Universitat de València - CON ALGUNAS PRUEBAS · 2020-02-07 · 3.2. Sobre la relaci on con la...

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ANALISIS MATEMATICO II:

INTEGRACION DE LEBESGUE

CON ALGUNAS PRUEBAS

Jose Julian Toledo Melero

...

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Indice general

Preliminares 1

Tema 0. La integral de Riemann 1–dimensional 30.1. La integral de Riemann 30.2. La integral impropia de Riemann 6

La integral de Lebesgue en RN 13

Tema 1. Conjuntos nulos 151.1. Medida de un intervalo 151.2. Conjuntos nulos 15

Tema 2. Funciones superiores 232.1. Integral de funciones escalonadas 232.2. Integral de funciones superiores 272.3. Teorema de la convergencia monotona I 29

Tema 3. Funciones integrables Lebesgue 313.1. Funciones integrables Lebesgue en RN 313.2. Sobre la relacion con la integral de Riemann y sobre que funciones son

integrables Lebesgue 33

Tema 4. Teoremas de convergencia 394.1. Teorema de la convergencia monotona II 394.2. Integral impropia de Riemann revisitada 424.3. Teorema de la convergencia dominada 44

Tema 5. Teorema de Fubini. Funciones medibles. Teorema de Tonelli-Hobson 515.1. Teorema de Fubini 515.2. Funciones medibles I 595.3. Teorema de Tonelli-Hobson 61

Tema 6. Conjuntos medibles 656.1. Conjuntos medibles 656.2. Funciones medibles II 68

Tema 7. Cambio de variables 717.1. El Teorema de cambio de variable 717.2. Ejemplos notables de cambios de variable 737.3. Principio de Cavalieri. Calculo de areas y volumenes 81

i

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Preliminares

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TEMA 0

La integral de Riemann 1–dimensional

Empezaremos recordando lo que aprendimos sobre la integral de Riemann y sobrela integral impropia de Riemann.

Estas notas van acompanadas por una serie de ejercicios que el Departamento deAnalisis Matematico de la Universitat de Valencia propone a sus alumnos.

0.1. La integral de Riemann

Definicion 0.1.1. Dada una funcion acotada f : [a, b] → R (f ∈ B([a, b])) yuna particion de [a, b], P (P ∈ P([a, b]), i.e., P = {t0 = a, t1, . . . , tn−1, tn = b}, conti−1 < ti, definimos

mi := ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]},Mi := sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]},

y llamamos sumas inferior y superior de Darboux-Riemann de f respecto deP a

S−(f, P ) :=n∑i=1

mi(ti − ti−1) (suma inferior),

S+(f, P ) :=n∑i=1

Mi(ti − ti−1) (suma superior).

Proposicion 0.1.2 (Propiedades).

1. Si P,Q ∈ P([a, b]) con P ⊂ Q (Q es una particion mas fina que P ), entonces

m(b− a) ≤ S−(f, P ) ≤ S−(f,Q) ≤ S+(f,Q) ≤ S+(f, P ) ≤M(b− a),

donde m := ınf [a,b] f y M = sup[a,b] f .

2. ∀P,Q ∈ P([a, b]),S−(f, P ) ≤ S+(f,Q).

Basta considerar P,Q, P ∪Q en la Propiedad 1.

Ası se puede definir la integral inferior/superior de Riemann como:

Definicion 0.1.3.∫ b

a

f := supP∈P([a,b])

S−(f, P ), (integral inferior),

∫ b

a

f := ınfP∈P([a,b])

S+(f, P ), (integral superior).

3

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Integracion de Lebesgue J. Toledo

Y decimos que una funcion acotada en [a, b], f , es integrable Riemann en [a, b],f ∈ R([a, b]), si ∫ b

a

f =

∫ b

a

f =:

∫ b

a

f.

Teorema 0.1.4 (Criterio de integrabilidad 1/3). f ∈ R([a, b]) sii dado ε > 0,existe P ∈ P([a, b]) tal que

S+(f, P )− S−(f, P ) ≤ ε,

sii dado n ∈ N, existe Pn ∈ P([a, b]) tal que

lımnS+(f, Pn)− S−(f, Pn) = 0.

Ejemplo 0.1.5.

1. Si f ∈ C([a, b]) entonces f ∈ R([a, b]).

2. Si f ∈ B([a, b]) es monotona entonces f ∈ R([a, b]).

3. Si f, g ∈ R([a, b]) entonces fg ∈ R([a, b]) y(∫ b

a

fg

)2

≤∫ b

a

f 2

∫ b

a

g2.

4. Si f ∈ R([a, b]), m ≤ f ≤ M , y φ ∈ C([m,M ]), entonces φ ◦ f ∈ R([a, b]). Enparticular, |f | ∈ R([a, b]), y ∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f |.

Si de φ solo pedimos que sea de R([a, b]), no necesariamente g ◦ f ∈ R([a, b]).

Teorema 0.1.6 (Primer Teorema de la Media). Sean f, g ∈ R([a, b]), f ≥ 0,m ≤ g ≤M . Entonces existe λ ∈ [m,M ] tal que:∫ b

a

fg = λ

∫ b

a

f.

En particular, si g es continua,∫ b

a

fg = g(c)

∫ b

a

f, con c ∈ [a, b].

Teorema 0.1.7 (Teorema Fundamental del Calculo).

1. Si f ∈ R([a, b]) entonces F (x) :=∫ xaf(t)dt define una funcion continua en

[a, b].

2. Si f ∈ C([a, b]) entonces ∃F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]; i.e., F es unaprimitiva de f .

Teorema 0.1.8 (Regla de Barrow). Si f ∈ R([a, b]) y F es una primitiva de fentonces ∫ b

a

f = F (b)− F (a).

4

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Teorema 0.1.9 (Segundo Teorema de la Media). Sean f ∈ R([a, b]) y g ≤ 0creciente. Entonces existe c ∈ [a, b] tal que:∫ b

a

fg = g(b)

∫ b

c

f.

Criterio de Integrabilidad 2/3. Dada f ∈ B([a, b]), P = {t0, t1, . . . , tn} ∈ P([a, b]),y Z = {z1, z2 . . . , zn}, zi ∈ [ti−1, ti], llamaremos suma de Riemman de f relativaa P y Z a

S(f, P, Z) :=n∑i=1

f(zi)(ti − ti − 1).

Teorema 0.1.10. Sea f ∈ B([a, b]). f ∈ R([a, b]) sii existe I ∈ R tal que paratodo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

para toda P ∈ P([a, b]) con ||P || := supi=1,...,n |ti − ti−1| ≤ δ, existe una suma deRiemann S(f, P, Z) tal que

|S(f, P, Z)− I| ≤ ε.

Ademas, I =∫ baf .

Corolario 0.1.11. Sea f ∈ R([a, b]) entonces

lımn

n∑i=1

f(ti−1)(ti − ti−1) =

∫ b

a

f,

con ti − ti−1 = b−an

, t0 = a.

Teorema 0.1.12 (Cambio de Variable).

1. Sea f ∈ R([a, b]) y sea g continua, derivable y estrictamente monotona en elintervalo cerrado de extremos c y d, con g(c) = a, g(d) = b. Entonces∫ g(d)

g(c)

f(t)dt =

∫ d

c

f(g(x))g′(x)dx.

2. Sea f ∈ C([a, b]) y sea g continua y derivable en el intervalo cerrado de extremosc y d, con g(c) = a, g(d) = b. Entonces∫ g(d)

g(c)

f(t)dt =

∫ d

c

f(g(x))g′(x)dx.

En el resultado anterior se usa el convenio de que∫ dch = −

∫ cdh.

Teorema 0.1.13 (Criterio de Integrabilidad de Lebesgue 3/3). Sea f ∈ B([a, b])y sea D el conjunto de discontinuidades de f .

f ∈ R([a, b]) sii D es nulo.

La definicion de nulo y la demostracion de este resultado se veran mas adelante.

5

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0.2. La integral impropia de Riemann

Definicion 0.2.1. Sea f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a,+∞]. Si

∃ lımb→b+

∫ b

a

f :=

∫ b+

a

f

decimos que f es integrable Riemann en sentido impropio en [a, b+[ ([a,+∞[ si b+ =

+∞) y que el valor de su suma es∫ b+af .

Esta definicion coincide con la integrabilidad Riemann (en el caso en que b+ seafinito) si f ∈ R([a, b+]). Los casos interesantes son cuando b+ = +∞ o f no esacotada en b+.

Si f es integrable Riemann en sentido impropio en [a, b+[ tambien escribiremosf ∈ R([a, b+[).

Ejemplo 0.2.2 (Ejemplo 7.1). Si f(x) =1

x2e I = [1,+∞) , se tiene que f es

una funcion integrable en cualquier subintervalo L = [u, v] ⊂ I ya que es continua y

lımv→+∞

∫ v

1

1

x2dx = lım

v→+∞

[− 1

x

]v1

= lımv→+∞

−[1

v− 1

1

]= 1.

De manera que existe∫ +∞

11x2dx ( o es convergente) y vale 1,∫ +∞

1

1

x2dx = 1.

Ejemplo 0.2.3 (Ejemplo 7.2). Si f(x) =1

x2e I = (0, 1], se tiene que f es una

funcion integrable en cualquier subintervalo L = [u, v] ⊂ I ya que es continua y

lımu→0+

∫ 1

u

1

x2dx = lım

u→0+−[1

x

]1

u= lım

u→0+−[1

1− 1

u

]que no existe, esto es, 6 ∃

∫ 1

01x2dx.

Teorema 0.2.4. Sea f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a,+∞].

Si

∫ b

a

|f | ≤M ∀b entonces f, |f | ∈ R([a, b+[).

En particular, si 0 ≤ f ≤ g, f, g ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a,+∞], y sig ∈ R([a, b+[), entonces f ∈ R([a, b+[) .

Si f ∈ R([a, b]) ∀a ≤ b < b+ ∈]a,+∞] y |f | ∈ R([a, b+[), diremos que∫ b+af

converge absolutamente.

Demostracion. Pongamos que b+ =∞ (otro caso es similar). Entonces∣∣∣∣∫ s

r

f

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ s

r

|f |∣∣∣∣→ 0 cuando r, s→ +∞.

6

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El modulo en la parte derecha de la desigualdad anterior esta puesto porque nodistingo la posicion relativa de r y s.

Tambien: si m,n ∈ N,∣∣∣∣∫ n

m

f

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ n

m

|f |∣∣∣∣→ 0 cuando m,n→ +∞,

luego

∃ lımn

∫ n

a

f = λ.

Ahora, si an → +∞, entonces∫ an

a

f =

∫ n

a

f +

∫ an

n

f → λ,

ya que ∣∣∣∣∫ an

n

f

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∫ an

n

|f |∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ n

a

|f | −∫ an

a

|f |∣∣∣∣→ 0 cuando n→ +∞

�

Si bien la integral

∫ +∞

0

senx

xdx converge (vease el Ejercicio 0.2.13), no converge

absolutamente, como veremos en el Ejemplo 0.2.14. Ası pues, la convergencia de unaintegral no implica su convergencia absoluta:

∃∫∞

1sin ttdt < +∞ pero 6 ∃

∫∞1

∣∣ sin tt

∣∣ dt = +∞.

Similarmente podemos dar los conceptos de integral impropia de Riemann parafunciones definidas en ] −∞, a] o no acotadas inferiormente. Por otra parte, si f ∈R([a,+∞[) ∩R(]−∞, a]) decimos que f ∈ R(]−∞,+∞[) y que∫ +∞

−∞f =

∫ a

−∞f +

∫ +∞

a

f.

Si f ∈ R(]−∞,+∞[) entonces∫ +∞

−∞f = lım

b→+∞

∫ b

−bf.

Pero no al reves, puede existir

lımb→+∞

∫ b

−bf =: V P

∫ +∞

−∞f,

que se denomina valor principal de∫ +∞−∞ f , y que f /∈ R(]−∞,+∞[).

Ası como la integral de Riemann permite medir areas de porciones del planoacotadas, la nocion de integral impropia permite calcular areas de porciones del planoque no son acotadas.

Ejercicios (Practica 7)

7

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Ejercicio 0.2.5 (Ejercicio 7.1). Estudiar la convergencia o divergencia de lassiguientes integrales:

(a)

∫ +∞

1

1

xdx

(b)

∫ +∞

−∞e−|x| dx

(c)

∫ 1

0

1

xdx

(d)

∫ 1

0

1√1− x2

dx

(e)

∫ +∞

−∞xe−x

2

dx

Ejercicio 0.2.6 (Ejercicio 7.2). Demostrar que para cada y > 0 se cumple∫ +∞

0

ye−x2y2dx =

∫ +∞

0

e−x2

dx.

Ejercicio 0.2.7 (Ejercicio 7.3). Demostrar que

∫ +∞

a

dx

xpconverge si, y solo si,

p > 1 (se supone a > 0)

Ejercicio 0.2.8 (Ejercicio 7.4). Demostrar que si p > 0 se tienen los siguienteshechos:

(a)

∫ b

a

dx

(x− a)pes convergente si, y solo si, p < 1.

(b)

∫ b

a

dx

(b− x)pes convergente si, y solo si, p < 1.

Con la ayuda del Ejercicio 0.2.7 se puede probar el siguiente resultado:

Teorema 0.2.9 (Criterios para funciones definidas en intervalos no acotados).Sea f integrable en cada intervalo cerrado y acotado de I = [a,+∞), a > 0.

1. Si existen b ≥ a, α > 1 y K > 0 tales que |f(x)xα| < K ∀x > b, esto ocurreen particular si

∃ lımx→+∞

f(x)xα,

entonces

∫I

f(t)dt es absolutamente convergente.

2. Si existen b ≥ a, α ≤ 1 y K > 0 tales que f(x)xα > K ∀x > b, esto ocurre enparticular si

lımx→+∞

f(x)xα > 0,

entonces

∫I

f(t)dt diverge.

8

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Y del Ejercicio 0.2.8 se deduce este otro:

Teorema 0.2.10 (Criterios para funciones no acotadas definidas en intervalosacotados). Sea f integrable en cada intervalo cerrado y acotado de I =]a, b].

1. Si existen α < 1 y K > 0 tales que |f(x)(x−a)α| < K ∀x ∈]a, b], en particularesto ocurre si

∃ lımx→a+

f(x)1

(x−a)α

,

entonces∫If(t)dt es absolutamente convergente.

2. Si existen α ≥ 1 y K > 0 tales que f(x)(x− a)α > K ∀x ∈]a, b], en particularesto ocurre si

lımx→a+

f(x)1

(x−a)α

= a ∈]0,+∞],

entonces∫If(t)dt no es convergente.

Ejercicio 0.2.11 (Ejercicio 7.5). Hallar la convergencia o divergencia de lassiguientes integrales:

(a)

∫ +∞

−∞

dx

1 + x2

(b)

∫ +∞

1

dx

x4 + x2 + 1

(c)

∫ +∞

0

dx√(x+ 1)(x+ 2)

(d)

∫ +∞

2

1 + 6 sen 2x

x2 + 3x3dx

(e)

∫ ∞0

x cosx dx (H: hacer partes)

(f)

∫ ∞0

senx√xdx (H: hacer partes,

∫cos tt3/2∼∫

1t3/2

)

(g)

∫ ∞0

sen(x2) dx (H: un cambio de variable da la anterior)

(h)

∫ ∞0

cosx

x2dx

(i)

∫ +∞

0

x sen(x4) dx (H: ∼∫ +∞

1sin tt1/2

: (f))

(j)

∫ ∞1

sen2 1

xdx (H: ∼

∫1x2< +∞);

(j)

∫ 1

0

sen2 1

xdx (H: un cambio de variable da

∫ +∞1

sin2tt2

)

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(k)

∫ ∞2

1

x logq xdx cuando q > 1 (H: integrar directamente)

Ejercicio 0.2.12 (Ejercicio 7.6). Estudiar la integrabilidad (impropia) de lafuncion definida por f(x) = xp exp(−xq) con p, q > 0 en el intervalo [0,+∞[.(H: ex

q ≥ Cnxqn, n = 1, 2, 3, . . . )

Ejercicio 0.2.13 (Ejercicio 7.7). Demostrar:

(a) Si p > 1, entoncessenx

xptiene integral impropia absolutamente convergente

en [1,+∞[.

(b) Si p = 1, entoncessenx

xtiene integral impropia convergente en [0,+∞[.

(H: integrar por partes en (b). ¡Deducir de esto un resultado mas general!)

Solucion de (b). Es evidente que sinxx∈ R([0, r] para todo r > 1. Sean F (x) =

1x

y f(x) = F ′(x) = − 1x2

, y G(x) = − cosx y g(x) = G′(x) = sinx, entonces

lımr→∞

∫ r

1

sinx

xdx = lım

r→∞

∫ r

1

g(x)F (x)dx

= lımr→∞

F (r)G(r)− F (1)G(1)− lımr→∞

∫ r

1

G(x)f(x)

= − lımr→∞

∫ r

1

cosx

x2que existe;

y hemos utilizado que que

- g tiene una primitiva (G(x)) acotada,

- lımx→+∞ F (x) = 0,

-∫ +∞

1|F ′(x)|dx es convergente

(Criterio de Abel-Dirichlet). �

Ejemplo 0.2.14 (Ejemplo 7.3). Veamos sin embargo que, aunque∫ +∞

0senxx

es

convergente, la integral∫ +∞

0

∣∣ senxx

∣∣ no converge. En efecto, para cada k ∈ N, que∫ kπ

(k−1)π

|senx

x|dx ≥ 1

kπ

∫ kπ

(k−1)π

|sen x|dx =2

kπ

de donde ∫ kπ

0

|sen x

x|dx ≥ 2

π(1 +

1

2+ ...+

1

k).

Luego de la no acotacion de la sucesion∫ kπ

0| senx

x|dx se deduce la divergencia de la

integral

∫ +∞

0

∣∣senx

x

∣∣ dx.

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Sea f ∈ R([x, x′]) para todo x, x′ ∈ R, x < x′, se llama valor principal de∫ +∞−∞ f(t)dt al siguiente valor:

V P

∫ +∞

−∞f(t)dt := lım

x→+∞

∫ x

−xf(t)dt.

El valor principal de una integral puede existir sin que por ello la integral de lafuncion sea convergente:

Ejemplo 0.2.15 (Ejemplo 7.4). Como lımx→±∞1+x1+x2

x = 1, aplicando el Teore-

ma 0.2.9, no existe la integral impropia

∫ +∞

−∞

1 + x

1 + x2dx. Sin embargo, sı que existe el

valor principal porque

lımt→+∞

∫ t

−t

1 + x

1 + x2dx = lım

t→+∞

[arctanx+

1

2log(1 + x2)

]t−t

= lımt→+∞

2 arctan t = π.

