UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL …¡tica... · Problemas de aplica-ción. BIBLIOGRAFÍA Apunte...

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL LA RIOJA

MATEMÁTICA

Lic. Prof. Marcela I. Silva

Año 2012

SEMINARIO DE

FACULTAD REGIONAL LA RIOJA UTN

Seminario de Matemática Prof.Lic. Marcela Silva

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FUNDAMENTACIÓN

El sentido de este curso es favorecer la incorporación del aspirante a la vida universitaria, revisar e integrar los conocimientos matemáticos adquiridos en el nivel medio, apuntando a la nivelación de dichos conocimientos previos, proporcionando herramientas metodológicas que propicien su mejor adecuación, facilitando la transición de la Enseñanza Media a la Educuación Universitaria.

OBJETIVOS:

Comprender los conceptos y forma de razonamiento matemáticos básicos para el estudio de las asignaturas subsiguientes de las carreras de Ingeniería de esta Facultad.

Favorecer el desarrollo del razonamiento deductivo y aplicarlo en la resolución y análisis de problemas en ingeniería.

Relacionar los conceptos de las distintas unidades (epistemológicamente), teniendo en cuenta el crecimiento cronológico de las ciencias exactas y su herramienta principal en las MATEMÁTICAS.

Apropiarse y dominar procedimientos, estrategias y tareas propias del quehacer matemáti-co como son la modelización de situaciones, las prácticas de argumentación basadas en conocimientos matemáticos, la elaboración de conjeturas y de pruebas, la validación de resultados, la generalización y el razonamiento deductivo.

PROGRAMA DE CONTENIDOS CONCEPTUALES

UNIDAD N°1: Conjuntos o campos numéricos. Operaciones hasta números reales. Pro-piedades.

UNIDAD N°2: Expresiones algebraicas. Operaciones con expresiones algebraicas enteras. Factorización.

UNIDAD N°3: Medición de ángulos. Trigonometría. Funciones trigonométricas. Resolución de problemas.

UNIDAD N°4: Relaciones. Funciones. Clasificación. Aplicaciones.

UNIDAD N°5: Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones. Problemas de aplica-ción.

BIBLIOGRAFÍA Apunte del Seminario de Matemática de la Universidad Tecnológica Nacional de la Facul

tad Regional La Rioja.

Matemática de 1° a 5° Año de Nivel Medio de cualquier Autor y Editorial.

Maremáticas I, II y III. Editorial Santillana.

Maremáticas I, II y III. Editorial Puerto de Palos.

www.vitutor.com/ejercicio.html.

www.sectormatematica.cl/educmedia.htm.

www.ematematicas.net/trigonometria.php?a=5



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MODALIDAD DEL CURSO

Clases teóricas y prácticas, se dictarán los días sábado, en el horario de 8.30 a 11.30 hs.

Las autoevaluaciones serán por unidad. ACREDITACIÓN DEL CURSO

Asistencia de un 80%.

Presentación de trabajos prácticos.

Aprobación de dos parciales o sus instancias de recuperación.



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Índice Símbolos matemáticos……………………………………………………………………………………….9

1.Conjuntos numéricos y calculatoria......................................................................................10 1.1. Conjuntos numéricos .............................................................................................................10

1.1.1. Introducción .....................................................................................................................10 1.1.2. Números naturales...........................................................................................................10 1.1.3. Números naturales negativos ..........................................................................................11 1.1.4. Números enteros ..............................................................................................................11 1.1.5. Números fraccionarios .....................................................................................................12 1.1.6. Números racionales..........................................................................................................12 1.1.7. Números irracionales .......................................................................................................13 1.1.8. Números reales ................................................................................................................14 1.1.9. Números complejos ..........................................................................................................14

1.2. Calculatoria............................................................................................................................15 1.2.1. Adición..............................................................................................................................15 1.2.2. Sustracción.......................................................................................................................15 1.2.3. Multiplicación...................................................................................................................15 1.2.4. División ............................................................................................................................16 1.2.5. Potenciación .....................................................................................................................17 1.2.6. Radicación ........................................................................................................................18

1.2.6.1. Suma y resta de radicales...........................................................................................19 1.2.6.2. Reducción de radicales a común índice ......................................................................19 1.2.6.3. Simplificación de radicales .........................................................................................20 1.2.6.4. Multiplicación de radicales.........................................................................................20 1.2.6.5. División de radicales...................................................................................................20 1.2.6.6. Extracción de factores de un radical...........................................................................20 1.2.6.7. Introducción de factores dentro del radical ................................................................20 1.2.6.8. Raíces como potencias de exponente fraccionario ......................................................20 1.2.6.9. Racionalización de denominadores.............................................................................21

1.2.7. Logaritmación ..................................................................................................................21 1.3. Ejercicios de aplicación ..........................................................................................................23

2. Expresiones algebraicas .........................................................................................................27 2.1. Introducción ...........................................................................................................................27 2.2. Clasificación de las expresiones algebraicas..........................................................................27

2.2.1. Monomios .........................................................................................................................28 2.2.2. Polinomios........................................................................................................................28

2.2.2.1. Polinomio ordenado ....................................................................................................29 2.2.2.2. Polinomio completo.....................................................................................................29 2.2.2.3. Forma de general de expresar los polinomios ............................................................29 2.2.2.4. Polinomios idénticos ...................................................................................................29 2.2.2.5. Polinomios opuestos....................................................................................................30 2.2.2.6. Polinomio normalizado ...............................................................................................30 2.2.2.7. Valor numérico de un polinomio.................................................................................30

2.3. Operaciones entre expresiones algebraicas enteras ..............................................................30 2.3.1. Suma de monomios ..........................................................................................................30 2.3.2. Suma de polinomios .........................................................................................................31 2.3.3. Resta de monomios...........................................................................................................31 2.3.4. Resta de polinomios..........................................................................................................31 2.3.5. Producto de monomios .....................................................................................................32 2.3.6. Producto de polinomios ....................................................................................................32 2.3.7. Cociente de monomios......................................................................................................32 2.3.8. Cociente de polinomios.....................................................................................................32 2.3.9. Regla de Ruffini................................................................................................................33 2.3.10. Teorema del resto...........................................................................................................35

2.4. Factoreo de expresiones algebraicas......................................................................................35



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2.4.1. Primer caso: Factor común...............................................................................................35 2.4.2. Segundo caso: Factor común por grupos ..........................................................................36 2.4.3. Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto .........................................................................36 2.4.4. Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto ..........................................................................37 2.4.5. Quinto caso: Diferencia de cuadrados ..............................................................................38 2.4.6. Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado..............................................38

2.4.6.1. Suma de dos potencias de igual grado........................................................................38 2.4.6.2. Diferencia de potencia de igual grado ........................................................................39

2.4.7. Descomposición factorial de un polinomio .......................................................................39 2.5. Ejercicios de aplicación ..........................................................................................................41 3. Trigonometría ...........................................................................................................................45 3.1. Introducción ...........................................................................................................................45 3.2. Sistemas de medición de ángulos...........................................................................................46

3.2.1. Sistema sexagesimal ........................................................................................................47 3.2.2. Sistema circular ...............................................................................................................47 3.2.3. Sistema centesimal ..........................................................................................................48

3.3. Razones trigonométricas........................................................................................................48 3.3.1. Seno de un ángulo agudo..................................................................................................49 3.3.2. Coseno de un ángulo agudo..............................................................................................49 3.3.3. Tangente de un ángulo agudo ..........................................................................................49 3.3.4. Cotangente de un ángulo agudo.......................................................................................49 3.3.5. Secante de un ángulo agudo.............................................................................................50 3.3.6. Cosecante de un ángulo agudo.........................................................................................50 3.3.7. Cómo utilizar la calculadora ............................................................................................50 3.3.8. Identidades trigonométricas ............................................................................................51

3.4. Resolución de triángulos........................................................................................................52 3.4.1. Teorema de Pitágoras.......................................................................................................52 3.4.2. Teorema del seno..............................................................................................................52 3.4.3. Teorema del coseno ..........................................................................................................53 3.4.4. Ángulos internos de un triángulo.....................................................................................53 3.4.5. Área de un triángulo ........................................................................................................53

3.5. Ejercicios de aplicación ..........................................................................................................54

4. Relaciones y funciones............................................................................................................57 4.1. Introducción ...........................................................................................................................57 4.2. Relaciones ..............................................................................................................................57

4.2.1. Dominio y recorrido de una relación ................................................................................58 4.2.2. Relaciones funcionales .....................................................................................................58 4.2.3. Clasificación de funciones ................................................................................................59

4.3. Estudio de funciones ..............................................................................................................60 4.3.1. Función lineal...................................................................................................................61 4.3.2. Función cuadrática...........................................................................................................62 4.3.3. Función racional...............................................................................................................63 4.3.4. Función exponencial.........................................................................................................63 4.3.5. Función logarítmica .........................................................................................................64 4.3.6. Funciones trigonométricas...............................................................................................65

4.4. Ejercicios de aplicación ..........................................................................................................67

5. Ecuaciones.................................................................................................................................71 5.1. Introducción ...........................................................................................................................71 5.2. Ecuaciones en una variable ...................................................................................................71

5.2.1. Ecuación lineal con una incógnita....................................................................................71 5.2.2. Ecuación de segundo grado en una variable ....................................................................72

5.3. Sistemas de ecuaciones lineales.............................................................................................74 5.3.1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ..................................................75 5.3.2. Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.......................................76

5.3.2.1. Método de sustitución.................................................................................................76 5.3.2.2. Método de igualación..................................................................................................77



8

5.3.2.3. Método de reducción por suma y resta o de eliminación gaussiana...........................77 5.3.2.4. Método de los determinantes......................................................................................78

5.4. Inecuaciones...........................................................................................................................79 5.5. Interpretación geométrica de las ecuaciones…………………………………………………...….79 5.5.1 Ecuaciones de segundo grado..............................................................................................75 5.5.2. Sistemas de 2 Ecuaciones con 2 incógnitas. …………….……………………………………… 75 5.6. Ejercicios de aplicación ..........................................................................................................81

6. Autoevaluaciones 6.1 Unidad Nº 1 …….…………………………………….…………………….…………………...…….. .83 6.2 Unidad Nº 2.……..…………………………………………………………………………………...... 84 6.3 Unidad Nº 3 ………………………………………..……………………………………………….……85 6.4 Unidad Nº 4 ……………………………………..………………………………………………….……86 6.5 Unidad Nº 5 …………………………………………..…………………………………………….……87



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Símbolos Matemáticos

vacíoConjuntoIncrementoSumatoriaverificaSe

toloPorqueTalInfinitosisoloySi

ciónInterplicaUnióntodoPara

existeNoaIncluyeExisteAngulo

perteneceNoaparaleloEsPertenecealarperpendicuEs

aproximadoEsqueigualomayorEsaeequivalentEsqueigualomenorEs

aigualesNoquemayorEsaigualEsquemenorEs

:tan/

secIm

//



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1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Y CALCULATORIA 1.1. Conjuntos numéricos

1.1.1 Introducción La matemática, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica. La matemática es casi tan antigua como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámi-ca, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. Un aspecto interesante es el caso de los feni-cios, que utilizando ambas manos, podían contar hasta 60 (ver figura 1.1): todos los dedos de la mano (a excepción del pulgar) están compuestos por tres falanges, es decir, cada dedo «está dividido en tres». Como cada dedo «vale 3», y hay 4 dedos con tres falanges cada uno, con la ayuda del dedo pulgar pueden contarse hasta 12 falanges en una sola mano, por ejemplo la izquierda; cuando no que-dan falanges por contar, se levanta un dedo de la mano derecha. Como hay 5 dedos en la mano dere-cha y cada uno «vale» 12 falanges, puede contarse así, hasta 60.

La única finalidad de exponer esta curiosidad, es la de ver cómo ha ido desarrollándose la matemáti-ca, a medida que era necesario. Los primeros cálculos eran muy simples, ya que sólo se requería saber contar. Los números se agrupan en conjuntos. Cada conjunto está perfectamente definido y posee caracte-rísticas que les son propias. Hay 8 conjuntos numéricos, y a continuación, estudiaremos cada uno de ellos.

1.1.2 Números naturales Los número naturales (identificados con la letra N) aparecen con la necesidad del hombre de contar, y con ellos la suma. Pueden ser representados en una semirrecta del siguiente modo:

El conjunto N de los números naturales, no contiene al cero y su primer elemento es el 1. Podemos indicar al conjunto de los números naturales de la siguiente manera: { }1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...N = (1.1) Los números naturales se interpretan como «algo a favor»; se utilizan para cuantificar lo que tenemos. Cuando «no tenemos nada» en matemática utilizamos el número cero. Para incluir al cero dentro de los números naturales, definimos al conjunto N0 como: { }0 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...N = (1.2)

1 2 4 3 6 5 7 Infinito

Figura 1.2 Representación de los números naturales.

Falanges

Figura 1.1 Mano izquierda.



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Algunas propiedades de los números naturales son las siguientes:

El conjunto N es un conjunto infinito, porque siempre se puede hallar el siguiente de un número natural por grande que este sea, sumándole 1. El conjunto N tiene al número 1 como primer elemento. El conjunto N0 tiene al número 0 como primer elemento. En el conjunto N, entre un número y su siguiente no hay ningún número natural.

1.1.3 Números naturales negativos Los números naturales negativos aparecen con el trueque. Estos números son representados de la misma manera que los números naturales, pero anteponiendo el signo «menos». Se interpretan como una deuda, o bien, como el resultado contrario al que se había supuesto en un principio. Los números naturales negativos también pueden representarse en una semirrecta de manera similar a los núme-ros naturales, tal como se muestra en la figura 1.3.

Los números negativos no presentan mayor dificultad que los números naturales, salvo que no debe-mos confundirnos sobre «qué número negativo es más grande que otro». Por ejemplo, en los números naturales el 4 es «más grande» que el 1 y no tenemos ninguna duda. Pero en los números negativos, el –1 es «más grande» que el –4 y la respuesta es simple: como los números negativos representan una deuda (no tan solo algo que no tenemos sino además, algo que debemos) es preferible «deber poco» a «deber mucho». Si debemos $1 vamos a tener más dinero que si debemos $4, por eso deci-mos que el –1 es «más grande» que el –4. Para comenzar a hablar con propiedad, cuando un número es «más grande» que otro, decimos que es mayor, y cuando es «más chico» decimos que es menor. Para escribir mayor utilizamos el símbolo > y para escribir menor, utilizamos el símbolo <. Así tenemos entonces:

4 1 (4 mayor que 1)

3 10 (3 menor que 10)

10 2 ( 10 menor que 2)

>

<

- < - - -

(1.3)

Cuando dibujamos la recta numérica, los números mayores van siempre a la derecha. Por eso, en la figura 1.2 el 5 está a la derecha del 4, el 3 a la derecha del 2, etcétera. Igualmente, en la figura 1.3, el –1 está a la derecha del –2, el –3 está la derecha del –4, etcétera. Como vemos, el número –1 es el «mayor» de los números naturales negativos. Representamos al conjunto de los números naturales negativos como: { }Nat u rales Negat ivos ... 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1= - - - - - - - (1.4)

1.1.4 Números enteros El conjunto de los números enteros (que vamos a designar con la letra Z) es la unión de los números naturales (N), el cero, y los números naturales negativos, es decir: { }... 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7...Z = - - - - - - - (1.5) En este conjunto son posibles las operaciones de suma, resta, multiplicación y la división sólo es posi-ble sí el dividendo es múltiplo del divisor (cociente exacto). La adición, la sustracción y la multiplicación de números enteros siempre tienen soluciones en Z, es decir, son operaciones cerradas en Z. Esto quiere decir que si sumamos dos números enteros, el re-sultado va a ser otro número entero. Los números enteros se representan en una recta numérica de la manera siguiente:

–Infinito

Figura 1.4 Representación de los números enteros.

–7 –6 –4 –5 –2 –3 –1 0 1 2 3 4 5 6 Infinito

–Infinito

Figura 1.3 Representación de los números naturales negativos.

–7 –6 –4 –5 –2 –3 –1



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Nuevamente, los números mayores van siempre a la derecha, de lo que podemos obtener una impor-tante conclusión: el cero es mayor que todos los negativos (es preferible no tener nada a tener cual-quier deuda). Algunas propiedades de los números enteros son las siguientes:

Z es un conjunto infinito. Cada número entero tiene un único antecesor y un único sucesor. Entre dos números enteros existe un conjunto finito de números enteros: Z es un conjunto discreto. Cada número entero le podemos hacer corresponder un único punto en la recta numérica, es decir, hay una función de Z en el conjunto de puntos de la recta.

1.1.5 Números fraccionarios Los números fraccionarios aparecen cuando tenemos en cuenta «un número entero y parte de otro», o bien «sólo una parte o porción de un número entero». Los números fraccionarios aparecen cuando la división no es exacta. Por ejemplo, si dividimos 1 en 2, el resultado es 0,5. El 0,5 es un número que está entre el 0 y el 1. Un número fraccionario queda representado por un par ordenado, con la condición de que el segundo número no sea cero. Un par ordenado son dos números que tienen un orden establecido; para noso-tros ese orden es tal, que el primer elemento del par es el número que queremos dividir (el 1) y el se-gundo elemento es el número por el cual vamos a dividirlo (el 2). Así, el número fraccionario 0,5 queda representado por el par ordenado (1; 2). Como esta forma es un poco «incómoda» para trabajar, lo escribimos así:

1(1;2)2

= (1.6)

Al «número de arriba» lo llamamos numerador, y al número de abajo, denominador. Una fracción, representa entonces, una división, en la cual el numerador es dividido por el denominador. Podemos tener cualquier numerador, pero el denominador no puede ser cero (haga la prueba: escriba en la calculadora 4 dividido 0 y vea qué ocurre).

Cualquier número entero puede obtenerse como resultado de un número fraccionario. Por ejemplo 8.2

Como el 8 se divide en el 2, el resultado es 4, es decir: 8 4.2

= ¿Qué ocurre cuando el denominador es

1? Sabemos que al dividir cualquier número en 1, el resultado es el mismo número, por ejemplo:

6 : 1 6 .= Si lo escribimos como fracción: 6 6.1

= Esto es muy importante: cualquier número siempre

tiene denominador 1, aunque no lo escribamos. Esta propiedad nos va a ayudar a resolver ejercicios con fracciones. Los números fraccionarios pueden ser expresados como fracción (½ por ejemplo) o como número decimal (0,5 que es igual a ½, por ejemplo). Pero veamos lo que ocurre cuando intentamos dividir 1 en 3. El resultado es 0,33333333333333333333333… nunca terminaríamos la división. Cuando un grupo de números distinto de cero se repite indefinidamente después de la coma en un número decimal, decimos que éste es periódico. Las cifras periódicas se representan tildadas con un arco, de la forma siguiente (Siempre marcamos con el arco únicamente las cifras que se repiten.) 415101514440720272703033330

,..,,...,,..., (1.7)

1.1.6 Números racionales El conjunto de números racionales (que vamos a indicar con Q) resulta de la unión del conjunto de números enteros (Z) y de los números fraccionarios. Es decir, el conjunto Q contiene a todos los con-juntos anteriores. Así, el 9 es un número racional, al igual que ½. Algunas propiedades del conjunto Q son las siguientes:

Q es un conjunto infinito. Entre dos números racionales existe un conjunto de infinitos números racionales: Q es un conjunto denso. A cada numero racional le podemos hacer corresponder un único punto en la recta numérica, es decir, que hay una función de Q en el conjunto de puntos de la recta.



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En la práctica, es más fácil trabajar con fracciones que trabajar con decimales. Además, trabajar con fracciones es un método exacto, mientras que con los decimales, al tener que redondear o truncar, perdemos exactitud. Para transformar un decimal no periódico a una fracción, escribimos todo el número (sin coma) como numerador; el denominador será un 1 con tantos ceros como cifras tenga el número después de la coma. Por ejemplo, el número 25,68 puede ser transformado como fracción de la forma siguiente:

2538 126925, 38100 50

= = (1.8)

Si dividimos 1269 en 50 nos vuelve a dar 25,38. Los números periódicos también pueden convertirse en fracción de forma similar. En estos casos, escribimos en el numerador el número sin comas; a este número, le restamos las cifras no periódicas. En el denominador, escribimos tantos nueves como ci-fras periódicas existan, y tantos ceros como cifras no periódicas existan después de la coma. De esta manera, el número 32113

, puede convertirse a fracción de la forma siguiente:

495

6496990

12992990

1311312332113

, (1.9)

Si dividimos 6496 en 495 nos vuelve a dar 13,12323232323… De todo esto podemos deducir que, todo número racional puede ser expresado como el cociente de dos números naturales, es de-cir, todo número racional puede expresarse como fracción.

