UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA...
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA CARRERA: LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN TESIS DE GRADO PREVIA, A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA TEMA LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE AUTORA RIVADENEIRA CERÓN CECILIA MARLENE DIRECTOR FÍS. LENIN JÁCOME QUITO – JULIO 2013
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
TESIS DE GRADO PREVIA, A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE
LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN
MATEMÁTICA
TEMA
LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL
EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
AUTORA
RIVADENEIRA CERÓN CECILIA MARLENE
DIRECTOR
FÍS. LENIN JÁCOME
QUITO – JULIO
2013
i
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del trabajo de grado presentado por la señora Cecilia
Marlene Rivadeneira Cerón, para optar el Grado Académico de Licenciada en
Ciencias de la Educación – Mención MATEMÁTICAS cuyo título es: LAS
MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA
APRENDIZAJE.
Considerando que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes para
ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del jurado
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito D. M. a los 10 días del mes de julio del 2013.
……………………………………
Fis. Lenin Jácome
ii
DECLARACIÓN DE AUTORÍA
Yo, Cecilia Marlene Rivadeneira Cerón, declaro bajo juramento que el trabajo
aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para
ningún grado o calificación profesional; Que he consultado las referencias
bibliográficas que se incluyen en este documento y que no he plagiado dicha
información.
…………………………………………….
Cecilia Marlene Rivadeneira Cerón
iii
DEDICATORIA
Con mucho cariño dedico este trabajo. A Dios, a mi hija
Alisson y mi esposo Raúl Díaz, quienes con su apoyo, cariño y
esfuerzo me impulsaron para alcanzar el éxito en este
proyecto. Motivándome para alcanzar el gran anhelo de
superación y así obtener un título profesional que me permitirá
ser útil en la sociedad.
Al Colegio Popular Particular Noroccidental de la parroquia de
Nanegalito, a sus autoridades y alumnado quiénes me
permitieron cumplir con mi Práctica Docente y contribuir así en
la formación académica.
iv
AGRADECIMIENTO
Un especial agradecimiento a la Universidad Tecnológica
Equinoccial, especialmente al Sistema de Educación a Distancia,
quienes me abrieron sus puertas y me dieron la oportunidad de
superarme.
De igual manera a mis docentes quienes supieron depositar en
mí conocimientos significativos y funcionales de manera especial
a mi Tutor Fis. Lenin Jácome, quién en calidad de asesor supo
guiarme y orientarme durante la realización y ejecución de la
presente investigación.
v
ÍNDICE DE CONTENIDOS
PORTADA
CERTIFICACIÓN DEL TUTOR i
DECLARACIÓN DE AUTORÍA ii
DEDICATORIA iii
AGRADECIMIENTO iv
ÍNDICE DE CONTENIDOS v
ÍNDICE DE TABLAS ix
ÍNDICE DE FIGURAS x
RESUMEN EJECUTIVO xi
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. TEMA 3
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 4
1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 5
1.4. OBJETIVOS 6
1.4.1. OBJETIVO GENERAL 6
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 6
1.5. JUSTIFICACIÓN 6
vi
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL 8
2.1.1. ANTECEDENTES 8
2.1.2. LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA 9
2.1.3. RAMAS DE LA MATEMÁTICA 10
2.1.4. CLASIFICACIÓN DEL REINO ANIMAL 11
2.1.4.1. ANIMALES VERTEBRADOS 11
2.1.4.2. ANIMALES INVERTEBRADOS 12
2.1.5. COGNICIÓN ANIMAL 13
2.1.6. LOS PECES Y LA MATEMÁTICA 14
2.1.6.1. EL PEZ MOSQUITO 14
2.1.6.2. LOS TIBURONES 14
2.1.7. LOS MAMÍFEROS Y LA MATEMÁTICA 15
2.1.7.1. LOS MONOS 15
2.1.7.2. LAS HIENAS 16
2.1.7.3. LOS DELFINES 17
2.1.8. LOS INSECTOS Y LA MATEMÁTICA 18
2.1.8.1. LAS ABEJAS 18
2.1.8.2. LA MANTIS 19
2.1.8.3. LAS HORMIGAS 20
2.1.9. LAS AVES Y LA MATEMÁTICA 21
2.1.9.1. LOS HORNEROS 21
2.1.9.2. LA GALLINA J.J 21
2.1.9.3. EL LORO ALEX 22
2.2. PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE 23
2.2.1. PROCESOS DE ENSEÑANZA 24
2.2.1.1. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA 26
2.2.1.2. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA
27
2.2.1.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 28
vii
2.2.1.4. ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 29
2.2.1.5. MÉTODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON GORGE
PÓLYA
30
2.2.1.6. EL JUEGO COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA –
APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
33
2.2.1.7. VENTAJAS 33
2.2.2 PROCESOS DE APRENDIZAJE 34
2.2.2.1. ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 34
2.2.2.2. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 35
2.2.2.3.CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE 36
2.2.3. TIPOS DE ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE 37
2.2.3.1. ESTRATEGIAS COGNITIVAS 37
2.2.3.2. ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS 38
2.2.3.3. ESTRATEGIAS DE INTERACCIÓN 38
2.2.4. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO 39
2.2.4.1. CARACTERÍSTICAS DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO 39
2.2.4.2. REQUISITOS PARA LOGRAR EL APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO
40
2.2.4.3. VENTAJAS 40
2.2.5. LA EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE 41
2.2.5.1. IMPORTANCIA 43
2.2.5.2. VENTAJAS 44
2.3. MARCO INSTITUCIONAL 44
2.3.1. VISIÓN 44
2.3.2. MISIÓN 45
2.3.3. OBJETIVOS INSTITUCIONALES 45
2.4. HIPÓTESIS 46
2.5. VARIABLES 46
2.5.1. VARIABLE INDEPENDIENTE 46
2.5.2. VARIABLE DEPENDIENTE 46
2.6. OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES 47
viii
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. TIPOS DE INVESTIGACIÓN 49
3.1.1. INVESTIGACIÓN DE CAMPO 49
3.1.2. INVESTIGACIÓN DESCRIPTIVA 49
3.1.3. INVESTIGACIÓN APLICADA 49
3.2. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN 49
3.2.1. LA OBSERVACIÓN 50
3.2.2. DEDUCTIVO 50
3.2.3. INDUCTIVO 50
3.3. POBLACIÓN Y MUESTRA 51
3.4. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS 52
3.4.1. CUESTIONARIO DE ENCUESTA 52
3.4.2. CUESTIONARIO DE ENTREVISTA 53
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 53
4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS DE LA ENCUESTA 53
4.1.2. PRESENTACION DE RESULTADOS DE LA ENTREVISTA 63
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES 75
5.2. RECOMENDACIONES 76
ix
CAPÍTULO VI
PROPUESTA
6.1. TEMA 77
6.2. JUSTIFICACIÓN DE LA PROPUESTA 77
6.3. OBJETIVOS 78
6.3.1. OBJETIVO GENERAL 78
6.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 78
6.4. POBLACIÓN OBJETO DE ESTUDIO 78
6.5. LOCALIZACIÓN 79
6.6. LISTADO DE CONTENIDOS 80
6.7. DESARROLLO DE LA PROPUESTA 81
x
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla Nº 2.1. Operacionalización de variables. 47
Tabla Nº 3.1. Población y muestra. 52
Tabla Nº 4.1. Animales que usan la matemática. 53
Tabla Nº 4.2. Animales que usan la matemática para la supervivencia. 54
Tabla Nº 4.3. Animales y habilidades matemáticas. 55
Tabla Nº 4.4. Matemática relacionada con estrategias de animales. 56
Tabla Nº 4.5. Relación de la matemática y el reino animal. 57
Tabla Nº 4.6. Dinámica previa al aprendizaje de la matemática. 58
Tabla Nº 4.7. Reino animal y ramas de la matemática. 59
Tabla Nº 4.8. Reino animal y aprendizaje de la matemática. 60
Tabla Nº 4.9. Motivación del aprendizaje de la matemática. 61
Tabla Nº 4.10. Aprendizaje de la matemática y estrategias de animales. 62
Tabla Nº 4.11. Verificación de la hipótesis 73
Tabla Nº 6.1. La matemática del reino animal en el proceso de
enseñanza aprendizaje.
139
Tabla Nº 6.2. La geometría de las abejas y proporcionalidad con el pez
mosquito.
148
Tabla Nº 6.3. El loro Alex y los números enteros, delfines y operaciones
con números enteros.
159
xi
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura Nº 4.1. Representación porcentual sobre animales que usan la
matemática.
53
Figura Nº 4.2. Representación porcentual de animales que usan la
matemática para la supervivencia.
54
Figura Nº 4.3. Representación porcentual sobre animales y habilidades
matemáticas.
55
Figura Nº 4.4. Representación porcentual de matemática relacionada con
estrategias de ciertos animales.
56
Figura Nº 4.5. Representación porcentual de la relación de la matemática
y el reino animal.
57
Figura Nº 4.6. Representación porcentual sobre dinámica para la
motivación del aprendizaje.
58
Figura Nº 4.7. Representación porcentual sobre el reino animal y las
ramas de la matemática.
59
Figura Nº 4.8. Representación porcentual sobre el reino animal y el
aprendizaje de la matemática.
60
Figura Nº 4.9. Representación porcentual sobre la motivación del
aprendizaje de la temática.
61
Figura Nº 4.10. Representación porcentual sobre el aprendizaje de
matemática y estrategias de ciertos animales.
62
Figura Nº 6.1. Importancia de la enseñanza aprendizaje de la
matemática
142
Figura Nº 6.2. La motivación en el proceso de enseñanza aprendizaje de
la matemática
143
Figura Nº 6.3. Animales y matemáticas 144
Figura Nº 6.4. La geometría de las abejas 150
Figura Nº 6.5. Área y perímetro del triángulo 151
Figura Nº 6.6. Proporcionalidad con el pez mosquito 153
Figura Nº 6.7. Proporcionalidad 154
Figura Nº 6.8. El loro Alex y los números enteros 161
xii
Figura Nº 6.9. Números enteros positivos 162
Figura Nº 6.10. Números enteros negativos 162
Figura Nº 6.11. Delfines y operaciones con números enteros 163
Figura Nº 6.12. Adición y sustracción de números enteros 164
xiii
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
“LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL
EN EL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE”
Autoría: Cecilia Marlene Rivadeneira Cerón.
Director: Fis. Lenin Jácome.
Fecha: Quito - 2013
RESUMEN EJECUTIVO
Siendo la matemática una de las disciplinas más importantes y que tiene
aplicaciones en todos los campos de la vida del ser humano, se ha demostrado
científicamente que también es aplicada en el reino animal, como en las
abejas, los delfines, los monos, entre otros. La enseñanza por su parte es el
proceso mediante el cual se transmite a un alumno contenidos educativos,
tales como conocimientos, habilidades y hábitos a través de la comunicación
directa o asistida por diversos medios. Los objetivos que se desean alcanzar
mediante la enseñanza determinarán los contenidos, métodos y organización
del desarrollo de un determinado tema. El docente transmite sus conocimientos
al o a los alumnos a través de diversos medios, técnicas y herramientas de
apoyo; siendo esta la fuente del conocimiento y el alumno un simple receptor
ilimitado del mismo. El aprendizaje en cambio es la adquisición de nuevos
conocimientos, habilidad o capacidad a través del estudio o de la experiencia, a
partir de alguna información recibida y se desarrolla en un determinado
contexto en el que intervienen factores tanto físicos como sociales y culturales.
De acuerdo con las concepciones más actuales cognitivistas, el docente actúa
como facilitador, guía y nexo entre el conocimiento y los alumnos, logrando un
proceso de interacción, (antes llamado proceso enseñanza – aprendizaje,
basado en la iniciativa y el afán de saber de los alumnos.
DESCRIPTORES: Las matemáticas del reino animal - Proceso enseñanza
aprendizaje.
1
INTRODUCCIÓN
Para poder comprender cualquier comportamiento social es necesario,
remontarse a su surgimiento y desarrollo, para desde su esencia poder
valorar en un contexto determinado, la realidad y sus antecedentes, los que
pueden mostrar fortalezas y debilidades, así como dar la posibilidad de una
justa valoración de las perspectivas de su evolución, lo que permitirá trazar
objetivos, en este caso, desde la perspectiva de la educación.
El relacionar la enseñanza aprendizaje con la naturaleza, principalmente con
el reino animal se obtendrá un nuevo aprendizaje pero para ello es necesario
estudiarlos, primeramente se hará una investigación para saber si ellos
tienen la capacidad de pensar y cuáles son los animales que más lo hacen y
en qué momento lo hacen, siendo este un punto muy importante de donde
partiremos ya que esto ayudará a determinar si los animales se encuentran
relacionados o no con la matemática.
La matemática es una parte fundamental de la vida del hombre porque se
la utiliza a diario por ejemplo con la ciencia, la tecnología, para la resolución
de problemas, también están relacionados con el comercio y negocios, etc.
El enseñar la matemática a los jóvenes de la manera más adecuada es una
labor del docente y es por ello que se busca nuevos métodos que permitan
dar importancia y estimular el interés de su estudio.
La enseñanza aprendizaje se ha visto afectada por ciertos factores que no
permiten un desarrollo adecuado, la misma que se presenta en los docentes
los cuales no pueden dominar la materia o por falta de preparación entre
otros factores, evitando que se realice un aprendizaje adecuado, pero no es
solamente ese problema, también hay que tomar en cuenta que los
estudiantes no quieren aprender porque piensan que la matemática no
ayuda en nada, es difícil de aprenderla y muy complicada es por eso el
2
motivo de esta investigación, para dar a conocer su importancia y el tratar de
buscar soluciones para obtener mejores resultados.
A continuación se tiene detallado algunos factores que determinan los
problemas de enseñanza aprendizaje, y algunas soluciones que el docente
puede practicar para mejorar la enseñanza sobre todo al relacionarla con el
reino animal.
3
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. TEMA
Las matemáticas del reino animal en el proceso de enseñanza aprendizaje.
1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Según estudios realizados la matemática es considerada un medio universal.
Teniendo la capacidad de explicar y predecir situaciones en el mundo y la
naturaleza. Sin embargo el problema de aprender y enseñar matemáticas ha
sido un tema de investigación de estos últimos años a nivel mundial. Las
investigaciones han encontrado diversos factores que intervienen en este
problema y las diferentes acciones que se han tomado para tratar de
resolver esta problemática. Bajo la influencia del mundo se encuentra
Latinoamérica conformada por países en vías de desarrollo donde los
gobiernos luchan por establecer políticas que mejoren la educación en la
materia de matemáticas, en México en especial en las escuelas de
ingeniería la matemática es considerada como el tronco común de
ingeniería.
La dificultad para aprender matemáticas está presente también en Ecuador
el cual está centrado en el análisis respecto a la falta de interés de los
estudiantes por aprender matemáticas, se ha realizado varios cambios en el
ámbito educativo con el objetivo de mejorar la educación. Para poder lograr
este objetivo se han planteado estrategias y métodos que permitan facilitar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Este nuevo sistema de educación tiene como objetivo principal reconocer al
Ecuador como un país con capacidad de fortalecer el sistema educativo
mediante nuevas propuestas de aprendizaje, es así que en la provincia de
4
Pichincha se está aplicando nuevos estándares de calidad para todas las
unidades educativas para obtener una educación de calidad.
Las instituciones educativas de la ciudad de Quito se encuentran cumpliendo
las regulaciones planteadas la misma que permite encontrar las falencias lo
cual permitirá desarrollar destrezas, habilidades y competencias en los
estudiantes. Algunas instituciones educativas que se encuentran en las
afueras de la ciudad de Quito, es decir en el sector rural donde se
encuentran las parroquias, las mismas que, a su vez se encuentran
formadas por gobiernos locales desde las cuales se realiza las
supervisiones Educativas. El trabajo que realizan las Supervisiones
Educativas está normado por el Supervisor Educativo quién verifica que las
planificaciones y actividades escolares se sujeten a las nuevas exigencias y
cambios realizados por el gobierno central.
El Colegio Popular Particular Noroccidental pertenece a la parroquia de
Nanegalito de la provincia de Pichincha de la ciudad de Quito, Pese a todos
los esfuerzos realizados por la institución, los estudiantes ven a las
matemáticas como una materia sin importancia y muy difícil de aprender, es
posible que se deba a que en la institución no se estén utilizando técnicas
nuevas y creativas sino métodos de repetición o memorísticos que no
permiten un desarrollo adecuado de aprendizaje. Un punto muy importante
que se debe tomar en cuenta es la actitud del profesor con respecto a la
enseñanza de las matemáticas, es fundamental para obtener un buen
aprendizaje, el profesor con esta actitud transmite a sus alumnos y alumnas
el interés, curiosidad o muchas veces el rechazo convirtiéndose en algo
divertido o por el contrario en un aburrimiento.
En la Institución Educativa el buscar soluciones prácticas para mejorar el
aprendizaje diario de los alumnos se ha convertido en un reto para el
docente ya que debe buscar los medios necesarios para obtener buenos
resultados con sus estudiantes.
5
La materia de la matemática está considerada como una disciplina que
enseña a razonar por su utilización para la solución de problemas en donde
debe aplicarse la capacidad de percepción del cerebro.
Al relacionar la matemática con la naturaleza se podrá facilitar su estudio,
ya que se la puede ubicar en diferentes lugares y además se puede utilizar
su diversa variedad de especies como una estrategia de aprendizaje para
despertar su interés en la solución de problemas o en distintas aplicaciones.
Al relacionar la matemática con la naturaleza en especial con el reino animal
se pretende valorar a la naturaleza cuidarla y a la vez contribuir con un
aprendizaje diferente.
1.3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Este trabajo investigativo sobre las matemáticas del reino animal y su
incidencia en el método enseñanza aprendizaje se lo realizará en el Colegio
Popular Particular Noroccidental que se encuentra ubicado en el
Noroccidente de Pichincha en la parroquia de Nanegalito; Cantón Quito; con
Acuerdo Ministerial No 2260; con la participación de los docentes y
estudiantes del octavo, noveno y décimo Año de Educación General Básica,
población de la cual se obtiene la realidad institucional período lectivo 2012 –
2013.
6
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. OBJETIVO GENERAL
Investigar sobre modelos que indagan la posible utilización de la matemática
por parte de los animales y su potencial utilización en la enseñanza
aprendizaje.
1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer los diversos estudios que analizan la utilización de la
matemática en el reino animal.
Analizar las metodologías adecuadas en la enseñanza aprendizaje de
la matemática sobre todo en relación con la naturaleza.
Investigar las posibilidades de insertar elementos de matemática en el
reino animal como factor de enseñanza alternativa.
1.5. JUSTIFICACIÓN
Hoy en día el mundo va cambiando cada vez más debido a nuevos avances
tecnológicos como la robótica, la genética, entre otras más. Es por eso que
es preciso que el ser humano esté siempre preparado para estos cambios.
Siendo la matemática una de las bases de estos conocimientos y al
encontrarse en nuestra vida cotidiana en especial en la juventud es muy
importante entenderla.
Es necesario destacar la importancia que tiene la matemática hoy en día y
del papel que cumple como ciencia, esta se ha desarrollado a través del
tiempo con su campo amplio de aplicaciones que han permitido explicar
7
procesos y situaciones mediante la resolución de problemas de
razonamiento y lógica.
En el Ecuador con el fin de dar continuidad a los avances pedagógicos,
académicos y al fortalecimiento desarrollo de destrezas de los educandos
establecidos en la Propuesta del Ministerio de Educación es indispensable
aportar al mejoramiento de la calidad educativa respondiendo a los
requerimientos de la sociedad actual que exige de los actores del proceso
educativo el desarrollo de destrezas para participar de manera activa y
eficiente en el contexto social en el cual se desenvuelven.
En la actualidad su enseñanza se ha visto obstaculizada por distintos
factores que no permiten desarrollar un correcto aprendizaje, es por ello que
es preciso como docente tomar decisiones de cambio ya que es el
responsable de facilitar el aprendizaje y permitir que los estudiantes puedan
desarrollar sus destrezas y capacidades.
8
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL
2.1.1. ANTECEDENTES
Las matemáticas, como cualquier otro avance en la historia de la
humanidad, parte de las necesidades del ser humano de contar, medir y
determinar la forma de todo aquello que le rodea. Pero la realidad es que,
determinar un origen concreto para la aparición de cada uno de los
conceptos que sientan las bases de las matemáticas es bastante complejo.
Para comenzar, hay que tener en cuenta que recientes estudios en la
capacidad cognitiva de los animales ha determinado que los números,
mediciones y formas no son conceptos únicos del ser humano. Es así que la
matemática también es un proceso que realizan los animales en el momento
en que perciben lo que les rodea a través de sus sentidos. Para el estudio
del desarrollo cognitivo animal se ha utilizado algunos animales como los
primates, peces, ratas, palomas, entre otras especies de laboratorio de
psicología comparativa y algunos adelantos en primatología. Muchos de los
animales de distintas especies necesitan ciertas habilidades cognitivas para
adaptarse a su hábitat y poder sobrevivir. (http://web.educastur.princast.es)1
1Susana Arias, Las matemáticas y el mundo animal, Acceso 10/11/2012;
http://web.educastur.princast.es/ies/snava/CAZAMat2/Las%20Matem%C3%A1ticas%20y%20el%20mundo%20animal-2.htm
9
2.1.2. LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
Los números y formas han sido los pilares sobre los cuales se ha construido
el edificio de las matemáticas, sobre éste dominaron la aritmética y el
algebra y sobre estos la geometría y la trigonometría en plena edad
moderna, ambos pilares se unifican para sentar las bases del análisis.
Del número surgió la aritmética, primera etapa en la historia de las
matemáticas. Más tarde, cuando el hombre superó este concepto restringido
del número lo volvió más abstracto y general, para ajustarlo a una amplia
mentalidad, también dio paso al desarrollo del pensamiento matemático del
cual nació el álgebra desarrollada por los árabes.
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad
considerada del modo más posible y se vale de letras para representarla.
Tiene por objeto abreviar y generalizar la solución problemas numéricos.
En el desarrollo de las funciones trigonométricas se ha contemplado dos
aspectos fundamentales. El primero está relacionado con el empleo de
circunferencias, y el segundo está basado en triángulos rectángulos.
La geometría es una rama de las matemáticas que estudia idealizaciones en
dos y tres dimensiones; los puntos, las rectas, los planos y otros elementos
conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.
(http://es.wikipedia.org)2
2 Historia de la Matemática; Acceso 02/06/2012;
http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica
10
2.1.3. RAMAS DE LA MATEMÁTICA
En el siguiente artículo las ramas de la matemática son muy importantes ya
que se utilizan en el proceso educativo y nos sirven para resolver problemas
que se presentan en el diario vivir.
