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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE

TÚNELES CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS

PLÁSTICOS

TESIS DOCTORAL

JOSÉ GUILLERMO SANDOVAL OCAÑA

Ingeniero Civil

MADRID, 2008

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. T. S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA Y MORFOLOGÍA DEL TERRENO

ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE

TÚNELES CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS

PLÁSTICOS

TESIS DOCTORAL

JOSÉ GUILLERMO SANDOVAL OCAÑA Ingeniero Civil

Directores de Tesis:

ALCIBÍADES SERRANO GONZÁLES Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

ÁUREA PERUCHO MARTÍNEZ

Dra. Ingeniera de Caminos, Canales y Puertos

MADRID, 2008

Título de Tesis:

“ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA POR FLUENCIA DE TÚNELES

CIRCULARES EN MEDIOS VISCOELÁSTICOS PLÁSTICOS”

Autor: D. José Guillermo Sandoval Ocaña

Directores: D. Alcibíades Serrano González

Dña. Áurea Perucho Martínez

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad

Politécnica de Madrid, el día .......... de ................... de 2009.

Presidente D. ..............................................................................................

Vocal 1º D. ................................................................................................

Vocal 2º D. ................................................................................................

Vocal 3er D. .................................................................................................

Secretario D. ..............................................................................................

Realizado el acto de defensa y lectura de la tesis el día ............de ...................

de en .................., los miembros del tribunal acuerdan otorgar la

calificación de: .....................................................................................................

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Esta tesis se la dedico a Dios.

I

Agradecimientos

Quiero agradecer a todas las personas e instituciones que durante estos cuatro

años, como doctorando de la Universidad Politécnica de Madrid, me han apoyado para

llevar a cabo esta tesis doctoral.

En primer lugar quiero agradecerles sinceramente, a mis directores de tesis el

Dr. Alcibíades Serrano González y la Dra. Áurea Perucho Martínez, por haberme

dirigido esta tesis doctoral y por su confianza al admitirme en su grupo de investigación.

A ambos les agradezco por la esplendidez de su trato, su generosidad, e interés,

hallando tiempo para leer y discutir conmigo los avances, y por sus valiosas opiniones

que han sido fundamentales en el desarrollo de esta investigación. Así mismo por

dejarme documentación que me ha sido muy útil. En particular le agradezco a: D.

Alcibíades Serrano por su generosidad al compartir conmigo sus profundos

conocimientos de la Mecánica de Rocas, y a Dª Áurea Perucho, por conseguir el

financiamiento para la implementación del módulo de ensayos de fluencia triaxial, a

través de los convenios de I+D+I.

En segundo lugar, quiero agradecer al Dr. Claudio Olalla, quien en los inicios de

esta investigación fue mi codirector, por poner su confianza en mi y por su valiosa

ayuda para conseguir financiamiento para mi estancia durante el doctorado, así como

por sus gestiones para conseguir muestras de roca para la experimentación de esta

investigación.

Luego quiero agradecer al Laboratorio de Geotecnia del CEDEX y

especialmente a D. Vicente Cuellar, quien como su Director al inicio de de mi

doctorado, me dio su confianza y apoyo admitiéndome en este centro para llevar a cabo

esta investigación. También a D. Fernando Pardo actual Director del Laboratorio de

Geotecnia del CEDEX, por ratificarme su confianza y apoyo para concluir esta tesis. A

Dª María Eugenia Martín, por sus gestiones y sus acertadas ideas durante la difícil etapa

de la implementación y puesta a punto del modulo de ensayos de fluencia triaxial.

También por poner a mi disposición los recursos materiales y humanos del área de

ensayos de Mecánica de Rocas; tanto para la ejecución de la experimentación de esta

tesis como para la puesta a punto del módulo de ensayos de fluencia triaxial. Así mismo

quiero agradecer a los técnicos de la sala de ensayos de Mecánica de Rocas, a: Manuel

Geijo, Manuel Pintado y José Fernández por compartir conmigo su experiencia y darme

Agradecimientos

II

su valiosa ayuda en las labores de extracción de las muestras y ejecución de los ensayos.

A Javier Moreno por conseguir para mí la exención del pago del curso de formación de

Itasca Consultores S. L. y a Pedro Varona Director Gerente por concederme la dispensa.

A José Luis García y a Carlos de las Heras, por la información relacionada con el túnel

del Regajal y por cederme muestras de rocas de este proyecto para la experimentación.

A José Toledo y a Clemente Arias por compartir conmigo su experiencia y dejar a mi

disposición los equipos para la difícil tarea de tallar las muestras de roca. A Felipe

García por la elaboración de las piezas que hicieron falta en la etapa de la puesta a punto

del módulo de ensayos de fluencia triaxial. A Encina Polo y a Eva Rodríguez, por su

atención, y por darme información de las fuentes bibliografícas para realizar búsquedas

eficaces.

Agradezco a la Universidad de Piura, a la Universidad Politécnica de Madrid, a

la Fundación Agustín de Betancourt y al Grupo EPTISA S.I. a través de D. Rafael

Portilla; por concederme sendas becas para financiar mi estancia en Madrid a lo largo de

estos cuatro años y llevar a cabo mis estudios de doctorado. Además le agradezco a Da

Carmen Lacalle, secretaria del Departamento de Morfología e Ingeniería del Terreno

por su trato amable, ayuda e información oportuna.

También quiero agradecer a mis excelentes amigos: Cristina de Santiago, Jesús

Manzanas, José María Gómez, Diego Manzanal, Svetlana Milentijevic, Silvia García,

María Santana, Esther García y Mila Sanchez. Por las veces que han compartido

conmigo información suya, así como por sus acertadas ideas que me han sido muy

útiles. A todos ellos, además les agradezco por su amistad, por estar siempre pendientes

de cómo me iba en la realización de esta investigación, y por todos los gratos momentos

de esparcimiento que hemos pasado juntos durante estos cuatro años que he pasado en

Madrid. Particularmente le agradezco a Cristina de Santiago por hacer la descripción

petrográfica de las muestras ensayadas y a Jesús Manzanas por las veces que hemos ido

en su coche en busca de muestras de roca.

Estos agradecimientos no estarían completos si no agradezco a las personas que

mas quiero; a mi madre, a mis hermanos; Roxana, Henrry, Oscar y a mis sobrinos Jorge

Luis y María Fernanda, a todos ellos les agradezco por su cariño y apoyo.

III

Índice general

Resumen .................................................................................................................... 1 Abstract...................................................................................................................... 3 Abreviaturas y símbolos ............................................................................................ 5

1 INTRODUCCIÓN..................................................................................................... 7 1.1 Justificación........................................................................................................ 7 1.2 Objetivos ............................................................................................................ 8 1.3 Contenido ........................................................................................................... 9

2 ESTADO DEL CONOCIMIENTO......................................................................... 11 2.1 Introducción y conceptos básicos..................................................................... 11

2.1.1 Definición de la fluencia .................................................................... 11 2.1.2 Resistencia a largo plazo.................................................................... 12 2.1.3 Etapas de la fluencia........................................................................... 13

2.2 Factores que influyen en la fluencia de las rocas ............................................. 18 2.2.1 Nivel de tensión.................................................................................. 18 2.2.2 Temperatura ....................................................................................... 19 2.2.3 Presión de confinamiento................................................................... 20 2.2.4 Humedad relativa y contenido de humedad ....................................... 22

2.3 Aspectos relacionados con la fluencia.............................................................. 23 2.3.1 Medida de la resistencia a largo plazo ............................................... 23 2.3.2 Deformación volumétrica................................................................... 31 2.3.3 Fluencia de los macizos rocosos ........................................................ 35 2.3.4 Formulación de la fluencia................................................................. 36

2.4 Soluciones analíticas de la convergencia por fluencia ..................................... 73 2.4.1 Efecto del frente del túnel .................................................................. 73 2.4.2 La línea característica a largo plazo ................................................... 74 2.4.3 Soluciones publicadas ........................................................................ 77

2.5 Modelos utilizados con métodos numéricos .................................................... 93 2.5.1 Modelos viscoelásticos....................................................................... 95 2.5.2 Modelos viscoelásticos-plásticos ....................................................... 95 2.5.3 Modelos elasto/viscoplásticos............................................................ 96 2.5.4 Otros modelos .................................................................................... 98

3 DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN PROPUESTA........................................... 103 3.1 Hipótesis......................................................................................................... 103 3.2 Elementos del campo tenso-deformacional del medio................................... 103

3.2.1 La zona viscoelastica........................................................................ 107 3.2.2 La interfase viscoelástica – viscoelastoplástica ............................... 110 3.2.3 La zona viscoelastica-plástica (zona rota)........................................ 111

3.3 Configuración mecanicista de los medios propuestos.................................... 117 3.4 Funciones temporales (viscoelásticas) de los medios propuestos .................. 118

3.4.1 Medio en cambio volumétrico ......................................................... 118 3.4.2 Medio en deformación por corte ...................................................... 119 3.4.3 Las funciones ( )s0φ , ( )sr

0φ y ( )sr

uφ .................................................... 120

3.4.4 Las funciones ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ ................................................... 121

3.5 Criterios de rotura de los medios propuestos ................................................. 124

Índice general

IV

3.5.1 Criterio lineal de Mohr..................................................................... 125 3.5.2 Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)................................. 125 3.5.3 Criterio no lineal de Hoek (GSI<25)................................................ 126

3.6 Leyes de dilatancia de los medios propuestos................................................ 127 3.6.1 Ley de dilatancia constante .............................................................. 130 3.6.2 Ley de dilatancia lineal .................................................................... 131

3.7 Planteamiento general del sistema de ecuaciones resolvente......................... 133 3.8 Convergencia del túnel en los medios propuestos.......................................... 136

3.8.1 Medio con criterio de rotura lineal y dilatancia constante ............... 136 3.8.2 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI>25) y ley de dilatancia

lineal ................................................................................................. 138 3.8.3 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI<25) y ley de dilatancia

nula................................................................................................... 140 3.9 Convergencia del túnel con presión interior constante .................................. 142

4 OBTENCIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DEL MEDIO....... 145 4.1 Respuesta total del medio............................................................................... 145 4.2 Componente viscoelástica de la respuesta...................................................... 146 4.3 Componente plástica de la respuesta.............................................................. 153 4.4 Experimentación............................................................................................. 154

4.4.1 Procedencia de las muestras............................................................. 154 4.4.2 Composición mineralógica............................................................... 155 4.4.3 Composición química....................................................................... 156 4.4.4 Descripción petrográfica .................................................................. 157 4.4.5 Propiedades físicas ........................................................................... 160 4.4.6 Propiedades mecánicas..................................................................... 161 4.4.7 Obtención de los parámetros de los criterios de rotura .................... 163 4.4.8 Obtención de las constantes vicoelásticas........................................ 164

5 CÁLCULO Y VALIDACIÓN DE LAS SOLUCIONES PROPUESTAS ........... 191 5.1 Caso del túnel sin sostenimiento .................................................................... 191

5.1.1 Soluciones generales con los medios propuestos............................. 191 5.1.2 Implementación informática de las soluciones propuestas .............. 192 5.1.3 Casos resueltos ................................................................................. 200 5.1.4 Validación de las soluciones propuestas .......................................... 210

5.2 Caso del túnel con presión de sostenimiento constante ................................. 221 5.2.1 Implementación informática de las soluciones propuestas .............. 222 5.2.2 Casos resueltos ................................................................................. 225 5.2.3 Validación de las soluciones propuestas .......................................... 231

6 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.................... 243 6.1 Conclusiones .................................................................................................. 243 6.2 Futuras líneas de investigación....................................................................... 250

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 254

APÉNDICE 1 ............................................................................................................... 260

APÉNDICE 2 ............................................................................................................... 270

APÉNDICE 3 ............................................................................................................... 302

APÉNDICE 4 ............................................................................................................... 314

1

Resumen

Este trabajo está enmarcado dentro de una de las líneas de investigación

dirigidas por el profesor Serrano y está relacionada con el estudio de la convergencia de

los túneles. Línea en la que anteriormente, la Dra. Isabel Reig (2004) realizó su tesis

doctoral empleando medios elastoplásticos. En este sentido, el presente trabajo de

investigación sigue una de las futuras líneas de investigación propuestas en esa tesis. De

modo mas preciso, aquí se incorpora el comportamiento reológico del macizo rocoso

considerándolo como un medio viscoelástico – plástico.

Esta tesis, esta basada en la formulación y solución analítica de la ecuación que

permite calcular la convergencia de un túnel excavado en un medio viscoelástico –

plástico, sometido a un estado de tensión axil simétrica y de deformación plana.

Las expresiones resultantes, han sido derivadas de las condiciones de equilibrio

de fuerzas internas y de compatibilidad de deformaciones junto con la ley de

consistencia tal como fue expresada por Serrano (1976).

La formulación propuesta en este trabajo de investigación, ha sido resuelta para

obtener la convergencia de la pared del túnel abierto en un medio viscoelástico –

plástico considerando que: podría exhibir un comportamiento reológico tanto en

distorsión angular como en cambio volumétrico. Esto para tener en cuenta el

comportamiento que ha sido observado por diferentes autores en las rocas porosas.

En este trabajo, el medio ha sido implementado a través de la formulación

mecanicista. Como resultado de esto, los términos reológicos de la convergencia,

referidos como funciones temporales, han sido tratados de un modo original. Estos

términos tienen en cuenta las propiedades reológicas del medio, de las cuales depende la

evolución de la convergencia a lo largo del tiempo. Las variables de estas funciones

temporales son las constantes viscoelásticas del medio. En esta tesis, estas constantes

reológicas han sido obtenidas experimentalmente para un tipo de roca; antes y después

de su rotura. Esto se ha realizado a través de ensayos triaxiales de fluencia ejecutados

siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la producida alrededor del túnel.

La cámara triaxial utilizada para estos ensayos, ha sido desarrollada gracias a un

proyecto de I+D+i llevado a cabo en el Laboratorio de Geotecnia del CEDEX.

Laboratorio en el cual se ha implementado un módulo para la ejecución de ensayos

triaxiales de fluencia con la trayectoria de tensiones especificada, permitiendo además la

Resumen

2

medición de deformaciones longitudinales y circunferenciales de la muestra, a lo largo

del tiempo.

La formulación propuesta, permite la consideración de criterios de rotura

lineales (como el de Mohr), y criterios de rotura no lineales (como el de Hoek y Brown).

Adicionalmente, con esta formulación es posible utilizar leyes de dilatancia

constantes así como lineales. Esto es una mejora en el estudio, debido a que la ley de

dilatancia lineal no tiene el riesgo de incumplir el postulado de irreversibilidad de

Praguer (1949), el cual es equivalente al segundo principio de la termodinámica. Riesgo

que si tiene la ley de dilatancia constante cuando se utiliza junto con un criterio de

rotura no lineal.

En esta tesis, también se ha resuelto el cálculo de la evolución de la

convergencia de la pared del túnel cuando está sometida a una presión de sostenimiento

constante. El método esta basado en el concepto de las líneas características del medio

reológico, las cuales evolucionan con el tiempo. Esta solución, se ha propuesto para los

casos en los cuales se espera grandes deformaciones por fluencia con sostenimientos

que luego de su deformación inicial elástica, mantienen una presión de sostenimiento

constante. Tales casos podrían ser aquellos en los que el sostenimiento es colocado

tempranamente y que está formado por cerchas metálicas con juntas deslizantes.

Adicionalmente, se ha hecho la implementación informática del cálculo de las

expresiones de la convergencia deducidas en esta tesis. Esta implementación se ha

realizado a través de códigos escritos en el lenguaje de programación Matlab 7.0.

Como validación de las soluciones propuestas, las soluciones obtenidas en este

trabajo han sido comparadas con las obtenidas por otros autores, para casos particulares.

Estos casos incluyen soluciones analíticas y numéricas. Las primeras desarrolladas por

Carranza – Torres (2000) y las segundas implementadas en el código de diferencias

finitas FLAC3D 3.1 desarrollado por Itasca Consulting Group Inc.

3

Abstract

This work is framed within one of the research’s lines headed by professor

Serrano, related to the study of tunnels’ convergence. A previous doctoral thesis was

done by Dr. Isabel Reig (2004) using elastoplastic media. This thesis follows one of the

future research lines proposed in that work, by incorporating the rheological behaviour

of rock mass considering it as a viscoelasto – plastic medium.

This research is based on the analytical formulation and its subsequent solution

of the equations that allow to calculate the convergence of a tunnel opened in a

viscoelasto – plastic medium when there are axial symmetrical conditions and plane

deformations.

The resulting expressions have been derived from the conditions of internal

forces equilibrium and deformations compatibility, together with the consistent law as it

was expressed by Serrano (1976).

The formulation proposed in this research has been solved to obtain the

convergence of a tunnel opened in a viscoelasto – plastic medium, considering that it

may exhibit rheological angular distortion and also rheological volume change, to take

into account the behaviour that has been observed by several researchers in porous

rocks.

In this work, the medium has been implemented through the mechanical

formulation. Because of it the rheological terms of convergence, referred as temporary

functions, have been treated in an original way. Those terms take into account the

rheological properties of the medium, on which the convergence’s evolution along the

time depends. The variables of these temporary functions are the viscoelastic constants

of the medium. These rheological constants have been obtained experimentally for a

rock before an after its yielding, by performing creep triaxial tests following the stress

path similar to the ones produced around the tunnel. The triaxial cell used for it was

developed thanks to an I+D+i project developed at CEDEX Geotechnical laboratory,

through which it was implemented a module for performing creep triaxial tests with

specified stress paths, allowing for measuring of both longitudinal and circumferential

deformations of the testing sample over time.

Abstract

4

The proposed formulation allows for the consideration of linear (like Mohr -

Coulomb) and non – linear (like Hoek & Brown) failure criteria for the rock mass, this

one more appropriate for rock masses.

Additionally, with this formulation it is possible to use both a constant and a

linear dilatancy law. This is an advantage because the last one does not have the risk of

not complying with the irreversibility postulate of Praguer (1949), equivalent to the 2nd

thermodynamic law, while the constant dilatancy law does have that risk when used

together with a non linear failure criterion.

In this thesis, it has been also solved the calculation of the evolution of the

tunnel’s convergence when subjected to constant internal pressure. The method is based

on the concept of characteristics lines of rheological media, which evolves with time. It

is proposed for cases in which large deformations are expected by creep, and whose

supports hold steady pressure after their initial elastic deformations. Such cases could be

ones in which supports are placed early and formed by metallic frameworks with sliding

joints.

In addition, it has been done the implementation of computer calculations of the

expressions of convergence. This implementation has been done through codes written

in the programming language of Matlab 7.0.

As a validation of the proposed solutions, the results obtained in this work have

been compared with the solutions obtained by other authors for particular cases. These

cases include analytical and numerical solutions. The first ones as developed by

Carranza – Torres (2000) and the latter ones implemented by the finite differences code

FLAC3D 3.1 developed by Itasca Consulting Group Inc.

5

Abreviaturas y símbolos

La nomenclatura mostrada a continuación es válida para todos los capítulos, a

excepción del capítulo 2: “Estado del conocimiento”, en el que se ha utilizado las

abreviaturas y los símbolos originales de los autores citados. En este caso se ha indicado

en el texto mismo el significado correspondiente.

Símbolo Significado

0, ψψ

ρ

critρ

maxψ

ϕ

( )tv

ς

ν

2211 ,,, ηη GG

( )tε

( ) ( )tt aθθ εε ,

( ) ( ) Rtut RrR /=θε

( )trε

( )vetε

( ) ( )vevol

ve tt εε γ , pε

pvol

p εεγ ,

ru

r

( ) ( )tt Rγγ ,

( )t0φ

( )tr0φ

( )truφ

β

Ángulo de dilatancia, ángulo de dilatancia constante

Ángulo de rozamiento interno instantáneo

Ángulo de rozamiento crítico (a partir del cual el material deja de ser

dilatante positivo)

Ángulo de dilatancia máxima (del material en tracción simple)

Ángulo de rozamiento del criterio de rotura lineal de Mohr

Cambio volumétrico en deformación plana

Coeficiente de tenacidad (formulación de Serrano y Olalla)

Coeficiente de Poisson

Constantes viscoelásticas del medio propuesto en corte

Deformación total (viscoelástica + plástica)

Convergencia o deformación tangencial alrededor del túnel, convergencia de

la pared del túnel (deformación principal mayor).

Convergencia de la interfase

Deformación radial alrededor del túnel (principal menor)

Deformación viscoelástica (angular + volumétrica)

Deformación angular viscoelástica, deformación volumétrica viscoelástica

Deformación plástica (angular + volumétrica)

Deformación angular plástica, deformación volumétrica plástica

Desplazamiento radial

Distancia radial al eje del túnel

Distorsión angular en deformación plana, distorsión angular en deformación

plana en la interfase

Función temporal del modelo viscoelástico, en deformación por corte, de la

interfase

Función temporal del modelo viscoelástico, en deformación por corte, de la

zona rota alrededor del túnel

Función temporal del modelo viscoelástico, debido al coeficiente de Poisson

viscoelástico, de la zona alrededor del túnel

Módulo resistente (formulación de Serrano y Olallla)

Abreviaturas y símbolos

6

sK

Ra xxx ,,

( ) ( )DQDP 11 ,

( ) ( )DQDP 22 ,

( ) ( )DQDP rr11

,

( ) ( )DQDP rr22

,

( ) ( )DQDPrr

11 ,

( ) ( )DQDPrr

22 ,

tD t ∂∂=∂= /

a

( )taσ yaσ

Rσ *00 , pp

*00 , critcrit pp

rσσθ ,

( )te ijij ','σ

( )tekkkk ,σ

( ) ( )DQDP 11 ,

( ) ( )DQDP 22 ,

pq,

Raa qpq ,,

t

Módulo de rigidez elástica radial del sostenimiento (sostenimiento en forma

de anillo)

Límite de integración, de las integrales de la expresión de la convergencia del

medio con el criterio de rotura original de Hoek & Brown (GSI>25):

genérico, en la pared del túnel y en la interfase

Polinomios de la formulación mecanicista de la componente viscoelástica en

corte de la zona viscoelástica


compresión isótropa de la zona viscoelástica


corte de la zona rota


compresión isótropa de la zona rota

Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP rr11

,

Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP rr22

,

Operador diferencial del tiempo (derivada parcial con respecto al tiempo)

Radio del túnel (en el contexto de la ley de dilatancia lineal es un parámetro)

Tensión de sostenimiento de la pared del túnel

Tensión máxima de sostenimiento de las cimbras con juntas deslizantes.

Tensión principal menor en la interfase viscoelástica - viscoelástica plástica

Tensión isótropa inicial del medio: original y normalizada con β

Tensión isótropa inicial del medio: original y normalizada con β a partir de

la cual se produce la zona rota alrededor del túnel

Tensión tangencial y radial alrededor del túnel

Tensor de tensiones y de deformaciones por corte

Tensor de tensiones y de deformaciones isótropo

Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP 11 ,

Transformada de Laplace de los polinomios ( ) ( )DQDP 22 ,

Variables de Lambe en deformación plana

Variables de Lambe en la pared del túnel, en la interfase

Variable tiempo

Anotaciones:

Cuando algún símbolo de esta lista, aparece con el superíndice “r” tiene el significado dado aquí pero

aplicado a la zona rota alrededor del túnel.

Cuando algún símbolo (función) de esta lista aparece como función de “s” o con una barra “ ” sobre él,

significa que se trata de la función en el dominio de la variable “s” de Laplace (transformada de Laplace

de la función)

7

1 Introducción

Numerosos autores, han tratado el problema de las tensiones y deformaciones

alrededor de un túnel en un medio isótropo elasto–plástico perfecto en condiciones axil

simétricas y deformación plana. Han hecho esto como una aproximación al estudio de

las deformaciones alrededor de los túneles excavados en los macizos rocosos. Sin

embargo, existe el consenso de que la las deformaciones en estas obras no son

acrónicas, sino que, evolucionan a lo largo del tiempo. Cuando el origen de estas

evoluciones de las deformaciones es de tipo mecánico, también existe el consenso de

que son producidas por el fenómeno de la fluencia del medio, el cual se presenta en

mayor o menor medida dependiendo de las propiedades viscosas de la roca. Esto, ha

dado lugar a que se introduzca la reología del medio para tener en cuenta sus

propiedades viscosas. Pasando del empleo de los medios elasto-plásticos a los medios:

viscoelásticos, viscoelásticos-plásticos y viscoplásticos.

Dentro de este marco, la investigación que se da a conocer en esta tesis, trata el

estudio de las deformaciones por fluencia empleando medios viscoelásticos-plásticos

inéditos. Calificados así, debido a que estos medios exhiben propiedades reológicas

tanto en corte como en compresión isótropa. También porque poseen criterios de rotura

no lineales y leyes de dilatancia lineal, además de los criterios de rotura lineal y leyes de

dilatancia constante ya publicados por otros autores. Con esto lo que se pretende es

emplear, en el estudio de la convergencia por fluencia, medios mas adecuados al

comportamiento de los macizos rocosos.

1.1 Justificación

A lo largo de los últimos dos siglos, se ha acumulado gran cantidad de evidencia

de la ocurrencia de grandes deformaciones en los túneles producidas por el fenómeno de

la fluencia. Sin embargo hasta la actualidad, el origen de este fenómeno aún no esta bien

entendido, y se siguen haciendo investigaciones para predecir la evolución de las

deformaciones a largo plazo. Investigaciones que están relacionadas con el tratamiento

teórico y la experimentación a largo plazo.

En este sentido, esta tesis, es una aproximación mas al estudio de la evolución de

la convergencia proponiendo medios viscoelásticos – plásticos mas adecuados al

Capítulo 1 Introducción

8

comportamiento de los macizos rocosos por los motivos dados en el apartado anterior.

La misma que se ha desarrollado con las siguientes partes:

• Una parte teórica, relacionada con el planteamiento y la solución analítica de

las expresiones de la convergencia de la cavidad, considerando la reología y

la plasticidad del medio.

• Otra parte experimental, relacionada con la determinación de: las

propiedades reológicas del medio a través de ensayos de fluencia triaxial en

el laboratorio además de otros ensayos relacionados con su resistencia a

corto plazo.

Debido a que los macizos rocosos, inicialmente se deforman de acuerdo con sus

propiedades a corto plazo, y luego a largo plazo de acuerdo con sus propiedades

reológicas, los medios teóricos deben exhibir ese comportamiento. En esta tesis se han

empleado medios viscoelásticos-plásticos debido a que tienen ese comportamiento. Así,

al inicio sufren deformaciones elasto – plásticas de acuerdo con sus propiedades a corto

plazo, y a largo plazo sufren deformaciones de acuerdo con sus propiedades reológicas

(viscosas).

Las soluciones analíticas viscoelásticas, publicadas por otros autores están

limitadas a los casos en los que el estado de tensiones alrededor del túnel no produce

deformaciones plásticas. Limitación que se resuelve con el empleo de los medios

viscoelásticos – plásticos propuestos en esta tesis.

1.2 Objetivos

El primer objetivo de esta investigación, es dar a conocer el estado actual del

conocimiento relacionado con el fenómeno de la fluencia y el estudio de sus efectos en

la convergencia de los túneles.

En esta investigación también se desarrolla una metodología inédita para

formular las relaciones constitutivas reológicas de la componente viscoelástica de los

medios propuestos en esta tesis. Relaciones que son necesarias para calcular la

evolución de las deformaciones del medio a lo largo del tiempo.

Otro de los objetivos es dar a conocer el procedimiento teórico empleado para

hallar la solución analítica de la convergencia. Partiendo desde el planteamiento de las

ecuaciones y la formulación del medio mismo.


9

El objetivo principal de esta investigación es; hallar las expresiones analíticas de

la evolución de la convergencia del túnel, a lo largo del tiempo, empleando medios

viscoelásticos – plásticos inéditos. Los que además de ser inéditos, son mas adecuados

al comportamiento de los macizos rocosos.

1.3 Contenido

Basado de una recopilación bibliográfica actualizada, se presenta en el capítulo

2, el estado actual del conocimiento relacionado con el estudio de la convergencia por

fluencia en los túneles. En la primera parte del capítulo se presenta la evidencia

experimental relacionada con las características de la fluencia de la roca observada en el

laboratorio. También se presenta la definición de resistencia a largo plazo y los modos

propuestos por diversos investigadores para medirla. A continuación se presentan las

dos teorías que existen para la formulación de los medios reológicos. La teoría de la

viscoelásticidad, y la de viscoplasticidad, que aunque todavía no puede ser considerada

como teoría, su uso se ha extendido. Finalmente en este capítulo también se presentan

las soluciones analíticas, las soluciones empíricas y los modelos numéricos

viscoelásticos, viscoelasticos – plásticos y viscoplásticos implementados en plataformas

informáticas.

En el capítulo 3 denominado: desarrollo de la solución propuesta, se

presentan las hipótesis en las que está basada la formulación de los medios propuestos

en la tesis y el estudio de las deformaciones. Igualmente se presentan los elementos del

campo tenso – deformacional del medio. En esta tesis se emplea la formulación

mecanicista de los medios y se hace un tratamiento inédito de los términos que

dependen de las propiedades reológicas. Términos a los que se les llama funciones

temporales. También, se presentan los parámetros relacionados con el comportamiento

plástico a corto plazo, es decir los criterios de rotura y las leyes de dilatancia de los

medios. Aquí es donde se hace, el planteamiento del sistema de ecuaciones revolventes

de la convergencia. Planteamiento que se hace a partir de las condiciones de equilibrio

de fuerzas y de compatibilidad de deformaciones de un elemento diferencial del medio

viscoelástico-plástico. Luego, a partir de la expresión general de la convergencia, se

obtienen las expresiones particulares para cada uno de los medios propuestos.

Finalmente, se expone el uso de las líneas características de los medios reológicos para

el cálculo de la convergencia del túnel sometido a una presión de sostenimiento

constante.


10

En el capítulo 4 denominado: obtención experimental de los parámetros del

medio, se muestra la procedencia de las muestras ensayadas y se hace su

caracterización. Lo más resaltante de este capítulo es la descripción del módulo de

ensayos de fluencia triaxial implementado para esta investigación. Así como también el

procedimiento de ensayo propuesto para la determinación de los parámetros reologicos

del medio.

En el capítulo 5 denominado cálculo y validación de las soluciones

propuestas, se presenta la implementación informática de las soluciones propuestas.

Esta implementación se ha realizado a través de códigos escritos en Matlab 7.0. En este

capítulo se presentan los diagramas de flujo de los códigos junto con la explicación de

sus funciones. Ejecutando el código convergencia se obtiene el dibujo de las funciones

temporales del medio y el de la evolución de la convergencia a lo largo del tiempo. A su

vez ejecutando el código lincar se obtiene el dibujo de las funciones temporales del

medio y el dibujo de la evolución de sus líneas características.

Con estos códigos, se han calculado los casos resueltos en la tesis, los casos

particulares resueltos por Carranza – Fairhurst (2000) y el caso implementado en el

código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por Itasca Consulting Inc.

En el capítulo 6 denominado conclusiones y futuras líneas de investigación,

se muestran las conclusiones relacionadas con: el planteamiento del estudio, los medios

propuestos, el procedimiento de ensayo de fluencia triaxial propuesto, el empleo de las

líneas características de los medios reológicos y se proponen las futuras líneas de

investigación que han surgido de esta investigación.

A continuación están las referencias bibliográficas de la tesis y cuatro

apéndices. En el apéndice 1 se presentan las deducciones de las expresiones de la

convergencia para los tres medios propuestos. En el apéndice 2 se presentan los

resultados de los ensayos de laboratorio. En el apéndice 3 están los listados de los

códigos escritos en Matlab 7.0, y en el apéndice 4 se presentan los listados de los

códigos escritos en el FLAC3D.

11

2 Estado del conocimiento

2.1 Introducción y conceptos básicos

2.1.1 Definición de la fluencia

Definida por la Real Academia de la Lengua Española como: “acción de fluir”,

cuando el término fluencia se aplica a las rocas, se refiere a la evolución de su

deformación a lo largo del tiempo, manteniendo constante la carga a la que está

sometida.

Cristescu (1998) define la fluencia como la deformación irreversible que se

produce a lo largo del tiempo, e indica que se produce en todos los tipos de rocas pero,

principalmente, en las rocas blandas como, por ejemplo, la sal y el carbón. De acuerdo

con este autor: en las rocas duras la fluencia es significativa solo después del transcurso

de mucho tiempo, por lo que en estas rocas, puede ser suficiente estudiar su

deformación únicamente a corto plazo.

De Lama y Vutukuri (1978) la definen sin embargo, como la deformación a lo

largo del tiempo, la que dependiendo del nivel de tensiones con respecto a la tensión de

rotura a corto plazo y del tiempo transcurrido, puede ser reversible o irreversible.

Es necesario distinguir la fluencia de la expansividad y de la meteorización o

alteración química, cuyos efectos también son dependientes del tiempo.

De acuerdo con Cristescu (1998), el cambio de forma irreversible que se produce

en la fluencia está “casi” libre de agrietamiento. Según este autor, la fluencia ocurre

principalmente debido al movimiento de dislocación transcristalino (entre cristales).

Como consecuencia de estos movimientos entre cristales siempre se produce la

formación de grietas dentro de los mismos. Cristescu utilizó como modelo la roca de

sal, debido a que es un material cristalino con comportamiento frágil y dúctil

dependiendo del confinamiento al que esté sometida.

Goodman (1980) alude a dos mecanismos para explicar la fluencia en las rocas:

al flujo de la masa y al agrietamiento. Algunas rocas como, por ejemplo, la sal, las rocas

bituminosas o las rocas esquistosas compactas, presentan fluencia sometidas a tensiones

desviadoras relativamente bajas, incluso aunque no tengan fisuras. En el caso de la roca

de sal y rocas de potasio, el proceso de la fluencia involucra el movimiento de las

dislocaciones y el movimiento lento intracristalino. Sin embargo, la fluencia en las

Capítulo 2 Estado del conocimiento

12

1.3rocas arcillosas no cementadas involucra la migración del agua que está dentro de los

poros y el movimiento de las partículas de la arcilla. Las rocas duras como el granito y

la caliza también pueden presentar fluencia cuando están sometidas a tensiones

desviadoras suficientemente altas como para que les produzcan la aparición de nuevas

fracturas, por ejemplo, cuando esta tensión es superior a la mitad de la resistencia a

compresión no confinada. El incremento de la tensión aplicada provocará el cambio en

la red de grietas a través del crecimiento de las antiguas y de la aparición de nuevas.

La fluencia de las rocas normalmente se expresa en términos de la velocidad de

deformación:

),,:constantes( 31 HRTdtd σσεε −=

• (2.1)

Donde •ε es la velocidad de la deformación total, t el tiempo transcurrido desde

la aplicación de la carga que la produce, 31 σσ − la tensión desviadora que produce la

fluencia, T la temperatura de la roca y HR la humedad relativa alrededor de la roca.

2.1.2 Resistencia a largo plazo

La resistencia a largo plazo es la tensión máxima que puede soportar al roca sin

que se produzca su rotura, independientemente del tiempo que transcurra soportando

esta tensión (Ladanyi, 1993).

De acuerdo con De Lama y Vutukuri (1978) esta resistencia ha sido denominada

de diferentes formas por diversos autores: “resistencia residual” por Grisss (1936),

“resistencia verdadera” por Phillips (1948), “tensión segura en el tiempo” por Potts

(1964), “resistencia a largo plazo” por Price (1966), y “resistencia con carga sostenida”

por Iyengar y otros (1967).

En la Fig. 2.1 de Goodman (1980) se ha representado la curva tensión –

deformación de un ensayo de compresión triaxial incluyendo a la fase de post pico, para

un proceso de carga rápida. De acuerdo con este autor, se puede distinguir dos niveles

críticos en al tensión de compresión, indicados por los puntos T y U de esta figura.

Para una tensión inferior a la marcada por el punto T el comportamiento de la

roca es elástico e independiente del tiempo que se mantenga la carga. Sin embargo, para

tensiones comprendidas entre los niveles marcados por los puntos T y U se produce de

forma inmediata una deformación, definida por la curva de la figura para ese nivel de

tensión, pero si se mantiene la tensión durante un tiempo, la deformación aumenta


13

constantemente, tendiendo a un valor final situado sobre al recta definida por los puntos

T y U, siguiendo la trayectoria EF.

Fig. 2.1 Curva tensión – deformación completa del ensayo de compresión triaxial a corto plazo (Goodman; 1980).

Si la tensión es superior al nivel marcado por el punto U y se mantiene un

tiempo suficiente la deformación aumenta constantemente hasta alcanzar la zona de

postpico de la curva, momento en el que se producirá al rotura de la roca (trayectoria

CD y AB de la figura). Es decir para estos niveles de tensión se alcanza la rotura de la

roca para una carga inferior a la que produce la rotura a corto plazo, si dicha carga se

mantiene el tiempo suficiente. Por tanto, en las rocas que presentan fluencia se puede

hablar de una resistencia a largo plazo (la tensión marcada por el punto U en la figura)

distinta de la que se obtiene en un ensayo rápido

2.1.3 Etapas de la fluencia

La herramienta experimental más utilizada para estudiar la deformación diferida

en las rocas son los ensayos de fluencia en compresión simple o confinada en el

laboratorio, en los cuales la única variable es el tiempo. En estos ensayos la

temperatura, la presión de confinamiento y la humedad se mantienen constantes debido

a que existe el consenso de que estas variables alteran el comportamiento dependiente

del tiempo, como lo muestran las experiencias presentadas mas adelante.

A través de estos ensayos se pueden observar diferentes etapas en la fluencia de

las rocas, principalmente las siguientes:

• Fluencia primaria o transitoria.


14

• Fluencia secundaria o estacionaria.

• Fluencia terciaria.

Estas etapas se pueden observar en el gráfico de la Fig. 2.2, debida a Lama y

Vutukuri (1978). A continuación se analizan estas etapas.

Fig. 2.2 Curva teórica “Deformación – Tiempo” debido a la fluencia; De Lama y Vutukuri (1978).

2.1.3.1 Fluencia primaria o transitoria

La Fig. 2.3, debida a Cristescu (1998), muestra los resultados típicos de los

ensayos de fluencia realizados en una roca con propiedades reológicas. Cuando la roca

se somete a una tensión desviadora, se puede producir solo una deformación instantánea

o bien una deformación instantánea más otra diferida en el tiempo, dependiendo del

valor de la tensión desviadora aplicada en relación a la resistencia a compresión simple

de la roca, como se ha visto en el apartado anterior. La parte (b) de la Fig. 2.3, muestra

como evoluciona la velocidad de la deformación con el transcurso del tiempo. Se puede

observar que inmediatamente después de la aplicación de cada escalón de carga la

deformación se produce a una velocidad alta, que disminuye continuamente con el

tiempo hasta que llega a un valor constante. A la primera etapa, en la que la velocidad

de la deformación disminuye continuamente, se le suele llamar fluencia primaria o

transitoria.


15

Fig. 2.3 Cinco ensayos de fluencia en compresión simple realizados a la temperatura del ambiente en especimenes de roca de sal identificada como z3OS/LS de la misma muestra y con tres escalones de carga sucesivos (BGR). La muestra procede de la mina Asse ubicada en el norte de Alemania. a) Deformación

vs tiempo; b) velocidad de deformación vs tiempo, s•ε velocidad en el estado estacionario; c) velocidad

de deformación vs deformación de uno de los ensayos; Cristescu (1998).

Cuando la tensión desviadora que actúa sobre la roca es menor que su resistencia

a largo plazo, esta etapa de la fluencia se presentará sola. La velocidad de la

deformación disminuirá prácticamente a cero y, por lo tanto, se detendrá la evolución de


16

la deformación con el transcurso del tiempo. De lo contrario a esta le sucederá la etapa

de la fluencia secundaria tratada a continuación.

Según Cristescu (1998) la velocidad de deformación de la fluencia, Fig. 2.3(b),

disminuye constantemente debido al endurecimiento por deformación de la roca. Este

autor opina que el endurecimiento por deformación se debe a que la cantidad de las

dislocaciones aumenta rápidamente en esta etapa, por lo que la interferencia entre ellas

se incrementa. Además, la energía producida por el desviador en esta etapa no es

suficiente para mantener la velocidad de deformación constante conforme aumenta la

cantidad de dislocaciones, con la consecuente disminución rápida de la velocidad de la

deformación cuando se mantiene constante la carga a la que está sometida.

Fig. 2.4 Curvas de fluencia de una muestra de mármol. Los valores sobre la curva de 1ε son las 1σ en MPa, 176.13 =σ MPa; Cristescu (1993).

La Fig. 2.4 (Cristescu, 1993) muestra otra característica de esta etapa de la

fluencia, que está relacionada con el cambio de volumen de la roca. La figura muestra la

deformación que se produce a lo largo del tiempo en una muestra de mármol sometida a

una tensión desviadora ( )31 σσ − aplicada en escalones crecientes. Se han representado

las deformaciones; axial ( 1ε ), circunferencial ( 2ε ), como la deformación volumétrica,

vε , que se producen en la muestra. Como puede observarse, hasta el desviador de 4.23

MPa, el cambio volumétrico es compresible, es decir, se produce una disminución de

volumen. El agrietamiento que ocurre en esta etapa es estable y no produce la rotura de

la roca. Incluso en las rocas duras o poco porosas el cambio volumétrico producido en


17

esta etapa es compresible, como es de esperar de acuerdo con la teoría de la elasticidad.

Las ecuaciones constitutivas se representan bien en esta etapa mediante los modelos

viscoelásticos.

2.1.3.2 Fluencia secundaria

Como se indicó anteriormente, si la tensión desviadora a la que está sometida la

roca es superior a su resistencia a largo plazo, después de la etapa de la fluencia

primaria se produce una segunda etapa de fluencia, denominada secundaria o

estacionaria. En esta etapa la velocidad de la fluencia se hace constate, como se muestra

en la Fig. 2.2.

La cantidad de deformación transitoria necesaria para llegar a esta condición de

fluencia estacionaria depende de la tensión y de la temperatura así como de la historia

de tensiones.

En la Fig. 2.3b se muestra claramente el proceso indicado: después de la

aplicación de cada escalón de carga la velocidad de la deformación disminuye

continuamente hasta un valor prácticamente constante. Como puede verse en la figura

citada, el valor de esta velocidad depende del nivel de tensión desviadora actuante. Así

para la tensión desviadora de 14 MPa el rango de la velocidad de la fluencia secundaria

es: 66 100.5102.3 −•

− << xx sε , para 16 MPa es 55 100.9105.7 −•

− << xx sε y, para 18 MPa es

44 104.1100.1 −•

− << xx sε . Siendo las unidades de estas magnitudes 1/días.

Se suele aceptar que en esta etapa de la fluencia las deformaciones son

irreversibles y que únicamente dependen del transcurso del tiempo para que se produzca

la rotura. El tiempo necesario para que se produzca la rotura dependerá del nivel de la

tensión desviadora actuante, y será tanto menor cuanto mayor sea esta. Según la

evidencia experimental mostrada más adelante, el patrón de agrietamiento y la magnitud

de las deformaciones de rotura por fluencia en compresión sin confinamiento, son

similares a las que se producirían en la curva post-pico de resistencia a compresión sin

confinamiento a corto plazo.

Debido a que el cambio volumétrico en esta etapa es producido por la

plastificación de la roca, los modelos reológicos viscoelásticos no son adecuados para

simularla (Cristescu, 1993).


18

2.1.3.3 Fluencia terciaria

Si la muestra no se descarga en el punto (D) de la Fig. 2.2, la velocidad de la

fluencia crece continuamente y se produce la rotura. Esta fase (DE) es llamada fluencia

terciaria.

La velocidad de deformación crece tan rápidamente que una vez iniciada no se

puede evitar la rotura. No representa un proceso de deformación pura sino también de

daño progresivo rápido. Es fundamentalmente diferente de las dos etapas anteriores. Se

presenta únicamente con niveles de tensión relativamente altos.

La mayor parte de publicaciones están dedicadas a la investigación de la fluencia

transitoria y de la fluencia estacionaria y no se ha investigado con detalle esta etapa de

la fluencia, probablemente debido a que no es importante desde el punto de vista de la

elaboración de los cálculos del proyecto (De Lama y Vutukuri 1987).

Cristescu (1998) opina que esta etapa de la fluencia, que finaliza en la rotura, se

produce por un incremento continuo del daño sufrido por la roca. Así mismo indica que

las rocas poco porosas y resistentes en donde la rotura se produce por agrietamiento (no

por el colapso de la estructura como el caso de las rocas porosas), esta etapa de la

fluencia se produce con cambio volumétrico dilatante. Por lo tanto, en esta etapa, la

fluencia y la dilatancia se producen conjuntamente. Dependiendo del nivel de tensión

aplicado, esta etapa se puede producir después de la fluencia secundaria o directamente

después de la fluencia transitoria como muestra la Fig. 2.5.

2.2 Factores que influyen en la fluencia de las rocas

Como se indicó anteriormente, la fluencia de las rocas se ve influida por

diferentes factores, como el nivel de tensión a que está sometida, la temperatura, la

presión de confinamiento, la humedad relativa y el contenido de humedad.

A continuación se trata como pueden influir estos parámetros.

2.2.1 Nivel de tensión

La velocidad y la cantidad de deformación debidas a la fluencia en cualquier

momento dependen del nivel de tensión relativo al límite de plastificación de la roca. De

Lama y Vutukuri (1987) han publicado la Fig. 2.5 correspondiente al trabajo realizado

por Griggs en 1939 y 1940 para mostrar que la respuesta viscosa de la roca depende del

nivel de tensión. Dependiendo de este nivel puede suceder que (ver Fig. 2.5):

• Únicamente ocurra fluencia transitoria (curva con 100 kgf/cm2).


19

• Ocurra la fluencia transitoria, estacionaria y terciaria (curvas desde 125

kgf/cm2 hasta 250kgf/cm2).

• Ocurra la fluencia terciaria directamente después de la fluencia transitoria

(curva con 300 kg/cm2).

Fig. 2.5 Curvas de fluencia del alabastro. Todos los especimenes fueron sumergidos en agua destilada y

ensayados a la misma temperatura, pero con diferente tensión desviadora (Griggs; 1940).

Cristescu (1998) ha mostrado que la reacción de una muestra de roca de sal, a la

reducción de la tensión desviadora depende del grado de reducción de la tensión y del

nivel de deformación por endurecimiento sufrido previamente.

En la Fig. 2.6 este autor muestra la curva de fluencia de un ensayo triaxial

realizado en una probeta de sal a temperatura y presión de confinamiento constante,

para diferentes escalones de carga y de descarga. Como puede observarse, al reducir la

tensión de 20 MPa a 17MPa se presenta lo que él llama fluencia transitoria inversa.

2.2.2 Temperatura

La temperatura tiene un efecto pronunciado en la fluencia de la roca, incluso

para temperaturas muy por debajo de la de fusión de la roca, el aumento de la

temperatura incrementa considerablemente la velocidad de la deformación debido a la

activación térmica de mecanismos micro mecánicos (Cristescu, 1998).


20

Fig. 2.6 Curva de fluencia de un ensayo triaxial del proyecto BGR en un espécimen de roca de sal realizado a 45 ºC de temperatura y 15 MPa de confinamiento. Sobre la curva se muestran los incrementos

de tensión desviadora. Notese la fluencia transitoria inversa en la etapa con reducción de la tensión (Cristescu; 1998).

Este hecho se observa claramente en la Fig. 2.7 (Cristescu, 1998). En dicha

figura se muestra la evolución de la deformación en el tiempo en una probeta de sal

sometida a compresión simple, cuando se mantiene constante la carga y se aumenta la

temperatura. Se puede destacar los dos aspectos siguientes:

• El aumento de la temperatura produce un aumento notable de la velocidad de

deformación. Asimismo, como puede verse en la Fig. 2.7b, una caída en la

temperatura produce una disminución en la velocidad de deformación.

• La velocidad de deformación para una determinada temperatura tiende a un

valor constante, que es tanto mayo cuanto mayor es esta.

2.2.3 Presión de confinamiento

La Fig. 2.8 (Cristescu, 1998) muestra otro ensayo de fluencia en compresión

triaxial con cambios escalonados de la presión de confinamiento a lo largo del tiempo.

Esta y otras evidencias experimentales muestran que hay una relación inversamente

proporcional entre la velocidad de la fluencia secundaria y la presión de confinamiento.

Es decir, que al disminuir la presión de confinamiento la velocidad de la fluencia

aumenta. La Fig. 2.8 muestra que después de cada cambio de la presión de

confinamiento se produce la fluencia transitoria y luego la fluencia secundaria.


21

Según De Lama y Vutukuri (1987) la cantidad de deformación desviadora y

volumétrica debidas a la fluencia es menor cuanto mayor es la presión de

confinamiento. También manifiestan que la presión de confinamiento retrasa la rotura

de la roca, ya que para la misma tensión desviadora el tiempo transcurrido antes de la

rotura de la roca será mayor cuanto mayor sea la presión de confinamiento.

Fig. 2.7 Ensayos de fluencia en compresión simple en roca de sal (z3OSU), del domo Gorleben al norte de Alemania, con cuatro incrementos sucesivos de temperatura (BGR); a) deformación vs tiempo; b)

velocidad de deformación vs tiempo, s•ε velocidad de fluencia secundaria (Cristescu; 1998).


22

Fig. 2.8 Curvas “Tiempo – Deformación” de dos ensayos triaxiales de fluencia a 50ºC con variaciones escalonadas de la presión de confinamiento. La curva del ensayo (2) está ligeramente afectada debido a

que el espécimen se impregnó con aceite mineral en el punto indicado con (+), el espécimen fue limpiado y el ensayo fue reiniciado (Cristescu; 1998).

2.2.4 Humedad relativa y contenido de humedad

La Fig. 2.9 (Cristescu, 1998) muestra que la humedad relativa tiene un gran

efecto en la velocidad de la fluencia de una muestra de roca de sal. En ella se muestran

las curvas de fluencia correspondientes a 2 ensayos de compresión simple realizados a

presión y temperatura constante, con diferente humedad relativa del aire ambiente. En la

curva 1 dicha humedad relativa se varió a lo largo del ensayo, desde 0% a 65%

disminuyéndola nuevamente a 0% y aumentándola de nuevo al 65%. La curva 2

corresponde a un ensayo en la misma roca en el que la humedad relativa se mantuvo

todo el tiempo constante e igual al 43%

Como puede observarse, en el ensayo 1, el incremento escalonado de la

humedad relativa desde 0 % a 65 % produjo el incremento de la velocidad de la fluencia

secundaria en 15 veces. La misma figura muestra que el efecto es reversible, es decir,

que así como el incremento de la humedad relativa aumenta la velocidad de la fluencia,

la posterior disminución de la humedad relativa disminuye la velocidad. La variación de

esta condición además produce siempre la fluencia transitoria. Los resultados muestran

que la reacción de la roca es casi inmediata.


23

Fig. 2.9 Curvas tiempo – deformación de dos ensayos de fluencia en compresión simple. El espécimen (1) fue ensayado variando escalonadamente la humedad relativa del aire. El espécimen (2) fue ensayado en el

mismo equipo pero con la humedad relativa constante (Cristescu; 1998).

El efecto de la humedad se produce siempre que el agua pueda penetrar hacia el

interior de la roca. Por lo tanto puede ser observado únicamente bajo condiciones

tensionales que producen la dilatancia de la roca (Cristescu, 1998).

Los trabajos publicados por Wawersik y Brown (1973) indican que la

deformación por fluencia en granito y arenisca aumenta con el contenido de humedad

de la muestra. En los ensayos de fluencia en compresión simple la velocidad de la

fluencia secundaria de las muestras saturadas con agua fue de alrededor de dos ordenes

de magnitud mayor que la correspondiente a las muestras secadas al aire.

Afrouz y Harvey (1974) hallaron que en rocas saturadas blandas la velocidad de

fluencia se incrementaba tres veces en el caso del carbón y ocho veces en el caso del

esquisto.

2.3 Aspectos relacionados con la fluencia

2.3.1 Medida de la resistencia a largo plazo

La resistencia a largo plazo, también llamada límite de fluencia o umbral de

fluencia, ha sido definida como la máxima tensión que puede resistir la roca sin que

falle sin importar el tiempo que transcurra sosteniendo la carga (Ladanyi 1993). Según

Lama y Vutukuri (1978) esta resistencia también ha sido llamada “resistencia


24

fundamental” por Griggs (1936), “resistencia verdadera” por Phillips (1948), “tensión

segura en el tiempo” por Potts (1964), “resistencia a largo plazo” por Price (1966), o

“resistencia con carga sostenida” por Iyengar y otros (1967).

Hay varios métodos para determinar esta resistencia, los cuales se han agrupado

en métodos directos y métodos indirectos que se describen a continuación.

2.3.1.1 Método directo

En este método las muestras son sometidas a incrementos escalonados de las

tensiones, las cuales se mantienen constantes a lo largo del tiempo. La resistencia a

largo plazo obtenida con este método es el valor más alto de la tensión sostenida para la

cual no ocurrió la rotura de la roca a lo largo del tiempo. Los ensayos se pueden realizar

en condiciones isótropas de tensión, en cuyo caso la tensión normal octaédrica es la que

se aumenta escalonadamente.

También se pueden realizar ensayos con incrementos escalonados de la tensión

cortante octaédrica manteniendo constante la tensión normal octaédrica. Sin embargo en

la mayor parte de trabajos experimentales publicados los ensayos se ejecutan con

incrementos escalonados de la tensión desviadora manteniendo constante la tensión de

confinamiento, como se muestra en la Fig. 2.10 debida a Hamami (1196).

Fig. 2.10 Curvas de fluencia correspondientes a 2 ensayos ejecutados con incrementos escalonados de la tensión desviadora, iguales a 2.5 MPa, variando entre 2.5 MPa y 10 MPa. Presión de confinamiento

constante e igual a 5 MPa (Hamami; 1996).


25

La Fig. 2.11 (Cristescu, 1998) muestra otro ejemplo de la determinación de la

resistencia a largo plazo empleando este método. En este caso se trata de la

determinación de esta resistencia en compresión simple de una muestra de dolomita

(Cristescu; 1998). La resistencia a compresión simple de la muestra es de

MPac 6.166=σ y se produce fluencia estacionaria a partir de cσ7.0 . Al final se produce la

rotura debido a la fluencia terciaria.

Como muestran las dos figuras mencionadas anteriormente, este método es muy

lento y puede tardar un tiempo excesivo, motivo por el cual se utilizan en muchos casos

los métodos indirectos. Estos métodos están basados en la deformación acumulada, en

el cambio volumétrico etc. y es necesario tener en cuenta el comportamiento de otras

propiedades de la roca. Entre otros podemos destacar los que se indican a continuación.

Fig. 2.11 Curva típica de fluencia en compresión simple de una muestra de dolomita. Observese la fluencia transitoria para tensiones bajas y la fluencia estacionaria y terciaria para tensiones altas

(Cristescu; 1998).

2.3.1.2 Métodos indirectos

2.3.1.2.1 Método de la fluencia transi toria

En este método se asume que la resistencia a largo plazo es la tensión para la

cual la velocidad de la fluencia secundaria es cero.

En otras palabras, la resistencia a largo plazo según este método es la tensión

máxima para la cual la roca sufre únicamente fluencia transitoria. Este método es

ligeramente más simple que el directo pero la precisión depende de la sensibilidad del

equipamiento con el que se mida la deformación.


26

2.3.1.2.2 Método de la dilatancia

Según este método, en las rocas poco porosas la resistencia a largo plazo viene

identificada por el nivel de tensión a partir del cual empieza la propagación inestable de

grietas. A este umbral le corresponde el inicio del incremento de deformación

volumétrica positiva en lugar de la continuación de la disminución de esta deformación,

como sería de esperar de acuerdo con la teoría de la elasticidad.