Ejercicio 0.2.16 (Ejercicio 7.8). Demostrar que si

∫ +∞

−∞f(x)dx es convergente,

entonces coincide con su valor principal.

Ejercicio 0.2.17 (Ejercicio 7.9). Estudiar la convergencia o divergencia de lassiguientes integrales.

(a)

∫ 1

0

senx

xdx (H: converge pues la funcion es continua en 0)

(b)

∫ 1

0

dx

x2 − 1dx (H: ∼

∫ 1

01

x−1= +∞)

(c)

∫ 1

0

dx

(senx)2dx (H: ∼

∫ 1

01x2

= +∞.)

(d)

∫ 1

0

sen 1x2

3√xdx

(e)

∫ 1

0

x arctanx√1− x2

dx (H: ∼∫ 1

01

(x−1)1/2< +∞)

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La integral de Lebesgue en RN

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TEMA 1

Conjuntos nulos

Los conjuntos nulos juegan un papel especial en la integracion. Veremos que sia una funcion integrable le cambiamos los valores en un subconjunto de su dominioque sea nulo, entonces la funcion resultante tambien es integrable, y con integraligual a la de la funcion anterior. Debera ocurrir pues que R no es nulo. En cuantoal conjunto de los numeros racionales Q, es bien conocido que es numerable, aunquedenso (topologicamente) en R. Vamos a ver ahora que Q es nulo.

1.1. Medida de un intervalo

Definicion 1.1.1. Sean I i, i = 1, . . . , N intervalos de R, al conjunto

I = I1 × · · · × IN

se le llama intervalo en RN . Se dice que es abierto (cerrado) si todos los Ii sonabiertos (cerrados) sii es un conjunto abierto (cerrado). I es acotado sii todos losI i son acotados. I se dice degenerado si al menos uno de los I i lo es. Se define sulongitud o medida como:

|I| := long(I1)× · · · × long(IN),

donde long(I i) = bi − ai si I i es un intervalo de extremos ai ≤ bi. La longitud de unintervalo es cero si el intervalo es degenerado, y es +∞ si el intervalo es no degeneradoy no acotado. Es evidente que si I, J son intervalos con I ⊂ J entonces |I| ≤ |J |.

Si ai <∞ es uno de los extremos del intervalo I i, al conjunto de RN descrito por

{x ∈ RN : xi = ai}

(x = (x1, x2, . . . , xN) representa un punto de RN), se le llama hiperplano (N − 1)-dimensional (o hiperplano) acotante de I (es un plano si estamos en dimension 3,es una recta si estamos en dimension 2, un punto en dimension 1); si este planointeresecta con I, es una cara de I. Si dos hiperplanos acotantes de I se cruzan(N ≥ 2), forman un hiperplano (N − 2)–dimensional acotante de I (si intersecta conI, es una arista si estamos en dimension 3, un vertice si estamos en dimension 2), ...

1.2. Conjuntos nulos

Definicion 1.2.1 (Conjunto nulo). Un conjunto S ⊂ RN se dice nulo si se puederecubrir por una sucesion de intervalos abiertos cuya longitud total (formalmente

15

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hablando) es arbitrariamente pequena, es decir, si dado ε > 0 cualquiera, existe{In}n∈N, In intervalos abiertos, tal que

S ⊂∞⋃n=1

In

y∞∑n=1

|In| ≤ ε.

Obviamente los intervalos seran acotados.

Ejemplo 1.2.2. El conjunto formado por un punto de R es un conjunto nulo.

En efecto: Sea x = (x1, . . . , xN) un punto cualquiera. Dado ε > 0, el intervalo]x1 − ε, x1 + ε[× · · ·×]xN − ε, xN + ε[ recubre a {x}, y tiene medida (2ε)N (que esmenor que ε si este es suficientemente pequeno).

Con esa demostracion basta ya que la suma de las medidas de la siguiente sucesionde intervalos abiertos es menor que ε:

In =]− ε/2n+1, ε/2n+1[×]0, 1[N−1.

Observar que con esta sucesion estamos probando que {0}×]0, 1[N−1 es nulo. �

Es por tanto evidente que si dado ε > 0 cualquiera, existe {In}mn=1 (1 ≤ m ≤ ∞),In intervalos abiertos, tal que

S ⊂m⋃n=1

In

ym∑n=1

|In| ≤ ε,

entonces S es nulo.

Ejemplo 1.2.3. 1. Si {In}mn=1, In intervalos abiertos, es un recubrimento de [0, 1]entonces

m∑n=1

|Ii| > 1.

2. [0, 1] no es nulo.

Ejercicio 1.2.4. Probar que N × N es numerable dando una funcion inyectivaexplıcita de N× N sobre N.

Proposicion 1.2.5 (Propiedades).

1. Si A es nulo y B ⊂ A entonces B es nulo.

2. La union numerable de nulos es un conjunto nulo.

3. Un conjunto numerable es nulo (por ejemplo Q).

16

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Demostracion. La propiedad 1. es evidente. Por otra parte la 3. se deduce dela 2. ya que un punto forma un conjunto nulo. Por otra parte la prueba de 2. es lasiguiente: Sea {Sk} una sucesion de conjuntos nulos y S = ∪kSk. Sea ε > 0 fijo. Paracada k ∈ N, Sk es nulo, luego existe {Ik,j}j una sucesion de intervalos tal que

Sk ⊂⋃j

Ik,j

con ∑j

|Ik,j| ≤ε

2k.

Sea An := {Ik,j : k + j = n}, n = 2, 3, . . . . Entonces

S ⊂

( ⋃I∈A2

I

)⋃( ⋃I∈A3

I

)⋃( ⋃I∈A4

I

)⋃...,

(esta recubierto por tanto por una cantidad numerable de intervalos abiertos) y setiene que, para todo l ≥ 2,

l∑n=2

∑I∈An

|I| ≤l∑

n=2

∑k+j=n

|Ik,j| ≤l−1∑k=1

l−1∑j=1

|Ik,j| ≤l−1∑k=1

ε

2k≤ ε,

de donde se deduce que S es nulo. �

Ejemplo 1.2.6. El conjunto ternario de Cantor es un conjunto nulo, no numera-ble, en R.

Este conjunto se forma del siguiente modo. Tomemos el intervalo

I0 = [0, 1].

Y formemos el conjunto siguiente, dividimos en tres intervalos iguales el intervaloanterior, el de en medio abierto, y lo quitamos:

I1 :=

[0,

1

3

]∪[

2

3, 1

]=

[0,

1

3

]0

∪[

2

3,3

3

]2,

y procedemos de la misma forma con cada uno de los intervalos que queda, formandoası

I2 :=

[0,

1

32

]∪[

2

32,

3

32

]∪

[6

32,

7

32

]∪[

8

32, 1

],

es decir,

I2 :=

[0,

1

32

]0

∪[

2

32,

3

32

]2

∪[

2

3,2

3+

1

32

]0

∪[

2

3+

2

32,2

3+

3

32

]2

.

Procediendo ası obtenemos

C =∞⋂i=0

Ii

que se conoce como conjunto ternario de Cantor.

Ejercicio 1.2.7. Los hiperplanos son conjuntos nulos.

17

DRAFT


Ejercicio 1.2.8.

1. Un intervalo I es degenerado sii es nulo.

2. En la definicion de conjunto nulo podemos quitar la exigencia de que los inter-valos que recubran al conjunto sean abiertos.

Nota 1.2.9 (Medida de un conjunto nulo). Si S es un conjunto nulo, suele escri-birse |S| = 0, y se dice que S tiene medida cero; siendo esta definicion acorde con lamedida para un intervalo. Trataremos de no hablar de medidas de conjuntos que nosean intervalos hasta que definamos la medida de un conjunto en general.

La definicion de conjunto nulo normalmente no es operativa a la hora de identi-ficar a dichos conjuntos. Intuitivamente, una curva es un conjunto nulo en R2 o unasuperficie es nulo en R3. Veamoslo.

Proposicion 1.2.10. Sea I un intervalo de RN y f : I → R continua, entoncessu grafica es un conjunto nulo en RN+1. Lo mismo pasa con la grafica de f si va aparar a RM

Demostracion. Podemos suponer sin perdida de generalidad que I es compacto

I = [a1, b1]× · · · × [aN , bN ]

(ya que todo intervalo se puede escribir como una union numerable de intervaloscompactos). Ası pues tenemos una funcion continua sobre un compacto, luego esuniformemente continua. Sea ε > 0 fijo. Por la continuidad uniforme de f , existeδ > 0 tal que

‖x− y‖ ≤ δ, x, y ∈ I ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

Sea m ∈ N tal que

Dividamos cada intervalo [ai, bi] en m partes iguales y formemos una division deI en mN intervalos compactos formados por dichas particiones:

I =mN⋃j=1

Ij, Ij = [a1j , b

1j ]× · · · × [aNj , b

Nj ],

con bij − aij = bi−aim

para todo i, j.

Sea ahora

Sj := [a1j , b

1j ]× · · · × [aNj , b

Nj ]× [f(a1

j , . . . , aNj )− ε, f(a1

j , . . . , aNj ) + ε], j = 1, . . .mN .

Se tiene que G(f) ⊂⋃mN

j=1 Sj para m suficientemente grande: sea (x, f(x)), x ∈ I,entonces x ∈ Ij para algun j, luego,

‖x− (a1j , . . . , a

Nj )‖ ≤ ‖(b1

j , . . . , bNj )− (a1

j , . . . , aNj )‖ =

(∑Ni=1(bi − ai)2

)1/2

m≤ δ,

si m es suficientemente grande, y por tanto

|f(x)− f(a1j , . . . , a

Nj )| < ε.

18

DRAFT


Veamos ahora cuanto suma∑mN

j=1 |Sj|:mN∑j=1

|Sj| =mN∑j=1

b1 − a1

m× · · · × bN − aN

m× 2ε = mN (b1 − a1) · · · (bN − aN)

mN2ε =

= (b1 − a1) · · · (bN − aN)2ε.

Lo que implica que G(f) es nulo �

Definicion 1.2.11 (Casi por todas partes). Diremos que una propiedad se verificacasi por todas partes (c.p.p.) si se verifica en todo punto o salvo los puntos de unconjunto nulo (¡podemos considerar al conjunto vacıo como nulo!). Tambien diremoscosas como casi para todo (c.p.t.) x ∈ A, que quiere decir para todos los puntos de Asalvo un nulo.

Ejemplo 1.2.12 (Ejemplo 9.13). Vamos a probar que si f1(x) = g1(x) c.p.p. yf2(x) = g2(x) c.p.p., entonces f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x) c.p.p.

En efecto: como f1(x) = g1(x) c.p.p., existe A1 conjunto nulo tal que si x /∈ A1,entonces f1(x) = g1(x). Analogamente existe un conjunto nulo A2 tal que si x /∈ A2,entonces f2(x) = g2(x). Sea A = A1∪A2, que es un conjunto nulo. Si x /∈ A, entoncesf1(x) = g1(x) y f2(x) = g2(x) con lo cual f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x); es decir,f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x) c.p.p. �

Ejemplo 1.2.13. La funcion caracterıstica de los numeros racionales es nula c.p.p.

Ejercicio 1.2.14. 1. Sea H = {x ∈ RN : xi = a}, a ∈ R, un hiperplano. SeanH+ = {x ∈ RN : xi > a} y H− = {x ∈ RN : xi < a}.

Sea I un intervalo y supongamos que H corta a I. Probar que I+ = I ∩ H+,I− = I ∩H− e I0 = I ∩H son intervalos (alguno puede ser el conjunto vacıo), que

I = I+ ∪ I0 ∪ I− (intereseccion disjunta),

y que

|I| = |I+|+ |I0|+ |I−|,donde la medida del conjunto vacıo, si es el caso, es 0 (|∅| = 0).

2. Sea {In}mn=1 una particion disjunta de un intervalo acotado I generada a partirde hiperplanos. Probar que

|I| =m∑n=1

|In|.

(Ayuda: Es facil probarlo por induccion sobre el numero de intervalos de la par-ticion gracias a la parte 1.)

Ejercicios (Practica 8)

Es importante observar que el concepto de conjunto nulo depende de la dimensiondel espacio RN . Por ejemplo, como consecuencia de los ejercicios 1.2.17, 1.2.18 y 1.2.19se sigue que toda recta en R2 es un conjunto nulo.

19

DRAFT


Los primeros ejercicios deberıan hacerse sin usar el resultado probado en el Ejer-cicio 1.2.10.

Ejemplo 1.2.15 (Ejemplo 8.1). Sea A un conjunto nulo de R2. Veamos que elconjunto definido por B = {(x, y) ∈ R2 : (y, x) ∈ A} tambien es nulo.

En efecto: Por ser A nulo, dado ε > 0, existe una sucesion de intervalos abiertosacotados In × Jn, n ∈ N, que cumple A ⊂

⋃∞n=1 In × Jn y

∑∞n=1 |In × Jn| < ε.

Luego para cada ε > 0, existe una sucesion de intervalos abiertos acotados Jn × In,n ∈ N, que verifica B ⊂

⋃∞n=1 Jn × In y∞∑n=1

|Jn × In| =∞∑n=1

|In × Jn| < ε .

Por tanto, B es un conjunto nulo de R2. �

Ejercicio 1.2.16 (Ejercicio 8.1). Demostrar que Q es nulo en R y que R \Qno es nulo.

Ejercicio 1.2.17 (Ejercicio 8.2). Demostrar que si A es nulo en Rn y a ∈ Rn,entonces el conjunto a+ A = {a+ x ∈ Rn : x ∈ A} es nulo.

Ejercicio 1.2.18 (Ejercicio 8.3). (a) Sea α > 0 y consideremos el conjunto{0} × [−α, α] = {(0, y) ∈ R2 : y ∈ [−α, α]}. Demostrar que, para cada n ∈ N, secumple {0} × [−α, α] ⊂] − 1/n, 1/n[×] − 2α, 2α[ y deducir que {0} × [−α, α] esun conjunto nulo en R2.

(b) Probar que no existe ninguna coleccion finita de rectangulos acotados querecubra el eje de ordenadas.

(c) Demostrar que el eje de ordenadas es nulo en R2.

Ejercicio 1.2.19 (Ejercicio 8.4). Sea c ∈ R y consideremos la recta r ={(x, cx) ∈ R2 : x ∈ R}.

(a) Demostrar que, para cada n ∈ N, el conjunto rn = {(x, cx) ∈ R2 : x ∈[−n, n]} es nulo en R2.

(b) Demostrar que r es nulo.

Ejercicio 1.2.20 (Ejercicio 8.5). ¿Cuales de los siguientes conjuntos son nulosen R2 ?

(a) Q×Q(b) Q× R(c) R×Q(d) (R \Q)×Q(e) R× (R \Q)

(f) (R \Q)× (R \Q)

Ejercicio 1.2.21 (Ejercicio 8.6). Demostrar que las fronteras de los siguientesconjuntos son conjuntos nulos en R2:

20

DRAFT


(a) [−1, 1]× [0, 1].

(b) {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.(c) {(x, y) : x2 ≤ y ≤ 1}.(d) {(x, y) ∈ R2 : π

4≤ x ≤ 5π

4, cosx ≤ y ≤ senx}.

(e) {(x, y) ∈ R2 : −1|x| ≤ y ≤ 1

|x| , x ∈ R\{0}}.

Ejercicio 1.2.22 (Ejercicio 8.7). Probar que el conjunto A = {(2 + sen y, y) :y ∈ R} es nulo.

Ejercicio 1.2.23 (Ejercicio 8.8). Si {fn}, {gn} son dos sucesiones tales quefn = gn c.p.p. para cada n y si lımn f = f c.p.p. y lımn gn = g c.p.p., probar queentonces f = g c.p.p.

Ejercicio 1.2.24 (Ejercicio 8.9). Si para cada n ∈ N, la propiedad Pn(x) escierta c.p.p., demostrar que entonces Pn(x) es cierta para todo n ∈ N, c.p.p.

21

DRAFT

TEMA 2

Funciones superiores

2.1. Integral de funciones escalonadas

Dado un conjunto de S ⊂ RN , llamaremos funcion caracterıstica de S a

χS(x) :=

{1 si x ∈ S,0 si /∈ S.

Ası por ejemplo, si I es un intervalo acotado en R de extremos a ≤ b, se tiene quela grafica de χI encierra un rectangulo por encima del eje OX cuya area podemosdefinir como b− a = |I|.

Definicion 2.1.1. Definimos la integral (en RN) de la funcion caracterıstica deun intervalo acotado I como ∫

χI := |I|.

Trataremos de momento con funciones reales definidas en todo RN .

Llamaremos funcion escalonada a una combinacion lineal de funciones carac-terısticas de intervalos acotados:

f :=n∑i=1

aiχIi ,

ai ∈ R constantes, e Ii intervalos acotados.

Definicion 2.1.2. Definimos la integral de la funcion escalonada∑n

i=1 aiχIi como∫ n∑i=1

aiχIi :=n∑i=1

ai|Ii| =n∑i=1

ai

∫χIi .

Las funciones escalonadas no tienen una unica representacion, sin embargo, laintegral definida no depende de la representacion elegida y por tanto esta bien dada,es consistente:

Teorema 2.1.3.

1. Cualquier funcion escalonada tiene una representacion con funciones carac-terısticas de intervalos disjuntos dos a dos con la misma integral.

2. La definicion que hemos dado de integral de una funcion escalonada no dependede la representacion de la funcion.

23

DRAFT


Nota 2.1.4. Dos funciones escalonadas cualesquiera tienen una representacioncon funciones caracterısticas de un mismo conjunto de intervalos disjuntos dos a dos.

Teorema 2.1.5. El conjunto de funciones escalonadas forma un subespacio vec-torial y hemos dado un concepto de integral que es trivialmente un operador lineal endicho espacio.

La consistencia con la idea geometrica viene dada en el siguiente resultado.

Proposicion 2.1.6. Si f y g son funciones escalonadas con f ≥ g entonces∫f ≥

∫g.

Demostracion. Es obvio para g = 0 si usamos una representacion para f comola dada en la prueba del Teorema 2.1.3. Por otra parte, si f ≥ g entonces f − g ≥ 0y de lo anterior y de la linealidad de la integral se concluye el caso general. �

Definicion 2.1.7. Dada una funcion f , se define f+ = f ∨ 0, f− = (−f) ∨ 0 =−(f ∧ 0). Observar que f = f+ − f− y que |f | = f+ + f−.

Observar que f+ = 12(f + |f |), −f− = 1

2(f − |f |), mas general aun, f ∨ g =

12(f + g + |f − g|), f ∧ g = 1

2(f + g − |f − g|).

