UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

CONTADURIA PÚBLICA

DOSSIERCALCULO I

DOCENTE: ING. CLAUDIA LLANOS VIDAURRE

II - 2011

INDICE

Identificación de la materia

Objetivos de la asignatura

Contenidos Mínimos

Números Reales

Inecuaciones

Funciones

Límites

Derivadas y Aplicaciones

Integrales

Aplicaciones

I DATOS DE IDENTIFICACIÓN

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA: Universidad Salesiana de Bolivia RECTOR: Dr. Rvdo. P. Thelían Argeo Corona CARRERA: Contaduría Pública y Sistemas DIRECTORA DE CARRERA: Lic. Luz Mila Guzmán Antezana DOCENTE: Ing. Claudia Llanos Vidaurre NIVEL DE LA MATERIA: Segundo Semestre ASIGNATURA: Cálculo I SIGLA: MAT-125 REQUISITO: Álgebra Superior PARALELO: A (Mañana y Noche) E – MAIL: llanosvi@hotmail.com

II OBJETIVOS DE LA MATERIA

GENERAL

Promover la formación integral del futuro Contador Público en el contexto real de la matemática aplicada a las ciencias económicas y financieras, para este valore la utilidad del cálculo en el análisis de interpretación.

ESPECÍFICOS

- Valorar el análisis y su aplicación en el campo de la macroeconomía y microeconomía.

- Interpretar geométrica y matemáticamente las definiciones de límite, derivada e integral.

- Aplicar los teoremas sobre límites, derivadas e integrales en la resolución de problemas

económicos.

- Valorar el cálculo como instrumento importante en el estudio y análisis de fenómenos económicos.

- ADICIONAL

Implementar el Estilo Salesiano en el proceso enseñanza aprendizaje, enfatizando en los pilares básicos: RAZÓN, AMOR Y RELIGIÓN.Implementar el aprendizaje cooperativo y tecnología educacional al estilo Salesiano.

CONTENIDOS DE LA MATERIA

CONTENIDOS MÍNIMOS OFICIALES Número Reales y Desigualdades – Funciones – Límites y Continuidad – La Derivada y Aplicaciones de la Derivada – Integrales y Aplicaciones de las Integrales.

UNIDAD INÚMEROS REALES Y DESIGUALDADESAxiomas. Teoremas de los número reales – La recta real , demostración de teoremas– Desigualdades e inecuaciones – Valor absoluto – Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto- aplicaciones.

COMPETENCIAS UNIDAD I

Construye formalmente el conjunto R de los números reales a partir de los conjuntos numéricos

Aplica las propiedades de los números reales (teoremas), en la interpretación de los modelos económicos.

UNIDAD IIFUNCIONESPares ordenados. Producto cartesiano – Relaciones y funciones – Dominio y codominio de una función – Tipos de funciones – Operaciones – Composición de funciones - Clases de funciones –Función inversa-Funciones especiales- Aplicaciones a la economía.

COMPETENCIAS UNIDAD II

Identifica una función real de variable real determinando su dominio y rango en una regla de asignación.

Representa y reconoce gráficas de funciones reales de variable real comparando sus características en grafos del plano cartesiano

Clasifica a las funciones determinando si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en una serie de reglas de asignación propuestas en la práctica de función oferta y demanda.

Interpreta las diferencias entre una función directa y su inversa

Valora la aplicación de las funciones en la interpretación de fenómenos económicos, en el ámbito macroeconómico y macroeconómico.

UNIDAD III

LIMITES Y CONTINUIDADDefinición y teoremas de límites – Indeterminaciones – Límites de funciones algebraicas – Límites de funciones exponenciales y logarítmicas – Límites de funciones trigonométricas – Continuidad – Aplicaciones.

COMPETENCIAS UNIDAD III

Define e interpreta el concepto de límite de una función real de variable real como una aproximación arbitraria elaborando y analizando una sucesión numérica en un problema de crecimiento poblacional·

Define e interpreta el concepto de continuidad de una función analizando y comparando su grafo, la existencia del límite y su valor en el punto de estudio en un problema propuesto en clases.

Valora el concepto de pendiente para entender la definición de derivada.

Resuelve problemas relativos a las ciencias económicas, particularmente en el proceso de maximización de utilidades y minimización de costos.

UNIDAD IVLA DERIVADA Y APLICACIONES DE LA DERIVADADefinición y teoremas de la derivada – Tabla de derivadas – Reglas de derivación de funciones – Derivadas de orden superior – Derivadas implícitas – Interpretación geométrica de la derivada – Recta Tangente-Teorema de Valor Medio- Teorema de Rolle-Puntos críticos, máximos y mínimos – concavidad y convexidad – Aplicaciones de la derivada a la economía.COMPETENCIAS UNIDAD IV

Define el concepto de derivada como el límite del cociente incremental de una función, dando lugar al concepto de marginalidad en economía.