1.1.7 Números irracionales Los números irracionales son un conjunto de números muy importantes para la ingeniería. Los prime-ros en descubrir los números irracionales fueron los griegos, cuando se toparon con el siguiente pro-blema. Cuando estudiaban la circunferencia, querían determinar cuántas veces mayor era el perímetro al diámetro (ver figura). Entonces, construyeron una circunferencia con una cuerda y luego la cortaron. Después, estiraron la cuerda y midieron su longitud (que es el perímetro de la circunferencia). Siempre que ellos dividían el perímetro en el diámetro les daba el mismo número: 3,141592654… (Esto significa que el perímetro de una circunferencia es tres veces el diámetro más la cantidad x mostrada en la figura.)

Cuerda que rodea la circunferencia de diámetro D

Cuerda estirada de longitud L que se fracciona en D

Figura 1.5 Origen del número Al hacer el cociente entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, siempre se obtiene el mis-mo resultado o constante y es un número decimal con diferentes (no periódico) e infinitos dígitos en la parte decimal. A este número en particular (3,141592654…) se lo llamó (pi, que es la letra «p» en el alfabeto griego).



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Un número como éste, donde las cifras decimales jamás se repiten, y la división no puede terminarse con exactitud, es un número irracional, es decir, que no pertenece al conjunto de los números racio-nales. Los números irracionales no pueden convertirse en fracción, y generalmente se los designa con una letra (como al número ) o mediante la operación matemática que los produce. Los siguientes, son ejemplos de números irracionales:

....,

,

.....,

5971828182842e41421356212

1415926543

(1.10)

(El número e es la base de los logaritmos neperianos o naturales, que veremos más adelante.)

1.1.8 Números reales El conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los números racionales (Q) y el con-junto de los números irracionales. Es decir, el conjunto de los reales (que vamos a designar con R) abarca a todos los conjuntos anteriores. Es con este conjunto numérico con el cual vamos a trabajar. Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. Cualquier número puede ser ubicado en la recta real ¡aún un número irracional! La adición, la sustracción, la multiplicación y la divi-sión entre números reales, siempre dan como resultado otro número real. Algunas propiedades del conjunto R son las siguientes:

R es un conjunto infinito. R es un conjunto denso. A cada número real le corresponde un único punto en la recta, y a todo punto de la recta le corresponde un número real.

El conjunto de los números reales puede representarse de la manera siguiente:

1.1.9 Números complejos Los números complejos completan los conjuntos numéricos. Se denominan así, por que están com-puestos de una parte real (es decir, un número real) y una parte imaginaria. Existen como respuestas a ecuaciones matemáticas y son de gran utilidad en el estudio de circuitos eléctricos. Los números complejos requieren de matemática avanzada para su manejo y no serán estudiados en este semina-rio. A diferencia de los números reales, que se pueden representar en una recta, los números complejos se representan en un plano, mediante un vector (segmento que tiene una dirección determinada, con un sentido determinado). No existe ningún número real que verifique a Se define así pues que i es un número imaginario tal que 1i1i 2

Naturales (N)

Cero (0) Naturales negativos

Enteros (Z)

Fraccionarios

Racionales (Q)

Irracionales

Reales (R)

Figura 1.6 Conformación de los conjuntos numéricos.



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1.2. Calculatoria Estudiaremos a continuación, todas las operaciones matemáticas que pueden realizarse con los nú-meros reales. Cada una de estas operaciones responde a una necesidad en particular, y con gran frecuencia, están combinadas. Cada operación matemática tiene sus propiedades y debe ser resuelta mediante reglas, las cuales, no son arbitrarias sino que responden a una lógica. En general, podemos seguir diferentes caminos para resolver ciertos cálculos, y siempre llegaremos al mismo resultado.

1.2.1 Adición La adición o suma es el resultado de añadir números de igual signo. Un ejemplo de suma es: 3 + 4 + 2 + 1 = 10 (1.11) También es un ejemplo de suma: – 3 – 4 – 2 – 1 = - 10 (1.12) Estaremos en presencia de una suma, cuando todos los elementos tienen el mismo signo. La suma goza de propiedad conmutativa y propiedad asociativa. La propiedad conmutativa implica que po-demos conmutar («cambiar de lugar») los elementos sin que varíe el resultado: 3 + 4 + 2 + 1 = 1 + 3 + 2 + 4 = 10 (1.13) La propiedad asociativa implica que los elementos pueden asociarse en grupos y sumarse en forma parcial, sin que el resultado varíe: 3 + 4 + 2 + 1 = ( 3 + 4 ) + ( 2 + 1 ) = 7 + 3 = 10 (1.14)

1.2.2 Sustracción La sustracción o resta es la suma de números de diferente signo. Por ejemplo: 10 – 4 = 6 (1.15) En este caso, al 10 le estamos sumando –4. Como la resta es en realidad una suma, goza de las mismas propiedades, sólo que debemos tener mucho cuidado con los signos: el signo del 10 es «+» y el signo del 4 es «--», cuando cambiemos de lugar el 10 y el 4 debemos cambiarlos con su propio signo. Así, aplicando la propiedad conmutativa resulta: 10 – 4 = - 4 + 10 = 6 (1.16) Un ejemplo de la propiedad asociativa en la resta es el siguiente: 10 – 4 + 2 – 7 = (10 + 2) + (- 4 – 7 ) = 12 – 11 = 1 (1.17) O bien: 10 – 4 + 2 – 7 = (10 - 4) + (2 – 7 ) = 6 – 5 = 1 (1.18)

1.2.3 Multiplicación La multiplicación goza de las mismas propiedades de la suma. Un ejemplo de la propiedad conmutati-va es el siguiente: 2 x 3 = 3 x 2 = 6 (1.19) También se verifica en la multiplicación, la propiedad asociativa: 3 x 2 x 4 = ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 ) = 24 (1.20) En cuanto a la simbología, es muy frecuente reemplazar el símbolo “x” por el símbolo “·” o bien, omitir-lo por completo, por ejemplo: 3 ( 2 . 4) = 24 (1.21) Cada uno de los números que se están multiplicando se denomina factor. El signo de los factores de-be analizarse con cuidado. El caso más simple, es cuando todos los factores son positivos. Este tipo de multiplicación representa una ganancia. Analicemos los signos con ejemplos sencillos: 1) Todos los signos positivos. Esto representa una ganancia. Por ejemplo, si tenemos 10 tanques, y cada tanque tiene una capacidad de 1.000 litros, hemos ganado una capacidad de almacenaje total de 10 x 1000 =10.000 litros. 2) Un signo positivo y un signo negativo. Esto representa una pérdida. Por ejemplo, si tenemos 10 acreedores, y a cada uno le debemos $1.000, tendremos una deuda total $10.000. Como las deudas se representan con números negativos, la operación será: 10 . (-1.000)= - 10.000 (1.22) Utilizamos los paréntesis para no escribir dos signos consecutivos (el + y el - ).



16

3) Dos signos negativos. Esto representa una ganancia. Por ejemplo, si 2 bombas hidráulicas salen de servicio (perdemos 2 bombas) y cada bomba consumía una potencia de 10.000 W, habremos de-jado de consumir 20.000 W, es decir, habremos ganado 20.000 W. La operación será: (-2) . (-10.000) = 20.000 (1.23) En la multiplicación, los signos siempre se analizan de a pares, y según lo indicado anteriormente, la regla de los signos puede expresarse de la manera siguiente: “si los factores tienen signos iguales, el producto será positivo; si los factores tienen signos diferentes, el producto será negativo”. La multiplicación también goza de la propiedad distributiva respecto de la suma y de la resta. Conside-remos, por ejemplo, el siguiente cálculo: ( 2 + 3 ) . ( 5 – 1 ) = 5 . 4 = 20 (1.24) Otra forma de resolver el mismo cálculo es multiplicando cada término de uno de los paréntesis, por todos los términos del segundo paréntesis, respetando siempre, la regla de los signos:

20315210

135312521532

..... (1.25)

Esta propiedad se basa en distribuir a todos los términos de uno de los paréntesis, todos los términos del otro. Siempre que resolvamos cálculos como éste, debemos tener en cuenta la separación de tér-minos, como se indica en la expresión (1.25).

1.2.4 División Existen diferentes formas de expresar una división. La forma clásica, por ejemplo, para indicar que 4 está dividido por 2 es 4÷2. También podemos indicar esta división como 4:2, pero quizás la forma más conveniente de expresar una división sea en forma de fracción. Tenemos pues:

2242424 : (1.26)

Los elementos de una división son los siguientes: (1.27) Siempre debe verificarse: Dividendo = Cociente . Divisor + Resto (1.28) Por ejemplo: (1.29) De forma que: 7 = 2 . 3 +1 (1.30) El resultado exacto de esta división es 3,5. Si transformamos este valor en fracción:

35 73,510 2

= = (1.31)

Por un camino diferente, podemos comprobar una vez más, que una división puede expresarse como una fracción. Ahora vamos a transformar esta división en una multiplicación, aprovechando la forma en la que operamos con fracciones:

21

17

27 .

(1.32) De esta manera, cualquier división puede ser expresada como:

Dividendo 1Dividendo : Divisor

1 Divisor= ´ (1.33)

Dividendo Divisor Resto Cociente

7 2 1 3



17

Como hemos transformado una división en una multiplicación, podemos concluir que todas las pro-piedades aplicables a la multiplicación, son también, aplicables a la división. La división goza enton-ces, de propiedad conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y de la resta. La regla de los signos se aplica exactamente igual que en la multiplicación. A continuación vemos un ejemplo: 4282412 (1.34) Aplicando las propiedades vistas:

424

212

21

14

21

112

21

14122412

... (1.35)

Las propiedades de las cuatro operaciones fundamentales resultan muy útiles en operaciones alge-braicas, en las cuales trabajamos con letras en vez de números. Al aplicar las propiedades, podemos simplificar considerablemente una expresión originalmente compleja.

1.2.5 Potenciación Se llama potencia enésima de un número «a» al producto de n factores iguales a «a»: aaaan ....... ( n veces) (1.36) Así, por ejemplo, si tenemos 23 significa que tenemos que multiplicar al 2, 3 veces por sí mismo, es decir: 822223 .. Al número que escribimos «abajo» lo llamamos base y al número que escri-bimos arriba lo llamamos exponente. Así, a es la base y n el exponente en la expresión (1.36). Las propiedades de la potenciación son: 1) Cualquier número elevado a la potencia 1 da como resultado el mismo número. Por ejemplo:

53

5333aa

111

(1.37)

2) La potencia es distributiva respecto del producto y del cociente: nnn baba ..

1441243tambiéno1441694343 22222 .... 4224tambiéno44162424 22222 :::: (1.38)

3) La potencia no es distributiva respecto de la suma o la resta: nnn baba

INCORRECTOesEsto251694343

CORRECTOesEsto49743222

22

(1.39)

4) El producto de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas: mnmn aaa .

4329432 aaaaaaaaaaaaaa .......... (1.40) 5) El cociente de potencias de igual base es otra potencia que tiene la misma base que las dadas, y cuyo exponente es la resta de los exponentes dados: mnmn aaa :

3523

535 aaaa

aaaaaaaa

aaaa

.

......: (1.41)

6) Todo número distinto de cero elevado a una potencia negativa, es igual a la potencia positiva de su recíproco.

Por ejemplo: nn

ab

ba

(1.42)

7) Todo número distinto de cero, elevado a la potencia cero, da por resultado 1



18

1aaa

aaaaa1a

n

n0

nn0

nn0

0

. (1.43)

8) La potencia de otra potencia da como resultado la misma base, elevada a un exponente que resulta de multiplicar los exponentes dados: mnmn aa .)( (1.44) En la potenciación también debemos tener en cuenta los signos. El signo del resultado también puede verse afectado por la paridad del exponente. Tenemos los cuatro casos posibles: a) Potencia de exponente par y base positiva. Por ejemplo 22. Si escribimos los signos + tenemos: ( +2 )2 = (+2) . (+2) = +4 (1.45) Si la base es positiva y el exponente es par, el resultado es positivo. b) Potencia de exponente par y base negativa. Por ejemplo (-2)2: ( -2 )2 = (-2) . (-2) = +4 (1.46) Si la base es negativa, pero el exponente es par, el resultado también es positivo. c) Potencia de exponente impar y base positiva. Por ejemplo 23: ( +2 )3 = (+2) . (+2) . (+2)= +8 (1.47) Si la base es positiva y el exponente es impar, el resultado es positivo. d) Potencia de exponente impar y base negativa. Por ejemplo (-2)3: ( -2 )3 = (-2) . (-2) . (-2)= - 8 (1.48) Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo. De estos ejemplos podemos deducir fácilmente que si el exponente es PAR, el resultado será SIEMPRE positivo, pero si es impar el signo del resultado será igual al signo de la base. Debemos tener cuidado con lo siguiente:

252555 22

(1.49)

1.2.6 Radicación Se llama raíz enésima de un número «a» a otro número «b», tal que «b» elevado a la potencia enési-ma dé por resultado el número «a», es decir:

abba nn (1.50) Dicho de una manera más sencilla, la radicación es una de las operaciónes recíproca de la potencia-ción. Los elementos de la radicación son los siguientes: raizRadicandoíndice Ejemplos:

4242248228322232 223355 (1.51) Observe que, nuevamente, la paridad (en este caso del índice) influye en el signo del resultado. Si el índice es impar, el signo de la raíz será igual al signo del radicando. Si el índice es par, el radicando debe ser cero o un número positivo. Por ejemplo, si tendríamos 4 16 no existe ningún número real que cumpla x4= -16 y además (+2)4=+16 y también es (-2)4=+16. Decimos entonces, que en estos casos, no existe la raíz real: Como ya habíamos expuesto, para solucionar estos inconvenientes se han desarrollado los números imaginarios que junto a los reales conforman los números complejos. A partir de la definición.

bia1a1a

1ii1 2

...

(1.52)

Estas raíces son imaginarias. Y serán de estudio posterior.



19

A pesar de que las raíces de índice par y radicando positivo admiten dos resultados (uno positivo y otro negativo), generalmente adoptamos en los cálculos el valor positivo. A este valor se lo denomina raíz aritmética o valor aritmético de una raíz. La radicación goza de las siguientes propiedades

1) No existen raíces de índice cero. 2) La raíz de índice 1 es igual al radicando. 3) La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente:

nnnnnn babababa ::.. (1.53) 4) La radicación NO es distributiva respecto de la suma ni de la resta:

nnn baba (1.54) 5) La raíz enésima de la raíz emésima de un número, es igual a la raíz de índice nxm de ese número:

mnn m aa . (1.55) 6) La raíz no se altera si se multiplican el índice de la misma y el exponente del radicando por un mismo nú-mero.

kn kmn m aa .. . (1.56) 7) Se dice que dos o más radicales son semejantes, cuando las raíces tienen el mismo índice y el mismo ra-dicando, independientemente del número que las preceda.

yxayax nn ,; (1.57) Aplicando las diferentes propiedades de la radicación, los cálculos con radicales pueden simplificarse enormemente. En muchos casos, la única opción de cálculo es la aplicación de las propiedades. Las operaciones con radicales que se detallan a continuación derivan de las propiedades vistas.

1.2.6.1 Suma y resta de radicales Para que sea posible la suma y la resta los radicales deben ser semejantes, es decir, las raíces deben tener igual índice e igual radicando. Cuando esto ocurre, el resultado se obtiene sumando o restando los factores que preceden a dichas raíces, por ejemplo:

33333 x25x

451

41x

45xx

41

(1.58)

Cuando no se pueden reducir a radicales semejantes la operación no se realiza, solo queda indicada. z2y2x3z2y3x2y5x 333 (1.59)

1.2.6.2 Reducción de radicales a común índice Reducir dos o más radicales a común índice es encontrar otros tantos radicales que tengan todos el mismo índice, y sean respectivamente iguales a los dados. El índice común es el mínimo común múl-tiplo de los índices dados. Por ejemplo:

3 246 5 x2a ;; (1.60) Los índices son 6, 4 y 3. Para hallar el mínimo común múltiplo, descomponemos factorialmente a los índices, de la manera siguiente:

2243263

13

22

124

32

136

. (1.61)

El mínimo común múltiplo se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes siempre con el mayor exponente. En este caso, resulta 12322 . Este 12 será el índice de las nuevas raíces. El radicando se elevará a un exponente que resultará de dividir el nuevo índice de la raíz (12, en este caso) en el índice de la raíz original. Es decir:

12 312

2124

1212 6

1253 246 5 x2ax2a ;;;; (1.62)

Simplificando las fracciones y resolviendo:



20

12 81212 1012 4212 312 25 x8ax2a ;;;; (1.63) Ahora, todas las raíces tienen el mismo índice (12).

1.2.6.3 Simplificación de radicales Simplificar un radical es encontrar otro radical de igual valor pero de menor índice. Para simplificar una raíz se dividen el índice y el exponente del radicando por el mismo número. Por ejemplo:

5555625 224 244 44 : : (1.64)

1.2.6.4 Multiplicación de radicales Para poder efectuar la multiplicación de dos o más radicales, éstos deben tener igual índice. Cuando esto ocurre, la multiplicación resulta de aplicar la propiedad recíproca de la distributiva (se introducen todos los factores dentro de un mismo signo radical y se multiplican). Por ejemplo: 3333 ba2ba2 .... (1.65) Cuando las raíces no tienen el mismo índice, se las reduce a un índice común. Una vez que todas las raíces poseen el mismo índice, se procede como se explicó anteriormente. Por ejemplo:

12 101512 6312 4124 23 3 yxyxyxyxyx ... (1.66)

1.2.6.5 División de radicales Siendo la división la operación inversa de la multiplicación, las consideraciones anteriores son análo-gas:

66 25

6 363

6 252

2

xy27a3

byxa3

yx3b

yxba6

yx3a2 (1.67)

1.2.6.6 Extracción de factores de un radical Los factores pueden extraerse fuera del signo radical aplicando la propiedad distributiva:

4 334 24 34 124 64 44 31264 zkyyxzkyxzkyx ....... (1.68) Los factores que figuran en el radicando con un exponente de valor absoluto mayor o igual al índice, pueden extraerse fuera del radical, con un exponente del radicando y el índice de la raíz, y queda de-ntro de la raíz con un exponente igual al resto de la división.

333 333 4 xxxxxxxxx ...... (1.69) Para evitar estos pasos, simplemente dividimos el exponente del radicando en el índice de la raíz. El cociente (resultado de la división) será el exponente del factor fuera de la raíz, y el resto de la división, será el exponente del factor dentro de la raíz. Por ejemplo:

323 7 xxx . (1.70)

1.2.6.7 Introducción de factores dentro del radical Para introducir un factor dentro de un radical se escribe dicho factor con un exponente igual al produc-to del exponente que tenía fuera del radical por el índice de la raíz.

abx4babx2babx2 9686243 ........... (1.71) Si dentro de la raíz se encontrara el mismo exponente (para una base dada), dichos exponentes se suman (es lo que ocurre con los exponentes de b).

1.2.6.8 Raíces como potencias de exponente fraccionario

x22x2

2

aaa

aa.

2

1

aa1x2 .



21

Toda raíz puede ser transformada en una potencia de exponente fraccionario, donde el numerador, es el exponente del radicando y el denominador, es el índice de la raíz. Por ejemplo:

85

12

5 8t t

a a

=

= (1.72)

1.2.6.9 Racionalización de denominadores Dada una fracción en cuyo denominador hay una raíz, racionalizar el denominador es encontrar otra fracción equivalente a la dada en cuyo denominador no figure la raíz. Por ejemplo:

.....,. 12132034422

2322

23

23

(1.73)

Existen dos casos que pueden presentarse a la hora de racionalizar los denominadores. a) El denominador es un único radical. En este caso, para eliminar la raíz, se multiplica numerador y

denominador por una raíz del mismo índice que la dada, pero el radicando estará elevado a un exponente que resulta de la diferencia entre el índice de la raíz, y el exponente del radicando da-do. Por ejemplo:

xxa

xxa

xx

xa

xa 5 4

5 5

5 4

5 4

5 4

55

... (1.74)

b) El denominador es un binomio con un término racional y otro irracional cuadrático, o con ambos

términos irracionales cuadráticos. En estos casos, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador (el conjugado de un binomio es el mismo binomio dado, pero con el signo del segundo miembro invertido). Por ejemplo:

3a3a7

3a

3a73a3a

3a7

3a7

222

...

(1.75)

Es importante que en este caso, no existan raíces con índice superior a 2, es decir, sólo pueden existir raíces cuadradas.