Este concepto ha sido utilizado por Bieniawski en 1967 para explicar el

mecanismo de rotura frágil de la roca. En la Fig. 2.12 (Bieniawski, 1967) se muestra la

deformación volumétrica que se produce en un ensayo de compresión de rocas poco

porosas. En ella puede verse claramente las diferentes etapas que se producen. Cuando

la roca es sometida a tensiones bajas sus microfisuras se cierran primero, debido a la

deformación elástica. Posteriormente con tensiones mayores, la roca plastifica y tiene

lugar la propagación de las fisuras. Al principio este proceso es estable y luego tiende a

ser inestable. La tensión para la cual la propagación de las fisuras se vuelve inestable

representa el punto de inversión de la curva de deformación volumétrica. Según este

método, este punto se corresponde con el valor de la resistencia a largo plazo.

Suele ocurrir que en las rocas poco porosas ocurra un incremento significativo

del volumen previamente a la rotura de la misma, el cual se debe a la aparición de un

gran número de fisuras en todo el volumen de la muestra. Varios autores han concluido

que el daño y la rotura de la roca son progresivos y están relacionados con el mismo

mecanismo que produce la dilatancia (aumento de volumen). El daño de las muestras de

roca que lleva a la rotura un tiempo después, empieza cuando empieza el incremento

positivo de la dilatancia, almenos en las rocas poco porosas. Por lo tanto, es muy

importante determinar con bastante aproximación, en el espacio de tensiones, el punto a

partir del cual la deformación volumétrica deja de ser compresible (dilatante negativo) y

se vuelve dilatante (dilatante positivo) (Cristescu; 1993).

Sin embargo Maranini (1999) y otros publicaron un estudio experimental sobre

el comportamiento debido a la fluencia de una roca porosa llamada Pietra Leccese. Una

de sus conclusiones fue que en este tipo de rocas, la dilatancia no puede ser considerada

como un índice de daño general, como suele suceder en las rocas poco porosas, ya que

en los resultados de los ensayos de fluencia hallaron que incluso con bajas presiones de

confinamiento, en los cuales la falla se producía por el agrietamiento y no por el colapso


27

de la estructura de la roca, la deformación volumétrica había sido compresible (dilatante

negativa) hasta la rotura.

Para el empleo de este método es esencial medir con precisión tanto la

deformación axial como la deformación circunferencial de las muestras.

Fig. 2.12 Curva típica tensión – deformación volumétrica de un ensayo de compresión de rocas poco porosas mostrando el proceso de agrietamiento (Bieniawski; 1967).

2 .3.1.2.3 Método de la deformación crí t ica acumulada

Goodman (1980) y otros investigadores opinan que la curva completa tensión -

deformación del ensayo de compresión triaxial a corto plazo podría ser utilizada para

predecir la rotura debida a la fluencia de la roca. Como muestra la Fig. 2.13, la

trayectoria de tensión – deformación de los ensayos de fluencia son constantes

(horizontales). Si la tensión inicial en la roca es cercana a la resistencia de pico, la

fluencia terminará en la rotura cuando la deformación acumulada sea tal que intercepte

la rama post – pico de la curva completa. Por ejemplo si el ensayo de fluencia empieza

en el punto (A) terminará en la rotura en el punto (B) después de un tiempo

relativamente corto. Si el ensayo de fluencia empieza en el punto (C) terminará en la

rotura en el punto (D) después de un tiempo mayor que el anterior. Por el contrario un

ensayo iniciado en el punto (E) por debajo de la tensión crítica (U) llamada resistencia a


28

largo plazo tenderá al punto F después de mucho tiempo y no se producirá la rotura de

la muestra.

Según este método se podría representar sobre la curva completa tensión –

deformación del ensayo de compresión a corto plazo, las trayectorias de varios ensayos

de fluencia transitoria como por ejemplo la E-F y, determinar la resistencia a largo plazo

interceptando la curva post pico con la línea que mas se ajuste a los puntos finales de los

ensayos de fluencia transitoria (T-U).

Según este método la resistencia a largo plazo se determina empleando la

deformación longitudinal sin tener en cuenta el cambio volumétrico. Debido a que la

rotura por la fluencia es un fenómeno que depende del tiempo es muy probable que el

umbral de cambio volumétrico dilatante se dé antes con lo cual el método de la

dilatancia del apartado 2.3.1.2.2 daría un resultado mas bajo de resistencia a largo plazo.

Fig. 2.13 Fluencia y relajación con relación a la curva tensión – deformación completa del ensayo de compresión triaxial a corto plazo (Goodman; 1980).

Wawersik (1973) publicó los resultados de un estudio experimental en el que

mostró el tipo de dependencia con respecto al tiempo, que tenían las deformaciones y la

rotura de la roca.

En este estudio ensayó, en compresión simple casi estática (realizado a una

velocidad de deformación de 10-5), muestras del granito de Westerly, de la arenisca de

Nugget y del mármol de Tennessee. Estos tres tipos de roca tienen propiedades bien

definidas y presentan diferentes tipos de falla. El mármol de Tennesse es conocido por

su comportamiento dúctil posterior a la rotura, es decir de la clase I. Este


29

comportamiento está asociado a la pérdida gradual de resistencia durante el ensayo de

compresión axial no confinado Fig. 2.14.

Fig. 2.14 Curva del ensayo de compresión simple del mármol de Tennesse (saturado: línea continua; seco al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).

Mientras que el granito de Westerly y la arenisca de Nugget ambos presentan

una rotura frágil. Con un comportamiento posterior a la rotura conocido como de clase

II, Fig. 2.15 y Fig. 2.16. La rotura en este tipo de rocas es inherentemente violenta y

conlleva a la pérdida instantánea de la resistencia, en el ensayo de compresión simple,

tan pronto como se llega a su resistencia máxima, también llamada resistencia de pico.

Fig. 2.15 Curva del ensayo de compresión simple del granito de Westerly (saturado: línea continua; seco al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).


30

Wawersik (1973) halló en todos los casos una gran correlación entre la

deformación de rotura en el ensayo de fluencia en compresión simple ( qε ), y la

diferencia de la deformación entre la curva ascendente y descendente ( q'ε ) del ensayo

de compresión simple casi estático (realizado a una velocidad de deformación de 10-5),

Fig. 2.15. Esta correlación se muestra, para el caso del granito de Westerly, en la Fig.

2.17.

Según este autor la tensión de rotura a largo plazo o el tiempo de rotura a largo

plazo debido a la fluencia podrían ser estimados con bastante certeza resolviendo la

siguiente expresión:

( ) ( ) 0',510

=−−=

•ε

σεσε qq t (2.2)

En la que: ( )tq ,σε es la deformación de rotura por la fluencia después de

transcurrido el tiempo t durante el cual la roca está sometida a la tensión σ .

( )510

'−=

•ε

σε q es la diferencia de la deformación entre la curva ascendente y

descendente del ensayo de compresión simple casi estático (realizado a una velocidad

de deformación de 10-5) correspondiente al nivel de tensión σ .

Fig. 2.16 Curva del ensayo de compresión simple de la arenisca de Nugget (saturada: línea continua; seca al aire: línea de trazo) (Wawersik; 1973).


31

Fig. 2.17 Datos de la tensión – deformación de granito de Westerly (curva: diferencia de la deformación entre las curva ascendente y descendente del ensayo de compresión simple casi estático (con velocidad de

deformación igual a 10-5); círculos: inicio de la fluencia terciaria; triángulos: rotura en el ensayo de fluencia) (Wawersik; 1973).

Por lo tanto, a través de este método y conociendo la relación constitutiva

reológica de la roca, se podría determinar el tiempo t que tardará en producirse la rotura

por fluencia ya que la deformación de la rotura sería ( )σε q' .

Otra de las conclusiones que publicó Wawersik (1973) fue que para niveles de

deformación mayor al de la resistencia máxima del ensayo de compresión simple casi

estática, la configuración de las grietas en todas las muestras ensayadas era la misma

que la correspondiente a los ensayos de fluencia.

2.3.2 Deformación volumétrica

La diferencia principal entre las propiedades mecánicas de la roca y de otros

materiales es el carácter de la deformación volumétrica. Esta diferencia se debe a que la

roca posee gran cantidad de micro fisuras y/o poros. Por lo tanto las peculiaridades de la

deformación volumétrica irreversible debida a la fluencia de la roca son explicadas

principalmente a través del comportamiento mecánico de sus micro fisuras y/o poros

(Cristescu; 1993).

La deformación volumétrica, irreversible y de mayor interés, que ocurre a largo

plazo debido a la fluencia, es la que sufre la roca bajo la acción de la tensión desviadora.


32

En los ensayos de fluencia triaxial, normalmente, esta tensión es aplicada en la segunda

etapa del ensayo, luego de la etapa de la aplicación de la tensión isótropa en la cual

321 σσσ == . Si es que en esa segunda etapa, de aplicación de la tensión desviadora,

únicamente se incrementa la tensión vertical ( 1σ ) manteniendo constante la presión de

confinamiento ( 32 σσ = ), se incrementará simultáneamente la tensión normal octaédrica

y la tensión cortante octaédrica. Provocando que las deformaciones totales tanto

longitudinales como circunferenciales tengan componente volumétrica y de distorsión

angular. Mientras que si en esa segunda etapa de aplicación de la tensión desviadora, se

varían las tensiones de acuerdo con la relación 21 2δσδσ −= , se mantendrá constante la

tensión normal octaédrica y lo único que se incrementará será la tensión cortante

octaédrica ( 232 Joct =τ ), siendo 2J el segundo invariante del tensor desviador. Esto

provocará que las deformaciones por fluencia de la segunda etapa sean únicamente

debidas a la distorsión angular.

El primer procedimiento de ensayo descrito en el párrafo anterior permite

dibujar la curva de fluencia manteniendo la presión de confinamiento constante.

Mientras que el segundo procedimiento permite dibujar la curva de fluencia

manteniendo la presión isótropa constante. En las curvas de fluencia de la mayor parte

de los artículos consultados, la presión de confinamiento es constante. Igualmente en la

mayor parte de investigaciones publicadas se ha estudiado el efecto de la presión de

confinamiento en el comportamiento reológico de la roca, en lugar del efecto de la

presión octaédrica.

La deformación volumétrica a largo plazo depende de la porosidad de la roca y

del nivel de tensiones aplicado; tanto de la presión de confinamiento como del

desviador. Existen rocas que son esencialmente dilatantes, mientras que otras son

compresibles, hasta tensiones desviadoras muy cercanas a la de rotura.

2.3.2.1 Deformación volumétrica de las rocas poco porosas

En la Fig. 2.18 se muestra la curva tensión – deformación típica de un ensayo de

fluencia triaxial de una roca poco porosa.

De las pendientes de la curva es posible estimar las componentes y los

parámetros elásticos de la deformación. Los círculos marcan la estabilización de la

deformación por fluencia. Para tensiones desviadoras pequeñas R1σ , (relativa a la

presión de confinamiento de la primera etapa del ensayo), la deformación volumétrica


33

por fluencia transitoria generalmente es muy pequeña si es que se presenta, y además es

compresible. No ocurre fluencia secundaria.

Con R1σ ligeramente mayor, la deformación volumétrica inmediata es elástica y

linealmente proporcional al incremento de tensión. La deformación por fluencia

transitoria empieza a ser dilatante sin que el volumen final sobrepase el volumen inicial

de esta etapa.

Fig. 2.18 Curva típica de tensión – deformación obtenida en el ensayo de fluencia triaxial de una roca poco porosa con la presión de confinamiento constante (Cristescu; 1993).

Con tensiones desviadoras mayores, la deformación volumétrica por fluencia

transitoria puede ser compresible y con el transcurso del tiempo se vuelve dilatante.

Para tensiones mucho mayores la deformación volumétrica por fluencia

transitoria y estacionaria es únicamente dilatante.

2.3.2.2 Deformación volumétrica de las rocas porosas

La Fig. 2.19 es un ejemplo de las deformaciones volumétricas que ocurren en la

segunda etapa del ensayo de fluencia triaxial, es decir cuando se aplica la tensión

desviadora en una roca blanda. En esta figura la pendiente de la deformación inmediata

es similar incluso hasta con el desviador de rotura. Otra peculiaridad es que el cambio

volumétrico es compresible casi en la mayor parte del ensayo y es dilatante con

desviadores cercanos a la rotura pero sin sobrepasar el volumen inicial de esta etapa.


34

Fig. 2.19 Curva tensión - deformación de un ensayo de fluencia triaxial con un espécimen de carbón (presión de confinamiento: 2.55 MPa) (Cristescu; 1993).

Maranini (1999) y otros, publicaron un estudio experimental sobre el

comportamiento debido a la fluencia de una roca débil llamada Pietra Leccese. Esta

roca, es una biocalcarenita miocénica compuesta por 93% de calcita, 6% de micas y

esquistos y 1% de cuarzo, con una porosidad mayor que 38%. Sus principales

conclusiones fueron que:

• Con presiones de confinamiento bajas, la falla por fluencia se producía

debido a la propagación y alargamiento de las fisuras. Mientras que con altas

presiones de confinamiento la falla por fluencia se producía debido al

colapso la estructura porosa.

• Además que la fluencia reduce fuertemente el umbral y el dominio de la falla

frágil a favor del colapso Fig. 2.20.

• Finalmente y debido a que la deformación volumétrica siempre había sido

compresible, esta no puede ser considerada como un índice de daño general

como suele suceder en las rocas duras. Esto permitiría la aparición de la

fluencia terciaría de forma inadvertida ya que hasta poco antes de su

aparición el cambio volumétrico sería compresible.


35

Fig. 2.20 Efecto de la presión de confinamiento (número que está al lado de cada curva), en las deformaciones del ensayo de fluencia triaxial de una roca blanda, Maranini y otros (2006).

2.3.3 Fluencia de los macizos rocosos

Es aceptado que las discontinuidades del macizo rocoso gobiernan su

comportamiento por fluencia. Incluyendo como discontinuidades a las juntas, fisuras y

planos de estratificación y en general a todo tipo de anomalía estructural. Dicho de

modo más preciso, la resistencia del relleno, la forma, la rugosidad de la cara y la

orientación de la junta gobiernan este comportamiento del macizo. Desafortunadamente


36

hasta la actualidad hay muy pocas publicaciones de ensayos de fluencia realizados en el

campo.

Ladanyi (1993), ha publicado que Schawarts y Kolluru como resultado de sus

experimentos de fluencia realizados en juntas artificiales, consideran que la fluencia de

las mismas es un proceso que depende de la rotura por corte de los contactos de la

rugosidad de la cara de la junta. Es decir, a medida que los contactos plastifican la

tensión actuante se redistribuye entre los contactos intactos, los cuales cada vez son

menores en cantidad. Esto produce que la velocidad del deslizamiento relativo entre las

caras de la junta aumente con el transcurrir del tiempo produciendo la rotura de la junta.

Por otra parte el estado de tensiones dentro de un macizo rocoso depende de las

condiciones de contorno actuales pero también de su historia de deformaciones; por

ejemplo: movimientos tectónicos, etc. Por lo tanto solamente cuando se conozca bien

estas variables, se podrá elaborar un perfil correcto del estado de tensiones actuales.

Esto es particularmente relevante para elegir acertadamente la relación constitutiva del

medio que lo represente. También porque los efectos del tiempo pasado y de la escala

natural en los parámetros reológicos, necesarios para el estudio del comportamiento a

largo plazo y a escala natural, están fuera del alcance de los ensayos de laboratorio e

incluso de los de campo (Gunzburger y otros; 2006).

2.3.4 Formulación de la fluencia

2.3.4.1 Formulación con medios viscoelásticos lineales

Los medios viscoelásticos lineales también son llamados medios hereditarios

debido a que su respuesta a lo largo del tiempo depende también de su historia de

cargas. El origen de esta terminología está en que su relación constitutiva se formula a

través de la relación del sólido ideal elástico de Hooke y del fluido viscoso de Newton.

Los fundamentos de la teoría de la viscoelasticidad lineal han sido tratados por

numerosos autores en publicaciones del medio continuo, por ejemplo Perzyna (1962),

Fung (1965).

En notación tensorial cartesiana, la relación física entre la tensión y deformación

de este medio, cuando el movimiento empieza en 0=τ a partir de unas condiciones

iniciales de tensión, es expresada a través de la integral de convolución:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττ

τστσε dxtJtJxtx t klijklijklkl

veij ∫

∂∂

−+= ++0

,0,, (2.3)


37

Siendo ( ) ( )txveij ,+ε la deformación elástica mas la deformación viscosa en la

coordenada x del medio después de transcurrido un tiempo t y ( τ−t ) de actuación de

la tensión desviadora inicial de valor constante y de cualquier otra de valor dado por una

función continua, representados en esta ecuación por: ( )+0,xklσ en el tiempo inicial 0=t

y ( )τσ ,xkl en el tiempo τ=t respectivamente. En la misma expresión ( )tJ ijkl es la

función de fluencia del medio,. Para el caso de medios viscoelásticos isótropos y

homogéneos la deformación debido al cambio volumétrico y a la distorsión angular

será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ

ττσ

τσε dx

tJtJxtx t kkkk

vekk ∫

∂∂

−+= ++0 22

,0,, (2.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ

ττσ

τσε dx

tJtJxtx t ijij

veij ∫

∂

∂−+= ++

0 11

,0,, (2.5)

Siendo ( ) ( )tJytJ 21 las funciones de fluencia en distorsión angular y en cambio

volumétrico respectivamente. Las ecuaciones 2.4 y 2.5 expresan la dependencia que

tienen las deformaciones actuales, en la trayectoria de tensiones pasadas que han

producido este fenómeno; por ello el nombre de materiales “hereditarios”. Para 0<t :

0== ijij εσ y, ( )+0,xklσ es el valor de la tensión inicial cuando 0→t desde el lado

positivo del tiempo, Fig. 2.21.

Fig. 2.21 Historia de carga con saltos (Fung; 1965).

En un medio en el que se cumplen las ecuaciones anteriores, el estado inicial

elástico, es descrito por las leyes de Hooke mostradas a continuación.

KGkke

kkije

ij 3,

2σ

εσ

ε ==


38

Donde G y K son las constantes elásticas en distorsión angular y en cambio

volumétrico respectivamente.

Debido a que la componente elástica de la deformación es acrónica y que

depende del estado inicial y final de la tensión, esta se puede separar de la deformación

total viscoelástica, dada por las ecuaciones 2.4 y 2.5, para obtener la componente

viscosa a través de las expresiones siguientes (Perzyna; 1962):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))}

,0,(0{}

,0,{, 020 22 τ

ττσ

σττ

τστσε d

xxJd

xtJtJxtx t kk

kkt kk

kkv

kk ∫∂

∂+−∫

∂∂

−+= +++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))}

,0,(0{}

,0,{, 010 11 τ

ττσ

σττ

τστσε d

xxJd

xtJtJxtx t ij

ijt ij

ijv

ij ∫∂

∂+−∫

∂

∂−+= +++

Cada medio viscoelástico esta definido por sus funciones tensoriales de fluencia.

Estas funciones deben determinarse experimentalmente, dependen de la naturaleza del

medio y también deben cumplir con los principios de la termodinámica.

En notación corta, la integral de convolución expresada por la ecuación 2.3 se

escribe del siguiente modo:

klijklij dJe σ∗= (2.6)

La integral de convolución tiene las siguientes propiedades:

φψψφ dd ∗=∗ (conmutativa)

( ) ( ) θψφθψφθψφ dddddd ∗∗=∗∗=∗∗ (asociativa)

( ) θφψφθψφ ddd ∗+∗=+∗ (distributiva)

0≡∗ ψφ d implica que 0≡φ o que 0≡ψ (teorema de Titchmarsh)

En estas expresiones: φ es una función definida en el intervalo ∞<≤ t0 , ψ y θ

son funciones definidas en el intervalo ∞<<−∞ t .

La propiedad conmutativa anteriormente mencionada, permite escribir la integral

de convolución, expresada por la ecuación 2.6, del siguiente modo:

ijklklklijklij dJdJe ** σσ == (2.7)

Para medios isótropos, ijklJ es invariante con respecto a la rotación de ejes

cartesianos por lo tanto: ijlkjiklijkl JJJ == , y se puede escribir que:

( )jkiljlikklijijklJJJ

J δδδδδδ ++−

=23

112 (2.8)


39

Siendo 21 JyJ , funciones escalares iguales a cero para 0<<−∞ t , y

denominadas funciones de fluencia en distorsión angular y en compresión isótropa

respectivamente.

Por lo tanto para estos medios isótropos, las relaciones tensión deformación tipo

fluencia, en distorsión angular y en compresión isótropa, quedan separadas al

reemplazar la ecuación 2.8 en la 2.7. Finalmente las relaciones constitutivas de tipo

fluencia desacopladas son:

En corte: ijijij dJdJe ''' 11 σσ ∗=∗= (2.9)

En compresión isótropa:

kkkkkk dJdJe σσ ∗=∗= 22 (2.10)

Siendo: kkijijijkkijijij eeey δσδσσ31'

31' −=−=

Cuando el medio viscoelastico está compuesto por un espectro discreto finito de

elementos como sucede cuando se formula “mecanicistamente” (a través de

combinaciones de muelles y pistones), las relaciones constitutivas del medio

viscoelástico isótropo son ecuaciones diferenciales del siguiente tipo:

En corte: ∑∂∂

=∑∂∂

==

1

0

1

0''

m

kijk

k

kij

n

kk

k

k et

bt

a σ (2.11)

En compresión isótropa: ∑∂∂

=∑∂∂

==

2

0

2

0

m

kkkk

k

kkk

n

kk

k

k et

dt

c σ (2.12)

Igual que en el caso de la notación corta de las integrales de convolución, se

acostumbra escribir estas ecuaciones de la siguiente forma:

En corte: ( ) ( ) ijij eDQDP '' 11 =σ (2.13)

En compresión volumétrica: ( ) ( ) kkkk eDQDP 22 =σ (2.14)

En ellas a ( )D se le denomina operador diferencial de tiempo, y tiene el

significado siguiente: k

kk

tD

∂∂

= . Por lo tanto, 21,21 ,, QQPP son polinomios de grado

21,2,1 , mmnn en D que por equivalencia con las ecuaciones 2.11 y 2.12 representan lo

siguiente:

( ) ∑∂∂

==

1

01

n

kk

k

k taDP , ( ) ∑

∂∂

==

1

01

m

kk

k

k tbDQ , ( ) ∑

∂∂

==

2

02

n

kk

k

k tcDP , ( ) ∑

∂∂

==

2

02

m

kk

k

k tdDQ


40

No todo polinomio del tipo mostrado puede representar un sistema físicamente

realizable. La termodinámica y las condiciones iniciales imponen algunas restricciones.

Es importante además tener en cuenta que kkijkkij eye',,' σσ son funciones del punto

( )321 ,, xxx y del tiempo t .

Las funciones de fluencia usualmente se obtienen de la formulación

“mecanicista” del medio viscoelástico. Con esta formulación el sólido elástico de Hooke

y el fluido viscoso de Newton se representan simbólicamente con un muelle y con un

pistón respectivamente Fig. 2.22.

El muelle representa la deformación elástica del medio y es directamente

proporcional a la tensión, siendo constante esta proporcionalidad en el caso de la

elasticidad lineal. Es la parte de la deformación que es reversible inmediatamente en un

proceso de descarga.

El pistón representa la deformación dependiente del tiempo (fluencia) del medio.

Es irreversible a menos que se encuentre posicionado en paralelo con un muelle. En el

caso de un fluido newtoniano la velocidad de esta deformación es proporcional a la

tensión aplicada al medio.

Fig. 2.22 Elementos reológicos básicos de los modelos viscoelásticos lineales: a) elástico b) viscoso.

Los modelos viscoelásticos mas utilizados por los investigadores son los

mostrados en la Fig. 2.23. Para cada caso particular, comúnmente se elige el modelo

cuya respuesta se ajusta más a la respuesta experimental de laboratorio o de campo.

Sin embargo Xia-Ting y otros (2006), han publicado un método basado en

algoritmos de programación genética y de optimización de elementos dentro de un

grupo para hallar el modelo reológico mas acertado; es decir la configuración y cantidad

de los elementos elásticos y viscosos cuya respuesta se ajusta mas a la respuesta


41

experimental de laboratorio o de campo, así como los valores de los parámetros de cada

elemento, es decir las constantes elásticas y viscosas.

Fig. 2.23 Modelos viscoelásticos mas comúnmente utilizados para simular el comportamiento reologico de un material (Ladanyi; 1993).

Con este método, cuyo diagrama de flujo se muestra la Fig. 2.24, se formula el

modelo a través de combinaciones en serie y en paralelo de los elementos básicos

muelle y pistón (Fig. 2.25), y de mutaciones (Fig. 2.26) en lugar de elegir de entre los

modelos conocidos mostrados en la Fig. 2.23. En este método los autores utilizan la

programación genética para explorar la estructura del modelo y otro algoritmo

denominado por sus siglas en inglés PSO, para determinar las constantes de cada

elemento.

La Fig. 2.27 muestra un ejemplo de la evolución de un modelo reológico

viscoelastico durante la ejecución de este algoritmo (Xia – Ting y otros; 2006).


42

Fig. 2.24 Diagrama de flujo mostrando el proceso de selección del modelo reológico viscoelastico a través de la programación genética y el algoritmo CSV – PSO (Xia – Ting; 2006).

Fig. 2.25 Operación de combinación en la programación genética (Xia – Ting; 2006)


43

Fig. 2.26 Operación de mutación en la programación genética (Xia – Ting; 2006).

Fig. 2.27 Diferentes generaciones de la evolución del modelo constitutivo tentativo para una roca argilítica: (a) generación inicial, (b) en la tercera generación, (c) en la cuarta generación (Xia – Ting;

2006).

2 .3.4.1.1 Empleo de las transformadas de Laplace en el cálculo de la

deformación viscoelast ica

En el cálculo de la respuesta viscoelástica, está involucrada la solución de

ecuaciones diferenciales e integrales de convolución con respecto al tiempo, como se ha

mostrado en apartado anterior. Las funciones involucradas en estos problemas tienen

valores igual a cero para 0<t .

La transformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales de un medio

viscoelástico permite pasarlas del dominio del tiempo (variable t ) al dominio de la

variable algebraica s de Laplace. Se obtienen así funciones algebraicas en s

representadas por G y K del módulo de corte y del módulo volumétrico y de sus

combinaciones, en particular del coeficiente de Poisson ν .


44

De este modo la solución de un problema cuasi estático (con movimiento muy

lento como para que las fuerzas de inercia sean despreciables) en un medio viscoelástico

consiste en:

• Determinar la solución del mismo problema en un medio elástico.

• Siguiendo el principio de correspondencia entre la elasticidad y la

viscoelasticidad (Fung; 1965), sustituir en la solución elástica las variables

que dependen del tiempo (cargas, corrimientos y parámetros elásticos K, G

y, ν por sus transformadas en la variable s de Laplace.

• Hallar la solución de la ecuación algebraica en el dominio de la variable s .

• Encontrar la transformada inversa de Laplace, de la solución algebraica en

s para pasar de nuevo al dominio del tiempo t .

La transformada de Laplace de una función ( )tf , está definida como:

( ){ } ( ) ( )sfdttfetfL st =∫=∞

−

0

Y la transformada inversa de ( )sf es:

( ){ } ( )tfsfL =−1

En el cálculo de la respuesta de un medio viscoelástico, son de gran utilidad las

siguientes propiedades:

a.)

( ) ( ) ( ) ( )sgsfdgtfLt

⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∫ −0

τττ

La expresión anterior indica que la transformada de la integral de la convolución

de las funciones ( )τ−tf y ( )τg es el producto de las transformadas de la funciones ( )tf

y ( )tg . Propiedad que sirve para convertir en ecuaciones algebraicas, en el dominio de la

variable s , las relaciones constitutivas de los medios viscoelásticos del planteamiento

integral (integrales de convolución).

b.)

( ) ( ) ( )+

=−

−−∑

∂∂

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ 0

1 1

1

ft

ssfstft

Ln

k k

kknn

n

n


45

Esta propidad se aplica para convertir en ecuaciones algebraicas, en el dominio

de la variable s , las relaciones constitutivas de los medios viscoelasticos del

planteamiento diferencial (formulación mecanicista del medio).

2.3.4.1.2 Equivalencia entre el planteamiento integral y el diferencial

Empleando las propiedades mostradas en el apartado anterior, las transformadas

de las relaciones constitutivas de tipo fluencia viscoelástica, planteadas a través de las

integrales de convolución indicadas por las ecuaciones 2.9 y 2.10 son, respectivamente:

En corte: ( ) ( ) ( )ssJsse ijij '' 1 σ= (2.15)

En compresión isótropa: ( ) ( ) ( )ssJsse kkkk σ2= (2.16)

Empleando la segunda propiedad mostrada en el apartado anterior, las

transformadas de las relaciones constitutivas de tipo fluencia viscoelástica plantedas a

través de las ecuaciones diferenciales 2.13 en corte y, 2.14 en compresión isótropa son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∂∂

−=∑ ∑∂∂

−= =

+−

−−+

= =−

−− 1

1 1

11

1

1 1

11 0''0''

m

k

k

rijrk

rkr

kijij

n

k

k

rrk

rkr

kij et

sbsesQt

sassP σσ (2.17)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∂∂

−=∑ ∑∂∂

−= =

+−

−−+

= =−

−− 1

1 1

12

1

1 1

12 0''0''

m

k

k

rkkrk

rkr

kkkkk

n

k

k

rrk

rkr

kkk et

sdsesQt

scssP σσ (2.18)

Siendo: ( ) ∑==

1

01

n

k

kk sasP , ( ) ∑=

=

1

01

m

k

kk sbsQ

( ) ∑==

2

02

n

k

kk scsP ( ) ∑=

=

2

02

m

k

kk sdsQ

Como se puede apreciar, los segundos términos de cada uno de los miembros de

las ecuaciones 2.17 y 2.18 son las relaciones entre los valores y sus derivadas; de la

tensión y la deformación inicial en += 0t .

Siempre que se cumplan las condiciones de que:

( ) ( )∑∂∂

∑=∑∂∂

∑=

+−

−−

=

+

=−

−−

=

k

rijrk

rkr

m

kkij

k

rrk

rkr

n

kk e

tsb

tsa

1

11

11

11

10'0'σ (2.19)

( ) ( )∑ ∑∂∂

=∑ ∑∂∂

= =

+−

−−

= =

+−

−− 2

1 1

12

1 1

1 0'0'm

k

k

rkkrk

rkr

k

n

k

k

rkkrk

rkr

k et

sdt

sc σ (2.20)

Consecuentemente, las ecuaciones diferenciales en corte y en compresión

volumétrica serán:

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ (2.21)


46

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ (2.22)

Si se parte de condiciones iniciales nulas de tensión y desplazamiento, entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,..3,2,1,00,00

00,00,00,00,00,00 ''''

==∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

====

++

++++++

nparaett

ett

yee

kkn

n

kkn

n

ijn

n

ijn

n

kkijkkij

σ

σσσ

En esta situación se cumplen las condiciones indicadas por las ecuaciones 2.19 y

2.20. Si las condiciones iniciales no son nulas no está claro que se cumple estas

igualdades. A continuación se presenta el razonamiento según el cual estas igualdades

se siguen cumpliendo cuando hay un salto en las funciones en 0=t , es decir cuando las

condiciones iniciales no son nulas.

Para el caso particular de la apertura repentina de una cavidad en un medio

viscoelástico, los valores de las tensiones y deformaciones son igual a cero en

0<<−∞ t . Sin embargo sus valores no son nulos cuando 0→t , desde el lado positivo

del tiempo. Es decir hay un salto en estas funciones, tal como se aprecia en la Fig. 2.21.

Allanando este salto del modo mostrado en la Fig. 2.28, por condición de continuidad,

las relaciones tensión deformación 2.11 y 2.12 siguen siendo válidas, en el intervalo

εε <<− t , en el que 0→ε . Estas relaciones tensión deformación aplicadas a este

intervalo son respectivamente:

En corte:

( ) ( )∑∂∂

=∑∂∂

==

N

kijk

k

kij

N

kk

k

k tet

btt

a00

,',' εεσ

En compresión isótropa:

( ) ( )εεσ ,,00

tet

dtt

cN

kkkk

k

kkk

N

kk

k

k ∑∂∂

=∑∂∂

==

En las que se han reemplazado 21,2,1 , mmnn por N que sería el mayor de ellos

en cada ecuación: Para que se cumplan todas las condiciones es posible que algunos de

los coeficientes kkkk dycba ,, se deban reemplazar por cero.

Integrando con respecto al tiempo estas ecuaciones en el intervalo ( )εε ,− se

obtiene; en corte:

( ) ( ) ( ) ( )∫+∑∂∂

=∫+∑∂∂

−=−

−

−=−

− t

ijk

N

kijk

k

k

t

ijij

N

kk

k

k debtet

bdatt

aεε

τετετετσεσ ,',',','1

1

1

01

1

1


47

Al tomar ε=t , teniendo presente que 0→ε , la integral desaparece y esta

expresión queda como:

( ) ( )∑∂∂

=∑∂∂

=

+−

−+

=−

− N

kijk

k

kij

N

kk

k

k et

bt

a1

1

1

11

1

0'0'σ

La cual es una de las condiciones iniciales indicadas por los segundos miembros

de la ecuación 2.17, en concreto la correspondiente a 1=r . Integraciones sucesivas

proporcionan las N igualdades. Esto significa que los segundos miembros de esta

ecuación son iguales y se anulan entre sí, quedando reducida a la ecuación 2.21:

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ

Dándole el mismo tratamiento a las relaciones tensión deformación en

compresión volumétrica la ecuación 2.18 se reduce a la ecuación 2.22:

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ

Fig. 2.28 Allanamiento del salto debido a la tensión inicial.

Para que la expresión polinómica 2.15 de la formulación mecanicista del medio

viscoelástico sea equivalente a la ecuación integral de tipo fluencia se requiere que los

exponentes 11 myn de sus polinomios ( )sP1 y ( )sQ1 cumplan la condición de: 11 mn < .

Esto es necesario debido a que el polinomio del denominador debe ser de mayor grado

que el polinomio del numerador para que se pueda hallar la transformada inversa ya que

un polinomio en s , no tiene transformada inversa continua de Laplace. La transformada

inversa de s , es la función impulso ( )tδ , y de 32 sys son funciones singulares de orden


48

mayor. Ello quiere decir que serán funciones impulso o Delta de Dirac de orden

superior.

Por lo tanto si 11 mn ≤ , por equivalencia entre la integral de convolución 2.15 y la

relación constitutiva diferencial 2.21, la expresión polinómica de la transformada de

Laplace de la función de tipo fluencia, en corte, será:

( ) ( )( )sQssP

sJ1

11 =

A través de un tratamiento similar, se halla la equivalencia en compresión

isótropa. Haciendo la equiparación de la transformada de Laplace de la relación

constitutiva del planteamiento diferencial en compresión isótropa 2.22 con la relación

constitutiva 2.16 del planteamiento integral, se halla la expresión polinómica de la

transformada de Laplace de la función de tipo fluencia en cambio volumétrico:

( ) ( )( )sQssPsJ

2

22 =

Esta equivalencia permite expresar la transformada de las funciones de

influencia de tipo fluencia con polinomios de la variable s , hallar la solución algebraica

en esta variable y a través de la transformada inversa volver al dominio del tiempo.

Muchos investigadores han utilizado relaciones constitutivas viscoelásticas

lineales para resolver problemas relacionados con la fluencia de las rocas. Sin embargo

casi todos ellos han asumido que el medio es incompresible o que el cambio

volumétrico es compresible elásticamente. Con lo cual han descartado el cambio

volumétrico compresible irreversible y el cambio volumétrico dilatante irreversible, que

sucede en algunas rocas durante la ocurrencia de este fenómeno.

Las relaciones viscoelásticas han sido muy utilizadas en el desarrollo de

proyectos de obras subterráneas. En esos casos, normalmente, han sido formuladas en

tensiones relativas, empleando como referencia el estado de tensiones de la roca antes

de la excavación.

2.3.4.2 Formulación con medios elasto/viscoplásticos lineales

Aunque la viscoplasticidad aun no puede ser considerada como una teoría en su

forma definitiva, su empleo está bastante extendido en el estudio de la fluencia de las

rocas. Al igual que los medios viscoelásticos, estos medios también son hereditarios.

Por lo tanto la deformación depende de la trayectoria de las tensiones y del tiempo


49

transcurrido. La ecuación constitutiva general de estos medios, aplicada específicamente

a la roca es la siguiente (Cristescu; 1998):

( )( )

( ) ( )σ

τσσ

τστσ

σσε∂

∂+

∂∂

−++=

••• ,,

,1

32SkF

HtWk

KG ST (2.23)

Siendo: icaviscoplastelasica •••

+= εεε , K y G el módulo volumétrico y de corte

respectivamente, σ la tensión equivalente del tensor desviador, σ la tensión normal

octaédrica, Tk y ( )τσ ,F el coeficiente de viscosidad y el potencial viscoplástico ambos

de la fluencia transitoria, ( )τσ ,H la función de plastificación, ( )τσ ,S y Sk el potencial

viscoplastico y el coeficiente de viscosidad de la fluencia secundaria. Finalmente ( )tW

es el trabajo o energía por unidad de volumen almacenada en la roca al comprimirse

plásticamente con el transcurso del tiempo y/o liberada al dilatarse; ambas durante la

etapa de la fluencia transitoria.

En esta relación constitutiva la velocidad de la deformación elástica esta dada

por los dos primeros términos. El tercer término proporciona la velocidad de la

deformación irreversible de la fluencia transitoria y el último término, la velocidad de la

deformación irreversible de la fluencia secundaria o permanente. De acuerdo con las

hipótesis de su autor, esta expresión es válida para el estudio de la fluencia de la roca

con las condiciones siguientes:

a.) Rocas isótropas y homogéneas. Las funciones constitutivas dependen

únicamente de los invariantes de tensiones y deformaciones, de la historia de

las tensiones y adicionalmente de un parámetro de daño, el cual tiene en

cuenta la deformación plástica total sufrida por la roca. Los invariantes

utilizados son:

La tensión normal octaédrica: ( )32131 σσσσ ++=

La tensión equivalente σ :

13322123

22

21 σσσσσσσσσσ −−−++=

La tensión de corte octaédrica τ : 2/1

'32

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== σστ II

Siendo: '')2/1(' σσσ =II el segundo invariante del tensor desviador.


50

b.) Desplazamientos y rotaciones pequeñas, de modo que los términos no

lineales son despreciables al compararlos con los lineales, y las

deformaciones elásticas y viscoplásticas (irreversibles) se pueden sumar:

lesirreversibe •••

+= εεε

c.) La componente elástica de la velocidad de deformación e•

ε está dada por:

KG

e

32

•••

+=σσε

Siendo: G el módulo de corte y K el módulo volumétrico, σ la tensión

equivalente del tensor desviador y σ la tensión normal octaédrica.

d.) La componente irreversible de la velocidad de la deformación leirreversib•

ε está

dada por la suma del tercer y cuarto término de la ecuación 2.23, en el caso

en que es necesario representar ambas etapas de la fluencia (transitoria y

estacionaria). Si solamente es necesario representar la fluencia transitoria,

está dada por el tercer término.

e.) La tensión de plastificación se puede considerar igual a cero. Es decir que

tan pronto como se somete la muestra a un estado tensional superior al que

tenía en las condiciones iniciales de campo se producen deformaciones

plásticas irreversibles; las cuales van siendo significativas con el transcurso

del tiempo y en función de la sobre-tensión con relación a la condición

inicial de campo.

f.) Esta relación constitutiva es válida en el espacio de tensiones dentro del

dominio limitado por la superficie de falla a corto plazo; la misma que

debería ser incorporada en la ecuación constitutiva.

En la relación constitutiva 2.23 la fluencia transitoria es descrita con el término:

( )( )

( )σ

τστσ

ε∂

∂−=

• ,,

1 FH

tWkT

I

T (2.24)

Siendo: ( )τσ ,H una función denominada de plastificación que es igual al

contorno de estabilización de la fluencia transitoria. La misma que es la ecuación del

estado de tensiones al final de la fluencia transitoria cuando finaliza la deformación


51

debido a esta etapa, esto quiere decir cuando: 0=• I

Tε siempre que 0=•

σ . El contorno de

estabilización depende de la historia de las tensiones con:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TWTWdttdttdttTW DvT I

TT I

TvT

I

T +=∫+∫=∫=•••

000 '' εσεσεσ (2.25)

Por lo tanto la historia de tensiones está envuelta en ( )TW la cual es una variable

de estado de la roca durante la fluencia. Si la tensión es constante, como ocurre en las

pruebas de fluencia, ( )TW se incrementa con el tiempo y ( ) ( )τσ ,HTW → y se alcanza el

equilibrio cuando: ( ) ( )τσ ,HTW = .

En la ecuación 2.24 a ( )σF se le denomina potencial viscoelástico, el cual

controla la orientación de: I

T•ε . Cuando ( )σF coincide con ( )τσ ,H , la ecuación

constitutiva está asociada a la función plástica. En la mayor parte de los casos no está

asociada.

Alternativamente la ecuación 2.24 podría ser escrita empleando el tensor de

orientación de la velocidad de deformación viscoplástica ( )σN , del siguiente modo

(Cazacu; 1995):

( )( ) ( )σ

τσε N

HtWkT

I

T,

1−=•

(2.26)

Los factores ( )σ∂∂ /FkT o ( )σNkT pueden ser considerados de algún modo

equivalente a los coeficientes de viscosidad.

De acuerdo con la ecuación constitutiva 2.23 y la Fig. 2.29, durante la carga del

medio la deformación puramente elástica se produce hasta llegar al estado inicial de

tensiones de campo de la roca, ( ) Pt σσ =0 y en los procesos de descarga. Además en este

estado inicial ( )( ) PWtH =0σ con ( )0tWW P = , tan pronto como se sobrecarga la muestra,

se produce también la deformación viscoplástica.

En los procesos de carga desde ( )0tσ hasta ( ) ( )0tt σσ ≠ con 0tt > :

( )( ) ( )( )0tHtH σσ > son posibles los tres casos siguientes, dependiendo de cual de las

inecuaciones se satisfaga en el nuevo estado de tensiones:

001 >∂∂

>⋅∂∂

σσFóF compresibilidad

001 =∂∂

=⋅∂∂

σσFóF límite compresibilidad/dilatancia


52

001 <∂∂

<⋅∂∂

σσFóF dilatancia

Siendo: 1 el tensor unitario. σσ ∂

∂=⋅

∂∂ FF 1 debido a que F depende de los

invariantes de tensiones.

Fig. 2.29 Dominios de compresibilidad, dilatancia y elasticidad de la relación constitutiva elasto/viscoplástica. La línea gruesa es el límite entre la compresibilidad y la dilatancia 0/ =∂∂ σF . La

rotura depende de la velocidad de carga (Cristescu; 1998).

Por lo tanto el cambio volumétrico esta gobernado por la orientación de la

normal a la superficie ( )σF = constante, en el punto que representa el estado actual de

tensiones. Si la proyección de esta normal sobre el eje de la tensión normal octaédrica

σ señala hacia la dirección positiva de este eje, el estado actual de tensión produce el

cambio volumétrico compresible y en el caso contrario produce el cambio volumétrico

dilatante. Donde esta normal es ortogonal al eje de la tensión normal octaédrica no hay


53

cambio volumétrico irreversible, por lo tanto el comportamiento volumétrico es elástico

(Fig. 2.29).

En la relación constitutiva 2.23, la velocidad de la deformación debido a la etapa

de la fluencia estacionaria se expresa con el término:

σ

ε∂∂

=• Sk S

I

S

Siendo: ( )σS el potencial viscoplástico. El cambio volumétrico descrito por este

termino es nulo o dilatante. Solamente el término de la fluencia transitoria, ecuación

2.24 puede describir un cambio volumétrico compresible.

2.3.4.2.1 Límite entre la compresibil idad y la dilatancia

Este límite es el lugar en el plano de tensiones ( )σσ , o ( )τσ , donde el

comportamiento del cambio volumétrico de la roca pasa de ser compresible a dilatante y

por lo tanto: 0=• I

vε . Los parámetros que particularizan su ecuación se obtienen a partir

de los resultados de los ensayos triaxiales a corto plazo.

En el caso de los triaxiales clásicos ( 2σ es constante, por lo tanto: τσ −2 es

constante) este límite es el punto de la curva ( )Rv

R εσ ,1 para el cual la pendiente su

tangente es igual al módulo volumétrico elástico ( K ) ya que:elasticoR

v

R

K••

= εσ 1 . Dado que

en estos ensayos la tensión octaédrica normal varía cuando varía σσσσ =−= 211R ,

manteniendo la presión de confinamiento ( 2σ ) constante. Por lo tanto también varía la

parte elástica del cambio volumétrico. El superíndice R significa “relativo”, es decir

que las tensiones y deformaciones son medidas con respecto al estado final de la parte

hidrostática de la prueba. Por lo tanto estas medidas corresponden únicamente a las de

la segunda etapa del ensayo en donde actúa la tensión desviadora.

En el caso de los ensayos triaxiales en los que σ se mantiene constante mientras

varía τ en la etapa desviadora, el paso del cambio volumétrico compresible a dilatante

ocurre cuando la pendiente de la tangente a la curva ( )τε ,v es vertical, ya que al no

variar la tensión normal octaédrica tampoco hay variación de la deformación

volumétrica elástica (Fig. 2.30).


54

Fig. 2.30 Influencia de la tensión cortante octaédrica sobre el cambio volumétrico de una muestra de roca de sal durante los ensayos triaxiales ejecutados con la tensión normal octaédrica constante (Cristescu;

1994).

La ecuación del límite entre el cambio volumétrico compresible y dilatante es de

la forma:

( ) ( ) 0,0, =′= τσσσ XoX

Se halla ajustando los resultados experimentales a expresiones empíricas.

Algunas de estas expresiones son de la forma:

( ) 0, =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∗∗ σσ

σσσσ fX

nm

Se emplea con los resultados de ensayos triaxiales clásicos ( )2σ constante,

siendo: m, n y f constantes positivas y MPa1=∗σ .

Por ejemplo, para el caso de una muestra de roca de sal, la ecuación del límite

hallada por Cristescu (1998), Fig. 2.31, ha sido:

( ) 0, 2

2

1 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∗∗∗ σσ

σσ

σττσ ffX


55

Deducida de los resultados de ensayos triaxiales (con tensión normal octaédrica

constante) y siendo: 01697.01 −=f , 8996.02 =f , y MPa1=∗σ .

Fig. 2.31 Límite entre el cambio volumetrico compresible y dilatante de una muestra de roca de sal (Cristescu; 1998).

El límite de cambio volumétrico compresible/dilatante pasa por 0,0 == τσσ

(Fig. 2.32). Por lo tanto; ( ) 00,0 =σX . De acuerdo con esta formulación de la fluencia

( ) 00, =σX para 0σσ ≥ ya que 0σ es la menor presión normal octaédrica que cierra las

fisuras. Por lo tanto la muestra de roca sometida a estados de tensiones con 0σσ > es

incompresible o dilatante. El límite o contorno compresible/dilatante, como muestra la

Fig. 2.32, es una franja pero para simplificar la relación constitutiva se expresa como

una curva en el plano de tensiones.

Fig. 2.32 Dominios de cambio volumétrico compresible, incompresible y dilatante (Cristescu; 1998).

Las rocas poco porosas (Apartado 2.3.2.1) son ligeramente compresibles o no

compresibles. En esos casos se suele tener en cuenta únicamente dos dominios de la

deformación irreversible: el incompresible y el dilatante. Sin embargo las rocas porosas

(Apartado 2.3.2.2), son compresibles hasta estados de tensión cercanos a la rotura.


56

Puede darse el caso de que estas rocas en estados de tensión hidrostática alta cambien su

comportamiento compresible por el de colapso de su estructura porosa dependiendo del

estado de tensiones (Fig. 2.33).

Fig. 2.33 Dominios: compresible, dilatante y de colapso de rocas muy porosas (Cristescu; 1998).

2 .3.4.2.2 La superficie de rotura a corto plazo

La ecuación de la superficie de rotura a corto plazo está escrita en términos de

los invariantes de tensiones, teniendo en cuenta que la relación constitutiva del medio

elasto/viscoplástico es válida para roca isótropa. Aquí se expresa como:

( ) 0, 0

6

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∗∗∗ σστ

στ

σττσ srY

Siendo: r , s y 0τ constantes positivas determinadas mediante el ajuste de datos

experimentales y MPa1=∗σ . La Fig. 2.34 muestra los resultados de ensayos triaxiales

clásicos ejecutados en muestras de roca y el ajuste obtenido con la ecuación empírica

anterior con los coeficientes 91.0=r , 810025.1 −= xs y 82.10 =τ .

Fig. 2.34 Superficie de rotura a corto plazo para roca de sal (Hunsche; 1992).


57

2.3.4.2.3 La función de plast if icación

La relación constitutiva de la etapa transitoria de la fluencia (ecuación 2.24)

describe ambos; el cambio volumétrico y el cambio de forma.

Fig. 2.35 Influencia de la historia de tensiones sobre el contorno de estabilización (Cristescu; 1998).

Cuando la roca se carga en un tiempo 0t , posteriormente, para el tiempo 0tt >

resulta: ( ) ( )( ) ( )0, tWttH >τσ y aumenta la deformación irreversible de acuerdo con la

ecuación 2.24. En el caso del ensayo de fluencia, ( )tW crece con el tiempo y

( ) ( )τσ ,HtW → hasta que: ( ) ( )τσ ,HtW = . Por lo tanto a ( )τσ ,H se le llama también

contorno de estabilización y depende de la trayectoria de tensiones (Fig. 2.35). Esta

figura muestra que el contorno de estabilización no es único. El segundo contorno se ha

hallado con escalones de carga que son el doble de los empleados en el primero.

Debido a que en los ensayos triaxiales clásicos, la etapa desviadora del ensayo se

ejecuta a presión de confinamiento constante, ( ==− 22/ στσ constante), la tensión

octaédrica normal y la tensión octaédrica de corte varían en esta etapa. Por lo tanto la

función de plastificación es de la forma:

( ) ( ) ( )τσστσ ,, DH HHH += (2.27)

Siendo los subíndices “H” y “D” descriptores de la componente hidrostática y

desviadora.

( )σHH se determina con los datos de la etapa isótropa del ensayo triaxial y es de

la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K

TdtttTWTW H

VHT

HHHV 2022

0σσ

εσ−

−∫==•


58

Siendo el último término la parte elástica. El resultado es la parte volumétrica

del contorno de estabilización o función plástica:

( ) ( )tWH VH =σ

Fig. 2.36 Variación de VW con σ de una roca de tiza (Shao y Henry; 1990).

La figura Fig. 2.36 muestra la variación típica de VW de una roca porosa.

Conforme la presión hidrostática aumenta VW tiende a ser constante. Este resultado

representa además el contorno de estabilización o función plástica ( )σHH .

( )σHH se obtiene ajustando los resultados a funciones empíricas. Por ejemplo

para la roca de la Fig. 2.36, Cristescu (1998) ha obtenido:

( ) ( )[ ]⎩⎨⎧

≥+<++−

=MPasihhMPasihsh

H H 55:55:sin

10

110

σσϕσω

σ

Con MPah 31.20 = , MPah 35.21 = , 1641.4 −= MPaω , MPas 161 = , º90−=ϕ . Esta

función también puede ser aproximada con polinomios, con la condición de que a partir

de 0σ tenga el valor constante.

( )τσ ,DH se determina en la segunda etapa de los ensayos triaxiales (etapa

desviadora). La expresión de ( )tWD si esta etapa se realiza con

2/constante22 τσσσ −=== es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]211112

112211

91

31

21

61

912

91

312

TKG

dttTTGK

T

TKG

TTTTTTW

RR

THT

RRH

RH

RH

RHD

σεσσσ

σσεσεσ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−∫+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+=

•


59

El superíndice “R” se refiere a que la magnitud está medida con relación a su

valor al final de la etapa hidrostática.

La figura Fig. 2.37 muestra la dependencia que DW tiene de τ , para varias

presiones hidrostáticas.

Fig. 2.37 ( )τσ ,DW de varios ensayos ejecutados con σ constante empleando muestras de roca de sal; Cristescu (1998).

Como ejemplo para este caso el ajuste hallado por Cristescu (1998) es:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗∗∗ στσ

στσ

στστσ CBAH D

314

,

Siendo: ( )6

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∗σσ

σa

aA , ( ) 21 bbB +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∗σσσ , ( )

3

31

2

c

ccC

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∗σσ

σ , y con:

MPaxa 211 107 −= , MPaxa 12

2 1073.6 −= , 161 1057.1 −−= MPaxb , 15

2 107.1 −−= MPaxb ,

MPac 12.261 = , MPac 00159.02 −= , MPac 31343 = , MPa1=∗σ . Los resultados predichos con

esta expresión se muestran en la figura anterior con la línea de trazos.

La forma de =H constante depende principalmente de si la roca es compresible

únicamente o de si también es dilatante.

La Fig. 2.38 muestra el resultado de una roca compresible y la Fig. 2.39 el de

una roca compresible/dilatante. En casos como estos se debe utilizar una ecuación

constitutiva no asociada debido a que el límite compresible/dilatante es muy distinto

que 0/ =∂∂ σH .


60

Fig. 2.38 Funciones de plastificación H=constante para esquisto (Cazacu; 1995).

Fig. 2.39 Funciones de plastificación de la roca de sal. El contorno compresible/dilatante es muy distinto de 0/ =∂∂ σH (Cristescu; 1998).

2 .3.4.2.4 El potencial viscoplast ico de la parte transi toria

En la ecuación constitutiva 2.24, al igual que la función de plastificación o

contorno de estabilización ( )σσ ,H , F también depende del primer y segundo invariante

de tensiones. Por lo tanto:

σσ

σσσ ∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂ FFF

31

Para ( ) ( )tWH >τσ , de la relación constitutiva de la etapa transitoria de la fluencia

resulta:

( )

( )σσ

εσ

,1

HtW

Fk

I

VT

−=

∂∂

•

(2.28)


61

( )

( )σσ

εεεεεε

σ,

132

2

13

2

32

2

21

HtW

Fk

I

T

I

T

I

T

I

T

I

T

I

T

T

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∂∂

••••••

(2.29)

En el caso del ensayo triaxial clásico resulta:

( )

( )σσ

εε

σ,

132

21

HtW

Fk

I

T

I

T

T

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∂∂

=

••

El coeficiente viscoplastico Tk se determina simultáneamente junto con el

potencial viscoplastico σ∂∂ /F a partir de los datos del ensayo siguiendo los tres pasos

siguientes:

En el primer paso se determina σ∂

∂F para 0=σ utilizando la ecuación 2.28 y los

datos de los ensayos para la estimación de I

V•ε obteniendo:

( )σϕσσ σ

=∂

∂=

∂∂

=

HTT

FkFk

0

(2.30)

La función ( )σϕ se determina en el intervalo 00 σσ ≤≤ y cumple la condición

( ) 00 =σϕ . Por su definición a partir de la expresión anterior y de la ecuación 2.28,

( ) 0=σϕ también para 0σσ ≥ ya que 0=• I

Vε para estos valores, pues se supone que el

cambio volumétrico es elástico.

La Fig. 2.40 muestra el resultado hallado para una muestra de roca de sal,

Cristescu y Hunsche (1992). Para este caso, estos autores han ajustado los resultados

con la función siguiente:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥<−

=0

02

2

:0:

σσσσσσ

σϕsisiqq

En el segundo paso se determina σ∂∂ /F para 0≠σ . Esta función es positiva en

el dominio de la compresibilidad y negativa en el dominio de la dilatancia. También

tiende hacia menos infinito cuando el estado de tensiones está próximo a la superficie de

rotura a corto plazo.


62

Fig. 2.40 Determinación de la derivada σ∂∂ /F a partir de ensayos triaxiales hidrostáticos; Cristescu y Hunsche (1992).

