

(u) = gαβ

(u)−1

; gαβ

(u) ◦ gβγ

(u) =gαγ

(u) y gαα

(u) = idF

para cualesquiera α, β, γ que provengan de cartas fibradas.En adelante denotamos por G(ξ) al semigrupo de cociclos de ξ que consta de todas las

funciones gαβ

inducidas por los cambios de carta αβ−1

, variando a α, β.

7.4. Ejemplos.

(1) Un fibrado ξ = (E,B, π, F ) es trivial ⇔ B se puede cubrir con una sola carta (α,B), en cuyocaso, el techo E es homeomorfo al producto cartesiano B × F .

(2) Todo producto cartesiano B × F induce un fibrado trivial (B × F,B, pr1, F ).

(3) Dado un fibrado ξ = (E,B, π, F ) una trivializacion de ξ es una funcion continua Eτ - F

tal que, cuando es restringida a cada fibra, τ es un homeomorfismo. Cuando E es Hausdorfflocalmente compacto, entonces ξ posee alguna trivializacion ⇔ es un fibrado trivial. Para verla implicacion (⇒); si τ es una trivializacion de ξ basta tomar la carta (α,B) inducida por la

inversa α = φ−1

de la funcion φ(e) = (π(e), τ(e)). El recıproco se deja de ejercicio.

7.5. Morfismos fibrados. Dados dos fibrados ξ = (E,B, π, F ), ξ′ = (E′, B′, π′, F ′); un morfismo de

fibrados ξ - ξ′ es un diagrama conmutativo

B

E

B′

E′f1

f2

π π′

? ?

-

-

cuyas horizontales son continuas. Un isomorfismo de fibrados es un cuadrado como arriba, tal que f1, f

2

son homeomorfismos; y un automorfismo es un isomorfismo tal que B = B′ y f2 = idB

es la identidaddel espacio base B.

7.6. Unicidad de los espacios fibrados. Denotamos en adelante por U(ξ) al conjunto de todas lascartas fibradas de ξ. Como las propiedades (d)-(i),(ii),(iii) de §7.3 son las mismas propiedades (1),(2),(3)de §7.1; se deduce que la familia

X (ξ) = {U × F : (U,α) ∈ U(ξ)}es amalgamable.

Teorema 7.6.1. Si dos fibrados tienen la misma base, la misma fibra y la misma familia de cociclos,entonces son isomorfos.


[Demostracion] Sea ξ = (E, π,B, F ) un fibrado cualquiera. La idea esencial es que ξ se puederecuperar a traves de la amalgama de los ”ladrillos triviales” del tipo U × F que pertenecen a la familiaX (ξ).• Las familias X (ξ), G(ξ) inducen un nuevo fibrado (E, p, B, F ): Consideremos

E =

t(α,U)∈U(ξ)

U × F

∼(u, z) ∼ (u′, z′) ⇔ (u = u′) ∧ ∃α∃β(z′ = g

αβ(u, z))

la amalgama de los ladrillos triviales por la familia de cociclos G(ξ). Este espacio cociente esta biendefinido porque X (ξ) es amalgamable. Denotamos en adelande por [u, z] ∈ E a la clase de equivalenciade un punto (u, z) en algun ladrillo trivial. Definimos

Ep -B p([u, z]) = u

Esta funcion esta bien definida pues si [u, z] = [u′, z′] entonces, por la definicion de la relacion de equiv-alencia, u = u′ de modo que el valor u = p([u, z]) no depende del representante de la clase [u, z].• Cartas fibradas: Cada carta (U,α) ∈ U(ξ) induce una nueva carta en E dada por la funcion obvia

U × FıU- p

−1

(U) ıU (u, z) = [u, z]

que a cada punto lo manda en su clase de equivalencia. La continuidad de esta funcion se deja deejercicio.• Cambios de carta y cociclos: Si (U,α); (V, β) ∈ U(ξ) son dos cartas del fibrado original, tales queU ∩ V 6= ∅ y ıU (u, z) = ıV (v, z′) entonces, por la definicion de las funciones se tiene que [u, z] = [v, z′] ∈p−1

(U ∩ V ); luego (u, z) ∼ (v, z′) son equivalentes en (U × F ) t (V × F ). Ello sucede si y solo si u = v yz′ = g

αβ(u)(z). En consecuencia

ı−1

V (ıU (u, z)) = (u, gαβ

(u)(z))

Dado que los cambios de carta en E son los mismos del fibrado original, los cociclos se preservan.• Isomorfismo de fibrados: Se define como sigue:

Eψ -E ψ(α(u, z)) = [u, z] ∀(U,α) ∈ U(ξ) ∀u ∈ U ∀z ∈ F

La funcion ψ esta bien definida por el paso anterior. �

Referencias

[1] BREDON, G. Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics Vol. 139 Springer-Verlag. New York-Heidelberg- Berlin (1993).

[2] DIEUDONNE, J. Fundamentos de analisis moderno. Reverte, 1965.

[3] DOLD, Lectures on Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics Vol. 200. Springer-Verlag. New York-

Heidelberg- Berlin (1980).[4] DUGUNDJII, J. Topology. Allin & Bacon Boston (1966).

[5] HOCKING, J. & YOUNG, G. Topology. Dover. (1988).[6] MUNKRES, J. Topology, a first course. Englewood Cliffs, N. J. ,Prentice-Hall 1974.[7] ROTMAN, X. Introduction to group theory.[8] SINGER, I. et al. Lecture notes on elementary topology and geometry. Undergraduate texts in mathematics, Springer-

Verlag, 1976.[9] STEENROD, N. The topology of fiber bundles. Princeton University Press. Princeton-New Jersey . (1951).

Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias., Universidad Nacional de Colombia sede Bogota. Cl.45

AK30 Edif.404, Ofic. 315-404. Tel. 3165000 ext 13166.E-mail address: [email protected]

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