1.2.7 Logaritmación Si a y b son dos números reales positivos, siendo b ≠ 1, existe un único número x tal que: abxa x

b log (1.76) Este número x se llama logaritmo en base b del número a. Por ejemplo: 8238 3

2 log (1.77) Los logaritmos gozan de las siguientes propiedades: a) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero:

1b01 0b log (1.78)

b) El logaritmo de la base es 1:

bb1b 1b log (1.79)

c) La logaritmación NO es distributiva respecto de la suma, la resta, la multiplicación ni la división. d) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

srsr bbb loglog).(log (1.80)



22

Ejemplo: 66

4264164164

2

222

logloglog).(log

(1.81)

e) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor:

srsr bbb loglog):(log (1.82) Ejemplo:

22

249981981

3

333

logloglog):(log

(1.83)

f) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de di-cha potencia:

ana bn

b log.log (1.84) Ejemplo:

66

2364434

2

23

2

.loglog.log

(1.85)

g) El logaritmo de un radical es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

an1a b

nb loglog (1.86)

Ejemplo:

22

6314

643164

2

23

2

.log

loglog

(1.87)

h) Los logaritmos admiten cambio de base. En la calculadora podemos ver dos teclas para calcular logaritmos: la tecla «log» y la tecla «ln». Cuando la base de un logaritmo es 10, la base no se es-cribe (es decir, log10 = log). Dichos logaritmos se llaman logaritmos decimales o de Briggs. Cuan-do la base del logaritmo es el número e (ya mencionado anteriormente) se dice que el logaritmo es neperiano o natural (loge = ln). Estas son las únicas dos bases que las calculadoras poseen. Me-diante el cambio de base, pueden calcularse logaritmos de cualquier base. Así, si b es una base que no permite un cálculo directo, puede hacerse:

ba

ba

ba

aconocidabase

conocidabaseb ln

lnloglog

loglog

log (1.88)

Ejemplo:

..,

...,

....,ln

lnlog

..,...,

...,log

loglog

0147359047360943791218520302644

5128128

014735904736989000430107209972

5128128

5

5

(1.89)

Para verificar, aplicamos la definición:

3,014735907...5log 128 3, 014735907... porque 5 128= = (1.90)



23

1.3 Ejercicios de aplicación 1. Resolver los siguientes cálculos:

a) 103815932 ).().( R: -7 b) 25142732211 )()).(()(:)( R:2 c) 524232 252423 R:-7 d) 3323 413327 ).()(: R:-16

2. Ordenar de mayor a menor los siguientes números racionales

76;

72,

43;

32;

30;2;

54

3. Escribir:

a) 4 números racionales comprendidos entre .75

74 y

b) 3 números racionales comprendidos entre43

52 y

Conviene que reduzcas a común denominador y apliques luego la propiedad fundamental de las frac-ciones equivalentes. 4. Resolver las siguientes potencias:

a) 2

31 R:1/9 b) 2250, R:1/16 c)

251 R:25 d) 140, R:5/2

e) 2

31 R:9 f) 23 R:1/9 g) 01 R:1 h) 220, R:25

5. Resolver de diferentes formas

3250,)a R: 64 123 250250250b ,.,.,) R: -1/256

12

25

52 :)c R:2/5

2

57

71 .)d R: 1/25

6. Resolver aplicando propiedades:

a) 23532 222 .: R:128 b)

334

137

322

34 :. R:(4/3)6

c)

203

31

31

31 .. R:-1/3 d) 3 35 103216 ,. R:-6

7. Calcula las siguientes raíces cuando sea posible:

a) 94 d) 4

10000625

b) 48116 e) 5

321

c) 312527

f) 3729

1



24

8. Transformar en fracciones ordinarias y realizar las siguientes operaciones:

a) 30

3330,

...,

b)

32

111051 ...,

c)

61587870

37700220200 ,.....,

...,..., d) ...,, 0444020 2

9. Resolver los siguientes cálculos:

a) 5 1

213 26327 5652533 .: R:0

b) 6122 3 1

25272

521

41

21 :..: R:-43/6

c) 1222112132490194 ,.,,,,

R:56/9

d)

52

303

3223250333:.

.,.:

R:-1/9

Nota: Cuidado el punto “ . ” significa producto y la coma “ , “ es el número decimal

10. Ordenar de mayor a menor los números reales siguientes y ubicarlos en el diagrama de conjuntos:

;,;,;,;;ˆ,;ˆ,;;,;,;;ˆ, 9214341129090101090019091291

11. Indicar si es verdadero o falso y justificar la respuesta enunciando las propiedades aplicadas:

d) 3838 .. ……………. g) 333 825825 :: ……………. e) 169169 ……………. h) 33 2727 …………….

f) 3610036100 ……………. i) 96 3 22 …………….

12. Extraer factores del signo radical:

5aa) …………… 3 236 cbx125d) …………………

23 ba12b .) ……………

3 539 zyx649e)

………………….

4 459 zyx548c ..)

……………

4 549 zyx48f ) …………………



25

13. Introducir en el radical todos los factores que se encuentren fuera de él: 3 45a)

…………….. 5x

xa5d 2 ..)

…………………

x2xab ...) ……………. 243 x

53zyx

45e

2

)

…………………

4 232 yx9yx3c ....) ……………… ab4ba

21f 3)

…………………

14. Reducir el índice de los siguientes radicales, simplificando:

a) 4 42yx b) 3 312zx125 c) 010.

d) 10 155ma321

e) 4 2z100

9 f) 6 1218yx64

15. Resolver, adición y sustracción de radicales:

b) 185502 e) aaa 180752154

b) 300352721 f) xxx 16

3182 3

c) 321842 xx.x g) 274112

21

d) xx 274112

41 h) 353

212 3 2y.x.

16. Reducir a común índice

63 cba2a ;;) 643 555c ;;) 284 2 a3a5mla0e ;,)

63 632b ;;) 9 23 y

21a2d ;) 525 3 1xx3x5f ;;)

17. Multiplicar los radidales:

a) yx5x221 . d) 4 35 2 a6a23 ..

b) 632 .. e) 3 26 53 ba3ba3ab32 ..

c) 3 24 23 xxyyx .. f) 4 243 23 xb2bxa2 .

18. Dividir los radicales:

a) 3 225 yxyx4 : d) 4 243 643 xbxba2 :

b) 10 210 5 x4x2 : e) xyyx4 2 :

c) 3 26 245 yzx2zyx2 : f) 5 443 2 yx3yx2 :



26

19. Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

a) a2

3 e)

3 2

5

baab

b) 32

f) x2x

x

c) x23

x2 g)

2323

d) 6 85

2

yxxy2

h)

544

20. Aplicando la definición de logaritmos, calcular:

a) 322log e) 33log

b) 115log f) 169

34 /log

c) 1000010log g) 361

6log

d) 491

7log h) 811

31/log

21. Aplicando las propiedades de logaritmos, calcular:

a) 8162 .log e) 3 4

2 162 .log

b) 3273 :log f) 25 25

51 .log

c) 32 4log g) 242 .log

d) 35 25log h) 16644 :log

22. Desarrollar aplicando propiedades de logaritmos:

a) 242

xxlog b)

x

xlog 93 c)

3

2

1x

xlog d)

11 22

xxlog e)

wv.ulog

3

2



27

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2.1 Introducción

Tomemos el estudio de diferentes casos: Cálculo de superficie chapas circulares: 2xy .

Ventas en función de gastos publicitarios: 4000 10 .v x= +

Demanda en función de precios: 50 3 .q p= -

Ingreso en función de precios: 250 3 .Y p= -

Costo total en función de cantidades: 75 10 .CT q= +

Costo unitario: 75 10.CUq

= +

En estas expresiones, el valor a la izquierda del signo igual, depende de los valores que tomen las «letras» a la derecha del signo igual. Por ejemplo, en la expresión 2xy . cuando x vale 1, y vale 3,1415… Si x vale 2, entonces y vale 12,56637… Como x no tiene un valor «fijo» decimos que es una variable. Con letras, representamos valores numéricos variables. A las «letras» las denominamos in-determinadas o simplemente, variables. En este ejemplo, la variable y está en función de la variable x, ya que depende de los valores que toma x; decimos entonces que y está en función de x. Como x es la única variable independiente, decimos que y es una función de una variable. Podemos tener funciones de varias variables, como por ejemplo, la función «probabilidad binomial» dada por

4 6500 .p x y= En este ejemplo, p es una función de dos variables, ya que depende de x y de y. A este tipo de expresiones matemáticas, que no poseen un valor determinado hasta tanto no se asignen va-lores a las variables independientes, las denominamos expresiones algebraicas.

2.2 Clasificación de las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas pueden clasificarse como:

Expresión algebraica entera: Una expresión algebraica es entera sí y solo sí las indeterminadas están some-tidas a operaciones enteras: adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponente entero no ne-gativo. Expresión algebraica fraccionaria: Una expresión algebraica es fraccionaria si y solo si hay en ella, como mí-nimo, una indeterminada que figura como divisor en un cociente, o (su expresión equivalente), como base de una potencia de exponente entero negativo. Un ejemplo de expresión algebraica es la expresión de costo

unitario

75 10.CUq

= + Todas las demás expresiones expuestas, son enteras.

Expresión algebraica racional: Una expresión algebraica es racional si y solo si no hay en ella indeterminada alguna sometida a radicación. El conjunto de las expresiones algebraicas racionales, es la unión de los con-juntos de las expresiones algebraicas enteras y fraccionarias. Expresión algebraica irracional: Una expresión es irracional si y solo si hay en ella, como mínimo, una inde-terminada sometida a la operación de radicación. A su vez, las racionales e irracionales forman el conjunto de expresiones algebraicas reales. Sintetizando, presentamos un cuadro sinóptico de la clasificación de las expresiones algebraicas que hemos analizado:



28

Nosotros vamos a trabajar en el campo de las expresiones algebraicas enteras. Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en monomios y polinomios.

2.2.1 Monomios Un monomio es una expresión algebraica entera en la cual los números están vinculados entre sí por multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo. Son ejemplos de monomios: 83x2yz

431 82 )))

En todo monomio reconocemos un coeficiente numérico y una parte literal o indeterminada. En el

monomio “ 234

z y- ” el coeficiente es 34

- y la parte literal es z2 y.

Si observamos los monomios del ejemplo vemos que las variables que conforman la parte literal tie-nen distintos exponentes naturales; esto nos permitirá hablar de grado de un monomio. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables o indeterminadas. Así

para el monomio 234

z y- el grado es 3. A su vez, el grado de un monomio con respecto a una de sus

indeterminadas, lo da el exponente que tiene dicha indeterminada. Así, por ejemplo, el monomio 4 23x y z es un monomio de cuarto grado en x, de segundo en y, y de primero en z.

Cuando dos monomios tienen el mismo el grado se dicen homogéneos; por ejemplo: 4 5 2 32 ; ; 2x y x x y son monomios homogéneos de grado 5. Consideremos los siguientes monomios homogéneos: 4 2 2 4 2 43 ; 2 ; .y x x y x y- En ellos se observa que tienen la misma parte literal. Cuando dos o más monomios homogéneos tienen la misma parte literal se denominan monomios semejantes.

2.2.2 Polinomios ¿Qué obtenemos al sumar dos o más monomios? Una expresión algebraica llamada polinomio. Un polinomio o expresión polinómica: es toda expresión algebraica entera, formada por la suma alge-braica de monomios. Son ejemplos de polinomios:

3 2 2 4

5 4

( ) 5 2 3

( ) 4 2 3 2

P x x x y z x

R x x x x

= + -

= + - + (1.91)

Cada monomio se denomina término del polinomio y según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:

Binomio, si tiene dos términos, Trinomio, si tiene tres términos, Cuatrinomio, si tiene cuatro términos; para los polinomios de más de cuatro términos, hablamos de polinomio de 5, 6,…, n términos.

Ya hemos definido que es grado de monomio. Ampliemos el concepto para determinar el grado de un polinomio. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman, si todos ellos son de distintos grados. Si todos son del mismo grado, el grado lo da el de uno cualquiera. Cuando hay términos semejantes se deduce y se está en algunas de las situaciones planteadas ante-

Expresiones algebraicas reales

Expresiones algebraicas racionales

Expresiones algebraicas irracionales

Expresiones algebraicas enteras

Expresiones algebraicas fraccionarias

Figura 2.1 Clasificación de las expresiones algebraicas.



29

riormente. El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas, lo da el mayor expo-nente de esa indeterminada, después de haber reducido términos semejantes, si los hubiese. Por ejemplo, el polinomio 4 3 2 4 45 3 5x x y x y x+ + - es de tercer grado en x, ya que el término 45x se cance-

la con el término 45x- y 3 es el mayor exponente de x en cualquier término. El polinomio 3 2 43x y x y+ es de cuarto grado en y.

2.2.2.1 Polinomio ordenado Un polinomio puede estar ordenado respecto al crecimiento o decrecimiento de los exponentes de una de sus variables en los términos consecutivos. Por ejemplo, el polinomio 3 2 2 38 5x y x y x y- + está or-denado según las potencias crecientes de y, pero también lo está según las potencias decrecientes de x. En general, decimos que un polinomio está ordenado según las potencias creciente de una de sus letras, cuando el exponente de la misma en cada término es mayor o igual que en el término anterior. (Enuncie usted cuando un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes de una de sus variables.)

2.2.2.2 Polinomio completo Un polinomio puede estar completo o incompleto. Un polinomio es completo con respecto a una de sus indeterminadas, cuando en el mismo están todas las potencias de exponente natural menores que el mayor exponente, figurando también un término de grado cero para dicha indeterminada. (Un térmi-no de grado cero es aquel para el cual la indeterminada está elevada a la potencia cero, es decir, la indeterminada «no aparece», ya que cualquier valor elevado a la potencia cero es igual a la unidad.) Por ejemplo:

3 2 4 23 2 5x x y x y+ + + es completo en x, pero incompleto en y.

2 45 2 3x x x+ + + es incompleto en x ¿Por qué?

4 3 2 2 34 8x y x y x y x+ + + + ¿Cómo cree usted que es este polinomio? ¿Por qué?

Cuando el polinomio es incompleto puede completarse incorporando los términos que faltan con coefi-ciente cero. En ciertos casos este artificio algebraico es de utilidad, sobre todo en la operatoria con expresiones algebraicas. Por ejemplo, el polinomio 5 23x x+ puede completarse de la siguiente mane-ra: 0x0x3x0x0xx3x 234525 (1.92)

2.2.2.3 Forma de general de expresar los polinomios Un polinomio de grado n en la indeterminada x, se expresa en forma general como:

( )

( )

20 1 2

22 1 0

... (orden creciente)

... (orden decreciente)

nn

nn

P x a a x a x a x

P x a x a x a x a

= + + + +

= + + + + (1.93)

Donde los valores indicados con a y un subíndice no son indeterminadas, sino coeficientes numéricos, donde el único valor que no puede ser nulo es an, ya que de ser así, el polinomio no sería de grado n.

2.2.2.4 Polinomios idénticos Dos polinomios son idénticos, cuando son iguales los coeficientes de los términos semejantes. En símbolos:

n210ibaxQxPxbxbxbbxQyxaxaxaaxP

ii

nn

2210

nn

2210

...,,)()(...)(...)(

(1.94)

Por ejemplo, determine el valor de b para que los dos polinomios siguientes sean idénticos:

4x10xGy4xb25xP La definición exige que los términos semejantes (es decir, con igual

parte literal) tengan coeficientes iguales; en nuestro caso: 5 10,2

b = de donde deducimos que b = 4.



30

2.2.2.5 Polinomios opuestos Dado dos polinomios cualesquiera, como ser, n

n2

210 xaxaxaaxP ...)( y Q(x)=b0+b1x+b2x2+…bnxn decimos que son opuestos si P(x)= - Q(x) o bien, -P(x)=Q(x) Por ejemplo, calculemos los valores de g y h para que los polinomios siguientes sean opuestos:

1x30gx2xq1xh6x5xp 22 )(;)(

Según la definición, debe resultar: 5h30h625g5g2 ;

2.2.2.6 Polinomio normalizado Sabemos que el grado de un polinomio está dado por el mayor de los grados de los monomios o tér-minos que lo forman. El coeficiente del término de mayor grado se denomina coeficiente principal, y si es igual a 1, el polinomio se dice que es monómico o normalizado. Un ejemplo de polinomio normali-zado es: 5 48 .x x x- +

2.2.2.7 Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a es el número que se obtiene reemplazando en el polinomio la indeterminada x por a y resolviendo las operaciones indicadas. Se simboliza P(a). Por ejemplo, el valor del polinomio 3 2( ) 3 3 1P x x x x= - + - + en 3x = - es:

2( 3) 3( 3) 3 ( 3) 1

3( 27) 9 3 3 1

81 9 3 3 1

91 3 3

P - = - - - - +

= - - + + +

= + + +

= +

(1.95)

2.3 Operaciones entre expresiones algebraicas enteras Cuando sumamos, restamos, multiplicamos, dividimos, calculamos potencias o raíces entre los ele-mentos de los distintos conjuntos numéricos, estamos efectuando operaciones aritméticas. Las expre-siones algebraicas son combinaciones de números expresados por letras y cifras y por lo tanto se pueden realizar entre ellas las mismas operaciones. Es muy fácil recordar la expresión polinómica de los números o sistemas de numeración, por ejemplo:

3 2

3 2

3.245 3.000 200 40 5

3 10 2 10 4 10 5

3 2 40 5x x x

= + + + =

= × + × + × +

= + + +

2.3.1 Suma de monomios Para efectuar esta operación debemos considerar si los monomios son o no semejantes. La suma de dos o más monomios semejantes, es otro monomio semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los monomios. Por ejemplo, sean los monomios: 2 22 ; 4 ,x y x y- su suma

es: 2 2 22 4 2 .x y x y x y- + = Si los monomios no son semejantes, su suma es un polinomio, donde cada monomio es un término del mismo. Por ejemplo, sean los monomios: 2 22 ; 4 ,x y x y- su suma es: 2 22 4 .x y x y- + En general, la suma de dos o más monomios cualesquiera, es un polinomio formado por la suma de los monomios, reduciendo los semejantes, si los hubiese. Por ejemplo, la suma de los siguientes mo-nomios 2 2 2 22 ; 4 ; 3 ; 4x y x y x y x y z- es:

2 2 2 2 2 2 22 4 3 4 2 4x y x y x y x y z x y x y x y z+ - + = + + (1.96)



31

Actividad 2.1 Sume usted, los siguientes monomios:

a) 3 3 313 ; ; 2 .

10a x a x a x-

b) 2 2 26 33 ; 5 ; 8 ; ; 12 ; .8 4

a b x a b x a b x- - - -

2.3.2 Suma de polinomios La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio cuyos términos son los términos de los poli-nomios sumados, reduciendo previamente los semejantes. Reducirlo, implica reemplazar los términos semejantes por suma. Para una mejor reducción conviene disponerlos uno debajo del otro, de modo que al sumar los términos semejantes queden en una misma columna. Por ejemplo, sean los polino-mios

42x3x2x29x2xQxP

x4x5x2xQ

42xx2x21x4xP

essumasuyx4x2x5xQ

42xx2x21x4xP

234

34

234

43

234

)()(

__________________________________)(

)(

:)(

)(

(1.97)

2.3.3 Resta de monomios La diferencia, resta o sustracción de dos monomios se obtiene sumando al minuendo, el opuesto al sustraendo. Por ejemplo, sean los monomios:

yx2

13

yx21yx7

yx21yx7

esrestasu

yx21yx7

3

33

33

33

_

)(

:

;

(1.98)

2.3.4 Resta de polinomios La definición de diferencia entre monomios se hace extensiva a la diferencia de polinomios; P(x) – Q(x) se obtiene sumando al minuendo P(x) el polinomio opuesto del sustraendo Q(x). Por ejemplo, si los polinomios P(x) y Q(x) son los indicados anteriormente para la ejemplificar la suma de polinomios, la resta de éstos es:

42x5x2x211x6xQxP

x4x5x2xQ

42xx2x21x4xP

234

34

234

)()(

_____________________________________)(

)(

(1.99)



32

2.3.5 Producto de monomios La multiplicación o producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los factores y la parte literal, el producto de las indeterminadas de los factores. Por ejemplo, dedos los monomios 4324 yzx4yx3 ; su producto es:

437

4324

4324

zyx12yzxyx43

yzx4yx3

)()(.)(

(1.100)

Al efectuar el producto de las indeterminadas se tuvo en cuenta que «el producto de potencia de igual base es otra potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes». El signo menos del coeficiente, surge de la aplicación de la regla de los signos.