“En todas las ciencias está presente la matemática y puede utilizarse como recurso didáctico en cualquier nivel educativo. Cada una de las ciencias necesita de grandes enfoques para ser enseñada, su estudio tiene la capacidad de explicar las grandes creaciones de la humanidad, así como los procesos naturales, entre otros. Entre las ramas de la matemática se encuentran las siguientes: Aritmética, que es la rama que estudia los números y las situaciones modeladas por ellos. Su nombre proviene de arithmos la cual significa habilidad con los números. Álgebra, una de las ramas esenciales e importantes de la matemática, por su nivel de abstracción que permite enfrentarse a otras ramas de la matemática más fácilmente. Geometría plana y del espacio, estudia las figuras y sus propiedades, basada en las mediciones y caracterizaciones de sus partes a través de la construcción. Geometría analítica, estudia las curvas y sus propiedades, a través de la caracterizaciones correspondiente en un espacio o plano cartesiano. Lógica, estudia los valores de verdad de situaciones y sus equivalencias, es la que entrega la base para el pensamiento matemático. Probabilidad, busca de cierta manera expresar de forma numérica las posibilidades de ocurrencia de un evento en que está envuelto el azar. Estadística, es una rama por sí misma y estudia el análisis y recolección de datos. Cálculo, es quién estudia las funciones y las consecuencias de los cambios en ellas.
11
Conjuntos, algunos la llegan a considerar que son innecesarios, pero son la base para la aritmética, concluyen en situaciones complejas como las estructuras algebraicas. Matemática aplicada, como un resumen de las demás ramas que hace referencia a todos los métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas”. (http://galeon.com/matematicascuriosas)3
2.1.4. CLASIFICACIÓN DEL REINO ANIMAL
En el reino animal se estima que existen millones de clases de seres vivos
de distintas clases lo cual ha dificultado su estudio por lo que se ha visto la
necesidad de clasificarlos en vertebrados e invertebrados.
2.1.4.1. ANIMALES VERTEBRADOS
Son un grupo de animales con un esqueleto interno articulado, que actúa
como soporte del cuerpo y permite su movimiento. Se clasifican de la
siguiente manera:
Mamíferos, tienen su cuerpo cubierto de pelo, sus extremidades tienen
generalmente forma de patas, respiran por pulmones, entre ellos podemos
citar al perro, al león, al gato, etc.
Aves, su cuerpo está cubierto de plumas, sus extremidades anteriores tienen
forma de alas y vuelan gracias al movimiento de estas, respiran por
pulmones y su boca posee un pico, por ejemplo la lora, la gallina, el pato,
etc.
3 Ramas de la matemática; Acceso 18/11/2012;http://galeon.com/matematicascuriosas
12
Peces, su cuerpo está cubierto por escamas, sus extremidades tienen forma
de aletas, son animales de sangre fría y respiran por medio de branquias,
entre ellos tenemos a la sardina, el atún, los tiburones, entre otros.
Anfibios, su piel está desuda y húmeda, sus extremidades son musculosas
las cuales le permiten nadar o saltar, las crías nacen en el agua y respiran
por branquias, entre ellos tenemos a las ranas, sapos, salamandra, etc.
Reptiles, su cuerpo está cubierto de escamas, sus extremidades tienen
patas muy cortas, su temperatura es variable, la mayoría son carnívoros.
2.1.4.2. ANIMALES INVERTEBRADOS
Para (Calderón, 2010) forman el grupo más numeroso de animales, estos
animales carecen de columna vertebral y de esqueleto interno articulado. La
mayoría de los invertebrados tiene una protección externa, en forma de
armadura y otros tipos de protección como el pulpo. Los invertebrados se
clasifican en varios grupos a continuación se detallan los siguientes:
Los artrópodos, se caracterizan porque tienen su cuerpo y sus patas
articuladas las cuales se pueden mover, entre ellos tenemos a los
artrópodos como los insectos, arácnidos, crustáceos y miriápodos.
Moluscos, tienen el cuerpo blando, suelen tener una concha externa como
el caracol y en ocasiones es interna como el calamar.
Gusanos, tienen el cuerpo alargado y blando, generalmente formado por
anillos, vive en lugares húmedos o en el agua.
Equinodermos, son animales marinos con simetría radial, se desplazan por
el fondo del mar gracias a una especie de pequeños pies que poseen, por
ejemplo la estrella de mar.
13
Medusas, son animales casi transparentes que flotan en el agua, su cuerpo
es blando y en forma de paraguas como por ejemplo la medusa.
Esponjas, tienen el aspecto de una planta, pero en realidad es un animal en
forma de saco, con un agujero superior y muchos poros laterales, la más
conocida es la esponja de baño. (www.educared.org/global/)4
2.1.5. COGNICIÓN ANIMAL
Según las aportaciones de Nieser en el siglo xx empiezan los experimentos
sobre la inteligencia en animales mediante procesos de aprendizaje, los
estudios mentales que se dieron por científicos en los años 50 en seres
humanos se dirigió hacia el estudio de los procesos mentales en animales
los cuales manifiestan que los animales tienen mente y que su estudio debe
realizarse desde este punto, pero se debe aclarar que esto no ha sido
aceptado por otros científicos. Con estos resultados realizados se puede
notar claramente la atención de los animales consiste en la habilidad para
distinguir estímulos, también la búsqueda visual como por ejemplo las
palomas pueden diferenciar el grano de maíz en el momento de alimentarse.
La memoria en animales se puede desarrollar mediante categorías a corto y
largo plazo. (http://es.wikipedia.org/)5
4 Reino Animal Educa Red, Acceso 26/11/2012/,
http://www.educared.org/global/anavegar5/podium/images/a/2564/reino_animal.htm 5 Cognición Animal, Acceso05/11/2012; http://es.wikipedia.org/wiki/Cognici%C3%B3n_animal
14
2.1.6. LOS PECES Y LA MATEMÁTICA
2.1.6.1. EL PEZ MOSQUITO
La Universidad de Padua en Italia ha realizado un estudio al pez mosquito
(gambusia affinis) originario de agua dulce del Golfo de México que mide de
cuatro a siete centímetros que es capaz de desarrollar habilidades
matemáticas.
“Este pez es capaz de contar hasta cuatro. Cuando una hembra está acosada por un macho, trata de escaparse y confundirse en un cardumen más cercano. Los científicos han demostrado que una hembra es capaz de diferenciar entre uno y dos peces, entre dos y tres peces, hasta tres y cuatro peces” (http://www.ojocientifico.com/)6
2.1.6.2. LOS TIBURONES
Varias especies de tiburón siguen estrategias matemáticas cuando se
encuentran buscando comida en el fondo del mar. Los biólogos habían
pensado que la búsqueda de la comida estaba determinada por paseos
aleatorios.
Nuevos estudios analizan que algunos tiburones y otros depredadores
marinos pueden seguir estrategias matemáticas cuando se encuentran
buscando sus presas.
A diferencia del movimiento al azar en la que los animales recorren
distancias de similar tamaño en cualquier dirección, los tiburones realizan
paseos Lévy que son trazos en forma de fenómeno matemático sin escala
de visualización.
6 El pez matemático, Acceso 27/11/2012; http://www.ojocientifico.com/2008/02/28/el-pez-matematico-
los-peces-mosquito-saben-contar-hasta-cuatro
15
Este comportamiento lévy de estos animales, se da especialmente en
lugares escasos de plancton, peces y otros alimentos.
(http://www.taringa.net/)
2.1.7. LOS MAMÍFEROS Y LA MATEMÁTICA
2.1.7.1. LOS MONOS
Estudios habían comprobado que los parientes más cercanos al hombre
poseen algunas habilidades matemáticas, no es la primera vez que se logra
enseñar a primates a realizar operaciones numéricas sencillas, también se
ha logrado estudiar las claves cerebrales que explican el origen de la
aritmética. Algunos estudios confirman que tareas aritméticas y detección
de dígitos activan una zona cerebral llamada parte horizontal del surco
intraparietal.
Los macacos pueden identificar el número de puntos del 1 al 9 cuando
aparecen en la pantalla de un ordenador. Al mostrarles dos pantallas al
mismo tiempo con dos cantidades diferentes. Para comprobar si habían
aprendido a contar, los monos tenían que soltar una palanca si las dos
pantallas mostraban cantidades idénticas, o mantenerla quieta si mostraban
cantidades distintas. Y como premio por hacer bien este deber de
matemáticas los recompensaban con un pedacito de plátano.
Al enseñar a monos a ordenar en una pantalla grupos de puntos según su
tamaño, han comprobado que estos animales pueden dominar en poco
tiempo los conceptos de cantidades mayores que y menores que, con
aciertos de un 90%. Los primates no humanos pueden desarrollar tareas
aritméticas básicas de estudiantes de primaria, lo que demuestra que existe
un sistema evolutivamente primitivo, que comparte el hombre con los monos.
De esta forma, una primitiva versión de las matemáticas, tenían una ventaja
para la supervivencia, por ejemplo ellos suponen una ventaja elegir el árbol
16
que contiene más bayas. También es importante que los monos conozcan el
número de individuos de su grupo social y lo compare con el de sus grupos
rivales, para saber si es mejor atacar o retirarse.
Durante los experimentos, que eran grabados por medio de electrodos
cerebrales, se podía seguir la actividad neuronal del animal y ver qué células
eran las que se mostraban más activas en el momento de procesar
información numérica. Las células del cerebro son las responsables de
determinadas tareas. Para ello, se midieron las corrientes cerebrales en los
monos, por lo que sucedían reacciones asombrosas en el lóbulo frontal.
(http://edant.clarin.com/diario)7
2.1.7.2. LAS HIENAS
Según Las investigaciones del equipo de Sarah Benson-amram, de la
Universidad Estatal de Michigan, han comprobado que las hienas tienen
cierta habilidad de contar, lo hacen a través de las distintas voces que oyen,
cuantos individuos tiene el otro grupo, esto las ayuda a evaluar sus
probabilidades de éxito en una lucha contra un grupo rival, y con ello a
decidir si pelear o escapar. Las hienas viven en clanes de hasta 90
individuos, durante el día forman grupos pequeños.
En los experimentos realizados, los investigadores hacían sonar grabaciones
de posibles intrusos, la reacción de las hienas dependía de cuantas voces
oían en comparación con el número de miembros de su clan que estaban
con ellas en ese momento. Era mucho más probable que los grupos de tres
o más hienas se acerquen a la fuente de sonido en comparación con las
parejas o individuos solos. (http://www.muyinteresante.es/ )8
7 Habilidades Matemáticas en Monos, Acceso27/11/2012;
http://edant.clarin.com/diario/2006/07/10/um/m-01231260.htm 8 Las Hienas saben contar a sus enemigos, Acceso 09/04/2013,
http://www.muyinteresante.es/naturaleza/articulo/las-hienas-saben-contar-a-sus-enemigos
17
2.1.7.3. LOS DELFINES
Los delfines son animales mamíferos que viven en medios acuáticos,
pertenecen a la familia de los cetáceos, poseen cuerpos muy aerodinámicos
con pequeñas aletas lo que les facilita la movilidad en el medio acuático y les
proporciona una gran resistencia y velocidad en el agua.
De acuerdo a un nuevo estudio los delfines pueden utilizar matemáticas
complejas no lineales en la caza de su alimento, esto lo realizan soplando
múltiples burbujas pequeñas alrededor de la presa; este envío de pulsos
puede variar en amplitud; el primero puede tener el valor de 1, mientras que
el segundo es un tercio de la amplitud. Así que, siempre que el delfín
recuerda lo que las proporciones de los dos pulsos eran, y puede multiplicar
el segundo eco de eso y añadir los ecos juntos se puede hacer visibles a
los peces a su sonar.
Pero eso no es todo la segunda etapa consiste en sustraer los ecos el uno
del otro, asegurando que el eco del segundo impulso sea multiplicado por
tres. El proceso en definitiva, por lo tanto primero implica hacer visible el
pescado a sonar por adición y segundo se hace entonces invisible por
sustracción para confirmar que se trata de un verdadero objetivo dijo el autor
del estudio Tim Leighton, de la Universidad de Southampton.
18
2.1.8. LOS INSECTOS Y LA MATEMÁTICA
2.1.8.1. LAS ABEJAS
La capacidad que tienen las abejas para movilizarse de un lugar a otro entre
otras características ha llamado la atención y ha permitido que se lleven a
cabo estudios para demostrar sus capacidades matemáticas. En la
construcción de su panal se puede ver que se relaciona con ciertas figuras
geométricas llegando a la conclusión que las abejas utilizan la matemática
para realizar estas cosas tan extraordinarias.
Entre los tipos de abejas que existen hay una en especial llamada danzarina,
la cual es capaz de guardar información que le permite localizar la fuente de
alimento, la misma que consiste en analizar la dirección y la magnitud de su
recorrido desde el panal hasta la meta, tomando como referencia al sol. Si
los días se encuentran nublados debe tomar otras formas para guiarse
como la sensibilidad extraordinaria que posee a la radiación solar, lo cual le
permitirá completar la información requerida.
La trayectoria que realizan las abejas ha sido estudiada desde la antigüedad
ya que ha resuelto uno de los problemas matemáticos más complejos como
es el del viajante del comercio que consiste en viajar por muchas ciudades y
regresar a la ciudad inicial sin repetir ninguna, o el problema de los puentes
de Königsberg que trata de 7 puentes sobre el río Pregolya por los que hay
que pasar al punto inicial sin repetir ninguno. Este problema fue estudiado
por muchos europeos en cierta época, hasta que fue resuelto por Leonhard
Euler, en la teoría de grafos.
Según investigaciones de Lars Chittka y su equipo, de la Escuela Queen
Mary de Ciencias Biológicas de la Universidad de Londres, ha descubierto
que las abejas en sus rutas por cientos de flores siempre eligen la trayectoria
más corta, no importa lo compleja que esta sea. Llegando a la conclusión de
19
que las abejas tienen una mente matemática de primer orden, sobre todo
teniendo en cuenta que su cerebro tiene el tamaño de un alfiler.
(http://elastrolabiodeazarquiel.blogspot.com) 9
Las abejas realizan también construcciones geométricas cuando elaboran su
panal el mismo que está compuesto por celdas en forma de un prisma
hexagonal, en el cual intervienen en especial el triángulo equilátero, el
cuadrado y el hexágono regular obteniendo como resultado de esta forma
un panal muy sólido y perfectamente construido.
Según investigaciones del matemático griego Papus de Alejandría, las
abejas al realizar la construcción de su panal de forma hexagonal gastan la
menor cantidad de cera, ahorran tiempo y esfuerzo, con ello logran la mayor
capacidad de miel en cada celda. (www.unalmed.edu.co/.)10
2.1.8.2. LA MANTIS
De acuerdo a la publicación realizada por Gilberto Quiróz, la mantis
religiosa, también conocida como campamocha o Santateresa debido a la
postura que tiene cuando está inmóvil. Es un insecto voraz, un depredador
con una inteligencia matemática para la caza de sus presas. Se alimentan
de insectos que capturan utilizando sus patas anteriores que desmenuza con
sus poderosas mandíbulas, su cabeza puede girar hasta 1800, las hembras
tienen instinto caníbal pues devoran al macho vivo después del
apareamiento.
Utilizan de alguna manera la matemática, ya que para conseguir sus presas
siempre buscan lugares altos para poder observar el campo de acción, en
donde cada salto la mantis calcula la distancia entre las ramas dando la
impresión de que se balancea como si estuviera arrullándose, este
9 Los Insectos saben Matemáticas, Acceso 06/04/2013;
http://elastrolabiodeazarquiel.blogspot.com/2011/02/los-insectos-saben-matematicas.html 10
Las Abejas Matemáticas, Acceso 28/11/2012; www.unalmed.edu.co/...12/Las_abejas_insignes_matematicas.ppt
20
movimiento le permite con sus dos ojos su objetivo para no fallar ya que
cuenta con una visión tridimensional del espacio, luego de calcular la
distancia, y la fuerza que necesita para aplicar su movimiento y el ángulo
que debe adoptar para lograrlo y de esta manera ataca a su presa.
(http://veracidadinformativa.blogspot.) 11
2.1.8.3. LAS HORMIGAS
Es muy claro que las hormigas desarrollan un alto nivel de socialización que
les permite comunicar información entre los miembros de la colonia, pero
además de esto realizan operaciones aritméticas, esta investigación fue
realizada por los científicos rusos Zhanna Rezhikva, de la Universidad
Estatal de Novosibirsk, Boris Ryabko de la Universidad estatal de Siberia.
Esta investigación realizada especialmente a la hormiga roja indica la
habilidad que tienen para pasar información unas a otras por ejemplo para
después de haber hecho una operación aritmética, decidirse entre
cantidades grandes o pequeñas de comida o la distancia a la que se
encuentra.
Para alertar a otras hormigas de la localización de la comida, se pasan
mensajes informando la cantidad de alimento que hay o la distancia que hay
hasta allí o el número de pasos que se necesitan para llegar, y si esto es así,
se demuestra que las hormigas son capaces de usar valores cuantitativos y
pasarse información unas a otras.
(http://www.larazon.es/detalle_hemeroteca) 12
11
Mantis, Insecto Matemático, Acceso 06/04/2013; http://veracidadinformativa.blogspot.mx/2009/07/mantis-insecto-matematico-y-no-venenoso_05.html 12
Las Hormigas saben Matemáticas, Acceso 06/04/2013; http://www.larazon.es/detalle_hemeroteca/noticias/LA_RAZON_375188/historico/4388-las-hormigas-saben-mas-matematicas-que-un-nino-de-infantil#.UWN97Tdd-uo
21
2.1.9. LAS AVES Y LA MATEMÁTICA
2.1.9.1. LOS HORNEROS
Dentro de la clasificación del reino animal existe una infinita variedad en
colores tamaños y formas, su belleza atrae la mirada y la admiración del
hombre, pero al escuchar que estas aves utilizan la física, una de las
materias que está en relación con la matemática, nos parece más increíble
todavía, es así que Mindlin un investigador del departamento de física de la
facultad de Ciencias Exactas descubrió que los horneros seguían un patrón
matemático cuando cantaban. Los ritmos sincronizados de machos y
hembras, respondían a simples leyes de la física, en particular las que
gobiernan los sistemas conocidos como osciladores no lineales, como un
péndulo impulsado por una fuerza vertical que oscila en una región amplia.
Luego de grabar alrededor de cien duetos, digitalizaron y analizaron
alrededor de 25 y desarrollaron dos modelos matemáticos uno que describe
la física del canto y la otra para las partes involucradas del cerebro. De esta
manera descubrieron que las notas musicales de machos y hembras se
alternan en diferentes secuencias. Lo más frecuente es una nota femenina
por cada tres masculinas, pero también se dan las combinaciones, una cada
cuatro, dos cada siete y tres cada diez. (http://www.prodiversitas.bioetica.)13
2.1.9.2. LA GALLINA J.J.
En los grupos de gallinas existe una especie de jerarquía que se manifiesta
por medio de picotazos, y las gallinas con más rango picotean a las de
categorías inferiores. El gallo, por su parte, tiene la prerrogativa de picotear a
todo el gallinero, aunque mantiene con los otros gallos una jerarquía
independiente.
13
Nora, Aves Matemáticas; Acceso 04/04/2013; http://www.prodiversitas.bioetica.org/prensa72.htm
22
Existe una gallina que ha sorprendido a la británica Helen Jones de
Felmingham, Norfolk, Reino Unido, ya que tiene una capacidad
extraordinaria para contar, puede identificar perfectamente los números que
aparecen en las cartas y lo demuestran golpeando el naipe la misma
cantidad de veces que el números que aparece en ella.
Según Helen la gallina de nombre JJ, no podía caminar debido a una
fractura de pelvis y fue llevada a un refugio para gallinas maltratadas
perteneciente a sus nuevos cuidadores quienes con sorpresa descubrieron
que era un genio. (http://nadanoslibradeescorpio.)14
2.1.9.3. EL LORO ALEX
De acuerdo a investigaciones realizadas por la Universidad de Arizona, más
tarde en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Brandeis, Alex el
loro de Irene Pepprenberg, se descubrió que el loro Alex desarrolló la
inteligencia de un niño de cinco años, podía identificar siete colores, seis
números, cinco formas, y distinguir entre más grande, más pequeño, mismo,
y diferente y estaba aprendiendo arriba y abajo, Alex tenía un vocabulario
de aproximadamente 150 palabras.
Lastimosamente Alex murió a la edad de 31 años, pero su dueña dice que
dejó algo muy importante con su partida que el ser humano no es el único
que utiliza su inteligencia, y lo mucho que queda por descubrir dentro del
reino animal. (http://www.elmundo.es) 15
14
JJ, La Gallina que sabe Matemáticas, Acceso 10/04/2013, http://nadanoslibradeescorpio.blogspot.com/2012/11/jj-la-gallina-que-sabe-matematicas.html 15
La Increíble Historia de Alex; Acceso 04/04/2013; http://www.elmundo.es/elmundo/2008/12/23/ciencia/1230055415.html
23
2.2. PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
La enseñanza y aprendizaje forman parte de un único proceso que tiene
como fin la formación del estudiante. La referencia etimológica del término
enseñar puede servir de apoyo inicial, enseñar es señalar algo a alguien.
Esto implica que hay un sujeto que conoce (el que puede enseñar) y otro,
que desconoce (el que puede aprender). El que puede enseñar, quiere
enseñar y sabe enseñar (el docente). El que puede aprender quiere y sabe
aprender (el alumno). Ha de existir pues una disposición por parte del
alumno y docente.
“La enseñanza en cambio es el proceso mediante el cual se
transmite a un alumno contenidos educativos, tales como
conocimientos, habilidad y hábitos a través de la comunicación
directa o asistida por diversos medios. Los objetivos que se desean
alcanzar mediante la enseñanza determinarán los contenidos,
métodos y organización del desarrollo de un determinado tema”.
(Molina, 2009, pág. 44)
El aprendizaje es la adquisición de nuevo conocimientos, habilidad o
capacidad a través del estudio o de la experiencia, a partir de alguna
información recibida y se desarrolla en un determinado contexto en el que
intervienen factores tanto físicos como sociales y culturales. En el proceso
de enseñanza – aprendizaje influyen numerosos factores relacionados, unos
con la materia objeto de estudio y otros con el individuo que ha de aprender.
En la actualidad existe un amplio consenso sobre el papel activo que juega
cada individuo en la formación de su propio conocimiento. Los resultados del
aprendizaje no sólo dependen de la situación del aprendizaje y de las
experiencias que proponemos a los alumnos, sino también de sus
conocimientos previos, de sus concepciones y de sus motivaciones. Pues
las ideas previas no sólo influyen en su interpretación de fenómenos y en la
explicación que dan a los mismos, sino que además determinan la dirección
24
de su observación, centran su atención, orientan los experimentos que
realizan y condicionan la adquisición de sus conocimientos.
2.2.1. PROCESOS DE ENSEÑANZA
En la enseñanza el docente debe actuar como mediador en el proceso de
aprender de los alumnos, debe estimular y motivar, aportar criterios y
diagnosticar situaciones de aprendizaje de cada alumno y del conjunto de la
clase, clarificar y aportar valores y ayudar a que los alumnos desarrollen sus
propios valores, por último debe promover y facilitar las relaciones humanas
en la clase y en la escuela y ser su orientador personal y profesional.