Determina y explica las propiedades de derivación demostrándolas formalmente en la funciones de producción, explicando los rendimientos decrecientes.

Determina la derivada de una función aplicando las preglas de derivación a una función costo total, costo variable ,etc.· Determina las derivadas de orden superior derivando sucesivamente de una función dada cualesquiera.

Interpreta el significado geométrico de la derivada de una función frontera de posibilidades de producción, en un valor determinado.

Determina y explica el significado de la diferencial de una función en Macro y Micro.

Analiza y aplica el Teorema del Valor Medio demostrando algunos teoremas como consecuencia inmediata.

Determina los valores extremos de una función a través de la primera y segunda derivad de la función en un problema de que involucre la maximización o minimización de funciones en economía.

Construye el dibujo de una función determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos extremos, concavidad, asíntotas de una función cualesquiera. · Valora el cálculo diferencial en el estudio e interpretación de variables macroeconómicas y macroeconómicas.

Valora el cálculo diferencial en la prosecución de sus estudios superiores a nivel de post grado.

UNIDAD V

INTEGRALES Y APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

Integrales indefinidas – Teoremas – Tabla de integrales – Método de integración – Integrales definidas – Teoremas – Aplicaciones de las integrales – Cálculo de áreas en el plano- Aplicaciones a la economía.

COMPETENCIAS DE LA UNIDAD V

Interpreta el concepto de integral como una operación inversa de la derivada.

Determina y explica el significado de la interpretación geométrica de la integral como un proceso de cálculo de área·

Establece la relación que existe entre los teoremas de las derivadas e integrales·

Valora la aplicación de las integrales definidas en el cálculo del excedente del consumidor y productor.

V METODO DE ENSEÑANZA

ESTILO SALESIANO.GRUPOS DE APRENDIZAJE COOPERATIVO TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN

VI METODOLOGÍA DE EVALUACIÓN

1er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual2er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )

3er. Parcial 25% - (5% Trabajo en grupo, 20% evaluación individual )

Evaluación Final Obligatoria 25% (5% T. Grupo – 20% evaluación Individual)TOTAL 100%.

VII BIBLIOGRAFÍA

AUTOR OBRA LUGAR de EDICIÓN EDITORIAL AÑOLOUIS LEITOLD Cálculo con Geometría Analítica España El Ateneo 1972LARZON Cálculo I y II Perú San Marcos 1985L. ESPINOZA Cálculo I y II Mexico Trillas 2000A. VENERO Cálculo I y II Perú San Marcos 1993.

CAPITULO V: Integrales

Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...

En este capítulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f  tal que f (x) 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...

figura 1 figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b).

Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.

Figura 24.

Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por x1, la de la segunda por x2, y así sucesivamente hasta la última, xn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma

(28)

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.

Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.

La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:

(29)

El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29).

5.1 Integral definida

[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por

La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.

Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal

[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por

 

Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y

[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x).

[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y

F' = f

..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal

Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces

(30)

Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.

Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La diferencia (30) se acostumbra a escribir así:

Ejemplo:

La igualdad

muestra que la función x3/3 es una primitiva de la función x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,

Propiedades de la integral definida

Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:

1.

2.

3., siendo c una constante

4.

5., cuando a < c < b

6. Primer teorema del valor medio:

, para al menos un valor x = x0 entre a y b.

7.Si , se verifica .

Ejemplos

1. Sea f (x) = c, una constante, y f (x) = cx; tendremos

2. Sea f (x) = x y f (x) = 1/2 x2; tendremos

3. Sea f (x) = x3 y f (x) = 1/4 x4; tendremos

Integrales indefinidas; técnica de integración.

Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F'(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;... Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.

La primitiva o integral indefinida de la función f (x) se representa por medio del símbolo

Por ejemplo:  . 