Proposicion 2.1.8. Si f, g son escalonadas entonces tambien lo son f+, f−, |f |,y ademas, ∫

f =

∫f+ −

∫f−,

y ∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |.Demostracion. Basta ver que |f | lo es para ver que lo sean f± (tambien lo son

f ∨g y f ∧g). Todo se sigue de manera sencilla si suponemos que las representacionesde f y g estan dadas por medio de intervalos disjuntos e iguales, f =

∑i aiχIi ,

g =∑

i biχIi, y por tanto:

|f | =∑i

|ai|χIi , y de −|ai| ≤ ai ≤ |ai| se deduce que

∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |.Por otra parte fg =

∑i aibiχIi , y la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce facil-

mente. �

Ejercicio 2.1.9. Si f, g son escalonadas entonces tambien lo son fg, f 2, g2, yademas se tiene la siguiente desigualdad conocida como de Cauchy-Schwarz:(∫

fg

)2

≤∫f 2

∫g2.

Solucion. Basta ver que fg =∑

i aibiχIi , y la desigualdad de Cauchy-Schwarzse deduce facilmente. �

24

DRAFT


Teorema 2.1.10. Si {fn} es una sucesion creciente de funciones escalonadas(fn ≤ fn+1) tal que {

∫fn} es acotada (o, equivalentemente, convergente) entonces

{fn} converge c.p.p., i.e., existe un conjunto nulo S tal que ∃ lımn fn(x) para todox ∈ RN \ S.

Vemos en este resultado como aparecen los nulos ya desde el principio en estateorıa. Ademas, el resultado anterior tiene un inverso: si S es un conjunto nulo,entonces existe una sucesion creciente de funciones escalonadas {fn} para las que{∫fn} es acotada y {fn(x)} diverge para todo x ∈ S.

Si consideramos la sucesion {fn} y el conjunto S del Teorema 2.1.10, y definimos

f(x) :=

{lımn fn(x) si x /∈ S,0 si x ∈ S,

(dense otros valores en S si se quiere), tenemos que

lımnfn = f c.p.p.

¿Tendrıa sentido definir∫f := lım

∫fn?

Antes de dar la prueba del Teorema 2.1.10, introduciremos el concepto siguiente.

Definicion 2.1.11 (Figura elemental). Un conjunto A ⊂ RN se llama figuraelemental si se puede escribir como la union de un conjunto finito de intervalos aco-tados disjuntos dos a dos. Denotaremos al conjunto de figuras elementales comoFe = Fe(RN).

Si {Ii}ni=1 es una coleccion de intervalos disjuntos dos a dos entonces

χ∪ni=1Ii=

n∑i=1

χIi .

En este caso, ademas, ∫χ∪ni=1Ii

=n∑i=1

|Ii|.

Ejercicio 2.1.12. A ∈ Fe sii χA es una funcion escalonada.

Ejercicio 2.1.13. Probar que si {Ii}ni=1 es una coleccion de intervalos

χ∪ni=1Ii≤

n∑i=1

χIi .

Por tanto, ∫χ∪ni=1Ii

≤n∑i=1

|Ii|.

Observar que si [0, 1] ⊂⋃ni=1 Ii, con {Ii}ni=1 una coleccion de intervalos, entonces∑n

i=1 |Ii| ≥ 1.

25

DRAFT


Nota 2.1.14. Siguiendo con la idea de la Nota 1.2.9, podriamos definir la medidade una figura elemental como

|A| :=∫χA,

siendo esta definicion acorde con las dadas previamente. Pero trataremos de no hablarde medidas de conjuntos que no sean intervalos hasta que definamos la medida de unconjunto en general.

Proposicion 2.1.15.

1. Sean A y B figuras elementales. Entonces A∪B, A∩B, A\B y A4B tambienlo son.

2. Si f es una funcion escalonada y m > 0 entonces

{f ≥ m} := {x ∈ RN : f(x) ≥ m} es una figura elemental.

Demostracion. Basta observar que

χA∪B = χA ∨ χB = χA + χB − χA∩B,(tambien χA∩B = χA ∧ χB)

χA\B = χA − χA∩B = (χA − χB)+.

Para demostrar 2., sea f =∑

i aiχIi una funcion escalonada, con Ii disjuntos dosa dos, entonces

{x ∈ RN : f(x) ≥ m} =⋃

i:ai≥m

Ii. �

Demostracion del Teorema 2.1.10. Podemos suponer que fn ≥ 0 ya que delo contrario consideramos fn − f1. Tenemos que existe K > 0 tal que∫

fn ≤ K ∀n ∈ N.

Sea ε > 0 y sea la figura elemental

Sεn =

{fn ≥

K

ε

}.

Obviamente, como fn ≥ 0,K

εχSεn ≤ fn,

luego integrando, ∫χSεn ≤ ε ∀n ∈ N.

Por otra parte, por ser {fn} monotona, se tiene que

Sεn ⊂ Sεn+1.

SeaSε :=

⋃n

Sεn.

26

DRAFT


Este conjunto contiene los puntos en los que diverge fn: de hecho si fn(x) diverge(a +∞), existe un m tal que

fm(x) ≥ K

ε.

Por tanto,

{x : fn(x) diverge } ⊂ S :=⋂ε>0

Sε.

Veamos, para concluir, que S es nulo. Sea pues ε > 0 entonces

S ⊂ Sε = Sε1 ∪ (Sε2 \ Sε1) ∪ (Sε3 \ Sε2) ∪ · · · ,y cada conjunto que forma esta union es una figura elemental y por tanto formadapor una union de intervalos disjuntos dos a dos. Todos estos intervalos son ademasdisjuntos dos a dos, y si tomamos la suma de las medidas de los que forman

Sε1 ∪ (Sε2 \ Sε1) ∪ (Sε3 \ Sε2) ∪ · · · ∪(Sεk \ Sεk−1

),

esto es, la suma de las medidas de intervalos disjuntos dos a dos que cuya union esSεk, se tiene que vale como mucho ε, y esto es independiente de k, con lo que la sumade las medidas de todos los intervalos que forman Sε es menor o igual que ε. �

Este resultado tiene un inverso.

Lema 2.1.16. Sea S ⊂ RN un conjunto nulo. Entonces existe una sucesion cre-ciente de funciones escalonadas {fn} tal que

i) {∫fn} es acotada (o, equivalentemente, convergente),

ii) si x ∈ S, lımn fn(x) = +∞.

2.2. Integral de funciones superiores

Lema 2.2.1.

1. Sea {fn} una sucesion decreciente de funciones escalonadas no negativas queconvergen c.p.p. a 0. Entonces

lımn

∫fn = 0.

2. Sean {fn}, {gn} sucesiones crecientes de funciones escalonadas con integralesacotadas uniformemente en n. Sabemos que existen f y g funciones tales que

lımnfn = f c.p.p.

y

lımngn = g c.p.p.

Supongamos que

f ≥ g c.p.p.

Entonces

lımn

∫fn ≥ lım

n

∫gn.

27

DRAFT


Definicion 2.2.2. Una funcion f : RN → R se dice que es una funcion superior,y lo denotamos f ∈ Lsup(RN)(= Lsup para simplificar), si existe una sucesion crecientede funciones escalonadas con integrales acotadas (sucesion generadora) tal que fn → fc.p.p. Y se define la integral de f como∫

f = lım

∫fn.

Como consecuencia del punto 2. del Lema anterior, esta definicion es consistente.

Las funciones escalonadas son superiores y las integrales definidas coinciden. Porotra parte, las funciones superiores no forman un espacio vectorial.

Proposicion 2.2.3. Lsup(R) no es un espacio vectorial.

Teorema 2.2.4. Si f, g ∈ Lsup y a, b ≥ 0 entonces:

1. af + bg ∈ Lsup y∫

(af + bg) = a∫f + b

∫g.

2. Si f ≤ g c.p.p. entonces∫f ≤

∫g.

3. f ∨ g, f ∧ g son superiores.

Demostracion. La demostracion de 2. ya esta hecha y la de 1. es muy facil.Veamos 3. Que f ∧ g es superior es facil. Para ver que lo es f ∨ g. Sean {fn} y {gn}sucesiones de escalonadas generadores de f y g respectivamente. Entonces {fn ∨ gn}es una sucesion creciente de escalonadas que converge a f ∨ g c.p.p. Para ver que{∫

(fn ∨ gn)} es acotada basta observar que

fn ∨ gn ≤ fn + gn + |f1|+ |g1|.

Otra forma es usar que a ∨ b = a+ b− a ∧ b y por tanto∫(fn ∨ gn) =

∫fn +

∫gn −

∫(fn ∧ gn)

es convergente. �

Nota 2.2.5.

1. Si f es superior, tambien lo son f+ = f ∨ 0 ( y −f− = f ∧ 0). Pero no tieneporque serlo |f |.

2. Si f y |f | son superiores entonces∣∣∣∣∫ f

∣∣∣∣ ≤ ∫ |f |.En efecto, f ≤ |f |, luego

∫f ≤

∫|f |. Por otra parte, 0 ≤ f+|f | luego 0 ≤

∫(f+|f |) =∫

f +∫|f |, y de aquı tenemos que −

∫|f | ≤

∫f que es lo que faltaba.

Ejercicio 2.2.6. El producto de funciones superiores no negativas es superior,pero si quitamos el adjetivo no negativas es falso en general.

Ejercicio 2.2.7. Probar que la funcion definida en R por f(x) = xχ[0,1[(x) essuperior.

28

DRAFT


Solucion. Dividamos el intervalo [0, 1[ en por la mitad como[0, 1

2

[∪[

12, 1[, y

definamos una funcion escalonada en cada parte que tome el valor mınimo de f endicho intervalo:

f1 = 0χ[0, 12 [ +1

2χ[ 12 ,1[

.

Procediendo similarmente con cada uno de los intervalos obtenidos, generamos:

f2 = 0χ[0, 122

[ +1

22χ[ 1

22, 222

[ +2

22χ[ 2

22, 322

[ +3

22χ[ 3

22,1[,

y ası sucesivamente generamos una sucesion {fn} creciente de funciones escalonadasque convergen en todo punto de R a f . En efecto, si x /∈ [0, 1[, es evidente, y six ∈ [0, 1[, se tiene que existe ik ∈ {0, 2, . . . , 2k−1} tal que ik

2k≤ x < ik+1

2k, y por tanto

x− 12k≤ ik

2k< x, es decir,

x− 1

2k≤ fk(x) < x.

Por ultimo, como∫fk =

2k−1∑i=0

i

2k

∣∣∣∣[ i2k , i+ 1

2k

[∣∣∣∣ =1

4k

2k−1∑i=0

i =1

4k(2k − 1)(2k)

2→ 1

2,

por el teorema de la convergencia monotona concluimos que f es superior, y ademasesto nos sirve para calcular ∫

f =

∫[0,1]

x =1

2. �

En el Tema 3, en el Teorema 3.2.2, probaremos que si f : I → R acotada y con-tinua c.p.p, I intervalo acotado de RN , entonces (entiendase bien) fχI ∈ Lsup(RN).

2.3. Teorema de la convergencia monotona I

El Teorema 2.1.10 se puede reenunciar ahora como

Teorema 2.3.1. [Teorema de la convergencia monotona para func. escalonadas]Si {fn} es una sucesion creciente de funciones escalonadas tal que {

∫fn} es acotada

entonces {fn} converge c.p.p. a una funcion superior f , y ademas∫f = lım

n

∫fn.

Y usando dicho resultado se puede probar el siguiente teorema mas general.

Teorema 2.3.2. [Teorema de la convergencia monotona para func. superiores]Si {fn} es una sucesion creciente de funciones superiores tal que {

∫fn} es acotada

entonces {fn} converge c.p.p. a una funcion superior f , y ademas∫f = lım

n

∫fn.

29

DRAFT

TEMA 3

Funciones integrables Lebesgue

3.1. Funciones integrables Lebesgue en RN

Vamos a considerar el espacio lineal mas pequeno que contenga a las funcionessuperiores. Para ello basta con tomar diferencias de las mismas (tener en cuenta quela funcion cero es superior).

Definicion 3.1.1. Diremos que una funcion real f es integrable de Lebesguesi existen dos funciones g, h ∈ Lsup tales que f = g−h. Y definimos su integral como∫

f :=

∫g −

∫h.

La definicion de integral anterior es consistente, ya que si f = g − h = g − h cong, h, g, h ∈ Lsup entonces g + h = g + h y del Teorema 2.2.4 se deduce que∫

g −∫h =

∫g −

∫h.

Al espacio de las funciones integrables Lebesgue lo denotaremos por L1(RN), obien L1. Este espacio es lineal y la integral definida es lineal.

Teorema 3.1.2. Si f, g ∈ L1 entonces:

1. af + bg ∈ L1 y∫

(af + bg) = a∫f + b

∫g para toda a, b ∈ R.

2. Si f ≥ 0 cpp entonces∫f ≥ 0.

2. Si f ≥ g cpp entonces∫f ≥

∫g.

2. Si f = g cpp entonces∫f =

∫g.

3. f+, f−, |f | ∈ L1 (L1 es un retıculo) y∣∣∫ f ∣∣ ≤ ∫ |f |.

4. Si f = h cpp entonces h ∈ L1 y∫f =

∫h. Es decir, si h = f1 − f2 c.p.p., con

fi superiores, entonces h ∈ L1 y∫h =

∫f1 −

∫f2.

5. Si I es un intervalo, fχI ∈ L1.

Nota 3.1.3. Ahora sı que podemos hacer para dos funciones superiores f1, f2 losiguiente:

∫(f1 − f2) =

∫f1 −

∫f2, ya que las podemos ver como funciones de L1.

Ejemplo 3.1.4. χQ es una funcion integrable Lebesgue (es superior, es igual a 0cpp), con integral igual a 0, que no es integrable Riemann. Observar que el conjuntode discontinuidades es el conjunto de numeros irracionales, que no es nulo.

31

DRAFT


Los siguientes resultados nos dicen como esta de lejos una funcion integrable deuna superior y de una escalonada.

Proposicion 3.1.5. Sea f ∈ L1. Dado ε > 0, existen g, h ∈ Lsup, h ≥ 0 cpp,∫h < ε, tales que f = g − h.

Podemos afinar un poco mas con h:

Corolario 3.1.6. Sea f ∈ L1. Dado ε > 0, existen g, h ∈ Lsup, h ≥ 0,∫h < ε,

tales que f = g − h.

Ejercicio 3.1.7. Sea f ∈ L1. Probar que existe una sucesion de funciones escalo-nadas {gn} que converge a f c.p.p. y tal que∫

|gn − f | → 0.

Solucion. Sean f1, f2 funciones superiores tales que f = f1−f2, y sea {gin}n unasucesion de funciones escalonadas que genere a fi, i = 1, 2. Entonces, si gn := g1

n−g2n,

se tiene que gn → f c.p.p. y∫|f − gn| ≤

∫|f1 − g1

n|+∫|f2 − g2

n| =∫

(f1 − g1n) +

∫(f2 − g2

n)→ 0.

�

Nota 3.1.8. Ver el Ejerecicio 4.3.10.

Integral de Lebesgue en un intervalo

Sea I un intervalo de RN y f una funcion definida en I. Sea

g(x) :=

{f(x) si x ∈ I,0 si no.

Abusando de notacion g = fχI . Si g ∈ L1 diremos que f es integrable Lebesgue en Iy que su integral en I vale ∫

I

f =

∫g.

Al conjunto de las funciones integrables Lebesgue en I lo denotaremos por L1(I). Esun espacio lineal y la integral ası definida tambien es lineal. Observar, por ejemplo,que L1([a, b]) no se diferencia de L1(]a, b[) que escribiremos como L1(a, b).

Enlazando con el punto 5. del Teorema 3.1.2, si f ∈ L1(RN) e I es un intervaloentonces ∫

fχI =

∫I

f|I ,

donde f|I es la restriccion de f a I.

Podemos decir que

L1(I) = {f|I : f ∈ L1(RN)}.32

DRAFT


Proposicion 3.1.9. Sea f definida en un intervalo I, y sea un hiperplano quedivide a I en I1, I2. Entonces, f ∈ L1(I1) y f ∈ L1(I2) sii f ∈ L1(I), y∫

I

f =

∫I1

f +

∫I2

f.

Demostracion. Ejercicio. �

Ejercicio 3.1.10. Sea I un intervalo acotado y sea f ∈ L1(I), m ≤ f ≤M c.p.p,con m,M constantes, entonces

m|I| ≤∫I

f ≤M |I|.

Ejercicio 3.1.11. Sea I un intervalo de RN (I = I1× I2×· · ·× IN), y f ∈ L1(I).

1. Sea x0 un punto de RN . Sea g(x) := f(x − x0). Probar que g ∈ L1(I + x0),siendo I + x0 el intervalo {x+ x0 : x ∈ I}, y que∫

I+x0

g =

∫I

f.

2. Sea c una constante positiva. Sea g(x1, x2 . . . , xN) := f(x1

c, x2, . . . , xN

). Pro-

bar que g ∈ L1(J), siendo J el intervalo {cI1 × I2 × · · · × IN}, y que∫J

g = c

∫I

f.

En particular, si g(x) = f(x/c) entonces g ∈ L1(cI) e∫cI

g = cN∫I

f.

3. Sea g(x) = f(−x). Probar que g ∈ L1(−I), siendo −I el intervalo {−x : x ∈ I},y que ∫

−Ig =

∫I

f.

Nota 3.1.12. Sea S ⊂ RN , diremos que f ∈ L1(S) si fχS ∈ L1(RN).

3.2. Sobre la relacion con la integral de Riemann y sobre que funcionesson integrables Lebesgue

Veamos primero otro ejemplo similar al Ejercicio 2.2.7.

Ejemplo 3.2.1 (Ejemplo 9.1). Sea f(x) = x2. Demostraremos que es integrableen el intervalo [0, 1[ y calcularemos su integral.

Prueba. Dividimos el intervalo [0, 1[ en 2m partes iguales segun los puntos{0,

1

2m,

2

2m, ...,

2m − 1

2m, 1

},

33

DRAFT


y definimos

φm :=i=2m∑i=1

(i− 1

2m

)2

χ[ i−12m

, i2m [

entonces

lımm→∞

φm = fχ[0,1[ en todo punto.

Como la sucesion es creciente y∫φm =

1

2m

((1

2m

)2

+

(2

2m

)2

+ ...+

(2m − 1

2m

)2)

es convergente,

lımm→∞

∫φm = lım

m→∞

1 + 22 + ...+ (2m − 1)2

(2m)3= lım

k→∞

1 + 22 + ...+ (k − 1)2

k3

Stolz=

1

3

(observar que la sucesion subindicada con m es subsucesion de la subindicada con k),entonces f es superior y la integral de f en [0, 1[ es 1

3. �

Vamos a extender lo anterior.

