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08/06/2017

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08/06/2017 08:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica


Capítulo II

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Teoria das Probabilidades

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário


Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes


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Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.1 Introdução

A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados

estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de

determinar possíveis correlações e nexos causais.

A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para

explicar a frequência da ocorrência de eventos, tanto em

estudos observacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatística procura modelar a

aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar

a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.

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2.1 Introdução

Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir

o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o

explique, se determinístico ou probabilístico.

Modelo determinístico:

• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis

sistemáticas.

• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a

relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em

forma unívoca e imutável.


2.1 Introdução

Modelo probabilístico:

• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que

são aqueles cujos resultados, mesmo em condições

normais de experimentação, variam de uma

observação para outra, dificultando dessa maneira a

previsão de um resultado futuro.

• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis

sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo

acaso.

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2.1 Introdução

A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo

matemático será o cálculo das probabilidades.

Diante de um acontecimento aleatório é possível, às

vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de

probabilidade.


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade


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2.2 Aleatoriedade

Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado

considerando-se as seguintes afirmações:

(a) Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;

(b) A próxima carta retirada de um baralho será um ás.

• A afirmação (a) pode ser confirmada ou negada de forma

conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é

uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).

• Na afirmativa (b), entretanto, somente pode ser afirmado

que o fato é possível, mas que é possível, também, a

saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.


2.2 Aleatoriedade

No segundo caso somente a realização do experimento

permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;

trata-se de um acontecimento aleatório

Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por

admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem

elementos de juízo suficientes para predizer qual deles

ocorrerá em um determinado experimento.

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Introdução

Aleatoriedade


Espaços amostral

Evento


Probabilidade



2.3 Experimento Aleatório

Características:

Para que um experimento seja considerado aleatório é

necessário que apresente as seguintes características:

1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente

sob as mesmas condições;

2. Não se conhece, a priori, um particular valor do

experimento; entretanto, pode-se descrever todos os

possíveis resultados (as possibilidades);

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Características:

3. Quando o experimento for repetido um grande número

de vezes surgirá uma regularidade na apresentação dos

resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da

fração frequência relativa:

n

rf =

onde: n é o número de repetições, e

r é o número de sucessos de um particular

resultado estabelecido antes da realização do

experimento.



Exemplos:

• Jogar um dado e observar o número mostrado na face

superior.

• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o

número de coroas obtidas.

• Contar o número de peças defeituosas da produção diária

da máquina “A”.

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Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.4 Espaço Amostral

Definição:

• Para cada experimento aleatório, E, define-se espaço

amostral S como o conjunto de todos os possíveis

resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

- Exemplos:

a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.

S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

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- Exemplos:

c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,

acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até

fundir o filamento:

S = {t : t ≥ 0}

d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um

período de 24 horas em uma determinada localidade;

as temperaturas mínima e máxima são registradas:

S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a

máxima



- Exemplos:

e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade

não poderá ser menor que um certo valor (m) e a

temperatura máxima não poderá ser superior a um

certo valor (M).

S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}

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Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade



2.5 Evento

Definição:

• É um conjunto de resultados do experimento.

• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.

Observação:

- Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,

, são eventos.

- S é dito o evento certo e o evento impossível.

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2.5 Evento

- Exemplo 1:

E: lançar o dado e observar o número da face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}

B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}

C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.


2.5 Evento

- Exemplo 2:

E: jogar três moedas e observar o resultado.

(c- cara; k- coroa).

S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

Eventos:

A: ocorrer pelo menos duas caras:

A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}

B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

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2.5 Evento

• Observações:

- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-

se verificar que o número total de eventos extraídos de S é

dado por 2n;

- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de

eventos é 26 = 64.


2.5 Evento

• Observações:

- A partir do uso das operações com conjuntos, novos

eventos podem ser formados:

a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

ambos ocorrem;

b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem

simultaneamente;

c) é o evento que ocorre se A não ocorre.