Por lo tanto:

( )σσσ

,,,YXGFkT =∂∂ (2.31)

Siendo: X el límite entre la compresibilidad y la dilatancia e Y la superficie de

rotura a corto plazo. La función de la ecuación 2.31 tiene las siguientes propiedades:

( ) ( )σϕσσσ σ

==∂∂

=

,,,0

YXGFkT (Etapa hidrostática)

( ) 0,,,0

>=∂∂

>

σσσ σ

YXGFkT (Cambio volumétrico compresible)

( ) 0,,,0

==∂∂

>

σσσ σ

YXGFkT (Limite compresible/dilatante)

( ) 0,,,0

<=∂∂

>

σσσ σ

YXGFkT (Cambio volumétrico dilatante)

( ) −∞→=∂∂

>

σσσ σ

,,,0

YXGFkT (Rotura)

La función propuesta que cumple con estas condiciones es:

( ) ( )( ) ( )[ ]σσσ

σσσσσ

σ+

Ψ=

∂∂ G

YXFkT ,

, (2.32)

ó

( )[ ] ( )( ) ( )[ ]σσσ

σσσ

σσσ

+Ψ

=∂∂

21

,, G

YsignXFkT (2.33)


63

La parte hidrostática de estas ecuaciones es igual a ( )σϕ de la ecuación 2.30, por

lo tanto ( )σΨ o ( )σ1Ψ se valoran con:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )σϕσ

σσσσϕ

σσσσ =

Ψ=

Ψ0,

0,0,

0, 1

YsignXó

YX

La función ( ) ( )σσ 2GóG se valora con los resultados del ensayo de fluencia y

teniendo en cuenta que:

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )[ ]σσσ

σσσσσ

σσσ

σε+

Ψ=

∂∂

=−

−

••

GY

XFk

HtWK

tT

V

,,

,1

ó

( )

( )( )

( )[ ] ( )( ) ( )[ ]σσσ

σσσ

σσσ

σσ

σε+

Ψ=

∂∂

=−

−

••

21

,,

,1

GY

signXFk

HtWK

tT

V

En el tercer paso la σ∂∂ /F se determina integrando la ecuación 2.32 ó 2.33 con

respecto ha σ , para obtener:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )σσσσσσσσσ gFgdYXGFkT +=+∫= ,,,,, 1

Derivando la ecuación anterior con respecto ha σ y combinando el resultado

con la ecuación 2.29 se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )σσ

σσσ

σσ

σσσ

σσ∂

∂+

∂∂

=∂

∂+=

∂∂ gFgYXGFkT

,,,,, 1

Para el caso del ensayo triaxial con =σ constante resulta:

( )( )

( )

( )σ

σσ

σσ

εεεεεε

σσ

∂∂

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∂

∂

••••••

,

,1

32 1

2

13

2

32

2

21F

HtW

g

I

T

I

T

I

T

I

T

I

T

I

T

(2.34)

En el caso del ensayo triaxial clásico =2σ constante resulta:

( )( )

( )

( )σ

σσ

σσ

σσεε

σσ

∂∂

−−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∂

∂

••••

,

,1

232 1

2121

F

HtW

Gg

I

T

I

T


64

La Fig. 2.41 muestra los resultados obtenidos con la fórmula 2.34 a partir de las

mediciones de los ensayos de muestras de roca de sal realizados por Hunsche y el ajuste

obtenido mediante la fórmula empírica siguiente:

( )4

22

10 42 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∗∗∗ στ

στ

σττ

gggg

Con: segMPag /01.00 = , segMPaxg /105.6 51

−= , segMPaxg /109.5 62

−= .

Fig. 2.41 Determinación de la función τ∂∂ /g , la línea de trazos es la predicción; Cristescu (1998).

2 .3.4.2.5 El potencial viscoplást ico de la parte estacionaria

En la relación constitutiva 2.23 la velocidad de la deformación por fluencia

(irreversible) es la suma de la parte transitoria y de la parte estacionaria:

( )( ) σστσ

εεε∂∂

+∂∂

−=+=••• SkF

HtWk sT

I

S

I

T

I

,1 (2.35)

En esta relación el potencial viscoplástico S depende de los invariantes de

tensiones únicamente y describe el cambio de forma y el cambio volumétrico de la

fluencia secundaria o estacionaria; el mismo que es incompresible o dilatante. Por lo

tanto:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

=•

στ

τσσ

σσε SSkSk Ss

I

S (2.36)

De la relación constitutiva 2.35, el cambio volumétrico irreversible es:

( )( ) σστσ

ε∂∂

+∂∂

−=• SkF

HtWk sT

I

V,

1 (2.37)


65

De la misma relación, el cambio de forma irreversible cuando la etapa

desviadora del ensayo se ejecuta con =σ constante es:

( )( ) τττσ

εεεεεε∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

•••••• SkFH

tWk sT

IIIIII

,1

2

13

2

32

2

21 (2.38)

Cuando la fase desviadora se ejecuta con =2σ constante, el cambio de forma

irreversible es:

( )( ) τττσ

εε∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

•• SkFH

tWk sT

II

,12 21 (2.39)

En el dominio del cambio volumétrico compresible donde 0>X (apartado

2.3.4.2.1) la velocidad de la deformación volumétrica irreversible de la etapa

estacionaria es cero. En el dominio de la dilatancia, donde 0<X , es posible el cambio

volumétrico dilatante junto con el cambio de forma irreversibles debido a la fluencia

estacionaria (Fig. 2.42).

Por lo tanto la función empírica de este potencial ( )τσ ,S tiene las siguientes

condiciones:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

=∗∗

•

00

0

Xsi

XsibSk

nm

SS

I

V σσ

στ

σε (2.40)

Donde el coeficiente 0<b . Utilizando la fórmula 2.37 junto con la 2.40 y los

resultados de la deformación volumétrica por fluencia, en el dominio de la dilatancia, se

hallan los coeficientes b , m y n respectivamente.

Fig. 2.42 Dominios de la dilatancia y la compresibilidad (Cristecu; 1998).


66

Empleando la formula 2.38 ó 2.39, los resultados de la deformación angular por

fluencia del dominio completo, (dominio compresible y dominio dilatante), junto con

una de las ecuaciones siguientes (la correspondiente al estado de tensiones del ensayo

de fluencia), se halla la función 'Q .

⎩⎨⎧

≤≤

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂∂

∗∗

+

∗

−

∗ ma

mnm

S y

ósiQ

nbmSk

ττσσ

ττσσ

τσσ

στ

τ1'

1

11

⎩⎨⎧

≤≤

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂∂

∗∗

∗∗∗∗

+

∗

−

∗

ba

m

na

mna

m

S

ysiQ

ffbnbmSk

σσσ

ττσσ

τ

στ

σσ

στ

σσσ

στ

τ

1'

41

2/1

12

2

11

⎩⎨⎧

≥

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∂∂

∗∗∗∗

−

∗∗∗

+

∗

+

∗

+

∗

−

∗

b

mn

bn

am

nnb

na

m

S

ysiQffb

nbmSk

σσ

ττσσ

τσσ

σσ

στ

στ

σ

σσ

σσ

σσ

στ

τ

1'4

1

2/1

12

2

1111

Estas ecuaciones se hallan integrando, con respecto a σ (τ fijo), la ecuación

2.40 distinguiendo los tres casos correspondientes a las tres regiones mostradas en la

Fig. 2.43 y luego derivándolas con respecto a τ .

Fig. 2.43 Notación y regiones utilizadas para la determinación de la función S; Cristescu (1998).

El significado de mτ , aσ y bσ empleados en las ecuaciones anteriores es

mostrado en la Fig. 2.43. Para el caso particular del límite compresible/dilatante

expresado de la forma mostrada en el apartado 2.3.4.2.1:


67

( ) 0, 2

2

1 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∗∗∗ σσ

σσ

σττσ ffX

Expresión en la cual 1f y 2f son constantes propias del tipo de roca, MPa1=∗σ

y mτ , aσ y bσ se valoran con las expresiones siguientes:

1

2/1

12

22

2

4

f

fff

b

a⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∗

∗

∗ στ

σσσσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1

22

4 ff

mτ

Con el procedimiento seguido hasta aquí se puede obtener la relación

constitutiva siguiente para describir la fluencia estacionaria de la roca. Podría presentar

cambio volumétrico dilatante junto con cambio de forma ambos irreversibles:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

=•

στ

τσσ

σσε SSkSk Ss

I

S (2.41)

Con relación a la Fig. 2.43 y al método expuesto para determinar el potencial

( )τσ ,S se debe aclarar que la región (3) de esta figura es prácticamente incompresible y

que por lo tanto la figura anterior debería ser la Fig. 2.44.

Fig. 2.44 Dominios del cambio volumétrico utilizados para la determinación del potencial S.

En la región (2) el cambio volumétrico compresible se representa únicamente

por la fluencia transitoria, mientras que el cambio volumétrico debido a la fluencia

secundaria es nulo. En la región (3) el cambio volumétrico de ambas etapas de la


68

fluencia es nulo debido a que para altas presiones de confinamiento la dilatancia no es

significativa, excepto para muy altos valores de la tensión cortante octaédrica.

El límite compresible/dilatante puede tener la forma mostrada en la Fig. 2.44 o

puede aproximarse mas a la superficie de rotura a corto plazo mostrada en la misma.

2.3.4.2.6 Combinación de la fluencia transitoria y estacionaria

Según este modelo la fluencia transitoria y estacionaria ocurren

simultáneamente. Inmediatamente después de la aplicación de la carga, la deformación

por fluencia transitoria predomina. Con el transcurso del tiempo y si es que no se

produce la estabilización de la deformación ambas se deben tener en cuenta y

finalmente despues de un periodo de tiempo muy grande, la fluencia secundaria es

predominante.

Multiplicando la relación constitutiva inicial dada por la ecuación 2.23,

tensorialmente, por la tensión σ la cual debe ser constante, e integrandola se obtiene la

deformación total debida a la parte elástica, fluencia transitoria y estacionaria, cuya

ecuación es:

( )

( )

( )[ ] ( )[ ]ttkSttkFHF

H

FH

tW

t ST

T

E −∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

∂∂

−

∂∂

∂∂

−+= 00

0

1exp11

1

σσ

σσσ

σεε (2.42)

Siendo Eε la parte elástica de la deformación. De acuerdo con esta relación

constitutiva la fluencia transitoria siempre estará presente desde 0t hasta ∞→t . Sin

embargo, es predominante únicamente hasta el tiempo 0ttt T >= calculado con la

expresión:

σ

σ∂∂

=Fk

HtT

T

La deformación total debido a la fluencia transitoria es:

( )

( )

σσ

σε

∂∂

∂∂

−=∞→

FH

FH

tW

t

T

IT 1

1 0

2.3.4.2.7 Criterio energético del daño


69

Según la evidencia experimental mostrada en el apartado 2.3.1.2.3 para el caso

de rocas poco porosas, el daño y la rotura son progresivos y están relacionados con los

mismos mecanismos que producen la dilatancia. En la relación constitutiva 2.23, el

daño que lleva a la rotura, al menos en las rocas poco porosas, empieza cuando el

cambio de volumen se vuelve dilatante. Por ello es importante determinar con precisión

el límite compresible/dilatante tratado en el apartado 2.3.4.2.1.

El parámetro energético del daño, que describe la evolución en el tiempo del

daño de la roca, se expresa a través del trabajo irreversible de la tensión por unidad de

volumen, el cual se valora empleando la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TWTWdtttdtttTW DV

IT

I

VT +=∫+∫=

••

γεσεσ 00 '

Siendo ( )TWV el trabajo realizado, hasta el tiempo T , en producir el cambio

volumétrico irreversible y ( )TWD el trabajo realizado durante el mismo período en

producir el cambio de forma.

El parámetro de daño de la roca es una medida de la energía liberada debido al

agrietamiento por dilatancia, su expresión es:

( ) ( )tWWtd VV −= (max)

Siendo: (max)VW el trabajo realizado por la tensión normal octaédrica en

comprimir irreversiblemente el espécimen hasta su volumen mínimo, maxtt > .y siendo

maxt el tiempo para el cual el VW alcanza su máximo valor.

En el caso de las rocas poco porosas el límite compresible/dilatante está muy por

debajo de la superficie de rotura a corto plazo, como muestra la Fig. 2.45(a). Por lo

tanto, si durante el ensayo triaxial la tensión normal octaedrica es 0σσ < la muestra

sufrirá compresión adicional durante la etapa desviadora y luego incremento de

volumen hasta llegar a la rotura. Este es el caso del ensayo con la trayectoria de

tensiones: DCBA −−−−0 de la Fig. 2.45(a). El (max)VW se producirá en el punto B de la

trayectoria de tensiones, Fig. 2.45(c).

Por el contrario si 0σσ > , (max)VW habrá ocurrido en la etapa isótropa con la

tensión normal octaédrica 0σ , Fig. 2.45(b), y durante la etapa desviadora del ensayo,

inicialmente la muestra será incompresible y luego dilatante hasta la rotura; este es el

caso de la trayectoria de tensiones '''0 DCA −−− .


70

Fig. 2.45 Forma de la variación de VW durante el ensayo triaxial con la tensión normal octaédrica constante: (a) Trayectoria de tensiones; (b) Durante la etapa hidrostática; (c) Durante la etapa desviadora

con tensión normal octaédrica baja, inferior a 0σ ; (d) Durante la etapa desviadora con tensión normal octaédrica muy alta, superior a 0σ (Cristescu; 1998).

En el caso de las rocas muy porosas el límite compresible/dilatante es muy

cercano a la superficie de rotura y la roca se comprime hasta la rotura.

Empleando la relación constitutiva del medio elasto/viscoplástico, la razón de

daño está definida por la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) σ

σσ

σσεσ

∂∂

−∂∂

−−=−=−=••• SkF

HtW

ktttWtd SV

T

I

VV 1

Siempre que: 0<∂∂σF y que 0<

∂∂σS .

El parámetro energético que caracteriza la aparición de la rotura por fluencia,

puede ser considerado como la energía total liberada durante el agrietamiento de la

etapa dilatante del cambio volumétrico y se expresa mediante:


71

)((max))( roturaVVfroturaVf WWdóWd −=−=

Dependiendo de si (max)VW es despreciable con respecto al )(roturaVW . Según este

modelo la magnitud de fd es típica para cada tipo de roca y podría depender de σ y T

(Hunsche; 1996). En los ensayos a corto plazo fd se calcula siguiendo las trayectorias

de tensiones DC − ó '' DC − mostradas en la Fig. 2.45. Sin embargo para ensayos a largo

plazo fd se alcanza con valores de τ menores que los valores de la superficie a corto

plazo.

Para ensayos triaxiales clásicos la fórmula para calcular VW es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]29

1232

21

211

2

0T

Kdttt

tKT

dtttTWR

THT

RRRH

VHT

Vσ

εεσσ

εσ −∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−∫=

•••

Donde R significa que es “relativo” a la parte hidrostática.

2.3.4.2.8 La falla por f luencia

Si durante la fluencia ( ) == σσ t constante, el daño acumulado es igual a:

( ) ( )dttTWI

VT

V ∫=•

0 εσ

Empleando la relación constitutiva del medio elasto/viscoplástico:

( ) ( )

( )

( )[ ] ( )[ ] PVST

T

IVV WttkSttkF

HFH

FH

tW

ttW +−∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

∂∂

−

∂∂

∂∂

−+= 00

1exp11

1

σσ

σσσ

σσε

En donde 0t es el tiempo de inicio del ensayo, justo después de la aplicación de

la carga, y PVW es el valor de VW en el instante 0t . Por ejemplo, si se pretende describir

el ensayo de fluencia durante la etapa desviadora, después de la etapa hidrostática

ejecutada con la tensión normal octaédrica Pσ y finalizada en Ht , entonces

( ) ( )0,pHV

PV HtWW σ== .

Si se toma ( ) ( )maxVHV WtW = , entonces el parámetro de daño es:

( ) ( )tWWtd VP

V −=

Reemplazando ( )td por su valor último fd ; se podría estimar el tiempo de

ocurrencia de la rotura por fluencia.


72

2.3.4.3 Formulación empírica

El comportamiento a largo plazo debido a la fluencia también ha sido estudiado

empleando modelos empíricos. Esta corriente parte de la opinión de que los modelos

reológicos comúnmente utilizados dan una aproximación muy simplificada de la

relación entre tensiones y deformaciones del terreno. Debido a ello y con el objetivo de

proporcionar una relación constitutiva más cercana a la real, podría ser necesario un

gran número de elementos en el modelo, con el inconveniente de que las expresiones

matemáticas se vuelven complicadas. Como resultado de ello sería necesario valorar un

gran número de parámetros, los que por otra parte representan propiedades de la roca

que no están claramente definidas.

Los modelos empíricos se obtienen directamente de observaciones,

experimentales de laboratorio o de campo, de la evolución de las deformaciones, de la

velocidad de las deformaciones y de las tensiones a lo largo del tiempo.

Los modelos empíricos mas comúnmente utilizados son:

• El modelo con ley potencial; Obert (1965).

• El modelo hiperbólico; Mesri y otros (1981).

Los modelos con ley exponencial e hiperbólico son comúnmente utilizados para

rocas fracturadas, argilitas y otras similares.

2.3.4.3.1 Modelo con ley potencial

Este modelo es comúnmente utilizado con rocas salinas, potásicas y evaporitas.

La relación constitutiva reológica de este modelo en la forma que la propuso Obert en el

año 1965 es:

( )λ

ασε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1ttkta (2.43)

En donde ( )taε es la deformación axial en el tiempo t , ( )31 σσσ −= es la tensión

desviadora, α es el índice de la función potencial entre las tensiones y las

deformaciones, λ es el índice de la función potencial entre las tensiones y

deformaciones, el cual también es llamado parámetro de la fluencia, y k es una

constante para el tiempo de referencia 1t , que está relacionada con el módulo de la roca.

Comúnmente es utilizado el valor de una hora como tiempo de referencia.


73

Considerando la resistencia límite del material y la validez del principio de

normalización entre las tensiones y las deformaciones, Phienwej y otros (2006)

expresaron la relación constitutiva dada por la ecuación 2.43 del siguiente modo:

λ

αε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1tt

KD iiai

Siendo K una constante adimensional, y iD el nivel de tensiones expresado como

el cociente de desviadores ( ) ( ) f3131 / σσσσ −−

2 .3.4.3.2 Modelo hiperbólico

Este modelo tambien utilizado comúnmente para rocas blandas, ha sido aplicado

por Phienwej (2006) para el cálculo de túneles. Con relación a otros modelos empíricos,

este modelo tiene la ventaja de que todos sus parámetros tienen significado físico y

están relacionados con las propiedades mecánicas de la roca, es decir módulos y

resistencia. La relación constitutiva reológica empleando esta ley de fluencia es no

lineal y se expresa mediante la siguiente ecuación:

λ

ε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=11/

1tt

DRD

qEi

if

i

fuai (2.44)

Siendo aiε la deformación axial en el tiempo t , λ un parámetro de la fluencia,

uE el módulo tangente inicial del modelo y definido en el tiempo 1t ,

( ) ( ) fiD 3131 / σσσσ −−= siendo ( ) ff q=− 31 σσ la tensión desviadora máxima que depende

de la resistencia del material, ( )[ ]ffuf qER ε//11−= . Es un parámetro que expresa la no

linealidad de la relación entre las tensiones y las deformaciones. Finalmente, fε es la

deformación en la rotura debido a la fluencia.

2.4 Soluciones analíticas de la convergencia por fluencia

2.4.1 Efecto del frente del túnel

El desequilibrio de tensiones provocado por la excavación del túnel crea una

distribución tridimensional compleja de movimientos alrededor del mismo. La solución

teórica del proceso completo empleando medios reológicos es muy compleja.

Únicamente se han llevado a cabo algunos estudios empleando métodos numéricos. Es

necesario tener en cuenta estos movimientos, debido a que una parte significativa ocurre

al exterior del frente de avance de la excavación.


74

Existen varias soluciones aproximadas. Estas soluciones, aunque están basadas

en suposiciones simplistas, han demostrado en varios casos que describen

razonablemente bien el comportamiento observado en la vecindad del frente del túnel

(Ladanyi; 1993).

Básicamente hay tres tipos de estas soluciones aproximadas:

• La solución en la que se supone que el frente del túnel se comporta como una

cavidad semiesférica, mientras que hacia el exterior del frente el túnel se

comporta como una cavidad cilíndrica.

• La solución con deformación plana, en la que se supone que por delante del

frente se va reduciendo la rigidez de la roca siendo máxima la reducción en

el frente y cada vez menor en la dirección del avance.

• La solución con deformación plana en la que se supone la existencia de una

presión interior ficticia de sostenimiento, la cual disminuye con la distancia

hacia fuera del frente.

En las propuestas del estudio de la convergencia en condiciones de deformación

plana, la solución en la que se asume la existencia de una presión interior ficticia, sirve

para tomar en cuenta el efecto del frente del túnel en la sección analizada. Esto es así

debido a que la presión ficticia de esa solución y la convergencia de la sección en el

momento de la colocación del sostenimiento serían las condiciones iniciales a partir de

las cuales se debería calcular el incremento de presión sobre el sostenimiento debido a

la fluencia.

De acuerdo con estudios teóricos y experimentales, el efecto del frente del túnel

prácticamente desaparece aproximadamente a dos o tres veces el diámetro del mismo,

medidos desde el frente de excavación (Ladanyi; 1993).

Por lo tanto en la evolución de la convergencia, es necesario diferenciar el efecto

del avance del frente del túnel del efecto del comportamiento de la roca a lo largo del

tiempo.

2.4.2 La línea característica a largo plazo

La “línea característica” es el concepto en el que está basado el método de

“convergencia – confinamiento” del proyecto del sostenimiento de los túneles en

medios isótropos homogéneos en condiciones axil simétricas. Aunque hay varias

soluciones teóricas rigurosas de la interacción dependiente del tiempo entre el terreno y


75

el sostenimiento, halladas bajo suposiciones relativamente simplistas, actualmente se

sigue utilizando y publicando trabajos relacionados con el concepto de la “línea

característica” de los medios geotécnicos.

En principio, la curva característica es la relación entre la presión normal

aplicada en la pared del túnel y su desplazamiento radial resultante como se aprecia en

la Fig. 2.46 y Fig. 2.47.

El punto inicial de la curva es la presión media del macizo 0p correspondiente a

la profundidad a la que se ubica el túnel (Fig. 2.47). Debido a la excavación del mismo

ésta presión en la pared del túnel se vuelve nula. Dependiendo de las condiciones

tensionales en el lugar y de las propiedades mecánicas del macizo, la curva

característica presenta los siguientes tramos:

• Tramo lineal: llamado tramo elástico, en el que la presión interior (de

sostenimiento) es elevada y se cumple que criii pp > . Con la cual no se

produce la plastificación del macizo, debido a que ( )Ri qpp −> 0 , siendo Rq el

desviador de rotura del mismo.

• Tramo no lineal: llamado tramo plástico, en el que la presión interior (de

sostenimiento) es baja y se cumple que criii pp < . Con ella se produce la

plastificación del macizo debido a que ( )Ri qpp −< 0 , siendo Rq el desviador

de rotura del macizo.

Fig. 2.46 Sección transversal del túnel mostrando la notación utilizada (Ladanyi; 1993).


76

Fig. 2.47 Evolución de la curva característica del terreno con el transcurso del tiempo (Ladanyi; 1993).

En el estudio de la fluencia alrededor del túnel empleando este método, se

supone que aún cuando la presión inicial ip en la cara del túnel ha caído a cero debido a

la conclusión de la excavación, la roca es capaz de auto soportarse durante un tiempo

limitado, después del cual la pared se vuelve inestable y empieza la rotura del macizo

alrededor del túnel. El propósito principal del sostenimiento es reducir el

desplazamiento de la cara del túnel de modo que la roca sea capaz de soportar la

máxima presión del terreno.

Como se aprecia en la Fig. 2.47, la presión a largo plazo cp sobre el

sostenimiento así como el desplazamiento de la cara del túnel depende de:

• Las propiedades reológicas del macizo.

• De la rigidez del sostenimiento.

• Del retraso en la instalación del sostenimiento.

• Del posible huelgo entre la pared de la excavación y el diámetro exterior del

sostenimiento.

A continuación, se presentan algunas soluciones en donde se han introducido las

propiedades reológicas (viscoelásticas) de la roca en el método de “convergencia –

confinamiento”.


77

2.4.3 Soluciones publicadas

2.4.3.1 Solución empleando medios viscoelásticos lineales

2.4.3.1.1 Solución de Goodman (1980)

Este investigador, publicó la solución de la presión sobre el sostenimiento del

túnel circular tratándolo como un anillo elástico de pared gruesa. Asumió que los

corrimientos elásticos instantáneos ocurrían antes de la colocación del sostenimiento y

que por lo tanto era razonable emplear el modelo viscoelástico de Maxwell

generalizado. Mediante este procedimiento la presión final, a largo plazo, sobre el

sostenimiento es igual a la tensión inicial 0p del macizo. La presión ( )tpb en la interface

medio – sostenimiento es:

( ) ( )trtrb DeCeptp 21

0 1 ++=

Donde 0p es la presión inicial de equilibrio del medio.

( )( )

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++=

12

212121

1

2

21

212112

1

2 //1,

//1rr

Grr

GD

rrGr

rG

Cηηηηηηηη

Siendo 1r y 2r las raíces reales de:

012

1

1

21

21 =+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

ηηη

ηG

sBGBs

En la cual:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

=22

22'21'

1ab

abG

B ν

Finalmente, la solución del corrimiento radial del medio viscoelástico (roca) es:

( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

−=22

22

2

2

'2'21

abGabtp

rbtu br

ν

Siendo: a el radio interior del sostenimiento, b el radio de la cavidad,

121 ,, Gηη las constantes reológicas del modelo, ',' Gν los parámetros elásticos del

material de que está hecho el sostenimiento.

2.4.3.1.2 Solución de Gill y Ladanyi (1987)

Estos autores, publicaron la solución de la línea característica de la cavidad

circular excavada en un medio reológico cuyo comportamiento en deformación


78

desviadora era el del modelo de Kelvin/Voigt y en deformación isótropa era

incompresible (Fig. 2.48). En distorsión angular, la constante de la parte elástica del

modelo es 1k y las constantes de la parte viscoelástica son: 2k y η . Los subíndices “0”

y “f” señalan que el parámetro toma el valor inicial o final, respectivamente, ηη =2 ,

01 2Gk = y ( )02 /1/1/2 GGk f −= para la parte desviadora del modelo (Fig. 2.48). Siendo

0G y fG el módulo de corte inicial y final respectivamente, mientras que Rk t=2/2η el

tiempo de relajación.

Fig. 2.48 Evolución de las líneas características del medio viscoelástico (Gill y Ladanyi; 1987).

La solución de la convergencia del medio sin sostenimiento es:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= tf

GG

Gp

bu

f

i 112

0

0

0 (2.45)

Siendo:

( ) ( )Rtttf /exp1 −−=

El valor de la convergencia bui / varía de 00 2/ Gp en 0=t a fGp 2/0 cuando

∞→t , b es el radio de la excavación y 0p la presión inicial.

Los autores muestran el cálculo de las líneas características isócronas siguiendo

dos procedimientos. En el primero reemplazan en la ecuación 2.45: 0p por ( )ipp −0

variando ip entre 00 ppi ≤≤ manteniendo el tiempo constante para cada isócrona. Las


79

líneas características resultantes son líneas rectas que pasan por el punto ( )1,0 en el

sistema de ejes ( )0/,/ ppbu ii , (Fig. 2.48).

En el segundo procedimiento la solución que se obtiene considerando el

sostenimiento de rigidez sK y colocado en el instante stt = es:

( )s

c

stt

ii

Kp

bu

tbu

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

(2.46)

Siendo: ( ) tsti bu =/ la convergencia de la cavidad sin sostenimiento, calculada

empleando la ecuación 2.45, en el momento en el que se pone en contacto la pared de la

cavidad y el sostenimiento. La solución de la evolución con el tiempo de la presión

sobre el sostenimiento cp propuesta como “exacta”, es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=

R

s

s

fsRs

sf

fc

ttt

GKGK

ttKG

GGpp

0

0

0 /2/2

exp1/exp/21/1

La solución de la evolución con el tiempo de la presión sobre el sostenimiento

cp propuesta como “con envejecimiento”, es:

( ) ( )[ ]Ssf

fc tftfKG

GGpp

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=

/21/1 0

0

Con lo cual se puede hallar la presión sobre el sostenimiento cp en el instante

∞≤≤ tt s y luego la convergencia de la cavidad sostenida empleando la ecuación 2.46

(Fig. 2.48 y Fig. 2.49).

En estas figuras se aprecia que la presión sobre el sostenimiento cp de la

solución “exacta” es ligeramente mayor que la correspondiente a la solución “con

envejecimiento” para ∞<< t0 . Sin embargo debido al comportamiento asintótico del

modelo reológico empleado, ambas soluciones tienden al mismo valor cuando ∞→t :

( )Rssf

f

t

c ttKG

GGpp

/exp/21/1 0

0−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∞→

Por lo tanto, si la roca presenta atenuación de la fluencia con valores finitos de

los parámetros de fluencia, cuando ∞→t , la solución “con envejecimiento” es correcta

a largo plazo.


80

Fig. 2.49 Evolución de la presión sobre el sostenimiento (Gill y Ladanyi; 1987).

2 .4.3.1.3 Solución de Cristescu (1993)

Posteriormente en el año 1993, Cristescu publicó la solución de la evolución de

las tensiones y desplazamientos de la interface roca – sostenimiento suponiendo que la

relación constitutiva de la roca era viscoelástica lineal de la forma propuesta

originalmente por Massier (1981):

••••

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= '

21

2'''

31

3 00σσεεσσεε

GGky

KKkv

Donde K y G son los módulos dinámicos, 0K y 0G los módulos relajados, y vk

y k coeficientes de viscosidad, ε y σ la deformación y la tensión isótropa

respectivamente, y 'ε y 'σ son la deformación y la tensión desviadora respectivamente.

El estado tensional de referencia empleado por este autor fue el correspondiente al

equilibrio inicial antes de la excavación. Considerando que hvh γσσ =≈ Cristescu y

Massier, para este caso, mostraron que la tensión isótropa y la deformación isótropa no

varían debido a la excavación. Por lo tanto el corrimiento radial se produce debido a la

deformación por la distorsión angular.

Con las suposiciones anteriores la expresión del corrimiento de la pared de la

excavación sin sostenimiento es:

( ) ( ) vaktGGG

tu σ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= exp

21

21

21

00


81

Siendo: a el radio del túnel y vσ la presión vertical. El corrimiento radial final es

02Ga

u vt

σ=∞= .

También publicó la solución considerando la colocación del sostenimiento

elástico en forma de anillo de pared gruesa de espesor constante. La expresión de la

solución es:

( ) [ ]( )ttPPQu

PQtu −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= 00 exp

Siendo:

Gbaq

ubq

GkaQ

Gbaq

bGaq

kPv

212

,

21

21 0

0

0

+

+=

+

+=

σ

Donde a es el radio del túnel, b el radio interior del sostenimiento y q su

rigidez. Si las condiciones iniciales son: 0,, 00 === puutt , el corrimiento y la presión

sobre el sostenimiento es:

bGaquGa

qpbGaq

qubau v

tv

t0

00

0

022

,2 +

−=

++

= ∞=∞=σσ

Fig. 2.50 Historia de tensiones y deformaciones en la interfase roca – sostenimiento (Cristescu; 1993).

La Fig. 2.50 muestra la evolución del corrimiento a corto plazo debido a la

excavación repentina de la cavidad. También muestra la línea característica a largo

plazo, así como el efecto en el corrimiento y en la presión final sobre el sostenimiento

de varios parámetros involucrados en el problema. Entre ellos, la rigidez del


82

sostenimiento y el retraso en su colocación. Como en todas las soluciones se verifica

lógicamente que al restringir el corrimiento la presión final es mayor.

El límite que marca la rotura del sostenimiento por sobrecarga se puede

determinar introduciendo el criterio de plastificación apropiado del sostenimiento

teniendo en cuenta la distribución de las tensiones sobre el mismo. Cristescu consideró

sendos criterios para sostenimientos metálicos y de hormigón.

2.4.3.2 Soluciones empíricas

2.4.3.2.1 Solución de Sulem y otros (1987)

Sulem, Panet y Guenot (1987), presentaron la solución del desplazamiento de la

pared de la cavidad cilíndrica excavada en un medio homogéneo, isótropo y con

comportamiento dependiente del tiempo. El modelo propuesto tiene en cuenta el

confinamiento que el frente del túnel produce en las secciones cercanas, a través de una

presión interior ficticia que se va perdiendo conforme el frente se aleja de la sección

analizada. Es decir utiliza la aproximación, en deformación plana, del efecto del frente,

mencionada en el apartado 2.4.1.

En el caso del túnel circular sin sostenimiento, el desplazamiento radial se

expresa a través del producto de dos funciones: una que depende del efecto del avance

del frente y otra que depende de la fluencia del material. La presión interior ficticia que

simula el efecto del frente de la excavación es:

( ) 01 σλσ −=r

Donde: 10 << λ toma los valores que muestra la Fig. 2.51. Como se aprecia

( )xλλ = es función de la distancia al frente, la cual a su vez depende de la velocidad de

avance de la excavación v y del tiempo transcurrido; es decir ( ) vttx = .

Según la propuesta de estos autores, la deformación resultante es:

pcenee εεεεεε ++=+=

Donde eε es la deformación elástica, cε es la deformación de fluencia y pε es

la deformación plástica. La deformación de fluencia se expresa como una función de la

tensión y del tiempo ( ) ( )tfgc σε = . Depende de la tensión en el instante t y no depende

de de la historia de tensiones y deformaciones antes de t . La función ( )σg es una

función lineal. La función ( )tf es una función potencial cuyo valores límite son:


83

( ) 00 ==tf y ( ) 1=∞=tf . También se supone que únicamente la parte desviadora de la

tensión interviene en la fluencia y que por lo tanto ocurre a volumen constante. El

material plastifica de acuerdo con el criterio de Mohr – Coulomb. Las deformaciones

plásticas, después que se ha llegado al criterio de rotura, también ocurren a volumen

constante, es decir con dilatancia nula.

Fig. 2.51 Presión de sostenimiento ficticia (Sulem y otros; 1987).

En el caso del túnel sin sostenimiento, el modelo plastifica dependiendo de la

profundidad a la que se ha excavado, de los parámetros resistentes y de la distancia al

frente. En el caso del túnel con sostenimiento, el modelo plastifica dependiendo además

del retraso en la colocación del mismo, de la rigidez y de su resistencia a la

plastificación (rotura).

Los autores además publicaron la solución de la línea característica de la cavidad

en función del tiempo empleando como sostenimiento un anillo elástico de pared

gruesa.

2.4.3.2.2 Solución de Aydan y otros (1996)

Estos autores, estudian las deformaciones por fluencia a través del “squeezing”,

término que según la ISRM está definido como: “las deformaciones grandes

dependientes del tiempo, que ocurren alrededor del túnel y que principalmente están

asociadas con la fluencia, las cuales podrían cesar durante la construcción o continuar

durante un periodo largo de tiempo”, (Barla, 1995).


84

Las soluciones propuestas, se han obtenido del estudio estadístico de mediciones

de campo y de ensayos de laboratorio, correlacionando el comportamiento en ambos

medios.

El concepto fundamental de este método está basado en la analogía entre la

relación tensión axial – deformación axial de la roca en las pruebas de compresión de

laboratorio y la relación tensión tangencial – deformación tangencial del macizo rocoso

alrededor del túnel.

Con los datos recogidos de túneles construidos en Japón y mostrados en la Fig.

2.52, los autores consideran que, para la ocurrencia de grandes deformaciones alrededor

del túnel a lo largo del tiempo, son importantes los siguientes factores:

• El factor de competencia propuesto inicialmente por Muirwood en el año

1972. Factor que fue definido por su autor como: “la razón entre la

resistencia a compresión simple de la roca intacta icσ , y la presión de la

cobertura sobre el túnel Hγ ”. Siendo γ el peso específico aparente del

macizo y H la profundidad del túnel.

• La deformación tangencial de la pared del túnel Rur /=θε , la cual debería

ser mayor que 1 %. Siendo ru el corrimiento radial de la pared y R el radio

del túnel.

• La porosidad de la roca, la cual debería ser alta para que ocurra la fluencia.

La resistencia a compresión simple de la roca cσ es el parámetro básico de este

método. Se considera que la pérdida de resistencia de la roca depende de la deformación

y del transcurso del tiempo.

La expresión de la pérdida de la resistencia con el transcurso del tiempo es:

τ

σσ

σσ

σσ t

c

c

c

c

c

c e−∞∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

0001 (2.47)

Siendo ∞cσ , la resistencia a compresión simple última (a largo plazo), 0

cσ la

resistencia a corto plazo y τ el retraso de la caída de la resistencia.

Los autores de este método suponen que la fluencia transitoria es el resultado del

comportamiento viscoelástico de la roca. Mientras que suponen que la fluencia

secundaria y terciaria son comportamientos viscoplásticos debido a que involucran la

disipación de la energía como consecuencia del fracturamiento de la roca.


85

Fig. 2.52 Datos de los túneles estudiados (Aydan; 1996).

En este método, las curvas tensión – deformación total de las rocas corresponden

al modelo con ablandamiento por deformación. Han sido obtenidas en los ensayos

uniaxiales y triaxiales realizados con presiones de confinamiento 3σ bajas, menores que

el 10 % de la resistencia a compresión simple. En la curvas completas de tensión –

deformación estos autores han propuesto los niveles de deformación mostrados en la

Fig. 2.53. En esta misma figura se muestra el tipo de agrietamiento de la muestra

durante la prueba de compresión completa. Los cinco estados mostrados son los

siguientes:

• Estado elástico: en el que el comportamiento de la roca es linealmente

elástico y sin agrietamiento visible.

• Estado de endurecimiento: empieza el microagrietamiento de la roca y la

orientación de este generalmente coincide con la dirección de la tensión

principal mayor.

• Estado de plastificación: después de exceder el pico de la curva tensión –

deformación, las micro grietas tienden a coalescer dando inicio a las macro

grietas.


86

• Estado de debilitamiento: en el que las macrogrietas crecen y se alinean en la

dirección más crítica.

• Estado de flujo: en el que las grietas coalescen completamente a lo largo de

la orientación mas crítica y forman planos de deslizamiento, o bandas, a

través de los cuales la roca completamente fracturada fluye.

Fig. 2.53 (a) Curva tensión – deformación total en el ensayo de compresión de la roca, (b) Estados asociados de squeezing (Aydan y otros; 1996).

De acuerdo con este método, estos cinco estados de la muestra de roca durante el

ensayo completo en el laboratorio, en condiciones uniaxiales o triaxiales, o en ensayos

de campo, se presentan en la roca alrededor del túnel durante la ocurrencia de la

fluencia, tal y como se muestra en la Fig. 2.54.

Los límites de deformación, entre estos estados, normalizados con los límites de

deformación elásticos ( fsp ηηη ,, ), dependen de la resistencia a compresión simple. Las

funciones correspondientes se muestran a continuación:

32.025.017.0 5,3,2 −−− ====== ce

ffc

e

ssc

e

pp σ

εε

ησεε

ησεε

η (2.48)

Siendo cσ la resistencia a compresión simple en 2/ cmkg .


87

Fig. 2.54 Estados de la roca alrededor del túnel durante el “squeezing” (Aydan y otros; 1996).

Las ecuaciones 2.48 correspondientes a los límites de deformación han sido

determinadas ajustando los datos de la Fig. 2.55.

Fig. 2.55 Niveles de deformación normalizados (Aydan; 1996).

Los límites fsp ηηη ,, sirven para establecer los estados de la roca alrededor del

túnel. En la Tabla 2.1, se muestran los estados posibles.

Para calcular las deformaciones alrededor del túnel y compararlas con los

estados de deformación mostrados en la Tabla 2.1, los autores del método han propuesto

una solución analítica válida para condiciones iniciales de isotropía de tensiones. El

modelo asumido de comportamiento de la roca es el elasto – plástico perfecto residual


88

mostrado en la Fig. 2.56, con el criterio de rotura de Mohr – Coulomb. El estado de

tensiones y deformaciones más crítico que se puede presentar alrededor del túnel es el

mostrado en la Fig. 2.57. Su ocurrencia depende de la tensión inicial 0p , de la presión

interior de sostenimiento ip y de las propiedades a corto y a largo plazo de la roca.

Tabla 2.1 Clasificación del grado del “squeezing” (Aydan; 1996).

Clase Grado del “Squeezing”

Símbolo Expresión teórica

Comentario

1 Sin ocurrencia NS 1/ ≤eaθθ εε La roca se comporta elásticamente y la

pared del túnel se estabilizará cuando el efecto del frente sea despreciable.

2 Ligero LS p

ea ηεε θθ ≤< /1 Endurecimiento de la roca conforme se deforma. La pared del túnel se estabilizará con el tiempo cuando el efecto del frente sea despreciable.

3 Medio FS s

eap ηεεη θθ ≤< / Ablandamiento de la roca conforme sufre

deformaciones grandes. Sin embargo, la deformación cesará con el tiempo cuando el efecto del frente sea despreciable.

4 Severo HS f

eas ηεεη θθ ≤< / Ablandamiento muy fuerte de la roca

conforme se deforma. La deformación será cada vez mayor con el transcurso del tiempo y no cesará cuando el efecto del frente sea despreciable.

5 Muy severo VHS eaf θθ εεη /< Colapso de la sección debido al flujo

continuo de la roca. Será necesario reexcavar la sección y colocar un sostenimiento muy fuerte.

Fig. 2.56 Modelo mecánico de la roca (Aydan; 1996).

El procedimiento de uso del método propuesto es el siguiente:

• Especificar la resistencia a compresión simple de la roca.


89

• Estimar los niveles de deformación de la roca empleando las ecuaciones

2.48.

• Calcular las deformaciones tangenciales y los radios de plastificación,

mostrados en la Fig. 2.57, de la cavidad sin sostenimiento.

Fig. 2.57 Elementos y estados de tensiones alrededor del túnel (Aydan; 1996).

• Comparar la deformación tangencial (convergencia tangencial) de la cara del

túnel con los niveles de la Tabla 2.1. Si es que se hallan entre los niveles

inestables, recalcular la convergencia tangencial de la cara del túnel, esta vez

teniendo en cuenta la presión interior del sostenimiento para limitar la

convergencia y la extensión de las zonas plásticas.

2.4.3.2.3 Solución de Hoek y Marinos (2000)

A diferencia del método empírico anterior, en este caso los autores del método

utilizan la resistencia a compresión simple del macizo rocoso cmσ , en lugar de la

resistencia a compresión simple de la roca intacta ciσ , para valorar el factor de

competencia 0/ pcmσ .

Hoek y Marinos (2000) mostraron que la curva de la convergencia de la pared

del túnel aurt /100(%) =ε en función del factor de competencia proporciona una base

para la estimación de la inestabilidad de la pared del túnel. Esta curva mostrada en la

Fig. 2.58, fue desarrollada a través de un análisis de Monte Carlo utilizando la solución

analítica bidimensional propuesta por Duncan - Fama en el año 1993 y la propuesta por


90

Carranza – Torres y Fairhurst en el año 1999. El análisis se hizo para un rango grande

de propiedades del macizo rocoso y de tensiones iniciales axil-simétricas.

Fig. 2.58 Curva de la convergencia de la pared del túnel en función del factor de competencia (Hoek y Marinos; 2000)

La influencia de la presión de sostenimiento, ip , sobre la convergencia de la

pared del túnel y sobre la deformación del frente de avance, también fue estudiada a

través de un modelo de elementos finitos en condición axil-simétrica. Este estudio fue

realizado para un rango grande de macizos rocosos, tensiones iniciales y presiones de

sostenimiento. Las ecuaciones 2.49 y 2.50, son las relaciones aproximadas de la

convergencia de la pared del túnel ( )%tε y la deformación del frente del mismo ( )%fε

en función de: el factor de competencia 0/ pcmσ y la razón 0/ ppi (relación entre la

presión de sostenimiento y la presión inicial de campo 0p ).

( ) ( )54.0/8.3/1/3

00

00115.0%

++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ppppcmi

tii

ppp σ

ε (2.49)

( ) ( )54.00/8.3/10/3

00

11.0%++−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

pippipcmi

f ppp σε (2.50)

Para mejorar el entendimiento del comportamiento de las deformaciones de

acuerdo con estas expresiones, se presenta la Fig. 2.59 y la Fig. 2.60 debidas a Barla

(2001).


91

Fig. 2.59 Forma de las curvas de la convergencia de la pared del túnel para diferentes valores de: 00 // ppyp icmσ (Barla; 2001).

Fig. 2.60 Forma de las curvas de deformación del frente de la excavación para diferentes valores de: : 00 // ppyp icmσ (Barla; 2001).


92

Sobre la base del tratamiento anterior y de los casos de un gran número de

túneles en Venezuela, Taiwán y la India, los autores de este método han propuesto la

curva de la Fig. 2.61 para que sirva como primera aproximación al estudio de los

problemas de inestabilidad de la pared del túnel.

Fig. 2.61 Clasificación del “squeezing” (Hoek; 2000).

A continuación se presenta la tabla comparativa, de la clasificación del

“squeezing”, entre este método y el anterior.

Tabla 2.2 Comparación de la clasificación del grado del squeezing de Aydan y otros (1996) y la clasificación de Hoek & Marinos (2000); Barla (2001).

Aydan y otros (1996) Hoek y Marinos (2000)

Clase Grado del “squeezing”

( )%ε de la pared del túnel

Grado del “squeezing”

( )%ε de la pared del túnel

1 Sin ocurrencia 1≤aθε Sin ocurrencia 1≤tε

2 Ligero 0.20.1 ≤< aθε Ligero 5.21 ≤< tε

3 Medio 0.30.2 ≤< aθε Severo 0.55.2 ≤< tε

4 Severo 0.50.3 ≤< aθε Muy severo 0.100.5 ≤< tε

5 Muy severo aθε<0.5 Extremadamente

severo tε<0.10

La estimación de la resistencia a compresión simple del macizo rocoso es una

tarea compleja. Un modo posible de estimarla podría ser empleando al expresión

propuesta por Hoek y Marinos (2000) para este tipo de análisis:


93

( )GSImciicm iem 1.08.0 025.0029.10034.0 −+= σσ

Siendo, ciσ la resistencia a compresión simple de la roca intacta, im y GSI los

parámetros del criterio de rotura de Hoek y Brown.

2.5 Modelos utilizados con métodos numéricos

En una revisión completa de lo métodos numéricos empleados en la ingeniería

de la mecánica de rocas publicada por Brown (1987), los métodos para resolver

problemas con dimensiones limitadas del espacio, tratado como un medio continuo,

están divididas en dos clases: aquellas en donde es necesario hacer aproximaciones

dentro del dominio del contorno y aquellas en donde únicamente es necesario hacer

aproximaciones al contorno.

La primera también es llamada clase de los métodos diferenciales y la segunda

clase de los métodos integrales. Además hay una clase de métodos muy útil y de

desarrollo reciente que combina ambas clases en la resolución de los problemas

particulares del medio continuo.

Los modelos numéricos presentados a continuación son aquellos que representan

el dominio del problema como un medio continuo y que se resuelven a través de los

métodos diferenciales. Estos son los métodos de diferencias finitas (FDM) y de

elementos finitos (FEM) ambos son métodos diferenciales del medio continuo, los

cuales requieren que se haga aproximaciones físicas y matemáticas dentro del espacio

limitado por el contorno del problema, Fig. 2.62.

En el método de las diferencias finitas (FDM), las soluciones numéricas se

obtienen por las ecuaciones resolventes en un arreglo de puntos dentro del dominio del

problema. Mientras que en el método de los elementos finitos (FEM), el dominio del

problema está subdividido en elementos discretos, los cuales proporcionan una

aproximación a la continuidad de los desplazamientos y tensiones dentro del continuo.

Para el caso de un medio continuo e isótropo, actualmente existen códigos

informáticos muy potentes para el análisis de las tensiones y deformaciones producidas

por la fluencia. En estos códigos, los modelos reológicos están implementados a través

de los métodos de las diferencias finitas (FDM) y de los elementos finitos (FEM). En la

medida en que se tengan valores acertados de los parámetros reológicos que rigen la

respuesta del macizo, se podrá predecir confiablemente el comportamiento a lo largo del

tiempo.


94

Con relación a las soluciones analíticas mostradas en el apartado 2.4.3 con estos

métodos se pueden hacer el estudio del comportamiento de la convergencia en

condiciones diversas como:

• Túneles no circulares.

• Estado de tensiones iniciales anisótropo.

• Excavación a través de etapas múltiples.

• Condiciones tridimensionales debido al avance del frente de la excavación.

Fig. 2.62 Modelización del límite exterior de un problema en un medio continuo: (a) Métodos diferenciales, (b) Métodos integrales.


95

2.5.1 Modelos viscoelásticos

2.5.1.1 Modelo de BURGER

Este modelo está implementado en la versión 3.0 del código informático

FLAC3D de la consultora Itasca, Inc , que utiliza el método de las diferencias finitas.

Es el modelo mas completo empleado en la simulación numérica del medio

continuo isótropo, viscoelástico en distorsión angular y elástico en deformación

volumétrica.

Fig. 2.63 Configuración mecanicista del modelo de Burger (ITASCA; 2005).

De acuerdo con la configuración mecanicista mostrada en la Fig. 2.63, el modelo

simula la deformación elástica así como la fluencia primaria y secundaria de la

distorsión angular. El cambio volumétrico es elástico y lineal. Como todos los modelos

viscoelásticos su resistencia es infinita.

2.5.2 Modelos viscoelásticos-plásticos

2.5.2.1 Modelo CVISC

Este modelo implementado dentro de la versión 3.0 del código informático

FLAC3D simula el comportamiento de un medio reológico con comportamiento

volumétrico elasto-plástico perfecto y con comportamiento viscoelástico-plástico

perfecto en distorsión angular. La relación constitutiva en el rango de deformaciones

elásticas es lineal y sigue la ley de Hooke, en el rango de deformaciones viscoelásticas

obedece al modelo de Burger teniendo un criterio de rotura de Mohr-Coulomb.


96

Fig. 2.64 Esquema del modelo CVISC (ITASCA; 2005).

La Fig. 2.64 muestra la configuración mecanicista del modelo. El criterio de

plastificación es 0=f , y su formulación, empleando los ejes principales; es:

Plastificación en corte:

φσσ φ NcNf 231 +−=

Plastificación a tracción:

3σσ −= tf

Siendo c , la cohesión del material, φ el ángulo de rozamiento interno,

( ) ( )φφφ sin1/sin1 −+=N , tσ es la resistencia a tracción, 1σ y 3σ la tensión principal mayor

y la tensión principal menor respectivamente.

La función potencial de plastificación g tiene la forma:

Falla en corte:

ψσσ Ng 31 −=

Falla a tracción:

3σ−=g

Siendo ψ el ángulo de dilatancia y ( ) ( )ψψψ sin1/sin1 −+=N .

2.5.3 Modelos elasto/viscoplásticos

2.5.3.1 Modelo VIPLA

Este modelo propuesto por Lemaitre y Chaboche (1996) está basado en el

tratado de la viscoplasticidad de Perzyna (1966). Indica que la velocidad de

deformación puede ser desacoplada en una parte elástica y en otra viscoplástica del

modo siguiente:


97

vp

ij

e

ijij•••

+= εεε (2.51)

El tensor velocidad de deformación viscoplástica se calcula con la regla de flujo

siguiente:

( )ij

vp

ijg

Fσ

γε∂

∂Φ=

• (2.52)

Donde γ es el parámetro de fluidez, F es la función de sobretensión y

representa la distancia desde la superficie de plastificación 0=f , g es el potencial

viscoplástico y ijσ el tensor de tensión.

La dependencia del tiempo se introduce en este modelo modificando la regla

clásica de flujo de la elastoplasticidad y desechando además la regla de la consistencia

0,0 ≤= fdf , permitiendo de este modo que la función de plastificación f sea positiva

o negativa. El potencial viscoplástico g define la dirección de vp

ij•ε y F influye en su

modulo a través de la función Φ .

En este modelo F es representada por la función de plastificación f y, Φ es

una función de tipo potencial:

nn fF ==Φ

Siendo n un parámetro constitutivo ( )1>n . La función de plastificación f está

desacoplada en dos partes: una parte f que depende únicamente del estado de tensiones

y la otra parte que depende únicamente de la deformación viscoplástica.

Su formulación es la siguiente:

( )( )vp

ij

ij

k

ff

ε

σ=

Para la función f se supone que el criterio de plastificación es el de Von Misses

( ) qf ij =σ , siendo q el tensor desviador.

El potencial de endurecimiento con la deformación se introduce a través de la

función:

( ) ( ) nmvp

qvpijk

−= εε


98

Siendo m un parámetro constitutivo ( )01 ≤<− mn y vpqε la deformación

desviadora viscoplástica: vpvpq J

εε

,23/4= , donde vpJ

ε,2 es el segundo invariante del

tensor de deformación viscoplástica desviadora. Bajo esta hipótesis , la condición de

0=f de la superficie de plastificación está limitada únicamente a la condición de

cambio volumétrico y no cambia con el tiempo. El potencial viscoplástico g se supone

igual a f , por lo tanto la regla de flujo es asociada. Con todas estas suposiciones las

deformaciones viscoplásticas dependen únicamente del estado de la tensión desviadora,

las cuales no inducen cambio volumétrico. Por lo tanto la ecuación 2.52 queda como:

( ) ijmvp

qn

vp

ij sq εγε 1

23 −

•=

En donde los parámetros constitutivos m y n definen respectivamente la

dependencia que tiene el tensor velocidad de deformación viscoplástica del tensor de

deformación viscoplástica equivalente y de la tensión desviadora. El parámetro γ define

la amplitud de la deformación viscoplástica.

2.5.4 Otros modelos

2.5.4.1 Modelo POTENCIAL

Este modelo tambien está implementado en la versión 3.0 del código informático

FLAC3D de la consultora Itasca, Inc , que utiliza el método de las diferencias finitas.

El modelo simula un medio con comportamiento volumétrico elástico lineal y,

dependiente del tiempo únicamente en distorsión angular. No tiene función de

plastificación por lo tanto tampoco tiene potencial plástica.

La ecuación 2.53, expresa la velocidad de deformación por fluencia en distorsión

angular.

ncr Aσε =

• (2.53)

Siendo A y n propiedades del material, ( ) 2/12/1

23 d

ijdij σσσ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= con d

ijσ el tensor

desviador de tensiones. FLAC3D incluye una opción de este modelo con dos

componentes, la cual es útil para los casos en los que es justificable el cambio de las

propiedades del material debido al incremento de la tensión.

21•••

+= εεε cr (2.54)


99

2.5.4.2 Modelo CPOW

Este modelo de nuevo implementado en la versión 3.0 del código informático

FLAC3D de la consultora Itasca Inc, a través del método de las diferencias finitas. Es

un modelo viscoelástico-plástico que combina el modelo potencial viscoelástico con el

modelo elastoplástico de Mohr-Coulomb. La velocidad de la deformación ij•ε total está

compuesta por la suma de la eij

•ε elástica, la c

ij•ε viscosa y la p

ij•ε plastica.

El incremento de la tensión desviadora lo produce únicamente la eij

•ε y está

expresado del siguiente modo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

••••pij

cijijij eeeGS 2

Siendo ijS•

la parte desviadora del tensor velocidad de tensiones y ije•

la parte

desviadora del tensor velocidad de deformaciones. El módulo tangente de corte es G .

El incremento de la tensión isótropa únicamente lo produce la parte elástica de la

deformación volumétrica, de acuerdo con la siguiente expresión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

••• p

volvol eeK0σ

Siendo 3/3322110 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

••••

σσσσ , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

••••

332211 eeeevol y K es el módulo volumétrico

tangente.