“Ante las exigencias educativas actuales, la labor docente se reorientará hacia una actitud tutorial, semejante a la de coordinar, asesorar y facilitar experiencias educativas en las que el alumno logre aprender. Asimismo, en las aulas se privilegiará un clima de libre expresión y las experiencias educativas serán iniciadas por el uso planeado, intencional y significativo de la pregunta como activadora de procesos integradores.”(Shayer, 2010, pág. 38)
Por otro lado, se aprovechará al máximo el trabajo grupal para la
construcción y reconstrucción del conocimiento a través de la interacción con
los otros, a su vez se trabajará por el desarrollo de capacidades
cognoscitivas específicas como son la comprensión del lenguaje, el análisis
y la síntesis.
Para lo cual el docente deberá plantear ejercicios y reactivos orientados a la
solución de problemas, así como experiencias de enseñanza que propicien
el pensamiento reflexivo y crítico. Por tanto, la tarea educativa consistirá no
en transmitir toda la información disponible, sino en enseñar al estudiante
estrategias que le permitan adquirir e interpretar por sí mismo, esto es que le
permitan aprender a aprender.
25
Pasos para lograr una buena enseñanza:
Motivación. El trabajo de los docentes debe estar debidamente
planeado y sistematizado para que pueda ofrecer buenos resultados.
Siguiendo este principio la mayoría de los docentes deben dedicar
gran parte de su tiempo a planear las clases que imparten, cuidando
todos los aspectos metodológicos y tomando en cuenta las distintas
fases que requiere la conducción de una clase
La motivación es fuente de acción y de interés en los individuos
cuando se pretende producir el aprendizaje. Ningún docente debe
olvidar que los procesos de aprendizaje incluyen aspectos
cognoscitivos y afectivos que implican el ejercicio de la voluntad.
Por tanto, alumnos brillantes que no encuentren en las acciones y
discursos de los docentes la motivación suficiente para aprender un
aprendizaje, se tomarán en educandos apáticos, más no ante una
planeación didáctica sistemática y con los recursos metodológicos
más novedosos.
Cabe mencionar que, el manejo de la motivación por parte de los
docentes es imprescindible en el inicio, desarrollo y cierre de una
clase, de otro modo se corre el riesgo de que en cualquier momento la
planeación didáctica fracase y no se consigan los resultados
esperados.
Participación. El concepto de participación se refiere al hecho de
estar involucrado o desempeñar un papel en algo. Ser escuchado y
tomado en cuenta, por lo general cuando se toman decisiones. La
eficiencia de las planeaciones didácticas de los docentes requiere de
la utilización de estrategias, métodos, técnicas, dinámicas, materiales
didácticos diversos, equipo tecnológico, etc. Sin embargo si los
26
docentes no organizan la forma de participación de los alumnos, el
trabajo de planeación corre el riesgo de tomarse improductivo, de
perder tiempo y generar la dispersión en el tema, puesto que no hay
parámetros que regulen la forma de intervención del docente y de los
alumnos.
Comprensión. La comprensión es poder realizar una gama de
actividades que requieren pensamiento respecto a un tema. La
comprensión implica poder realizar una variedad de tareas que, no
sólo demuestra la comprensión de un tema sino que, al mismo
tiempo, la aumenten.
En la enseñanza existen muchas actividades que son demasiado
rutinarias para ser de comprensión como por ejemplo: exámenes de
verdadero o falso, ejercicios rutinarios de aritmética, dichas
actuaciones rutinarias tienen su importancia, pero no construyen
comprensión.
La comprensión de texto en cambio se definió como un proceso
cognitivo complejo de carácter constructivo en el que interaccionan
características del lector del texto y de un contexto determinado.
2.2.1.1. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
Las estrategias de enseñanza son procedimientos que incluyen varias
técnicas, operaciones o actividades específicas que persiguen un propósito
determinado en el aprendizaje y la solución de problemas académicos y/o
aquellos otros aspectos vinculados con ellos que son más que los hábitos de
estudio, porque se realizan flexiblemente.
“Estas estrategias son utilizadas intencional y flexiblemente por el docente y este las puede usar antes para activar la enseñanza, durante el proceso para favorecer la atención y
27
después para reforzar el aprendizaje de la información nueva. La finalidad de las estrategias de enseñanza es que el aprendizaje sea capaz de actuar en forma autónoma y autorregulada.” (Edwards, 2008, pág. 55)
Las estrategias de enseñanza de matemáticas permiten que los alumnos
puedan:
Resolver problemas
Realizar demostraciones científicas
Buscar salidas prácticas
Utilizar juegos matemáticos
Crear códigos
2.2.1.2. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA.
Las estrategias metodológicas para la enseñanza son secuencias integradas
de procedimientos y recursos utilizados por el docente con el propósito de
desarrollar en los estudiantes capacidades para la adquisición, interpretación
y procesamiento de la información y la utilización de estas en la generación
de nuevos conocimientos, su aplicación en las diversas áreas en las que se
desempeñan la vida diaria para, de este modo, promover aprendizajes
significativos. Las estrategias deben ser diseñadas de modo que estimulen a
los estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar
soluciones y descubrir el conocimiento por sí mismos.
Existen varias estrategias metodológicas para la enseñanza de la
matemática como resolución de problemas y actividades lúdicas. Las cuales
están desarrolladas con la preocupación de proponer el uso de recursos
variados que permitan atender a las necesidades y habilidades de los
diferentes estudiantes, además de incidir en aspectos tales como:
28
Potenciar una actitud activa
Despertar la curiosidad del estudiante por el tema
Debatir con los colegas
Compartir el conocimiento con el grupo
Fomentar la iniciativa y la toma de decisión
Trabajo en equipo
2.2.1.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Desde una perspectiva histórica la resolución de problemas ha sido siempre
el motor que ha impulsado el desarrollo de la matemática. Pero este papel
clave de los problemas no se traduce, en general, como la actividad principal
en las sesiones de aprendizaje de matemática, ya que al resolver problemas
se aprende a matematizar, lo que es uno de los objetivos básicos para la
formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza tomándose
más perseverantes y creativos, mejorando su espíritu investigador;
proporcionándoles un contexto en el que los conceptos pueden ser
comprendidos y las capacidades desarrolladas.
Entre las finalidades de la resolución de problemas tenemos:
Hacer que el estudiante piense productivamente.
Desarrollar su razonamiento.
Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas.
Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la
matemática.
Hacer qué las sesiones de aprendizaje de matemática sean más
interesantes y desafiantes.
Equiparlo con estrategias para resolver problemas.
Darle una buena base matemática
29
2.2.1.4. ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver problemas, se necesita desarrollar determinadas estrategias
que en general, se aplican a un gran número de situaciones. Este
mecanismo ayuda en el análisis y en la solución de situaciones donde uno o
más elementos desconocidos son buscados.
“Es importante que los estudiantes perciban que no existe una única estrategia, ideal e infalible de resolución de problemas. Así mismo, que cada problema amerita una determinada estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias.” (Gonzales, 2003, pág. 44)
Algunas de las que se pueden utilizar son:
Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error)
Consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones
del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o
hasta comprobar que eso no es posible. Después de los primeros ensayos
ya no se eligen opciones al azar sino tomando en consideración los ensayos
ya realizados.
Resolver un problema similar más simple:
Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver
primero el mismo problema con datos más sencillos y, a continuación,
aplicar el mismo método en la solución del problema planteado, más
complejo.
Hacer una figura, un esquema o diagrama
En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un
dibujo, esquema o diagrama, es decir, si se habla de representación
30
adecuada. Esta ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de
imágenes que con el de palabras, números o símbolos.
Buscar regularidades o un patrón
Esta estrategia empieza por considerar algunos casos particulares o iniciales
y, a partir de ellos, buscar una solución general que sirva para todos los
casos. Es muy útil cuando el problema presenta secuencias de números o
figuras. Lo que se hace, en estos casos, es usar el razonamiento inductivo
para llegar a una generalización.
Trabajar hacia atrás
Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema implica un juego
con números. Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando las
operaciones que deshacen las originales.
Imaginar el problema resuelto
En los problemas de construcciones geométricas es muy útil suponer el
problema resuelto. Para ello se traza una figura aproximadamente a la que
se desea. De las relaciones observadas en esta figura se debe desprender
el procedimiento para resolver el problema.
2.2.1.5. MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS CON JORGE
PÓLYA
Este matemático estuvo interesado en los resultados matemáticos, para él
fue muy importante entender la teoría ya que se debe entender como fue
descubierta. El método está enfocado a la solución de problemas
matemáticos y hace una muy clara distinción entre ejercicio y problema, así
un ejercicio aplica un procedimiento que lo lleva a la respuesta, en cambio
31
en un problema se debe hacer una pausa, reflexión y es posible que utilice
pasos que no había utilizado para llegar a una respuesta, dando como
resultado un paso creativo en la solución. Para Pólya hacer ejercicios es
muy valioso en el aprendizaje de la matemática, ya que ayuda a aprender
conceptos, propiedades y procedimientos entre otras cosas, los cuales son
aplicables para la resolución de problemas. Para involucrar a sus
estudiantes en la resolución de problemas, generalizó su método en los
siguientes cuatro pasos. (http://es.wikipedia.org)16
Comprender el problema
Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe
leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la
información proporcionada. Para eso, se puede responder a preguntas
como:
¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama?
¿Es posible estimar la respuesta?
Elaborar un plan
En esta paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la incógnita o
lo desconocido, relacionando los datos del problema. Se debe elaborar un
plan o estrategia para resolver el problema. Una estrategia se define como
un artificio que conduce a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar
la secuencia en que se debe realizarlas. Estimar la respuesta. Algunas
preguntas que se pueden responder en este paso son:
16 Jorge Pólya y La Resolución de Problemas; Acceso 05/08/2013;
http://es.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya
32
Recordar algún problema parecido a este que pueda ayudar a
resolverlo.
Usar todos los datos.
Resolver estos problemas por partes.
Organizar los datos.
Ejecutar el plan
Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden
establecido, verificando paso a paso si los resultados están correctos. Se
aplican también todas las estrategias pensadas, completando si se quiere
los diagramas, tablas o gráficos para obtener varias formas de resolver el
problema. Si no se tienen éxito se vuelve a empezar. Suele suceder que un
comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito
Mirar hacia atrás o hacer la verificación
“En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida, no solo en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la segunda, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original.” (http://www2.minedu.gob.pe). 17
En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la
formulación de otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se pueden
responder en este paso son:
¿Su respuesta tiene sentido?
¿Está de acuerdo con la información del problema?
¿Hay otro modo de resolver el problema?
17
Estrategias de matemática. 11/02/2012. Acceso28/11/2012 http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wp-descargas/mundomate/pdf/001_Mundomate_estrategias_de_matematica.pdf
33
¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empelado
para resolver problemas semejantes?
¿Se puede generalizar?
2.2.1.6. EL JUEGO COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA –
APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
El juego es una actividad o recurso de construcción de las propias ideas
matemáticas del alumno. Por esta razón, el papel de los recursos en el aula
de matemáticas cobra mayor importancia cada vez.
Un juego bien elegido puede servir para introducir un tema, ayudar a
comprender mejor los conceptos o procesos, afianzar los conocimientos ya
adquiridos, adquirir destreza o descubrir la importancia de una propiedad,
reforzar automatismos y consolidar un contenido.
2.2.1.7. VENTAJAS
Ayuda al estudiante a adquirir altos niveles de destreza en el
desarrollo del pensamiento matemático
Sirve para enseñar contenidos y estrategias de la resolución de
problemas.
Produce en el alumno entusiasmo, diversión, interés, desbloqueo y
gusto por estudiar matemáticas.
El juego conduce al estudiante a la conquista de su autonomía y a la
adquisición de una conducta que le ayudará en sus actividades.
Mediante el juego se pueden crear situaciones de máximo valor
educativo y cognitivo que permitan experimentar, investigar, resolver
problemas, descubrir y reflexionar.
34
Todo esto puede ser conducido a la construcción del conocimiento,
aprendizaje significativo.
2.2.2. PROCESOS DE APRENDIZAJE
Aprender es un proceso que ocurre a lo largo de toda la vida, y que se
extiende en múltiples espacios, tiempos y formas. El aprender está
estrechamente ligado con el crecer de manera permanente, sin embargo no
es algo abstracto. El proceso de aprendizaje es una experiencia intelectual
como emocional, abarcando conocimientos, destrezas, capacidades, se
desarrolla la inteligencia de manera inseparable, el aprendizaje es una
fuente de enriquecimiento afectivo, donde se forma sentimientos, valores,
convicciones, ideales, donde emerge la propia persona y sus orientaciones
ante la vida.
“Se denomina aprendizaje al proceso de adquisición de conocimientos, habilidades, valores y actitudes, posibilitado mediante el estudio, la enseñanza o la experiencia. Dicho proceso puede ser entendido a partir de diversas posturas, lo que implica que existen diferentes teorías vinculadas al hecho de aprender.” (http://definicion.de). 18
2.2.2.1. ENSEÑANZA - APRENDIZAJE
La enseñanza centrada en el aprendizaje obliga a diseñar. Incorporar y
difundir acciones que lleven al alumno a asumir y entender los contenidos de
aprendizaje planteados, a través del autoaprendizaje y la responsabilidad
compartida, así como una nueva visión del proceso de enseñanza –
aprendizaje, en la cual se considera que cada persona aprende de manera
diferente y posee un potencial de conocimientos y experiencias distintas, es
18
Definición de aprendizaje. 14/04/2012. Acceso22/11/2012, http://definicion.de/aprendizaje/
35
decir existen diversos estilos de aprendizaje a partir de los cuales se procesa
la información recibida del medio y se la transforma en conocimiento.
2.2.2.2. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE
Las estrategias de enseñanza – aprendizaje son procedimientos
necesarios, que pueden incluir varias técnicas o actividades específicas
que persiguen un propósito determinado.
Las estrategias de enseñanza son procedimientos o recursos utilizados
por el docente en la enseñanza para promover aprendizajes
significativos. Las estrategias abordan aspectos tales como: diseño y
empleo de objetivos e intenciones de enseñanza, para lo cual el
docente puede utilizar:
Preguntas insertadas
Ilustraciones
Modos de respuesta
Organizadores anticipados
Redes semánticas
Mapas conceptuales
.
Las estrategias de aprendizaje. Son los procesos que sirven de base para
la realización de las tareas intelectuales, las mismas que facilitan el
aprendizaje. El estudiante puede utilizar:
Estrategias de ensayo. Ensayar consiste en practicar o repetir
información con el fin de codificarla o registrarla. Ejemplo: prueba de
conocimiento, elaboración de un resumen o un esquema, una
presentación oral, etc.
36
Estrategia de elaboración. Implica hacer conexiones entre lo nuevo
y lo familiar. Por ejemplo refrasear, resumir, crear analogías, tomar
notas, responder preguntas.
Estrategias de organización. Las estrategias de organización
permiten comprender, retener, evocar información contenida en
textos, Las estrategias de organización, al igual que las de
elaboración, exigen del aprendiz un papel más activo que el requerido
por las estrategias de ensayo o de práctica de la información.
Ejemplo: diagramas de flujo, esquemas, mapas de conceptos, redes
semánticas, matrices de comparación y contraste.
Estrategias de control de comprensión. Estas estrategias están
ligadas a la metacognición, implican permanecer consciente de lo que
se está tratando de lograr, estas son: un sistema supervisor de la
acción y el pensamiento del alumno.
Estrategias de apoyo o afectivas. Mejorar la eficacia del aprendizaje
mejorando las condiciones en las que se produce, incluyen establecer
y mantener la motivación, enfocar la atención, mantener la
concentración, manejar la ansiedad, manejar el tiempo de manera
efectiva.
2.2.2.3. CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRATEGIAS DE
ENSEÑANZA APRENDIZAJE
Promueven un aprendizaje efectivo.
Permiten secuenciar, ordenar y trabajar con exactitud los contenidos
para un mejor aprovechamiento.
Evitan la improvisación.
Dan seguridad a los actores (educando, educador).
Favorecen la autoconfianza.
37
Fomentan el trabajo cooperativo.
Dinamizan el proceso de enseñanza – aprendizaje.
Favorecen la participación y socialización.
Evitan la memorización mecánica del material docente.
El alumno deja de ser receptor para ser el actor de sus propios
aprendizajes, gestor de sus conocimientos.
2.2.3. TIPOS DE ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
Existen tres tipos de estrategias de aprendizaje de acuerdo al nivel de
procesamiento que conllevan; cognitivas, metacognitivas, y socioafectivas.
2.2.3.1. ESTRATEGIAS COGNITIVAS
“Las estrategias cognitivas se refieren a procesos y conductas que los estudiantes utilizan para mejorar su capacidad de aprendizaje y memorización, particularmente aquellas que ponen en juego al realizar ciertas actividades.” (Monereo, 2000, pág. 22)
Estas estrategias están limitadas a tareas específicas de aprendizaje y que
involucran una manipulación más directa del material o contenidos, como las
siguientes:
El ensayo
La organización
La inferencia
La transferencia
La deducción
La síntesis
38
2.2.3.2. ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS
“Uno de los tipos generales de estrategias de aprendizaje empleadas por los estudiantes, cuando llevan a cabo tareas de aprendizaje, junto con las estrategias cognitivas y las estrategias de interacción.” (Gonzales, 2003, pág. 41).
Las estrategias metacognitivas consisten en pensar sobre los procesos
mentales empelados en el proceso de aprendizaje, controlar el aprendizaje
mientras éste tiene lugar, y evaluarlo una vez completado. Las estrategias
metacognitivas, son aquellas donde el alumno tiene que planear, monitorear
y evaluar su aprendizaje. Estas son:
La atención dirigida
La selección
La autoevaluación
2.2.3.3. ESTRATEGIAS DE INTERACCIÓN
Estas estrategias se relacionan con actividades de mediación e interacción
con otras personas. Entre estas se puede mencionar:
La cooperación
El trabajo grupal
Las estrategias de aprendizaje son importantes por dos razones. En primer
lugar se consideran como herramientas para un desempeño activo, lo cual
es esencial para desarrollar una competencia comunicativa. En segundo
lugar aprenden más efectivamente.
39
2.2.4. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Aprendizaje significativo es el mecanismo humano, por excelencia, para
adquirir y almacenar la inmensa cantidad de ideas e informaciones
representadas en cualquier campo de conocimiento.
“Dicho de otro modo el aprendizaje significativo es el tipo de aprendizaje en que un estudiante relaciona la información nueva con la que ya posee, reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso, la estructura de los conocimientos previos condiciona los nuevos conocimientos y experiencias y estos a su vez se modifican y reestructuran.”(Coll,1991, pág. 32)
El aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que se
relaciona con la nueva información, debe entenderse por estructura
cognitiva, al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un
determinado campo del conocimiento, así como su organización.
En el proceso de orientación del aprendizaje es de vital importancia conocer
la estructura cognitiva del alumno, no sólo se trata de saber la cantidad de
información que posee, sino cuales son los conceptos y proposiciones que
maneja así como de su grado de estabilidad.
2.2.4.1. CARACTERÍSTICAS DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
La información nueva se relaciona con la ya existente en la estructura
cognitiva de forma sustantiva, no arbitraria, ni al pie de la letra.
El alumno debe tener una actitud y disposición favorable para extraer
el significado del aprendizaje.
40
2.2.4.2. REQUISITOS PARA LOGRAR EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Significatividad lógica del material didáctico. El material que
presenta el maestro al estudiante debe estar organizado, para dar
una buena construcción de conocimientos.
Significatividad psicológica del material. Que el alumno conecte el
nuevo conocimiento con los previos y que los comprenda. También
debe poseer una memoria de largo plazo, porque de lo contrario se le
olvidará todo en poco tiempo.
Actitud favorable del alumno. Ya que el aprendizaje no puede darse
si el alumno no quiere. Este es un componente de disposiciones
emocionales y actitudinales, en donde el docente sólo puede influir a
través de la motivación.
2.2.4.3. VENTAJAS
Produce una retención más duradera de la información.
Facilita el adquirir nuevos conocimientos relacionados con los
anteriormente adquiridos de forma significativa, ya que al estar claros
en la estructura cognitiva se facilita la retención del nuevo contenido.
La nueva información al ser relacionada con la anterior, es guardada
en la memoria a largo plazo. Es activo, pues depende de la
asimilación de las actividades de aprendizaje por parte del alumno.
Es personal, ya que la significación de aprendizaje depende los
recursos cognitivos de los estudiantes.
41
2.2.5. LA EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
La evaluación del aprendizaje de los alumnos es de gran importancia pues
mediante ella se comparan los resultados del trabajo de educadores y
educandos con los objetivos propuestos, lo cual permite determinar la
eficiencia del proceso y consecuentemente orientar el trabajo sobre los
objetivos, con todos o con algunos alumnos, al mismo tiempo que se
comprueba si los métodos empleados fueron efectivos o no. El incremento
del papel de evaluación del aprendizaje de los alumnos como vía de
retroalimentación del proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática
constituye una necesidad del perfeccionamiento de dicho proceso.
“Con frecuencia se escuchan manifestaciones de insatisfacción e inconformidad con los resultados del aprendizaje de las matemáticas. Ellas están basadas en la contradicción existente entre los resultados que muchos alumnos alcanzan en los diferentes grados y niveles, los mismos que difieren significativamente. La no correspondencia existente entre los resultados de la calificación y el nivel real de aprendizaje de los alumnos, es decir estudiantes con altas puntuaciones en la asignatura y un pobre dominio del contenido sean estos (conocimientos, habilidades, valores) etc.” (Shayer, 2010, pág. 38)
La evaluación es un componente esencial del proceso de enseñanza que
parte de la definición misma de los objetivos y concluye con la determinación
del grado de eficiencia del proceso, dada por la medida en que la actividad
del educador y alumnos hayan logrado como resultado los objetivos
propuestos.
Para que la evaluación del aprendizaje sea efectiva debe cumplir las
siguientes funciones:
Función instructiva
Función educativa
42
Función de diagnóstico
Función de control
La función instructiva tiene como propósito aumentar el volumen y calidad de
los conocimientos y la formación de hábitos y habilidades de manera que se
desarrollen las habilidades cognoscitivas en los educandos y el nivel de
estudio se incremente y perfeccione.
“Cuando el proceso evaluativo se estructura y aplica correctamente es un factor de alto nivel educativo. Esta función alcanza un nivel más alto en la medida que el alumno participa de manera activa en el control de su aprendizaje y el de sus compañeros, mediante la autoevaluación y la coevaluación respectivamente.”. (http://www.ediciones-sm.com.co/).19
La evaluación ofrece información desde el punto de vista cualitativo y
cuantitativo sobre la generalidad y la individualidad de los alumnos, acerca
del cumplimiento de los objetivos y de la efectividad del proceso en su
totalidad con el propósito de perfeccionarlo oportunamente. Constituye la vía
esencial para lograr una retroalimentación efectiva y oportuna del proceso
con el propósito de evitar fracasos irreversibles al final del año escolar.