2.3.6 Producto de polinomios Cuando se trata de la multiplicación de dos polinomios, el resultado es otro polinomio que se obtiene sumando los productos parciales que surgen de aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y reduciendo términos semejantes. Por ejemplo, siendo los polinomios

x4x5xQy1x2x4xP 23 )()( su producto se calcula como:

x4x3x10x16x20x4xPx5xQ

x4x8x16x4xPx5x10x20x5xP

23452

24

2352

).().(_____________________________________________________

).().(

(1.101)

2.3.7 Cociente de monomios El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y la parte literal, el cociente de potencias de igual base. Si queremos obtener como cociente una expresión entera, las indeterminadas que figuran en el denominador deben estar también en el numerador con exponente natural mayor o la sumo igual. Quede claro que de no cumplirse esta condición no es que sea imposible el cociente, lo único que decimos es que el resultado no es una expresión algebraica entera. Por ejemplo:

a) ( ) ( )2 3

2 3 22

66 : 2 3 .2x yx y x y x y

x y- = = -

- El resultado es una expresión algebraica entera.

a) ( ) ( )3 4 2

3 4 4 2 1 24 2

8 48 : 2 4 .

2

x y yx y x y x y

xx y-= = = En este caso, el cociente no es una expresión algebraica

entera.

2.3.8 Cociente de polinomios El cociente de un polinomio por un monomio, es un polinomio cuyos términos son el cociente de cada término del polinomio dividendo por el monomio divisor; se obtiene aplicando la propiedad distributiva del cociente respecto de una suma algebraica. Por ejemplo: 2232342 yx5yx3x2x2yx10yx6x4 )(:)( (1.102) Interesa en particular el cociente de polinomios en una sola variable. Sean P(x) y Q(x) polinomios, tal que el grado de P(x) es mayor o a lo sumo igual que el grado de Q(x) y Q(x) es no nulo. Bajo esa hipó-tesis, dividir P(x) por Q(x) es encontrar dos polinomios C(x) y R(x) tales que: a) xRxCxQxP .)()(

b) El grado de R(x) es menor que el grado de Q(x).



33

Con P(x) nos estamos refiriendo al dividendo, con Q(x) al divisor, con C(x) al cociente y con R(x) al resto de la división. Debe resultar pues:

)()(

)(xQxRxC

xQxP

(1.103)

¿Cómo calculamos el cociente? Para dividir, primero debemos completar el dividendo (si no lo está) y ordenar tanto el dividendo como el divisor según las potencias decrecientes de x (o la variable que corresponda). Después de esto, el esquema es semejante al de dividir un numero por otro. Por ejem-plo, consideremos dividir el polinomio ( ) 4 2 35 2 4P x x x x= + + - por el polinomio ( ) 2 3.Q x x x x= + - Luego de ordenar y completar, resulta:

( )

( )

4 3 25 2 4 (polinomio ordenado y completo)

3 2 (polinomio ordenado)

P x x x x x

Q x x x x

= - + + +

= - + +

La división se realiza de la manera siguiente:

4x4x110

x4x4x44x0x7x40

4x5x5x5x5

xxx4x0x2xx5

2

23

23

234

23234

(1.104)

Expliquemos por pasos la operación:

5x- surge de dividir ( )4 35 : .x x-

5x- se multiplica por el divisor ( )3 2 .x x x- + +

El producto ( )4 3 25 5 5x x x- - se resta del dividendo.

De lo anterior resulta, 3 24 7 0 4,x x x+ + + que constituye un resto parcial.

El procedimiento se repite pues el grado del resto parcial es igual al del divisor: ( )

( )

3 3

3 2 3 2 3 2

2

4 : 4

4 4 4 4 ; que se resta de 4 7 0 4, resultando:

11 4 4.

x x

x x x x x x x x x

x x

- = -

- - + + = - - + + +

+ +

Como el resto es de grado inferior al del divisor, hemos concluido el proceso y encontrado el cociente: C(x) = – 5 x – 4 R(x) = 11 x2 + 4 x + 4 Veamos si los resultados son correctos. Si lo son deben verificar la definición Tenemos entonces:

)()(.)()()(.)(

)()(.)()(4x4x114x5xxxxrxqxc

xrxcxqxp223

Además de verificarse la definición, también se verifica que el grado del dividendo [grado de P(x), 4] es mayor que en grado del divisor [grado de Q(x), 3], el cual a su vez, es mayor al grado del cociente [grado de C(x), 1]. En grado del divisor también es mayor al grado del resto [grado de R(x), 2]. Como todas las definiciones se verifican, concluimos que la división se ha efectuado correctamente. Cuando el resto de la división [R(x)] es cero, decimos que la división es exacta. Como R(x) = 0 en este caso, resulta: P(x) = Q(x) . C(x) (División exacta)

(1.105)



34

2.3.9 Regla de Ruffini La regla de Ruffini nos permite realizar las divisiones de polinomios, sólo cuando el divisor es un binomio de la forma (x + a), donde x es la variable y a cualquier número distinto de cero. El número a puede ser positivo o negativo, pero x NO debe estar precedida por el signo menos. Para entender de qué manera nos ayuda la regla de Ruffini, primero efectuemos la división de dos polinomios tal como lo hicimos anteriormente. Siendo el polinomio dividendo P(x)=x2 + 8 x4 – x3+2 y el binomio divisor Q(x)= x – 2 luego de completar y ordenar la división resulta:

resto126

124x622x620

2x62x312x0x310

x30x152x0xx150

62x315x15x8x16x8

2x2x0xxx8

2

2

23

23

2334

234

El cociente que obtenemos es 62x315x15x8xC 23 y el resto es de 126. En esta división notamos lo siguientes:

El cociente es de un grado menor al dividendo (el grado del dividendo es 4 y el del cociente es 3). El primer coeficiente del cociente (8) es igual al primer coeficiente del dividendo (también 8). El segundo coeficiente del cociente se obtiene multiplicando al anterior por 2 (que es igual al coeficiente «–2» que acompaña a la x del divisor, pero cambiado de signo) más el coeficiente del segundo término del polinomio dividiendo, es decir: 8 .2 – 1=15 Los siguientes coeficientes se obtienen de la misma forma. El resto de la división se obtiene multiplicando el último coeficiente obtenido por 2 (nuevamente, el «–2» que acompaña a la x del divisor, cambiado de signo) y sumando ese producto al término independiente del divi-dendo.

Esto se realiza con la ayuda del esquema mostrado en la figura. El «término independiente del bino-mio divisor cambiado de signo» es el número que acompaña a la x del divisor, con el signo contrario. Como en este caso, el término independiente es –2, consideraremos +2 en la regla de Ruffini. En la fila inferior del esquema, todos los números salvo el último, son los coeficientes del cociente; el último número es el resto. Como el grado del divisor siempre es uno (en estos casos), el grado del cociente será un grado menor al del dividendo.

Coeficientes del dividendo, completo y ordenado Término independiente del binomio divisor, cambiado de signo

2 1266231158124623016

20118

De esta manera, el cociente se obtiene completando con las indeterminadas correspondientes, los coeficientes del cociente indicados en el esquema: 62x315x15x8xC 23 Como podemos comprobar, es exactamente el mismo valor obtenido al efectuar la división anterior. El resto, igual-

Coeficientes del cociente resto



35

mente coincidente, es de 126. La regla de Ruffini simplifica notablemente el proceso de dividir dos polinomios; sólo debemos recordar que es válida únicamente cuando el divisor es de la forma .x a±

2.3.10 Teorema del resto El resto de dividir un polinomio de grado n mayor o igual a 1, por otro de la forma ,x a± es el valor nu-mérico del polinomio dividendo, para x igual a cambiado de signo. Esto significa que si el divisor es un binomio como el indicado, el resto se obtiene reemplazando x en el polinomio dividendo, por el valor de a cambiado de signo. En el ejemplo anterior, el dividendo es P(x) = x2 + 8.x4 – x3 + 2 y el di-visor es Q(x) = x - 2 El resto podrá calcularse entonces como: R(x) = P(2) = 2.2+8.24 – 23 + 2 = 126 (1.106) Calcular el resto nos permite comprobar de una manera sencilla si la división es exacta (recordemos que para que una división sea exacta, el resto debe ser cero). También nos permite comprobar si hemos efectuado la división en forma correcta. El teorema del resto sólo puede aplicarse a divisiones donde el divisor tiene la forma ,x a± es de-cir, debe cumplir las mismas condiciones que exige la regla de Ruffini. Si sólo deseamos calcular el resto, no es necesario ordenar ni completar el dividendo.

2.4 Factoreo de expresiones algebraicas A fin de simplificar el proceso de resolución cuando operamos algebraicamente, resulta conveniente, replantear las distintas expresiones algebraicas, presentándolas como el producto de dos o más factores, esto es factorearlas. Como su nombre lo indica entonces, factorear implica expresar un polinomio como el producto de dos o más factores. Veremos a continuación, los diferentes casos de Factoreo, comenzando con el más simple de ellos.

2.4.1 Primer caso: Factor común Obtener un factor común a todos los términos de un polinomio implica aplicar la recíproca de la pro-piedad distributiva de un polinomio por un monomio. Todos los términos del polinomio contienen un mismo factor numérico y/o literal; en otras palabras cada término es divisible por un mismo monomio que multiplica a un nuevo polinomio que resulta de dividir cada término del polinomio original por ese divisor máximo común. Analicemos el siguiente polinomio: 233224 15105 yxyxyx Todos los factores numéricos son divisibles por 5, las «x» son divisibles por x2 y las «y» son divisibles por y2. Entonces, el máximo divisor común de P(x) es 2 25 .x y Si multiplicamos y dividimos a P(x) por este monomio, el resultado no varía en absoluto, ya que podemos simplificar:

22

22233224

yx5yx5yx15yx10yx5yxP .)(;

Como podemos comprobar, al multiplicar y dividir por el mismo polinomio, el resultado no varía. Pero en lugar de simplificar, distribuimos el denominador a cada uno de los términos del polinomio entre paréntesis, y simplificamos:

1yx5

yx5yx15

yx5yx10

yx5yx5yxP

22

22

23

22

32

22

24

.;

Nos queda entonces: 222 yx5x3y2xyxP .;

Si efectuáramos la propiedad distributiva en esta última expresión, regresaríamos al polinomio original. Escribimos entonces: 222233224 yx5x3y2xyx15yx10yx5yxP ..)(; (1.107) La ventaja de aplicar este caso de Factoreo, es que obtenemos factores (cada paréntesis es un fac-tor) de orden menor al polinomio original, con los cuales puede resultar más fácil operar matemática-mente.



36

Actividad 1.2 Obtenga usted factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

52235

5423332

54357948

zb60zb21zb42czna24zna80zna21b

tba40tba8tba64tba16a

,,,),,,)

)

2.4.2 Segundo caso: Factor común por grupos Obtener un factor común a todos los términos de un polinomio implica aplicar la recíproca de la pro-piedad distributiva de un polinomio por otro. A veces, el polinomio que se quiere factorear no contiene un factor común en todos los términos, pero sí por grupos, como en el siguiente polinomio:

( ) 2 2; ; ; 3 3F a b x y a x b y a y b x= + + +

En este polinomio, encontramos que el primer y último término contienen la variable x, mientras que en los dos términos centrales contienen y. Podemos entonces, formar los grupos siguientes:

)(.)()()(

...)()(

yx3bagruposporofactoreandbaybax3

asocyconmutpropyaybxb3xa3xb3yaybxa3

2

22

2222

No hemos aplicado ningún caso de factoreo, simplemente aplicamos la propiedad asociativa de la suma. En el primer paréntesis, podemos sacar a 3 x como factor común, mientras que en el segundo paréntesis podemos sacar a y como factor común. Nos queda entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2; ; ; 3 3 3F a b x y a x b x a y b y x a b y a b= + + + = + + +

1º Grupo 2ºGrupo Como su nombre lo indica, obtener factor común por grupos consiste en exactamente eso: cada grupo es tratado como si los demás no existieran, y se aplica a cada grupo, el primer caso de factoreo. Si analizamos el resultado obtenido, podemos ver que en los dos últimos términos existe el factor ( )2 ,a b+ el cual puede extraerse como factor común de todo el polinomio. Resulta finalmente:

( ) ( )( )2 2 2; ; ; 3 3 3F a b x y a x b y a y b x x y a b= + + + = + +

Es frecuente que para factorear un polinomio deba combinarse varios casos de factoreo. Tarea Factoree usted los siguientes polinomios:

65 26 14 35 .a c c x x y a y+ - -

29 6 3 6 4 2 .a c c m c x a a m a x+ - - + +

16 4 24 6 8 2 12 3 .p x z p x p y z p y q x z q x q y z q y- - + + - - +

Factoree la siguiente expresión transformándola en el producto de tres binomios: 20 5 20 5 4 4bm abm c m a c m bt abt c t a c t+ + + + + + +

2.4.3 Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto Recordemos que el cuadrado de un binomio x y+ , es igual a la suma del cuadrado de las bases más dos veces el producto de las mismas, es decir: ( )2 2 22 ,x y x x y y+ = + + ya que:

2

2 2

2 2

( ) ( )( )

2

x y x y x y

x y x x y y

x x y y

+ = + +

= + + +

= + +

(1.108)

Tarea Sabiendo esto, factoree el siguiente polinomio:



37

6 2 2 4 4 39 25 536 16 4

p y p y p y+ -

Integremos conocimientos. Frente a la consigna de factorear, por ejemplo, 2 24 4 ,c a c a b c b+ + observe y analice:

¿Es un trinomio? ¿Es in trinomio cuadrado perfecto? ¿Tienen los términos algún factor común? ¿Cómo queda el polinomio después de una primera factorización? Observe los factores para ver si es posible un nuevo factoreo.

Si trabajó correctamente, usted obtendrá la siguiente expresión: ( )22 24 4 2c a c a b c b c a b+ + = +

2.4.4 Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto Consideremos la expresión ( )3 .x y+ Esta potencia puede calcularse como: ( ) ( ) ( )

( )( )

3 2

2 2

3 2 2 2 2 3

3 2 2 3

; según lo visto anteriormente:

2 ; aplicando propiedad dist ribut iva:

2 2 ; asociando y conmutando:

3 3

x y x y x y

x x y y x y

x x y x y x y x y y

x x y x y y

+ = + +

= + + +

= + + + + +

= + + +

Puede generalizarse entonces: ( )3 3 2 2 33 3x y x x y x y y+ = + + + (1.109) Esta expresión se conoce como cuatrinomio cubo perfecto. Un cuatrinomio cubo perfecto tiene cuatro términos, dos de los cuales son cubos perfectos; otro término es el triple producto del cuadrado de la base del primero por la base del segundo y el término restante es el triple producto de la base del se-gundo al cuadrado, por el primero. De esta manera, si tenemos un cuatrinomio, quizás pueda ser factoreado como el cubo de un binomio. Lo primero es observar si se cumplen las condiciones detalladas arriba. Por ejemplo:

3223 aba6ab12b8

ba6b2a3

ab12ab23

aa

b2b8

22

22

3 3

3 3

..

.. 33223 ab2aba6ab12b8

Como el cuatrinomio anterior está conformado por la suma de estos últimos cuatros monomios, con-cluimos que el polinomio puede ser expresado como el cubo del siguiente binomio:

( )33 2 28 12 6 2b a b a b a b a- + - = -

Observe que cuando uno de los dos términos del binomio es negativo, los signos del cuatrinomio van alternándose (positivo – negativo – positivo – negativo). Para una mejor fijación de los conceptos, es conveniente que Ud. vaya enunciando las propiedades que aplica u operaciones que realiza. Sólo «haciendo» se aprende matemática. La lectura no es sufi-ciente además, debe completar su aprendizaje con mucha práctica. Como Tarea, factoree los siguientes polinomios:

3 3 2 2 164 24 3 .8

x y x y x y- + -

3 6 2 3 5 6 4 9 327 9 82 .8 2 27

a c a b c a b c b c- + -



38

2.4.5 Quinto caso: Diferencia de cuadrados Consideremos el caso del binomio 2 2 .x y- Este binomio puede se factoreado de la manera siguien-te: ( )( )2 2x y x y x y- = + - (1.110) El binomio 2 2x y- es la resta de dos factores elevados al cuadrado, y se lo denomina diferencia de cuadrados (que no debe confundirse con una diferencia, al cuadrado). Si se efectúa la propiedad dis-tributiva entre los paréntesis de la expresión (1.110) se obtendrá la diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases. En efecto:

( )( ) 2 2

2 2

x y x y x x y x y y

x y

+ - = - + -

= -

Tarea Factoree usted los siguientes polinomios:

4 6 2 24 9 .25 16

x z p q-

4 161 10000 .256

a x-

2.4.6 Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado ¿Qué sucede si en lugar de tener una diferencia de cuadrados tenemos una suma de cuadrados? ¿Cómo proceder si las bases no están elevadas al cuadrado sino a cualquier otro exponente? Consi-deremos cada caso por separado.

2.4.6.1 Suma de dos potencias de igual grado Tenemos la suma de dos potencias de igual grado, como ser ;n nx a+ donde vamos a considerar que x es la variable y a un coeficiente numérico determinado. Según la expresión (1.105), si la división es exacta, el polinomio dividendo puede ser expresado como el producto de dos factores: el cociente y el divisor. Es decir, podemos factorear al polinomio n nx a+ como el producto del cociente por el divi-sor. Elegimos como divisor al binomio ,x a± lo que nos da dos alternativas (una con más y otra con menos). Antes de efectuar la división, debemos verificar que ésta sea exacta, para lo cual empleamos el teo-rema del resto. Consideremos las dos alternativas:

Divisor .x a+ Según el teorema del resto, éste vale: resto = (-a)n + an Sabemos que si el exponente es par tendremos: resto = an + an = 2an ≠ 0

Como no es cero, la división no es exacta y no podemos factorear. Concluimos que: Si, en cambio, el exponente es impar, al aplicar el teorema del resto tendremos: resto = (-a)n + an = 0

Como el resto es cero, la división es exacta y entonces podremos dividir el polinomio n nx a+ por el bino-mio .x a+ Es decir, la expresión podrá ser factorizada. Concluimos que: Divisor .x a- Según el teorema del resto, éste vale: resto = an + an ≠ 0

No pueden factorizarse sumas de potencia de igual grado si el expo-nente es par, extrayendo como factor la suma de las bases.

Una suma de potencia de igual grado puede factorizarse extrayendo como factor la suma de las bases, siempre que el exponente sea impar.



39

Sin importar si el exponente es par o impar, nunca resto valdrá cero. Entonces, concluimos que:

En resumen, en el caso de tener un polinomio de la forma ,n nx a+ sólo puede ser factorizado si los exponentes son impares. En tal caso, se divide por la suma de las bases, es decir, por .x a+

2.4.6.2 Diferencia de potencia de igual grado En este caso, tratamos con polinomios del tipo .n nx a- Con el mismo criterio anterior, buscamos los posibles divisores:

Divisor .x a- El resto vale: resto = an – an = 0 En este caso, el resto siempre valdrá cero, sin importar si el exponente es par o impar. Concluimos enton-ces, que: El quinto caso de factoreo es, en realidad, un caso particular de esto. Divisor .x a+ El resto vale: resto = (-a)n – an Si n es par, el resto valdrá cero, caso contrario valdrá 2 .na-

Concluimos entonces, que: Las conclusiones obtenidas se indican en la tabla siguiente:

( ) n nP x x a= ± Divisor/es

n nx a+ x a+ Exponente impar n nx a- x a- n nx a- y x a x a+ - Exponente par n nx a+ N o t ien e d iv iso r es en la fo r m a x a±

2.4.7 Descomposición factorial de un polinomio Se denomina raíz de un polinomio al valor de la variable independiente que lo anula. Todo polinomio de grado n puede factorearse como el producto del coeficiente del término de grado n, (o sea, el factor an) por n binomios cada uno de los cuales es la diferencia entre x y cada una de las raíces o ceros del polinomio. Es decir:

n21n

012

2n

n

xxxxxxaaxaxaxaxP

......................)(

(1.111)

Donde x1, x2,…, xn son cada una de las n raíces del polinomio. Desde ya, encontrar las raíces de un polinomio no es tarea fácil; veremos cómo hacerlo para polinomios de segundo grado en otra unidad. Aquí adelantamos algo: por ejemplo:

( ) ( )( )2 2( ) 4 16 4 4 4 2 2P x x x x x= - = - = - +

Si x toma los valores 2 ó –2, el polinomio vale cero. Decimos entonces que 2 y –2 son raíces de P(x).

Las sumas de potencias de igual grado no pueden factorizarse extrayendo como factor la diferencia de las bases.

Una diferencia de potencias de igual grado, con exponentes pares, puede factorizarse extrayendo como factor tanto a la suma como a la diferencia de las bases.

Una diferencia de potencias de igual grado con exponentes impares admi-te como factor a la suma de las bases si el exponente es par.