La fluencia es activada por el tensor equivalente de Von Misses 23Jq = de

acuerdo con la ley potencial, siendo ( ) ijij SSJ 2/12 = el segundo invariante del tensor de

tensiones desviadoras y la velocidad de fluencia es:

ij

cr

c

ijSqee

∂∂

=••

La dirección del flujo debido a la fluencia se deriva de la definición de q :

q

SSq ij

ij 23

=∂∂

Por definición del modelo, la intensidad de la fluencia tiene dos componentes:

21

crcrcr eee•••

+=


100

Siendo:

⎪⎭

⎪⎬⎫

<

≥

⎩⎨⎧

=•

ref

refn

crq

qqAe

1

11

11

0 σ

σ

⎪⎭

⎪⎬⎫

>

≥

⎩⎨⎧

=•

ref

refn

crq

qqAe

2

22

22

0 σ

σ

ref1σ y ref

2σ son dos parámetros del modelo. La velocidad de deformación plástica

está definida en función de la función potencial de plastificación:

ij

p

volij

p

p

ij eg

ee δσ

•••−

∂∂

=31

Donde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

=••

332211 σσσggg

ee p

p

vol

La dirección del flujo plástico ij

gσ∂∂ se expresa utilizando la definición de la

función potencial de plastificación g. La intensidad del flujo plástico pe•

es derivada del

criterio de plastificación 0=f y su formulación empleando los ejes principales es:

Plastificación en corte:

φσσ φ NcNf 231 +−=

Plastificación a tracción:

3σσ −= tf

Siendo c , la cohesión del material, φ el ángulo de rozamiento interno,

( ) ( )φφφ sin1/sin1 −+=N , tσ es la resistencia a tracción, 1σ y 3σ la tensión principal mayor

y la tensión principal menor.

La función potencial de plastificación g tiene la forma:

Falla en corte:

ψσσ Ng 31 −=

Falla a tracción:

3σ−=g


101

Siendo ψ el ángulo de dilatancia, ( ) ( )ψψψ sin1/sin1 −+=N .

2.5.4.3 Modelo SHELVIP

El modelo elasto-viscoplástico con endurecimiento está basado en el tratado de

la viscoplasticidad de Perzyna (1966). En este modelo propuesto por Debernardi (2008)

la velocidad de deformación tiene las siguientes componentes:

vp

ij

p

ij

e

ijij••••

++= εεεε (2.55)

La función de plastificación f cumple con la ley de la consistencia 0=pf y está

definida por el criterio de Drucker-Prager:

ppp kpqf −−= α

La deformación plástica pijε depende de la regla de flujo plástico de la teoría

clásica de la elastoplasticidad:

ij

ppij

gσ

λε∂

∂=

Siendo, pqg pp ω−= el potencial plástico que define la dirección de pijε , pω la

dilatancia plástica y λ el multiplicador plástico, el cual puede ser determinado utilizando

la condición de consistencia: 0=pdf , 0≤pf .

La velocidad de la deformación viscoplástica vp

ij•ε se produce cuando el estado de

tensiones actuantes está por encima de la superficie viscoplástica 0=vpf y por debajo de

la superficie de plastificación 0=pf mostradas en la Fig. 2.65; ambas definidas por el

criterio de Druker Prager. Ambas superficies se interceptan en el eje p y gracias a ello

es posible plantear:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

p

pvpvp

kpqf

αα

Siendo vpα el parámetro viscoso de endurecimiento del material.

La velocidad de deformación viscoplástica vp

ij•ε se determina empleando la regla

de flujo de la teoría de la sobre tensión de Perzyna (1966):

( )ij

vpvp

ijg

Fσ

γε∂

∂Φ=

•


102

Donde la función de sobre tensión F se supone igual a la función viscoplástica

vpf y φ a través de la función potencial:

nvp

n fF ==Φ

Siendo n un parámetro constitutivo del material. El potencial viscoplástico

supuesto es pqg vpvp ω−= , siendo vpω la dilatancia viscoplástica. El endurecimiento de la

superficie viscoplástica está gobernado por al ecuación diferencial:

nm

vp

pp

vpvp

qf

kpf

mn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

•

αα

/1

Donde m y n son parámetros constitutivos del material.

Fig. 2.65 Esquema del modelo SHELVIP en el plano (p,q) (Barla; 2008)

103

3 Desarrollo de la solución propuesta

3.1 Hipótesis

En esta tesis, el estudio de la convergencia de la cavidad excavada en los medios

viscoelásticos- plásticos propuestos se realizará haciendo las siguientes hipótesis:

• Antes de la apertura del túnel, el medio está en condiciones tensionales

isótropas (K0=1).

• Medio isótropo y homogéneo.

• Túnel de sección circular y excavado a sección completa.

• El campo de tensiones es constante, no evoluciona con el tiempo ni con las

deformaciones.

• Análisis en deformación plana con simetría axial de tensiones y

deformaciones.

• El material tiene un criterio de rotura constante, el cual no depende de la

evolución de deformaciones en el tiempo.

• Las deformaciones en la zona del macizo, donde las tensiones no han llegado

a las condiciones de rotura tienen carácter viscoelástico. Sus relaciones

constitutivas son reológicas tanto en distorsión angular como en cambio

volumétrico.

• Las deformaciones en la zona del macizo donde las tensiones verifican las

condiciones de rotura, son la suma de dos componentes:

La primera componente es viscoelástica tanto en distorsión angular como en

cambio volumétrico, y sus constantes viscoelásticas pueden ser o no iguales a las de

la zona donde no se ha alcanzado el criterio de rotura.

La segunda componente tiene un carácter puramente plástico y está regida por

la ley de dilatancia del material, la cual no depende del tiempo (acrónica).

3.2 Elementos del campo tenso-deformacional del medio

De acuerdo con las hipótesis del apartado anterior la deformación de los medios

viscoelásticos-plasticos propuestos en esta tesis son sumativas:

( ) ( ) ( ) ( ) pvol

pvevol

vepve tttt εεεεεεε γγ +++=+= (3.1)

Capítulo 3 Convergencia del túnel en los medios viscoelásticos-plásticos propuestos.

104

Siendo: ( )tε la deformación total del medio en el instante t , ( )vet γε la deformación

angular viscoelastica, ( )vevoltε la deformación volumétrica viscoelastica, p

γε la

deformación angular plástica y, pvolε la deformación volumétrica plástica.

Como consecuencia, la parte de la deformación total del medio que evoluciona a

lo largo del tiempo es la componente viscoelástica:

( ) ( ) ( )vevol

ve ttt•••

+= εεε γ (3.2)

La deformación plástica es acrónica, únicamente depende de las condiciones de

contorno impuestas al medio y de su relación constitutiva plástica. Por lo tanto la

trayectoria de tensiones para el cálculo de esta componente de la deformación depende

del criterio de rotura del medio. Mientras que la relación entre las componentes de

deformación volumétrica y de distorsión angular plásticas dependen de su ley de

plastificación. El medio sufre deformaciones plásticas en aquellas zonas en donde el

campo de tensiones verifica el criterio de rotura.

La componente viscoelástica de la deformación depende de la parte reológica de

la relación constitutiva del medio. La trayectoria de tensiones para el cálculo de esta

componente de la deformación proviene de la teoría de la elasticidad lineal. Según Fung

(1965): “excepto por la relación constitutiva del medio, en la teoría de la

viscoelasticidad lineal ocurren las mismas ecuaciones que en la teoría de la elasticidad

lineal”.

Con las hipótesis del apartado anterior, las fuerzas de masa no intervienen, por lo

tanto el macizo estará sometido al estado inicial isótropo de tensiones mostrado en la

Fig. 3.1. Hipótesis de Heim: zK hvvh γσσσσ ==== ;1/0 ; siendo γ el peso específico

aparente y z la profundidad desde la superficie libre del medio hasta la profundidad del

eje del túnel, Fig. 3.1.

Debido a que el medio es homogéneo e isótropo las funciones relacionadas con

las propiedades mecánicas y reológicas del medio no dependen de la posición ni de la

orientación de los ejes del elemento dentro del medio.

Debido a la simetría axial de tensiones y deformaciones es conveniente utilizar

el sistema de coordenadas polares ( )θ,r mostrado en la Fig. 3.2.


105

Fig. 3.1 Condiciones de tensión inicial

uu

θr r

θ

a

Fig. 3.2 Orientación del sistema de coordenadas polares.

La excavación del túnel provoca la redistribución y reorientación de las

tensiones iniciales del medio alrededor del túnel. La simetría axial de tensiones y

deformaciones y el estado tensional inicial a compresión produce que: θσ sea la tensión

principal mayor orientada en la dirección tangencial a la cavidad del túnel y rσ sea la

tensión principal menor orientada en la dirección radial.

La Fig. 3.3. muestra el diagrama de sólido libre de un elemento diferencial

alrededor del túnel. Por la simetría axial, las ecuaciones de equilibrio interno se reducen

a plantear las condiciones de equilibrio del elemento diferencial en la dirección radial.

Su planteamiento produce la ecuación diferencial siguiente:

∑ = 0 radiales Fuerzas


106

rdr

d rr σσσ θ −= (3.3)

Utilizando las variables de Lambe ( )qp, , la ecuación anterior se puede escribir

como:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +±=drdq

rq

drdp 2

O en forma compacta:

( )qrddpr 22 ±=

Siendo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<−>+−

±=+

=r

rrr

sisi

qpσσσσσσσσ

θ

θθθ

22

Fig. 3.3 Tensiones en un elemento diferencial alrededor del túnel circular con simetría axial de tensiones.

La Fig. 3.4 muestra los estados o zonas de deformación del medio viscoelastico-

plástico alrededor del túnel. El campo de tensiones actuantes alrededor del túnel y la

relación constitutiva del medio provocarán, que el medio se deforme únicamente

viscoelasticamente o que además se presente una zona con deformaciones

viscoelásticas-plásticas.


107

Fig. 3.4 Estados de deformación alrededor del túnel.

3.2.1 La zona viscoelastica

Bajo las hipótesis de esta tesis, (indicadas en el apartado 3.1), según la solución

de Kirsch el campo de tensiones en coordenadas polares esta dado por las expresiones

siguientes:

0112

2

02

2

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= θθ τσσ rr r

aprap (3.4)

A partir del estado tensional inicial mostrado en la Fig. 3.1, en donde las

variables de Lambe eran 0pp = y 0=q , como resultado de la excavación del túnel que

provoca la redistribución y reorientación de las tensiones generando el campo de

tensiones expresado a través de las ecuaciones 3.4, p se mantiene constante y q

aumenta radialmente desde cero hasta su valor máximo en la interfase.

Las deformaciones a lo largo del tiempo t , de un elemento diferencial como el

mostrado en la Fig. 3.3 se estudiarán a través de sus componentes intrínsecas en

deformación plana: el cambio de volumen ( )tv o deformación isótropa y, el cambio de

forma, distorsión angular o deformación desviadora ( )tγ , calculados a través de las

expresiones siguientes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

<−>+

−±=+=ttsittsi

ttttttvr

rrr εε

εεεεγεε

θ

θθθ (3.5)

Siendo: ( )tθε la deformación principal mayor del elemento cuya orientación es la

direción tangencial y, ( )trε la deformación principal menor cuya orientación es la

dirección radial, asumiendo que se cumple el postulado de la coaxialidad.


108

Debido a que la presión isótropa 0p es constante no hay cambio volumétrico del

medio en esta zona, solamente ocurren deformaciones por distorsión angular, ecuación

3.6.

( ) ( )tt veγγ = (3.6)

Siendo ( )tveγ la deformación por distorsión angular total en el instante t como

consecuencia de la excavación del túnel que produce la tensión desviadora q en el

tiempo 0=t . La evolución, a lo largo del tiempo, de esta deformación depende de la

relación constitutiva viscoelastica del medio.

Fig. 3.5 Trayectoria de las deformaciones en la zona viscoelástica para un instante “t”.

Empleando la formulación mecanicista del medio viscoelástico isótropo y

homogéneo, tratada en el apartado 2.1.6.1, la componente en distorsión angular de esta

relación es:

( )∑∂∂

=∑∂∂

==

N

kijk

k

kij

N

k k

k

k tet

bt

a00

''σ (3.7)

Gracias a que según las hipótesis iniciales de este capitulo, el caso que se estudia

se puede asemejar al de la apertura repentina de una cavidad en un medio viscoelastico

que para 0<t estaba en equilibrio. Reescribiendo la ecuación 3.7 con las variables ya

identificadas en este capítulo, la relación constitutiva es:

( )∑

∂∂

=∑∂∂

==

N

k k

k

k

N

k k

k

kt

tbq

ta

00 2γ

En forma compacta, esta ecuación diferencial de grado N es:

( ) ( ) ( )211tDQqDP γ

=


109

En esta relación a ( )D se le denomina operador diferencial de tiempo, y tiene el

significado siguiente: k

kk

tD

∂∂

= . Por lo tanto, 11, QP son polinomios de grado N en D que

por equivalencia entre estas ecuaciones representan lo siguiente:

( ) ∑= ∂

∂=

N

k k

k

kt

aDP0

1 , ( ) ∑= ∂

∂=

N

k k

k

kt

bDQ0

1

Siendo: kk ba , coeficientes que así como N , dependen de la configuración

mecanicista del modelo viscoelástico.

Por lo tanto:

( ) ( )( ) qDQDPt

1

1

2=

γ (3.8)

Debido a que las deformaciones por fluencia son muy lentas, el problema se

puede tratar como “cuasi estático” e identificar la solución viscoelastica transformada al

dominio de la variable s de Laplace con la solución elástica correspondiente a las

mismas condiciones de contorno, fuerzas y geometría. Haciendo esto, la solución

viscoelastica transformada, obtenida de la teoría de la elasticidad lineal para la

distorsión en corte es:

ijij sGe '

21' σ= (3.9)

En donde la transformada de Laplace se simboliza con la barra colocada sobre la

función. Transformando la ecuación 3.8 para luego equipararla con la ecuación 3.9 se

obtiene que:

( ) ( )( ) qDQs

DPt

1

1

21

=γ (3.10)

( )( ) ( )sDQs

DPsG 0

1

1

21 φ==

De la que se obtiene que la expresión transformada del módulo de corte

viscoelastico es:

( )( )DPDQ

G1

12 = (3.11)

Después de resolver la función ( )s0φ se podría hallar la solución de la distorsión

angular haciendo la transformación inversa de la ecuación 3.10 con lo cual:


110

( ) ( )( ) ( ){ } ( )qtqsLqDQsDPLt 00

1

1

11

21 φφγ ==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= −− (3.12)

Siendo ( )t0φ la solución en el dominio del tiempo de ( )s0φ obtenida por

transformación inversa de la solución de esta última función. La implementación de

( )s0φ y su solución para los medios propuestos en esta tesis, se presenta en el apartado

3.3.

3.2.2 La interfase viscoelástica – viscoelastoplástica

La interfase es la frontera entre las dos zonas, Fig. 3.4. La Fig. 3.6 muestra el

estado de tensión que se verifica en la interfase para que se cumpla la condición de

equilibrio.

Fig. 3.6: a.) Círculo de Mohr de tensiones en la interfase; b.) Variables de Lambe ( )Rqp ,0 en la interfase.

La evolución de las deformaciones en la interfase es el resultado de la evolución

de las deformaciones de la zona viscoelástica, por lo tanto su expresión es:

( ) ( )( ) ( ){ } ( ) RRRR qtqsLqDQsDPLt 00

1

1

11

21 φφγ ==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= −− (3.13)

Cuyo procedimiento de deducción es mostrado en el apartado anterior, siendo

Rq el desviador que actúa sobre la interfase.

Las ecuaciones 3.5 de las deformaciones intrínsecas, teniendo presente que el

cambio volumétrico de la zona viscoelastica es nulo, Fig. 3.7b, permite hallar que:

( ) ( )tt RR γε θ 2

1=

La cual es la expresión de la convergencia de la interfase obtenida a partir de la

ecuación de compatibilidad de deformaciones del medio continuo (Fig. 3.7a).


111

Fig. 3.7: a.) Convergencia de la interfase b.) Circulo de Mohr de deformación de la interfase.

Además a partir de la convergencia de la interfase se puede hallar el corrimiento

de ella teniendo en cuenta que:

( ) ( )tR

ut RR =θε

Siendo: Ru el corrimiento y R el radio de la interfase.

3.2.3 La zona viscoelastica-plástica (zona rota)

La convergencia en el contorno del túnel ( )taθε , es el resultado de las

deformaciones viscoelásticas mas las deformaciones plásticas, ambas, por cambio de

volumen y por distorsión angular de la zona viscoelastica-plástica (a la que también se

le ha denominado zona rota porque el estado de tensiones está gobernado por el criterio

de rotura), la cual está sometida en la interfase a unas condiciones de contorno que

evolucionan con el tiempo en función de la reología de la zona viscoelástica, Fig. 3.8.

Fig. 3.8 Contornos de deformación de la zona viscoelastoplastica.


112

La Fig. 3.9 muestra la trayectoria de tensiones del medio en la zona viscoelástica

- plástica cuando el criterio de rotura del medio es lineal y la Fig. 3.10 cuando el criterio

de rotura es no lineal. En ambos casos la trayectoria de tensiones es gobernada por el

criterio de rotura del medio. Es decir que en esta zona el medio sufre un proceso de

carga neutra. Como se aprecia en esas figuras, esta zona está delimitada por la interfase

y la pared de la cavidad.

Fig. 3.9 Trayectoria de tensiones en la zona viscoelástica – plástica, en variables de Lambe (p,q), cuando el criterio de rotura es lineal.

F ig . 3 .10 Trayector ia de tens iones en la zona v i scoe lás t ica – p lás t ica , en va r iables de Lambe

(p ,q ) , cuando e l c r i t e r io de ro tura es no l inea l .

Un elemento diferencial de esta zona identificado como (M) en la Fig. 3.9 o Fig.

3.10 sufrirá la trayectoria de tensiones C-B-M, la cual produce la disminución ( )pq ∇∇ ,

con respecto al estado tensional ( )0, pqR en (B).


113

Esta variación de la presión isótropa y de la tensión desviadora, provocará en el

elemento diferencial deformaciones viscoelásticas por cambio volumétrico ( )tdv ver , y por

cambio de forma ( )td verγ .

La otra componente de las deformaciones del elemento, tendrán un carácter

puramente plástico, y estarán regidas por la ley de plastificación del material, las

mismas que se han considerado acrónicas. Éstas, sólo dependen del tiempo a través de

la condición de compatibilidad y de las condiciones de contorno.

Por lo tanto, las deformaciones intrínsecas de un elemento diferencial como el

mostrado en la Fig. 3.3, de esta zona, un tiempo t después de la apertura del túnel serán:

( ) ( ) ( ) ( ) pr

verr

pr

verr dtdtddvtdvtdv γγγ +=+= (3.14)

Siendo: ( )rtdv el cambio volumétrico total de esta zona, compuesto por la suma

del cambio volumétrico viscoelastico ( )tdv ver y el cambio volumétrico plástico p

rdv .

( )rtdγ el cambio de forma total, compuesto por el cambio de forma viscoelastico ( )td verγ

y por el cambio de forma plástico prdγ .

Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.2.1 para hallar la

expresión del cambio de forma viscoelastico, la ecuación de ( )td verγ en esta zona es:

( ) ( )( )

( ){ } ( )dqtdqsLdqDQsDPLtd rr

r

rver 00

1

1

11

21 φφγ ==

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= −− (3.15)

Con la diferencia de que la relación constitutiva viscoelastica es del medio en su

estado roto y del mismo modo las funciones ( )sr0φ y la transformada inversa de su

solución: ( )tr0φ .

Teniendo presente que el problema se trata como “cuasi estático”, la solución

viscoelastica transformada al dominio de la variable s de Laplace del cambio

volumétrico ( )tvd ver , obtenida por el principio de correspondencia a partir de la teoría de

la elasticidad lineal es:

( ) ( ) ( )dpsdpGs

tvd rur

rver φν 221

=−

= (3.16)


114

Siendo: rν la transformada Laplace del coeficiente de Poissón viscoelastico del

medio roto, rG la transformada de Laplace del módulo de corte viscoelástico del medio

roto y ( ) ( ) sGs rrru 2/21 νφ −= .

El procedimiento para hallar la expresión de rG es el utilizado en el apartado

3.2.1 y su expresión es:

r

rr

P

QG

1

1

21

= (3.17)

Donde: ( )DQ r1 y ( )DP r

1 son las transformadas de los polinomios de la relación

constitutiva viscoelastica en distorsión angular del medio en estado roto.

Empleando el principio de correspondencia entre la elasticidad lineal y la

viscoelasticidad lineal en el dominio de la transformada de Laplace, se halla que la

expresión de la transformada del coeficiente de Poisson viscoelastico rν es:

( )rr

rrr

GKGK232

23+

−=ν (3.18)

La expresión de rG es la ecuación 3.17 y la expresión de rK se halla

equiparando la relación constitutiva viscoelastica en cambio volumétrico transformada

con la solución viscoelastica transformada obtenida a través del principio de

correspondencia.

Empleando la formulación mecanicista del medio viscoelástico isótropo y

homogéneo, tratada en el apartado 2.1.6.1, la componente en cambio volumétrico de

esta relación es:

( )∑∂∂

=∑∂∂

==

N

kkkk

k

kkk

N

k k

k

k tet

dt

c00

σ

En forma compacta, esta ecuación diferencial de grado N es:

( ) ( ) kkr

kkr eDQDP

22=σ (3.19)

Siendo ( )D el operador diferencial de tiempo, y cuyo significado es: k

kk

tD

∂∂

= .

Por lo tanto, rr QP22 , son polinomios de grado N en D que por equivalencia entre estas

ecuaciones representan lo siguiente:


115

( ) ∑∂∂

==

N

k k

k

kr

tcDP

02, ( ) ∑

∂∂

==

N

k k

k

kr

tdDQ

02

Siendo: kk dc , coeficientes que así como N , dependen de la configuración

mecanicista del modelo viscoelástico.

La expresión 3.19 transformada es:

kkrkkr eQ

sP

22 =σ (3.20)

Por otra parte, teniendo en cuenta que el problema se está tratando como cuasi

estático, empleando el principio de correspondencia: la solución viscoelastica

transformada, obtenida de la teoría de la elasticidad lineal para el cambio volumétrico

es:

kkrkk

sKe σ

31

= (3.21)

En donde la transformada de Laplace se simboliza con la barra colocada sobre la

función. Equiparando las ecuaciones 3.20 y 3.21:

r

rr

P

QK

2

2

31

= (3.22)

Por lo tanto la expresión de rν en función de los polinomios de la relación

constitutiva del medio, hallada insertando las ecuaciones 3.22 y 3.17 en la ecuación 3.18

es:

rrrr

rrrrr

QPPQ

PQQP

2121

2121

2+

−=ν

Con lo cual la ecuación 3.16 en función de los polinomios de la relación

constitutiva del medio es:

( ) ( ) ( )dpsdpQPPQs

PPtvd rurrrr

rrver φ2

26

2121

21 =+

=

Después de resolver la función ( )sruφ se podrá hallar la solución del cambio

volumétrico haciendo la transformación inversa de la ecuación anterior, con lo cual:

( ) ( ) ( ){ } ( )dptdpsLdpQPPQs

PPLtdv ru

rurrrr

rrver φφ 22

232 1

2121

211 ==⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+= −− (3.23)


116

Siendo ( )tru

φ la solución en el dominio del tiempo de ( )sru

φ obtenida por

transformación inversa de la solución de esta última función. La implementación de

( )sruφ y su solución para los medios propuestos en esta tesis, se presenta en el apartado

3.3.

La componente plástica de la deformación total expresada por la ecuación 3.14

depende de la ley de dilatancia ψsen cuya expresión es:

pr

pr

ddv

senγ

ψ −=

La razón de dilatancia es una función de las tensiones de rotura y por lo tanto del

ángulo de rozamiento instantaneo ρ , Serrano (1976). Por lo tanto:

ρψ Nsensen =

Siendo dpdqsen /=ρ , y N un factor que dependerá de las propiedades dilatantes

del material, Serrano (1976). El conocimiento de la razón de dilatancia permite obtener

la forma del incremento de la deformación plástica pero no su magnitud. Esta viene

dada por las condiciones de contorno. Las formulaciones de las leyes de dilatancia

propuestas en esta tesis se presentan en el apartado 3.6.

En resumen, las ecuaciones siguientes:

( ) ( ) ( ) ( ) pr

verr

pr

verr dtdtddvtdvtdv γγγ +=+= (3.24)

Se pueden escribir como:

( ) ( ) pr

rr ddqttd γφγ +=

02 (3.25)

( ) ( ) pr

rur dvdpttdv += φ2 (3.26)

El criterio de rotura se supone constante, no depende de la evolución de

deformaciones en el tiempo. Hay varias formas de expresar el criterio de rotura. Por

simplicidad, para el análisis de los casos en deformación plana, como es este, se emplea

el criterio expresado en las variables de Lambe “p” y “q”:

( )pqq = (3.27)

Además por conveniencia de tipo matemático, el criterio de rotura se expresará

en forma normalizada (adimensional), dividiendo las tensiones por el módulo resistente


117

que en adelante se representará por β . Este módulo se definirá oportunamente para

cada criterio de rotura propuesto.

3.3 Configuración mecanicista de los medios propuestos

La Fig. 3.11 muestra la configuración mecanicista del medio viscoelástico –

plástico perfecto en corte. La componente viscoelástica está configurada por el medio

de Burger (apartado 2.1.6.1). A su vez, la componente plástica está configurada por el

patín conectado en serie. Al estar dispuestos en serie la deformación total en corte será

la suma de la deformación viscoelástica y la deformación plástica. Esta última se

producirá cuando la tensión aplicada llegue a la resistencia al deslizamiento ( )pq del

patín y según su ley de dilatancia ψ . Mientras que la deformación viscoelástica será

función de las constantes viscoelásticas del medio. Esta deformación será inmediata,

transitoria en el tiempo o también constante en el tiempo.

ψ2

ησ

1η

Fig. 3.11 Configuración mecanicista del medio propuesto (viscoelástico – plástico) en corte.

La configuración mecanicista del medio viscoelástico – plástico, en compresión

isótropa, se muestra en la Fig. 3.12. En este caso la componente viscoelástica está

configurada por el medio de Zener (apartado 2.1.6.1) o también llamado sólido estándar.

ψη σ

Fig. 3.12 Configuración mecanicista del medio propuesto (viscoelástico – plástico) en compresión isótropa.


118

3.4 Funciones temporales (viscoelásticas) de los medios

propuestos

Con independencia de la parte plástica, se calculan a continuación las

transformadas de los polinomios 1P , 1Q , 2P , y 2Q para implementar las transformadas

( )s0φ , ( )sr0φ y ( )sr

uφ de las funciones temporales del medio propuesto.

3.4.1 Medio en cambio volumétrico

Como se ha propuesto en la Fig. 3.12, en cambio volumétrico viscoelástico el

medio tiene la configuración del sólido de Zener y está formada por el medio de Kelvin

dispuesto en serie con el medio elástico de Hooke como se muestra a continuación:

ση

Planteando las condiciones de deformación del medio, se tiene que:

( ) ( ) elasticokk

kelvinkkkk etete += . A su vez por la disposición en serie de los sólidos que forman este

medio, la tensión en compresión isótropa en ambos sólidos es la misma con lo cual: elasticakk

kelvinkkkk σσσ == . Por su parte la relación constitutiva del sólido de Kelvin es;

( ) ( )tv

kkkelvinkk K

te∂+

=η

σ

13y para el medio elástico su relación es:

23Ke kkelastico

kkσ

= .

Valiéndonos de estas condiciones y relaciones constitutivas parciales se ha

planteado la siguiente relación constitutiva del medio propuesto:

( ) ( )teKKK

Kkktvkkt

v ∂+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ησ

η1

22

1 333

31 , siendo tt ∂

∂=∂

La que al transformarla al dominio de la variable s de Laplace se convierte en:

( ) ( )tesKsKK

Kkkvkk

v ηση

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 1

22

1 333

31 , de la cual se han obtenido los polinomios

siguientes de la relación en cambio volumétrico.

( ) sKsQ vη+= 12 3

( ) sKK

KsP v

22

12 3

1 η+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=


119

3.4.2 Medio en deformación por corte

A su vez en corte la configuración mecanicista de la componente viscoelástica

del medio propuesto es la siguiente (Fig. 3.11):

1η σ

η2

Este medio está formulado mecanicistamente por el medio de Kelvin dispuesto

en serie con el medio de Maxwell. Por la disposición de ambos medios se puede

plantear la siguiente condición en deformación; ( ) ( ) ( ) wellij

kelvinijij tetete max''' += .

A su vez en tensión se puede plantear la siguiente condición: well

ijkelvinijij

max''' σσσ == .

Por su parte la relación constitutiva para el caso de Kelvin es:

( ) ( )t

ijkelvinij G

te∂+

=112

''

ησ . Mientras que para el caso de Maxwell es:

( ) ijt

t

wellij

Gte '

12

' 22max ση

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

= .

Reemplazando las expresiones de ( ) ( ) wellij

kelvinij teyte max'' en la ecuación de ( )te ij' y

manipulando la ecuación resultante, se ha obtenido que la relación constitutiva del

medio completo es:

( ) ( ) ijttttijtt GGGGteG '

2222'2 2

2

1

2

1

2

1

2

1211 ση

ηη

ηη ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂+∂+∂+∂+=∂+∂

Siendo tt ∂

∂=∂ y

tt

∂∂

=∂2

2 la primera y segunda derivada parcial con respecto al

tiempo. La cual se puede expresar en el dominio de la variable s de Laplace como:

( ) ( ) ijij sG

sssGGG

tessG '22

22'2 2

2

1

2

1

2

1

2

1211 σ

ηηη

ηη ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=+

De la cual se ha obtenido que los polinomios de la función en corte son:

( ) 2111 2 ssGsQ η+=

( ) 2

2

1

2

1

2

1

2

11 2

12 sG

sGGGsP η

ηη

η+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=


120

3.4.3 Las funciones ( )s0φ , ( )sr0

φ y ( )sru

φ .

Por lo tanto, para el medio propuesto, las transformadas de las funciones

temporales de las ecuaciones 3.13, 3.15 y 3.23 serán las siguientes:

Para la zona viscoelástica:

( ) ( )( ) ( ) 2

11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

10

2

21

2

ssG

sG

sGGG

sQssP

sη

ηηη

ηφ

+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

==

Siendo: ( ) 2

2

1

2

1

2

1

2

11 2

12

sG

sGGG

sPη

ηη

η+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ( ) 2

111 2 ssGsQ η+=

Para la zona viscoelástica – plástica (zona rota):

( ) ( )( ) ( ) 2

2

1

1

11

2

1

2

1

2

1

2

1

0 2

21

2

ssG

sG

sG

GG

sQssP

srr

r

r

r

r

r

r

r

r

rr

η

η

η

η

ηφ

+

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++

==

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dcsbsass

hgsfses

sQsPsQsPs

sPsPs

rrrr

rrru

+++

+++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=23

23

1221

21

2

3φ

Siendo:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

rrrv

r

KGa

221

311ηηη

rvr

rrvr

rrvr

r

rr

r

rr

r

rv

r

G

G

K

G

K

K

G

Kb ηη

ηηη

η

η

ηη

2

1

2

11

2

11

2

11

2

1 22

3

23

3

2++++++=

rr

rr

r

rrr

r

rr

r

rv

rK

G

GK

K

GKG

KGc 1

2

11

2

111

2

11

2

1 66

22

64+++++=

η

η

η

η

r

rr KGd

2

1112

η=

rr

rv

r

KGe

22

1

2

ηη=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

r

r

r

r

r

r

r

r

r

rv

K

K

GG

G

Kf

2

1

2

1

2

1

2

1

21

2

31

η

η

ηη


121

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

r

r

r

r

r

r

rr

rv

r

G

G

K

K

K

Gg

2

1

2

1

2

1

22

1 1132

η

η

η

η

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

r

r

r

r

K

KGh

2

1

2

1 16

η

( ) 21

2

1

2

1

2

1

2

1

21

2s

Gs

G

GGsP

r

r

r

r

r

r

r

rr

η

η

η

η+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++= ( ) 2

1 112 ssGsQ rrr η+=

( ) sKK

KsP

r

rv

r

rr

22

1

312

η+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+= ( ) sKsQ r

vrr η+=12

3

3.4.4 Las funciones ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ

Para el estudio de la convergencia por fluencia es necesario expresar las

funciones temporales en el dominio del tiempo. Para ello es necesario hacer la

transformación inversa de la solución de las funciones ( )s0φ , ( )sr0φ y ( )sr

uφ con lo cual se

obtendría:

( ) ( ){ } ( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== −−

DQsDPLsLt

1

11 1

00φφ

( ) ( ){ } ( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

== −−

DQsDPLsLt r

rrr

1

11 1

00φφ

( ) ( ){ } ( )⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+== −−

rrrr

rrrr

QPPQsPPLsLt

uu

2121

211

23 1φφ

Para hacer la transformación inversa de un modo mecánico que se pueda

programar en un código informático, se ha elegido el procedimiento explicado a

continuación.

Debido a que en esta tesis se emplea la formulación mecanicista de los medios

visceolasticos las funciones ( )s0φ , ( )sr0

φ y ( )sru

φ son fracciones racionales propias de la

forma siguiente:

( ) ( )( )sNsMs =φ


122

Con la condición de que ( )sM es un polinomio en s cuyo grado como máximo

es ( )1−n siendo n el grado del polinomio ( )sN . Este requisito significa que ( ) 0→sφ

si es que ∞→s con lo cual ( )tφ es una función propia.

Factorizando el polinomio denominador ( )sN , la fracción polinómica anterior

( )sφ descompuesta en fracciones parciales es:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) rk n

rn

knn ssssssss

sMsNsMs

−−−−==

......2121

φ

La cual se puede escribir como:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )∑∑= = −

=−

++−

+−

++−

+−

==

r

i

n

jj

i

ji

nr

nrn

n

i

r

r

ssC

ssC

ssC

ssC

ssC

ssC

sNsMs

1 1

2

21

1

12

1

21

1

11 ......1

1φ

Siendo n el grado del denominador e igual a:

∑=

=+++=r

iir nnnnn

121 ...

De tablas de transformadas de Laplace:

( ) ( )

tsj

ji

iejt

ssL

!11 1

1

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−−

Por lo tanto la transformada inversa de ( )sφ es:

( ) ( )∑ ∑−

== =

−r

i

in

j

tisjij etjC

t1 1

1

!1φ

Siendo:

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ini

i

issijin

jin

iij ss

sNsNsNsM

dsd

jnC

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

−

−

,!

1

Para deducir la expresión de ijC se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Multiplicar ambos lados de la ecuación de ( )sφ por ( ) knkss − es decir por el

exponente mayor de la raíz ks :

( ) ( )( ) ( )

( )∑ ∑−

−=−= =

r

i

in

jj

i

jiknk

knk ss

Css

sNsMss

1 1 (3.28)


123

Si kss = todos los términos del lado derecho son cero, excepto el término

que tiene el denomidor ( ) knkss − el cual es

knkC . El lado izquierdo puede ser

calculado reduciendolo primero por el factor ( ) knkss − y luego reemplazando el valor

de kss = , con lo cual:

( )( )

( )

( )( )sNsM

sssNsMC

k

k

ksskn

k

knk =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

=

Siendo:

( ) ( )( ) kn

kk ss

sNsN−

=

Para la determinación de los demás coeficientes ijC al diferenciar la ecuación

3.28 con respecto a s :

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )∑ ∑−

−∑ ∑ −−

−=−

= =+

= =

− r

i

in

jj

i

jiknk

r

i

in

jj

i

jiknkk

knk

ssjC

ssss

Cssn

sNsMss

dsd

1 11

1 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )( )∑ ∑

−

−−−=

−= =

+

r

i

in

jj

i

jikikkn

k

ssCssjssn

sNsMss

dsd

1 11

Al sustituir kss = todos los términos del lado derecho son cero excepto el

que tiene el denominador ( ) 1−− knkss . El término con el denominador ( ) kn

kss − es cero

debido a que ahora 1−= knj . Por lo tanto el valor del lado derecho es:

( ) ( )( )

( )( )

kssk

k

kss

knk

knk sNsM

dsd

sNsMss

dsdC

==

− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=1

Diferenciando dos veces la ecuación 3.28 con respecto a s :

( )( )

( )( ) ( )( )∑ ∑

−−−−−

== =

+

−r

i

in

jijj

i

knk

knkik

k

Css

ssjssssndsd

sNsM

dsd

1 11

1

2

2

La cual se puede reescribir de la siguiente forma:

( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )∑ ∑

−−++−−−−−

−

=

= =+

− r

i

in

jijj

i

kikkikkknk

k

Css

ssjjssssjnssnnss

sNsM

dsd

1 12

222

2

2

121


124

Al sustituir kss = todos los términos del lado derecho son cero excepto el

que tiene el denominador ( ) 2−− knkss . Por lo tanto el valor del lado derecho es:

( )( )

ksskknk sN

sMdsdC

=

− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

2

2 21

Similarmente después de diferenciar p veces la ecuación 3.28 :

( )( )

ksskp

p

pknk sNsM

dsd

pC

=

− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

!1

Retornando a la notación ijC , ik = y jpnk =− con lo cual se obtiene la

expresión del coeficiente:

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ini

i

issijin

jin

iij ss

sNsNsNsM

dsd

jnC

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==

−

−

,!

1

Recordando que la transformada inversa de ( )sφ es:

( ) ( )∑ ∑−

== =

−r

i

in

j

tisjij etjC

t1 1

1

!1φ

En el capítulo V se muestra el código escrito en Matlab 7.0 para resolver las

funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ siguiendo el procedimiento que se ha

mostrado en este apartado.

3.5 Criterios de rotura de los medios propuestos

Hay varias formas de expresar el criterio de rotura. Por simplicidad, para el análisis de

los casos en deformación plana como es este, se ha empleado el criterio expresado en

las variables de Lambe “p” y “q”:

( )pqq = (3.29)

Además por conveniencia de tipo matemático, el criterio de rotura se ha

expresado en forma normalizada (adimensional), dividiendo las tensiones por el

“módulo resistente” que en adelante se representará por β y que se definirá

oportunamente para cada criterio de rotura propuesto.

Otro parámetro muy útil relacionado con el criterio de rotura es el ángulo de

rozamiento instantáneo ρ , (Serrano; 1976), definido por:


125

dpdqsen =ρ (3.30)

En esta tesis se proponen tres criterios de rotura del medio viscoelástico –

plástico, los cuales se presentan a continuación:

• Criterio lineal de Mohr

• Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)

• Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI<25).

3.5.1 Criterio lineal de Mohr

Este criterio normalizado y expresado a través de las variables de Lambe tiene la

expresión siguiente:

( ) φsenpq 1+=

Siendo en este caso el módulo resistente:

φβ ctgc=

A su vez el ángulo de rozamiento instantáneo queda expresado como:

( )1+=

pqsenρ

Donde: c es la cohesión y φ el ángulo de rozamiento del material. El ángulo de

rozamiento instantáneo ρ es constante y es igual a φ , Fig. 3.13.

Fig. 3.13 Criterio de rotura normalizado de Mohr (forma paramétrica de Serrano y Olalla).

3.5.2 Criterio no lineal de Hoek y Brown (GSI>25)

Este criterio se propone para los casos en que el criterio de rotura del medio se

ajusta mejor a la condición no lineal. Además según la propuesta de Hoek (1995) para el

caso de macizos con GSI>25.


126

En la forma paramétrica de Serrano y Olalla (2000), la expresión de este criterio

de rotura es:

( ) qqpp 222 20 +=+= ζ

Expresión que está normalizada con el módulo de resistencia:

8

cimσβ =

Siendo ζ el coeficiente de tenacidad, cuya expresión es:

2

8m

s=ζ

Siendo: sym los parámetros de caracterización de Hoek y Brown y ciσ la

resistencia a compresión simple de la roca sin juntas.

Para este criterio de rotura el seno del ángulo de rozamiento instantáneo queda

expresado por la siguiente ecuación:

qdp

dqsen+

==1

1ρ

Fig. 3.14 Criterio original de rotura normalizado de Hoek (forma parametrica de Serrano y Olalla).

3.5.3 Criterio no lineal de Hoek (GSI<25)

Propuesto por Hoek (1994) para macizos con GSI<25, y dilatancia nula es el

segundo criterio no lineal de rotura de los medios propuestos.

La expresión de este criterio, al igual que los casos anteriores, parametrizada por

Serrano y Olalla (2000) es la siguiente:

( )( )qqnpp k−+=+= 110 ζ (3.31)


127

La cual está normalizada con el modulo de resistencia β igual a:

cinA σβ =

Siendo, en la expresión del criterio de rotura; β el coeficiente de tenacidad

calculado con la expresión siguiente:

nmA

s=ζ

En este caso, el ángulo de rozamiento instantáneo estaría sería calculado a través

de:

kkq

sen+

=1

1ρ

Siendo: n

nk −=

1 , ( ) nn nmA /121 −−= , m, s y n los parámetros de Hoek y Brown.

Fig. 3.15 Criterio de rotura modificado normalizado de Hoek (forma parametrica de Serrano y Olalla).

3.6 Leyes de dilatancia de los medios propuestos

Como se sabe, la ley de dilatancia gobierna las deformaciones plásticas. En la

plasticidad perfecta solo se conoce la razón entre los incrementos de deformación

plástica pijdε que son el resultado de los incrementos de los corrimientos idu los que en

el lenguaje de la teoría de la plasticidad se les llama velocidades.

Así, la razón cambiada de signo, entre el incremento de deformación

volumétrica plástica pdv y el incremento de la distorsión máxima plástica pdγ está

definida como la “razón de dilatancia” o “razón de plastificación y en el caso de

deformación plana se expresa por ψsen :


128

p

p

ddvsenγ

ψ −=

Siendo: ppp dddv 31 εε += el incremento de deformación volumétrica plástica,

ppp ddd 31 εεγ −= el incremento de distorsión angular máxima plástica, pd 1ε y pd 3ε los

incrementos principales de deformación plástica (Fig. 3.16).

Fig. 3.16 Circulo de Culman del incremento de deformación plástica.

La razón de dilatancia ψsen , es función de las tensiones de rotura y por lo tanto

del ángulo de rozamiento instantáneo ρ . Esta es la ley de plastificación que aquí se

expresará por:

ρψ Nsensen =

Su conocimiento permite obtener la forma del incremento de deformación

plástica pdε . Dadas las tensiones de rotura, las componentes intrínsecas del incremento

de deformación plástica son:

λγ =pd

Ndv p λ−=

Donde la magnitud viene dada por el parámetro indeterminado λ , el cual

depende de las condiciones de contorno.

Una manera alternativa de enfocar la obtención del incremento de deformación

plástica es mediante la función potencial plástica:

( ) 0=− pgq


129

Por definición de la función potencial plástico ( )pg , las componentes del

incremento de deformación plástica son:

λγ =pd

dpdgdv p λ−=

Siendo el “vector incremento de deformación plástica” normal al potencial

plástico, Fig. 3.17:

Si se considera la ley de plastificación se tiene que:

dpdgsen =ψ

Si el potencial plástico es la misma función que el criterio de rotura ( ) ( )pgpq = ,

la ley de plastificación se llama asociada:

ρψ sendpdq

dpdgsen ===

Lo que quiere decir que los ángulos de rozamiento instantáneo y de dilatancia

son iguales.

Fig. 3.17 Criterio de rotura, potencial plástico y vector incremento de deformación plastica.

En general el ángulo de dilatancia de la roca es mucho menor que el ángulo de

rozamiento instantáneo, por lo tanto, frecuentemente la ley de dilatancia no es asociada.

Por este motivo en esta tesis se proponen también leyes de dilatancia no asociadas,


130

constantes y lineales, con las cuales se pueda reproducir más cercanamente la evolución

de las deformaciones plásticas del medio.

3.6.1 Ley de dilatancia constante

Se usa a menudo debido a su sencillez y se expresa con la siguiente ecuación:

0ψψ sensen =

Según la ley de plastificación, el trabajo plástico de las tensiones en la rotura es:

ppp

pppp pdsen

pqpd

ddv

pqpdvqdT γψγ

γγ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=Δ 0

El postulado de irreversibilidad de Praguer (1949) equivalente al 2º principio de

la Termodinámica establece que:

0≥Δ pT

En los criterios de rotura no lineales, pq / puede llegar a ser menor que 0ψsen

con lo cual se violaría el postulado de irreversibilidad (Fig. 3.18). Por lo tanto, se debe

ser prudente en estos casos y comprobar cuando se admita que 0ψψ = , no se viola este

postulado en la condición de tensiones actuantes.

Fig. 3.18 Condición de violación del postulado de irreversibilidad de Prager (después de Serrano, no publicado).

Por lo tanto se propone esta ley de dilatancia, principalmente para el caso del

criterio de rotura lineal de Mohr; en donde el ángulo de rozamiento interno φ es

constante.


131

La propuesta mas clara que se puede citar con relación a esta ley es la de Hoek y

Brown (1998). En la cual estos autores proponen valores del ángulo de dilatancia en

función a la calidad de los macizos rocosos. La Tabla 3.1 es un resumen de esa

propuesta y se puede utilizar como guía para elegir el ángulo de dilatancia cuando se

pretenda utilizar esta ley. Adicionalmente a esta propuesta, Veermer y otros, basados en

evidencia experimental de laboratorio, han propuesto un valor del ángulo de dilatancia

igual a 2/φ para rocas con GSI = 100.

Tabla 3.1 Valores de dilatancia en función al ángulo de rozamiento

Calidad del macizo GSI Ángulo de dilatancia ( 0ψ )

Muy buena 75 4/φ

Buena 50 8/φ

Muy pobre 30 0

3.6.2 Ley de dilatancia lineal

Es una ley no asociada de forma muy sencilla con la que se puede modelar el

comportamiento dilatante de los macizos rocosos con gran aproximación, Fig. 3.19.

Fig. 3.19 Significado de la ley de dilatancia lineal.

Su expresión es:

( )critcrit

sensensen

sensen ρρ

ρψ

ψ −−

=1

max (3.32)

Siendo: critρ el ángulo de rozamiento instantáneo a partir del cual el material

deja de ser dilatante positivo y maxψ el ángulo máximo de dilatancia que se produce

cuando el material está sometido a tracción simple. A partir de la escasa información

disponible sobre la dilatancia en rotura de las rocas proporcionada por: Mogi (1966),


132

Goodman (1980), Hoek y Brown (1980, 1997) y otros, Serrano y Olalla (2000)

elaboraron la Fig. 3.20.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

5 10 15 20 25

Angulo de rozamiento crítico (º)

Ang

ulo

de d

ilata

ncia

máx

imo

(º)

RMR 30

RMR 50

RMR 75

RMR 100

Fig. 3.20 Relación entre maxψ y critρ para distintos valores de RMR.

En esta figura se proponen ángulos de dilatancia máxima y de rozamiento crítico

en función al RMR89 (índice de Bieniawski según su propuesta del año 1989). Los

cuales se podrían utilizar para implementar la expresión de esta ley de dilatancia. Para

basar la elección de estos parámetros en función del GSI, se podría utilizar la siguiente

correlación con el RMR89 debida a Hoek (1998):

589 −= RMRGSI

Donde el 89RMR tiene la razón debida al nivel freático igual a 15 y la corrección

por la orientación de las juntas igual a cero.

Se debe mencionar que en esta tesis, la ecuación 3.32 que gobierna las

deformaciones plásticas según esta ley de dilatancia; se ha empleado en la forma

siguiente debida a Serrano y Olalla:

asensen −= ρλψ

Siendo:

crit

crit

crit sensen

senasen

senρ

ρψ

ρψ

λ−

=−

=11 max

max


133

En la resolución de las ecuaciones para hallar la convergencia además se

empleará el parámetro δ definido por:

( )21 a+

=λδ

La tabla siguiente muestra los valores de a , δ y λ obtenidos a partir de la Fig.

3.20.

Tabla 3.2 Valores sugeridos de λδ ya, en función del RMR.

RMR a δ λ

100 0.600 0.625 1.600

75 0.143 0.547 0.715

50 0.032 0.153 0.163

30 0 0 0

3.7 Planteamiento general del sistema de ecuaciones

resolvente

Reescribiendo la ecuación de equilibrio interno 3.3 de un elemento diferencial

de la zona rota empleando las variables de Lambe, siendo rσσ θ > y teniendo en cuenta

que en esta zona se verifica el criterio de rotura ( )pqq = , la ecuación de equilibrio

interno queda definida como:

( )dqqBr

dr=2 (3.33)

Siendo: ( )qsenqdq

dpqB 11111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρ

Por otra parte, derivando la ecuación de la convergencia, ( ) ( )trtu rr θε= , con

respecto a r la ecuación de compatibilidad se podría escribir como:

( ) ( ) ( )dr

tdrt

drtdu r

rr θθ

εε +=

Teniendo en cuenta que por definición: ( ) ( )tdr

tdu pr

r ε= , la ecuación anterior se

podría escribir como:

( ) ( ) ( )dr

tdrtt

rrp

rθ

θε

εε +=


134

De acuerdo con las expresiones de las deformaciones intrínsecas alrededor del

túnel se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttsittttttv rr

rrr

rr

rr

rr εεεεγεε

θθθ>−=+=

Con lo cual, la ecuación de la compatibilidad se puede escribir en las dos formas

alternativas siguientes:

( ) ( ) 0=+ tdrdrtd r

r θεγ

( ) ( ) ( ) 02 =++ rrr tdvr

drttd γγ

Insertando la ecuación 3.33 en las dos ecuaciones anteriores, éstas se pueden

escribir del siguiente modo:

( ) ( ) ( ) 02 =+ tddqtqB rr θεγ (3.34)

( ) ( ) ( ) ( ) 0=++ rrr tdvdqtqBtd γγ (3.35)

Por otra parte, la ecuación de la dilatancia se puede escribir en la forma

siguiente:

0=+ pr

pr dvsend ψγ

Eliminando los incrementos de deformación plástica de esta ecuación,

empleando para ello las ecuaciones 3.25 y 3.26; la ecuación anterior se transforma en la

expresión siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )dptdqsenttdvsentd ru

rrr φψφψγ 22

0+=+

Introduciendo en esta ecuación la condición de consistencia ρsendpdq =/ , esta

queda como:

( ) ( ) ( ) ( )dq

sent

senttdvsentdrur

rr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

ρφ

ψφψγ2

20

Eliminando de esta el incremento de deformación volumétrica, empleando para

ello la ecuación de compatibilidad 3.35, la expresión final de la ley de dilatancia sería:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+−

ρφ

ψφγγ

ψsen

tsenttqB

dqtd

senrur

rr 2

210

(3.36)


135

Esta ecuación junto con la ecuación 3.34, rescrita a continuación, forman el

sistema diferencial resolvente que rige la deformación viscoelástica-plastica.

( ) ( ) ( ) 02 =+ tddqtqB rr θεγ (3.37)

La integración de este sistema, permite obtener el valor de ( )taθε en la pared del

túnel ar = y con ello la convergencia ( )tua en el instante t después de la apertura del

túnel.

El sistema formado por las ecuaciones 3.36 y 3.37 es genérico, válido para

cualquier criterio de rotura que se pueda expresar de la forma ( )pqq = y cualquier ley de

dilatancia. Por lo tanto, es válido para el medio viscoelástico – plástico con cualquiera

de los criterios de rotura y leyes de dilatancia propuestos. Por otra parte se debe tener en

cuenta que las variables independientes de este sistema son q y t .

El método que se propone para la resolución de este sistema de ecuaciones es el

siguiente:

• Para el tiempo de interés 0>t , se debe resolver la ecuación diferencial en

( )trγ . La solución de esta ecuación teóricamente es sencilla ya que es de

primer orden con coeficientes solo dependientes de la variable independiente

q .

• Luego, la solución de ( )trγ en función de q se reemplaza en la segunda

ecuación del sistema diferencial resolvente y a través de una cuadratura se

obtiene la convergencia ( )taθε y con ella el desplazamiento de la pared del

túnel ( )tua .

Siguiendo este método, la solución genérica de ( )trγ , desarrollada con detalle en

el apéndice 1, es:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq

senqH

sentsentqqHtt

q

Rq

rur

RRr −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= ∫ exp

1exp22,exp 0 ψρ

φψφγγ (3.38)

Siendo:

( )[ ] ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− ∫ dqsen

qBqHψ1

expexp (3.39)

Por lo tanto:


136

( )[ ] ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− ∫q

qRR dq

senqBqqH

ψ1exp,exp

Insertando esta función, en la expresión de la convergencia relativa (ecuación

3.37) e integrándola se halla la expresión general de la convergencia:

( ) ( ) ( ) ( )∫−=−q

Rqr

Rr dqtqBtt γεε θθ 21 (3.40)

Las expresiones de cada una de las funciones involucradas en la ecuación

general de la convergencia, dependerán del criterio de rotura ( )pq , de la ley de

dilatancia ψsen y de las funciones viscoelásticas de fluencia del medio ( )t0φ , ( )tr0

φ y

( )tru

φ las cuales se presentan en los apartados siguientes, particularizadas para cada uno

de los medios propuestos.

3.8 Convergencia del túnel en los medios propuestos

3.8.1 Medio con criterio de rotura lineal y dilatancia constante

Fig. 3.21 Estado de tensiones alrededor del túnel en un medio con criterio de rotura de Mohr.

A continuación se presentan las expresiones de: los parámetros de resistencia, de

deformabilidad, de las condiciones de contorno, y con ello de la expresión de la

convergencia en función del tiempo, particularizadas para este criterio de rotura y ley de

dilatancia.

La trayectoria de tensiones alrededor del túnel es la mostrada en la Fig. 3.21.

3.8.1.1 Parámetros de resistencia

Criterio de rotura: ( ) ϕsenpq 1+=


137

Módulo resistente: ϕβ ctgc=

Cohesión: c

Angulo de rozamiento: ϕ

Coeficiente n: 11−=

ϕsenn

3.8.1.2 Parámetros de deformabilidad

Viscoelástica:

Funciones temporales: ( )t0φ , ( )tr0

φ y ( )tru

φ , las constantes viscoelásticas

del medio deben ser normalizadas con β .

Ley de dilatancia: 0ψψ sensen =

3.8.1.3 Tensiones de contorno

Estado de tensión inicial: 0p

Presión de sostenimiento: aσ

Presión crítica: n

p crit1

0 =

3.8.1.4 Condición de aparición de la zona viscoelástica-plástica.

Tensión inicial: critpp 00 >

Presión de sostenimiento: ( )( ) 1110 −−+=< ϕσσ senpRa

3.8.1.5 Planteamiento del sistema de ecuaciones resolvente

Ecuaciones del contorno:

En la pared del túnel: n

q aa

1+=

σ

En la interfase: ( ) ϕsenpqR 10 += ( ) ( ) RR qtt 02φγ =

( ) ( ) RR qtt 0φεθ

=

Cálculo de la distorsión angular:

( )qnqB =

( )[ ] ( ) 01

1exp,exp

ψ

ψ

senn

Rq

qRR q

qdqsen

qBqqH−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− ∫


138

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

R

senn

Rrur

senn

RRr q

qq

qsennsen

tsent

qq

qtt01

000

01

0 11222

ψψ

ψϕφ

ψφφγ

Cálculo de la convergencia:

Insertando esta expresión en la ecuación 3.40 e integrándola, se halla que la

convergencia a la distancia r desde el eje del túnel y dentro de la zona viscoelastica-

plástica es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

RRR

rur

senn

RR

r

qqq

nsen

qq

sent

sentsenn

nq

qsenqtt

En el apéndice 1 se presenta detalladamente el procedimiento seguido para llegar

a esta expresión.

Particularizando la expresión para el caso de la pared del túnel, se obtendría la

expresión de ( )taθε en la que el parámetro de Lambe sería aqq = .

En el capitulo V, se presenta el código informático escrito en Matlab 7.0 con el

que se puede hallar la convergencia de la pared del túnel en el medio viscoelástico-

plástico con el criterio de rotura y la ley de dilatancia propuestos en este apartado.

3.8.2 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI>25) y ley de

dilatancia lineal

Al igual que para el caso anterior, aquí se presenta la solución particular de la

convergencia para 0>t después de la apertura del túnel. En este caso la trayectoria de

tensiones es la mostrada en la Fig. 3.22, la misma que corresponde al criterio de rotura

no lineal de Hoek y Brown para GSI>25. Así mismo la ley de dilatancia del medio es

lineal.


Criterio de rotura: qq

P +=+2

2

ζ

Módulo resistente: 8

cimσ

β =

Coeficiente de tenacidad: 2

8m

s=ζ


139

Siendo ciσ la resistencia a compresión simple de la roca sin juntas, m y s

parámetros del criterio de rotura


Viscoelástica:

Funciones temporales: ( )t0

φ , ( )tr0

φ y ( )tru


deben estar normalizadas con el módulo resistente β .