Fórmulas fundamentales de integración

xn dx = x(n+1) / (n+1) + C (n  -1)  1/x dx dx = ln|x| + C

Exponente / Logaritmo

ex dx = ex + C  bx dx = bx / ln(b) + C 

ln(x) dx = x ln(x) - x + C

Trigonométrica

sen x dx = -cos x + C  cos x dx = sen x + C 

tan x dx = -ln|cos x| + C

csc x dx = - ln|csc x + cot x| + C sec x dx = ln|sec x + tan x| + C cot x dx = ln|sen x| + C

Resuelta Trigonométrica

cos x dx = sen x + C 

sen x dx = -cos x + C 

sec2 x dx = tan x + C 

csc x cot x dx = -csc x + C 

sec x tan x dx = sec x + C 

csc2 x dx = -cot x + C 

Trigonométrica Inversa

arcsen x dx =

1 

(1-x2)+ C

 

arccsc x dx =

-1

|x| (x2-1)+ C

 

arccos x dx =

-1 

(1-x2)+ C

 arcsec x dx =

1 

|x| (x2-1)+ C

 

arctan x dx =

1

1+x2+ C

 

arccot x dx =

-1

1+x2+ C

 

Hiperbólica

senh x dx = cosh x + C cosh x dx = senh x + C tanh x dx = ln( cosh x ) + C

csch x dx = ln( tanh(x/2) ) + C sech x dx = atan( senh x ) + C coth(x) dx = ln( senh x ) + C

Funciones de varias variables

Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.

El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables es muy similar al caso de dos variables.

Límite de una función de dos variables

Una función f (x, y) tiende al límite A cuando e , si dado un > 0 tan pequeño como queramos, existe un > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad

 (i)

se verifica: . La condición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0, y0), situados en un círculo de radio y centro (x0, y0). (Ayres, 258)]

Continuidad de una función de dos variables

[Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,

Derivadas parciales de una función de dos variables

[Sea z = f (x, y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.

Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,

se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.

Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y

recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a y...

Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo

constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el valor de z/x en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Fig. 56-1.

Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor de z/x en P es la pendiente de la curva CPD en P.

Integrales impropias,

Estudia una clase particular de integrales en las cuales uno o ambos límites de integración escapan hasta el

infinito.

La figura siguiente representa la secuencia sugerida para acceder a los materiales de acuerdo a su ordinal,

aunque puedes seleccionar el que tú desees en cualesquier orden: Para iniciar selecciona con el ratón y haz

clic directamente en el círculo del tema deseado dentro de la figura siguiente:

0Introducción

1Diferenciales

2Integral

Indefinida

3Técnicas de integración

4Integral

Definida

5Aplicaciones

De la Integral

6Integrales

Impropias

LECTURA ADICIONAL

DEFINICIÒN DE LA DEMANDA

La demanda relativa a un producto es el volumen total de compras realizado por una determinada categoría de

clientes, en un lugar y en el curso de un período dado, en unas condiciones de entorno determinadas y para un

esfuerzo de marketing previamente definido.

Se destacan tres dimensiones de esta definición: el producto, el tiempo y el grupo de compradores.

Producto.- Hay que establecer el nivel de agregación del producto o servicio considerado.

Tiempo.- Hay que concretar el horizonte temporal en el que se va a medir la demanda del producto

considerado. Suelen utilizarse el corto, medio y largo plazo. El medio y largo plazo se encuadran dentro de la

elaboración del plan de marketing en el nivel estratégico, y el corto plazo en el nivel táctico.

Grupo de compradores.- Hace referencia al grado de agregación con que se trata a estos últimos.

El cruce de estas tres dimensiones permite hablar de distintos conceptos de demanda y de distintos

planteamientos para su estimación.

Si consideramos definidas las dimensiones relativas al tiempo y al espacio geográfico, es posible establecer

una relación entre la demanda global del mercado y la demanda de una marca.

Cuota de mercado de la marca i.

Demanda de la marca i.

Q = Demanda global del mercado.

Tanto el concepto como la medición de la demanda pueden ser planteados para un mercado, un producto-

mercado o una industria.

Podemos distinguir una nueva dimensión, el nivel del proceso de producción de bienes y servicios. En este

sentido hablamos de demanda final, es decir, la demanda de los bienes que son utilizados por los

consumidores para satisfacer sus deseos y necesidades. Si la demanda se plantea en los niveles intermedios

del proceso de producción hablamos de demanda derivada, es decir, los bienes que son demandados por

otras organizaciones con el fin de producir otros bienes.

Así, la demanda de una empresa en el interior de un mercado es una variable dependiente de un conjunto de

variables explicativas. El objetivo es descubrir estas variables explicativas y determinar la influencia que cada

una de ellas tiene sobre dicha demanda, para así poder hacer una estimación de la misma para cada uno de los

productos-mercados considerados.

Ya hemos señalado que las motivaciones que pueden llegar a tener los individuos para poder consumir

determinados bienes son múltiples. Con todo, supondremos que hay una serie de factores determinantes de las

cantidades que los consumidores desean adquirir de cada bien por unidad de tiempo, tales como las

preferencias, la renta o ingreso en ese período, los precios de los demás bienes y, sobre todo, el precio del

propio bien en cuestión. Si consideramos constantes todos los factores salvo el precio del bien, esto es, si

aplicamos la condición “ceteris paribus, podemos hablar, por ejemplo, de la tabla de demanda del bien A por

un consumidor cuando consideramos la relación que existe entre la cantidad demandada y el precio de ese

bien.