40

¿Cómo factorear por ejemplo x2 + 5x + 6? Encontrar las dos raíces del polinomio exigiría tener presen-te la resolución de una ecuación de segundo, que veremos en otra unidad. Alternativamente, esas raíces pueden ser obtenidas haciendo un el siguiente artificio algebraico:

( )2 2 25 6 2 3 6 2 3 6x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

El polinomio obtenido puede ser factoreado por grupos: ( ) ( )

( )( )

2 2 3 6 2 3 2

2 3

x x x x x x

x x

+ + + = + + +

= + +

La última expresión indica que las raíces son --2 y --3. Veamos otro ejemplo: ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 2 1x x x x x x x x x x+ - = + - - = + - + = + -

Las raíces de este polinomio son +1 y –2. Sin aplicar la formula de resolución de ecuación de se-gundo grado, las hemos obtenido, expresando el término de primer grado (x en este ejemplo) como una suma, de modo de poder factorear por grupos. Con frecuencia será necesario realizar éstos y otros artificios algebraicos, no tanto en este cursillo, sino fundamentalmente en las distintas asignaturas de la carrera.



41

2.5 Ejercicios de aplicación

1. Obtenga el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

20z2y5xparayxyx

zxxb

2z21y41xparaz8xy4

z3yx16a 184

,,))((

)()

,)/(,/)(

)

2. Calcular el valor numérico de P(x)= 973 4 xx para x = 1 y x =71

3. Encontrar el valor de m en los siguientes polinomios para que se cumplan las condiciones indi-cadas en cada caso:

a) mxxx)x(P 23 2 para que P(-1)=3 Rta: m=2

b) mxxxR 5.3)( 2 para que R( 5 )=0 Rta: m=10

c) 3)( 2 mxxxP para que 3 sea una raíz de P(x) Rta: k=4

4. Hallar las siguientes sumas y restas:

a)

212323 22 xxxx

b)

222

532

51

32

21

232 xxxxx

c)

mmmmm

53

3131

542

312 22

e)

21

312

212

53 22 xxxx

f)

101ss90s1010ss

61 2323

,,,

g) 22 2,107,02,07,0332,0 yyyy 5. Sumar y restar los siguientes polinomios:

a)

3223

322332233223

y2xyyxx3Rta

yxy9yx7x3y5xy3yx3x2y6xy7yx3x4

:

b)

43223

42233223

y65xy

23yx

43yx

67Rta

y65yx

21yx

21xy

23yx

41yx

32

:

6. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

a) xxxx 74621 233

b)

322332 2

346

23 xyyxyxyx

c) xxxxx 633524 223



42

7. Multiplicando (x3+2 x –1) por cierto binomio, obtengo (x5+3x3 – x2 +2x –1) ¿Cuál es ese binomio?. 8. Resolver las siguientes potencias: a) 232 x b)

332 xx c) 34xx

d) 232 x e) 332 xx f) 3x32

g) 232 x h)

323

32

21 xx i)

33

32

31 yx

9. Calcular el cociente y el resto en las siguientes divisiones: a) 52:10492 23 xxxx

b) 12:322 2234 xxxxx

c) 4:171713 24 xxxx

d)

31:

61

23

619

21 336912 xxxxx

e)

21:

81

2123 xxxx

10. Realizar las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini y corroborar con el teorema del re-

sto: a) 2x21x14x7x 23 : d) 1x3x2x 23 :

b)

51:

2510

225 2 xxx e)

32:13 aa

c) 1:5,06,0 23 xxxx f) 2:10322 234 xxxx 11. Sabiendo que 2x7x2x3cbxax2x 232 . , hallar a, b y c.

Rta: a=3, b=4 y c=1

12. Completar:

..... 32 x- ..... x+ ..... ..... 3 x+

4x ..... 2x- ..... --3 0 ..... ..... ..... ..... 0 23x- .....

..... 9 x+ 0 ..... +5 ४

13. Señale cuál es el valor de b en cada caso. Justifique. a) p(x) = -2.x4 + 3 b x – 1 , para p(x) divisible por (x – 2). b) q(x) = 3.(x – b) . (x - 5) , si la suma de las raices es 3. c) s(x) = 2.x2 + 4.x – b, si el resto de dividir s(x) por (x – 3) es –1



43

14. Extraer factor común. a) 245 301824 xxx Rta: 5346 232 xxx

b) xxx289

4021

1625 34 Rta:

73

107

45

43 23 xxx

c) 5732 m32m

1516m

98m

34 Rta:

352 mm

58m

342m

32

15. Extraer factor común indicado. a) .................................23024 23 xxxx

b) .................................81

181

43

21 32 aaaa

c) ..................................m52m

34m

31m

52 32

16. Extraer factor común por grupos. a) xaxbab 33 Rta: x3ab

b) 134 xxx Rta: 113 xx

c) 3624 23 xxx Rta: 1232 2 xx

d) 4222 3456 xxxxx Rta: 2235 xxx

e) 22331

32

92 nxnnxx Rta:

1x

31nx

32 2 .

f) 45324235 2326

313 xyyyxyxyxx Rta:

xyyxyx 2233

3132

17. Indicar cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, y en tal caso factorearlos como tales.

a) 25102 xx d) 2816 xx

b) 22 2 nmnm e) 22

4ppqp

c) 962 xx f) 6432225,0 zyzxyx 18. Expresar cada cuatrinomio cubo perfecto como el cubo de un binomio.

a) 1257515 23 xxx b) 123

43

81 23 xxx

c) 64x48x12x 23 d) 81

43

23 23 xxx

19. Transformar en producto las siguientes diferencias:

a) 22 ba d) 80001,01 a

b) 281 x e) 242 81,041 xyx

c) 191 6m f) 42 2x



44

20. Factorear las siguientes sumas y diferencias de potencias de igual grado:

a) 33 ax d) 364x

b) 327 y e) 3215x

c) 33 278 ba f) 44 yx 21. Factorear las siguientes expresiones, combinando los distintos casos de factores:

a) 22 5105 yxyx Rta: 25 yx

b) xaxxaxa 329

49

83 23 Rta:

31

213

ax

c) 18 3x Rta: 12 xx

d) yxyx 638 33 Rta: 242232 yyzxyx

e) 1224153 23 xxx Rta: 2213 xx

f) axxaaa 44 324 Rta: xaaaa 22

22. Simplificar las siguientes expresiones:

a)12

12

3

xxx Rta:

112

xxx

b)1

55 2

xx Rta: 15 x

c)22222

22

222

axmmxmaxmam

Rta:xa

2

d)xxxx

216

2

5

Rta: 42 2 xx

e) 32623

yxyxxy

Rta:1

f) xbaxbaba

22 222

Rta:ba

1



45

3 TRIGONOMETRÍA

3.1 Introducción La trigonometría es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa «medida de triángulos». Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.

En la figura 3.1, por ejemplo, se muestra un croquis empleado para calcular la iluminación de una vía pública; puede apreciarse la necesidad de saber cómo trabajar con ángulos. En el análisis de vibraciones, la trigonometría nos ayuda a simplificar enormemente el proceso. Una señal compleja, como la mostrada en la figura 3.2 (que ocurre, por ejemplo, cuando una parte estruc-tural de una construcción se ve afectada por vibraciones mecánicas que tienden a producir roturas por fatiga del material), puede descomponerse en señales parciales más fáciles de analizar. La curva superior se obtiene «sumando» las tres curvas inferiores.

Figura 3.1 Croquis para cálculo luminotécnico.

9 m

1

m

h =

9 m

1 ,5 m

0,6 m

30 m

8,1 m

X

Y

Punto de cálculo

x

y

L

�

Plano de visión (1 m por encima de la calzada)

d

Luminaria 1

Luminaria 2

�



46

Una aplicación de la figura 3.2, conocida por todos nosotros, es la «ecualización de audio». El sonido que sale de los parlantes está representado por la curva superior; las tres curvas inferiores son las «componentes» de la curva total; cada una de estas tres curvas representa un sonido de una frecuen-cia determinada, que al sumarse entre sí, producen el sonido final. Los ecualizadores no modifican la frecuencia de la curva (es decir, el «ancho» de la onda), sino que modifican su amplitud (el volumen de cada onda, dado por su «altura»); de ahí la necesidad de poder descomponer la onda, para lo cual utilizamos trigonometría.

3.2 Sistemas de medición de ángulos

Se define como ángulo a la figura geométrica formada en un plano por dos semirrectas que parten de un mismo punto; o también la formada en el espacio por dos planos que parten de una misma recta. En la figura 3.3 (a), las semirrectas X y X’ parten del mismo punto O, formando entre ellas el ángulo (los ángulos se designan con letras griegas minúsculas; o mediante su vértice, que en este caso sería Ô; o también, indicado de esta manera XOX’). Los ángulos se consideran como engendrados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su ori-gen, que se supone fijo. Vamos a considerar que la semirrecta X permanece fija, mientras que la se-mirrecta X’ gira alrededor de O. Los ángulos pueden generarse de dos maneras, según la semirrecta X’ gire en un sentido u otro. Consideraremos positivos a los ángulos generados en sentido antihorario, es decir, cuando la semi-rrecta X’ gire en sentido contrario al de las agujas de reloj. Los ángulos pueden ser inferiores a una vuelta [como el ángulo en la figura 3.3 (b)] o de más de una vuelta, como el ángulo en la misma figura. Todos los ángulos mostrados en las figuras 3.3 (a) y 3.3 (b) son positivos, por ser generados en senti-do antihorario. Consideraremos negativos a los ángulos generados en sentido horario, es decir, en el mismo sentido de las agujas del reloj. El ángulo mostrado en la figura 3.3 (c) es un ángulo negativo.

Figura 3.3 Generación de ángulos.

(a) (b) (c)

X’ X’

X X X

X’

O O O

Figura 3.2 Ejemplo de análisis de señales.



47

Recordemos que medir un ángulo es compararlo con otro ángulo que se toma como unidad, o bien, es la razón entre el ángulo dado y la unidad elegida. Suelen usarse en trigonometría unidades de los sis-temas sexagesimal, circular y centesimal. El sistema sexagesimal es el más empleado, utilizándose con preferencia el circular en los planteos de carácter teórico, pues permite simplificar la notación. El sistema centesimal es poco usado.

3.2.1 Sistema sexagesimal Se llama ángulo de 1 grado a la nonagésim-ava parte de un ángulo recto. Sus submúltiplos son el ángulo de 1 minuto y el de 1 segundo. En símbolos:

ángulo rectoÁngulo de 1º .90

=

1ºÁngulo de 1' .60

=

1' 1ºÁngulo de 1" .60 3600

= =

En consecuencia, de acuerdo a lo anterior se tiene: Ángulo recto = 90º; 1º = 60’; 1’ = 60”.

Ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180º. Ángulo de 1 giro (círculo) = 2 ángulos llanos = 360º.

Para indicarle a la calculadora que estamos trabajando en sistema sexagesimal tenemos que configu-rarla en «MODE = DEG».

3.2.2 Sistema circular El ángulo central correspondiente a un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma, recibe el nombre de ángulo de 1 radián. (Generalmente, por conveniencia abreviamos radian con «rad», pero en realidad, en el sistema circular los ángulos son unidades adimensionales, es decir, no debemos escribir su unidad.) Este concepto se ilustra en la figura 3.4.

En la figura 1.5 vimos que el perímetro de una circunferencia es veces el diámetro, el cual a su vez, es el doble del radio r. Entonces, el perímetro p de una circunferencia es: r2p .. (1.112) Cuando el ángulo está medido en radianes, el arco s que describe el extremo del radio es: rs . (1.113) Si el perímetro p se obtiene con 2 y el arco s se obtiene con el ángulo, podemos deducir que los ángulos en el sistema circular puede expresarse en función del número, lo cual nos permite relacio-nar el sistema circular con el sistema sexagesimal de la manera siguiente:

gradosen2360radianesen

3602

º.

º

(1.114)

De esto se deduce:

Figura 3.4 Definición de radián.

1 radián

r

s = r



48

radianesen180gradosen

º (1.115)

Empleando esta relación, tenemos: radianes2360 .º

radianes180 º

radianes2

90 º

Para trabajar con radianes en la calculadora, la configuramos en «MODE = RAD».

3.2.3 Sistema centesimal El sistema centesimal es similar al sistema sexagesimal, salvo que se define como 1 grado a la centé-sima parte de un ángulo recto. En símbolos:

100rectoángulo1deÁngulo G

10011deÁngulo

GM

10011deÁngulo

MS

En consecuencia, de acuerdo a lo anterior se tiene:

Ángulo recto = 100G. Ángulo llano = 2 ángulos rectos = 200G.

Ángulo de 1 giro = 2 ángulos llanos = 400G. Para indicarle a la calculadora que estamos trabajando en sistema centesimal tenemos que configu-rarla en «MODE = GRA».

3.3 Razones trigonométricas Consideremos un ángulo agudo cuyo vértice sea O [figura 3.5 (a)] y sobre uno de sus lados, OQ, le-vantemos perpendiculares tales como AB, A, A”B”, etc. que son triángulos semejantes por tener dos ángulos iguales: el ángulo en O por común y el recto. Luego, como los lados homólogos serán propor-cionales resulta que se pueden establecer varias razones iguales entre los catetos opuestos o adya-centes al ángulo O y las hipotenusas correspondientes.

Algunas de las relaciones son: ' ' " " ca t et o op u est o a C O N ST A N T E

ca t et o a d yacen t e a ' "A B A B A BO A O A O A

aa

= = = = (1.116)

' ' " " ca t et o op u est o a C O N ST A N T E' " h ip ot en u sa

A B A B A BO B O B O B

a= = = = (1.117)

O A A’ A”

B

B’ B”

A

B C a

b c

(a) (b)

Figura 3.5 Proporcionalidades.



49

Los diversos segmentos BAOAAB ,, etcétera, son cantidades homogéneas y por consiguiente la ra-zón entre un elemento y su correspondiente es un número abstracto, constante e independiente de las dimensiones de los lados del triángulo, dependiendo exclusivamente del valor del ángulo. Las razones trigonométricas o angulares son los números abstractos que se obtienen al calcular las razones entre los pares de lados de un triángulo rectángulo. Estas razones trigonométricas toman nombres particulares de acuerdo con las siguientes definiciones.

3.3.1 Seno de un ángulo agudo Se llama seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo a la razón entre el cateto opuesto a di-cho ángulo y la hipotenusa [figura 3.5 (b)].

ca

hipotenusaaopuestocatetoSen

cb

hipotenusaaopuestocatetoSen

(1.118)

En la calculadora, para calcular el seno presionamos la tecla «SIN».

3.3.2 Coseno de un ángulo agudo Se llama coseno de un ángulo agudo de un triángulo a la razón entre el cateto adyacente a dicho án-gulo y la hipotenusa [figura 3.5 (b)].

cb

hipotenusaaadyacentecatetoCos

ca

hipotenusaaadyacentecatetoCos

(1.119)

En la calculadora, para calcular el coseno presionamos la tecla «COS».

3.3.3 Tangente de un ángulo agudo Se llama tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].

ba

aadyacentecatetoaopuestocatetoTg

ab

aadyacentecatetoaopuestocatetoTg

(1.120)

En la calculadora, para calcular el la tangente presionamos la tecla «TAN». Para no olvidarnos de estas tres relaciones fundamentales, recurrimos a la regla mnemotécnica es-quematizada en la figura 3.6.

3.3.4 Cotangente de un ángulo agudo Se llama cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre el cateto adya-cente y el cateto opuesto a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].

ab

aopuestocatetoaadyacentecatetoCotg

ba

aopuestocatetoaadyacentecatetoCotg

(1.121)

S O R - C A R - T O A El SENO es el

OPUESTO sobre el RADIO

El COSENO es el ADYACENTE

sobre el RADIO

La TANGENTE es el OPUESTO sobre el

ADYACENTE

Figura 3.6 Regla mnemotécnica.



50

En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷TAN».

3.3.5 Secante de un ángulo agudo Se llama secante de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].

bc

aadyacentecatetohipotenusaSec

ac

aadyacentecatetohipotenusaSec

(1.122)

En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷COS».

3.3.6 Cosecante de un ángulo agudo Se llama cosecante de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto a dicho ángulo [figura 3.5 (b)].

ac

aopuestocatetohipotenusaCo

bc

aopuestocatetohipotenusaCo

sec

sec (1.123)

En la calculadora, para calcular la cosecante presionamos la tecla «1÷SIN».

3.3.7 Cómo utilizar la calculadora Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora, procedemos así:

Colocamos la calculadora en el modo DEG (Sist. Sexagesimal). Para encontrar el coseno de 35º 25’, tecleamos: COS 3 5 º’” 2 5 y en el visor aparece: 0.8149592552, entonces el coseno de 35º 25’ es 0,8149592552. Para encontrar la cosecante de 35º 25’, tecleamos: 1 : sin 3 5 º’” 2 5 y en el visor aparece: 1,72557117, entonces la cosecante de 35º 25’ es 1,72557117 De igual modo podemos obtener el seno o la tangente, con las teclas SIN y TAN respectivamente.

Para hallar un ángulo conociendo una de sus razones trigonométricas, procedemos así: sen α = 0,1254, pulsamos: SHIFT SIN 0.1254 y aparecerá 7.203855856; luego pulsamos º’” y leere-mos en el visor: 7º12’13.88” entonces α = 7º 12´ 13,88”. De igual manera podemos hallar el ángulo conociendo el coseno o la tangente, pulsando SHIFT COS y SHIFT TAN. En todos los casos es conveniente operar conservando en la calculadora todas las cifras de los resultados parciales.



51

3.3.8 Identidades trigonométricas

El círculo trigonométrico es un círculo de radio igual a 1, por lo que si dentro de él se inscribe un trián-gulo rectángulo, y se considera el ángulo central, los catetos opuestos y adyacentes de dicho triángulo resultan iguales al seno y al coseno del mencionado ángulo, respectivamente. El círculo trigonométrico permite obtener cualquier razón trigonométrica simplemente empleando una regla. Antes de la aparición de las calculadoras científicas, era un método eficaz para obtener las ra-zones trigonométricas sin necesidad de calcularlas, aunque la precisión dependía de la exactitud del gráfico. El círculo trigonométrico permite determinar diferentes relaciones entre las razones trigonométricas, las cuales resultan de gran utilidad en ciertos procedimientos matemáticos, ya que permiten simplificar las expresiones. En física, por ejemplo, se utilizan a veces estas relaciones ya que ponen de manifies-to de manera más clara un determinado fenómeno. Estas relaciones se denominan identidades tri-gonométricas. A continuación se exponen algunas de las identidades trigonométricas más utilizadas.

cossentg

cossec 1

sen

1ec cos

sen

g coscot

tg

1g cot 1sen 22 cos

21sen cos 2sen1cos cos.cos.)( sensensen

cos.sen22sen 22 sen2 coscos cos.cos.)( sensensen

2212 coscos

2

21sen2 cos

sensen .cos.cos)(cos

21

22 coscos

2

12

sen2 cos

sensen .cos.cos)(cos

1tg 22 sec 1ecg 22 coscot

coscos 21tg

1ec

2

sec

seccos

ec1ec 2

coscoscos

2g1

g

cot

cotcos

cos)º( 90sen sen90 )ºcos( g90tg cot)º(

tg90g )º(cot ec90 cos)ºsec( sec)º(cos 90ec

� O

cos se

n

tg

cotg

1

cosec

sec

Figura 3.7 Círculo trigonométrico. I Cuadrante

II Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante



52

3.4 Resolución de triángulos El triángulo es una figura geométrica de gran importancia en ingeniería. Por ejemplo, cuando se cons-truyen columnas reticuladas de acero, podemos ver que el reticulado forma triángulos. Esto es así porque el triángulo es la figura geométrica que permite emplear la menor cantidad posible de material para resistir un esfuerzo dado. En el análisis de sistemas de fuerzas, por ejemplo, el triángulo permite descomponer una fuerza determinada en componentes ortogonales, facilitando el cálculo. Cuando se analizan sistemas de potencia en corriente alterna, el triángulo permite determinar qué porcentaje de la potencia se utiliza, y qué porcentaje de potencia se devuelve a la red eléctrica sin ser consumida en la carga. Cuando se analizan ecuaciones diferenciales en matemática avanzada, muchas veces se apela al uso de triángulos para efectuar cambios de variable y poder hallar una solución. La resolución de triángulos consiste en determinar la medida de cada uno de los lados del mismo, la medida de cada uno de los ángulos internos y determinar también, la magnitud de su área. Para obte-ner estos valores, empleamos los teoremas siguientes.

3.4.1 Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rec-tángulo, es igual al cuadrado de la hipotenusa. En la figura 3.8 se ilustra un triángulo rectángulo de catetos a y b y de hipotenusa h; para este triángulo el teorema de Pitágoras establece: h2 = a2 + b2 (1.124) Una aplicación de este teorema es la identidad trigonométrica que establece que 1sen 22 cos En el círculo trigonométrico (figura 3.7) podemos ver que el triángulo rectángulo inscripto en la circun-ferencia tiene por catetos a sen y a cos Al elevar el cuadrado ambas cantidades, el resultado debe ser igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo; como dicha hipotenusa es 1, su cuadrado también será 1, con lo que se obtiene la identidad trigonométrica mencionada (identidad que se ex-tiende a cualquier valor de hipotenusa). El teorema de Pitágoras sólo es válido para triángulos rectángulos, es decir, aquellos triángulos con un ángulo interior recto. La utilidad de este teorema es la de permitir calcular uno de los tres lados del triángulo en función de los dos restantes, independientemente del valor de los ángulos internos del mismo.