Ley de dilatancia plástica: ( ) asenaasensen −+=−= ρδρλψ 21




Presión crítica: ζ20 =critp


Tensión inicial: critpp 00 >

Presión de sostenimiento: ( ) 121 00 ++−+=< ζσσ ppRa



En la pared del túnel: ( )ζσ += aaq 2

En la interfase: ( ) 121 0 −++= ζpqR ( ) ( ) RR qtt0

2φγ =

( ) ( ) RR qtt

0φε

θ=


( )qsen

qBq

sen 1111

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+=

ρρ

Empleando el cambio de variable: δ−++

=aq

x11

( )[ ] ( ) δδ

ψ−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− ∫ xexedqsen

qBqqH xR

Rxq

qRR 1

exp,exp


140

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

∫∫∫

∫∫−+

−−−−−−−

dxxedxxedxxe

exatdxxeadxxeextxexeqtt

x

xR

xx

xR

xx

xR

x

xru

x

xR

xx

xR

xxrxR

RxRr

121

100

2

1222

δδδ

δδδδδδ

δδ

φδφφγ


Insertando esta función en la ecuación 3.40 e integrándola se halla la expresión

siguiente de la convergencia a la distancia r desde el eje del túnel y dentro de la zona

rota:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−

dxxexedxxexedxxexeat

dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

x

xR

x

xR

xxx

xR

x

xR

xxx

xR

xx

xR

xru

x

xR

x

xR

xxx

xR

xx

xR

xr

x

xR

xR

RxRR

r

1212

10

00

21

1

1

δδδδδδ

δδδδ

δδθ

δδφ

δφ

φφε

El procedimiento detallado seguido para llegar a esta expresión se presenta en el

apéndice 1. El cálculo de la convergencia para este caso, se realiza a través de una serie

sucesiva de cuadraturas. En el capitulo V se presenta el código informático escrito en

Matlab 7.0 con el que se calcula la evolución, en el tiempo, de la convergencia del túnel

excavado en el medio viscoelástico-plástico propuesto en este caso.

3.8.3 Medio con criterio de rotura no lineal (GSI<25) y ley de

dilatancia nula

Fig. 3.22 Estado de tensión alrededor del túnel en un medio con criterio de rotura generalizado de Hoek.

Al igual que en los casos anteriores, aquí se presenta la solución particular de la

convergencia para 0>t después de la apertura del túnel. En este caso la trayectoria de

tensiones es la mostrada en la Fig. 3.22, la misma que corresponde al criterio de rotura


141

no lineal de Hoek y Brown para GSI<25. Para este caso: siguiendo la propuesta de

Hoek (1998), la cual ha sido tratada en el apartado 3.6.1, la dilatancia del medio es nula.


Criterio de rotura: ( )( )qqnP k−+=+ 11ζ

Módulo resistente: cinA σβ =

Coeficiente de tenacidad: nmA

s=ζ

Siendo: ciσ la resistencia a compresión simple de la roca sin juntas, m s y n

parámetros del criterio de rotura, ( ) nn nmA

1

21−

−= y, n

nk −=

1


Viscoelástica:

Funciones temporales: ( )t0

φ , ( )tr0

φ y ( )tru


deben estar normalizadas con el módulo resistente β .

Ley de dilatancia plástica: 0=ψsen (propuesta de Hoek y Brown (1997), para

macizos rocosos con GSI<25).




Presión crítica: n

ncrit n

p ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=10ζ


Tensión inicial: 000 ≅> critpp

Presión de sostenimiento: ( ) nnRRa qn ζσσ −−=<1

1



En la pared del túnel: n

naa n

q ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=1

ζσ


142

En la interfase: ( )( ) RkRn qqnp −+=+ 110 ζ ( ) ( ) RR qtt

02φγ =

( ) ( ) RR qtt

0φε

θ=


( ) 1

11 −=

+= k

k kqqBkq

senρ

( )[ ] ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=− ∫kRqkqq

qRR edq

senqBqqH

ψ1exp,exp

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − k

RqR

kqkqru

kqkRq

Rr eqqeeteqtt φφγ 220


Insertando esta función en la ecuación 3.40 e integrándola se ha hallado la

expresión siguiente de la convergencia a la distancia r desde el eje del túnel dentro de

la zona viscoelástica-plástica:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

11

110

kqkRq

RkR

kru

kqkRq

Rr eqqq

kkteqtt φφε

θ

Al igual que en los casos anteriores, el procedimiento detallado seguido para

llegar a esta expresión se presenta en el apéndice 1.

Particularizando la expresión para el caso de la pared del túnel, se obtendría la

expresión de ( )taθε en la que el parámetro de Lambe sería aqq = .

En el capitulo V, se presenta el código informático escrito en Matlab 7.0 con el

que se puede hallar la convergencia de la pared del túnel en el medio viscoelástico-

plástico con el criterio de rotura y la ley de dilatancia propuestos en este apartado.

3.9 Convergencia del túnel con presión interior constante

En este apartado, se propone el método de cálculo de la evolución de la

convergencia de la cavidad cuando existe una presión interior constante. El método está

basado en el concepto de las líneas características de los medios reológicos, las cuales

evolucionan con el tiempo. Se propone para los casos de túneles en los que se espera

grandes deformaciones por fluencia y cuyos sostenimientos ejercen presión de soporte

constante después de la deformación inicial elástica. Este tipo de sostenimiento podría

ser el caso formado por cimbras metálicas con juntas deslizantes colocadas


143

tempranamente. En la Fig. 3.23 se muestra el detalle de este tipo de junta en la cimbra

conocida como “Top Hat”.

El método que se presenta es gráfico. En él se hace uso de la evolución de las

líneas características del medio y de la presión de deslizamiento de la junta ( yaσ ). Para el

cálculo propuesto aσ sería igual a yaσ . En el tipo de cimbra mencionado en el párrafo

anterior, puede suceder que la presión máxima durante el deslizamiento sea menor que

la máxima soportada antes de que se produzca el deslizamiento. Esto debido a que el

coeficiente de rozamiento dinámico ( dμ ), sea menor que el coeficiente de rozamiento

estático ( sμ ). El método propuesto continuaría siendo válido debido a que; en el

concepto de las líneas características la trayectoria de tensiones de la presión de

sostenimiento es decreciente.

Fig. 3.23 Ensamblaje de las juntas deslizantes de las cimbras “Top Hat”.

La evolución, con el tiempo, de la línea característica del medio dependería de

las condiciones de contorno siguientes:

• De la profundidad a la que se halla el túnel, si se cumple que crtpp 00 > y que

Ra σσ < , condiciones que han sido definidas en el apartado 2.2.2. En ese

caso, la línea característica tiene un tramo viscoelástico y otro viscoelástico-

plástico. De lo contrario la línea característica es viscoelástica únicamente.

En este caso no se produce la zona rota alrededor del túnel, ni la interfase

viscoelástica-plástica, con lo cual las deformaciones alrededor del túnel son

únicamente de tipo viscoelástico.

• De la tensión desviadora máxima ( q ) producida por la excavación del túnel.

Cuando esta tensión, es menor que la resistencia a largo plazo del medio, la

evolución de la línea característica será temporal debido a que únicamente se

producirá fluencia transitoria. En este caso la convergencia del túnel


144

sostenido ( ( )taθε ) tenderá hacia un valor finito como se pretende ilustrar en la

Fig. 3.24. La magnitud de la convergencia dependerá de la tensión de

deslizamiento de la junta ( yaσ ) y de los valores de las propiedades reológicas

del medio. Cuando el valor máximo de la tensión desviadora ( q ) producida

por la excavación del túnel es mayor que el de resistencia a largo plazo del

medio, la evolución de la línea característica será continua a lo largo del

tiempo. Esto debido a que además de la fluencia transitoria el medio sufrirá

también fluencia secundaria. En este caso, la evolución de la convergencia

( )taθε continuará hasta la ocurrencia del colapso por fluencia terciaria.

Fig. 3.24 Método propuesto para calcular la evolución de la convergencia de la cavidad con presión de sostenimiento constante.

Los pasos del método propuesto son:

• Dibujar las líneas características para diferentes tiempos, abarcando el

periodo de tiempo del estudio, como se muestra en la Fig. 3.24.

• Obtener la evolución de la convergencia, en el tiempo, a partir de leer en las

líneas características de la cavidad: el valor correspondiente a la presión de

sostenimiento ( yaσ ).

En el capitulo 5, se presenta la implementación informática del método

propuesto. En ese capítulo, se muestra el código informático denominado “lincar”, con

el cual se puede calcular y dibujar las líneas características del medio para diferentes

instantes de tiempo. Además, empleando este código, se muestran las soluciones de los

casos resueltos para los diferentes medios propuestos en esta tesis.

145

4 Obtención experimental de los parámetros del

medio

4.1 Respuesta total del medio

De acuerdo con las hipótesis del capítulo anterior las deformaciones de los

medios viscoelásticos-plásticos propuestos en esta tesis son sumativas:

( ) ( ) ( ) ( ) pvol

pvevol

vepve tttt εεεεεεε γγ +++=+=

Siendo: ( )tε la deformación total del medio en el instante t , ( )vet γε la deformación

angular viscoelástica, ( )vevoltε la deformación volumétrica viscoelástica, p

γε la

deformación angular plástica y, pvolε la deformación volumétrica plástica.

Como consecuencia, la parte de la deformación total del medio; que evoluciona

a lo largo del tiempo es la componente viscoelástica:

( ) ( ) ( )vevol

ve ttt•••

+= εεε γ

La deformación plástica es acrónica, únicamente depende de las condiciones de

contorno impuestas al medio, del criterio de rotura y de la ley de dilatancia. La relación

entre las componentes de deformación volumétrica y de distorsión angular plásticas

depende de su ley de dilatancia. El medio sufre deformaciones plásticas cuando el

campo de tensiones verifica el criterio de rotura.


plástico perfecto en distorsión angular con comportamiento viscoelástico de tipo

Burger, criterio de rotura )( pqq = el cual puede ser cualquiera de los criterios tratados

anteriormente en el apartado 3.5, y ley de dilatancia )(ρψψ = tratada anteriormente en

el apartado 3.6.

La determinación de las constantes reológicas, en distorsión angular, del medio

se puede realizar ajustando la parte desviadora de la respuesta teórica viscoelástica a la

parte desviadora de la curva experimental del ensayo de fluencia.


plástico perfecto en cambio volumétrico con comportamiento viscoelástico de tipo EKS,

criterio de rotura )( pqq = el cual puede ser cualquiera de los criterios tratados

Capítulo 4 Experimentación y determinación de los parámetros del modelo

146

anteriormente en el apartado 3.5, y ley de dilatancia )(ρψψ = tratada anteriormente en

el apartado 3.6.

La determinación de las constantes reológicas, en cambio volumétrico, del

medio se puede realizar ajustando la parte volumétrica de la respuesta del modelo

viscoelástico a la parte volumétrica experimental del ensayo de fluencia.

ψ2

ησ

1η

Fig. 4.1 Configuración mecanicista del modelo viscoelástico – plástico en distorsión angular.

ψη σ

Fig. 4.2 Configuración mecanicista del modelo viscoelástico – plástico en cambio volumétrico.

4.2 Componente viscoelástica de la respuesta

La Fig. 4.3 muestra la configuración mecanicista viscoelástica del medio en

compresión isótropa.

En este modelo la deformación volumétrica total es: ( ) ( ) elasticokk

kelvinkkkk etete += y la

tensión isótropa es 3/kkσ . elasticakk

kelvinkkkk σσσ == , siendo ( ) ( )tv

kkkelvinkk K

te∂+

=η

σ

13 la

deformación temporal, y 23K

e kkelasticokk

σ= la deformación inmediata.

La relación constitutiva del modelo es la siguiente expresión:

( ) ( )teKKK

Kkktvkkt

v ∂+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ησ

η1

22

1 333

31


147

Siendo; tt ∂

∂=∂ , el operador diferencial con respecto al tiempo, en la notación

corta mostrada en el apartado 2.1.6.1 la relación constitutiva anterior es:

( ) ( ) ( )teDQDP kkkk 22 =σ

Siendo t

D∂∂

= , por lo tanto en la ecuación anterior los términos son polinomios

del operador diferencial del tiempo.

ση

Fig. 4.3 Configuración mecanicista de la componente viscoelástica del medio en compresión isótropa.

Empleando la transformación de Laplace para el cálculo de la respuesta

viscoelástica tal como se ha mostrado en el apartado 2.1.6.1.1 del capítulo anterior, la

transformada de la relación constitutiva en notación corta es:

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP kkkk 22 =σ

Siendo para este caso particular: ( ) sKsQ vη+= 12 3 y ( ) sKK

KsP v

22

12 3

1η

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ambos

polinomios de la variable “s” de Laplace.

Teniendo presente que el tensor de tensión isótropa es constante, la ecuación

anterior se puede escribir como:

( ) ( ) ( )sesQs

sP kkkk

22 =σ (4.1)

Por otra parte, teniendo en cuenta que el fenómeno de la fluencia se está tratando

como cuasi estático; empleando el principio de correspondencia con la teoría de la

elasticidad lineal, la solución viscoelástica transformada, para el cambio volumétrico es:

( ) kkkksK

se σ3

1=

Equiparando estas dos últimas ecuaciones, se halla la expresión del módulo

volumétrico en el dominio de la transformada de Laplace:


148

( ) ( )( )sPsQ

sK2

23 =

O también:

( )

( )( )sPsQ

sK 2

2

31

=

Por lo tanto, la ecuación (4.1) que es la expresión de la componente viscoelástica

en cambio volumétrico en el dominio de la transformada de Laplace se puede escribir

del siguiente modo:

( ) ( )( )

( ) kkvolkkkkkk ssPssQ

sKse σφσσ ===

2

2

31

Haciendo la transformación inversa de ( )sekk se obtiene la respuesta en el

dominio del tiempo:

( ) ( )( )

( ){ } ( ) kkvolkkvolkkkkkk tsLsPssQ

LsK

Lte σφσφσσ ==⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −−− 1

2

211

31

De la expresión anterior, se deduce que el cálculo de la respuesta viscoelástica

del medio formulado de modo mecanicista; consiste en resolver la función ( )svolφ en el

dominio de la variable “ s ” de Laplace para luego a través de la transformación inversa

de Laplace hallar la función ( )tvolφ .

Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.3.5.2 se obtiene la

expresión de esta función del modo siguiente:

( ) ( )( ) ( )sKs

sKK

K

sPssQ

sv

v

vol η

η

φ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==1

22

1

2

2

33

1

La cual se puede escribir del siguiente modo; factorizando el polinomio

denominador:

( ) ( )( )

( )( )sNsM

Kss

sKK

K

sPssQ

s

v

vvol =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

η

ηφ

1

22

1

2

2

3

3111

La función temporal ( )tvolφ será de la forma:


149

( ) ( ){ } ( )∑ ∑−

=== =

−− r

i

in

j

tisjijvolvol et

jC

sLt1 1

11

!1φφ

En la que las raíces del denominador son 01 =s y v

Ksη

12

3−= , por lo tanto el

número de raíces es 2=r y el número de veces que se repite cada una es 1=in . Con lo

cual la expresión de la función temporal será:

( ){ } ( )t

v

K

volvol eCCtsL ηφφ13

21111

−− +==

Siendo:

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

v

s Ks

sNsNsNsM

dsdC

η1

101

0

0

11 3,

!01 , por lo tanto: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2111 3

13

1KK

C

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

ssNsN

sNsM

dsdC

v

Ks

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−=

2132

0

0

21 ,!0

1

η

, con lo cual: 1

21 31K

C −=

Reemplazando los valores de los coeficientes y las raíces, se obtiene que la

función temporal en el dominio del tiempo es:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

− tv

K

vol eKK

t ηφ13

12

13

13

1

Finalmente la respuesta del cambio volumétrico en el dominio del tiempo se

puede escribir como:

( ) kk

tv

K

kk eKK

te ση

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

− 13

12

13

13

1

σ3K

kk

2

1

kk

3Kσ σ

3Kkk

2+kk

Fig. 4.4 Forma de la respuesta viscoelástica, en cambio volumétrico, del medio.


150

La Fig. 4.4 muestra la forma de esta respuesta viscoelástica; la cual está formada

por una deformación inmediata y luego una deformación diferida en el tiempo debido a

la fluencia transitoria la que se detiene con el transcurso del tiempo.

En este modelo, ( ) ( ) ( )maxwellkelvin ''' ijijij tetete += y maxwell''' ijkelvinijij σσσ == , siendo

( ) ( )t

ijkelvinij G

te∂+

=112

''

ησ , y ( ) ij

t

t

ij

Gte '

12

' 22maxwell ση

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

= . Reemplazando las expresiones de

( ) ( ) wellij

kelvinij teyte max'' en la ecuación de ( )te ij' y operando, se obtiene que la relación

constitutiva del modelo se puede escribir de la siguiente manera:

( ) ( ) ijttttijtt GGGGteG '

2222'2 2

2

1

2

1

2

1

2

1211 ση

ηη

ηη ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂+∂+∂+∂+=∂+∂

Siendo; tt ∂

∂=∂ , y

tt

∂∂

=∂2

2 .

En la notación corta mostrada en el apartado 2.1.6.1 la relación constitutiva


( ) ( ) ( )teDQDP ijij '' 11 =σ

Siendo t

D∂∂

= .

La Fig. 4.5 muestra la configuración del medio en distorsión angular.

1η σ

η2

Fig. 4.5 Configuración mecanicista de la componente viscoelástica del modelo en distorsión angular.

Empleando la transformación de Laplace para el cálculo de la respuesta

viscoelástica tal como se ha mostrado en el apartado 2.1.6.1.1 del capítulo anterior, la

transformada de esta relación constitutiva en notación corta es:

( ) ( ) ( ) ( )sesQssP ijij '' 11 =σ

Siendo para este caso particular: ( ) 2111 2 ssGsQ η+=

( ) 2

2

1

2

1

2

1

2

11 2

12 sG

sGGGsP η

ηη

η+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ambos polinomios de la variable “s” de Laplace.


151

Teniendo presente que el tensor de tensión desviadora es constante, la ecuación


( ) ( ) ( )sesQs

sP ijij ''

11 =σ (4.2)

Por otra parte, teniendo en cuenta que el fenómeno de la fluencia se está tratando

como cuasi estático empleando el principio de correspondencia con la teoría de la

viscoelasticidad lineal, la solución viscoelástica transformada, obtenida de la teoría de la

elasticidad lineal para la distorsión angular será:

( ) ijij sGse '

21' σ=

Equiparando estas dos últimas ecuaciones, se halla que la expresión del módulo

corte en el dominio de la transformada de Laplace es la función polinómica real

siguiente:

( ) ( )( )sPsQ

sG1

12 =

O también:

( )

( )( )sPsQ

sG 1

1

21

=

Por lo tanto, la ecuación (4.2) que es la expresión de la componente viscoelástica

en distorsión angular en el dominio de la transformada de Laplace se puede escribir del

siguiente modo:

( ) ( )( )

( ) ijijijij ssPssQ

sGse '''

21'

1

1 σφσσ γ===

Haciendo la transformación inversa de ( )se ij' se obtiene que la respuesta en el

dominio del tiempo es:

( ) ( )( )

( ){ } ( ) ijijijijij tsLsPssQ

LsG

Lte ''''2

1' 1

1

111 σφσφσσ γγ ==⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧= −−−

Al igual que para la componente en cambio volumétrico, para este caso el

cálculo de la respuesta viscoelástica del medio formulado de modo mecanicista;

consiste en resolver la función ( )sγφ en el dominio de la variable “ s ” de Laplace para

luego a través de la transformación inversa de Laplace hallar la función ( )tγφ .


152

Siguiendo el procedimiento mostrado en el apartado 3.3.5.2 se obtiene la

expresión de esta función es:

( ) ( )( ) ( )2

11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

22

12

ssGs

sG

sGGG

sPssQ

sη

ηηη

ηφγ +

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

==

La cual se puede escribir del modo siguiente factorizando el polinomio

denominador:

( ) ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

==

sGs

sG

sGGG

sPssQ

s

1

12

2

2212

1

112

1

1

1

2

211112

η

ηηηηηφγ

La función temporal ( )tγφ será de la forma:

( ) ( ){ } ( )∑ ∑−

=== =

−− r

i

in

j

tisjijvolvol et

jC

sLt1 1

11

!1φφ

En la que las raíces del denominador son 01 =s y 1

12

2ηGs −= , por lo tanto el

número de raíces es 2=r y el número de veces que se repite cada una es 21 =n y 12 =n .

Con lo cual la expresión de la función temporal será:

( ){ } ( )tG

eCtCCtsL 112

2112111 η

γγ φφ−

− ++==

Siendo:

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

1

11

011

1

11 2,

!11

ηGs

sNsNsNsM

dsdC

s

, con lo cual: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

2111 2

12

1GG

C

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

1

11

010

0

12 2,

!01

ηGs

sNsNsNsM

dsdC

s

, con lo cual: 2

121

η=C

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

22

1122

0

0

21 ,!0

1s

sNsNsNsM

dsdC

Gs

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−=η

, con lo cual: 1

21 21G

C −=

Reemplazando los valores de los coeficientes y las raíces, se obtiene que la

función temporal en el dominio del tiempo es:

( ) teGG

tt

G

2

112

12

112

12

1η

φ ηγ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

−


153

Finalmente reemplazando esta expresión de ( )tγφ en la componente en distorsión

angular de la relación constitutiva viscoelástica, se obtiene que la respuesta en

distorsión angular en el dominio del tiempo es:

( ) ij

tG

ij teGG

te '112

12

1'2

112

12

ση

η

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

−

La Fig. 4.5 muestra la forma de esta respuesta viscoelástica; en la cual se

observa que el medio sufre deformación inmediata y deformación retrasada en el

tiempo. Este retraso en la respuesta ocurre con velocidad decreciente la cual tiende hasta

un valor constante igual a 2' /ησ ij . Dependiendo de este valor esta respuesta se puede

considerar como transitoria o permanente para propósitos prácticos del proyecto del

túnel.

+21

2

2

ij ij

ij

' '

'

'

= mση

σ σ2G 2Gσ

2G

'ij

ij

Fig. 4.6 Forma de la respuesta viscoelástica, en distorsión angular, del medio.

4.3 Componente plástica de la respuesta

Las deformaciones plásticas del modelo serán gobernadas por la ley de

dilatancia. En el caso de deformación plana esta ley, de acuerdo con el apartado 3.6, se

expresa por ψsen :

p

p

ddvsenγ

ψ −=


154

Siendo: ppp dddv 31 εε += el incremento de deformación volumétrica plástica,

ppp ddd 31 εεγ −= el incremento de distorsión angular máxima plástica, pd 1ε y pd 3ε los

incrementos de deformación plástica principales.

Se utilizará la ley de dilatancia lineal tratada en el apartado 3.6.3 cuya expresión

es:

( )critcrit

sensensen

sensen ρρ

ρψ

ψ −−

=1

max

Siendo: critρ el ángulo de rozamiento instantáneo a partir del cual el material

deja de ser dilatante positivo, maxψ el ángulo máximo de dilatancia que se produce

cuando el material está sometido a tracción simple, y ρ el ángulo de rozamiento

instantáneo.

La ecuación anterior que gobierna las deformaciones plásticas se empleará en la

forma:

asensen −= ρλψ

Siendo:

crit

crit

crit sensen

senasen

senρ

ρψ

ρψ

λ−

=−

=11 max

max

En el apartado mencionado anteriormente se muestran los valores de a y λ que

se sugiere emplear en función del GSI.

4.4 Experimentación

A través del convenio sobre “Desarrollo conjunto de actividades de formación

en el ámbito de la Ingeniería Geotécnica” suscrito entre la Fundación Agustín de

Betancourt y el CEDEX, la experimentación de esta tesis se ha realizado en el

laboratorio de Geotecnia del CEDEX.

4.4.1 Procedencia de las muestras

Las muestras ensayadas provienen de los sondeos SC-2 y SC-3, ambos

realizados para el “Estudio de las características de los materiales que pudieran incidir

en el diseño de los túneles previstos para el nuevo acceso ferroviario de alta velocidad

de Levante (Madrid – Castilla La Mancha – Comunidad Valenciana – Región de

Murcia. Tramo de Aranjuez – Ontígola)”, sondeos ejecutados dentro de la finca de “El


155

Regajal”, próxima a la población de Aranjuez (Madrid). Estudio realizado dentro del

marco del convenio existente entre el Administrador de Infraestructuras Ferroviarias

(ADIF) y el Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas (CEDEX).

Según el informe geológico del proyecto, y la estratigrafía de los sondeos, las

muestras pertenecen a la unidad geotécnica HAM . Esta unidad está situada

estratigráficamente sobre las arcillas del Mioceno inferior. Esta formada por

intercalaciones de capas de halita y glauberita con niveles de arcilla compacta de color

gris.

Los resultados obtenidos en los ensayos del estudio geotécnico, y en el resto de

trabajos de campo indican de que esta unidad geotécnica ( HAM ) está formada por rocas

blandas con escasas intercalaciones de material tipo suelo.

Para el estudio de la fluencia se han obtenido siete muestras a las que se han

realizado ensayos para determinar sus propiedades mecánicas (resistencia a compresión

simple), propiedades físicas (densidad aparente, contenido de humedad, peso específico,

velocidad de ondas sónicas), composición mineralógica (difracción de rayos X),

composición química (fluorescencia de rayos X), propiedades reológicas (fluencia

triaxial).

En la tabla siguiente se presenta el listado de las muestras:

Tabla 4.1 Listado de muestras

Muestra Sondeo Profundidad (m)

5083A1 SC-2 53.65 – 53.87

5083A2 SC-2 53.65 – 53.87

5085A SC-2 57.37 – 57.62

5094C SC-3 41.45 – 41.65

5094D SC-3 41.95 – 42.12

5098A1 SC-3 47.25 – 47.53

5098A2 SC-3 47.25 – 47.53

4.4.2 Composición mineralógica

Estos análisis se han realizado en algunos casos analizando el polvo obtenido del

tallado de las muestras para los ensayos mecánicos y en otros casos a partir de los restos

después de los ensayos mecánicos.

A partir de los diagramas de rayos X, se ha realizado una estimación semi

cuantitativa con los poderes reflectantes, el análisis químico, y la estequiometría de cada


156

fase cristalina. El resumen de estos análisis se presenta en la tabla siguiente, habiéndose

identificado el mineral principal, los minerales secundarios y dentro de una tercera

categoría las trazas de otros minerales.

Como se observa en la tabla siguiente; el mineral principal presente, en las

muestras de la roca ensayada es la glauberita. El porcentaje promedio de su presencia es

63 %, el mínimo 28% y el máximo 84%.

Las muestras ensayadas, también presentan en promedio 14.5% de Halita, 8.3%

de magnesita, 7% de anhydrita. Estos son porcentajes promedio teniendo en cuenta

únicamente las muestras en las que se han hallado presentes, ya que algunas muestras

no han tenido presencia de estos minerales.

Todas las muestras han tenido trazas de cuarzo y moscovita. El porcentaje

promedio de su presencia en conjunto es de 13%.

Tabla 4.2 Resultados de los análisis mineralógicos

Muestra Mineral principal Minerales secundarios Minerales accesorios y trazas

5083A1 Glauberita (58%) Yeso (10%), Halita (13%), Anhydrita (8%)

Cuarzo + moscovita (11%)

5083A2 Glauberita (57%) Yeso (10%), Magnesita (5%), Anhydrita (7%)

Cuarzo +Illita (21%)

5085A Glauberita (78%) Halita (8%), anhydrita (6%) Cuarzo + moscovita (8%)

5094C Glaubertia (84%) Magnesita (5%) Cuarzo + moscovita (10%)

5094D Glauberita (71%) Magnesita (7%) Cuarzo + moscovita (22%)

5098A1 Glauberita (58%) Halita (8%), Yeso (7%), Magnesita (9%)

Cuarzo + moscovita (7%)

5098A2 Glauberita (73%) Anhydrita (9%), halita (8%) Cuarzo + moscovita (9%)

4.4.3 Composición química

Los componentes químicos de las muestras han sido determinados por

fluorescencia de rayos X. En la tabla siguiente se muestra el resumen de estos análisis.

Tabla 4.3 Resultado de los análisis químicos

% 5083A1 5083A2 5085A 5094C 5094D 5098A1 5098A2

SiO2 7.61 14.87 4.05 5.06 14.17 3.25 3.31

Al2O3 2.20 4.68 1.28 1.50 4.37 1.12 1.22

Fe2O3 0.92 1.81 0.62 0.70 1.75 0.58 0.63

CaO 16.21 13.36 17.60 20.25 13.75 11.00 13.49

TiO2 0.12 0.23 0.08 0.09 0.23 0.07 0.07

MnO 0.02 0.03 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01

K2O 0.39 0.87 0.21 0.26 0.86 0.19 0.19


157

% 5083A1 5083A2 5085A 5094C 5094D 5098A1 5098A2

MgO 1.10 2.25 0.87 1.12 2.99 3.25 1.53

P2O5 0.01 0.03 0.01 0.01 0.03 0.02 0.01

Na2O 20.13 17.04 24.86 19.07 14.03 20.13 15.16

PPC 12.55 12.93 10.00 0.63 8.50 26.73 29.66

SO3 38.74 31.91 40.41 51.28 39.29 33.64 34.71

En la tabla anterior se aprecia que lo que mas predomina en las muestras de la

roca es el sulfato. Este compuesto se halló presente en todas las muestras en cantidad

promedio de 36.2%. Otros compuestos presentes en cantidad significativa en todas las

muestras y ordenados en forma decreciente de su cantidad media son: óxido de sodio

(21.4%), óxido de calcio (8.32%), óxido de silicio (7.03%). El porcentaje de pérdida por

calcinación (PPC) promedio también es significativo e igual a 16.36%.

4.4.4 Descripción petrográfica

Para la descripción petrográfica de la roca, se ha recurrido a su observación

mediante un estereomicroscopio modelo STEMI 2000-C, CARL ZEISS con campo

visual ultragrande de 23 mm, al que se le ha acoplado un sistema de captura digital de

imagen en color, de alta resolución, modelo SPOT RT220-3 KAI 2092. En los casos en

los que ha sido necesario cubrir un campo visual mayor, se han realizado fotografías

con una cámara digital.

Fotografía 4.1 Aspecto general cristalino de la roca (estereomicroscopio; muestra 5083A2)


158

Un análisis mediante estereomicroscopio, ha permitido observar un aspecto

general cristalino, y un color que oscila entre blanquecino y grisáceo en todas sus

tonalidades, desde gris muy claro a gris muy oscuro. En el seno de esta matriz cristalina

grisácea; destacan grandes fenocristales centimétricos de glauberita que en las

superficies externas muestran secciones tabulares (Fotografía 4.1).

Localmente parece observarse en estos cristales prismáticos tendencias a una

orientación preferente, como se observa en la Fotografía 4.2.

Fotografía 4.2 Orientación preferente localizada (cámara digital; muestra 5083A2)

Por otro lado, localmente la roca presenta una matriz más rica en arcillas,

observándose mediante estereomicroscopía una fábrica ligeramente diferente de la

descrita anteriormente, consistente en una matriz arcillosa compacta, muy poco porosa,

en la cual se encuentran embutidos lentejones microscópicos de glauberita.

Estos cristales lenticulares, en general se encuentran dispuestos al azar

(Fotografía 4.3), aunque localmente se detecta una sutil orientación preferente

(Fotografía 4.2 y Fotografía 4.4).

Las muestras de la roca han sido identificadas, descritas y clasificadas siguiendo

la norma UNE-EN-ISO 14689-1 “Investigación y ensayos geotécnicos. Identificación y

clasificación de rocas. Parte 1: Identificación y descripción”.


159

Fotografía 4.3 Cristales lenticulares, en general, dispuestos al azar (estereomicroscopio; muestra 5098A2)

Fotografía 4.4 Orientación preferente, localizada, (estereomicroscopio; muestra 5098A2)

Según la norma UNE-EN-ISO 14689-1 anteriormente mencionada y los

resultados químicos, mineralógicos y petrográficos obtenidos, y mencionados


160

anteriormente; las muestras estudiadas pueden ser descritas en general como rocas

sedimentarias de estructura masiva y composición mineralógica salina de tipo sulfatada.

Presentan una matriz masiva microcristalina de sales y cuarzo, localmente más arcillosa,

de coloración grisácea, con fenocristales prismáticos blancos de glauberita de tamaños

centimétricos variables. No presenta signos de meteorización o alteración, pudiendo ser

considerada una roca sana.

4.4.5 Propiedades físicas

Los valores medios de las propiedades físicas básicas de las muestras de roca se

muestran en la tabla siguiente:

Tabla 4.4 Propiedades físicas básicas de las muestras de roca

Propiedad Valor medio

Densidad aparente 2480 kg/m3

Contenido de humedad 2.33 %

Peso específico 2.65

Antes de realizar los ensayos de compresión simple y de fluencia, se midió la

velocidad de transmisión de ondas a través de las muestras. En la tabla siguiente se

presentan los resultados de estos ensayos:

Tabla 4.5 Resultados de los ensayos de ondas

Muestra Altura (mm)

Diámetro (mm)

Masa (gr)

Tp (10-6 seg)

Ts (10-6 seg)

5083A1 102.9 49.5 483.1 35.6 68.4

5083A2 99.4 47.9 441.4 24.3 47.3

5085A 100.1 50.0 485.4 50 82.4

5098A1 100.7 48.0 447.2 29 58.2

5098A2 77.2 38.3 222.2 21.7 45.3

5094D 80.5 39.9 249.2 22.5 42.5

Valor medio 93.5 45.6 388.08 30.5 57.4

Valor mínimo 77.2 38.3 222.20 21.7 42.5

Valor máximo 10.29 50.0 485.4 50.0 82.4

Desviación Standard

11.4 5.1 119.70 10.85 15.60

A partir de estos resultados, se ha calculado la velocidad de transmisión de las

ondas de compresión ( pV ), de las ondas de corte ( sV ), y la densidad ( ρ ) de la roca.

Asumiendo que la roca es homogénea, isótropa y elástica, se ha calculado el

módulo de elasticidad ( )dE , el módulo de corte ( )dG y el coeficiente de Poisson ( )dν ,


161

representativos del comportamiento de la roca para pequeñas deformaciones. Las

expresiones empleadas son:

2)( sd VG ρ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

12

2

2

2

2

2

s

p

s

p

d

VV

VV

ν

( ) 212 sd VE ρν+=

En la tabla siguiente se presenta los valores calculados.

Tabla 4.6 Propiedades de deformabilidad elástica (para pequeñas deformaciones)

Muestra Densidad (kg/m3)

Vp (m/seg)

Vs (m/seg)

Gd (MPa)

dv Ed (MPa)

5083A1 2440 35.6 68.4 5,521 0.31 14,513

5083A2 2464 24.3 47.3 10,883 0.32 28,746

5085A 2470 50 82.4 3,645 0.21 8,810

5098A1 2454 29 58.2 7,347 0.33 19,614

5098A2 2498 21.7 45.3 7,256 0.35 19,606

5094D 2476 22.5 42.5 8,882 0.31 23,188

Valor medio

2467 30.5 57.4 7,256 0.31 19,080

Valor mínimo

2440 21.7 42.5 3,645 0.21 8,810

Valor máximo

2498 50.0 82.4 10,883 0.35 28,746

Desviación Standard

19.93 10.85 15.60 2524 0.05 6,888

4.4.6 Propiedades mecánicas

La propiedad medida directamente en las muestras ha sido la resistencia a

compresión simple. A continuación se presenta el resumen de esta propiedad en la Tabla

4.7. Allí también se presenta la velocidad de estos ensayos.

Tabla 4.7 Resultados los ensayos de resistencia a compresión simple

Muestra RCS (MPa)

Deformación en la rotura (%)

Velocidad de ensayo (%/seg)

5083A1 6.1 0.75 0.0008

5085A 4.7 0.7 0.0006

5094C 5.2 0.6 0.009

5098A1 5.1 0.9 0.006


162

En la fotografía mostrada a continuación, se aprecia el agrietamiento típico

sufrido por todas las muestras.

Fotografía 4.5 Muestra 5094C ensayada a compresión simple

La Fig. 4.7 muestra las curvas de los ensayos incluyendo la rama post pico.

Ensayos de resistencia a compresión simple (RCS)Resumen de curvas tension - deformacion

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Deformación axial (%)

Tens

ión

axia

l (M

Pa)

5098A15083A15085A5094 C

Fig. 4.7 Resumen de las curvas tensión – deformación de los ensayos de resistencia a compresión simple


163

De la Tabla 4.7 y de la Fig. 4.7 se ha hallado que el valor promedio de la

resistencia a compresión simple es: 5.28 MPa y que el valor promedio de la

deformación en la rotura es de 0.74%. En los resultados de ambas referencias, se

observa poca variación de estas propiedades. También se observa un comportamiento

dúctil de la roca.

4.4.7 Obtención de los parámetros de los criterios de rotura

Los parámetros de los criterios de rotura de la roca intacta, se han estimado a

partir de los resultados de los ensayos de resistencia a compresión simple y de las

recomendaciones publicadas por Hoek & Brown (2002).

En la Fig. 4.8 se muestran las curvas y los parámetros de los criterios de rotura

de tipo Mohr – Coulomb así como de Hoek y Brown obtenidos empleando el programa

Rocklab del portal de Internet www.rocscience.com.

Fig. 4.8 Ajustes del criterio de rotura de la roca ensayada


164

En la tabla siguiente se muestran los parámetros del criterio de rotura no lineal

de Hoek & Brown y los parámetros del ajuste de tipo Mohr.

Tabla 4.8 Parámetros del criterio de rotura

Clasificación de Hoek & Brown

icσ 5.00 MPa

GSI 100

mi 12

D 0

Parámetros del criterio de Hoek & Brown

mb 12

s 1.00

a 0.5

Ajuste de Mohr

c 1.146 MPa ϕ 40.62º

4.4.8 Obtención de las constantes vicoelásticas

4.4.8.1 Equipamiento para los ensayos de fluencia

A través del proyecto de I+D+i denominado “Convergencia de túneles en

macizos viscoelásticos-plásticos”, se ha conseguido el financiamiento para la

adquisición del equipamiento necesario para la ejecución de ensayos triaxiales de

fluencia.

Debido a que el ensayo de triaxial de fluencia es un ensayo a largo plazo en

condiciones triaxiales de tensión y de temperatura constantes, fue necesario

instrumentar el modulo de ensayo con células electrónicas de presión y de carga para

controlar y registrar continuamente la presión de confinamiento y la carga vertical.

La finalidad de este ensayo ha sido hallar las constantes viscoelásticas, de la

roca, en distorsión angular y en cambio volumétrico cuando está sometida a condiciones

constantes de tensión y temperatura. Por este motivo, el sistema de adquisición de datos

se ha diseñado de modo que permita medir continuamente, a lo largo del tiempo, las

deformaciones verticales y circunferenciales de la muestra sometida a las condiciones

triaxiales de tensión del ensayo. Con este fin la cámara triaxial se ha fabricado con

conectores estancos que permiten la conexión de cuatro bandas extensométricas,

pegadas a la superficie de la probeta; dos verticales y dos horizontales, con el


165

amplificador de señal y con la tarjeta de adquisición de datos del ordenador que controla

la ejecución del ensayo.

Para ejecutar el ensayo de fluencia siguiendo la trayectoria de tensiones

mostrada en el apartado 0, ha sido necesario que el programa informático desarrollado

controle independientemente la carga vertical y la presión de confinamiento de modo

que se puedan producir estados de compresión isótropa, estados de tensión desviadora

pura y estados acoplados de compresión isótropa y tensión desviadora.

Las adquisiciones y adaptaciones de equipos para conformar el módulo de

ensayo; con las capacidades mencionadas anteriormente son las siguientes:

• Adquisición de una cámara triaxial de alta presión.

• Adquisición de una central hidráulica.

• Adquisición de una célula de presión para el control de la central hidráulica.

• Adquisición de un ordenador personal con interfaz de adquisición de datos.

• Desarrollo del software para el control y adquisición de datos del ensayo.

En los apartados siguientes se presentan fotografías, y descripciones mas

detalladas de los equipos de este módulo de ensayo.

4.4.8.1.1 Prensa

El sistema de control de la prensa mostrada en la Fotografía 4.6 ha sido

modificado de modo que la fuerza sea controlada y registrada a través del programa del

ensayo. Este programa permite el control de la carga vertical, aplicada por la prensa,

independientemente de la presión de confinamiento dentro de la cámara.

La prensa empleada tiene la capacidad de ejercer una fuerza constante a lo largo

del tiempo (dentro del umbral de control de carga mostrado en la tabla siguiente).

Las características y especificaciones de la prensa y de la célula de carga se

muestran en la tabla siguiente:


166

Fotografía 4.6 Prensa para la aplicación de la carga vertical

Tabla 4.9 Especificaciones técnicas de la prensa

Característica Especificación

Capacidad nominal 200 KN

Altura libre para la cámara triaxial 400 mm

Distancia libre para el ancho de la cámara 300 mm

Umbral de control de la carga +/- 2 KN

Recorrido máximo del pistón 50 mm

Célula de carga: Capacidad nominal

EKMR-D / Nr 538 200 KN

Lvdt: Tipo Rango eléctrico definido Resistencia nominal

Novotechnick TS - 50 50 mm 5 K Ω

4 .4.8.1.2 Central hidráulica

A la central mostrada en la Fotografía 4.7, se le ha instalado una célula de

presión con la finalidad de que la presión sea controlada y registrada a través del

programa del ensayo. Este programa permite el control de la presión,

independientemente de la carga aplicada por la prensa.

La central tiene la capacidad de ejercer una presión constante a lo largo del

tiempo (dentro del umbral de control de presión mostrado en la tabla siguiente).


167

Las características y especificaciones de la bomba, del motor y de la célula de

presión se muestran en la tabla siguiente:

Fotografía 4.7 Central hidráulica (bomba, motor, célula de presión)

Tabla 4.10 Especificaciones técnicas de la central hidraúlica


Bomba: Capacidad del depósito Tensión de alimentación

INTERSEAL S.A. 5 l

220 v. c.a.

Motor: WA Motors 3-phase induction Frame 1AL83-4

Célula de presión: Capacidad nominal Umbral de control de la presión

150 bar +/- 1 bar

4.4.8.1.3 Cámara tr iaxial

La cámara mostrada en la Fotografía 4.8 ha sido fabricada con hierro y calculada

para que resista la presión de confinamiento máxima que puede aplicar la central

hidráulica. Posee un agujero en el asiento de la muestra al cual está conectada una

válvula que se halla en la parte exterior inferior de la cámara. Durante el ensayo esta

válvula se mantiene abierta, para verificar que la muestra no se ha contaminado con el

aceite de la cámara. La membrana empleada se ha elaborado con un polímero de alta

densidad resistente a la acción del aceite.


168

Fotografía 4.8 Cámara triaxial de alta presión

En la tabla siguiente se muestran las características de la cámara triaxial.

Tabla 4.11 Especificaciones técnicas de la cámara triaxial


Material Hierro

Altura total (con muestra de 100 mm) 387 mm

Conexiones para bandas extensométricas 4

Altura de la muestra de ensayo 100 mm

Diámetro de la muestra de ensayo 50 mm

Presión máxima de confinamiento 150 bar

Líquido de confinamiento de la muestra: Coeficiente de expansión térmica Temperatura de funcionamiento

Aceite mineral (TRANSCAL N) 0.00077 / ºC -10 – 320 ºC

4.4.8.1.4 Elementos de medición

Como elementos de medición se han utilizado bandas extensométricas pegadas a

la superficie de la muestra (dos pegadas longitudinalmente y dos pegadas

circunferencialmente). En la fotografía siguiente, se muestran las bandas pegadas en una

muestra, en su posición de medición.


169

En la etapa de puesta a punto del módulo se han realizado pruebas para verificar

que la presión de confinamiento y el transcurso del tiempo no producen variaciones del

voltaje (derivas) que llevarían a errores en la interpretación de las medidas.

Fotografía 4.9 Bandas extensométricas pegadas a una muestra

En la tabla siguiente se muestran las características de las bandas

extensométricas empleadas. El módulo de ensayo implementado permite el empleo de

cuatro bandas: dos pegadas axialmente y dos circunferencialmente. Las mediciones se

realizan por separado con la finalidad de advertir el fallo o lecturas incorrectas de

algunas de las bandas.

Tabla 4.12 Especificaciones técnicas de las bandas extensométricas


Tipo YFLA - 20

Longitud 20 mm

Resistencia 120 +/- 0.3 ohms

Factor de banda 2.13 +/- 2%

Factor de compensación por temperatura -

Sensitividad transversal -0.4%


170

4.4.8.1.5 Sistema control y de adquisición de datos

El sistema de control del ensayo y de adquisición de datos está compuesto por

un ordenador personal, un amplificador de señal y una tarjeta de adquisición de datos.

Estos equipos y sus características se muestran en la fotografía y en la tabla siguiente.

El programa para controlar la ejecución del ensayo y la adquisición de datos se

llama TRX2 y se ha desarrollado en el lenguaje de programación labVIEW.

Fotografía 4.10 Sistema de adquisición de datos

Tabla 4.13 Especificaciones técnicas del sistema de adquisición de datos


Amplificador de señal: Tipo de conexión Tensión de alimentación Tensión de salida

¼ puente 220 v. c.a.

10 v

Ordenador personal: CPU RAM HD

Pentium®4 2.80 GHz

504 MB 71.4 GB


171


Tarjeta de adquisición de datos: Velocidad de muestreo Resolución Rango de voltaje Rango de precisión Frecuencia máxima de la fuente

PCI 6023E 200 KS/s 12 bits

-10 +10 V 16.504 mV

20 MHz

4.4.8.2 Trayectoria de tensiones de los ensayos de fluencia

Las deformaciones viscoelásticas dependen de la historia de tensiones que ha

sufrido el medio. Por este motivo, en esta tesis se propone ejecutar los ensayos triaxiales

de fluencia siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la que sufre el medio

alrededor del túnel, la cual se muestra en la Fig. 4.9.

Teniendo en cuenta esta figura, el ensayo se debe ejecutar en las tres etapas

siguientes:

a.) Etapa isótropa: en esta etapa la trayectoria de tensiones va de 00 p→ , y se

consigue aplicando el siguiente incremento de tensiones principales 0

31 p== δσδσ . Con esta etapa se pretende restablecer las condiciones

iniciales del medio antes de la apertura del túnel, en las cuales 10 =K .

b.) Etapa desviadora: en la cual la trayectoria de tensiones va de '0 Bp → . Con

esta etapa se reproduciría una trayectoria de tensiones similar a la que sufre

la interfase debido a la apertura del túnel. Esta etapa se debe ejecutar a

continuación de la anterior y a partir de cuando se ha logrado el equilibrio

inicial del medio (velocidad de deformación nula). En esta etapa 0=pδ , por

lo tanto 13 21 δσδσ −= y ( ) ( ) plazo cortoaplazo largoa 00 pqqpq RR << δ . Siendo los

incrementos de tensión relativos a la etapa isótropa.

c.) Etapa de relajación de tensiones: en esta etapa la trayectoria de tensiones va

de '' AB → . La razón de los incrementos de tensión pδ y qδ son gobernados

por el criterio de rotura a través de la relación:

ρδδ senpq

=


172

Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo, 2

31 δσδσδ −=q y

32 31 δσδσ

δ+

=p . Estos incrementos de la tensión son relativos a la etapa anterior.

Los resultados de este ensayo permitirían implementar las funciones temporales

de la interfase y de la zona rota con las constantes reológicas correspondientes al campo

de tensiones apropiado para cada caso, partiendo además de las condiciones iniciales de

tensión, y deformación supuestas en las hipótesis de esta tesis.

Fig. 4.9 Trayectorias de tensiones: alrededor del túnel y en el ensayo de fluencia.

4.4.8.3 Cálculo de las constantes viscoelásticas

Fig. 4.10 Zonas presentes alrededor del túnel.


173

En este apartado, se presentan las expresiones de la respuesta del modelo

viscoelástico sometido al campo de tensiones de cada etapa del ensayo de fluencia

triaxial, y que han sido descritas en el apartado anterior.

Estas expresiones, son las que se han empleado para determinar las constantes

viscoelásticas de cada una de las funciones temporales involucradas ajustando la

respuesta teórica a la respuesta experimental del ensayo.

El modelo empleado en cambio volumétrico, es el que ha sido propuesto en el

apartado 4.2, cuya configuración mecanicista y respuesta se muestra a continuación:

ση

Fig. 4.11 Configuración mecanicista del medio en compresión isótropa.

( ) kk

tv

K

kk eKK

te ση

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

− 13

12

13

13

1 (4.3)

σ3K

kk

2

1

kk

3Kσ σ

3Kkk

2+

kk

Fig. 4.12 Forma de la respuesta viscoelástica, en cambio volumétrico, del medio.

Como se muestra en la Fig. 4.12, el valor obtenido para cada una de las

constantes viscoelásticas es único debido a que cada una de las propiedades de la

respuesta depende únicamente de una constante. Así la magnitud de la deformación


174

inmediata depende de la constante 2K , la magnitud de la deformación retrasada en el

tiempo depende de la constante 1K , y el tiempo de retraso depende de la constante vη .

Lo que significa que la combinación de valores de las constantes viscoelásticas es única.

La configuración en distorsión angular del modelo ha sido propuesta en el

apartado 4.3 y es mostrada a continuación junto con la expresión de su respuesta:

1η σ

η2

Fig. 4.13 Configuración mecanicista del modelo en distorsión angular.

( ) ij

tG

ij teGG

te '112

12

1'2

112

12

ση

η

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

−

(4.4)

+21

2

2

ij ij

ij

' '

'

'

= mση

σ σ2G 2Gσ

2G

'ij

ij

Fig. 4.14 Forma de la respuesta viscoelástica, en distorsión angular, del medio.

Al igual que para el caso del cambio volumétrico, en este caso el ajuste es único

ya que; la deformación inmediata en distorsión angular depende únicamente de la

constante 2G , la magnitud de la deformación retrasada depende de la constante 1G , el

tiempo de retraso depende de 1η , y la velocidad de deformación con el transcurso del

tiempo tiende a un valor constante que depende de 2η (Fig. 4.14). Por lo tanto no hay

más que una combinación de valores de las constantes viscoelásticas que produce el

mejor ajuste con la respuesta experimental.


175

4.4.8.3.1 Etapa de compresión isótropa

Con esta etapa, se pretende restablecer las condiciones iniciales de tensión y

deformación de campo previas a la excavación de la cavidad, las cuales se habían

perdido durante las labores de extracción de la muestra.

Durante esta etapa, la trayectoria de la tensión es 00 p→ de la Fig. 4.9, y por lo

tanto el incremento de las tensiones principales es 031 p== δσδσ .

En este caso el cambio volumétrico medido experimentalmente en el ensayo es:

( ) ( ) ( ) ( )tetetetekk 332211 ++=

Siendo 11e la deformación axial, y 2233 ee = la deformación radial de la muestra.

Las constantes viscoelásticas en cambio volumétrico, de esta etapa, se obtienen

ajustando la respuesta del modelo expresada por la ecuación (4.3) a la respuesta

experimental. A continuación se reescribe la expresión de la respuesta del medio

viscoelástico:

( ) kk

tv

K

kk eKK

te ση

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

− 13

12

13

13

1

Siendo ( )3311 2σσσ +=kk , 11σ la tensión vertical y 33σ la tensión de confinamiento

en esta etapa del ensayo. A través del método de los mínimos cuadrados se puede

evaluar la calidad del ajuste. Como ya se ha tratado anteriormente la forma de la curva

cambio volumétrico – tiempo es la siguiente:

σ3K

kk

2

1

kk

3Kσ σ

3Kkk

2+

kk

Fig. 4.15 Forma de la respuesta, en cambio volumétrico, del modelo.


176

4.4.8.3.2 Etapa de incremento de la tensión desviadora

Los incrementos de tensión de esta etapa son relativos al estado de tensión de la

etapa isótropa. La trayectoria de las tensiones es '0 Bp → de la Fig. 4.9. En esta etapa

0=kkδσ , por lo tanto 13 21 δσδσ −= , siendo

231 δσδσ

δ−

=q .

Teniendo en cuenta que en esta etapa, el cambio volumétrico 0=kkeδ , la

deformación axial viscoelástica de la muestra será igual a la deformación axial por

distorsión angular:

( ) ( )tete 1111 'δδ =

Siendo ( )te11δ la deformación axial total de la muestra.

También debido a que 0=kkδσ , el incremento de tensión vertical total es igual al

incremento de la tensión desviadora y por lo tanto:

1111 'δσδσ =

En esta etapa, se hallan las constantes de la función temporal de la interfase

ajustando la ecuación (4.4), la cual se rescribe a continuación, al incremento de

deformación vertical experimental de esta etapa.

( ) 112

112

1211

112

12

1 δση

δ η

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+=

−

teGG

tet

G

La forma del incremento de deformación vertical en esta etapa se muestra en la

figura siguiente:

+ 11

2Gδσδσ

2G11

2

11δσ η = mδ

1 2

11

22Gδσ11

Fig. 4.16 Forma de la deformación, por distorsión angular, del modelo.


177

4.4.8.3.3 Etapa de relajación de tensiones

Trayectoria '' AB → de la Fig. 4.9; en esta etapa los incrementos pδ y qδ son

gobernados por el criterio de rotura a través de la relación:

ρδδ senpq

=

Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo del material, 2

31 δσδσδ

−=q y

32 31 δσδσ

δ+

=p .

Los incrementos de la tensión son relativos a la etapa anterior.

Así como en los medios elastoplásticos perfectos, se considera que las

deformaciones producidas durante el proceso de carga neutra son la suma de las

deformaciones elásticas y plásticas, en esta tesis, se ha considerado que las

deformaciones producidas por la relajación de tensiones, de esta etapa, son la suma de

las deformaciones viscoelásticas y plásticas.

Combinando las expresiones del incremento de cambio volumétrico

viscoelástico ( ) ( ) ( ) ( )τδτδτδτδ −+−+−=− tetetetekk 332211 , y de distorsión angular

viscoelástica ( ) ( ) ( )( )τδτδτδ −−−=− tetete 331111 32' en el ensayo triaxial de fluencia, la

ecuación en el tiempo de la deformación axial de la muestra sería:

( ) ( ) ( )τδτδτδ −+−=− tetete kk31'1111

Siendo. ( )τδ −te11 la deformación viscoelástica axial, ( )τδ −te33 la deformación

radial viscoelástica, y τ el instante en el que se produjo la relajación de las tensiones.

Por otra parte el incremento de la tensión desviadora es:

kkδσδσδσ31' 1111 −=

Siendo el incremento de tensión isótropa ( )3311 2313/ δσδσδσ +=kk

Teniendo en cuenta que de la teoría de elasticidad lineal, el incremento de

deformación vertical total es:

KG

e kk

331

2'11

11δσδσδ +=


178

Empleando el principio de correspondencia, la relación constitutiva viscoelástica

en el dominio de la variable “ s ” de Laplace es:

kkeee δδδ31'1111 +=

O también:

( )sKsG

se kk

331

2'11

11δσδσ

δ +=

Ecuación que a través de las funciones temporales introducidas en el apartado

4.2, se expresa como:

( ) ( ) ( ) kkvol ssse δσφδσφδ γ 31'1111 +=

Por lo tanto, el incremento de la deformación axial viscoelástica ( )τδ −te11 del

modelo, estará compuesta por una parte desviadora y otra parte volumétrica, y se puede

expresar a través de la siguiente expresión:

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) kkvolkkvol ttsLsLte δστφδστφδσφδσφτδ γγ −+−=+=− −−

31'

31' 11

111

111

Siendo la componente axial producida por el cambio volumétrico viscoelastico

igual a:

( ) ( )( )

31

31

31

31

31

13

12

kk

trv

rK

rrkkvolkk eKK

tteδσ

δστφτδτ

η

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=−=−−−

A la vez que la componente axial, debida a la distorsión angular viscoelástica del

modelo, sería igual a:

( ) ( )( )

( ) 112

1

12

121111 '11

21

21'' δστ

ηδστφτδ

τη

γ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=−=−−−

teGG

tte r

tr

rG

rr

Por lo tanto, las constantes viscoelásticas del modelo en la zona rota, se

obtendrían ajustando las componentes del modelo con sus respectivas componentes

experimentales dadas por las expresiones siguientes:


179

( ) ( ) ( ) ( )33

1 332211 τδτδτδτδ

−+−+−=−

tetetetekk

( ) ( ) ( )( )τδτδτδ −−−=− tetete 331111 32'

Las constantes viscoelásticas de estas funciones se han distinguido de las de la

interfase con el superíndice “r”. La Fig. 4.17 y la Fig. 4.18, muestran la forma del

incremento de la deformación producida por el cambio volumétrico y por la distorsión

angular del modelo respectivamente.

