1. UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO TEMA MAGNITUDES FISICAS VECTORES DOCENTE : GARCA PERALTA JOS ALFREDO

2. CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES 3. v r Un campo escalar representa la distribucin espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio 4. Muchas leyes Fsicas, implican no solo relaciones algebraicas entre cantidades, sino relaciones geomtricas. Por ejemplo imaginemos el movimiento de una peonza que gira alrededor de su eje. Esta representacin geomtrica es complicada para representarla por medio de ecuaciones algebraicas. Si usamos vectores para representar las variables fsicas, una sola ecuacin es suficiente para explicar el comportamiento. Los vectores nos permiten simplificar muchas leyes fsicas. A veces la forma vectorial de una determinada ley fsica nos permite ver relaciones o simetras. 5. 1. I NTRODUCCIN Para describir cualquier fenmeno fsico lo primero que debemos hacerse es definir magnitudes fsicas. Estas magnitudes fsicas tienen propiedades tanto numricas como direccionales y estn asociadas a elementos matemticos. La seleccin de estas magnitudes fsicas debe hacerse de forma cuidadosa a fin de conseguir la descripcin mas sencilla posible del fenmeno fsico. Las magnitudes fsicas que usamos a diario en fsica como en ingeniera se clasifican en ESCALARES y VECTORIALES. Estos entes matemticos que estudiaremos son de orden cero (escalares) y de orden uno (vectores) Las magnitudes fsicas son los pilares de las leyes fsicas siendo las magnitudes vectoriales las mas usadas Una MAGNITUD FSICA es una propiedad o cualidad medible de un sistema fsico, es decir, a la que se la puede asignar distintos valores como resultado de una medicin. 6. Las magnitudes fsicas se miden usando un patrn que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posee el objeto patrn. Por ejemplo, se considera que el patrn principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de unidades . Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medicin de longitudes, reas, volmenes, masas patrn y la duracin de periodos de tiempo. Hay otras propiedades que no se pueden medir como el sabor, el olor, la belleza, etc., no tienen el carcter de magnitudes fsicas QU ES MEDIR? La operacin de medir una cierta magnitud fsica consiste en compararla con un patrn o cantidad de la misma magnitud previamente definida como unidad, determinando el nmero de veces que lo contiene. 7. 1.2 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES MAGNITUDES ESCALARES Quedan completamente definidas por su valor numrico (nmero mas unidad), donde el nmero pertenece a los nmeros reales. A tales cantidades se les denomina escalares Ejemplos de cantidades escalares : la longitud. El tiempo, la masa , el rea, el volumen, la energa, etc Las operaciones que se realizan con cantidades escalares obedecen al algebra elemental. Solo se operan aquellas que son de la misma naturaleza o dimensin L = 12 m Nmero Unidad 8. MAGNITUDES VECTORIALES Hay otras magnitudes fsicas que no quedan definidas por un numero real y su unidad es, necesario asignarles una direccin. A tales magnitudes se les denomina vectoriales Ejemplos de magnitudes vectoriales : el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la fuerza entre otras. Las operaciones que se realizan con magnitudes vectoriales obedecen al algebra vectorial. Solo se operan aquellas que son de la misma naturaleza o dimensin. Nmero Unidad v r = 39 km/h al Sur Direccin 9. 1.3 VECTOR Y NOTACIN VECTORIAL VECTOR Un vector se define dentro de nuestro espacio euclidiano como una cierta magnitud que en cualquier sistema coordenado se le representa como un segmento de recta orientado y dibujado a escala. coordenadas cartesianas Sistema de coordenadas cilindricas Sistema de coordenadas esfricas Sistema de 10. Los vectores se usan para representar de manera geomtrica a las magnitudes vectoriales NOTACIN VECTORIAL La notacin vectorial en fsica tiene dos grandes ventajas : La formulacin de una ley fsica expresada vectorialmente es independiente del sistema coordenado que se elija. La notacin vectorial es concisa (muchas leyes fsicas tienen formulacin sencilla). Los vectores se simbolizan con letras que pueden ser maysculas o minsculas con una flecha encima de la letra o en negrita. A o a El mdulo se representa A o a o aA ur r o aA ur r 11. 