3.4.2 Teorema del seno

El teorema del seno permite relacionar la medida de los lados de cualquier triángulo (inclusive rectán-gulos) con la medida de sus ángulos internos. El teorema del seno establece que las medidas de los lados de cualquier triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Matemáticamen-te, haciendo referencia a la figura esto es:

a

b c

Figura 3.9 Triángulo no rectángulo.

h

a

b

h

Figura 3.8 Triángulo rectángulo.



53

sen

csen

bsen

a (1.125)

Para poder aplicar el teorema del seno debemos conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, o bien conocer dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

3.4.3 Teorema del coseno El teorema del coseno establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de estos los lados por el coseno del án-gulo comprendido. Matemáticamente, haciendo referencia a la figura ¡Error! No se encuentra el ori-gen de la referencia.esto es: cos.. ba2bac 222 (1.126) Igualmente, para los otros dos lados: cos.. cb2cba 222 cos.. ca2cab 222 (1.127) El teorema del coseno permite determinar conocer la medida de uno de los lados del triángulo en fun-ción de los lados restantes, y del ángulo opuesto al lado que se está calculado.

3.4.4 Ángulos internos de un triángulo La suma de los lados internos de todo triángulo es siempre de 180º.(como los ángulos alternos inter-nos son iguales, se puede demostrar que para cualquier triángulo se cumple). º180 (1.128) Figura 3.10 Angulos interiores del triángulo

3.4.5 Área de un triángulo El área de todo triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. Matemáticamente, haciendo referencia a la figura esto es:

2

haA . (1.129)

Si no se conoce la altura h es posible calcular el área si se aplica la fórmula de Herón cpbpappA ... Siendo p el semiperímetro (a+b+c)/2



54

3.5 Ejercicios de aplicación 1. Indicar en qué cuadrante se situan cada uno de los siguientes ángulos.

a) º3001 c) 'º 28003 e) º1605 b) º2002 d) º7604 f) 'º 153606

2. Expresar en radianes los ángulos mencionados en ejercicio anterior. 3. Trabajar con calculadora científica y expresar en grado, minutos y segundo las medidas de los siguiente án-

gulos

200323

24321 ,;;;

4. Completar la tabla con las medidas de los ángulos y de los arcos generados en sentido positivo en la circun-ferencia de radio 1.

giro

41 giro

21 giro

43 giro1 giros2 giros3

)( gradosen 90º

)( radianesen 2

Medida del arco 2

5. Si conoces la medida de la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo, ¿puedes calcular la

medida del otro cateto? Entonces, completa:

P= .......... H= …………….. N= ……………..

6. ¿Qué longitud debe tener una escalera si debe alcanzar una altura de 6m y su pie debe estar por lo menos a 1,5 m de la pared?

7. Para saber si un marco está torcido, un carpintero mide los lados y una diagonal. ¿Está torcido el marco? 8. Facundo construyó un barrilete con forma de rombo con dos varillas perpendiculares de 80 cm y 60 cm. Si

quiere bordearlo con flecos, ¿cuántos metros necesitará?

P

R

Q

H

B D N

S M

30 cm 37 cm

20 cm



55

9. Calcular los lados y los ángulos de cada triángulo rectángulo

a) 8960 ,ˆ sen b) 3470 ,ˆcos Rta: x =10,75 cm Rta: y =5,21 cm 10. Resolver los siguientes triángulos rectángulos. 11. Hallar ˆyˆ,ˆ

23160,ˆsen 34200,ˆcos 61,ˆtag

.....................ˆ .....................ˆ .....................ˆ

12. Expresar la razón trigonométrica y, con la calculadora, el ángulo correspondiente. 13. Observar la figura y hallar las medidas de A, B y ̂ .

14. Hallar la altura de un poste sabiendo que la cuerda que lo mantiene anclado al terreno mide 15 m y que for-ma un ángulo de 25º con éste.

15. Una escalera de 4 m se apoya sobre una pared, alcanzando una altura de 3 m: a) ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso? b) ¿Cuál es la distancia de la base de la escalera hasta la pared?

x 12 cm

15 cm

y

i

8cm

3cm

2cm 6cm 40º

10cm

63º

a) b) c) d)

c

b

a

j

e

m

s

r

h 7cm

f

d

a) ˆ..........ˆsen

b) ˆ..........ˆcos

c) ..........sen

d) .........tg

10 cm

6cm

8 cm

d

8cm

30º α B

A

3 cm



56

16. El ángulo con el que descienden los aviones de pasajeros cuando van a aterrizar es del 3% ¿A cuántos kilómetros antes del aeropuerto debe iniciar el descenso un avión que vuela a 10 km de altura?

17. Las ruedas de una bicicleta tienen un diámetro de 108 cm. a) ¿Cuánto avanza la bicicleta si uno de los rayos de la rueda trasera gira 36°? b) ¿Cuántas vueltas completas deben dar las ruedas para recorrer 1 km?

18. Calcular la altura de un árbol sabiendo que, cuando el sol se encuentra a 30° sobre el horizonte, proyecta una sombra de 20m. Rta. = 15,626 m.

19. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 cm y 6 cm y se cortan formando un ángulo de 49° 18”. Hallar las longitudes de los lados. Rta: 5,003 cm y 2,339 cm.

20. Para construir un túnel en una montaña que une las localidades P y T se desea determinar su longitud. Para ello se elige un punto C desde donde pueden verse ambas localidades midiéndose TC = 370 m, PC = 442 m y el ángulo TCP = 108°. Hallar la longitud del túnel. Graficar.

21. Para hallar la distancia entre las localidades A y B separadas por una laguna, se toman las siguientes medi-das desde una tercera localidad C. AC = 15 km; BC = 10 km y el ángulo ACB que mide 63° 20’. Hallar la distancia entre A y B.

22. La altura de la torre de la figura es de 35,083 m. Calcular la distancia entre las dos posiciones sucesivas de

un observador si = 50° 12’ y = 32° 51’.

D B

H

C

B

A



57

4 RELACIONES Y FUNCIONES

4.1 Introducción El estudiante necesita habilidad para formular y entender modelos matemáticos como representación simplificada de la realidad, modelos que se expresan generalmente como relaciones funcionales. El propósito de esta unidad es introducir al alumno en el concepto de función, su representación gráfica y su clasificación.

4.2 Relaciones Las relaciones pueden definirse entre elementos de un mismo conjunto o entre elementos de dos con-juntos distintos. Por ejemplo, en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La vinculación entre sus elementos puede ser establecida mediante diferentes reglas: «menor que», «cuadrado de», «múltiplo de», etc. Cuando se definen correspondencias entre los elementos de un mismo conjunto, diremos que se ha establecido una relación de A en A. Veamos ahora la definición de relación entre dos conjuntos A y B: Dados dos conjuntos A y B, definir una relación entre los elementos de ambos conjuntos, es fijar una regla de correspondencia entre ellos. Supondremos que la misma se establece desde A hacia B y la representaremos: C: A B. El conjunto A recibe el nombre de alcance de la relación; el conjunto B rango de la relación. Una forma alternativa de definir una relación entre los elementos de A y los elementos de B, es decir «C es un subconjunto del producto cartesiano de A por B, cuyos elementos son pares ordenados que satisfacen una regla de correspondencia». Una relación definida desde el conjunto A al conjunto B se simboliza: yRxByAxyx /; (4.1) La expresión «x R y» debe ser interpretada como: «el par (x, y) satisface la regla de corresponden-cia», o «a x le corresponde y» según la relación . De acuerdo a esa expresión, entenderemos que siempre el primer elemento del par pertenece al conjunto de partida y el segundo al conjunto de llega-da. Si la relación se define entre elementos de un mismo conjunto: A en A, el alcance y el rango coinci-den. Destacamos acá que estas son las relaciones que tienen mayor interés en nuestro estudio. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4} y en él definimos la relación d = {(x; y) / x < y}. El conjunto producto cartesiano A x A es:

44342414

433323134232221241312111

A

;;;;;;;;;;;;;;;;

En el conjunto producto cartesiano los pares subrayados son los que satisfacen la relación, es decir: d = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}. El producto cartesiano y la relación, pueden ser representados gráficamente en un sistema de coor-denadas cartesianas, formado por dos líneas rectas perpendiculares, que sirven de referencia en un plano y que dividen al mismo en cuadrantes: 1° (I), 2° (II), 3° (III), 4° (IV). Una de ellas, la línea hori-zontal, es conocida como eje de las abscisas o eje de las x, en tanto que la línea vertical se llama eje de ordenadas o eje del las y; la intersección de ambas, es el origen del sistema (figura 4.1).



58

En el eje horizontal se considera semieje positivo el conjunto de puntos que se encuentra a la derecha del origen; hablamos entonces de abscisa positiva; a su izquierda, la abscisa es negativa. En el eje vertical, se define como semieje positivo, el que se encuentra por arriba del eje de abscisas y negativo el que se encuentra debajo del mismo. Esto es convencional. Cuando definimos un punto en el plano, debemos dar dos coordenadas: la abscisa, es decir la distan-cia que hay desde el punto al eje vertical y la ordenada, es decir la distancia que hay desde el punto al eje horizontal. Un punto se representa P(x; y). Si consideramos P(2; 3), este se encuentra en el primer cuadrante (I): abscisa 2, ordenada 3.

4.2.1 Dominio y recorrido de una relación En el siguiente ejemplo veremos qué se entiende por dominio y qué por recorrido de una relación. Sean: A = {1; 2; 3}, B = {1; 4; 9; 15} y f = {(x; y) / y = x2} definida de A hacia B. Para encontrar el con-junto relación, obtengamos primero el producto cartesiano A x B:

A x B = {(1; 1); (1; 4); (1; 9); (1; 15); (2; 1); (2; 4); (2; 9); (2; 15); (3; 1); (3; 4); (3; 9); (3; 15)} De ese conjunto, elegimos los pares que satisfacen la relación:

f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9)} Las primeras componentes de los pares que integran la relación, conforman un subconjunto del alcan-ce y a este subconjunto lo llamamos dominio de la relación. A su vez, cada elemento recibe el nom-bre de argumento. En el ejemplo, alcance y dominio coinciden: son el conjunto A. Las segundas com-ponentes de los pares que verifican la relación, conforman un subconjunto del rango y definen el re-corrido, codominio o conjunto imagen de la relación. Para uniformizar la terminología, hablaremos siempre de recorrido y dejaremos el nombre de imagen para aludir a cada uno de los elementos de este conjunto. En el ejemplo, el recorrido, es un subconjunto propio de B. Designaremos con D(f) al dominio de la relación funcional f, y con R(f) a su recorrido. Según el ejemplo, el dominio y recorrido serán: D(f) = {1; 2; 3}

R(f) = {1; 4; 9}

4.2.2 Relaciones funcionales El término función, sugiere que el valor o comportamiento de una cosa o fenómeno depende del valor de otras u otras, tal como lo entendemos en la vida diaria. Ejemplos de funciones:

a) Las calificaciones en introducción a la matemática, dependen del tiempo de es tudio que cada alumno le dedique. b) Las tasas municipales dependen del nivel de gasto de la comuna. c) El sueldo de un empleado en un comercio, es función de las unidades vendidas en la semana.

Ustedes podrán, posiblemente, sugerir nuevas variables explicativas para estos ejemplos y pensar en muchos otros para analizar, discutir y especificar cómo se relacionan los elementos de un cierto con-

x

y

O

I II

IV III

Figura 4.1 Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.



59

{ }{ }{ }

; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10

1;2; 3; 4;5

1;2

4; 3; 2; 1;1;2; 3; 4

A

B

C

=

=

= - - - -

junto llamado alcance de la función, con los elementos de otro conjunto, llamado rango. Para definir función en forma rigurosa, necesitamos volver al concepto de relación. Sean los conjuntos: Y las relaciones funcionales f y h definidas entre ellos:

f: AB f= {(x, y) / y = x + 2} h: BC h = {(x, y) / y = 2 x } o bien: h = {(x, y) / x = y2}

La representación gráfica de cada función resulta:

1 1 2 2 -4 1 3 3 -3 2 4 4 -2 3 5 5 -1 4 6 6 1 5 7 7 2 8 8 3 9 9 4 1

0 1

0

Figura 4.2 Representación de funciones mediante diagrama Analicemos las diferencias entre estas relaciones.

En la relación f, el dominio coincide con el conjunto de partida. En cambio, en la relación h esto no ocurre. Por otro lado, en la relación f cada elemento del dominio tiene una única imagen. En la relación h, los ele-mentos del dominio tienen más de una imagen en el conjunto de llegada. La relación f es una relación que reciben el nombre de función.

Una relación f definida con alcance el conjunto A y rango el conjunto B, se denomina función si y solo si:

c) x , y / (x, y) f

d) Si (x, y) f (x, z) f y = z La primera condición (condición de existencia) que define una función, nos indica que todo elemento del alcance es elemento del dominio y como tal tiene su correspondiente imagen en un elemento del recorrido. A su vez, el conjunto de todas las imágenes constituye el codominio, recorrido o conjunto imagen de la función y es un subconjunto del rango. La segunda condición (condición de unicidad) nos dice que todo elemento del alcance tiene una y solo una imagen.

4.2.3 Clasificación de funciones Una aplicación es inyectiva si a elementos distintos le corresponden imágenes distintas. Simbólica-mente: (x1 x2) f (x1) f (x2) Una aplicación es sobreyectiva o suryectiva si el recorrido es igual al rango. Simbólicamente: y B, x A / (x, y) f Si una función es inyectiva y al mismo tiempo sobreyectiva, se dice que es biyectiva, estableciéndose una relación biunívoca: todo elemento del dominio tiene su imagen en el rango y todo elemento del rango es imagen de algún elemento del dominio.

f h



60

La figura 4.3 ilustra la clasificación de las funciones.

Atendiendo a las características de toda función biyectiva, es fácil ver que la relación inversa de toda función biyectiva es también una función, que denominaremos función inversa de la dada. Para una función no inyectiva, la relación inversa no define una función, porque el dominio de esta nueva relación es el recorrido de la función original; en él hay imágenes que corresponden a dos o más argumentos y al pasar a ser el dominio, habrá argumentos que tienen dos o más imágenes (no cumple la segunda condición para definir una función). Si una función es no sobreyectiva, la relación inversa no es función porque no cumple la primera condición: esto es, el alcance no coincide con el dominio.

4.3 Estudio de funciones De acuerdo a la ecuación matemática que relaciona a los elementos del dominio con los del recorrido, existen diferentes tipos de funciones, los cuales se resumen en la figura 4.5.

g -1 A B

No es función

f -1

A B

No es función h -1

A B

No es función

i -1 A B

Es función

Figura 4.4 Función inversa.

g A B

Función no inyectiva, sobreyectiva

f A B

Función no inyectiva, no sobreyectiva h

A B

Función inyectiva, no sobreyectiva

i A B

Función biyectiva

Figura 4.3 Clasificación de funciones.



61

Las funciones algebraicas resultan de considerar polinomios, o bien, operaciones con polinomios. Se-rán enteras cuando las expresiones algebraicas sean enteras; racionales cuando las expresiones al-gebraicas sean racionales; e irracionales cuando las expresiones algebraicas sean irracionales. Las funciones trigonométricas resultan de considerar razones trigonométricas en la relación funcional. Las funciones trascendentes resultan de considerar logaritmos, o bien, cuando la variable se encuen-tra como exponente (2x por ejemplo). Veremos a continuación, las funciones más importantes.

4.3.1 Función lineal Una función lineal con dominio y recorrido en R (reales) se define como:

{(x, y) / x R, y R y = ax + b} (4.2) A cada número real x se le hace corresponder con otro número real y, a través de la relación

.y a x b= + El gráfico en un sistema de coordenadas cartesianas es el de la figura 4.6.

Del triángulo rectángulo mostrado en la figura 4.6, calculamos la tangente de ángulo :

xbytg

(4.3)

Si hacemos tga luego despejamos y , nos queda:

y a x b= +

(4.4)

Entonces, a mide la «inclinación» de la recta. Cuanto mayor sea a, más inclinada estará la recta; si a es cero, la recta será horizontal. Llamamos pendiente al coeficiente a. Por otra parte, cuando x vale cero, la ecuación de la recta es y = b, es decir, la recta corta al eje de las ordenadas en el punto b. Por tal motivo, llamamos a b ordenada al origen. Tanto a como b pueden ser positivos, negativos o nu-los. En la figura 4.7 se muestran algunas posibilidades.

x

y

O x

y

b x

y – b

Figura 4.6 Función lineal.

Función

Algebraica Entera Racional Irracional

Trigonométrica

Trascendente Exponencial Logarítmica

Figura 4.5 Tipos de funciones.



62

Existen diferentes formas de la ecuación de una recta, las cuales se indican en la tabla siguiente.

Ecuación general o implícita 0A x B y C+ + =

Ecuación segmentaria 1x yp q

+ =

Ecuación punto-pendiente ( )1 1y y a x x- = -

Ecuación de la recta por dos puntos 1 2 1

1 2 1

y y y yx x x x

- -=- -

4.3.2 Función cuadrática Una función de la forma 2f a x b x c= + + , con a ≠ 0 y a, b y c constantes se denomina función cua-drática. Es una función real de variable real. Con ello queremos decir que tanto el dominio como el rango es el conjunto de los números reales. El dominio de la función es el conjunto de los números reales, en tan-to que el recorrido es un subconjunto del mismo. Los parámetros asumen cualquier número real, con excepción de a que necesariamente debe ser distinto de 0, ya que si a = 0, la función deja de ser cua-drática. El valor y signo de esos parámetros caracterizará a la función cuadrática. Se puede observar que la gráfica de la función cuadrática es una parábola y que como tal, tiene un eje de simetría y su vértice coincide con él (figura 4.8). Cuando a > 0 se puede demostrar que esta pará-bola es de ramas ascendentes (cóncava), como se visualiza en la gráfica de la función; y que a medi-da que crece el valor de a las ramas de la parábola se van cerrando o acercándose a su eje de sime-tría.

En este gráfico se advierte que la función tiene un mínimo en el vértice, es decir, la función asume el menor valor, cuando x es la abscisa del vértice (xv), y el valor que asume es f(xv). En nuestro ejemplo: xv = 1 y f(xv) = –4. Por lo tanto la función es 3x2xxf 2

Se puede demostrar que 2

xxa2bx 21

v

. Esta expresión, también es la ecuación del eje de sime-

tría, siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación cuadrática, que pueden ser o no reales. En el ejemplo, x1 = –1 y x2 = 3. Por lo tanto:

12

312

xxx

22

a2bx 21

vv

;

Figura 4.8 Función cuadrática.

a > 0; b > 0 a > 0; b < 0 a < 0; b > 0 a < 0; b < 0 Figura 4.7 Gráfico de la función lineal para distintos valores de la pendiente y la ordenada al origen.



63

¿Que significado tienen el signo de b y c en la gráfica? Analizando la ecuación del vértice, si b tiene el mismo signo que a, entonces xv, es negativo, lo que se traduce en un desplazamiento del eje de sime-tría a la izquierda del eje de ordenadas. Por el contrario, cuando b tiene signo distinto de a, como en el ejemplo, el eje de simetría se desplaza hacia la derecha. El parámetro c es el valor de la función cuan-do x vale cero, es decir, es lo que se conoce como ordenada al origen. En consecuencia, cuando es positivo, la gráfica de la función interseca al eje de ordenadas por sobre el eje de abscisas, mientras que, si c es negativo (como en el ejemplo), la intersección ocurre por debajo del eje de abscisas. Si la parábola es de ramas descendentes, cosa que ocurre cuando a < 0, la función cuadrática presen-ta un máximo y éste coincide con el vértice. Para calcular los ceros o raíces de una función cuadrática se utiliza la fórmula resolvente:

a2

ca4bbx

2

21 ...

,

(4.5)

Gráficamente los puntos (x1; 0) y (x2; 0) son la intersección de la parábola con el eje de las abscisas.

4.3.3 Función racional Se llama función racional a la que se obtiene como cociente de dos funciones enteras y son de la

forma 1

1 1 01

1 1 0

...