Teorema 3.2.2 (Lebesgue-Vitali). Sea I un intervalo acotado de RN y sea f :I → R acotada y continua c.p.p, entonces:

1. existe una sucesion creciente de funciones escalonadas {fn} con integrales aco-tadas, con

fn ≤ fχI ,

que converge a fχI c.p.p.

2. fχI ∈ Lsup.

Corolario 3.2.3.

1. Si f : RN → R es acotada, continua c.p.p., entonces f ∈ L1(I) para todointervalo acotado I.

2. Si f : RN → R es continua, entonces f ∈ L1(I) para todo intervalo acotado I.

Respecto de 1., observar que f(x) =∑∞

n=1 2n+1χ]1/2n+1,1/2n] no es de L1(R) aunquesea continua c.p.p. (no es acotada). Respecto de 2., observar que f(x) = 1 definidaen R no es de L1(R) (vease en el Ejemplo 4.1.3).

Probaremos ahora el criterio de integrabilidad Riemann de Lebesgue enunciadoen el Teorema 0.1.13. Previamente enunciaremos unos resultados en los que apoyar-nos. Los resultados son en si mismos interesantes. Recordemos la Definicion 0.1.1:dada una funcion acotada f : [a, b] → R y una particion de [a, b], P = {t0 =a, t1, . . . , tn−1, tn = b}, definimos

mi := ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]},

Mi := sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]},34

DRAFT


y llamamos sumas inferior y superior de Darboux-Riemann de f respecto deP a

S−(f, P ) :=n∑i=1

mi(ti − ti−1) (suma inferior),

S+(f, P ) :=n∑i=1

Mi(ti − ti−1) (suma superior).

Proposicion 3.2.4. Sea f : [a, b]→ R acotada.

1. Las integrales inferior y superior de Riemann de f se pueden caracterizar dela siguiente manera:∫ b

a

f = sup

{∫ψ : ψ es escalonada, ψ ≤ fχ[a,b]

},

∫ b

a

f = ınf

{∫ψ : ψ es escalonada, ψ ≥ fχ[a,b]

}.

2. Sean {fn}, {gn} dos sucesiones de funciones escalonadas, la primera crecientey la segunda decreciente con

fn ≤ fχ[a,b] ≤ gny ∫

(gn − fn)→ 0.

Entonces, f ∈ R([a, b]) y ∫ b

a

f = lımn

∫fn = lım

n

∫gn.

El siguiente lema caracteriza la continuidad de una funcion.

Lema 3.2.5. Sea f : [a, b]→ R acotada. Sean

M(f, x, δ) := sup{f(y) : y ∈ [a, b], |y − x| < δ},m(f, x, δ) := ınf{f(y) : y ∈ [a, b], |y − x| < δ},

y la oscilacion de f en x:

o(f, x) := lımδ→0+

M(f, x, δ)−m(f, x, δ).

Se tiene que f es continua en x si y solo si o(f, x) = 0.

Observar que M(f, x, δ)−m(f, x, δ) decrece con δ.

Teorema 3.2.6 (Criterio de Integrabilidad de Lebesgue). Sea f ∈ B([a, b]) y seaD el conjunto de discontinuidades de f . Entonces,

f ∈ R([a, b]) sii D es nulo.

Ademas, en dicho caso, f ∈ L1([a, b]) y∫[a,b]

f =

∫ b

a

f.

35

DRAFT


La segunda parte es consecuencia inmediata del Teorema 3.2.2. Probaremos laprimera parte.

Demostracion del Teorema 3.2.6 (Criterio de Integrabilidad de Lebesgue).Supongamos primero que f es integrable Riemann.

Sea

Dn :=

{x ∈ [a, b] : o(f, x) ≥ 1

n

},

con lo que, por el Lemma 3.2.5 ,

D =⋃n

Dn.

Supongamos que D no es nulo (razonamos por reduccion al absurdo). Entonces existen0 tal que Dn0 no es nulo. Y por tanto, existe ε > 0 tal que, sea cual sea el conjuntode intervalos {Ji}i∈I , card(I) ≤ χ0(= card(N)), que recubra a Dn0 , se cumple que∑

i∈I

|Ji| > ε.

Como f es integrable Riemann, dado el ε, existe una particion P ∈ P([a, b]),P = {t0, t1, . . . , tn} tal que

S+(f, P )− S−(f, P ) ≤ ε

n0

.

Elegimos el siguiente conjunto de ındices:

In0 := {i ∈ {1, . . . , n} : ]ti−1, ti[∩Dn0 6= ∅} .

Entonces, dado x ∈ Dn0 , o x ∈ P o x ∈]ti−1, ti[ para algun i (pues P es particion), ypor tanto este i pertenece a In0 , esto es, tenemos que

Dn0 ⊂⋃i∈In0

]ti−1, ti[∪P.

Por tanto ∑i∈In0

(ti − ti−1) > ε.

Ahora, si mi := ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]}, Mi := sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]}, y si i ∈ In0 ,se tiene que

Mi −mi ≥1

n0

,

ya que en el intervalo ]ti−1, ti[ hay un punto x ∈ Dn0 , y por tanto para δ suficiente-mente pequeno, Mi −mi ≥M(f, x, δ)−m(f, x, δ) ≥ o(f, x) ≥ 1

n0. Ası pues,

S+(f, P )− S−(f, P ) ≥∑i∈In0

(Mi −mi)(ti − ti−1) ≥∑i∈P1

1

n0

(ti − ti−1) >ε

n0

,

que es imposible.

36

DRAFT


Supongamos ahora que D es nulo. Como f es acotada, por el Teorema 3.2.2,±fχ[a,b] ∈ Lsup, es mas, existen {fn} y {gn} sucesiones crecientes de funciones esca-lonadas que generan a fχ[a,b] y −fχ[a,b] respectivamente, con

fn ≤ fχ[a,b] ≤ −gn.Ademas,∫

(−gn − fn)→ −∫

(−fχ[a,b])−∫fχ[a,b] = −

∫(−fχ[a,b] + fχ[a,b]) = 0.

Por tanto, por la Proposicion 3.2.4.2., f es integrable Riemann, y ademas∫ b

a

f = lım

∫fn =

∫[a,b]

f. �

Ejercicios (Practica 9. Apartado 1)

Ejercicio 3.2.7 (Ejercicio 9.1). Estudiar si las siguientes funciones son integra-bles Lebesgue en las regiones correspondientes.

(a) f(x, y) := ex+y en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 2) y (4, 0).

(b) f(x, y) := sen xx

en la region del primer cuadrante encerrada por su bisectrizy la parabola y = x2.

(c) f(x, y) := (x + y)−2 en la parte del intervalo A := [1, 2]× [1, 4] comprendidaentre las rectas y = x e y = 2x.

(d) f(x, y) := x+y en la parte del intervalo A := [0, 1]× [0, 1] comprendida entrelas parabolas y = x2 e y = 2x2.

(e) f(x, y) := x en la region limitada por las circunferencias centradas en (0, 0) ycon radio 2 y 3 respectivamente, por encima del eje de abcisas.

(f) f(x, y) := cos x en el cuadrado de vertices (1, 0), (−1, 0), (0, 1) y (0,−1)

(g) f(x, y) := x2ey en la region limitada por las curvas y2 = x, y2 = −x e y = 1.

37

DRAFT

TEMA 4

Teoremas de convergencia

La ventaja de la integral de Lebesgue respecto a la integral de Riemann se mani-fiesta en los teoremas de convergencia, que permiten pasar al lımite bajo el signo in-tegral en condiciones muy generales. Los teoremas de convergencia se aplican ademaspara comprobar la integrabilidad de una funcion, para calcular su integral, para cal-cular lımites de sucesiones de integrales.

En general no se puede pasar al lımite bajo el signo integral como muestra elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 4.0.1 (Ejemplo 9.2). Sea la sucesion de funciones escalonadas fn :[0, 1]→ R definida por

fn(x) = nχ[ 12n, 1n

].

Esta sucesion converge puntualmente a la funcion 0 en [0, 1]: dado x ∈ (0, 1]existe n0 ∈ N tal que 1

n0< x, por consiguiente para todo n ≥ n0 se cumple que

fn(x) = 0.

Sin embargo el lımite de las integrales no es la integral del lımite:

lımn→∞

∫fn = lım

n→∞n

1

2n=

1

26=∫

lımnfn =

∫0 = 0.

4.1. Teorema de la convergencia monotona II

Usando la Proposicion 3.1.5 y el Teorema de la convergencia monotona parafunciones superiores podemos ahora probar el siguiente resultado.

Teorema 4.1.1. [Teorema de la convergencia monotona de Levi] Si {fn} es unasucesion monotona de funciones de L1 tal que {

∫fn} es acotada entonces {fn} con-

verge c.p.p. a una funcion f ∈ L1, y ademas∫f = lım

n

∫fn.

La monotonıa basta pedirla c.p.p., si no trabajamos con {(fn − f1)+}.

Demostracion. Basta hacer la prueba para una sucesion monotona creciente,si es decreciente entonces se le cambia el signo a los elementos de la sucesion.

Sea pues {fn} una sucesion creciente tal que tal que {∫fn} es acotada por K,

podemos suponer que fn ≥ 0 ya que si no trabajamos con {fn − f1}. Usando la

39

DRAFT


Proposicion 3.1.5:

0 ≤ f1 = g1 − h1 con g1, h1 ∈ Lsup, h1 ≥ 0,∫h1 <

12,

0 ≤ f2 − f1 = g2 − h2 con g2, h2 ∈ Lsup, h2 ≥ 0,∫h2 <

122

,

0 ≤ f3 − f2 = g3 − h3 con g3, h3 ∈ Lsup, h3 ≥ 0,∫h3 <

123

,

...

Observar que tambien gk ≥ 0.

Ahora tenemos que

hk := h1 + h2 + · · ·+ hk

y

gk := g1 + g2 + · · ·+ gk = fk + hk

forman sucesiones monotonas crecientes de funciones superiores con integrales aco-tadas: ∫

hk <k∑j=1

1

2j< 1,

y ∫gk =

∫fk +

∫hk < K + 1.

Por tanto por el Teorema de la convergencia monotona para superiores, tenemos que

∃ lımkgk = g c.p.p., g ∈ Lsup,

∫g = lım

k

∫gk

y

∃ lımkhk = h c.p.p., h ∈ Lsup,

∫h = lım

k

∫hk.

Ahora, como

fk = gk − hktenemos que

∃ lımkfk = g − h c.p.p., g − h ∈ Lsup,

∫(g − h) = lım

k

∫fk.

Y por tanto f = g − h es la funcion de L1 buscada. �

Ejemplo 4.1.2 (Ejemplo 9.3). Vamos a ver que la funcion f(x) = 1√x

si x ∈(0, 1], f(0) = 0, es integrable Lebesgue en [0, 1] y vamos a calcular su integral.

Prueba. Consideremos la sucesion de funciones fn : [0, 1]→ R definida por

fn(x) =

{1√x, si x ∈ [ 1

n, 1];

0, en el resto.

40

DRAFT


Puesto que fn esta acotada y es continua en [0, 1] salvo en el punto 1n, por el

teorema de Lebesgue-Vitali es integrable Riemann en [0, 1], integrable Lebesgue en[0, 1] y ∫ 1

0

fn(x)dx =

∫[0,1]

fn

La sucesion {fn}∞n=1 converge puntualmente a la funcion f en [0, 1], ya que six ∈ (0, 1], existe n0 ∈ N tal que 1

n0< x y por consiguiente para todo n ≥ n0 se

cumple que fn(x) = 1√x. Es facil ver que fn ≤ fn+1. Comprobemos finalmente que la

sucesion de integrales esta acotada superiormente.

∫[0,1]

fn =

∫ 1

1n

1√xdx = 2− 2√

n≤ 2

Aplicando el T.C.M. se tiene que f es integrable Lebesgue en [0, 1] y∫[0,1]

fn = lımn→∞

∫[0,1]

fn = lımn→∞

2− 2√n

= 2. �

El ejemplo anterior muestra ademas que el Teorema de la convergencia monotonano es valido para la integral de Riemann (no impropia), pues la funcion f anteriorno es integrable Riemman, al no ser acotada.

Ejemplo 4.1.3. La funcion constante 1 no es integrable. Probemoslo para dimen-sion 1. De hecho, la sucesion χ[−n,n] es una sucesion mononota creciente (incluso deescalonadas) que converge a 1, si 1 fuese integrable, entonces las integrales de f es-tarıan dominadas por la integral de 1, y por el Teorema de la convergencia monotona,tendrıamos que ∫

1 = lımn

∫χ[−n,n] = 2n = +∞

que es contradictorio.

De hecho tenemos el siguiente resultado, de donde se deduce lo anterior.

Corolario 4.1.4. Si {fn} es una sucesion monotona de funciones de L1 tal que{fn} converge c.p.p. a una funcion f , entonces

f ∈ L1 ⇔ ∃ lımn

∫fn,

ademas ∫f = lım

n

∫fn.

Demostracion. Ejercicio. �

Corolario 4.1.5. Si f ∈ L1, f ≥ 0 c.p.p. y∫f = 0 entonces f = 0 c.p.p.

41

DRAFT


Demostracion. Podemos suponer que f ≥ 0, de lo contrario tomamos f+, yllegaremos a probar que f+ = 0 c.p.p., pero como f = f+ c.p.p., tambien concluimosque f = 0 c.p.p. Ası pues, como f es no negativa, {nf}n define una sucesion monotonacreciente de funciones integrables con integrales acotadas (valen 0 todas), por tanto

∃ lımnnf = g c.p.p.,

de donde necesariamente f = 0 c.p.p. �

Proposicion 4.1.6. Sea {In}n una sucesion creciente de intervalos, In ⊂ In+1, ysea I :=

⋃n In. Sea f : I → R tal que f ∈ L1(In) para todo n.

1.{∫

In|f |}n

es acotada sii f ∈ L1(I). Ademas,∫If = lımn

∫Inf.

2. Si existe g ∈ L1(I) tal que |f | ≤ g entonces f ∈ L1(I).

Corolario 4.1.7. Sea {In}n una sucesion creciente de intervalos, In ⊂ In+1, y seaI :=

⋃n In. Sea f : I → [0,+∞[ tal que f ∈ L1(In) para todo n. Entonces

f ∈ L1(I) ⇔ ∃ lımn

∫In

f,

ademas, ∫I

f = lımn

∫In

f.

4.2. Integral impropia de Riemann revisitada

En dimension 1, la Proposicion 4.1.6 la podemos enunciar como sigue.

Proposicion 4.2.1. Sea f :]a, b+[→ R, f ∈ L1(a, b) ∀b : a < b < b+ ∈]a,+∞].

1.

∫]a,b[

|f | ≤M ∀b sii f ∈ L1(a, b+). Ademas,∫

]a,b+[f = lımb→b+

∫]a,b[

f.

2. Si existe g ∈ L1(a, b+) tal que |f | ≤ g entonces f ∈ L1(a, b+).

Y tenemos como corolario el siguiente teorema que relaciona la integrabilidadLebesgue con la impropia de Riemann.

Teorema 4.2.2 (Teorema 0.2.4 revisitado). Sea f : [a, b+[→ R, f ∈ R([a, b])∀b : a < b < b+ ∈]a,+∞].

1. Si

∫ b

a

|f | ≤M ∀b entonces f ∈ R([a, b+[). Ademas, f es integable Lebesgue, y

su integral coincide con la impropia de Riemann.

2. Si f ∈ L1(a, b+) entonces f ∈ R([a, b+[). Ademas, sus integrales coinciden.

En general, las nociones de integral impropia de Riemann y de Lebesgue en unintervalo no acotado no son equivalentes como prueba el siguiente ejemplo.

42

DRAFT


Ejemplo 4.2.3 (Ejemplo 9.5). En el Ejercicio 0.2.13 se ha visto que existe laintegral de Riemann impropia de la funcion f(x) = senx

x, x > 0, f(0) = 1 en

[0,+∞). Sin embargo f no es integrable Lebesgue en [0,+∞[, pues si lo fueratambien lo serıa |f | y entonces se tendrıa la convergencia de la integral (impropia)∫ +∞

0

∣∣∣senx

x

∣∣∣ dx. Este hecho contradice el Ejemplo 0.2.14.

Por otra parte, recordemos que

χ[0,1]∩Q ∈ L1([0, 1]) \ R([0, 1]).

Ejemplo 4.2.4 (Ejemplo 9.4). Probemos que para todo y > 0 la funcion f(x) =e−xxy−1 es integrable Lebesgue en [0, 1].

Prueba. Para y ≥ 1 la funcion es continua en [0, 1]. Supongamos ahora quey < 1. En ese caso la funcion xy−1 no esta acotada cuando x tiende a 0+.

Si In = [ 1n, 1], entonces f es continua en In y

∫In

f =

∫ 1

1n

e−xxy−1dx ≤∫ 1

1n

xy−1dx ≤ 1

y(1− 1

ny) <

1

y

para todo n ∈ N.

Aplicando la Proposicion 4.1.6 se tiene que f(x) es integrable Lebesgue en [0, 1].�

Ejemplo 4.2.5. [Ejemplo 9.6] Probemos ahora que para todo y > 0 lafuncion f(x) = e−xxy−1 es integrable Lebesgue en [1,+∞).

Prueba. Por el Ejercicio 4.2.6 sabemos que la funcion e−x2 es integrable en

[1,+∞) y como (una alternativa al siguiente razonamiento es que, para cualquiern ∈ N, ex ≥ cnx

n para todo x > 1)

lımx→+∞

e−xxy−1

e−x2

= lımx→+∞

e−x2xy−1 = 0 ,

existe α > 1 tal que e−xxy−1

e−x2≤ 1 para todo x ≥ α, luego

|e−xxy−1χ[α,+∞)| ≤ e−x2χ[α,+∞)

pero puesto que e−x2 es integrable en [1,+∞), tambien lo es en [α,+∞) y aplicando

la Proposicion 4.2.1 resulta que f es integrable en [α,+∞).

Como, por hipotesis, f ∈ L(a, α), se tiene que f ∈ L(a,+∞). �

De los ejemplos anteriores se deduce que para cada y > 0 la funcion f(x) =e−xxy−1 es integrable Lebesgue en [0,+∞). Se llama funcion Gamma a la funcionΓ :]0,+∞[→ R definida por

Γ(y) =

∫ +∞

0

e−xxy−1dx.

43

DRAFT


Veremos mas propiedades de esta funcion en el Ejercicio 7.2.1.

