UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Ingreso Máximo. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (p )=200−2q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades. Determine el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y calcule el ingreso.

Sabemos que el ingreso total (IT) es igual a P*Q,

p= (200−2q )

¿=(200−2q )∗q

¿=(200q−2q2 )Como nos piden el ingreso máximo, y con los coeficientes a = -2, b = 200 y c = 0, aplicamos la siguiente fórmula:

q=−b2a, por tanto :

q=−2002∗−2

=2004

=50unidades

Conociendo el valor máximo de unidades, podemos hallar la producción máxima que maximiza el Ingreso Total:

¿=(200q−2q2 )

¿=(200∗50−2¿502 )

¿=10000−5000=5000

Respuesta: El Ingreso Total maximizado para el fabricante teniendo en cuenta su demanda es de $5000, teniendo en una cantidad de 50 unidades de producción.

2. Impuesto sobre ventas. La diferencia en el precio de dos artículos antes de que un impuesto sobre la venta de 5% se les imponga es de $4. La diferencia en el precio después del impuesto es de $4.20. Encuentre el precio de cada artículo antes del impuesto.

Solución

Llamemos a X1 :costo del primer artículoLlamemos a X2 :costo del segundo artículo

X1−X2=4 (1 )

X1−X2+( X1−X 2)∗5

100=4,2 (2 )

1,05 X1−1,05 X2=4,2 (2 )

Si a la ecuación (2) la dividimos por 1.05 a ambos lados del igual, no se altera la ecuación, quedando así:

1,05 X1−1,05 X21,05

= 4,21,05

(2 )

X1−X2=4 (2 )

En esto orden de ideas, si observamos que las ecuaciones (1) y (2) son iguales, la respuesta para este problema es: existen infinitas soluciones para el valor de los dos artículos. Por ejemplo,

X1=4 ,6 ,8 ,10X2=0,2,4,6

3.Precio de equilibrio. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125 p – q−250=0y 100 p+q−1100=0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio.

125 p – q−250=0 (1)100 p+q−1100=0 (2)

Para saber el precio de equilibrio p, sumamos las dos ecuaciones 1 y 2, quedando así:

225 p−1350=0 (3), de esta ecuación se puede despejar la variable p:

p=1350225

=6

Respuesta: el precio de equilibro para que la oferta y la demanda estén en equilibrio es de $6.

4. Punto de equilibrio. Un fabricante de cierto producto vende todo lo que produce. Determine el punto de equilibrio, si el producto se vende en $16 por unidad, el costo fijo es de $10000 y el costo variable está dado por Y cv=8q, en donde q es el número de unidades producidas (Y cv se expresa en dólares).

Ecuaciones:

Y CF=16q (1 ) Costo Fijo

Y CV=8q+10000 (2 ) Costo variable

Para que el costo de producción y la cantidad de unidades vendidas tengan que estar en equilibrio, por tanto, las ecuaciones 1 y 2 se igualan:

Y CF=Y CV

16q=8q+10000

16q−8q=10000

8q=10000

q=100008

=1250

Si q=1250unidades, entonces Y CF=16∗1250=$20000

Respuesta: el punto de equilibrio entre el costo de venta y la venta del producto es (1250, 20000) o 1250 unidades, $20000.

5. Conversión de temperatura. La temperatura Celsius, C, es una función lineal de la temperatura Fahrenheit, F. Utilice el hecho de que 32°F es lo mismo que 0°C y que 212°F es lo mismo que 100°C para hallar esta función. También encuentre C cuando F = 50.

En el problema nos brindan dos puntos, donde X = F y Y = C, punto 1 (32, 0) y punto 2 (212, 100).

Con los dos puntos se puede sacar la pendiente de una recta, de la siguiente manera:

m=Y 2−Y 1X2−X1

= 100−0212−32

=100180

=59(1)

Teniendo la pendiente de una recta, y tomando uno de los puntos dados, se puede hallar la función de la línea recta:

Y−Y 1=m (X−X1) (2)

Y−0=59

(X−32 )

C=59

(F−32 )(3)

Una vez hallada la relación que existe entre Celsius y Fahrenheit, podemos hallar los grados de °C que corresponde a 50°F, de la siguiente manera:

C=59

(50−32 )=59

(18 )=10 °C

Respuesta, la función encontrada fue C=59

(F−32 ) y los grados Celsius similares a los 50°F son 10°C.