También tiene una función desarrolladora pues es el proceso evaluativo
deben incluirse ejercicios y tareas que comprueben y al mismo tiempo
contribuyan a desarrollar en los alumnos el pensamiento independiente,
racional y reflexivo, la creación, la tenacidad, la perseverancia y la capacidad
para aplicar de manera integrada al contenido estudiado.
La esencia de la función de control en el proceso de evaluación del
aprendizaje radica en la necesidad de ayuda a los estudiantes. El proceso
19
La Evaluación del aprendizaje, Acceso 28/11/2012; http://www.ediciones-sm.com.co/ArchivosColegios/ColombiaNew/Archivos/Colombia_pruebas/LEGISLACION%20EDUCATIVA/Evalu
43
de control permite establecer una constante comparación de lo planificado
con su cumplimiento.
La evaluación del aprendizaje de la matemática desde una concepción
integradora estimuladora se manifiesta en tareas docentes o ejercicios para
las evaluaciones sistemáticas, parciales o finales que comprueban los
diferentes niveles de profundidad de los objetivos de modo que exista la
posibilidad de hacer corresponder el nivel real de aprendizaje de los alumnos
y la calificación en la asignatura.
2.2.5.1. IMPORTANCIA
El objetivo principal de la evaluación es el retroalimentar el proceso
enseñanza aprendizaje, esto significa que los datos obtenidos en la
evaluación servirán a los que intervienen en dicho proceso (docentes –
alumnos), en forma directa para mejorar las deficiencias que se presenten
en la realización del proceso e incidir en el mejoramiento de la calidad y en
consecuencia el rendimiento en el Proceso Enseñanza – Aprendizaje. Para
tal fin, es importante diferenciar el término medición de evaluación, así como
la clasificación de esta última y su función didáctica.
Uno de los problemas que más preocupa a los educadores es el lograr
medios idóneos para establecer hasta qué punto los educandos alcanzan las
metas educativas preestablecidas; en otros términos, cómo llegar a una justa
y válida evaluación del aprendizaje, ya que del grado de eficacia con que el
docente la realice depende el éxito o fracaso del proceso, por lo que se
puede decir que la evaluación del logro educativo es esencial para una
educación eficaz, pues es ésta la que nos va a indicar en qué medida los
alumnos han alcanzado los objetivos establecidos.
44
2.2.5.2. VENTAJAS
La aplicación de la evaluación del aprendizaje de la matemática
desde una concepción integradora estimuladora contribuye a
estimular el estudio de la matemática por parte de los escolares.
Mediante su aplicación es posible el desarrollo de conocimientos y
habilidades básicas a todos los alumnos y plantear preguntas difíciles
que comprueben objetivos con elevado nivel de profundidad sin que
un fracaso en ellas repercuta demasiado en la nota del examen.
La evaluación del aprendizaje de la matemática desde una
concepción integradora estimuladora no es un riesgo para el alumno
que ha alcanzado sólo las exigencias básicas y consecuentemente en
la calificación de la asignatura no tenga una alta puntuación.
2.3. MARCO INSTITUCIONAL
El presente proyecto se lo realizará en el Colegio Popular Particular
Noroccidental ubicado en el Noroccidente de Pichincha en la Parroquia de
Nanegalito; Cantón Quito; con acuerdo Ministerial No 2260; el trabajo se lo
realizará con el personal docente y los estudiantes del 8vo, 9no, y 10mo
Año de Educación General Básica del periodo 2012 – 2013.
2.3.1. VISIÓN
Formar alumnos(as) con un alto grado de desarrollo de sus habilidades y
destrezas cognitivas, que les permitan adquirir aprendizajes de calidad,
sustentados en profundos valores éticos y morales que los prepare en forma
eficiente y eficaz para desenvolverse óptimamente en la sociedad,
demostrando gran respeto por su entorno social, natural y cultural.
45
2.3.2. MISIÓN
El Colegio Noroccidental tendrá la misión de desarrollar en sus alumnos(as)
saberes y competencias intelectuales, físicas, emocionales y sociales que
les permita resolver satisfactoriamente los desafíos que les presenta el diario
vivir, en un ambiente de sana convivencia democrática, privilegiando la
coexistencia pacífica, adaptándose a la rapidez del cambio del mundo de
hoy, respetando su medio ambiente y basándose en una sólida educación
valórica y en un gran sentido positivo de la vida.
2.3.3. OBJETIVOS INSTITUCIONALES
Ejercer un liderazgo directivo en el ámbito pedagógico curricular a través de
la permanente búsqueda de logros académicos, maximizando el potencial de
todos los integrantes de la comunidad escolar. Propiciar y desarrollar
habilidades y destrezas intelectuales, físicas, sociales y emocionales en los
alumnos(as) que les permita desarrollar su autonomía en sus decisiones
presentes y futuras.
Promover aprendizajes significativos y relevantes en los alumnos(as) a
través de un currículo contextualizado, metodologías de enseñanzas activas
y participativas para la construcción de nuevos aprendizajes desde sus
propias vivencias y diferencias individuales.
Organizar equipos de trabajo profesional, por subsectores de aprendizaje
para favorecer la integración de las estrategias y metodologías que
conllevan al logro de aprendizajes significativos.
Crear un ambiente de convivencia cálido e integrador que favorezca el
sentido de pertenencia, participación y respeto entre todos los integrantes de
la unidad educativa.
46
Ofrecer espacios de encuentro y reflexión para los padres y apoderados, que
les permita una participación y compromiso de mayor calidad frente a la
formación integral de sus hijos o pupilos.
2.4. HIPÓTESIS
Las matemáticas del reino animal no se conocen y por tanto no se usan
dentro del proceso de enseñanza aprendizaje.
2.5. VARIABLES
2.5.1. VARIABLE INDEPENDIENTE
Las matemáticas del reino animal
2.5.2. VARIABLE DEPENDIENTE
Proceso de enseñanza – aprendizaje
47
2.6. OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES
Tabla 2.1
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES
LA MATEMÁTICA DEL REINO ANIMAL
ANTECEDENTES LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA RAMAS DE LA MATEMÁTICA CLASIFICACIÓN DEL REINO ANIMAL COGNICIÓN ANIMAL LOS PECES Y LA MATEMÁTICA LOS MAMÍFEROS Y LA MATEMÁTICA LOS INSECTOS Y LA MATEMÁTICA
ANIMALES VERTEBRADOS ANIMALES INVERTEBRADOS EL PEZ MOSQUITO LOS TIBURONES LOS MONOS LAS ABEJAS
PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
PROCESOS DE ENSEÑANZA
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EL JUEGO COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS VENTAJAS ENSEÑANZA –
48
PROCESOS DE APRENDIZAJE TIPOS DE ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO LA EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
APRENDIZAJE ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE CARACTERÍSTICAS DE LAS ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE ESTRATEGIAS COGNITIVAS ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS ESTRATEGIAS DE INTERACCIÓN CARACTERÍSTICAS DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO REQUISITOS PARA LOGRAR EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO VENTAJAS IMPORTANCIA VENTAJAS
Elaborado por: Cecilia Rivadeneira
49
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. TIPOS DE INVESTIGACIÓN
El presente trabajo de investigación constituye el desarrollo de una
propuesta encaminada a brindar soluciones al problema de la deficiencia en
la enseñanza aprendizaje de la matemática debido a que no existe una guía
didáctica especializada en la enseñanza de la matemática, por lo tanto para
lograr el objetivo propuesto se aplicará la investigación que consta de las
siguientes características:
3.1.1. INVESTIGACIÓN DE CAMPO
Se realizará una investigación de campo por cuanto la información será
obtenida directamente del lugar donde acontecen los hechos.
3.1.2. INVESTIGACIÓN DESCRIPTIVA
Se pretende realizar una investigación descriptiva porque describe y analiza
la realidad en cuanto a la situación.
3.1.3. INVESTIGACIÓN APLICADA
Con la investigación aplicada se pretende modificar una realidad existente
con una finalidad práctica.
3.2. MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN
A lo largo de esta investigación, se aplicarán los siguientes métodos
seleccionados para alcanzar los objetivos propuestos.
50
3.2.1. LA OBSERVACIÓN
Es estructurada mediante una planificación en todos los aspectos metódicos
en donde se registran los datos con precisión e instrumentos técnicos
especiales.
Esta técnica se aplicará a los estudiantes del 8vo, 9no, y 10mo año de
Educación General Básica del colegio seleccionado así como al personal
docente para hacer la investigación con la finalidad de diagnosticar la
metodología enseñanza aprendizaje que se utilizan en la clase.
3.2.2. DEDUCTIVO
Es el proceso que parte de un principio general ya conocido, para inferir de
él consecuencias particulares; el razonamiento deductivo es considerado
como método por que desempeña dos funciones.
Llegar al principio desconocido de un hecho conocido.
Descubrir la consecuencia desconocida de un principio conocido.
Es el procedimiento por el cual partiendo de una teoría y siguiendo un
proceso lógico permite ampliar y constatar las causas del problema, es decir
se parte de lo universal para llegar a lo concreto.
3.2.3. INDUCTIVO
Es el proceso que permite ir de lo particular a lo general o también de los
hechos a las leyes. La inducción parte de un principio esto es el
determinismo o legalidad que constan de dos postulados.
El orden de la naturaleza es constante donde sus leyes carecen de
exención.
51
El orden de la naturaleza es universal es decir todos sus fenómenos
están regidos por leyes.
El determinismo sostiene que cada elemento mantiene con otros una
relación necesaria y por esto la ciencia ha permitido llegar a fijar con máxima
exactitud las condiciones de los fenómenos.
Permitirá inducir a resolver el problema del poco interés por aprender la
materia de matemática en el Colegio Popular Particular “Noroccidental”.
Es un procedimiento que permite tomar como base y partiendo de los datos
de la observación elaborar la teoría en la solución de las causas del
problema es decir se parte de lo particular para ir a lo universal.
3.3. POBLACIÓN Y MUESTRA
La población a investigar son todos los miembros del 8vo, 9no y 10mo año
de Educación General Básica del Colegio Popular Particular “Noroccidental”
que se encuentren matriculados período lectivo 2012-2013, así como el
personal docente del mismo.
Tabla. 3.1
Población Universo Porcentaje
Docentes, 5 6,67%
Estudiantes 70 93,33%
TOTAL 75 100.00%
Fuente: Secretaría del colegio Popular Particular Noroccidental. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira
52
3.4. INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
3.4.1. CUESTIONARIO DE ENCUESTA
La encuesta se la realiza en función de un cuestionario, es el documento
básico para obtener la información de la investigación. El cuestionario es un
documento formado por un conjunto de preguntas que deben estar
organizadas con el fin de que las respuestas nos puedan ofrecer la
información que se necesita, en este caso el desconocimiento por parte de
los alumnos de la matemática en el reino animal.
3.4.2. CUESTIONARIO DE ENTREVISTA
La realización de la entrevista es para determinar el desconocimiento por
parte de los docentes de la existencia de destrezas matemáticas en ciertos
animales. El cuestionario de entrevista servirá de ayuda para la solución de
problemas que se presentan en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática.
53
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
4.1.1. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS DE LAS ENCUESTAS
4.1.1.1. ENCUESTA REALIZADA A LOS ESTUDIANTES
1. ¿Sabías que dentro de la naturaleza ciertos animales usan matemática dentro de su vida cotidiana?
Tabla 4.1 Pregunta 1- Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 8 11,43%
NO 62 88,57%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.1 Representación porcentual de animales que usan la matemática dentro de su vida cotidiana.
Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 8 corresponden
al 11.43% afirman que si conocen sobre animales que usan la matemática
en su vida cotidiana, y 62 de los alumnos que corresponde al 88.57% no
conocen sobre el tema.
Interpretación.- Las matemáticas están presentes en casi todos los ámbitos
de la naturaleza y dentro de ella se encuentra el reino animal, que también
las utiliza, pero de acuerdo a la pregunta se llega a determinar que el
porcentaje de estudiantes desconoce el uso de la matemática en animales,
por lo tanto se necesita más información sobre este tema.
11%
89%
SI
NO
54
2. ¿Te gustaría conocer como las matemáticas son usadas por algunos animales que les ayuda a la supervivencia?
Tabla 4.2 Pregunta 2- Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 65 92,86%
NO 5 7,14%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.2 Representación porcentual sobre las matemáticas utilizadas por los animales para la
supervivencia. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica.
Elaborado por: Cecilia Rivadeneira. Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 65 que
corresponde al 92.86%, les gustaría conocer cómo los animales utilizan la
matemática para la supervivencia. 5 corresponde al 7.14%, no están
interesados en conocer estas habilidades de ciertos animales.
Interpretación.- El conocer como la matemática ayuda a la supervivencia de
algunos animales es un tema muy interesante, el cual ayudará a que los
alumnos puedan desarrollar conocimientos y ponerlos en práctica, y como se
puede dar cuenta de acuerdo a la pregunta se llega a determinar que el
porcentaje en su mayoría está interesado en conocer más sobre animales y
matemática, pero además puede ser un recurso motivador para los que no
quieren aprender matemática.
93%
7%
SI
NO
55
3. ¿De los siguientes animales conoce alguno que haya desarrollado habilidades matemáticas?
Tabla 4.3 Pregunta 3- Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
ABEJAS 5 7,14%
DELFINES 0 00,00%
MONOS 0 00,00%
PERROS 13 18,57%
NINGUNO 52 74,29%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.3 Representación porcentual sobre animales que hayan desarrollado habilidades matemáticas. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 52
corresponden al 74.29%, indica que no conoce de animales que haya
desarrollado dichas habilidades, 13 que equivale a 18.57% indica sobre los
perros, 5 que corresponde al 7.14%, indica sobre las abejas, ninguno conoce
de habilidades de los delfines, y monos, 52 que equivale al 74.29%
desconoce de habilidades matemáticas que realizan los animales.
Interpretación.- Siempre se ha pensado que las matemáticas eran una
ciencia tan solo al alcance del ser humano dada la inteligencia y la
racionalidad que lo caracteriza, debido a esto la mayoría de las personas
desconocen que los animales desarrollen habilidades matemáticas. Por lo
tanto se debe dar a conocer sobe este tema tan importante dentro de la
naturaleza y en especial del reino animal.
3%
57% 22%
7% 11%
ABEJAS
MONOS
DELFINES
PERROS
NINGUNO
56
4. ¿Te gustaría aprender matemáticas que a su vez se encuentren relacionadas con estrategias de ciertos animales.
Tabla 4.4 Pregunta 4 – Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 57 81,43%
NO 13 18,57%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.4Representación porcentual sobre el aprendizaje de la matemática relacionada con estrategias
de ciertos animales. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 57 corresponde
al 81.43%, les gustaría aprender sobre matemáticas que se relacionada con
estrategias de ciertos animales, 13 corresponden al 18.57%, no les gustaría
aprender matemáticas relacionadas con estrategias de algunos animales.
Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran
porcentaje de estudiantes les gustaría aprender matemática relacionada con
estrategias de ciertos animales, por lo tanto se debe poner en práctica este
tema que es muy interesante para tratar en clase debido a la importancia
que esta tiene tanto en la resolución de problemas como en el razonamiento
y la lógica, al enseñar a los alumnos como los animales utilizan la
matemática incentivará el aprendizaje de los alumnos.
81%
19%
SI
NO
57
5. ¿Con qué ramas de la matemática crees que podemos relacionar a la naturaleza en especial al reino animal?
Tabla 4.5 Pregunta 5 – Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
GEOMETRÍA 15 21,43%
ÁLGEBRA 1 1,43%
LÓGICA 5 7,14%
ESTADÍSTICA 0 0,00%
NINGUNO 49 70,00%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.5 Representación porcentual sobre relacionar al reino animal con las ramas de la matemática. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 15
corresponden al 21.43%, creen que se puede relacionar a reino animal con
la geometría, 1 corresponde al 1.43%, cree que se puede relacionar con el
álgebra, 5 corresponde al 7.14%, cree que se puede relacionar con la lógica,
0 corresponde al 0.0%, cree que se puede relacionar con la estadística, 49
corresponde al 70%, cree que no se relaciona con ninguna de las materias
anteriores.
Interpretación.- Se llega a determinar que el porcentaje en su mayoría cree
que el reino animal no se puede relacionar con ninguna de las ramas de la
matemática, por lo tanto se debe dar a conocer que el reino animal posee
muchas características que se puede utilizar como una herramienta dentro
del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática y sus ramas.
21%
2%
7%
0%
70%
GEOMETRÍA
ÁLGEBRA
LÓGICA
ESTDÍSTICA
NINGUNO
58
6. ¿Crees que realizar una dinámica previa al aprendizaje ayude a la motivación del aprendizaje de la matemática?
Tabla 4.6 Pregunta 6 - Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 61 87,14%
NO 9 12,86%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.6 Representación porcentual sobre una dinámica para la motivación de la matemática. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 61 corresponde
al 87.14%, piensa que el realizar una dinámica previa al aprendizaje motive
el interés por aprender la matemática, 9 corresponde al 12.86%, no creen
que sea motivador.
Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran
porcentaje de estudiantes les gustaría iniciar el aprendizaje de la matemática
con una dinámica antes y durante este proceso ya que una persona
despierta su interés en especial cuando existe una larga jornada de trabajo,
es por eso que de acuerdo a los resultados es muy importante y necesaria
realizar una dinámica previa al aprendizaje, por lo tanto se la debe tomar en
cuenta.
87%
13%
SI
NO
59
7. ¿Le gustaría que su profesor relacione las matemáticas del reino animal con las ramas de la matemática?
Tabla 4.7 Pregunta 7 - Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 57 81,43
NO 13 18,57
TOTAL 70 100%
Fig.4.7 Representación porcentual sobre relacionar las matemáticas del reino animal con las ramas de
la matemática. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 57 corresponde
al 81.43%, le gustaría que su profesor relacione la matemática del reino
animal con las ramas de la matemática, 13 corresponde al 18.57%, no le
gustaría.
Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran
porcentaje de estudiantes están de acuerdo que su profesor relacione la
matemática del reino animal con las ramas de la matemática ya que es un
tema muy interesante que se lo puede aplicar en la resolución de problemas,
en relacionar ciertas características de ciertos animales en especial, por lo
tanto se lo debe dar a conocer. A ciertos estudiantes les puede interesar
porque está relacionada en cierta forma con las ciencias naturales.
81%
19%
SI
NO
60
8. ¿Cree que se pueda insertar al reino animal en el aprendizaje de la matemática?
Tabla 4.8 Pregunta 8 – Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 60 85,71%
NO 10 14,29%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.8 Representación porcentual sobre la inserción del reino animal en el aprendizaje de la
matemática. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 60
corresponden al 85.71%, creen que se puede insertar al reino animal en el
aprendizaje de la matemática, 10 corresponde al 14.29%, cree que no es
posible insertar al reino animal en el aprendizaje de la matemática.
Interpretación.- Es importante que en el ámbito educativo se busquen
nuevos métodos y estrategias que permitan mejorar el proceso de
enseñanza y este tema del reino animal y la matemática es amplio debido a
la amplitud de su contenido, en su mayoría los estudiantes están interesados
en aprender pero además de eso es importante que el docente conozca un
poco más sobre este tema y pueda aplicarlo en sus clases de matemáticas.
86%
14%
SI
NO
61
9. ¿Crees que al relacionar a la matemática con el reino animal sea más motivador su aprendizaje?
Tabla 4.9 Pregunta 10 - Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
SI 63 90,00%
NO 7 10,00%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.9 Representación porcentual sobre la motivación del aprendizaje de la matemática. Fuente: Encuesta a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 63 corresponde
al 90%, creen que el aprendizaje de la matemática puede ser más
motivador al relacionarlo con el reino animal, 7 corresponde al 10% creen
que no puede ser motivador.
Interpretación.- Hablar de la matemática del reino animal suena un poco
extraño ya que se cree que solamente el hombre realiza cálculos
matemáticos, pero no es así, la matemática que utilizan los animales para la
supervivencia es un tema que muchos desconocen, y el aplicarlo en el
proceso de enseñanza aprendizaje como un nuevo recurso para facilitará el
aprendizaje.
90%
10%
SI
NO
62
10. ¿Le gustaría aprender matemática relacionada con videos como los que se presentan a continuación?
Tabla 4.10 Pregunta 10 – Estudiantes
OPCIONES FRECUENCIA PORCENTAJE
MONOS Y NÚMEROS 30 42,85%
ABEJAS Y CONSTRUCCIÓN
12 17,14%
DELFINES Y ACROBACIA
15 21,42%
CONEJOS Y FIBRONACCI
5 7,14%
NINGUNO 8 11,42%
TOTAL 70 100,00%
Fig.4.10 Representación porcentual del aprendizaje de la matemática con videos de estrategias de
ciertos animales. Fuente: Encuesta a los estudiantes 8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica. Elaborado por: Cecilia Rivadeneira.
Análisis.- De los 70 estudiantes que constituyen la muestra, 30
corresponden al 42.86%, les gustaría aprender matemática relacionada con
monos, 12 corresponde al 17.14%, les gustaría aprender matemáticas
relacionada abejas, 15 corresponde al 21.43%, les gustaría aprender
matemáticas relacionada con delfines, 5 corresponde al 7.14%, les gustaría
aprender matemática relacionada con videos de conejos y Fibonacci, 8 que
corresponde al 11.43%, no les gustaría.
Interpretación.- De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran
porcentaje de estudiantes quieren aprender matemática relacionada con
videos de animales, por lo tanto se debe dar a conocer la información.
43%
17%
22%
7% 11%
MONOS YNÚMEROS
ABEJAS YCONSTRUCCIÓN
DELFINES YACROBACIA
CONEJOS YFIBRONACCI
63
4.1.2. PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA ENTREVISTA
ENTREVISTA REALIZADA A LOS DOCENTES
1. ¿Cree usted que la matemática se relacione con el resto de ciencias
así como ciencias naturales y sociales?
Lcda. Alexandra Armas. La verdad es que no creo que haya ninguna
relación.
Lcda. Rosa Granizo. Si se relaciona con el resto de materias, porque
se la encuentra en todas partes.
Lic. Luis Moreira. No encuentro ninguna relación existente entre la
matemática y las demás ciencias que se dirigen.
Lic. Leonardo González. En efecto existe una relación de la
matemática con estas ciencias y otras más, debido al importante
papel dentro del planeta.
Lcda. Diana de la Vega. No se relacionan, porque son materias
diferentes.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 2 corresponden al 40%,
conocen sobre la relación que existe entre la matemática y otras ciencias, 3
corresponde a 60% desconocen sobre esta información.
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes no conocen sobre la relación de la matemática con otras ciencias,
por lo tanto es necesario dar a conocer su importancia dentro del proceso de
aprendizaje.
64
2. ¿Sabía usted que la naturaleza se relaciona con la matemática y que
puede ser un recurso motivador para la enseñanza aprendizaje?
Lcda. Alexandra Armas. No tengo ningún conocimiento al respecto, por
falta de información.
Lcda. Rosa Granizo. Si tengo entendido que la matemática se encuentra
dentro de la naturaleza, y es posible que sirva como recurso.