BA

BA

A

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2.5 Evento

- Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {6}

= {1, 3, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

BA

BA

A

BA


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade


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2.6 Eventos Mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente

exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer

simultaneamente, ou seja, BA

• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}

;

logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a

ocorrência de um número que seja par e ímpar não

pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

BA


Introdução

Aleatoriedade


Espaço amostral

Evento


Probabilidade


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2.7 Probabilidade

Definição:

- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço

amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é

uma função definida em S que associa a cada evento um

número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos

, então )B(P)A(P)BA(P BA






Teorema do produto


Teorema de Bayes


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2.8 Teoremas Fundamentais

• T1: Se é o conjunto vazio, então .

• Demonstração:

- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois

;

- Então, de (iii), temos que ;

- Como , então ou

- Logo .

A

)(P)A(P)A(P

AA )(P)A(P)A(P

0)(P

0)(P

)A(P)A(P)(P



• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (são mutuamente exclusivos),

;

- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),

- Logo P(Ā) = 1 – P(A).

AAS

)A(P)A(P)AA(P

)A(P)A(P)S(P

A Ā

S

AA

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• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (são mutuamente exclusivos),

,

e

P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que

P(A) ≤ P(B).

)BA(AB

)BA(P)A(P)B(P

)A(P)B(P)BA(P

S

A B

)BA(A

BA


• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer,

então .

• Demonstração:

a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no

axioma (iii);


)BA(

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

A

B BA

S

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• Demonstração:

b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e são mutuamente exclusivos;

logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos

e ;

- Logo,


)BA(

)BA(

)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P

)AB( )AB(

).BA(P)BA(P)B(P A

B BA

S


• Demonstração:

- Substituindo o valor de

na expressão anterior, tem-se:

- Analogamente, para três eventos tem-se:


)BA(P)B(P)A(P)BA(P

)BA(P)B(P)BA(P

)CBA(P

)CB(P)CA(P)BA(P

)C(P)B(P)A(P)CBA(P

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P(A) P(B)

P(C)

P(A∩B)

P(A∩C) P(B∩C)

P(A∩B∩C)


Teoremas Fundamentais




Teorema do produto


Teorema de Bayes


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• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

• Considere-se o evento formado por um resultado simples

A = {ai}.

• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi

denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições:

a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n

b) p1 + p2 + ...+ pn = 1

• A probabilidade de cada evento composto (mais de um

elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos

pontos de A.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos


• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A

tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem

duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as

probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a

probabilidade de B ou C ganhar?

• Solução:

P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4p

Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então

4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.

Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.


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• Solução (continuação):

- Qual a probabilidade de B ou C ganhar?

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7. )C(P)B(P)CB(P







Teorema do produto


Teorema de Bayes


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• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto

amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.

• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada

ponto será igual a 1/n.

• Se um evento A contém r pontos, então:

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

n

1.r)A(P


• Frequentemente, este método de avaliar a probabilidade é

enunciado da seguinte forma:

)casosdetotalºn(NTC

)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P

ou

ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn

ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P


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• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho

com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta

de copas?

• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}

4

1

52

13

cartasdetotalºn

copasdecartasdeºn)B(P

13

1

52

4

cartasdetotalºn

reisdeºn)A(P



• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise

combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número

de casos favoráveis (NCF) e o número total de casos (NTC).

• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são

defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:

a) de ambas serem defeituosas;

b) de ambas não serem defeituosas;

c) de pelo menos uma ser defeituosa.


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• Soluções:

a) A = {ambas são defeituosas}

11

1

66

6

NTC

NCF)A(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes6!2.1.2

!2.3.4

)!24(!2

!4CocorrerpodeA

2,12

2,4



• Soluções:

b) B = {ambas não são defeituosas}

33

14

66

28

NTC

NCF)B(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes28!6.1.2

!6.7.8

)!28(!2

!8CocorrerpodeB

2,12

2,8


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• Soluções:

c) C = {pelo menos uma é defeituosa}

OU

33

19

33

141)B(P1)C(P

BCouBdeocomplementoéC




33

19

66

38

NTC

NCF)C(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes38632

)!28(!2

!8

)!18(!1

!84CC4ocorrerpodeC

2,12

2,81,8

• Soluções:

C = {1 defeituosa e 1 sem defeito}+{ambas defeituosas}

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Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e

observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então

P(A) = 1/6.

• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5},

então P(B) = 1/2.

• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à

ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será

P(A/B) = 1/3.

2.11 Probabilidade Condicional

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• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o

espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi

reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a

probabilidade do novo evento é avaliada.

• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do

evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é

denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

.ocorreujápois,0)B(P,)B(P

)BA(P)B/A(P



• Para o exemplo apresentado, tem-se:

3

1

21

61

)B(P

)BA(P)B/A(P

• No caso de aplicações mais complexas é mais prático se

utilizar a seguinte fórmula:

)B(NCF

)BA(NCF

NTC)B(NCF

NTC)BA(NCF

)B(P

)BA(P)B/A(P


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• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados,

considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e

B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o

resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).

• Soluções: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),

(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}

(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}



• Soluções:

.3

1

)A(NCF

)BA(NCF)A/B(P

;15

1

)B(NCF

)BA(NCF)B/A(P

;12

5

36

15

NTC

)B(NCF)B(P

;12

1

36

3

NTC

)A(NCF)A(P


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Teorema do produto


Teorema de Bayes



• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da

definição de probabilidade condicional, como:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos,

A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da

probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade

condicional do outro em relação ao primeiro”.

• Assim:

2.12 Teorema do Produto

)A/B(P).A(P)BA(P)A(P

)BA(P)A/B(P

)B/A(P).B(P)BA(P)B(P

)BA(P)B/A(P

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• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades

onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a

outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas

não sejam defeituosas?

• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}

B = {a segunda peça retirada é boa}

33

14

11

7

12

8)B/A(P).B(P)BA(P

2.12 Teorema do Produto






Teorema do produto


Teorema de Bayes


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• Definição: Um evento A é considerado independente de um

outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade

de A condicionada a B, ou

2.13 Independência Estatística

)B/A(P)A(P

)A/B(P)B(P

Se A é independente de B, então B é independente de A;

logo:

- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são

independentes, então:

)B(P).A(P)BA(P


- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são

independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:

)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P

)A(P).A(P).A(P)AAA(P

...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P

)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P

n1n321n21

n1n2nn1n2n

321321

n1nn1n2121


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• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro

defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com

reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem

defeitos?

• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}

B = {a segunda peça não possui defeito}

- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por

A, ou seja, A e B são independentes; logo:

9

4

12

8

12

8)B(P).A(P)BA(P



• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral

equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de

S, verificar se estes eventos são independentes.

• Solução: S = {1, 2, 3, 4};

A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

}1{CBA

};1{CB};1{CA};1{BA


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4

1)C(P).A(P)CA(P

:olog;4

1)CA(P;

2

1

4

2)C(P;

2

1)A(P:CeAPara

4

1)B(P).A(P)BA(P

:olog;4

1)BA(P;

2

1

4

2)B(P;

2

1

4

2)A(P:BeAPara




8

1)C(P).B(P).A(P

4

1)CBA(P

:olog

;4

1)CBA(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P;

2

1)A(P:CeB,APara

4

1)C(P).B(P)CB(P

:olog;4

1)CB(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P:CeBPara

- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.


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Teorema do produto


Teorema de Bayes



• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos,

tais que .

Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos,

e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as

probabilidades condicionais P(B/Ai).

Então, para cada i, tem-se:

que é o Teorema de Bayes.

SA...AAA n321

)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P

)A/B(P).A(P)B/A(P

nn2211

iii

2.14 Teorema de Bayes

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• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo

bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas

no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se

uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é

branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da

urna 2? e da urna 3?


Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta) 3 4 2

B (branca) 1 3 3

V (vermelha) 5 2 3


Solução:

8

3)u/B(P;

3

1

9

3)u/B(P;

9

1)u/B(P

;3

1)u(P;

3

1)u(P;

3

1)u(P

321

321

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta) 3 4 2

B (branca) 1 3 3

V (vermelha) 5 2 3


08/06/2017

37



59

8)B/u(P1)B/u(P)B/u(P)B/u(P

59

27)B/u(P

59

24

8

3

3

1

3

1

3

1

9

1

3

13

1

3

1

)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P)u/B(P).u(P

)u/B(P).u(P)B/u(P

1321

3

332211

222



Teoria das Probabilidades

FIM

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