Matemtica Discreta 2015

Universidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional CrdobaIngeniera en Sistemas de informacinMatemtica Discreta

RBOLES

Alumna: Lizarralde Bressan, Delfina

Legajo: 69712

Curso: 1k1

RBOLESUn grafo G = (N, S) consiste en un conjunto finito N cuyos miembros se llaman nodos o vrtices, y una familia finita de pares no ordenados de nodos a cuyos elementos llamaremos segmentos o aristas.

Se denomina rbol a un grafo simple, conexo y acclico, es decir, un grafo que no posee ciclos y existe exactamente un solo camino entre cada par de nodos.

Se suelen referenciar con la letra A.

Los grafos G1 y G2 son rboles, mientras que los grafos G3 y G4 no lo son.

En el caso que un grafo sea acclico pero no conexo, a dicho grafo se lo denomina bosque, y cada componente conexa es un rbol.Un rbol trivial es aquel en el cual el nmero de nodos es igual a uno.

Un subgrafo T es un rbol maximal de un grafo G conexo, si es un rbol y contiene todos los vrtices de G.

PROPIEDADES DE LOS RBOLES:

Si a, b son nodos de un rbol A = (N, S), entonces hay un camino nico que conecta estos nodos.

En cualquier rbol el numero de nodos es igual al numero de aristas ms uno, es decir,

A = (N, S), |N| = |S| + 1.

Para cualquier rbol finito A = (N, S), si |S| > 1, entonces A tiene al menos dos nodos colgantes. O lo que es igual, cualquier rbol finito no trivial tiene al menos dos nodos extremos.

Para cualquier rbol A finito no trivial:

Cada pareja de nodos esta conectada por exactamente una trayectoria.

A es conexo, pero si se quita cualquiera de sus aristas, el grafo que resulta no es conexo.

A no posee ciclos, pero si se le agrega al grafo cualquier arista (sin agregar nodos) el grafo resultante tiene exactamente un ciclo. En ciencias de la computacin los rboles son particularmente tiles. Por ejemplo se utilizan para organizar informacin de tal modo que sea posible efectuar eficientemente operaciones que ataan a esa informacin. Para construir algoritmos eficientes para localizar artculos en una lista. Para construir cdigos eficientes para almacenar y transmitir datos, etc.

RBOLES DIRIGIDOS:

Un rbol dirigido es un rbol con un nodo r distinguido como raz y tal que cada arista apunta del vrtice ms cercano a la raz, al ms lejano. Desde r hasta cualquier otro nodo, existe un nico camino que los une.Suelen ser dibujados con arcos, reemplazando las aristas, indicando su direccin.

Nodo hoja: todo nodo que no tiene ramificaciones o descendientes.

Nodo rama: es la trayectoria dirigida continua de un nodo a una hoja.Nodo interno: todo nodo que no es raz, ni terminal u hoja.

Grado de un nodo: es el nmero de descendientes directos de un determinado nodo.Nivel de un nodo: es la longitud de la nica trayectoria de la raz a un nodo.

Grado de un rbol: es el mximo grado de todos los nodos del rbol, es decir, el grado ms alto entre todos los nodos.

Altura de un rbol: es el mximo nmero de niveles de todos los nodos del rbol.Se dice que un nodo u procede a otro v, o que v sigue a u, si la trayectoria de la raz a v, incluye a u.

Un rbol es una estructura jerrquica de un conjunto de elementos llamados nodos, uno de los cuales se distingue como raz, que establece una relacin de parentesco entre estos elementos, la cual esta dada por la disposicin de las aristas.

Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodo X es apuntado por el nodo Y. En este caso es comn utilizar la expresin X es hijo de Y.

Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodo X apunta al nodo Y. en es caso es comn utilizar la expresin X es padre de Y.

Se dice que todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de un mismo nodo (padre), son hermanos.

Un rbol con raz de denomina rbol m-ario si todos los nodos internos tienen a lo sumo, m hijos. Si en un rbol todos los nodos internos tienen exactamente la misma cantidad de hijos, dicho rbol de se llama m-ario completo.Un rbol binario es un rbol dirigido si un vrtice tiene, a lo sumo, dos hijos. Siendo r el nmero de ramas y h el nmero de hojas en un rbol binario, se puede demostrar que: r = h 1. Un rbol etiquetado es un rbol en el que cada vrtice tiene una nica etiqueta. Los vrtices de un rbol etiquetado de n vrtices reciben normalmente las etiquetas {1,2,..., n}.

Un rbol regular u homogneo es un rbol en el que cada vrtice tiene el mismo grado.Recorrido de un rbol Dirigido

Recorrer un rbol, es determinar en que orden se visitaran o procesaran sus datos.

Dados que los rboles son estructuras jerrquicas, no lineales, existen distintas maneras de recorrerlo, entre ellas se encuentran, primero en profundidad y primero en anchura.

En primero por profundidad, el recorrido comienza en el nodo raz, luego se listan los nodos expandiendo el hijo actual de cada nodo hasta llegar a una hoja, y se recorren de izquierda a derecha los nodos hermanos, luego se vuelve al nodo anterior siguiendo por el siguiente hijo y as sucesivamente.

En primero por anchura, el recorrido tambin comienza en el nodo raz, pero antes de listar los nodos de nivel n + 1, se deben haber listado todos los niveles n.

Recorrido de un rbol Binario

Pre orden: (raz, izquierdo, derecho).1. Visite la raz.2. Atraviese el sub-rbol izquierdo.3. Atraviese el sub-rbol derecho.Inorden: (izquierdo, raz, derecho).1. Atraviese el sub-rbol izquierdo.2. Visite la raz.3. Atraviese el sub-rbol derecho.Post orden: (izquierdo, derecho, raz).1. Atraviese el sub-rbol izquierdo.2. Atraviese el sub-rbol derecho.3. Visite la raz.

EJEMPLO PRCTICO:

Raz: A

Ancestros de K: J, C, A

Descendientes de M: no tiene.

Antecesores de P: N, E, A

Hojas: H, I, L, M, P, Q, D.

Altura del rbol: 5 (nivel ms alto mas uno)

Profundidad de C: 1

Hermano derecho de D: E

Hijos de A: B, C, D, E

Nivel de G: nivel 3

Recorrido en profundidad: (A, B, F, G, H, C, I, J, K, L, M, D, E, N, O, P)

Recorrido en anchura: (A, B, C, D, E, F, I, J, N, G, K, O, P, H, L, M)