Lic. Luis Moreira. No conozco de información relacionada con la
matemática y la naturaleza, y no creo que sirva como instrumento de
enseñanza.
Lic. Leonardo González. No he escuchado, y no creo que se la pueda
utilizar como recurso de aprendizaje.
Lcda. Diana de la Vega. No creo que pueda existir matemáticas en la
naturaleza, y debe ser muy difícil incluirlo en el aprendizaje
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 1 corresponde al 20%, ha
escuchado da la matemática y su relación con la naturaleza, 4 corresponde
al 80%, no ha escuchado sobre esta información.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes no han escuchado de la relación que tiene la naturaleza con la
matemática y su posible utilización como recurso de enseñanza aprendizaje.
65
3. ¿Ha escuchado de animales que usan la matemática dentro de su
vida cotidiana?
Lcda. Alexandra Armas. No nunca he escuchado, porque nadie lo ha
mencionado.
Lcda. Rosa Granizo. No he escuchado, y no creo que las utilicen.
Lic. Luis Moreira. No, la verdad nunca he escuchado sobre este tema,
no creo que sea posible que las usen, porque es imposibe.
Lic. Leonardo González. No, pero me gustaría saber cómo lo hacen,
porque suena muy interesante.
Lcda. Diana de la Vega. La verdad es que no he escuchado, porque
nadie habla sobre esa información.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 5 corresponden al 100%, no
conocen ninguna información sobre animales que utilizan la matemática
dentro de su vida.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que los docentes en su
mayoría no conocen sobre la utilización de la matemática por parte de los
animales, por lo tanto se debe dar a conocer esta información tan
interesante.
66
4. ¿Cree que se pueda insertar al reino animal en el proceso de
enseñanza aprendizaje de la matemática?
Lcda. Alexandra Armas. No creo que se lo pueda aplicar, porque no
tiene mucha relación entre sí.
Lcda. Rosa Granizo. Si creo que se pueda utilizar algo de los
animales dentro del aprendizaje, porque se los encuentra algunas
veces dentro de resolución de problemas.
Lic. Luis Moreira. No creo que sea posible utilizarlo como un recurso
de enseñanza, porque no es compatible.
Lic. Leonardo González. Si podría ser posible, debido a la variedad de
animales que existe.
Lcda. Diana de la Vega. No creo que sea posible, porque no puede
relacionarse la matemática y la enseñanza.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 2 corresponde al 40%, cree
poder insertar al reino animal dentro del proceso de aprendizaje de la
matemática, 3 corresponde al 60%, piensa que no existe esa posibilidad.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que la mayor parte del
personal docente cree que no se puede utilizar al reino animal para el
aprendizaje dentro del área de matemáticas, por lo tanto es necesario dar a
conocer sobre este tema.
67
5. ¿Sabía que los tiburones utilizan estrategias matemáticas llamadas
patrón de Lévy y que son utilizadas para cazar alimentos?
Lcda. Alexandra Armas. No, la verdad no he escuchado, porque nadie
lo ha comentado.
Lcda. Rosa Granizo. No he sabido que los tiburones utilizan
estrategias matemáticas para alimentarse, por falta de información.
Lic. Leonardo González. No, porque jamás en mi vida había
escuchado eso.
Lic. Luis Moreira. No sabía que los tiburones utilizaban la matemática
para poder alimentarse.
Lcda. Diana de la Vega. No, porque nadie ha comentado sobre este
tema.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 5 corresponden al 100%,
desconocen de las estrategias llamadas patrón de Lévy que utilizan los
tiburones para la caza de alimento.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes desconoce sobre estas estrategias matemáticas que poseen los
tiburones, por lo tanto se debe dar a conocer sobre este tema muy
importante que forma parte de la naturaleza.
68
6. ¿Cree que se pueda utilizar el canto de los pájaros como recurso de
enseñanza en el conteo de números?
Lcda. Alexandra Armas. No lo creo, porque se lo puede insertar
dentro de otra materia.
Lcda. Rosa Granizo. Si podría utilizarse, porque los pájaros utilizan
sonidos agradables.
Lic. Luis Moreira. No creo, porque no encuentro ninguna relación con
los números.
Lic. Leonardo González. Si se lo podría utilizar como un ejemplo,
porque los pájaros realizan pautas cuando cantan.
Lcda. Diana de la Vega. No creo que se pueda utilizar, porque no
tiene nada que ver con la matemática.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 2 corresponden al 40%, creen
que se puede utilizar el canto de los pájaros para el conteo de los números,
3 corresponde al 60%, creen que no se puede utilizar para el aprendizaje.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes no cree que el canto de los pájaros se pueda utilizar en el conteo
de números, por lo tanto se necesita información sobre el tema para poder
aplicarlo dentro del aprendizaje.
69
7. ¿Cree que se puede relacionar a la geometría con características de
ciertos animales como la estrella de mar, para motivar el aprendizaje
de la matemática?
Lcda. Alexandra Armas. No, porque no sé como se la puede
relacionar.
Lcda. Rosa Granizo. No creo que se pueda relacionar, porque es un
algo distinto de la matemática.
Lic. Luis Moreira. No lo creo, ya que es un tema complicado de
relacionar la geometría con animales.
Lic. Leonardo González. Si se los podría utilizar para algún ejemplo,
por las características que poseen.
Lcda. Diana de la Vega. No es posible, porque dentro de la geometría
existen líneas, puntos, no animales.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 1 corresponden al 20%,
creen que se puede utilizar las características del reino como instrumento
de motivación del aprendizaje en especial en la geometría, 4 corresponde al
80%, cree que no se puede utilizar a los animales para motivar el
aprendizaje.
INTERPRETACIÓN: De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un mayor porcentaje de
docentes creen que no se puede utilizar dichas características, por lo tanto
se debe dar a conocer todo el potencial que posee el reino animal y que se
lo puede aplicar en el aprendizaje de la matemática.
70
8. ¿Cree poder utilizar estrategias de ciertos animales como modelo de
enseñanza aprendizaje dentro del área de matemática?
Lcda. Alexandra Armas. No creo que se pueda utilizar, porque no
conozco de estrategias de los animales.
Lcda. Rosa Granizo. Si creo que se las puede utilizar pero como una
dinámica, por la variedad de animales que existen.
Lic. Luis Moreira. Si se podría utilizar como ejemplo dentro del área
de matemáticas, porque el docente está en la capacidad de buscar
otras alternativas de enseñanza.
Lic. Leonardo González. Creo que si se podría utilizar pero antes
debemos conocer cómo es que los animales realizan esas
estrategias.
Lcda. Diana de la Vega. La verdad es que no lo creo, porque
desconozco esas estrategias de los animales.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 3 corresponde al 60%, creen
que se puede utilizar estrategias de ciertos animales, pero para ello se las
debe dar a conocer primero para poder aplicarlas, 2 corresponde al 20%
creen que no es posible.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes cree que si se puede utilizar estrategias que realizan los animales
como modelo dentro del aprendizaje de la matemática, pero para ello se
debe dar más información sobre este tema.
71
9. ¿Crees que al relacionar la matemática con el reino animal ayude a
valorar a la matemática dentro de la naturaleza?
Lcda. Alexandra Armas. Si se podría dar más importancia a la
matemática, porque existen temas que no se los conoce.
Lcda. Rosa Granizo. Si sería muy interesante y se la valoraría más,
debido a que ha perdido importancia hoy en día.
Lic. Luis Moreira. Si creo que se le daría más valor, pero la
matemática en sí es importante.
Lic. Leonardo González. Si cambiaría el punto de vista al relacionarla
con la naturaleza, porque es algo diferente dentro del aprendizaje.
Lcda. Diana de la Vega. Si se le daría más importancia ya que la
matemática es muy necesaria dentro de todos los ámbitos.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 5 corresponde al 100%, creen
que se puede valorar a la matemática dentro de la naturaleza.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que un gran porcentaje de
docentes cree que se puede dar valor a la matemática mediante la
naturaleza, por lo tanto se debe dar a conocer sobre este tema importante.
72
10. ¿Como docente se siente responsable de buscar estrategias
diferentes para desarrollar habilidades y destrezas en los alumnos
dentro del área de matemática y de otras áreas?
Lcda. Alexandra Armas. Por supuesto que sí, porque es nuestro
deber como docente.
Lcda. Rosa Granizo. Claro que sí, porque de esa manera podemos
obtener mejores resultados en el aprendizaje de los alumnos.
Lic. Luis Moreira. Si, ya que debemos buscar alternativas para
mejorar el aprendizaje.
Lic. Leonardo González. Si es nuestro deber, porque de esta manera
podemos dar importancia al aprendizaje.
Lcda. Diana de la Vega. Si es mi responsabilidad como docente, para
mejorar el aprendizaje de mis alumnos.
De los 5 docentes que constituyen la muestra, 5 corresponden al 100%, se
sienten responsables de buscar estrategias para el desarrollo de habilidades
y destrezas en los alumnos.
INTERPRETACIÓN:
De acuerdo a la pregunta se llega a determinar que los docentes se sienten
responsables de buscar estrategias de aprendizaje para mejorar la
educación, por lo tanto el docente debe reforzar aún más este tema
buscando nuevas alternativas.
73
4.2 VERIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS
De acuerdo a la entrevista realizada a los estudiantes los estudiantes de
8vo, 9no y 10mo año de Educación General Básica del Colegio Popular
Particular Noroccidental se llega a determinar que la matemática del reino
animal no se conoce y no ha sido utilizada.
Tabla 4.11
PREGUNTA RESULTADO ESPERADO
RESULTADO OBTENIDO
V F
1. ¿Sabías que dentro de la naturaleza hay ciertos animales que usan la matemática dentro de su vida cotidiana? SI NO
Opción no
>70%
88,57%
V
2. ¿Te gustaría conocer como las matemáticas son usadas por algunos animales que les ayuda a la supervivencia? SI NO
Opción si
> 60%
92,86%
V
3. ¿De los siguientes animales conoce alguno que haya desarrollado habilidades matemáticas? ABEJAS DELFINES MONOS PERROS NINGUNO
Opción
ninguno
> 40%
74,29%
V
4. ¿Te gustaría aprender matemáticas que a su vez se encuentren relacionadas con estrategias de ciertos animales? SI NO
Opción si
>50%
81,43%
V
5. ¿Con qué ramas de la matemática cree que podemos relacionar a la naturaleza en especial con el reino animal? GEOMETRÍA ÁLGEBRA LÓGICA ESTADÍSTICA NINGUNA
Opción
ninguna
>40%
70,00%
V
74
6. ¿Cree que realizar una dinámica previa al aprendizaje ayude a la motivación del aprendizaje de la matemática? SI NO
Opción si
>50%
87,14%
V
7. ¿Le gustaría que su profesor relacione las matemáticas del reino animal con las ramas de la matemática? SI NO
Opción si
>65%
81,43%
V
8. ¿Cree que se pueda insertar al reino animal en el aprendizaje de la matemática? SI NO
Opción si
>45%
85,71%
V
9. ¿Crees que al relacionar a la matemática con el reino animal sea más motivador su aprendizaje? SI NO
Opción si
>60%
90.00%
V
10. ¿Le gustaría aprender matemática relacionada con videos como los que se presentan a continuación? MONOS ABEJAS DELFINES CONEJOS NINGUNO
Opción
monos
>40%
42,86%
V
Elaborado por: Cecilia Rivadeneira TOTAL 10 0
75
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES
Una vez concluida la investigación se puede decir que en la
enseñanza de la matemática se requiere de motivación y estimulación
para un aprendizaje mucho más significativo.
Entre los secretos de la naturaleza se encuentra el uso de la
matemática por parte de los animales algo que muy pocas personas
conocen, por eso es necesario dar a conocer sobre este tema muy
importante ya que es una manera diferente de aprendizaje, que se
puede aplicar en el aula como modelo de aprendizaje, ya sea
utilizando sus características, como también estrategias que utilizan
los animales para la supervivencia y de esta forma el aprendizaje
puede llamar la atención de los alumnos y motivarlos al aprendizaje
es por eso que se la debe aplicar.
De acuerdo a las encuestas realizadas a los docentes un alto
porcentaje indica que no tienen conocimiento sobre la matemática del
reino animal, en el proceso enseñanza – aprendizaje. También se
pudo determinar que los docentes carecen de estrategias
metodológicas para la enseñanza de las matemáticas, pues la
mayoría de ellos se basan en la metodología tradicional, por lo que el
aprendizaje de los estudiantes presenta ciertas dificultades tanto en el
razonamiento como en la resolución de problemas.
Las estrategias de enseñanza aprendizaje de la matemática se
fundamentan principalmente en el desarrollo del pensamiento y el
razonamiento crítico del estudiante, por ello se debe buscar la forma
de llegar con algo diferente pero que a su vez sea interesante.
76
5.2. RECOMENDACIONES
Una vez analizados los datos de las encuestas de los estudiantes se
pudo determinar que es muy importante que el docente estimule el
aprendizaje mediante la utilización de ciertos aspectos y
características que poseen los animales, los mismos que le permiten
al estudiante mantenerse activo y predispuesto al aprendizaje de algo
nuevo.
De acuerdo a las encuestas realizadas a los docentes se puede
apreciar que desconocen totalmente la matemática del reino animal.
Sin embargo se muestran muy interesados por conocer las
estrategias matemáticas que utilizan los animales, algo nuevo para
ellos también.
Finalmente podemos decir que el docente de hoy debe capacitar a
sus alumnos para que descubran por si solos el conocimiento, esto
significa que el docente debe guiar al alumno para que aprendan por
sí mismo.
Los docentes especialmente de matemáticas deben tener una
capacitación constante, pues existen muchas innovaciones que les
podrían ayudar a mejorar su trabajo en la enseñanza – aprendizaje de
matemáticas.
Es necesario que el docente del área de matemática, utilice
estrategias para despertar en el alumno el interés por aprender a
resolver los problemas, por esta razón el docente debe aplicar
estrategias de motivación para aprender. Debe tener la capacidad de
renunciar a los propios errores, es decir a identificarlos y analizarlos
para poder corregirlos, ya que los errores tanto del docente como del
alumno son normales dentro del proceso de aprendizaje.
77
CAPÍTULO VI
PROPUESTA
6.1. TEMA:
Guía para estudiantes y taller para docentes sobre la matemática del reino
animal en el proceso de enseñanza aprendizaje.
6.2. JUSTIFICACIÓN DE LA PROPUESTA
Siendo la matemática una de las disciplinas más importantes y que tiene
aplicaciones en todos los campos de la vida, es necesario buscar
alternativas para mejorar el nivel de su comprensión. Por lo que es prioritario
el interés hacia la búsqueda de alternativas las cuales deben fundamentarse
en nuevas concepciones de las actividades a desarrollar en el aula.
Por esta razón es al docente a quién le corresponde mejorar su propia
actuación en el campo de la enseñanza de la matemática en beneficio propio
y del alumno. Es necesario dar a conocer la existencia de nuevos métodos
que se pueden utilizar dentro de la enseñanza de la matemática, que se
encuentran dentro de la naturaleza en especial en el reino animal.
Existe diversidad de métodos, estrategias, técnicas que utilizan los animales
ya sea para la supervivencia, alimentación, reproducción, entre otras que
pueden ser utilizadas para la enseñanza de la matemática, así como sus
características que no es suficiente con conocerlos sino aplicarlos en la
realidad, utilizándolas como modelo del aprendizaje para ayudar y mejorar la
comprensión de procesos matemáticos.
Pero además se puede utilizar al reino animal para realizar dinámicas que
ayuden a la motivación durante el aprendizaje.
78
El objetivo de la enseñanza de la matemática es estimular el razonamiento
matemático y esto significa que se debe partir desde otro punto de vista
para empezar a rechazar la tradicional manera de aprendizaje, para de esta
manera lograr la atención del alumno.
6.3. OBJETIVOS
6.3.1. OBJETIVO GENERAL
Orientar la enseñanza aprendizaje de la matemática, con estilos diferentes a
los tradicionales con el objetivo de obtener mejores resultados en el
aprendizaje de los estudiantes.
6.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estimular el proceso de aprendizaje con razonamiento matemático
mediante ejemplos relacionados con el Reino Animal.
Mejorar el proceso de enseñanza de los docentes para obtener
mejores resultados en el aprendizaje de los alumnos.
6.4. POBLACIÓN OBJETO DE ESTUDIO
Los talleres están dirigidos a los docentes y la guía a los alumnos del
Octavo, Noveno y Décimo Año de Educación Básica del Colegio Popular
Particular Noroccidental de la Parroquia Nanegalito de la Provincia de
Pichincha.
79
6.5. LOCALIZACIÓN
El colegio Popular Particular Noroccidental, se encuentra ubicado al
Noroccidente de la provincia de Pichincha, en la Parroquia Nanegalito, Barrio
la Armenia.
80
6.6. LISTADO DE CONTENIDOS TEMÁTICOS
PRIMERA PARTE
Guía para estudiantes
TEMA: ABEJAS Y GEOMETRÍA
Calcular el áreas de polígonos regulares.
Calcular el Perímetro de polígonos regulares.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus ángulos.
TEMA: ANIMALES Y NÚMEROS
Números Reales.
Números Enteros positivos y negativos.
Operaciones con números Enteros.
TEMA: ANIMALES Y SUCESIONES
Sucesiones con números Enteros
Operaciones con Sucesiones.
Sucesiones alfanuméricas.
TEMA: ANIMALES Y PROPORCIONES
Proporcionalidad.
Proporcionalidad directa e inversa
Resolución de problemas
81
SEGUNDA PARTE Taller dirigido a los docentes
TALLER N01
Importancia de la Enseñanza Aprendizaje de la Matemática
La Motivación en el Proceso de Enseñanza Aprendizaje de la
matemática.
Animales y Matemática
TALLER N02
La geometría de las abejas.
Proporcionalidad con el pez mosquito.
TALLER N03
Alex y los números enteros positivos y negativos.
Operaciones de números enteros con los delfines.
6.7. DESARROLLO DE LA PROPUESTA
6.7.1. GUÍA PARA ESTUDIANTES SOBRE LA MATEMÁTICA DEL REINO
ANIMAL EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE.
6.7.2. TALLER PARA EL PERSONAL DOCENTE SOBRE LA
MATEMÁTICA DEL REINO ANIMALEN EL PROCESO DE ENSEÑANZA
APRENDIZAJE.
82
83
ÍNDICE
PORTADA
CONTENIDOS
UNIDAD I
INSECTOS Y GEOMETRÍA
CALCULAR EL ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES 86
CALCULAR EL PERÍMETRO DE POLÍGONOS REGULARES 86
EVALUACIÓN 8vo 89
EVALUACIÓN 9no 90
TRIÁNGULOS DE ACUERDO A SUS ÁNGULOS 92
EVALUACIÓN 10mo 94
UNIDAD II
ANIMALES Y NÚMEROS
NÚMEROS REALES 95
EVALUACIÓN 8vo 98
NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS. 99
EVALUACIÓN 9no 102
OPERACIÓN CON NÚMEROS ENTEROS 103
EVALUACIÓN 10mo 106
UNIDAD III
ANIMALES Y SUCESIONES
SUCESIONES CON NÚMEROS ENTEROS 107
EVALUACIÓN 8vo 110
OPERACIONES CON SUCESIONES 111
EVALUACIÓN 9no 113
84
SUCESIONES ALFANUMÉRICAS 115
EVALUACIÓN 10mo 117
UNIDAD IV
ANIMALES Y PROPORCIONES
PROPORCIONALIDAD 118
EVALUACIÓN 8vo 121
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 125
EVALUACIÓN 9no 137
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA 126
EVALUACIÓN 10mo 128
BILBLIOGRAFÍA
WEB GRAFÍA
85
CONTENIDOS
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
Calcular el área de polígonos regulares.
Calcular el perímetro de polígonos regulares.
Clasificación de los triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos.
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
Números Reales.
Números Enteros Positivos y Negativos.
Operaciones con Números Enteros.
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
Sucesiones con números Enteros.
Operaciones con Sucesiones.
Sucesiones Alfanuméricas.
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
Proporcionalidad.
Proporcionalidad Directa e Inversa.
Resolución de Problemas.
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
86
CALCULAR ÁREAS Y PERÍMETROS CON AYUDA DE LAS ABEJAS
La Geometría, a más de ser importante dentro de la vida del hombre, se ha
convertido en una herramienta de supervivencia para las abejas dentro de la
naturaleza, es así que estos insectos tan pequeños utilizan a la geometría
para la construcción de sus panales.
Te has preguntado alguna vez ¿por qué las abejas utilizan un hexágono
para guardar la miel? ¿Por qué no utilizan un cuadrado o un círculo o un
triángulo?
Solo hay tres formas de teselar una superficie con un teselado
regular: triangular, cuadrado o hexagonal.
¿Qué forma geométrica tiene el menor perímetro con el misma área?
Para averiguarlo tendremos que comparar los perímetros y áreas del
triángulo, del cuadrado y del hexágono.
Ayúdame a encontrar el polígono regular que me conviene para guardar la miel
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
87
TRIÁNGULO
Área del triángulo equilátero Perímetro
4cm 4cm
4cm
CUADRADO
Área del Cuadrado Perímetro
3cm
3cm
3cm
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
88
HEXÁGONO
Área del hexágono Perímetro
√ cm
Después de haber encontrado el área y perímetro de las figuras que se
pueden teselar, se observa claramente que los perímetros tienen igual
medida para las tres figuras, con un área diferente cada una, siendo la
figura hexagonal la mayor.
Triángulo Cuadrado Hexágono
Lado = 4 cm Lado = 3 cm Lado= 2 cm
Perím.= 12cm Perím. = 12cm Perím. = 12 cm
Área = 8cm Área = 9 cm Área = 18cm
Esta construcción permite a las abejas almacenar la miel en celdillas
individuales, formando un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas,
lo realizan con el objetivo de aprovechar el espacio al máximo, es por eso
que las abejas escogieron a la más adecuada utilizando de esta manera a la
geometría en esta construcción.
2cm
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
89
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE DE ÁREAS Y PERÍMETROS
Tarea dirigida para Octavo año
Colorea las figuras que encuentres.
1. Ayuda a la abejita Maya a encontrar el área de las siguientes figuras
geométricas.
A=
2,5cm 3,5cm A= 3cm 5cm 2. Escribe la fórmula y encuentra el área y el perímetro del hexágono. FÓRMULA: A = 3cm P = 3. Las abejitas para construir su panal necesitan un espacio muy
amplio en forma de un pentágono. El árbol de arrayan les ofrece una
rama que tiene por medida un radio de 3cm, encuentra el área y el
perímetro del espacio que ocupará la construcción de su panal.
6cm
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
90
Tarea dirigida para Noveno año Colorea las figuras que encuentres
1. El área de cada hexágono mide 18cm. ¿El perímetro de la figura es?
2. Hallar la longitud del lado de un cuadrado, sabiendo que si se
aumenta ésta en 4cm, su área se incrementa en 64m2.