1.4 ELEMENTOS DEUN VECTOR MDULO El mdulo de un vector es proporcional a la longitud del segmento de recta orientado y siempre es positivo. DIRECCIN Esta dada por el ngulo que forma el vector con un eje de referencia dado. SENTIDO Esta dado por la cabeza de flecha del vector f mdulo linea de accin eje de referencia P Q Figura 1,1 12. Al punto P se le llama origen del vector y el punto Q viene a ser el extremo del vector 1.5 CLASES DE VECTORES Por su origen VECTORES LIBRES. Son aquellos vectores que conservando su direccin y sentido producen el mismo efecto en cualquier punto del espacio. 12 13. VECTOR DESLIZANTE Estos vectores mantienen su mdulo, direccin, sentido y lnea de accin. Su punto de aplicacin puede estar en cualquier punto de su lnea de accin. VECTOR LIGADO Es aquel vector que no puede cambiar su punto de aplicacin sin 14. cambiar su efecto, es decir, es un vector fijo. Segn como actan POLARES Son aquellos vectores que no necesitan de ningn criterio para asignarles su sentido, por ejemplo, la velocidad de una partcula, la fuerza de interaccin sobre un cuerpo. estos vectores no modifican su sentido en una imagen especular. L in e a d e a c c i n d e l v e c to r F r punto de aplicacin del vector 15. AXIALES Son aquellas magnitudes fsicas que se pueden considerar como vectoriales pero es necesario asignarles un sentido a travs de un convenio previamente establecido, por ejemplo, la velocidad angular de giro (su sentido depende de la rotacin),El criterio adoptado es el de la regla de la mano derecha 1.6 SISTEMA DE REFERENCIA Un sistema de referencia se define por un par (O, E) donde El primer elemento O es un punto de referencia arbitrario, normalmente pertenece a un objeto fsico a partir del cual consideramos las distancias y las coordenadas de posicin. El segundo elemento E es un conjunto de ejes coordenados que tienen como punto de referencia a O y sirven para determinar la direccin y sentido del cuerpo en movimiento. 16. Los sistemas de referencia (S.R) pueden ser S.R cartesiano. S.R cilndrico. S.R esfrico. Siendo el ms usado el sistema de referencia cartesiano 1.7 OPRACIONES CON VECTORES SUMA DE DOS VECTORES MTODO DEL PARALELOGRAMO A B A B B= A+R 17. MTODO DEL TRINGULO MTODO DEL POLIGONO A B A B R= A B+ a r b r c r d r d r b r a r c r R r 18. Cuando el polgono vectorial es cerrado la resultante vectorial es cero 0 R a b c d e R = + + + + = ur r rr r r ur r a r b r c r d r d r b r a r c r e r e rR r 19. Demostracin DIFERENCIA DE VECTORES vect ores e y R son vect ores opuest os R 0 R a b c d e a b c d R los e R = + + + + + + + = = - = ur r rr r r r r urr r urr ur r ur r ( ) opuest o D A B D A B B vector = - = + - - = urur ur urur ur ur 20. De manera grfica MULTIPLICACIN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Es otro vector cuyo mdulo resulta ser K veces el mdulo del vector original. Donde el escalar k a los nmeros reales El sentido que adquiere el nuevo vector depende del signo del escalar k, es decir, el nuevo vector resulta se paralelo al vector original si k es positivo y antiparalel al vector original si k es negativo. A r B r B- r A r D r 21. En general el nuevo vector puede aumentar o disminuir su magnitud dependiendo del valor del escalar k. 1.8 LEY DE LOS COSENOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE DE LA SUMA DE DOS VECTORES a r ab k= r r ac k= - r r k (positivo) k (negativo) 2 2 2 cosR A B A B q= + + 22. Demostracin Con los vectores libres y formamos un tringulo vectorial MNT que luego lo completamos para obtener un tringulo rectngulo MNU Aplicando el teorema de Pitgoras f fa A r B r cosB f sB en fR r N UTM A r B r 2 2 2 ( ) ( ) ( )MN MU NU= + 23. Donde 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos Re ( cos ) ( ) 2 cos MN MU NU MU MT T U MN R MT A T U B NU Bsen emplazando R A B Bsen R A B A B f f f f f = + = + = = = = = + + = + + 24. RESULTANTE MAXIMA Y RESULTANTE MINIMA Si el cos = 1 = 2 + 2 + 1 2 + 2 + = ( + )2 =A+B Si el cos = 1 = 2 + 2 2 2 + 2 2 = 2 = A r B r minR A B= - 25. 