Comportamiento pComportamiento p--vv--T T Comportamiento pComportamiento p--vv--T T

en gasesen gases

Profesor:Joaquín Zueco JordánÁrea de Máquinas y Motores Térmicos

Ecuación de estado en gases ideales_v lim

P→→→→0

P J−−−−−−−− = R=8,3143 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−T mol k

_v

P−−−−−−−−T

P

R

_v

PV = PV = PV = PV = nnnnRTRTRTRT

P−−−−−−−− = R T

V= −−−−−−−−−−−−

n

_v

mn = −−−−−−−−−−−−

M PPPPvvvv = = = = R TR TR TR TPV = PV = PV = PV = mmmmRRRR TTTT

. .. .. .. .PPPP V = V = V = V = mmmmRRRR TTTT

V v = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−

m .

m

. V R

R = −−−−−−−−−−−−M

P

mPV = −−−−−−−−−−−− RΤΤΤΤ

M

Ecuaciones de estado en gases reales

Factor de compresibilidad ZPV = PV = PV = PV = Z n Z n Z n Z n RTRTRTRT

PPPPvvvv = = = = Z R TZ R TZ R TZ R T

PV = PV = PV = PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTT

. .. .. .. .

P P vZ = −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− ≠≠≠≠1

RT R T

_v lim

P→→→→0 ΖΖΖΖ = 1

Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...

Coeficientes del Virial

aP + −−−−−−−−−−−− – b = RT

2 a , b => constantes

Ecuación de Van der Waals

_v

_v

. .. .. .. .PV =PV =PV =PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTTZ = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...

1.21.11.00.90.8 1.6

1.8

2.0

2.53.5

3.05.0

PPr = −−−−−−−−

Pc

vvr = −−−−−−−−

vc

TTr = −−−−−−−−

Tc

Conocidas dos variables reducidas

está determinada la tercera.

f (Pr , vr , Tr ) = 0

Variables reducidasF

act

or

de

com

pre

sib

ilid

ad

Z

Ley de los estados correspondientes

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10

0.90.80.70.60.50.40.30.20.1

0.8

0.90.95

Tr=1.0

1.1

1.2

1.3

1.41.6

1.8

Fa

cto

r d

e co

mp

resi

bil

ida

d

Presión reducida Pr

Tr

Diagrama de :elson-Obert

1.21.11.00.90.80.7 0.8 1.3

1.41.6

1.8

2.0

2.53.5

3.05.0

Fa

cto

r d

e co

mp

resi

bil

ida

d Z

Ley de los estados correspondientes

Inexactitud en la cercanía del punto crítico

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10

0.70.60.50.40.30.20.1

0.8

0.90.95

Tr=1.0

1.1

1.2

1.3

Gráfica no muy exacta

Zcrítico= 0,27

En realidad (0,23 - 0,33)

Fa

cto

r d

e co

mp

resi

bil

ida

d

Presión reducida Pr

Propiedades críticas

Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993

Constantes de van der Waals de algunos gases

http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/vanderwaals_esp.pdf

Modelo de gas ideal

aguaaguaaguaagua

termómetro

A B

vaciogas ideal

VV

Estado inicial (P,V,T)

aguaaguaaguaagua

termómetro

A B

VV

gas ideal

Estado final (P/2 , 2V ,T)

Experimento de Joule (1843)

Aplicando el

h = u + P v

u(T) + RT = h(T)

dh cP (T)= −−−−−−−−

dTh2 - h1 = ∫∫∫∫ cp(T) dT

Q12 = ∆∆∆∆U12 + W12

∆∆∆∆U12=0 U1= U2

Aplicando el primer principio: du

cv(T) = −−−−−−−−−−−−dT

u =u(T)

U =U(T)u2 - u1 = ∫∫∫∫ cv(T) dT

Modelo de gas ideal - Ecs. Virial

P V = P V = P V = P V = n R n R n R n R TTTT

P P P P vvvv = = = = R TR TR TR T

P V = P V = P V = P V = m m m m RRRR TTTT

. .. .. .. .P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT

P v Z = −−−−−−−−−−−− = 1= 1= 1= 1

RΤΤΤΤ

Cuando P 0 o V ∞ las fuerzas de interacción entre las moléculas de un gas se debilitan y Z=1 en el límite

Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...