3. Si r = 2, el área del cuadrado ABCD =?
4. El área de cada cuadrado es de 4cm ¿El perímetro de la figura es igual a?
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
91
TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS CON AYUDA DE
LA MANTIS
La mantis es un insecto voraz, con una inteligencia matemática para cazar
presas, su cabeza tiene la capacidad de girar hasta los180o lo que le permite
obtener una visión tridimensional y esto facilita la observación para cazar su
alimento.
A más de esto es muy inteligente ya que sube a los lugares altos para desde
allí observar el panorama de entre las ramas y calcula la distancia que debe
recorrer para alcanzar su objetivo.
180º
45º Para ello también debe calcular el ángulo adecuado para no fallar.
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
92
En el gráfico podemos observar que la mantis
utiliza un triángulo rectángulo, un triángulo
acutángulo y un triángulo obtusángulo.
Inicialmente observa su alimento a un ángulo de 45º formando de esta
manera un triángulo rectángulo, para ello vamos a conocer la clasificación de
los triángulos de acuerdo a sus ángulos.
Triángulo rectángulo
900
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. Luego brinca al otro extremo para observar de mejor manera su objetivo
formándose de esta manera un triángulo obtusángulo.
Triángulo obtusángulo
1300
El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso.
Cuando llega al segundo punto forma un triángulo acutángulo, pero observa
que en ese lugar existen muchas ramas que dificultan su vista.
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
93
Triángulo acutángulo
60º
60º 60º
El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos. Por ello la mantis decide regresar al punto inicial que es el lugar que más le
conviene para cazar su alimento que consiste en unos deliciosos bichos
como polillas, chapulines, grillos y moscas.
UNIDAD I ANIMALES Y GEOMETRÍA
94
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS
TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
Tarea dirigida para Décimo año Colorea las figuras que encuentres 1. Piensa, analiza y asigna el valor de verdad a. Un ángulo de 91º es recto……….
b. Un ángulo de 81º es agudo………
c. Un ángulo de 90º es recto……….
d. Un ángulo de 180º es obtuso……
2. En la figura, y , entonces los ángulos miden
respectivamente:
a) 60º; 30º; 90º
b) 90º; 60º; 30º
c) 30º, 60º; 90º
3. Completa el siguiente mapa conceptual de la clasificación de los
triángulos de acuerdo a sus ángulos.
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
95
NÚMEROS REALES CON J.J. LA GALLINA QUE SABE CONTAR
Las habilidades cognitivas e intelectuales de las aves ha sido considerada
inferior, pero si nos tomamos el tiempo de conocer a estos animales
podemos aprender que sus complejas vidas intelectuales y emocionales
están relacionadas con la matemática más allá de lo que el hombre se
imagina.
J.J. se llama la gallina que tiene una capacidad extraordinaria para contar,
puede identificar perfectamente los números que aparecen en las cartas y lo
demuestran golpeando el naipe la misma cantidad de veces que el número
aparece en él.
De esta manera JJ observa el número del naipe como por ejemplo el número
2, y lo demuestra picoteando dos veces.
Aprendamos números reales con JJ la gallina que sabe contar.
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
96
LOS NÚMEROS REALES La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los
números reales.
C
LOS NÚMEROS RACIONALES
Son números racionales (fraccionarios o quebrados)
Q = {…..1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745,…….}
NÚMEROS NATURALES
Surgen de la necesidad de contar, de enumerar:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,….}
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son de tipo:
Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}
= ℚ υ I
I ℚ
N
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
97
NÚMEROS IRRACIONALES
Se puede representar por un decimal que no se repite y no termina (los no
exactos y no periódicos).
I = {√ √ √
….}
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
98
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE NÚMEROS REALES
Tarea dirigida para Octavo año
Colorea las figuras que encuentres
1. De los siguientes números que se presentan a continuación J.J. debe
ubicar en los cajones correspondientes. ¿Cómo crees que debe
ordenarlos?
2. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros números primos,
entonces a+ b+c=
a) 6
b) 10
c) 15
3. Dibuja una recta numérica y ayuda a J.J. a ubicar correctamente los
números enteros. ¿Cómo van ubicados los números enteros positivos
y los números enteros negativos?
4. La gallina J.J. puso la mitad de media docena de huevos. ¿Cuántos
huevos puso entonces?
2, 3, 5, 7,……
-2, -1, 0, 1, 2, 3,…
√
2, 4, 6, 8,….
ℚ I N
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
99
APRENDAMOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS CON
EL LORO ALEX
El loro Alex tenía la inteligencia de un niño de cinco años, podía identificar
colores, números, objetos, formas, distinguir entre grande o pequeño,
también igual o diferente.
El loro Alex podía reconocer hasta seis números, su dueña Irene Pepperberg
pedía que indique un número y él lo hacía.
En el gráfico podemos observar claramente que está indicando el número
dos.
Ahora con Alex vamos a aprender sobre los números enteros.
Diferente color
El número dos
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
100
NÚMEROS ENTEROS
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permite expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,
las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero,
solo ocurre cuando la división es exacta.
Los números enteros pueden ser:
NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Observa algunos ejemplos
Los miembros vivos de una familia.
Los años que cumple un apersona.
Las ganancias de un almacén.
La altura de una montaña.
NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS
Los números naturales precedidos del signo + son los números enteros positivos. +1, +2, +3, +4, +5, +6, …………
Los números naturales precedidos del signo – son los números enteros negativos. -1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, …………
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
101
Observa algunos ejemplos
El desfalco de una institución bancaria.
La profundidad con que navega un submarino.
La temperatura a la que se congela el agua.
La profundidad de una laguna.
NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS En los gráficos que se muestran a continuación, se demuestran dos lugares
en los cuales los valores de sus temperaturas en grados difieren en el signo.
20 ºC -20ºC
En los ejemplos anteriores se puede notar claramente que cuando hablamos
de temperatura no es suficiente con dar la lectura a las unidades (20ºC) sino
también a su signo (+ 20ºC O – 20ºC), pues aunque la cantidad sea la
misma el signo cambia su valor.
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
102
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE NÚMEROS REALES
Tarea dirigida para Noveno año
Colorea las figuras que encuentres
1. Unir según corresponda
Números enteros (Z) A { }
Números enteros negativos (Z-) B= { }
Números enteros positivos (Z+) C={ }
2. Escriba el opuesto de cada número entero. + 1 opuesto a =
- 3 opuesto a =
+ 4 opuesto a =
+ 5 opuesto a =
3. Escriba 5 números enteros mayores que 5……………………………………………
5 números enteros mayores que -7 …………………………………………
5 números enteros mayores que 20…………………………………………
5 números enteros menores que -5 …………………………………………
4. Indique cual número entero es el mayor o menor utilizando los signos > o <.
+21 -39 -15 + 1
-33 + 35 +11 + 3
+2 – 9 -21 +6
-2 +11 0 -3
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
103
OPERACIONES DE NÚMEROS ENTEROS CON AYUDA DE LOS
DELFINES
Los delfines pueden utilizar matemáticas complejas no lineales en la caza de
su alimento, lo realizan soplando múltiples burbujas pequeña alrededor de la
presa.
Este envío de pulsos puede variar en amplitud, el primero puede tener el
valor de 1, mientras el segundo es un tercio de la amplitud, así que siempre
que el delfín recuerda lo que las proporciones de los dos pulsos eran, y
puede multiplicar el segundo de eso y añadir los ecos juntos se puede hacer
visibles a los peces a su sonar.
La segunda etapa consiste en sustraer los ecos el uno del otro, asegurando
que el eco del segundo impulso sea multiplicado por tres.
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
104
El proceso en definitiva, por lo tanto primero implica hacer visible el pescado
a sonar por adición y segundo se hace entonces invisible por sustracción
para confirmar que se trata de un verdadero objetivo.
SUMA Y RESTA DE NÚMERO ENTEROS Para resolver este tipo de ejercicios se suman los valores absolutos y al total
se le antepone el signo común.
Veamos:
a) (+6) + (+8)
1. Sumamos los valores absolutos |6|+|8| = 14
2. El signo común es + por tanto el resultado es +14
b) (-3) + (-7)
1. Sumando los valores absolutos |3| + |7| = 10
2. El signo común es – por tanto el resultado es -10
c) (-4) + (+9)
1. Tomamos los valores absolutos y restamos |9| -|4|= 5
2. El signo del valor mayor es el + por tanto el resultado es +5
d) (-10) + (+3)
-
x
+
x +
-
+ -
x
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
105
1. Tomamos los valores absolutos y restamos |10| - |3| =7
2. El signo del valor mayor es el – por tanto el resultado es -7
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Se efectúa el producto de los dos primeros factores; y su resultado se
multiplica con el siguiente factor y así sucesivamente. Para establecer el
signo se aplica la ley de los signos.
Ejemplo:
(-4) x (-2) = + 8
(+8) x (+4) = +32
(- 4) x (+5) =- 20
(+2) x (-7) = - 14
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La división de números enteros se realiza en forma semejante a la división
de los números naturales, tomando en cuenta la ley de los signos.
Ejemplo:
(-6) : (+3)= - 2 (- 8) : (-2) =+ 4 (+10) :(+5) = +2 (+6) : ( -2) = -3
UNIDAD II ANIMALES Y NÚMEROS
106
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE OPERACIONES CON
NÚMEROS ENTEROS
Tarea dirigida para Décimo año
Colorea las figuras que encuentres
2. Completa la tabla de la ley de los signos.
3. Resuelve las siguientes sumas
4. Ubica los signos de forma correcta para obtener el siguiente resultado.
=
=
6 4 +10
-2 6 4
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
107
SUCESIONES CON EL CANTO DE LOS HORNEROS
Los horneros son aves que utilizan la física, una de la materia que se
encuentra relacionada con la matemática.
Tras un estudio realizado por Mindlin, un investigador, quien descubrió que
el canto de los horneros estaba sincronizados entre machos y hembras
debido a que responden a simples leyes de la física.
Luego de grabar alrededor de cien duetos, digitalizaron y analizaron
alrededor de 25 y desarrollaron dos modelos matemáticos uno que describe
la física del canto y la otra para las partes involucradas del cerebro.
Femenina 1, masculina1, 2, 3
Femenina 1, masculina 1, 2, 3, 4
Femenina 1, 2, masculina 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Femenina 1, 2, 3, masculina 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
108
De esta manera descubrieron que las notas musicales de machos y hembras
se alternan en diferentes secuencias. Lo más frecuente es una nota
femenina por cada tres masculinas, pero también se dan las combinaciones,
una cada cuatro, dos cada siete y tres cada diez, algo parecido a las
sucesiones.
Ahora te invito a que aprendas un poco más sobre sucesiones.
SUCESIONES CON NÚMEROS ENTEROS
a1, a2, a3 ,..., an términos de la sucesión
3, 6, 9,..., 3n
El subíndice indica el lugar que el término
ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier
término de la sucesión.
Determinación de una sucesión
Por el término genera
an= 2n-1
a1= 2 ·1 - 1 = 1
Se llama sucesión a un conjunto
de números dispuestos uno a
continuación de otro.
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
109
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
2, 4, 16, ....
Sucesión de Fibonacci:
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los
dos términos anteriores.
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
110
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE SUCESIONES
Tarea dirigida para Octavo año Colorea las figuras que encuentres 1. Escribe la fórmula general para la determinación de una sucesión por
el término general.
2. Enumera las partes de una sucesión:
a1, a2, a3 ,..., an .....................................
……………………
3. Resuelve las siguientes sucesiones
Por el término general
a2= 2 ·2 - 1 =
a3= 2 ·3 - 1 =
Por una ley de recurrencia
Escribir una sucesión cuyo primer término es 3, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.
3………….
Por sucesión de Fibonacci
Demuestra la siguiente sucesión de Fibonaci de forma gráfica.
0,1, 1, 2, 3, 5, 8,……
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
111
APRENDAMOS SUCESIONES CON SUMA Y RESTA
Son llamadas también sucesiones aritméticas y se las define como una
secuencia de números que crecen o decrecen de acuerdo a una constante
llamada razón, de tal manera, que al restar un número de su sucesor
siempre se obtendrá el mismo resultado aritmética es una sucesión de
números en la que el número an+1 se lo obtiene sumando una cantidad “d”
(d es la razón de las sucesiones con sumas y restas) a su antecesor an.
Dada la sucesión: a1, a2, a3,…, an, an+1, an+2,……
an+1= an+d o d= an+1 - an
Nótese que n representa la posición del término an en la sucesión, por lo tanto, el término an puede ser por la siguiente expresión:
an = a1 + (n-1). d
Ejemplo: Dada la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 13,….. Determinar los términos a1, a5, a20, a100, a1000.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 …a100,…….,a1000
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7,
Entonces:
a1= 1
a5= 9
Solución:
a5 = a1+ (n-1)d Donde: d= an+1- an
= 1+ (5-1)(2) d= a2- a1
= 1 + (4)(2) d=3-1
= 1 + 8 = 9 d= 2
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
112
SUCESIONES CON MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Son llamadas también sucesión geométrica en la que el número an+1 se lo
obtiene multiplicando por una cantidad “r” (r es la razón de las sucesiones
con multiplicaciones y divisiones) a su antecesor an.
Dada la sucesión a1, a2, a3,…., an, an+1, an+2, …..
an+1=an· r o r = an+1 : an
Nótese que n representa la posición del término an en la sucesión, por lo
tanto, el término an puede ser determinado por la siguiente expresión:
an = a1· rn-1
Ejemplo:
Dada la sucesión: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,…….. Determinar los términos
a20, a100, a1000.
4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,….., a100,……,a10000
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7,
Entonces:
La razón r es:
r = a4 a3
r = 32
r= 2
Aplicamos la fórmula: an = a1· rn-1
a20 = 4. (2)20-1
= (2)2. (2)19
a20 = 221
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
113
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE SUCESIONES
Tarea dirigida para Noveno año
Colorea las figuras que encuentres
1. Determina si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
a) Toda sucesión tiene un primer término y un último término.
b) La razón de la sucesión aritmética: 1, 5, 9, 13, 17, 27, 25,…….es 4
c) La razón de la sucesión geométrica: 3, 6, 1, 24, 48, 96, 192, … es 3
2. Determina la razón “d”, dadas las siguientes sucesiones con sumas
y restas:
15, 8, 1, -6, -13, -20, -27, -34,……
3, 17, 31, 49, 51,……..
21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56,….
3. Determina la razón “r”, dadas las sucesiones con multiplicación y división: 2, 6, 18, 54, 162, 486,….
-5, 20, -80, 320, -180,……
25, 75, 225, 675, 2025,……
4. Construye las sucesiones que se indican en los siguientes literales: a) Los diez primeros términos de una sucesión aritmética cuyo primer término es 5 y su razón es d=4 b) Los diez primeros términos de una sucesión geométrica cuyo primer término es 3 y su razón es r=-2 c) Los diez primeros términos de una sucesión aritmética cuyo quinto término es 7 y su razón es d=4
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
114
LA SUCESIÓN FIBONACCI DE LOS CONEJOS
La sucesión Fibinacci fue descrita como la solución a un problema de la cría
de conejos, Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII tenía una
pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y quiso saber cuántos son
creados a partir de este par en un año cuando en su naturaleza parir otro en
un mes, y el segundo mes los nacidos también.
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y
la teoría de juegos, también aparece en las ramas de los árboles, en las
hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, en los caracoles.
En matemáticas la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión de
números naturales.
Esta sucesión se obtiene sumando el número anterior para obtener el
siguiente número.
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
115
AHORA APRENDAMOS SUCESIONES ALFANUMÉRICAS Es una secuencia de términos formados de acuerdo con una ley. Así: 1, 3, 5,
7………… es una serie cuya ley es que cada término se obtiene sumando 2
al término anterior: 1, 4, 8……. Es un aserie cuya ley en cada término se
obtiene multiplicando por 2 el término anterior.
Una sucesión está formada por un conjunto de números que siguen una
secuencia lógica, siendo secuencia lógica la operación que existe de número
a número, estas operaciones pueden ser sumas, restas multiplicaciones, y
divisiones, como también puede haber potenciación, radicación o la
combinación de todas las operaciones.
Ejemplo: ¿Qué número continúa en la siguiente serie? -1 +2 -5 1 1, 0, 2, -3 -2 La respuesta sería -2, pues siguiendo el orden lógico de la secuencia es así.
1 menos 1 es igual a 0, más 2 es igual a 2, 2 menos 5 es igual a -3, y -3 más
1es igual a -2 entonces podemos deducir que el siguiente número es -2,
pues vemos que se le suman o restan números de manera ascendente por
lo que se debería restarle -5 al 2 que nos dio antes, por eso la repuesta es -
2.
Observa algunos ejemplos:
1. Determine cuál es el número que le sigue:
8, 12, 17, 24, 28, 33?
a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40√
Son patrones de figuras o
números que siguen un orden
lógico, el propósito es
desarrollar y ejercitar la
inteligencia.
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
116
Solución:
4 5 7 4 5 7 8 12 17 24 28 33 40 2. Determine cuál es el número que sigue: 2, 4, 7, 11, …. a) 13 b)15 c) 16√ d) 14 e) 17 Solución: 2 3 4 5 2 4 7 11 16
UNIDAD III ANIMALES Y SUCESIONES
117
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE SUCESIONES
ALFANUMÉRICAS
Tarea dirigida para Décimo año
Colorea las figuras que encuentres
1. ¿Cuál es el número que sigue en la sucesión:
1, 3, 7, 15, ?
a) 64 b) 31 c) 46 d) 27 e)75 2. ¿Cuál es el número que sigue en la sucesión: 5, 25, 125, ? a) 90 b) 625 c) 635 d) 125 e) 525 3. En la serie hay un número equivocado: 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4, 9, 5, 9
¿Cuál es el número que debe estar en su lugar?
a) 7 b) 9 c) 6 d) 10 e) 8 4. En la siguiente serie numérica sobra lógicamente un número.
Averigüe, cuál es y táchelo.
4, 3, 5, 6, 8, 7, 11, 9, 10 a) 4 b) 3 c)11 d) 10 e) 9 5. En la siguiente sucesión escriba los números que faltan: 8, 6, ?, 6, 8, ?, 4 a) 3 y 8 b) 4 y 6 c) 4 y 7 d) 2 y 4 e) NA 6. ¿Qué letra sigue lógicamente en esta serie? H, J, I, K, M, L, N, ? a) P b) O c) R d) S e)T
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
118
PROPORCIONALIDAD CON EL PEZ MOSQUITO
El pez mosquito es de agua dulce y vive en el golfo de México, mide de
cuatro a siete centímetros y es capaz de desarrollar habilidades
matemáticas. Estos pececitos pueden contar hasta cuatro, lo hacen cuando
tienen que diferenciar entre varios cardúmenes por su tamaño.
Estos curiosos pececitos son capaces de contar hasta cuatro. Por más
absurdo que parezca dicho de esta manera, es justamente lo que hacen
cuando tienen que diferenciar entre varios cardúmenes por su tamaño.
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
119
Cuando una hembra está acosada por un macho, trata de escaparse y
confundirse en un cardumen más cercano, teniendo la capacidad de contar
entre dos y tres peces, hasta tres y cuatro peces.
Haciendo numerosas pruebas se detectó que la hembra siempre escogía el
banco de peces más poblado, pero a partir del cuarto individuo no era capaz
de diferenciar entre grupos.
AHORA APRENDAMOS PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de
los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundidos en la población,
esto se debe a que es una buena medida intuitiva y de uso muy común.
A continuación se muestran 4 peces: a, b, c, d. Queremos determinar la razón
entre las longitudes de los peces a y b, y la razón entre las longitudes de los
peces c y d.
a. 8cm b. 12cm c.10cm d.15cm
Veamos el cálculo de ambas razones:
La razón de las longitudes de los peces a y b es: 8/12 = 2/3
La razón de las longitudes de los peces c y d es: 10/15=2/3
Como vemos la razón entre a y b es igual a la razón entre c y d. Si la razón
entre los segmentos a y b es igual a la razón entre los segmentos c y d, se
dice que os segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d, y se
escribe:
Donde K se denomina constante de proporcionalidad. En el ejemplo anterior
la constante de proporcionalidad es
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
120
La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando “:” para
a la razón entre c y d los valores, o como un solo número dividiendo un valor
para el total.
3:1 Usando “:” para separar valores de muestra
¾ En fracción dividiendo, dividiendo un valor entre el total.
0,75 En decimal
75% En porcentaje
1:3 (por cada pez hembra hay 3 peces machos) 1:3
¼ pez macho (dividiendo 1 por 4) 1/3
0.25 pez macho (dividiendo 1 por 4) 1/4
25% pez macho (0,25 como porcentaje)
En el siguiente gráfico se muestra 4 segmentos: a, b, c, d. a. c.
b. d.
La razón entre a y b es
y la razón entre c y d es
Como las razones
no son iguales, concluimos que los segmentos a y b no son proporcionales a los segmentos c y d.
Sin embargo a razón entre d y c es
. Por lo tanto los segmentos a y b
son proporcionales a los segmentos c y d.
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
121
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE SOBRE PROPORCIONALIDAD
Tarea dirigida para Octavo año Colorea las figuras que encuentres 1. Dibuja el segmento que falta para que se cumpla la razón de
proporcionalidad.
a.
b.
c.
d.
2. El significado de proporcionalidad es: a) Es una relación entre magnitudes medibles.
b) Es una magnitud entre relaciones medibles.
c) Es medible entre relación y magnitud.
3. La cola de un pescado es de 5cm; la cabeza es el doble de la cola; el
cuerpo tiene una longitud igual al de la cabeza más el triple de la cola. ¿Cuál es el largo total del pescado?
a) 40cm b) 50cm c) 60cm d) 72cm e) 25cm
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
122
PROPORCIONALIDAD CON AYUDA DE LAS HORMIGAS
Es muy claro que las hormigas desarrollan un alto nivel de socialización que
les permite comunicar información entre los miembros de la colonia, pero
además de esto realizan operaciones aritméticas, esta investigación fue
realizada por los científicos rusos Zhanna Rezhikva, de la Universidad
Estatal de Novosibirsk, Boris Ryabko de la Universidad estatal de Siberia.
Esta investigación realizada a la hormiga roja indica la habilidad que tienen
para pasar información unas a otras por ejemplo para después de haber
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
123
hecho una operación aritmética, decidirse entre cantidades grandes o
pequeñas de comida o la distancia a la que se encuentra.
Para alertar a otras hormigas de la localización de la comida, se pasan
mensajes informando la cantidad de alimento que hay o la distancia que hay
hasta allí o el número de pasos que se necesitan para llegar hasta allí, y si
esto es así, se demuestra que las hormigas son capaces de usar valores
cuantitativos y pasarse información unas a otras.
APRENDAMOS PROPORCIONALIDAD CON AYUDA DE LAS HORMIGAS
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir
una de ellas por un número, la otra que da multiplicada o dividida por ese
mismo número.
Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente
valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante).
A esta constante se le llama razón de proporcionalidad directa.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:
La razón de proporcionalidad.
Una regla de tres.
El método de reducción a la unidad.
La regla de tres simple directa
El precio de tres bolígrafos es de 4,50 dólares. ¿Cuánto cuestan 7
bolígrafos?