...

n nn n

m mm m

a x a x a x ay

b x b x b x b

--

--

+ + + +=

+ + + +, es decir, una función racional es el cociente entre dos

polinomios. Al estar involucrada la división, el dominio de estas funciones debe tener en cuenta las raíces del poli-nomio divisor para el cual se anula el mismo. Podemos analizar el caso particular de la función racional como cociente de dos funciones lineales llamada función homográfica:

1 0

1 0

a x ay

b x b

+=

+ (4.6)

Esta función no está definida para 0

1

bxb

= - , ya que cuando x toma este valor, el denominador se

anula, y dijimos que la división por cero no existe. La figura 4.9 es un gráfico de una función homográ-fica.

4.3.4 Función exponencial Una función exponencial está definida de la siguiente manera: f (x) = ax a 0 a 1, x R (4.7) Esas restricciones garantizan que el recorrido de la función sea un subconjunto de los números R. La gráfica de esta función depende del valor de a, como éste debe ser mayor que 0 y distinto de 1, se presentan dos situaciones: 0 < a < 1 y a > 1. Consideremos el primer caso y para precisar mejor, tomemos a = ½. Y luego a = 2. Al graficar fijamos distintos valores a x , y calculamos sus correspon-

Figura 4.9 Función homográfica.

0

1

bx

b= -



64

dientes imágenes, construyendo la tabla mostrada junto a cada gráfico en la figura ¡Error! No se en-cuentra el origen de la referencia..

x

21y

4.3.5 Función logarítmica Si observamos la función exponencial xy a= , x es un exponente al que hay que elevar la base a para obtener y; entonces x es logaritmo de y en base a, de lo que resulta la función logarítmica

log .ax y= Definimos formalmente a la función logarítmica como:

1a0aRx0xxy a ;log (4.8) Deducimos que el dominio de la función logarítmica son todos los reales positivos, que desig-namos con R+. El recorrido de esta función son todos los reales (R). En la figura 4.11 se muestran dos funciones logarítmicas. Se comprueba que la curva corta siempre al eje x en 1; esto es así porque el logaritmo de la unidad es cero, independientemente de la base del logaritmo.

xy 2log xy21log

x y … … -5 32 -4 16 -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8

12

xy æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

x y … … -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32

2xy =

Figura 4.10 Función exponencial.

x2y



65

4.3.6 Funciones trigonométricas Como se mencionó anteriormente, las funciones trigonométricas resultan de considerar razones trigo-nométricas en la relación. Las funciones trigonométricas tienen la particularidad de ser periódicas, lo que significa que los valo-res de y se repiten regularmente para valores de x igualmente «espaciados». El valor que «separa» a dos valores diferentes de x para obtener el mismo valor de y se denomina período. En las figuras siguientes se exponen las gráficas de diferentes funciones trigonométricas.

Función: y = cos x Dominio: R Recorrido: 11;

Figura 4.13 Función coseno.

Función: y = sen x Dominio: R Recorrido: 11;

Figura 4.12 Función seno.

2logy x= 12

logy x=

Figura 4.11 Función logarítmica.



66

Función: y = cotg x Dominio: : { x/x≠ k. kεZ} Recorrido: R

Figura 4.15 Función cotangente.

Función: y = tg x Dominio: { x/x≠ (2k+1)./2 kεZ} Recorrido: R

Figura 4.14 Función tangente.



67

4.4 Ejercicios de aplicación Ya sabe qué es una función, cómo se representa y cuál es la tabla que le corresponde. Ahora está en condiciones de que le presenten fórmulas de distintas funciones y de descubrir la forma cartesiana que poseen. 1. Definir por comprensión las siguientes relaciones: a) La suma de las bolillas rojas y las bolillas negras extraídas de una bolsa, debe ser igual a 3. b) Los kilogramos de acero menos 13,60 kg, debe ser igual al doble de kilogramos de plomo.

2. Dados los conjuntos que se enuncian a continuación, y las relaciones definidas en cada caso: definir la rela-ción por extensión, identificar alcance y rango de la relación y encontrar dominio y recorrido de la relación. a) A = {-4, -2, 0, 2, 4}; G = {(x, y)/ x y y = –x} b) A= {1, 2, 3, 4, 5}; R = {(x, y)/ x y y – 4 = –x} c) A = {1, 2, 3, 4, 5}; T = {(x, y)/ x y y = 2 . (x – 3)} d) A = {-4, -2, 0, 2, 4}; W = {(x, y)/ x y y = x – 2}

3. Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso: definir la relación por extensión; identificar alcance y rango de la relación; encontrar dominio y recorrido de la relación; definir la relación inversa. a) R (A x A) A = {x/(x + 2)(x – 4)(x + 5)(x – 3) = 0}; [(x, y) R x y] b) T (A x A) A = {x/(x + 2)(x + 4)(x + 5)(x + 3) = 0}; [(x, y) T y = x –1]

4. Dados los siguientes conjuntos y relaciones, en cada caso: definir la relación por extensión; encontrar dominio y recorrido de la relación; graficar la relación; establecer si la relación es función (justificar), en caso afirmativo, indicar si es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva; encontrar la relación inversa e indicar si es función. a) A = {Números naturales impares menores que 8}; B = {x / x ε –1 x 4}; R : B A R = {(x, y)/ y = 2 x + 1 x ε y ε } b) A = N; B = N; f: A B; f = x2 + 1

5. Representar en ejes cartesianos las siguientes funciones definidas de RR. a) 1 2 1y x= - b) 2

2 1y x= + c) 33y x= d) 4 4y =

6. Hallar el dominio y el codominio de las siguientes funciones escalares (RR). Construye las tablas y luego represéntalas en distintos gráficos cartesianos. a) 1 3 5y x= - b) 2 2y x= - + c) 2

3 2 2y x= - d) 4y x=

7. Sea 12yx

= cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales menos el cero (R – {0}). Represén-

tela y explique por qué le quitamos el cero.



68

8. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representan funciones de RR?

9. Indicar cuál es el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

10. Indicar cuáles de las siguientes gráficas de relaciones son funciones. Justificar.

a) b)

x

y

x

y

x

y

x

y

a) b)

c) d)

a) b) c)



69

11. Dadas las siguientes gráficas, clasificar las funciones como inyectivas, suryectivas o biyectivas.

12. Dada la recta de ecuación 1x21y , obtener la ecuación explícita de la recta s // r que satisface la condi-

ción indicada en cada caso: a) s pasa por el origen de coordenadas. b) s tiene ordenada al origen igual a –1. c) s corta al eje x en x = 5. d) s pasa por el punto P = (-2; -3). e) Expresar las ecuaciones anteriores en forma segmentaria y en forma implícita. 13. Señalar con una X donde corresponda:

Relación Función Inyectiva Suryectiva Biyectiva f: RR, dada por y = x2

g: RR+, dada por y = x2

h: R+R+, dada por y = +(x)1/2

j: RR, dada por y = 5 x

k: RR, dada por y = 5

14. Determinar si existe la función inversa y hallarla:

a) f:RR / y = 2/3 x – 1 b) g:RR / y = - x + 3/4 c)h:RR / y =x2 + 4 d) j:RR / y = (x + 1)3 e)k:RR* / y = 1/x

f)m:R*R / y = 1/x

15. Hallar la fórmula de la función cuadrática que cumpla con los requisitos: a) Su gráfico pasa por el punto (1; -1) y su vértice es el punto v = (-2; 3). b) Su gráfico interseca el eje y en (0; 3) y su vértice es el punto v = (1; 2). c) Una de sus raíces es x = 3 y el vértice de su gráfico es v = (-½; -2).

x

y

x

y

x

y

x

y

a) b)

c) d)



70

16. La fórmula que liga el espacio recorrido x y el tiempo empleado t de un objeto que es lanzado libremente hacia arriba es 25 8 .x t t= - +

a) Graficar x en función de t. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo de lanzado, alcanza el objeto su altura máxima? c) ¿Cuáles son las unidades de los coeficientes: -5 y 8? 17. Hallar la fórmula de una función exponencial que cumpla con las condiciones requeridas en cada caso: a) Pasa por el punto (-1; 3/2) y a = 2. b) a = 0,5 y corta al eje y en y = 4. c) Pasa por los puntos (-3; 1/625) y (5; 625).



71

5 ECUACIONES 5.1 Introducción

Una ecuación es una función proposicional que expresa la igualdad entre dos expresiones al-gebraicas, que involucran una o más variables. Recordemos que una expresión algebraica combina constantes y variables a través de distintas ope-raciones. Ahora planteamos una igualdad entre dos miembros, que solo se verifica para ciertos valo-res de las variables. En otros términos, podríamos decir que una ecuación es una igualdad condicio-nada. Los valores que satisfacen la ecuación reciben el nombre de raíces o soluciones de la misma. Veremos a continuación algunos tipos de ecuaciones, y los métodos de resolución para sistemas de ecuaciones lineales; esto es, sistemas de dos o más ecuaciones y dos o más variables desconocidas.

5.2 Ecuaciones en una variable Las ecuaciones en una variable consisten en polinomios o cocientes de polinomios con una única va-riable independiente y todos los demás coeficientes constantes. A continuación se exponen algunas ecuaciones de una variable.

5.2.1 Ecuación lineal con una incógnita Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: 0a x b+ = , a≠0 donde a y b son constantes no especificadas, generalmente llamadas parámetros. El proceso de encontrar las raíces se denomina «resolver la ecuación». Para ello necesitamos reali-zar ciertas operaciones, que la trasforman en otra más fácil de resolver, pero que admite las mismas soluciones que la original. Es decir que obtenemos una ecuación equivalente a la dada. Dos ecua-ciones son equivalentes si, y solo si, ambas tienen las mismas raíces o soluciones. Las operaciones que nos permiten pasar de una ecuación entera a otra equivalente, son las siguien-tes:

Sumar algebraicamente en ambos miembros de la ecuación, cualquier constante o cualquier expresión en-tera que incluya a la variable.

Por ejemplo, en la ecuación: 4+10 x = 14 sumamos a ambos miembros –4 y obtenemos: 4 + 10 x – 4 = 14 – 4

10 x = 10

Esta última ecuación es equivalente a la planteada. Multiplicar ambos miembros de la ecuación por una constante distinta de cero. Advierta que hablamos solo

de constante y excluimos cualquier expresión entera que incluya a la variable; Retomando el ejemplo, es evidente que para obtener la raíz de la ecuación planteada debemos multiplicar

ambos miembros por 110

:

1x10110x10

101

10x10

..

Para resolver una ecuación lineal, entonces, se llevan a cabo operaciones del tipo enunciado, hasta que se llega a una ecuación equivalente cuya solución es evidente. En otras palabras, la variable se encuentra sola en un miembro. Suele ocurrir que la variable esté en ambos miembros de la ecuación. Como primer paso en la resolu-ción, tendremos que reunir en un único miembro los términos en dicha variable y dejar en el otro, el o los términos constantes. Esto, haciendo uso de la primera de las operaciones indicadas. Por ejemplo, si la ecuación es: 1 3 .x x+ = - Como queremos reunir los términos en x en el primer miembro, y los términos constantes en el segundo, las operaciones que realizamos son:



72

Sumar x en ambos miembros, lo que equivale a decir que –x del segundo miembro pasa sumando al pri-mero:

1 + x + x = 3 – x + x 1 + 2 x = 3

Sumar –1 en ambos miembros, lo que equivale a decir que 1 del primer miembro pasa restando al segundo:

1 + 2 x + (-1) = 3 + (-1) 2 x = 2

Multiplicar ambos miembros por ½:

1x212

21x2

..

5.2.2 Ecuación de segundo grado en una variable Como toda ecuación, la de segundo grado es una igualdad condicionada, con la particularidad de que la única indeterminada o variable es de grado dos. La expresión general es: 2 0a x b x c+ + = , a≠0 donde a, b y c son los parámetros y la única exigencia es que a 0 pues, en caso contrario, la ecua-ción deja de ser de grado dos. Con esa única salvedad, nos proponemos encontrar las raíces o solu-ciones de esta ecuación. La solución general de una ecuación de segundo grado es de la forma:

a2ca4bb

x2

21 ...

,

El doble signo que precede al radical, nos indica la existencia de dos raíces a las que daremos el nombre x1 y x2. Prestemos atención al radicando, el cual recibe el nombre de discriminante.

1) Si el discriminante es positivo, entonces ambas raíces x1 y x2 son reales y distintas entre sí. Esto co-rresponde a un gráfico como el de la figura 5.1 (a). 2) Si el discriminante es nulo, entonces ambas raíces x1 y x2 son reales, pero iguales. El gráfico corres-pondiente es el de la figura 5.1 (b). 3) Si el discriminante es negativo, significa que la ecuación no tiene raíces reales, sino complejas. Esto es así porque la raíz es de índice 2 (par) y el radicando es negativo. Esta situación implica que la parábola nun-ca corta al eje de las abscisas, como se muestra en la figura 5.1 (c). La representación gráfica corresponde a una función de 2º grado, donde las raíces de la ecuación son las raíces de la función y = a x2 + b x + c, donde y = 0

Veamos algunos ejemplos para observar cada caso: Raices reales y distintas

y

x

y y

x x x1 x2

x1 = x2

(a) (b) (c)

Figura 5.1 Interpretación del signo del discriminante.



73

2x24

215

224255x

3x26

215

224255x

1261455

x6c5b1a06x5x

12

11

2

212

.).()(.

,, ;

Raices reales e iguales

31x

186

1806

1836366x

31x

186

1806

1836366x

9219466

x1c6b9a01x6x9

12

11

2

212

.).()(.

,, ;

Raices complejas conjugadas

i21x2

i422

1622

2042x

i21x2

i422

1622

2042x

1251422

x5c2b1a05x2x

11

11

2

212

.).()(.

,, ;

Actividad 5.1 Determinar los valores de b para los cuales la ecuación 24 1 0x b x+ + = tiene dos raices reales igua-les. Si en la ecuación de segundo grado c = 0 la expresión se reduce a 2 0.a x b x+ = La denominamos ecuación de segundo grado incompleta en el término independiente y sus raíces son fáciles de calcu-lar, factoreando el primer miembro:

( )2 0

0

a x b x

x a bx

+ =

+ =

Dado que un producto es cero, si por lo menos un factor es cero, la ecuación anterior implica que x = 0, o bien 0.a x b+ = De esto se deduce que las raíces para este tipo de ecuación cuadrática serán: x1

= 0 y 2 .bxa

= - Si b = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta en el término de primer grado adopta la forma:

2

2

2

0a x c

a x ccxa

cxa

+ =

= -

= -

= ± -



74

Las raíces o soluciones podrán o no ser reales, dependiendo de los signos de a y de c. En cualquier caso, la solución general de las ecuaciones cuadráticas con una variable contempla todas las posibili-dades. Las raíces tienen propiedades, que resultan de sumar o multiplicarlas entre sí. Si se suman ambas raíces se obtiene:

ab

a2ac4bb

a2ac4bbxx

22

21

)()(

Ahora consideremos que se obtiene al multiplicar las raíces:

ac

a4ca4

a4ac4bb

a4ac4bbxx

a2ac4bb

a2ac4bbxx

22

22

2

222

21

22

21

)()(.

))((.

acxx

abxx 2121

.

Nota complementaria: Deducción de la solución general de una ecuación de segundo grado. Se divide miembro a miembro por a y luego se completa trinomio cuadrado perfecto y por último se despeja la variable x

a2ac4bbx

a4ac4b

a2bx

a4ac4b

a2bx

a4ac4b

ac

a4b

a2bx

ac

a2b

a2bx

abx

0ac

a2b

a2bx

abx0

a2b

a2b

acx

abx0

acx

abx

2

21

2

2

2

2

2

2

2

22222

222

2222

;

5.3 Sistemas de ecuaciones lineales Hasta aquí hemos trabajado con ecuaciones que involucran una única variable. Consideremos ahora una ecuación lineal con dos variables. Una ecuación lineal con dos variables x e y tiene la siguiente estructura:

,a x by c+ =

donde a, b y c son los parámetros de la ecuación y los dos primeros no pueden ser nulos. Consideremos el siguiente ejemplo: Una empresa fabrica dos productos diferentes, que nombraremos A y B. Dispone de 100 horas de trabajo destinadas a la elaboración de los dos productos. Como am-bas producciones son rentables, a la gerencia le interesa utilizar las 100 horas disponibles. Los reque-rimientos horarios por unidad de producto son:

Para A: 4 horas. Para B: 2 horas.



75

Si le encargamos al ingeniero determinar cuántas unidades de cada producto hay que fabricar, aten-diendo a la disponibilidad horaria: Primero identificamos lo que constituyen datos (horas disponibles en este caso) y definimos las varia-bles o incógnitas (cantidades a producir). Avanzando en la formalización del problema, simbolizare-mos con x e y, las cantidades del producto A y B respectivamente. Planteamos ahora una ecuación con dos variables: 4 2 100.x y+ = Estamos en presencia de una sola ecuación y dos incógnitas. Este modelo no admite una única solución sino infinitas. Por ejemplo x = 10 e y = 30 es una de las infinitas soluciones; x = 15 e y = 20 es otra, y así podría-mos encontrar infinitas más. Cualquier solución se obtiene al asignarle a una de las variables un valor determinado, quedando planteada una ecuación lineal con una incógnita, que admite una única solu-ción. La representación simbólica de las infinitas soluciones se obtiene despejando una variable en función

de la otra: x250y o alternativamente: y2125x

En un problema como el propuesto, donde las variables representan cantidades producidas, éstas no serán nunca negativas. El máximo valor que asume y es 50; ese valor se obtiene suponiendo que x es igual a cero. En otras palabras, la empresa fabrica solo el producto B. Del mismo modo obtenga usted el máximo valor que puede asumir x. Resumiendo, cuando tenemos una única ecuación y más de una variable, habrá infinitas soluciones, en el conjunto de los números reales. En cambio, si el modelo se representa con dos o más variables, la solución para el modelo puede o no existir, y existiendo, puede ser única o infinitas, como veremos a continuación.

5.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Muchos problemas en el mundo de los negocios, como así también en otros ámbitos no exclusiva-mente económicos, nos llevan a plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consideremos la siguiente situación. «Buena fe», un negocio de venta de café molido a la vista del cliente, vende dos calidades de café; uno a $ 4,00 el kg y el otro a $ 3,00 el kg. El dueño decide la molienda de 100 kg de un nuevo corte de café, mezclando las dos calidades de granos y vendiéndolo a $ 3,40 el kg ¿Cuántos kilos de café de cada grano deberá mezclar para no alterar los ingresos? Detrás de este problema, se supone que la clientela aceptará el nuevo tipo de café y comprará los 100 kilogramos. Aceptando esto, veamos como planteamos el problema para encontrar su solución. Llamemos x a la cantidad, en kilogramos, de café del primer tipo e y a la calidad del segundo tipo en la misma unidad de medida. Con esto hemos definido las variables del problema. Con la suma de am-bas cantidades debemos obtener 100 kg. La primera ecuación será por lo tanto: 1 0 0x y+ = (5.1) Las variables x e y en este caso se encuentran elevadas a un exponente igual a uno. Por ello es que denominamos a la ecuación de grado uno o lineal. El comerciante pretende no alterar sus ingresos; los que antes hubiera obtenido se pueden calcular como 4 3x y+ ya que 4 y 3 son los precios de un kilogramo de café de las respectivas clases. «Precio por cantidad» es ingreso por venta; por ello su-mamos los ingresos provenientes de la venta de una y otra calidad. A su vez, esto debe ser igual al ingreso proveniente de la venta del nuevo corte: 100 kg a $ 3,40 el kilogramo nos da un ingreso de $ 340. Lo razonado se traduce en la siguiente ecuación: 4 3 340x y+ = (5.2) Esta última ecuación junto con la ecuación (5.1) forman un sistema de dos ecuaciones con dos varia-bles o incógnitas: 1 0 0x y+ = (5.3) 4 3 340x y+ =

Es un sistema lineal, porque es un conjunto de ecuaciones lineales. Cuando el sistema tiene solución, decimos que es compatible; en caso contrario lo caracterizamos como incompatible.