6. 2 X−Y=6(1)

3 X+2Y=5 (2)

Solución

La existencia de dos ecuaciones y dos incógnitas, nos permite saber el valor para el cual las ecuaciones tienen solución.

Emplearemos el método de reducción de la siguiente manera.

A la ecuación 1 la multiplicamos por 3 y la ecuación 2 por -2:

2 X−Y=6∗3 ;6 X−3Y=18(3)

3 X+2Y=5∗−2 ;−6 X−4Y=−10 (4 )

Sumamos 3 y 4, dando como resultado:

(6 X−3Y=18)+(−6 X−4Y=−10)

−7Y=8 ;

Y=−87

Ya habiendo encontrado el valor de Y, procederemos hallar el valor de X, reemplazando a Y en la ecuación 1:

2 X−(−87 )=62 X+ 8

7=6 ;2 X=6−8

7

2 X=347

X=177

7.3 X+6Y=9(1)

4 X+8Y=12 (2 )

Se multiplica la ecuación 1 por -4 y la ecuación 2 por 3:

3 X+6Y=9∗−4 ;−12 X−24Y=−36 (3)

4 X+8Y=12∗3 ;12 X+24Y=36 (4 )

Al sumar la ecuación 3 con la 4, encontramos:

0=0

Respuesta: Como se observa las ecuaciones 3 y 4 son igual, y encontraremos n soluciones infinitas, para solucionar este planteo de ecuaciones.

8.8 X−4Y=7(1)

Y=2X−4 (2 )

Reemplazamos 2 en 1:

8 X−4 (2 X−4 )=7

8 X−8 X+16=7

16=7(4)

Respuesta: no es posible que 16 sea igual a 7, por tanto no existe solución para las variables X y Y.

9. 14 X−32Y=−4(1)

34X+ 12Y=8(2)

Multiplicamos la ecuación 1 por -3:

−34X+ 92Y=12 (3 )

Sumar la ecuación 2 con la 3

( 34X+ 12Y=8)+(−3

4X+ 92Y=12)

92Y + 12Y=8+12

5Y=20

Y=205

=4

Se reemplaza el valor de Y en (1)14X−3

2∗4=−4

14X−6=−4

14X=−4+6=2

X=2∗4=8

Respuesta: los valores de Y y X son 4 y 8 respectivamente.

10.4 X+5Y=3 (1)3 X+4Y=2(2)

Multiplicamos la ecuación 1 por -3 y la ecuación 2 por 4:

4 X+5Y=3∗−3 ;−12 X−15Y=−9(3)

3 X+4Y=2∗4 ;12X+16Y=8 (4 )

Sumamos la ecuación 3 y 4:

(−12 X−15Y=−9)+(12 X+16Y=8)

−15Y +16Y=−9+8

Y=−1

Reemplazamos en 1:

4 X+5∗−1=3

4 X−5=3 ;4 X=3+5=8

4 X=8; X=84=2

Respuesta:

Los valores que solucionan las anteriores ecuaciones planteadas son:

Y=−1

X=2

11.

13X−1

4Y= 1

12(1 )

43X+3Y=5

3(2)

Multiplicamos la ecuación 1 por -4:13X−1

4Y= 1

12∗−4

−43X+ 44Y=−4

12;−43X+Y=−1

3(3 )

Sumar las ecuaciones 3 y 2

(43 X+3Y=53

¿+(−43X+Y=−1

3)

3Y +Y=−13

+ 53;4Y=4

3

Y=13

Reemplazamos en 243X+ 3∗1

3=53

43X=5

3−1

43X=2

3; X=1

2

Respuesta el valor de Y = 1/3 y X = ½, solucionan el sistema de ecuaciones planteado.