Bolígrafos Precio
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
124
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir
una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por ese
mismo número.
Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente
valor de la segunda magnitud, se obtiene siempre el mismo valor. A este
valor constante se le llama constante de proporcionalidad inversa.
Para resolver un ejercicio de proporcionalidad inversa se puede utilizar:
La razón de proporcionalidad.
Una regla de tres.
El método de reducción a la unidad.
Regla de tres simple inversa
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en
20 días. Si se compra 100 gallinas más. ¿En cuánto tiempo comerán la
misma cantidad de grano?
Gallinas días
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
125
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE DE PROPORCIONALIDAD
DIRECTA E INVERSA
Tarea dirigida para Noveno año Colorea las figuras que encuentres
1. Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:
2. En una jaula hay 36 aves, si 24 son gallos, entonces la razón entre
gallos y gallinas respectivamente es:
a) 1:2
b) 2:3
c) 24:12
d) 36:12
e) 36:24
3. En una fiesta de animales existen 12 machos, si la razón entre
machos y hembras que hay en la fiesta es de 2:3, ¿Cuántos animales
hay en la fiesta?
a) 8
b) 16
c) 18
d) 20
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
126
EL CANGREJO Y LA SOLUCIÓNDE PROBLEMAS
El método del cangrejo nos permite encontrar la solución de un problema
utilizando las operaciones principales que tiene la matemática, sin necesidad
de plantear una ecuación, pero antes de aplicar este método correctamente
hay que tener en cuenta lo siguiente:
1. No se conoce la cantidad inicial.
2. Hay varias operaciones sucesivas.
3. Se conoce la cantidad final.
Lo importante al resolver un problema utilizando el método del cangrejo, es
que se debe realizar operaciones inversa a las planteadas en el problema en
cada caso, empezando desde e l final hacia el comienzo.
MÉTODO DEL CANGREJO
Resolución de problemas
A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le agrega 3,
a este resultado nuevo se le multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a este
nuevo resultado lo elevamos al cubo, luego agregamos 9, finalmente
extraemos la raíz cuadrada obteniendo como resultado final 6. ¿Cuál es el
número?
a) 3 √ b) 1/3 c) 4 d) 6 c) 9
Solución:
Primer paso: Planteamiento del problema.
Segundo paso: Vamos a operar de atrás hacia adelante como el cangrejo,
tomando en cuenta siempre la operación contraria.
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
127
√
√
9 6 42 3 27 36
6
Para resolver el ejercicio debes utilizar signos
contrarios
Empezar desde aquí
+ contrario - X contrario :
( )n contrario √
UNIDAD IV ANIMALES Y PROPORCIONES
128
DEMUESTRA LO QUE APRENDISTE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CON EL MÉTODO DEL CANGREJO
Tarea dirigida para Décimo año Colorea las figuras que encuentres
Resuelve los siguientes problemas utilizando el método del cangrejo.
1. En cierto número realizo las siguientes operaciones, lo elevo al cubo, al
resultado le agrego 9 y le extraigo la raíz cuadrada, el número así obtenido
lo divido entre 3, para luego restarle 1 y por último lo elevo al cuadrado
obteniendo16. ¿Cuál es el número?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)8
2. Un estudiante escribe cada día la mitad de las hojas en blanco más 25
hojas, Si al cabo de 3 días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el
cuaderno?
a) 250 b) 350 c) 300 d) 450 e) 600
3. A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le agrega
2, a este nuevo resultado se le multiplica por 8 y luego dividimos entre 4, a
este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado, luego agregamos 9,
finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 4.
¿Cuál es el número?
a) 6 b)4 c) 9 d) 10 e) 2/4
129
SOLUCIONARIO UNIDAD I Taller 8vo 1. a) A = 8,75cm b) A = 15cm.
2.
A= 972cm, P=36cm
3. A = 121.5, P = 18cm.
Taller 9no
1. P= 56cm.
2. 8cm
8cm
3. A = 144m
4. P = 28m
Taller 10mo
1. a) F, b) V, c) V, d) F 2. a) 60º; 30º; 90º
130
UNIDAD II Taller 8vo 1.
2. b) 10
3.
4. Puso 3 huevos.
Taller 9no 1.
Números enteros (Z) A { }
Números enteros negativos (Z-) B= { }
Números enteros positivos (Z+) C={ }
2. -1, +3, -4, -5.
3. {+6,+7,+8,+9,+10}, {-4, -3, -2, -1, 0}, {+21,+22, +23, +24, +25}, {-6,-7,-8,-9,-
10}
4. +21 > - 39 -15 < + 1
- 33 < + 35 +11 > + 3
+ 2 > – 9 -21 < +6
-2 < +11 0 > -3
ℚ I N
-2, -1, 0, 1, 2, 3,…
√
2, 4, 6, 8,….
2, 3, 5, 7,……
131
Taller 10mo 1.
2. R= -2, +19, +142, - 4,
3. R =+4 +6 = +10
4. R= +4 – 6 = - 2
UNIDAD III Taller 8vo
1. an= 2n-1
2. Subíndice y Término General.
3. a) R= +3, +5. b) 3 + 9 +27….
4. 0,1, 1, 2, 3, 5, 8,……
Taller 9no
1. a) F, b) V, c) F
2. a) -7, b) +16, c) +5
3. a) 3, b) -4, c) 3,
4. a) 21, b) -1, c) 31.
+
+
+ -
- -
132
Taller 10mo
1. R= d) 27
2. R= b) 625
3. R= e) 8
4. R= c) 11
5. R= b) 4 y 6
6. R= b) 0
UNIDAD IV
Taller 8vo
1.
2. a) Es una relación entre magnitudes medibles. 3. a) 40cm.
Taller 9no
1.
,
,
,
2. e) 36:24
3. e) 24
Taller 10mo
1. c) 6
2. b) 350
3. a) 6
133
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http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_tim
Cardumen pez Mosquito,
Acceso21/04/2013,http://4.bp.blogspot.com/_8rwIRvwyEQw/TUk2ew8
B0BI/AAAAAAAAAg4/C3uIByIypiQ/s1600/DSC02098_640x480.jpg
Concha de Caracol, Acceso 18/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=la%20conc
ha%20de%20caracol
Conejos y sucesión Fibonacci, Acceso 15/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=conejos%2
0y%20fibonacci
Conejos, Acceso 15/04,2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=conejos
Delfines y burbujas, Acceso 20/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=Delfines%
20y%20burbujas
El Loro Alex, Acceso 10/04/2013,
http://www.google.com/search?num=10&hl=en&authuser=0&site=img
hp&tbm=isch&q=el%20loro%20Alex&oq=el%20loro%20Alex
136
Gallinas animadas, Acceso 20/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=gallinas%2
0animadas
Horneros, Acceso 20/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=Horneros
Horneros,Acceso11/04/2013,https://www.google.com.ec/search?q=p
%C3%A1jaros+horneros&client=firefox-
a&hs=eFM&rls=org.mozilla:es-ES:official&tbm=isch&tbo=u&s
Loro con bufanda, Acceso 11/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?q=loros+con+bufanda&s=images&as=0&
babsrc=HP_ss_gr2
Los peces, Acceso 22/04/2013,
http://www.ediciona.com/portafolio/image/5/4/2/2/pez_payaso_2245.jp
Nevado, Acceso 10/04/2013, http://www.imagenesi.net/wp-
content/uploads/2012/06/Nevados.http://www.imagenesi.net/wp-
content/uploads/2012/06/Nevados.jpg
Notas musicales, Acceso 10/04/2013,
http://www.google.com/search?num=10&hl=en&authuser=0&site=img
hp&tbm=isch&q=notas%20musicales&oq=notas%20musical
Pez Mosquito, Acceso 21/04/2013,
http://2.bp.blogspot.com/_MV5zYWVADCg/TI7bTjWTfSI/AAAAAAAAA
IA/l1PT_noqRfQ/s1600/Gambusia+affinis.jpg
137
TALLER Nº 1
TEMA: la matemática del reino animal en el proceso de enseñanza
aprendizaje.
OBJETIVO: Conocer sobre ciertas capacidades matemáticas que realiza el
reino animal y que se pueden relacionar en el proceso de enseñanza como
una motivación para mejorar el aprendizaje en los estudiantes.
DURACION: 2 horas
DIRIGIDO A:
Docentes del Colegio Popular Particular Noroccidental
Licda. Rosa Granizo
Licda. Alexandra Armas
Licda. Diana de la Vega
Lic. Luis Moreira
Lic. Leonardo González
Cecilia Rivadeneira (Facilitadora)
TIEM. ACTIVIDAD METODOLOGIA RESPON. RECURSO
9:0am10:am
Presentación de cada uno. Dialogo sobre situaciones que se presentan en el aprendizaje de la matemática. Organizar actividades de forma grupal. Establecer semejanzas y
Dinámica Método Heurístico Presentación del problema Exploración Experimental Presentación de informes
Cecilia Rivadeneira
Humano Presentación en Power point Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de
138
diferencias de procesos y resultados. Identificar los elementos más importantes en el proceso. Formular conceptos generales
Abstracción Generalización
audiovisuales Pliegos de papel periódico Pliegos pequeños de cartulina
10:am-11am
Describir ciertas características relacionadas con el reino animal y la matemática. Formar diversidad de animales con el tangram construido. Encontrar semejanzas y diferencias. Describir las características matemáticas que utilizan ciertos animales. Establece definiciones sobre el tema
Método Inductivo Observación Experimentación Comparación Abstracción Generalización
Presentación en Power point Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de audiovisuales Pliegos de papel periódico Pliegos pequeños de cartulina
139
DESARROLLO DEL TALLER N0 1
DINÁMICA La Periquita Todos empiezan cantando periquita, periquita se parece a su mamá, por
arriba, por abajo, por delante y por detrás, luego se sacan los pulgares
estirando las manos e indicando los pulgares se canta balaceando el cuerpo;
chuchu gua chuchu gua chuchu gua gua gua , a continuación se repite el
coro diciendo cada parte ya nombrada con la que le sigue; así periquita,
periquita se parece a su mamá por arriba, por abajo, por delante y por
detrás, pulgares al frente codos atrás; chuchu gua chuchu gua chuchu gua
gua gua; y así sucesivamente nombrando piernas de pollo, pie de pingüino,
cola de pato, cuello torcido, pico de loro hasta llegar a la lengua afuera.
IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA
Nadie podría negar la utilidad que tiene la matemática, empezando desde
sus cálculos hasta las operaciones más complejas, que en muchas
ocasiones las vemos como difíciles, siendo esto una causa de temor, y
muchas veces un rechazo hacia ella. Sin embargo no hay que olvidar que se
la utiliza a diario, ya que en cierta forma es parte de nuestra vida, porque
siempre estamos utilizándola ya que nos facilita la vida. Así cuando en las
necesidades que se presentan, en la cantidad de dinero que hace falta para
comprar cierto producto cuanto solo se cuenta con una parte de este,
también como cuánto tiempo ha transcurrido desde el acontecimiento de un
140
hecho, o también cuánto falta para llegar a una fecha determinada, de
manera que son muchas las veces que el ser humano realiza diferentes
operaciones matemáticas a diario.
No hay persona que no se apoye en ella, está ligada a las necesidades del
hombre desde hace mucho tiempo atrás, por su infinita variedad, que no
trata solamente de números, figuras y signos, sino que también se ha
comprobado que es un elemento de la vida, por ello la educación debe estar
encaminada a preparar a los estudiantes para la vida.
La materia de matemática ha sido considerada por muchos como una de las
materias más difíciles y aburrida, es por ello que como docentes es
necesario cambiar esta realidad. Es posible que se deba a la forma
inadecuada de enseñarla.
La memorización de la materia juega un papel importante para los seres
humanos ya que es el proceso que se encarga de almacenar, hechos,
acontecimientos, vivencias para en un momento memorizar lo ocurrido. Algo
muy importante no se debe memorizar la matemática ya que si esta falla no
lograremos resolver ningún ejercicio matemático.
(http://www.atenas.cult.cu/content)20
20
Importancia de la Enseñanza y el Aprendizaje de la matemática, Acceso 26/03/2013; http://www.atenas.cult.cu/content/%E2%80%98%E2%80%99importancia-de-la-ense%C3%B1anza-y-el-aprendizaje-de-la-matem%C3%A1tica-%E2%80%99%E2%80%99
141
LA MOTIVACIÓN EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE
LA MATEMÁTICA
La motivación juega un papel muy importante dentro de la educación por lo
que el docente debe apoyarse en los elementos más adecuados para
ponerlos en marcha y con mucha energía. Es un hecho frecuente que
muchos estudiantes que se declaran incapaces para el aprendizaje de la
matemática, disfrutan de su contenido si detrás de ello está un profesor que
logra una buena motivación que le permite facilitar su aprendizaje. Es por
ello muy importante que en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática los docentes estén motivados y sean capaces de motivar a los
estudiantes.( http://www.pedagogiaprofesional.)21
El presente trabajo tiene como objetivo hacer un análisis de la necesidad de
lograr una buena motivación en el proceso de enseñanza aprendizaje de la
materia de matemáticas y se pone de manifiesto una vía que le permite al
profesor lograrlo con la utilización del reino animal como método de
enseñanza, pero para ello es necesario dar a conocer ciertas habilidades de
algunos animales, a continuación se presentan algunos contenidos
importantes relacionados con la matemática de ciertos animales.
21
La Motivación en el Proceso de Enseñanza Aprendizaje de la Matemática, Acceso 26/03/2013; http://www.pedagogiaprofesional.rimed.cu/Vol3%20no4/monyka.htm
142
ANIMALES Y MATEMÁTICAS
Aunque no siempre nos demos cuenta la matemática está presente en casi
todos los ámbitos de la vida. El objetivo es encontrar cualquier relación entre
las matemáticas y el reino animal, con un poco de imaginación se lo puede
logar.
A continuación se nombra algunos ejemplos, como por ejemplo el tangram
chino es un puzzle de 7 piezas con el cual se puede formar una infinidad de
figuras, también se puede aplicar en los problemas matemáticos, en el
ingenio, en acertijos, etc., en los cuales intervienen animales.
Científicos han conseguido por primera vez definir la capacidad de contar de
un animal invertebrado: las abejas. Estas tienen capacidad matemática y
saben contar, aunque sólo pueden hacerlo hasta cuatro. El estudio fue
realizado por científicos alemanes de la Universidad de Würzburg. También
están relacionadas con la geometría ya que el panal que construyen es de
forma hexagonal.
En la última década, algunas ramas del soft computing ha evolucionado con
gran éxito por la imitación de programas informáticos basados en modelos
matemáticos como el comportamiento de las hormigas.
(http://www.sectormatematica.) 22
22
Matemáticas en las Ciencias Naturales; Acceso 27/03/2013, http://www.sectormatematica.cl/ciencias_naturales.html
143
Siempre se ha pensado que las matemáticas eran una ciencia tan solo al
alcance del ser humano, pero un grupo de científicos del Instituto
Tecnológico de Massachusetts desmiente tal concepto.
Así lo revelan algunos experimentos sobre el estudio de la inteligencia del
animal para el cual se escogió animales como loros, gallinas, abejas,
insectos y monos, entre otros pueden diferenciar números y realizar
operaciones como las matemáticas sencillas teniendo en cuenta que su nivel
de precisión es inferior al del ser humano.
(http://www.elparadigmadelaverdad.)23
Si eres creativo existe una infinidad de animales que realizan matemáticas
como los delfines, los tiburones, los peces, los monos, los conejos, entre
otros.
TRABAJO GRUPAL
Para formar las parejas se van a enumerar de 1 a 2, los números unos
forman un grupo y los números dos forman el segundo grupo, se darán cinco
minutos para conocerse un poco más y luego la cada persona pasa al centro
y presenta a su pareja según los datos solicitados.
Guía de trabajo:
1. El grupo debe tener el nombre de un animal.
2. Recortar el tangram que se encuentra ya elaborado y enumerado.
3. Formar la mayor cantidad de animales posibles con el tangram.
4. Escribir el nombre de posibles animales que se relacionan con la
matemática.
5. Escribir la relación que tienen los animales con la matemática
(características, habilidades, etc.)
6. Escoge un animal para encontrar semejanzas y diferencias en relación
con el hombre y la matemática
23
Los Animales pueden hacer Matemáticas; Acceso 27/03/2013, http://www.elparadigmadelaverdad.com/mundo-animal/los-animales-pueden-hacer-matematicas
144
7. Utilizando la cartulina formular una frase sobre la importancia de la
matemática dentro de la enseñanza aprendizaje.
8. Enumera temas matemáticos que se puedan relacionar con
características de algunos animales.
9. Escribe la importancia de la naturaleza en especial del reino animal dentro
de la vida del hombre
10. Realizar una exposición del trabajo realizado
CONCLUSIONES
Los docentes aceptan la realidad por la cual está atravesando el
aprendizaje de la matemática en la institución y que se debe buscar una
solución para remediar esta situación que está afectando el rendimiento
académico de los estudiantes.
Luego de dar a conocer el tema los docentes se sienten motivados por
conocer como los animales utilizan la matemática, piensan que es un
recurso nuevo que podría facilitar el aprendizaje de la matemática, y que
pueden existir otros animales que sirvan como recurso de aprendizaje así
como sus características, su habitad, su reproducción, su supervivencia,
alimentación, etc.
COMPROMISOS
Analizar detenidamente a la naturaleza para encontrar algún detalle
que se caracterice con la matemática en especial con el reino animal.
Investigar características de ciertos animales que se pueden
relacionar con la matemática.
Valorar a la naturaleza por medio de la matemática del reino animal.
145
Buscar métodos diferentes de enseñanza aprendizaje a través de un
análisis de lo que nos rodea.
Motivar a los estudiantes con temas nuevos y diferentes que se
encuentren relacionado con animales, para obtener un mejor
aprendizaje.
EVALUACIÓN:
Los docentes al inicio sienten incomodidad con respecto al tema ya que la
mayoría no escucharon sobre la relación que existe entre la matemática y la
naturaleza. Luego que se da a conocer un poco más sobre los animales y la
matemática, tienen curiosidad por saber cómo utilizan la matemática, y
piensan que es un tema interesante tanto para ellos como para sus
estudiantes.
Al final del taller dan sugerencias que pueden servir para mejorar el
aprendizaje de la matemática dentro del aula, y sienten curiosidad por saber
cuáles son los animales que utilizan la matemática y en qué forma.
Los docentes luego de conocer sobre la matemática del reino animal dan
otras ideas que se pueden utilizar para mejorar el aprendizaje de la
matemática.
146
TALLER Nº 2
TEMA: La geometría de las abejas y proporcionalidad con el pez
mosquito.
OBJETIVO: Informar sobre ciertas habilidades matemáticas que poseen
estos animales y su utilización como un modelo de enseñanza dentro de la
materia de matemática.
DURACIÓN: 2 horas
DIRIGIDO A: Docentes del Colegio Popular Particular Noroccidental. Licda. Rosa Granizo
Licda. Alexandra Armas
Licda. Diana de la Vega
Lic. Luis Moreira
Lic. Leonardo González
Cecilia Rivadeneira (Facilitadora).
TIEM. ACTIVIDAD METODOLOGIA RESPON. RECURSO
9:0am10:am
La matemática y su relación con las abejas Ejemplos de abejas que realizan geometría Algunos temas de geometría en los que podemos
Método Deductivo Enunciación Comprobación Aplicación
Cecilia Rivadeneira
Presentación en Power point Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de audiovisuales Pliegos de papel periódico
147
insertar a la abejas
Pliegos pequeños de cartulina.
10:am11:am
Descripción de la habilidad matemática que posee el pez mosquito en el momento de su reproducción Observar acciones que realiza el pez mosquito Comprobar resultados obtenidos. Relacionar las acciones del pez mosquito con la matemática. Establecer relaciones entre las acciones del pez mosquito y un tema de matemáticas
Método Inductivo Observación Experimentación Comparación Abstracción Generalización
Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de audiovisuales Pliegos de papel periódico Pliegos pequeños de cartulina
148
DESARROLLO DEL TALLER N0 2
DINÁMICA
¿Qué tipo de animal?
Pedir a los participantes que se dividan en parejas y que formen un círculo.
Se debe poner suficiente sillas en el círculo para que todas las parejas,
excepto una pareja tenga asientos. En secreto, cada pareja debe decidir
que animal va a ser. Los dos participantes que se quedan sin sillas son los
elefantes. Estos caminan por el círculo diciendo el nombre de diferentes
animales. Cuando adivinan correctamente, los animales que han sido
nombrados tienen que pararse y caminar detrás de los elefantes, actuando
como los animales que representan. Esto continúa hasta que los elefantes
ya no pueden adivinar más. Luego ello dicen “leones” y todos las parejas
corren hacia las sillas. La pareja que se queda sin silla se convierte en los
elefantes en el siguiente turno.
LA GEOMETRÍA DE LAS ABEJAS
Te has preguntado alguna vez por qué las abejas construyen la colmena
utilizando compartimentos hexagonales. Las abejas fabrican cada celda en
forma cilíndrica, como un tubo. El hecho de que se vuelvan hexagonales se
debe a la compresión de cada una contra sus seis vecinas.
149
Las abejas al guardar la miel, necesitan hacerlo en celdillas individuales.
Para aprovechar el espacio al máximo, las distribuyen formando un mosaico
sin huecos ni salientes, pudiendo lograrlo con triángulos, cuadrados o
hexágonos. Las abejas eligieron el último ¿Sabes por qué? Porque entre las
tres figuras regulares, el hexagonal es el de mayor volumen.
(http://portal.perueduca.edu) 24
A continuación se presenta un ejemplo que se puede aplicar para la
enseñanza de la matemática.
BLOQUE: Geometría MATERIA: Matemáticas TEMA: Perímetros y áreas de polígonos. AÑO DE BÁSICA: Octavo
PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS
Definición de perímetro.
El perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados.
Definición de área.
El área de un polígono es la medida de la región o superficie
encerrada por un polígono.
Perímetro del triángulo
Triángulo Triángulo Triángulo
Equilátero Isósceles Escaleno
24
La Geometría de las Abejas; Acceso 28/03/2013; http://portal.perueduca.edu.pe/modulos/m_geometria1/
150
Área del triángulo
Ejemplo: Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo.
P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm
151
PROPORCIONALIDAD CON EL PEZ MOSQUITO
El pez mosquito es de agua dulce y vive en el golfo de México, mide de
cuatro a siete centímetros y es capaz de desarrollar habilidades
matemáticas.
Cuando una hembra está acosada por un macho, trata de escaparse y
confundirse en un cardumen más cercano, teniendo la capacidad de contar
entre dos y tres peces, hasta tres y cuatro peces.
Haciendo numerosas pruebas se detectó que la hembra siempre escogía el
banco de peces más poblado, pero a partir del cuarto individuo no era capaz
de diferenciar entre grupos. (http://www.ojocientifico.com/)25
A continuación se presenta un ejemplo que se puede aplicar para la
enseñanza de la matemática.
BLOQUE: Números MATERIA: Matemáticas
TEMA: Proporcionalidad AÑO DE BÁSICA: Octavo.