1.9 COMPONENTES DE UN VECTOR Un vector tiene infinitas componentes. Estas componentes vienen a ser las proyecciones sobre los ejes de un determinado sistema coordenado. Donde P o M N 1l 2lV r 1lV r 2lV r 1 2l lV V V= + ur ur ur 26. Componentes cartesianas de un vector en el plano A partir de la grfica se observa que Luego introducimos los vectores unitarios y (de magnitud unidad cada uno) a lo largo de los ejes x e y x yF F F= + ur ur ur x x y y F F i F F j = = ur r ur r y x F r xF r yF r fi r j r 27. Entonces el vector se escribe como Si representamos la magnitud del vector por F y con el ngulo entre y el eje x. Se pueden expresar las componentes escalares de la proyeccin del vector con los ejes x e y F ur x yF F i F j= + ur r r cosx y F F F Fsen f f = = cosF F i Fsen jf f= + ur r r 28. Todo vector en el plano se pede nombrara con dos nmeros 1.8 componentes de un vector en el esPacio ( , )F F F f= ur ur F r xF r yF r zF r xyF r q f x y z los ngulos 0 360 0 180 Donde f q xy x yF F F= + ur ur ur la figura, se observa que xy z De F F F= + ur ur ur Pr de en el plano xy xyF oyeccin vectorial F 29. Entonces x funcin de sus component es F cos cos Re cos cos x y z x x y z z xy y xy z xy F F F F F F i Fy F j F F k En F F F sen F F emplazando F Fsen F Fsen i Fsen sen j F k f f q q q f q f q = + + = = = = = = = = + + ur ur ur ur ur r ur r ur r ur rr r 30. Todo vector en el espacio se puede nombrar con tres nmeros Componentes de un vector en funcin de sus cosenos directores ( , , )F F F q f= ur ur 31. Donde El vector en funcin de sus componentes escalares De la figura, observamos que , , son los ngulos directores que forma el vector F con los ejes coodenados positivos x y zq q q ur F x y zF i F j F k= + + ur rr r y zcos cos cos yx z x FF F F F F 32. El vector fuerza queda expresado y zF cos cos cosx i j kq q q= + + ur rr r 2 2 2 y zcos cos cos 1x Identidad q q q+ + = 33. Se puede conocer la magnitud del vector y dos ngulos, el tercero se calcula mediante la identidad. 1.10 VECTOR de posicin El vector de posicin se define como un vector fijo, que en el caso ms general puede estar dirigido desde el punto A hacia el punto B en el espacio. 34. De la figura As las componentes del vector de posicin pueden obtenerse tomando las coordenadas del vector y restarlas de las coordenadas correspondientes al extremo del vector 1.11 VECTOR DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LINEA La fuerza acta a lo largo de la cuerda AB, esto es, debido a que la direccin de la fuerza esta especificada por dos puntos. La fuerza tiene la misma direccin que el vector , esta direccin comn se especifica mediante el vector unitario . F ur = - = + + - + + r r r r r r r r r r ( ) ( ) B A B B B A A A r r r r x i y j z k x i y j z k = ur r F Fe = uuur r A B e A B 35. 1.12 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO. q A r B r 36. El producto escalar de dos vectores se escribe como y se define de la siguiente manera =A B cos El producto escalar da como resultado un nmero El producto escalar es conmutativo = . El producto escalar da la condicin de perpendicularidad Si se conocen las componentes de los vectores y Consideremos el producto escalar de los vectores unitarios para ello usando la definicin de producto escalar. 0 q p x y z x y z A A i A j A k B B i B j B k = + + = + + ur rr r ur r r 37. Producto escalar de los vectores unitarios El producto escalar de los vectores y . = + + 1 i 0 j j = 1 j 0 1 k 0 i i j k k k i = = = = = rr r r rr ur r r r r r A r B r 38. PROYECCIN ESCALAR- La proteccin escalar del vector sobre el vector se escribe como De la definicin del producto escalar Pr escaB A oy ur ur A r B r B cos Ae r B cos =Proy escB A Pr esc Pr escB B A A A A B oy oy e B A 39. 1.13 PRODUCTO vectorial El producto vectorial de dos vectores se escribe como x y se define de la siguiente manera El producto vectorial da como resultado un vector. El nuevo vector es perpendicular a los vectores y . ( )AxB A Bsenq= ur ur 180q A r Ax B r r B r 40. El producto vectorial no es comutativo x El producto vectorial da la condicin de paralelismo El producto vectorial es independiente de la eleccin de los ejes coordenados Si se conoce las componentes de los vectores Entonces el producto vectorial en funcin de los vectores unitarios cartesianos es Producto vectorial de vectores unitarios x y z x y z A A i A j A k B B i B j B k = + + = + + ur r r ur r r r ( ) ( )x y z x y zAxB A i A j A k x B i B j B k= + + + + ur ur r r r r r r 0 0 0 ixi ix j k jx j jxk i kxk kxi j = = = = = = r r r r r r r r r r r r r r r r r 41. El producto vectorial tambin se puede escribir en forma de determinante REGLA DE LA MANO DERECHA AA A A A B B B B B x yx z x z x y z y z x z x y x y z i j k AA A AxB A i j k B B B B = = - + r r r ur ur r r r