δσ3K

kk

2

1

kk

3Kδσ δσ

3Kkk

2+

kkδ

r r

r

τ

τ

Fig. 4.17 Forma del incremento de la deformación, por cambio volumétrico, del modelo

+2

11

2Gδσδσ

2G11

12

11

2Gδσ

2

11δσηm =

' '

'

' rr

r

r

11'δ

τ

τ

Fig. 4.18 Forma del incremento de la deformación, por distorsión angular, del modelo

4.4.8.4 Resultados de los ensayos de fluencia

Con la finalidad de mostrar el procedimiento de estimación de las constantes

viscoelásticas propuesto en el apartado anterior, se han realizado dos ensayos de

fluencia. A continuación se muestran por separado los resultados de cada ensayo. Al

final se han promediado los valores de las constantes halladas en cada ensayo. En un


180

proyecto real, el valor característico de estas constantes se debería determinar a través

de un estudio estadístico de los resultados de una cantidad más grande de muestras.

La trayectoria de tensiones del ensayo, de acuerdo con lo propuesto en el

apartado 0, es la mostrada en la figura siguiente:


Para calcular los valores de la trayectoria de tensiones del ensayo, se ha utilizado

la situación de un túnel excavado a 150 m de profundidad y el ajuste lineal de Mohr del

criterio de rotura obtenido en el apartado 4.4.7.

4.4.8.4.1 Ensayo de la muestra 5094D

Tabla 4.14 Propiedades básicas de la muestra ensayada


Diámetro 39.9 mm

Altura 80.5 mm

Masa 249.2 gr


Los valores de las tensiones de cada una de las etapas del ensayo, mostradas en

la Fig. 4.19, se presentan en la tabla siguiente. Para el cálculo de estos valores, se ha

tenido en cuenta que al inicio del ensayo la muestra está libre de tensiones.


181

Tabla 4.15 Valores de las tensiones en cada etapa del ensayo

1δσ 1σ 3δσ 3σ qδ q pδ p

Etapa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa

1 3.75 3.75 3.75 3.75 0 0 3.75 3.75

2 5.5 9.25 -2.75 1 4.125 4.125 0 3.75

3 -1.65 7.6 -0.5 0.5 -0.575 3.55 -0.882 2.87

Fig. 4.20 Criterio de rotura en tensiones principales de la roca ensayada

Con relación a las tensiones de la Tabla 4.15 se debe tener en cuenta que:

• La presión isótropa de la primera etapa del ensayo ( MPap 75.3= ), sería igual

a la presión inicial del medio.

• La tensión axial ( )1σ aplicada en la etapa 2 ha sido cercana a la

correspondiente al criterio de rotura empleado (Fig. 4.20). Por encima de la


182

tensión axial ( )1σ correspondiente a la resistencia a largo plazo, se podría

utilizar cualquier valor menor que la resistencia a corto plazo, teniendo en

cuenta la suposición de que el comportamiento del medio en esta etapa del

ensayo es viscoelástico lineal.

A continuación se muestran las curvas de fluencia obtenidas en el ensayo. Estas

curvas se han calculado partiendo de las mediciones del ensayo, las cuales se muestran

en el apéndice 2.

En la Fig. 4.21, se muestran las deformaciones de las bandas extensométricas de

las etapas 2 y 3 del ensayo. Estas deformaciones son relativas a la etapa 1 (compresión

isótropa desde cero hasta p0).

En la etapa 2, la deformación vertical y circunferencial está compuesta por una

parte inmediata y una parte retrasada en el tiempo como se muestra en la Fig. 4.21.

Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, q=0 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0

Tiempo total (minutos)

Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

isót

ropa

(%)

Def vert exp tot % Def circ exp tot %

Fig. 4.21 Deformación de las bandas extensométricas (etapas 2 y 3; muestra 5094D)

Debido a que el equipo controla la carga vertical dentro de un rango de +/- 2 KN

y la presión de confinamiento dentro de un rango de +/- 1 bar, en la etapa 2 se produjo

un incremento imprevisto de la tensión isótropa igual a 0.12 MPa. Esto ha producido

cambio volumétrico en esta etapa como se muestra en la Fig. 4.22. En esta figura se

presenta el cambio volumétrico y la distorsión angular del modelo viscoelástico


183

ajustados a los resultados experimentales. Las constantes viscoelásticas obtenidas a

través de este ajuste se muestran en la Tabla 4.16.

En la Fig. 4.23 se muestra las deformaciones de las bandas extensométricas

durante la etapa 3 del ensayo (relativas a la etapa 2). Debido a que la frecuencia de

medición fue de 5 minutos no se tomaron mas medidas intermedias antes de la rotura de

la bandas extensométricas.

Tabla 4.16 Constantes viscoelásticas de la roca

Constante Valor

G1 1.20E3 MPa

G2 8.00E2 MPa

1η 4.00E5 MPa min

2η 3.25E7 MPa min

K1 1.25E2 MPa

K2 1.50E2 MPa

volη 1.00E5 MPa

Ajuste con el modelo viscoelastico: Bγ +EKSvol etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa (muestra 5094D)

-0,800

-0,700

-0,600

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,0000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

isót

ropa

(%)

Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap %

Fig. 4.22 Ajuste del cambio volumétrico y la distorsión angular con la respuesta del modelo viscoelástico (etapa 2; muestra 5094 D)

En la Fig. 4.24 se muestra el cambio volumétrico y la distorsión angular

experimentales y del modelo viscoelástico durante la etapa 3 del ensayo. Se aprecia que

al inicio de esta etapa se produjo una disminución de la distorsión angular experimental


184

acorde con la disminución de la tensión desviadora como se esperaba en el modelo

viscoelástico, pero que inmediatamente después se produjo un incremento, contrario a la

disminución de la tensión desviadora producida en esta etapa, el cual debe ser de tipo

plástico.

Deformación de las bandas extensométricas (relativa a la etapa2)muestra 5094D etapa 3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,5008157 8159 8161 8163 8165 8167 8169 8171 8173 8175 8177


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

2 (%

)

Def vert exp etap % Def circ exp etap %

Fig. 4.23 Deformación de las bandas extensométricas (etapa 3; muestra 5094D)

Deformación experimental y viscoelástica teórica etap3: p= 2,87 MPa, q= 3,55 MPa (muestra 5094D)

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,3008157 8159 8161 8163 8165 8167 8169 8171 8173 8175 8177


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

2 (%

)

Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol visc etap % Def vol exp etap %

Fig. 4.24 Cambio volumétrico y distorsión angular experimentales y viscoelásticas (etapa 3; muestra 5094D)


185

Deformación plástica muestra 5094D (Deformación relativa a la etapa 2) etap3: p= 2,87 MPa, q= 3,55 MPa

-0,450

-0,400

-0,350

-0,300

-0,250

-0,200

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0,1008158 8160 8162 8164 8166 8168 8170 8172 8174 8176

Tiempo total (minutos)D

efor

mac

ión

(%)

Def ang teor plast etap % Def vol teor plast etap %

Fig. 4.25 Cambio volumétrico y distorsión angular plásticas (etapa 3; muestra 5094D)

Restando las deformaciones viscoelásticas de las experimentales se ha obtenido

el cambio volumétrico y la distorsión angular plástica mostradas en la Fig. 4.25.

4.4.8.4.2 Ensayo de la muestra 5098A2

La forma en la que se han procesado y en la que se presentan los resultados de

este ensayo son las mismas que las del ensayo anterior. Sin embargo se vuelven a

repetir las explicaciones para cada gráfico con el fin de mejorar la claridad de los

comentarios hechos a los resultados mostrados en cada gráfico.

Las propiedades básicas de la muestra ensayada se muestran en la tabla

siguiente:

Tabla 4.17 Propiedades básicas de la muestra ensayada


Diámetro 38.3 mm

Altura 77.2 mm

Masa 222.2 gr


Los valores de las tensiones de cada una de las etapas de este ensayo son los

mismos que los del ensayo anterior con excepción de la etapa 3 (Fig. 4.26), etapa en la

que la relajación de tensiones ha sido la mitad de la del ensayo anterior, los valores se

muestran a continuación:


186

Tabla 4.18 Valores de las tensiones en cada etapa del ensayo

1δσ 1σ 3δσ 3σ qδ q pδ p

Etapa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa MPa

1 3.75 3.75 3.75 3.75 0 0 3.75 3.75

2 5.5 9.25 -2.75 1 4.125 4.125 0 3.75

3 -0.825 8.42 -0.25 0.75 -0.2875 3.84 -0.44 3.31


A continuación se muestran las curvas de fluencia obtenidas en el ensayo. Estas

curvas se han calculado partiendo de las mediciones del ensayo mostradas en el

apéndice 2.

En la Fig. 4.27, se muestran las deformaciones de las bandas extensométricas de

las etapas 2 y 3 del ensayo. Estas deformaciones son relativas a la etapa 1 (compresión

isótropa desde cero hasta p0).

En la etapa 2, la deformación vertical y circunferencial está compuesta por una

parte inmediata y una parte retrasada en el tiempo como se muestra en la figura

siguiente.

Debido a que el equipo controla la carga vertical dentro de un rango de +/- 2 KN

y la presión de confinamiento dentro de un rango de +/- 1 bar, en la etapa 2 se produjo

un incremento imprevisto de la tensión isótropa igual a 0.12 MPa. Esto ha producido

cambio volumétrico en esta etapa como se muestra en la Fig. 4.28. En esta figura se

presenta el cambio volumétrico y la distorsión angular del modelo viscoelástico


187

ajustados a los resultados experimentales. Las constantes viscoelásticas obtenidas a

través de este ajuste se muestran en la Tabla 4.19.

Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0


Def

orm

ació

n (%

)


Fig. 4.27 Deformación de las bandas extensométricas (etapas 2 y 3; muestra 5098A2)


Constante Valor

G1 1.50E3 MPa

G2 1.00E3 MPa

1η 3.00E5 MPa min

2η 4.00E7 Mpa min

K1 2.00E2 MPa

K2 3.00E2 MPa

volη 1.00E5 MPa min

En la Fig. 4.29se muestra las deformaciones de las bandas extensométricas

durante la etapa 3 del ensayo (relativas a la etapa 2). Debido a que la frecuencia de

medición fue de 15 minutos no se tomaron mas medidas intermedias antes de la rotura

de la bandas extensométricas.


188

Ajuste con el modelo viscoelástico: Bγ + EKSvol etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa (muestra 5098A2)

-0,700

-0,600

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,0000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

isót

ropa

(%)

Def ang exp etap % Def ang visc etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap %

Fig. 4.28 Ajuste del cambio volumétrico y la distorsión angular con la respuesta del modelo viscoelástico (etapa 2; muestra 5098A2)

Deformación de las bandas extensométricas (relativa a la etapa2)muestra 5098A2 etapa 3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,5007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

2 (%

)

Def vert exp etap % Def circ exp etap %

Fig. 4.29 Deformación de las bandas extensométricas (etapa 3; muestra 5098A2)

En la Fig. 4.30 se muestra el cambio volumétrico y la distorsión angular

experimentales y del modelo viscoelástico durante la etapa 3 del ensayo. En esta figura

se aprecia que el cambio volumétrico experimental es muy parecido al cambio

volumétrico esperado del modelo viscoelástico.


189

Deformación experimental y viscoelástica teóricaetap3: p= 3,31 MPa, q= 3,84 Mpa (muestra 5098A2)

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,3007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610

Tiempo total (minutos)D

efor

mac

ión

rela

tiva

a la

eta

pa 2

(%)

Def ang exp etap % Def vol exp etap % Def vol visc etap % Def ang visc etap %

Fig. 4.30 Cambio volumétrico y distorsión angular experimentales y viscoelásticas (etapa 3; muestra 5098A2)

Deformación plástica teórica muestra 5098A2(Deformación relativa a la etapa 2) etap3: p= 3,31 MPa, q= 3,84 MPa

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,1007210 7260 7310 7360 7410 7460 7510 7560 7610


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

2 (%

)

Def ang teor plast etap % Def vol teor plast etap %

Fig. 4.31 Cambio volumétrico y distorsión angular plásticas (etapa 3; muestra 5098A2)

Restando las deformaciones viscoelásticas de las experimentales se ha obtenido

el cambio volumétrico y la distorsión angular plástica mostradas en la Fig. 4.31.


190

4.4.8.4.3 Valores promedio de las constantes viscoelást icas

En la tabla siguiente se presentan los valores medios, de las constantes

viscoelásticas, obtenidos a partir de los resultados de los ensayos de fluencia mostrados

en los apartados anteriores. Estos valores medios, se han tomado como valores

característicos de la roca para el contraste de la solución de esta tesis con la solución

numérica del FLAC3D. Esto se presenta en el capítulo siguiente.


Constante Valor

G1 1.35E3 MPa

G2 0.90E3 MPa

1η 3.50E5 MPa min

2η 3.625E7 Mpa min

K1 1.625E2 MPa

K2 2.25E2 MPa


191

5 Cálculo y validación de las soluciones

propuestas

5.1 Caso del túnel sin sostenimiento

5.1.1 Soluciones generales con los medios propuestos

En el apartado 3.7 se han deducido las expresiones de la convergencia según la

formulación propuesta en esta tesis. Estas expresiones han sido deducidas para cada uno

de los medios propuestos y para una distancia radial, desde el eje del túnel, r genérica

dentro de la zona rota. Por lo tanto para el estudio de la convergencia de la pared del

túnel sin sostenimiento ha sido necesario particularizarlas para el caso en el que ar = y

0=aσ . Estas expresiones así particularizadas se presentan a continuación.

Para el caso del medio con el criterio de rotura lineal de Mohr, y ley de

dilatancia constante; se ha obtenido la expresión siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qqq

nsen

qq

sent

sentsenn

nqqsenqtt

(5.1)

Haciendo lo mismo para el caso del medio con el criterio de rotura no lineal de

Hoek & Brown (GSI>25), y ley de dilatancia lineal; se ha conseguido la expresión

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−


dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

aa aa

aa

aR

xxR

xxR

xxxxR

xxR

xxxxR

xxxR

xru

xxR

xxR

xxxxR

xxxR

xr

xxR

xR

xRR

r

1212

10

0

21

1

10

δδδδδδ

δδδδ

δδ

δδφ

δφ

φφεθ

(5.2)

Finalmente la expresión de la convergencia de la cavidad en el medio con; el

criterio de rotura no lineal de Hoek & Brown (GSI<25) y ley de dilatancia nula, es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

11

10

kRq

RkR

ru

kRq

Ra eqq

kkteqtt φφε

θ (5.3)

Capítulo 5 Cálculo y validación de las soluciones propuestas

192

En estas expresiones, intervienen las funciones temporales: ( ) ( ) ( )ttt ru

r φφφ ,, 00 que

dependen del comportamiento reológico del medio y que han sido tratadas en los

apartados 3.2 y 3.3. El significado de las demás variables se ha tratado en el apartado

3.7.

Para el cálculo y gráfico de la solución de la convergencia ( )taθε se ha escrito el

código informático presentado a continuación.

5.1.2 Implementación informática de las soluciones propuestas

5.1.2.1 Código “convergencia”

Para el cálculo de la convergencia, empleando la solución propuesta, se ha

desarrollado un código informático escrito en Matlab 7.0. El mismo que está formado

por un código administrador llamado “convergencia” y varios subcódigos

administrados. La función del administrador es ejecutar los subcódigos en el orden en

que se muestra en el diagrama de flujo de la Fig. 5.1.

Fig. 5.1 Diagrama de flujo del código “convergencia”

Estos códigos mostrados en el diagrama de flujo anterior a su vez ejecutan otros

códigos los cuales son mostrados en sus diagramas de flujo correspondientes. A

continuación, se describen las funciones de cada uno de estos códigos administrados a

Ejecución del código: “con_vis”

Ejecución del código: “fun_tem”

Ejecución del código: “cri_rot_ley_dil”

Ejecución del código: “cal_con”

Fin


193

la vez que se presentan sus diagramas de flujo. El listado del contenido de cada código,

se presenta en el apéndice III.

5.1.2.2 Código “con_vis”

Ejecutando el código “con_vis”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig.

5.2., se asignan las constantes viscoelásticas del medio (normalizadas con el parámetro

β del criterio de rotura). Constantes que se determinan siguiendo la metodología

propuesta en el apartado 4.4.8. Sus valores deben estar normalizados debido a que el

criterio de rotura del medio se ha formulado en la forma paramétrica de Serrano y Olalla

(2000).

La solución propuesta en esta tesis tiene en cuenta que el comportamiento por

fluencia de la interfase puede ser diferente al de la zona rota. Debido a ello es que, en

este código, las constantes viscoelásticas se asignan para cada una de las zonas por

separado. Esto permite que, cada zona sufra el tipo de fluencia que se ha presentado

realmente en cada una de las etapas del ensayo propuesto siguiendo la trayectoria de las

tensiones alrededor de la cavidad. Por este motivo las constantes viscoelásticas de

ambas zonas no tienen porque ser iguales sino que serán las que se obtengan de cada

etapa del ensayo de fluencia.

Fig. 5.2 Diagrama de flujo del código “con_vis”

Durante la ejecución de este código se muestra en el monitor del ordenador la

ventana interactiva de la Fig. 5.3. A través de ella se ingresan y se asignan los valores de

las constantes viscoelásticas.

Ejecución solicitada por el código: “convergencia”

Retorno al código “convergencia”

Ingreso de las constantes viscoelásticas de la interfase: 2121 ,,, ηηGG

Ingreso de las constantes viscoelásticas de la zona rota: rv

rrrrrr KKGG ηηη ,,,,,, 212121


194

Fig. 5.3 Ventana interactiva del código “con_vis”

5.1.2.3 Código “fun_tem”

Para calcular y graficar las funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ , se ejecuta el

código “fun_tem”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig. 5.4.

En este código se emplea la opción de cálculo simbólico del Matlab. Con este fin

la variable tiempo “ t ”, se declara como variable simbólica y por lo tanto las expresiones

finales de las funciones temporales serán objetos simbólicos los cuales se pueden

utilizar como argumentos de los comandos del cálculo simbólico.

Las funciones temporales ( )t0φ y ( )tr0φ ya han sido resueltas empleando el

método propuesto en el apartado 3.4.4 y sus expresiones son funciones de la variable

simbólica “ t ” escritas dentro de las líneas del código “fun_tem”. Para el caso de la

función temporal ( )truφ , se ha implementado el algoritmo del método anteriormente

mencionado. Esto debido a que no es posible factorizar el polinomio denominador de la

fracción polinómica en “ s ” sin antes conocer los valores de las constantes

viscoelásticas. En el proceso de solución, el primer paso es calcular las raíces del


195

polinomio denominador, operación que se ejecuta con los comandos que el Matlab tiene

implementados en sus librerías.

Fig. 5.4 Diagrama de flujo del código “fun_tem”

5.1.2.4 Código “sol_fup”

En este paso se ejecuta el código “sol_fup”, el cual a través del diagrama de

flujo mostrado en la Fig. 5.5 calcula la función ( )truφ . Para llegar a la solución de esta

función, primero se determina el número de raíces diferentes is del denominador de

( )sruφ y el número in de veces que se repite cada raíz. Esto se realiza a través de la

ejecución del código “can_rai” cuyo diagrama de flujo se muestra en la Fig. 5.6. El

algoritmo de este programa consiste en comparar una a una las raíces ir obtenidas y

almacenar las que son diferentes como is junto con el número de veces que se repite

cada una. Luego siguiendo el método mostrado en el apartado 3.3.5.2 se calcula los

coeficientes ijC y se conforma la función temporal a través de la sumatoria siguiente:

( ) ( )∑ ∑−

== =

−nr

i

in

j

tisjijru et

jC

t1 1

1

!1φ



Calculo de la función ( )tr0φ

Ejecución del gráfico de las funciones temporales ( )t0φ ( )tr

0φ y ( )truφ

- Conformación de la función ( ) ( )( )sNsMsr

u =φ .

- Cálculo de las raíces del polinomio denominador ( )sN .

- Conformación del vector ir formado con las raíces anteriores.

Ejecución del código: sol fup


196

Fig. 5.5 Diagrama de flujo del código “sol_fup”

Para: i=1 hasta nº raíces diferentes nr : ( )isspr −=

1>in

( ) inisspr −=

Ejecución solicitada por el código: fun_tem

Si

0=− jni

( )( )sNsMC

iij =

Para k=1 hasta ni-j

( )( )sNsM

dsd

ijin

jin

−

−

Ejecución del código: can_rai

( ) ( )pr

sNsNi =

( )( )( )

issijin

jin

iij sN

sMdsd

jnC

=−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=!

1

No

( ) ( )∑ ∑−

== =

−nr

i

in

j

tisjijru et

jC

t1 1

1

!1φ

( ) 0=truφ

Retorno al código: func temp zona plastica

Para: j=1 hasta ni

No

Si

Siguiente iteración del bucle



197

5.1.2.5 Código “can_rai”

Fig. 5.6 Diagrama de flujo del código “can_rai”

Para: i=1 hasta lr-1

i=posc

Para: j=i+1 hasta lr posc=posc+1

Ejecución solicitada por el código: sol_fup

posc=1, 1=nr , lr=tamaño de ir

No

Si

ji rr =

inrrs = , repn

nr= , 1+= nn rr

Salir del bucle

1+= reprep

irn rs =

repnnr

=

No

( ) ( )1,1, jrir =

jnrrs = , 1=

nrn

No

Resultado: nr raíces diferentes y nr exponentes de raíces

Si

Retorno al código: “fup”

Si


Lectura de los datos del vector ir del código “fun_tem”


198

5.1.2.6 Código “cri_rot_ley_dil”

A través del código “cri_rot_ley_dil”, cuyo diagrama de flujo se muestra en la

Fig. 5.7, se elije el criterio de rotura y la ley de dilatancia y se introducen los parámetros

correspondientes tratados en el apartado 3.7. Otro dato que se ingresa a través de este

código es la presión inicial del medio ( )0p , adimensionalizada con el parámetro β . Es

necesario recordar que debido a que se ha empleado la formulación de Serrano y Olalla,

todos los parámetros de la relación constitutiva deben ingresarse normalizados con el

parámetro β .

Fig. 5.7 Diagrama de flujo del código “cri_ rot_ley_dil”

5.1.2.7 Código “cal_con”

Ejecutando el código “cal_con” se conforma la expresión de la convergencia y

se grafica en función del tiempo. Para esto la variable tiempo t se declara previamente

como simbólica. En el caso del criterio de rotura de Mohr, la expresión de la

convergencia totalmente resuelta está expresada por la ecuación 5.1 y lo mismo sucede

cuando el criterio de rotura es el de Hoek & Brown modificado (GSI<25) cuya

expresión de la convergencia está dada por la ecuación 5.3. Cuando el criterio de rotura

es el de Hoek & Brown original (GSI>25) es necesario resolver primeramente las

integrales definidas en función de las cuales está dada la expresión de la convergencia

(ecuación 5.2). Este cálculo se ejecuta con el código “int_num” cuyo diagrama de flujo


Elección del criterio de rotura, de la ley de dilatancia e ingreso de los

parámetros correspondientes


Ingreso del dato: p0 (adimensionalizado con el parámetro β )


199

se muestra en la Fig. 5.9. Para ello la variable x que corresponde con el cambio de

variable mostrado en el apartado 3.7.2, se declara como variable simbólica.

Fig. 5.8 Diagrama de flujo del código “cal_con”

5.1.2.8 Código “int_num”

Los algoritmos de este código ejecutan el cálculo de las primitivas de las

integrales no definidas de la expresión de la convergencia (integrales cuyo límite

superior es la variable genérica x ). Este código también calcula las constantes de

integración. Para esto calcula los valores de las primitivas en la condición de contorno

de la expresión, condición en la que Rxx = .

Posteriormente, ejecuta el cálculo numérico de las integrales definidas entre los

límites ( )aR xx , a través del método de los trapecios.

Concluido este cálculo, se implementa la expresión total de la convergencia con

los términos que dependen del tiempo (funciones temporales) y los términos acrónicos

que dependen de las condiciones de contorno, del criterio de rotura y de la ley de

dilatancia del medio.

Finalmente se ejecuta el grafico de la convergencia en función del tiempo.



Ingreso de la variable: t_limite1 (límite de tiempo para el cálculo de la convergencia)

¿El criterio de rotura es el criterio original

de Hoek?

Conformación y gráfico de la función: ( )ta

θε

Ejecución del código: “int num”

Si

No


200

Fig. 5.9 Diagrama de flujo del código “int_num”

5.1.3 Casos resueltos

Con el objeto de ilustrar el empleo de las tres soluciones generales propuestas,

en los apartados siguientes se han resuelto los casos con cada criterio de rotura y con

cada ley de dilatancia propuesta. En cada caso se ha resuelto el cálculo de la

convergencia de un túnel de radio a=1.00 m, excavado a 150.00 m de profundidad en la

roca ensayada en el capítulo IV. Para facilitar la lectura de estos apartados, se ha

resumido sus propiedades en la tabla siguiente:

Tabla 5.1 Propiedades de la roca ensayada

Constantes viscoelásticas

Constante Valor

G1 1.35E3 MPa

G2 0.90E3 MPa

1η 3.50E5 MPa min

2η 3.625E7 Mpa min

K1 1.625E2 MPa

K2 2.25E2 MPa


Parámetros del criterio de rotura

Ajuste Mohr - Coulomb

c 1.146 MPa ϕ 40.62º

Ajuste Hoek & Brown

Ejecución solicitada por el código:“cal_con”

Declaración de la variable “x” como variable simbólica

Cálculo de las primitivas ( )xF de ( )xf de la ecuación 5.2: ( ) ( )∫ += CxFdxxf

Retorno al código: “cal_con”

Cálculo numérico de las integrales de la ecuación 5.2: ( ) ( ) ( )[ ]dxCxFxgxxHa

R

x

xaR ∫ +=,


201

mi 12

icσ 5 MPa

Propiedades físicas básicas


A partir de esta tabla, se han obtenido los parámetros correspondientes a cada

ajuste utilizado.

5.1.3.1 Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia

constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger

y de tipo Zener en compresión isótropa

En este caso, el medio tiene un comportamiento viscoelástico en compresión

isótropa. El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá de 1K , volη y 2K de la

Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. En

ausencia de un levantamiento geomecánico, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual

el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del

apartado 3.6.1.

5.1.3.1.1 Solución propuesta en la tesis

Para este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.1

rescrita a continuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qqq

nsen

qq

sent

sentsenn

nqqsenqtt

Donde cada uno de los parámetros de la expresión tiene el significado indicado

en el apartado 3.8.1. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas

del modelo normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:

731.2*0 =p , 3*

1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*

1 =η , día3*2 10*841.18=η ,

621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*

2 =K .

Utilizando el código “convergencia” para resolver este caso, se han calculado y

graficado las funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.10, Fig. 5.11 y Fig.

5.12), así como la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.13). Estos

resultados, se muestran en las cuatro figuras siguientes.


202

0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)

Función temporal de la interfase

Φ0(t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0(t)

Fig. 5.10 ( )t0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa

0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)

Función temporal de la zona rota

Φ0r (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0r (t)

Fig. 5.11 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,

comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa


203

0 1 2 3 4 5 6 71.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

x 10-3

X: 0Y: 0.001272

X: 6.989Y: 0.002888

Tiempo (días)


Φur (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φur (t)

Fig. 5.12 ( )truφ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,


0 5 10 15 20 25 30

2

3

4

5

6

7

8

x 10-3

X: 0Y: 0.002193

X: 29.95Y: 0.008289

Tiempo (días)

Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento

Con

verg

enci

a: ε

θa (t)

εθa(t)sin sost

Fig. 5.13 ( )taθε del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,



204

La Fig. 5.13, muestra que debido a las propiedades reológicas del medio, la

convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0022 hasta 0.0083 al

cabo de 30 días. Esta evolución continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el

mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.

5.1.3.2 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de

dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo

Burger y de tipo Zener en compresión isótropa

En este caso los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Hoek

y Brown. El valor empleado del GSI es igual a 100. Habiéndose considerado además

una ley de dilatancia lineal con º90max =ψ y º22=critρ de acuerdo con la recomendación

del apartado 3.6.2. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa como en

corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en esta tesis,

la cuales se muestran en la Tabla 5.1


En este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.2

reescrita a continuación:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−


dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

aa aa

aa

aR

xxR

xxR

xxxxR

xxR

xxxxR

xxxR

xru

xxR

xxR

xxxxR

xxxR

xr

xxR

xR

xRR

r

1212

10

0

21

1

10

δδδδδδ

δδδδ

δδ

δδφ

δφ

φφεθ

Donde cada uno de los parámetros tiene el significado indicado en el apartado

3.8.2. Los valores de la tensión inicial y de las constantes viscoelásticas del modelo,

normalizados con el parámetro MPa5.7=β (Serrano y Olalla) son: 487.0*0 =p ,

00.180*1 =G , 120*

2 =G , día408.32*1 =η , día3*

2 10*357.3=η , 667.21*1 =K , 00.30*

2 =K ,

díavol 259.9* =η . A continuación se muestran los gráficos obtenidos con el código

“convergencia”.

En la Fig. 5.17, se observa que debido a las propiedades reológicas del medio, la

convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.00469 hasta 0.01685

al cabo de 30 días. Esta evolución continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el



205

0 1 2 3 4 5 6 74

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

x 10-3

X: 6.989Y: 0.009026

X: 0Y: 0.004167

Tiempo (días)


Φ0(t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0(t)

Fig. 5.14 ( )t0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.

0 1 2 3 4 5 6 74

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

x 10-3

X: 0Y: 0.004167

X: 6.989Y: 0.009026

Tiempo (días)


Φ0r (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0r (t)

Fig. 5.15 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,

comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.


206

0 1 2 3 4 5 6 70.007

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

X: 0Y: 0.007143

X: 6.989Y: 0.01621

Tiempo (días)


Φur (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φur (t)

Fig. 5.16 ( )truφ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,


0 5 10 15 20 25 300.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

X: 0Y: 0.004686

X: 29.95Y: 0.01685

Tiempo (días)


Con

verg

enci

a: ε

θa (t)

εθa(t)sin sost

Fig. 5.17. ( )taθε del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=100), ley de dilatancia lineal,



207

5.1.3.3 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de

dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo


En este caso el valor empleado del GSI es igual a 20. De acuerdo con la

recomendación dada en el apartado 3.6.1., debida a diferentes autores, se ha empleado

un ángulo de dilatancia nula. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa

como en corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en

esta tesis, la cuales se muestran en la Tabla 5.1


En este caso, la solución de la convergencia está expresada por la ecuación 5.3

reescrita a continuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

11

10

kRq

RkR

ru

kRq

Ra eqq

kkteqtt φφε

θ




3*1 10*075.3=G , 3*

2 10*05.2=G , día658.553*1 =η , día3*

2 10*344.57=η , 159.370*1 =K ,

528.512*2 =K , díavol 187.158* =η . A continuación se muestran los gráficos de las funciones

temporales obtenidos con el código “convergencia”, (Fig. 5.18, Fig. 5.19 y Fig. 5.20).

Así mimo, en la Fig. 5.21, se observa que debido a las propiedades reológicas

del medio, la convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0389

hasta 0.1343 al cabo de 30 días. En este caso es más realista la determinación de las

constantes viscoelásticas del medio a partir de ensayos de fluencia de campo (por

ejemplo en galerías). Esto permitiría tomar en cuenta las condiciones de campo que

hacen que el GSI del macizo sea igual a 20. Probablemente se hubiese presentado la

fluencia terciaria en esos ensayos antes de llegar a este nivel de deformaciones. Sin

embargo, aquí se ha resuelto este caso con las propiedades reológicas de la roca intacta

(GSI=100), únicamente para ilustrar el empleo de la solución propuesta para un medio

viscoelástico – plástico con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown, GSI<25 y

ley de dilatancia nula.


208

0 1 2 3 4 5 6 7

3

3.5

4

4.5

5

x 10-4

Tiempo (días)


Φ0(t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0(t)

Fig. 5.18 ( )t0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa

0 1 2 3 4 5 6 7

3

3.5

4

4.5

5

x 10-4

Tiempo (días)


Φ0r (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0r (t)

Fig. 5.19 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,



209

0 1 2 3 4 5 6 7

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

x 10-4

Tiempo (días)


Φur (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φur (t)

Fig. 5.20 ( )truφ del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,


0 5 10 15 20 25 30

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

X: 0Y: 0.0389

Tiempo (días)


Con

verg

enci

a: ε

θa (t)

X: 29.95Y: 0.1343

εθa(t)sin sost

Fig. 5.21 ( )taθε del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=20), ley de dilatancia nula,



210

5.1.4 Validación de las soluciones propuestas

En cuanto a la validación de la solución propuesta, se debe decir que la

propuesta de esta tesis, es un aporte original al estudio de la convergencia por fluencia

en túneles; en la cual se emplean medios inéditos. Por este motivo, no es posible validar

todos los casos posibles de resolver con las soluciones propuestas en el apartado 5.1.1.

Lo que se ha hecho es contrastar la respuesta obtenida con esta nueva formulación para

los casos ya resueltos por otros autores.

Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales, el caso

particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D desarrollado por

Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico – plástico

“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D.



y elástico en compresión isótropa

En este caso, el medio tiene un comportamiento elástico en compresión isótropa.

El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá únicamente de su módulo de

rigidez volumétrica igual a 2K de la Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura

corresponden al ajuste de Mohr. En ausencia de un levantamiento geomecánico para el

caso, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a

4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.




( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qq

qn

senqq

sent

sentsenn

nqqsenqtt




731.2*0 =p , 3*

1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*

1 =η , día3*2 10*841.18=η ,


211

398.168*2 =K . Debido a que el medio implementado en el FLAC3D tiene las mismas

constantes viscoelásticas para ambas zonas alrededor del túnel, y lo que se pretende en

este caso es utilizar el mismo medio en la solución propuesta, estas se han empleado

tanto para la interfase como para la zona rota en la solución propuesta. Por el mismo

motivo se ha utilizado: díavol 974.51* =η , 3*1 10*621.121=K (1000 veces mayor que el de la

Tabla 5.1), para no tener en cuenta el comportamiento viscoelástico en cambio

volumétrico.

Utilizando el código “convergencia”, presentado en el apartado 5.1.2,

desarrollado para el cálculo de la solución propuesta, se han calculado y graficado las

funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.22, Fig. 5.23 y Fig. 5.24) así como

la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.25).

La última figura muestra que debido a las propiedades reológicas del medio, la

convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.0022 hasta 0.00807 al

cabo de 30 días. Evolución que continuará con el transcurso del tiempo siguiendo el


0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)


Φ0(t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0(t)

Fig. 5.22 ( )t0φ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.


212

0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)


Φ0r (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0r (t)

Fig. 5.23 ( )tr0φ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento

viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.

0 1 2 3 4 5 6 7

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

x 10-3 X: 6.989

Y: 0.001855

X: 0Y: 0.001272

Tiempo (días)


Φur (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φur (t)

Fig. 5.24 ( )truφ con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento

viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.


213

0 5 10 15 20 25 30

2

3

4

5

6

7

8

x 10-3

Tiempo (días)


Con

verg

enci

a: ε

θa (t)

εθa(t)sin sost


comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa.

5.1.4.1.2 Solución hallada con el FLAC3D

Para el cálculo de la solución a través de este programa de diferencias finitas se

ha escrito el código listado en el apéndice IV.

Teniendo en cuenta las condiciones de simetría de las cargas y de la geometría

del túnel, se ha analizado la cuarta parte de la sección transversal. Esto además para

disminuir el tiempo de cálculo el cual se reduce exponencialmente con la disminución

del tamaño de la malla.

En la Fig. 5.26, se muestra la condición de tensión inicial isótropa, igual a 0p , en

el contorno del modelo. También se muestran las condiciones impuestas debido a la

simetría axial y de deformación plana. Así como también el modelo viscoelástico –

plástico asignado al medio. Las condiciones de deformación plana están representadas a

través de la imposición de razones de deformaciones nulas en la dirección del eje axial.

Mientras que la axisimetría, esta representada por la imposición de la condición de

desplazamientos nulos en la dirección tangencial a la cavidad a lo largo del eje X y del

eje Z.


214

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Settings: Model Projection15:37:31 Mon Oct 13 2008

Center: X: 7.500e+000 Y: 5.000e-001 Z: 7.500e+000

Rotation: X: 0.000 Y: 0.000 Z: 0.000

Dist: 4.198e+001 Size: 1.670e+001

Job Title: Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc

Block Model: Mechanical Live mech zones shown

cviscous

FAP Maximum = 1.955e+006 Linestyle

Fixity Conditions Linestyle

Axes Linestyle

XY

Z

Fig. 5.26 Condiciones de simetría y tensiones de contorno

Como resultado de la aplicación de las condiciones de contorno anteriores, se ha

obtenido la Fig. 5.27. En esta figura se muestra las direcciones del tensor de tensiones

principales y el valor de la tensión isótropa inicial antes de la excavación del túnel.

Como se muestra, el valor de las componentes del tensor de tensiones principales es

igual a 0p . Así como también se muestra que las direcciones de las tensiones

principales son las de los ejes del sistema de coordenadas (x,y,z). Direcciones a partir de

las cuales se producirá la reorientación y redistribución de tensiones debido a la

excavación del túnel.

La Fig. 5.28 se ha obtenido luego de ejecutar el análisis por fluencia hasta 30

días después de la ejecución de la excavación. En esta figura se muestran dos

resultados: la historia de la evolución del desplazamiento de la pared del túnel en

función del tiempo transcurrido después de la excavación del mismo, y el gradiente del

desplazamiento alrededor del túnel al cabo de 30 días. Se muestra que la convergencia

evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.00216 hasta el valor de 0.00800 al

cabo de este periodo. La convergencia inicial se debería a las deformaciones

elastoplásticas del medio y la evolución de la convergencia a lo largo del tiempo a las

deformaciones viscoelásticas producidas por las propiedades reológicas del medio.


215

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Settings: Model Projection15:57:41 Mon Oct 13 2008

Center: X: 7.500e+000 Y: 5.000e-001 Z: 7.500e+000

Rotation: X: 0.000 Y: 0.000 Z: 0.000

Dist: 4.198e+001 Size: 1.670e+001


Block Contour of Min. Prin. Stress Live mech zones shown

-3.6490e+006 to -3.6400e+006-3.6500e+006 to -3.6490e+006

Interval = 1.0e+004

Principal Stresses Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Compression Linestyle Max Compression = -3.649e+006 Max Tension = 0.000e+000

Axes Linestyle

XY

Z

Fig. 5.27 Estado de tensiones iniciales y direcciones del tensor de tensiones principales

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 43662 Model Perspective16:58:03 Mon Oct 13 2008

Center: X: 1.500e+000 Y: 0.000e+000 Z: 1.500e+000

Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000

Dist: 4.198e+001 Mag.: 3Ang.: 22.500


Contour of Displacement Mag. Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown

1.1718e-003 to 2.0000e-003 2.0000e-003 to 3.0000e-003 3.0000e-003 to 4.0000e-003 4.0000e-003 to 5.0000e-003 5.0000e-003 to 6.0000e-003 6.0000e-003 to 7.0000e-003 7.0000e-003 to 8.0000e-003 8.0000e-003 to 8.0449e-003

Interval = 1.0e-003

Axes Linestyle

XY

Z

History

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Tiempo (segundos) x10^6

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0ur (m) x10^-3

3 Displacement Mag. Gp 177 Linestyle 2.971e-004 <-> 8.002e-003

Fig. 5.28 Evolución del desplazamiento de la pared del túnel y gradiente de desplazamientos alrededor del túnel al cabo de 30 días


216

En la Fig. 5.29, se muestra las nuevas direcciones del tensor de tensiones

principales debido a la redistribución de tensiones producida por la excavación del

túnel. Se observa que estas nuevas direcciones de las tensiones principales siguen las

direcciones tangencial, axial y radial del túnel. Siendo la tensión tangencial la mayor, la

axial la intermedia y la radial la menor. En la figura mencionada se muestra el gradiente

de la tensión radial alrededor del túnel. La cual aparece como la tensión máxima debido

a que es la más positiva.

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 43662 Model Projection18:11:30 Mon Oct 13 2008

Center: X: 1.285e+000 Y: 3.892e-001 Z: 9.076e-001

Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000

Dist: 4.198e+001 Size: 2.241e+000


Contour of SMax Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Gradient Calculation

-3.3693e+006 to -3.0000e+006-3.0000e+006 to -2.5000e+006-2.5000e+006 to -2.0000e+006-2.0000e+006 to -1.5000e+006-1.5000e+006 to -1.0000e+006-1.0000e+006 to -5.0000e+005-5.0000e+005 to -8.2719e+003

Interval = 5.0e+005


XY

Z

Fig. 5.29 Direcciones del tensor de tensiones principales y gradiente de la tensión radial

5 .1.4.1.3 Comparación de las soluciones

Exportando los resultados de la convergencia obtenidos por ambos métodos

(método analítico de la tesis y el método numérico del FLAC3D), hacia una hoja de

cálculo de Excel, se ha realizado la comparación de ambas soluciones. Esta

comparación, se ha mostrado en la Fig. 5.30, en ella se muestra la evolución del

desplazamiento de la pared del túnel calculado por ambos métodos. Se aprecia que la

respuesta es la misma, tanto en magnitud como en la forma de la evolución. Así la

diferencia inicial es de 0.00004 y al cabo de 30 días es de 0.00007.


217

Contraste de las soluciones

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000

Tiempo (seg)

Des

plaz

amie

nto

(m)

FLAC3D Tesis

Fig. 5.30 ( )tuar por ambos métodos. Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia

constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa






Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. Al

igual que en el caso anterior, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de

dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qq

qn

senqq

sent

sentsenn

nqqsenqtt




218


731.2*0 =p , 3*

1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*

1 =η , día3*2 10*841.18=η ,

621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*

2 =K .

Utilizando el código “convergencia” para resolver este caso, se han calculado y

graficado las funciones temporales de la expresión anterior (Fig. 5.31, Fig. 5.32 y Fig.

5.33), así como la evolución de la convergencia de la pared del túnel (Fig. 5.34).

En comparación con el caso anterior se observa que, debido a que en este, el

medio tiene un comportamiento viscoelástico en cambio volumétrico; tanto la función

temporal ( )truφ como la convergencia evolucionan de modo diferente a lo largo del

tiempo partiendo de los mismos valores iniciales. Así, tanto en la Fig. 5.33 como en la

Fig. 5.12, el valor inicial de la función temporal es de 0.001272. Para el caso de la

convergencia el valor para 0=t que se observa en la Fig. 5.34 y en la Fig. 5.13 es igual

a 0.00219. Esto es así debido a que para 0=t los términos viscoelásticos no intervienen.

Es decir que para ese instante inicial las deformaciones son únicamente de carácter

elastoplástico. Luego con el transcurso del tiempo, las deformaciones evolucionan de

modo diferente en función a las propiedades viscoelásticas del medio.

0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)


Φ0(t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0(t)

Fig. 5.31 ( )t0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.


219

0 1 2 3 4 5 6 70.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

x 10-3

Tiempo (días)


Φ0r (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φ0r (t)

Fig. 5.32 ( )tr0φ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,


0 1 2 3 4 5 6 71.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

x 10-3

X: 0Y: 0.001272

X: 6.989Y: 0.002888

Tiempo (días)


Φur (t

) n

orm

aliz

ada

con

ß

Φur (t)

Fig. 5.33 ( )truφ del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,



220

0 5 10 15 20 25 30

2

3

4

5

6

7

8

x 10-3

X: 0Y: 0.002193

X: 29.95Y: 0.008289

Tiempo (días)


Con

verg

enci

a: ε

θa (t)

εθa(t)sin sost



Como resultado de lo anterior, al cabo de 30 días, en este caso la convergencia

es mayor e igual a 0.008289. No es mayor debido a que en la trayectoria de las

tensiones únicamente hay variación de la presión isótropa en la zona rota, también

debido al poco tiempo transcurrido. Esta tendencia continuaría con el transcurso del

tiempo siguiendo el mismo patrón hasta que se presente la fluencia terciaria.

5.1.4.2.1 Solución para el instante inicial con el FLAC3D

Teniendo en cuenta que para 0=t , los términos viscoelásticos no intervienen. Es

decir que para ese instante inicial las deformaciones son únicamente de carácter

elastoplástico. Se presenta la Fig. 5.35, en la cual se muestra el corrimiento inicial de la

pared del túnel calculado por el método numérico del FLAC3D. Ya que si la solución

analítica propuesta en la tesis es correcta, para este caso, debe coincidir con la respuesta

numérica del FLAC3D. Esto se verifica ya que la convergencia que se observa en esa

figura, la cual es igual a 0.00216, es la misma que la convergencia inicial de la Fig. 5.13

obtenida con la solución propuesta.


221

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 4092 Model Perspective13:43:35 Fri Nov 28 2008

Center: X: 8.258e-001 Y: 7.553e-001 Z: 6.764e-001

Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000

Dist: 4.198e+001 Mag.: 9.77Ang.: 22.500


Block State Live mech zones shown

Noneshear-p

History

1.0 2.0 3.0 4.0

iteraciones x10^3

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

ur (m) x10^-3


Vs. Step 1.000e+001 <-> 4.090e+003

Axes Linestyle XY

Z

Fig. 5.35 Zona plastificada y desplazamiento elastoplástico de la pared del túnel para t = 0.

5.2 Caso del túnel con presión de sostenimiento

constante

El caso de la convergencia del túnel, con presión de sostenimiento constante, se

ha estudiado a partir de la evolución de las líneas características del medio. Las cuales

relacionan la convergencia ( )ia tθε con la presión de sostenimiento aσ para el instante de

tiempo it , en este sentido algunos autores también las han llamado líneas características

isócronas.

En el apartado 3.7 se han deducido las expresiones de la convergencia según la

formulación propuesta en esta tesis. Estas expresiones han sido deducidas para cada uno

de los medios propuestos y para una distancia radial, desde el eje del túnel, r genérica

dentro de la zona rota. Por lo tanto para el estudio de la convergencia de la pared del

túnel con presión de sostenimiento constante ha sido necesario particularizarlas para el

caso en el que ar = y 00 pa ≤≤ σ . Estas expresiones así particularizadas se presentan a

continuación.

Para el caso del medio con el criterio de rotura lineal de Mohr, y ley de

dilatancia constante; se ha obtenido la expresión siguiente:


222

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qqq

nsen

qq

sent

sentsenn

nqqsenqtt

(5.4)

Haciendo lo mismo para el caso del medio con el criterio de rotura no lineal de

Hoek & Brown (GSI>25), y ley de dilatancia lineal; se ha conseguido la expresión

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−


dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

aa aa

aa

aR

xxR

xxR

xxxxR

xxR

xxxxR

xxxR

xru

xxR

xxR

xxxxR

xxxR

xr

xxR

xR

xRR

r

1212

10

0

21

1

10

δδδδδδ

δδδδ

δδ

δδφ

δφ

φφεθ

(5.5)

Finalmente la expresión de la convergencia de la cavidad en el medio con; el

criterio de rotura no lineal de Hoek & Brown (GSI<25) y ley de dilatancia nula, es la

siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

11

10

kRq

RkR

ru

kRq

Ra eqq

kkteqtt φφε

θ (5.6)

En estas expresiones, intervienen las funciones temporales: ( ) ( ) ( )ttt ru

r φφφ ,, 00 que

dependen del comportamiento reológico del medio y que han sido tratadas en los

apartados 3.2 y 3.3. El significado de las demás variables se ha tratado en el apartado

3.7.

Para el cálculo y gráfico de la solución de la convergencia ( )ia tθε vs aσ se ha

escrito el código informático presentado a continuación.

5.2.1 Implementación informática de las soluciones propuestas

5.2.1.1 Código “lincar”

Para el cálculo de las líneas características, empleando la solución propuesta, se

ha desarrollado un código informático escrito en Matlab 7.0. El mismo que está

formado por un código administrador denominado “lincar” y un código administrado

llamado “dib_lin_car”. El código administrador además ejecuta los códigos

administrados “con_vis”, “fun_tem” y “cri_rot_ley_dil” ya tratados anteriormente en

el caso del túnel sin sostenimiento. Por lo tanto para la ejecución correcta de los códigos


223

es conveniente que todos estén en un mismo directorio, y de ese modo códigos

administradores llamarán a ejecución a sus correspondientes códigos administrados.

La Fig. 5.36 muestra el diagrama de flujo del código “lincar”. Como se ha dicho

este código a su vez ejecuta otros códigos, los cuales son mostrados en el diagrama de

flujo. De los cuales únicamente se tratará el código “dib_lin_car” ya que los demás han

sido tratados anteriormente en el caso del túnel sin sostenimiento.

Fig. 5.36 Diagrama de flujo del código “lincar”.

5.2.1.2 Código “dib_lin_car”

Este código ejecuta el cálculo y dibujo de las líneas características para los

tiempos it indicados a lo largo de su ejecución. A continuación se muestra el diagrama

de flujo de este código en la Fig. 5.37.

Ejecución del código: “con_vis”

Ejecución del código: “fun_tem”

Ejecución del código: “cri_rot_ley_dil”

Ejecución del código: “dib_lin_car”

¿Dibujar líneas características adicionales?

Si

fin

No


224

Fig. 5.37 Diagrama de flujo del código “dib_lin_car”

Ejecución solicitada por el código: “lincar”

Retorno al código “lincar”

Ingreso de los tiempos “ it ” para el cálculo de las líneas características

¿Si el criterio de rotura es el criterio original de Hoek?

Para 0=aσ hasta Ra σσ = (incremento Rσ1.0 )

Si

Cálculo de: ( ) ( ) ( )irui

ri ttt φφφ ,, 00

Para cada it

Para 0=aσ hasta Ra σσ = (incremento Rσ1.0 )

Graficar:

( )0p

vst a

ai

a σε

σθ

No

Ejecución del código: “int num”

Calcular:

( )0

,p

t a

ai

a σε

σθ




225

5.2.2 Casos resueltos

Con el objeto de ilustrar el empleo de la evolución de las líneas características en

el cálculo de la convergencia del túnel con presión de sostenimiento constante; en los

apartados siguientes, se han resuelto los casos calculados anteriormente en el apartado

5.1.3., pero esta vez con la cavidad sometida a diferentes presiones de sostenimiento

constante. Por lo tanto, al igual que para la condición del túnel sin sostenimiento, aquí

se resolverá el caso de un túnel de radio a=1.00 m, excavado a 150.00 m de profundidad

en la roca ensayada en el capítulo IV, cuyas propiedades se han mostrado en la Tabla

5.1.

A partir de esta tabla, se han obtenido los parámetros correspondientes a cada

ajuste dependiendo del criterio utilizado. Es decir, dependiendo del criterio de rotura del

medio en cada caso resuelto, se han tomado los parámetros del ajuste de Hoek y Brown

o del ajuste de Mohr.






Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Mohr. En

ausencia de un levantamiento geomecánico, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual

el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a 4/φ de acuerdo con la recomendación del

apartado 3.6.1.

Para este caso, la línea característica se calcula resolviendo la expresión de la

convergencia dada por la ecuación 5.4, rescrita a continuación, para el rango de

tensiones de sostenimiento: Ra σσ ≤≤0 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qqq

nsen

qq

sent

sentsenn

nqqsenqtt




226

del modelo, normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:

731.2*0 =p , 3*

1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*

1 =η , día3*2 10*841.18=η ,

621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*

2 =K .

Utilizando el código “lincar” para resolver este caso, se han calculado y

graficado las funciones temporales de la expresión anterior así como la evolución de las

líneas características del medio. Las funciones temporales del medio son las mismas que

las del caso del túnel sin sostenimiento ya que dependen únicamente de sus propiedades

viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí.

A continuación se muestra la evolución de la línea característica.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa

Evolución de la línea característica de la cavidad

t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 330 dt = 365 d

Fig. 5.38 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión

isótropa

A partir de esta evolución de la línea característica, se ha obtenido la evolución

de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento indicadas en la

figura siguiente.


227

Solución propuesta de la evolución de la convergencia(túnel con presión de sostenimiento constante)

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,3p0 0,075p0 0.5p0

Fig. 5.39 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento. Medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte

de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa


dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo


En este caso los parámetros del criterio de rotura corresponden al ajuste de Hoek

y Brown. El valor empleado del GSI es igual a 100. Habiéndose considerado además

una ley de dilatancia lineal con º90max =ψ y º22=critρ de acuerdo con la recomendación

del apartado 3.6.2. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa como en

corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en esta tesis,

la cuales se muestran en la Tabla 5.1





( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−


dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

aa aa

aa

aR

xxR

xxR

xxxxR

xxR

xxxxR

xxxR

xru

xxR

xxR

xxxxR

xxxR

xr

xxR

xR

xRR

r

1212

10

0

21

1

10

δδδδδδ

δδδδ

δδ

δδφ

δφ

φφεθ


228




00.180*1 =G , 120*

2 =G , día408.32*1 =η , día3*

2 10*357.3=η , 667.21*1 =K , 00.30*

2 =K ,

díavol 259.9* =η .





viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. A continuación se

muestra la evolución de la línea característica.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa



Fig. 5.40 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de dilatancia lineal, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en

compresión isótropa


de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento mostradas en la

figura siguiente.


229

Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,1p0 0,3p0 0,5p0

Fig. 5.41 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI>25), ley de dilatancia lineal, comportamiento

viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.

5.2.2.3 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de

dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo


En este caso el valor empleado del GSI es igual a 20. De acuerdo con la

recomendación dada en el apartado 3.6.1., debida a diferentes autores, se ha empleado

un ángulo de dilatancia nula. El medio es viscoelástico tanto en compresión isótropa

como en corte. Las constantes viscoelásticas del medio son los de la roca ensayada en

esta tesis, la cuales se muestran en la Tabla 5.1





( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

11

10

kRq

RkR

ru

kRq

Ra eqq

kkteqtt φφε

θ




230


3*1 10*075.3=G , 3*

2 10*05.2=G , día658.553*1 =η , día3*

2 10*344.57=η , 159.370*1 =K ,

528.512*2 =K , díavol 187.158* =η .





viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. A continuación se

muestra la evolución de la línea característica.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa



Fig. 5.42 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de dilatancia nula, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en

compresión isótropa.


de la convergencia de la cavidad para las presiones de sostenimiento mostradas en la

figura siguiente.


231

Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,1p0 0,3p0 0,5p0

Fig. 5.43 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI<25), ley de dilatancia nula, comportamiento

viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.

5.2.3 Validación de las soluciones propuestas

Al igual que para la validación de la solución propuesta de la convergencia del

túnel sin sostenimiento, en este caso a modo de validación se ha contrastado la respuesta

obtenida para los casos ya resueltos por otros autores.

Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales, el caso



“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D.

También y debido a que las deformaciones de los medios viscoelásticos –

plásticos propuestos, son elastoplásticas en el instante inicial ( 0=t ); también se han

resuelto los casos con los medios elastoplásticos empleados por Carranza y Fairhurst

(2000). Esto con el afán de por lo menos validar las soluciones generales propuestas,

con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown para el instante inicial. Ya que la

línea característica evoluciona a partir de la correspondiente a 0=t .




232

y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del

FLAC3D)

En este caso, el medio tiene un comportamiento elástico en compresión isótropa.