Tabla de demanda

Cantidades demandadas del bien A diversos precios

Bajo la condición “ceteris paribus” y para un precio del bien A determinado, la suma de las

demandas individuales nos dará la demanda global o de mercado de ese bien. Es claro que la

demanda de mercado del bien A seguirá dependiendo del precio del bien, y por tanto tendremos

una tabla de demanda de mercado para el bien A.

PA DA

2 8 4 6 6 4 8 2

La función de demanda es la relación entre la cantidad demandada de un bien y su precio. Al trazar

la curva de demanda se mantienen constantes los demás factores que puedan afectar a la cantidad

demandada, tales como la renta.

Sí f´ < 0 La función de Demanda

DEFINICIÓN DE LA OFERTA

La cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público consumidor en determinadas

cantidades es la oferta

La oferta se define como la cantidad de bienes o servicios que se ponen a la disposición del público

consumidor en determinadas cantidades, precio, tiempo y lugar para que, en función de éstos, aquél los

adquiera. Así, se habla de una oferta individual, una de mercado o una total.

En el análisis de mercado, lo que interesa es saber cuál es la oferta existente del bien o servicio que se desea

introducir al circuito comercial, para determinar si los que se proponen colocar en el mercado cumplen con las

características deseadas por el público.

Dada la evolución de los mercados, existen diversas modalidades de oferta, determinadas por factores

geográficos o por cuestiones de especialización. Algunos pueden ser productores o prestadores de servicios

únicos, otros pueden estar agrupados o bien, lo más frecuente, es ofrecer un servicio o un producto como uno

más de los muchos participantes en el mercado.

En el primer caso referido como el de especialización, se trata de monopolios, donde uno solo es oferente en

una localidad, región o país, lo cual le permite imponer los precios en función de su exclusivo interés, sin

tener que preocuparse por la competencia. A ello, el público consumidor sólo puede responder con un mayor

o menor consumo, limitado por sus ingresos.

Para los casos de un cierto número restringido de oferentes, que se ponen de acuerdo entre ellos para

determinar el precio de mercado, se les conoce como el oligopolio. Muy similar al caso anterior, el

consumidor no afecta el mercado, pues su participación igualmente se ve restringida por su capacidad de

compra.

Sí f´ > 0 La función de oferta

DEFINICIÒN DE EL EQUILIBRIO

En economía entendemos por equilibrio aquella situación en la que no hay fuerzas inherentes que inciten al

cambio. Cambios a partir de una situación de equilibrio ocurrirán solo como resultado de factores exógenos

que alteren el statu quo. Por lo tanto se tendrá una combinación que equilibrio de precio, cantidad ofrecida y

demandada, cuando rija en el mercado un precio para el que no haya ni compradores ni vendedores frustrados

que tiendan a empujar los precios al alza o a la baja para adquirir las cantidades deseadas o estimular sus

ventas.

F´ Oferta INTERSECCIÓN F´ Demanda

3.4 APLICACIONES DE LA DEMANDA, OFERTA Y EQUILIBRIO EN LA ECONOMIA

1. Dado

y = 18 – 3x

y = 4 + 2x

y = 18 – 3x y = 4 + 2x

y = - 3 < 0 La función de Demanda y = 2 > 0 La función de Demanda

3x + y = 18 y = 18 – 3(2.3)

-2x + y = 4 // (-1) y = 18 – 8.43x + y = 18 y = 9.6

2x – y = -45x = 14

x = 14 5

x = 2,8

Oferta

Punto de Equilibrio

Demanda

Dado:

x = 208 – 8x – x^2 y = 1 + x^2 13

x = 208 – 8x – x^2 = 1 + x^2 16 13

x = 13 (208 – 8x –x^2) = 16 + 16x^2

x = 2704 – 104x – 13x^2 – 16 – 16x^2 = 0

x = - 29x^2 – 104x + 2688 = 0 // (-1)

x = 29x^2 + 104x – 2688 = 0

x = - 104 +- (104)^2 – 4 (29) (- 2688)

1 2 3 4

20

15

10

5

2(29)

x = - 104 +- 10816 + 311808 58

x = - 104 +- 322624 58

x = -104 + 568 x = - 104 - 568 58 58

x = 8 x = - 11,5

Remplazando:

y = 1 + 8^2 y = 1 + (- 11,5)^2 13 13

y = 65 y = 1 + 133.25 13 13

y = 5 y = 10, 3

Y

Oferta

Punto de Equilibrio

Demanda

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1