Z = 1 + B´(T)/V + C´(T)/V2 + D´(T)/V3 + ...

. .. .. .. .P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT

¿Es el vapor de agua un gas ideal?

T

50 bar

100 barGAS

IDEAL

0

0

0

0

0

7,6

25,7

49,5

17,6

5,0

Error <1%

Error = (vtabla-videal)/vtabla

0,2

0,1

0,1

00,5

7,4

2,4

0,8

2,2

v

10 bar

1 bar

0,1 bar

Adecuado: Acondicionamiento de aire, presión es muy baja

:o adecuado: Centrales térmicas

0,10

0

1,6

7,6

h

Vapor sobrecalentado: T=cte, p hGas ideal: T=cte, h=cte

s

Signo de los calores específicos

Proceso adiabático:

Proceso isotermo:

1 δQ δq c = −−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−

m dT dT

c = 0

c = ±∞

Proceso 1-2: -/+ = -

Calores específicos negativos

P Proceso 1-2: -/+ = -

Proceso 1-3: +/- = -

Proceso 1-4: +/+ = +

Proceso 1-5: -/- = +

Calores específicos positivos

v

P

isoterma

adiabática

1

2

3

4

5

Calor específico cp para algunos gases según la Tªcp cv γγγγ cp cv γγγγ cp cv γγγγ

Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993

cp = R [αααα + ββββ T + γγγγ T2 + δδδδ T3 + εεεε T4]

Ecuación polinómica para obtener el calor específico cppara algunos gases según la Tª

GAS αααα ββββ 103γγγγ 106 δδδδ 109 εεεε 1012

O2

:2

Aire H2

CO

3,626

3,675

3,653

3,057

3,710

-1,878

-1,208

-1,337

2,677

-1,619

7,055

2,324

3,294

-5,810

3,692

-6,764

-0,632

-1,913

5,521

-2,032

2,156

-0,226

0,276

-1,812

0,240

T h Pr u vr so

Tabla de gases ideales

h(T) = ∫ cp(T) dT0

T

u(T) = h(T) –R T

h(T) = href + ∫ cp(T) dTT

Tref

Estado de referencia: 0K, h=0

T(K)

h Pr u vr so

0200300400500600700800900

1000

0199,97300,19400,98503,02607,02713,27821,95932,93

1046,04

0142,56214,07286,16359,49434,78512,33592,30674,58758,94

Modelo de un gas perfecto

cpcp(T)

cp,m

Es un gas ideal con

calores específicos

constantes (valores

medios)1

2

c = (c +c )/2

T1 T2 T

u2 – u1= cv,m (T2 – T1)

h2 – h1 = cP,m (T2 – T1)

cp,m= (cp,1+cp,2)/2

Ley de Mayer

du = cv(T) dT diferenciando

dh du−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− + + + + RdT dΤ Τ Τ Τ

dh = cp(T) dT cp(Τ) = (Τ) = (Τ) = (Τ) = cv(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) + R(gases ideales)

γγγγ(Τ)Τ)Τ)Τ) ⇒⇒⇒⇒ exponente adiabáticocp (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)

γγγγ(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) = −−−−−−−−−−−−−−−−cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)