Ejercicios (Practica 9. Apartado 2.1)

Ejercicio 4.2.6 (Ejercicio 9.2). Probar que la funcion f(x) = e−|x| es integrableLebesgue en R y calcular su integral.

Solucion. 0 ≤ e−|x| ∈ L1([−n, n]) y∫

[−n,n]e−|x| = 2(1 − e−n) → 2, por tanto

e−|x| ∈ L1(R) y∫

e−|x| = 2.

�

Ejercicio 4.2.7 (Ejercicio 9.3). Probar que la funcion f(x) = xp, x > 0, f(0) =0, es integrable en [0, 1] si p > −1, y calcular su integral.

Ejercicio 4.2.8 (Ejercicio 9.4). Determinar la integrabilidad de f(x) = e−x2

en[0,+∞[.

Ejercicio 4.2.9 (Ejercicio 9.5). Sea f(x) = 11+x2

. Demostrar que es integrableen R y calcular su integral.

4.3. Teorema de la convergencia dominada

Ejercicio 4.3.1. Probar que fn(x) = nxnχ[0,1] define una sucesion de funcionesque converge c.p.p. a 0, pero que

∫[0,1]

fn 6→ 0.

Observar que falla la monotonıa de la sucesion. Sin embargo, para que∫lımnfn = lım

n

∫fn

siga siendo cierto no es necesario que se tenga monotonıa, basta que la sucesion defunciones sea dominada por funciones integrables.

Teorema 4.3.2 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue). Sea {fn}una sucesion de funciones de L1 tal que

fn → f c.p.p.

Si existe g ∈ L1 tal que|fn| ≤ g ∀n,

entonces f ∈ L1 y ∫f = lım

n

∫fn.

La dominacion se puede pedir c.p.p. Basta con redefinir fn y g como cero allıdonde falla la dominacion.

Lema 4.3.3. Sea {fn} una sucesion de funciones de L1 y g ∈ L1 tal que

|fn| ≤ g ∀n.Entonces

ınfnfn, sup

nfn ∈ L1.

44

DRAFT


Demostracion del Teorema 4.3.2 de la convergencia dominada.

Sean

gn := supk≥n

fk = sup{fn, fn+1, fn+2, . . . }

y

hn := ınfk≥n

fk = ınf{fn, fn+1, fn+2, . . . }.

Tenemos que gn define una sucesion decreciente de funciones de L1, esto ultimo porel lema anterior, y tambien hn define una sucesion creciente de funciones de L1, con

[4.3.1] −g ≤ hn ≤ fn ≤ gn ≤ g,

que ademas implica que las integrales de gn y hn son acotadas.

Por otra parte fn(x) → f(x) para todo x ∈ RN \ A, A nulo. Luego tambiengn(x) → f(x) y hn(x) → f(x) para todo x ∈ RN \ A. En efecto, dado ε > 0, existen0 tal que

si n ≥ n0 ⇒ f(x)− ε ≤ fn(x) ≤ f(x) + ε.

Por tanto, de las definiciones de gn y hn,

si n ≥ n0 ⇒ f(x)− ε ≤ gn(x) ≤ f(x) + ε

y

si n ≥ n0 ⇒ f(x)− ε ≤ hn(x) ≤ f(x) + ε.

Aplicando el Teorema de la convergencia monotona a {gn} tenemos que

f ∈ L1

y ademas ∫f = lım

∫gn.

Y aplicandolo a {hn} tambien deducimos que∫f = lım

∫hn.

Con lo que, por el Teorema del emparedado, gracias a [4.3.1],∫f = lım

∫fn. �

Ejemplo 4.3.4. La dominacion es muy importante, por ejemplo, fn = χ[n,n+1] ∈L1, sus integrales valen 1, y converge a f = 0 ∈ L1 en todo punto, pero∫

f 6= lımn

∫fn.

Lo mismo pasa con fn = nχ]0,1/n].

Ejemplo 4.3.5 (Ejemplo 9.7). Probemos que

lımn→∞

∫ 1

0

log(n+ x)

ne−x cosx dx = 0.

45

DRAFT


Prueba. Consideremos la sucesion de funciones fn : [0, 1] → R definida por

fn(x) = log(n+x)n

e−x cosx. Como para cada x ∈ [0, 1] se tiene que

lımn→∞

log(n+ x)

n= 0 ,

resulta que la sucesion {fn}∞n=1 converge puntualmente a 0 en [0, 1]. Las funcionesfn son continuas, por lo tanto son integrables Lebesgue en [0, 1] por lo que paraprobar el resultado basta aplicar un teorema de convergencia. Para aplicar T.C.D.es necesario encontrar una funcion integrable que mayore a los modulos de todas lasfunciones de la sucesion.

Ahora, para todo x ∈ [0, 1],

log(n+ x)

n≤ log(n+ 1)

n→ 0,

(tambien puede usarse que log(n+x)n

≤ log(n+1)n

= log(n+1)logn

n+1n≤ n+1

n≤ 2). Luego existe

M > 0 tal que g(x) = Me−x verifica |fn| ≤ g para todo n ∈ N. Por tanto, el teoremade la convergencia dominada de Lebesgue implica que

lımn→∞

∫ 1

0

log(n+ x)

ne−x cosx dx =

∫ 1

0

(lımn→∞

log(n+ x)

ne−x cosx

)dx = 0 . �

Corolario 4.3.6. Sea {fn} una sucesion de funciones de L1 (¡bastara medible!,pero esto se ve mas adelante) tal que

fn → f c.p.p.

Si existe g ∈ L1 tal que

|f | ≤ g.

entonces f ∈ L1.

Ejemplo 4.3.7. La funcion f(x) := 1x2

cosx es integrable Lebesgue en [1,+∞[.

En efecto, fχ[1,k] ∈ L1 por el Teorema de Lebesgue-Vitali, y converge a f en todopunto. Ademas esta dominada por 1

x2que es integrable en [1,+∞[.

Teorema de la convergencia acotada

Como corolario del Teorema de la convergencia dominada tenemos este otro re-sultado:

Teorema 4.3.8 (Teorema de la convergencia acotada). Sea I un intervalo acotado.Sea {fn} una sucesion de funciones de L1(I) tal que

fn → f c.p.p. en I.

Si existe M > 0 tal que

|fn| ≤M en I ∀n,entonces f ∈ L1 y ∫

I

f = lımn

∫I

fn.

46

DRAFT


Lema de Fatou

Recordemos que para una sucesion {an}n acotada inferiormente,

lım infn

an := supn

(ınfk≥n

ak

)= lım

n

(ınfk≥n

ak

),

observar que {ınfk≥n ak}n es creciente; si {an} no esta acotada inferiormente,

lım infn

an := −∞.

Si λ es el lımite de una subsucesion de {an}n entonces

lım infn

an ≤ λ.

Y se tiene que existe una subsucesion de {an}n cuyo lımite es lım infn an.

Para una sucesion de funciones {fn}n, se define lım infn

fn puntualmente.

Usando el Teorema de la convergencia dominada se puede probar el siguienteinteresante resultado.

Teorema 4.3.9 (Lema de Fatou). Sea {fn} una sucesion de funciones de L1 talque

fn ≥ 0 ∀n ∈ N,∫fn ≤M ∀n ∈ N,

donde M es una constante. Entonces existe g ∈ L1 tal que

g = lım infn

fn c.p.p.,

y ∫g ≤ lım inf

n

∫fn.

Esto se suele escribir ası: lım infn

fn ∈ L1 y∫lım inf

nfn ≤ lım inf

n

∫fn.

Ejercicio 4.3.10.

1. Sea {fn} una sucesion de funciones integrables tal que

lımn,m→∞

∫|fn − fm| = 0.

Probar que existe una subsucesion fnk que converge a f c.p.p., con f ∈ L1, y que

lımn

∫|fn − f | = 0.

2. Sea {fn} una sucesion de funciones integrables tal que

lımn

∫|fn − f | = 0.

47

DRAFT


Probar que existe una subsucesion fnk que converge a f c.p.p. y que f ∈ L1. Se puedeprobar ademas que existe g ∈ L1 tal que |fnk | ≤ g c.p.p. para todo k.

Ejercicios (Practica 9. Apartado 2.1 (continuacion)

Ejercicio 4.3.11 (Ejercicio 9.6). Discutir segun los valores de p > 0 la integra-bilidad de la funcion

f(x) =sen x

xp

en el intervalo [1,+∞[. ¿Para que valores se cumple que existe lımr→∞∫ r

1sen xxp

dx?

Ejercicio 4.3.12 (Ejercicio 9.7). Sea f(x) = x2sen 1x2

si 0 < x ≤ 1, f(0) = 0,demostrar que su derivada no es integrable.

Practica 9. Apartado 3.2

Ejercicio 4.3.13 (Ejercicio 9.8). En cada uno de los siguientes apartados en-contrar el conjunto de puntos x ∈ [0, 1] tales que la sucesion

(fn(x)

)∞n=1

converge.

¿Se cumple que fn → 0 (c.p.p.) ? ¿Se cumple que∫fn → 0 ?

(a) fn(x) = 2n2xe−n2x2

(b) fn(x) =

{sen nπx, si x ∈ Q,0, en otro caso.

(c) fn(x) =

{n, si x ∈ [0, 1/n],0, en otro caso.

(d) fn(x) = lımk→∞ cos2k(n!πx)

(e) fn(x) =

{1, si x = r1, r2, . . . , rn,0, en otro caso,

donde (rn)∞n=1 es una enumeracion de Q.

(f) fn(x) =

{1/q, si x = p

q, p ∈ Z, q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n

0, en otro caso.

Ejercicio 4.3.14 (Ejercicio 9.9). Calcular

(a) lımn→∞

∫ π

0

1√x

sennπ

x2 + 2ndx

(b) lımn→∞

∫ +∞

0

2n sen(xn

)e−x

2

dx

(c) lımn→∞

∫ +∞

0

n

1 + x4sen(2x

n

)dx

Ejercicio 4.3.15 (Ejercicio 9.10). Comprobar que si I := [0,+∞[, y fm(x) =e−mx − 2e−2mx entonces se tiene

∞∑m=1

∫I

fm 6=∫I

(∞∑m=1

fm).

Ejercicio 4.3.16 (Ejercicio 9.11).

48

DRAFT


(a) Sean fm funciones integrables en Rn. Probar que si la serie∑+∞

m=1

∫|fm| converge,

la serie∑+∞

m=1 fm converge (c.p.p.) a una funcion f integrable en Rn obteniendose∫f =

+∞∑m=1

∫fm.

(b) A partir del desarrollo de Taylor de log (1− x) obtener razonadamente que∫ 1

0

log1

1− xdx = 1.

49

DRAFT

TEMA 5

Teorema de Fubini. Funciones medibles. Teorema deTonelli-Hobson

5.1. Teorema de Fubini

Ejemplo 5.1.1. Supongamos que queremos calcular la integral∫[0,1]×[0,2]

xydxdy.

Usando la idea de Cavalieri, podemos pensar en calcular∫[0,2]

(∫[0,1]

xydx

)dy,

o bien en calcular ∫[0,1]

(∫[0,2]

xydy

)dx.

Ambas sabemos calcularlas y valen las dos 1. ¿Es este un buen metodo?

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 5.1.2 (Ejemplo 10.4). Sea f(x, y) :=x− y

(x+ y)3. Entonces

∫ 1

0

(∫ 1

0

(x− y)

(x+ y)3dx

)dy =

∫ 1

0

(∫ 1+y

y

(t− 2y)

t3dt

)dy

=

∫ 1

0

(−1

t+y

t2

)∣∣∣∣t=1+y

t=y

dy

=

∫ 1

0

− 1

(1 + y)2dy = −1

2

y procediendo similarmente∫ 1

0

(∫ 1

0

(x− y)

(x+ y)3dy

)dx =

1

2.

¿Que pasa?

En el siguiente resultado, y en el resto del tema escribiremos, para N ≥ 2, RN =RK × RM , K,M ≥ 1, K + M = N , y un elemento z ∈ RN lo escribimos comoz = (x, y) ∈ RK × RM .

51

DRAFT


Teorema 5.1.3 (Teorema de Fubini (1907)). Sea f ∈ L1(RN), N ≥ 2. Entonces:

y 7→ f(x, y) es integrable en RM c.p.t. x ∈ RK,

x 7→∫RM

f(x, y)dy es integrable en RK ,

e ∫RK×RM

f(x, y)dxdy =

∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx.

Lo mismo se da cambiando el juego de x e y.

Llamaremos a∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx,

∫RM

(∫RK

f(x, y)dx

)dy

integrales iteradas de f .

La prueba de este resultado es fruto de una retahila de lemmas. Con este resultadopodemos volver a los ejemplos anteriores. En el Ejemplo 5.1.1, como la funcion xy esintegrable en el intervalo considerado, efectivamente, cualquiera de las dos integralesiteradas sirve para calcular la integral de xy sobre dicho intervalo. En el Ejemplo 5.1.2se tiene que la funcion x−y

(x+y)3no puede ser integrable en el conjunto considerado pues

ambas integrales iteradas, que se pueden calcular, difieren.

Lema 5.1.4. Sea I × J un intervalo acotado de RK × RM . Y sea f(x, y) =χI×J(x, y) = χI(x)χJ(y). Entonces:

y 7→ χI(x)χJ(y) es una funcion caracterıstica en RM ∀x ∈ RK,

x 7→∫RM

χI(x)χJ(y)dy = |J |χI es escalonada en RK ,

y ∫RK×RM

χI(x)χJ(y)dxdy =

∫RK

(∫RM

χI(x)χJ(y)dy

)dx.


Demostracion. En efecto:∫RK×RM

χI(x)χJ(y)dxdy = |I × J | = |I||J |.

Y por otra parte,∫RK

(∫RM

χI(x)χJ(y)dy

)dx =

∫RK|J |χI(x)dx = |J |

∫RK

χI(x)dx = |J ||I|. �

Ahora es facil probar el Teorema de Fubini para funciones escalonadas.

52

DRAFT


Teorema 5.1.5 (Teorema de Fubini para funciones escalonadas). Sea f una fun-cion escalonada en RK × RM . Entonces:

y 7→ f(x, y) es escalonada en RM ∀x ∈ RK,

x 7→∫RM

f(x, y)dy es escalonada en RK ,

e ∫RK×RM

f(x, y)dxdy =

∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx.


Demostracion. La prueba es un sencillo ejercicio. �

Por ultimo probaremos el Teorema de Fubini para funciones superiores. Para ellonecesitaremos el siguiente lema.

Lema 5.1.6. Sea S ⊂ RK × RM veamos que

Sx := {y ∈ RM : (x, y) ∈ S} es nulo c.p.t. x ∈ RK .

Similarmente se prueba que

Sy := {x ∈ RK : (x, y) ∈ S} es nulo c.p.t. y ∈ RM .

Aunque basta recordar el Ejempo 1.2.15.

Los conjuntos Sx y Sy se llaman secciones de S.

Teorema 5.1.7 (Teorema de Fubini para funciones superiores). Sea f ∈ Lsup(RN),N ≥ 2. Entonces:

y 7→ f(x, y) es superior en RM c.p.t. x ∈ RK,

x 7→∫RM

f(x, y)dy es superior en RK ,

e ∫RK×RM

f(x, y)dxdy =

∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx.


Demostracion. Sea {fn} usa sucesion creciente de funciones escalonadas quegenera a f , esto es,

lımnfn(x, y) = f(x, y) c.p.t. (x, y)

y

lımn

∫RK×RM

fn(x, y)dxdy =

∫RK×RM

f(x, y)dxdy.

Se tiene que

y 7→ fn(x, y) es escalonada en RM ∀x ∈ RK ,

x 7→ gn(x) :=

∫RM

fn(x, y)dy es escalonada en RK ,

53

DRAFT


{gn} es una sucesion creciente,

e ∫RK

gn(x)dx =

∫RK×RM

fn(x, y)dxdy, y es ademas convergente.

Luego por el Teorema de la convergencia monotona,

∃ lımngn(x) := F (x) ∀x ∈ RK \B, B nulo,

F ∈ Lsup(RK),

e

[5.1.1]

∫RK

F (x)dx = lımn

∫RK

gn(x)dx =

∫RK×RM

f(x, y)dxdy.

Sea S := {(x, y) ∈ RK × RM : fn(x, y) 6→ f(x, y)} que es nulo. Entonces, por elLema 5.1.6, existe A ⊂ RK nulo tal que Sx es nulo para todo x ∈ RK \ A.

Tomemos x ∈ RK \(A∪B) fijo. Se tiene que Sx es nulo, y si y ∈ RM \Sx, entonces(x, y) /∈ S, esto es,

fn(x, y)→ f(x, y) ∀y ∈ RM \ Sx.Ademas, {fn(x, .)} es una sucesion creciente de escalonadas en RM . Por otra parte,se tiene que gn(x) =

∫RM fn(x, y)dy converge a F (x), con lo que{∫

RMfn(x, y)dy

}esta acotada.

Por tanto, por el Teorema de la convergencia monotona,

f(x, .) ∈ Lsup(RM) se cual sea x ∈ RK \ (A ∪B),

e ∫RM

f(x, y)dy = lımn

∫RM

fn(x, y)dy = lımngn(x) = F (x) que es de Lsup(RK).

Por ultimo, poniendo esta expresion en [5.1.1], concluimos∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx =

∫RK×RM

f(x, y)dxdy. �

Demostracion del Teorema de Fubini 5.1.3.

Es un simple ejercicio. �

Imaginemos que tenemos una prueba del Teorema de Fubini que no use el Le-ma 5.1.6. Entonces podeis dar una prueba de dicho lema usando el Teorema de Fubini.

Definicion 5.1.8. Sea S ⊂ RN tal que χS ∈ L1. Definimos su medida (medidade Lebesgue N-dimensional) como

|S| :=∫χS.

Recordar que para I un intervalo acotado definimos∫χI := |I|, luego la definicion

anterior es coherente con esta.

54

DRAFT


Ejercicio 5.1.9. Probar que S es nulo sii |S| = 0.

Proposicion 5.1.10. Si RN = RK × RM entonces se da el siguiente resultadoconocido como Principio de Cavalieri (observar que ya tenemos definida la medida1–dimensional, y a partir de aquı, por Fubini, la medida de las secciones esta biendefinida): Sea S ⊂ RN tal que χS ∈ L1(RN) entonces

|S| =∫RK|Sx|dx =

∫RM|Sy|dy.

Ejercicio 5.1.11. Calcular la medida de un cırculo de radio r en R2.

Ejemplo 5.1.12 (Ejemplo 10.5). Calculemos

∫A

ex2

dx siendo A el triangulo de

vertices (0,0), (1,0), (1,1), probando previamente que la funcion es integrable.