El cual, en cuanto a propiedades del medio, dependerá únicamente de su módulo de

rigidez volumétrica igual a 2K de la Tabla 5.1. Los parámetros del criterio de rotura

corresponden al ajuste de Mohr. En ausencia de un levantamiento geomecánico para el

caso, se ha considerado un GSI = 75 con lo cual el ángulo de dilatancia (ψ ) sería igual a

4/φ de acuerdo con la recomendación del apartado 3.6.1.





( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

−

−

11

1111

010

000

01

00

ψ

ψ

θ

ψ

ϕφ

ψφψ

ψφε

senn

a

RRRa

rur

senn

a

RR

a

qq

qn

senqq

sent

sentsenn

nqqsenqtt



del modelo, normalizados con el parámetro MPa336.1=β (Serrano y Olalla) son:

731.2*0 =p , 3*

1 10*010.1=G , 592.673*2 =G , día912.181*

1 =η , día3*2 10*841.18=η ,

621.121*1 =K , díavol 974.51* =η , 398.168*

2 =K .





viscoelásticas. Por este motivo ya no se han vuelto a graficar aquí. En las figuras

siguientes se muestra la evolución de la línea característica y la evolución de la

convergencia para tres presiones de sotenimiento.


233

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa


t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 10 dt = 15 dt = 30 dt = 45 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 dt = 210 dt = 240 dt = 270 dt = 300 dt = 336 d

Fig. 5.44 Evolución de la línea característica del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión

isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D).

Solución propuesta de la evolución de la convergencia(túnel con presión de sostenimiento constante)

0,00E+00

1,00E-02

2,00E-02

3,00E-02

4,00E-02

5,00E-02

6,00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis)

Fig. 5.45 Evolución de la convergencia de la cavidad para diferentes presiones de sostenimiento del medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en

corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D).


234

A partir de la evolución de la línea característica mostrada en la Fig. 5.44, se ha

obtenido la evolución de la convergencia de la cavidad para las presiones de

sostenimiento mostradas en la Fig. 5.45. Se ha calculado la solución para dos presiones

de sostenimiento diferentes. Con la primera, que ha sido 0.3p0, para hallar la respuesta

se emplearía la parte viscoelástica de línea característica. Mientras que con la segunda,

que ha sido igual a 0.075p0, se emplearía la parte viscoelástica – plástica de la línea

característica. De este modo se pretende comparar las respuestas para los dos estados

posibles del medio.

5.2.3.1.2 Solución hallada con el FLAC3D

Para el cálculo de la solución a través de este programa de diferencias finitas se

ha escrito el código listado en el apéndice IV. Aunque se han resuelto ambos casos del

apartado anterior, es decir: para la presión de sostenimiento de 0.3p0 y 0.075p0,

únicamente se muestra el desarrollo del primero para no repetir lo mismo. Sin embargo

la respuesta del segundo caso también se muestra en el gráfico comparativo del apartado

siguiente.

Debido a que con relación al caso de la cavidad sin sostenimiento lo único que

ha cambiado es la presión de sostenimiento, las condiciones de contorno y de simetría

siguen siendo las mismas y por ello ya no se han tratado ni justificado aquí. Ya que

estas pueden verse en el caso del túnel sin sostenimiento.

La Fig. 5.46 se ha obtenido luego de ejecutar el análisis por fluencia hasta 336

días después de la ejecución y sostenimiento de la excavación. En esta figura se

muestran dos resultados: la historia de la evolución del desplazamiento de la pared del

túnel en función del tiempo transcurrido después de la excavación del mismo, y el

gradiente del desplazamiento alrededor del túnel al cabo de 336 días. Se muestra que la

convergencia evoluciona con el tiempo desde el valor inicial de 0.001426 hasta el valor

de 0.03661 al cabo de este periodo. La convergencia inicial se debería a las

deformaciones elastoplásticas del medio y la evolución de la convergencia a lo largo del

tiempo a las deformaciones viscoelásticas producidas por las propiedades reológicas del

medio.

En la Fig. 5.47, se muestran las nuevas direcciones del tensor de tensiones

principales debido a la redistribución de tensiones producida por la excavación del

túnel. Se observa que estas nuevas direcciones de las tensiones principales siguen las

direcciones tangencial, axial y radial del túnel. Siendo la tensión tangencial la mayor, la


235

axial la intermedia y la radial la menor. En la figura mencionada se muestra el gradiente

de la tensión radial alrededor del túnel. La cual aparece como la tensión máxima debido

a que es la más positiva.

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 307363 Model Perspective20:11:32 Thu Dec 04 2008

Center: X: 1.500e+000 Y: 0.000e+000 Z: 1.500e+000

Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000

Dist: 4.198e+001 Mag.: 3Ang.: 22.500

Job Title: Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc

Contour of Displacement Mag. Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown

4.6672e-003 to 5.0000e-003 5.0000e-003 to 1.0000e-002 1.0000e-002 to 1.5000e-002 1.5000e-002 to 2.0000e-002 2.0000e-002 to 2.5000e-002 2.5000e-002 to 3.0000e-002 3.0000e-002 to 3.5000e-002 3.5000e-002 to 3.6660e-002

Interval = 5.0e-003

History

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Tiempo (segundos) x10^7

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

ur (m) x10^-2


Vs. 5 Creep Time

XY

Z

Fig. 5.46 Evolución del desplazamiento de la pared del túnel y gradiente de desplazamientos alrededor del túnel al cabo de 335 días; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante,

comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)

5.2.3.1.3 Comparación de las soluciones

Exportando los resultados de la convergencia obtenidos por ambos métodos

(método analítico de la tesis y el método numérico del FLAC3D), hacia una hoja de

cálculo de Excel, se ha hecho la comparación de ambas soluciones. Esta comparación,

se ha mostrado en la Fig. 5.48 en ella se muestra la evolución del desplazamiento de la

pared del túnel calculado por ambos métodos. Se observa que ambas soluciones

coinciden tanto en su magnitud como en la forma de la evolución a lo largo del tiempo.


236

FLAC3D 3.10

CEDEXJoseGuillermo

©2006 Itasca Consulting Group, Inc. Step 307363 Model Perspective20:23:18 Thu Dec 04 2008

Center: X: 1.202e+000 Y: 4.034e-001 Z: 8.354e-001

Rotation: X: 350.000 Y: 0.000 Z: 40.000

Dist: 4.198e+001 Mag.: 9.16Ang.: 22.500

Job Title: Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc

Contour of SMax Magfac = 0.000e+000 Live mech zones shown Gradient Calculation

-3.3571e+006 to -3.0000e+006-3.0000e+006 to -2.5000e+006-2.5000e+006 to -2.0000e+006-2.0000e+006 to -1.5000e+006-1.5000e+006 to -1.1158e+006

Interval = 5.0e+005


AxesXY

Z

Fig. 5.47 Direcciones del tensor de tensiones principales y gradiente de la tensión radial; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de

tipo Burger y elástico en compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)

Contraste entre la solución propuesta en la tesis y la simulación con el FLAC3D(túnel con presión de sostenimiento constante)

0,00E+00

1,00E-02

2,00E-02

3,00E-02

4,00E-02

5,00E-02

6,00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis) 0,3p0 (FLAC3D) 0,075p0 (FLAC3D)

Fig. 5.48 Evolución de la convergencia por ambos métodos; medio con con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en

compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)


237


dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de

tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa

Como se había mencionado al inicio del apartado 5.2.3, debido a que las

deformaciones de los medios viscoelásticos – plásticos propuestos, son elastoplásticas

en el instante inicial ( 0=t ); también se han resuelto los casos con los medios

elastoplásticos empleados por Carranza y Fairhurst (2000) en su artículo “Application

of the Convergence – Confinement Method of Tunnel Design to Rock Masses That

Satisfy the Hoek – Brown Failure Criterion”. Esto con el afán de: por lo menos validar

las soluciones generales propuestas, con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown

para el instante inicial. Teniendo en cuenta además, que a partir de ese instante, las

líneas características de los medios propuestos evolucionan únicamente en función a sus

propiedades viscoelásticas.

Con este motivo se han resuelto los tres casos de la publicación citada en el

párrafo anterior. En los tres casos, se han calculado las líneas características de una

cavidad de radio 1.00 m, considerando una presión isótropa inicial MPap 5.70 = . Así

mismo se han adoptado las siguientes propiedades del medio intacto: resistencia a

compresión simple MPaci 20=σ , parámetro del criterio de rotura 15=im , coeficiente de

Poisson 25.0=ν y ángulo de dilatancia º30=ψ . En cuanto a las propiedades del macizo

se han empleado tres valores del GSI, (50, 40 y 30), con lo cual las propiedades de los

medios han sido:

Tabla 5.2 Propiedades del medio

GSI mb s Grm (GPa)

50 2.5 3.9x10-3 1.8

40 1.8 1.3x10-3 1.0

30 1.2 0.4x10-3 0.6


Para este caso, la línea característica se ha calculado resolviendo la expresión de

la convergencia dada por la ecuación 5.2, rescrita a continuación, para el rango de



238

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

+++=

∫ ∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫

−−−−−+−−

−−−−−

−−


dxxexeadxxexeta

dxxexeqtaqtt

aa aa

aa

aR

xxR

xxR

xxxxR

xxR

xxxxR

xxxR

xru

xxR

xxR

xxxxR

xxxR

xr

xxR

xR

xRR

r

1212

10

0

21

1

10

δδδδδδ

δδδδ

δδ

δδφ

δφ

φφεθ



normalizados con el parámetro β (Serrano y Olalla) han sido:

Tabla 5.3 Propiedades de la roca ensayada

Parámetros normalizados

GSI = 50 GSI = 40 GSI = 30

β (MPa) 6.25 4.4 MPa 3

ζ 0.00499 0.00328 0.00267

p0* 1.20 1.7046 2.5

G1* 216 306.818 450

G2* 288 227.273 200

1η * 38.889 55.24 81.019

2η * 4.028 5.7213 8.391

K1* 26 36.9318 54.167

K2* 480 381.04 333.3

volη * 11.111 15.7827 23.148

En los tres casos, las constantes elásticas corresponden a las del medio

presentado en el apartado anterior, mientras que las constantes viscoelásticas

corresponden a las de la roca ensayada en la tesis.

Utilizando el código “lincar” para resolver estos casos, se han calculado y

graficado las evoluciones de las líneas características de los tres casos. Estos gráficos se

muestran a continuación.

Al comparar las tres figuras anteriores se observa que conforme se incrementa el

GSI del medio, la evolución de las líneas características es más lenta. Es así que para el

medio con GSI = 50; la convergencia llega a ser igual a 0.1683 al cabo de 180 días,

mientras que para el medio con GSI = 40; la convergencia llega a ser igual a 0.1734 al

cabo de 90 días, y para el caso con GSI = 30; la convergencia llega a ser igual a 0.1616

al cabo de 15 días.


239

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa


t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 d

Fig. 5.49 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=30), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa

Evolución de la línea característica de la cavidad (GSI 40)

t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 45 dt = 60 dt = 90 d

Fig. 5.50 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=40), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.


240

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σa/p

0

Convergencia: εθa


t = 0 dt = 1 dt = 2 dt = 4 dt = 7 dt = 15 dt = 30 dt = 60 dt = 90 dt = 120 dt = 150 dt = 180 d

Fig. 5.51 Medio con criterio de rotura no lineal de Hoek (GSI=50), ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y de tipo Zener en compresión isótropa.

Líneas caracteríticas para t = 0(Solución propuesta en la tesis)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Convergencia

Tens

ión

de s

oste

nim

ient

o / p

0

GSI 40 GSI 50 GSI 30

Fig. 5.52 Solución propuesta en la tesis para 0=t para los casos resueltos por Carranza y Fairhurst (2000)


241

En la Fig. 5.52, a modo de resumen, se presentan las líneas características para el

instante 0=t , las cuales se han extraído de las tres figuras anteriores. Las mismas son

las líneas características a partir de las cuales, estas evolucionan con el tiempo.

5.2.3.2.2 Solución propuesta por Carranza y Fairhurst (2000)

La Fig. 5.53 se ha copiado del artículo al que se hace referencia en el título de

este apartado, y en ella se muestran las líneas características debidas a las

deformaciones elastoplásticas de los tres medios resueltos en el apartado anterior. Es

decir para los medios con GSI = 30, GSI = 40 y GSI = 50. Las cuales se

corresponderían con las tres líneas características que se muestran en la Fig. 5.52. A

partir de las cuales cada línea característica evoluciona con el tiempo.

Fig. 5.53 Solución propuesta por Carranza y Fairhurst (2000).

5 .2.3.2.3 Comparación de las soluciones

Como se observa en la Fig. 5.54; las líneas características obtenidas con la

solución propuesta en esta tesis, y las líneas características halladas por Carranza –

Fairhurst (2000) son idénticas. Con lo cual se pueden sacar las siguientes conclusiones:

que la solución propuesta es correcta, y que el medio viscoelástico – plástico al inicio

sufre deformaciones elastoplásticas y luego a lo largo del tiempo sufrirá deformaciones

viscoelásticas.


242

Grafico comparativo de las líneas características para t = 0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00

ur (mm)

pi (M

Pa)

GSI 30 (TESIS) GSI 40 (TESIS) GSI 50 (TESIS) GSI 30 (C-F) GSI 40 (C-F) GSI 50 (C-F)

Fig. 5.54 Grafico comparativo de la solución propuesta en la tesis para 0=t , y la solución hallada por Carranza y Fairhurst (2000).

243

6 Conclusiones y futuras líneas de investigación

6.1 Conclusiones

Planteamiento del estudio

Las soluciones propuestas, en esta tesis, de las expresiones de la convergencia

axil simétrica en medios viscoelásticos - plásticos están basadas en un planteamiento

analítico del estado de tensiones y deformaciones alrededor del túnel. Así las

expresiones resultantes (apartado 3.8); se han deducido a partir de las condiciones de

equilibrio interno y de compatibilidad en deformación plana alrededor del túnel

(apartado 3.7).

En esta tesis, también se da a conocer un modo inédito de tratar los términos de

la convergencia que dependen de las propiedades viscoelásticas del medio. Términos a

los en este estudio se les ha llamado funciones temporales y que se representan por

( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ , (apartado 3.4). Estos términos, se han formulado de acuerdo con la

respuesta de la componente viscoelástica de los medios propuestos. Tal como se han

planteado en este estudio, cabe mencionar que las variables de estas funciones son las

constantes viscoelásticas del medio. Gracias a la formulación mecanicista de los medios

propuestos, se ha podido resolver el caso en que estos términos representen cambios

volumétricos viscoelásticos además de distorsiones angulares viscoelásticas.

El planteamiento empleado en la tesis, además ha permitido utilizar medios

viscoelásticos – plásticos con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown. Esto es un

aporte al estudio de las deformaciones por fluencia empleando medios viscoelásticos –

plásticos. Debido a que la resistencia de la roca no aumenta linealmente con el nivel de

la tensión de confinamiento es más adecuado utilizar criterios no lineales en lugar de

criterios lineales. Otra mejora es que al emplear este criterio es posible incorporar los

rasgos geológicos y geotécnicos del macizo rocoso que se pretende representar con el

medio.

Adicionalmente, con la formulación propuesta, se ha podido utilizar la ley de

dilatancia lineal, la cual no tiene el riesgo de incumplir con el postulado de

irreversibilidad de Praguer (1949), que es equivalente al segundo principio de la

termodinámica (apartado 3.6.1). Riesgo que si tiene la ley de dilatancia constante,

cuando se utiliza conjuntamente con criterios de rotura no lineales.

Capítulo 6 Conclusiones y futuras líneas de investigación

244

En cuanto a la validación de la solución propuesta, se debe decir que la

propuesta de esta tesis en la cual se emplean medios viscoelásticos-plásticos inéditos, es

un aporte original al estudio de la convergencia por fluencia en túneles. Por este motivo,

no es posible comparar las soluciones de todos los casos posibles de resolver con las

soluciones propuestas, en el apartado 3.8, con soluciones propuestas por otros autores.

Lo que se ha hecho es comparar la respuesta obtenida con esta nueva formulación, para

los casos particulares ya resueltos por otros autores. Esto teniendo en cuenta que la

solución obtenida en los casos particulares será correcta si es que lo es la solución

genérica a partir de la cual se deriva.

Con este fin, en el apartado 5.1.4 se ha resuelto a partir de las expresiones

genéricas el caso particular implementado por el código de diferencias finitas FLAC3D,

desarrollado por Itasca Consulting Group Inc. Este caso es el del medio viscoelástico –

plástico “CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D. En ese

apartado se observa que la respuesta hallada por ambos métodos es la misma tanto en

magnitud como en evolución a lo largo del tiempo.

Los medios propuestos

Con la formulación empleada, se ha conseguido resolver medios viscoelásticos –

plásticos que pueden exhibir cambios de forma y de volumen: elásticos y viscoelásticos

que se suceden en el tiempo y que son provocados por los diferentes tipos de fluencia.

Pero además, los medios propuestos, pueden exhibir estos tipos de fluencia en la

magnitud, orden y duración en las que se presentan en los experimentos de fluencia a

partir de los cuales se obtienen las constantes viscoelásticas.

Todos los medios reológicos propuestos por otros investigadores son

compresibles elásticamente o incompresibles. Sin embargo, en esta tesis se han

propuesto medios que pueden exhibir cambio volumétrico viscoelástico, el cual se

ajustaría al comportamiento reológico observado por diversos investigadores en las

rocas porosas (apartado 2.3.2.2).

Con la formulación propuesta, el medio podría reproducir de forma mas realista

la fluencia en cada una de las zonas alredor del túnel, ya que sus funciones temporales

se implementan a partir de las constantes viscoelásticas obtenidas experimentalmente

aplicando los estados de tensiones de cada zona alrededor del túnel (apartado 4.4.8.3).

Para el caso de las funciones temporales de la zona rota, estas se implementarán

con las constantes reológicas determinadas con la relajación de tensiones gobernada por


245

el criterio de rotura y la presión de sostenimiento esperada (apartado 4.4.8.3.3). En esta

etapa de relajación de tensiones, el comportamiento de la roca ensayada es

viscoelástico-plástico. La predominancia de la deformaciones viscoelásticas o plásticas

dependerá de las propiedades reológicas de la roca rota, de la ley de dilatancia y de la

magnitud de la relajación de tensiones.

En el cálculo de la convergencia de la pared del túnel, basta con emplear la

evolución de la interfase viscoelástica como condición de contorno, tal como se ha

hecho en la solución propuesta en esta tesis (ecuación 3.40). Esta afirmación se ha

comprobado al obtener los mismos resultados con la respuesta analítica y con los

métodos numéricos, los cuales toman en cuenta la evolución de toda la zona

viscoelástica (apartados 5.1.4 y 5.2.3).

Procedimiento propuesto de ensayo de fluencia triaxial

El método de ensayo de fluencia triaxial con la trayectoria de tensiones

propuesta, permite hallar las constantes reológicas del material sano antes de la rotura

del material y después de la rotura (apartado 4.4.8.3), sometiéndolo en ambos casos al

campo de tensiones apropiado (al que estará sometido alrededor del túnel), partiendo

además de las condiciones iniciales de tensión y deformación de cada una de las zonas

que se presentan alrededor del túnel.

La finalidad de los ensayos de fluencia triaxial realizados ha sido la de obtener

experimentalmente las constantes viscoelásticas del medio, para luego implementar las

funciones temporales ( )t0φ , ( )tr0φ y ( )tr

uφ , con las constantes viscoelásticas deducidas.

Debido a que las deformaciones viscoelásticas dependen de la historia de tensiones que

ha sufrido el medio, en esta tesis se propone ejecutar los ensayos triaxiales de fluencia

siguiendo una trayectoria de tensiones similar a la que sufre el medio alrededor del

túnel, y que es mostrada en la Fig. 6.1. Para ello, el ensayo se debe ejecutar en las tres

etapas siguientes:

d.) Etapa isótropa. En esta etapa la trayectoria de tensiones es: 00 p→ , y se

consigue aplicando el siguiente incremento de tensiones principales 0

31 p== δσδσ . Con esta etapa se pretende restablecer las condiciones

iniciales de campo antes de la apertura del túnel, en las cuales 10 =K .

e.) Etapa desviadora. En ella la trayectoria de tensiones va de: '0 Bp → . Con esta

etapa se reproduciría una trayectoria de tensiones similar a la que sufre la


246

interfase debido a la apertura del túnel. Esta etapa se debe ejecutar a

continuación de la anterior y a partir de cuando se ha logrado el equilibrio

inicial del medio (velocidad de deformación nula). En esta etapa 0=pδ , por

lo tanto 13 21 δσδσ −= y ( ) ( ) plazo cortoaplazo largoa 00 pqqpq RR << δ . Los

incrementos de tensión de esta etapa serían relativos a los de la etapa

isótropa.

f.) Etapa de relajación. En esta etapa la trayectoria de tensiones va de '' AB → ,

(Fig. 6.1). La razón de los incrementos de tensión pδ y qδ son gobernados

por el criterio de rotura a través de la relación:

ρδδ senpq

=

Siendo: ρ el ángulo de rozamiento instantáneo, 2

31 δσδσδ −=q y

32 31 δσδσ

δ+

=p . Estos incrementos de la tensión son relativos a la etapa

anterior, y al igual que en aquella etapa se aplicarían súbitamente. Se

propone que esta etapa se ejecute después que la velocidad de deformación

de la etapa anterior sea nula o haya llegado a un valor constante. Si la

velocidad de deformación de la etapa anterior ha llegado a ser nula, sería

evidencia de que para ese nivel de tensiones el material únicamente ha

sufrido deformaciones retrasadas debido a la fluencia transitoria, también

llamada primaria. De lo contrario, si la velocidad de deformación ha llegado

a un valor constante sería evidencia de que el material está sufriendo la

fluencia secundaria. En este caso, se propone que esta tercera etapa de

relajación de tensiones se ejecute después de que las deformaciones totales

de la etapa anterior hayan sido mayores a las deformaciones de rotura a

corto plazo.

Esto permitirá implementar las funciones temporales de la interfase y de la zona

rota con las constantes reológicas determinadas empleando el campo de tensiones

apropiado para cada caso Partiendo además de las condiciones iniciales de tensión y

deformación supuestas en las hipótesis de esta tesis.


247


Empleo de las líneas características de los medios reológicos

En el apartado 3.9 se ha propuesto el método de cálculo de la evolución de la

convergencia de la cavidad con presión interior constante. El método está basado en el

concepto de las líneas características de los medios reológicos, las cuales evolucionan

con el tiempo como se muestra en la Fig. 6.2. Se propone para los casos de túneles en

los que se espera grandes deformaciones por fluencia y cuyos sostenimientos ejercen

presión de soporte constante después de la deformación inicial elástica, como se

muestra en la figura siguiente. Este tipo de sostenimiento podría ser el caso formado por

cimbras metálicas con juntas deslizantes, colocadas tempranamente. En la figura 3.23,

se muestra el detalle de este tipo de junta en la cimbra conocida como “Top Hat”.

Fig. 6.2 Trayectoria de tensiones válida para el empleo de las líneas características en el cálculo de la convergencia de la cavidad con sostenimiento.


248

Al igual que para la validación de la solución propuesta de la convergencia del

túnel sin sostenimiento, en este caso a modo de validación se ha comparado la respuesta

obtenida para los casos ya resueltos por otros autores.

Con este fin, se ha resuelto a partir de las expresiones generales el caso



“CVISC”, implementado y denominado de este modo en el FLAC3D. Al comparar los

resultados obtenidos por ambos métodos, se observa que las respuestas son idénticas,

como se muestra en la figura siguente.

Contraste entre la solución propuesta en la tesis y la simulación con el FLAC3D(túnel con presión de sostenimiento constante)

0,00E+00

1,00E-02

2,00E-02

3,00E-02

4,00E-02

5,00E-02

6,00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (días)

Cor

rimie

nto

de la

par

ed (m

)

0,3p0 (tesis) 0,075p0 (tesis) 0,3p0 (FLAC3D) 0,075p0 (FLAC3D)

Fig. 6.3 Evolución de la convergencia por ambos métodos; medio con criterio de rotura lineal de Mohr, ley de dilatancia constante, comportamiento viscoelástico en corte de tipo Burger y elástico en

compresión isótropa (modelo “CVISC” del FLAC3D)

Asimismo, teniendo en cuenta que las deformaciones de los medios

viscoelásticos – plásticos propuestos son elastoplásticas en el instante inicial ( 0=t ),

también se han resuelto los casos con los medios elastoplásticos empleados por

Carranza y Fairhurst (2000). Esto con el afán de por lo menos validar las soluciones

generales propuestas, con el criterio de rotura no lineal de Hoek y Brown para el

instante inicial, ya que la línea característica evoluciona a partir de la correspondiente a

0=t .


249

Las líneas características obtenidas con la solución propuesta son idénticas a las

líneas características calculadas por Carranza y Fairhurst (2000), como se observa en la

Fig. 6.4.

Grafico comparativo de las líneas características para t = 0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00 55,00 60,00

ur (mm)

pi (M

Pa)

GSI 30 (TESIS) GSI 40 (TESIS) GSI 50 (TESIS) GSI 30 (C-F) GSI 40 (C-F) GSI 50 (C-F)

Fig. 6.4 Grafico comparativo de la solución propuesta en la tesis para 0=t , y la solución hallada por Carranza y Fairhurst (2000).

Finalmente, aquí se recalca que debido a que los medios viscoelásticos-plásticos

son medios hereditarios, únicamente se puede calcular la evolución de la convergencia

del túnel sostenido, empleando las líneas características, si es que la trayectoria de

tensiones en la pared del túnel sigue la trayectoria con la que se construyen estas líneas.

Es decir, si es que es constante o en descarga como se muestra en la figura Fig. 6.2.

Por lo tanto, no se deberían utilizar las líneas características de los medios

viscoelásticos – plásticos, para calcular la convergencia de la pared del túnel cuando la

presión ejercida por el sostenimiento aumenta con el tiempo. Este sería el caso en el que

la presión ejercida por el sostenimiento, sobre la pared del túnel, aumentara en la

medida en que el sostenimiento restringiese el corrimiento de la pared a lo largo del

tiempo.

Esto conlleva a la siguiente conclusión: el empleo clásico del método

convergencia – confinamiento en rocas viscosas produce doble error en el cálculo de la

de la presión sobre el sostenimiento. Primero, debido a que no se toma en cuenta la


250

fluencia de la roca y, segundo, debido a que la trayectoria de tensiones del método no es

correcta.

Durante el desarrollo de este trabajo de investigación, han ido surgiendo ideas de

futuras líneas de investigación que ampliarían y complementarían el alcance de este

trabajo. A partir de estas ideas y de las conclusiones presentadas en el apartado 6.1, se

proponen las siguientes líneas de investigación.

6.2 Futuras líneas de investigación

Estudio de la convergencia con evolución de la presión de

sostenimiento

Resolver el caso del túnel sostenido siguiendo la trayectoria de tensiones

mostrada en la Fig. 6.5. Se propone esta línea de investigación teniendo en cuenta que

esa sería la trayectoria de tensiones que sufriría el medio al colocarle un sostenimiento

elastoplástico un tiempo 0t después de la excavación del túnel. Lo anterior, siempre que

la tensión del sostenimiento evolucione a lo largo del tiempo como resultado de su

interacción con el medio viscoelástico – plástico.

Debido a que estos medios son hereditarios, es decir, medios en los que las

deformaciones a lo largo del tiempo dependen de toda la trayectoria de tensiones del

pasado, no es correcto utilizar el concepto de las líneas características para estudiar el

caso en el que la trayectoria de tensiones es la mostrada por la Fig. 6.5. No es correcto

porque en el concepto de las líneas características la trayectoria de tensiones siempre

produce la relajación de la tensión de sostenimiento. Mientras que en el caso mostrado

en esta figura, se produce la relajación total de la tensión de sostenimiento, relajación

que se mantiene mientras no se coloque el sostenimiento (hasta 0t ), y después de su

colocación se produciría el incremento de la tensión siguiendo un proceso de carga

neutra a lo largo del tiempo e influenciado por la rigidez del sostenimiento.

En la Fig. 6.5, sK sería la rigidez equivalente del sostenimiento, 0t el momento

de su colocación, y ( )ia tσΔ el incremento de la tensión sobre el sostenimiento para el

tiempo it .


251

Fig. 6.5 Evolución de la convergencia y la tensión en la pared del túnel cuando se retrasa la colocación del sostenimiento.

Para el desarrollo de esta línea de investigación, se propone calcular la evolución

de la convergencia del túnel con sostenimiento empleando las formulaciones y los

resultados de esta tesis. Precisando mas, se propone calcular la convergencia de la

cavidad sostenida ( )( )tcaθε , sumando a la convergencia de la cavidad sin sostenimiento

( )( )taθε , la reducción de carácter viscoelástico producida por la evolución del

confinamiento ejercido por el sostenimiento ( )( )tcfaθε como se muestra en la Fig. 6.6a.

Con lo cual la expresión de la convergencia de la cavidad sostenida sería:

( ) ( ) ( )tttt cfaacaθθθ εεε −+= 0;0

Por otra parte, como se muestra en la misma figura, la expresión de la

convergencia del sostenimiento se puede escribir como:

( ) ( ) ( )0;0ttt acasaθθθ εεε −=

La que a su vez es igual a:

( ) ( ) ( )∫==t

as

sasa d

KKtt

0

1/ τσσεθ

Con lo cual la evolución de la tensión sobre el sostenimiento se podría calcular a

partir de la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )ttKt cfaasa θθ εεσ −Δ= 0;/


252

Siendo, ( )0;taθεΔ el incremento de la convergencia de la cavidad sin

sostenimiento a partir del momento 0t de la colocación del mismo, y ( )tcfaθε la

reducción de carácter viscoelástico debido a la evolución del confinamiento producido

por el sostenimiento, como se muestra en la Fig. 6.6a.

El incremento de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento ( )0;taθεΔ , se

podría calcular con las soluciones halladas en esta tesis, y la reducción debida a la

evolución del confinamiento con la integral de convolución siguiente:

( ) ( )τ

ττε

ε θθ d

dd

tt cfa

cfa ∫=0

Siendo ( ) ( ) ( )τσσ

γτεθ dddqqBd cfa

2−= , expresión en la que los factores se han

tratado en el capítulo tres.

Fig. 6.6: a.) Evolución de la convergencia de la pared del túnel sostenido; b.) Evolución de la presión de sostenimiento.


253

Para este caso propuesto, la tensión sobre el sostenimiento evolucionaría en

función a las propiedades reológicas y al nivel de tensiones iniciales del medio. En el

caso mas drástico esta tensión evolucionaría hasta llegar a ser igual a la presión inicial

0p como se muestra en la Fig. 6.6b.

Implementación informática de los medios propuestos a través de los

métodos numéricos

Programar el modelo viscoelástico – plástico, con criterio de rotura no lineal de

Hoek y Brown y ley de dilatancia lineal, para su empleo en el análisis por fluencia de la

roca a través de los métodos numéricos. Una opción para llevar a cabo esta propuesta

podría ser utilizar la plataforma del FLAC3D. Esto es factible debido a que este código

informático tiene la opción “modelos constitutivos del usuario”. Opción que permite

programar modelos constitutivos propios, empleando el lenguaje de programación

Visual C++.Net, y utilizarlos en las simulaciones numéricas ejecutadas a través del

FLAC3D.

Incorporación de criterios de rotura dependientes del tiempo

Los medios viscoelásticos – plásticos poseen criterios de rotura acrónicos. Para

tener en cuenta que debido a la evolución de las deformaciones de la zona viscoelástica,

se puede producir la fluencia terciaria, se propone el estudio de la convergencia por

fluencia empleando medios viscoelásticos – viscoplásticos. Con lo cual, la zona rota no

solamente evolucionaría debido a las componentes viscoelásticas de sus deformaciones

y a las condiciones que le impone la interfase, sino que además crecería debido a que el

criterio de rotura sería función del tiempo.

254

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260

Apéndice 1

Deducción de las

expresiones de la convergencia

Medio con criterio de rotura de Mohr Coulomb Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI>25) Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI<25)

Apéndice 1 Deducción de las expresiones de la convergencia

261

Medio con criterio de rotura de Mohr Coulomb

( ) ∫∫ ∫ =−

=−

=−

=q

Rq

q

Rq

q

RqR q

dqsenndq

senqndq

senqBqqH

000 1)1(1)(,

ννν

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−

=R

R qq

sennqq

senn ln

1lnln

1 00 νν

( )qnqB =

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=− 01

0

lnln1

,ν

ν

senn

RRR q

qqq

sennqqH

( )[ ]01lnln

01,expν

νsen

n

qRq

qRq

senn

R eeqqH−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

− ==−

( )[ ] 01,exp

νsenn

RR q

qqqH−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

sR

R Gq

=γ

( ) ( )[ ] ( )[ ]qHdqqHsenG

sensen

q

Rq r −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

− ∫ expexp1

21

0

0

νϕμν

01)(ln)( νsenn

qqH −=

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

01

1)(exp

νsennq

qH

[ ]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

==−01

01 1)(expν

ν

senn

senn

q

qqH

( ) ( )[ ] ( )[ ] =−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+

− ∫ qHdqqHsenG

sensen

q

Rq r expexp1

21

0

0

νϕμν


262

( ) ( )[ ] ( )[ ]qHdqqHsenG

sensen

q

Rqr

r

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

= ∫ expexp1

21

0

0

νϕμ

ν

( ) ( )( ) ( )∫ −−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅−

+−

=q

Rq

senn

senn

rr dqqqsensenGsenG

sen 0101

00

0

1121

1νν

νϕμ

νν

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅−

+−

=00

0

1121

1 νϕμ

νν

sensenGsenGsenA rr

( )

q

qR

senn

senn

q

senn

qA1

01

0

01

11

1 +−−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

= νν

ν

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+−

= −−+

−−+

−−

0101

0101

0

001

11

νν

νν

ν

νν

sensenn

Rsen

sennsen

n

qqsenn

senqA

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−− 1

01101

0

001

00

0

11

1121

1ννν

νν

νϕμ

νν sen

n

Rsen

nsen

n

r

r

r qqsenn

senqsensenGsenG

sen

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] BAqHdqqH

senGqEqqH

q

Rq r

r

RR −=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−= ∫ expexp1

,exp0ν

γγ

( )[ ] 01,exp

νγ

senn

Rs

RRR q

qGqqqHA

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

−

R

senn

Rr

r

r qqqq

sennsenGGsenB

01

0

0

11121 ν

νϕμν

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=→−=→−=

q

Rq

q

RqR

RdqqBdqqBdqB

dqd γεεγεγε

θθ

θε

θεθ

θ

222

∫∫∫∫ +−=−

−=−=q

Rq

q

RqR

q

RqR

q

RqR dq

qBndq

qAndq

qBAndq

qn

22)(

22 θθθθ εεγεε

21 XXR +−= θθ εε


263

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

=

−−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

−−+

−−

−−

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−+−

−

∫ ∫

010101

01

0

0110101

110101

1

12

122

12

ννν

νννν

ν

ν

ν

senn

Rsen

nsen

n

Rs

q

Rq

senn

q

Rq

q

Rq

senn

Rssen

nsen

n

Rs

senn

Rs

R

qqn

senqGn

senn

qqGndqqq

Gndq

qq

Gq

qnX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−

−

−1

21

21 01

0010

1

νν νν senn

RRsRR

senn

Rs q

qqGsenqq

qq

GsenX

( )

( )

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+==

−

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

−−

−

∫∫

∫

∫∫

11

1

1

1

11121

22

010

3

010

3

0

01101

3

101

101

3

101

101

3

101

0

012

ν

ν

νννν

νν

ν

ν

ν

ν

νϕμν

senn

RRR

R

senn

RRR

q

Rq

senn

senn

RR

q

Rq

senn

q

Rq

senn

R

q

Rq

senn

senn

R

q

RqR

senn

Rq

Rq r

r

r

qqq

nsenqqX

qqqq

nsenqqX

senn

qqqqXdqqqdqX

dqqqX

dqqqqqq

sennsenGGsenndqqBnX

( ) ( ) ( ) ( )tXtXtt R 21 ++= θθ εε

( ) ( )tqRt sR 0Φ=θε

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+Φ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−=

Φ−=

−1

111

11

01

4

0003

40

32

4001

ν

μ νϕν

νν

senn

R

rr

RR

Rs

qqX

sennsentsentntX

Xqn

senqqtXtX

XqtsentX


264

Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI>25)

( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq

senGqHqEqqH

q

Rq rRR −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−= ∫ exp1exp,exp

νγγ

( )ρμν

sensenqE

r21−+=

321 γγγγ ++=

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∫

∫

−−

−−=

−−−=

−=

q

Rq r

r

q

Rq r

RR

sensenGqHqH

dqsenG

qHsenqH

qqH

ρνμγ

ννγ

γγ

1exp21exp

1expexp

,exp

3

2

1

( )[ ]( )

∫ −−

=−dq

senqB

eqH ν1exp

( )qsen

qB 111⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρ

dpdqsen =ρ

Utilizando el criterio de rotura de Hoek y Brown:

( ) 1111

11

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=→

+=

qqqB

qsen ρ

crit

crit

sensensena

ρνρ

−=

1max

Ley de dilatancia lineal

( ) ( )( ) δνϕλν

qaasenasensen

++

−+=−→−=1111

2

( )

( ) ( )∫∫++

−+−=

−−

δν

qaa

dqdqsenqB

111

1 2 siendo ( )21 a+

=λδ y

critsensen

ρνλ

−=

1max

Cambio de variable: δ−++

=aqx

11


265

( )( )

( ) ( )( )2

2

2

22

2 1111

11

11

δδδ

++

=++

→+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

→+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

xq

qa

xqax

aq

( ) ( )axq ++=+ 11 δ ; ( ) dxadq += 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+=+

++−+=

++

−+δδ

δδ

xa

xaxa

qaa 11111

111 2

2

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

∫ ∫ ∫+

+++

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

++

++

−=

++

−+−⇒

xx

axdxa

aq

qa

dq

qaa

dq

2

22 11

11

11

111 δ

δδδ

( ) ( )xxdxx

x logδδ+−=

+−⇒ ∫

( )[ ] ( ) xxx exeqH −−+− ==−⇒ δδ logexp

( )[ ]qqH RR ,exp1 −= γγ ; Rs

sR

R qGq

02φγ ==

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )RxRxxxRR eexxHqqH loglogexp,exp δδ ++−=−−=−

( ) ( ) δδδδ φφγ −−−+−+ == xexeqeeq xR

RxR

sxxRxRxR

s0

loglog01 22

( )[ ] ( )[ ]( ) dq

senGqHsenqH

q

Rq r∫ −−−=

ννγ

1expexp2

( )[ ] ( )xxeqH logexp δ+−−=−−

( ) aqasen −

++

= δν11 2

; ( ) ( )( ) δν

qaasen

++

−+=−1111

2

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

xx

aa

xx

xa

a

xa

axa

aq

qa

aqa

qa

sensen δδδδ

δδ

δ

δ

νν +

+−=

++

−=+

++−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−++

=− 1

111

11

11

11

11

1

2

2

2

2

( )( ) ( ) dxae

xx

aa

xGe xx

x

Rxr

xx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−−= +

+−

∫ 11

loglog

2δ

δ δδγ

( ) ( ) ( )δδδδδδ

δδδ

δδδδ

δδδδ

xeaxexeaxeaxeaxe

xexaxeaaexx

xa

ax

xxxxxx

xxx

−=−−+=

+−+=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

−−−−

−−

1111

11111

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫−

−− x

Rx

x

Rx

xxr

x

dxxeadxxeG

ex δδδ

δγ 12


266

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫−−−

x

Rx

x

Rx

xxxr dxxeadxxeex δδδ δφγ 102 2

( )[ ] ( ) ( )[ ]( )∫ −

−−−=

q

Rq

r

dqsensenG

qHqHρν

μγ1

exp21exp3

( ) ( )( )

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

++

=++

−+=− δδνaq

qa

qaasen

11

11

1111

22

; q

sen+

=1

1ρ

Cambio de variable:

( )( ) ρν

δδ sensen

xx

aqx −=

+⇒−

++

= 111

2

( ) ( ) ( ) ( )∫∫

++−=+

+−−= −−−−

x

Rx

xru

xx

Rx

xr

rx dx

xxexaexdxaex

xx

Gex

δδδδ δφδμγ

22

3 12121

( ) ( ) 1212222

222 −+ ++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++=

+= δδδδ

δδ

δδδ

δδδδ xexexexe

xx

xxexx

xxex xxxx

xx

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−= ∫ ∫∫ −+−−

x

Rx

x

Rx

xxx

Rx

xru

x dxxedxxexeaex 1213 212 δδδδ δδφγ

Cálculo de la convergencia unitaria

( )∫−=−

q

RqR dqqB γεε θθ 2

; ( ) 1=qB ; Rs

sRR

R qGq

022φγεθ ===

( )∫ ∫ ∫ ++−=−=−=q

Rq

q

Rq

q

RqR

sR

sR dqqdqqdq 32100 2

121

21

γγγφγφγεε θθ

Cambio de variable:

δ−++

=aqx

11 ; ( ) dxadq += 1

( ) ( )∫ +++

−=x

RxR

s dxaq 3210 21 γγγφεθ

∫∫ −−=x

Rx

xR

RxR

sx

Rxdxxexeqdx δδφγ 01 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= ∫ ∫∫∫∫ −−−−−

x

Rx

x

Rx

xx

Rx

xxx

Rx

xrx

Rxdxxeexadxxeexdx δδδδδφγ 1

02 2

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−= ∫∫∫∫∫∫∫ −−−−−+−− dxxeexdxxeexgxeexadx

x

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xru

x

Rx

1213 212 δδδδδδ δφγ


267

En forma compacta

( ) ( )3213210 IIIIIIq RRs ++−=++−= θθ εφε

Siendo:

( ) ∫ −−+=x

Rx

xR

RxR

s dxxexeqaI δδφ01 1

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= ∫∫∫∫ −−−−−

x

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xr dxxeexadxxeexaI δδδδδφ 102 1

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−= ∫ ∫∫∫∫∫ −−−−−+−−

x

Rx

x

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xx

Rx

xxx

Rx

xru dxxeexdxxeexdxxeexaI 1212

3 21 δδδδδδ δδφ


268

Medio con criterio de rotura de Hoek & Brown (GSI<25)

Solución de la ecuación no homogénea

( )1211 +−

−=+ − kk qkG

qkdqd μγγ

Solución homogénea

dqqkdqkdqd kk 11 0 −− −=→=+

γγγγ

( )[ ]qHe dqkqkh −== ∫ −− exp

1γ ; ( )[ ] kqqH −=−

qkh e−=γ

Solución no homogénea

( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]qHdq

senGqHqEqqH

q

RqRR −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−= ∫ exp1exp,exp

νγγ

110 =−→= νν sen

( ) ( ) ( )121 +−= kqkqE μ ; ( )[ ] kqeqH =exp ; ( )[ ] kqeqH −=−exp

( ) ( )kR

kq

Rq

kR qqqqqH −−=−=− ,

( )[ ] kRqkq

kRqkq

R eeqqH +−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

==− ,exp

21 γγγ +=

( )[ ] kqkRq

sR

RR eeGqqqH −=−= ,exp1 γγ

( ) ( ) ( )121 +−= kr qkqE μ

( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kqr

rkqkr

r

kqkr

eG

eqkGG

eqksenG

qHqE μμμν

21211211exp −

+−

=+−

=−

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

∫ ∫

∫−

−

q

Rq

q

Rq

kqkqkkqr

r

q

Rq

kqkqkr

rkq

dqedqeqkeG

dqeeqkG

e

μ

μγ

21

212


269

Integrando por partes

kevdqqedv

kqkkq =→= −1 ; dqkduqku =→=

∫ ∫−=⇒ dqk

ekk

eqkdqeqkkqkqkqk

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⇒ ∫ ∫− dqedq

kek

keqke

Gkq

kqkqkqr

rμγ 212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

q

Rq

kqkqru eqeφγ 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= −

kRq

Rkqkqr

u eqeqeφγ 22

Cálculo de la convergencia

( ) ( ) ( )∫ ∫ +−=−=q

Rq

q

RqRR dqqBdqqB 212

121 γγεγεε θθθ

( ) 1−= kqkqB

( ) ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−== −−−−

q

Rq

kRqkq

kRq

Rskqk

q

Rq

kRq

sR eeeqdqeqke

GqdqqB 0

11 22

1φγ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

∫ 121

01

kqkRq

Rs

q

RqeqdqqB φγ

( )

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−−

+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

−−++

−+

−−

−−

∫∫

∫∫

11

1

1

21

11

11

1

1

12

kqkRq

RkR

kru

kRqkq

kRq

RkR

kru

q

Rq

kqkRq

R

q

Rq

kru

q

Rq

kqkq

Rq

kRq

Rkr

u

q

Rq

kqkRq

Rkr

u

q

Rq

eqqqk

k

eeeqqqk

k

eeqqk

k

dqeqkeqqk

dqeeqqqkdqqB

φ

φ

φ

φ

φγ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −−++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ − k

RqkqkRq

RkR

kru

kqkRq

Rs

Rs eeeqqq

kkeqq 11

00 11 φφφεθ

[ ] ( ) [ ]( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+−

++−= ++ 1exp

1exp 11

0kk

RRkR

kru

kkRR

s qqqqqk

kqqq φφεθ

270

Apéndice 2

Resultados de los ensayos

Difracción de rayos X • M5083A1 (clave IGME: 07037633) • M5083A2 (clave IGME: 07037634) • M5085A (clave IGME: 07037636) • M5094D (clave IGME: 07037647) • M5094C (clave IGME: 07037650) • M5098A1 (clave IGME: 07037658) • M5098A2 (clave IGME: 07037659) Fluorescencia de rayos X • M5083A1 (clave IGME: 600-33) • M5083A2 (clave IGME: 600-34) • M5085A (clave IGME: 600-36) • M5094D (clave IGME: 600-47) • M5094C (clave IGME: 600-50) • M5098A1 (clave IGME: 600-58) • M5098A2 (clave IGME: 600-59) Resistencia a compresión simple • M5083A1 • M5085A • M5094C • M5098A1 Fluencia triaxial • M5094D • M5098A2

Apéndice 2 Ensayos realizados

271

DRX M5083A1 (clave IGME: 07037633)


272



273

DRX M5085A (clave IGME: 07037636)


274

DRX M5094D (clave IGME: 07037647)


275

DRX M5094C (clave IGME: 07037650)


276



277



278

Estimación semi cuantitativa de los análisis de DRX


279

Continuación de la estimación semi cuantitativa de los

análisis de DRX


280

Análisis de FRX


281

Continuación de FRX


282

Ensayo de compresión simple (M5083A1)

Ensayo de compresión simple (M 5083A1)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6


Tens

ión

axia

l (M

Pa)

Tensión de rotura: 6,10 MpaDeformación de rotura: 0,75%

Diámetro: 49,50 mmAltura: 102,9 mmDensidad: 2,44 gr/cm3

Parámetros del ensayo de compresión simple (M5083A1)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 100 200 300 400 500 600

Tiempo (seg)

Fuer

za (T

n)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00D

efor

mac

ión

(%)

Fuerza (Tn) Deformación


283

Ensayo de compresión simple (M5085A)

Ensayo de compresión simple (M5085A)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5


Tens

ión

axia

l (M

Pa)



Parámetros del ensayo de compresión simple (Muestra 5085A)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,00 1200,00

Tiempo (seg)

Fuer

za (T

n)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00D

efor

mac

ión

(%)

Fuerza Deformación


284

Ensayo de compresión simple (M5094C)

Ensayo de compresión simple (M 5094C)

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


Tens

ión

axia

l MP

a



Parámetros del ensayo de compresión simple (Muestra 5094C)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Tiempo (seg)

Fuer

za (K

N)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00D

efor

mac

ion

(%)

Fuerza Def prim etapa Def segunda etapal


285

Ensayo de compresión simple ()

Ensayo de compresión simple (M5098A1)

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3


Tens

ión

axia

l (M

Pa)



Parámetros del ensayo de compresión simple (M 5098A1)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Tiempo (seg)

Fuer

za (K

N)

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00D

efor

mac

ión

(%)

Fuerza Def primera etapa Def segunda etapa


286

FLUENCIA TRIAXIAL (M5094D)

Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, q=0 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0


Def

orm

ació

n re

lativ

a a

la e

tapa

isót

ropa

(%)


Muestra 5094D etapa1: p=3,75 Mpa, etapa2: p=3,75 MPa, q= 4,125 MPa, etapa3: p=2,87 MPa, q=3,55 MPa

0,00

4,00

8,00

12,00

0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0 9000,0


Fuer

za a

xial

sob

re la

mue

stra

(KN

)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Con

finam

ient

o (b

ar)

F/muestra (KN) Confinamiento (bar)


287

Altura (mm): 80,5 Diametro (mm): 39,9 Peso (g) 249,2

Fecha Hora Tiempo Fuerza lvdt fijo Confina lvdt movil Etapa(minutos) (KN) (mm) (bar) (0,1 mm) Dato C1 Dato C2 Dato C3 Dato C4 (p;q)

% *100 % *100 % *100 % * 100 MPa31/07/2008 19:43 0,1 5 25,7 37,5 -22 10 9,8 -49,2 -67,8 (3,75;0)31/07/2008 19:44 0,2 11 26,1 10,6 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,3 11 26,1 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,7 11 26,1 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,7 11 26,5 10,5 -19,2 -14,8 -27,8 -42,8 -61,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,8 13 26,5 10,1 -18,8 -17,2 -31 -42,4 -60,6 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 0,9 12 26,5 10,3 -18,4 -18,8 -32,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 1 12 26,5 10 -18,4 -20 -33,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:44 1,1 12 26,5 10 -18,4 -20,4 -34,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,2 12 26,5 10 -18,4 -20,4 -34,6 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,3 12 26,5 10 -18,4 -20,8 -35 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,4 12 26,5 10 -18,4 -20,8 -35 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,5 12 26,5 11 -18,4 -20,8 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,6 12 26,5 11 -18 -21,2 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,7 12 26,5 10,8 -18 -21,2 -35,4 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,8 12 26,5 10,9 -18 -21,2 -35,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 1,9 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -35,8 -42 -60,2 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 2 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:45 2,1 12 26,5 10,9 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,2 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,3 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,2 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,4 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,5 12 26,5 11 -18 -21,6 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,6 12 26,5 10,8 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,7 12 26,5 10,9 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,8 12 26,5 10,9 -18 -22 -36,6 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 2,9 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 3 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:46 3,1 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,2 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,3 12 26,5 10,9 -18 -22 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,4 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,5 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,6 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,7 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,8 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 3,9 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:47 4 12 26,5 10,9 -18 -22,4 -37,4 -42 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:48 5 12 26,5 10,9 -18 -22,8 -37,8 -42,4 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:49 6 12 26,5 10,9 -18 -22,8 -38,6 -42,4 -59,8 (3,75;4,125)31/07/2008 19:50 7 13 26,5 11 -17,6 -24,4 -40,2 -42,4 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:51 8 13 26,5 11 -17,6 -24,8 -41,4 -42 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:52 9 13 26,5 10,9 -17,6 -25,2 -42,2 -42 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:53 10 13 26,5 10,9 -17,6 -25,2 -42,6 -41,6 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:54 11 13 26,5 10,9 -17,2 -25,6 -43 -41,6 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:55 12 13 26,5 10,8 -17,2 -25,6 -43,8 -41,2 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:56 13 13 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,2 -41,2 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:57 14 13 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,6 -40,8 -59,4 (3,75;4,125)31/07/2008 19:58 15 12 26,5 10,8 -17,2 -26 -44,6 -40,8 -59,4 (3,75;4,125)

MUESTRA: 5094D

Bandas vert Bandas horiz


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31/07/2008 20:13 30 12 26,5 10,6 -16,8 -26,8 -47,8 -39,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:28 45 12 26,5 10,7 -16,8 -27,2 -49,4 -38,8 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:43 60 12 26,5 10 -16,8 -27,2 -50,2 -38,4 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 20:58 75 12 26,5 10,1 -16,8 -27,2 -51 -38 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:13 90 12 26,5 10,1 -16,8 -27,6 -51,4 -37,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:28 105 12 26,5 10,2 -16,4 -27,6 -52,2 -37,6 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:43 120 12 26,5 10,3 -16,4 -27,6 -52,2 -37,2 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 21:58 135 12 26,5 10,7 -16,4 -27,6 -53 -37,2 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:13 150 13 26,5 10,1 -16,4 -28 -53,8 -36,8 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:28 165 12 26,5 10,3 -16,4 -28 -54,2 -36,4 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:43 180 12 26,5 10,6 -16,4 -28 -54,6 -36 -59 (3,75;4,125)31/07/2008 22:58 195 12 26,5 10,1 -16,4 -28 -54,6 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:13 210 12 26,5 10,4 -16,4 -28 -55 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:28 225 12 26,5 10 -16,4 -28 -55 -35,6 -58,6 (3,75;4,125)31/07/2008 23:43 240 12 26,5 10,4 -16 -28,4 -55,4 -35,2 -58,2 (3,75;4,125)31/07/2008 23:58 255 12 26,5 10 -16,4 -28,4 -55,8 -35,2 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:13 270 12 26,5 10,4 -16,4 -28 -55,8 -35,2 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:28 285 12 26,5 10,1 -16 -28 -55,8 -34,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:43 300 12 26,5 10,4 -16 -28 -55,8 -34,8 -58,6 (3,75;4,125)01/08/2008 0:58 315 12 26,5 10,1 -16 -28 -56,2 -34,8 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:13 330 12 26,5 10,5 -16 -28 -56,2 -34,8 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:28 345 12 26,5 10,2 -16 -28 -56,6 -34,4 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:43 360 12 26,5 10,4 -16 -28 -56,6 -34,4 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 1:58 375 12 26,5 10,1 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:13 390 12 26,5 10,6 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:28 405 12 26,5 10,3 -16 -28 -57 -34 -58,2 (3,75;4,125)01/08/2008 2:43 420 12 26,5 10 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 2:58 435 12 26,5 10,5 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:13 450 12 26,5 10,2 -16 -28 -57 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:28 465 13 26,5 10,1 -16 -28,4 -57,8 -33,6 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:43 480 13 26,5 10,6 -16 -28,4 -57,8 -33,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 3:58 495 13 26,5 10,2 -16 -28,4 -57,8 -33,2 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 4:13 510 13 26,5 10,7 -16 -28 -57,8 -32,8 -57,8 (3,75;4,125)01/08/2008 4:28 525 12 26,5 10,3 -16 -28 -57,8 -32,8 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 4:43 540 12 26,5 10 -16 -28 -58,2 -32,8 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 4:58 555 12 26,5 10,4 -16 -28 -57,8 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:13 570 12 26,5 10,5 -16 -28 -57,8 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:28 585 12 26,5 10,1 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:43 600 12 26,5 10,5 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 5:58 615 12 26,5 10,1 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 6:13 630 12 26,5 10,6 -16 -28 -58,2 -32,4 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 6:28 645 12 26,5 10,2 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 6:43 660 12 26,5 10,6 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 6:58 675 12 26,5 10,2 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 7:13 690 12 26,5 10,5 -16 -27,6 -58,2 -32 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 7:28 705 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -32 -55,8 (3,75;4,125)01/08/2008 7:43 720 12 26,5 10,5 -16 -27,6 -58,2 -32 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 7:58 735 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 8:13 750 12 26,5 10,4 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 8:28 765 12 26,5 10,1 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -56,6 (3,75;4,125)01/08/2008 8:43 780 12 26,5 10,3 -16 -27,6 -58,2 -31,6 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 8:58 795 13 26,5 10 -16 -28 -59,4 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 9:13 810 13 26,5 10,3 -16 -28 -59,4 -31,6 -57,4 (3,75;4,125)01/08/2008 9:28 825 13 26,5 10,6 -15,6 -28 -59,4 -31,2 -56,6 (3,75;4,125)01/08/2008 9:33 830,1 13 26,5 10,1 -15,6 -28 -59,4 -31,2 -57 (3,75;4,125)01/08/2008 9:43 840 13 26,5 10 -16 -28 -59,4 -31,2 -56,6 (3,75;4,125)