En general varía con la Tª,

P v = R T

h = u + P v

R = cp - cv

R = cp - cv

J−−−−−−−−−−−−−−−−mol k

J−−−−−−−−−−−−−−−−kg k

Para gases perfectos

Rcv = −−−−−−−−−−−−

γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1

cpγ γ γ γ = −−−−−−−−−−−−cv

R = cp - cv

γ γ γ γ Rcp = −−−−−−−−−−−−

γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1

cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)En general varía con la Tª,

disminuyendo al aumentar ésta

T (K) cp (kJ/kgK) cv (kJ/kgK) γγγγ

Valores de los calores específicos y de γγγγ para el aire

cp > cv ya que a p=cte el gas se dilata realizando cierto trabajo para

vencer la presión exterior, y entonces se necesita absorber una

cantidad de energía equivalente a ese trabajo

Procesos politrópicos

P vn = K n => (−−−− ∞∞∞∞ ,+ ∞∞∞∞)

P vn = K P1 vn

1 = P2 vn

2

n = exponente politrópico

(cualquier sustancia)

2

∫∫∫∫ dvww1212 = Pdv = ΚΚΚΚ−−−−−−−−−−−−

vn∫∫∫∫v2

v

1w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n

1∫∫∫∫1212 vn∫∫∫∫

v1

1–n

Pvn = K P1 vn

1 = P2 vn

2

P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2

P v−−−−−−−−−−−− ==== RT

T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 P1 v2

n-1−−−−−−−−−−−−n

n-1(GAS IDEAL)

Rw12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1–n

Procesos isócoros e isobáricos

P

v

Si n =±±±± ∞∞∞∞→ P v±±±± ∞∞∞∞ = K

→ P0 v = K

→→→→ v = K

2

1

Isócoros

P

v

w12

Si n =0

→ P v0000= K

→ P= K

21

Isóbaros

w12 = 0

2

1∫∫∫∫ww1212 = Pdv = 0

v v

P1 P2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 T2

P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2

v = K

GAS IDEAL v1 v2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 T2

w12 = P (v2 –v1) = R ( T2 – T1 )

P = K

P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2

GAS IDEAL

w12 = P (v2 –v1)

Procesos adiabáticos En un proceso cuasiestático:

cp dT vdP −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−cv dT -Pdv

Dividiendo (2) por (1)

dP dv −−−−−−−−−−−− + + + + γγγγ −−−−−−−−−−−− = = = = 0P v

ln P + γγγγ ln v = C

Pvγγγγ = K n = γγγγdh = du + Pdv + vdP

δq = 0

δq = du + Pdv

δq = 0 Adiabático cv dT =-Pdv (1)

cp dT = vdP (2)dh = cp dT

du = cv dTGas perfecto

GAS IDEAL

Pvγγγγ = K n = γγγγ

T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 P1 v2

γγγγ-1−−−−−−−−−−−−γγγγγγγγ-1

Rw12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1-γγγγ

Si n = γ γ γ γ →→→→

P

v

w12

Pvγγγγ = K

1

2

δq = 0

Procesos isotérmicos

P

v

w12

P v = K

P1 v1 = P2 v2

P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T T

Si n = 1

T1 = T2

2

1

isotérmico

GAS IDEAL

P1v1 = P2v2

vT1 T2

2

1∫∫∫∫

dv v2 v2 P1

ww1212 ==== Pdv = Κ= Κ= Κ= Κ−−−−−−−−−−−− = Κ = Κ = Κ = Κ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−−v v1 v1 P2

∫∫∫∫v2

v1

isotérmico

Procesos politrópicos, resumen

P

n=0

n=∞∞∞∞

n=-∞∞∞∞

n=1

n= γγγγv

n=-∞∞∞∞ n= γγγγ

Procesos

politrópicos

Isóbaros n = 0 P = cte

Isócoros n =±±±± ∞∞∞∞ V = cte

Isotérmicos n = 1 T = cte

Isoentrópicos n = γγγγ

Comparación: Trabajo de expansión y compresión

Procesos politrópicos ⇒⇒⇒⇒1

w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n

P

n=1

Trabajo

extra

P

n=1

Ahorro en

consumo

v

n= γγγγ

v2v1Expansión

Interesa que ambos procesos se hagan sin variación de T

v

n= γγγγ

v2v1

Compresión