La funcion f(x, y) = ex2

es integrable en el conjunto A porque f es continua y elconjunto A tiene frontera nula. Puesto que A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x} elteorema de Fubini permite calcular∫

A

ex2

dx =

∫ 1

0

(∫ x

0

ex2

dy

)dx =

∫ 1

0

xex2

dx =1

2(e− 1).

Observese que la otra integral iterada no se puede calcular utilizando el teoremafundamental del calculo por carecer la funcion g(x) = ex

2de primitiva elemental.

Ejemplo 5.1.13 (Ejemplo 10.6). Veamos si la funcion f(x, y) =1√xy

es in-

tegrable en el conjunto A = [0, 1] × [0, 1] y, en caso de que lo sea, calculemos suintegral.

La funcion f no esta acotada en el conjunto ]0, 1]×]0, 1] y por tanto no es posiblerazonar como en el ejercicio anterior para deducir que f es integrable. Aplicaremos elteorema de la convergencia monotona. Tomamos An := [ 1

n, 1] × [ 1

n, 1] y fn := fχAn .

Puesto que f es continua en el intervalo compacto An se sigue que fn es integrable yademas, aplicando el teorema de Fubini, obtenemos que∫

fn =

(∫ 1

1n

1√xdx

)2

= 4

(1− 1√

n

)2

Puesto que la sucesion (fn) es creciente y converge c.p.p. a la funcion fχA, elteorema de la convergencia monotona permite concluir que f es integrable en A y∫A

f = lımn→∞

∫fn = 4

Ejemplo 5.1.14 (Ejemplo 10.7). Calcular∫ ∫

AxE(1 +x+ y)dxdy, siendo A :=

[0, 1] × [0, 1] y donde E(t) denota la parte entera de t, discutiendo previamente laintegrabilidad de la funcion.

Observamos que f esta acotada en A y los puntos de discontinuidad de la funcionf(x, y) = xE(1+x+y) en A estan contenidos en el conjunto {(x, y) ∈ A : x+y = 1},que es nulo y por tanto f es integrable Lebesgue en A (Teorema de Lebesgue-Vitali).

55

DRAFT


Para calcular la integral descomponemos A como A = B ∪ C ∪ {(1, 1)}, siendoB := {(x, y) ∈ A : 0 ≤ x + y < 1}, C := {(x, y) ∈ D : 1 ≤ x + y < 2}. Entonces laigualdad fχA = fχB + fχC se cumple en todo R2 excepto en el punto (1, 1) y por

tanto

∫ ∫A

f(x, y)dxdy =

∫ ∫B

f(x, y)dxdy +

∫ ∫C

f(x, y)dxdy Pero∫ ∫B

f(x, y)dxdy =

∫ ∫B

xdxdy =

∫ 1

0

(∫ 1−x

0

xdy

)dx =

1

6

y tambien ∫ ∫C

f(x, y)dxdy =

∫ ∫C

2xdxdy =

∫ 1

0

(∫ 1

1−x2xdy

)dx =

2

3.

De donde

∫ ∫A

f(x, y)dxdy =5

6.

Ejercicios ( Practica 10)

Empezaremos describiendo algunos conjuntos por medio de cortes verticales yhorizontales. Una region en R2 diremos que es verticalmente simple o de tipo I si esde la forma

A := {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}siendo g1 y g2 funciones continuas en [a, b].

Similarmente diremos que una region en R2 es horizontalmente simple o de tipoII si es de la forma

B := {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}siendo h1 y h2 funciones continuas en [c, d].

Una region diremos que es simple o de tipo III si corresponde a las dos descrip-ciones anteriores a la vez.

Ejemplo 5.1.15 (Ejemplo 10.1). Como ejemplos sencillos podemos citar:

Tipo I : A := {(x, y) ∈ R2 | π4≤ x ≤ 5π

4, cos x ≤ y ≤ sen x}

Tipo II : B := {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1, y2 − 1 ≤ x ≤ y2 + 1}Tipo III : [0, 3]× [−1, 1] := {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 3}

Ejercicio 5.1.16 (Ejercicio 10.1). Demostrar que un cırculo de centro (0, 0) yradio r es una region de tipo III.

Ejercicio 5.1.17 (Ejercicio 10.2). Justificar que el triangulo de vertices (−2, 2), (0, 0)y (2, 2) se puede escribir como una region de tipo III.

Ejercicio 5.1.18 (Ejercicio 10.3). Consideremos la region R comprendida entrelas circunferencias de centro (0, 0) y radios 2 y 3 respectivamente; indicar en cadauno de los casos si se trata o no de una region de tipo I, II o III.

(a) La region R.

(b) El subconjunto de R por encima del eje de abscisas.

56

DRAFT


(c) El subconjunto de R que se encuentra en el primer cuadrante.

(d) El subconjunto de R a la derecha del eje de ordenadas.

Dada una funcion f(x, y) definida en una region de tipo I,

A = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},puede tener sentido el calculo de

F (x) :=

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dy

y luego cabe que tenga sentido calcular∫ b

a

F (x)dx.

En tal caso al resultado final lo llamamos integral iterada de f en A y escribiremos∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dydx

Para una region

B := {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}de tipo II definiremos analogamente la integral iterada de f en B y escribiremos∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dxdy.

Finalmente para una region de tipo III tienen sentido las dos definiciones.

Notemos que si f(x, y) = 1 cada una de las integrales nos da∫ b

a

(g2(x)− g1(x))dx∫ d

c

(h2(y)− h1(y))dy

que, como sabemos, representan el “ area encerrada ”por dichas regiones.

Nos encontraremos a veces con regiones que no son de los tipos anteriores, opuede ser complicado describirlas, pero que se podran descomponer en regiones comolas citadas. Entenderemos las integrales iteradas sobre ellas como la suma de lascorrespondientes integrales iteradas en las subregiones de la particion efectuada.

Ejemplo 5.1.19 (Ejemplo 10.2). La integral∫ 2

0

∫ 4

y2f(x, y) dx dy

corresponde a una integral iterada de f(x, y) en

A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ 4}57

DRAFT


que se puede describir como

A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤√x}

por lo que la otra integral iterada sera∫ 4

0

∫ √x0

f(x, y) dx dy .

Ejemplo 5.1.20 (Ejemplo 10.3). Sea A el triangulo de vertices (0, 0), (1, 0) y(1, 1), y sea f(x, y) := xy.

El conjunto A admite una descripcion como region de tipo I ya que

A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}

La correspondiente integral iterada sera∫ 1

0

∫ x

0

xy dydx =

∫ 1

0

x(y2

2

)y=x

y=0dx =

∫ 1

0

x3

2dx =

1

8

A tambien se puede describir como una region de tipo II ya que

A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1}

La correspondiente integral iterada sera∫ 1

0

∫ 1

y

xy dydx =

∫ 1

0

y(x2

2

)x=1

x=ydx =

∫ 1

0

(y

2− y3

2)dx =

1

8

Observemos que ambas integrales coinciden.

Ejercicio 5.1.21 (Ejercicio 10.4). Calcular las integrales de las siguientes fun-ciones en el conjunto que se describe con las dos integrales iteradas diferentes:

(a) f(x, y) := ex+y en el triangulo de vertices (0, 0), (2, 2) y (4, 0).

(b) f(x, y) := sen xx

en la region del primer cuadrante encerrada por su bisectrizy la parabola y = x2.

(c) f(x, y) := (x + y)−2 en la parte del intervalo A := [1, 2]× [1, 4] comprendidaentre las rectas y = x e y = 2x.

(d) f(x, y) := x+y en la parte del intervalo A := [0, 1]× [0, 1] comprendida entrelas parabolas y = x2 e y = 2x2.

(e) f(x, y) := x en la region limitada por las circunferencias centradas en (0, 0) ycon radio 2 y 3 respectivamente, por encima del eje de abcisas.

(f) f(x, y) := cos x en el cuadrado de vertices (1, 0), (−1, 0), (0, 1) y (0,−1)

(g) f(x, y) := x2ey en la region limitada por las curvas y2 = x, y2 = −x e y = 1.

(h) f(x, y) := 1x2

en la region limitada por la parabola y = 4x − x2, la rectay + 3x = 6 y el eje de abcisas.

58

DRAFT


Ejercicio 5.1.22 (Ejercicio 10.5). Comprobar que las siguientes funciones noson integrables en [0, 1]× [0, 1] .

(a) f(x, y) := 1y2, si 0 < x ≤ y < 1 ; f(x, y) := − 1

x2, si 0 < y ≤ x < 1.

(b) f(x, y) := x2−y2(x2+y2)2

si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0 , en A := [0, 1]× [0, 1]


(a) Utilizando el ejercicio 0.2.6, demostrar que∫ +∞

0

∫ +∞

0

y exp(− y2(1 + x2)

)dx dy =

(∫ +∞

0

e−x2

dx)2

.

(b) Probar que la funcion definida por f(x, y) = y exp(−y2(1+x2)

)es integrable

en [0,+∞[×[0,+∞[ y aplicar el teorema de Fubini para calcular su integral; deducir

el valor de la integral∫ +∞

0e−x

2dx.

Ejercicio 5.1.24 (Ejercicio 10.7). Invertir el orden de integracion en

(a)∫ 1

0

∫ √xx3

f(x, y) dy dx

(b)∫ 3

0

∫√6y−y20

f(x, y) dx dy

(c)∫ 1

0

∫ 2−xx

f(x, y) dy dx

(d)∫ 1

−1

∫ x2+1

0f(x, y) dy dx

(e)∫ 0

−1

∫√9−(x−2)2

0f(x, y) dy dx+

∫ 1

0

∫√9−(x+2)2

0f(x, y) dy dx

(f)∫ √5

0

∫ −2+√

9−y2

2−√

9−y2f(x, y) dx dy

(g)∫ 2π

0

∫ senx

0f(x, y) dy dx

5.2. Funciones medibles I

El espacio L1 de las funciones integrables Lebesgue no contiene a todas las fun-ciones continuas, pues no todas son integrables, como por ejemplo las constantes nonulas (Ejemplo 4.1.3). Tampoco es cierto que el producto de funciones integrablessea integrable. Vamos a definir un espacio mas grande que L1 y que contiene a lasfunciones mencionadas antes. Y lo definiremos a partir de sucesiones de funcionesescalonadas, como hicimos con la funciones superiores y por ende con las integrables,pero pidiendo menos condiciones sobre dichas sucesiones.

Definicion 5.2.1 (Funcion medible). Diremos que f : RN → R es medible siexiste una sucesion de funciones escalonadas que converge a f c.p.p.

Al conjunto de las funciones medibles en RN lo denotaremos por M(RN).

De la definicion se desprende inmediatamente que

Proposicion 5.2.2.

59

DRAFT


1. si f ∈M(RN) y g = f c.p.p. entonces g ∈M(RN).

2. L1(RN) ⊂M(RN),

3. M(RN) es un espacio vectorial.

4. M(RN) contiene a las constantes (Ejemplo 4.1.3).

Ademas se tiene el siguiente resultado como consecuencia del Corolario 4.3.6 delTeorema de la convergencia dominada.

Proposicion 5.2.3. Si f ∈M(RN) y existe g ∈ L1(RN) tal que

|f | ≤ g c.p.p.,

entonces f ∈ L1(RN).

En particular si f ∈M(RN) y |f | ∈ L1(RN), entonces f ∈ L1(RN), es decir,

L1(RN) = {f ∈M(RN) : |f | ∈ L1(RN)}.

Pero es mas, tenemos el siguiente resultado que nos dice lo grande que es M(RN).

Teorema 5.2.4 (M(RN) es cerrado para lımites c.p.p.). Sea {fn} una sucesionde funciones medibles tal que

fn → f c.p.p.

Entonces

f ∈M(RN).

Como corolario tenemos la siguiente adaptacion del Corolario 4.3.6 tal y comoallı se anunciaba.

Corolario 5.2.5. Sea {fn} una sucesion de funciones medibles tal que

fn → f c.p.p.

Si existe g ∈ L1 tal que

|f | ≤ g.

entonces f ∈ L1.

El Teorema 5.2.4 se puede probar usando el siguiente Teorema.

Teorema 5.2.6. Sea D ⊂ R2 abierto y ϕ : D → R continua. Sean f, g ∈M(RN)tales que

(f(x), g(x)) ∈ D ∀x ∈ RN \ A, A nulo.

Entonces la funcion

h(x) :=

{ϕ(f(x), g(x)), x ∈ RN \ Ar(x), x ∈ A,

donde r(x) es arbitrario, pertenece a M(RN).

60

DRAFT


Demostracion del Teorema 5.2.4. Sea g ∈ L1 con g(x) > 0 para todo x(por ejemplo, g(x) =

∑∞n=1

12n

1(2n)N

χ[−n,n]N (x)). Y sean

hn(x) = g(x)fn(x)

1 + |fn(x)|, n ∈ N.

Como g y fn son medibles, usando el Teorema 5.2.6 (hn = ϕ(g, fn) donde ϕ(r, s) =r s

1+|s|), se tiene que hn tambien lo es, pero ademas esta dominada por g integrable,

luego las hn son integrables (usamos la Proposicion 5.2.3), y ademas es facil ver queconvergen en casi todo punto a

h(x) := g(x)f(x)

1 + |f(x)|.

Entonces, por el Corolario 4.3.6 (ojo que no podemos usar aun el Corolario 5.2.5)

se tiene que h es integrable y por tanto medible. Ahora |h| = g |f |1+|f | < g de donde

|f | = |h|g−|h| y, por tanto

f =h(1 + |f |)

g=

h

g − |h|es tambien medible, usando de nuevo el Teorema 5.2.6 (f = ϕ(h, g) donde ϕ(r, s) =r

r−|s| definida en D = {(r, s) : |r| < s}.) �

El siguiente resultado nos da mas informacion sobre que funciones son medibles.

Proposicion 5.2.7.

1. El producto de medibles es medible. El cociente de medibles es medibles si lafuncion del denominador es no nula salvo en un conjunto a lo mas nulo.

2. El maximo y el mınimo de medibles es medible. En particular si f ∈ M(RN)entonces f+, f−, |f | ∈M(RN).

Ejercicio 5.2.8. Las funciones continuas c.p.p. son medibles.

Solucion. Sea M > 0, ınf{sup{f,−M},M}χ[−M,M ]N es continua c.p.p. y aco-tada, entonces por el teorema de Lebesgue-Vitali es medible, y tirando M a +∞, sededuce la medibilidad de f . �

Por ultimo resaltamos el siguiente resultado.

Corolario 5.2.9. Si f ∈ L1(RN), y g ∈ M(RN) es acotada, entonces fg ∈L1(RN).

5.3. Teorema de Tonelli-Hobson

Para aplicar el Teorema de Fubini hace falta conocer previamente que la funcionsea integrable, pero podemos saber esto si sabemos que la funcion es medible y almenos existe una de las integrales iteradas del modulo de la funcion en cuestion.

61

DRAFT


Teorema 5.3.1 (Teorema de Tonelli-Hobson). Sea f ∈M(RN), N ≥ 2. Si∫RK

(∫RM|f(x, y)|dy

)dx < +∞

entonces f ∈ L1(RN).

El mismo resultado se tiene cambiando el juego de x e y.

Demostracion. Sea

gn := mın{nχ[−n,n]N , |f |}.{gn} es una sucesion creciente de funciones integrables (gn es medible y 0 ≤ gn ≤nχ[−n,n]) que converge a |f |, con integrales∫

RNgn =

∫RK

(∫RM

gn(x, y)dy

)dx ≤

∫RK

(∫RM|f(x, y)|dy

)dx

acotadas. Por tanto por el Teorema de la convergencia monotona |f | es integrable, ycomo f es medible, tambien f es integrable. �

Estamos considerando una especie de inverso del Teorema de Fubini. Recordemosque si f es medible, f integrable sii lo es |f |.

Corolario 5.3.2. Sea f medible. Entonces f integrable sii las dos iteradas de |f |existen sii alguna de iteradas de |f | existe, y ademas,∫

RK×RMf(x, y)dxdy =

∫RK

(∫RM

f(x, y)dy

)dx =

∫RM

(∫RK

f(x, y)dx

)dy.

Ejemplo 5.3.3 (Ejemplo 10.8). Averiguemos si la funcion f(x, y) =1√xy

es

integrable en el conjunto A = [0, 1]× [0, 1] y, en su caso, calculemos la integral.

Comprobaremos que f es integrable aplicando el Teorema de Tonelli-Hobson. Lafuncion f es medible por ser continua c.p.p. Ademas, la funcion de una variable

ϕ(t) =1√t

es integrable en el intervalo [0, 1] con integral

∫ 1

0

1√tdt = 2 y por tanto

existe la integral iterada∫ 1

0

(∫ 1

0

| f(x, y) | dy)dx =

(∫ 1

0

1√xdx

)(∫ 1

0

1√ydy

)= 4.

Queda probado que f es integrable en A y ademas el teorema de Fubini nos permite

concluir

∫ ∫A

f(x, y)dxdy = 4.

Ejercicios (Practica 10. Apartado 10.3)

Ejercicio 5.3.4 (Ejercicio 10.8). Averigua si la funcion f es integrable en elconjunto A y, en caso afirmativo, calcula la integral correspondiente.

(a) f(x, y) =| cos(x+ y) |; A := [0, π]× [0, π].

(b) f(x, y) = xyE(y2 − x) ; A := [0, 1]× [0, 2].

62

DRAFT


(c) f(x, y, z) = (x+ y + z)−3 ; A := {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z ≤ 1;x, y, z ≥ 0}.(d) f(x, y) = ex+y ; A := {(x, y) ∈ R2 :| x | + | y |≤ 1}.(e) f(x, y) = xy | sen(x2 + y2) | ; A := [0,

√π]× [0,

√2π].

(f) f(x, y) = max(y, x2) ; A := [0, 1]× [0, 1].

(g) f(x, y) = 1xαyβ

; A := [0, 1]× [0, 1].

(h) f(x, y) = e−xy ; A := {(x, y) : x ≥ 1 , 1 ≤ xy ≤ 2}.(i) f(x, y) = e−xy − 2e−2xy ; A := [0, 1]× [1,∞[.

Ejercicio 5.3.5 (Ejercicio 10.9). Averigua si f(x, y) = xye−(x2+y2) es integrableen el conjunto A descrito por las desigualdades 0 ≤ x ≤ 2y.

63

DRAFT

TEMA 6

Conjuntos medibles

6.1. Conjuntos medibles

En la Definicion 5.1.8 ya introducimos el concepto de medida (medida de Le-besgue N-dimensional) de un conjunto S tal que χS ∈ L1(RN) como

|S| =∫χS.