76

¿Qué significa que tenga solución? Significa que existe por lo menos un valor para cada variable, que verifica el sistema, es decir, que convierte a cada ecuación en una identidad. En el ejemplo al reem-plazar x = 40 e y = 60 en el sistema se obtiene: 40 + 60 = 100 4.(40) + 3.(60) = 340 Cuando el sistema admite una única solución, es decir cuando encontramos un único valor para cada incógnita, decimos que el sistema es compatible determinado, como resultó nuestro ejemplo. A continuación presentamos otro ejemplo de sistema, al que llamaremos compatible indeterminado:

x – 3 y = 2 2 x – 6 y = 4 Para resolver el sistema, trabajemos con el método de sustitución. De la primera ecuación despeja-mos x y obtenemos: 2 3 ;x y= + expresión que reemplazamos en la segunda ecuación:

( )2 2 3 6 4.y y+ - = Cuando realizamos las operaciones necesarias en el primer miembro obtenemos: 4 = 4. Hemos obtenido una identidad. Toda vez que ello suceda significa que el sistema es indetermina-do. Cuando un sistema tiene infinitas soluciones en el proceso de búsqueda de la solución llegamos a una identidad, es decir una igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable (4 será igual a 4, siempre, independiente de x y de y). Nos resta considerar un sistema incompatible. Decimos que un sistema es incompatible cuando no admite solución. Veremos que en la búsqueda de la solución de un sistema incompatible se arriba a una contradicción. Por ejemplo:

4 x – 2 y = 4 – 2 x + y = 0 De la segunda ecuación despejamos y: 2 ;y x= expresión que reemplazamos en la primera ecuación:

( )4 2 2 4,x x- = de lo que resulta luego de operar 0 = 4 ¿Por qué esta incongruencia? Precisamente porque no hay ningún valor para x e y que verifique el sistema. Cuando en el proceso de resolución se llega a una contradicción, el sistema es incompatible. NO ADMITE SOLUCIÓN. Resumiendo lo visto hasta ahora en el siguiente cuadro:

solucióntieneNoleIncompatibfinitasinSoluciónadominerdetIn

únicaSoluciónadominDeterCompatible

linealesecuacionesdosdeSistema

5.3.2 Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, se aplican los métodos algebraicos de: igualación, sustitución, reducción o determinantes. La solución en un sistema de ecuaciones linea-les con dos incógnitas, puede ser:

5.3.2.1 Método de sustitución a) Se selecciona una de una de las ecuaciones y se despeja una de las incógnitas. b) Se sustituye la expresión obtenida en la incógnita de la ecuación restante. c) Se resuelve la ecuación resultante, que es de una sola incógnita d) El valor obtenido se reemplaza en la despejada en el primer paso. e) Verificación, reemplazar las dos incógnitas por los valores obtenidos en las ecuaciones originales.



77

Ejemplo: sea el sistema:

5 y 2-3/2x 3 y 2x

1) y = 3 – 2 x 2) 3/2 x – 2 ( 3 – 2 x ) = 5 3) 3/2 x – 6 + 4 x = 5 11/2 x = 11 x = 2 4) y = 3 – 2 . 2 y = – 1 5) 2.(2) + (-1) = 3 3/2 (2) – 2 (-1) = 5

5.3.2.2 Método de igualación a) Se despeja en ambas ecuaciones una de las incógnitas elegidas. b) Se igualan las expresiones obtenidas c) Se resuelve la ecuación obtenida en una sola incógnita. d) Se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones despejadas del primer paso.

e) Verificación, reemplazar las dos incógnitas por los valores obtenidos en las ecuaciones originales.

Tomemos como ejemplo el mismo sistema de ecuaciones del punto anterior. Resulta así:

5 y 2-3/2x 3 y 2x

1) y = 3 – 2 x y = ¾ x – 5/2

2) 3 – 2 x = ¾ x – 5/2

3) 11/2 = 11/4 x x = 2

4) y = 3 – 2 . 2 y = – 1 5) 2.(2) + (-1) = 3 3/2 (2) – 2 (-1) = 5

Como podemos apreciar, se han obtenido las mismas soluciones que en el punto anterior.

5.3.2.3 Método de reducción por suma y resta o de eliminación gaussiana a) Se ordena el sistema encolumnando los términos semejantes. b) Se multiplican las ecuaciones por un número conveniente, para igualar en valor absoluto los coeficientes

de una misma incógnita, en las dos ecuaciones. c) Según que dichos coeficientes resulten de igual o distinto signo, se restan o suman miembro a miembro

ambas ecuaciones, con lo que se logra eliminar una de las dos incógnitas. d) Se resuelve la ecuación de una sola incógnita. e) Se reemplaza ésta por su valor obtenido en una de las ecuaciones o se calcula por el mismo método la otra

incógnita multiplicando a ambas ecuaciones por otro escalar conveniente. Tomando como ejemplo el mismo sistema de ecuaciones anterior, resulta:

5 y 2-3/2x 3 y 2x

1) 2. ( 2 x + y ) = 2 . 3

( 3/2 x – 2 y) = 5

2) (4 x + 2 y ) = 6



78

( 3/2 x – 2 y) = 5

3) (4 x + 2 y ) = 6 + ( 3/2 x – 2 y) = 5 11/2 x = 11 4) 11/2 x = 11 x = 2 5) 2 . (2) + y = 3 y = -1

5.3.2.4 Método de los determinantes Este método es una generalización del método anterior; también será de estudio posterior este tema en particular durante el cursado de 1º año de la carrera de ingeniería. Para poder aplicar este método, las ecuaciones deben estar ordenadas de la siguiente manera:

222

111

c y bx acy b xa

Las incógnitas se calculan con las fórmulas:

Pyy

Pxx

;

Se llama a x determinante en x, y se llama determinante en y, y P se llama determinante prin-cipal, los que se calculan de la siguiente forma:

122122

11

122122

11

122122

11

cacacaca

y

bcbcbcbc

x

babababa

P

..

..

..

Para el sistema de ecuaciones que estamos analizando en todos los casos resulta:

5 y 2-3/2x 3 y 2x

211

291052

332

y

115625

13x

211

23422

312

P

1

211211

Pyy2

21111

Pxx

;

Este método presenta tres grandes ventajas respecto de los demás: a) Es de aplicación directa, sin requerir operaciones algebraicas. b) Se aplica sin grandes variaciones para sistemas de dos, tres y n incógnitas con dos, tres y n ecuaciones,

respectivamente. c) Puede ser programado en calculadoras y computadoras, lo que resultará de gran utilidad en las materias

avanzadas, agilizando la resolución de cálculos de diseño.



79

5.4 Inecuaciones El concepto de desigualdad trae aparejado el de inecuación, la cual puede pensarse como la des-igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus variables. Recordamos algunas propiedades de las desigualdades: Propiedad 1 Si a ambos miembros de una desigualdad se suma o se resta la misma cantidad, el sentido de la desigualdad no cambia. a b a + k b + k ejemplo 4 7 4 + 2 7 + 2 6 9 4 7 4 + (-3) 7 + (-3) 1 4 Propiedad 2 Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigual-dad no cambia. a b a . k b . k 4 7 4 . 2 7 . 2 8 14 Propiedad 3 Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma cantidad negativa, el sentido de la des-igualdad cambia (se invierte). a b a . (-k) > b . (-)k 3 7 3 . (-2) 7 . (-2) -6 > -14 Es común encontrar desigualdades donde se involucran tres miembros (doble desigualdad). Por ejem-plo:

2 (x + 1) 4 2 x + 1 x + 1 4

1 x x 3 1 x 3

5.5 Interpretación geométrica de las ecuaciones 5.5.1 Ecuación lineal con una incógnita

La representación gráfica de una ecuación lineal con una variable x, es sobre una recta en la que cada punto representa a un número real; es decir hay una correspondencia unívoca entre un número real y un punto de la recta. Así por ejemplo, si la euación que se quiere representar es: 2 x + 3 = –1 x = –2.

Figura 5.4 Gráfico de la ecuación sobre la recta 5.5.2 Ecuaciones de segundo grado

En las ecuaciones de segundo grado con una incógnita, las soluciones posibles se pueden representar en un eje de abscisas, pero si suponemos que la ecuación 2a x by c+ + está igualada a otra variable, por ejem-

plo y, se convertirá en una función cuadrática 2y a x b y c= + + y se justificará entonces que si tenemos

dos raíces reales y distintas, es porque la gráfica de la parábola corta al eje de las x en puntos que denomi-namos justamente raíces [figura 5.1 (a)]. Si tiene raíces reales e iguales, entonces la gráfica corta en un solo punto [figura 5.1 (b)]. En cambio, cuando las raíces de la ecuación son complejas y conjugadas, la parábola asociada a dicha ecuación no corta al eje de las x [figura 5.1 (c)].

5.5.3 Sistemas de 2 Ecuaciones con 2 incógnitas

En los sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa una recta en el plano, por lo tanto las raíces que son el conjunto solución, serán las coordenadas del punto de intersección de las rectas, es por ello que cuando un sistema es compatible determinado, las

–Infinito –7 –6 –4 –5 –2 –3 –1 0 1 2 3 4 5 6 Infinito



80

rectas se cortan [figura 5.2 (a)], si es indeterminado (infinitas soluciones) las rectas son coincidentes [figura 5.2 (b)], y si el sistema es incompatible las rectas son paralelas no coincidentes [figura 5.2 (c)].

y

x

(a)

Figura 5.2 Interpretación de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

y

x

(b)

y

x

(c)



81

5.6 Ejercicios de aplicación 1. Plantee las ecuaciones que sugieren los siguientes enunciados; (las cantidades desconocidas deben ser re-presentadas por letras, no resuelva): a) La suma de los productos fabricados por las secciones A, B y C de la empresa es de 6.000 unidades. b) La cantidad de ingresantes a la facultad en 1996 es un 10% mayor que en 1994. c) Por cierto documento cuyo valor nominal es de $ 500 se ha efectuado un descuento porcentual, de tal manera que se abona efectivamente $ 475.

2. Resolver las siguientes ecuaciones lineales:

a) 20 50 300x + = Rta: x=12,5

b) 2 32xx - = Rta: x=2

c) 1 22

xx -= + Rta: x=3

d) 31 24

x -+ = - Rta: x= -9

e) 2 113 3

x x- ++ = Rta: x= ∞

f)

13 2 4 122 2 2

x xx

- -= -

- -

Rta: x= {}

3. Plantee y resuelva los siguientes problemas:

a) Cierto evento escolar convoca a 1500 estudiantes, los cuales para una mejor organización se han distribui-do asignándoseles por cada grupo un docente a cargo. Si se sabe que después de la división un docente tiene a su cargo 15 alumnos, pero el resto de los docentes tienen 45 estudiantes cada uno, ¿cuántos docentes hay? b) Se le informa a un comerciante que el precio con el I.V.A. (del 24%) de cierto producto es de $ 434. ¿Puede usted determinar cuál es el precio del producto sin el I.V.A.?

4. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) –x2 + 8 x + 9 = 0

Rta: x1 = -1 x2 = 9

b) x2 – 3 x + 3 = 3

Rta: x1 = 0 x2 = 3

c) 2 x2 = 8

Rta: x1 = 2 x2 = -2

d) x2 + 4 x + 1 = –1

Rta: x1 = -2+ 2

x2 = -2- 2

e) x2 + 2 x + 1 = 0 Rta: x1 =-1 x2 = -1

5. Plantee y resuelva. a) Se sabe que la base y la altura de un rectángulo son tales que la altura mide 2 cm. más que el doble de la base. Si la superficie del rectángulo es de 40 cm2 ¿cuánto mide la base?



82

b) La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es de 434 ¿cuáles son esos números? 6. Encuentre la solución a la siguiente ecuación:

2

2

4 152 2 .2 1 2 1 4 1

x x

x x x

+ +- =

- + -

7. Clasifique las siguientes ecuaciones y resuelva: a) ( ) ( )2 31 9 2 3x x x x x- - + - = -

b) ( )2 21 3 5 4 2 2x x x x- + - + = - +

8. Si la ecuación 3 x2 + b (x – 2) + 1 = 0 tiene como raíces dos números que sumados dan 6 ¿cuál es el valor de b?

9. Sabiendo que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática con coeficiente a=-2 es –1 y su producto es –12; reconstruya la ecuación correspondiente. 10. Construya la ecuación de segundo grado con coeficiente a = 3 sabiendo que sus raíces son 3 y –1. 11. Resolver por el método más conveniente cada uno de los siguientes sistemas y comprobar las soluciones:

a)

9 y 2-3x 2 y 42x

Rta: X=5/2 Y=-3/4

d)

2 2

1-y3

2-5x

7 y 31-3)2(x

Rta: X=1 Y=3

b)

8321334

)yx.()yx.(xy

Rta: X=-3 Y=1

e)

34 y

35-2x

56 y

21-3x

Rta: X=1/3 Y=-2/5

c)

)yx(

yxx

2 15

yx1 )5.(x2-x

Rta: X=3 Y=2

f)

25 y 2-3x 5y -x

Rta: X=15 Y=10

12. Interpretar y resolver: a) Si se aumentara la medida de la base de un rectángulo en un 30%, su perímetro sería de 164 cm. Si se au-mentara la altura en un 50% (sin cambiar la medida de la base), el perímetro sería de 170 cm. Calculen las me-didas de la base y la altura del rectángulo.

b) Con las treinta y cuatro monedas de 25 y 50 centavos que tenía ahorradas, María se compró una camisa que costaba $14 ¿Cuántas monedas de cada valor había en su alcancía? c) El perímetro de un rectángulo es de 38 cm, y uno de los lados mide el doble que el otro, aumentado en 4cm. Calcular la medida de sus lados y la diagonal.



83

Unidad 1- NÚMEROS REALES - AUTOEVALUACIÓN 1) Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. VERDADERO FALSO a) Todo número racional es entero b) Los números irracionales no son reales c) El producto de dos números racionales no puede ser natural d) La suma de dos irracionales siempre es irracional e) La suma de dos racionales no puede ser real

2) Seleccione una respuesta, justificar las opciones falsas:

a) 31255 5 a) 3

3

75175

b) 33

3

75175

c) 2713 3 d) 8

14 33

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

3) Seleccione una respuesta

irracional decimal periódico mixto decimal exacto El número 89,1347 es:

decimal periódico puro 4) Indicar la opción correcta

a) 16

15

543543543 .

71 No tiene solución 1

b) 162

54

. 71 No tiene

solución 1

c) 5 35 25 35 2 71717171 .. 71 No tiene solución 1

5) Resuelve los siguientes problemas, incluye tu procedimiento. a) Un bidón lleno de querosen pesa 8 Kg. Se derrama la mitad del querosen, después de lo cual bidón y conte-

nido pesan 4 Kg. y medio. Determinar el peso del bidón vacío. b)Conduces un autobús con capacidad para 40 pasajeros, que se encuentra con el 30% de su capacidad; y en

la primera estación bajan 8 pasajeros y suben 26 pasajeros; en la segunda estación bajan el 60% de los pasajeros y suben otros 3 pasajeros; en la tercera estación bajan 14 pasajeros. ¿Cuántas personas que-dan en el autobús? y ¿cómo se llama el conductor?

6) Indicar la opción correcta

54245c

36141b

935a

21

41

35

21

32 2

)))

..

40241c

80241b

519a

5732

534

)))

.

16c1552b52a

138165436

)))

..

7) Resolver las expresiones radicales, racionalizando cuando sea posible y llegar a la mínima expresión.

a) 8212232 b) 3 242 c) 43 4 522 .. d)

4 368

8) Indicar la opción correcta. Justificar la elección.

aa alog) = 2a = 0 = a2 = 1

103b 10log) ln 3 3ln 3010 ,log 31

21

10log



84

Unidad 2- EXPRESIONES ALGEBRAICAS - AUTOEVALUACIÓN 1) Determinar los coeficientes, términos, términos independientes y grados de los siguientes polinomios. Para

ello ordenar en forma decreciente y completar cada uno de los mismos. a) 5 x4 – 7 x2 + 2 x + 16 b) –x3 + 8 x2 – 2 x + 3

2) Escribir dos polinomios de 6º grado cuya suma sea de 2º grado. 3) ¿Qué expresión hay que restar a 6m3m4 para que la diferencia sea 8m4 2 8m4 2 ? 4) Determinar el dividendo D(x), divisor d(x), Cociente C(x), y Resto R(x) de los siguientes polinomios.

a) ( 4 x3 + 2 x2 + 5 x – 8 ) ÷ ( x – 2 ) = b) x4 + a x3 – a2 x2 + a3 x – 2 a4 ) ÷ ( x – a )

Calcular “m” para que el resto de A(x): B(x) sea 26, siendo 2xxBy2mxxx4xA 23 5) Resuelva los siguientes problemas. )( x

a) Un campo rectangular tiene de perímetro 16x20x12 23 . Hallar la longitud de uno de sus lados si el otro vale: 2x4 2

b) Calcular la superficie y el volumen de una esfera de radio: 10x50 2 , (x – y )2 – 6 ( x – y ) + 9 =

6) Factorea los siguientes polinomios utilizando todos los casos posibles:

a) a361a

31a 23 b) 7b

401b

58

c) 80m5 4

7) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas e indicar los casos de factoreo utilizados:

x2

xx3 2

1x1x

2

2

4y2x

x4x

x22

2

2

2

:

x2x36x4

x53x2

2 :



85

Unidad 3- TRIGONOMETRIA - AUTOEVALUACIÓN 1) Completar el cuadro, según corresponda: En Radianes 4

3 367

Sistema Sexa-gesimal

90º 45º 150º 112° 40 205° 15´ 40"

2) Resolver el triángulo rectángulo de la figura, utilizando los datos que se indican en cada caso:

a) a = 120 m B = 35° 15´ b) a = 3500 m C = 15° 18´ 32" c) c = 130 m B = 72° 10´ d) b = 239 m B = 29° 12´ 15" e) b = 15 m c = 7 m

3) En el triángulo rectángulo de la figura, determinar la medida de los segmentos CP, PB y PA; utilizando los

siguientes datos: a = 35 m C = 19° 18´ 32" Triángulo A P B rectángulo en P

4) Resolver las incógnitas en cada caso , según la información que se da:

5) Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m del pie del poste y lo ve, bajo un án-gulo de elevación de 53º 20` 15”. ¿Cuál es la altura del poste? 6) Calcular los catetos y los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que su hipotenusa mide 16 cm y la diferencia entre sus ángulos agudos es de 40º

8) Dos observadores situados a una distancia de 1000 m dirigen sendas visuales a un punto notable de una nube. Sabiendo que los dos observadores y el punto están en un mismo plano vertical y que los ángulos de elevación son de 58º 30` 20” y 79º 12` 40” respectivamente. Calcular la altura de dicho punto.



86

Unidad 4- RELACIONES Y FUNCIONES - AUTOEVALUACIÓN 1. Si un coche va a 80km por hora, ¿ que espacio habrá recorrido al cabo de 2, 3, y 3,5 horas?

a) Dibuja la gráfica de la función espacio-tiempo. b) ¿Qué tiempo empleará en recorrer 200 y 320km?

2. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos: b) (3, 1) y (4, -5). 3. Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que pasa por los puntos

P(3,4) y Q(2,1). 4. Antonio ha comprado un coche que le ha costado 19500 $. El coche pierde un 20% de su valor por cada año.

Al cabo de un tiempo decide venderlo y le dan 5200 $ . ¿Cuántos años han pasado? 5. Obtener la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a “r” que pasa por (0,-2). 6. Representa la gráfica de la función cuadrática y =x2 -3x+2 7. Representa gráficamente las siguientes funciones afines, indicando en cada caso cuál es

la pendiente y cuál es la ordenada en el origen: a) y = x + 3 b) y = -2x + 1 c) y = 2x + 1 8. Determinar la ecuación de la recta en los siguientes supuestos: a) Tiene pendiente 5 y pasa por el origen de coordenadas. b) Es paralela a y=2x+1y pasa por el punto (1, 2). c) Pasa por los puntos A = (1, -3) y B = (2, 1). 9. Cuando hablamos de funciones donde “m” es la pendiente y “n” es la ordenada en el origen, nos estamos

refiriendo a… Funciones polinómicas de segundo grado. Funciones polinómicas de primer grado. Funciones de proporcionalidad inversa. 10. Señala el término “parábola”: La recta que pasa por el vértice en una función polinómi-ca.

Gráfica en la que la recta pasa por el origen de coordena-das.

Gráfica de la función polinómica de segundo grado con una rama creciente y otra decreciente.

11. Di cuáles son dos de las principales características de una parábola: Verdadero Falso Eje de coordenadas y puntos simétricos. Eje de simetría y vértices. Hipérbola y asíntota vertical.



87

Unidad 5- ECUACIONES E INECUACIONES - AUTOEVALUACIÓN 1. Resolver las siguientes ecuaciones simples. a) 105x

b) 43x2

c) 10x2x5

d) 8x52x3

e) 3x434x

21

f) )()( 3x215x3

g) )()()( 9x6315x2

214x2 h)

)()( 5x3

5x32

i) 22 4x2

3x3

)()(

j)

2x2

21

21x

1

)(

k) 22x

x12x23

3

)(

l) 02x3x ))((

m) 02x1x3x ))()(( n) 1

8x4x3

2

o) 095x

51 2

p) 0x8x

54 2

2- Al comenzar los estudios de ingeniería se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemá-

ticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió co-rrectamente?

3- Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si

se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. . 4- Resolver los sistemas de 2x2 por algún método apropiado

a)

3yx9yx

b)

4y3x25y4x3

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL …¡tica... · Problemas de aplica-ción. BIBLIOGRAFÍA Apunte...

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