25
El pez matemático, Acceso 27/11/2012; http://www.ojocientifico.com/2008/02/28/el-pez-matematico-los-peces-mosquito-saben-contar-hasta-cuatro
152
PROPORCIÓN
La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando “:” para
a la razón entre c y d los valores, o como un solo número dividiendo un valor
para el total.
3:1 Usando “:” para separar valores de muestra
¾ En fracción dividiendo, dividiendo un valor entre el total.
0,75 En decimal
75% En porcentaje
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de
los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundidos en la población,
esto se debe a que es una buena medida intuitiva y de uso muy común.
A continuación se muestran 4 peces: a, b, c, d. Queremos determinar la razón
entre las longitudes de los peces a y b, y la razón entre las longitudes de los
peces c y d.
a. 8cm b. 12cm c.10cm d.15cm
153
TRABAJO GRUPAL
Para formar las parejas de trabajo, se empieza con la dinámica del tallarín,
que dice yo soy así un tallarín, así un tallarín, que se mueve por aquí, que se
mueve por allá, un poco de salsa, un poco de ají sal y mayonesa, y ahora
te toca a ti. La dinámica se la realiza bailando y el momento en que
selecciona a la siguiente persona, es cuando se van formando los grupos.
1. Enumerar semejanzas y diferencias entre los peces y las abejas con
respecto a la matemática que utilizan.
2. Describir habilidades que conoces de las abejas y los peces.
3. Elaborar un mapa conceptual con las características matemáticas de las
abejas y los peces.
4. Qué otros animales creés que pueden realizar proporcionalidad y de qué
manera.
5. Enumere en cuales temas de la matemática se podría insertar al reino
animal en especial sobre los animales que son objeto de nuestro estudio.
6. Enumera que otros animales crees que pueden utilizar la matemática, y
como podemos aplicar en la enseñanza.
7. Describe si has observado algo en particular l en el comportamiento de los
peces.
8. Es posible mejorar el aprendizaje de la matemática mediante la utilización
del reino animal como recurso de enseñanza aprendizaje, escribe tres
razones.
4. CONCLUSIONES
Al final del taller sienten admiración por estos animales tan pequeños, ya
que prácticamente son insectos al referirnos a las abejas que tienen
inteligencia y que lo que realizan es una forma de supervivencia en la cual
interviene la matemática.
154
Sin dejar un lado el tema del pez mosquito, que también realiza estas
habilidades matemáticas, se puede evidenciar el interés y la curiosidad por
encontrar algún animal que se relacione con la matemática.
Al Final se les invita a formar parte del reino animal y la matemática, para
conocer y valorar más a estas especies que en su mayoría se encuentran en
peligro de extinción.
COMPROMISOS
Utilizar a las abejas en la geometría y a los peces en la matemática
como un recurso de enseñanza para formular ejercicios y problemas.
Compartir los conocimientos adquiridos, con los estudiantes para que
se sientan motivados por seguir aprendiendo matemáticas.
Buscar características en otros insectos para poder aplicarlos dentro
de la clase.
Buscar otros animales del mar para incrementar la variedad de la
enseñanza aprendizaje de la matemática.
EVALUACIÓN
Están muy motivados por aprender para luego enseñar a sus alumnos, ya
que encuentran varias situaciones de los animales que se relacionan con la
matemática.
De ellos salen otros ejemplos de animales que utilizan la matemática como
las arañas, el gusano medidor, entre otros que pueden ser muy útiles para
incrementar en temas para enseñar la matemática de mejor manera.
155
En los docentes queda muy claro que la matemática del reino animal es una
parte muy importante dentro de la naturaleza y forma parte de la vida del
hombre, sobre todo cuando ya conocen sus grandes habilidades y su
potencial dentro de la enseñanza aprendizaje de la matemática.
156
TALLER Nº 3
TEMA: Alex y los números enteros positivos y negativos y operaciones
de números enteros con los delfines.
OBJETIVO: Informar sobre destrezas matemáticas utilizadas por estos
animales para su utilización dentro del la enseñanza aprendizaje de la
matemática, y mediante ello convertirlo en un aprendizaje motivador.
DURACION: 2 horas
DIRIGIDO A:
Docentes del Colegio Popular Particular Noroccidental.
Licda. Rosa Granizo
Licda. Alexandra Armas
Licda. Diana de la Vega
Lic. Luis Moreira
Lic. Leonardo González
Cecilia Rivadeneira (Facilitadora)
TIEMPO ACTIVIDAD METODOLOGIA RESPONS. RECURSOS
9:00am-10:am
Listar ejemplos con números enteros Interpretar el problema, utilizando la recta numérica
Solución de Problemas Enunciación del problema Formulación de alternativas de solución
Cecilia Rivadeneira
Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de audiovisuales Pliegos de papel periódico Pliegos
157
Buscar posibles soluciones Seleccionar la respuesta correcta y verificarla
Resolución Verificación de soluciones
pequeños de cartulina Una bufanda
10:am-11am
Describir ciertas características que utilizan los delfines para su alimentación y su relación con la matemática. Realizar ejemplos de operaciones con los números enteros. Encontrar semejanzas y diferencias entre la suma y resta de números enteros. Describir características matemáticas que utilizan
Método Inductivo Observación Experimentación Comparación Abstracción
Marcador de tiza líquida Pizarrón de tiza Líquida Sala de audiovisuales Pliegos de papel periódico Pliegos pequeños de cartulina
158
los delfines. Establece definiciones sobre el tema
Generalización
DESARROLLO DEL TALLER N0 3
DINÁMICA El zorro y el conejo
Se necesita dos bufandas para este juego. Los participantes se paran
formando un círculo. Una bufanda se llama “Zorro” y la otra se llama
”Conejo”. “Zorro” debe estar atado al cuello con un nudo. “Conejo” debe
estar atado al cuello con dos nudos. Se empieza escogiendo a dos
participantes que estén en lados opuestos del círculo. Se debe atar al cuello
de una persona la bufanda “Zorro” y la bufanda “Conejo” al cuello de la
otra. Se debe dar la orden para empezar, las personas deben desatar las
bufandas y atarlas nuevamente al cuello de la persona a la derecha o a su
izquierda. Las bufandas deben ir en la misma dirección alrededor del círculo.
La bufanda “Zorro” con solo un nudo va a moverse más rápidamente que la
bufanda “Conejo”. Las personas atando los dos nudos para la bufanda
“Conejo” van a tratar de hacerlo más y más rápidamente para escaparse de
la bufanda zorro.
ALEX Y LOS NÙMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
El loro Alex tenía la inteligencia de un niño de cinco años, podía identificar
colores, números, objetos, formas, distinguir entre grande o pequeño,
también igual o diferente.
El loro Alex podía reconocer hasta seis números, su dueña Irene Pepperberg
pedía que indique un número y él lo hacía.
159
En el gráfico podemos observar claramente que está diferenciando los
colores y la cantidad de objetos.
Lastimosamente Alex murió a la edad de 31 años, pero su dueña dice que
dejó algo muy importante con su partida que el ser humano no es el único
que utiliza su inteligencia, y lo mucho que queda por descubrir dentro del
reino animal. (http://www.elmundo.es) 26
A continuación se presenta un ejemplo que se puede aplicar para la
enseñanza de la matemática.
BLOQUE: Números Enteros MATERIA: Matemáticas
TEMA: Números enteros positivos y negativos AÑO DE BÁSICA: 8vo
NÚMEROS ENTEROS
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permite expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,
las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
26
La Increíble Historia de Alex; Acceso 04/04/2013; http://www.elmundo.es/elmundo/2008/12/23/ciencia/1230055415.html
Diferente color
El número dos
160
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero,
solo ocurre cuando la división es exacta.
Los números enteros pueden ser:
NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Observa algunos ejemplos
Los miembros vivos de una familia.
Los años que cumple un apersona.
Las ganancias de un almacén.
La altura de una montaña.
NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS
Observa algunos ejemplos
El desfalco de una institución bancaria.
La profundidad con que navega un submarino.
La temperatura a la que se congela el agua.
La profundidad de una laguna.
Los números naturales precedidos del signo + son los números enteros positivos. +1, +2, +3, +4, +5, +6, …………
Los números naturales precedidos del signo – son los números enteros negativos. -1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, …………
161
DELFINES Y OPERACIONES DE NÚMEROS ENTEROS
Los delfines son animales mamíferos que viven en medios acuáticos,
pertenecen a la familia de los cetáceos, poseen cuerpos muy aerodinámicos
con pequeñas aletas lo que les facilita la movilidad en el medio acuático y les
proporciona una gran resistencia y velocidad en el agua.
De acuerdo a un nuevo estudio los delfines pueden utilizar matemáticas
complejas no lineales en la caza de su alimento, esto lo realizan soplando
múltiples burbujas pequeñas alrededor de la presa; este envío de pulsos
puede variar en amplitud; el primero puede tener el valor de 1, mientras que
el segundo es un tercio de la amplitud. Así que, siempre que el delfín
recuerda lo que las proporciones de los dos pulsos eran, y puede multiplicar
el segundo eco de eso y añadir los ecos juntos se puede hacer visibles a
los peces a su sonar.
Pero eso no es todo la segunda etapa consiste en sustraer los ecos el uno
del otro, asegurando que el eco del segundo impulso sea multiplicado por
tres. El proceso en definitiva, por lo tanto primero implica hacer visible el
pescado a sonar por adición y segundo se hace entonces invisible por
sustracción para confirmar que se trata de un verdadero objetivo.
(http://actualidad.rt.com/ciencias/) 27
27
El Delfín una fiera en Matemáticas, Acceso 29/03/2013; http://actualidad.rt.com/ciencias/view/49576-El-delf%C3%ADn,-un-fiera-en-matematicas
162
Como se puede ver de acuerdo a la lectura anterior los delfines utilizan las
operaciones de suma y resta dentro de su vida cotidiana, a continuación se
presenta un ejemplo que podemos aplicar dentro del área de matemáticas.
BLOQUE: Números MATERIA: Matemáticas
TEMA: Adición y sustracción de números Z AÑO DE BÁSICA: Octavo
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto
del resultado, del siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo, ese es también el signo
del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos
de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo, el signo del resultado es el
signo del sumando con mayor valor absoluto y el menor valor
absoluto, de entre los sumandos.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor
absoluto del resultado, del siguiente modo:
163
Ejemplo:
TRABAJO INDIVIDUAL
1. Describir las características matemáticas que escuchaste del loro Alex.
2. Describir las características matemáticas que utilizan los delfines en el
momento de alimentarse.
3. Enumera en qué otros temas de matemática podemos utilizar a los
delfines y al loro Alex.
4. Elabora un collage que se relacione con la matemática del reino animal.
5. Describe en qué otro tema de matemáticas se podría relacionar a los
delfines.
6. Describe en qué otro tema de matemáticas se podría relacionar al loro
Alex.
7. Se puede enseñar colores con el Loro Alex, Explica mediante un ejemplo
¿cómo lo harías?
8. Enumera las semejanzas y diferencias aplicadas por los animales dentro
del área de matemáticas.
9. Enumera otros animales que pueden relacionarse con la matemática
además de los ya estudiados.
444
-2 + = 2
164
10. Elaborar un resumen sobre el reino animal y su relación con la
matemática.
CONCLUSIONES Al ser este el último tema del taller se relacionó con algunos temas
anteriores ya vistos para que quede claro este tema tan importante, se
enumeró algunos animales relacionados con la matemática aparte de los ya
estudiados para que en lo posterior ellos puedan relacionarlos con temas de
acuerdo a las necesidades que se presentan dentro del aprendizaje.
Además del compromiso de cada uno en buscar métodos diferentes de
enseñanza aprendizaje para motivar a los estudiantes al aprendizaje de la
matemática quedaron muy emocionados por compartir estos conocimientos
con sus alumnos.
COMPROMISOS
Aplicar dentro del aula los temas relacionados con los animales y la
matemática.
Seleccionar animales que presenten características que permitan
relacionarlas con temas adecuados para el aprendizaje de la
matemática y sus ramas.
Transmitir la importancia del reino animal dentro de la vida del hombre
y el valor que tiene cuando se la estudia a fondo.
Que los docentes y los estudiantes sientan a la naturaleza más dentro
de sus vidas y así dar importancia a través de la aplicación dentro
y fuera de las aulas ya que el estudiante tienen el privilegio de
encontrarse a un paso de ella.
165
EVALUACIÓN: Los docentes se encuentran muy interesados por el tema ya que opinan que
es algo nuevo que llama la atención, y que se lo puede aplicar dentro del
aula. Ellos dan otros ejemplos de algunos animales que pueden relacionarse
en la matemática y sus ramas, así como en el resto de materias que ellos
imparten en la institución.
Está muy claro que ellos se comprometen en buscar otros animales que
tengan características como son: formas de alimentación, formas de
reproducción, o métodos de sobrevivencia, colores formas, etc., para
relacionarlas con la matemática y obtener un aprendizaje más divertido e
interesante.
BIBLIOGRAFÍA (TALLER)
ALMEIDA MAURICIO, Matemática Interactiva, Quito segunda edición,
2007.
BUITRÓN HUMBERTO. A, Matemáticas Octavo, Primera Edición
febrero 2012, Quito – Ecuador.
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HORACIO HOLGUÍN, Dominio Décimo, Macrodestrezas, Destrezas
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166
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El delfín una fiera en matemáticas, Acceso 29/03/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05
La increíble historia del loro Alex, Acceso; 04/04/2013;
http://search.alot.com/web?q=la+inceible+historia+del+loro+alex&f=1
&pr=smpl&camp_id=4552&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05-
08T00%3A25%3A24Z&src_id=30869&tb_version=1.1.6000%28G%29
Matemática en las ciencias naturales, Acceso 27/03/2013;
http://search.alot.com/web?q=matemàtica+en+las+ciencias+naturales
&f=1&pr=smpl&camp_id=4552&client_id=d10b386fc5c438f87e38
Animales pueden hacer matemática, Acceso; 27/03/2013;
http://search.alot.com/web?q=los+animales+pueden+hacer+matemáti
ca&f=1&pr=smpl&camp_id=4552&client_id=d10b386fc5c438f87e38f9
02&install_time=2013-05-08T00%3
Peces, Acceso, 12/05/2013,
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05-08T00%3A25%3A24%2B0000&f=1&q=pez&page=2
Sucesión Fibonacci, Acceso 11/04/2013,
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
167
El Pez Matemático, 2008;Acceso; 27/11/2012;
http://www.ojocientifico.com/2008/02/28/el-pez-matematico-los-peces-
mosquito-saben-contar-hasta-cuatro
La motivación en el proceso de enseñanza de la matemática, Acceso
23/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
La Increíble Historia de Alex; Acceso 04/04/2013;
http://www.elmundo.es/elmundo/2008/12/23/ciencia/1230055415.html
Importancia de la matemática en el mundo, Acceso 24/05/2013,
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
=2013-05-08T00%3A25%3A2
WEBGRAFÍA (TALLER GRÁFICOS)
Abejas y geometría, Acceso 27/05/2013;
mages.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1.6000
(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&i
Adición y sustracción de números enteros, Acceso 10/05/2013,
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05-
08T00%3A25%3A24%2B0000&f=1&q=Adici%C3%B3n%20y%20sustr
acci%C3%B3n%20de%20n%C3%BAmeros%20enteros
168
Animales y matemáticas, Acceso 27/05/2013;
mages.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1.6000
(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
Delfines y burbujas, Acceso 20/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=Delfines%
20y%20burbujas
Delfines y matemáticas, Acceso; 08/06/2013;
http://images.alot.com/res?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=
1.1.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_ti
me=2013-0
El loro Alex, Acceso, 03/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
=2013-05-08T
El pez mosquito, Acceso 28/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05
Mariposa, Acceso; 26/06/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
=2013-05-08T00
Números enteros positivos y negativos, Acceso 03/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&in
169
Perímetro de triángulos; Acceso 27/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
Proporcionalidad, Acceso 30/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
=2013-05
170
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2007.
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Electrónica Educación y Sociedad. Año 2. No. 1. enero – marzo 2004.
ISSN 1811 – 9034. RNPS 2073.
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1992. – 2 t.
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mages.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1.6000
(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&i
Adición y sustracción de números enteros, Acceso 10/05/2013,
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05-
08T00%3A25%3A24%2B0000&f=1&q=Adici%C3%B3n%20y%20sustr
acci%C3%B3n%20de%20n%C3%
Animales pueden hacer matemática, Acceso; 27/03/2013;
http://search.alot.com/web?q=los+animales+pueden+hacer+matemáti
ca&f=1&pr=smpl&camp_id=4552&client_id=d10b386fc5c438f87e38f9
02&install_time=2013-05-08T00%3
Animales y matemáticas, Acceso 27/05/2013;
mages.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1.6000
(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
Deficiencia del Aprendizaje; Acceso 13/12/2012;
http://repositorio.utn.edu.ec/bitstream/123456789/434/3/FECYT%2094
0%20TESIS.pdf
Delfines y burbujas, Acceso 20/04/2013,
http://isearch.babylon.com/?s=img&babsrc=HP_ss_gr2&q=Delfines%
20y%20burbujas
Delfines y matemáticas, Acceso; 08/06/2013;
http://images.alot.com/res?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=
173
1.1.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_ti
me=2013-0
El acto didáctico comunicativo,24/09/2012;Acceso 12/12/2012;
http://problematicasfrecuentes.blogspot.com/2010/09/el-acto-
didactico-comunicativo.html
El delfín una fiera en matemáticas, Acceso 29/03/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000%28G%29&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&inst
all_time=2013-05
El loro Alex, Acceso, 03/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
.6000(G)&pr=smpl&client_id=d10b386fc5c438f87e38f902&install_time
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El Pez Matemático, 2008;Acceso; 27/11/2012;
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El pez mosquito, Acceso 28/05/2013;
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Las Abejas Matemáticas, Acceso 28/11/2012;
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Las Hienas saben contar a sus enemigos, Acceso
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Los Tiburones utilizan Matemática durante la caza, Acceso
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Métodos para Resolver Problemas con Jorge Pólya; Acceso
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Nora, Aves Matemáticas; Acceso 04/04/2013;
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Números enteros positivos y negativos, Acceso 03/05/2013;
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Peces, Acceso, 12/05/2013,
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Perímetro de triángulos; Acceso 27/05/2013;
http://images.alot.com/?src_id=30869&camp_id=4552&tb_version=1.1
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Proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, Acceso
23/12/2012; http://www.revistaedusoc.rimed.cu/index.php/91-
artículos/la-evaluación-del-proceso-enseñanza-aprendizaje-de-la-
matemática
Proporcionalidad, Acceso 30/05/2013;
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Reino Animal Educa Red; Acceso 26/11/2012;
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Sucesión Fibonacci, Acceso 11/04/2013,
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178
ANEXOS GUÍA
EL REINO ANIMAL Y LA MATEMÁTICA
OCTAVO - DÉCIMO AÑO E.G.B.
Breve introducción sobre el reino animal y la matemática a octavo año.
Explicación sobre algunas estrategias matemáticas que utilizan algunos
animales a estudiantes de noveno año.
179
Explicación de algunas características de animales que se pueden utilizar
para el aprendizaje de la matemática.
180
ANEXOS TALLER- DOCENTES
EL REINO ANIMAL Y LA MATÉMÁTICA
Introducción sobre el reino animal y la matemática dentro del proceso de
enseñanza aprendizaje.
Ejemplos de habilidades de animales utilizadas dentro de proceso de
enseñanza aprendizaje.
181
Evaluación al personal docente luego de la culminación del taller la
matemática del reino animal en el proceso de enseñanza aprendizaje.
182
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
ENCUESTA PARA ALUMNOS
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Se solicita absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación. 1. ¿Sabías que dentro de la naturaleza hay ciertos animales que usan la matemática dentro de su vida cotidiana? SI NO 2. ¿Te gustaría conocer cómo las matemáticas son usadas por algunos animales que les ayuda a la supervivencia? SI NO 3. ¿De los siguientes animales conoce alguno que haya desarrollado habilidades matemáticas? Abejas delfines Monos perros Ninguno 4. ¿Te gustaría aprender matemáticas que a su vez se encuentre relacionadas con animales? SI NO 5. ¿Con qué ramas de la matemática cree que podemos relacionar a la naturaleza en especial al reino animal? Geometría Lógica Álgebra Estadística Ninguna
183
6. ¿Cree que utilizar una dinámica previa al aprendizaje motive el aprendizaje por la matemática? SI NO 7. ¿Le gustaría que su profesor relacione las matemáticas del reino animal con las ramas de la matemática? SI NO 8. Cree que se pueda insertar al reino animal en el aprendizaje de la matemática? SI NO 9. ¿Cree que al relacionar a la matemática con el reino animal sea más motivador su aprendizaje? SI NO
10. Con cuál de los videos que se presentan a continuación le gustaría
aprender matemáticas relacionada con animales.
Monos y números
Abejas y construcción
Delfines y caza
Conejos y Fibonacci
Ninguno
¡GRACIAS POR SU COLABORACIÓN!
184
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CARRERA: Licenciatura en Ciencias de la Educación
LAS MATEMÁTICAS DEL REINO ANIMAL EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
ENTREVISTA A DOCENTES
INSTRUCCIÓN
A continuación se presenta una serie de ítems para que sean respondidos por usted. Se solicita absoluta sinceridad en sus respuestas, pues de ellas depende el éxito de la investigación.
1. ¿Cree usted que la matemática se relacione con otras ciencias así
como las ciencias naturales y sociales?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
2. ¿Sabía usted que la naturaleza se relaciona con la matemática y que
puede ser un recurso motivador para la enseñanza aprendizaje?
………................................................................................................................
...........................................................................................................................
3. ¿Ha escuchado de animales que usan la matemática dentro de su
vida cotidiana?
…………............................................................................................................
...........................................................................................................................
4. ¿Cree que se pueda insertar al reino animal en el proceso de
enseñanza aprendizaje de la matemática?
….......................................................................................................................
...........................................................................................................................
185
5. ¿Sabías que los tiburones utilizan estrategia matemáticas llamadas
patrón de Lévy y que son utilizadas para cazar alimentos?
…………............................................................................................................
..........................................................................................................................
6. ¿Cree que se pueda utilizar el canto de los pájaros como recurso de
enseñanza en el conteo de números?
…………............................................................................................................
...........................................................................................................................
7. ¿Cree usted que se puede relacionar a la geometría con
características de ciertos animales como la estrella de mar, para
motivar el aprendizaje de la matemática?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
.
8. ¿Cree poder utilizar estrategias de ciertos animales como modelo de
enseñanza aprendizaje dentro del área de matemáticas?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
9. ¿Crees que al relacionar la matemática con el reino animal ayude a
valorar a la matemática dentro de la naturaleza?
…………………………………………………………………………………………
……….……………………………………………………………………………..
10. ¿Como docente se siente responsable de buscar estrategias
diferentes para desarrollar habilidades y destrezas en los alumnos?
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
¡GRACIAS POR SU COLABORACIÓN!
186