Ampliemos dicho concepto y estudiemos sus propiedades.

Definicion 6.1.1. Diremos que un conjunto S ⊂ RN es medible si χS es unafuncion medible, y que es integrable si χS es integrable, y asignaremos la siguientemedida a tales conjuntos, que concuerda con las dadas hasta ahora:

|S| =∫χS si S es integrable,

|S| = +∞ si S es medible no integrable.

La Proposicion 6.1.3 justifica que |S| := +∞ cuando S es medible no integrable.

Es evidente que los conjunto nulos son medibles y que su medida es 0, y que losconjunto medibles de medida 0 son nulos. Y que los intervalos acotados son mediblescon medida de Lebesgue igual a la medida defina previamente para ellos.

A la familia de todos los conjuntos medibles en RN lo denotaremos por M(RN),es decir,

M(RN) = {S ⊂ RN : χS ∈M(RN)}.

RN es medible, no integrable. Al vacıo se le puede considerar como elemento deM(RN) (la caracterıstica del vacıo es como la funcion identicamente nula) y se le dauna medida: |∅| = 0.

Encontrarse con conjuntos no medibles es bastante improbable.

Definicion 6.1.2. Sea A ⊂ RN (normalmente A ∈M(RN)) y f : A→ R. Sea

g(x) :=

{f(x) si x ∈ A,0 si no.

Abusando de notacion g = fχA. Si g ∈ L1 diremos que f es integrable en A, y quesu integral vale ∫

A

f :=

∫g =

∫fχA.

Al conjunto de funciones integrables en A lo denotaremos por L1(A).

65

DRAFT


Observar que si A es integrable, entonces las constantes pertenecen a L1(A).

Por otra parte si f ∈ L1(A) y B es un conjunto medible, B ⊂ A, entoncesf ∈ L1(B) ya que fχB = fχAχB es el producto de dos funciones medibles (fχA yχB) y se tiene que |fχB| ≤ |fχA| ∈ L1 (recordar la Proposicion 5.2.3).

Proposicion 6.1.3.

1. Sean A,B ∈M(RN). Entonces A∪B,A∩B,A \B,A4B ∈M(RN) (M(RN)es un algebra de conjuntos) y

|A ∪B|+ |A ∩B| = |A|+ |B| (la medida es aditiva).

En particular,

|A ∪B| ≤ |A|+ |B|.

2. Sean A,B ∈M(RN), A ⊂ B entonces |A| ≤ |B|.3. Si A ⊂ B, B nulo, entonces A es nulo y por tanto medible (esto hace que el

espacio medida (RN ,M(RN), |.|) sea completo).

4. Si {An} es una sucesion creciente de conjuntos medibles, entonces A =⋃nAn

es medible y

|A| = lımn|An|.

5. Si {An} es una sucesion de conjuntos medibles, entonces A =⋃nAn es medible

(esta propiedad junto al hecho de que ∅,RN ∈M(RN) y al hecho de que A ∈M(RN)implique que RN \ A ∈M(RN) hacen que M(RN) sea una σ–algebra). Ademas

|A| ≤∑n

|An|.

Se da la igualdad si los conjuntos An son disjuntos dos a dos (la medida es σ–aditiva).Es mas, se da la igualdad si la interseccion de todo par de conjuntos es nula.

6. Si A es medible, existe {An} una sucesion, creciente si se quiere, de conjuntosintegrables con A =

⋃nAn (la medida es σ–finita).

Proposicion 6.1.4.

1. Las figuras elementales son conjuntos medibles.

2. Los abiertos son conjuntos medibles.

3. Los cerrados son conjuntos medibles.

4. Los compactos son conjuntos integrables.

Definicion 6.1.5 (Conjunto de Borel o boreliano). La σ–algebra mas pequena quecontiene a los abiertos de RN se llama σ–algebra de Borel, B(RN), y sus elementosson los conjuntos borelianos.

La σ–algebra mas pequena existe: dada una familia {Si}i∈I de σ–algebras en RN ,sea S := {A ⊂ RN : A ∈ Si ∀i}. Es facil ver que S es σ–algebra.

Teorema 6.1.6. Los conjuntos de Borel son medibles.

66

DRAFT


Proposicion 6.1.7. Sea E ∈ B(RN), y sea f : E → RM (N,M ≥ 1) continua.Entonces f−1(A) ∈ B(RN) para todo A ∈ B(RM).

Demostracion. Basta ver que {A ⊂ RM : f−1(A) ∈ B(RN)} es una σ–algebra(sencillo) que contiene a los abiertos (¡f es continua!). �

Nota 6.1.8. Hay conjuntos medibles que no son de Borel. Pero si A es medible,existe B Borel y N nulo, disjuntos, tales que

A = B ∪N.

Por otra parte si A es un conjunto nulo, existe un conjunto de Borel B nulo con

A ⊂ B.

En efecto, A ⊂ Bn := ∪mIm,n, Im,n intervalos, con | ∪m Im,n| ≤ 1n. Sea B = ∩nBn.

Ejercicio 6.1.9.

1. Si la funcion f(x) es medible y a ∈ RN entonces la funcion f(x+a) es medible.

2. La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones: si el conjunto A esmedible y a ∈ RN entonces el conjunto a+ A es medible y |a+ A| = |A|.

1. Si la funcion f(x) es medible y r ∈ R entonces la funcion f(rx) es medible.

2. Si el conjunto A es medible y r ∈ R entonces el conjunto rA es medible y|rA| = |r|N |A|.

3. La medida de Lebesgue es invariante por rotaciones (este para mas adelante).

Ejemplo 6.1.10 (Conjunto no medible Lebesgue). Definamos en R la siguienteclase de equivalencia,

x ∼ y si x− y ∈ Q.

Dado x ∈ R existe y ∈ [0, 1] tal que y ∼ x. Elijamos, gracias al Axioma deEleccion (no hay otra alternativa, Solovay 1965) un representante de x en [0, 1] (¡delos muchos que hay!) y llamemosle [x]. Y sea A = {[x] : x ∈ R}. Se tiene que

[6.1.1] [0, 1] ⊂⋃

r∈Q∩[−1,1]

(r + A) ⊂ [−1, 2].

Y ademas {r+A}r∈Q∩[−1,1] son disjuntos dos a dos. De hecho, si x ∈ (r+A)∩(s+A),r, s ∈ Q ∩ [−1, 1], r 6= s, entonces existe [x1], [x2] ∈ A tales que

x− r = [x1]

x− s = [x2]

y por tanto,

[x1]− [x2] = s− r ∈ Q,lo que implica que

[x1] = [x2]

y por tanto r = s que es imposible.

67

DRAFT


Veamos que A no puede ser medible. Si lo fuese, entonces r+A tambien lo seria,con la misma medida (que serıa finita pues A esta contenido en [0, 1]), y por tanto,por [6.1.1],

1 ≤∑

r∈Q∩[−1,1]

|A| ≤ 3.

Lo cual es imposible tanto si |A| 6= 0 como si |A| = 0.

6.2. Funciones medibles II

Veamos ahora, si se parte de la teorıa de la medida de Lebesgue, como se intro-ducen las funciones medibles.

Teorema 6.2.1 (Caracterizacion de las funciones medibles). Sea f : RN → R. Sif es una funcion medible y m ∈ R entonces

{f ≥ m} := {x ∈ RN : f(x) ≥ m} ∈M(RN),

{f > m} := {x ∈ RN : f(x) > m} ∈M(RN),

{f = m} := {x ∈ RN : f(x) = m} ∈M(RN).

Y viceversa, si {f ≥ m} ∈M(RN) para todo m ∈ R entonces f es medible.

Corolario 6.2.2.

1. Sea E un conjunto boreliano de RN , y sea f : E → R continua. Entonces fχEes medible.

2. Sea E un conjunto integrable de RN , y sea f : E → R medible y acotada.Entonces f ∈ L1(E).

3. Sea E un conjunto compacto de RN , y sea f : E → R continua. Entoncesf ∈ L1(E).

Nota 6.2.3. Si definimos como funcion simple a una combinacion lineal de carac-terısticas de conjunto medibles. Las funciones simples son por tanto medibles. De laprueba anterior se deduce que

f es medible ⇒ existe una sucesion de funciones simples que converge a f ,

f es medible ⇐ existe una sucesion de funciones simples que converge a f c.p.p.

Se tiene el siguiente resultado.

Sea f una funcion medible.

f ≥ 0 es integrable sii sup{∫

g : g es simple, g ≤ f}< +∞,

e ∫f = sup

{∫g : g es simple, g ≤ f

}.

Este es el punto de partida en la integracion de Lebesgue a partir de la medida,y ası se ve la diferencia entre los planteamientos de Riemann y Lebesgue, el primerodivide el dominio de la funcion para montar la integral y el segundo divide el rango.

68

DRAFT


Se puede afinar un poquito mas sobre la caracterizacion de las funciones medibles.

Proposicion 6.2.4. Si f es medible entonces existe una sucesion de funcionessimples {fn}, con |f1| ≤ |f2| ≤ |f3| ≤ · · · , que converge a f .

69

DRAFT

TEMA 7

Cambio de variables

7.1. El Teorema de cambio de variable

Vamos ahora a ver como extendemos el Teorema 0.1.12 de cambio de variabledado para la integral de Riemann en una variable a funciones de varias variables.

Del Teorema 0.1.12 podemos enunciar:

Sea f ∈ R([a, b]) y sea g continua, derivable y estrictamente monotona en elintervalo [a, b]. Entonces∫

g([a,b])

f(y)dy =

∫[a,b]

f(g(x))|g′(x)|dx.

Para varias variables podemos enunciar el siguiente resultado.

Teorema 7.1.1 (Teorema de cambio de variable). Sea U ⊂ RN un abierto yg : U → RN un cambio de variables (la definicion viene despues). Sea B ⊂ Umedible. Entonces g(B) es medible,

f ∈ L1(g(B)) ⇔ (f ◦ g)|Jg| ∈ L1(B),

e ∫g(B)

f =

∫B

(f ◦ g)|Jg|.

Corolario 7.1.2. Sea U ⊂ RN un abierto y g : U → RN un cambio de variables.

1. Si A ⊂ g(U) es integrable, entonces |A| =∫g−1(A)

|Jg|.

2. Si B ⊂ U es integrable, |B| =∫g(B)|Jg−1|.

Veremos primero que es un cambio de variable.

Definicion 7.1.3. Sea U ⊂ RN un abierto. g : U → RN se dice que es un cambiode variables si

1. g es de clase C1,

2. g es inyectiva, y

3. El jacobiano de g no se anula en U : Jg(x) 6= 0 ∀x ∈ U .

Recordemos que el jacobiano de g es el determinante de la matriz jacobiana de g.

Proposicion 7.1.4. Sea U ⊂ RN un abierto y g : U → R un cambio de varia-bles. Entonces g(U) es abierto y g−1 es tambien un cambio de variables (cambio devariables inverso a g).

71

DRAFT


Ejercicio 7.1.5. La composicion de cambios de variables es cambio de variable.

Despues veremos cambios de variables notables como el cambio a coordenadaspolares, el cambio a coordenadas esfericas o el cambio a coordenadas cilındricas. Perotambien son notables los cambios de coordenadas lineales, como son las rotaciones.Empezaremos por estos, para los que es muy facil probar el Teorema de cambio devariable (recordar el Ejercicio 3.1.11).

7.1.1. Cambio de variable afın. Sea L : RN → RN una aplicacion li-neal (es por tanto de clase C1) biyectiva (o, equivalentemente, inyectiva), con loque el determinante de su matriz asociada (su matriz Jacobiana, ML), es no nulo,JL(x) = det(ML) 6= 0. Dicha aplicacion es por tanto un cambio de variable lineal.

Asociemos L con ML. El Algebra lineal nos ensena que dichas matrices (invertibles)siempre se pueden escribir como productos de dos clases de matrices elementales(transformaciones elementales si pensamos en las aplicaciones lineales), Pa,i, Si,j des-critas por (es como hacer Gauss):

Pa,i

x1...xi...xN

=

x1...axi...xN

, Si,j

x1...xi...xj...xN

=

x1...

xi + xj...xj...xN

,

donde a 6= 0 (y distinto de 1) y j 6= i en la segunda matriz. Observar que

Pa,i es como la matriz identidad pero cambiando el elemento (i, i) por a. Su determi-nante es |a|.Si,j es la matriz identidad pero cambiando el elemento (i, j) por 1. Su determinantees 1.

A veces se usa una tercera clase de matriz elemental, Ii,j descrita por

Ii,j

x1...xi...xj...xN

=

x1...xj...xi...xN

,

pero en realidad esta se consigue como productos de las otras.

Teorema 7.1.6 (Teorema de cambio de variable afın). Sea L un cambio de va-riable lineal en RN y sea a ∈ R, entonces la aplicacion afın T (x) = a + L(x) es uncambio de variable. Sea B ∈M(R).

72

DRAFT


1. Si f ∈ L1(RN) entonces (f ◦ T ) ∈ L1(RN), y∫RNf(y)dy = |det(ML)|

∫RNf(T (x))dx.

2. Si g ∈ L1(T (B)) entonces (g ◦ T ) ∈ L1(B) (y viceversa), y∫T (B)

g(y)dy = |det(ML)|∫B

g(T (x))dx.

3. T (B) ∈M(RN) y |T (B)| = |det(ML)||B|.

Demostracion. La primera parte del enunciado es obvia. La demostracion de3. se obtiene de 2. tomando g(x) = 1. Por otra parte 2. se obtiene de 1. tomando lafuncion f(x) = g(x)χT (B)(x).

Basta demostrar 1. en el caso en que a = 0, es decir, solo tenemos un cambio devariable lineal, ya que la integral de Lebesgue es invariante por traslaciones. Ahoracomo la composicion de cambios lineales es un cambio lineal y el determinante dela matriz asociada al cambio compuesto es el producto de los determinantes de loscambios considerados, basta probarlo para cambios lineales dados por matrices ele-mentales. Por otra parte basta probarlo para funciones integrables no negativas yaque f = f+ − f−, f± integrables.

Caso 1 [Pa,i, a 6= 0]: ver el Ejercicio 3.1.11.

Caso 2 [Si,j, j 6= i]: usar Fubini para transformar el problema a un problema 1–dimensional, aplicar la invarianza de la integral por traslaciones y aplicar Tonelli. �

Proposicion 7.1.7. Sea U ⊂ RN un abierto y g : U → RN un cambio de variables.Se tiene que:

Si E ⊂ U en nulo entonces g(E) es nulo.

Si E ⊂ U es medible entonces g(E) es medible.

7.1.2. Caso general. El caso general se sigue de los siguientes resultados.

Lema 7.1.8. Si f : g(U) → [0,+∞[ es continua entonces, para todo cubo Qcontenido en U , ∫

g(Q)

f ≤∫Q

(f ◦ g)|Jg|.

Proposicion 7.1.9. Si f : g(U) → R es continua entonces, para todo compactoK contenido en U , (f ◦ g)|Jg| ∈ L1(K) y∫

g(K)

f =

∫K

(f ◦ g)|Jg|.

7.2. Ejemplos notables de cambios de variable

Ya hemos visto las traslaciones, veamos ahora otros.

73

DRAFT


7.2.1. Rotaciones. Una rotacion es una transformacion (lineal) que describeel movimiento de un solido rıgido alrededor de un punto fijo.

Las matrices que representan rotaciones son ortogonales (sus vecoters fila, o co-lumna, forman una base ortonormal de RN) con determinante igual a 1.

En dos dimensiones una rotacion de angulo θ que deja fijo al (0, 0) viene dadapor la matriz (

cosθ −sinθsinθ cosθ

).

La matriz ortogonal (cosθ sinθsinθ −cosθ

),

sin embargo, representa una reflexion (respecto de la recta y = tan(θ2

)x).

Matriz de rotacion en R3 de angulo θ respecto de un eje (regla de la mano derecha)con vector director v = (v1, v2, v3):

Rv(θ) =

(1− v21) cos θ + v2

1 −v1v2 cos θ − v3 sin θ −v1v3 cos θ + v2 sin θ−v1v2 cos θ + v3 sin θ (1− v2

2) cos θ + v22 −v2v3 cos θ − v1 sin θ

−v1v3 cos θ − v2 sin θ −v2v3 cos θ + v1 sin θ (1− v23) cos θ + v2

3

La medida de Lebesgue es invariante por rotaciones (y por reflexiones).

7.2.2. Cambio de coordenadas polares. Cualquier punto (x, y) ∈ R2 (ex-presado en coordenadas cartesianas) se puede expresar por medio de sus coordenadaspolares, ρ, θ, que miden respectivamente la longitud del vector (x, y) y el angulo queforma dicho vector con el semieje OX+ (medido desde el eje OX+ en sentido antiho-rario): {

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ.

Y se tiene que la aplicacion

G2 :]0,∞[×]0, 2π[→ R2

G2(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ),

es un cambio de variable (cambio de coordenadas polares a cartesianas) cuya imagenes R2 \ {(x, 0) : x ≥ 0}, esto es, R2 menos un conjunto nulo. La matriz jacobiana deg es (

cosθ −ρ sin θsin θ ρ cos θ

),

cuyo determinante es ρ. Por otra parte, ρ =√x2 + y2 y θ = arctan y

x.

Este cambio de coordenadas polares esta centrado en (0, 0), si queremos centrarloen otro punto (x0, y0) basta definir

G2,(x0,y0)(ρ, θ) = (x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ),

74

DRAFT


(el trasladado del cambio anterior) con el mismo dominio de g, su rango es justoR2 \ {(x, y0) : x ≥ x0}. El jacobiano de G2,(x0,y0) es tambien ρ.

La aplicacion

G2 :]0,∞[×]− π, π[→ R2

G2(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ),

tambien es un cambio de coordenadas polares cuya imagen es R2 \ {(x, 0) : x ≤ 0}.

7.2.3. Cambios de coordenadas cilındricas y esfericas. Cualquier punto(x, y, z) ∈ R3 (expresado en coordenadas cartesianas) se puede expresar por mediode sus coordenadas cilındricas, ρ, θ, w, que miden respectivamente la longituddel vector (x, y), el angulo que forma el vector (x, y, 0) con el semieje OX+ (medidodesde el semieje OX+ en sentido antihorario), y z:

x = ρ cos θ,

y = ρ sin θ,

w = z.


H :]0,∞[×]0, 2π[×R→ R3

H(ρ, θ, w) = (ρ cos θ, ρ sin θ, w),

es un cambio de variable (cambio de coordenadas cilındricas a rectangulares), cuyaimagen es R3 \ {(x, 0, z) : x ≥ 0, z ∈ R}, esto es, R3 menos un conjunto nulo. Lamatriz jacobiana de H es cosθ −ρ sin θ 0

sin θ ρ cos θ 00 0 1

,

cuyo determinante es ρ.