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06/08/2008 11:45 8161,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8161,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8162 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:45 8162,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,6 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8162,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8163 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:46 8163,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -3,2 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8163,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8164 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:47 8164,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,2 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8164,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,8 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8165 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:48 8165,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,4 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,5 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,6 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,7 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,8 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8165,9 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8166 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:49 8166,1 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,2 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,3 10 26,5 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:50 8166,5 10 26,9 5 -15,2 -28,4 -64,6 -2,4 -57,8 (2,87;3,55)06/08/2008 11:53 8169,6 10 26,9 5 -14,8 -29,6 -66,6 8,4 -59,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:53 8170 10 48,1 5 -14,8 -29,6 -67 13,2 -59,4 (2,87;3,55)06/08/2008 11:58 8175 10 51,3 5 32,4 -3,5 -80,4 20,1 47,2 (2,87;3,55)


293

FLUENCIA TRIAXIAL (M5098A2)

Deformación de las bandas extensométricas, Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa; etapa2: p=3,75 MPa, q=4,125 Mpa; etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

0,8000,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0


Def

orm

ació

n (%

)


Muestra 5098A2 etapa1: p=3,75 Mpa, etapa2: p=3,75 MPa, q= 4,125 MPa, etapa3: p=3,31 MPa, q=3,84 MPa

0,00

4,00

8,00

12,00

0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 5000,0 6000,0 7000,0 8000,0


Fuer

za a

xial

sob

re la

mue

stra

(KN

)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Con

finam

ient

o (b

ar)

F/muestra (KN) Confinamiento (bar)


294

Altura (mm): 77,2 Diametro (mm): 38,3 Peso (g) 222,2

Fecha Hora Tiempo Fuerza lvdt fijo Conf lvdt movil Etapa(minutos) (KN) (mm) (bar) (0,1 mm) Dato C1 Dato C2 Dato C3 Dato C4 (p;q)

% *100 % *100 % *100 % * 100 MPa08/08/2008 12:05 32 4 25,7 38 -10,2 20,8 14,3 -46,0 -59,8 (3,75;0)08/08/2008 12:05 32,4 11 26 10,7 -7,3 8 -14,7 -36,6 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:06 33 11 26,1 10,6 -6,8 5,9 -19,3 -34,6 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:07 34 11 26,1 10,9 -6,6 4,9 -21,4 -33,9 -60,1 (3,75;4,125)08/08/2008 12:08 35 12 26,1 10,9 -6,4 4 -23 -33,3 -60 (3,75;4,125)08/08/2008 12:09 36 11 26,2 10,8 -6,3 3,3 -24,7 -32,7 -59,9 (3,75;4,125)08/08/2008 12:10 37 11 26,2 11 -6,2 2,8 -25,6 -32,4 -59,9 (3,75;4,125)08/08/2008 12:11 38 11 26,2 10,7 -6,1 2,4 -26,4 -32,1 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:12 39 11 26,2 10,8 -6,1 2,2 -26,9 -31,9 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:13 40 11 26,2 10,9 -6,1 2 -27,3 -31,8 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:14 41 11 26,2 10,9 -6 1,8 -27,6 -31,7 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:15 42 11 26,2 11 -6 1,7 -27,9 -31,6 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:16 43 11 26,2 11 -6 1,5 -28,1 -31,5 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:17 44 11 26,2 10,6 -5,9 1,4 -28,4 -31,4 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:18 45 11 26,2 10,6 -5,9 1,3 -28,7 -31,3 -59,8 (3,75;4,125)08/08/2008 12:33 60 11 26,2 10,3 -5,7 0,2 -30,9 -30,6 -59,7 (3,75;4,125)08/08/2008 12:48 75 12 26,2 10,3 -5,5 -1,2 -33,9 -29,7 -59,2 (3,75;4,125)08/08/2008 13:03 90 12 26,2 10,3 -5,3 -1,9 -35,5 -29,2 -59 (3,75;4,125)08/08/2008 13:18 105 12 26,3 10,3 -5,3 -2,3 -36,4 -28,9 -58,9 (3,75;4,125)08/08/2008 13:33 120 12 26,3 10,1 -5,2 -2,5 -37 -28,7 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 13:48 135 11 26,3 10,2 -5,2 -2,7 -37,5 -28,6 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:03 150 11 26,3 10,3 -5,2 -2,9 -37,8 -28,5 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:18 165 11 26,3 10,2 -5,1 -3,1 -38,1 -28,4 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:33 180 11 26,3 10,2 -5,1 -3,2 -38,5 -28,3 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 14:48 195 11 26,3 10,1 -5,1 -3,2 -38,6 -28,2 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:03 210 11 26,3 10,3 -5,1 -3,3 -38,7 -28,2 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:18 225 11 26,3 10,4 -5 -3,5 -39,1 -28,1 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:33 240 11 26,3 10,2 -5 -3,6 -39,3 -28,1 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 15:48 255 11 26,3 10,4 -5 -3,7 -39,5 -28,0 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 16:03 270 11 26,3 10,4 -5 -3,8 -39,6 -28,0 -58,8 (3,75;4,125)08/08/2008 16:18 285 11 26,3 10,1 -5 -3,8 -39,7 -27,9 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 16:33 300 11 26,3 10,4 -5 -3,9 -40,1 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 16:48 315 11 26,3 10,3 -5 -4 -40,2 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:03 330 11 26,3 10,2 -5 -4 -40,2 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:18 345 11 26,3 10,2 -5 -4 -40,3 -27,8 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:33 360 11 26,3 10,1 -4,9 -4,3 -40,7 -27,7 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 17:48 375 11 26,3 10,2 -4,9 -4,3 -40,8 -27,7 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 18:03 390 11 26,3 10,1 -4,9 -4,4 -40,9 -27,6 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 18:18 405 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,1 -27,6 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 18:33 420 11 26,3 10,1 -4,9 -4,5 -41,2 -27,5 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 18:48 435 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,2 -27,5 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 19:03 450 11 26,3 10,5 -4,9 -4,5 -41,3 -27,5 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 19:18 465 11 26,3 10,4 -4,9 -4,5 -41,3 -27,5 -58,7 (3,75;4,125)08/08/2008 19:33 480 11 26,3 10,3 -4,8 -4,7 -41,6 -27,4 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 19:48 495 11 26,3 10,4 -4,8 -4,7 -41,7 -27,4 -58,6 (3,75;4,125)08/08/2008 20:03 510 12 26,3 10 -4,8 -5 -42,2 -27,3 -58,5 (3,75;4,125)08/08/2008 20:18 525 12 26,3 10,3 -4,8 -5,1 -42,5 -27,2 -58,4 (3,75;4,125)08/08/2008 20:33 540 12 26,3 10,3 -4,7 -5,2 -42,7 -27,1 -58,4 (3,75;4,125)08/08/2008 20:48 555 12 26,3 10,1 -4,7 -5,3 -42,9 -27,1 -58,3 (3,75;4,125)

MUESTRA: 5098A2

Bandas vert Bandas horiz


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08/08/2008 21:03 570 12 26,3 10,3 -4,7 -5,3 -43 -27,1 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:18 585 12 26,3 10,2 -4,7 -5,4 -43,1 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:33 600 12 26,3 10,4 -4,7 -5,4 -43,2 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 21:48 615 12 26,3 10,1 -4,7 -5,5 -43,3 -27,0 -58,2 (3,75;4,125)08/08/2008 22:03 630 11 26,3 10,4 -4,7 -5,5 -43,4 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:18 645 11 26,3 10 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:33 660 11 26,3 10,4 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 22:48 675 11 26,3 10,2 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:03 690 11 26,3 10,1 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:18 705 11 26,3 10,2 -4,7 -5,5 -43,5 -26,9 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:33 720 11 26,3 10,3 -4,7 -5,5 -43,5 -26,8 -58,1 (3,75;4,125)08/08/2008 23:48 735 12 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -43,9 -26,8 -58 (3,75;4,125)09/08/2008 0:03 750 12 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -44 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:18 765 12 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:33 780 12 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 0:48 795 12 26,3 10,5 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,9 (3,75;4,125)09/08/2008 1:03 810 12 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,1 -26,7 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:18 825 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:33 840 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,8 (3,75;4,125)09/08/2008 1:48 855 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,2 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:03 870 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,3 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:18 885 11 26,3 10,4 -4,6 -5,7 -44,3 -26,6 -57,7 (3,75;4,125)09/08/2008 2:33 900 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,3 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 2:48 915 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,3 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:03 930 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:18 945 11 26,3 10,3 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,6 (3,75;4,125)09/08/2008 3:33 960 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 3:48 975 11 26,3 10,1 -4,6 -5,7 -44,4 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:03 990 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,5 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:18 1005 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,5 (3,75;4,125)09/08/2008 4:33 1020 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 4:48 1035 11 26,3 10,2 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 5:03 1050 11 26,3 10 -4,6 -5,7 -44,5 -26,4 -57,4 (3,75;4,125)09/08/2008 5:18 1065 12 26,3 10,1 -4,6 -5,9 -44,9 -26,3 -57,3 (3,75;4,125)09/08/2008 5:33 1080 12 26,3 10,2 -4,5 -5,9 -45 -26,3 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 5:48 1095 12 26,3 10,1 -4,5 -5,9 -45,1 -26,3 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 6:03 1110 12 26,3 10,3 -4,5 -5,9 -45,2 -26,2 -57,2 (3,75;4,125)09/08/2008 6:18 1125 12 26,3 10,1 -4,5 -6 -45,2 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 6:33 1140 12 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,2 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 6:48 1155 12 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,3 -26,2 -57,1 (3,75;4,125)09/08/2008 7:03 1170 11 26,3 10,1 -4,5 -6,1 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:18 1185 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:33 1200 11 26,3 10 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 7:48 1215 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 8:03 1230 11 26,3 10,2 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -57 (3,75;4,125)09/08/2008 8:18 1245 11 26,3 10 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 8:33 1260 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 8:48 1275 11 26,3 10,3 -4,5 -6 -45,4 -26,1 -56,9 (3,75;4,125)09/08/2008 9:03 1290 12 26,3 10 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:18 1305 12 26,3 10,1 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:33 1320 11 26,3 10,3 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 9:48 1335 11 26,3 10,2 -4,5 -6,1 -45,6 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:03 1350 11 26,3 10,2 -4,5 -6,2 -45,7 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:18 1365 11 26,3 10,3 -4,5 -6,2 -45,7 -26,0 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:33 1380 11 26,3 10,3 -4,5 -6,2 -45,7 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)09/08/2008 10:48 1395 11 26,3 10,3 -4,5 -6,3 -45,9 -25,9 -56,8 (3,75;4,125)


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12/08/2008 23:33 6480 11 26,4 10,3 -3,7 -10,1 -54,3 -23,2 -54,1 (3,75;4,125)13/08/2008 0:33 6540 11 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -54 (3,75;4,125)13/08/2008 1:33 6600 12 26,4 10 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -53,9 (3,75;4,125)13/08/2008 2:33 6660 12 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,3 -23,1 -53,8 (3,75;4,125)13/08/2008 3:33 6720 11 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,4 -23,1 -53,5 (3,75;4,125)13/08/2008 4:33 6780 11 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,4 -23,0 -53,7 (3,75;4,125)13/08/2008 5:33 6840 11 26,4 10 -3,7 -10 -54,3 -23,0 -53,6 (3,75;4,125)13/08/2008 6:33 6900 12 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,5 -23,0 -53,5 (3,75;4,125)13/08/2008 7:33 6960 12 26,4 10,2 -3,7 -10 -54,5 -22,9 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 8:33 7020 11 26,4 10,1 -3,7 -10 -54,6 -22,9 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 9:33 7080 11 26,4 10,2 -3,7 -10 -54,6 -22,9 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 10:33 7140 12 26,4 10 -3,7 -10,1 -54,7 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 11:33 7200 12 26,4 10,1 -3,7 -10,1 -54,8 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7241,9 11 26,4 10,2 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7241,9 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,3 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,1 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,2 11 26,4 10,1 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,75;4,125)13/08/2008 12:15 7242,3 11 26,4 9,4 -3,6 -10,2 -54,8 -22,8 -53,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,4 9 26,4 7,5 -3,8 -9,3 -53,6 -21,4 -53,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,5 10 26,4 7,2 -3,7 -9,5 -53,9 -16,3 -51,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,6 10 26,4 7,5 -3,7 -9,6 -54,2 -15,4 -51,2 (3,31;3,84)13/08/2008 12:15 7242,7 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,4 -14,4 -50,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7242,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,5 -13,9 -50,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7242,9 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,4 -13,5 -50,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243 10 26,4 7,5 -3,7 -9,7 -54,5 -13,4 -50,2 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,1 10 26,4 7,2 -3,7 -9,7 -54,5 -13,2 -50,1 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,2 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -13,0 -50 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,3 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,9 -50 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,4 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,7 -49,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,5 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,7 -49,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,6 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,5 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:16 7243,7 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,5 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7243,8 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,5 -12,4 -49,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7243,9 10 26,4 7,3 -3,7 -9,7 -54,6 -12,4 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,6 -12,3 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,1 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,3 -49,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,2 10 26,4 7,4 -3,7 -9,7 -54,6 -12,2 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,3 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,2 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,4 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,1 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,5 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -12,1 -49,6 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,6 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:17 7244,7 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7244,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7244,9 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,9 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,8 -49,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,1 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,8 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,2 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,8 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,3 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,6 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,4 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,5 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,6 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:18 7245,7 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,7 -49,4 (3,31;3,84)13/08/2008 12:19 7245,8 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,5 -49,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:19 7246 10 26,4 7,4 -3,7 -9,8 -54,7 -11,5 -49,3 (3,31;3,84)13/08/2008 12:20 7247 10 26,4 7,3 -3,7 -9,8 -54,8 -11,3 -49,2 (3,31;3,84)


301

13/08/2008 12:21 7248 10 26,4 7,3 -3,7 -9,9 -54,8 -11,0 -49,1 (3,31;3,84)13/08/2008 12:22 7249 10 26,4 7,2 -3,7 -9,9 -54,9 -10,8 -49 (3,31;3,84)13/08/2008 12:23 7250 10 26,4 7,2 -3,7 -9,9 -54,9 -10,5 -48,9 (3,31;3,84)13/08/2008 12:24 7251 10 26,4 7,1 -3,7 -10 -55 -10,3 -48,8 (3,31;3,84)13/08/2008 12:25 7252 10 26,4 7,1 -3,6 -10 -55 -10,0 -48,7 (3,31;3,84)13/08/2008 12:33 7260 10 26,4 6,7 -3,6 -10,2 -55,5 -8,9 -47,5 (3,31;3,84)13/08/2008 12:48 7275 9 26,4 6,7 -3,5 -10,4 -56,3 -7,8 -45,6 (3,31;3,84)13/08/2008 13:03 7290 9 26,4 6,6 -3,5 -10,7 -56,8 -7,1 -44,4 (3,31;3,84)13/08/2008 13:18 7305 9 26,4 7 -3,4 -10,8 -57,3 -6,7 -43,5 (3,31;3,84)13/08/2008 13:33 7320 9 26,4 6,6 -3,4 -10,9 -57,6 -6,2 -42,7 (3,31;3,84)13/08/2008 13:48 7335 9 26,4 6,7 -3,4 -11,1 -58 -6,0 -42,1 (3,31;3,84)13/08/2008 14:03 7350 9 26,4 7,1 -3,4 -11,2 -58,2 -5,7 -41,6 (3,31;3,84)13/08/2008 14:18 7365 9 26,4 6,9 -3,4 -11,2 -58,4 -5,6 -41,3 (3,31;3,84)13/08/2008 14:33 7380 9 26,4 6,8 -3,3 -11,3 -58,6 -5,5 -41 (3,31;3,84)13/08/2008 14:48 7395 9 26,5 6,6 -3,3 -11,4 -58,8 -5,4 -40,7 (3,31;3,84)13/08/2008 15:03 7410 9 26,4 7,1 -3,3 -11,4 -58,9 -5,3 -40,5 (3,31;3,84)13/08/2008 15:18 7425 9 26,5 6,8 -3,3 -11,5 -59,1 -5,2 -40,2 (3,31;3,84)13/08/2008 15:33 7440 9 26,5 6,6 -3,3 -11,5 -59,3 -5,1 -39,9 (3,31;3,84)13/08/2008 15:48 7455 10 26,5 6,6 -3,2 -11,9 -60,3 -3,9 -37,7 (3,31;3,84)13/08/2008 16:03 7470 10 26,5 6,6 -3,1 -12,1 -61,2 -2,9 -35,8 (3,31;3,84)13/08/2008 16:18 7485 10 26,5 6,6 -3 -12,3 -61,9 -1,9 -34,1 (3,31;3,84)13/08/2008 16:33 7500 10 26,5 6,5 -3 -12,5 -62,7 -1,1 -32,5 (3,31;3,84)13/08/2008 16:48 7515 10 26,5 7 -2,9 -12,7 -63,4 -0,2 -30,9 (3,31;3,84)13/08/2008 17:03 7530 10 26,5 7,1 -2,8 -12,9 -64,2 0,5 -29,4 (3,31;3,84)13/08/2008 17:18 7545 10 26,5 7 -2,8 -13,2 -65,1 1,4 -27,6 (3,31;3,84)13/08/2008 17:33 7560 10 26,5 6,9 -2,7 -13,4 -65,9 2,5 -25,7 (3,31;3,84)13/08/2008 17:48 7575 10 26,5 6,7 -2,6 -13,8 -66,9 3,7 -23,5 (3,31;3,84)13/08/2008 18:03 7590 9 26,5 6,6 -2,5 -14,1 -68,2 5,3 -20,6 (3,31;3,84)13/08/2008 18:18 7605 9 26,6 6,7 -2,3 -14,7 -70,2 7,9 -16 (3,31;3,84)13/08/2008 18:33 7620 9 26,6 7,1 -1,7 -16,5 -77,1 16,2 -0,8 (3,31;3,84)13/08/2008 18:48 7635 9 38,2 18,3 32,7 -175,1 -114,6 126,7 147,2 (3,31;3,84)

302

Apéndice 3

Listado de los códigos en Matlab 7.0

Código: convergencia Código: con_vis Código: fun_tem Código: sol_fup Código: sumapoli Código: can_rai Código: cri_rot_ley_dil Código: int_num Código: lincar Código: cal_con Código: dib_lin_car

Apéndice 3 Listado de los códigos en MATLAB v7.0

303

Código: “convergencia” clear all;close all;clc;

disp('***********************************************************************')

disp(' Codigo para dibujar la convergencia ')

disp(' a lo largo del tiempo en medios viscoelásticos plásticos ')

disp('***********************************************************************')

disp('***********************************************************************')

disp(' Constantes viscoelásticas de las funciones temporales del medio ')

disp('***********************************************************************')

con_vis

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Cálculo y dibujo de las funciones temporales ')

disp('***********************************************************************')

fun_tem

% disp('*********************************************************************')

% disp(' Criterio de rotura y ley de dilatancia ')

% disp('*********************************************************************')

cri_rot_ley_dil

% disp(' ')

% disp('*********************************************************************')

% disp(' Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento ')

% disp('*********************************************************************')

cal_con

return;

Código: “con_vis” disp('***********************************************************************')

disp(' Constantes viscoelásticas de la función temporal de la interfase' )

disp('***********************************************************************')

G1=input('Ingrese el modulo de corte G1 normalizado con ß : ');

n1=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n1 en corte normalizado con ß (día): ');

G2=input('Ingrese el modulo de corte G2 normalizado con ß : ');

n2=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n2 en corte normalizado con ß (día): ');

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Constantes viscoelásticas de la función temporal de la zona rota' )

disp('***********************************************************************')

G1p=input('Ingrese el modulo de corte G1 normalizado con ß : ');

n1p=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n1 en corte normalizado con ß (día) : ');

G2p=input('Ingrese el modulo de corte G2 normalizado con ß : ');

n2p=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad n2 en corte normalizado con ß (día): ');

K1p=input('Ingrese el modulo volumetrico K1 normalizado con ß : ');

nvp=input('Ingrese el coeficiente de viscocidad volumetrico normalizado con ß (día): ');

K2p=input('Ingrese el modulo volumetrico K2 normalizado con ß : ');

return;

Código: “fun_tem” % Cálculo y dibujo de las funciones temporales del medio

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

LimT1=input('Límite de tiempo, en días, para el gráfico de las funciones temporales : ');

disp(' ')


304

% Declaración del tiempo como variable simbólica

t=sym('t');

f0=1/(2*G2)+t/n2+1/(2*G1)*(1-exp(-2*G1*t/n1));

f0p=1/(2*G2p)+t/n2p+1/(2*G1p)*(1-exp(-2*G1p*t/n1p));

%calculo de fup

aa=(3*K2p*G2p)/((3*K2p+G2p)*(n1p*nvp));

b=(2*n1p*nvp/n2p+3*n1p*K1p/G2p+n1p+K1p*n1p/K2p+2*nvp*G1p/(3*K2p)+2*nvp+2*G1p*nvp/G2p)*aa;

c=(4*G1p*nvp/n2p+6*n1p*K1p/n2p+2*G1p+2*K1p*G1p/K2p+6*K1p+6*G1p*K1p/G2p)*aa;

d=12*G1p*K1p*aa/n2p;

e=(n1p*nvp/(2*G2p*K2p))*aa;

f=(nvp/K2p*(1+G1p/G2p+n1p/n2p)+(3*n1p)/(2*G2p)*(1+K1p/K2p))*aa;

g=((2*G1p*nvp)/(n2p*K2p)+3*(1+K1p/K2p)*(1+G1p/G2p+n1p/n2p))*aa;

h=((6*G1p)/n2p*(1+K1p/K2p))*aa;

disp('En la transformada de la funcion fup(t) los coeficientes del polinomio numerador y denominador son:')

numerador=[e f g h]

denominador=[1 b c d 0]

disp('las raices del denominador son: ')

r=roots(denominador);

disp(r)

sol_fup;

%dibujo de las funciones temporales

figure(1);

ezplot(f0,[0,LimT1]);hold on;

legend('\Phi_0(t)',0);

grid;

title('Función temporal de la interfase')

xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_0(t) normalizada con ß');

figure(2);

ezplot(f0p,[0,LimT1]);hold on;

legend('\Phi_0^r(t)',0);

grid;

title('Función temporal de la zona rota')

xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_0^r(t) normalizada con ß');

figure(3);

ezplot(fup,[0,LimT1]);hold on;

legend('\Phi_u^r(t)',0);

grid;

title('Función temporal de la zona rota')

xlabel('Tiempo (días)'); ylabel('\Phi_u^r(t) normalizada con ß');

return;

Código: “sol_fup” %codigo para hallar el numero de raices, su valor y las veces que se repite cada una

can_rai

%codigo para hallar los coeficientes Ci,j de la funcion fu

for i=1:length(s)

pr=[1 -s(i,1)];

pc=[1 -s(i,1)];

if n(i,1)>1

for j=1:n(i,1)-1

pr=conv(pr,pc);

end;

end;

for j=1:n(i,1)

[N,resto]=deconv(denominador,pr);

M=numerador;

if n(i,1)-j==0

Mval=polyval(M,s(i,1));

Nval=polyval(N,s(i,1));


305

C(i,j)=Mval/Nval;

else

for k=1:n(i,1)-j

dM=polyder(M);

dN=polyder(N);

vdu=conv(N,dM);

udv=conv(M,dN);

v2=conv(N,N);

M=sumapoli(vdu,-udv);

N=v2;

end;

vduval=polyval(vdu,s(i,1));

udvval=polyval(udv,s(i,1));

v2val=polyval(v2,s(i,1));

C(i,j)=((vduval-udvval)/v2val)/factorial(n(i,1)-j);

end;

end;

end;

disp('Los coeficientes de la funcion temporal fup son: ')

disp(C)

fup=0;

for i=1:length(s)

for j=1:n(i,1)

fup=fup+C(i,j)/factorial(j-1).*power(t,j-1).*exp(s(i,1).*t);

end;

end;

return;

Código: “sumapoli” function p=sumapoli(a,b)

if nargin<2

error('parametros insuficientes');

end

a=a(: ).';

b=b(: ).';

na=length(a);

nb=length(b);

p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b];

return;

Código: “can_rai” %Codigo escrito para hallar la cantidad de raices diferentes y las veces que se repite cada una

%el input es el vector r(i,1) formado por las raices del polinomio denominador

%los datos de salida son el vector s(i,1) que contiene las raices diferentes y

%el vector n(i,1) que contiene las veces que se repite cada raiz del vector s(i,1)

posc=1;

rn=1;

lr=length(r);

for i=1:lr-1

if i==posc

rep=1;

for j=i+1:lr

posc=posc+1;

if r(i,1)~=r(j,1)

s(rn,1)=r(i,1);

n(rn,1)=rep;

rn=rn+1;


306

break;

elseif r(i,1)==r(j,1)

rep=rep+1;

end;

s(rn,1)=r(i,1);

n(rn,1)=rep;

end;

end;

end;

if r(i,1)~=r(j,1);

s(rn,1)= r(j,1);

n(rn,1)=1;

end;

% disp('Las raices diferentes del polinomio denominador son: ')

% disp(s)

% disp('Cada raiz se repite: ')

% disp(n)

return;

Código: “cri_rot_ley_dil” %Eleccion del criterio de rotura y la ley de dilatancia

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Criterios de rotura del medio ')

disp('***********************************************************************')

disp(' ')

disp('1.- Criterio original de Hoek & Brown (GSI>25)')

disp('2.- Criterio modificado de Hoek & Brown (GSI<25)')

disp('3.- Criterio de rotura de Mohr')

disp(' ')

crit_rot=input('Elija el criterio: ');

switch crit_rot

case 1

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Propiedades mecánicas del medio con ')

disp(' el criterio de rotura original (GSI>25) ')

disp('***********************************************************************')

disp('Escriba los siguientes datos: ')

% beta=input('El valor de ß (MPa): ');

cheda=input('El valor de zeta: ');

p0Crit=sqrt(2*cheda);

fprintf('El macizo plastificará a partir de p0 (normalizado con ß) = %f',p0Crit )

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Ley de dilatancia ')

disp('***********************************************************************')

disp('1.- Lineal')

disp('2.- Asociada')

disp('3.- Constante')

ley=input('Elija la ley de dilatancia: ');

switch ley

case 1


NuMax=input('El ángulo de dilatancia max (º): ');

RoCrit=input('El ángulo de rozamiento crítico (º): ');

lambda=sind(NuMax)/(1-sind(RoCrit));

a_fluenc=sind(RoCrit)*sind(NuMax)/(1-sind(RoCrit));

delta=lambda/power(1+a_fluenc,2);


307

case 2

a_fluenc=0;

lambda=1;

delta=1;

case 3

nu_const=input('Escriba el ángulo de dilatancia (º):');

a_fluenc=-sind(nu_const);

delta=0;

lambda=0;

end

case 2

disp(' ')

disp('***********************************************************************')


disp(' el criterio de rotura modificado (GSI<25) ')

disp('***********************************************************************')

syms q n_crit k_crit p_0

S=p_0-q-(1-n_crit)*q^(k_crit+1);


% cheda=input('El valor de zeta: ');

n_crit=input('El valor de n: ');

disp(' ')

case 3

disp(' ')

disp('***********************************************************************')


disp(' el criterio de rotura de Mohr ')

disp('***********************************************************************')

% syms q n_crit k_crit p_0 % normalizado con beta del criterio

% S=p_0-q-(1-n_crit)*q^(k_crit+1);


n_crit=input('El valor de n: ');

phi_crit=input('El ángulo de rozamiento (º): ');

psi_crit=input('El ángulo de dilatancia (º): ');

disp(' ')

end

% Ingreso de los valores de p0

disp('***********************************************************************')

p_0=input('presión isótropa inicial p0 (normalizada con ß): ');

disp(' ')

return;

Código: “int_num” %calculo de las integrales delta-1, delta y delta+1:

%declaracion de la variable simbólica x

x=sym('x');

%funcion delta-1

f_d_1=power(x,delta-1)*exp(x);

%integral indefinida de la función

P_d_1=int(f_d_1);

%Cálculo de la constante de integración

C_d_1_simb=subs(P_d_1,xR);

C_d_1=double(C_d_1_simb);

%funcion delta

f_d=power(x,delta)*exp(x);

%Integral indefinida de la función

P_d=int(f_d);


308


C_d_simb=subs(P_d,xR);

C_d=double(C_d_simb);

%funcion delta+1

f_d1=power(x,delta+1)*exp(x);

%Integral indefinida de la función

P_d1=int(f_d1);


C_d1_simb=subs(P_d1,xR);

C_d1=double(C_d1_simb);

%función delta negativa

f_d_neg=power(x,-delta)*exp(-x);

%Integral de la función delta negativa multiplicada por la primitiva de

%la integral delta-1

y1=subs(P_d_1*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);


%la integral delta

y2=subs(P_d*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);


%la integral delta+1

y3=subs(P_d1*f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);

%Valoración de la función delta negativa

y4=subs(f_d_neg,x,[xR:-0.0001:xa]);

%Integrales definidas

x=xR:-0.0001:xa;

q1=trapz(x,y1);

q2=trapz(x,y2);

q3=trapz(x,y3);

IDef_d_neg=trapz(x,y4);

%Primera integral del segundo termino de la convergencia

I2_a=q1-C_d_1*IDef_d_neg;

%Segunda integral del segundo termino de la convergencia

I2_b=q2-C_d*IDef_d_neg;

%Primera integral del tercer termino de la convergencia

I3_a=q3-C_d1*IDef_d_neg;

%Segunda integral del tercer termino de la convergencia

I3_b=q2-C_d*IDef_d_neg;

%Tercera integral del tercer termino de la convergencia

I3_c=q1-C_d_1*IDef_d_neg;

return

Código: “lincar” clear all;close all;clc;

disp('***********************************************************************')

disp(' Codigo para dibujar las líneas características de túneles ')

disp(' en medios viscoelasticos plasticos ')

disp('***********************************************************************')

% disp('***********************************************************************')

% disp(' Constantes visccoelásticas de la de las funciones temporales del medio')

% disp('***********************************************************************')

% disp(' ')

con_vis

disp('***********************************************************************')

disp(' Cálculo y dibujo de las funciones temporales ')

disp('***********************************************************************')

fun_tem

% disp('*********************************************************************')

% disp(' Criterio de rotura y ley de dilatancia ')

% disp('*********************************************************************')


309

cri_rot_ley_dil

% disp(' ')

% disp('*********************************************************************')

% disp(' Dibujo de las lineas características para los tiempos ')

% disp(' indicados (sa*/p0* vs convergencia) ')

% disp('*********************************************************************')

dib_lin_car

disp(' ')

disp('***********************************************************************')

disp(' Dibujo de líneas características para tiempos adicionales ')

disp('1.-Si')

disp('2.-No')

disp('***********************************************************************')

lin_car_adi=input('pulse [1] o pulse [2] : ');

while lin_car_adi==1

dib_lin_car

lin_car_adi=input('pulse [1] para dibujar mas líneas de lo contratio pulse [2] : ');

end

return;

Código: “cal_con” %Calculo de la convergencia dependiendo del criterio de rotura del medio

LimT2=input('Límite de tiempo, en días, para el gráfico de la convergencia : ');

disp(' ')

switch crit_rot

case 1

%criterio original de Hoek (GSI>25)

p0=p_0;

q_R=sqrt(1+2*(p0+cheda))-1;

xR=(1+q_R)/(1+a_fluenc)-delta;

sR=p0-q_R;

sa=0;

qa=sqrt(2*(sa+cheda));

%variables xR_r,xa

xa=(1+qa)/(1+a_fluenc)-delta;

%cálculo de las integrales numéricas

int_num;

%parte elástica de la convergencia

I1=(1+a_fluenc)*f0*q_R*exp(xR)*power(xR,delta)*IDef_d_neg;

%parte plastica de la convergencia

I2=-(1+a_fluenc)*f0p*(delta*I2_a-a_fluenc*I2_b);

I3=-fup*power(1+a_fluenc,2)*(I3_a+2*delta*I3_b+power(delta,2)*I3_c);

%convergencia total

conv_rel=f0*q_R-(I1+I2+I3);

%Dibujo de la evolución de la convergencia

figure(4);

ezplot(real(conv_rel),[0:LimT2]);hold on;

legend('\epsilon_\theta^a(t)^{sin sost}',0);

grid on; hold on;

title('Evolución de la convergencia de la cavidad sin sostenimiento')

ylabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a(t)');xlabel('Tiempo (días)');

case 2

%criterio modificado de Hoek (GSI<25)

k_crit=(1-n_crit)/n_crit;

f=subs(S);

p0=p_0;

%calculo de qR

qR_simb=solve(f);

q_R=double(qR_simb);

sR=p0-q_R;

sa=0;


310

qa=(sa/(1-n_crit))^n_crit;

conv_rel=f0.*q_R*exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)+fup*(k_crit/(k_crit+1)*(qa^(k_crit+1)-q_R^(k_crit+1))+q_R*(exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)-1));


figure(4);

ezplot(conv_rel,[0:LimT2]);hold on;


grid on; hold on;



case 3

%criterio de Mohr

%cheda para el cálculo de la convergencia con el sostenimiento

p0=p_0;

%calculo de qR

q_R=(p0+1)*sind(phi_crit);

sR=p0-q_R;

sa=0;

qa=(sa+1)/n_crit;

X4=((q_R/qa)^(n_crit/(1-sind(psi_crit)))-1);

X1=(1-sind(psi_crit))*q_R*f0*X4;

X3=(n_crit)*(f0p*sind(psi_crit)+(1/sind(phi_crit))*fup)*(1/(n_crit+1-sind(psi_crit)));

X2=X3*((qa-q_R)+((1-sind(psi_crit))/n_crit)*q_R*X4);

conv_rel=q_R*f0+X1+X2;


figure(4);

ezplot(conv_rel,[0:LimT2]);hold on;


grid on; hold on;



end

return;

Código: “dib_lin_car” %Cálculo y dibujo de las líneas características del medio

t=input('Tiempos en días para dibujar las líneas características [t1 t2...] : ');

% Sustitución de los valores de la variable "t" en las funciones temporales

% simbólicas y conversión de estas funciones simbólicas en númericas

f0_t=subs(f0);

f0p_t=subs(f0p);

fup_t=subs(fup);

%Calculo de las líneas características dependiendo del criterio de rotura del medio

switch crit_rot

case 1

%criterio original de Hoek (GSI>25)

p0=p_0;

qR=sqrt(1+2*(p0+cheda))-1;

xR=(1+qR)/(1+a_fluenc)-delta;

sR=p0-qR;

i=0;

for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR]

qa=sqrt(2*(sa+cheda));

%variables xR_r,xa

xa=(1+qa)/(1+a_fluenc)-delta;

i=i+1;

%Generacion del elemento número i del vector con los valores


311

%de la tension radial de sostenimiento sa(i)

sa_p0(i)=sa/p0;

%cálculo de las integrales numéricas

int_num;

%Generacion del elemento número i del vector con los valores de las integrales

%de la parte viscoelástica de la convergencia de la zona

%rota

IntDef_d_neg(i)=IDef_d_neg;

%Generacion del elemento número i del vector con los valores de las Integrales

%de la parte plástica de la convergencia de la zona rota

Int2_a(i)=valor_I2_a;

Int2_b(i)=valor_I2_b;

Int3_a(i)=valor_I3_a;

Int3_b(i)=valor_I3_b;

Int3_c(i)=valor_I3_c;

end

sa_p0(13)=sR/p0;

sa_p0(14)=1;

for i=1:length(t)

for j=1:14

if j<13

%parte viscoelástica de la convergencia

I1(j)=(1+a_fluenc)*f0_t(i)*qR*exp(xR)*power(xR,delta).*IntDef_d_neg(j);

%parte plastica de la convergencia

I2(j)=-(1+a_fluenc)*f0p_t(i).*(delta*Int2_a(j)-a_fluenc*Int2_b(j));

I3(j)=-fup_t(i)*power(1+a_fluenc,2).*(Int3_a(j)+2*delta*Int3_b(j)+power(delta,2)*Int3_c(j));

%convergencia total

conv_rel(j)=f0_t(i)*qR-(I1(j)+I2(j)+I3(j));

elseif j==13

conv_rel(j)=f0_t(i)*qR;

else

conv_rel(j)=0;

end

end

%dibujo de la línea característica

figure(4);

plot(real(conv_rel),sa_p0);hold on;

fprintf('\nSe ha dibujado la línea característica para t = %f días.',t(i))

disp(' ')

end

case 2

%criterio modificado de Hoek (GSI<25)

k_crit=(1-n_crit)/n_crit;

f=subs(S);

p0=p_0;

%calculo de qR

qR=solve(f);

q_R=double(qR);

sR=p0-q_R;

for i=1:length(t)

j=0;

for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR sR]

qa=(sa/(1-n_crit))^n_crit;

j=j+1;

sa_p0(j)=sa/p0;

conv_rel(j)=f0_t(i).*q_R*exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)+fup_t(i)*(k_crit/(k_crit+1)*(qa^(k_crit+1)-q_R^(k_crit+1))+q_R*(exp(q_R^k_crit-qa^k_crit)-1));


312

end

sa_p0(14)=1;

conv_rel(14)=0;

%dibujo de las línea característica

figure(4);

plot(conv_rel,sa_p0);hold on;

fprintf('\nSe ha calculado la línea característica para t = %f días.',t(i))

disp(' ')

end

case 3

%criterio de Mohr

p0=p_0;

%calculo de qR

q_R=(p0+1)*sind(phi_crit);

sR=p0-q_R;

for i=1:length(t)

j=0;

for sa=[0 0.025*sR 0.05*sR 0.1*sR 0.2*sR 0.3*sR 0.4*sR 0.5*sR 0.6*sR 0.7*sR 0.8*sR 0.9*sR sR]

qa=(sa+1)/n_crit;

j=j+1;

sa_p0(j)=sa/p0;

X4=((q_R/qa)^(n_crit/(1-sind(psi_crit)))-1);

X1_t(i)=(1-sind(psi_crit))*q_R*f0_t(i)*X4;

X3_t(i)=(n_crit)*(f0p_t(i)*sind(psi_crit)+(1/sind(phi_crit))*fup_t(i))*(1/(n_crit+1-sind(psi_crit)));

X2_t(i)=X3_t(i)*((qa-q_R)+((1-sind(psi_crit))/n_crit)*q_R*X4);

conv_rel(j)=q_R*f0_t(i)+X1_t(i)+X2_t(i);

end

sa_p0(14)=1;

conv_rel(14)=0;

%dibujo de la línea característica

figure(4);

plot(conv_rel,sa_p0);hold on;

fprintf('\nSe ha calculado la línea característica para t = %f en días.',t(i))

disp(' ')

end

end

figure(4);

ylabel('\sigma_a/p0'); hold on;

xlabel('Convergencia: \epsilon_\theta^a'); hold on;

title('Evolución de la línea característica de la cavidad'); hold on;

disp(' ')

grid on; hold on;

return;

314

Apéndice 4

Listado del código en FLAC3D 3.1

Código: conv_ini_sin_sos Código: conv_visc_sin_sos Código: conv_ini_con_sos_0.3p0 Código: conv_visc_con_sos_0.3p0 Código: conv_ini_con_sos_0.075p0 Código: conv_visc_con_sos_0.075p0

Apéndice 4 Listado del código en FLAC3D 3.1

315

Código: “conv_ini_sin_sos” new

;---------------------------------------------------------------------------------

; Cavidad cilindrica sin sostenimiento - modelo cvisc

; alcances de este codigo:

;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia inicial

; del túnel sin sostenimiento

;---------------------------------------------------------------------------------

;

title

Cavidad cilindrica sin sostenimiento- modelo cvisc

;

;Parámetros geotécnicos, geométricos y mecánicos

;---------------------------------------------------------------------------------

def parm_geo

;presión de campo

p0=3.65e6 ;(Pa)

;propiedades viscoelasticas y plásticas del medio

cc=1.146e6 ;Cohesión (Pa)

fideg=40.62 ;Angulo de rozamiento (grados sexagecimales)

K_e=225e6 ;Módulo volumétrico (Pa)

G1=1.35e9 ;Módulo de corte kelvin (Pa)

n1=1.05e13 ;Constante viscosa Kelvin (Pa*seg)

G2=0.9e9 ;Módulo de corte maxwell (Pa)

n2=1.0875e15 ;Constante viscosa maxwell (Pa*seg)

dildeg=10. ;Dilatancia (grados sexagecimales)

res_ten=1.33612e6 ;Resistencia a tracción (Pa)

; parametros del túnel y del sostenimiento

po=-p0

rtunel=1. ;Radio del tunel (m)

tam_x=15. ;tamaño del modelo en el eje x (m)

tam_y=1. ;tamaño del modelo en el eje y (m)

tam_z=15. ;tamaño del modelo en el eje z (m)

end

parm_geo

config creep

;Generación de la malla

;-----------------------------

def parm_geom

;Coordenadas del grupo terreno

x0=0.

y0=0.

z0=0.

x1=tam_x

y1=y0

z1=z0

x2=x0

y2=tam_y

z2=z0

x3=x0

y3=y0

z3=tam_z

x4=tam_x

y4=tam_y

z4=z0


316

x5=x0

y5=tam_y

z5=tam_z

x6=tam_x

y6=y0

z6=tam_z

x7=tam_x

y7=tam_y

z7=tam_z

x8=rtunel

y8=y0

z8=z0

x9=x0

y9=y0

z9=rtunel

x10=rtunel

y10=tam_y

z10=z0

x11=x0

y11=tam_y

z11=rtunel

;Datos de la zonas del modelo

n1x=4.

n2y=4.

n3t=15.

n4r=30.

;Ratios

r1=1.

r2=1.

r3=1.

r4=1.1

end

parm_geom

gen zon radcyl p0 x0 y0 z0 p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 p3 x3 y3 z3 p4 x4 y4 z4 p5 x5 y5 z5 &

p6 x6 y6 z6 p7 x7 y7 z7 size n1x n2y n3t n4r ratio r1 r2 r3 r4 dim rtunel rtunel rtunel rtunel fill gro tunel

;Modelo constitutivo y propiedades de cálculo

;-----------------------------------------------------------

mod cvisc

pro bul=K_e coh=cc dil=dildeg fri=fideg ten=res_ten ksh=G1 kvis=n1 msh=G2 mvis=n2 ran mod cvisc

;Condiciones de contorno axi-simétricas

;----------------------------------------------------

def parm_cc

x0m=x0-0.01

x0p=x0+0.01

y0m=y0-0.01

y0p=y0+0.01

z0m=z0-0.01

z0p=z0+0.01

x1m=x1-0.01

x1p=x1+0.01

z1m=z1-0.01

z1p=z1+0.01

x3m=x3-0.01

x3p=x3+0.01

z3m=z3-0.01

z3p=z3+0.01

y2m=y2-0.01


317

y2p=y2+0.01

x4m=x4-0.01

x4p=x4+0.01

x5m=x5-0.01

x5p=x5+0.01

z5m=z5-0.01

z5p=z5+0.01

x8m=x8-0.01

x9m=x9-0.01

rtunelp=rtunel+0.01

rtunelm=rtunel-0.01

x_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;x del nodo de control de la pared del túnel

z_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;z del nodo de control de la pared del túnel

end

parm_cc

;Condiciones de simetria

;-------------------------------

fix x y ran x x0m x0p

fix y ran y y0m y0p

fix y z ran z z0m z0p

fix y ran y y2m y2p

;Inicialización de tensiones

;----------------------------------

ini sxx po

ini syy po

ini szz po

app nstre po ran x x1m x1p

app nstre po ran z z3m z3p

;Excavación del túnel

;-------------------------

mod null ran gro tunel

;Establecimiento correcto de las deformaciones de Kelvin (de acuerdo con las tensiones iniciales)

;---------------------------------------------------------------------------------

def setKstrains

p_z = zone_head

loop while p_z # null

iflag = 0

if z_model(p_z) = 'burger' then

iflag = 1

end_if

if z_model(p_z) = 'cviscous' then

iflag = 1

end_if

if iflag = 1 then

kg2 = 2.0 * z_prop(p_z, 'kshear')

if kg2 > 0.0 then

sig0 = (z_sxx(p_z) + z_syy(p_z) + z_szz(p_z))/3.0

z_prop(p_z,'k_exx') = (z_sxx(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_eyy') = (z_syy(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_ezz') = (z_szz(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_exy') = z_sxy(p_z) / kg2

z_prop(p_z,'k_exz') = z_sxz(p_z) / kg2

z_prop(p_z,'k_eyz') = z_syz(p_z) / kg2

end_if


318

end_if

p_z = z_next(p_z)

endloop

end

setKstrains

;Historias de control

;--------------------------

his unbal ;Historia de la máxima fuerza de desbalanceo.

his ratio ;Historia de la máxima relación de desbalanceo.

his gp dis x_gp_con 0.5 z_gp_con ;Historia del desplazamiento de la pared del túnel.

his dt

his crtime

;Figuras

;----------

plo cre 1

plo add his 3 ;Gráfico del desplazamiento de la pared del túnel vs iteraciones

plo sho

;Análisis de la excavación en el t=0seg

;-------------------------------------------------

ini xv 0 yv 0 zv 0

set creep off

;Figuras

;----------

plo cre 2

plo set rot 0 0 0

plo set cen 1.5 0 1.5

plo set mag 3

plo add con sma out on ;Gráfico de la tensión principal menor alredor del túnel

plo add axes pos 0.5 0 0.75 scale 0.075 black

plo cre 3

plo copy 2 3 sett

plo add con dis int 1.e-3 out on ;Gráfico del corrimiento radial alrededor del túnel

plo add his 3 xla 'iteraciones' yla 'ur (m)'

set movie avi step 20 file evol_corr_ini.avi

movie start

solve

movie finish

save conv_ini.sav

return


319

Código: “conv_visc_sin_sos” new

;---------------------------------------------------------------------------------

; Cavidad cilindrica sin sostenimiento - modelo cvisc


;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia del túnel sin sostenimiento

;---------------------------------------------------------------------------------

;

res conv_ini.sav

;Asignación de los parámetros para el análisis viscoelástico

;----------------------------------------------------------------------------

ini xv 0 yv 0 zv 0

set creep on

set cre dt 1.0e-5

set cre lat 10

set cre lfo 1.0e-3

set cre lmu 1.01

set cre mindt 1.0e-5

set cre maxdt 100.

set cre ufo 5.0e-3

set cre umu 0.90

set cr dt auto on

;Figuras

;----------

plo cre 4

plo add his 3 vs 5 ;Gráfico del corrimiento de la pared del túnel vs tiempo

plo cur 3

plo sub 2

plo add his 3 vs 5 xla 'Tiempo (segundos)' yla 'ur (m)'

set movie avi step 100 file corr_visc.avi

movie start

solve age 2.592e6 ;Análisis viscoelástico hasta 30 días.

save conv_30dias.sav

movie finish

ret

Código: “conv_ini_con_sos_0.075p0” new

;---------------------------------------------------------------------------------

; Cavidad cilindrica con sostenimiento constante - modelo cvisc


;- análisis viscoelástico/plástico de la convergencia inicial

;---------------------------------------------------------------------------------

;

title

Cavidad cilindrica con sostenimiento constante- modelo cvisc

;

;Parámetros geotécnicos, geométricos y mecánicos

;-------------------------------------------------------------------

def parm_geo

;presión de campo

p0=3.65e6 ;(Pa)

;propiedades viscoelasticas y plásticas del medio


320

cc=1.146e6 ;Cohesión (Pa)

fideg=40.62 ;Angulo de rozamiento (grados sexagecimales)

K_e=2.25e8 ;Módulo volumétrico (Pa)

G1=1.35e9 ;Módulo de corte kelvin (Pa)

n1=1.05e13 ;Constante viscosa Kelvin (Pa*seg)

G2=0.9e9 ;Módulo de corte maxwell (Pa)

n2=1.0875e15 ;Constante viscosa maxwell (Pa*seg)

dildeg=10. ;Dilatancia (grados sexagecimales)

res_ten=1.33612e6 ;Resistencia a tracción (Pa)

; parametros del túnel y del sostenimiento

po=-p0

rtunel=1. ;Radio del tunel (m)

tam_x=15. ;tamaño del modelo en el eje x (m)

tam_y=1. ;tamaño del modelo en el eje y (m)

tam_z=15. ;tamaño del modelo en el eje z (m)

rad_m=1.5*tam_x

pre_sos=0.075*po ;presión de sostenimiento (Pa)

end

parm_geo

config creep

;Generación de la malla

;-----------------------------

def parm_geom

;Coordenadas del grupo terreno

x0=0.

y0=0.

z0=0.

x1=tam_x

y1=y0

z1=z0

x2=x0

y2=tam_y

z2=z0

x3=x0

y3=y0

z3=tam_z

x4=tam_x

y4=tam_y

z4=z0

x5=x0

y5=tam_y

z5=tam_z

x6=tam_x

y6=y0

z6=tam_z

x7=tam_x

y7=tam_y

z7=tam_z

x8=rtunel

y8=y0

z8=z0

x9=x0

y9=y0

z9=rtunel

x10=rtunel

y10=tam_y

z10=z0

x11=x0


321

y11=tam_y

z11=rtunel

;Datos de la zonas del modelo

n1x=4.

n2y=4.

n3t=15.

n4r=30.

;Ratios

r1=1.

r2=1.

r3=1.

r4=1.1

end

parm_geom

gen zon radcyl p0 x0 y0 z0 p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 p3 x3 y3 z3 p4 x4 y4 z4 p5 x5 y5 z5 &

p6 x6 y6 z6 p7 x7 y7 z7 size n1x n2y n3t n4r ratio r1 r2 r3 r4 dim rtunel rtunel rtunel rtunel fill gro tunel

;Modelo constitutivo y propiedades de cálculo

;-----------------------------------------------------------

mod cvisc

pro bul=K_e coh=cc dil=dildeg fri=fideg ten=res_ten ksh=G1 kvis=n1 msh=G2 mvis=n2 ran mod cvisc

;Condiciones de contorno axi-simétricas

;----------------------------------------------------

def parm_cc

x0m=x0-0.01

x0p=x0+0.01

y0m=y0-0.01

y0p=y0+0.01

z0m=z0-0.01

z0p=z0+0.01

x1m=x1-0.01

x1p=x1+0.01

z1m=z1-0.01

z1p=z1+0.01

x3m=x3-0.01

x3p=x3+0.01

z3m=z3-0.01

z3p=z3+0.01

y2m=y2-0.01

y2p=y2+0.01

x4m=x4-0.01

x4p=x4+0.01

x5m=x5-0.01

x5p=x5+0.01

z5m=z5-0.01

z5p=z5+0.01

x8m=x8-0.01

x9m=x9-0.01

z9m=z9-0.01

rtunelp=rtunel+0.01

rtunelm=rtunel-0.01

x_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;x del nodo de control de la pared del túnel

z_gp_con=0.7071*rtunel+0.01 ;z del nodo de control de la pared del túnel

end


322

parm_cc

;Condiciones de simetria

;-------------------------------

fix x ran x x0m x0p z z9m z3p

fix y ran cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y0p z0 rad rad_m cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y0p z0 rad rtunelm not

fix z ran z z0m z0p x x8m x1p

fix y ran cyl end1 x0 y2m z0 end2 x0 y2p z0 rad rad_m cyl end1 x0 y2m z0 end2 x0 y2p z0 rad rtunelm not

;fix x y z ran x x0m x0p z z0m z0p

;fix x y z ran x x1m x1p

;fix x y z ran z z3m z3p

;Inicialización de tensiones

;----------------------------------

ini sxx po

ini syy po

ini szz po

app nstre po ran x x1m x1p

app nstre po ran z z3m z3p

;Excavación del túnel

;-------------------------

mod null ran gro tunel

;Aplicación de la tensión de sostenimiento

;------------------------------------------------------

app nstre pre_sos ran cyl end1 x0 y0m z0 end2 x0 y2p z0 rad rtunelp

;Establecimiento correcto de las deformaciones de Kelvin (de acuerdo con las tensiones iniciales)

;---------------------------------------------------------------------------------

def setKstrains

p_z = zone_head

loop while p_z # null

iflag = 0

if z_model(p_z) = 'burger' then

iflag = 1

end_if

if z_model(p_z) = 'cviscous' then

iflag = 1

end_if

if iflag = 1 then

kg2 = 2.0 * z_prop(p_z, 'kshear')

if kg2 > 0.0 then

sig0 = (z_sxx(p_z) + z_syy(p_z) + z_szz(p_z))/3.0

z_prop(p_z,'k_exx') = (z_sxx(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_eyy') = (z_syy(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_ezz') = (z_szz(p_z) - sig0) / kg2

z_prop(p_z,'k_exy') = z_sxy(p_z) / kg2

z_prop(p_z,'k_exz') = z_sxz(p_z) / kg2

z_prop(p_z,'k_eyz') = z_syz(p_z) / kg2

end_if

end_if

p_z = z_next(p_z)

endloop

end

setKstrains

;Historias de control


323

;--------------------------

his unbal ;Historia de la máxima fuerza de desbalanceo.

his ratio ;Historia de la máxima relación de desbalanceo.

his gp dis x_gp_con 0.5 z_gp_con ;Historia del desplazamiento de la pared del túnel.

;Análisis de la excavación en el t=0seg

;-------------------------------------------------

ini xv 0 yv 0 zv 0

set creep off

solve

;Figuras

;----------

plo cre 1

plo add his 3

plo sho

plo cre 2

plo set rot 0 0 0

plo set cen 1.5 0 1.5

plo set mag 3

plo add con sma out on ;Gráfico de la tensión principal menor alredor del túnel

plo add axes pos 0.5 0 0.75 scale 0.075 black

plo cre 3

plo copy 2 3 sett

plo add con dis int 0.5e-3 out on ;Gráfico del corrimiento radial alrededor del túnel

plo add his 3 xla 'iteraciones' yla 'ur (m)'

;Video

;-------

set movie avi step 20 file evol_corr_ini.avi

movie start

solve

movie finish

save conv_ini.sav

return

Código: “conv_vis_con_sos_0.075p0” new

;---------------------------------------------------------------------------------

; Cavidad cilindrica con sostenimiento constante - modelo cvisc


;- análisis viscoelastico/plástico de la convergencia del túnel con tensión

; de sostenimiento constante.

;---------------------------------------------------------------------------------

;

res conv_ini.sav

title

Cavidad cilindrica con tensión de sostenimiento constante- modelo cvisc

;Historias de control adicionales

;-----------------------------------------

his dt

his crtime

;Figura 4


324

;----------

plo cre 4

plo set rot 0 0 0

plo set cen 1 0 1

plo set mag 10

plo add con sma int 0.5e6 out on ;Gráfico de la tensión principal menor alrededor del túnel

pause

;Asignación de los parámetros para el análisis viscoelástico

;----------------------------------------------------------------------------

ini xv 0 yv 0 zv 0

set creep on

set cre dt 1.0e-5

set cre lat 10

set cre lfo 1.0e-3

set cre lmu 1.01

set cre mindt 1.0e-5

set cre maxdt 100.

set cre ufo 5.0e-3

set cre umu 0.90

set cr dt auto on

;Figuras

;----------

plo cre 5

plo add his 3 vs 5 ;Gráfico del corrimiento de la pared del túnel vs tiempo

;Video

;-------

plo cur 3

plo sub 2

plo add his 3 vs 5 xla 'Tiempo (segundos)' yla 'ur (m)'

set movie avi step 100 file corr_visc.avi

movie start

solve age 604.8e3 ;Análisis viscoelástico hasta 1 semana.

save conv_1sem.sav

solve age 2.4192e6 ;Análisis viscoelástico hasta 4 semanas.

save conv_4sem.sav

solve age 29.0304e6 ;Análisis viscoelástico hasta 48 semanas.

save conv_48sem.sav

movie finish

ret

Código: “conv_ini_con_sos_0.3p0” En este caso únicamente se debe cambiar la línea:


por la línea:


del código “conv_ini_con_sos_0.075p0”

Código: “conv_vis_con_sos_0.3p0” Es el mismo que el código: “conv_vis_con_sos_0.075p0”

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