Este cambio es como un cambio de coordenadas polares en las dos primeras va-riables, dejando la tercera igual.

Cualquier punto (x, y, z) ∈ R3 (expresado en coordenadas cartesianas) se puedeexpresar por medio de sus coordenadas esfericas, ρ, ϕ, θ, que miden respectivamentela longitud del vector (x, y, z), el angulo que forma el vector (x, y, z) con el semieejeOZ+ (medido desde el semieje OZ+) y el angulo que forman (x, y, 0) y el semiejeOX+ (medido desde el semieje OX+ en sentido antihorario) :

z = ρ cosϕ

x = ρ sinϕ cos θ,

y = ρ sinϕ sin θ, .


G′3 :]0,∞[×]0, π[×]0, 2π[→ R3

G′3(ρ, ϕ, θ) = (ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ).

75

DRAFT


es un cambio de variable (cambio de coordenadas esfericas a rectangulares), cuyaimagen es R3 \ {(x, 0, z) : x ≥ 0, z ∈ R}, esto es, R3 menos un conjunto nulo. Lamatriz jacobiana de G′3 es sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ −ρ sinϕ sin θ

sinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ ρ sinϕ cos θcosϕ −ρ sinϕ 0

,

cuyo determinante es ρ2 sinϕ > 0.

Tambien podemos considerar este otro cambio de coordenadas esfericas:

G′′3 :]0,∞[×]0, 2π[×]− π/2, π/2[→ R3

G′′3(ρ, θ, ϕ) = (ρ cosϕ cos θ, ρ cosϕ sin θ, ρ sinϕ),

Este tambien es un cambio de variable, cuya imagen es R3 \ {(x, 0, z) : x ≥ 0, z ∈ R}(la misma que la de G′3). La matriz jacobiana de G′′3 es cosϕ cos θ −ρ cosϕ sin θ −ρ sinϕ cos θ

cosϕ sin θ ρ cosϕ cos θ −ρ sinϕ sin θsinϕ 0 ρ cosϕ

,

cuyo determinante es ρ2 cosϕ > 0. La diferencia con el anterior es que en este, ϕmide el angulo que forman (x, y, z) y el plano XY (medido desde el plano).

La formula∫G′′3 (B)

f(x, y, z)dxdydz =

∫B

f(ρ cosϕ cos θ, ρ cosϕ sin θ, ρ sinϕ)ρ2 cosϕdρdθdϕ,

usa el cambio de coordenadas polares (a rectangulares) G′′3 para cambiar una integralen coordenadas rectangulares sobre G′′3(B) a una integral en coordenadas esfericassobre B.

Los cambios de coordenadas esfericas son la composicion de cambios de coorde-nadas polares. Veamoslo y demos un cambio de coordenadas esfericas en RN , N ≥ 2(para N = 3 el cambio que vamos a dar se parece a G′3 con las variables finalescambiadas de sitio; J indica el Jacobiano de cada paso y JT el Jacobiano total de loscambios realizados desde el inicio hasta ese momento):

76

DRAFT


(ρ, ϕ1, ϕ2, ϕ3, . . . , ϕN−3, ϕN−2, ϕN−1) ∈]0,+∞[×]0, π[×]0, π[×]0, π[× · · ·×]0, π[×]0, π[× ]0, 2π[︸︷︷︸↓ G2(ρ, ϕ1), el resto igual; J = ρ. JT = ρ.

(ρ cosϕ1, ρ sinϕ1, ϕ2, ϕ3, . . . , ϕN−3, ϕN−2, ϕN−1) ∈ R×]0,+∞[×]0, π[×]0, π[× · · ·×]0, π[×]0, π[×]0, 2π[

↓ G2(ρ sinϕ1, ϕ2), el resto igual; J = ρ sinϕ1. JT = ρ2 sinϕ1.

(ρ cosϕ1, ρ sinϕ1 cosϕ2, ρ sinϕ1 sinϕ2, ϕ3, . . . , ϕN−3, ϕN−2, ϕN−1) ∈ R2×]0,+∞[×]0, π[× · · ·×]0, π[×]0, π[×]0, 2π[

↓ G2(ρ sinϕ1 sinϕ2, ϕ3), el resto igual; J = ρ sinϕ1 sinϕ2. JT = ρ3 sin2 ϕ1 sinϕ2.

...

(ρ cosϕ1, ρ sinϕ1 cosϕ2, . . . , ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−3 cosϕN−2, ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−3 sinϕN−2, ϕN−1)

G2(ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−3 sinϕN−2, ϕN−1); J = ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−3 sinϕN−2.

↓ JT = ρN−1 sinN−2 ϕ1 sinN−3 ϕ2 . . . sin2 ϕN−3 sinϕN−2.

(ρ cosϕ1, ρ sinϕ1 cosϕ2, . . . , ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−2 cosϕN−1, ρ sinϕ1 sinϕ2 · · · sinϕN−2 sinϕN−1)

=: GN(ρ, ϕ1, ϕ2, ϕ3, . . . , ϕN−3, ϕN−2, ϕN−1) = GN(ρ, ϕ)

= (x1, x2, . . . , xN−1, xN) ∈ RN \(RN−2 × [0,+∞[×{0}

)= Ran(GN).

GN es un cambio de variable (cambio de coordenadas esfericas a rectangulares enRN). Su jacobiano es el ultimo JT obtenido:

JGN (ρ, ϕ) = ρN−1 sinN−2 ϕ1 sinN−3 ϕ2 . . . sin2 ϕN−3 sinϕN−2 > 0.

Si usamos este cambio GN para calcular la medida de una bola de radio R en RN

obtenemos lo siguiente (N ≥ 2):

|B(0, R)| = RN

N

∫ π

0sinN−2 θdθ ·

∫ π

0sinN−3 θdθ · · ·

∫ π

0sin2 θdθ ·

∫ π

0sin θdθ · 2π

=RN

NωN .

Donde (usar el Ejercicio 7.2.1) ωN = 2πN2

Γ(N2 ). Con lo que tambien:

|B(0, R)| = πN2

Γ(N2

+ 1)RN .

La formula vale tambien para N = 1.

Mas general, si usamos este cambio GN para calcular la integral de una funcionradial obtenemos lo siguiente:∫

RNf(|x|)dx = ωN

∫[0,+∞[

f(ρ)ρN−1dρ.

Ejercicio 7.2.1. La funcion Gamma se introdujo tras el Ejemplo 4.2.5:

Γ(a) =

∫ +∞

0

e−xxa−1dx.

Definamos ahora la funcion beta como:

β(a, b) :=

∫ 1

0

xa−1(1− x)b−1dx, a, b ∈]0,+∞[.

77

DRAFT


Probar que esta bien definida.

Probar que Gamma se puede reescribir como:

Γ(a) = 2

∫ ∞0

y2a−1e−y2

dy.

Probar que se cumple:

β(a, b) = 2∫ π/2

0sin2a−1 θ cos2b−1 θdθ,

β(

12, 1

2

)= π,

β(a, 1) = 1a,

β(a, b) = Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)

,

Γ(a+ 1) = aΓ(a) si a > 0,

Γ(n+ 1) = n! si n ∈ N,Γ(

12

)=√π, y que ∫ ∞

0

e−y2

dy =

√π

2.


Ejemplo 7.2.2 (Ejemplo 11.1). Vamos a calcular∫ ∫

R2 e−x2−y2dxdy. Como con-

secuencia tendremos que∫∞−∞ e

−x2dx =√π.

Prueba. Sean D :=]0,∞[×]0, 2π[ y T : D → R2 el cambio a coordenadas polaresT (ρ, θ) := (ρcosθ, ρsenθ). Entonces D∗ = T (D) = R2 \ [0,∞[, JT (ρ, θ) = ρ y la

funcion g(ρ, θ) := f(ρcosθ, ρsenθ) | JT (ρ, θ) | viene dada por g(ρ, θ) = ρe−ρ2. La

funcion g es medible en el rectangulo D por ser continua y ademas∫ +∞

0

(

∫ 2π

0

| g(ρ, θ) | dθ)dρ = 2π

∫ ∞0

ρe−ρ2

dρ = π.

Por aplicacion de los teoremas de Tonelli-Hobson y Fubini concluimos que g es inte-

grable en D y ademas

∫ ∫D

g(ρ, θ)dρdθ = π. Por la formula de cambio de variables

se sigue que f es integrable en D∗ y

∫ ∫D∗f(x, y)dxdy = π. Puesto que fχD∗ = f

c.p.p., se tiene que f es integrable en R2 y

∫ ∫R2

f(x, y)dxdy = π. Por ultimo, se

sigue del teorema de Fubini que

∫ ∫R2

f(x, y)dxdy =( ∫ +∞

−∞e−x

2

dx)2, con lo cual∫∞

−∞ e−x2dx =

√π. �

En el problema anterior, la formula de cambio de variables permite transformaruna funcion difıcil de integrar en otra mas sencilla. En el ejemplo siguiente lo que sepretende modificar es el recinto de integracion.

78

DRAFT


Ejemplo 7.2.3 (Ejemplo 11.2). Calculemos∫ ∫

Ax2y2dxdy, siendo A la region

acotada del primer cuadrante limitada por las hiperbolas xy = 1, xy = 2 y las rectasy = x, y = 4x.

Prueba. A := {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, 1 ≤ xy ≤ 2, x ≤ y ≤ 4x}. Integrare-mos mediante el cambio de variables{

xy = uy

x= v

Con mas precision, sean D :=]0,∞[×]0,∞[ y R : D → R2 la transformacion de

coordenadas R(x, y) = (xy,y

x). Se comprueba facilmente que R(D) = D. Ponemos

T := R−1, que es tambien una transformacion de coordenadas. Denotamos R(x, y) =(u, v), T (u, v) = (x, y). Sea B = {(u, v) ∈ R2 : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 4} de modo

que T (B) = A. Puesto que JR(x, y) = 2y

xse sigue del teorema de derivacion de

funciones inversas que JT (u, v) =1

2v. Entonces, por la formula de cambio de variables

obtenemos ∫ ∫A

x2y2dxdy =

∫ ∫B

u2

2vdudv.

Esta ultima integral se resuelve facilmente como aplicacion del teorema de Fubini. �

Ejemplo 7.2.4 (Ejemplo 11.3). Comprobemos que la funcion f(x, y) =x− y

(x+ y)2

es integrable en el triangulo A de vertices (0, 0), (0, 1), (1, 0) y calculemos la integralcorrespondiente.

Prueba. La funcion f no esta acotada en A. Para deducir la integrabilidad de futilizaremos el criterio de comparacion y con el objeto de mayorar la funcion pasamosa coordenadas polares. Teniendo en cuenta que 0 ≤ θ ≤ π/2, obtenemos

| f(x, y) |= 1

ρ

| cosθ − senθ || cosθ + senθ |2

≤ 1

ρ=

1√x2 + y2

.

La funcion g(x, y) =1√

x2 + y2es integrable en el disco unidad D (lo que se com-

prueba efectuando un cambio a coordenadas polares) y puesto que fχA es medible y| fχA |≤ gχD se concluye que f es integrable en el conjunto A.

Para calcular la integral efectuamos el cambio de variables{x+ y = ux− y = v

Es decir, consideramos la transformacion de coordenadas T (u, v) = (u+ v

2,u− v

2) y,

teniendo en cuenta que A = T (B) siendo B := {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 1 , −u ≤ v ≤ u} y

79

DRAFT


el jacobiano de la transformacion vale JT (u, v) = −1

2, se obtiene∫ ∫

A

f(x, y)dxdy =

∫ ∫B

v

2u2= 0.

�


∫ ∫A

log(x2 + y2)dxdy siendo A la

region en el primer cuadrante comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = a2,x2 + y2 = b2 (0 < a < b).

Ejercicio 7.2.6 (Ejercicio 11.2). Calcula

∫ ∫A

xdxdy, A := {(x, y) ∈ R2 :

x2 + y2 ≤ 2x}.

Ejercicio 7.2.7 (Ejercicio 11.3). Calcula, mediante cambio a coordenadas esferi-

cas

∫ ∫ ∫A

(x2 + y2 + z2)dxdydz, siendo A la bola unidad en R3.

Ejercicio 7.2.8 (Ejercicio 11.4). Discute la integrabilidad de

f(x, y, z) =1

(x2 + y2 + z2)α

en la bola unidad segun los valores de α.


∫ ∫A

(x2 + 3y2)(x2 + y2)

4xy2dxdy, sien-

do A el recinto comprendido entre las curvas x2 + y2 − 4x = 0, x2 + y2 − 2x = 0,y = x2, y = x2

2.


∫ ∫ ∫A

1 + 3x3

xdxdydz, siendo A la region

en R3 descrita por las desigualdades x2 ≤ 2y ≤ 4x2, y2 ≤ z ≤ 3y2, 1 ≤ xy ≤ 2.


∫ ∫R2

1

(x2 + y2 + 1)2dxdy.


∫ ∫A

xdxdy siendo A el recinto li-

mitado por una curva cuya ecuacion en coordenadas polares es ρ = 1 + cosθ.


∫ ∫A

1

xydxdy,

A := {(x, y) ∈]0,+∞[2:1

x3≤ y ≤ 3

x3, x ≤ y3 ≤ 3x}.


∫ ∫A

1

(x2 + y2)2dxdy, siendo A

el recinto comprendido entre las 4 curvas x2 + y2 − 6x = 0, x2 + y2 − 8x = 0,x2 + y2 − 4y = 0, x2 + y2 − 2y = 0.

80

DRAFT


Ejercicio 7.2.15 (Ejercicio 11.11). Calcula

∫ ∫ ∫A

(x2 + y2 + z2)dxdydz, sien-

do A := {(x, y, z) ∈ R3 :x2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1}.

Ejercicio 7.2.16 (Ejercicio 11.12). Estudia la integrabilidad de f(x, y) = ex−yx+y

en el conjunto de puntos del primer cuadrante que cumplen x+ y ≤ 1.

7.3. Principio de Cavalieri. Calculo de areas y volumenes

Cuando definimos por primera vez la medida de un conjunto cuya caracterısticaes integrable introdujimos el Principio de Cavalieri. Volvamos ahora a usarlo paramedir el volumen que encierra la grafica de una funcion integrable no negativa porencima de su dominio.

Sea A un conjunto medible en RN y f ∈ L1(A) una funcion no negativa. Su graficaes el conjunto

G(f) := {(x, y) ∈ A× [0,+∞[: y = f(x)};por otra parte este conjunto encierra el siguiente solido por encima del dominio A:

S(f) := {(x, y) ∈ A× [0,+∞[: y ≤ f(x)}.

Ambos conjuntos son medibles (observar que F (x, y) = yχ[0,+∞[(y)− f(x)χA(x) de-finida en RN × R es medible).

Ahora por Tonelli y Fuibini,

Vol(S(f)) = |S(f)| =∫A

(∫[0,f(x)]

1dy

)dx =

∫A

f(x)dx.

Observar que tamiben se deduce que la medida N–dimensional de la grafica de f escero:

|G(f)| = 0.


Ejemplo 7.3.1 (Ejemplo 11.4). Hallemos el volumen del solido limitado supe-riormente por la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4, inferiormente por el plano XYy lateralmente por el cilindro x2 + y2 = 1.

Prueba. Sean D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} y f(x, y) = (4 − x2 − y2)12 . El

volumen pedido viene dado por ∫ ∫D

f(x, y)dxdy.

�

Ejemplo 7.3.2 (Ejemplo 11.5). Calculemos el volumen de la region compren-

dida entre los dos cilindros perpendiculares entre sıx2

4+y2

9= 1,

x2

4+z2

9= 1.

81

DRAFT


Prueba. La region descrita es A = {(x, y, z) ∈ R3 :x2

4+y2

9≤ 1,

x2

4+z2

9≤ 1}.

Para cada x ∈ [−2, 2] la seccion Ax = {(y, z) ∈ R2 : (x, y, z) ∈ A} viene dada por

Ax = [−f(x), f(x)]× [−f(x), f(x)], siendo f(x) = 3(1− x2

4)12 . Por otra parte Ax = ∅

si | x |> 2. Por el principio de Cavalieri

V olumen(A) =

∫ 2

−2

Area(Ax)dx =

∫ 2

−2

4(f(x))2dx.

�

Ejercicio 7.3.3 (Ejercicio 11.13). Hallar el area de la region limitada por lasrectas y = x, y = 4x, x+ 4y = 1, x+ 4y = 4.

Ejercicio 7.3.4 (Ejercicio 11.14). Hallar el area limitada por un bucle de lem-niscata de ecuacion (en coordenadas polares) ρ2 = a2cos2θ.

Ejercicio 7.3.5 (Ejercicio 11.15). Hallar el volumen del solido descrito por lasdesigualdades x2 + y2 + z2 ≤ a2, x2 + y2 ≤ ay.

Este es el volumen interceptado en un cilindro de radio R = a2

por una esfera deradio doble cuyo centro esta en la superficie del cilindro (problema de la boveda deViviani).

Ejercicio 7.3.6 (Ejercicio 11.16). Calcular el volumen del solido limitado por

el elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

(a) Aplicando un cambio de coordenadas.

(b) Por medio del principio de Cavalieri.

Ejercicio 7.3.7 (Ejercicio 11.17). A traves de una esfera de radio 2 se perforaun tunel cilındrico de diametro 1. Suponiendo que el eje del cilindro pase por el centrode la esfera, hallar el volumen del solido que queda.

Ejercicio 7.3.8 (Ejercicio 11.18). Calcular el volumen del toro obtenido porrotacion alrededor del eje Z, del cırculo (en el plano YZ) z2+(y−a)2 ≤ b2 (0 < b < a).

Ejercicio 7.3.9 (Ejercicio 11.19). Hallar el volumen del solido limitado supe-riormente por la superficie de ecuacion z = x3y e inferiormente por el triangulo devertices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0).

Ejercicio 7.3.10 (Ejercicio 11.20). Encontrar el volumen de la menor de lasporciones que se obtienen al dividir la esfera de centro (0, 0, 0) y radio 2 por el planoz = 1.

Ejercicio 7.3.11 (Ejercicio 11.21). Encontrar el volumen del sector esfericode la bola de centro (0, 0,0) y radio 1 cuyo cono viene dado por la ecuacion z =√

3(x2 + y2).

Ejercicio 7.3.12 (Ejercicio 11.22). Calcula el volumen del solido descrito por

la desigualdad x23 + y

23 + z

23 ≤ a

23 .

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Universitat de València - CON ALGUNAS PRUEBAS · 2020-02-07 · 3.2. Sobre la relaci on con la...

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